资源简介 重难点突破 03 解三角形中的范围与最值问题 目录01 方法技巧与总结 ...............................................................................................................................202 题型归纳与总结 ...............................................................................................................................2题型一：周长问题 ................................................................................................................................2题型二：面积问题 ................................................................................................................................6题型三：长度和差比问题 ..................................................................................................................10题型四：转化为角范围问题 ..............................................................................................................14题型五：倍角问题 ..............................................................................................................................17题型六：角平分线问题与斯库顿定理 ..............................................................................................20题型七：中线问题 ..............................................................................................................................24题型八：四心问题 ..............................................................................................................................28题型九：坐标法 ..................................................................................................................................35题型十：隐圆（阿波罗尼斯圆）问题 ..............................................................................................39题型十一：两边逼近思想 ..................................................................................................................44题型十二：转化为正切有关的最值问题 ..........................................................................................46题型十三：最大角（米勒问题）问题 ..............................................................................................50题型十四：费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题 ......................................................................54题型十五：托勒密定理及旋转相似 ..................................................................................................60题型十六：三角形中的平方问题 ......................................................................................................65题型十七：等面积法、张角定理 ......................................................................................................6803 过关测试 .........................................................................................................................................711、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧：（1）利用基本不等式求范围或最值；（2）利用三角函数求范围或最值；（3）利用三角形中的不等关系求范围或最值；（4）根据三角形解的个数求范围或最值；（5）利用二次函数求范围或最值．要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大．2、解三角形中的范围与最值问题常见题型：（1）求角的最值；（2）求边和周长的最值及范围；（3）求面积的最值和范围．题型一：周长问题【典例 1-1】（2024·全国·二模）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，2a cos A = b cosC + c cos B ，且a = 4sin A，则△ABC 周长的最大值为（ ）A． 4 2 B． 6 2 C． 4 3 D．6 3【答案】D【解析】因为 2a cos A = b cosC + c cos B ，由正弦定理得 2sin Acos A = sin B cosC + sin C cos B = sin B + C = sin A，因为 sin A 0 ，所以 cos A1= ，由于 A 0, π π，故 A = ，则 a = 4sin π = 2 3，2 3 3a b c由正弦定理得 = = = 4 ，sin A sin B sin C p 故b + c = 4sinB + 4sinC = 4sinB + 4sin B + ÷ = 4sinB + 2sinB + 2 3cosB = 4 3sin B p + 3 6 ÷，è è B 0, 2π 又 ÷，则Bπ π+ , 5π p 1 ù ÷，所以 sin B + ÷ ,1ú ，则b + c 2 3,4 3ù，è 3 6 è 6 6 è 6 è 2 故△ABC 周长 a + b + c 的最大值为6 3 .故选：D.【典例 1-2】（2024·广西河池·模拟预测）已知VABC 中角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，且2c cos A = a cos B + bcos A .(1)求角A ；(2)若 a = 3，求VABC 的周长的最大值，并求出此时角 B ，角C 的大小.【解析】（1）由2c cos A = a cos B + bcos A，则有2sinC cos A = sin Acos B + sin B cos A，即 2sin C cos A = sin Acos B + sin B cos A = sin A + B = sin C ，由C 0, π ，故 sin C > 0，则有 2cos A 1 cos A 1= ，即 = A π，即 =2 3；（2）由余弦定理 a2 = b2 + c2 - 2bc cos A，可得3 = b2 + c2 - bc ，2则3 = b + c 2 - 3bc，故 b + c 2 - 3 = 3bc 3 b + c × 2 ÷ ，è 2当且仅当b = c 时，等号成立，即 b + c 12，即b + c 2 3 ，即VABCπ的周长的最大值为3 3，此时 a = b = c = 3 ，即B = C = .3【变式 1-1】（2024·江西南昌·三模）在锐角VABC 中， a = 2 3 ， (2b - c) cos A = a cosC ，(1)求角 A；(2)求VABC 的周长 l 的范围.【解析】（1）∵ (2b - c) cos A = a cosC ，\2bcos A = a cosC + c cos A，所以 2sin B cos A = sin AcosC + sin C cos A，所以 2sin B cos A = sin(A + C) = sin B，因为 sin B 0 ，所以 cos A1= ，2Q A 0, π π ÷，所以 A = .è 2 3Q a 2 3= = 4（2） sin A 3 ，2b c所以 = = 4 ,sin B sin C所以b = 4sin B ， c = 4sin C = 4sin(2π- B) ，3所以 l = a + b + c = 2 3 + 4sin B + 4sin(2π- B)3= 2 3 + 4 3 sin(B π+ ) ,6因为VABC π是锐角三角形，且 A = 3 ，ì 0 < Bπ< 2 π π所以 í ，解得 < B < 0 2π π，< - B < 6 2 3 2π π 2π所以 B + ( , )，所以 sin(Bπ+ ) ( 3 ,1]6 3 3 ，6 2所以 l (6 + 2 3,6 3] .【变式 1-2】（2024·广东广州·一模）VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c 且满足 a = 2，a cos B = 2c - b cos A．(1)求角 A 的大小；(2)求VABC 周长的范围．a2 + c2 - b2 c21 + b2 - a2【解析】（ ）由余弦定理， a × = (2c - b) × ，2ac 2bc化简得b2 + c2 - a2 = bc ，c2 + b2 - a2 1所以 cos A = = ，2bc 2因为0 < A < π ，所以 Aπ= .3b c a 2 4 3（2 = = = =）由正弦定理： sin B sin C sin A 3 3 ，2则b 4 3= sin B c 4 3， = sinC ，3 32π 4 3由（1） B + C = ，故 a + b + c = 2 + sin B sin C 2 4 3 ésin B sin 2π B ù+ = + ê +3 3 3 - è 3 ÷ ú 2 4 3= + (sin B 3+ cos B 1+ sin B) 2 4 3 ( 3 cos B 3= + + sin B)3 2 2 3 2 2= 2 + 4sin(B π+ )60 B 2π π π 5π 1 π因为 < < < B + < ，则 < sin(B + ) 1，3 6 6 6 2 6所以 4 < a + b + c 6，即周长范围是 4,6 ．【变式 1-3】（2024·贵州贵阳·模拟预测）记VABC 内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a2 + b2 - c2 acosB + bcosA = abc．(1)求 C；(2)若VABC 为锐角三角形， c = 2，求VABC 周长范围．【解析】（1）在VABC 中，由射影定理得 acosB + bcosA = c，则题述条件化简为 a2 + b2 - c2 = ab，由余弦定理得 a2 + b2 - c2 = 2abcosC ．可得 cosC1= ,C 0, π ,2所以Cπ= .3（2）在VABC 中，a b c 2 4 3= = = =由正弦定理得 sinA sinB sinC sin π 3，3VABC C a 4 3 4 3 é 2π ù则 周长 VABC = + b + 2 = 2 + (sinA + sinB) = 2 + êsinA + sin - A 3 3 3 ÷ú， è 因为 sinA + sin 2π - A ÷ = 3sin Aπ+ π 3 6 ÷，则CVABC = 2 + 4sin A + ÷，è è è 6 因为VABC2π为锐角三角形， A + B = ，3A π , π π π 2π 则得 6 2 ÷, A + , ÷，è 6 è 3 3 sin A π 3 ù故 + ÷ ,1ú ,CVABC (2 + 2 3,6]．è 6 è 2 题型二：面积问题【典例 2-1】（2024·四川德阳·模拟预测）在VABC 中，角A 、 B 、C 所对的边分别为 a、b 、 c，且sin C c B= cos ，b = 3 .3 2(1)求 B ；(2)若VABC 为锐角三角形，求VABC 的面积范围.sin C c【解析】（1）因为 = cosB，b = 3，3 2所以 sin BsinC = sinC cosB，2因为 sin C 0，B所以 sin B = cos ，则 2sinB cos B = cos B ，2 2 2 2因为 cosB 0，2sin B 1B π B π所以 = ，又 2 2 2 0, ÷ ，则 = ，è 2 2 6π所以 B = .3b（2）设VABC 的外接圆半径为 R ，则 2R = = 2 3 ，sin BS 1 1 2π 所以 VABC = ac sin B = 2R sin A2R sin C sin B = 3 3 sin Asin2 2 - A÷，è 3 = 3 3 sin A 3 cos A 1 + sin A2 2 ÷÷，è 9= sin Acos A 3 3 sin2 A 9 sin 2A 3 3 1- cos 2A+ = + × ，2 2 4 2 29= sin 2A 3 3- cos 2A 3 3+ ，4 4 43 3= sin 2Aπ 3 3- ÷ + ，2 è 6 4因为VABC 为锐角三角形，ì0 A π < < 2 π π所以 í 2π π ，解得< A < ， 6 20 < - A < 3 2π则 < 2Aπ 5π- < ，6 6 61< sin 则 2Aπ- ÷ 1，2 è 6 3 3 9 3所以 < S2 VABC ，4所以VABC 3 3 9 3的面积范围 ( , ] .2 4【典例 2-2】（2024·全国·模拟预测）已知在锐角VABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且ur r ur rm = 2sin x, 3 ， n = cos x, cos 2x ， f x = m × n ， f B + C = 0．(1)求角 A 的值；(2)若b =1，求VABC 面积的范围．ur r ur r【解析】（1）∵ m = 2sin x, 3 ， n = cos x, cos 2x ， f x = m × n ，∴ f x = 2sin x cos x + 3 cos 2x π = sin 2x + 3 cos 2x = 2sin 2x + ÷ ．è 3 又 f B + C = 0 sin é，∴ ê2 B + C π+ ù = 0．又VABC 为锐角三角形， 3 ú 2 B C π 5π p π∴ + + = 2π或p ∴ B + C = 或 （舍去），∴ A = ．3 6 3 6a b c（2）由正弦定理知 = =sin A sin B sin C ，A π 1又∵ b =1， = ，∴ a = ，6 2sin Bsin π + B ∴ ÷ 3 1 cos B 3 1 1S 1= absin C è 6 = + × = + × ．=2 4sin B 8 8 sin B 8 8 tan Bì B 0,p ÷ è 2 π π 3 3í 故得到： < B < ，∴3 2 < S <， 5 p - B 0,p 8 6 6 è 2÷ 3 3 ∴ VABC 面积的范围为 ,è 8 6 ÷÷ 【变式 2-1】（2024·四川攀枝花·三模）已知DABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c其面积为S ,且( b + c 2 - a2 = 4 3S .（Ⅰ）求角A ；（II）若 a = 3,b = m(m > 0) ,当DABC 有且只有一解时,求实数m 的范围及S的最大值.【解析】分析：（Ⅰ）利用余弦定理和三角形的面积公式化简（b + c)2 - a2 = 4 3S 得到sin A p 1 - ÷ = ,再解这个三角方程即得 A 的值. （II）先根据DABC 有且只有一解利用正弦定理和三角函数è 6 2的图像得到 m 的取值范围m 0, 3ù 2 ，再写出 S 的函数表达式求其最大值.(Ⅰ)由已知b2 + c2 - a2 + 2bc = 2 3bc sin A由余弦定理得 2bccosA + 2bc = 2 3bcsin A，所以 cosA +1 = 3sinA，即 sin Ap 1-6 ÷= ,è 2Q A 0，p，\ A- p p 5p p p （- ， ），A- = ，6 6 6 6 6p所以 A = .3(Ⅱ)由已知，当DABC 有且只有一解时，msin p = 3 或0 < m 3 ,所以m 0, 3ù3 2 ；（i)当m = 2 时，DABC 为直角三角形，S 1= 1 3 3=2 2（ii）当0 < m 3 时，m 3= m = 2sinB由正弦定理 sinB p ，sin3S 1= 3sinB sinC = 3sinB sin 2p - B 2 3 ÷è 3 sinBcosB 3= + sin2B2 23= sinBcosB 3+ sin2B 3+ 1- cos2B2 2 2 23 p 3= sin 2 2B - ÷ +è 6 4Q0 < B p ,3p 2B p p\ < - ，6 6 2p 3 3 3所以，当B= 时，3 Smax = >4 23 3综上所述， Smax = .4【变式 2-2】（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在平面四边形 ABCD 中， AB = AC = BD =10，当四边形ABCD 的面积最大时，BC 2 + CD2 + DA2 的最小值为 .【答案】700 - 400 2【解析】如图，设 AC I BD = O , AOD = q ,1 1 1则四边形 ABCD 的面积为 S = SVABD + SVBCD = BD AO sinq + BD CO sinq = BD AC sinq = 50sinq ，2 2 2π因0 < q < π，故当且仅当 sinq =1，即q = 时， S2 max= 50 .当qπ= 时，设 AO = x,OB = y，则CO =10 - x,OD =10 - y ,2于是BC 2 + CD2 + DA2 = y2 + (10 - x)2 + (10 - y)2 + (10 - x)2 + x2 + (10 - y)2 = 3(x2 + y2 ) - 40(x + y) + 400，因 AO2 + BO2 =100 ,即 x2 + y2 =100 ,由 (x + y)2 = x2 + y2 + 2xy 2(x2 + y2 ) = 200 ，则有 x + y 10 2 ，当且仅当 x = y = 5 2 时取等号，即当 x = y = 5 2 时，BC 2 + CD2 + DA2 的最小值为300 - 40 10 2 + 400 = 700 - 400 2 .故答案为：700 - 400 2 .【变式 2-3】（2024·陕西西安·模拟预测）在VABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a = 6 ，6 cos B = 3c - b cos A，则VABC 面积的最大值为 .3 2 3【答案】 / 22 2【解析】因为 a = 6 ， 6 cos B = 3c - b cos A，所以 6 cos B = a cos B = 3c - b cos A，由正弦定理可得 sin Acos B = 3sin C cos A - sin B cos A，即 sin A+ B = 3sinCcos A，sin C = 3sin C cos A，因为C 0, π 1，所以 sin C 0，故 cos A = ，32 2由余弦定理 a2 = b2 + c2 - 2bc cos A得 6 = b2 + c2 - bc，32 2 2 2 9所以6 = b + c - bc 2bc - bc 3 2，即bc ，当且仅当b = c= 时取等号，3 3 2 2由 cos A1= ， A 0, π 2 2，得 ，3 sin A = 3S 1 1 2 2 2 9 3 2所以 VABC = bc sin A = bc = .2 2 3 3 2 23 2故答案为： .2题型三：长度和差比问题【典例 3-1】（2024·广东深圳·模拟预测）已知VABC 中内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足3c + bsin A = 3a cos B．(1)求角 A 的大小；BC(2)若 D 是边 BC 上一点，且 AD 是角 A 的角平分线，求 的最小值．AD【解析】（1）由题意知VABC 中， 3c + bsin A = 3a cos B，故 3 sin C + sin B sin A = 3 sin Acos B即 3 sin(A + B) + sin B sin A = 3 sin Acos B ，即 3(sin Acos B + cos Asin B) + sin B sin A = 3 sin Acos B，所以 3 cos Asin B + sin B sin A = 0，而B 0, π ，故 sin B 0 ，故 3 cos A + sin A = 0，即 tan A = - 3 ，又 A 0, π A 2π，故 = 3 ；（2）由余弦定理：BC = b2 + c2 - 2bc cos A = b2 + c2 + bc ，又 S△ ABD + S△ ACD = S△ ABC ，1 1 1 bc所以 c × AD sin 60° + b × AD sin 60° = bcsin120°，所以 AD = ，2 2 2 b + cBC b2 + c2 + bc 2bc + bc b + c 2 bc= bc bc = 3 × 3 × = 2 3所以 AD bc bc ，b + c b + cBC当且仅当b = c 时，取等号，则 的最小值为AD 2 3.【典例 3-2】（2024·山西运城·模拟预测）VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.sin(A - B) a - b（1）求证： = ；sin A + sin B cp（2）若VABC 是锐角三角形， A - B = ,a - b = 2，求 c的范围.3sin(A - B) sin Acos B - cos Asin B【解析】（1）由两角差的正弦公式，可得 = ，sin A + sin B sin A + sin B又由正弦定理和余弦定理，可得2sin Acos B - cos Asin B a a + c2 - b2 b b2 + c2 - a2× - ×sin A + sin B = 2ac 2bca + b2a2 - 2b2 (a + b)(a - b) a - b= = = ，2c(a + b) c(a + b) csin(A - B) a - b所以 =sin A + sin B cc (a - b)(sin A + sin B) 4（2）由（1）知 = = (sin A + sin B)sin(A - B) 34 é = êsin Bp+ ÷ + sin Bù 4 3ú = sin B3+ cos B ÷3 è 3 3 ÷è 2 2 = 4 3 1 sin B + cos B ÷÷ = 4sin p 2 2 B + ÷è è 6 因为Vp pABC 是锐角三角形，所以 A = B + < ，可得0 < Bp< ，3 2 6A p p p p p p p又由 + B > ，可得B + + B > ，所以B > ，所以 < B + < ，2 3 2 12 4 6 32 sin B p 3所以 < + ÷ < ，可得 2 2 < c < 2 3 ，符合 c > a - b = 2 .2 è 6 2所以实数 c的取值范围是 (2 2,2 3) .【变式 3-1】（2024·山东潍坊·一模）在① tanAtanC - 3tanA =1+ 3tanC ；② 2c - 3a cosB = 3bcosA；③ a - 3c sinA + csinC = bsinB这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.问题：在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，且__________.(1)求角 B 的大小；(2)已知 c = b +1，且角A 有两解，求b 的范围.【解析】（1）若选①：整理得1- tanAtanC = - 3 tanA + tanC ，因为 A + B + C = p ，tanB tan A C tanA + tanC 3所以 = - + = - = ，因为B 0,p p，所以 B = 6 ；1- tanAtanC 3若选②：因为 2c - 3a cosB = 3bcosA，由正弦定理得 2sinC - 3sinA cosB = 3sinBcosA，所以 2sinCcosB = 3sin A + B = 3sinC,sinC > 0 p，所以 cosB 3= ，因为B 0,p ，所以 B = 6 ；22 2 2若选③：由正弦定理整理得 a2 + c2 - b2 = 3ac a + c - b 3，所以 = ，2ac 2p即 cosB 3= ，因为B 0,p ，所以 B =2 6；b c b b +1 b +1（2）将 c = b +1代入正弦定理 = ，得 = ，所以 sinC = ，sinB sinC sinB sinC 2b1因为 Bp= A < sinC <16 ，角 的解有两个，所以角C 的解也有两个，所以 ，21 b +1即 < <1，又b > 0，所以b < b +1 < 2b，解得b >1.2 2b【变式 3-2】在VABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，b = 2 3 ， 2c - a sin C = b2 + c2 - a2 sin Bb(1)求角 B﹔(2)求 2a - c的范围．2 2 2 sin B 2 2 2 2 2 2【解析】（1） 2c - a sin C = b + c - a 2c - a c = b + c - a c + a - b = ac ，又bcos B a2 + c2 - b2= ，所以 cos B1= ，因为B 0,p p，所以B = .2ac 2 3b a c 2 3（2）在VABC 中，由（1 = = = = 4）及b = 2 3 ，得 sin B sin A sin C 3 ，2故 a = 4sin A,c = 4sin C ， 2a - c = 8sin A - 4sin C = 8sin A - 4sin 2p - A ÷ = 8sin A - 2 3 cos A - 2sin Aè 3 = 6sin A - 2 3 cos A = 4 3 sin Ap- ，è 6 ÷ 因为0 < A2p p p p< ，则- < A - < ，3 6 6 21 sin A p- < - ÷ <1, -2 3 < 4 3 sin Ap- ÷ < 4 3 ﹒2 è 6 è 6 所以 2a - c的范围为 -2 3,4 3 .【变式 3-3】（2024·重庆·模拟预测）在VABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．已知b é= 2 êbcos2 π A - - a sin B cos B ù． è12 2÷ 2 2 ú (1)求角 A 的大小；uuur uuur(2)若BP = PC ，且b + c = 2 ，求 AP 的最小值．a b【解析】（1）在VABC 中，由正弦定理 = ，可得 a sin B = bsin Asin A sin B又由b = 2éêbcos2 π A B B ù B B é 2 π A ù - ÷ - a sin cos 知 2a sin cos = b × 2cos - -1 ， è12 2 2 2 ú 2 2 ê ÷ è12 2 ú π即 a sin B = b cos - A ÷，得bsin A = bcos π - A÷，得 sin A = cos π - A 3÷ = cos A1+ sin A，è 6 è 6 è 6 2 21得 sin A 3= cos A，所以 tan A = 3 ；2 2又因为 A 0, π A π，所以 = 3 ．uuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur（2）由BP = PC ，得 AP = AB + AC2 2 ，uuur 22 1 uuur 1 uuur 1 uuur2 1 uuur2 uuur uuur所以 AP = AB + AC = AB + AC1+ AB × ACè 2 2 ÷ 4 4 21= c2 1 1+ b2 + bc cos A 1= c2 1+ b2 1+ bc4 4 2 4 4 41 é 2 ù= é b + c 2 - bcù 1 ê b + c 2 b + c- 3 ÷ ú = b + c 2 3= ，4 4 ê è 2 ú 16 4ìb = c 3当且仅当 íb c 2，即b = c =1时等号成立，故 AP 的最小值为 ． + = 2【变式 3-4】（2024·安徽亳州·高三统考期末）在锐角DABC 中，角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，已 p 知 a sin C = c cos A - ÷ .è 6 （1）求角A 的大小；（2）设 H 为DABC 的垂心，且 AH =1，求BH + CH 的范围.【解析】（1）由 a sin C = c cos A p- ÷，结合正弦定理得è 6 sin A = cos p A - ÷，è 6 p整理得 sin A - 3 ÷= 0，è A p又A 为锐角，故 = 3 .（2）由DABC 是锐角三角形，则垂心 H 必在DABC 内部，p不妨设 BAH a a = ，则 0, ÷ .è 3 由 H 为DABC 的垂心，则 ABHp= ACH = .6在DABH 中使用正弦定理得，AH BH= ，整理得：BH = 2sina .sin ABH sin BAH p 同理在DACH 中使用正弦定理得，CH = 2sin -a3 ÷ .è BH + CH 2sina 2sin p= + -a ÷ = 2sin p +a 3 3 ÷，è è a 0, p 结合 ÷è 3 可得BH + CH 3,2ù .题型四：转化为角范围问题【典例 4-1】在锐角DABC 中，内角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，且(a +b)(sin A-sin B) = (c -b)sinC .(1)求A ；(2)求 cos B - cosC 的取值范围.【解析】（1）因为 a + b sinA - sinB = c - b sinC ，所以 a + b a - b = c - b c，即 a2 = b2 + c2 - bc .因为 a2 = b2 + c21- 2bcosA，所以 cosA = .2 p p因为 A 0, 2 ÷，所以 A =è 3.（2）由（1）知 cosB - cosC = cosB - cos 2p - B ÷è 3 cosB 1 cosB 3 sinB 3 cosB 3= + - = - sinB = 3cos Bp+ ÷ .2 2 2 2 è 6 ì0 2p B p < - < 3 2 p p因为 í ，所以 < B < ， 0 < B p< 6 2 2p B p 2pp< + < cos B + 1 1 - , 因为 ，所以3 6 3 ÷ ÷，è 6 è 2 2 3 3 所以 cosB - cosC - ,2 2 ÷÷，è 3 3 即 cosB - cosC 的取值范围是 - ,2 2 ÷÷.è 【典例 4-2】已知VABC 的内角A 、 B 、C 的对边分别为 a、b 、 c，且 a - b = c cos B - cos A ．(1)判断VABC 的形状并给出证明；(2)若 a b ，求 sin A + sin B + sin C 的取值范围．【解析】（1）VABC 为等腰三角形或直角三角形，证明如下：由 a - b = c cos B - cos A 及正弦定理得， sin A - sin B = sinC cos B - cos A ，即 sin B + C - sin A + C = sinC cos B - cos A ，即 sin B cosC + cos B sin C - sin AcosC - cos Asin C = sin C cos B - sin C cos A，整理得 sin B cosC - sin AcosC = 0，所以 cosC sin B - sin A = 0，故 sin A = sin B 或 cosC = 0，又A 、 B 、C 为VABC 的内角，所以 a p= b或C = 2 ，因此VABC 为等腰三角形或直角三角形．（2）由（1）及 a b 知VABC 为直角三角形且不是等腰三角形，p p p p且 A + B = ，C = B = - A A 2 2故 ，且 ，2 4所以 sin A + sin B + sinC = sin A sin B 1 sin A cos A 1 2 sin A p+ + = + + = + 4 ÷+1，è A 0, p p , p A p+ p p p因为 ÷ ÷，故 , U ,3p 4 4 2 4 4 2 ÷ 2 4 ÷，è è è è sin A p+ 2 ,1 p 得 ÷ ÷÷，所以 2 sin A + ÷ +1 2, 2 +1 ，è 4 è 2 è 4 因此 sin A + sin B + sin C 的取值范围为 2, 2 +1 ．【变式 4-1】（2024·山西·模拟预测）钝角 VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a，b ， c，若 a cos B = c sin A，则 sin A + 2 sin B 的最大值是 .5【答案】4【解析】因为 a cos B = c sin A，由正弦定理得 sin Acos B = sin C sin A，又因为 A (0, π)π，可得 sin A 0 ，所以 sin C = cos B，则C π= - B2 或C = + B .2π π当Cπ= - B 时，可得 A = ，与VABC2 是钝角三角形矛盾，所以C = + B，2 2ì 0 < Aπ< 2 π π π由 í0 < B < ，则 A = - 2B > 0，可得0 < B < ， 2 2 4 A + B + C = π 所以 sin A + 2 sin B = sin B + C + 2 sin B = cos 2B + 2 sin B2 = -2sin2 B + 2 sin B +1 = -2 sin B2 5-4 ÷÷+ ，è 4sin B 25所以当 = 时， sin A + 2 sin B 的最大值为 .4 45故答案为： .4【变式 4-2】在VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.已知a = 1,b = 2 .π(1)若 B = ，求角 A 的大小；4 π (2)求 cos Acos A + ÷的取值范围.è 6 【解析】（1）由正弦定理得： sin Aa sin B 1= = ，b 2∵ 0 < A < π ，∴ Aπ 5π= 或 ，6 6A 5π当 = 时，此时 A + B5π π> π，所以 A = 舍去，所以 A = .6 6 6 （2） cos Acos Aπ+ = cos A 3 cos A 1- sin Aè 6 ÷ è 2 2 ÷÷ 3= 1+ cos2A 1- sin 2A4 43 1 3 1 1= + cos 2A - sin 2A÷÷ = - sin 2Aπ- 3+4 2 ÷è 2 2 2 è 3 41（或者用积化和差公式一步得到 cos 2A π+ 32 6 ÷+ ）è 4∵ a < b ∴ A < B A sin A a sin B 2， ，所以 为锐角，又 = ，b 2A π ù π π π ù所以 0, ú，所以 2A - - , ，è 4 3 è 3 6 ú ù所以 sin π 3 1 2A - ÷ - , ú ，è 3 è 2 2 cos Acos A π é 3 -1, 3 所以 + 6 ÷ ê ÷ .è ÷ 4 2 题型五：倍角问题【典例 5-1】（多选题）在锐角VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，且 c = b + 2bcos A，则下列结论正确的有（ ） π , π A． A = 2B B． B 的取值范围为 è 6 3 ÷ a 1 1 5 3 C． 的取值范围为 ( 2, 3) D． - + 2sin A的取值范围为 ,3b tan B tan A ÷÷è 3 【答案】ACD【解析】因为 c = b + 2bcosA，所以由正弦定理得 sinC = sinB + 2sinBcosA，又因为 sin C = sin(A + B)，所以 sin A + B = sinB + 2sinBcosA，即 sinAcosB + sinBcosA = sinB + 2sinBcosA，整理得 sinAcosB - sinBcosA = sinB，即 sin(A - B) = sin B对于 A 项，因为 A、B、C 均为锐角，所以 A - B = B，即 A = 2B，故 A 项正确；对于 B 项，因为 A = 2B， A + B + C = π，所以C = π - 3B ，ì0 π< A < ì π 2 0 < 2B < 2 π π π π因为 A、B、C 均为锐角，所以 í0 < B < ，即 í 0 < B < ，解得 < B < ， 2 2 6 4 0π< C < 0 < π 3Bπ- < 2 2 π π 所以 B 的取值范围为 , ÷，故 B 项错误．è 6 4 a sinA sin2B对于 C 项，由正弦定理得 = = = 2cosBπ π，B ( , )，b sinB sinB 6 42 3 a所以 cos B ( , ) ，所以 = 2cos B ( 2, 3)．故 C 项正确．2 2 bπ π π π对于 D 项，由 A 项知， A = 2B，由 B 项知， < B < ，所以 < A < ，6 4 3 21 1- + 2sin A tanA - tanB 2sinA sinAcosB - sinBcosAsin A - B所以tan B tan A = + = + 2sinA = + 2sinA =tanBtanA sinBsinA sinBsinAsinB+ 2sinA 1= + 2sinA， A (π , π)，sinBsinA sinA 3 2t sin A 3 1 1 1令 = ，则 t ( ,1) ，所以 - + 2sin A = + 2t 3，tan B tan A t t ( ,1)，2 22令 h(t)1= + 2t 3 1 2t -1， t ( ,1) ，则 h (t) = - + 2 = > 0，所以 h(t)t 2 2在 ( 3 ,1)上单调递增，2 t t 21 1又 h( 3 ) 5 3 h(1) = 3 h(t) (5 3= ， ，所以 ,3)，即 - + 2sin A范围为 (5 3 ,3)，故 D 项正确.2 3 3 tan B tan A 3故选：ACD.【典例 5-2】（多选题）（2024·河北·三模）已知VABC 内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c， A = 2B，则（ ）2A． a2 = c b + c B b a． + 2 的最小值为 3c bcC．若VABC 为锐角三角形，则 1,2 D．若 a = 2 6 ，b = 3，则 c = 5b【答案】BCD【解析】由 A = 2B，得 sin A = sin 2B = 2sin B cos B，2 2 2由正弦定理得 a = 2bcos B a 2b a + c - b，由余弦定理得 = × ，2ac则 c - b a2 - b2 - bc = 0，当b c时， a2 b2 bc 0 a2- - = ，即 = b b + c ，当b = c 时， B = C ，又 A = 2B，所以 A = 90°, B = C = 45° ，所以 a = 2b，所以 a22- b2 - bc = 2b - b2 - b ×b = 0，2所以 a = b b + c ，故选项 A 错误；2 2a2 = b b + c b a b b + bc b c由 ，则 + 2 = + 2 = + +1 3，当且仅当b = c 时，故选项 B 正确；c b c b c bc sin C sin 2B + BVABC sin B 0 sin 2B cos B + cos 2B sin B在 中， ，由正弦定理， = = =b sin B sin B sin B2sin B cos2 B + 2cos2 B -1 sin B= = 4cos2 B -1，sin Bπ若VABC 为锐角三角形，又 A = 2B，则B 0, ÷ ,C = π - 3Bπ< π，故B > ，è 4 2 6B π , π cos B 2 , 3 cos2 B 1 3所以 ÷ ，所以 ÷÷ ，则 , ÷，è 6 4 è 2 2 è 2 4 2所以 4cos B -1 1,2 ，故选项 C 正确；在VABC a b c中，由正弦定理 = =sin A sin B sin C ，又 A = 2B， a = 2 6 ，b = 3，3 2 6 2 6得 = = ，则 cos B 6=sin B sin 2B 2sin B cos B 3由余弦定理，b2 = a2 + c2 - 2ac cos B ， 得9 = 24 + c2 2 6- 2 6 c ，3整理得 c2 -8c +15 = 0 ，解得 c = 5，或 c = 3，当 c = 3时，有C = B，又 A = 2B，所以B = C = 45° , A = 90°，因为b2 + c2 a2，则 c = 3不成立，故选项 D 正确.故选：BCD.AB【变式 5-1】（2024·江西九江·一模）锐角三角形 ABC 中，若 C = 2 B，则 的范围是（ ）ACA． (0,2) B． ( 2, 2) C． ( 2, 3) D． ( 3, 2)【答案】CAB c sin C sin 2B 2sin B cos B【解析】由正弦定理得 = = = = = 2cos B，由于三角形 ABC 为锐角三角形，AC b sin B sin B sin Bì0 B π < < 2 故 í0 < C = 2Bπ< π π，所以 < B < ，所以 2cos B 2, 3 .故选 C. 2 6 4 π < B + C = 3B < π 2c 2【变式 5-2】在锐角VABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，若 a2 = b2 + bc ，则 + 2 的最小值b cos B为 .【答案】 4 2 -1/ -1+ 4 2【解析】由余弦定理得 a2 = b2 + c2 - 2bc cos A，又 a2 = b2 + bc ，所以b2 + bc = b2 + c2 - 2bc cos A，即bc = c2 - 2bc cos A，所以b = c - 2bcos A，由正弦定理得 sin B = sinC - 2sin B cos A，即 sin B = sin A + B - 2sin B cos A = sin Acos B - cos Asin B = sin A - B ，因为 A, B 0, π ，所以 A - B -π, π ，所以B = A - B或B + A - B = π （舍去），所以 A = 2B，c 2 sin C 2 sin A + B 2+ = + = +b cos2B sin B cos2B sin B cos2Bsin 3B 2 sin B cos 2B + cos B sin 2B 2= + = +sin B cos2B sin B cos2B2= cos2 B - sin2 B 2cos B sin B 2+ +sin B cos2B= 4cos2 B 2+ 2 -1 2 4cos2 B 2× 2 -1 = 4 2 -1，cos B cos B2当且仅当 4cos B2= 22 ，即 cos2 B = 时取等号，cos B 2c 2所以 + 的最小值为 .b cos2B 4 2 -1故答案为： 4 2 -1.题型六：角平分线问题与斯库顿定理【典例 6-1】VABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知4a sin A = bsinC cos A + csin Acos B .sinA(1)求 的值；sin C(2)若 BD 是 ABC 的角平分线.（i）证明：BD2 = BA·BC - DA·DC ；（ii）若 a =1，求BD × AC 的最大值.【解析】（1）因为VABC 中，4a sin A = bsinC cos A + csin Acos B，故 4sin2 A = sin B sin C cos A + sin C sin Acos B = sinC(sinBcosA + sinAcosB)= sinCsin A + B = sin2 C ，因为 A,C (0,π),\sinA,sinC > 0sinA 1，故 = ；sin C 2AD AB（2）（i）证明：△ABD 中，由正弦定理得 = ①，si n ABD si n ADB又 AB2 = AD2 + BD2 - 2AD × BD ×cos ADB ②，同理在△BCD CD BC中， =sin CBD sin CDB ③， BC 2 = CD2 + BD2 - 2CD × BD ×cos CDB ④，BD 是 ABC 的角平分线，则 ABD = CBD ，则 sin ABD = sin CBD ，又 ADB + CDB = π ，故 sin ADB = sin CDB,cos ADB + cos CDB = 0，AD AB AD AB , CD BC故①÷③得 = ⑤，即 = \ = ，CD BC AC AB + BC AC AB + BC由CD ② +AD ④ CD × AB2 + AD × BC 2得， = CD × AD AD + CD + CD + AD × BD2= CD × AD × AC + AC × BD2 ，CD × AB2 + AD × BC2则BD2 = - CD × ADACBC × AB2 + AB × BC 2= - CD × AD = BA × BC - DA × DC ，AB + BC即BD2 = BA·BC - DA·DC ；sin A 1（ii）因为 = ，故 c = 2a ，sin C 2AD AB则由⑤得 = = 22 1，则 AD = AC,DC = AC ，CD BC 3 3a =1 i BD2由 以及（ ）知 = 22- AC2 ，9即BD22+ AC2 = 2，则9 BD2 2 2 2+ AC2 BD × AC ，9 3BD2 2当且仅当 = AC 2 22 2 3 2，结合BD + AC = 2，即9 9 BD =1,AC =时等号成立，2故BD 3 2× AC ，即BD × AC 3 2的最大值为 .2 2【典例 6-2】在VABC 中，内角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c， a = 2 3 ，6cosC - asinC = 3b .(1)求角A 的大小；(2)设 ABC 的平分线与 AC 交于点 D，当VABC 的面积最大时，求BD的长.【解析】（1） 6cosC - a sin C = 3b,a = 2 3 ，所以 3a cosC - a sin C = 3b，由正弦定理得 3 sin AcosC - sin Asin C = 3 sin B = 3 sin(A + C)，即 3 sin AcosC - sin Asin C = 3 sin AcosC + 3 sin C cos A，得 -sin Asin C = 3 sin C cos A，又 sin C > 0，所以-sin A = 3 cos A，即 tan A = - 3 ，又0 < A < π ，A 2π所以 = ；3（2）由余弦定理得 a2 = b2 + c2 - 2bccosA即b2 + c2 + bc = 12，而b 0,c 0 ，\12 = b2 + c2 + bc 3bc ，即bc 4，\S 1 3VABC = bcsinA = bc 3 .当且仅当b = c = 2取等号2 4ABC π π π此时 = C = ，则 ABD = , ADB = ，6 12 4在△ABDAB BD中，由正弦定理得 = ，sin ADB sinA2 BD=即 sin π sin 2π ，解得 BD = 6 .4 3【变式 6-1】（2024·山西吕梁·一模）设VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，已知bcosC + 2acosA = -ccosB ．(1)求A ；(2)设A 的角平分线交BC 于点M，AM =1，求b + 4c 的最小值．【解析】（1）QbcosC + 2a cos A = -c cos B .由正弦定理，得 sin B cosC + sin C cos B = -2sin Acos A\sin(B + C) = -2sin Acos A，即 sin A = -2sin Acos AQ A 0, π \sin A > 0\cos A 1= - 2π，即 A =2 3（2）由题意可得， S△ABM + S△AMC = S△ABC1\ c × AM ×sin 60o 1 b 1+ × AM ×sin 60o = bc sin120o2 2 2\b + c = bc1 1即 + = 1b c\b + 4c = (b + 4c)(1 1 b 4c b 4c+ ) = 5 + + 5 + 2 × = 9b c c b c bb 4c当且仅当 = ，即b = 3,c3= 时，等号成立，c b 2所以b + 4c 的最小值为 9.【变式 6-2】（2024·广东佛山·模拟预测）记锐角VABC 的内角A 、 B 、C 的对边分别为 a、b 、 c，已知sin2 C + sin2 B - sin2 A = sin B sin C ．(1)求A ；BD(2)已知A 的角平分线交BC 于点 D，求 的取值范围．CD【解析】（1）因为 sin2 C + sin2 B - sin2 A = sin B sin C ，由正弦定理可得 c2 + b2 - a2 = bc，c2 + b2 - a2 1 A 0, π A π所以 cos A = = ，又 ，所以 = 3 .2bc 21BD S AB × AD sin BADVABD 2 AB c（2）因为 = = = =CD S 1VACD AC × AD sin CAD AC b2sin 2π - B sin C 3 ÷ sin2π cos B cos 2π- sin B 3 1 ，= = è = 3 3 = +sin B sin B sin B 2 tan B 2ì0 B π < <V 2 π π因为 ABC 为锐角三角形，所以 í ，解得 < B < ，所以 tan B 3> ， 0 2π B π< - < 6 2 3 3 21 3 1 BD 1 所以 < + < 2，即 的取值范围为 , 2÷ .2 2 tan B 2 CD è 2 题型七：中线问题p【典例 7-1】在△ABC 中， B = ，D 在边 AC 上，∠A，∠B．∠C 对应的边为 a，b，c．31 1(1)当 BD 为 B 的角平分线且BD = 3 时，求 + 的值；a c(2)当 D 为 AC 的中点且BD = 2 3 时，求 2c + a的取值范围．【解析】（1）由题意知，BD 为角平分线且长度已知，则利用面积相等可得1 ac sin p 1= BD ×c ×sin p 1+ BD × a ×sin p ，2 3 2 6 2 63 1 1 c + a整理可得 ac 3= a + c ，所以 + = =1 .2 2 a c ac（2）以 a，c 为边做平行四边形，另一个端点设为 M，连接 BM，易知 BM 交 AC 于点 D.设∠DBC=θ，则由正弦定理知：c 4 3 a= =sinq 2p p 化简可得 c = 8sinq ， a = 8sin p -q sin sin q ÷，．-3 3 ÷ è3 è 2c p p则 + a =16sinq + 8sin -q ÷，合并化简可 2c + a = 8 3 sin q + ，è 3 è 6 ÷ 易知q 0,p ÷，则qp p p+ , 3 6 6 2 ÷，è è ∴ 2c + a = 8 3 sin p q + 6 ÷ 4 3,8 3 ．è ∴ 2c + a的取值范围为 4 3,8 3 .【典例 7-2】（2024·高三·黑龙江大庆·期末）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且sinC c= cos B ,b = 3 .3 2(1)求 B ；(2)求VABC 的 AC 边中线BD的最大值.【解析】（1）由题意 sinB B c B> 0，结合已知有 2sin sinC = 2 ×sin cosB c= sin B，2 2 3 2 2 3所以 2c ×sinB c= ×b，而b = 3，2 3sin B 1B所以 = ，而 0,π 2 2 2 2 ÷，è B π= π所以 ，解得 B = .2 6 3（2）uuur 1 uuur uuur由题意BD = BA + BC ，2uuur 1 uuur uuurBD BA BC 1 uuur uuur 2 uuur2 uuur uuur uuur2所以 = + = BA 1+ BC = BA + 2BA × BC 1+ BC = c2 + ac + a2 ，2 2 2 29 = b2 = a2 2而由余弦定理有 + c - 2ac cosπ= a2 + c2 - ac，3uuur所以 BD1= 9 + 2ac ，2由基本不等式可得9 = a2 + c2 - ac 2ac - ac = ac ，当且仅当 a = c = 3时，等号成立， uuur 1 3 3即 ac = 9max ，所以 BD = 9 + 2 ac = ，max 2 max 2即VABC 的 AC 边中线BD 3 3的最大值为 .2【变式 7-1】（2024·河北·模拟预测）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且 sinA - 3sinB a = c - b sinC + sinB .(1)求角C 的大小；(2)若边 c = 2，边 AB 的中点为 D，求中线CD长的最大值.【解析】（1）因为 sinA - 3sinB a = c - b sinC + sinB ，由正弦定理可得： a - 3b a = c - b c + b ，则 a2 - 3ab = c2 - b2，即 a2 + b2 - c2 = 3ab ，2 2 2cosC a + b - c 3ab 3由余弦定理可得： = = = ，2ab 2ab 2π因为C 0, π ，所以C = .6uuur uuur uuur（2）因为 D为 AB 的中点，所以CD1=2 CA + CB ，uuur2 1 uuur uuur 2 1 uuur2 1 uuur uuur uuur2则CD = CA + CB = CA + CA ×CB 1 1+ CB = a2 + 3ab + b2 ，4 4 2 4 4 又由余弦定理得， c2 = a2 + b2 - 2ab cos B，即 4 = a2 b2 3ab CD2 1+ - ，所以 = 4 + 2 3ab =1 3+ ab .4 2由 4 = a2 + b2 - 3ab得， 4 + 3ab = a2 + b2 2ab ，则 ab 4 2 + 3 ，当且仅当 a = b = 2 2 + 3 取等号，2即CD2 1+ 3 4 2 + 3 =1+2 3 2 + 3 = 7 + 4 3 = 3 + 2 ，2所以CD 3 + 2，即中线CD长的最大值为 3 + 2 .【变式 7-2】（2024·高三·河北张家口·期末）在VABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a cosC - 2bcos B + c cos A = 0．(1)若 a = 3，b = 7c ，求VABC 的面积；(2)已知 AD 为边BC 的中线，且 AD = 3 ，求 a + c的最大值．【解析】（1）由正弦定理，得 sinAcosC - 2sinBcosB + sinCcosA = 0，所以 sin A + C = 2sinBcosB ．又 A + B + C = π，所以 sinB = 2sinBcosB ，又 sinB 0，所以 cosB1= π，又B 0, π ，故 B = 3 ．2由余弦定理，得b2 = a2 + c2 - 2accosB 7c2 = 9+ c2 -3c，由 c > 0，解得 c =1 1 1 3 3 3，所以VABC 的面积 S = acsinB = 3 1 = ．2 2 2 4（2）设 BDA = q ，则 BAD2π= -q ．3B πa由 = 3 及正弦定理可得，c 2 AD= = = 2，sin BDA sin BAD sin B所以 c = 2sinq ， a = 4sin 2π -q ÷，è 3 故 a + c = 4sin 2π -q + 2sinq = 4sinq + 2 3cosqè 3 ÷ = 2 7 2 sinq3+ cosq ÷÷ = 2 7sin q +j ，è 7 7 π 其中 tanj 3= ，j 0, 4 ÷，2 è 当 sin q +j =1时， a + c的最大值为 2 7 ．【变式 7-3】（2024·浙江·模拟预测）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c且bcosC csin B a, a + 2b+ = = 6 2 ，sin A + 2sin B(1)求b ；(2)求 AC 边上中线长的取值范围．【解析】（1）因为bcosC + csin B = a ，由正弦定理可得 sin B cosC + sin C sin B = sin A = sin B + C = sin B cosC + cos B sin C ，整理得 sin C sin B = cos B sin C ，且C 0, π ，则 sin C 0，可得 sin B = cos B ，即 tan B =1，B 0, π B π且 ，则 = ，4a b由正弦定理 = = 2R，其中 R 为VABC 的外接圆半径，sin A sin B可得 a = 2R sin A,b = 2R sin B，a + 2b 2R sin A + 4R sin B又因为 = = 2R = 6 2 ，sin A + 2sin B sin A + 2sin B所以b = 2R sin B 2= 6 2 = 6 .2（2）在VABC 中，由余弦定理b2 = a2 + c2 - 2ac cos B ，即36 = a2 + c2 - 2ac ，则 a2 + c2 = 36 + 2ac 2ac，当且仅当 a = c 时，等号成立，ac 36可得 =18 2 + 2 ，即 ac 0,18 2 + 2 ù2 - 2 设 AC 边上的中点为 D，uuur 1 uuur 1 uuur uuur uur uuur 22 uur2 uur uuur uuur2因为BD = BA + BC ，则BD 1 BA 1 1= + BC ÷ = BA1+ BA × BC 1+ BC2 2 è 2 2 4 2 41= a2 + c2 1+ ac cos B 1= 36 + 2ac 2+ ac 9 2= + ac 9,27 +18 2 ù ，4 2 4 4 2 即BD 3,3 + 3 2 ù ，所以 AC 边上中线长的取值范围为 3,3+ 3 2 ù .题型八：四心问题【典例 8-1】（2024·全国·模拟预测）已知锐角三角形 ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且 c - b sinC = acosC - b sinB + acosBsinC .(1)求角A ；(2)若 H 为VABC 的垂心， a = 2，求VHBC 面积的最大值.【解析】（1）由题可得， c - b sinC = acosCsinB - bsinB + acosBsinC = asin B + C - bsinB = asinA - bsinB2 2结合正弦定理可得 c - b c = a - b ，即bc = b2 + c2 - a2 ，b2∴ cosA + c2 - a2 1 π = = ，又 A 0, ÷ ，∴ Aπ=3 .2bc 2 è 2 （2）设边 AC ， AB 上的高分别为 BE ，CF 则 H 为 BE 与CF 的交点，π则在四边形 AFHE 中， FAE + FHE + +π= 2π ，2 2∵ FAEπ= ，∴ FHE2π 2π= ，故 BHC = ，3 3 3BHC S 12π在△ 中， VBHC = BH × HCsin2π 3= BH × HC BH 2， + HC 2 - 2BH × HC ×cos = 4，2 3 4 3则4 = BH 2 + HC24+ BH × HC 2BH × HC + BH × HC ，即BH × HC ，3BH = HC .∴ S 3 VHBC 3当且仅当 时取等号 VBHC ，故 面积的最大值为 .3 32【典例 8-2】在锐角VABC 中， cos A = ，点 O 为VABC 的外心．2uuur uuur uuur(1)若 AO = xAB + y AC ，求 x + y 的最大值；(2)若 BC = 2 ．uuur uuur uuur r①求证：OA + sin 2B ×OB - cos2B ×OC = 0；uuur uuur uuur②求 3OA + 2OB + OC 的取值范围．【解析】（1）uuur uuur取 AB 的中点 D，连接OD ,则OD ^ AB ,不妨设 | AB |= m, | AC |= n，uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurAO AB (AD DO) AB AD AB 1uuur uuurm2 AO AC 1因 × = + × = × = ，同理可得 × = n2，2 2uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur则由 AO = xAB + y AC 可得 AO × AB = x | AB |2 + y AB × AC= xm2 + ymn cos A xm2 2= + ymn 1= m2 ，即得：2mx + 2ny = m ①2 2uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur又由 AO = xAB + y AC 可得 AO × AC = x AB × AC + y | AC |2xmn cos A yn2 2= + = xmn + yn2 1= n2 ，即得： 2mx + 2ny = n ②2 2ì x =12n- 2m联立① ,②，解得： í , y 1 2m= - 2nx y 2n 2m 2 n m则 + = 1- +1- = 2 - ( + )，2m 2n 2 m nn m因 + 2 ，当且仅当m = n时等号成立.即当m = n时， x + y 取得最大值m n 2 - 2.π π π uuur uuur（2）①由 cos A 2= , 0 < A < ，则 A = ，由图知 BOC = 2 A = ,2 4 则2 OB ×OC = 0,2设VABC 的外接圆半径为 R ，uuur uuur uuur uuur则 | sin 2B ×OB - cos2B ×OC |2 = sin2 2B× |OB |2 + cos2 2B× |OC |2 = R2 ,uuur uuur uuur uuur uuur即 | sin 2B ×OB - cos2B ×OC |= R ,又OA × (sin 2B ×OB - cos 2B ×OC)= R2 (sin 2B cos AOB - cos 2B cos AOC)，而 AOB = 2π - BOC - AOC 3π= - AOC ,2则cos AOB = -sin AOC = -sin 2B ，而cos AOC = cos2B，uuur uuur uuur故OA × (sin 2B ×OB - cos2B ×OC) = -R2(sin2 2B + cos2 2B) = -R2 ,uuur uuur uuur不妨设OA与 sin 2B ×OB - cos2B ×OC 的夹角为q ，uuur uuur uuurcosq OuuAur × (sin 2B ×OuBuur- cos2B ×OC) -R2则 = uuur = = -1 ,|OA | × | sin 2B ×OB - cos2B ×OC | R2uuur uuur uuur因q [0, π]，故q = π，即OA = -sin 2B ×OB + cos2B ×OC，uuur uuur uuur r故OA + sin 2B ×OB - cos2B ×OC = 0，得证.uuur π uuur②因 |BC|= 2, BOC = ,则 |BC|= 2R = 2 ,即R =1，2uuur uuur uuur 2 uuur2 uuur2 uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur3OA + 2OB + OC =9OA +4OB +OC +12OA ×OB+6OA ×OC+4OB ×OC=14 +12cos 2C + 6cos 2B + 4cos 2A =14 +12cos 2C - 6sin 2C1 0 q π=14 + 6 5 cos(2C +q ) ，其中， tanq = 2 ，且q 为锐角，故 < < ，4ì 0 C π < < 2 π π π因 í ,可得C ( , ) ,则 2C ( , π) 2C q (π， + +q , π+q ) . 0 3π π< B = < 4 2 2 2 4 2ì tanq sinq 1 = = ì cosq 2 sinq5=sin2 q + cos2 q =1, 5又由 í 解得： í , 2 5 0 < q π< cosq = 4 5π π q 3π π因 < + < ，而函数 y = cos x在 ( +q , π) 上单调递减，在 (π, π +q )上单调递增，2 2 4 2cos(π q ) sinq 5 ,cos(π q ) cosq 2 5又由 + = - = - + = - = - ,2 5 5故-1 cos(2C +q ) 5< - ，则14 - 6 5 14 + 6 5 cos(2C +q ) < 8，5uuur uuur uuur于是3- 5 = 14 - 6 5 3OA + 2OB + OC < 8，uuur uuur uuur即 3OA + 2OB + OC 的范围为[3 - 5,2 2) .【变式 8-1】已知VABC 的角A ， B ，C 所对的边分别为 a，b ， c，点O是VABC 所在平面内的一点．uuur uuur(1)若点O是VABC 的重心，且OA ×OB = 0 ，求 cosC 的最小值；uuur uuur uuur 1(2)若点O是VABC 的外心， BO = lBA + m BC （l ，m R），且 a = 4， c = 6， ml + m - ÷sin2 B(m R)有è 2 最小值，求m 的取值范围．【解析】（1）延长 AO ，BO，CO分别交边BC ， AC ， AB 于点 D，E， F ，依题意有FO1 AB 1= = c 3，CF = c．2 2 2在VCAF 和△CAB中，由余弦定理有 cos CAF = cos CAB ，c 2b2 3c2+ ÷ - 2 ÷ 2 2 2即 è è 2 b + c - a= ，化简有 a2 + b2 = 5c2 ，2b c× 2bc22 2a2 + b2 a + ba2 + b2 - c2 - 2 2cosC = = 5 4 a + b 4 2ab 4= × × = ．2ab 2ab 5 2ab 5 2ab 5当且仅当 a = b时，等号成立，所以 cosC4的最小值为 ．5uuur uuur ì 3- 2cos Bì BO × BA =18 = 36l + 24m cos B l = 2（2）由题意可知： íuuur uuur 6sin B，解得 í BO × BC = 8 = 24l cos B +16m m 2 - 3cos B，= 4sin2 B ml m 1 sin2 B m(3- 2cos B) 2 - 3cos B sin2 B则 + - ÷ = + -è 2 6 4 26cos2 B - (4m + 9)cos B + 6m= ．12今 t = cos B, t (-1,1)，2 t 4m + 9原式= 6t - (4m + 9)t + 6m有最小值，所以 - (-1,1) ．12m 21 3 解得 - , ÷ ．è 4 4 【变式 8-2】从① (a + b + c) × (sin A + sin B - sinC) = asin B + 2bsin A；②2a sin Acos B + bsin 2A = 2 3a cosC 这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．在VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足：______．(1)求角 C 的大小；(2)若 c = 3，VABC 的内心为 I，求△ABI 周长的取值范围．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．【解析】（1）选择条件①， (a + b + c)(sin A + sin B - sin C) = a sin B + 2bsin A，在VABC 中，由正弦定理得 (a + b + c)(a + b - c) = ab + 2ba，a2 + b2 22 - c 1整理得 a + b2 - c2 = ab，则由余弦定理， cosC = = ，2ab 2又C (0,π)π，所以C = ．3选择条件②， 2a sin Acos B + bsin 2A = 2 3a cosC ，于是 a sin Acos B + bsin Acos A = 3a cosC ，在VABC 中，由正弦定理得， sin2 Acos B + sin Asin B cos A = 3 sin AcosC ，因为 sin A 0 ，则 sin Acos B + sin B cos A = 3 cosC ，即 sin(A + B) = 3 cosC ，因为 A + B + C = π，因此 sin C = 3 cosC ，即 tan C = 3，又C (0,π)，所以Cπ= ．3（2）π 2π如图，由（1）知，C = ，有 ABC + BAC = ，3 3π 2π因为VABC 的内心为 I ，所以 ABI + BAI = ，于是 AIB = ．3 3BAI π π设 ABI = q ，则 = -q ，且0 < q < ，3 3BI AI AB 3ABI = = = = 2在△ 中，由正弦定理得， sin π -q sinq sin AIB sinπ ， ÷è 3 3π所以BI = 2sin -q 3 ÷, AI = 2sinq ，è π 3 1 所以△ABI 的周长为 3 + 2sin -q ÷ + 2sinq = 3 + 2 cosq - sinq ÷÷ + 2sinq 2sin(qπ= + ) + 3è 3 è 2 2 3，π 3 ù由0 < qπ< π，得 < qπ 2π sin q + + <3 3 3 3，所以 ÷ 3 ,1ú ，è è 2 所以△ABI 周长的取值范围为 (2 3,2 + 3]．【变式 8-3】已知VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且 ccosB - 2acosA = bcosAcosB - asin2B .(1)求A ；(2)若 a = 3,O为VABC 的内心，求3OB + 2OC 的取值范围.【解析】（1）由 ccosB - 2acosA = bcosAcosB - asin2B及正弦定理，得：sinCcosB - 2sinAcosA = sinBcosAcosB - sinAsin2B= sinB cosAcosB - sinAsinB = sinBcos A + B = -sinBcosC即： sinCcosB + sinBcosC = 2sinAcosA，所以： sin B + C = 2sinAcosA，又： A + B + C = π，所以： sinA = 2sinAcosA，又： sinA1 0 ，所以： cosA = ，2A π所以： = .3π（2）因为 A = ，所以B2π+ C = ，3 3如图，连接OA,OB,OC ，因为O为VABCπ的内心，所以： OBC + OCB = ，3BOC 2π所以： = ，3设 OBC = a ，则 OCBπ= -a .3OB OC BC 3在VOBC= = = = 2中，由正弦定理得: π sina sin BOC sin 2πsin -a，÷è 3 3OB 2sin π= -a 所以： ÷ ,OC = 2sina ，è 3 所以：3OB + 2OC = 6sin π -a ÷ + 4sina = sina + 3 3cosa = 2 7sin a +j ，è 3 sinj 3 21其中： = , cosj 7= ，14 143 21 1 π π 因为 sinj = ,1÷，所以不妨取j , ，14 è 2 è 6 2÷ a π π π又 0, ÷ ，所以a +j j, +j ÷，其中 +j π , 5π 3 3 3 2 6 ÷，è è è π当a +j = 时，3OB + 2OC 取得最大值2 2 7.sinj 3 21 ,cosj 7因为 = = ，所以 sin π 21 +j ÷ = ，14 14 è 3 721 3 21又 < ，所以3OB + 2OC > 2 3 ，7 14综上，3OB + 2OC 的取值范围是 2 3,2 7 ù .【变式 8-4】在VABC 中， a,b,c分别是角 A, B,C 的对边， 2a cos A = b cosC + c cos B ．(1)求角 A 的大小；(2) VABC 3若 为锐角三角形，且其面积为 ，点G 为VABC 重心，点M 为线段 AC 的中点，点 N 在线段2uuurAB 上，且 AN = 2NB ，线段 BM 与线段CN 相交于点 P ，求 GP 的取值范围.【解析】（1）因为 2a cos A = b cosC + c cos B ，由正弦定理可得 2sinAcosA = sinBcosC + sinCcosB = sin B + C = sin A，又因为 A 0, π ，则 sin A > 0，2cos A 1 cos A 1= A π可得 = ，即 ，所以 = .2 3uuur 2 uuur uuuur uuur（2）由题意可得 AN = AB ， AM1= AC ，3 2uuur uuur uuur uuur 2 uuuur uuur 2 uuuur uuur uuur 2 1 uuur uuur uuur uuur所以 AG = AB + BG = AB + BM = AB + AM - AB = AB + AC - AB 1= AB 1+ AC ，3 3 3 è 2 ÷ 3 3uuur uuur uuur 2 uuur uuur因为C 、 N 、 P 三点共线，故设 AP = l AN + 1- l AC = l AB + 1- l AC ，3uuur uuur uuuur uuur 1 uuur同理M 、 B 、 P 三点共线，故设 AP = m AB + 1- m AM = m AB + 1- m AC ，2ì2 l = mì l3= 3 4则 í ，解得 í ， 1 l 1- = 1- m m 1= 2 2uuurAP 1uuur 1 uuur所以 = AB + AC ，2 4uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur则GP = AP - AG1 AB 1= + AC 1- AB 1+ AC 1= AB 1- AC 1= 2AB - AC ，2 4 3 3 ÷ 6 12 12 è S 1因为 VABC = bc sin A3= ，所以bc = 2，2 2又因为VABC 为锐角三角形，uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur 1当C 为锐角，则 AC × BC 2> 0，即 AC × AC - AB = AC - AC × AB = b - bc > 0，2即 2b > c2= ，所以b >1；buuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur 2 1当 B 为锐角，则 AB ×CB > 0 ，即 AB × AB - AC = AB - AC × AB = c - bc > 0，22则 2c > b，即 2 × > b，所以0 < b < 2；b综上可得1 < b < 2 ，uuur uuur uuur又因为 GP1= × 2AB - AC ，12uuur uuur uuur 2 uuur2 uuur uuur uuur2 uuur uuur uuur uuur则144 GP |2 = 2AB - AC = 4AB - 4AB × AC + AC = 4 AB |2 -4AB × AC+ | AC |2 16= 4c2 - 2bc + b2 = - 4 + b2，b2因为1 < b < 2 ，则1 < b2 < 4，f x 16且 = - 4 + x在 (1, 4) 上单调递减， f 1 =13, f 4 = 4，xuuur所以 f x 4,13 ，即144 | GP |2 16= 2 - 4 + b2 4,13 ，buuur 1 13 所以 GP , ÷÷．è 6 12 题型九：坐标法【典例 9-1】（2024·山东·二模）已知△ABC 内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，点 G 是△ABC 的重心，uuur uuur且 AG × BG = 0 .(1)若 GAB = π6 ，求 tan∠GAC 的值；(2)求 cos∠ACB 的取值范围.【解析】（1）以A 为原点， AB 所在的直线为 x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设 AB 的中点为 D，则D,G,C DG1共线且 = GC ，2 3 3 uuur 3 3 uuur 1 3 设 AB = 2 ，则B 2,0 ，G , ÷÷，GA = - ,- ÷÷，GB = , - ÷÷，è 2 2 è 2 2 è 2 2 uuur uuur uuur GC GB GA 1, 3 C 5 , 3 3 故 = - - = ，故 ，故2 2 ÷÷ tan BAC3 3= ，è 53 3 3-所以 tan GAC = tan π 5 3 4 3 3 GAB - = = = .è 6 ÷ 24 61 3 3 3+ 5 3 π 2（2）设 GAB = q ,q 0, ÷，则G 2cos q , 2cosq sinq2 ，è uuur uuurGA = -2cos2故 q , -2cosq sinq ，GB = 2sin2 q ,-2sinq cosq ，uuur uuur uuur故GC = -GB - GA = 2cos2 q - 2sin2 q , 4sinq cosq ，uuur故GC = 2cos 2q , 2sin 2q 2，所以C 2cos 2q + 2cos q ,3sin 2q ，uuur故C 3cos 2q +1,3sin 2q ，而CA = -3cos 2q -1, -3sin 2q ，uuurCB = 1- 3cos 2q , -3sin 2q ，uuur uuur故 cos CA,CB8= 1- 3cos 2q 2 + 9sin2 2q 1+ 3cos 2q 2 + 9sin2 2q8= ，100 - 36cos2 2q π 而q 0, ÷ ，故 2q 0, π ，故-1 < cos 2q <1，è 2 4 8所以 <1， cos BAC4 éê ,1 5 .100 - 36cos2 2q ÷ 5 p 3【典例 9-2】在Rt△ABC 中， BAC = ， AB = AC = 2，点M 在VABC 内部， cos AMC = - ，则2 5MB2 - MA2的最小值为______．【答案】22【解析】因为 AMC 0,p ， cos AMC 3= - ，所以5 sin AMC = 1- 3 4 - ÷ = .è 5 5AC 2在VAMC 2R VAMC 4= 2R R 5中，由正弦定理得： = （R 为 的外接圆半径），所以 ，解得： = .sin AMC 5 4如图所示：设VAMC 的外接圆的圆心为 O，建立如图示的坐标系.2设 E AC 5 3为 的中点，所以 AE = CE =1，OE = R2 - AE2 = ÷ -12 = .è 4 4ì 525 x = cosq2 2 4所以点 M 的轨迹为： x + y = ，可写出 í （q5 为参数）.16 y = sinq 4V M 5 cosq , 5 sinq 4 4因为点M 在 ABC 内部，所以 ÷（其中q 满足- < cosq < ，q 0,p ）.è 4 4 5 5é 5 2 2 2 2MB2 - MA2 = ù é ù所以 ê cosq +1 5÷ + sinq11 5 cosq 5 3- ÷ ú - ê +1 ÷ + sinq - 4 ÷ úê è è 4 4 ú ê è 4 è 4 4 ú 5 sinq 112 5 3 2= - 4 4 ÷- sinq - ÷è è 4 4 = 7 - 5sinq4 4 3因为q 满足- < cosq < ，q 0,p ，所以 < sinq 1，5 5 5所以当 sinq =1时MB2 - MA2 = 7 - 5 = 2最小.故答案为：2【变式 9-1】在VABC 中， AB = 2 ， AC = 3 2 ， BAC = 135°，M 是VABC 所在平面上的动点，则uuur uuur uuur uuuur uuuur uuurw = MA × MB + MB × MC + MC × MA的最小值为________．28【答案】-3【解析】以 A 为原点，AC 所在直线为 x 轴，建系，如图所示，根据题意，可得 A、B、C 坐标，设 M (x, y)，uuur uuur uuuur可得MA,MB,MC的坐标，根据数量积公式，可得w的表达式，即可求得答案.以 A 为原点，AC 所在直线为x 轴，建立坐标系，如图所示：因为 AB = 2 ， AC = 3 2 ， BAC = 135°，所以 A(0,0), B(- 2, 2),C(3 2,0)，设M (x, y)，uuur uuur uuuur则MA = (-x, -y), MB = (- 2 - x, 2 - y), MC = (3 2 - x, -y)，uuur uuur uuur uuuur uuuur uuurw = MA × MB + MB × MC + MC × MA = x( 2 + x) + y(y - 2) +所以 ( 2 + x)(x - 3 2) + y(y - 2) + x(x - 3 2) + y2=3x2 2 2 2 28- 4 2x + 3y2 - 2 2y - 6 = 3(x - )2 + 3(y - )2 - ，3 3 32 2 2 w 28当 x = , y = 时， 有最小值，且为- ，3 3 328故答案为：-3MA【变式 9-2】在等边VABC 中，M 为VABC 内一动点， BMC = 120°，则 MC 的最小值是（ ）3A 3．1 B． C． D 3．4 2 3【答案】C【解析】如图所示，以VABC 的 BC 边的中点 O 为原点，BC 为 x 轴，过 O 点垂直于 BC 的直线为 y 轴，建立建立直角坐标系如图，再将VABC 延 x 轴翻折得△DBC ，求得△DBC 的外接圆的圆心为 Q，Q BMC =120° ，\ M 点eQ 的劣弧B C 上，3不妨设等边VABC 的边长为 2，可得：Q(0,- ) ， A(0, 3) ，C(1,0)，M (x, y)，3点M 3 4所在圆的方程为： x2 + (y + )2 = .3 3ìx 2 3= cosq 3设参数方程为： í ， 3 2 3 y = - + sinq 3 34| MA |2 x2 + (y - 3)2 cos2 q ( 4 3 2 3+ - + sinq )2\ = = 3 3 3 5 - 4sinq| MC |2= = t(x 1)2 ，- + y2(2 3 cosq -1)2 ( 3 2 3 2 - 3 cosq - sinq+ - + sinq )23 3 325 - 2t = - 3t cosq + 4 - t sinq = 4 - t 2 + 3t sin q + b ，sin b 3t 4 - t= - , cos b =其中 2 2 ， 4 - t 2 + 3t 4 - t 2 + 3t 即 sin(q b )5 - 2t+ = 1 3 MA 32 2 ，解得 t ，\ ；(4 - t) + ( 3t) 4 MC 2故选：C.题型十：隐圆（阿波罗尼斯圆）问题【典例 10-1】阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数 k （ k > 0且 k 1）1的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有 VABC ， BC = 6,sin B = sin C ，当 VABC 的面积最大时，2则 AC 的长为 .【答案】 2 5【解析】因为 sin B1= sin C 1，由正弦定理可得 b = c，即 c = 2b，因为 BC = 6，不妨令 B(-3,0) ，C(3,0)，2 2建立如图所示的平面直角坐标系，设点A 的坐标为 A x, y y 0 ，点A 的轨迹方程满足： (x + 3)2 + y2 = 2 (x - 3)2 + y2 ，整理可得： (x - 5)2 + y2 = 16， y 0 ，即点A 的轨迹是以 (5,0) 为圆心，4 为半径的圆（除与 x 轴两交点外），当点A 的坐标 A(5, 4)或 A(5,-4)1时三角形的面积最大，其最大值为 S = 6 4 =12，2由勾股定理可得 AC = 22 + 42 = 2 5 ．故答案为： 2 5 ．【典例 10-2】阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离之比为定值l （l > 0,l 1）的动点的轨迹.已知在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c， sin A = 2sin B, a cos B + bcos A = 2, 则VABC 面积的最大值为 ．4【答案】3【解析】由已知条件结合余弦定理，可求出BC = 2AC ， AB = 2 ，建立坐标系求出点C 所在的圆的方程，求出点C 到 AB 距离的最大值，即可求出结论.依题意， sin A = 2sin B ，得BC = 2AC ，a cos B bcos A a2 + c2 - b2 b2 + c2 - a2+ = + = c = 22c 2c即 AB = 2 ，以 AB 边所在的直线为 x 轴， AB 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系，则 A(1,0), B(-1,0)，设C(x, y), x 0，由BC = 2AC ，则C 的轨迹为阿波罗尼斯圆，其方程为(x- 5)2 + y2 = 16 , x 0 4 ，边 AB 高的最大值为 ，3 9 3∴ SVABC 4=max .34故答案为：34【变式 10-1】在平面四边形 ABCD中，连接对角线 BD，已知CD = 9， BD =16， BDC=90° ， sin A = ，5则对角线 AC 的最大值为（ ）A．27 B．16 C．10 D．25【答案】A【解析】以 D 为坐标原点，DB,DC 分别为 x,y 轴建立如图所示直角坐标系，则D(0,0), B(16,0),C(0,9) ,因为sin A 4= ， | BD |=16 ，所以由平面几何知识得 A 点轨迹为圆弧（因为为平面四边形 ABCD，所以取图中第51 | BD | 1 16 = =10\E(8, -6)四象限部分的圆弧），设圆心为 E,则由正弦定理可得圆半径为 2 sin A 2 4 ，5因此对角线 AC 的最大值为 | CE | +10 = 82 + (-6 - 9)2 +10 = 27,故选：A【变式 10-2】已知VABC 中，BC = 2，G 为VABC 的重心，且满足 AG ^ BG ，则VABC 的面积的最大值为______.3【答案】 /1.52【解析】以BC 的中点O为原点建立平面直角坐标系，C -1,0 ，B 1,0 ，设 A x, y x y ，则G , ，è 3 3 ÷ 当 x = 0时要使 AG ^ BG ，则G 在坐标原点，显然不成立，y当 x = 3时要使 AG ^ BG ，则 y = ，解得 y = 0 ，显然不成立，3所以 x 0且 x 3，因为 AG ^ BGy y y-k ·k = -1 3所以 AG BG ，即 x ×3x = -1x - -13 3 32 9整理得 x - ÷ + y2 = ，( x 0且 x 3 )è 2 43 3所以当点A 的纵坐标为± 时，VABC 的面积取得最大值为 .2 23故答案为：2uuuv uuuv uuuv r【变式 10-3】已知等边VABC 的边长为 2，点 G 是VABC 内的一点，且 AG + BG +CG = 0，点 P 在VABCuuuv uuuv所在的平面内且满足 PG =1，则 PA 的最大值为________.2 3【答案】 +13uuur uuur uuur【解析】由 AG + BG +CG = 0，可知点 G 为VABC 的重心，以 AB 所在的直线为 x 轴，中垂线为 y 轴建立如uuur图所示的平面直角坐标系，表示出 A, B,G的坐标，设P(x, y) ，由 | PG |=1可知 P 在以G 为圆心，1为半径uuur uuur uuur uuur的圆上，根据点与圆上的点的距离最值求出 | PA |的最大值.由 AG + BG +CG = 0，可知点 G 为VABC 的重心.以 AB 所在的直线为 x 轴，中垂线为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则 A(-1,0)，B(1,0), G3 0, 3 ÷÷.è uuur 2 设P(x, y) ，由 | PG |=1可知 P 为圆 x2 + y3- ÷÷ =1上的动点，è 3 uuur uuur 2 所以 | PA |的最大值为 | AG | +1 3 2 3= 12 + ÷÷ = +1 .è 3 32 3故答案为： +13uuuv uuuv uuuv uuuv° AB AC BA BC 4uuuv uuuv【变式 10-4】在平面四边形 ABCD 中， BAD = 90 ， AB = 2 ， AD =1．若 × + × = CA ×CB ， 3则CB + 12 CD 的最小值为____．26【答案】2【解析】如图，以 AB 的中点O为坐标原点，以 AB 方向为 x 轴正向，建立如下平面直角坐标系.则 A(-1,0)， B(1,0)，uuur uuur uuur设C(x, y)，则 AB = (2,0)， AC = (x +1, y)，BC = (x -1, y)uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 4 uuur uuur因为 AB × AC + BA × BC = AB × AC + AB ×CB = AB × AB = CA ×CB3uuur uuur 4 uuur uuur 4所以 AB × AB = AC × BC ，即： 4 = é(x -1)(x +1) + y2 ù3 3 整理得： x2 + y2 = 4，所以点C 在以原点为圆心，半径为 2 的圆上.在 x 轴上取B1(4,0) ，连接B1CBC OB可得DOBC ~ DOCB1，所以 = = 2，所以B1C = 2BCB1C OCCB 1 1+ CD = (2CB + CD) 1= B1C + CD 2 2 2由图可得：当B1,C, D三点共线时，即点C 在图中的M 位置时，B1C + CD 最小.1 26此时CB + 12 CD 最小为DB1 = (4 +1)2 +12 = .2 226故答案为 ．2题型十一：两边逼近思想cos A cos B【典例 11-1】在VABC 中，若 + = 2, A, B 0,π sin B sin A ÷，且VABC 的周长为 12．è 2 (1)求证：VABC 为直角三角形；(2)求VABC 面积的最大值．【解析】（1）在VABC 中有 sin A > 0， sin B > 0，cos A cos B又 + = 2sin B sin A ，则 sin Acos A + cos B sin B = 2sin B sin A，可得 sin Acos A - sin Bsin A = sin Bsin A - cos Bsin B ，可得 sin A(cos A - sin B) = sin B(sin A - cos B) ①，又A ， B ，C 是三角形内角，若 sin A > cos B，则 cos A < sin B ，此时①式不成立；若 sin A < cos B ，则 cos A > sin B，此时①式不成立；π所以 sin A = cos B = sin - B ÷ ，则 Aπ π+ B = ，则C = ，è 2 2 2所以VABC 是直角三角形．1（2）设直角三角形的两直角边分别为 a，b ，斜边为 c，则直角三角形的面积 S = ab ，2又 a + b + c =12，则a +b+ a2 +b2 =12，所以12 = a + b + a2 + b2 2 ab + 2ab = (2 + 2) ab ，ab 12即 =12 - 6 2 ，即 ab (12 - 6 2)2 = 216 -144 2 ，2 + 2所以 S1= ab 108 - 72 2 ，当且仅当 a = b = 12 - 6 2 时，S取最大值，且最大值为2 108-72 2 ．【典例 11-2】设DABC 的内角 A，B，C 的对边长 a，b，c 成等比数列， cos A - C - cos B 1= ，延长BC 至2D，若 BD = 2，则DACD面积的最大值为__________.3【答案】4【解析】Qcos A - C - cosB 1 = cos A - C + cos A + C = ，21\cosAcosC = ，①4又Qa,b,c 成等比数列，\b2 = ac ，由正弦定理可得 sin2B = sinAsinC ，②1①-②得 - sin2B = cosAcosC - sinAsinC4= cos A + C = -cosB，1\ + cos2B 1 cosB cosB 1- = - ，解得 = , Bp= ，4 2 3cos A C cosB 1由 - - = ，2得 cos A - C 1= + cosB =1，2A - C = 0, A = B ，DABC 为正三角形，设正三角形边长为 a，则CD = 21- a， SDACD = AC ×CDsin120o21= a 2 - a 3 3 = a 2 - a 2 2 4 23 éa + 2 - a ù 3 = ， a =1时等号成立．4 4 4即DACD 3 3面积的最大值为 ，故答案为 .4 4【变式 11-1】设DABC 的内角 A，B，C 的对边为 a，b，c．已知 a，b，c 依次成等比数列，且cos A 1- C - cos B = ，延长边 BC 到 D，若BD = 4，则DACD面积的最大值为______．2【答案】 3【解析】∵ cos(A - C) - cos B1= ，2co（s A - C）+ co（s A + C）= 2cos AcosC 1= ，2∴ cos AcosC1= ，①4∵a，b，c 依次成等比数列，∴ b2 = ac，由正弦定理可得， sin2 B = sin Asin C ②1①-② - sin2可得， B = cos AcosC - sin AsinC = cos(A + C) = -cos B4∴ cos2 B + cos B3- = 041∴ cos B = ，21∴ B = p，31∵ cos(A - C) - cos B = ，2∴ cos(A - C) = 1，即 A - C = 0∴ DABC 为正三角形，设边长 a，S 1 12\ DACD = AC ×CD sin120° = a (4 - a) 3 3 = a(4 a) 3 a + 4 - a- ÷ = 3 当且仅当 a = 4 - a 即2 2 2 4 4 è 2 a = 2时取等号故答案为 3题型十二：转化为正切有关的最值问题【典例 12-1】在锐角VABC 中，角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，S为VABC 的面积，且2 22S = a2 - b - c 2 2b + c，则 的取值范围为 .bcé 59 【答案】 ê2 2, 15 ÷ 1【解析】因为 S = bc sin A， 2S = a2 - b - c 2 ，2所以bc sin A = a2 - b - c 2 2 2，即b + c - a2 = bc 2 - sin A ，由余弦定理b2 + c2 - a2 = 2bc cos A，所以 2 - sin A = 2cos A，2又因为 sin22 - sin AA + cos2 A =1 ，所以 sin2 A + ÷ =1，è 2 4解得 sin A = 或 sin A = 0，5因为VABC 为锐角三角形，所以 sin A4= ，所以 cos A = 1- sin2 A3= ，5 54所以 tan A = ，因为 A + B + C = π，3所以 sin B = sin A + C = sin AcosC + sin C cos A，4 3 4由正弦定理得 b sin B sin AcosC + sin C cos A cosC + sin C= = = 5 5 = 5 3+ ，c sin C sin C sin C tan C 5因为VABC 为锐角三角形，ì0 B π ì π < < < A + C < π 2 2所以 í 0 C π，所以 í ，< < 0 < C π< 2 2π所以 - Aπ< C <2 2 ，sin π π - Atan C > tan - A = è 2÷ cos A 3所以 ÷ = = ，è 2 cos π - A sin A 4 ÷è 2 1 4所以0 < < ，tan C 343 3 5 b 3 5 所以 < 5 ,+ < ，所以 c è 5 3 ÷，5 tan C 5 3 t b= 2b2 + c2 2b c 1设 ，则 = + = 2t + ，c bc c b t1 3 2 ù é 2 5 因为函数 y = 2t + 在 , ,t è 5 2ú 上单调递减，在 ê 2 3 ÷÷上单调递增， 5 59当 t 2= 时，有最小值为 2 2 ，当 t = 时，有最大值为 ，2 3 15所以 2 2 2t1 59+ <t 15 ，2b2 + c2 é59 所以bc ê2 2, . 15 ÷ é故答案为： ê2 2,59 ÷ . 15 【典例 12-2】（2024·河南·三模）在VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．若a b 3c+ = ，则 tan A + tan C 的最小值是（ ）cos A cos B cosC4 8A． B． C． 2 3 D．43 3【答案】Ba b 3c【解析】因为 + = ，cos A cos B cosCsin A sin B 3sin C由正弦定理得 + = ，cos A cos B cosC所以 tan A + tan B = 3 tan C ，又因为C = π - (A + B)，所以 tan A + tan B 3tan A + tan B= - ，1- tan A tan B1 3所以 = ，tan A tan B -1即 tan A tan B = 4 .4 1 1 4 所以 tan B = , tanC = (tan A+ tan B) = tan A+ ，tan A 3 3 è tan A÷ 显然 tan A必为正（否则 tan A和 tan C 都为负，就两个钝角），tan A tan C 4 tan A 4 16 8所以 + = + 2 = ，3 3tan A 9 34 4当且仅当 tan A = ，即 tan Aπ=1, A = 取等号.3 3tan A 4所以 tan A + tan C8 .3故选：B.【变式 12-1】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）在VABC 中，角A 、 B 、C 的对边分别为 a、b 、 c，若1 5 c2 tanA 1-b2+ 2 = 2 2 ，则 的最小值为（tanC ）4a a b1 1A 2 2． B． 3 C．3 9D．9【答案】B1 5 c2 5【解析】由 + = ，得 a2 + b2 = c2 c2 - a25= b22 2 2 2 4 ，所以 4 ，b 4a a b2 5 2 2 5 22 2 2 b + b 2 2 2 b - b由余弦定理得 cos A b + c - a 9b= = 4 = ， cosC a + b - c b= = 4 = - ，2bc 2bc 8c 2ab 2ab 8a9bcos A 8c 9a 9sin A= = - = - sinC 9 sin A所以 cosC -b ，整理得= - × tanC = -9 tan Ac sinC cosC cos A ，即 ，8a由 cosCb= - < 0，知C 为钝角，所以 tanC = -9 tan A < 0 ，则 tan A > 08c .tan A 1 tan A 1所以 - = + 2 tan A1 2× = ，tanC 9 tan A 9 tan A 31 1当且仅当 tan A = 即 tan A =9 tan A 时等号成立，3所以当 tan A1= 时， tan A1 2-3 tanC的最小值为 3 .故选：BB + C【变式 12-2】在VABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且bsin = asin B .2(1)求 A 角的值；a - c(2)若VABC 为锐角三角形，利用（1）所求的 A 角值求 的取值范围.b【解析】（1）因为bsinB + C= asin B ，所以 sin B cosA= sin Asin B ，2 2因为B 0,p ，∵ sin B 0 ，∴ cosA= 2sin A cos A ，∵ A (0,p ) cosA 0 sin A 1，∴ ，∴ =2 2 2 2 2 2，0 A p A p因为 < < ，∴ = ，∴ A p= 3 .2 2 2 6sin p sin 2p- - B （2）由正弦定理， a - c sin A - sin C 3 ÷= = è 3 b sin B sin B3 3- cos B 1- sin B2 2 2 3 1- cos B 1= = × -sin B 2 sin B 21- 1- 2sin2 B 3 ÷è 2 1 3= × B B - = tanB 1- ，2 2sin cos 2 2 2 22 2p p∵ VABC Bp B p B为锐角三角形，∴ < < ，即 < < ， 2 - 3 < tan <1，6 2 12 2 4 2∴ 3 - 2 3< tan B 1 3 -1- < }2 2 2 2a - c ∴ 的取值范围是 3 - 2,3 -1÷ .b ÷è 2 B + C【变式 12-3】在VABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且bsin = asin B ．求：2(1) A ；a - c(2) 的取值范围．bB + C【解析】（1）因为bsin = asin B ，2A所以 sin B cos = sin Asin B ,2因为B 0,p ,\sin B 0，\cos A = 2sin A cos A，Q A 0,p A A 1，\cos 0,\sin = ，2 2 2 2 2 20 A p A p因为 < < ,\ = ,\ Ap= .2 2 2 6 32 sinp sin(2p- - B)（ ）由正弦定理， a - c sin A - sin C= = 3 3b sin B sin B3 3- cos B 1- sin B 3 1- cos B 1= 2 2 2 = × -sin B 2 sin B 23 1- (1- 2sin2 B )2 1 3= × B - = tanB 1- ，2 2sin cos B 2 2 2 22 22p 0 B p 0 tan B因为 0 < B < 3 ，所以 < < ，所以 < < 3，2 3 21 3 B 1 a - c 1所以- < tan - <1，所以 的取值范围是 (- ,1) .2 2 2 2 b 2题型十三：最大角（米勒问题）问题【典例 13-1】某校开展数学专题实践活动，要求就学校新建的体育馆进行研究，为了提高研究效率，小王和小李打算分工调查测量并绘图，完成两个任务的研究．(1)小王获得了以下信息：a．教学楼 AB 和体育馆CD之间有一条笔直的步道BD；b ．在步道BD上有一点M ，测得M 到教学楼顶A 的仰角是 45°，到体育馆楼顶C 的仰角是30°；c．从体育馆楼顶C 测教学楼顶A 的仰角是15°；d ．教学楼 AB 的高度是 20 米．请帮助小王完成任务一：求体育馆的高度CD．(2)小李获得了以下信息：a．体育馆外墙大屏幕的最低处到地面的距离是 4 米；b ．大屏幕的高度 PQ是 2 米；c．当观众所站的位置 N 到屏幕上下两端 P ，Q所张的角 PNQ 最大时，观看屏幕的效果最佳．请帮助小李完成任务二：求步道BD上观看屏幕效果最佳地点 N 的位置．【解析】（1）由题意知 AB = BM = 20， AB ⊥ BM ，由勾股定理得 AM = AB2 + AM 2 = 20 2 ，且可知 AMC = 180° - 45° - 30° = 105° ， ACM = 15° + 30° = 45° CAM = 180° -105° - 45° = 30°，20 2 MC由正弦定理可得 = MC = 20 CD = 20sin 30° = 10，sin 45° sin 30°则体育馆的高度CD为 10 米.ND x tan PND 4 tan QND 6（2）设 = ，则 = ， =x x ，\ tan PNQ = tan( QND PND)tan QND - tan PND - =1+ tan QND tan PND6 4- 2 2 6= x x6 4 = 24 = ，1+ × x + 2 24 12x x x24当且仅当 x = x = 2 6x 时， PNQ 取到最大值，即 ND = 2 6 米时，观看效果最佳．【典例 13-2】1471 年德国数学家米勒向诺德尔教授提出一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即视角最大，视角是指由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角），这个问题被称为米勒问题，诺德尔教授给出解答，以悬杆的延长线和水平地面的交点为圆心，悬杆两端点到地面的距离的积的算术平方根为半径在地面上作圆，则圆上的点对悬杆视角最大.米勒问题在实际生活中应用十分广泛.某人观察一座山上的铁塔，塔高90m，山高160m，此人站在对塔“最大视角”（忽略人身高）的水平地面位置观察此塔，则此时“最大视角”的正弦值为（ ）A 1 9． 2 B． 4116 9C． D．25 16【答案】B【解析】由米勒问题的解答可知，此人应站在离塔水平距离为 l = 160 250 = 200m处观察，设此时视角为q ，塔底离地面高度为n，塔顶离地面高度为m ，m n- l(m - n) m - n则 l = mn tanq = l l，则1 m n= = ，+ × l2 + mn 2 mnl l故 sinqm - n 90 9= = = .m + n 250 +160 41故选：B【变式 13-1】德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角原理”：对定点A 、 B 和在直线 l上的动点 P ，当 l与△APB 的外接圆相切时， APB最大．若 A(0, 2)，B(0,8) ， P 是 x 轴正半轴上一动点，当 P 对线段 AB的视角最大时，△APB 的外接圆的方程为（ ）A． (x - 4)2 + (y - 4)2 = 25 B． (x - 4)2 + (y - 5)2 =16C． (x - 5)2 + (y - 4)2 =16 D． (x - 4)2 + (y - 5)2 = 25【答案】D2 8【解析】设P( p,0), ( p > 0)，则 k1 = kAP = - ， k2 = kBP = -p p ，k1 - ktan APB = tan( APx - BPx) = 21+ k1k22 8 6- + 6 6p p p = = 16 31 ( 2 8= 16 p + 2 p 16× = ，+ - ) × (- ) 1+ 4p p p2 p p16当且仅当 p = p 时成立,解得p = 4 ，\P(4,0)，设△APB 的外接圆的方程为 (x + a)2 + (y + b)2 = r2，ìa2 + (2 + b)2 = r2 a2则 í + (8 + b)2 = r 2 ，解得 a = -4 ，b=- 5， r 2 = 25， (4 + a)2 + b2 = r 2△APB 的外接圆的方程为 (x - 4)2 + (y - 5)2 = 25．故选：D ．【变式 13-2】（2024·山东滨州·二模）最大视角问题是 1471 年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”.如图，树顶 A 离地面 a 米，树上另一点 B 离地面 b 米，在离地面 c c < b 米的 C 处看此树，离此树的水平距离为 米时看 A，B 的视角最大.【答案】 a - c b - c 【解析】过 C 作CD ^ AB ，交 AB 于 D，如图所示：则 AB=a - b, AD = a - c，设 BCD = a , ABC = b ,CD = x ，BCD tana BD b - c在△ 中， = = ，CD x在VACD中， tan(a + b )AD a - c= = ，CD xa - c b - c- a - b a - bx x a - b =所以 tan b = tan (a + b ) -a = a c b c =- - (a - c)(b - c) 2 x (a - c)(b - c) 2 (a - c)(b - c) ，1+ × x + ×x x x x(a - c)(b - c)当且仅当 x = ，即 x = (a - c)(b - c) 时取等号，x所以 tan b 取最大值时， ABC = b 最大，所以当离此树的水平距离为 a - c b - c 米时看 A，B 的视角最大.故答案为： a - c b - c 【变式 13-3】设VABC 中，内角A ， B ，C 所对的边分别为 a，b ， c，且 a cos B - b cos A 3= c ，则5tan(A - B) 的最大值为（ ）3 1 3A． B． C 3． 8 D．5 3 4【答案】D【解析】在 VABC 中，由正弦定理及 acosB - bcosA3= c 得： sin Acos B - sin B cos A3= sin C 3= sin(A + B)，5 5 5即5(sin Acos B - sin B cos A) = 3(sin Acos B + sin B cos A) ，整理得： sin Acos B = 4cos Asin B ，即 tan A = 4 tan B，因0 < B < p ，则 tan B > 0，否则 B 为钝角，A 也为钝角，矛盾，tan(A - B) tan A - tan B 3tan B 3 3 3= = = =1+ tan A tan B 1+ 4 tan2 B 1 + 4 tan B 1 4tan B 2 × 4 tan B，tan B1 1 3当且仅当 = 4 tan B，即 tan B = 时取等号，所以 tan A - B 的最大值为 .tan B 2 4故选：D题型十四：费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题【典例 14-1】当VABC 的三个内角均小于120°时，使得 AMB = BMC = CMA =120°的点M 为VABC 的“费马点”；当 VABC 有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为 VABC 的“费马点”.已知在 VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，P 是VABC 的“费马点”.(1)若 a cosC + 3a sin C - b - c = 0， a = 2 3 ，B < C .①求A ；uuur uuuur uuuur②设VABC 的周长为 2 3 + 6，求 PA + PB + PC 的值；uuuur uuuur uuur(2)若 cos2 B + cos2 C - cos2 A =1， PB + PC = t PA ，求实数 t的最小值.【解析】（1）① sinAcosC + 3sinAsinC - sinB - sinC = 0,a = 2 3, B < C,sin AcosC + 3 sin AsinC - sin AcosC + cos AsinC - sin C = 0,3sinAsinC - cosAsinC - sinC = 0,sinC 0 ，3sinA - cosA -1 = 0,2sin A π 1,sin A π 1 , A 0, π , A π π 5π - ÷ = - ÷ = - - , 6 6 2 6 6 6 ÷è è è A π π , A π则 - = = ,6 6 3uuur uuur uuur②设 PA = x, PB = y, PC = z. x + y + z 2而 = x2 + y2 + y2 + 2xy + 2xy + 2yz ，在△APC 中，由余弦定理得: b2 = x + y2 - 2xycos120o = x2 + y2 + xy.同理有 c2 = x2 + y2 + xy,a2 = y2 + z2 + yz,12 = y2 + z2 + yz则b2 + c2 +12 = 2x2 + 2y2 + xy + yz + xz + 2z2.2在VABC 中由余弦定理知: 2 3 = b + c2 - 2bccos π ,即b2 + c2 - bc =12,3又b + c = 6,则 (b + c)2 = b2 + c2 + 2bc = 36, b2 + c2 = 36 - 2bc.36 - 3bc =12,bc = 8,b2 + c2 = 20, 2x2 + 2y2 + 2y2 + xy + xy + yz = 32,又等面积法知： S1 1DABC = AP ×CPsin120o + BP 1 1 π重难点突破 03 解三角形中的范围与最值问题 目录01 方法技巧与总结 ...............................................................................................................................202 题型归纳与总结 ...............................................................................................................................2题型一：周长问题 ................................................................................................................................2题型二：面积问题 ................................................................................................................................4题型三：长度和差比问题 ....................................................................................................................5题型四：转化为角范围问题 ................................................................................................................6题型五：倍角问题 ................................................................................................................................7题型六：角平分线问题与斯库顿定理 ................................................................................................8题型七：中线问题 ................................................................................................................................9题型八：四心问题 ..............................................................................................................................10题型九：坐标法 ..................................................................................................................................11题型十：隐圆（阿波罗尼斯圆）问题 ..............................................................................................12题型十一：两边逼近思想 ..................................................................................................................13题型十二：转化为正切有关的最值问题 ..........................................................................................13题型十三：最大角（米勒问题）问题 ..............................................................................................14题型十四：费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题 ......................................................................16题型十五：托勒密定理及旋转相似 ..................................................................................................18题型十六：三角形中的平方问题 ......................................................................................................19题型十七：等面积法、张角定理 ......................................................................................................2003 过关测试 .........................................................................................................................................211、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧：（1）利用基本不等式求范围或最值；（2）利用三角函数求范围或最值；（3）利用三角形中的不等关系求范围或最值；（4）根据三角形解的个数求范围或最值；（5）利用二次函数求范围或最值．要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大．2、解三角形中的范围与最值问题常见题型：（1）求角的最值；（2）求边和周长的最值及范围；（3）求面积的最值和范围．题型一：周长问题【典例 1-1】（2024·全国·二模）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，2a cos A = b cosC + c cos B ，且a = 4sin A，则△ABC 周长的最大值为（ ）A． 4 2 B． 6 2 C． 4 3 D．6 3【典例 1-2】（2024·广西河池·模拟预测）已知VABC 中角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，且2c cos A = a cos B + bcos A .(1)求角A ；(2)若 a = 3，求VABC 的周长的最大值，并求出此时角 B ，角C 的大小.【变式 1-1】（2024·江西南昌·三模）在锐角VABC 中， a = 2 3 ， (2b - c) cos A = a cosC ，(1)求角 A；(2)求VABC 的周长 l 的范围.【变式 1-2】（2024·广东广州·一模）VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c 且满足 a = 2，a cos B = 2c - b cos A．(1)求角 A 的大小；(2)求VABC 周长的范围．【变式 1-3】（2024·贵州贵阳·模拟预测）记VABC 内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a2 + b2 - c2 acosB + bcosA = abc．(1)求 C；(2)若VABC 为锐角三角形， c = 2，求VABC 周长范围．题型二：面积问题【典例 2-1】（2024·四川德阳·模拟预测）在VABC 中，角A 、 B 、C 所对的边分别为 a、b 、 c，且sin C c= cos B ，b = 3 .3 2(1)求 B ；(2)若VABC 为锐角三角形，求VABC 的面积范围.【典例 2-2】（2024·全国·模拟预测）已知在锐角VABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且ur r ur rm = 2sin x, 3 ， n = cos x, cos 2x ， f x = m n ， f B + C = 0．(1)求角 A 的值；(2)若b =1，求VABC 面积的范围．【变式 2-1】（2024·四川攀枝花·三模）已知DABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c其面积为S ,且( b + c 2 - a2 = 4 3S .（Ⅰ）求角A ；（II）若 a = 3,b = m(m > 0) ,当DABC 有且只有一解时,求实数m 的范围及S的最大值.【变式 2-2】（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在平面四边形 ABCD 中， AB = AC = BD =10，当四边形ABCD 的面积最大时，BC 2 + CD2 + DA2 的最小值为 .【变式 2-3】（2024·陕西西安·模拟预测）在VABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a = 6 ，6 cos B = 3c - b cos A，则VABC 面积的最大值为 .题型三：长度和差比问题【典例 3-1】（2024·广东深圳·模拟预测）已知VABC 中内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足3c + bsin A = 3a cos B．(1)求角 A 的大小；BC(2)若 D 是边 BC 上一点，且 AD 是角 A 的角平分线，求 的最小值．AD【典例 3-2】（2024·山西运城·模拟预测）VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.sin(A - B) a - b（1）求证： = ；sin A + sin B c（2）若VABC 是锐角三角形， A - Bp= ,a - b = 2，求 c的范围.3【变式 3-1】（2024·山东潍坊·一模）在① tanAtanC - 3tanA =1+ 3tanC ；② 2c - 3a cosB = 3bcosA；③ a - 3c sinA + csinC = bsinB这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.问题：在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，且__________.(1)求角 B 的大小；(2)已知 c = b +1，且角A 有两解，求b 的范围.【变式 3-2】在VABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，b = 2 3 ， 2c a sin C b2 c2 a2 sin B- = + - b(1)求角 B﹔(2)求 2a - c的范围．【变式 3-3】（2024·重庆·模拟预测）在VABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．已知b 2 é= êbcos2 π A - - a sinB cos B ù． è12 2÷ 2 2 ú (1)求角 A 的大小；uuur uuur(2)若BP = PC ，且b + c = 2 ，求 AP 的最小值．【变式 3-4】（2024·安徽亳州·高三统考期末）在锐角DABC 中，角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，已a sin C p= c cos A - 知 6 ÷.è （1）求角A 的大小；（2）设 H 为DABC 的垂心，且 AH =1，求BH + CH 的范围.题型四：转化为角范围问题【典例 4-1】在锐角DABC 中，内角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，且(a +b)(sin A-sin B) = (c -b)sinC .(1)求A ；(2)求 cos B - cosC 的取值范围.【典例 4-2】已知VABC 的内角A 、 B 、C 的对边分别为 a、b 、 c，且 a - b = c cos B - cos A ．(1)判断VABC 的形状并给出证明；(2)若 a b ，求 sin A + sin B + sin C 的取值范围．【变式 4-1】（2024·山西·模拟预测）钝角 VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a，b ， c，若 a cos B = c sin A，则 sin A + 2 sin B 的最大值是 .【变式 4-2】在VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.已知a = 1,b = 2 .π(1)若 B = ，求角 A 的大小；4(2)求 cos Acos π A + ÷的取值范围.è 6 题型五：倍角问题【典例 5-1】（多选题）在锐角VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，且 c = b + 2bcos A，则下列结论正确的有（ ） π π A． A = 2B B． B 的取值范围为 ,è 6 3 ÷ a 1 1 5 3 C． 的取值范围为 ( 2, 3) D． - + 2sin A的取值范围为 ,3b tan B tan A 3 ÷÷è 【典例 5-2】（多选题）（2024·河北·三模）已知VABC 内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c， A = 2B，则（ ）2A 2 b a． a = c b + c B． + 2 的最小值为 3c bcC．若VABC 为锐角三角形，则 1,2 D．若 a = 2 6 ，b = 3，则 c = 5b【变式 5-1】（2024·江西九江·一模）锐角三角形 ABC 中，若 C 2 BAB= ，则 的范围是（ ）ACA． (0,2) B． ( 2, 2) C． ( 2, 3) D． ( 3, 2)【变式 5-2】在锐角VABC 中，内角 A, B,Cc 2所对的边分别为 a,b,c，若 a2 = b2 + bc ，则 + 的最小值b cos2B为 .题型六：角平分线问题与斯库顿定理【典例 6-1】VABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知4a sin A = bsinC cos A + csin Acos B .sinA(1)求 的值；sin C(2)若 BD 是 ABC 的角平分线.（i）证明：BD2 = BA·BC - DA·DC ；（ii）若 a =1，求BD AC 的最大值.【典例 6-2】在VABC 中，内角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c， a = 2 3 ，6cosC - asinC = 3b .(1)求角A 的大小；(2)设 ABC 的平分线与 AC 交于点 D，当VABC 的面积最大时，求BD的长.【变式 6-1】（2024·山西吕梁·一模）设VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，已知bcosC + 2acosA = -ccosB ．(1)求A ；(2)设A 的角平分线交BC 于点M，AM =1，求b + 4c 的最小值．【变式 6-2】（2024·广东佛山·模拟预测）记锐角VABC 的内角A 、 B 、C 的对边分别为 a、b 、 c，已知sin2 C + sin2 B - sin2 A = sin B sin C ．(1)求A ；BD(2)已知A 的角平分线交BC 于点 D，求 的取值范围．CD题型七：中线问题p【典例 7-1】在△ABC 中， B = ，D 在边 AC 上，∠A，∠B．∠C 对应的边为 a，b，c．31 1(1)当 BD 为 B 的角平分线且BD = 3 时，求 + 的值；a c(2)当 D 为 AC 的中点且BD = 2 3 时，求 2c + a的取值范围．【典例 7-2】（2024·高三·黑龙江大庆·期末）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且sinC c= cos B ,b = 3 .3 2(1)求 B ；(2)求VABC 的 AC 边中线BD的最大值.【变式 7-1】（2024·河北·模拟预测）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且 sinA - 3sinB a = c - b sinC + sinB .(1)求角C 的大小；(2)若边 c = 2，边 AB 的中点为 D，求中线CD长的最大值.【变式 7-2】（2024·高三·河北张家口·期末）在VABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a cosC - 2bcos B + c cos A = 0．(1)若 a = 3，b = 7c ，求VABC 的面积；(2)已知 AD 为边BC 的中线，且 AD = 3 ，求 a + c的最大值．【变式 7-3】（2024·浙江·模拟预测）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c且bcosC + csin B a, a + 2b= = 6 2 ，sin A + 2sin B(1)求b ；(2)求 AC 边上中线长的取值范围．题型八：四心问题【典例 8-1】（2024·全国·模拟预测）已知锐角三角形 ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且 c - b sinC = acosC - b sinB + acosBsinC .(1)求角A ；(2)若 H 为VABC 的垂心， a = 2，求VHBC 面积的最大值.2【典例 8-2】在锐角VABC 中， cos A = ，点 O 为VABC 的外心．2uuur uuur uuur(1)若 AO = xAB + y AC ，求 x + y 的最大值；(2)若 BC = 2 ．uuur uuur uuur r①求证：OA + sin 2B OB - cos2B OC = 0；uuur uuur uuur②求 3OA + 2OB + OC 的取值范围．【变式 8-1】已知VABC 的角A ， B ，C 所对的边分别为 a，b ， c，点O是VABC 所在平面内的一点．uuur uuur(1)若点O是VABC 的重心，且OA OB = 0 ，求 cosC 的最小值；uuur uuur uuurO VABC 1 (2)若点 是 的外心， BO = lBA + m BC （l ，m R 2），且 a = 4， c = 6， ml + m - sin B(m R)有è 2 ÷ 最小值，求m 的取值范围．【变式 8-2】从① (a + b + c) (sin A + sin B - sinC) = asin B + 2bsin A；②2a sin Acos B + bsin 2A = 2 3a cosC 这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．在VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足：______．(1)求角 C 的大小；(2)若 c = 3，VABC 的内心为 I，求△ABI 周长的取值范围．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．【变式 8-3】已知VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且 ccosB - 2acosA = bcosAcosB - asin2B .(1)求A ；(2)若 a = 3,O为VABC 的内心，求3OB + 2OC 的取值范围.【变式 8-4】在VABC 中， a,b,c分别是角 A, B,C 的对边， 2a cos A = b cosC + c cos B ．(1)求角 A 的大小；(2)若VABC 3为锐角三角形，且其面积为 ，点G 为VABC 重心，点M 为线段 AC 的中点，点 N 在线段2uuurAB 上，且 AN = 2NB ，线段 BM 与线段CN 相交于点 P ，求 GP 的取值范围.题型九：坐标法【典例 9-1】（2024·山东·二模）已知△ABC 内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，点 G 是△ABC 的重心，uuur uuur且 AG BG = 0 .(1)若 GAB = π6 ，求 tan∠GAC 的值；(2)求 cos∠ACB 的取值范围.p【典例 9-2】在Rt△ABC 中， BAC = ， AB = AC = 2，点M 在VABC 内部， cos AMC3= - ，则2 5MB2 - MA2的最小值为______．【变式 9-1】在VABC 中， AB = 2 ， AC = 3 2 ， BAC = 135°，M 是VABC 所在平面上的动点，则uuur uuur uuur uuuur uuuur uuurw = MA MB + MB MC + MC MA的最小值为________．MA【变式 9-2】在等边VABC 中，M 为VABC 内一动点， BMC = 120°，则 MC 的最小值是（ ）3A．1 B C 3 3． ． D．4 2 3题型十：隐圆（阿波罗尼斯圆）问题【典例 10-1】阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数 k （ k > 0且 k 1）1的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有 VABC ， BC = 6,sin B = sin C ，当 VABC 的面积最大时，2则 AC 的长为 .【典例 10-2】阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离之比为定值l （l > 0,l 1）的动点的轨迹.已知在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c， sin A = 2sin B, a cos B + bcos A = 2, 则VABC 面积的最大值为 ．4【变式 10-1】在平面四边形 ABCD中，连接对角线 BD，已知CD = 9， BD =16， BDC=90° ， sin A = ，5则对角线 AC 的最大值为（ ）A．27 B．16 C．10 D．25【变式 10-2】已知VABC 中，BC = 2，G 为VABC 的重心，且满足 AG ^ BG ，则VABC 的面积的最大值为______.uuuv uuuv uuuv r【变式 10-3】已知等边VABC 的边长为 2，点 G 是VABC 内的一点，且 AG + BG +CG = 0，点 P 在VABCuuuv uuuv所在的平面内且满足 PG =1，则 PA 的最大值为________.uuuv uuuv uuuv uuuv 4 uuuv uuuv【变式 10-4】在平面四边形 ABCD 中， BAD = 90°， AB = 2 ， AD =1．若 AB AC + BA BC = CA CB ， 3则CB + 12 CD 的最小值为____．题型十一：两边逼近思想cos A cos B π 【典例 11-1】在VABC 中，若 + = 2, A, B 0, ÷，且VABC 的周长为 12．sin B sin A è 2 (1)求证：VABC 为直角三角形；(2)求VABC 面积的最大值．【典例 11-2】设DABC 的内角 A，B，C 的对边长 a，b，c 成等比数列， cos A - C - cos B 1= ，延长BC 至2D，若 BD = 2，则DACD面积的最大值为__________.【变式 11-1】设DABC 的内角 A，B，C 的对边为 a，b，c．已知 a，b，c 依次成等比数列，且cos A C cos B 1- - = ，延长边 BC 到 D，若BD = 4，则DACD面积的最大值为______．2题型十二：转化为正切有关的最值问题【典例 12-1】在锐角VABC 中，角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，S为VABC 的面积，且2 22S = a2 - b - c 2 2b + c，则 的取值范围为 .bc【典例 12-2】（2024·河南·三模）在VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．若a b 3c+ = ，则 tan A + tan C 的最小值是（ ）cos A cos B cosC4 8A． B． C． 2 3 D．43 3【变式 12-1】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）在VABC 中，角A 、 B 、C 的对边分别为 a、b 、 c，若1 5 c2+ = ，则 tanA1-2 2 2 2 的最小值为（tanC ）b 4a a b1 1A B 2 2． ．3 3C． 9 D． 9V bsin B + C【变式 12-2】在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 = asin B .2(1)求 A 角的值；a - c(2)若VABC 为锐角三角形，利用（1）所求的 A 角值求 的取值范围.bV bsin B + C【变式 12-3】在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 = asin B ．求：2(1) A ；a - c(2) 的取值范围．b题型十三：最大角（米勒问题）问题【典例 13-1】某校开展数学专题实践活动，要求就学校新建的体育馆进行研究，为了提高研究效率，小王和小李打算分工调查测量并绘图，完成两个任务的研究．(1)小王获得了以下信息：a．教学楼 AB 和体育馆CD之间有一条笔直的步道BD；b ．在步道BD上有一点M ，测得M 到教学楼顶A 的仰角是 45°，到体育馆楼顶C 的仰角是30°；c．从体育馆楼顶C 测教学楼顶A 的仰角是15°；d ．教学楼 AB 的高度是 20 米．请帮助小王完成任务一：求体育馆的高度CD．(2)小李获得了以下信息：a．体育馆外墙大屏幕的最低处到地面的距离是 4 米；b ．大屏幕的高度 PQ是 2 米；c．当观众所站的位置 N 到屏幕上下两端 P ，Q所张的角 PNQ 最大时，观看屏幕的效果最佳．请帮助小李完成任务二：求步道BD上观看屏幕效果最佳地点 N 的位置．【典例 13-2】1471 年德国数学家米勒向诺德尔教授提出一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即视角最大，视角是指由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角），这个问题被称为米勒问题，诺德尔教授给出解答，以悬杆的延长线和水平地面的交点为圆心，悬杆两端点到地面的距离的积的算术平方根为半径在地面上作圆，则圆上的点对悬杆视角最大.米勒问题在实际生活中应用十分广泛.某人观察一座山上的铁塔，塔高90m，山高160m，此人站在对塔“最大视角”（忽略人身高）的水平地面位置观察此塔，则此时“最大视角”的正弦值为（ ）A 1． 2 B9．4116 9C． D．25 16【变式 13-1】德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角原理”：对定点A 、 B 和在直线 l上的动点 P ，当 l与△APB 的外接圆相切时， APB最大．若 A(0, 2)，B(0,8) ， P 是 x 轴正半轴上一动点，当 P 对线段 AB的视角最大时，△APB 的外接圆的方程为（ ）A． (x - 4)2 + (y - 4)2 = 25 B． (x - 4)2 + (y - 5)2 =16C． (x - 5)2 + (y - 4)2 =16 D． (x - 4)2 + (y - 5)2 = 25【变式 13-2】（2024·山东滨州·二模）最大视角问题是 1471 年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”.如图，树顶 A 离地面 a 米，树上另一点 B 离地面 b 米，在离地面 c c < b 米的 C 处看此树，离此树的水平距离为 米时看 A，B 的视角最大.【变式 13-3】设VABC 中，内角A ， B ，C 所对的边分别为 a，b ， c，且 a cos B - b cos A 3= c ，则5tan(A - B) 的最大值为（ ）3 1A B C 33． ． ． 8 D．5 3 4题型十四：费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题【典例 14-1】当VABC 的三个内角均小于120°时，使得 AMB = BMC = CMA =120°的点M 为VABC 的“费马点”；当 VABC 有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为 VABC 的“费马点”.已知在 VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，P 是VABC 的“费马点”.(1)若 a cosC + 3a sin C - b - c = 0， a = 2 3 ，B < C .①求A ；uuur uuuur uuuur②设VABC 的周长为 2 3 + 6，求 PA + PB + PC 的值；uuuur uuuur uuur(2)若 cos2 B + cos2 C - cos2 A =1， PB + PC = t PA ，求实数 t的最小值.【典例 14-2】“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当VABC 的三个内角均小于120°时，使得 AOB = BOC = COA =120°的点O即为费马点；当VABC 有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知VABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，且 asinA = bsinB + csinC ．(1)求A ；uuur uuur uuur uuur uuur uuur(2)若bc = 2，设点 P 为VABC 的费马点，求PA PB + PB PC + PC PA；(3)设点 P 为VABC 的费马点， PB + PC = t PA ，求实数 t的最小值．【变式 14-1】（2024·湖北·三模）VABC 内一点 O，满足 OAC = OBA = OCB ，则点 O 称为三角形的布洛卡点．王聪同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确结论，比如 BOC = π - ABC = BAC + ACB，请你和他一起解决如下问题：(1)若 a，b，c 分别是 A，B，C 的对边， CAO = BAO = OBA = OCB，证明： a2 = bc；uuur uuur uuur uuur(2)在（1）的条件下，若 VABC 的周长为 4，试把 AB AC 表示为 a 的函数 f (a)，并求 AB AC 的取值范围．【变式 14-2】拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点．”某街角公园计划对园内的一块草坪进行改建，这块草坪是由一个半径为2 6的圆的一段优弧与此圆弧上一条长为2 6的弦 AB 围成，改建计划是在优弧上选取一点 C，以 AC、BC、AB 为边向外作三个等边三角形，其外心依次记为 A 、B 、C ，在VA B C 区域内种植观赏花卉．(1)设BC = a 、 AC = b ，用 a、b 表示VA B C 的面积；(2)要使VA B C 面积最大，C 点应选在何处？并求出VA B C 面积最大值．【变式 14-3】小明同学在一次数学课外兴趣小组活动中，探究知函数 f x = 12 - 2x + 12 + x 在-12 x -6 上单调递增，在-6 x 6上单调递减．于是小明进一步探究求解以下问题：法国著名的军事家拿破仑．波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．在三角形 ABC 中，角 A = 60o ，以 AB BC AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O1 O2 O3 ，若三角形O1O2O3 的面积为 3，则三角形 ABC 的周长最小值为 ．题型十五：托勒密定理及旋转相似【典例 15-1】托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.已知四边形 ABCD 的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD 是其两条对角线，BD = 4 3 ，且VACD为正三角形，则四边形ABCD 的面积为（ ）A．16 3 B．16 C．12 3 D．12【典例 15-2】托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和．其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．已知四边形 ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上， AC 、BD是其两条对角线，BD = 4 2 ，且VACD为正三角形，则四边形 ABCD的面积为（ ）A．8 B．16 C．8 3 D．16 3【变式 15-1】克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形 ABCD 内接于半径为 2 3 的圆， A =120°， B = 45°， AB = AD ，则四边形 ABCD 的周长为（ ）A． 4 3 + 6 2 B．10 3 C． 4 3 + 4 2 D． 4 3 + 5 2【变式 15-2】凸四边形就是没有角度数大于 180°的四边形，把四边形任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形 ABCD 中， AB =1，BC = 3 ，AC ^ CD ， AD = 2AC ，当 ABC 变化时，对角线 BD 的最大值为（ ）A．4 B． 13 C．3 3 D． 7 + 2 3【变式 15-3】在VABC 中，BC = 2 ， AC =1，以 AB 为边作等腰直角三角形 ABD ( B 为直角顶点，C ， D两点在直线 AB 的两侧).当角C 变化时，线段CD长度的最大值是（ ）A．3 B．4 C．5 D．9【变式 15-4】如图所示，在平面四边形 ABCD 中，AB=1，BC=2，V ACD 为正三角形，则V BCD 面积的最大值为（ ）A 3 +1 3． 2 3 + 2 B． C． + 2 D． 3 +12 2题型十六：三角形中的平方问题【典例 16-1】（2024·高三·江苏常州·期末）已知DABC 中， AB = AC = 3 ，DABC 所在平面内存在点 P 使得PB2 + PC 2 = 3PA2 = 3，则DABC 面积的最大值为 ．【典例 16-2】（2024·辽宁辽阳·一模）在 VABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，且 a2 + 4b2 = 6c2，sin2 C则 的最小值为 .sin Asin B【变式 16-1】已知△ABC 的三边分别为 a，b，c，若满足 a2+b2+2c2＝8，则△ABC 面积的最大值为（ ）A 5． B 2 5 C 3 5 5． ． D．5 5 5 3【变式 16-2】在VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足5a2 + 3b2 = 3c2 ，则 sin A 的取值范围是___________.【变式 16-3】（2024·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从阳，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式就是21 é 2 2 a2 + c2 - b2 ùS = êa c - ÷ ú ，其中 a，b，c 是VABC 的内角 A，B，C 的对边，若 sin C = 2sin Acos B，4 ê è 2 ú且b2 + c2 = 4，则VABC 面积 S 的最大值为（ ）A 5 B 2 5 C 3 5 D 4 5． ． ． ．5 5 5 5【变式 16-4】（2024·云南·统考一模）已知 VABC 的三个内角分别为A 、 B 、C .若 sin2 C = 2sin2 A - 3sin2 B ，则 tan B 的最大值为（ ）A 5 B 5 C 11 5 3 5． ． ． D．3 2 20 5题型十七：等面积法、张角定理AC AD【典例 17-1】（2024·江苏·模拟预测）在VABC 中，点 D在 AB 边上，且满足 = .BC BD(1)求证： ACD = BCD；(2)若 tan A + tan B + 3 tan A tan B - 3 = 0 ，CD = 2，求VABC 的面积的最小值.【典例 17-2】已知△ABC 的面积为S , ∠BAC= 2a , AD 是△ABC 的角平分线, 则 AD 长度的最大值为（ ）A S S． S sina B． C． S tana D．sina tana【变式 17-1】（2024·上海宝山·高三海市吴淞中学校考期中）给定平面上四点O, A, B,C 满足uuuv uuuvOA = 4,OB = 3,OC = 2,OB OC = 3，则DABC 面积的最大值为_______.【变式 17-2】已知VABC ，内角 A, B,C 所对的边分别是 a,b,c， c = 1, C 的角平分线交 AB 于点 D．若sin A + sin B = 2sin ACB ，则CD的取值范围是____________．【变式 17-3】在VABC 中，角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c， ABC =120° ， ABC 的平分线交 AC于点 D，且BD =1，则 2a + c的最小值为 .1．（2024·甘肃武威·一模）在VABC 中， AB = 3，AC = 2，BC > 2 ，则 cosA的范围是（ ） 1, 5- 11 5-1, ,1 11A． ÷ B． ÷ C． ÷ D． ,1 è 6 è 12 è 6 12 ÷è 2．（多选题）（2024·山东济南·三模）已知VABC 内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，外接圆半径为R．若 a =1，且 sin A - bsin B = c + b sin C ，则（ ）A． sin A 3 3= B．VABC 面积的最大值为2 4C 2 3 3．R = D．BC 边上的高的最大值为3 6c + 4a3．（2024·贵州贵阳·二模）在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 2a cos B = c - a .当 取最小b值时， A = .4．（2024·四川自贡·三模）如图，D 为VABC 的边 AC 上一点， | AD |= 2 | DC |， ABC = 60°，| AB | +2 | BC |= 4，则 BD 的最小值为 .5．（2024·四川南充·二模）在VABC 中， a，b ， c分别为内角A ， B ，C 的对边．已知 a = 2，2sinB + 2sinC = 3sinA．则 cosA的最小值为 ．6．（2024·重庆九龙坡·三模）设VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，其面积为S，已知a sin A + B = c sin A， c = 2 .则C = ；S的最大值为 .2tanB tanC7．已知△ABC 的三个内角 A，B，C 满足 + = 2 tanB + tanC ，则 A 的最大值是 ．cosC cosB8．在VABC 中，角 A，B，C 对应的边分别为 a、b、c，D 是 AB 上的三等分点 ( 靠近点 A)且CD =1， a - b sin A = c + b sinC - sin B ，则a + 2b的最大值为 .9．（2024·辽宁·一模）设VABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c， c = 2且 2sin2 Asin2 B+ sin Asin B 1= sin 2Asin 2B ,则 a + b 的范围是 ．210．VABC 中 AB = AC = 2，VABC 所在平面内存在点 P 使得PB2 + PC 2 = 4，PA2 =1，则VABC 的面积最大值为 ．11．（2024·江苏苏州·三模）在VABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且a b,c = 1.uur uuur uuur(1)若 | CA + CB |=| AB |,2sin A = sinC ，求VABC 的面积;(2)若cos B - cos Aa - b= ，求使得m > a + b恒成立时，实数m 的最小值.21- sin A sin B12．（2024·江西鹰潭·二模）VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a，b ， c，满足 = .cos A cos Bπ(1)求证： A + 2B = ；22(2) a + b2求 2 的最小值.c13．（2024·陕西安康·模拟预测）记VABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，已知__________.在① tan π A + ÷ = -2 - 3 ，② 2b - 2acosC = c ，③ b + c - a b + c + a = 3bc，这三个条件中任选一个填è 4 在上面的横线上，并解答问题.(1)求角A ；(2)若VABC 3的面积为 ，求 (b +1)2 + (c +1)2 的最小值.2注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.14．（2024·上海宝山·二模）在VABC 中，角A 、 B 、C 的对边分别为 a、b 、 c，已知sin2 A + sin2C = sin2B + sinAsinC .(1)求角 B 的大小；(2)若VABC 的面积为 3 ，求 a + c的最小值，并判断此时VABC 的形状.15．（2024· 1- cos A贵州贵阳·模拟预测）已知在VABC 中， - sin A = 0 ，2(1)求 A；(2)若点 D 是边 BC 上一点，BD = 2DC ，△ABC 的面积为 3，求 AD 的最小值.16．（2024·江苏扬州·模拟预测）记VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，若 a + b + c a + b - c = 3，且VABC 3 3的面积为 .4(1)求角C ；uuur uuur(2)若 AD = 2DB ，求 CD 的最小值.17．（2024·陕西西安·一模）已知△ABC 为钝角三角形，它的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 sin2 C = sin2 B + sin(π+ B) cos(π + B) ， a < c，b < c ．3 6(1)求 tan(A + B) 的值；(2)若△ABC 的面积为12 3 ，求 c 的最小值．18．（2024·四川·三模）在VABC 中，内角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，且满足2c sin B cos A = b sin Acos B + cos Asin B .(1)求A ；(2)若VABC 的面积为16 3 ， D为 AC 的中点，求BD的最小值.19．在锐角VABC 中，三个内角A ， B ，C 所对的边分别为 a，b ， c，且 c - b = a cos B - bcos A .(1)求角A 的大小；(2)若 a =1，求VABC 周长的范围.20．（2024·四川·二模）锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且3a= tan B + tan C ．c cos B(1)求角 C 的值；(2)若 c = 2 3 ，D 为 AB 的中点，求中线 CD 的范围．21．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当VABC 的三个内角均小于120°时，使得 APB = BPC = CPA =120°的点 P 即为费马点；当VABC 有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.在VABC 中，内角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c .(1)若 cos(A - C) cos Btan A tan C+ = .tan A tan C -1①求 B ；uuur uuur②若VABC 的面积为 3，设点 P 为VABC 的费马点，求PA PC 的取值范围；(2)若VABC 内一点 P 满足 PAB = PBC = PCA = q ，且 PB平分 ABC ，试问是否存在常实数 t，使得b2 = tac，若存在，求出常数 t；若不存在，请说明理由.22．在VABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，满足b = a - 2bcosC ．(1)求证：C = 2B；(2)求 2sinC + cos B - sin B的最大值．23．在锐角VABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，满足 a2 - b2 = bc ．(1)求证： A = 2B；(2)若b =1，求 a 边的范围；1 1(3)求 - + 2sin A的取值范围．tan B tan A24．三边长度均为整数的三角形称为“整边三角形”.若整边三角形 ABC 的内角A ， B ，C 所对的边分别为 a，2 - cosA sinAb c =， ，且 2cos2 B sinB .2(1)证明： a + c = 2b；(2)若C = 2A，当 a取最小值时，求整边三角形 ABC 的面积. 展开更多...... 收起↑ 资源列表 重难点突破03 解三角形中的范围与最值问题（十七大题型）（学生版）第四章 三角函数与解三角形 2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）.pdf 重难点突破03 解三角形中的范围与最值问题（十七大题型）（教师版）第四章 三角函数与解三角形 2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）.pdf
资源列表