资源简介

重难点突破 03 三次函数的图象和性质
目录
01 方法技巧与总结 ...............................................................................................................................2
02 题型归纳总结 ...................................................................................................................................4
题型一：三次函数的零点问题 ...................................................................................................................................4
题型二：三次函数的最值、极值问题 .......................................................................................................................5
题型三：三次函数的单调性问题 ...............................................................................................................................6
题型四：三次函数的切线问题 ...................................................................................................................................6
题型五：三次函数的对称问题 ...................................................................................................................................7
题型六：三次函数的综合问题 ...................................................................................................................................7
题型七：三次函数恒成立问题 ...................................................................................................................................9
题型八：等极值线问题 .............................................................................................................................................10
03 过关测试 .........................................................................................................................................11
1、基本性质
设三次函数为： f (x) ax3 bx2 cx d ( a、b 、 c 、 d R 且 a 0 )，其基本性质有：
性质 1：①定义域为 R ．②值域为 R ，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．③单调性和图像：
a 0 a 0
0 0 0 0
图像
性质 2：三次方程 f (x) 0 的实根个数
由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三
次函数为例来研究根的情况，设三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0)
其导函数为二次函数: f (x) 3ax2 2bx c(a 0)，
判别式为：△= 4b2 -12ac 4(b2 - 3ac) ，设 f (x) 0 的两根为 x1 、 x2 ，结合函数草图易得：
(1) 若b2 - 3ac 0 ，则 f (x) 0 恰有一个实根；
(2) 若b2 - 3ac 0 ,且 f (x1) × f (x2 ) 0，则 f (x) 0 恰有一个实根；
(3) 若b2 - 3ac 0 ,且 f (x1) × f (x2 ) 0，则 f (x) 0 有两个不相等的实根；
(4) 若b2 - 3ac 0 ,且 f (x1) × f (x2 ) 0，则 f (x) 0 有三个不相等的实根.
说明:(1)(2) f (x) 0 含有一个实根的充要条件是曲线 y f (x) 与 x 轴只相交一次，即 f (x) 在 R 上为单
调函数（或两极值同号），所以b2 - 3ac 0 （或b2 - 3ac 0 ，且 f (x1) × f (x2 ) 0）;
(5) f (x) 0 有两个相异实根的充要条件是曲线 y f (x) 与 x 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以
b2 - 3ac 0 ，且 f (x1) × f (x2 ) 0 ;
(6) f (x) 0 有三个不相等的实根的充要条件是曲线 y f (x) 与 x 轴有三个公共点，即 f (x) 有一个极大
值，一个极小值，且两极值异号.所以b2 - 3ac 0 且 f (x1) × f (x2 ) 0 .
性质 3：对称性
1 b b（ ）三次函数是中心对称曲线，且对称中心是； (- ，f (- )) ；
3a 3a
（2）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2、常用技巧
（1）其导函数为 f (x) 3ax2
b
2bx c 0 对称轴为 x - ，所以对称中心的横坐标也就是导函数的
3a
对称轴，可见， y f (x) 图象的对称中心在导函数 y f x 的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时
也是二阶导为零的点；
（2） y f (x) 是可导函数，若 y f (x) 的图象关于点 (m,n) 对称，则 y f (x) 图象关于直线 x m
对称.
（3）若 y f (x) 图象关于直线 x m 对称，则 y f (x) 图象关于点 (m,0) 对称.
（4）已知三次函数 f x ax3 bx2 cx d 的对称中心横坐标为 x0 ，若 f x 存在两个极值点 x1 ， x2 ，
f x1 - f x2 a则有 - x 2- x 2 f x .
x1 - x
1 2
2 2 3
0
题型一：三次函数的零点问题
【典例 1-1】一般地，对于一元三次函数 f x ，若 f x0 0，则 x0 , f x0 为三次函数 f x 的对称中心，
3
已知函数 f x x ax2 1图象的对称中心的横坐标为 x0 （ x0 0），且 f x 有三个零点，则实数a的取值
范围是（ ）
33 2 33 2
A． - , - ÷÷ B． - ,0 C． -1,0 D．2 - , -12 ÷÷è è
【典例 1-2】已知m，n， p R，若三次函数 f x x3 mx2 nx p 有三个零点a，b， c，且满足
f 1 f 1 3- ， f 0 f 2 2 1 1 1，则 的取值范围是（ ）
2 a b c
1 1 1 1 1A
1 1
． ,1÷ B． , ÷ C． , ÷ D． ,
è 3 è 4 3 è 4 2 è 3 2 ÷
3
【变式 1-1】已知三次函数 f (x) x ax2 - 3a2x b(a 0)有两个零点，若方程 f [ f (x)] 0 有四个实数根，
3
则实数 a 的范围为（ ）
6 3 2 6 0, 0, , 6 3 2

A． ÷÷ B． ÷÷ C． ÷÷ D．8 8
, ÷÷
è è è 8 è 8 8
ì| 2x 1|, x 1
【变式 1-2】已知 f (x) í g(x) y f g x - m
log2 (x -1), x 1
， 为三次函数，其图象如图所示.若 有 9 个零
点，则m的取值范围是 .
1
【变式 1-3 3 2】已知三次函数 f x x ax bx c在 x = - 和 x 1处取得极值，且 f x 在 -1, f -1 处的
3
切线方程为 y kx 4 .
（1）若函数 g x f x - mx的图象上有两条与 x轴平行的切线，求实数m的取值范围；
（2 2）若函数 h x 2x 8x n与 f x 在 -2,1 上有两个交点，求实数n的取值范围.
【变式 1-4】已知三次函数 f x 的零点从小到大依次为 m，0，2，其图象在 x=- 1处的切线 l 经过点 2,0 ，
则m （ ）
8 5 3
A．- B．-2 C．- D．-
5 3 2
题型二：三次函数的最值、极值问题
【典例 2-1 3 2】已知三次函数 f x x bx cx d ，其导函数为 f x ，存在 t 1,4 ，满足
f 2 - t f t f t 0．记 f x 的极大值为M ，则M 的取值范围是 ．
1
2-2 f (x) ax3 bx2
16
【典例 】已知三次函数 x c 无极值，且满足 a 2 8，则 a2 - b2 .3 b
a b c
【变式 2-1】已知三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a b)在 R 上单调递增，则 最小值为（ ）b - a
A 2 6 5 B 6 5 C 7 5 D 2 7 5． ． ． ．
2 3 2 3
【变式 2-2】（多选题）定义：设 f x 是 f x 的导函数， f x 是函数 f x 的导数，若方程 f x 0有
实数解 x0 ，则称点 x0 , f x0 为函数 y f x 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐
点” 3 2就是三次函数图象的对称中心.已知函数 f x x ax - 3x b图象的对称中心为 0,3 ，则下列说法中
正确的有（ ）
A． a 0，b 3 B．函数 f x 的极大值与极小值之和为 6
C．函数 f x 有三个零点 D．函数 f x 在区间 -3,3 上的最小值为 1
【变式 2-3】（2024 3·全国·模拟预测）已知三次函数 f x 2x ax2 6x 1的极小值点为b，极大值点为
2b，则 a b 等于（ ）
A． 4 2 B．-4 2
C．±4 2 D．±5 2
【变式 2-4】（2024·江西新余·二模）已知三次函数的导函数 f (x) 3x2 - 3ax ， f (0) b ， a,b为实数.
(1)若曲线 y f (x) 在点 (a 1, f (a 1)) 处切线的斜率为 12，求a的值；
(2)若 f (x) 在区间[-1,1]上的最小值，最大值分别为-2 ，1，且1 a 2 ，求函数 f (x) 的解析式.
题型三：三次函数的单调性问题
3 2
【典例 3-1】（2024·江西景德镇·一模）设三次函数 f x x bx cx (b，c 为实数)的导数为 f x ，设
2
g x f x - f x ，若 y g x b在 R 上是增函数，则 2 的最大值为 .c 9
【典例 3-2】已知函数 f (x) ax3 bx (x R) .
（1）若函数 f (x) 的图象在点 x 3处的切线与直线 x 24y 1 0垂直，函数 f (x) 在 x 1处取得极值，求函
数 f (x) 的解析式.并确定函数的单调递减区间；
（2）若 a 1，且函数 f (x) 在[-1,1]上减函数，求b的取值范围.
【变式 3-1】三次函数 f (x) mx3 - x在 (- , )上是减函数，则m的取值范围是（ ）
A．m 0 B．m 1 C．m 0 D．m 1
题型四：三次函数的切线问题
【典例 4-1】（2024 3 2·新疆乌鲁木齐·一模）已知函数 f x ax bx cx d 在 R 上是增函数，且存在垂
c
直于 y 轴的切线，则 的取值范围是 .
a b
【典例 4-2】（2024·江苏·模拟预测）贝塞尔曲线（Beziercurve）是应用于二维图形应用程序的数学曲线，
一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线.三次函数 f x 的图象是可由A ， B ，C ，D四点确定的贝塞
尔曲线，其中 A ， D在 f x 的图象上， f x 在点 A ， D处的切线分别过点 B ，C .若 A 0,0 ， B -1, -1 ，
C 2, 2 ，D 1,0 ，则 f x （ ）
A．5x3 - 4x2 - x B．3x3 - 3x
C．3x3 - 4x2 x D．3x3 - 2x2 - x
4-1 f x ax3 bx2【变式 】已知函数 - 3x a,b R 在点 1, f 1 处的切线方程为 y 2 0．若经过点
M 2, m 可以作出曲线 y f x 的三条切线，则实数m的取值范围为 ．
【变式 4-2】（2024·广东深圳·一模）已知函数 f x a x - x1 x - x2 x - x3 (a 0)，设曲线 y f x
在点 xi , f xi 处切线的斜率为 ki i 1,2,3 ，若 x1, x2 , x3均不相等，且 k2 -2，则 k1 4k3 的最小值为 ．
题型五：三次函数的对称问题
【典例 5-1】（2024·高三·广东珠海·开学考试）设函数 y f x 是 y f x 的导函数.某同学经过探究
3 2
发现，任意一个三次函数 f x ax bx cx d a 0 的图像都有对称中心 x0 , f x0 ，其中 x0 满足
f x0 0 .已知三次函数 f x x3 2x -1，若 x1 x2 0，则 f x1 f x2 .
【典例 5-2】（2024·全国·模拟预测）对于三次函数 f x ax3 bx2 cx d a 0 给出定义：设 f x 是
函数 y f x 的导数， f x 是 f x 的导数，若方程 f x 0有实数解 x0 ，则称点 x0 , f x0 为函数
y f x 的“拐点”，同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，
且拐点就是对称中心，若 f x 1 1 x3 - x2 3x 5 -3 2 12 ，请你根据这一发现计算：
f 1 f 2 f 3 L f 2023

è 2024 ÷ è 2024 ÷ 2024 ÷ è è 2024 ÷
（ ）

A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【变式 5-1】设 f (x) 是函数 y f (x) 的导数，f (x )是 f (x) 的导数，若方程 f (x) 0有实数解 x0 ，则称点
x0 , f x0 为函数 y f (x) 的“拐点”．已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中
心．设 f (x) x3 - 6x2 5x 7 ，数列 an 的通项公式为 an 2n - 5，则 f a1 f a2 L f a6 （ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【变式 5-2】函数 y f (x) 的图象关于点P(a,b) 成中心对称图形的充要条件是函数 y f (x a) - b为奇函
3- 5 3 5
数．已知任意一个一元三次函数的图象均为中心对称图形，若 f (x) x3 - 3x2，则 f ÷÷ f3 è è 3
÷÷

的值为（ ）
A．－4 B．－2 C．0 D．2
3 2
【变式 5-3】已知任意三次函数的图象必存在唯一的对称中心，若函数 f x x ax bx c，且
M x0，f x0 为曲线 y f x 的对称中心，则必有 g x0 0(其中函数 g x f x ).若实数m，n满足
ìm3 6m2 13m 10
í 3 2 ，则m n （ ）
n 6n 13n -30
A．-4 B．-3 C．-2 D． -1
题型六：三次函数的综合问题
2
【典例 6-1】若 a,b,c R，关于 x的一元二次方程 ax bx c 0 a 0 的两个根分别为 x1, x2 ，则方程可写成
a x - x1 x - x2 0 ax2，即 - a x1 x2 x ax1x1 0
b c
，容易发现根与系数的关系： x1 x2 - , x x ;若a 1 2 a
a,b,c, d R，设关于 x的一元三次方程 ax3 bx2 cx d 0 a 0 的三个非零实数根分别为 x1, x2 , x3，则
x21 x
2
2 x
2
3 .
【典例 6-2】（多选题）已知三次函数 f x ax3 x2 cx 1 有三个不同的零点 x1, x27 2
, x3 x1 x2 x3 ，函数
g x f x -1 .则（ ）
A．3ac 1
B．若 x1, x2 , x3成等差数列，则 a -1,0 0,1
g x m,n(m n) 2m n 1C．若 恰有两个不同的零点 ，则 -
3a
D．若 g x 2 2 2 2 2 2有三个不同的零点 t1, t2 , t3 t1 t2 t3 ，则 x1 x2 x3 t1 t2 t3
3 2
【变式 6-1】（多选题）下列关于三次函数 f x ax bx cx d a 0 x R 叙述正确的是（ ）
A．函数 f x 的图象一定是中心对称图形
B．函数 f x 可能只有一个极值点
b
C．当 x0 - 时， f x 在 x x0处的切线与函数 y f x 的图象有且仅有两个交点3a
b
D．当 x0 - 时，则过点 x0 , f x0 的切线可能有一条或者三条3a
【变式 6-2】（多选题）（2024·江苏·模拟预测）已知三次函数 f (x) ax3 bx2 cx -1，若函数
g(x) f (-x) 1的图象关于点（1，0）对称，且 g(-2) 0，则（ ）
A． a<0 B． g(x)有 3 个零点
C． f (x) 的对称中心是 (-1,0) D．12a - 4b c 0
【变式 6-3】给出定义:设 f (x) 是函数 y f (x) 的导函数，f (x )是函数 f (x) 的导函数，若方程 f (x) 0有
实数解 x x0，则称 x0 , f x0 )为函数 y f (x) 的“拐点”.
(1)经研究发现所有的三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0)都有“拐点”，且该“拐点”也是函数 y f (x) 的
图象的对称中心.已知函数 f (x) x3 bx2 - 9x a的图象的对称中心为 (-1,10)，讨论函数 f (x) 的单调性并求
极值.
g(x) 2mx3 6ln(mx) 15 x2 18 5(2)已知函数 - x - 2 1，其中m 0 .m m
（i）求 g(x)的拐点；
（ii）若 g x1 g x2 2 0 x1 x2 x x
2
，求证: 1 2 .m
【变式 6-4】对三次函数 f x ax3 bx2 cx d , a 0，如果其存在三个实根 x1, x2 , x3，则有
x b c d1 x2 x3 - , xa 1
x2 x2x3 x3x1 , x1x2x3 - .称为三次方程根与系数关系.a a
(1)对三次函数 f x ax3 bx2 cx d ，设 g x f x ，存在 x0 R ，满足0 f x0 g x0 g x0 .证
2
明：存在 x1 x0 ，使得 f x a x - x1 x - x0 ；
(2)称 f x 是 m, M 上的广义正弦函数当且仅当 f x 存在极值点 x1, x2 m, M ，使得
f x1 , f x2 f m , f M .在平面直角坐标系 xOy 中， A a,b 是第一象限上一点，设
f x x a x b- , g x x(a - x)2 - 4b .已知 g x 在 0, a 上有两根 x0 x3 .x
（i）证明： f x 在 0, 上存在两个极值点的充要条件是 a3 27b；
（ii）求点A 组成的点集，满足 f x 是 x0 , x3 上的广义正弦函数.
题型七：三次函数恒成立问题
3 2
【典例 7-1】已知 f x ax bx cx a,b,c R,a 0 ，若不等式 x × f x - a × f x 5对任意 x R 恒成立，
b - 2c
则 的取值范围为 .
a
【典例 7-2】若对于任意 x -1,1 ，存在b R ，使得 ax3 bx 1成立，则实数 a 的取值范围是 .
【变式 7-1】已知 x＝2 是三次函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)的极值点，且直线 3x＋y－5＝0 与曲线
y＝f(x)相切与点(1，f（1）).
(1)求实数 a，b，c 的值；
(2)若 f(t)＝－1，f(s)＝5，求 f(t＋s)的值；
(3)若对于任意实数 x，都有 f(x2－2x＋4)＋f(x2＋λx)＞4 恒成立，求实数 λ 的取值范围.
【变式 7-2】（2024 3 2·内蒙古呼和浩特·一模）已知三次函数 f x ax bx cx a,b,c R .
（1）若函数 f x 过点 2,2 且在点 1, f 1 处的切线方程是 y 2 0，求函数 f x 的解析式；
（2）在（1）的条件下，若对于区间 -2,3 上任意两个自变量的值x1，x2，都有 f x1 - f x2 m，求出
实数m的取值范围.
3 2
【变式 7-3】已知三次函数 f x x ax - 6x b，a，b R ，若函数 f x 的图象在 x 1处的切线方程为
12x 2y -1 0
（I）求函数 f x 的解析式；
（II）求函数 f x 的极小值；
（Ⅲ）若存在 x 0, ，使得3ln x f x 2m -1 成立，求实数 m 的取值范围.
题型八：等极值线问题
【典例 8-1】设函数 f x x -1 3 - ax - b x R ，其中 a，b 为实常数．
(1)若 a 3，求 f x 的单调区间；
(2)若 f x 存在极值点 x0 ，且 f x1 f x0 其中 x1 x0 ．求证： x1 2x0 3；
3
【典例 8-2】设函数 f x x -1 - ax b， x R ，其中a、b R .
(1)求 f x 的单调区间；
(2)若 f x 存在极值点 x0 ，且 f x1 f x0 ，其中 x1 x0 ，求 x1 2x0的值.
【变式 8-1】设函数 f (x) x3 - 3x2 (3- a)x b -1， x,a,b R．
(1)求 f (x) 的单调区间；
(2)若 f (x) 存在极值点 x0 ，且 f x1 f x0 ，其中 x1 x0 ，求证： x1 2x0 3．
【变式 8-2】设 a 0，已知函数 f (x) (x - 2)3 - ax ．
(1)若 f 3 1，求实数 a 的值；
(2)求函数 y f (x) 的单调区间；
(3)对于函数 y f (x) 的极值点 x0 ，存在 x1 x1 x0 ，使得 f (x1) f (x0 )，试问对任意的正数 a， x1 2x0是
否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
1．以下四图都是同一坐标系中某三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0)及其导函数的图象，其中可能正确
的是（ ）
A． B．
C． D．
2．人们在研究学习过程中，发现：三次整式函数 f (x) 都有对称中心，其对称中心为 (x0 , f (x0 ))（其中
f ''(x0 ) 0）.已知函数 f (x) x3 - 3x2 4x 5 .若 f (m) 4, f (n) 10，则m n （ ）
3
A．1 B． C． 2 D．3
2
3．（2024 3 2 3 2·全国·一模）已知三次函数 f (x) a1x b1x c1x d ， g(x) a2x b2x c2x d (a1a2 0) ，且
f (x) 有三个零点.若三次函数 p(x) 3 f (x) g(x) 和 q(x) f (x) - g(x) 均为R 上的单调函数，且这两个函数的
导函数均有零点，则 g(x)零点的个数为（ ）
A．1个 B． 2个 C．3个 D． 2个或3个
4．（多选题）（2024·贵州·模拟预测）定义：设 f (x) 是 f (x) 的导函数， f x 是函数 f (x) 的导数，若方
程 f (x) 0有实数解 x0 ，则称点 x0 , f x0 为函数 y f (x) 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都
有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数 f (x) x3 bx2 - x a图象的对称中心为( 0, 1)，
则下列说法中正确的有（ ）
A． a 1，b 0 B．函数 f (x) 的极大值与极小值之和为 2
C．函数 f (x) 有三个零点 D． y f (x) 在区间( 0, 1)上单调递减
5 3 2．（多选题）经研究发现：任意一个三次多项式函数 f x ax bx cx d a 0 的图象都只有一个对称
中心点 x0 , f x0 ，其中 x0 是 f x 0的根， f x 是 f x 的导数， f x 是 f x 的导数．若函数
f x x3 ax2 x b 图象的对称点为 -1,2 x，且不等式 e - mxe (ln x 1) é f x - x3 - 3x2 eù e x 对任意
x 1, 恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A． a 3 B．b 1 C．m 1的值可能是-e D．m的值可能是 - e
6．（多选题）定义：设 f (x) 是 f (x) 的导函数，f (x )是函数 f (x) 的导数，若方程 f (x) 0有实数解 x0 ，
则称点 (x0 , f (x0 ))为函数 y f (x) 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次
3 2 5
函数图象的对称中心.已知函数 f (x) ax bx (ab 0)的对称中心为 (1,1) ，则下列说法中正确的有（
3 ）
a 1A． ，b = -1
3
B．函数 f (x) 既有极大值又有极小值
C．函数 f (x) 有三个零点
D．过 (-1,
1)可以作三条直线与 y f (x) 图象相切
3
7．（多选题）定义：设 f x 是 f x 的导函数， f x 是函数 f x 的导数，若方程 f x 0有实数解
x0 ，则称点 x0，f x0 为函数 y f x 的“拐点”．经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就
1 3 2 5
是三次函数图像的对称中心． 已知函数 f x x ax bx 的对称中心为 1,1 ，则下列说法中正确
3 3
的有（ ）
A． a -1,b 0 B．函数 f x 既有极大值又有极小值
C．函数 f x 有三个零点 D．对任意 x R ，都有 f 1- x + f x =1
8 3 2．（多选题）已知三次函数 f x x bx cx d 有三个不同的零点 x1, x2 , x3 x1 x2 x3 ，若函数
g x f x -1也有三个不同的零点 t1, t2 , t3 t1 t2 t3 ，则下列等式或不等式一定成立的有（ ）
A．b2 3c B． t3 x3
C． x1 x2 x3 t1 t2 t3 D． x1x2x3 - t1t2t3 1
9 3．（多选题）对于三次函数 f x ax bx2 cx d a 0 ，给出定义： f x 是函数 y f x 的导数，
f x 是函数 f x 的导数，若方程 f x 0有实数解 x0 ，则称 x0 , f x0 为函数 y f x 的“拐点”.某同
学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.
f x 2 x3若函数 - x2 12x 49- ，则下列说法正确的是（ ）
3 6
137
A． f x 的极大值为
6
B． f x 有且仅有 2 个零点
1
C．点 , 2÷是 f x 的对称中心
è 2
f 1 f 2 f 3 f 2023 D． ××× 4046
è 2024 ÷ è 2024 ÷ 2024 ÷ è è 2024 ÷
10 3．（多选题）（2024·山西晋中·二模）对于三次函数 f x ax bx2 cx d a 0 ，给出定义：设
f x 是函数 y f x 的导数， f x 是函数 f x 的导数，若方程 f x 0有实数解 x0 ，则称 x0 , f x0
为函数 y f x 的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有
“ ” f x 1 1 x3 - x2对称中心，且 拐点 就是对称中心．若函数 x b b R ，则（ ）
3 2
A． f x 一定有两个极值点
B．函数 y f x 在 R 上单调递增
C．过点 0,b 可以作曲线 y f x 的 2 条切线
7 f 1 f 2 f 3 2022 D．当b 时， ÷ ÷ ÷ L f ÷ 202212 è 2023 è 2023 è 2023 è 2023
11．（多选题）（山东省枣庄市 2024 届高三第二次模拟考试数学试题）已知函数 f x x -1 3 - ax - b 1，
则下列结论正确的是（ ）
A．当 a 3时，若 f x 有三个零点，则 b 的取值范围为 -4,0
B．若 f x 满足 f 2 - x 3- f x ，则 a b -1
C．若过点 2, m 可作出曲线 g x f x - 3x ax b的三条切线，则-5 m -4
D．若 f x 存在极值点 x0 ，且 f x0 f x1 ，其中 x0 x1 ，则 x1 2x0 3
12．已知三次函数 f x 有三个零点x1，x2， x3 ，且在点 xi , f xi 处切线的斜率为 ki i 1,2,3 ，则
1 1 1

k k k .1 2 3
b b
13 3．已知所有的三次函数 f x ax bx2 cx d a 0 的图象都有对称中心 - f -
è 3a
， ，若函数
è 3a ÷÷
f x -x3 3x2 f 1 2 3 4045，则 ÷ f

2023 2023 ÷
f 2023 ÷
L f ÷ .
è è è è 2023
14．今年是我校建校 100 周年，也是同学们在宜丰中学的最后一年，朱朱与毛毛同学想以数学的浪漫纪念
这特殊的一年，他们以三次函数及其三条切线为蓝本设计了一枚“NK 章”，并把它放入一个盒子，埋藏于宜
丰中学的某角落，并为这“时间胶囊”设置了一个密码，他们把密码隐藏于刻在盒子上的一道“数学谜语”中：
在这盒子中有一枚我们留下的徽章，它由“N”，“K”两个字母组合而成.其中“N”蕴含在函数
f x 1 x3 3x 2 x -1的图象中，过点P -6,a 与曲线相切的直线恰有三条，这三条切线勾勒出了“K”的
2
形状，请你求出使满足条件的三条切线均存在的整数 a 的个数，这就是打开盒子的密码： .
15 3 2．对于三次函数 f x ax bx cx d a 0 ，经研究发现：任何一个三次函数都有对称中心，而且三
次函数的拐点（使二阶导数 f x 0 1的点）正好是它的图像的对称中心．若 f x x3 1 x2 3x 5- -3 2 12 ，则
f 1 f 2 f 3 n -1 ÷ ÷ ÷ ××× f

÷ ．（ n 2且 n N ）
è n è n è n è n
16 3 2．已知三次函数 f x 2x 3ax bx c a,b,c R ，且 f (2020) 2020 ， f (2021) 2021，
f (2022) 2022 ，则 f (2023)
17．设 y f x 是 y f x 的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数
f x ax3 bx2 cx d a 0 的图象都有对称中心 x0 , f x0 ，其中 x0 满足 f x0 0 .
g x 11 x3（ ）函数 - x2 3x 1的对称中心为 ；
3
（2）现已知当直线 kx - y - k 1 0 k R 和 h x ax3 5 bx2 的图象交于 A x , y
3 1 1
、B x2 , y2 、
C x3 , y3 x1 x2 x3 三点时， h x 的图象在点A 、点C 处的切线总平行，则过点 b,a 可作 h x 的
条切线.
18．（2024·四川成都·三模）若指数函数 y a x （ a 0且 a 1）与三次函数 y x3的图象恰好有两个不
同的交点，则实数a的取值范围是 .
19．已知三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0)，对于任意 x R，均有 f x txf x 且存在唯一 x0 ，满
f x tx f x 3bd c
2 1
足 0 0 0 ，则 - t t
20 3．已知函数 f x x -1 - ax - b ， x R ，其中a、b R ，若 f x 存在极值点 x0 ，且 f x1 f x0 ，
其中 x1 x0 ，则 x1 2x0 .
21．设函数 f (x) x3 - 4x2 ax b, x R ，其中 a,b R ．若 f (x) 存在极值点 x0 ，且 f x1 f x0 ，其中
x1 x0 ，则 x1 2x0 ．
22．已知 a,b R ，函数 f x ax3 bx2 x 1 a 0 恰有两个零点，则 a b 的取值范围为 .
b
23．已知函数 f (x) ax3 bx2 - 4a(a,b R)．若 a 0时，函数 f x 恰有两个不同的零点，则 的值
a
为 ，若 a 0时， f (x) ln x 的解集为 m, n ，且 m, n 中有且仅有一个整数，则实数 b 的取值范围
为 ．
24 3．函数 f x ax bx2 cx d a,b,c, d R 的图像如图所示，则 a b c 的取值范围是 ．
25．给出定义：设 f x 是函数 y f x 的导函数， f x 是函数 f x 的导函数，若方程 f x 0有实数
解 x x0，则称 x0 , f x0 为函数 y f x 的“拐点”.经研究发现所有的三次函数
f x ax3 bx2 cx d a 0 都有“拐点”，且该“拐点”也是函数 y f x 图象的对称中心.
(1) f x x3若函数 3x2 - 9x -1，求函数 f x 图象的对称中心；
(2)已知函数 g x 2mx3 é 6ln mx
18
-15ù 2 x x
5
- 1，其中m 0 .
m m2
（ⅰ）求 g x 的拐点；
（ⅱ）若 g x1 g x2 2 0 x1 x2
1
，求证：0 x1 xm 2
.
26．给出定义：设 f (x) 是函数 y f (x) 的导函数，f (x )是函数 y f (x) 的导函数，若方程 f (x) 0有实
数解 x0 ，则称 x0 , f x0 为函数 y f (x) 的.“固点”.经研究发现所有的三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d
(a 0)都有“固点”，且该“固点”也是函数 y f (x) 的图象的对称中心.根据以上信息和相关知识回答下列问
题：已知函数 f (x) x3 (3a - 3)x2 (6a - 9a2 )x - 5a(a R) .
(1)当 a -1时，试求 y f (x) 的对称中心.
(2)讨论 f (x) 的单调性；
(3)当 a 2时， f (x) m有三个不相等的实数根 x1 x2 x3，当 x1 - x3 取得最大值时，求m的值.
27 f x ax3．已知三次函数 bx2 cx 的极大值是 20，其导函数 y f x 的图象经过点 2,0 ， 4,0 .如
图所示.
(1)求 f x 的单调区间；
(2)求 a，b，c 的值；
(3)若函数 y f x - m有三个零点，求 m 的取值范围.
1 1 1
28．（2024 3 2·高三·山东滨州·期中）已知三次函数 f x ax 2a -1 x - 2x - .
3 2 2
(1)当 a 3时，求曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线方程，
(2)讨论 y f x 的单调性.
29．已知三次函数 f (x) ax3 bx - 3在 x 1处取得极值，且在 (0, -3)点处的切线与直线3x y 0平行.
（1）求 f (x) 的解析式；
（2）若函数 g(x) f (x) mx 在区间(1，2)上单调递增，求m的取值范围.
30 3 2．已知三次函数 f x ax - 3ax 2 4a .
（1）若函数 f x 在区间 a, a 3 上具有单调性，求 a 的取值范围；
（2）当 a 0时，若 x1 x2 2，求 f x1 f x2 的取值范围.
31．已知三次函数 f (x) ax3 bx2 - bx - a(a 0,a,b R)．
（1）求证： x 1是 f (x) 的零点；
1
（2）如果 x0 是 f (x) 的零点，求证： x 也是
f (x) 的零点．
0
b b
32．已知任意三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0)都有对称中心 (- , f (- ))，且
3a 3a
1
g(x) x3 mx2 tx -1的对称中心为 ( , g(
1))，
3 3
（1）当 t 1时，求曲线 g(x)在点 (1, g(1)) 处的切线方程；
（2）若 x (0, ), g(x)+ex - x3…0 恒成立，求实数 t的取值范围.
33．已知三次函数 f (x) x3 bx2 cx d (a,b,c R)过点 (3,0)，且函数 f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线恰好是直
线 y 0 .
(1)求函数 f (x) 的解析式；
(2)设函数 g(x) 9x m -1，若函数 y f (x) - g(x)在区间[-2,1]上有两个零点，求实数m的取值范围.重难点突破 03 三次函数的图象和性质
目录
01 方法技巧与总结 ...............................................................................................................................2
02 题型归纳总结 ...................................................................................................................................4
题型一：三次函数的零点问题 ...................................................................................................................................4
题型二：三次函数的最值、极值问题 .......................................................................................................................9
题型三：三次函数的单调性问题 .............................................................................................................................12
题型四：三次函数的切线问题 .................................................................................................................................14
题型五：三次函数的对称问题 .................................................................................................................................16
题型六：三次函数的综合问题 .................................................................................................................................19
题型七：三次函数恒成立问题 .................................................................................................................................27
题型八：等极值线问题 .............................................................................................................................................31
03 过关测试 .........................................................................................................................................35
1、基本性质
设三次函数为： f (x) ax3 bx2 cx d ( a、b 、 c 、 d R 且 a 0 )，其基本性质有：
性质 1：①定义域为 R ．②值域为 R ，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．③单调性和图像：
a 0 a 0
0 0 0 0
图像
性质 2：三次方程 f (x) 0 的实根个数
由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三
次函数为例来研究根的情况，设三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0)
其导函数为二次函数: f (x) 3ax2 2bx c(a 0)，
判别式为：△= 4b2 -12ac 4(b2 - 3ac) ，设 f (x) 0 的两根为 x1 、 x2 ，结合函数草图易得：
(1) 若b2 - 3ac 0 ，则 f (x) 0 恰有一个实根；
(2) 若b2 - 3ac 0 ,且 f (x1) × f (x2 ) 0，则 f (x) 0 恰有一个实根；
(3) 若b2 - 3ac 0 ,且 f (x1) × f (x2 ) 0，则 f (x) 0 有两个不相等的实根；
(4) 若b2 - 3ac 0 ,且 f (x1) × f (x2 ) 0，则 f (x) 0 有三个不相等的实根.
说明:(1)(2) f (x) 0 含有一个实根的充要条件是曲线 y f (x) 与 x 轴只相交一次，即 f (x) 在 R 上为单
调函数（或两极值同号），所以b2 - 3ac 0 （或b2 - 3ac 0 ，且 f (x1) × f (x2 ) 0）;
(5) f (x) 0 有两个相异实根的充要条件是曲线 y f (x) 与 x 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以
b2 - 3ac 0 ，且 f (x1) × f (x2 ) 0 ;
(6) f (x) 0 有三个不相等的实根的充要条件是曲线 y f (x) 与 x 轴有三个公共点，即 f (x) 有一个极大
值，一个极小值，且两极值异号.所以b2 - 3ac 0 且 f (x1) × f (x2 ) 0 .
性质 3：对称性
1 b b（ ）三次函数是中心对称曲线，且对称中心是； (- ，f (- )) ；
3a 3a
（2）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2、常用技巧
（1）其导函数为 f (x) 3ax2
b
2bx c 0 对称轴为 x - ，所以对称中心的横坐标也就是导函数的
3a
对称轴，可见， y f (x) 图象的对称中心在导函数 y f x 的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时
也是二阶导为零的点；
（2） y f (x) 是可导函数，若 y f (x) 的图象关于点 (m,n) 对称，则 y f (x) 图象关于直线 x m
对称.
（3）若 y f (x) 图象关于直线 x m 对称，则 y f (x) 图象关于点 (m,0) 对称.
（4）已知三次函数 f x ax3 bx2 cx d 的对称中心横坐标为 x0 ，若 f x 存在两个极值点 x1 ， x2 ，
f x1 - f x2 a则有 - x 2- x 2 f x .
x1 - x
1 2
2 2 3
0
题型一：三次函数的零点问题
【典例 1-1】一般地，对于一元三次函数 f x ，若 f x0 0，则 x0 , f x0 为三次函数 f x 的对称中心，
已知函数 f x x3 ax2 1图象的对称中心的横坐标为 x0 （ x0 0），且 f x 有三个零点，则实数a的取值
范围是（ ）
33 2 3
A． - , - ÷÷ B． - ,0 C． -1,0
3 2
D． - , -1
è 2
2 ÷÷ è
【答案】A
3
【解析】由函数 f x x ax2 1求导得： f x 3x2 2ax ，则 f x 6x 2a ，
由 f x a0 6x0 2a 0解得 x0 - 0 ，则有 a<0，3
f x 3x(x 2a 2a ) 2a，当 x 0 或 x - 时， f x > 0，当 0 x - f x 03 3 3 时， ，
则 f x ,0 2a 2a在 - ， - , 3 ÷上单调递增，在 0, - 3 ÷上单调递减，è è
3
因此，当 x 0时， f x 取得极大值 f 0 1 x 2a，当 - 时， f x 2a 4a取得极小值 f (- ) 1，
3 3 27
因函数 f x 有三个零点，即函数 y f x 的图象与 x 轴有三个公共点，由三次函数图象与性质知，
ì f (0) 0

í 2a ，
f (- ) 0 3
4a3 3
于是得 1 0，解得 a 3 2 - ，
27 2
3
综上得： a 3 2 - ，
2
33 2
实数 a 的取值范围是 - , - 2 ÷÷
.
è
故选：A.
【典例 1-2】已知m，n， p R，若三次函数 f x x3 mx2 nx p 有三个零点a，b， c，且满足
f -1 f 1 3 ， f 0 f 2 2 1 1 1，则 的取值范围是（
a b c ）2
1 ,1 1A． ÷ B． ,
1 1 1 1 1
3 ÷
C． , ÷ D． , ÷
è è 4 3 è 4 2 è 3 2
【答案】D
3
【解析】∵ f -1 f 1 ， f 0 f 2 2
2
ì-1 m - n p 1 m n p ìn 1 0
\ í
p 8 4m
，即
2n p í 2m n 4 0
，

ì
m
3
-
得 í 2 ，代入得 f (x)
3
x3 - x2 - x p
2 ，
n -1
3
∵ f -1 ， f 0 2
2
ì 1 3 3 - - 1 p \ í 2 2 ，解得 2 p 3，
p 2
设三次函数的零点式为 f (x) (x - a)(x - b)(x - c)，
比较系数得 ab bc ca -1， abc - p ，
1 1 1 ab bc ca 1 1 1
故

,

a b c abc p 3 2 ֏
故选：D.
x3
【变式 1-1】已知三次函数 f (x) ax2 - 3a2x b(a 0)有两个零点，若方程 f [ f (x)] 0 有四个实数根，
3
则实数 a 的范围为（ ）
6 3 2 6 6 3 2
A． 0, ÷÷ B． 0, ÷÷ C． , D．8 8 ÷÷è 8
, ÷÷
è è è 8 8
【答案】C
【解析】 f (x) x2 2ax - 3a2 (a 0)一定有两零点a与-3a，所以只需 f (x) a或 f (x) -3a 共有四个根即
可．结合 f (x) 有两个零点，所以必有 f (a) 0或 f (-3a) 0．然后分两种情况结合函数图象讨论即可.由
f (x) x2 2ax - 3a2 (a 0)，则 f (x) 0得 x a或-3a
x3
三次函数 f (x) ax2 - 3a2x b(a 0)有两个零点，且程 f [ f (x)] 0 有四个实数根，
3
所以只需 f (x) a或 f (x) -3a 共有四个根即可，
ì f a 0 ì f a 0
所以 í f 3a 0 或 . -
í
f -3a 0
又方程 f [ f (x)] 0 有四个实数根，则 f (x) a或 f (x) -3a 共有四个根.
f x 在 - , -3a , a, 上单调递增，在 -3a, a 单调递减.
当 f a 0 5 3时，b a ，要满足条件，作出函数的大致图像.(如图①)
3
0 a f -3a 9a3 9a3 9a3 5则 ，即- a3 a 6，解得 a .
3 8
当 f -3a 0，得b -9a3，要满足条件，作出函数的大致图像.(如图②)
f a -3a 0 1 a3 a3 - 3a3 3 3 2则 ，即 - 9a -3a，解得 a .
3 8
a 6综上所述，当 时，方程 f [ f (x)] 0 有四个实数根.
8
故选：C
ì| 2x 1|, x 1
【变式 1-2】已知 f (x) í g(x)log (x 1), x 1， 为三次函数，其图象如图所示.若
y f g x - m有 9 个零
2 -
点，则m的取值范围是 .
【答案】0 m 1
ì
-2x -1, x
1
-
2
1
【解析】由题设 f (x)

í2x 1, - x 1，其图象如下，
2
log2 (x -1), x 1

当m (- ,0) ， y m与 f (x) 只有一个交点且 x (1, 2) ；
1
当m 0， y m与 f (x) 有两个交点且 x - 或 x 2；
2
当m (0,3) ， y m与 f (x) 有三个交点且 x ( 2,
1) 1- - (- ,1) (2,9)；
2 2
当m [3, )， y m与 f (x) 有两个交点且 x (- ,-2] [9, )；
由题图，要使 t g(x) ， y f (t) - m 有 9 个零点，则m (0,3) ， t (m - 3,m 2) ，且 f (t) m有
2 1- t1 - t2 1 2 t3 9，2
f (x) t m 1 - , t m -1 , t 2m根据 解析式： 1 2 1，2 2 3
ìm m 1 - 3 - m 2 ì 5 5- m
2
m 1 3 3 -
综上， ím - 3 m 2

2 ， 可得 í
-5 m 5 ，故0 m 1 .

m 3 2m 1 m 2 0 m 1 -
0 m 3 0 m 3
故答案为：0 m 1
1-3 f x x3 ax2【变式 】已知三次函数 bx c x 1在 = - 和 x 1处取得极值，且 f x 在 -1, f -1 处的
3
切线方程为 y kx 4 .
（1）若函数 g x f x - mx的图象上有两条与 x轴平行的切线，求实数m的取值范围；
（2）若函数 h x 2x2 8x n与 f x 在 -2,1 上有两个交点，求实数n的取值范围.
【解析】（1）Q f x 3x2 2ax b ,
f 1由题得 -

3 ÷
0 ,且 f 1 0 ,
è
ì1 2a
- b 0,
即 í3 3 解得 a -1 ,b = -1.
3 2a b 0,
于是 f -1 4 ,即 k 4 ,
故切线方程为 y 4x 4 .
因为切点在切线上,所以 f -1 4 -1 4 0 ,
将 -1,0 代入 f x ,解得 c 1 ,
\ f x x3 - x2 - x 1.
\ g x x3 - x2 - x 1- mx .
由题得 g x 3x2 - 2x -1- m 0有两个不相等的实根,
\ -2 2 - 4 3 -1- m 0 ,
解得m
4
- .
3
（2）由题得 h x f x 在 -2,1 上有两个不同的解,
即 n x3 - 3x2 - 9x 1在 -2,1 上有两个不同的解.
令F x x3 - 3x2 - 9x 1 , x -2,1 ,
则F x 3x2 - 6x - 9 ,
由F x 0得 x -1或 x 3 ,
由F x 0得-1 x 3 ,
因为 x -2,1 ,所以F x 在 -2, -1 上单调递增,在 -1,1 上单调递减,
\F x F -1 6max .
QF -2 -1, F 1 -10 ,
\F x -10min ,
由图象知-1 n 6 .
【变式 1-4】已知三次函数 f x 的零点从小到大依次为 m，0，2，其图象在 x=- 1处的切线 l 经过点 2,0 ，
则m （ ）
8 5 3
A．- B．-2 C．- D．-
5 3 2
【答案】B
【解析】由题意可设 f x ax x - m x - 2 a éx
3 - m 2 x2 2mxù , a 0 ，
f x a é3x2则 - 2 m 2 x 2mù ，
可得 f -1 -3a m 1 , f -1 a 4m 7 ，
即切点坐标为 -1, -3a m 1 ，切线斜率 k a 4m 7 ，
则切线方程为 y 3a m 1 a 4m 7 x 1 ，
代入点 2,0 得3a m 1 3a 4m 7 ，
且 a 0，得m 1 4m 7 ，解得m -2 .
故选：B.
题型二：三次函数的最值、极值问题
3 2
【典例 2-1】已知三次函数 f x x bx cx d ，其导函数为 f x ，存在 t 1,4 ，满足
f 2 - t f t f t 0．记 f x 的极大值为M ，则M 的取值范围是 ．
【答案】 0,32
【解析】因为 f 2 - t f t f t 0，
所以 t是 f x 的零点也是极值点，2 - t 也是 f x 的零点，
不妨设 f x x t - 2 (x - t)2，
故 f x (x - t)2 2 x t - 2 (x - t) x - t x - t 2x 2t - 4 x - t 3x t - 4 ，
因为 t 1, 4 - t，所以 t ，
3
故当 x t
4 - t
或 x 时， f x > 0， f x 单调递增，3
4 - t
当 x t 时， f x 0， f x 单调递减，
3
f x M f 4 - t 32可得 的极大值 ÷ (t -1)3，
è 3 27
因为 t 1,4 M 32，所以 (t -1)3 0,32 ．
27
故答案为： 0,32
f (x) 1 3 2 16【典例 2-2】已知三次函数 ax bx x c 无极值，且满足 a 2 8，则 a2 - b2 .3 b
【答案】12
【解析】由题设 f (x) ax2 2bx 1，则 4b2 - 4a 0，即 a b2 0 ，
a 16 16 16所以 2 b
2 2 2 b
2 × 2 8，当且仅当 a b
2 4时等号成立，
b b b
a 16 8 a 16又 ，故 8，可得
b2 b2 a b
2 4，
所以 a2 - b2 16 - 4 12 .
故答案为：12
a b c
【变式 2-1】已知三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a b)在 R 上单调递增，则 最小值为（
b a ）-
A 2 6 5． B 6 5 C 7 5 2 7 5． ． D．
2 3 2 3
【答案】D
【解析】Q f x 在 R 2上单调递增，\ f x 3ax 2bx c 0恒成立，
ì3a 0
\ b
2
í 2 ，\b a 0 4b -12ac ， 0 b
2 ≤3ac，\c 0，
3a
b2 1 b 1 b
2
×
a b c a b
\ 3a a 3
a ÷è ，
b - a b - a b -1
a
b 1 2
令 t 1 t t 1，设
a g t 3 t 1 ，t -1
1 t 2 t 1 2
则 3 1 t 3t 3 1 t -1
2 5 t -1 7
g t 1 7 × × × t -1 5 ，
t -1 3 t -1 3 t -1 3 è t -1 ÷
Q t 1，\t -1 0，\t -1
7 7
2 7 （当且仅当 t -1 ，即 t 1 7 时取等号），
t -1 t -1
g t 2 7 5
a b c 2 7 5
\ ，即 的最小值为 .
3 b - a 3
故选：D .
【变式 2-2】（多选题）定义：设 f x 是 f x 的导函数， f x 是函数 f x 的导数，若方程 f x 0有
实数解 x0 ，则称点 x0 , f x0 为函数 y f x 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐
点” 3 2就是三次函数图象的对称中心.已知函数 f x x ax - 3x b图象的对称中心为 0,3 ，则下列说法中
正确的有（ ）
A． a 0，b 3 B．函数 f x 的极大值与极小值之和为 6
C．函数 f x 有三个零点 D．函数 f x 在区间 -3,3 上的最小值为 1
【答案】AB
【解析】由题意，点 0,3 在函数 f x 的图象上，故 f 0 3 b 3；
f x x3 ax2 - 3x 3 f x 3x2 ''又 2ax - 3 f x 6x 2a .
''
由 f 0 0 2a 0，即 a 0 .故 A 正确；
f x x3所以 - 3x 3 2，所以 f x 3x - 3 .
由 f x 3x2 - 3 3 x 1 x -1 0 x -1或 x 1 .
所以 f x 在 - ,-1 和 1, 上单调递增，在 -1,1 上单调递减，
所以 f x 的极大值为 f -1 -1 3 3 5；极小值为 f 1 1- 3 3 1，
所以极大值与极小值之和为：5 1 6，故 B 正确；
因为函数的极小值 f 1 1 0，所以三次函数只有一个零点，故 C 错误；
又 f -3 -27 9 3 -15， f 3 27 - 9 3 21，
所以函数 f x 在 -3,3 上的最小值为-15，故 D 错.
故选：AB
3 2
【变式 2-3】（2024·全国·模拟预测）已知三次函数 f x 2x ax 6x 1的极小值点为b，极大值点为
2b，则 a b 等于（ ）
A． 4 2 B．-4 2
C．±4 2 D．±5 2
【答案】A
2
【解析】由题意，得 f x 6x 2ax 6，关于 x 的一元二次方程6x2 2ax 6 0的两根为 b，2b，
又极小值点为b，极大值点为 2b，所以 2b b，即b 0，
ì3b a - 2
由韦达定理得到 í 3 ，所以b - ， a -9b ，得到 a b -8b 4 2 ．
2b
2 1 2
故选：A．
【变式 2-4】（2024·江西新余·二模）已知三次函数的导函数 f (x) 3x2 - 3ax ， f (0) b ， a,b为实数.
(1)若曲线 y f (x) 在点 (a 1, f (a 1)) 处切线的斜率为 12，求a的值；
(2)若 f (x) 在区间[-1,1]上的最小值，最大值分别为-2 ，1，且1 a 2 ，求函数 f (x) 的解析式.
【解析】（1）由已知，三次函数的导函数 f (x) 3x2 - 3ax ，
曲线 y f (x) 在点 (a 1, f (a 1)) 处切线的斜率为 12，
由导数的几何意义 f (a 1) =12，∴ 3(a 1)2 - 3a(a 1) 12
∴ 3a 9 ,∴ a 3 .
（2）∵ f (x) 3x2 - 3ax , f (0) b
∴ f (x) x3
3
- ax2 b，
2
由 f (x) 3x(x - a) 0 得 x1 0 , x2 a ,
∵ x [-1,1]，1 a 2 ，
∴当 x [-1,0) 时， f (x) 0 ， f (x) 递增；
当 x (0,1]时， f (x) 0 ， f (x) 递减．
∴ f (x) 在区间[-1,1]上的最大值为 f (0)，
∵ f (0) b ，∴ b 1，
f (1) 1 3 3∵ - a 1 2 - a， f (-1) 1
3 a 3 - - 1 - a ，
2 2 2 2
∴ f (-1) f (1) ,∴ f (-1)是函数 f (x) 的最小值，
3 a 2 a 4∴ - - ,∴ ，
2 3
∴ f (x) x3 - 2x2 1.
题型三：三次函数的单调性问题
3 2
【典例 3-1】（2024·江西景德镇·一模）设三次函数 f x x bx cx (b，c 为实数)的导数为 f x ，设
2
g x f x - f x b，若 y g x 在 R 上是增函数，则 2 的最大值为 .c 9
2 -1
【答案】
2
3 2
【解析】Q f x x bx cx ,
\ f (x) 3x2 2bx c ，
\ g x f x - f x x3 (b - 3)x2 (c - 2b)x - c，
\ g (x) 3x2 2(b - 3)x c - 2b 0恒成立
\ 4(b - 3)2 -12(c - 2b) 0，
故b2 3c - 9，
b2 3c - 9
\ ，
c2 9 c2 9
令 c - 3 t ，
3c - 9 3t 3 3 2 -1
\ 2 c 9 (t 3)2 9 18 6 2 6 2 ，t 6
t
18
当且仅当 t t ，即 t 3 2 时等号成立，
2 -1
故答案为：
2
【典例 3-2】已知函数 f (x) ax3 bx (x R) .
（1）若函数 f (x) 的图象在点 x 3处的切线与直线 x 24y 1 0垂直，函数 f (x) 在 x 1处取得极值，求函
数 f (x) 的解析式.并确定函数的单调递减区间；
（2）若 a 1，且函数 f (x) 在[-1,1]上减函数，求b的取值范围.
【解析】（1）先对函数 f x 进行求导，根据 f ' 1 0 ， f ' 3 24确定函数的解析式，然后令 f x 0求
单调递减区间；（2 a 1 f x f ' x 3x2）将 代入函数 后对函数进行求导，根据 b 0在 -1,1 上恒成立转
化为b -3x2 在 -1,1 上恒成立求出b的值.
3
试题解析：（1）已知函数 f x ax bx x R ，\ f ' x 3ax2 b .
又函数 f x 图象在点 x 3处的切线与直线 c垂直，且函数 f x 在 x 1处取得极值，
\ f ' 3 27a b 24，
且 f ' 1 3a b 0，计算得出 a 1，b -3 .
\ f x x3 - 3x 令 f ' x 3x2 - 3 0得：-1 x 1，
所以函数的单调递减区间为 -1,1 .
（2 3）当 a 1时， f x x bx x R ，又函数 f x 在 -1,1 上是减函数，
\ f ' x 3x2 b 0 在 -1,1 上恒成立，
即b -3x2 在 -1,1 上恒成立，\b -3 .
当b -3时， f ' x 不恒为 0，\b -3 .
【变式 3-1】三次函数 f (x) mx3 - x在 (- , )上是减函数，则m的取值范围是（ ）
A．m 0 B．m 1 C．m 0 D．m 1
【答案】A
【解析】对函数 f (x) mx3 - x求导，得 f (x) 3mx2 -1
因为函数 f (x) 在 (- , )上是减函数，则 f (x) 0在R 上恒成立，
即3mx2 -1 0恒成立，
当 x2 0，即 x 0时，3mx2 -1 0恒成立；
1 1
当 x2 0，即 x 0时， x2 0 ，则3m 2 ，即3m x x2 ÷
，
è min
1
因为 2 0 ，所以3m 0 ，即m 0；x
又因为当m 0时， f (x) -x 不是三次函数，不满足题意，
所以m 0 .
故选：A．
题型四：三次函数的切线问题
【典例 4-1】（2024 3 2·新疆乌鲁木齐·一模）已知函数 f x ax bx cx d 在 R 上是增函数，且存在垂
c
直于 y 轴的切线，则 的取值范围是 .
a b
4 ù
【答案】 - , - ú U 0, è 3
【解析】由已知得： f x 3ax2 2bx c≥0恒成立且 f x 3ax2 2bx c = 0有解，
ì a 0
∴ íb2 3ac ,
c
①当b 0时，可得 c = 0 ,∴ 0 ,
a b
②当b 0时，b 3ac ,且 a 0,c 0 ,
c c 1
0,
a b a 3ac a a ,
3 ×
c c
③当b 0时，b - 3ac ,且 a 0,c 0 ,
c c 1

a b a - 3ac a a ,
- 3 ×
c c
a
令 t 0, ,
c
a
- 3 a× t 2 - 3t 3 é- , , t 2ê ÷ - 3t 0 ,c c 4
c 4
∴ - , -
ù
ú 0, ,a b è 3
c 4 ù
综上， - , -a b è 3 ú
0, ,
4
故答案为： - , -
ù U 0,
è 3 ú
【典例 4-2】（2024·江苏·模拟预测）贝塞尔曲线（Beziercurve）是应用于二维图形应用程序的数学曲线，
一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线.三次函数 f x 的图象是可由A ， B ，C ，D四点确定的贝塞
尔曲线，其中 A ， D在 f x 的图象上， f x 在点 A ， D处的切线分别过点 B ，C .若 A 0,0 ， B -1, -1 ，
C 2, 2 ，D 1,0 ，则 f x （ ）
A．5x3 - 4x2 - x B．3x3 - 3x
C．3x3 - 4x2 x D．3x3 - 2x2 - x
【答案】C
f x ax3 bx2【解析】设 cx d ，则 f x 3ax2 2bx c，
ì f 0 d 0
f 1 a b c d 0 ìa 3
b -4 3 2
由题意 í f 0 c -1- 0 k ，解得 íc 1 ，所以 f x 3x - 4x x . -1- 0 AB

2 - 0
d 0 f 1 3a 2b c k
2 -1 DC
故选：C.
【变式 4-1 3】已知函数 f x ax bx2 - 3x a,b R 在点 1, f 1 处的切线方程为 y 2 0．若经过点
M 2, m 可以作出曲线 y f x 的三条切线，则实数m的取值范围为 ．
【答案】 -6,2
【解析】∵ f x ax3 bx2 - 3x，∴ f x 3ax2 2bx - 3，
ì f 1 a b - 3 -2 ìa 1
根据题意得 í
f 1 3a 2b 3 0
，解得
- í b 0
，
∴ 3函数的解析式为 f x x - 3x，\ f (x) 3x2 - 3
3
设切点为 x0 , y0 ，则 y0 x0 - 3x0 ， f x0 3x20 - 3 2，故切线的斜率为3x0 - 3，
3
2 x0 - 3x0 - m 3
由题意得3x0 - 3 ，即 2x0 - 6x
2
0 6 m 0，x0 - 2
∵过点M 2, m m 2 可作曲线 y f x 的三条切线，
∴ 3方程 2x0 - 6x
2
0 6 m 0有三个不同的实数解，
∴ g x 2x3 2函数 - 6x 6 m有三个不同的零点．
由于 g (x) 6x2 -12x 6x(x - 2) ，
∴当 x 0 时， g (x) 0, g(x)单调递增，
当0 x 2时， g (x) 0, g(x)单调递减，
当 x 2时， g (x) 0, g(x)单调递增．
∴当 x 0时， g(x)有极大值，且极大值为 g(0) m 6；
当 x 2时， g(x)有极小值，且极小值为 g(2) m - 2．
ì 6 m 0
∵函数 g x 有 3 个零点，∴ í 2 m 0，解得-6 m 2． -
∴实数m的取值范围是 (-6,2)．
故答案为： (-6,2)
【变式 4-2】（2024·广东深圳·一模）已知函数 f x a x - x1 x - x2 x - x3 (a 0)，设曲线 y f x
在点 xi , f xi 处切线的斜率为 ki i 1,2,3 ，若 x1, x2 , x3均不相等，且 k2 -2，则 k1 4k3 的最小值为 ．
【答案】18
【解析】由于 f x a x - x1 x - x2 x - x3 (a 0)，
故 f x a é x - x1 x - x2 x - x2 x - x3 x - x3 x - x1 ù ，
故 k1 a x1 - x2 x1 - x3 , k2 a x2 - x3 x2 - x1 ， k3 a x3 - x1 x3 - x2 ，
1 1 1 1 1 1
则 k1 k2 k3 a x1 - x2 x1 - x3 a x2 - x3 x2 - x1 a x3 - x1 x3 - x2
x3 - x2 x1 - x3 x2 - x1 0
a x x ，1 - 2 x2 - x3 x3 - x1
1 1 1
由 k2 -2，得 k1 k3 2
，
由 k2 -2，即 k2 a x2 - x3 x2 - x1 0，知x2位于 x1, x3之间，
不妨设 x1 x2 x3，则 k1 0, k3 0，

k 4k 2 k 4k 1 1 2 5 k1 4k
k
故 ÷ 3 ÷ 2 5 2 1
4k3
1 3 1 3 × ÷÷ 18，è k1 k3 è k3 k1 è k3 k1
ì k1 4k

3
k3 k1
当且仅当 í ，即 k1 6, k3 3
1 1 1
时等号成立，

k1 k3 2
故则 k1 4k3 的最小值为 18，
故答案为：18
题型五：三次函数的对称问题
【典例 5-1】（2024·高三·广东珠海·开学考试）设函数 y f x 是 y f x 的导函数.某同学经过探究
3 2
发现，任意一个三次函数 f x ax bx cx d a 0 的图像都有对称中心 x0 , f x0 ，其中 x0 满足
f x 0 . f x x30 已知三次函数 2x -1，若 x1 x2 0，则 f x1 f x2 .
【答案】-2
【解析】由题意， f x 3x2 2， f x 6x，令 f x 6x 0解得 x 0，又 f 0 -1，故
f x x3 2x -1的对称中心为 0, -1 .故当 x1 x2 0时， f x1 f x2 2 -1 -2 .
故答案为：-2
【典例 5-2】（2024 3 2·全国·模拟预测）对于三次函数 f x ax bx cx d a 0 给出定义：设 f x 是
函数 y f x 的导数， f x 是 f x 的导数，若方程 f x 0有实数解 x0 ，则称点 x0 , f x0 为函数
y f x 的“拐点”，同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，
1 3 1 2 5
且拐点就是对称中心，若 f x x - x 3x -3 2 12 ，请你根据这一发现计算：
f 1 ÷ f
2 3 2023
÷ f ÷ L f

÷
è 2024 è 2024
（ ）
è 2024 è 2024
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】C
2
【解析】由题意可知 f x x - x 3，所以 f x 2x -1，令 f x 2x -1 0，则 x 1 ，
2
3
f 1 1 1 1 1
2
3 1 5 1 f x 1 ,1 所以 ÷ - - ，由题意可知函数 的对称中心为 ÷，
è 2 3 è 2 ÷ 2 2 ÷ ÷ è è 2 12 è 2
f 1 x f 1所以 ÷ - x
2
2 2 ÷ ，即
f x f 1- x 2，
è è
f 1 2023 2 2022 2023 1 所以 f f2024 ÷ 2024 ÷ ÷
f ÷ L f ÷ f ÷ 2，
è è è 2024 è 2024 è 2024 è 2024
2 é 1 2 所以 ê f ÷ f ÷ f
3 L f 2023 ù
2024 2024 2024 ÷ 2024 ÷ú è è è è
é f 1 f 2023 ù é f 2 f 2022 ù é L f 2023 ê f
1 ù
è 2024
÷
è 2024 ÷ú ê 2024 ÷ ÷ è è 2024 ú ê ÷ ÷ú è 2024 è 2024
2 2023 4046，
f 1 2 3 2023 1所以 ÷ f ÷ f ÷ L f ÷ 4046 2023 .
è 2024 è 2024 è 2024 è 2024 2
故选：C
【变式 5-1】设 f (x) 是函数 y f (x) 的导数，f (x )是 f (x) 的导数，若方程 f (x) 0有实数解 x0 ，则称点
x0 , f x0 为函数 y f (x) 的“拐点”．已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中
心．设 f (x) x3 - 6x2 5x 7 ，数列 an 的通项公式为 an 2n - 5，则 f a1 f a2 L f a6 （ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】C
2
【解析】由 f (x) x3 - 6x2 5x 7 ，得 f x 3x -12x 5, f x 6x -12 ，
由 f x 0 可得： x 2，
因为 f (2) 1
所以 f (x) 的图象关于点 (2,1) 对称，
所以 f (x) f (4 - x) 2，
因为 an 2n - 5，
所以 a1 -3, a2 -1,a3 1,a4 3,a5 5,a6 7，
所以 f (a1) f (a6 ) 2， f (a2 ) f (a5 ) 2， f (a3) f (a4 ) 2，
所以 f a1 f a2 L f a6 3 2 6，
故选：C
【变式 5-2】函数 y f (x) 的图象关于点P(a,b) 成中心对称图形的充要条件是函数 y f (x a) - b为奇函
3- 5 3 5
数．已知任意一个一元三次函数的图象均为中心对称图形，若 f (x) x3 - 3x2，则 f ÷÷ f3 3 ÷÷è è
的值为（ ）
A．－4 B．－2 C．0 D．2
【答案】A
【解析】设 f (x) x3 - 3x2的对称中心为P(a,b) ，
设 g(x) f (x a) - b (x a)3 - 3(x a)2 - b，
则 g(x)为奇函数，由题可知 g(-x) f (-x a) - b，且 g(-x) -g(x)，
所以 f (-x a) - b b - f (x a) ，即 f (-x a) f (x a) 2b ，
则 é (-x a)
3 - 3(-x a)2 ù é(x a)3 - 3(x a)
2
ù 2b，
整理得 (6a - 6)x2 2a3 - 6a2 - 2b 0，
ì6a - 6 0
所以 í a 1,b -2
2a
3 6a2 2b 0 ，解得 ，- -
所以函数 f (x) x3 - 3x2的对称中心为 (1, -2) ；
所以 f (-x 1) f (x 1) -4 ，

\ f 3- 5 f 3 5 f 5 5 ÷÷ ÷÷ 1- ÷÷ f3 3 3
1
3 ÷÷
-4．
è è è è
故选：A．
【变式 5-3 3 2】已知任意三次函数的图象必存在唯一的对称中心，若函数 f x x ax bx c，且
M x0，f x0 为曲线 y f x 的对称中心，则必有 g x0 0(其中函数 g x f x ).若实数m，n满足
ìm3 6m2 13m 10
í 3 2 ，则m n （ ）
n 6n 13n -30
A．-4 B．-3 C．-2 D． -1
【答案】A
【解析】令 f x x3 6x2 13x 2，则 f x 3x 12x 13，
令 h x 3x2 12x 13
h x 6x 12 0，
解得 x -2，
又 f -2 (-2)3 6 (-2)2 13 -2 -10．
\函数 f x 的图象关于点 -2，-10 成中心对称．
ìm3 6m2 13m 10
因为 ín3
，
6n
2 13n -30
所以 f m f n -20，
f x 3x2 12x 13 3 x 2 2又 1 0，
所以函数 f x x3 6x2 13x在R 上单调递增，
所以m n 2 -2 -4 .
故选：A．
题型六：三次函数的综合问题
【典例 6-1】若 a,b,c R，关于 x 2的一元二次方程 ax bx c 0 a 0 的两个根分别为 x1, x2 ，则方程可写成
a x - x1 x - x2 0，即 ax2 - a x1 x2 x ax
b c
1x1 0，容易发现根与系数的关系： x1 x2 - , x x ;若a 1 2 a
a,b,c, d R 3 2，设关于 x的一元三次方程 ax bx cx d 0 a 0 的三个非零实数根分别为 x1, x2 , x3，则
x21 x
2
2 x
2
3 .
b2 - 2ac
【答案】
a2
【解析】由题意可得：
ax3 +bx2 +cx+d =a(x- x1)(x- x2 )(x- x3)=a
2
éx - (x1+x2 )x+x1x2 ù (x- x3)
3 ，=ax - a(x1+x
2
2 +x3)x +a x1x2 +x2x3 +x1x3 x- ax1x2x3
由待定系数法可得：
x1+x2 +x
b
3 =- ，x x +x x +x x =
c x d，
a 1 2 2 3 1 3 a 1
x2x3 =- ,a
x2 +x2 +x2 =(x +x +x )2 - 2 x x +x x +x x =(- b )2 - 2 c b
2 - 2ac
则 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 3 = 2 ，a a a
2
x2 +x2 +x2 = b - 2ac所以 1 2 3 ，a2
b2 - 2ac
故答案为： 2 .a
1
【典例 6-2】（多选题）已知三次函数 f x ax3 x2 cx 有三个不同的零点 x1, x2 , x3 x1 x2 x3 ，函数27
g x f x -1 .则（ ）
A．3ac 1
B．若 x1, x2 , x3成等差数列，则 a -1,0 0,1
C．若 g x 1恰有两个不同的零点m,n(m n)，则 2m n -
3a
D．若 g x 有三个不同的零点 t1, t2 , t3 t1 t2 t x2 x2 2 2 23 ，则 1 2 x3 t1 t2 t 23
【答案】ABD

【解析】 f x
1 1
ax3 x2 cx 1 ， f x 3ax2 2x c ， a 0，对称中心为 - , f - ，对 A：因为
27 ÷÷è 3a è 3a
f x 有三个零点，所以 f x 必有两个极值点，所以Δ 4 -12ac 0，3ac 1，A 正确；
对 B，由 x1, x2 , x
1
3成等差数列，及三次函数的中心对称性可知 x2 - ，3a
f x f 1- 2 a
2 - 9ac
所以 2 ÷ 2 0，è 3a 27a
ac 1又 ，故 2 a23 9ac 3
，所以a2 1，所以 a -1,0 0,1 ，故 B 正确；
3 2 26
对 C： g x 0，即 ax x cx - 0，
27
若 g x 恰有两个零点，则m或n必为极值点；
若m 1为极值点，则该方程的三个根为m，m，n，由一元三次方程的韦达定理可知： 2m n - ；
a
若n 1为极值点，同理可得m 2n - ，故 C 错；
a
ìx x x t t t 1 1 2 3 1 2 3 -
对 D a：由韦达定理 í ，
x1x2 x2x3 x3x1 t
c
1t2 t2t 3
t3t1 a
2
得 x1 x2 x3 - 2 x1x2 x2x3 x
2
3x1 t1 t2 t3 - 2 t1t2 t2t3 t3t1 ，
2 2 2
即 x1 x2 x3 t
2
1 t
2
2 t
2
3 ，故 D 正确.
故选：ABD.
【变式 6-1 3 2】（多选题）下列关于三次函数 f x ax bx cx d a 0 x R 叙述正确的是（ ）
A．函数 f x 的图象一定是中心对称图形
B．函数 f x 可能只有一个极值点
b
C．当 x0 - 时， f x 在 x x0处的切线与函数 y f x 的图象有且仅有两个交点3a
b
D．当 x0 - 时，则过点 x0 , f x0 的切线可能有一条或者三条3a
【答案】AC
b b b
3 b 2 b
【解析】对于 A， f - x ÷ f - - x3a 3a ÷
a - x ÷ b - x ÷ c - x ÷ d
è è è 3a è 3a è 3a
3 2
a b b b - - x b - - x3a ÷ 3a ÷
c - - x3a ÷
d
è è è
b3 b 2
-2a 3 2 3 a
- ÷ x
2 2b b- 2bx2 2c b - ÷ 2d27a è 3a è 3a è 3a ÷
2b3 2b3 2bc 4b3 2bc
- 2 - 2d - 2d ，27a 9a2 3a 9a2 3a
故 f
b b
- x ÷ f - - x

÷为定值，故函数 f x 3a 3a 的图象一定是中心对称图形.è è
对于 B， f x 3ax2 2bx c，
若 f x 有极值点，则 f x 有变号零点，而 f x 的图像为抛物线，
故 4b2 -12ac 0，故 f x 有两个变号零点，
故 f x 有两个极值点，故 B 错误.
对于 C， f x 在 x x0处的切线方程为 y f x0 x - x0 f x0 ，
令F x f x - f x0 x - x0 - f x0 ，
则F x f x - f x0 3ax2 2bx c - f x0 ，当 x x0时，F x0 0，
所以F x f x - f x0 3a x - x0 x - x1 ，
b
因为 x0 - ，故 x0 x1 ，不妨设 a 0，3a
若 x0 x1，则当 x x0 或 x x1时，F x 0，当 x0 x x1时，F x 0，
故F x 在 - , x0 , x1, 上为增函数，在 x0 , x1 上为减函数，
而F x0 0 ，故F x1 0，
而 x 时，F x ，故F x 有两个不同的零点，
故 f x 的图像与切线 y f x0 x - x0 f x0 有且只有两个不同交点，
同理可得当 x0 x1时，故 f x 的图象与切线有且只有两个不同的交点，故 C 正确.
对于 D，过点 x0 , f x0 的切线的切点为 s, f s ，
由（2）的切线方程可得 f s f x0 s - x0 f x0 ，
故 f s - f x0 f x0 s - x0 ，
2 2
整理得到： s - x é0 a s sx0 x0 b s x0 cù f x0 s - x0 ，
故 s x0或 a s2 sx0 x20 b s x0 c f x0 ，
下面考虑 a s2 sx x20 0 b s x0 c f x0 的解，
2
整理得到： as ax0 b s - 2ax20 - bx0 0，
Δ ax b 2 8a2x20 0 4abx0 3ax
2
0 b 0，
而 ax20 ax0 b x0 - 2ax20 - bx0 0，
as2 ax b s - 2ax2故方程 0 0 - bx0 0有且只有一个异于 x0 的实数根，
过点 x0 , f x0 的切线有且只有两条，故 D 错误.
故选：AC.
【变式 6-2】（多选题）（2024·江苏·模拟预测）已知三次函数 f (x) ax3 bx2 cx -1，若函数
g(x) f (-x) 1的图象关于点（1，0）对称，且 g(-2) 0，则（ ）
A． a<0 B． g(x)有 3 个零点
C． f (x) 的对称中心是 (-1,0) D．12a - 4b c 0
【答案】ABD
【解析】由题设， g(x) -ax3 bx2 - cx，且 g(x) g(2 - x) 0，
所以 ax3 - bx2 cx a(2 - x)3 - b(2 - x)2 c(2 - x) 0 ，整理得 (3a - b)x2 2(b - 3a)x 4a - 2b c 0，
ì3a b
故 í ，可得b 3a,c 2a ，故 g(x) -ax(x -1)(x - 2)，
4a c 2b
又 g(-2) 24a 0，即 a<0，A 正确； g(x)有 3 个零点，B 正确；
由 g(x) g(2 - x) f (-x) 1 f (x - 2) 1 0，则 f (-x) f (x - 2) -2 ，所以 f (x) 关于 (-1,-1)对称，C 错误；
12a - 4b c 12a -12a 2a 2a 0，D 正确.
故选：ABD
【变式 6-3】给出定义:设 f (x) 是函数 y f (x) 的导函数，f (x )是函数 f (x) 的导函数，若方程 f (x) 0有
实数解 x x0，则称 x0 , f x0 )为函数 y f (x) 的“拐点”.
(1)经研究发现所有的三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0)都有“拐点”，且该“拐点”也是函数 y f (x) 的
图象的对称中心.已知函数 f (x) x3 bx2 - 9x a的图象的对称中心为 (-1,10)，讨论函数 f (x) 的单调性并求
极值.
(2)已知函数 g(x) 2mx3 6ln(mx) 18 5-15 x2 x - 2 1，其中m 0 .m m
（i）求 g(x)的拐点；
（ii）若 g x1 g x2 2 0 x1 x2 ，求证: x1 x
2
2 .m
【解析】（1） f (x) 3x2 2bx - 9， f (x) 6x 2b ，
由题意得 f (-1) 0，即-6 2b 0，解得b 3，
且 f (-1) 10 3，即 -1 3 -1 2 9 a 10，解得 a -1，
故 f (x) x3 3x2 - 9x -1，
f (x) x3 3x2 - 9x -1， f (x) 3x2 6x - 9，
令 f (x) 0 得 x 1或 x -3，令 f (x) 0 得-3 x 1，
故 f x 在 - ,-3 , 1, 上单调递增，在 -3,1 上单调递减，
故 f x 在 x -3处取得极大值，在 x 1处取得极小值，
故极大值为 f -3 -27 27 27 -1 26，极小值为 f 1 1 3- 9 -1 -6；
g(x) 2mx3 6ln(mx) 15 x2 18 5（2）（i） - x - 2 1，m m
由于m 0，mx 0，故 x 0，即 g x 的定义域为 0, ，
g (x) 6mx2 6x 2 6ln(mx) -15 x 18 ，
m
g (x) 12mx 6 12 2 6ln(mx) -15 12mx 12ln mx -12，
令 g (x) 0得，mx -1 ln mx 0，
令 h x x ln x -1， x 0，
1
则 h x 1 0在 0, 上恒成立，
x
故 h x x ln x -1在 0, 上单调递增，
又 h 1 0，由零点存在性定理知， h x x ln x -1有唯一的零点 x 1，
1
故mx 1，即 x 时，满足mx -1 ln mx 0，
m
x 1
1 2 15 18 5
当 时， g
m ÷
- - 1 1
è m
，
m2 m2 m2 m2
1
故 g x 的拐点为 ,1÷ ；
è m
（ii）由（i）可知， g (x) 12mx 12ln mx -12 在 0, 上单调递增，
又 g
1
m ÷
0，
è
1
故当 x 0, ÷时， g (x)
1
0 ，当 x ,

m m ÷ 时，
g (x) 0，
è è
故 g x 在 x 1 1 0, m ÷上单调递减，在 x , ÷ 上单调递增，è è m
其中 g
1 12 18 30
÷ - 0m m m m ，è
故 g x 0在 0, 上恒成立，故 g x 在 0, 上单调递增，
1
因为 g ÷ 1m ，
g x1 g x2 2 0 x1 x2 ，
è
1
故0 x1 x2，m
w x 2mx3 6x2 18 x 14设 - - 2 1，m m
2 18
则w x -6mx 12x - ，w x -12mx 12，
m
令w x -12mx 12 0 1，解得 x ，
m
w 1 2 6 18 14又 ÷ - 2 2 - 2 2 1 1m m m m m ，è
w x 2mx3 6x2 18 1故 - - x 14 2 1

的拐点为
m m
,1
m ÷ ，è
18 14 1
由（1）知，w x -2mx3 6x2 - x 1 2 关于 ,1m ÷ 中心对称，m m è
令j x g x w x 6ln(mx) - 9 x2 9 2 2 ，m
1
又 g x 的拐点为 ,1÷ ， g x1 g x2 2 0 x1 x2 ，
è m
要证明 x1 x
2
2 ，只需证明j x 的极值点左偏，m
故j x 6x 2 6ln(mx) - 9 x 12x é ln mx -1 ù，
x e当 时，j x 0 0 x e，当 时，j x 0，
m m
j x 0, e e 故 在 m ÷上单调递减，在 , m ÷上单调递增，è è
即证当j x3 j x
2e
4 时， x3 x4 ，m
不妨设 x3

0,
e
÷ , x
e
4

,

m m ÷，è è
令F x j x -j 2e x x 0, e - ÷，

m m ÷，è è
F x j x j 2e 2e则 - x
12x éln mx -1ù 12 ÷ - x ÷ éln 2e - mx -1ù
è m è m
12x éln mx -1
2eù 12 - x

÷ éln 2e - mx -1ùè m
12x éln mx - ln 2e - mx
24e
ù é ln 2e - mx -1 ù ，m
x 0, e F x 12x ln mx ln 2e mx 24e因为 ÷，所以 é - -è m
ù é ln 2e - mx -1ùm
12e
éln mx - ln 2e - mx
24e
ù é ln 2e - mx -1ùm m
12e
é ln mx ln 2e - mx - 2
12e
ù é ln -m2x2 2mex - 2ùm m
12e ìln é m2 x2 2e ù
ü 12e ì é e 2
- - x 2
ù ü
í ê ÷ú - 2 íln ê-m x - ÷ e
2 ú - 2
m è m m ê è m ú
12e
ln e2 - 2 0，m
F x j x -j 2e 所以 - x ÷在 x
e
m
0, ÷上单调递减，
è è m
F e 又 ÷ 0 ，故F x j x
2e e
-j
m
- x ÷ 0 在 x 0,m ÷上恒成立，è è è m
2e 2e
因为0 x
e
3 ，所以j x3 -j

m
- x3 ÷ 0，即j x3 j - x
è m è m 3 ÷
，

j x j x 2e因为 3 4 ，所以j x4 j - xm 3 ÷，è
其中j x e在 ,
2e
m ÷上单调递增，故
x
è 4
- x3，m
x x 2e 2故 3 4 ，故j x 的极值点左偏，所以 x1 x2 .m m
3 2
【变式 6-4】对三次函数 f x ax bx cx d , a 0，如果其存在三个实根 x1, x2 , x3，则有
x b c d1 x2 x3 - , x1x2 x2x3 x3x1 , x1x2x3 - .称为三次方程根与系数关系.a a a
(1)对三次函数 f x ax3 bx2 cx d ，设 g x f x ，存在 x0 R ，满足0 f x0 g x0 g x0 .证
明：存在 x1 x0 ，使得 f x a x - x1 x - x0
2
；
(2)称 f x 是 m, M 上的广义正弦函数当且仅当 f x 存在极值点 x1, x2 m, M ，使得
f x1 , f x2 f m , f M .在平面直角坐标系 xOy 中， A a,b 是第一象限上一点，设
f x b x a - x , g x x(a - x)2 - 4b .已知 g x 在 0, a 上有两根 x0 xx 3 .
（i）证明： f x 在 0, 上存在两个极值点的充要条件是 a3 27b；
（ii）求点A 组成的点集，满足 f x 是 x0 , x3 上的广义正弦函数.
【解析】（1）因为 f x0 0，所以不妨设 f x a x - x0 x - x1 x - x2 , a 0 ，
所以 g x f x a x - x0 x - x1 a x - x0 x - x2 a x - x1 x - x2 , a 0 ，
因为0 g x0 g x0 ，
所以 g x0 f x0 a x0 - x1 x0 - x2 0, a 0 ，
所以不妨取 x2 x0 满足题意，且此时必有 x1 x0 ，
否则若 x x0，则有 f x a x - x 30 ， g x f x 3a x - x0
2
， g x 6a x - x0 ，
而此时 g x0 6a x0 - x0 0与已知0 g x0 g x0 矛盾，
综上所述，存在 x1 x0 ，使得 f x a x - x1 x - x
2
0 .
（2）（i） A a,b 是第一象限上一点，所以 a 0,b 0，
f x x a b- x f x a 2x b -2x
3 ax2 - b
因为 ，所以 - -
x x2
, a 0,b 0 ，
x
设 h x -2x3 ax2 - b，则 h 0 -b 0，
而 x - 时， h x ， x 时， h x - ，
所以 h x -2x3 ax2 - b 0存在负根，
3 2
因为 f x 在 0, -2x ax - b上存在两个极值点，等价于方程 f x 0 在 0, 上有两个根，
x
3 2
等价于方程 h x -2x ax - b 0在 0, 上存在两个根，
注意到三次方程最多有 3 个根，
所以方程 h x -2x3 ax2 - b 0有一个负根，两个不同的正根，
而 h x -6x2 2ax ，
当0
a
x 时， h x -6x2 2ax 0， h x 单调递增，
3
x a当 2时， h x -6x 2ax 0 ， h x 单调递减，
3
h a 2a
3 a3 b a
3
所以当且仅当 ÷ - - - b 0，即当且仅当 3 ，
è 3 27 9 27
a 27b
综上所述，命题（i）得证；
（ii）容易验证， a3 27b时， g(x) 0 也恰好有两个正根 x0 , x3 ，
此时：由于对 x 0来说， f x 0等价于 2x3 - ax2 b 0， g x 0 x a - x 2等价于 - 4b 0，
所以对 x 0，如果 g x 0，
3 2
f a - x a - x a a - x -x a - xb
2
那么 ÷ - b 0，
è 2 4 4 4
x a - x3 , x a - x这意味着 01 ，2 2 2
然后，对两个不相等的正数u,v, f u - f v u - v éêa - u v
b
- ùú ， uv
所以 f (u) f (v)
b
当且仅当u v a，
uv
那么如果 t x1 或x2，就有 a - 2t x0 或 x3 ，故 f t g a - 2t ，
2
t a 2t b b b - t a - 2ta t a 2t
3 - at 2a b此时 - - at a - 2t t a ，- 2t t a - 2t t a - 2t
所以 f t f a - 2t ，
这意味着 f x0 f x2 , f x1 f x3 ，
m x -h x 2x3 2 a最后，由于 - ax b有一个极值点 x ，
3
a a
所以 x1, x2 都不等于 （ x1, x2 是不相等的正零点，同时该方程还有另一个负零点，但 只要是根就是二重的，3 3
a
所以 不可能是根），
3
这就说明 x1 x3 , x0 x2 ，
结合 f x 的单调性以及 f x0 f x2 , f x1 f x3 ，必有 x0 x1 x2 x3 ，
所以此时 f x 一定是广义正弦函数，
3
综上所述，满足题意的 A a,b | a 27b .
题型七：三次函数恒成立问题
【典例 7-1】已知 f x ax3 bx2 cx a,b,c R,a 0 ，若不等式 x × f x - a × f x 5对任意 x R 恒成立，
b - 2c
则 的取值范围为 .
a
é 5
【答案】 ê- ,

3 ÷
【解析】 f x 3ax2 2bx c，
由不等式 xf x - af x 5对"x R 恒成立，
可得 3a - a2 x3 2b - ab x2 c - ac x - 5 0 对"x R 恒成立，
由三次函数图像性质可知，若3a - a2 0 时，该不等式不可能恒成立，
∴ 3a - a2 0且 a 0，解得， a 3，
不等式可转化为bx2 2cx 5…0对"x R 恒成立，
ìb 0
∴ í
Δ 4c
2 - 20b 0，
∴ b…1 c2，
5
1 2
∴ b - 2c b - 2c c - 2c (c - 5)2 - 25 … 5 … 5- .
a 3 3 15 3
é 5
故答案为： ê- , ÷ . 3
【典例 7-2】若对于任意 x -1,1 3，存在b R ，使得 ax bx 1成立，则实数 a 的取值范围是 .
【答案】-4 a 4
3
【解析】由 ax bx 1可知-bx -1 ax3 -bx 1 ,设 f x ax3 , g x -bx 1 , h x -bx -1,作草图如下,
则由题意可知,对任意的 x -1,1 ,函数 f x ax3 的图像介于函数 g x 与函数 h x 的图形之间,由图像可知,
只需两条虚线函数介于函数 g x 与函数 h x 的图形之间即可.
3
又 f ' x ax - a 3ax2 , A 1,a ,设切点C x , ax3 00 0 ,则 3ax20 ,x0 -1
1 1 a 2
解得 x0 - ,即C

- , -

÷ ,所以直线 AC 的方程为2 8 y - a 3a
1
- ÷ x -12 ,即 y
3a
x a .同理可求得,直
è è 2 4 4
y 3a线BD的方程为 x
a
- .
4 4
又函数 g x 恒过定点 0,1 ,函数 h x 恒过定点 0, -1 .
a
故由图像观察可知, 1,解得-4 a 4 .4
故答案为：-4 a 4
【变式 7-1】已知 x＝2 是三次函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)的极值点，且直线 3x＋y－5＝0 与曲线
y＝f(x)相切与点(1，f（1）).
(1)求实数 a，b，c 的值；
(2)若 f(t)＝－1，f(s)＝5，求 f(t＋s)的值；
(3)若对于任意实数 x，都有 f(x2－2x＋4)＋f(x2＋λx)＞4 恒成立，求实数 λ 的取值范围.
【解析】（1） f (x) 3x2 2ax b，在3x y - 5 0中令 x 1得 y 2，即 f (1) 2，
ì f (2) 12 4a b 0 ìa -3

所以 í f (1) 3 2a b -3

，解得 íb 0 ；

f (1) 1 a b c 2 c 4
（2）由（1） f (x) x3 - 3x2 4 ，
f (x) 3x2 - 6x 3x(x - 2) ，
x 0 或 x 2时， f (x) 0 ，0 x 2时， f (x) 0 ，
f (x) 在 (- ,0)和 (2, ) 上递增，在 (0,2)上递减，
极大值为 f (0) 4，极小值为 f (2) 0，
f (s) -1 0， f (t) 5 4，因此 s, t 都是唯一的实数．
f (1 x) f (1- x) (1 x)3 - 3(1 x)2 4 (1- x)3 - 3(1- x)2 4
1 3x 3x2 x3 - 3(1 2x x2 ) 4 1- 3x 3x2 - x3 - 3(1- 2x x2 ) 4
4，
所以 f (x) 的图象关于 (1, 2) 对称，而 f (s) f (t) 4，
又 (s, -1)和 (t,5)都是 y f (x) 图象上唯一的点，
所以 s t 2，
f (s t) f (2) 0；
（3） x2 - 2x 4 (x -1)2 3 3，当且仅当 x 1时， x2 - 2x 4 3，
所以 f x2 - 2x 4 f 3 4 f 0 ，且 x 3时， f (x) 4 ，
由 f(x2－2x＋4)＋f(x2＋λx)＞4 恒成立，得 f (x2 - 2x 4) 4 - f (x2 lx)（*）,
又 y f (x) 的图象关于点 (1, 2) 对称，所以 f (2 - x) 4 - f (x)，
所以不等式（*）为 f (x2 - 2x 4) f (2 - x2 - lx)，
所以 x2 - 2x 4 2 - x2 - lx，所以 2x2 (l - 2)x 2 0恒成立，
(l - 2)2 -16 0，所以-2 l 6．
【变式 7-2】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知三次函数 f x ax3 bx2 cx a,b,c R .
（1）若函数 f x 过点 2,2 且在点 1, f 1 处的切线方程是 y 2 0，求函数 f x 的解析式；
（2）在（1）的条件下，若对于区间 -2,3 上任意两个自变量的值x1，x2，都有 f x1 - f x2 m，求出
实数m的取值范围.
【解析】（1）Q f x ax3 bx2 cx，
\ f x 3ax2 2bx c ，
ì f 2 8a 4b 2c 2

由题意知 í f 1 3a 2b c 0 ，

f 1 a b c -2
解得： a 1，b 0， c -3，
\ f x x3 - 3x .
2
（2）由（1）知 f x 3x - 3x ，
令 f x 0得 x ±1，
所以 f x 在 - , -1 和 1, 上分别单调递增，在 -1,1 上单调递减，
而 f -2 -2， f -1 2， f 1 = -2， f 3 18，
\在区间 -2,3 上 f x 18 f x -2min ， max ，
\对于区间 -2,3 上任意两个自变量x1，x2，
都有 f x1 - f x2 f x - f x 20max min ，
\m 20．
3 2
【变式 7-3】已知三次函数 f x x ax - 6x b，a，b R ，若函数 f x 的图象在 x 1处的切线方程为
12x 2y -1 0
（I）求函数 f x 的解析式；
（II）求函数 f x 的极小值；
（Ⅲ）若存在 x 0, ，使得3ln x f x 2m -1 成立，求实数 m 的取值范围.
【解析】（1）因为 f (x) 3x2 2ax - 6，直线12x 2y -1 0 的斜率为-6
3
所以 f 1 = - 6，\ a -
2
Q (1, 11当切点坐标为 - )，\ f (1)
11
- ，\b 1
2 2
\ f (x) x3 3- x2 - 6x 1
2
（2） f (x) 3x2 - 3x - 6，由 f (x) 0 可得 x 2或 x -1
由 f (x) 0 可得-1 x 2
所以 f (x) 在 - , -1 、 2, 上单调递增，在 -1,2 上单调递减
所以 f (x) 的极小值为 f 2 -9
（3）令 g(x) 3ln x - f (x)，则 g(x) 3ln x - 3x2 3x 6, x 0
\ 3 -6x2 3x 3 6(x -1)(x
1
)
g (x) - 6x 3 - 2
x x x
1
令 g (x) 0，则 x 1或 x -
2
当 x 1时， g (x) 0，函数 g(x)单调递减
当0 x 1时， g (x) 0，函数 g(x)单调递增
所以函数 g(x)在 (0, )内取得最大值 g 1 6
Q存在 x (0, )，使得3ln x…f (x) 2m -1 成立
即使得3ln x - f (x)… 2m -1 成立
\ 2m -1 6 \ 5 m 7- 2 2
题型八：等极值线问题
【典例 8-1】设函数 f x x -1 3 - ax - b x R ，其中 a，b 为实常数．
(1)若 a 3，求 f x 的单调区间；
(2)若 f x 存在极值点 x0 ，且 f x1 f x0 其中 x1 x0 ．求证： x1 2x0 3；
【解析】（1）由 f x x -1 3 - 3x - b ，可得 f x 3 x -1 2 - 3．
令 f x 3 x -1 2 - 3 0得 x 2或 x 0 ，所以 f x 的单调递增区为[2, )， (- ,0]，
令 f x 3 x -1 2 - 3 0得0 x 2，所以 f x 的单调递减区为 (0,2)；
（2）证明：因为 f x ＝ x -1 3 - ax - b，所以 f x 3 x -1 2 - a ，
当 a 0时， f x 3 x -1 2 - a 0 ，所以 f x 的增区间是 - , ，
当 a 0时，令 f x 3 x -1 2 - a 0，得 x 1 3a 3a 或 x 1- ，
3 3
x 1 3a 3a当 - 或 x 1 时， f x > 0，
3 3
1 3a当 - x 1 3a 时， f x 0，
3 3
3a 3a f x ,1 , 1 , 1 3a 3a

所以 的增区间是 - - ÷÷ ，减区间是 - ,1 ，
è 3 è 3 ÷
÷ 3 3 ÷÷ è
因为 f x 存在极值点，所以 a 0，且 x0 1，
由题意，得 f x 20 3 x0 -1 - a 0，
x 2 a 2a a即 0 -1 ，进而 f x0 - x0 - - b，3 3 3
又 f 3- 2x0 2 - 2x
3
0 - 3 3- 2x0 x0 -1
2 - b x -1 20 8 -8x0 - 9 6x0 - b
x 2 a0 -1 -2x0 -1 - b -2x
2a a
0 -1 - b - x0 - - b，3 3 3
即为 f 3- 2x0 f x0 f x1 ，即有3- 2x0 x1，即为 x1 2x0 3；
【典例 8-2】设函数 f x x -1 3 - ax b， x R ，其中a、b R .
(1)求 f x 的单调区间；
(2)若 f x 存在极值点 x0 ，且 f x1 f x0 ，其中 x1 x0 ，求 x1 2x0的值.
【解析】（1）因为函数 f x x -1 3 - ax b， x R ，其中a、b R ，
则 f x 3 x -1 2 - a 3x2 - 6x 3- a，则 36 - 4 3- a 24 4a .
①当 a 0时，对任意的 x R ， f x 0且 f x 不恒为零，
此时，函数 f x 的递增区间为 - , ；
②当 a 0时， 24 4a 0 f x 0 3- 3a 3 3a，由 可得 x ，
3 3
由 f x > 0 x 3- 3a x 3 3a可得 或 ，
3 3

此时函数 f x 3- 3a 3 3a 3- 3a 3 3a的增区间为 - , 3 ÷÷ 、 , ÷÷，减区间为3 , ÷÷ .è è è 3 3
综上所述，当 a 0时，函数 f x 的递增区间为 - , ；
3- 3a f x , 3 3a
3- 3a 3 3a
当 a 0时，函数 的增区间为 - ÷÷ 、 , 3 3 ÷÷，减区间为
,
3 3 ÷÷
.
è è è
（2）因为函数 f x 存在极值点，由（1）可知， a 0且 x0 1，
由题意可得 f x0 3 x0 -1
2 - a 0，可得 a 3 x 20 -1 ，
由 f x1 f x0 且 x1 x0 ，
3 2
可得 x1 - 3x1 3x1 -1- ax1 b x
3
0 - 3x
2
0 3x0 -1- ax0 b，
x - x x2 2即 1 0 1 x0x1 x0 - 3x1 - 3x2 3- a 0，
即 x21 x0x
2 2
1 x0 - 3x1 - 3x0 3- 3 x0 - 2x0 1
x2 x x - 2x21 0 1 0 - 3x1 3x0 x1 - x0 x1 2x0 - 3 0，
所以， x1 2x0 3 .
【变式 8-1】设函数 f (x) x3 - 3x2 (3- a)x b -1， x,a,b R．
(1)求 f (x) 的单调区间；
(2)若 f (x) 存在极值点 x0 ，且 f x1 f x0 ，其中 x1 x0 ，求证： x1 2x0 3．
【解析】（1）由 f x 求导，可得 f (x) 3x2 - 6x 3- a 3(x -1)2 - a ．
下面分两种情况讨论：
① 当 a 0时，有 f (x) 0恒成立，所以 f x 的单调递增区间为 (- , )；
② 当 a 0时，令 f (x) 0 a，解得 x 1± ．
3
当 x 变化时， f (x) ， f x 的变化情况如下表：
a a a a ,1 1 ,1 a 1 a

x - - ÷÷ 1- - ÷÷ 1 ,
è 3 3 è 3 3 ÷
÷
3 è 3
f (x) 0 - 0
f x 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增

所以 f x a a的单调递减区间为 1- ,1 3 3 ÷÷，è
a a
单调递增区间为 - ,1- 3 ÷÷
， 1 , 3 ÷÷
．
è è
综上：当 a 0时， f x 的单调递增区间为 (- , )，

当 a 0时，所以 f x a a a a的单调递减区间为 1- ,1 ÷÷，单调递增区间为 - ,1- ÷÷ ， 1 , 3 3 3 3 ÷÷．è è è
（2）因为 f x 存在极值点，所以由（1）知 a 0，且 x0 1，
2 a
由题意，得 f x 3 x -1 - a 0，即 (x -1)2 ， f (x) (x -1)30 0 0 - ax b ，3
f x x 1 3 ax b 2 ax 1进而 0 0 - - 0 - 0 - a b．3 3
又 f 3- 2x0 2 - 2x0
3 - a 2 - 2x b 80 a 1- x0 2ax0 - 3a b3
2 ax 1 - 0 - a b f x0 ，且3- 2x3 3 0
x0 ．
由题意及（1）知，存在唯一实数满足 f x1 f x0 ，且 x1 x0 ，
因此 x1 3 - 2x0，所以 x1 2x0 3．
【变式 8-2】设 a 0，已知函数 f (x) (x - 2)3 - ax ．
(1)若 f 3 1，求实数 a 的值；
(2)求函数 y f (x) 的单调区间；
(3)对于函数 y f (x) 的极值点 x0 ，存在 x1 x1 x0 ，使得 f (x1) f (x0 )，试问对任意的正数 a， x1 2x0是
否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【解析】（1）由 f (x) (x - 2)3 - ax ， x R ，求导得 f (x) 3(x - 2)2 - a ，则由 f 3 3- a 1，解得 a 2，
所以实数 a 的值是 2 .
（2） a 0，由 f (x) 3(x - 2)2 - a 0 x 2 a x 2 a，解得 - 或 ，
3 3
x 2 a当 - 或 x 2 a 时， f (x) 0 ，函数 f (x) 单调递增，
3 3
当 2 a a- x 2 时， f (x) 0 ，函数 f (x) 单调递减，
3 3
所以函数 f (x)
a a a a
单调递增区间是 (- , 2 - )， (2 , ) ，递减区间是 (2 - , 2 ) .
3 3 3 3
（3）因为函数 f (x) 存在极值点 x0 ，由（2）知： a 0，且 x0 2，
f (x ) (x - 2)3因为 0 0 - ax0， f (x1) (x
3
1 - 2) - ax1，又 f (x1) f (x0 )，
得 (x1 - 2)
3 - ax1 (x0 - 2)
3 - ax (x - x 20 ，即 1 0 )[(x1 - 2) (x1 - 2)(x
2
0 - 2) (x0 - 2) - a] 0，
2
因为 x1 x0 ，则 (x1 - 2) (x1 - 2)(x0 - 2) (x0 - 2)
2 - a 0 ，
f (x ) 3(x - 2)2依题意， 0 0 - a 0，即 a 3(x0 - 2)
2
，
2
因此 (x1 - 2) (x1 - 2)(x0 - 2) - 2(x
2
0 - 2) 0，即[(x1 - 2) - (x0 - 2)][(x1 - 2) 2(x0 - 2)] 0，
亦即 (x1 - x0 )(x1 2x0 - 6) 0，而 x1 x0 ，因此 x1 2x0 - 6 0 ，
所以对任意的正数 a， x1 2x0为定值 6.
1．以下四图都是同一坐标系中某三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0)及其导函数的图象，其中可能正确
的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】易知 f (x) 3ax2 2bx c，它是二次函数，图象为抛物线，
A 错，二次函数的两个零点都应是原函数的极值点，A 图中不全是；
B 正确，二次函数的两个零点是原函数的极值点，单调性也相符；
C 错，二次函数的两个极值点间原函数应为减函数，图象有一部分是增函数，极值点也不正确；
D 错，二次函数的两个零点才是原函数的极值点，D 图中不全是．
故选：B．
2．人们在研究学习过程中，发现：三次整式函数 f (x) 都有对称中心，其对称中心为 (x0 , f (x0 ))（其中
f ''(x0 ) 0）.已知函数 f (x) x3 - 3x2 4x 5 .若 f (m) 4, f (n) 10，则m n （ ）
3
A．1 B． C． 2 D．3
2
【答案】C
【解析】由题意得, f '(x) 3x2 - 6x 4 , f ''(x) 6x - 6 ,令 f ''(x) 0，解得： x 1，
所以函数 f (x) 的对称中心为： 1,7 ，又 f (m) f (n) 14，所以m n 2 .
故选：C
3．（2024 3 2 3 2·全国·一模）已知三次函数 f (x) a1x b1x c1x d ， g(x) a2x b2x c2x d (a1a2 0) ，且
f (x) 有三个零点.若三次函数 p(x) 3 f (x) g(x) 和 q(x) f (x) - g(x) 均为R 上的单调函数，且这两个函数的
导函数均有零点，则 g(x)零点的个数为（ ）
A．1个 B． 2个 C．3个 D． 2个或3个
【答案】A
ì
ì p(x) 3 f (x) g(x) f (x)
p(x) q(x)


í 4【解析】由
q(x) f (x) - g(x)
可得 í
g(x) p(x) 3q(x)
，
-

4
因为三次函数 p x 3 f x g x 和 q x f x - g x 均为R 上的单调函数，且这两个函数的导函数均有
零点，
所以这两个函数的导函数必为完全平方式，
设 p x m x - n 2 q x m x - n 21 1 ， 2 2 ，
\ f x 1 1 é p x q x ù é m1 x - n
2 m x - n 2 ù1 2 2 ，4 4
Q f x 有三个零点，\ f x 不单调，即 f x 必有两个不相等的实数根，
\m1m2 0，
Q g x 1 é p x - 3q x
1
ù ém x - n 2 - 3m x - n 2 ù 1 1 2 2 ，且m1 与-3m2同号，\ g x 不可能有两个不相4 4
等的实数根，故 g x 单调，
由于当 x趋向于正无穷时， y x3趋向于正无穷的增长速率远远大于 y = x2 和 y x 趋向于正无穷的增长速
率；当 x趋向于负无穷时， y x3趋向于负无穷的增长速率远远大于 y = x2 趋向于正无穷和 y x 趋向于负
无穷的增长速率；
故当 x趋向于正无穷和负无穷时，三次函数两侧都趋向于无穷，且异号，
所以三次函数 g x 必有零点，故 g x 有唯一零点
故选：A
4．（多选题）（2024·贵州·模拟预测）定义：设 f (x) 是 f (x) 的导函数， f x 是函数 f (x) 的导数，若方
程 f (x) 0有实数解 x0 ，则称点 x0 , f x0 为函数 y f (x) 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都
有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数 f (x) x3 bx2 - x a图象的对称中心为( 0, 1)，
则下列说法中正确的有（ ）
A． a 1，b 0 B．函数 f (x) 的极大值与极小值之和为 2
C．函数 f (x) 有三个零点 D． y f (x) 在区间( 0, 1)上单调递减
【答案】AB
【解析】由 f (x) x3 bx2 - x a 2 ''，可得 f x 3x 2bx -1， f x 6x 2b，
f '' x 6x 2b 0 x b令 ，得 - ，
3
因为函数 f (x) x3 bx2 - x a图象的对称中心为 0,1 ，
ì b
- 0
因此 í 3 ，解得 a 1，b 0，故选项 A 正确；
f (0) 1
2
由以上过程可知 f (x) x3 - x 1， f x 3x -1，
x 3 x 3 f x 0 3 x 3且当 - 或 时， ；当- 时， f x 0 .
3 3 3 3
3 3 3 3
于是 f (x) 在 - , - ÷÷和 , 上都是增函数，在 - , 上是减函数，
è 3 è 3
÷÷
è 3 3 ÷
÷

故选项 D 错误；
因为 f (x) x3 - x 1关于点 0,1 对称，
所以 f (x) 的极大值与极小值之和为 2，故选项 B 正确；
3 9 - 2 3
因为函数 f (x) 极小值 f 3 ÷÷
0，
è 9
由三次函数的性质知， f (x) 只有一个零点，所以选项 C 错误，
故选：AB.
5．（多选题）经研究发现：任意一个三次多项式函数 f x ax3 bx2 cx d a 0 的图象都只有一个对称
中心点 x0 , f x0 ，其中 x0 是 f x 0的根， f x 是 f x 的导数， f x 是 f x 的导数．若函数
f x x3 ax2 x b x e图象的对称点为 -1,2 ，且不等式 e - mx (ln x 1) é f x - x3 - 3x2 eù e x 对任意
x 1, 恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A 1． a 3 B．b 1 C．m的值可能是-e D．m的值可能是 - e
【答案】ABC
2
【解析】由题意可得 f -1 -1 a -1 b 2，因为 f x 3x 2ax 1，所以 f x 6x 2a ，所以
f -1 -6 2a 0，
a 3,b 1 f x x3 3x2解得 ，所以 x 1．
-e x
x
因为 x 1，所以 e - mxe (ln x 1) é f x - x3 - 3x2 eù xe x e - x 1 em 等价于 对任意 x 1, 恒成ln x 1
x-eex - x 1 e
立．令j(x) ，则m j(x)min .
ln x 1
g x ex设 - x -1 x 0 ，则 g x ex -1 0，从而 g x 在 0, 上单调递增．因为 g 0 0，所以
g x 0，即 ex x 1，
-e
则 x-eex eln x x x - e ln x 1（当且仅当 x e时，等号成立），
x-eex - x 1 e -e ln x - e
从而j(x) -e ，所以m -e ．
ln x 1 ln x 1
故选：ABC．
6．（多选题）定义：设 f (x) 是 f (x) 的导函数，f (x )是函数 f (x) 的导数，若方程 f (x) 0有实数解 x0 ，
则称点 (x0 , f (x0 ))为函数 y f (x) 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次
. f (x) ax3 2
5
函数图象的对称中心 已知函数 bx (ab 0)的对称中心为 (1,1) ，则下列说法中正确的有（
3 ）
1
A． a ，b = -1
3
B．函数 f (x) 既有极大值又有极小值
C．函数 f (x) 有三个零点
D．过 (-1,
1)可以作三条直线与 y f (x) 图象相切
3
【答案】AB
【解析】由 f (x) ax3 bx2
5
，求导得 f (x) 3ax2 2bx， f (x) 6ax 2b，
3
b 3 2 5
令 f (x) 0，得 x - ，由函数 f (x) ax bx 的对称中心为 (1,1) ，
3a 3
b 5 1
得- 1，且 f (1) a b 1，解得 a ,b -1，A 正确；
3a 3 3
于是 f (x)
1
x3 5- x2 ， f (x) x2 - 2x x(x - 2)，
3 3
当 x 0 或 x 2时， f (x) 0 ，当0 x 2时， f (x) 0 ，
则函数 f (x) 在 (- ,0)， (2, ) 上都单调递增，在 (0,2)上单调递减，
5 1
因此函数 f (x) 既有极大值 f (0) ，又有极小值 f (2) ，B 正确；
3 3
1
由于极小值 f (2) 0 ，因此函数 f (x) 不可能有三个零点， C 错误；
3
显然 f (
1 1
-1) ，若 (-1, ) 1是切点，则 f -1 3，切线方程为 y - 3(x 1)；
3 3 3
若 (-1,
1) 1 1 3 2 5不是切点，设过点P(-1, ) 的直线与 y f (x) 图象相切于点Q(x0 , x0 - x0 )3 3 ， x0 1，3 3
1 x30 - x
2 5 1
0 - 1 1
由 f (x ) x 2 - 2x 3 3 3 ，解得 x0 2 ，即切点Q(2, )3 ，切线方程为
y ，
0 0 0 x - (-1) 30
过 (-1,
1) 只可以作两条直线与 y f (x) 图象相切，D 错误.
3
故选：AB
7．（多选题）定义：设 f x 是 f x 的导函数， f x 是函数 f x 的导数，若方程 f x 0有实数解
x0 ，则称点 x0，f x0 为函数 y f x 的“拐点”．经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就
1 3 2 5
是三次函数图像的对称中心． 已知函数 f x x ax bx 的对称中心为 1,1 ，则下列说法中正确
3 3
的有（ ）
A． a -1,b 0 B．函数 f x 既有极大值又有极小值
C．函数 f x 有三个零点 D．对任意 x R ，都有 f 1- x + f x =1
【答案】AB
2
【解析】由题意可知 f x x 2ax b ， f x 2x 2a ，
ì f 1 1 1 a b 5 ìa -1
而 í 3 3 íb 0 ，故 A 正确； f 1 0 2 2a

f x 1 x3 2 5 2此时 - x ， f x x - 2x x x - 2 ，
3 3
显然 x 2或 x 0 时， f x > 0，则 f x 在 - ,0 , 2, 上单调递增，
x 0,2 时， f x 0，即 f x 在 0,2 上单调递减，所以 f x 在 x 0时取得极大值，在 x 2时取得极
小值，故 B 正确；
易知 f 0 5 0, f -2 -5 0, f 2 1 0，
3 3
结合 B 结论及零点存在性定理可知 f x 在 -2,0 存在一个零点，故 C 错误；
易知 f 1 f 0 5 1 1，故 D 错误.
3
故选：AB
8 3 2．（多选题）已知三次函数 f x x bx cx d 有三个不同的零点 x1, x2 , x3 x1 x2 x3 ，若函数
g x f x -1也有三个不同的零点 t1, t2 , t3 t1 t2 t3 ，则下列等式或不等式一定成立的有（ ）
A．b2 3c B． t3 x3
C． x1 x2 x3 t1 t2 t3 D． x1x2x3 - t1t2t3 1
【答案】BC
【解析】 f x = 3x2 + 2bx + c ，因为原函数有三个不同的零点，则 f x 0有两个不同的实根，
即3x2 2bx c 0 ，则Δ 4b2 -12c 0，即b2 3c ，所以 A 错误；
因为三次函数 f x x3 bx2 cx d 有三个不同的零点 x1, x2 , x3 x1 x2 x3 ，
x3所以 bx2 cx d x - x1 x - x2 x - x3 x3 - x1 x2 x 23 x x1x2 x2x3 x1x3 x - x1x2x3 0 ，
所以 x1 x2 x3 -b, x1x2x3 -d ，
同理 t1 t2 t3 -b, t1t2t3 1- d ，
所以 x1 x2 x3 t1 t2 t3, x1x2x3 - t1t2t3 -1，故 C 正确，D 错误；
由 f x 的图象与直线 y 1的交点可知 t3 x3 ，B 正确．
故选：BC．
9．（多选题）对于三次函数 f x ax3 bx2 cx d a 0 ，给出定义： f x 是函数 y f x 的导数，
f x 是函数 f x 的导数，若方程 f x 0有实数解 x0 ，则称 x0 , f x0 为函数 y f x 的“拐点”.某同
学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.
若函数 f x 2 x3 49 - x2 -12x ，则下列说法正确的是（ ）
3 6
f x 137A． 的极大值为
6
B． f x 有且仅有 2 个零点
1 ,2 C．点 ÷是 f x 的对称中心
è 2
f 1 f 2 f 3 ××× f 2023 D． ÷ ÷ ÷ ÷ 4046
è 2024 è 2024 è 2024 è 2024
【答案】ACD
f x 2 x3 x2 12x 49 2【解析】由函数 - - ，可得 f x 2x - 2x -12 2(x - 3)(x 2) ，
3 6
令 f x > 0，解得 x<- 2或 x 3；令 f x 0，解得-2 x 3，
所以函数 f x 在 (- , -2)上单调递增，在 (-2,3)上单调递减，在 (3, )单调递增，
当 x -2时， f x f 2 137取得极大值，极大值为 - ，所以 A 正确；
6
又由极小值 f 3 113 - 0，且当 x - 时， f x - ，
6
当 x 时， f x ，所以函数 f x 有 3 个零点，所以 B 错误；
f x 2x2由 - 2x -12，可得 f x 4x - 2，令 f x 0 1，可得 x ，
2
f (1) 2 (1 1 )3 - ( )2 12 1 49- 2
1
又由 ，所以点 , 2

÷是函数 f x 的对称中心，2 3 2 2 2 6 è 2
所以 C 正确；
1
因为 , 2÷是函数 f x 的对称中心，所以 f x f (1- x) 4，
è 2
S f 1 f 2 f 3 ××× f 2023 令 2024 ÷ 2024 ÷ 2024 ÷ 2024 ÷，è è è è
2023 2022 2021 1
可得 S f
f f ÷ ÷ ÷ ××× f

è 2024 ÷
，
è 2024 è 2024 è 2024
2S [ f 1 f 2023所以 ÷

] [ f
2 2022 3 2021 f ] [ f f ]
è 2024 è 2024 ÷ 2024 ÷ 2024 ÷ ÷ ÷ è è è 2024 è 2024
××× [ f 2023 1 ÷ f

÷] 4 20232024 2024 ，è è
1 2 3 2023
所以 S 4046

，即 f 2024 ÷
f 2024 ÷
f ××× f2024 ÷ 2024 ÷
4046，
è è è è
所以 D 正确.
故选：ACD.
10 2024 f x ax3．（多选题）（ ·山西晋中·二模）对于三次函数 bx2 cx d a 0 ，给出定义：设
f x 是函数 y f x 的导数， f x 是函数 f x 的导数，若方程 f x 0有实数解 x0 ，则称 x0 , f x0
为函数 y f x 的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有
1 3 1 2
对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数 f x x - x x b b R ，则（ ）
3 2
A． f x 一定有两个极值点
B．函数 y f x 在 R 上单调递增
C．过点 0,b 可以作曲线 y f x 的 2 条切线
7 f 1 f 2 f 3b L
2022
f D．当 时， ÷ ÷ 202212 è 2023 è 2023 è 2023 ÷ ÷ è 2023
【答案】BCD
2
【解析】由题意知 f x x - x 1， 1- 4 -3 0， f x > 0恒成立，
所以 f x 在 R 上单调递增，没有极值点，A 错误，B 正确；
1 3 1 2
设切点为 m, m - m m b

÷，则 k f m m2 - m 1
è 3 2
，

y 1切线方程为 - m
3 1- m2 m b m2÷ - m 1 x - m ，
è 3 2
代入点 0,b 1 m3 1得- m2 - m -m3 m2 - m，
3 2
2 m3 1即 m2 ，解得m 0 m
3
或 4 ，3 2
13
所以切线方程为 y x b或 y x b ，C 正确；
16
易知 f x 2x -1 1，令 f x 0，则 x ．
2
b 7 1当 时， f ÷ 0
1 1
2 ，
f ÷ 1，所以点 ,1÷是 f x 的对称中心，12 è è 2 è 2
f 1所以有 - x
f 1÷ x

÷ 2，即 f x f 1- x 2．
è 2 è 2
S 1 2 3 2022令 f
f ÷ ÷ f

÷ L f

2023 2023 2023 2023 ÷
，
è è è è
S f 2022 f 2021 f 2020 1又 ÷ ÷

÷ L f

è 2023 è 2023 2023 ÷
，
è è 2023
2S é 1 f 2022 ù é 2 2021 ù所以 ê ÷ f ÷ú ê f ÷ f ÷ú L
é
f 2022 1 f ùê ÷ ÷ú 2022 2 4044 ，
è 2023 è 2023 è 2023 è 2023 è 2023 è 2023
所以 S 2022，D 正确．
故选：BCD.
11．（多选题）（山东省枣庄市 2024 届高三第二次模拟考试数学试题）已知函数 f x x -1 3 - ax - b 1，
则下列结论正确的是（ ）
A．当 a 3时，若 f x 有三个零点，则 b 的取值范围为 -4,0
B．若 f x 满足 f 2 - x 3- f x ，则 a b -1
C．若过点 2, m 可作出曲线 g x f x - 3x ax b的三条切线，则-5 m -4
D．若 f x 存在极值点 x0 ，且 f x0 f x1 ，其中 x0 x1 ，则 x1 2x0 3
【答案】ACD
3 3
【解析】对于 A ， f x x -1 - ax - b 1，当 a 3时， f x x -1 - 3x -b 1，
\f x 3 x -1 2 - 3，
令 f x 0，解得 x 0或 x 2，
f x 在 - ，0 上单调递增，在 0,2 上单调递减，在 2, 上单调递增；
当 x 0时 f x 取得极大值 f 0 -b，当 x 2时 f x 取得极小值 f 2 -4 -b ，
ì f 0Q
-b 0
f x 有三个零点， í ，解得-4 b 0 ，故选项 A 正确；
f 2 -4 - b 0
对于 B ，Q f x 满足 f 2 - x 3- f x f x 1, 3 ，根据函数的对称可知 的对称点为 2 ÷，将其代入è
f x 3 x -1 3 3- ax - b 1，得 f 1 1-1 -a 1-b 1 ，2
解得 a
1
b - ，故选项 B 错误；
2
对于 C ，Qg x f x - 3x ax b ， f x x -1 3 - ax - b 1
\g x x -1 3 -ax -b 1- 3x ax b x -1 3 - 3x 1\g x 3 x -1 2 - 3
3
设切点为 x 0 , x 1 3 3x 1 2 x - 1 - 3x 1 - m0 - - 0 ，则切线的斜率k 3 x0 - 1 - 3 0 0x0 - 2
2
3
x0 - 1 - 3x0 1 - m化简3 x0 - 1 - 3 ，x0 - 2
3 2
得2x0 - 9x0 12x0 m 0
由条件可知该方程有三个实根，\ 2x3 - 9x2 12x m 0有三个实根，
记h x 2x3 - 9x2 12x m 2，\ h x 6x - 18x 12
令 h x 0，解得 x 1或 x 2，
当 x 1时 h x 取得极大值 h 1 5 m，当 x 2时， h x 取得极小值 h 2 4 m，
因为过点 2, m 可作出曲线 g x f x - 3x ax b的三条切线，
ìh 1 5 m 0
所以 í -5 m -4
h 2 4
，解得 ，故选项 C 正确；
m 0
对于 D ，Q f x x -1 3 -ax -b 1，\ f x 3 x -1 2 - a ，
当 a 0， f x 在 x R 上单调递增；
a a a a
当 a 0， f x 在 - ，1- ÷÷上单调递增，在 1- ,1 ÷÷上单调递减，在 1- , 上单调递增；
è 3 è 3 3

è 3 ÷
÷

Q f x a存在极值点 x0 ，\a
3
由 f x 0 0，得3 x0 -1
2 a
令 x 1 2x 0 t ，\x 1 t - 2x 0
Q f x 0 f x 1 ，于是 f x 0 f t - 2x 0 ，
3 2 2
所以 x 0 -1 - 3 x 0 -1 x 0 -b x 0 -1 -2x 0 -1 -b
t - 2x 0 -1
3 - 3 x 0 -1
2 t - 2x 0 -b ，
化简得： t - 3 3x 0 - t
2 0，
Qx 0 x 1 ，\3x 0 - t 0，于是 t 3，
\x 1 2x 0 3 .故选项 D 正确；
故选：ACD.
12．已知三次函数 f x 有三个零点x1，x2， x3 ，且在点 xi , f xi 处切线的斜率为 ki i 1,2,3 ，则
1 1 1

k k k .1 2 3
【答案】0
【解析】令 f x a x - x1 x - x2 x - x3 ，其中 a 0，x1，x2， x3 互不相等.
则 f x a é x - x2 x - x3 x - x1 x - x3 x - x1 x - x2 ù .
1 1 1 1 é 1 1 1 ù

k ê1 k2 k3 a x1 - x2 x1 - x3 x2 - x1 x2 - x3 x3 - x x
ú
1 3 - x2
x2 - x 3 x3 - x1 x1 - x2 0
a x1 - x2 x1 - x3 x2 - x
.
3
故答案为：0.
13．已知所有的三次函数 f x ax3 bx2 cx d a b b 0 的图象都有对称中心 - ， f3a - ÷÷，若函数è è 3a
f x x3 3x2 f 1 f 2 f 3 L f 4045 - ，则 ÷ ÷ ÷

.
è 2023 è 2023 è 2023 è 2023 ÷
【答案】8090
【解析】Q f x -x3 3x2 ，
则 a -1,b
b
3,\- 1, f 1 2，
3a
即函数 y f x 的图象的对称中心为 1,2 ，
则 f x f 2 - x 4 ，
f 1 f 2 f 3 L f 4044 f 4045 故
è 2023 ÷ è 2023 ÷ è 2023 ÷ 2023 ÷ ÷ è è 2023
é f 1 f 4045 ù é f 2 f 4044 ù L é f 2022 f 2024 ù ê ÷ ÷ú ê f
2023
è 2023 è 2023 è 2023
÷
è 2023 ÷ú ê 2023 ÷ 2023 ÷ ÷ è è
ú
è 2023
4 2022 2 8090 .
故答案为：8090.
14．今年是我校建校 100 周年，也是同学们在宜丰中学的最后一年，朱朱与毛毛同学想以数学的浪漫纪念
这特殊的一年，他们以三次函数及其三条切线为蓝本设计了一枚“NK 章”，并把它放入一个盒子，埋藏于宜
丰中学的某角落，并为这“时间胶囊”设置了一个密码，他们把密码隐藏于刻在盒子上的一道“数学谜语”中：
在这盒子中有一枚我们留下的徽章，它由“N”，“K”两个字母组合而成.其中“N”蕴含在函数
f x 1 x3 3x 2 x -1的图象中，过点P -6,a 与曲线相切的直线恰有三条，这三条切线勾勒出了“K”的
2
形状，请你求出使满足条件的三条切线均存在的整数 a 的个数，这就是打开盒子的密码： .
【答案】31
【解析】由题意可得： f x 1 x3 3x 2 x -1，且 f x 3 x2 6x 1，
2 2
1 3 2 3 2
设切点坐标为 x0 , x0 3x0 x0 -1÷，切线斜率 k f x0 x 6x 1，è 2 2 0 0
1 3 2 3
则切线方程 y - x0 3x0 x0 -1
x2 ÷ 0 6x0 1÷ x - x0 ，
è 2 è 2
因为切线过点P -6,a a - 1 3 2 3 2 ，则 x2 0 3x0 x0 -1÷ x0 6x0 1÷ -6 - x0 ，è è 2
整理得 a -x30 -12x
2
0 - 36x0 - 7 ，
3 2
构建 g x -x -12x - 36x - 7 ，
原题意等价于 y g x 与 y a 2有三个不同的交点，因为 g x -3x - 24x - 36，
令 g x 0，解得-6 x -2 ；令 g x 0，解得 x -6或 x -2 ；
则 g x 在 -6, -2 上单调递增，在 - , -6 ， -2, 上单调递减，
且 g -6 -7, g -2 25，
若 y g x 与 y a 有三个不同的交点，则-7 a 25，其中的整数有 31 个，
所以整数a的个数为 31，
故答案为：31.
15 3 2．对于三次函数 f x ax bx cx d a 0 ，经研究发现：任何一个三次函数都有对称中心，而且三
1 3 1 2 5
次函数的拐点（使二阶导数 f x 0的点）正好是它的图像的对称中心．若 f x x - x 3x -3 2 12 ，则
f 1 2 f 3 n -1 n ÷ n ÷
f ÷ ××× f ÷ ．（ n 2且 n N ）
è è è n è n
【答案】 n -1
【解析】 f
1 1
x

展开更多......

收起↑