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重难点突破 09 导数中的“距离”问题　
目录
01 方法技巧与总结 ..............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结 ..............................................................................................................................2
题型一：曲线与直线的距离 ................................................................................................................2
题型二：曲线与点的距离 ....................................................................................................................7
题型三：曲线与圆的距离 ....................................................................................................................8
题型四：曲线与抛物线的距离 ..........................................................................................................11
题型五：曲线与曲线的距离 ..............................................................................................................13
题型六：横向距离 ..............................................................................................................................18
题型七：纵向距离 ..............................................................................................................................22
题型八：直线与两曲线交点的距离 ..................................................................................................25
03 过关测试 ........................................................................................................................................26
导数中的“距离”问题，利用化归转化和数形结合的思想可把问题转化为点到直线的距离、两点间的距
离问题，再利用导数法来求距离的最值．方 法 之 一 是 转 化 化 归，将 动 点 间 的 距 离 问题转化为点到
直线的距离问题，而这个“点”一般就是利用导数求得的切点；方法之二是构造函数，求出导数，利用导数
求解最值．
题型一：曲线与直线的距离
9
【典例 1-1】（2024·广西桂林·二模）已知函数 f (x) = (x - m)2 + (ae x - 3m)2 (m R ) 的最小值为 ，则正实数
10
a =（ ）
A．3 B．3e-2 C．3e2 D．3 或3e-2
【答案】D
【解析】 (x - m)2 + (ae x - 3m)2 表示点 A(x,aex )与点 B(m,3m)的距离的平方，
点A在曲线 y = ae x 上，点 B 在曲线 y = 3x 上，
如图，可得a>0，
设与 y = 3x 平行的直线与曲线 y = ae x 相切于点 P(x x00 ， ae ) ．
Q y = ae x ，\ aex0 =3， ①
点 A(x,aex )与点 B(m,3m)的距离的平方的最小值等于点 P(x ， aex00 ) 到直线 y = 3x 的距离．
ae x0 - 3x
\ 0 3= ，\ aex0 -3x0 =3 ②
10 10
结合①②得 x = 0 ，a=3，或 x = 2，a =3e-20 0 .
故选：D.
3 2 2
【典例 1-2】若函数 y1 = sin2x1 - x1 0,p ，函数 y2 = x2 + 3 ，则 x1 - x2 + y1 - y2 的最小值为（ ）2
A 2p B p + 18
2
． ．
12 72
2
C p + 18
2 p - 3 3 +15
． D．
12 72
【答案】B
【解析】设 z = ( x1 - x )
2
2 + ( y
2
1 - y 2 ) ，则 z 的几何意义是两条曲线上动点之间的距离的平方.
∵ y sin2x 31 = 1 - x1 0,p 2
∴ y 1 = 2cos2x
∵直线 y2 = x2 + 3 的斜率为 1
p
∴令 y 1 = 2cos2x =1，解得 x = ，则 y1 = 0 ，6
3 p
即曲线 y1 = sin 2x1 - 在 ( ,0)处的切线和直线 y = x +3平行，2 6
p
+ 3
则最短距离为点 (
p ,0)到 y = x +3的距离 d = 6 ，6 2
p
+ 3
∴ ( x - x )2 + ( y - y )2 6 (p +18)21 2 1 2 的最小值为 d 2 = ( )2 =
2 72
故选：B
lnx
【变式 1-1】点 M 是曲线 f x = 上的动点，则点 M 到直线 y = x + 2 的距离的最小值为（ ）
x
A． 2 2 2+ B． 2 - C 3 2 D 2． ．
2e 2e 2 2
【答案】C
1- lnx
【解析】因为 f x = ，
x2
当0 0 ， f x 单调递增；
当x>e时， f x < 0 ， f x 单调递减．
由 f x 1- ln x= 2 =1，所以 x2 + lnx -1 = 0，x
易得函数 y = x 2 + lnx -1为在 0 , + 上单调递增函数， x=1为零点，
此时 M 的坐标为 1, 0 ，
3 2
由点到直线的距离公式可得 M 到直线 y = x + 2 的距离的最小值为 .
2
故选: C.
【变式 1-2】（2024·高三·安徽合肥·期中）点P,Q 分别是函数 f x = 3 x - 4, g x = x 2 - 2 ln x 图象上的动点，
则 | PQ |2 的最小值为（ ）
3
A． (2 + ln2)2
3
B． (2 - ln2)2
5 5
2
C． (1+ ln2)2
2
D． (1- ln2)2
5 5
【答案】D
2
【解析】当函数 g x = x - 2lnx 在点Q处的切线与 f x = 3x - 4 平行时， | PQ |2 最小.
g x 2x 2 g x 2x 2 3 x 2 1= - ，令 = - = 得 = 或 x = - （舍），所以切点为Q(2, 4 - 2ln 2)，
x x 2
所以 | PQ |的最小值为切点Q(2, 4 - 2ln 2)
6 - 4 + 2 ln 2 - 4 2 ln 2 - 2
到直线 f x = 3x - 4 的距离 d = = ，
10 10
2
所以 | PQ |2 的最小值为d 2 = (1- ln2)2 .
5
故选：D.
【变式 1-3】（2024·陕西西安·二模）若 2ln x1 - x1 - y1 + 3 = 0， x2 - y2 + 5 = 0，则 x1 - x2
2 + y1 - y2
2
的最小
值为（ ）
A．2 2 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【解析】由题意，设函数 f x = 2ln x - x + 3, x > 0 ，直线 y = x + 5，
设直线 y = x + b与函数 y = f x 的切点为P(x0 , y0 )
2
可得 f x 2= -1，可得 f x0 = -1 =1，解得 x0 = 1x ，可得 y0 = 2，x 0
1- 2 + 5
即切点坐标为P(1, 2)，则切点到直线 x - y + 5 = 0的距离为 d = = 2 2 ，
2
2 2
又因为 x1 - x2 + y1 - y2 表示点 P 到直线 x - y + 5 = 0的距离为平方，
2 2
所以 x1 - x2 + y1 - y2 的最小值为 d 2 = 8 .
故选：C.
x
【变式 1-4】已知函数 f x = ae - a -1 x +1- a a > 0 ， g x = x + b ，点 P 与Q分别在函数 y = f x 与
y = g x 的图象上，若 PQ 的最小值为 2 ，则b = （ ）
A． -1 B．3 C． -1或 3 D．1 或 3
【答案】A
【解析】因为 f (x) = a ex - (a -1)，令 f (x) = 1，解得 x = 0，
而 f 0 = a +1- a =1，
则函数 y = f (x) 的图象在点( 0, 1)处的切线方程为 y = x +1，
则 | PQ |min = 2 ，即点( 0, 1)到直线 x - y + b = 0的距离为 2 ，
| b -1 |
所以 = 2 ，解得b = 3 或b = -1，
2
当b = 3 x时， y = x +3与函数 f x = ae - a -1 x +1- a a > 0 的图象相交，
所以b = -1.
故选：A.
a
【变式 1-5 a - 2e 1- c】若实数 a,b,c,d 满足 = = 1，则 (a - c)2 + (b - d )2 的最小值是（
b d 1 ）-
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】A
a - 2ea
【解析】由 =1，得b = a - 2ea ，令 f x = x - 2ex '，则 f x =1- 2ex ，
b
f '令 (x)= 0得 x = - ln 2 ，当 x > - ln 2 '时， f x < 0, f x '单调递减，当 x < - ln 2时， f x > 0, f x 单调递
增；
1- c
由 =1，得 d = -c + 2，令 g x = -x + 2，
d -1
f x , g x 的图像如下图：
则 (a - c)2 + (b - d )2 表示 y = f x 上一点M a,b 与 y = g x 上一点 N c, d 的距离的平方，
显然，当过 M 点的 f x 的切线与 g x 平行时， MN 最小，
设 y = f x 上与 y = g x '平行的切线的切点为M 0 x0 , y0 ，由 f x =1- 2ex00 = -1，解得 x0 = 0，
2
所以切点为M 0 0, -2 ，切点到 y = g x
0 - 2 - 2
的距离的平方为 1 1 ÷
= 8，
è +
即 (a - c)2 + (b - d )2 的最小值为 8；
故选：A.
【变式 1-6】已知实数 a，b ， c，d 满足 | ln(a -1) - b | + | c - d + 2 |= 0，则 (a - c)2 + (b - d )2 的最小值为（ ）
A．2 2 B．8 C．4 D．16
【答案】B
【解析】由 | ln(a -1) - b | + | c - d + 2 |= 0得， ln(a -1) - b = 0， c - d + 2 = 0 ，即b = ln(a -1)，d = c + 2，
(a - c)2 + (b - d )2 的几何意义为曲线b = ln(a -1)上的点 (a , b ) 到直线d = c + 2上的点 (c,d ) 连线的距离的平方，
不妨设曲线 y = ln(x -1) ，直线 y = x + 2 ，设与直线 y = x + 2 平行且与曲线 y = ln(x -1) 相切的直线方程为
y = x + m，
显然直线 y = x + 2 与直线 y = x + m的距离的平方即为所求，
由 y = ln(x -1)
1
，得 y = ，设切点为 (x0 ， y0 )，x -1
ì 1
=1
x0 -1 ìx0 = 2
则 íy0 = x0 + m ，解得 ím = -2，

y0 = ln(x -1)

0 y0 = 0

\ | 2 + 2 |直线 y = x + 2 与直线 y = x + m的距离为 = 2 2 ，
2
\(a - c)2 + (b - d )2的最小值为 8．
故选：B.
题型二：曲线与点的距离
【典例 2-1】若点 A(t,0)与曲线 y = ex 上点 P 的距离的最小值为 2 3 ，则实数 t的值为（ ）
4 ln 2 4 ln 2 3 ln 3 ln 3A． - B． - C． + D．3+
3 2 3 2
【答案】D
【解析】先设切点 B，再根据导数几何意义以及最值列式解得实数 t的值.因为 2 3 >1 ,所以 t > 0,由题意得
以 A x为圆心， 2 3 为半径的圆与曲线 y = ex 相切于点 B,设B x，e 11 ,则在 B 点处切线的斜率为 ex1 ，所以
ì ex1
×ex 1 = -1
í x1 - t \(x1 - t)
2 - (x1 - t) -12 = 0
(x - t)2 + (ex1 )2 1 = 2 3
Q x t 0 x t 1 11 - < \ 1 - = -3, (e
x1 )2 = 3\ x1 = ln 3, t = ln 3 + 3，选 D.2 2
【典例 2-2】（2024·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）设点 A(t,0)，P 为曲线 y = ex 上动点，若点 A，
P 间距离的最小值为 6 ，则实数 t 的值为（ ）
5 ln 2 ln 3
A． 5 B． C． 2 + D． 2 +2 2 2
【答案】C
【解析】设P(x,ex ) 2，则 AP = (x - t)2 + e2x ，记 g(x) = e2x + (x - t)2 ，
g (x) = 2e2x + 2(x - t) ，易知 g (x) = 2e2x + 2(x - t) 是增函数，且 g (x) 的值域是 R ，
∴ g (x) = 0的唯一解 x0 ，且 x < x0时， g (x) < 0， x > x0时， g (x) > 0，即 g(x)min = g(x0 )，
g(x ) = e2x0 + (x - t)2由题意 0 0 = 6，而 g (x ) = 2e
2x0
0 + 2(x
2x
0 - t) = 0， x0 - t = -e 0 ，
ln 2
∴ e2x0 + e4x0 = 6，解得 e2x0 = 2， x0 = ．2
∴ t = e2x
ln 2
0 + x0 = 2 + ．2
故选：C．
【变式 2-1】（2024·高三·广东汕头·开学考试）若点 A 0, t 与曲线 y = ln x 上点 B 距离最小值为 2 3 ，则实
数 t为 .
1
【答案】 ln 3 + 3
2
1
【解析】设点 B 的坐标为 m, ln m ，对函数 y = ln x 求导得 y = ，
x
t - ln m
由题意可知，直线 AB 与曲线 y = ln x 在点 B 处的切线垂直，则 kAB = = -m ，-m
得 t = m2 + ln m，
由两点间的距离公式得 AB = m2 + t - ln m 2 = m2 + m4 ，
由于 AB 的最小值为 2 3 ，即m4 + m2 =12，Qm > 0，解得m = 3 ，
因此， t = 3+ ln 3 3
1
= + ln 3 .
2
1
故答案为： ln 3 + 3
2
题型三：曲线与圆的距离
1
【典例 3-1】（2024·高三· 2 2山东青岛·期末）已知动点 P，Q 分别在圆M : (x - ln m) + (y - m) = 和曲线
4
y = ln x 上，则 PQ 的最小值为 ．
1
【答案】 2 -
2
【解析】由题意得M ln m, m 1，即圆心M 在 y = ex 上，半径为 2 ，
故 PQ 1的最小值等于 MQ 的最小值减去半径 2 ，
设Q n, ln n ，由于 y = ex 与 y = ln x 关于 y = x 对称，
MQ 的最小值等于Q到直线 y = x 的距离的最小值的 2 倍，
由 y = ln x
1 1
，可得 y = ，令 =1，解得 n = 1，
x n
故 y = ln x 在点Q 1,0 处的切线与 y = x 平行，此时Q 1,0 到 y = x 的距离最小，
1- 0 2
最小值为 = ，
1+1 2
2
故 MQ 的最小值为 2 = 2 ，
2
则 PQ
1
的最小值等于 2 - .
2
1
故答案为： 2 -
2
2
【典例 3-2】（2024· 2 浙江宁波·模拟预测）已知 x,m,n R且 x 0, m2 + n2 =1，则 (1+ x - m)2 + 1- x - + n÷
è x
的最小值是（ ）
A．2 2 B．9 - 4 2 C．1+ 2 2 D．8
【答案】B
(1 x m)2 1 x 2
2 2 2
【解析】代数式 + - + - - + n÷ = (1+ x - m)
2 + x -1+ - n

è x ÷ è x
可以看成点 A(m,n)
2
到点B(1+ x, x + -1)距离的平方，点 A(m,n)在平面直角坐标系 sOt 中，表示单位圆
x
s2 + t 2 =1上的点，
点B(1+ x, x
2
+ -1) 2表示曲线 t(s) = s - 2 + 上的点，如下图所示：
x s -1
2
t(2) = 2，由 t(s) = s - 2 + t (s)
2
=1- 2 t (2) = -1s 1 (s 1) ，- -
所以曲线 t(s) = s 2
2
- + 在点D(2, 2)处的切线方程为： y - 2 = -(x - 2) y = -x + 4 ，
s -1
此时直线OD与直线 y = -x + 4垂直于点D(2, 2)，交圆于点C ，
由数形结合思想可以确定：
2
当点 A(m,n)运动到C 点时，当点B(1+ x, x + -1)运用到点D(2, 2)时，
x AB
2 有最小值，即
AB2 = (OD -1)2 = ( 22 + 22 -1)2 = 9 - 4 2 ，
故选：B
【变式 3-1】若 x、a、b 为任意实数，若 (a +1)2 + (b - 2)2 =1，则 (x - a)2 + (ln x - b)2最小值为( )
A．2 2 B．9 C．9 - 4 2 D． 2 2 -1
【答案】C
【解析】由 (a +1)2 + (b - 2)2 =1可得 a,b 在以 -1,2 为圆心，1 为半径的圆上，
(x - a)2 + (lnx - b)2 表示点 a,b 与点 x, lnx 的距离的平方，
即表示圆 (x +1)2 + (y - 2)2 =1上动点到函数 y＝lnx 图像上动点距离的平方．
设 m, lnm 为 y＝lnx 上一点，且在 m, lnm 处的 y＝lnx 的切线与 m, lnm 和 -1,2 连线垂直，可得
lnm - 2 1
× = -1，
m +1 m
即有 lnm + m2 + m = 2 ，
由 f m = lnm + m2 + m 在m > 0时递增，且 f 1 = 2 ，可得 m＝1，即切点为 1,0 ，
圆心与切点的距离为 d = (1+1)2 + (0 - 2)2 = 2 2 ，
由此可得 (x - a)2 + (lnx - b)2 的最小值为 (2 2 -1)2 = 9 - 4 2 ．
故选：C．
2
【变式 3-2】若 P ，Q分别是函数 y = x2 与圆 x + 3 + y2 =1上的点，则 PQ 的最小值为 ．
【答案】 5 -1 / -1+ 5
【解析】设圆 x + 3 2 + y2 =1的圆心为C(-3,0)，半径为 r =1，
当PC 垂直于抛物线在点 P 处的切线时， | PQ |取得最小值，为 | PC | -r ，如图所示，
设点P(m, n) ，则直线PC 的斜率为 k
n - 0
= ，且m2PC = n ，m + 3
由 x2 = y 知， y = 2x ，
所以在点 P 处的切线的斜率为 k = 2m，
n - 0
因为直线PC 与切线垂直，所以 ×2m = -1，所以 2m3 = -3- m，
m + 3
所以 (2m3 + 2) + (m +1) = 0，即 (m +1)(2m2 - 2m + 3) = 0，
2m2因为 - 2m + 3 = 2(m
1
- )2 5+ > 0 恒成立，所以m +1 = 0，即m = -1，
2 2
此时 P(-1,1)，
所以 PC - r = (-1+ 3)2 + (1- 0)2 -1 = 5 -1，即 | PQ |的最小值为 5 -1．
故答案为： 5 -1．
【变式 3-3】已知点 P 为函数 f (x) = ex 的图象上任意一点，点Q为圆 (x -1)2 + y2 =1上任意一点，则线段 PQ
长度的最小值为（ ）
A． 2 -1 B．1 C． 2 D． 3 -1
【答案】A
【解析】
由圆的对称性可得只需考虑圆心M (1,0)到函数 f (x) = ex 图象上一点的距离的最小值．
设 f (x) 图象上一点 N (m, em )，令 f (x) 图象上一点 N (m, em )的切线为 l
由 f (x) 的导数为 f (x) = ex ，即切线 l的斜率为 k = em ，
当MN ^ l 时，圆心M (1,0)到函数 f (x) = ex 图象上一点的距离最小，
em
此时 = -e-m ，即有 e2m + m -1 = 0，
m -1
由 g(x) = e2x + x -1，可得 g (x) = 2e2x +1 > 0， g(x)递增，又 g(0) = 0，
所以m = 0，\ N (0,1) ，
所以点( 0, 1)到点Q的距离最小，且为 2 ，
则线段 PQ的长度的最小值为 2 -1，
故选：A．
题型四：曲线与抛物线的距离
2
2 2
【典例 4-1】设j(a,b) = (a - b)2 b b+ ln a - ÷ + (a > 0,b R) ，当 a，b 变化时，j(a,b)的最小值为
è 4 4
_______.
【答案】 2 -1 .
2
2
2
【解析】j(a,b) = a - b 2 + ln a
b b
- ÷ + ，
è 4 4
b2
函数表示点 A a, ln a 和 B b, 4 ÷ 的距离加上 B 的纵坐标，è
2
画出 f x = ln x x和y = 的图像，如图所示：
4
故 AB + BC = AB + BD -1 = AB + BF -1 AF -1，当 ABF 共线时等号成立.
设 g x = x2 + ln x -1 2 ，则 g ' x 2ln x-1= +2x， g ' 1 = 0 ，
x
当 x >1时，2
ln x-1
> -2，故 g ' x 2ln x-1= +2x > 0，函数单调递增；
x x
2ln x-1 2 g ' x 2ln x-1当0 < x < 1时， < - ，故 = +2x < 0，函数单调递减.
x x
g x = gmin 1 = 2，故 AF -1 2 -1 .
综上所述：j(a,b)的最小值是 2 -1 .
故答案为： 2 -1 .
2
2 a2 a2
【典例 4-2】设D = x - a + ln x - ÷ + +1 . a R ，则D的最小值为
è 4 4
A 2． B．1 C． 2 D．2
2
【答案】C
1 2
【解析】由题可得：设 f (x) = ln x, g(x) = x ，所以D为 g(x)上任意一点到 f (x)上任一点及抛物线焦点的
4
2 2 2 2 h ' (x) 2 éx ln x -1h(x) x ( ln x ù距离之和，所以距离表达式为 x + ( ln x -1) ,令 = + -1) ， = ê + ，显然在[0,1] x ú
递减，[1, + ) 递增所以 h(x)min = h(1) = 2，故 x2 + ( ln x -1)2 最小值为 2
2
【变式 4-1】（2024·湖北·模拟预测）设D = x - a 2 + ex - 2 a + a +1，其中 e 2.71828 ，则D的最小值
为（ ）
A． 2 B． 2 +1 C． 3 D． 3 +1
【答案】A
【解析】令Q x, ex ，P a, 2 a x，则点Q在函数 f x = e 图象上， P 在函数 g x = 2 x 的图象上，
容易知道 g x = 2 x 图象是抛物线 y2 = 4x图象的上半部分，
记抛物线焦点为F 1,0 ，过 P 作抛物线的准线 l : x = -1的垂线，垂足为M ，如图所示：
2
则D = x - a 2 + ex - 2 a + a +1 = PQ + PM = PQ + PF FQ ，
当且仅当 P 在线段 FQ 上时，取最小值.
设这时Q点坐标为Q x0 , ex0 ，又 f x = ex ，
ex0x - 0
所以有 e 0 × = -1 e2x0 =1- x0，解得 x0 = 0 ，即该点为 0,1 ，x0 -1
FQ 1- 0 2所以 + 0 -1 2 = 2 ，因此Dmin = 2 .
故选：A.
题型五：曲线与曲线的距离
【典例 5-1】（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期中）设点 P 在曲线 y = ln x -1 上，点Q在曲线
y = ex-1上，则 PQ 的最小值为___________.
【答案】 2
【解析】由于曲线 y = ln x -1 是由 y = ln x 向右平移 1 个单位得到的， y = ex-1是由 y = ex 现右平移 1 个单位
得到的，所以 PQ 的最小值可以看成曲线 y = ln x 上的点与 y = ex 上的点间的最小值，
因为 y = ex 与 y = ln x 互为反函数，其图象关于直线 y = x 对称，
所以所求的最小值为曲线 y = ex 上的点A 到直线 y = x 的最小距离的 2 倍，
设与直线 y = x 平行的直线与曲线 y = ex 相切于点M (x0 ,e
x0 ) ，
因为 y ' = ex ，由 ex0 =1，得 x0 = 0，
所以切点M (0,1) ，
y = x 0 -1 2所以点A 到直线 的最小距离为 d = = ，
2 2
所以 PQ 的最小值为 2 ，
故答案为： 2
【典例 5-2】设 a,b R ， c > 0，则 (a - b)2 + (ea - b)2 + (c - b)2 + (ln c - b)2 的最小值为 ．
【答案】 2
a
【解析】由两点距离公式的几何意义可知 (a - b)2 + (ea - b)2 表示点 a, e 到 b,b 的距离，
(c - b)2 + (ln c - b)2 表示点 c, ln c 到 b,b 的距离，
a
而 a, e 是 y = ex x > 0 上的点， c, ln c 是 y = ln x 上的点， b,b 是 y = x 上的点，且 y = ex 与 y = ln x 关于
直线 y = x 对称，
所以 (a - b)2 + (ea - b)2 + (c - b)2 + (ln c - b)2 的最小值可转化为 y = ex 图像上的动点与 y = ln x 图像上的动
点最小距离，
显然， y = ex 与平行 y = x 的切线 l1的切点M ，和 y = ln x 与平行 y = x 的切线 l2的切点 N ，它们之间的距离
MN 就是所求最小距离，
对于 y = ex ，设切点为 x1, y1 ，有 y = ex ex =1 x = 0 y = e0，则 1 ，故 1 ，则 1 =1，故M 0,1 ，
1
对于 y = ln x ，设切点为 x2, y 2 ，有 y 1= ，则 =1，故 x2 =1，则 y2 = ln1 = 0x ，故 N 1,0 x ，2
所以 MN = 1+1 = 2 ，所以题设式子的最小值为 2 .
故答案为： 2 .
【变式 5-1】（2024·湖北襄阳·模拟预测）设点 P 在曲线 y = e2x+2 +1上，点 Q 在曲线 y =1+ ln x +1上，则
|PQ|的最小值为 .
2 1+ln2
【答案】
2
【解析】令 f (x) = e2(x+1)、 g(x) = ln x +1 分别向上平移一个单位可得 y = e2x+2 +1、 y =1+ ln x +1，而
f (x) 与 g(x)关于 y = x 对称，
∴当两条曲线在 P、Q 处的切线均与 y = x +1平行时，P、Q 关于 y = x +1对称，|PQ|有最小，对应曲线平移到
f (x) 、 g(x)后，P、Q 关于 y = x 对称即可，
∴令 t = x +1 > 0，则 f (x) = m(t) = e2t ，
ln 2 ln 2 1 ln 2 1
∴ m (t) = 2e2t =1有 t = - ，则m(- ) = ，即P(- , )，
2 2 2 2 2
| 1 ln 2+ |
∴ P 到 y = x 的距离 d = 2 2 2(ln 2 +1)= ，
2 4
∴ | PQ | 2d 2(ln 2 +1)= = .
2
2(ln 2 +1)
故答案为： .
2
【变式 5-2】设点 P 在曲线 y = x2 +1(x 0) 上，点Q在曲线 y = x -1(x 1)上，则 | PQ |的最小值为 .
3 2 3
【答案】 / 2
4 4
【解析】由 y = x2 +1，得： x2 = y -1， x = ± y -1 .
2
所以 y = x +1 x 0 与 y = x -1互为反函数．
则它们的图象关于 y = x 对称．
要使 PQ 的距离最小，则线段 PQ垂直直线 y = x .
2
点 P 在曲线 y = x +1 x 0 上，点 Q 在曲线 y = x -1上，
设 P(x, x2 +1)，Q(x, x -1) .
又 P，Q 的距离为 P 或 Q 中一个点到 y = x 的最短距离的两倍．
以 Q 点为例，Q 点到直线 y = x 的最短距离
2
x 1 1 3 - -

÷ +x - x -1 è 2 4
d = =
2 2
1 5
所以当 x -1 = ，即 x = 3 2时，d 取得最小值 ，
2 4 8
3 2 3 2
则 PQ 的最小值等于 2 = .
8 4
3 2
故答案为：
4
x
【变式 5-3】已知点 P 在函数 f x = xe +1 ln x的图象上，点 Q 在函数 g x = 的图象上，则 PQ 的最小值
x
为 .
【答案】 2
【解析】
f x = xex +1 f x = 1+ x ex由函数 ，求导可得： ，则 f 0 =1，
在 A 0,1 处的切线方程为 y -1 =1 x - 0 ，整理可得： y = x +1；
g x ln x g x 1- ln x由函数 = ，求导可得： = 2 ，则 g 1 =1，x x
在B 1,0 处的切线方程为 y - 0 =1 x -1 ，整理可得 y = x -1；
1- 0
由直线 AB 的斜率 kAB = = -1，易知：直线 AB 分别与两条切线垂直..0 -1
故答案为： 2 .
x 1
【变式 5-4】（2024·高三·辽宁·期中）如图所示，动点 P，Q 分别在函数 f x = e + x， g x = 2ln x + 上
2
运动，则 PQ 的最小值为 ．
5
【答案】
2
x 2
【解析】如题图，两个函数都是定义域上的单调递增函数，又 f x = e +1， g x = 在定义域上分别单
x
调递增、单调递减，所以函数 f x 递增的速度由慢到快， g x 递增的速度由快到慢，设动点P x1, y1 ，
ì x 21
e +1 = ,
x2
Q x2 , y

2 ，当且仅当满足： í
ex1 + x1 1
时， PQ 取得最小值，由图象的示意图不难发
- 2lnx +

2 2 ÷ è 2× = -1
x1 - x2 x2
现，该方程组有唯一一组 x1 = 0 ， x2 =1，所以P 0,1 ，Q 1,
1
2 ÷ ，所以
PQ 的最小值为
è
1 2 0 1 2 5- + 1-

2 ÷
= ．
è 2
5
故答案为： .
2
【变式 5-5】设点 P 在曲线 y = ex+1上，点Q在曲线 y = -1+ ln x 上，则 | PQ |最小值为（ ）
A． 2 B．2 2
C． 2(1+ ln2) D． 2(1- ln2)
【答案】B
【解析】Q y = ex+1与 y = -1+ ln x 互为反函数，其图像关于直线 y = x 对称
先求出曲线 y = ex+1上的点到直线 y = x 的最小距离．
设与直线 y = x 平行且与曲线 y = ex+1相切的切点 P(x0 ， y0 )．
y = ex+1， e x0 +1 = 1，解得 x = -1．\ y = e-1+10 0 = 1．
得到切点 P( 1,1) y = x d
| -1-1|
- ，点 P 到直线 的距离 = = 2 ．
2
\| PQ |最小值为2 2 ．
故选：B．
ex
【变式 5-6】已知函数 y = 的图象与函数 y = ln(2x)的图象关于某一条直线 l对称，若 P ，Q分别为它们图
2
象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（ ）
A 2 ln 2 B 2 ln 2． ． C 2(1+ ln 2)． D． 2 1- ln 2
2 4 2
【答案】D
ex ea
【解析】设 P a,b 为函数 y = 图象上任意一点，则b = ， P a,b 关于直线 y = x 的对称点为Q b, a ，
2 2
又 y = ln(2b) = ln ea = a，即点Q b, a 在函数 y = ln(2x)的图象上，
ex
所以函数 y = 的图象与函数 y = ln(2x)的图象关于直线 y = x 对称，
2
所以这 P ，Q两点之间距离的最小值等于点 P 到直线 y = x 距离最小值的 2倍，
x x
由 y e= ，则 y e= ，
2 2
ex ex0 ex0
函数 y = 在点P(x0 , y0 )处的切线斜率为 k = ，令 k = =1，解得 x0 = ln 2， y0 =1，2 2 2
所以点 P 到直线 y = x
ln 2 -1 2 1- ln 2
距离的最小值为 d = = ，
2 2
所以这 P ，Q两点之间距离的最小值为 2d = 2 1- ln 2 .
故选：D
1
【变式 5-7】（2024·高三·宁夏石嘴山·开学考试）已知动点P、Q分别是曲线 xy = e2 和曲线 y = 2ln x 上的任
意一点，则线段 PQ 的最小值为（ ）
A．2 2 B． 2 2(1- ln 2) C． 2 D． 2(1- ln 2)
【答案】B
1
【解析】因为 xy = e2 与 y = 2ln x互为反函数，所以其图象关于直线 y = x 对称，
1
先求出曲线 xy = e2 上的点到直线 y = x 的最小距离，该距离的 2 倍即为所求.
1
设与直线 y = x 平行且与曲线 xy = e2 相切的直线切点为P(x0 , y0 )，
y 1
1 x 1 1 x0
因为 = e2 ，所以 e2 =1，解得 x0 = ln 4，2 2
1
所以 ln 4y0 = e2 = e
ln 2 = 2，即切点为P(ln 4,2)，
2 - ln 4
点 P 到直线 y = x 的距离 d = = 2 1- ln 2 ，
2
所以线段 PQ 的最小值为 2 2 1- ln 2 .
故选：B
题型六：横向距离
【典例 6-1】（多选题）（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知函数 f (x) = ex ， g(x) = ln x +1的图象与直线 y=m 分
别交于 A、B 两点，则（ ）.
A．m > 0
B．"m > 0，曲线 y = f (x) 在 A 处的切线总与曲线 y = g(x) 在 B 处的切线相交
C． AB 的最小值为 1
D． m > 0，使得曲线 y = f (x) 在点 A 处的切线也是曲线 y = g(x) 的切线
【答案】ACD
【解析】设 A、B 的横坐标分别为 x1，x2，
则 ex1 = ln x2 +1 = m
由于 ex1 > 0，故m > 0，故 A 正确；
当m =1时 x1 = 0, x2 =1 ,
Q f x = ex , g x 1= ,\ f x1 = f 0 =1, g x2 = g 1 =1,x
所以曲线 y = f (x) 在 A 处的切线总与曲线 y = g(x) 在 B 处的切线斜率相等，两切线不相交，故 B 错误；
AB = x2 - x = e
m-1
1 - ln m ,
设 h m = em-1 - ln m, m > 0 ,则 h m = em-1 1- ,是单调递增函数，且 h 1 = 0 ,
m
所以在 0,1 上 h m < 0, h m 单调递减，在 1, + 上， h m > 0, h m 单调递增，
所以 AB = h m = h 1 =1min min ,故 C 正确；
曲线 y = f (x) x在点 A 处的切线方程为 y - e 1 = ex1 x - x1 ,若此切线同时也是曲线 y = g(x) 的切线，可设切点
为 x0 , y0 ,
ì

y0 - e
x1 = ex1 x0 - x1

则 í y0 = ln x0 +1 ,

ex 11 =
x0
消去 x0得 x1 -1 ex1 - x1 = 0 ,
x
设j x = x -1 e - x ,
j 2-1 = - +1 > 0,j 0 = -1 0,j 2 = e2 - 2 0 ,
e
因为j x 的图象是连续的，所以j x 至少有两个零点（可以证明恰有两个零点，因与本题结论无关，在
此从略），
故 x1 -1 ex1 - x1 = 0有解，进而得到m的值是存在的且大于零的，故 D 正确.
故选：ACD.
【典例 6-2】（2024·江苏苏州·一模）已知直线 y＝a 分别与直线 y = 2x - 2 ，曲线 y = 2ex + x交于点 A，B，
则线段 AB 长度的最小值为 ．
3 + ln 2
【答案】
2
【解析】Q y = 2ex + x, y ' = 2ex +1，设与 y = 2x - 2 平行的 y = 2ex + x的切线的点为 x0 , y0 ，则切线斜率为
2ex0 +1 x， 2e 0 +1 = 2, x0 = - ln 2, y0 =1- ln 2,\切线方程为 y + ln 2 -1 = 2 x + ln 2 ， y = 2x + ln 2 +1则 y = 2x - 2
与 y = 2x + ln 2 +1， y = a 被直线与切线截得的线段长，就是 y = a 被直线 y = 2x - 2 和曲线 y = 2ex + x截得
线段 AB 的最小值，因为 a取任何值时， y = a 被两平行线截得的线段长相等，所以令 a = 0，可得
x 1, x - ln 2 -1, AB x x 3 + ln 2 3+ ln 2 3 + ln 2A = B = = B - A = ，线段 AB 的最小值 ，故答案为 .2 2 2 2
【变式 6-1】已知直线 y = m，分别与直线 y = 5x - 5和曲线 y = 2ex + x交于点 M，N 两点，则线段 MN 长度
的最小值是 ．
9 - 4ln2
【答案】 .
5
x
【解析】设与 y = 5x - 5平行且与 y = 2ex + x相切的直线的切点为 x0 , 2e 0 + x0 ，
y = 2ex +1 \2ex因为 ， 0 +1 = 5,ex0 = 2, x0 = ln 2，切点为 ln 2,4 + ln 2 ，
切线方程为 y - 4 - ln 2 = 5 x - ln 2 ，即 y = 5x + 4 - 4ln 2，
MN 长度的最小值就是 y = m被 y = 5x - 5与 y = 5x + 4 - 4ln 2截得的弦长，
m + 5 m + 4ln 2 - 4 9 - 4ln 2
则有 - = ，
5 5 5
9 - 4ln 2
故答案为： .
5
3
【变式 6-2 2】直线 y = m 分别与曲线 y = x - 2ln x ， 直线 y = x - 3 交于 A, B 两点， 则 AB 的最小值为
2
（ ）
A 7 2 3 3
7
． B． C． D． 5
4 2 2
【答案】C
d
【解析】由题，设A 到直线 y = x - 3的距离为d ，直线 y = x - 3的倾斜角为a ，则 sina = AB ，
又 tana =1，\ AB = 2d ，故 AB 最小即d 最小，即为当过点A 处的切线与直线 y = x - 3平行时最小，
3
由曲线 y = 3x
2
- =1, x > 0，得 x =1

，所以切点为 A
x
1, ÷，
è 2
1 3- - 3
可求得点A 到直线 y = x - 3的距离最小值为 d 2 7 2min = =
12 + -1 2 4
故 AB = 2d
7
min min
= ，
2
故选：C
【变式 6-3】（2024·陕西铜川·一模）直线 y = m分别与直线 y = x 、曲线 y = 4x - ln x 交于点 A，B，则 AB
的最小值为（ ）
1 ln 3 1 ln 3 1+ ln 3A． + B． + C． D．2 + ln 3
2 2
【答案】B
【解析】由题意可知，直线 y = m与直线 y = x 的交点 A m,m ，直线 y = m与曲线 y = 4x - ln x 交点B x0 , m ，
满足m = 4x0 - ln x0 x0 > 0 ，
则 AB = x0 - m = x0 - 4x0 - ln x0 = ln x0 - 3x0 = 3x0 - ln x0 ，
设 f x = 3x - ln x， x > 0，则 f (x) 1= 3- ，
x
由 f (x) > 0
1
，得 x > ； f (x) < 0 0 x
1
，得 < < ，
3 3
所以 f x 在 0,
1 1
÷ 上单调递减，在 ,+ 3 3 ÷
上单调递增，
è è
则 f x f 1 ÷ = 3
1 ln 1 - =1+ ln 3，即 AB =1+ ln 3
è 3 3 3 min
，
故选：B．
【变式 6-4】已知直线 y = a 分别与曲线 y = ex 和曲线 y = ln x +1交于P,Q 两点，则 PQ 的最小值为（ ）
e
A．1 B． e C． D 1．
2 2
【答案】A
【解析】因为直线 y = a 分别与曲线 y = ex 和曲线 y = ln x +1交于P,Q 两点，
所以点 P a-1的坐标为 ln a, a ，点Q的坐标为 e , a ，
PQ = ea-1所以 - ln a ，
设 f a = ea-1 - ln a a-1 1，则 f a = e - ，
a
y = ea-1因为函数 , y
1
= - 在 0, + 上都为增函数，
a
f a = ea-1 1所以函数 - 在 0, + 为增函数，又 f 1 = 0，
a
a-1
所以当 0 < a < 1时， f a < 0，函数 f a = e - ln a单调递减，
当 a > 1时， f a > 0 ，函数 f a = ea-1 - ln a单调递增，
所以 f a f 1 =1，
PQ = ea-1所以 - ln a 1，当且仅当 a =1时取等号，
所以 PQ 的最小值为1.
故选：A.
f x = ex g x ln x 1【变式 6-5】已知函数 ， = + 的图象分别与直线 y = m m > 0 交于 A, B两点，则 AB 的
2 2
最小值为（ ）
A．2 B 2． 2 + ln 2 C． e +
1
D． 2e - ln
3
2 2
【答案】B
x
【解析】因为函数 f x = e , g x ln x 1= + 的图像与直线 y = m分别交于 A, B两点，
2 2
m 1-
所以 A ln m，m ，B 2e 2 m m 1， ÷，其中 -2e 2 > ln m ，且m > 0，è
m 1-
所以 AB = 2e 2 - ln m，
x 1-
令 h x = 2e 2 - ln x(x > 0) ，
x 1-
则 h x 1= 2e 2 1- ，令 h x = 0得： x = ；
x 2
1 1
所以易得： x > 时， h x > 0；0 < x < 时， h x < 0；
2 2
即函数 h x 在 0,
1 1
÷上单调递减，在 ,+ ÷上单调递增，
è 2 è 2
因此 h x h 1 ÷ = 2 + ln 2，即 AB 的最小值为 2 + ln 2 .
è 2
故答案为：B.
题型七：纵向距离
【典例 7-1】（2024·四川宜宾·模拟预测）若直线 x = a与两曲线 y = ex , y = lnx分别交于 A, B两点，且曲线
y = ex 在点A 处的切线为m，曲线 y = lnx在点 B 处的切线为n，则下列结论：
① $a 0, + ，使得m // n；②当m // n时， AB 取得最小值；
③ AB
5
的最小值为 2；④ AB 最小值小于 ．
2
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由直线 x = a与两曲线 y = ex , y = lnx分别交于 A, B两点可知： a > 0
曲线 y = ex a a a a上A 点坐标 a,e ，可求导数 y = ex ，则切线m斜率 km = e ，可知切线m： y - e = e x - a .
曲线 y = lnx上 B 点坐标 a, ln a 1 1，可求导数 y = ，则切线n斜率 k
x n
= .
a
1
令 km = kn ，则 e
a 1 x 1 1= ，令 g x = e - x > 0 ， g ÷ = e2 - 2 < 0, g 1 = e -1 > 0，a x è 2
1
由零点存在定理，$a ,1÷使 g x = 0，即$a 0, + ，使 km = kn ，即m // n，故①正确.
è 2
1
AB = ea - ln a ，令 h a = ea - ln a 1a > 0 ,\h a = ea 1- a0，由 g x 同理可知有 a ,1 ，使 e = ，令
a 0 2 ֏ a0
ì h a > 0 a > a0
íh a 0 0 a a ，
\h a 在 a = a0 处取最小值，即当m // n时， AB 取得最小值，故②正确.
< < < 0
AB = ea ln a ,Qea 1 10 - 00 = ,\a = ln = - ln a , AB
1
\ = + a 1
min a ,1a 0 0 min 0是对勾函数，在 0 ÷上是减函数，0 a0 a0 è 2

÷
\ AB 1 +1,
1 1
1 + AB
2, 5
min 1 2 ÷ min 2 ÷
，故③错误，④正确.
÷ è
è 2
故选：C
【典例 7-2】直线 x = a分别与曲线 f x = ln x - x和曲线 g x = x2 - x + 2交于A ， B 两点，则 AB 的最小值
为
11 5 1
A． B．2 C 3 2． D． + ln 2
4 4 2 2
【答案】D
【解析】根据题意可设 A a, f a ，B a, g a ，即可表示出 AB ，构造函数 h x = x2 - ln x + 2 并求得
h x ，令 h x = 0求得极值点并判断函数的单调性，即可求得 AB 的最小值.直线 x = a分别与曲线
f x = ln x - x和曲线 g x = x2 - x + 2交于A ， B 两点，
设 A a, f a ，B a, g a ，
且 f a = ln a - a ， g a = a2 - a + 2，
AB = f a - g a = a2 - ln a + 2 ， a > 0 ．
2
h x = x2 - ln x + 2 2x -1， h x = ， x > 0，
x
令 h x = 0 2 2解得 x = ， x = - （舍），
2 2

当 x
2
0, ÷÷时 h x < 0，则 h x 在 0,
2
2 ÷è ÷
上单调递减，
è 2
2 2
当 x , + ÷÷时， h x > 0，则 h x 在2 , + ÷÷上单调递增．è è 2

所以 h x 2 5 1= h = + ln 2 > 0min ÷÷ ，
è 2 2 2
5 1
综上可知 AB 的最小值为 + ln 2．
2 2
故选：D.
【变式 7-1】动直线 x = m （m > 0）与函数 f (x) = x2 + x ， g(x) = ln x的图象分别交于点 A，B，则 AB 的最
小值为（ ）
3
A． + ln 2 B
3
．3ln 2 C． + ln 2 3- ln 2
4 2
D．
【答案】A
【解析】设 y = f (x) - g(x) = x2 + x - ln x(x > 0) ，
y ' 2x 1 1 2x
2 + x -1 (x +1)(2x -1)
则 = + - = = (x > 0) ，
x x x
0 x 1 1当 < < 时， y ' < 0，当 x > ， y ' > 0，
2 2
y = f (x) 1 1- g(x) 0, ,+ 所以 在 ÷上递减，在2 2 ÷
上递增，
è è
1 1
2
1 1 3
所以当 x = 时 y = f (x) - g(x)取得最小值 ÷ + + ln = + ln 2，2 è 2 2 2 4
3
所以 AB 的最小值为 + ln 2，
4
故选：A
【变式 7-2】已知直线 x = a与函数 f x = x +1， g x = ln 2x +1 的图像分别交于 A，B 两点，则 AB 的最
小值为（ ）
1 ln 2 1 ln 3 3A． - B． - C． - 2ln 2
3
D． - ln 2
2 2 2
【答案】D
【解析】设 h(x) = f (x) - g(x) = x +1- ln(2x 1)(x
1
+ > - )，
2
2 2x -1
则 h (x) =1- = ，
2x +1 2x +1
1 1
当- < x < 时， h (x) < 0 x
1
，当 > ， h (x) > 0，
2 2 2
所以 h(x) = f (x) - g(x)
1 1 1
在区间 - ,2 2 ÷
上单调递减，在区间 , + ÷上单调递增，
è è 2
x 1所以当 = 时， h(x) = f (x) - g(x)
1
取得最小值 +1- ln(2
1
+1) 3= - ln 2，
2 2 2 2
3
所以 AB 的最小值为 - ln 2，
2
故选：D.
题型八：直线与两曲线交点的距离
【典例 8-1】已知直线 x + y + a = 0与曲线 y = eex y
ln x
， = 分别交于点 A, B，则 AB 的最小值为（
e ）
2
A B 2 2． ． C．1 D．e
e e
【答案】B
【解析】设与直线 x + y + a = 0垂直，且与 y = eex 相切的直线为 l1，
设与直线 x + y + a = 0
ln x
垂直，且与 y = 相切的直线为 l2，e
所以， kl = k1 l =12 ，
设直线 l 与 y = eex1 的切点为M x1, y1 ，
因为 y = eex+1，所以 eex
1 1
1 +1 =1，解得 x
1 1
1 = - ， y1 = ，即M - , ，e e ÷è e e
设直线 l2与 y
ln x
= 的切点为 N x2 , ye 2 ，
1 1 1 1 1 1y = 因为 ，所以 =1ex ，解得 x2 = ， y = - ，即
N , - ，
ex 2 e
2 e ֏ e e
此时 kMN = -1，
所以，当直线 x + y + a = 0 2 2与直线MN 重合时， AB 最小，最小值为 MN = .
e
故选：B
【典例 8-2】（2024·陕西安康·三模）已知直线 y = b分别与直线 y = x +1、曲线 y = ln x - 2交于点 A，B，则
线段 AB 长度的最小值为（ ）
A．2 B． 2 + ln 2 C．4 D． 4 + ln 2
【答案】C
【解析】令 g(x) = (x +1) - (ln x - 2) = x + 3 - ln x ，则 g x 1 1 x -1= - = ，
x x
x (0,1) 时， g (x) < 0， x (1,+ )时， g (x) > 0，
所以 g(x)在( 0, 1)上单调递减，在 (1, + )上单调递增，
所以 g(x)min = g(1) =1+ 3 - ln1 = 4 > 0．
所以直线 y = x +1在曲线 y = ln x - 2的上方，由 x +1 = b，则 x = b -1，
ln x - 2 = b x eb+2 AB = eb+2由 ，则 = ，则 - (b -1) = eb+2 - b +1．
令 h(x) = ex+2 - x +1，则 h (x) = ex+2 -1，
令 h (x) < 0，解得 x<- 2，令 h (x) > 0，解得 x > -2 ，
所以 h(x) 在 (- , -2)上单调递减，在 (-2,+ )上单调递增， h(x)min = h(-2) = 4．
故选：C．
【变式 8-1】（2024·福建莆田·一模）已知直线 l1：y = x + a分别与直线 l2：y = 2 x +1 及曲线C：y = x + ln x
交于 A,B 两点，则 A,B 两点间距离的最小值为（ ）
A 3 5 B 6 5． ．3 C． D．3 2
5 5
【答案】D
ìy = x + a ìy = x + a a a
【解析】由 íy = 2 x +1 ，得 A a - 2,2a - 2 ，由 í ，得B e ,a + e ， y = x + ln x
a 2 a 2AB = e - a + 2 + é e + a - 2a - 2 a ù = 2 e - a + 2 = g a ，
g ' a = ea -1， g a > 0，则 a 0, + ， g a < 0，则 a - ,0 ，
g a 在 - ,0 上递减，在 0, + 上递增，
\ g a = gmin 0 = 3 2 ，即 A, B两点间距离的最小值为3 2 ，
故选：D.
1 2．已知直线 y = m与曲线 f x = 2x - 3ln x和直线 y = x - 3分别交于 P，Q 两点，则 PQ 的最小值
为 ．
【答案】4
【解析】设点 P 到直线 y = x - 3的距离为 d，则 PQ = 2d ，
所以当点 P 到直线 y = x - 3的距离最小时 PQ 最小，
又当曲线在点 P 处的切线与直线 y = x - 3平行时 d 最小，所以此时 PQ 最小，
设P m,n ，
f x = 2x2 - 3ln x 0, + f ' x 4x 3因为函数 的定义域为 ， = - ，
x
4m 3 3令 - =1，解得m =1或m = - （舍去），
m 4
所以切点为P 1,2 ，
1- 3 - 2
y = x - 3 d 4点 P 到直线 的距离 = = = 2 2 ，
2 2
所以 PQ 的最小值为 4，
故答案为：4.
2．（2024·高三·山东聊城·期末）最优化原理是指要求目前存在的多种可能的方案中，选出最合理的，达到
事先规定的最优目标的方案，这类问题称之为最优化问题.为了解决实际生活中的最优化问题，我们常常需
要在数学模型中求最大值或者最小值.下面是一个有关曲线与直线上点的距离的最值问题，请你利用所学知
3
识来解答：若点M 是曲线 y = x2 - 2ln x 上任意一点，则M 到直线 x - y - 2 = 0的距离的最小值为（
2 ）
A 5 2 B 5 2 C 3 2 3 2． ． ． D．
2 4 4 2
【答案】B
3 2
【解析】由函数 y = x - 2ln x ，可得 y = 3x
2 , x 0 3x 2- > ，令 - =1，可得 (x -1)(3x + 2) = 0，
2 x x
3
因为 x > 0，可得 x =1，则 y = ，
2
即平行于直线 l : x - y 2
3
- = 0 3 2 且与曲线 y = x - 2ln x 相切的切点坐标为P 1,
2 2 ÷
，
è
1 3- - 2
由点到直线的距离公式，可得点 P 到直线 l的距离为 d 5 2= 2 = .
2 4
故选：B
3．曲线 y = ex 上的点到直线 x - y - 3 = 0的距离的最小值为（ ）
A． 2 B．2 C．2 2 D．4
【答案】C
【解析】设与已知直线平行且与曲线相切的直线为 x - y + c = 0，
则 k = ex =1，解得 x = 0，
所以切点为( 0, 1)，代入切线方程，可得 c =1，
| -3-1| 4
即切线为 x - y +1 = 0 ，由两平行线间的距离 d = = = 2 212 + (-1)2 2 ，
所以最小值为2 2 ，
故选：C．
4．已知点 P 是曲线 f x = x ln x 上任意一点，点 Q 是直线 y = x - 3上任一点，则 PQ 的最小值为（ ）
A． 2 B． 3 C．1 D． e
【答案】A
【解析】函数 f x = x ln x 的定义域为全体正实数，
f x = x ln x f x = ln x +1，
x 1当 > 时， f x > 0, f x 单调递增，
e
0 x 1当 < < 时， f x < 0, f x 单调递减，函数图象如下图：
e
过点P x0, y 0 的曲线 f x = x ln x 的切线与直线 y = x - 3平行时， PQ 最小，
即有 f x = ln x0 +1 =1 x0 =1 y0 = 0 P 1,0 ，
1- 3
所以 PQ = = 2min 2 ，1 + -1 2
故选：A
5．若点 P 是曲线 y = lnx - x2 上任意一点，则点 P 到直线 l : x + y - 4 = 0 距离的最小值为（ ）
A 2． B． 2 C．2 D．2 2
2
【答案】D
【解析】过点 P 作曲线 y = lnx - x2 的切线，当切线与直线 l : x + y - 4 = 0 平行时，点 P 到直线 l : x + y - 4 = 0
距离最小.
设切点为P x0 , y0 x
1
0 > 0 , y = - 2x ，x
所以切线斜率为 k
1 1
= - 2x0 ，由题知 - 2x0 = -1
1
x x ，解得
x0 = 1或 x0 = - （舍），
0 0 2
1-1- 4\P 1, -1 ，此时点 P 到直线 l : x + y - 4 = 0 距离 d = = 2 2 .
2
故选：D
6．若动点 P 在曲线 y = ex + x 上，则动点 P 到直线 y = 2x - 4 的距离的最小值为（ ）
A． 5 B． e + 1 C． 2 5 D． 2e
【答案】A
x
【解析】设P x0 , e 0 + x0 ，由题意知 y = ex +1，
则在点P x0 , ex0 + x0 处的切线斜率为 k = y | = ex0x=x +1，0
当在点P x0 , ex0 + x0 处的切线与直线 y = 2x - 4 平行时，点 P 到直线 y = 2x - 4 的距离最小，
由 ex0 +1 = 2 ，得 x0 = 0，则 P(0,1)，
| -1- 4 |
所以点 P(0,1)到直线的距离 d = = 5 .
4 +1
所以动点 P 到直线 y = 2x - 4 的距离的最小值为 5 .
故选：A
7．设点 P 在曲线 y = e2x
1
上，点Q在曲线 y = ln x上，则 | PQ |的最小值为（ ）2
A 2． (1- ln 2) B． 2(1- ln 2)
2
C． 2(1+ ln 2) D 2． (1+ ln 2)
2
【答案】D
【解析】 y = e2x
1
与 y = ln x互为反函数，它们图像关于直线 y = x 对称；
2
故可先求点 P 到直线 y = x 的最近距离 d，
又 y = 2e2x ，当曲线上切线的斜率 k = 2e2x x
1 ln 2 y e2x 10 =1时，得 0 = - ， 0 = 0 = ，2 2
P 1则切点 - ln 2,
1 2
2 2 ÷到直线
y = x 的距离为 d = (1+ ln 2)，
è 4
所以 | PQ |的最小值为 2d 2= (1+ ln 2) ．
2
故选：D．
8．设点 P 在曲线 y = 2ex 上，点Q在曲线 y = ln x - ln 2上，则 | PQ |的最小值为（ ）
A．1 - ln 2 B． 2(1- ln 2)
C． 2(1+ ln 2) D． 2(1+ ln 2)
【答案】D
【解析】Q y = 2ex 与 y = ln x - ln 2互为反函数，
所以 y = 2ex 与 y = ln x - ln 2的图像关于直线 y = x 对称，
设 f (x) = 2ex - x(x R)，则 f (x) = 2ex -1，
令 f (x) = 0得 x = ln
1
，
2
则当 x < ln
1
时， f (x) < 0 x ln
1
，当 > 时， f (x) > 0，
2 2
所以 f (x) 在 (
1
- , ln ) 单调递减，在 (ln
1 ,+ ) 单调递增，
2 2
所以 f (x) f (ln
1) 1 ln 1 = - > 0，
2 2
所以 y = 2ex 与 y = x 无交点，则 y = ln x - ln 2与 y = x 也无交点，
下面求出曲线 y = 2ex 上的点到直线 y = x 的最小距离，
设与直线 y = x 平行且与曲线 y = 2ex 相切的切点 P(x0 ， y0 )，
Q y = 2ex ，
1
\2ex0 = 1，解得 x0 = ln = - ln 22 ，
ln 1
\ y0 = 2e 2 =1，
得到切点 P(- ln 2,1) y = x d | - ln 2 -1| 2(1+ ln 2)，到直线 的距离 = = ，
2 2
| PQ |的最小值为 2d = 2(1+ ln 2) ，
故选：D．
9．（2024·四川·一模）若点 P 是曲线 y = ln x - x2 上任意一点，则点 P 到直线 l : x + y - 4 = 0 距离的最小值为
（ ）
A 2． B． 2 C．2 2 D．4 2
2
【答案】C
【解析】过点 P 作曲线 y = ln x - x2 的切线，当切线与直线 l : x + y - 4 = 0 平行时，点 P 到直线 l : x + y - 4 = 0
距离的最小.
设切点为P(x0 , y0 )(x0 > 0)
1
， y = - 2x ，
x
1
所以，切线斜率为 k = - 2xx 0 ，0
1
由题知 - 2x0 = -1
1
得 x = 1x 0 或 x0 = - （舍），0 2
|1-1- 4 |
所以， P(1,-1)，此时点 P 到直线 l : x + y - 4 = 0 距离 d = = 2 2 .
2
故选：C
10．若点 A a,a ，B b, eb a,b R ，则A 、 B 两点间距离 AB 的最小值为（ ）
A．1 B 2． C． 2 D．2
2
【答案】B
【解析】点 A a,a b在直线 y = x ，点B b, e 在 y = ex 上， y = ex , y = ex ，设 y = ex 的切线的切点为 x0 , y0 ，
令 y =1 ex0 =1 x0 = 0 ，所以 y = ex 在点 0,1 处的切线为 y = x +1 ,此时切线 y = x +1与直线 y = x 平行，
1 2
直线 y = x 与 y = x +1之间的距离 = 为 AB 的最小值，
1+1 2
故选：B
11．已知 ln x1 - x1 - y1 + 2 = 0， x2 + 2y2 - 5 - 2ln 2 = 0，则 x1 - x
2
2 + y1 - y
2
2 的最小值为（ ）
A 3 5 B 4 5
9 16
． ． C． D．
5 5 5 5
【答案】C
【解析】由 ln x1 - x1 - y1 + 2 = 0，则点 A x1, y1 在函数 y = ln x - x + 2上，
x2 + 2y2 - 5 - 2ln 2 = 0
1 5
，则点B x2 , y2 在函数 y = - x + + ln 2上，2 2
则 x1 - x
2 2
2 + y1 - y2 表示A 、 B 两点的距离的平方，
2
要求 x1 - x2 + y1 - y2
2
的最小值，即求 AB 的最小值，
1 5 1 5
当过 A 的点切线与直线 y = - x + + ln 2平行时，点 A 到直线 y = - x + + ln 2的距离即为 AB 的最小值，
2 2 2 2
1 y | 1 1由 y = ln x - x + 2可得 y = -1，所以 x=x = -1 = -1 x 2 ，解得
x1 = 2，x 1
所以 y1 = ln 2 - 2 + 2 = ln 2，即 A 2, ln 2 ，
2 + 2ln 2 - 5 - 2ln 2A 2, ln 2 x 2y 5 3 3所以 到 + - - 2ln 2 = 0 的距离 d = = ，即 AB = ，
12 + 22 5 min 5
2 2 2 9
所以 x1 - x2 + y1 - y2 的最小值为 AB =min ；5
故选：C
12．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知 lnx1 + 2x1 - y1 +1 = 0,4x2 - y2 + 3 - ln2 = 0，则 x1 - x
2
2 + y1 - y2
2
的
最小值为（ ）
17ln2
A B 17
9 9ln2
． ． C． D．
9 9 17 17
【答案】C
【解析】根据题意，点 x1, y1 是函数 y = ln x + 2x +1图像上一点，
点 x2 , y2 是直线 y = 4x + 3- ln 2 上一点
函数 y = ln x + 2x +1
1
的导函数为 y = + 2，
x
所以其图像上一点 x, y 1处切线的斜率为 + 2
x
当过点 x1, y1 的切线与直线 y = 4x + 3- ln 2 平行时，点 x1, y1 与点 x2 , y2 之间的距离最小
且两点间的距离可转化两平行线之间的距离
1
此时有， + 2 = 4\ x
1
1 = ，从而可得 y1 = 2 - ln 2x1 2
1
此时函数 y = ln x + 2x +1图像上过点 x1, y1 的切线方程为 y = 4 x - ÷ + 2 - ln 2
è 2
3 3
化简为 4x - y - ln 2 = 0，其与直线 y = 4x + 3- ln 2 间的距离为 d = =
1+ 42 17
2 2 2 9
所以 x1 - x2 + y1 - y2 的最小值为 d = .17
故选：C.
13 a b c d a - 2e
a 1- c
．已知实数 ， ， ， 满足： = = 1，其中 e 是自然对数的底数，则 (a - c)2 + (b - d )2 的最小值
b d -1
是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
a - 2ea 1- c
【解析】因为实数 a，b，c，d 满足： = = 1，
b d -1
所以b = a - 2ea ， d = 2 - c .
所以点 a , b 在曲线 y = x - 2ex 上，点 c,d 在 y = 2 - x上.
所以 (a - c)2 + (b - d )2 的几何意义就是曲线 y = x - 2ex 上的任一点到 y = 2 - x上的任一点的距离的平方.
由几何意义可知，当 y = x - 2ex 的某一条切线与 y = 2 - x平行时，两平行线间距离最小.
设 y = x - 2ex 在点 a , b 处的切线与 y = 2 - x平行，则有：
ìb = a - 2ea ìb = -2
í ，解得： í ，即切点为 0,-2 .
y =1- 2e
a = -1 a = 0
此时 0,-2 到直线 y = 2 - x d
| 0 - 2 - 2 |
的距离为 = = 2 2 就是两曲线间距离的最小值，
1+1
2 2所以 (a - c) + (b - d )2 的最小值为 d 2 = 2 2 = 8 .
故选：B
x2 - ln x x - 2
14．（2024·新疆· 1 1 2二模）若 = = 1 2，则 x1 - x2 + y1 - y2
2
的最小值是（ ）y1 y2
A 1 2． 2 B． C． 2 D． 22
【答案】D
2
【解析】由已知可得 y1 = x1 - ln x1， y2 = x2 - 2，
则 x - x 2 21 2 + y1 - y2 的最小值即为曲线 y = x2 - ln x的点到直线 x - y - 2 = 0的距离最小值的平方，
2
设 f x = x - ln x x > 0 ，则 f x = 2x 1 1- ，令 2x - =1，解得 x =1，
x x
f 1 =1，
曲线 y = x2 - ln x与 x - y - 2 = 0平行的切线相切于P 1,1 ，
2 2
则所求距离的最小值为点P 1,1 到直线 x - y - 2 = 0的距离的平方，即 ÷ = 2 .
è 1+1
故选：D.
15．（2024·全国·模拟预测）已知 x > 0， y R
2
， (x - y)2 + x2 - ln x + 2 - y 的最小值为（ ）
4 3 16A． 2 B．2 C． D．
3 3
【答案】B
2
【解析】 (x - y)2 + x2 - ln x + 2 - y 可以转化为： A x, x2 - ln x + 2 是函数 f (x) = x2 - ln x + 2 图象上的点，
B(y, y) 2是函数 y = x 上的点， | AB |2 = (x - y)2 + x2 - ln x + 2 - y .
当与直线 y = x 平行且与 f (x) 的图象相切时，切点到直线 y = x 的距离为 | AB |的最小值.
令 f x 2x 1 1 x 1= - = ，解得 x =1或 = - ，（舍去），又 f (1) = 3，
x 2
所以切点C(1,3)到直线 y = x 的距离即为 | AB |的最小值.
1- 3 2
所以 | AB |min = = 2 ，所以 | AB |min = 2 .2
故选：B.
16 2．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 x1 - ln x1 - y1 = 0， x2 - y2 - 3 = 0，则 (x1 - x )
2
2 + (y1 - y
2
2 ) 的最小值为
（ ）
A 9 B 9 C D 3 2． ． ．3 2 ．2 2
【答案】B
2 2
【解析】由 x1 - ln x1 - y1 = 0，则 y1 = x1 - ln x1，又 x2 - y2 - 3 = 0，
(x1 - x )
2
2 + (y1 - y2 )
2
的最小值转化为： y = x2 - ln x上的点与 x - y - 3 = 0上的点的距离的平方的最小值，
1
由 y = x2 - ln x，得： y = 2x - ，与 x - y - 3 = 0平行的直线的斜率为 1，
x
∴ 2x
1 1 1- = ，解得 x =1或 x = - （舍 )，可得切点为 (1,1) ，
x 2
切点到直线 x - y - 3 = 0 2 2之间的距离的平方，即为 (x1 - x2 ) + (y1 - y2 ) 的最小值，
2 2 ( | 3 | 9\(x1 - x ) + (y - y )
2
2 1 2 的最小值为： ) = .1+1 2
故选：B.
2
17．（2024·山东· 2模拟预测）若 x ， y R ， x > 0，求 x - y + 4ln x - x2 - 2y -1 的最小值为（ ）
A 5 B 5
16 4 5
． ． C． D．
5 5 5
【答案】C
【解析】问题可以转化为： A x, 4 ln x - x2 是函数 y = 4ln x - x2 图象上的点，
B y, 2y +1 是函数 y = 2x +1 2上的点， AB = x - y 2 + 4ln x - x2 - 2y -1 2 .
当与直线 y = 2x +1平行且与 f x 的图象相切时，切点到直线 y = 2x +1的距离为 AB 的最小值.
f x 4= - 2x = 2, x2 + x - 2 = 0, x =1，舍去负值，
x
又 f 1 = -1，所以M 1, -1 到直线 y = 2x +1的距离即为 AB 的最小值.
AB 4= 2 16
min ， AB =min .5 5
故选：C.
a-1
18 a,b,c,d e c -1 1 2 2．已知实数 满足 = = ，则 a - c + b - d 的最小值为（ ）
b d e
2
A e +1
e
． B．
e e2 +1
e2 +1 e2C． 2 D．e e2 +1
【答案】D
1
【解析】由题，得 a = ln b,c = ×d +1，
e
设 (b, a)是曲线C : y = ln x的点， (d ,c)是直线 l : y
1
= × x +1的点，
e
a - c 2 + b - d 2 可看成曲线 C 上的点到直线 l 上的点的距离的平方，
对 y = ln x y
1 1
求导得 = ，令 y =x ，得
x = e，
e
所以曲线 C 上的点 (e,1)到直线 l 的距离最小，
|1-1+1| 1 e
= =
l 1 2 2该点到直线 的距离为 1 1+ e ，
÷ + (-1)
2
2 +1
è e e
2 2
因此 (a - c)2

+ (b - d )2 e e的最小值为 ÷ =
1 e2 2
.
è + 1+ e
故选：D
19．（2024·山西朔州·模拟预测）已知 A，B 分别为曲线 y = 2ex + x和直线 y = 3x - 3上的点，则 AB 的最小
值为 .
10 1
【答案】 / 10
2 2
【解析】
由题意 AB 的最小值为曲线上点 A 到直线 y = 3x - 3距离的最小值，
而点 A 就是曲线与直线 y = 3x + m 相切的切点，因为曲线上其它点到直线 y = 3x - 3的距离都大于 AB ，
对 y = 2ex + x求导有 y = 2ex +1，由 y = 3可得 x = 0，即 A 0,2 ，
3 0 - 2 - 3
AB 10故 = =min
32 + -1 2 2
.
10
故答案为： .
2
20 2 2．（2024·河北石家庄·一模）若实数 a,b,c,d 满足 b + a - 3ln a + (c - d + 2) = 0，则 (a - c)2 + (b - d )2 的最
小值为 ．
【答案】8
【解析】Q实数 a、b 、 c、d 满足：
(b + a2 - 3lna)2 + (c - d + 2)2 = 0，
\b + a2 - 3lna = 0，设 b = y， a = x，则有： y = 3lnx - x2 ，且 c - d + 2 = 0 ，设 c = x， d = y ，则有： y = x + 2 ，
\(a - c)2 + (b - d )2就是曲线 y = 3lnx - x2 与直线 y = x + 2 之间的最小距离的平方值，
3
对曲线 y = 3lnx - x2 求导： y (x) = - 2xx ，
与 y = x + 2 k 1
3
平行的切线斜率 = = - 2x ，解得： x =1或 x
3
= - （舍 )，
x 2
把 x =1代入 y = 3lnx - x2 ，得： y = -1，即切点为 (1, -1) ，
y x 2 |1+1+ 2 |切点到直线 = + 的距离： = 2 2 ，
2
\(a - c)2 + (b - d )2的最小值就是 8．
故答案为： 8.
2
21．已知实数 a，b，c，d 满足 b - 2a2 + 3ln a + (c - d - 3)2 = 0，则 (a - c)2 + (b - d )2 的最小值为 ．
【答案】8
2
【解析】由 b - 2a2 + 3ln a + (c - d - 3)2 = 0可得b = 2a2 - 3ln a, d = c - 3，
所以点 a,b 在曲线 y = 2x2 - 3ln x 上，点 c,d 在 y = x - 3上，
则 (a - c)2 + (b - d )2 的最小值即为曲线 y = 2x2 - 3ln x 上点到直线 y = x - 3距离最小值的平方，
设 f x = 2x2 - 3ln x上平行于 y = x - 3的切线方程的切点为 x0 , y0 ，
则 f x = 4x 3- ，则 4x
3 3
0 - =1x ，解得 x0 = - （舍）或
x0 = 1，则切点为 1,2 ，x 0 4
1- 2 - 3
则切点到直线 y = x - 3的距离为 = 2 2 ，
2
故 (a - c)2 + (b - d )2 的最小值为 8.
故答案为：8.
f x = ex Q 2 222．（2024·江西·一模）已知点 P 为函数 的图象上任意一点，点 为圆 x - e -1 + y2 =1上任意
一点（ e为自然对数的底），则线段 PQ的长度的最小值为 ．
【答案】 e e2 +1 -1
【解析】圆心C e2 +1,0 ，先求 PC t的最小值，设P t, e , f ' x = ex ，所以以点 P 为切点的切线方程为
et
y - et = et x - t t 2t 2，当PC 垂直切线时， ·e = -1 e + t = e +1,\t =1 2 ，此时点P 1,et - e +1 ，函数图象
上任意点到点C 的距离大于点C 到切线的距离即 e4 + e2 ，所以 PQ 的最小值是 e e2 +1 -1，故答案为
e e2 +1 -1.
2
23．（2024·高三·山东淄博· m期末）已知实数 x，y 满足 x2 - 3ln x - y = 0，则 x2 + y2 - mx + my + m R
2
的最小值为 ．
【答案】 2
2 2
x2 y2 mx my m x m y m
2
【解析】由题意得， + - + + = - ÷ + +

÷ ，2 è 2 è 2
m m
即求曲线 y = x2 3ln x

- 上一点到 ,- ÷距离最小值，
è 2 2
m m
又因为 ,-

÷在直线 y = -x 上，
è 2 2
所以当切线与直线 y = -x 平行时，距离取得最小值，
y 2x 3 1 3令 = - = - ，解得 x =1或 x = - （舍去），
x 2
2
当 x =1时，点 1,1 到直线 x + y = 0距离为 = 2 ，
2
即所求曲线 y = x2
m m
- 3ln x 上一点到 ,- ÷距离最小值为2 2 2
.
è
故答案为： 2
24．（2024·广东佛山·一模）若 A, B分别是曲线 y = ex 与圆 (x -1)2 + y2 =1上的点，则 AB 的最小值为 .
【答案】 2 -1
【解析】设圆 (x -1)2 + y2 =1圆心为M ，如下图所示，
由题意可知， AB 取得最小值时， AM - r = AM -1取得最小值，
当 AM 垂直于曲线 y = ex 在点A 处的切线时， AM 最小，
A x x设 1 x1, e ，则对 y = e 求导得 y = ex ，
x1
ex e - 0所以 1 × = -1 2x，即 e 1 + x1 -1 = 0，x1 -1
由于 x1 = 0 时满足上式，且 y = e2x + x -1在 - ,+ 单调递增，
所以 e2x1 + x1 -1 = 0有唯一解 x1 = 0 ，
所以 A 0,1 ，此时 AM = 2 ，所以 AB = AM -1 = 2 -1min min min
故答案为： 2 -1
25．已知函数 f (x) = x2 - 2ax + e6x
1
- 6a e3x +10a2的最小值是 ，则 a的值是
10
3
【答案】0.3 /
10
【解析】函数 f (x) = x2 - 2ax + e6x - 6a e3x +10a2
= (x2 - 2ax + a2 ) + (e6x - 6a e3x + 9a2 )
= (x - a)2 + (e3x - 3a)2 ，
可得 f (x) 表示两点 (x,e3x )， (a,3a)的距离的平方，
即有函数 y = e3x ， y = 3x
1
图象上的两点距离的最小值的平方为 ，
10
设直线 y = 3x + t 与函数 y = e3x 的图象相切，
y = 3e3x ，
设切点为 (m, e3m ) ，可得3 = 3e3m ，解得m = 0，则 e3m =1，
即有切点为 0,1 ，
则 (0 - a)2 + (1- 3a)2
1
=
10 ，
a 3解得 = ，
10
则 a的值为0.3．
故答案为：0.3．重难点突破 09 导数中的“距离”问题　
目录
01 方法技巧与总结 ..............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结 ..............................................................................................................................2
题型一：曲线与直线的距离 ................................................................................................................2
题型二：曲线与点的距离 ....................................................................................................................3
题型三：曲线与圆的距离 ....................................................................................................................3
题型四：曲线与抛物线的距离 ............................................................................................................4
题型五：曲线与曲线的距离 ................................................................................................................4
题型六：横向距离 ................................................................................................................................5
题型七：纵向距离 ................................................................................................................................6
题型八：直线与两曲线交点的距离 ....................................................................................................7
03 过关测试 ..........................................................................................................................................7
导数中的“距离”问题，利用化归转化和数形结合的思想可把问题转化为点到直线的距离、两点间的距
离问题，再利用导数法来求距离的最值．方 法 之 一 是 转 化 化 归，将 动 点 间 的 距 离 问题转化为点到
直线的距离问题，而这个“点”一般就是利用导数求得的切点；方法之二是构造函数，求出导数，利用导数
求解最值．
题型一：曲线与直线的距离
9
【典例 1-1】（2024·广西桂林·二模）已知函数 f (x) = (x - m)2 + (ae x - 3m)2 (m R ) 的最小值为 ，则正实数
10
a =（ ）
A．3 B．3e-2 C．3e2 D．3 或3e-2
【典例 1-2 3
2 2
】若函数 y1 = sin2x1 - x1 0,p ，函数 y2 = x2 + 3 ，则 x1 - x2 + y1 - y2 的最小值为（ ）2
A 2p B p + 18
2
． ．
12 72
2 2C p + 18 D p - 3 3 +15． ．
12 72
lnx
【变式 1-1】点 M 是曲线 f x = 上的动点，则点 M 到直线 y = x + 2 的距离的最小值为（ ）
x
A 2 2 3 2 2． 2 + B． 2 - C． D．
2e 2e 2 2
【变式 1-2】（2024·高三· 2安徽合肥·期中）点P,Q 分别是函数 f x = 3 x - 4, g x = x - 2 ln x 图象上的动点，
则 | PQ |2 的最小值为（ ）
3 (2 ln2)2 3A． + B． (2 - ln2)2
5 5
2
C． (1+ ln2)2
2
D (1- ln2)2．
5 5
【变式 1-3】（2024·陕西西安·二模）若 2ln x1 - x1 - y1 + 3 = 0， x
2 2
2 - y2 + 5 = 0，则 x1 - x2 + y1 - y2 的最小
值为（ ）
A．2 2 B．6 C．8 D．12
【变式 1-4 x】已知函数 f x = ae - a -1 x +1- a a > 0 ， g x = x + b ，点 P 与Q分别在函数 y = f x 与
y = g x 的图象上，若 PQ 的最小值为 2 ，则b = （ ）
A． -1 B．3 C． -1或 3 D．1 或 3
a - 2ea 1- c
【变式 1-5】若实数 a,b,c,d 满足 = = 1，则 (a - c)2 + (b - d )2 的最小值是（
b d 1 ）-
A．8 B．9 C．10 D．11
【变式 1-6】已知实数 a，b ， c，d 满足 | ln(a -1) - b | + | c - d + 2 |= 0，则 (a - c)2 + (b - d )2 的最小值为（ ）
A．2 2 B．8 C．4 D．16
题型二：曲线与点的距离
【典例 2-1】若点 A(t,0)与曲线 y = ex 上点 P 的距离的最小值为 2 3 ，则实数 t的值为（ ）
4 ln 2 4 ln 2 ln 3 ln 3A． - B． - C．3+ D．3+
3 2 3 2
【典例 2-2】（2024·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）设点 A(t,0)，P 为曲线 y = ex 上动点，若点 A，
P 间距离的最小值为 6 ，则实数 t 的值为（ ）
5 ln 2 ln 3
A． 5 B． C． 2 + D． 2 +2 2 2
【变式 2-1】（2024·高三·广东汕头·开学考试）若点 A 0, t 与曲线 y = ln x 上点 B 距离最小值为 2 3 ，则实
数 t为 .
题型三：曲线与圆的距离
1
【典例 3-1】（2024· 2 2高三·山东青岛·期末）已知动点 P，Q 分别在圆M : (x - ln m) + (y - m) = 和曲线
4
y = ln x 上，则 PQ 的最小值为 ．
2
【典例 3-2】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知 x,m,n R且 x 0, m2 + n2 =1，则 (1 x 2+ - m)2 + 1- x - + n

x ֏
的最小值是（ ）
A．2 2 B．9 - 4 2 C．1+ 2 2 D．8
【变式 3-1】若 x、a、b 为任意实数，若 (a +1)2 + (b - 2)2 =1，则 (x - a)2 + (ln x - b)2最小值为( )
A．2 2 B．9 C．9 - 4 2 D． 2 2 -1
【变式 3-2 2】若 P ，Q分别是函数 y = x2 与圆 x + 3 + y2 =1上的点，则 PQ 的最小值为 ．
【变式 3-3】已知点 P 为函数 f (x) = ex 的图象上任意一点，点Q为圆 (x -1)2 + y2 =1上任意一点，则线段 PQ
长度的最小值为（ ）
A． 2 -1 B．1 C． 2 D． 3 -1
题型四：曲线与抛物线的距离
2
b2 b2
【典例 4-1】设j(a,b) = (a - b)2 + ln a - ÷ + (a > 0,b R) ，当 a，b 变化时，j(a,b)的最小值为
è 4 4
_______.
2 2 2
【典例 4-2】设D = 2 x - a + ln x
a a
- ÷ + +1 . a R ，则D的最小值为
è 4 4
A 2． B．1 C． 2 D．2
2
2
【变式 4-1】（2024·湖北·模拟预测）设D = x - a 2 + ex - 2 a + a +1，其中 e 2.71828 ，则D的最小值
为（ ）
A． 2 B． 2 +1 C． 3 D． 3 +1
题型五：曲线与曲线的距离
【典例 5-1】（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期中）设点 P 在曲线 y = ln x -1 上，点Q在曲线
y = ex-1上，则 PQ 的最小值为___________.
【典例 5-2】设 a,b R ， c > 0，则 (a - b)2 + (ea - b)2 + (c - b)2 + (ln c - b)2 的最小值为 ．
【变式 5-1】（2024·湖北襄阳·模拟预测）设点 P 在曲线 y = e2x+2 +1上，点 Q 在曲线 y =1+ ln x +1上，则
|PQ|的最小值为 .
【变式 5-2】设点 P 在曲线 y = x2 +1(x 0) 上，点Q在曲线 y = x -1(x 1)上，则 | PQ |的最小值为 .
x ln x
【变式 5-3】已知点 P 在函数 f x = xe +1的图象上，点 Q 在函数 g x = 的图象上，则 PQ 的最小值
x
为 .
【变式 5-4】（2024·高三·辽宁·期中）如图所示，动点 P，Q 分别在函数 f x = ex + x， g x = 2ln x 1+ 上
2
运动，则 PQ 的最小值为 ．
【变式 5-5】设点 P 在曲线 y = ex+1上，点Q在曲线 y = -1+ ln x 上，则 | PQ |最小值为（ ）
A． 2 B．2 2
C． 2(1+ ln2) D． 2(1- ln2)
x
【变式 5-6 y e】已知函数 = 的图象与函数 y = ln(2x)的图象关于某一条直线 l对称，若 P ，Q分别为它们图
2
象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（ ）
A 2 ln 2 B 2 ln 2 C 2(1+ ln 2)． ． ． D． 2 1- ln 2
2 4 2
1
【变式 5-7】（2024·高三·宁夏石嘴山·开学考试）已知动点P、Q分别是曲线 xy = e2 和曲线 y = 2ln x 上的任
意一点，则线段 PQ 的最小值为（ ）
A．2 2 B． 2 2(1- ln 2) C． 2 D． 2(1- ln 2)
题型六：横向距离
【典例 6-1】（多选题）（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知函数 f (x) = ex ， g(x) = ln x +1的图象与直线 y=m 分
别交于 A、B 两点，则（ ）.
A．m > 0
B．"m > 0，曲线 y = f (x) 在 A 处的切线总与曲线 y = g(x) 在 B 处的切线相交
C． AB 的最小值为 1
D． m > 0，使得曲线 y = f (x) 在点 A 处的切线也是曲线 y = g(x) 的切线
【典例 6-2】（2024·江苏苏州·一模）已知直线 y＝a 分别与直线 y = 2x - 2 ，曲线 y = 2ex + x交于点 A，B，
则线段 AB 长度的最小值为 ．
【变式 6-1】已知直线 y = m，分别与直线 y = 5x - 5和曲线 y = 2ex + x交于点 M，N 两点，则线段 MN 长度
的最小值是 ．
【变式 6-2】直线 y = m
3
2分别与曲线 y = x - 2ln x ， 直线 y = x - 3 交于 A, B 两点， 则 AB 的最小值为
2
（ ）
A 7 2 B 3 3
7
． ． C． D． 5
4 2 2
【变式 6-3】（2024·陕西铜川·一模）直线 y = m分别与直线 y = x 、曲线 y = 4x - ln x 交于点 A，B，则 AB
的最小值为（ ）
1
A． + ln 3 B．1+ ln 3
1+ ln 3
C． D．2 + ln 3
2 2
【变式 6-4】已知直线 y = a 分别与曲线 y = ex 和曲线 y = ln x +1交于P,Q 两点，则 PQ 的最小值为（ ）
e
A．1 B e C D 1． ． ．
2 2
6-5 f x = ex【变式 】已知函数 ， g x x 1= ln + 的图象分别与直线 y = m m > 0 交于 A, B两点，则 AB 的
2 2
最小值为（ ）
1 3
A．2 B． 2 + ln 2 C． e2 + D． 2e - ln
2 2
题型七：纵向距离
【典例 7-1】（2024·四川宜宾·模拟预测）若直线 x = a与两曲线 y = ex , y = lnx分别交于 A, B两点，且曲线
y = ex 在点A 处的切线为m，曲线 y = lnx在点 B 处的切线为n，则下列结论：
① $a 0, + ，使得m // n；②当m // n时， AB 取得最小值；
③ AB
5
的最小值为 2；④ AB 最小值小于 ．
2
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例 7-2】直线 x = a分别与曲线 f x = ln x - x和曲线 g x = x2 - x + 2交于A ， B 两点，则 AB 的最小值
为
11 5 1
A． B．2 C 3 2． D． + ln 2
4 4 2 2
【变式 7-1】动直线 x = m （m > 0）与函数 f (x) = x2 + x ， g(x) = ln x的图象分别交于点 A，B，则 AB 的最
小值为（ ）
3
A． + ln 2 B．3ln 2 C
3
． + ln 2 D．3- ln 2
4 2
【变式 7-2】已知直线 x = a与函数 f x = x +1， g x = ln 2x +1 的图像分别交于 A，B 两点，则 AB 的最
小值为（ ）
1
A． - ln 2 B．1- ln 3
3
C． - 2ln 2
3
D． - ln 2
2 2 2
题型八：直线与两曲线交点的距离
【典例 8-1】已知直线 x + y + a = 0
ln x
与曲线 y = eex ， y = 分别交于点 A, B，则 AB 的最小值为（
e ）
2
A B 2 2． ． C．1 D．e
e e
【典例 8-2】（2024·陕西安康·三模）已知直线 y = b分别与直线 y = x +1、曲线 y = ln x - 2交于点 A，B，则
线段 AB 长度的最小值为（ ）
A．2 B． 2 + ln 2 C．4 D． 4 + ln 2
【变式 8-1】（2024·福建莆田·一模）已知直线 l1：y = x + a分别与直线 l2：y = 2 x +1 及曲线C：y = x + ln x
交于 A,B 两点，则 A,B 两点间距离的最小值为（ ）
A 3 5． B．3 C 6 5． D．3 2
5 5
1 2．已知直线 y = m与曲线 f x = 2x - 3ln x和直线 y = x - 3分别交于 P，Q 两点，则 PQ 的最小值
为 ．
2．（2024·高三·山东聊城·期末）最优化原理是指要求目前存在的多种可能的方案中，选出最合理的，达到
事先规定的最优目标的方案，这类问题称之为最优化问题.为了解决实际生活中的最优化问题，我们常常需
要在数学模型中求最大值或者最小值.下面是一个有关曲线与直线上点的距离的最值问题，请你利用所学知
3 2
识来解答：若点M 是曲线 y = x - 2ln x 上任意一点，则M 到直线 x - y - 2 = 0的距离的最小值为（ ）2
A 5 2 5 2 3 2 3 2． B． C． D．
2 4 4 2
3．曲线 y = ex 上的点到直线 x - y - 3 = 0的距离的最小值为（ ）
A． 2 B．2 C．2 2 D．4
4．已知点 P 是曲线 f x = x ln x 上任意一点，点 Q 是直线 y = x - 3上任一点，则 PQ 的最小值为（ ）
A． 2 B． 3 C．1 D． e
5．若点 P 是曲线 y = lnx - x2 上任意一点，则点 P 到直线 l : x + y - 4 = 0 距离的最小值为（ ）
A 2． B． 2 C．2 D．2 2
2
6．若动点 P 在曲线 y = ex + x 上，则动点 P 到直线 y = 2x - 4 的距离的最小值为（ ）
A． 5 B． e + 1 C． 2 5 D． 2e
1
7．设点 P 在曲线 y = e2x 上，点Q在曲线 y = ln x上，则 | PQ |的最小值为（
2 ）
A 2． (1- ln 2) B． 2(1- ln 2)
2
C． 2(1+ ln 2) D 2． (1+ ln 2)
2
8．设点 P 在曲线 y = 2ex 上，点Q在曲线 y = ln x - ln 2上，则 | PQ |的最小值为（ ）
A．1 - ln 2 B． 2(1- ln 2)
C． 2(1+ ln 2) D． 2(1+ ln 2)
9．（2024·四川·一模）若点 P 是曲线 y = ln x - x2 上任意一点，则点 P 到直线 l : x + y - 4 = 0 距离的最小值为
（ ）
A 2． B． 2 C．2 2 D．4 2
2
10．若点 A a,a ，B b, eb a,b R ，则A 、 B 两点间距离 AB 的最小值为（ ）
A 2．1 B． C． 2 D．2
2
11．已知 ln x1 - x1 - y1 + 2 = 0， x2 + 2y2 - 5 - 2ln 2 = 0
2
，则 x1 - x2 + y1 - y
2
2 的最小值为（ ）
9 16
A 3 5 4 5． B． C． D．
5 5 5 5
12．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知 lnx1 + 2x1 - y +1 = 0,4x - y + 3 - ln2 = 0 x - x 21 2 2 ，则 1 2 + y1 - y
2
2 的
最小值为（ ）
17ln2 17 9 9ln2A． B． C． D．
9 9 17 17
a - 2ea13 a b c d 1- c．已知实数 ， ， ， 满足： = = 1，其中 e 是自然对数的底数，则 (a - c)2 + (b - d )2 的最小值
b d -1
是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
x2 - ln x x - 2
14．（2024· · 1 1 2 2 2新疆 二模）若 = = 1，则 xy y 1 - x2 + y1 - y2 的最小值是（ ）1 2
A 1 2． 2 B． C． 2 D． 22
2
15．（2024·全国·模拟预测）已知 x > 0， y R， (x - y)2 + x2 - ln x + 2 - y 的最小值为（ ）
16
A． 2 B．2 C
4 3
． D．
3 3
16 2 2 2．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 x1 - ln x1 - y1 = 0， x2 - y2 - 3 = 0，则 (x1 - x2 ) + (y1 - y2 ) 的最小值为
（ ）
A．9 B 9． C 3 2．
2 3 2
D．
2
17．（2024· 2山东·模拟预测）若 x ， y R ， x > 0，求 x - y + 4ln x - x2 2- 2y -1 的最小值为（ ）
16
A． 5 B 5． C． D 4 5．
5 5 5
a-1
18．已知实数 a,b,c,d e c -1 1 2满足 = = ，则 a - c + b - d 2 的最小值为（ ）
b d e
2
A e +1
e
． B．
e e2 +1
C e
2 +1 e2
． 2 D．e e2 +1
19．（2024·山西朔州·模拟预测）已知 A，B 分别为曲线 y = 2ex + x和直线 y = 3x - 3上的点，则 AB 的最小
值为 .
20．（2024· 2河北石家庄·一模）若实数 a,b,c,d 满足 b + a - 3ln a + (c - d + 2)2 = 0，则 (a - c)2 + (b - d )2 的最
小值为 ．
2
21．已知实数 a，b，c，d 满足 b - 2a2 + 3ln a + (c - d - 3)2 = 0，则 (a - c)2 + (b - d )2 的最小值为 ．
2
22 x．（2024·江西·一模）已知点 P 为函数 f x = e 的图象上任意一点，点Q为圆 x - e2 -1 + y2 =1上任意
一点（ e为自然对数的底），则线段 PQ的长度的最小值为 ．
2
23．（2024·高三· m山东淄博·期末）已知实数 x，y 满足 x2 - 3ln x - y = 0，则 x2 + y2 - mx + my + m R
2
的最小值为 ．
24．（2024·广东佛山·一模）若 A, B分别是曲线 y = ex 与圆 (x -1)2 + y2 =1上的点，则 AB 的最小值为 .
1
25．已知函数 f (x) = x2 - 2ax + e6x - 6a e3x +10a2的最小值是 ，则 a的值是
10

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