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拔高点突破 01　集合背景下的新定义压轴解答题
目录
01 方法技巧与总结 ...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结 ...............................................................................................................................2
题型一：定义新概念 ...................................................................................................................................................2
题型二：定义新运算 ...................................................................................................................................................7
题型三：定义新性质 .................................................................................................................................................10
题型四：定义新背景 .................................................................................................................................................14
03 过关测试 .........................................................................................................................................19
1、解答新定义型创新题的基本思路是：
（1）正确理解新定义；
（2）根据新定义建立关系式；
（3）结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题；
（4）运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果．
2、集合中的新概念问题，往往是通过重新定义相应的集合或重新定义集合中的某个要素，结合集合
的知识加以创新，我们还可以利用原有集合的相关知识来解题．
3、集合中的新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则．按照新的运算规则，结合
数学中原有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等，从而达到解答的目的．
4、集合中的新性质问题往往是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的．我们通过可以结合相
应的集合概念、关系、运算等相关知识，利用相应的数学思想方法来解答有关的集合的新性质问题．
题型一：定义新概念
【典例 1-1】（2024·北京顺义·二模）已知点集M n = x1, y1 , x2 , y2 ,L, xn , yn n 3 满足0 xi ， yi ，
xi + yi 2 i =1,2,L,n .对于任意点集M n ，若其非空子集 A，B 满足 A B = ， AU B = M n ，则称集合对
A, B 为M n 的一个优划分.对任意点集M n 及其优划分 A, B ，记 A 中所有点的横坐标之和为 X A ，B 中
所有点的纵坐标之和为Y B .
(1)写出M3 = 1,1 , 2,0 , 0,2 的一个优划分 A, B ，使其满足 X A +Y B = 3；
(2)对于任意点集M3，求证：存在M3的一个优划分 A, B ，满足 X A +Y B 3；
n +1 n +1
(3)对于任意点集M n ，求证：存在M n 的一个优划分 A, B ，满足 X A 且Y B .2 2
【解析】（1）由题因为M3 = 1,1 , 2,0 , 0,2 ，
所以若使 X A +Y B = 3，则可以 A = 1,1 , B = 2,0 , 0,2 ，
此时 X A =1,Y B = 2, X A +Y B = 3，满足题意.
（2）根据题意对于任意点集M3 = x1, y1 , x2 , y2 , x3 , y3 ，不妨设 x1 x2 x3，
且0 xi ， yi ， xi + yi 2 i =1,2,3 ，
若 xi =1，则0 yi 1，令 A = x1, y1 , x2 , y2 , B = x3 , y3 ，
则 X A = x1 + x2 = 2,Y B = y3 1，此时恒有 X A +Y B 3；
若 x1 x2 1, x3 >1，则 y3 <1，可令 A = x1, y1 , x2 , y2 , B = x3 , y3 ，
此时 X A = x1 + x2 2,Y B = y3 <1，则 X A +Y B < 3，满足题意；
若 x1 1,1 < x2 x3 ，则 y2 , y3 <1，令 A = x1, y1 , B = x3 , y3 , x2 , y2 ，
此时 X A = x1 1,Y B = y2 + y3 < 2，则 X A +Y B < 3，满足题意；
若1< x1 x2 x3 ，则 y1, y2 , y3 <1，则 y3 2 - x3 2 - x1, y2 2 - x2 2 - x1,
令 A = x1, y1 , B = x3 , y3 , x2 , y2 ，
此时 X A = x1,Y B = y2 + y3 4 - 2x1，则 X A +Y B 4 - x1 < 3，满足题意；
所以对于任意点集M3，都存在M3的一个优划分 A, B ，满足 X A +Y B 3 .
（3）不妨设0 x1 x2 L xn 2，
x x L x n +1若 1 + 2 + + n ，则 B 取其中一点即可满足；2
x x L x n +1若 1 + 2 + + n > ，2
n +1
则必存在正整数 k 使得 x1 + x2 +L+ xk < x1 + x2 +L+ xk + xk +1，2
n +1 n +1
则有 < x + x +L+ x + x k +1 x < x
2 1 2 k k +1 k +1
，于是 2 k +1 k +1，
又因为 yk +1 + yk +2 +L+ yn 2 - xk +1 + 2 - xk +2 +L+ 2 - xn

2 - xk +1 + 2 - xk +2 +L+ 2 - xn n - k 2 x n k 2
n +1
- k +1 - - ÷÷
è 2 k +1

n 1 k 1 2 n +1
5 n +1n 1 2 k 1
2
= é + - + ù - = + - + + ÷
è 2 k
÷
+1 ÷ 2 è 2 k +1 ÷
5
n +1 2 n n +1 n -1- +1 = ，当且仅当 k = 时取等号；
2 2 2
于是取 A = x1, y1 ,L, xk , yk , B = xk +1, yk +1 ,L, xn , yn ，
n +1 n +1
即可满足 X A 且Y B ，命题得证.
2 2
【典例 1-2】（2024·浙江台州·二模）设 A，B 是两个非空集合，如果对于集合 A 中的任意一个元素 x，按照
某种确定的对应关系 f ，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 和它对应，并且不同的 x 对应不同的 y；同时
B 中的每一个元素 y，都有一个 A 中的元素 x 与它对应，则称 f ： A B 为从集合 A 到集合 B 的一一对应，
并称集合 A 与 B 等势，记作 A = B .若集合 A 与 B 之间不存在一一对应关系，则称 A 与 B 不等势，记作
A B .
*
例如：对于集合 A = N*，B = 2n n N ，存在一一对应关系 y = 2x x A, y B ，因此 A = B .
ì 2 2 ü
(1)已知集合C = x, y x2 x y+ y2 =1 ，D = í x, y | + =1 ，试判断C = D 是否成立 请说明理由；
4 3
(2)证明：① 0,1 = - , + ；
②N* x x N* .
ìx = 2x ,
【解析】（1）设P x0 , y0 C ，Q = x, y D
0
，令 í
y = 3y0 ,
则 C 与 D 存在一一对应，所以集合C = D .
（2）①取函数 y = tan π
x 1- ÷，其中 x 0,1 ， y - ,+ ，两个集合之间存在一一对应，故
è 2
0,1 = - , + .
备注：函数举例不唯一，只要保证定义域为 0,1 ，值域为R 即可，
ì1
- 2,0 x
1 1
< , ì ln 2x,0 < x ,
如： y =
x 2
í 或 y =
2
í 等等均可，
1 + 2, 1 < x <1. - ln 2 - 2x , 1 < x <1.
x -1 2 2
②设 A = N*，B = x x N* ，
假设 A = B ，即存在对应关系 f ： A B 为一一对应，
对于集合 B 中的元素 1 ， 2 ， 1,2 ，至少存在一个 x A（ x 1，且 x 2）与这三个集合中的某一个对
应，所以集合 A 中必存在 x f x .
记D = x A x f x ，则D A，故D B ，
从而存在 a A，使得 f a = D ；
若 a D ，则 a f a = D，矛盾；
若 a D ，则 a f a = D，矛盾.
因此，不存在 A 到 B 的一一对应，所以 A B .
ur uur
【变式 1-1】（2024·江西九江·二模）定义两个n维向量 ai = xi,1, xi,2 , × × ×, xi,n ， a j = x j ,1, x j ,2 , × × ×, x j ,n 的数量积
ur uur ur ur ur ur
ai × a j = xi,1x j ,1 + xi ,2x j ,2 + ×××+ x
2
i,n x j ,n i, j N+ ， ai × ai = ai ，记 xi,k 为 ai 的第 k 个分量（ k n且 k N+）.如三
ur ur
维向量 a1 = 2,1,5 ，其中 a 的第 2 分量 a =11 1,2 .若由n维向量组成的集合 A 满足以下三个条件：①集合中含
ur uur
有 n 个 n 维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取 0 或 1；③集合中任意两个元素 ai ， a j ，满足
ur2 uur2 ur uur
ai = a j = T （T 为常数）且 ai × a j =1.则称 A 为 T 的完美 n 维向量集.
(1)求 2 的完美 3 维向量集；
(2)判断是否存在完美 4 维向量集，并说明理由；
(3)若存在 A 为 T 的完美 n 维向量集，求证：A 的所有元素的第 k 分量和 Sk = T .
ur
【解析】（1）由题意知，集合A 中含有 3 个元素 ai （ i =1,2,3），且每个元素中含有三个分量，
ur2 uur2 uur2
因为 a1 = a2 = a3 = 2 ，所以每个元素中的三个分量中有两个取 1，一个取 0.
ur uur uur
所以 a1 = (1,1,0)， a2 = (1,1,0) ， a3 = (0,1,1)，
ur uur ur uur uur uur
又 a1 ×a2 = a1 × a3 = a2 ×a3 =1，
所以 2 的完美 3 维向量集为 A = {(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)} .
ur
（2）依题意，完美 4 维向量集 B 含有 4 个元素bi （ i =1,2,3,4），且每个元素中含有四个分量，
T {0,1,2,3,4}，
ur
（i）当T = 0时，bi {(0,0,0,0)}，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；
ur
（ii）当T =1时，bi {(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)}，不满足条件③，舍去；
ur
（iii）当T = 2时，bi {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (0,1,1,0), (0,1,0,1), (0,0,1,1)}，
因为 (1,1,0,0) × (0,0,1,1) = 0，故 (1,1,0,0)与 (0,0,1,1)至多有一个在 B 中，
同理： (1,0,1,0)与 (0,1,0,1)至多有一个在 B 中， (1,0,0,1)与 (0,1,1,0)至多有一个在 B 中，
故集合 B 中的元素个数小于 4，不满足条件①，舍去；
ur
（iv）当T = 3时，bi {(1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (0,1,1,1)}，不满足条件③，舍去；
ur
（v）当T = 4时，bi {(1,1,1,1)}，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；
综上所述，不存在完美 4 维向量集.
ur
（3）依题意，T 的完美n维向量集C 含有n个元素 ci （ i = 1,2,L,n），且每个元素中含有n个分量，
ur2
因为 ci = T ，所以每个元素中有T 个分量为 1，其余分量为 0，
所以 S1 + S2 +L+ Sn = nT （*），
由（2）知，T 0,1, n ，故 2 T < n，
假设存在 k ，使得T +1 Sk n，不妨设T +1 S1 n .
（i）当 S1 = n时，如下图，
由条件③知， Si = 0 或 Si =1（ i 1），
此时 S1 + S2 +L+ Sn n + (n -1) = 2n -1 < 2n nT ，与（*）矛盾，不合题意.
（ii）当T +1 S1 < n 时，如下图，
记 Sk = x1,k + x2,k +L+ xn,k （ k =1,2,L, n），
不妨设 x1,1 = x2,1 =LxT +1,1 =1， xn,1 = 0， xn,2 = xn,3 =Lxn,T +1 =1，
ur uur ur uuur
下面研究 c1 ， c2 ， c L3 ， ， cT +1 的前T +1个分量中所有含 1 的个数.
ur uur ur uuur
一方面，考虑 c1 ， c2 ， c3 ，L， cT +1 中任意两个向量的数量积为 1，
故 x1, j ， x2, j ，L， xT +1, j （ j = 2,3,L,T +1）中至多有 1 个 1，
ur uur ur uuur
故 c1 ， c2 ， c L3 ， ， cT +1 的前T +1个分量中，
所有含 1 的个数至多有 (T +1) +T = (2T +1)个 1（**）.
ur uur
另一方面，考虑 c1 ×cn =1（ i =1,2,L,T +1），
ur uur ur uuur
故 c1 ， c2 ， c3 ，L， cT +1 的前T +1个分量中，含有 (T +1) + (T +1) = (2T + 2)个 1，与（**）矛盾，不合题
意.
故对任意 k n且 k N+， Sk T ，由（*）可得 Sk = T .
题型二：定义新运算
【典例 2-1】（2024·海南海口·一模）在计算机科学中，n维数组 X = x1, x2 ,L, xn , xi 0,1 , i N+ , n 2 是
一种基础而重要的数据结构，它在各种编程语言中被广泛使用．对于n维数组
A = a1, a2 ,L, an , B = b1,b2 ,L,bn ，定义A 与 B 的差为 A - B = a1 - b1 , a2 - b2 ,L, an - bn , A与 B 之间的距
n
离为 d (A, B) = ai - bi ．
i=1
(1)若n维数组C = 0,0,L,0 ，证明： d A,C + d B,C d A, B ；
(2)证明：对任意的数组 A, B,C ，有 d A - C, B - C = d A, B ；
(3)设集合 Sn = X X = x1, x2 ,L, xn , xi 0,1 , i N+ ,n 2 , P Sn，若集合 P 中有m m 2 个n维数组，记
P 中所有两元素间的距离的平均值为 d P ，证明：d P
mn

2 m -1 ．
【解析】（1）设A 与 B 中对应项中同时为 0 的有 x 0 x n 个，同时为 1 的有 y 0 y n - x 个，
则对应项不同的为 n - x - y 个，所以d A, B = n - x - y ．
所以d A,C + d B,C = 2 y + n - x - y n - x - y = d A, B ；
（2）设 A = a1,a2 ,L,an , B = b1,b2 ,L,bn ,C = c1,c2 ,L,cn Tn ，
因为 A - C = a1 - c1 , a2 - c2 ,L, an - cn ，
B - C = b1 - c1 , b2 - c2 ,L, bn - cn ，
n
所以 d (A - C, B - C) = ai - ci - bi - ci ，
i=1
因为 ci 0,1 , i = 1,2,L,n ．
所以当 ci = 0时， ai - ci - bi - ci = ai - bi ，
当 ci = 1时， ai - ci - bi - ci = 1- ai - 1- bi = ai - bi ，
n n
所以d (A - C, B - C) = ai - ci - bi - ci = ai - bi = d (A, B)；
i=1 i=1
m
（3）记集合 P 中所有两个元素间距离的总和为 d Pi , Pj ，
i, j=1
m
则 d (P)
1
= 2 × dC Pi , Pj ．m i, j=1
设集合 P 中所有元素的第 k(k =1, 2,L, n)个位置的数字共有 tk 个1, m - tk 个 0，
m n
则 d Pi , Pj = tk m - tk ，
i, j=1 k =1
因为 tk , m - tk > 0 ，
2
t × m - t tk + m - tk m
2
所以 k k ÷ = ，
è 2 4
m n 2
所以 d Pi , Pj = tk m - tk nm ，
i, j=1 k =1 4
1 m 2d (P) d P , P 2 nm mn所以 = × × = .C2 i jm i, j=1 m(m -1) 4 2(m -1)
【典例 2-2】（2024·浙江绍兴·二模）已知 k N* ，集合 X k = x x = 2i0 + 2i1 + ×××+ 2ik ,0 i0 < i1 i0 , i1, × × ×, ik N .
(1)求 X 2 中最小的元素；
(2)设 a = 21 + 23 X1 ，b X1，且 a + b X1，求b 的值；
k +1
(3) Y = X 2k +n-1, 2k +n ù b记 k k ， n N* Y m，若集合 k 中的元素个数为bn ，求 2m-1 .m=1
【解析】（1） X 2 中的最小元素为 20 + 21 + 22 = 7 .
（2）由题得 a = 21 + 23 =10，设b = 2 j + 2i ，0 i < j i, j N .
①当 j 3时，b = 23 + 22 =12 或b = 23 + 21 =10或b = 23 + 20 = 9 或b = 22 + 21 = 6或b = 22 + 20 = 5或
b = 21 + 20 = 3 .
经检验，当b =10时， a + b = 20 = 24 + 22，符合题意，
所以b =10 .
②当 j = 4时，b = 24 + 23 = 24或b = 24 + 22 = 20或b = 24 + 21 =18或b = 24 + 20 =17 .
经检验，当b = 24 时， a + b = 34 = 25 + 21，符合题意，
所以b = 24 .
③当 j 5时，不符合题意.
因此，b = 24 或 10.
（3）设 x Yk ，则 x = 2i0 + 2i1 + ×××+ 2ik ，其中 ik = k + n -1，
0 i0 < i1 < ××× < ik -1 < k + n -1，所以bn = C
k
k +n-1，
k +1
设 S
b
= m k 1 k 1 k 1 kk m-1 ，则 Sk = Ck + C2 2 k +1 + 2 C2 k +2 + ×××+ 2k C2k .m=1
Ck +1因为 n = C
k
n-1 + C
k +1
n-1，
S 1= Ck +1 + Ck +1 1+ Ck +1 1 k +1 1 k +1所以 k +1 k +1 2 k +2
+ ×××+ C
22 k +3 2k 2k +1
+
2k +1
C2k +2
Ck 1 1 1 1= k + Ck k +1 k k +1 k k +1 k k +12 k +1 + Ck +1 + 22 Ck +2 + Ck +2 + ×××+ 2k C2k + C2k + 2k +1 C2k +1 + C2k +1
= Ck 1+ Ck 1+ Ck 1 1+ ×××+ Ck + Ck k 2 k +1 22 k +2 2k 2k 2k +1 2k +1 ÷è
1
+ Ck +1 1 Ck +1 1+ + ×××+ Ck +1 1 k +1
2 k +1 22 k +2 k 2k
+ k +1 C2 2 2k +1
1 1 1
= Sk +
S k +1 k
2 k +1
-
è 2k +1
C2k +2 + C2k 2k +1 ÷
.

k 1 k +1 2k +1 ! 1 2k + 2 ! 2k +1 !- 2k +1 !
因为C2k +1 - C2k +2 = - × = = 02 k ! k +1 ! 2 k +1 ! k ，+1 ! k ! k +1 !
1
所以 Sk +1 = Sk + Sk +1，所以 Sk +1 = 2S ，2 k
S 1=1+ C1又因为 1 2 = 2
k
，所以 Sk = 2 .2
ì m
【变式 2-1 a】（2024·浙江嘉兴·二模）已知集合 A = í 2∣i 0 a1 < a2 i=1
集合A 中所有的数从小到大排列成数列 b(t)n ，数列 b(t)n 的前n项和为 S(t)n .例如： t = 2时，
b(2) 0 11 = 2 + 2 = 3,b(2)2 = 2
0 + 22 = 5,b(2) = 213 + 2
2 = 6,b(2)4 = 2
0 + 23 = 9,L，
S(2)4 = b(2)1 + b(2)2 + b(2)3 + b(2)4 = 23 .
(1)写出b(2)5 ,b(2)6，并求 S(2)10 ；
(2)判断 88 是否为数列 b(3)n 中的项.若是，求出是第几项；若不是，请说明理由；
(3)若 2024 是数列 b(t)n 中的某一项b t0 S tn ，求 t0 ,n0及 0 n 的值.0 0
【解析】（1）因为m = 2 ，此时 A = 2a1 + 2a∣2 0 a1 < a2 ,a1,a2 N ，
b(2)5 = 2
3 + 21 =10,b(2) 3 26 = 2 + 2 =12，
\S(2)10 = 4 20 + 21 + 22 + 23 + 24 =124 .
a a
（2）当m = 3时， A = 2 1 + 2 2 + 2a∣3 0 a1 < a2 < a3 , a1, a2 ,a3 N ，
Q88 = 26 + 24 + 23 ,\88是数列 b(3)n 中的项，
a a a 3
比它小的项分别有 2 1 + 2 2 + 2 3 ,0 a1 < a2 < a3 5,a1,a2 ,a3 N,C6 个，
a a
有 2 1 + 2 2 + 26 ,0 a1 < a2 3,a1,a2 N,C
2
4 个，
a
有 2 1 + 24 + 26 ,0 a1 2,a1 N,C
1
3个，
所以比 88 C3 +C2小的项共有 6 4 +C
1
3 = 29个，故 88 是数列 b(3)n 的第 30 项.
（3）Q2024 = 210 + 29 + 28 + 27 + 26 + 25 + 23 ,\2024是数列 b(7)n 中的项，故 t0 = 7 ，
则当m = 7 时， A = 2a1 + 2a2 +L+ 2a∣7 0 a1 < a2 方法一：比它小的项分别有以下 7 种情况：
2a① 1 + 2a2 +L+ 2a7 ,0 a1 < a2 7
7 1,a2 ,L,a7 N,10 个数字任取 7 个得C10个，
2a1 + 2a2 +L+ 2a6 + 210② ,0 a1 < a2 6
，得 9个，
③ 2a1 + 2a2 +L+ 2a5 + 29 + 210 ,0 a < a 2a1 + 2a④ 2 +L+ 2a4 + 28 + 29 + 210 ,0 a1 < a2 4
，得 7 个，
2a⑤ 1 + 2a2 + 2a3 + 27 + 28 + 29 + 210 ,0 a1 < a2 < a3 5, a1, a2 ,a3 N C
3
，得 6个，
2a1 + 2a2 + 26 + 27⑥ + 28 + 29 + 210 ,0 a1 < a2 4,a1,a2 N
2
，得C5 个，
a 5 6 7 8 9 10
⑦ 2 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 ,0 a1 2,a1 N C
1
，得 3个，
2024 C7 6 5 4 3 2 1所以比 小的项共有 10 +C9 +C8 +C7 +C6 +C5 +C3 个，
C7 +C6 5其中 10 9 +C8 +C
4
7 +C
3 +C2 16 5 +C3 = C
3 3
10 +C9 +C
3 +C38 7 +C
3
6 +C
3
5 +3
= C3 +C310 9 +C
3
8 +C
3
7 +C
3 +C36 5 +C
4
5 +3-C
4
5
= C411 - 2
= 328
故 2024 是数列 b(7)n 的第 329 项，即 n0 = 329 .
A = 2a a a方法二： 1 + 2 2 +L+ 2 ∣7 0 a1 < a 72 最大的是 210 + 29 + 28 + 27 + 26 + 25 + 24，其次为 210 + 29 + 28 + 27 + 26 + 25 + 23 = 2024，
所以 2024 是数列 b(7)n C7的第 11 -1= 329项，即 n0 = 329 .
在总共C711 = 330
6 6
项中，含有20 的项共有C 个，同理 21, 2210 ,L210 都各有C10个，所以
S(7) = C6 0 1 10330 10 × 2 + 2 +L+ 2 = 210 2047 = 429870，则
S t0 = S(7)329 = S(7)330 - b(7)330 = 429870 - 2032 = 427838n .0
题型三：定义新性质
【典例 3-1】（2024·云南昆明·一模）若非空集合 A 与 B，存在对应关系 f，使 A 中的每一个元素 a，B 中总
有唯一的元素 b 与它对应，则称这种对应为从 A 到 B 的映射，记作 f：A→B．
设集合 A = -5, -3, -1,1,3,5 ，B = b1,b2 ,L,bn （ n N* ， n 6 ），且B A．设有序四元数集合
P = {X X = x1, x2 , x3 , x4 , xi A且 i =1,2,3,4}，Q = Y Y = y1, y2 , y3 , y4 ．对于给定的集合 B，定义映射 f：
P→Q，记为Y = f X ，按映射 f，若 xi B（ i =1,2,3,4），则 yi = xi +1；若 xi B（ i =1,2,3,4），则
4
yi = xi．记 SB Y = yi ．
i=1
(1)若B = -5,1 ， X = 1,-3,-3,5 ，写出 Y，并求 SB Y ；
(2)若B = b1,b2 ,b3 ， X = 1,-3,-3,5 ，求所有 SB Y 的总和；
4
(3)对于给定的 X = x1, x2 , x3 , x4 ，记 xi = m，求所有 SB Y 的总和（用含 m 的式子表示）．
i=1
【解析】（1）由题意知，Y = f X = f 1, -3, -3,5 = 1+1,-3,-3,5 = 2,-3,-3,5 ，
所以 SB Y = 2 - 3- 3+ 5 =1．
（2）对 1，-3，5 是否属于 B 进行讨论：
①含 1 的 B 的个数为C25 =10，此时在映射 f 下， y1 =1+1 = 2；
1 B C3不含 的 的个数为 5 =10，此时在映射 f 下， y1 =1；
所以所有 Y 中 2 的总个数和 1 的总个数均为 10；
2
②含 5 的 B 的个数为C5 =10，此时在映射 f 下， y4 = 5 +1 = 6；
5 B C3不含 的 的个数为 5 =10，此时在映射 f 下， y4 = 5；
所以所有 Y 中 6 的总个数和 5 的总个数均为 10；
2
②含-3的 B 的个数为C5 =10，此时在映射 f 下， y2 = -3+1 = -2， y3 = -3+1 = -2；
3
不含-3的 B 的个数为C5 =10，此时在映射 f 下， y2 =-3， y3 = -3；
所以所有 y 中-2的总个数和-3的总个数均为 20．
综上，所有 SB Y 的总和为10 1+ 2 + 5 + 6 + 20 -2 - 3 =140 -100 = 40．
（3）对于给定的 X = x1, x2 , x3 , x4 ，考虑x1在映射 f 下的变化．
由于在 A 的所有非空子集中，含有x1的子集 B 共 25个，
所以在映射 f 下x1变为 y1 = x1 +1；
不含x 51的子集 B 共 2 -1个，在映射 f 下x1变为 y1 = x1；
5 5
所以在映射 f 下得到的所有 y1的和为 2 x1 +1 + 2 -1 x1 = 63x1 + 32．
5 5
同理，在映射 f 下得到的所有 yi （ i = 2,3,4）的和 2 xi +1 + 2 -1 xi = 63xi + 32．
所以所有 SB Y 的总和为63 x1 + x2 + x3 + x4 + 32 4 = 63m +128．
【典例 3-2】（2024·广东江门·一模）将 2024 表示成 5 个正整数x1，x2， x3， x4， x5之和，得到方程
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 2024 ①，称五元有序数组 x1, x2 , x3 , x4 , x5 为方程①的解，对于上述的五元有序数组
x1, x2 , x3 , x4 , x5 ，当1 i, j 5时，若max(xi - x j ) = t(t N) ，则称 x1, x2 , x3 , x4 , x5 是 t -密集的一组解.
(1)方程①是否存在一组解 x1, x2 , x3 , x4 , x5 ，使得 xi+1 - xi i =1,2,3,4 等于同一常数 若存在，请求出该常数；
若不存在，请说明理由；
(2)方程①的解中共有多少组是1-密集的
5
(3) S = x2记 i ，问S 是否存在最小值 若存在，请求出S 的最小值；若不存在，请说明理由.
i=1
【解析】（1）若 xi+1 - xi i =1,2,3,4 等于同一常数，
根据等差数列的定义可得 xi 构成等差数列，所以 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 5x3 = 2024，
x 2024解得 3 = ，与 x3 N*矛盾，5
所以不存在一组解 x1, x2 , x3 , x4 , x5 ，使得 xi+1 - xi i =1,2,3,4 等于同一常数；
1 2024
（2）因为 x = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = = 404.8，5 5
依题意 t =1时，即当1 i, j 5时，max(xi - x j ) =1，
所以max xi = 405，min x j = 404 ，
设有 y 个 405，则有5 - y 个 404，由 405y + 404 5 - y = 2024，解得 y = 4 ，
所以x1，x2， x3， x4， x5中有 4个 405，1个 404，
所以方程①的解共有5组.
1 2024
（3）因为平均数 x = x1 + x2 + x5 3 + x4 + x5 = = 404.8，5
5
2 1 2
5 2 5 2
又方差s = xi - x 2，即5s = x - x = x2 - 5x5 i i ，i=1 i=1 i=1
2
所以 S = 5s 2 + 5x ，因为 x 为常数，所以当方差s 2 取最小值时S 取最小值，
又当 t = 0时 x1 = x2 = x3 = x4 = x5 ，即5x1 = 2024 ，方程无正整数解，故舍去；
当 t =1时，即 x1, x2 , x3 , x4 , x5 是1-密集时，S 取得最小值，
且 Smin = 4 405
2 + 4042 = 819316 .
【变式 3-1】（2024·广东·模拟预测）已知集合A 中含有三个元素 x, y, z，同时满足① x < y < z；② x + y > z；
③ x + y + z 为偶数，那么称集合A 具有性质 P .已知集合 S *n = 1,2,3,L, 2n (n N , n 4) ，对于集合 Sn 的非
空子集 B ，若 Sn 中存在三个互不相同的元素 a,b,c，使得a + b,b + c,c + a均属于 B ，则称集合 B 是集合 Sn 的
“期待子集”.
(1)试判断集合 A = 1,2,3,5,7,9 是否具有性质 P ，并说明理由；
(2)若集合B = 3,4,a 具有性质 P ，证明：集合 B 是集合 S4 的“期待子集”；
(3)证明：集合M 具有性质 P 的充要条件是集合M 是集合 Sn 的“期待子集”.
【解析】（1）集合 A = 1,2,3,5,7,9 不具有性质 P ，理由如下：
（i）从集合A 中任取三个元素 x, y, z均为奇数时， x + y + z 为奇数，不满足条件③
（ii）从集合A 中任取三个元素 x, y, z有一个为 2，另外两个为奇数时，不妨设 y = 2， x < z ，
则有 z - x 2，即 z - x y ，不满足条件②，
综上所述，可得集合 A = 1,2,3,5,7,9 不具有性质 P .
（2）证明：由3+ 4 + a 是偶数，得实数 a是奇数，
当 a < 3 < 4时，由 a + 3 > 4，得1 < a < 3，即 a = 2，不合题意，
当3 < 4 < a 时，由3+ 4 > a ，得 4 < a < 7 ，即 a = 5，或 a = 6（舍），
因为3+ 4 + 5 =12是偶数，所以集合B = {3,4,5}，
令 a + b = 3,b + c = 4,c + a = 5，解得a = 2, b = 1, c = 3，
显然 a,b,c S4 = 1,2,3,4,5,6,7,8 ，
所以集合 B 是集合 S4 的“期待子集”得证.
（3）证明：
先证充分性：
当集合M 是集合 Sn 的“期待子集”时，存在三个互不相同的 a,b,c，使得a + b,b + c,c + a均属于M ，
不妨设 a < b < c，令 x = a + b ， y = a + c， z = b + c，则 x < y < z，即满足条件①，
因为 x + y - z = (a + b) + (a + c) - (b + c) = 2a > 0，所以 x + y > z，即满足条件②，
因为 x + y + z = 2(a + b + c)，所以 x + y + z 为偶数，即满足条件③，
所以当集合M 是集合 Sn 的“期待子集”时，集合M 具有性质 P .
再证必要性：
当集合M 具有性质 P ，则存在 x, y, z，同时满足① x < y < z；② x + y > z；③ x + y + z 为偶数，
x + y + z
令 a = - z ，b
x + y + z x + y + z
= - y， c = - x，则由条件①得 a < b < c，
2 2 2
x + y + z x + y - z
由条件②得 a = - z = > 0 ，
2 2
由条件③得 a,b,c均为整数，
z c z x x + y + z z + x - y
z + z - y - y
因为 - = + - = > = z - y > 0，
2 2 2
所以0 < a < b < c < z ，且 a,b,c均为整数，
所以 a,b,c Sn ，
因为 a + b = x,a + c = y,b + c = z ，
所以a + b,b + c,c + a均属于M ，
所以当集合M 具有性质 P 时，集合M 是集合 Sn 的“期待子集”.
综上所述，集合M 是集合 Sn 的“期待子集”的充要条件是集合M 具有性质 P .
题型四：定义新背景
【典例 4-1】（2024·全国·模拟预测）拓扑学是一个研究图形（或集合）整体结构和性质的一门几何学，以
2
抽象而严谨的语言将几何与集合联系起来，富有直观和逻辑．已知平面 E = x，y |"x，y R ，定义对
A x，y 2 2 21 1 1 ， A2 x2，y2 ，其度量（距离） d A1，A2 = x1 - x2 + y E ，d1 - y2 并称 为一度量平
2 2
面．设 x0 E ，d ，e R+ ，称平面区域B x0，e = x E ，d |d x0，x < e 为以 x0 为心，e 为半径的
球形邻域．
(1)试用集合语言描述两个球形邻域的交集；
(2) 2证明： E ，d 中的任意两个球形邻域的交集是若干个球形邻域的并集；
(3) 2一个集合称作“开集”当且仅当其是一个无边界的点集．证明： E ，d 的一个子集是开集当且仅当其可
被表示为若干个球形邻域的并集．
【解析】（1）设这两个球形邻域分别为 B1 x1，e1 ，B2 x2，e2 ，
D 为 B1 和 B2 的交集．
①若 B1 与 B2 不相交，则 B1 B2 = ；
②若 B1 与 B2 相交，则
D = B1 B2 = x E2，d |d x1，x < e1 x E2，d |d x2，x < e2
= x E2，d d x1，x < e1, 且 d x2，x < e2
故 B1 B2 = 或 x E2，d d x1，x < e1,且 d x2，x < e2 ．
（2）我们约定集合族是指以集合为元素的集合，其并运算为
Ul Λ Al 表示集合族 Al |l Λ 的所有集合的并集
回到原题，设这两个球形邻域分别为 B1 x1，e1 ，B2 x2，e2 ，D 为 B1 和 B2 的交集．
①若 B1 与 B2 不相交，则 B1 B2 = ，即 D 可以看作零个球形邻域的并集；
②若 B1 与 B2 相交，则取 "y B1 x1，e1 B2 x2，e2 ，
令 e y = min e1 - d x1，y ，e2 - d x2，y ，构造球形邻域 By y，e y ．
因为对于 "z By y，e y ，有
d x1，z d x1，y + d y，z d x1，y + e y e1
d x2，z d x2，y + d y，z d x2，y + e y e2
故 z B1 x1，e1 B2 x2，e2 ，这说明 By y，e y B1 x1，e1 B2 x2，e2 = D ．
由于 y 是 D 中任取的一点，这说明 By y，e y B1 x1，e1 B2 x2，e2 ，
继而D = U y D y U y D By y，e y B1 x1，e1 B2 x2，e2 = D
即 D = B1 x1，e1 B2 x2，e2 可被表示为若干个球形邻域 By y，e y 的并集．
命题得证．
（3）①先证充分性：当 E2，d 的一个子集可以写为若干球形邻域的并时，其必为开集．
设 G E2，d ，由（2）可知 G 可看作若干个球形邻域的并集，
即G = U i Λ Bi xi，e i
则 "x G ，$e > 0使得 x Bi xi，e i G ，故 G 是开集．充分性证毕．
2
②再证必要性：若 E ，d 的一个子集是开集，则其可被表示为若干个球形邻域的并集．
设 G 是一个开集，由情况①得 "x G ，$e > 0 使得 x Bi xi，e i G ，所以
G = U x G x U x G Bi xi，e i Gi
即G = U x G Bi i xi，e i
故 G 可被表示为若干个球形邻域 Bi xi，e i 的并集．必要性证毕．
【典例 4-2】（2024·安徽芜湖·二模）对称变换在对称数学中具有重要的研究意义．若一个平面图形 K 在 m
（旋转变换或反射变换）的作用下仍然与原图形重合，就称 K 具有对称性，并记 m 为 K 的一个对称变
换．例如，正三角形 R 在m1 （绕中心 O 作 120°的旋转）的作用下仍然与 R 重合（如图 1 图 2 所示），所以
1 2 3m 1 是 R 的一个对称变换，考虑到变换前后 R 的三个顶点间的对应关系，记m1 = 3 1 2÷；又如，R 在
l1
è
（关于对称轴 r1所在直线的反射）的作用下仍然与 R 重合（如图 1 图 3 所示），所以 l1也是 R 的一个对称变
l
1 2 3
换，类似地，记 1 = 1 3 2÷．记正三角形 R 的所有对称变换构成集合 S．一个非空集合 G 对于给定的代è
数运算.来说作成一个群，假如同时满足：
I．"a,b G ， a b G；
II．"a,b,c G， a b c = a b c ；
Ⅲ．$e G ，"a G， a e = e a = a；
Ⅳ．"a G，$a-1 G ， a a-1 = a-1 a = e．
对于一个群 G，称Ⅲ中的 e 为群 G 的单位元，称Ⅳ中的 a-1为 a 在群 G 中的逆元．一个群 G 的一个非空子
集 H 叫做 G 的一个子群，假如 H 对于 G 的代数运算 来说作成一个群．
(1)直接写出集合 S（用符号语言表示 S 中的元素）；
(2)同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如
1 2 3 1 3 2 2 1 3m
2 3 1 3 1 2 3 2 1
1 = ÷ = ÷ = ÷ = ÷ = ÷ =3 1 2 3 2 1 1 3 2 1 2 3 2 3 1 2 1 3÷ ．对于集合 S 中的元素，定义è è è è è è
a1 a2 a3 b1 b2 b3 a* 1
a2 a3
一种新运算 ，规则如下： ÷*b b ÷
= ÷，
è 1 2 b3 èc1 c2 c3 è c1 c2 c3
a1,a2 ,a3 = b1,b2 ,b3 = c1,c2 ,c3 = 1,2,3 ．
①证明集合 S 对于给定的代数运算*来说作成一个群；
②已知 H 是群 G 的一个子群，e， e 分别是 G，H 的单位元， a H ， a-1，a 分别是 a 在群 G，群 H 中的
逆元．猜想 e， e 之间的关系以及 a-1，a 之间的关系，并给出证明；
③写出群 S 的所有子群．
1 2 3
【解析】（1）依题意，正三角形 R 的对称变换如下：绕中心O作120°的旋转变换m1 = 3 1 2÷；è
1 2 3
绕中心O作240°的旋转变换m2 =
è 2 3 1
÷；

1 2 3
绕中心O作360°的旋转变换m3 = 1 2 3÷；è
1 2 3r l 关于对称轴 1所在直线的反射变换 1 =
è1 3 2
÷；

1 2 3
关于对称轴 r2 所在直线的反射变换 l2 = 3 2 1 ÷；è
1 2 3
关于对称轴 r3 所在直线的反射变换 l

3 = ÷ ，
è 2 1 3
ì 1 2 3 1 2 3 1 2 3S , ,
1 2 3 1 2 3 1 2 3 ü
综上， = í , , ,

.
è3 1 2
÷ 2 3 1 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ （形式不唯一） è è1 2 3 è1 3 2 è3 2 1 è 2 1 3
a1 a2 a3 b1 b2 b3 a1 a2 a3 b1 b2 b3 a1 a2 a3
（2）①Ⅰ." ÷， ÷ S ， ÷* ÷ = ÷ S
èb
；
1 b2 b3 èc1 c2 c3 èb1 b2 b3 èc1 c2 c3 èc1 c2 c3
a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 Ⅱ." ÷， ÷， ÷ S ，
èb1 b2 b3 èc1 c2 c3 è d1 d2 d3
é a1 a2 a3 b1 b2 b3 ù c1 c2 c3 a1 a2 a3 c1 c2 c3
ê ÷*b b b ÷ú
* ÷ = ÷*
è 1 2 3 èc1 c2 c3 è d1 d2 d3 èc1 c2 c3 è d d d
÷
1 2 3
a1 a2 a3 a1 a2 a3 é b1 b2 b3 c= , * * 1
c2 c3 ù

è d1 d d
÷
2 3 èb1 b2 b
÷ ê
3 èc1 c2 c
÷ ÷ú
3 è d1 d2 d3
a
= 1
a2 a3 b1 b2 b3 a1 a2 a3
b b b ÷
* =d d d ÷ ÷，è 1 2 3 è 1 2 3 è d1 d2 d3
é a1 a2 a3 b1 b2 b3 ù c1 c2 c3 a a a é b b b c c c ù
所以 ê ÷* ÷ú* ÷ =
1 2 3 * 1 2 3 * 1 2 3
b ÷ ê ÷ ÷ú ； è 1 b2 b3 èc1 c2 c3 è d1 d2 d3 èb1 b2 b3 èc1 c2 c3 è d1 d2 d3
1 2 3 a a a
Ⅲ. $ S ,"
1 2 3 S
è1 2 3
÷ b b b ÷ è 1 2 3
a1 a2 a3 a1 a2 a3 a1 a2 a3 a1 a a b b b
* = =
2 3 * 1 2 3
è a1 a a
÷ b b b ÷ ÷ ÷ ÷ ，2 3 è 1 2 3 èb1 b2 b3 èb1 b2 b3 èb1 b2 b3
a1 a2 a3 b1 b2 b3 1 2 3 1 2 3
而 =a a a ÷ ÷
= ÷，所以 e = ÷；
è 1 2 3 èb1 b2 b3 è1 2 3 è1 2 3
a
Ⅳ." 1
a2 a3 b1 b2 b3
S ,$b b b ÷ ÷
S ，
è 1 2 3 è a1 a2 a3
a1 a2 a3 b1 b2 b3 b1 b2 b3 a1 a2 a3
* = *b b b ÷ a a a ÷ a a a ÷ ÷
= e；
è 1 2 3 è 1 2 3 è 1 2 3 èb1 b2 b3
综上可知，集合S 对于给定的新运算*来说能作成一个群.
② e = e ， a-1 = a ，证明如下：
先证明 e = e ：由于H 是G 的子群，取 a H ，则 a G ， a-1 G ，
根据群的定义，有 a e = a ， a e = a，所以 a e = a e ，
-1 -1
所以 a a e = a a e ，即 a-1 a e = a-1 a e ，
即 e e = e e ，所以 e = e .
再证明 a-1 = a ：由于 e = e ， e = a-1 a， e = a a ，
a-1 a a a a-1 a a-1所以 = ，所以 = a a a-1 ，
所以 a-1 e = a e，所以 a-1 = a .
③S 的所有子群如下：
ì 1 2 3 ü ì 1 2 3 1 2 3H
ü
1 = í 1 2 3÷
, H2 = í 1 2 3÷
, ÷ ，
è è è1 3 2
ì 1 2 3 1 2 3 ü ì 1 2 3 1 2 3 üH 3 = í ÷ , ÷ ，H4 = í ÷ ,

1 2 3 3 2 1 1 2 3 2 1 3÷ ，
è è è è
ì 1 2 3 1 2 3 1 2 3 üH 5 = í 3 1 2÷
, ,2 3 1 ÷ ÷ ， è è è1 2 3
ì 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 üH6 = í 3 1 2÷
, 2 3 1 ÷
, 1 2 3÷
, ,1 3 2÷ ÷
, ÷
è è è è è3 2 1 è 2 1 3
【变式 4-1】（2021·北京西城·二模）设 A 是正整数集的一个非空子集，如果对于任意 x A，都有 x -1 A
或 x +1 A，则称 A 为自邻集.记集合 An = {1,2L, n}(n > 2,n N) 的所有子集中的自邻集的个数为 an .
(1)直接写出 A4 的所有自邻集；
(2)若n为偶数且 n > 6，求证： An 的所有含 5 个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；
(3)若n 4，求证： an 2an-1 .
【解析】（1）由题意可得， A4 的所有自邻集有： 1,2,3,4 , 1,2,3 , 2,3,4 , 1,2 , 2,3 , 3,4 ；
（2）对于 An 的含 5 个元素的自邻集B = x1, x2 , x3 , x4 , x5 ，
不妨设 x1 < x2 < x3 < x4 < x5 .
因为对于"xi B ，都有 xi -1 B 或 xi +1 B ， i =1，2，3，4，5，
所以 x2 = x1 +1， x4 = x5 -1， x3 = x2 +1或 x3 = x4 -1 .
对于集合C = {n +1- x5 ， n +1- x4， n +1- x3 ， n +1- x2， n +1- x1}，
因为1 x1 < x2 < x3 < x4 < x5 n ，所以1 n +1- xi n ， i =1，2，3，4，5，
n +1- x5 < n +1- x4 < n +1- x3 < n +1- x2 < n +1- x1 ，
所以C An .
因为 x2 = x1 +1， x4 = x5 -1， x3 = x2 +1或 x3 = x4 -1 .
所以 n +1- x2 = n +1- x1 -1， n +1- x4 = n +1- x5 +1，
n +1- x3 = (n +1- x4 ) +1或 n +1- x3 = ( n +1- x2 ) -1，
所以对于任意 n +1- xi +1 C 或 n +1- xi -1 C ， i =1，2，3，4，5，
所以集合C 也是自邻集.
因为当n为偶数时， x3 n +1- x3，
所以B C .
所以对于集合 An 的含 5 个元素的自邻集，在上述对应方法下会存在一个不同的含有 5 个元素的自邻集与其
对应.
所以， An 的所有含 5 个元素的子集中，自邻集的个数是偶数.
（3）记自邻集中最大元素为 k 的自邻集的个数为bk ， k N* ，
当n 4时， an-1 = b2 + b3 +L + bn-1， an = b2 + b3 +L + bn-1 + bn ，
显然 an = an-1 + bn .
下面证明：bn ≤ an-1 .
①自邻集含有 n - 2， n -1，n这三个元素，记去掉这个自邻集中的元素n后的集合为D
因为 n -1， n - 2 D，所以D仍是自邻集，且集合D中的最大元素是 n -1，
所以含有 n - 2， n -1，n这三个元素的自邻集的个数为bn-1 .
②自邻集含有 n -1，n这两个元素，不含 n - 2，且不只有 n -1，n这两个元素，
记自邻集除 n -1，n之外最大元素为m ，则 2 ≤ m ≤ n - 3，每个自邻集去掉 n -1，n这两个元素后，仍为自
邻集.
此时的自邻集的最大元素为m ，可将此时的自邻集分为n - 4个；
其中含有最大数为 2 的集合个数为b2，
含有最大数为 3 的集合个数为b3，LL，
含有最大数为 n - 3的集合个数为bn-3 .
则这样的集合共有b2 + b3 +L+ bn-3 个.
③自邻集只含有 n -1，n这两个元素，这样的自邻集只有 1 个.
综上可得bn = b2 + b3 +L+ bn-3 + bn-1 +1 b2 + b3 +L+ bn-3 + bn-1 + bn-2 = an-1，
所以bn ≤ an-1，
故n 4时， an 2an-1得证.
1．（2024· *北京丰台·一模）已知集合M n = x N x 2n （ n N，n 4），若存在数阵
éa a L a ù
T = 1 2 nê ú 满足：
b1 b2 L bn
① a1,a2 ,L,an U b1,b2 ,L,bn = M n ；
② ak - bk = k k =1,2,L,n ．
则称集合M n 为“好集合”，并称数阵T 为M n 的一个“好数阵”．
éx y z 6ù
(1)已知数阵T = ê7 w 1 2ú 是
M 4 的一个“好数阵”，试写出 x ， y ， z ，w的值；

(2)若集合M n 为“好集合”，证明：集合M n 的“好数阵”必有偶数个；
(3)判断M n n = 5,6 是否为“好集合”．若是，求出满足条件 n a1,a2 ,L, an 的所有“好数阵”；若不是，说
明理由．
【解析】（1）由“好数阵”的定义，知 x - 7 =1， y - w = 2， z -1 = 3， x, y, z, w = 3,4,5,8 ，故 x = 8，
z = 4 ， y - w = 2， y, z = 3,5 ，进一步得到 y = 5，w = 3 .
从而 x = 8， y = 5， z = 4 ，w = 3 .
éa
2 1
a2 L an ù
（ ）如果 ê ú 是一个“好数阵”，则 a1,a2 ,L,an b1,b2 ,L,b = M
b1 b2 L b
n n ，
n
ak - bk = k k =1,2,L, n .
从而 2n +1- b1, 2n +1- b2 ,L, 2n +1- bn 2n +1- a1, 2n +1- a2 ,L, 2n +1- an = M n ，
2n +1- bk - 2n +1- ak = k k =1,2,L, n .
é2n +1- b1 2n +1- b2 L 2n +1- bn ù
故 ê2n 1 a ú 也是一个“好数阵”. + - 1 2n +1- a2 L 2n +1- an
由于 a2 + b2 = 2b2 + 2是偶数，故 a2 + b2 2n +1，从而 a2 2n +1- b2 .
éa1 a2 L an ù é2n +1- b1 2n +1- b2 L 2n +1- bn ù
这就说明两数阵 êb b L b ú 和 ê2n 1 a 2n 1 a L 2n 1 a ú 的第 1 行第 2 列的数不相等，从 1 2 n + - 1 + - 2 + - n
而是不同的数阵.
设全体“好数阵”构成的集合为S ，并定义映射F : S S 如下：
éa1 a2 L an ù 2n +1- b 2n +1- b L 2n +1- b
对T = ê ú，规定F T
é
= 1 2 n
ù
b b L b ê 1 2 n 2n +1- a1 2n +1- a2 L 2n
.
+1- a ún
M 2n因为由 n 中的元素构成的 2 n数阵只有不超过 2n 种，故S 是有限集合.
é2n +1- 2n +1- a1 2n +1- 2n +1- a2 L 2n +1- 2n +1- aF F T = n ù而 ê
2n +1- 2n +1- b1 2n +1- 2n +1- b2 L 2n +1- 2n +1- bn
ú

éa1 a L a ù= 2 nêb b L b ú
= T ，
1 2 n
这就表明F F T = T ，从而F 是满射，由S 是有限集，知F 也是单射，从而F 是一一对应.
éa1 a2 L an ù éa1 a2 L an ù é2n +1- b1 2n +1- b2 L 2n +1- bn ù
对“好数阵” êb b L b ú ，已证两数阵 ê ú 和 ê ú 是不 1 2 n b1 b2 L bn 2n +1- a1 2n +1- a2 L 2n +1- an
同的数阵，故F T T .
同时，对两个“好数阵”T1，T2，如果T2 = F T1 ，则F T2 = F F T1 = T1；如果T1 = F T2 ，则
F T1 = F F T2 = T2 . 所以T2 = F T1 当且仅当T1 = F T2 .
最后，对T S ，由F T T ，称 2 元集合 T , F T 为一个“好对”. 对T0 S ，若T0属于某个“好对”
T , F T ，则T = T0 或F T = T0 ，即T = T0 或T = F T0 .
由于 T0 , F T0 = F T0 , F F T0 ，故无论是T = T0 还是T = F T0 ，都有 T , F T = T0 , F T0 .
这表明，每个“好数阵”恰属于一个“好对”，所以“好数阵”的个数是“好对”个数的 2 倍，从而“好数阵”必有偶
数个.
éa1 a2 L an ù
（3）若 ê ú 是“好数阵”，则有1+ 2 + 3 + ...+ 2n = a1 + a2 + ...+ an + b1 + b2 + ...+ bb n 1 b2 L bn
= b1 +1 + b2 + 2 + ...+ bn + n + b1 + b2 + ...+ bn = 2 b1 + b2 + ...+ bn + 1+ 2 + ...+ n ，
2 nb b ... b n 1 n 2 ... 2n n +1+ 2n n 3n +1 n 3n +1 所以 1 + 2 + + n = + + + + + = = ，这表明 一定是偶数.2 2 2
éa1 a2 L a5 ùn 5 “ ” 2 nb b ... b 3n +1 若 = ，设 ê
b1 b2 L b
ú是 好数阵 ，则 1 + 2 + + 5 = = 40，从而
5 2
b1 + b2 + b3 + b4 + b5 = 20 ，
故 a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = b1 +1 + b2 + 2 + ...+ b5 + 5 = b1 + b2 + ...+ b5 +1+ 2 + ...+ 5 = 20 +15 = 35 .
由于 ak bk +1 2 k =1,2,...,5 ，故1 b1,b2 ,...,b5 ，同理10 a1,a2 ,...,a5 .
若 2 a1,a2 ,...,a5 ，设 ak = 2，则 2 = ak = bk + k 1+ k ，故 k =1，从而 a1 = 2 .
进一步有b1 =1，而 ak bk + 2 3+ 2 = 5 k = 2,...,5 ，故3,4 b2 ,b3 ,b4 ,b5 .
假设5 a2 ,a3 ,a4 , a5 ，设 ak = 5，则3 bk = ak - k = 5 - k ，故 k = 2，则 a2 = 5，b2 = 3 .
由于b5 a5 - 5 5， a1,a2 ,b1,b2 = 1,2,3,5 ，故b5 = 4， a5 = 9 . 此时 a3 , a4 ,b3 ,b4 = 6,7,8,10 ，从而
a4 =10，b4 = 6，但此时 a3 - b3 = 8 - 7 =1，矛盾；
所以5 b2 ,b3 ,b4 ,b5 ，故3,4,5 b2 ,b3 ,b4 ,b5 ，分别尝试所有 24 种可能的对应方式，知符合条件的“好数
é2 9 6 8 10ù é2 6 10 9 8ù
阵”有 ê1 7 3 4 5 ú ， ê1 4 7 5 3ú ；
若 2 b1,b2 ,...,b5 ，则1,2 b1,b2 ,...,b5 ，从而b1 1.
若3 a1,a2 ,...,a5 ，则 a1 = 3或 a2 = 3 . 若 a1 = 3，则b1 = 2，1 b3 ,b4 ,b5 ，分别尝试 3 种可能，知符合条件
é3 10 7 9 6ù é3 8 10 5 9ù
的“好数阵”有 ê
2 8 4 5 1
ú ， ê
2 6 7 1 4
ú .

若 a2 = 3，则 b2 =1， 2 b3 ,b4 ,b5 ，若 6 a1,a2 ,...,a5 ，则 a1 = 6，或 b4 = 2 且 a4 = 6，分别尝试所有可能，
é9 3 7 6 10ù
知符合条件的“好数阵”有 ê ú ；
8 1 4 2 5
若 6
8 3 5 10 9
b1,b2 ,...,b5 ，则 2,6 b1,b3 ,b4 ,b
é ù
5 ，分别尝试所有可能，知符合条件的“好数阵”有 ê
7 1 2 6 4
ú；

若3 b1,b2 ,...,b5 ，则1,2,3 b1,b2 ,...,b5 ，假设 4 b1,b2 ,...,b5 ，由于b1 + b2 + b3 + b4 + b5 = 20 ，
10 a1,a2 ,...,a5 ，故 20 = b1 + b2 + b3 + b4 + b5 1+ 2 + 3+ 4 + 9 =19 ，矛盾，所以 4 a1,a2 ,...,a5 .
10 4 8 7 6 10 7 4 6 8
对1,2,3 b1,b2 ,...,b
é ù é ù
5 尝试所有组合，知符合条件的“好数阵”有 ê ú， ê
9 2 5 3 1 9 5 1 2 3
ú，

é4 10 9 5 7ù é9 5 4 10 7ù
ê ú， ê
3 8 6 1 2 8 3 1 6 2
ú .

é2 9 6 8 10ù é2 6 10 9 8ù é3 10 7 9 6ù é3 8 10 5 9ù
综上，全部的“好数阵”有 ê1 7 3 4 5 ú ， ê 1 4 7 5 3
ú ， ê
2 8 4 5 1
ú ， ê ú，
2 6 7 1 4
é9 3 7 6 10ù é8 3 5 10 9ù é10 4 8 7 6ù é10 7 4 6 8ù é4 10 9 5 7ù
ê
8 1 4 2 5
ú ， ê
7 1 2 6 4
ú， ê ú， ê ú， ê ú，
9 2 5 3 1 9 5 1 2 3 3 8 6 1 2
é9 5 4 10 7ù
ê8 3 1 6 2ú，
é3 8 10 5 9ù é8 3 5 10 9ù é4 10 9 5 7ù
其中，满足5 a1, a2 ,..., a5 的有 ê
2 6 7 1 4
ú， ê
7 1 2 6 4
ú， ê
3 8 6 1 2
ú，

é9 5 4 10 7ù
ê
8 3 1 6 2
ú .

3 8 10 5 9 8 3 5 10 9
综上，M5 是“好集合”，满足5 a1, a2 ,..., a5
é ù é ù
的“好数阵”有 ê ú， ê
2 6 7 1 4 7 1 2 6 4
ú，

é4 10 9 5 7ù é9 5 4 10 7ù
ê
3 8 6 1 2
ú， ê
8 3 1 6 2
ú .

n 3n +1n = 6 若 ，由于此时 = 57不是偶数，所以不存在“好数阵”，从而M6 不是“好集合”.2
2．（2024·湖南益阳·模拟预测）我们知道，二维空间（平面）向量可用二元有序数组 a1,a2 表示；三维空
间向盘可用三元有序数组 a1,a2 ,a3 表示．一般地，n维空间向量用n元有序数组 a1,a2 ,L,an 表示，其中
ak k =1,2,L,n 称为空间向量的第 k 个分量， k 为这个分量的下标．对于 n n 3 维空间向量 a1,a2 ,L,an ，
定义集合 A m = k∣ak = m,k =1,2,L,n ．记 A m 的元素的个数为 A m （约定空集的元素个数为 0）．
(1)若空间向量 a1,a2 ,a3,a4 ,a5,a6 ,a7 ,a8 = 6,3,2,5,3,7,5,5 ，求 A 5 及 A 5 ；
1 1 1
(2)对于空间向量 a1,a2 ,L,a + +L+ = nn ．若 ，求证："i, j 1,2,L,n ，若 i jA a ，则1 A a2 A an
ai a j ；
(3)若空间向量 a1,a2 ,a3 ,L,an 的坐标满足 A ak-2 + ak-1 = k ,a1 = a2 = 1，当 n 3时，求证：
a21 + a
2 +L+ a22 n > 2an-1an ．
【解析】（1）由 a1,a2 ,a3,a4 ,a5,a6 ,a7 ,a8 = 6,3,2,5,3,7,5,5 ，知 a4 = a7 = a8 = 5，
所以 A 5 = 4,7,8 ， A 5 = 3；
1
（2）依题意， A ai 1， i = 1,2,L,n，则有 1A a ，i
1 1 1
所以 + +L+ nA a A a A a ，当且仅当 A ai =1 i =1,2,L,n 时取等号， 又因为1 2 n
1 1 1
+ +L+ = n
A a A a A a ，所以 A ai =1， i = 1,2,L,n， a1,a2 ,L,an 互不相同，1 2 n
故"i, j 1,2,L,n ，若 i j ，则 ai a j ；
（3）由 A ak -2 + ak -1 = k ，得 ak = ak -2 + ak -1，则有 ak -1 = ak - ak -2 ①，
由 a1 = a2 =1及①，可得
a21 = a1a2 ，
a22 = a2 a3 - a1 = a2a3 - a1a2，
a23 = a3 a4 - a2 = a3a4 - a2a3，
......
a2n-1 = an-1 an - an-2 = an-1an - an-2an-1.
2 2 2 2
以上各式相加，得 a1 + a2 +L+ an = an-1an + an = an an-1 + an .
由 a1 = a2 =1及①，当 n 3时，0 < an-1 < an ，
2 2
所以 a1 + a2 +L+ a
2
n = an an-1 + an > an an-1 + an-1 = 2an-1an ，
2 2 2
即a1 + a2 +L+ an > 2an-1an .
3．（2024·北京·模拟预测）对给定的正整数n，令Wn = a = a1, a2 , , an ∣ ai 0,1 , i =1,2, , n ，对任意的
x = x1, x2 ,… , xn ， y = y1, y2 , , yn Wn ，定义 x 与 y 的距离 d x, y = x1 - y1 + x2 - y2 +L+ xn - yn ．设A
是Wn 的含有至少两个元素的子集，集合 D = d x, y x y, x, y A 中的最小值称为A 的特征，记作 c A ．
(1)当 n = 3时，直接写出下述集合的特征：
A = 0,0,0 , 1,1,1 , B = 0,0,0 , 0,1,1 , 1,0,1 , 1,1,0 ,C = 0,0,0 , 0,0,1 , 0,1,1 , 1,1,1 ；
(2)当n = 2020时，设 A Ω2020且 c A = 2，求A 中元素个数的最大值；
2020
(3) 2当n = 2020时，设 A Ω2020且 c A = 3，求证：A 中的元素个数小于 ．2021
【解析】（1）依题意可得 c A = 3， c B = 2， c C =1．
（2）（a）一方面：对任意的 a = a1, a2 , a3 ,L,a2019 , a2020 A，
令 f a = a1, a2 , a3 ,L,a2019 , a2020 ，
则 d a, f a = 1- 2a2020 =1< 2，故 f a A，
令集合B = f a | a A ，则 A B = ，
则 AU B Ω2020 且A 和 B 的元素个数相同，
但W 中共有 220202020 个元素，其中至多一半属于A ，
故A 中至多有 22019 个元素．
(b)另一方面：设 A = {a = a1,a2 ,a3 ,L,a2019 ,a2020 Ω2020 | a1 + a2 + + a2020 是偶数}，
则对任意的 x = x x y1, x2 ,L, x2020 ， y = y1, y2 ,L, y2020 A， ，
A C0 + C2 4 2020都有 中的元素个数为 2020 2020 + C2020 + + C2020 = 2
2019
，
易得 d (x, y) = x1 - y1 + x2 - y2 + + xn - yn 与 x1 + y1 + x2 + y2 + + x2020 + y2020 奇偶性相同，
故 d (x, y) 为偶数，
又 x y ，则 d (x, y) > 0，所以 d (x, y) 2，
注意到 0,0,0,0,L,0,0 ， 1,1,0,0,L,0,0 A且它们的距离为 2，
故此时A 满足题意，
综上，A 中元素个数的最大值为 22019 ．
（3）当n = 2020时，设 A W2020且 c A = 3，
设 A = x1, x2 ,L, xm ，
则对任意的 xi A，定义 x 的邻域 N (xi ) = {a Ω2020 | d (a, xi ) 1}，
（a）一方面：对任意的1 i m， N(xi )中恰有 2021 个元素，
事实上，
①若 d (a, xi ) = 0，则 a = xi ，恰有一种可能；，
②若 d (a, xi ) =1，则 a与 xi ，恰有一个分量不同，共 2020 种可能；
综上， N(xi ) 中恰有 2021 个元素，
（b）对任意的1 i j m， N (xi ) N (x j ) = ，
事实上，若 N (xi ) N (x j ) ，
不妨设 a N (xi ) N (x j )， x = x , x ,L, x i 1 2 2020 , x j = x1 , x2 ,L, x2020 ，
k =1 k =1 k =1 k =1
则 d (xi , x j ) = xk - xk xk - a + a - xk = xk - a + a - xk 2，这与 c A = 3矛盾，
2020 2020 2020 2020
由（a）和（b）可得 N (x1) U N (x2 ) ULU N (xm )中共有 2021m 个元素，
2020
但W 中共有 22020 个元素，所以 2021m 22020 m
2
2020 ，即 ，2021
22020
注意到m 是正整数，但 不是正整数，上述等号无法取到，
2021
22020
所以，集合A 中的元素个数m 小于 ．
2021
4．（2024·北京延庆·一模）已知数列 an ，记集合T = S i, j S i, j = ai + ai+1 + ...+ a ,1 i < j, i, j N*j .
(1)若数列 an 为1,2,3，写出集合T ；
(2)若 an = 2n，是否存在 i , j N*，使得 S i, j = 512？若存在，求出一组符合条件的 i, j ；若不存在，说明
理由；
(3)若 an = n ，把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为b1,b2 ,...,bm ,...， 若bm 2024，求m 的最大
值．
【解析】（1）由题意可得 a1 + a2 = 3， a1 + a2 + a3 = 6 ， a2 + a3 = 5，
所以T = 3,5,6 .
（2）假设存在 i , j N*，使得 S i, j = 512，
则有512 = ai + ai+1 + ...+ a j = 2i + 2 i +1 + ...+ 2 j = j - i +1 i + j ，
由于 i + j 与 j - i 的奇偶性相同， i + j 与 j - i +1奇偶性不同，
又 i + j 3， j - i +1 2，
所以512中必有大于等于3的奇数因子，这与512 = 29 无1以外的奇数因子矛盾，
故不存在 i , j N*，使得 S i, j = 512 .
（3 t）首先证明 an = n 时，对任意的m N* 都有bm 2 , t N
*
，
j - i +1
i i 1 i + j 因为 + + + i + 2 + ...+ j = ，
2
由于 i + j 与 j - i +1均大于 2且奇偶性不同，
j - i +1 i + j
所以 为奇数，对任意的m N* 都有bm 2
t , t N*，
2
2t其次证明除 t N 形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和，
若正整数 h = 2t 2k +1 ，其中 t N, k N*，
则当 2t+1 > 2k +1时，由等差数列的性质可得：
h = 2t 2k +1 = 2t + 2t + ...+ 2t = 2t - k + 2t - k +1 + ...+ 2t -1 + 2t + 2t +1 + ...+ 2t + k -1 + 2t + k ，此时
结论成立，
当 2t+1 < 2k +1时，由等差数列的性质可得：
h = 2k +1 + 2k +1 + ...+ 2k +1 = k - 2t +1 + ...+ k -1 + k + k +1 + k + 2 + ...+ k + 2t ，此时结论成立，
对于数列 an = n ，此问题等价于数列1,2,3,...n 其相应集合T 中满足bm 2024有多少项，
由前面证明可知正整数1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024不是T 中的项，
所以m 的最大值为 2013 .
5．（2024·湖南邵阳·二模）给定整数 n 3，由n元实数集合 P 定义其随影数集Q = x - y∣x, y P, x y .若
min Q =1，则称集合 P 为一个n元理想数集，并定义 P 的理数 t 为其中所有元素的绝对值之和.
(1)分别判断集合 S = -2, -1,2,3 ,T = -0.3, -1.2,2.1,2.5 是不是理想数集；（结论不要求说明理由）
(2)任取一个 5 元理想数集 P ，求证： min P + max P 4；
(3)当P = x1, x2 ,L, x2024 取遍所有 2024 元理想数集时，求理数 t 的最小值.
注：由n个实数组成的集合叫做n元实数集合，max P ,min P 分别表示数集 P 中的最大数与最小数.
【解析】（1）设 S = -2, -1,2,3 ,T = -0.3, -1.2,2.1,2.5 的随影数集分别为Q1,Q2 ，
则min Q1 =1 > min Q2 = 0.9，
所以集合S 是理想数集，集合T 不是理想数集.
（2）不妨设集合P = x1, x2 , x3 , x4 , x5 且 x1 < x2 QP为理想数集，\"i N*,1 i 4，则 xi+1 - xi 1，且$i0 N
*,1 i0 4，使得 xi +1 - xi =10 0 .
当 x1 0时， min P + max P = x1 + x5 = x2 - x1 + x3 - x2 +L+ x4 - x3 + x5 - x4 + 2x1 4 + 2x1 4 .
当且仅当 xi+1 - xi =1且 x1 = 0 时，等号成立；
当 x5 0 时，
min P + max P = x1 + x5 = -x1 - x5 = x2 - x1 + x3 - x2 + x4 - x3 + x5 - x4 - 2x5 4 - 2x5 4 .
当且仅当 xi+1 - xi =1且 x5 = 0 时，等号成立；
当 x1 < 0, x5 > 0时， min P + max P = x1 + x5 = -x1 + x5 = x2 - x1 + x3 - x2 + x4 - x3 + x5 - x4 4 .
当且仅当 xi+1 - xi =1时，等号成立.
综上所述： min P + max P 4 .
（3）设 x1 < x2 QP为理想数集.
\"i N*,1 i 2023, xi+1 - xi 1，且$i0 N
*,1 i0 2023，使得 xi - x =10 +1 i0 .
\对于Pj = x j ,L, x *2025- j P ，同样有"i N ,1 j 1012, x j+1 - x j 1 .
下先证对n元理想数集 P ，有 min P + max P n -1 .
不妨设集合 P 中的元素满足 x1 < x2 QP为理想数集，
\"i N*,1 i n -1, xi+1 - xi 1，且$x0 N
*,1 i0 n -1，使得 xi - x =10 +1 i0 .
当 x1 0时，
min P + max P = x1 + xn = x1 + xn = x2 - x1 + x3 - x2 +L+ xn - xn-1 + 2x1 n -1+ 2x1 n -1，
当且仅当 xi+1 - xi =1且 x1 = 0 时，等号成立；
当 xn 0时，
min P + max P = x1 + xn = -x1 - xn = x2 - x1 + x3 - x2 +L+ xn - xn-1 - 2xn n -1- 2xn n -1，当且仅
当 xi+1 - xi =1且 xn = 0时，等号成立；
当 x1 < 0, xn > 0 时， min P + max P = x1 + xn = -x1 + xn = x2 - x1 +L+ xn - xn-1 n -1 .
当且仅当 xi+1 - xi =1时，等号成立.
\ min P + max P n -1.
\ min Pj + max Pj 2025 - 2 j .当且仅当 x j+1 - x j =1时，等号成立.
\ x1 + x2024 2023, x2 + x2023 2021,L, x1012 + x1013 1.
\ 2023+1 1012理数 t = x1 + x2 +L+ x2024 2023 + 2021+L+1 = =10122 .2
当且仅当 x1012 = 0或 x1013 = 0 时，等号成立.
\理数 t 的最小值为10122 =1024144 .
6．（23-24 高三上·北京昌平·期末）已知Q : a1,a2 ,L,ak 为有穷正整数数列，且 a1 ≤ a2 ≤L≤ ak ，集合
X = -1,0,1 ．若存在 xi X , i =1,2,L, k ，使得 x1a1 + x2a2 +L+ xk ak = t ，则称 t 为 k -可表数，称集合
T = ∣t t = x1a1 + x2a2 +L+ xk ak , xi X , i =1,2,L,k 为 k -可表集．
(1)若 k =10, a = 2i-1i , i =1,2,L, k ，判定 31，1024 是否为 k -可表数，并说明理由；
k
(2)若 1,2,L, n T 3 -1，证明： n ；
2
(3)设 a = 3i-1i , i =1,2,L,k ，若 1,2,L, 2024 T ，求 k 的最小值．
【解析】（1）31 是，1024 不是，理由如下：
由题意可知 x1a1 + x2a2 +L+ xk ak = t ，
a i-1 9当 i = 2 , k =10时，有 x1 + 2x2 +L+ 2 x10 = t, xi -1,0,1 ，
显然若 x1 = -1, x6 =1, xi = 0 i 2,3,4,5,7,8,9,10 时， t = 31，
而 t 20 1+ 21 1+ 22 1+L+ 29 1 = 210 -1 =1023 <1024，
故 31 是 k -可表数，1024 不是 k -可表数；
（2）由题意可知若 xi = 0 t = 0，即0 T ，
设 s T ，即$xi -1,0,1 使得 x1a1 + x2a2 +L+ xk ak = s ，
所以 -x1a1 + -x2a2 +L+ -xk ak = -s，且-xi -1,0,1 成立，故-s T ，
所以若 1,2,L, n T ，则 ±1, ±2,L, ±n,0 T ，
即 ±1, ±2,L± n,0 中的元素个数不能超过T 中的元素，
对于确定的Q，T 中最多有3k 个元素，
k
所以 2n +1 3k n 3 -1 ；
2
m-1 m
（3）由题意可设"n N* ,$m N* 3 -1 3 -1，使 < n ，
2 2
m-1
x 1 x 3 x 32 L x 3m-2 1 1 1 3 1 32 L 1 3m-2 3 -1又 1 + 2 + 3 + + m-1 + + + + = ，2
所以 k > m -1，即 k m ，
m
而1 1+1 3+1 32 +L+1 3m-1 3 -1= ，
2
m
n 3 -1即当 = 时，取 a1 =1, a2 = 3,Lam = 3
m-1
时，n为m - 可表数，
2
m
因为 2 1 1+1 3+1 32 L 1 3m-1 2 3 -1+ + = = 3m -1，2
由三进制的基本事实可知，对任意的0 p 3m -1，存在 ri 0,1,2 i =1,2,L, m, ，
p = r 30 + r 31使 1 2 +Lrm 3
m-1
，
3m -1
所以 p - = r1 30 + r2 31 +Lr m-1 0 1m 3 - 3 + 3 +L+ 3m-12
= r1 -1 30 + r 1 m-12 -1 3 +L+ rm -1 3 ，
令 xi = ri -1，则有 xi -1,0,1 , i =1,2,L, m ，
t p 3
m -1 3m -1 3m -1
设 = - - t ，
2 2 2
m m
由 p
3 -1 3 -1
的任意性，对任意的- t , t Z，
2 2
t = x 0 1 m-1都有 1 3 + x2 3 +L+ xm 3 , xi -1,0,1 , i =1,2,L, m，
n 3
m -1
又因为 ，所以对于任意的-n t n, t Z， t 为m - 可表数，
2
k m m 3
m-1 -1 n 3
m -1
综上，可知 的最小值为 ，其中 满足 < ，
2 2
n = 2024 3
7 -1 8
又当 时， < n 3 -1 ，
2 2
所以 k 的最小值为8 .
ì1
m
a
7 n
an为偶数 *
．设 为给定的正奇数，定义无穷数列 Am ： a1 =1, an+1 = í2 ,其中n N .若 ak 是数列 Am 中
an + m an为奇数
的项，则记作 ak Am .
(1)若数列 Am 的前 6 项各不相同，写出m 的最小值及此时数列的前 6 项；
(2) *求证：集合B = k N∣ak Am , ak > 2m 是空集；
(3)记集合 Sm = x∣x Am , S = x∣"正奇数m, x Sm ，求集合S .（若m 为任意的正奇数，求所有数列 Am 的
相同元素构成的集合S .）
【解析】（1）由题意，因为m 是正奇数，
当m =1时，由 a1 =1，得 a2 =1+1 = 2， a3 =1 = a1，这与前 6 项各不相同矛盾，不合题意；
当m = 3时，由 a1 =1，得 a2 =1+ 3 = 4， a3 = 2， a4 =1 = a1 ，不合题意；
当m = 5时，由 a1 =1，得 a2 =1+ 5 = 6， a3 = 3， a4 = 3+ 5 = 8， a5 = 4， a6 = 2，符合题意；
综上，m 的最小值为 5，此时数列的前 6 项为：1,6,3,8,4,2 .
（2）证明：假设集合B = k N∣* ak Am , ak > 2m 非空，
当 k =1时， a1 =1，又m 是正奇数， 2m 2 ，而 a1 < 2m，不合题意，
当 k = 2时， a2 =1+ m ，若 a2 > 2m ，则需m <1，又m 是正奇数，不合题意，
设 B 中元素的最小值为 k （显然 k 3)，
因为 ak > 2m ak -1，所以 ak = ak -1 + m，因此 ak -1为奇数，且 ak -1 > m .
若 ak -1 = ak -2 + m，则 ak -2 为偶数，
但此时应有 a
1
k -1 = ak -2 ，与 ak -1 = ak -2 + m矛盾；2
a 1若 k -1 = ak -2 ，则 ak -2 > 2m ，即 k - 2 B，与 k 的最小性矛盾.2
因此假设不成立，集合 B 为空集.
（3）猜想 S = 1,2 .
因为 S1 = 1,2 ，以下只需证对任意大于 1 的奇数m ，1,2 Sm .
若 a j =1, j >1，则 a j-1 = 2，故只需证必存在 a j =1, j >1 .
由（2）知无穷数列 Am 中所有的项都属于集合 1,2,L, 2m ，
因此必存在 i < j ，使得 ai = a j ，取其中 i的值最小的一组.
若 ai >1，则 ai = a j = K >1；
若K > m，则必有 ai-1 = a j-1 = K - m >1，与 i的最小性矛盾；
若K m，则必有 ai-1 = a j-1 = 2K ，也与 i的最小性矛盾.
因此只能 ai =1，因此 a j = a1 =1, j >1,a j-1 = 2，即1,2 Sm .
综上， S = 1,2 .
8．已知集合 A = a1, a2 , a3 an N*，其中 n N 且 n 3, a1 < a2 < a3 < < an，若对任意的
x, y A x y ，都有 x - y xy ，则称集合A 具有性质M
k k
.
(1)集合 A = 1,2,a 具有性质M3，求 a的最小值；
1 1 n -1
(2)已知A 具有性质M15，求证： - a ；1 an 15
(3)已知A 具有性质M15，求集合A 中元素个数的最大值，并说明理由.
ì
a 1
a
- ì 3
M 3 a 【解析】（1）由性质 3定义知： í 2a í 2
a 6，且 a N* ，
a - 2 a 6
3
所以 a的最小值为 6.
a a
（2）由题设 | ai - a | i i+1i+1 , (i =1,2,3,...,n -1) ，且 a1 < < a15 n
，
a a aiai+1 1 1 1所以 i+1 - i - , (i =1,2,3,...,n -1)15 a ，i ai+1 15
1 1 1 1 ... 1 1 1 1 n -1所以 - + - + + - = - a a a a a a a a 15 ，得证.1 2 2 3 n-1 n 1 n
ì 1 n -1
> n -1
（3）由（2）知： ía1 15 <1 n <16，
15 a1 1
1 1 n - i 1 n - i
同（2）证明得 - 且 i =1,2,3,...,n -1 > a iai a 15
，故
n ai 15
，又 i ，
1 n - i
所以 > i(n - i) <15在 i =1,2,3,...,n -1上恒成立，
i 15
当 n 8，取 i = 3，则3(n - 3) 15，故 n < 8，
n 7 i(n i) (i + n - i)
2 n2
当 ，则 - = <15 n < 60 ，即 n 7 .
4 4
综上，集合A 中元素个数的最大值为 7.
9．（2023·河南·模拟预测）已知数列 an 是首项为 1 的等差数列，数列 bn -1 是公比为 2 的等比数列，且
a3 = b2 ,a6 + b3 = 20．
(1)求数列 an , bn 的通项公式；
(2)设 x 表示不超过 x 的最大整数（如： 3.5 = 3, -1.5 = -2），求集合
k N* am < log2 bk < a2m ,1 m 10 中元素的个数．
【解析】（1）设等差数列 an 的公差为d ，
由题意可知an = 1+ n -1 d ,bn -1 = b1 -1 × 2n-1，
因为a3 = b2 ,a6 + b3 = 20，
ì 1+ 2d = 2 b1 -1 +1
所以 í
1+ 5d + 4 b1 -1 +1 = 20
，
解得b1 = 3, d = 2，所以 an =1+ 2 n -1 = 2n -1，
bn -1 = 3-1 2n-1 = 2n n，故bn = 2 +1．
（2）因为2k < 2k +1 < 2k+1 k < log 2k，所以 2 +1 < k +1，所以 log2bk = k ．
因为am = 2m -1,a2m = 4m -1，
所以当m =1时，a1 < log2bk < a2 ，则1 < k < 3，又 k N* ，故 k = 2；
当m = 2 时，a2 < log2bk < a4 ，则3 < k < 7，故 k = 4,5,6；
当m = 3时，a3 < log2bk < a6，则5 < k < 11，故 k = 6,7,8,9,10；
当m = 4 时， a4 < log2bk < a8 ，则7 < k <15，故 k = 8,9,10,11,12,13,14，
依次类推，当m =10时，a10 < log2bk < a20，则19 < k < 39，故 k = 20,21,L,38，
由于集合中的元素互异，需要减去重复出现的元素，
所以集合 k N* am < log2 bk < a2m ,1 m 10 中元素的个数为
1+ 3 + 5 +L+19 - 1+ 3 + ×× × +15 = 17 +19 = 36个．
10．（2023·北京西城·模拟预测）已知 A 为有限个实数构成的非空集合，设 A + A = ai + a j ai ,a j A ，
A - A = ai - a j ai ,a j A ，记集合 A + A和 A - A其元素个数分别为 A + A ， A - A .设
n A = A + A - A - A .例如当 A = 1,2 时， A + A = 2,3,4 ， A - A = -1,0,1 ， A + A = A - A ，所以
n A = 0 .
(1)若 A = 1,3,5 ，求 n A 的值；
(2)设 A 是由 3 个正实数组成的集合且 A + A I A = ， A = A 0 ；，证明：n A - n A 为定值；
(3)若 an 是一个各项互不相同的无穷递增正整数列，对任意 n N* ，设 An = a1,a2 , × × ×, an ，bn = n An .已
知 a1 =1， a2 = 2，且对任意 n N* ，bn 0，求数列 an 的通项公式.
【解析】（1）当 A = 1,3,5 时， A + A = 2,4,6,8,10 ， A - A = -4, -2,0,2,4 ，
A + A = A - A ，所以n A = 0；
（2）设 A = a,b,c ，其中0 < a < b < c ，
则 A = AU 0 = 0, a, b,c ，
n A - n A = A + A - A - A - A + A - A - A
= A + A - A + A - A - A - A - A ，
因0 < a < 2a < a + b < 2b < b + c < 2c ，
A + A = 2a, 2b, 2c,a + b,b + c U a + c ，
因 A + A I A = ，
所以b 2a， c 2b， c 2a ， c a + b，
又 A + A = b,c U 0, a, 2a, 2b, 2c,a + b,b + c U a + c ，
a + c 0， a + c a ，
所以 A + A - A + A = 4，
因-c < -b < -a < 0 < a < b < c， a - c < a - b < 0 < b - a < c - a ，b - c < 0 < c - b ，
A - A = 0, a - b, a - c,b - a,c - a U b - c,c - b ，
A - A = a,b, -a, -b U 0,c,-c, a - b, a - c,b - a,c - a U b - c,c - b ，
因b 2a， c 2b， c 2a ， c a + b，
所以 a b - a ， a c - a ，b c - b， a c - b，
b - c 0，b - c 0，b - c c，b - c -c
所以 A - A - A - A = 6
n A - n A = -2
所以n A - n A 为定值；
（3） A3 = 1,2, a3 a3 N* ，
若 a3 4, a N
*
3 ，
则 4 <1+ a3 < 2 + a3 < 2a3，
1- a3 < 2 - a3 < -1 <1 < a3 - 2 < a3 -1 ,
故 A3 + A3 = 2,3,4,1+ a3 , 2 + a3 , 2a3 ，
A3 - A3 = 1- a3 , 2 - a3 ,-1,0,1, a3 - 2, a3 -1 ，
此时b3 = n A3 = A3 + A3 - A3 - A3 = -1，不符合题意，
故 a3 = 3，
猜想 an = n ，下面给予证明，
当 n 3时，显然成立，
假设当 n k ， k N*时，都有 ak = k 成立，即 Ak = 1,2,3, × × ×, k ，
此时 Ak + Ak = 2,3,4, × × ×, 2k ， Ak - Ak = 1- k, 2 - k,3- k, × × ×,0,1, 2,L,k -1 ，
故 Ak + Ak = 2k - 2 +1 = 2k -1， Ak - Ak = k -1- 1- k +1 = 2k -1，
bk = n Ak = 0，符合题意，
Ak +1 = 1,2, × × ×,k,a *k +1 ， ak +1 N
则 Ak +1 + Ak +1 = 2,3,4, × × ×, 2k U 2 + ak +1,3+ ak +1,L, k + ak +1 ，
Ak +1 - Ak +1 = 1- k, 2 - k,3- k, × × ×,0,1, 2,L, k -1 U 1- ak +1, 2 - ak +1,L,0,1,L, ak +1 -1 ，
若 ak +1 k + 2，
2,3,4, × × ×, 2k I 2 + ak +1,3+ ak +1,L, k + ak +1 的元素个数小于
1- k, 2 - k,3 - k, × × ×,0,1, 2,L,k -1 I 1- ak +1, 2 - ak +1,L,0,1,L,ak +1 -1 的元素个数，
则有bk +1 = n Ak +1 = Ak +1 + Ak +1 - Ak +1 - Ak +1 < Ak + Ak - Ak - Ak = n Ak = 0，
不符合题意，故 ak +1 = k +1，
综上，对于任意的 n N*，都有 an = n ，
故数列 an 的通项公式 an = n .
11．（2023·北京·模拟预测）正整数集合 A = {a1,a2 ,a3 ,L, an}，且 a1 < a2 < a3 为T (B) ，集合C = {T (B) | B A} .
(1)若 A ={1,2,5}，请直接写出集合C ；
(2)若集合 B 中有且只有两个元素，求证“ a1,a2 ,a3 ,L,an 为等差数列”的充分必要条件是“集合C 中有2n - 3个
元素”；
(3)若C = {1,2,3,L, 2023}，求n的最小值，以及当n取最小值时， an 最小值.
【解析】（1）C = 1,2,3,5,6,7,8
（2）若 a1,a2 ,a3 ,L,an 为等差数列，
不妨设 ai = a1 + (i -1)d ,a j = a1 + ( j -1)d ，且 i < j, i, j = 1,2,3,L, n，
\ai + a j = 2a1 + (i + j - 2)d ，
Q1 i < j n ，
\3 i + j 2n -1，
\C 中有 2n -1- 3 +1 = 2n - 3个元素，
\“ a1,a2 ,a3 ,L,an 为等差数列”是“集合C 中有2n - 3个元素”充分条件
若集合C 中有2n - 3个元素，则至少有如下有2n - 3个元素
a1 + a2 < a1 + a3 < a1 + a4 < a1 + a5 < a1 + a6 < L < a1 + an-1 < a1 + an
< a2 + an < a3 + an < L < an-1 + an
又有如下2n - 3个元素
a1 + a2 < a1 + a3 < a2 + a3 < a2 + a4 < a2 + a5 < L < a2 + an-2 < a2 + an-1，
< a2 + an < a3 + an < L < an-1 + an ，
ìa1 + a4 = a2 + a3

a\ 1
+ a5 = a2 + a4
í ，
M
a1 + an = a2 + an-1
\a2 - a1 = a4 - a3 = a5 - a4 = a6 - a5 = L = an - an-1
\“ a1,a2 ,a3 ,L,an 为等差数列”是“集合C 中有2n - 3个元素”必要条件
综上，“ a1,a2 ,a3 ,L,an 为等差数列”是“集合C 中有2n - 3个元素”充要条件.
（3）由题意， a1 = 1, a2 = 2,a3 4,a4 8, a5 16，
a6 32, a7 64, a8 128,a9 256,a10 512 ，
\a1 + a2 +L+ a10 1023
又 a1 + a2 +L+ a10 + a11 = 2023
\a11 1000
\n =11，且此时， a11 最小值为1000 .
12．（2023·北京通州·模拟预测）设集合 A 为含有 n 个元素的有限集．若集合 A 的 m 个子集 A1， A2，…，
Am 满足：
① A1， A2，…， Am 均非空；
② A1， A2，…， Am 中任意两个集合交集为空集；
③ A1 A2 L Am = A．
则称 A1， A2，…， Am 为集合 A 的一个 m 阶分拆．
(1)若 A = 1,2,3 ，写出集合 A 的所有 2 阶分拆（其中 A1， A2与 A2， A1为集合 A 的同一个 2 阶分拆）；
(2)若 A = 1,2,3,L, n ， A1， A2为 A 的 2 阶分拆，集合 A1所有元素的平均值为 P，集合 A2所有元素的平均值
为 Q，求 P - Q 的最大值；
(3)设 A1， A2， A3为正整数集合 A = a1,a2 ,L, an （ n N*， n 3）的 3 阶分拆．若 A1， A2， A3满足任取集
合 A 中的一个元素 ai 构成 A1 = ai ，其中 i 1,2,3,L,n ，且 A2与 A3中元素的和相等．求证：n 为奇数．
【解析】（1） A = 1,2,3 ，集合 A 的所有 2 阶分拆是：{1,2},{3}；{1,3},{2}；{2,3},{1} .
（2）依题意，不妨设P > Q， A1 = {a1, a2 ,L, ap},T = a1 + a2 +L+ ap ，
n(n +1)
-T
则 | P Q | P Q T 1 (n - p)T n(n +1) n T n +1- = - = - 2 = [ - +T ] = ( - ) ，
p n - p n - p p 2 n - p p 2
而T (n - p +1) + (n
p(2n - p +1)
- p + 2) +L+ n = ，
2
所以 | P - Q |
n
= (T n +1) n (2n - p +1 n +1 n- - ) = p(2n - p +1)
n p p 2 n p 2 2 2 ，当且仅当
T = 时取等号，
- - 2
所以 P - Q
n
的最大值是 .
2
（3）依题意， A2 I A3 = ， A2 U A3 = {a1,a2 ,L,ai-1,ai+1,L,an}， A2与 A3中元素的和相等，
设 A2与 A3中元素的和为mi ，集合A 中所有元素之和为S ，于是 S = 2mi + ai (i =1,2,L, n)，
①当集合A 中存在元素 a j (1 j n) 为奇数时，
因为 S = 2m j + a j , 2m j 是偶数，于是S 是奇数，对于任意 ai (i = 1, 2, , n) ，均有 ai = S - 2mi ，
因此此时集合A 中的元素均为奇数，因为S 为奇数，且只有奇数个奇数的和为奇数，
所以 n 为奇数；
②当集合A 中存在元素 a j (1 j n) 为偶数时，
因为 S = 2m j + a j , 2m j 是偶数，于是S 是偶数，对于任意 ai (i = 1, 2, , n) ，均有 ai = S - 2mi ，
因此此时集合A 中的元素均为偶数，对于一个偶数 ai (i = 1, 2, , n) ，均存在正整数 pi 和奇数 ki ，使得
ai = 2
pi ki ，
显然集合A 中的元素除以 2，仍然满足条件，将集合A 中的元素不断除以 2，直至有一个奇数，
此时，由①可得 n 为奇数，
综上得：n 为奇数.
13．（2023·北京延庆·一模）已知n为正整数，集合 A = {a |a = ( x1 , x 2 ,L , x 2 n ), x i { - 1,1} , i = 1, 2,L , 2 n } 具有性
质 P ：“对于集合A 中的任意元素a = ( x1 , x 2 ,L , x 2 n ) ， x1 + x 2 + L + x 2 n = 0 ，且 x1 + x2 + L + xi 0 ，其中
i =1,2,L, 2n -1”. 集合A 中的元素个数记为 | P ( A) |．
(1)当 n = 2时，求 | P ( A) |；
(2)当n = 9 时，求 x1 + x2 + L + x9 的所有可能的取值；
(3)给定正整数n，求 | P ( A) |．
【解析】（1） n = 2时，集合A 中的元素为a1 = (1,-1, 1,-1)，a2 = (1, 1,-1,-1)，
所以 |P(A)| = 2 ．
（2）n = 9 时，首先证明 x1 =1，且 x18 = -1．
在 x1 + x2 + L + xi 0 中，令 i =1，得 x1 0，从而有 x1 =1．
在 x1 + x2 + L + xi 0 中，令 i =17，得 x1 + x2 +L+ x17 ≥ 0．
又 x1 + x2 +L+ x18 = 0， 故 x18 = -(x1 + x2 +L+ x17 )≤ 0，从而有 x18 = -1．
考虑a = (1,L,1,-1,L,-1) ，即 x1 = x2 = L = x9 = 1， x10 = x11 = L = x18 = -1，
此时 x1 + x2 +L+ x9 = 9 为最大值．
现交换 x9与 x10 ，使得 x9 = -1, x10 = 1，此时 x1 + x2 +L+ x9 = 7．
现将 x9 = -1逐项前移，直至 x2 = -1．在前移过程中，显然 x1 + x2 +L+ x9 = 7不变，这一过程称为 1 次“移位”．
依此类推，每次“移位” x1 + x2 + L + x9 的值依次递减 2．经过有限次移位， x1, x2 ,L, x9一定可以调整为1, -1
交替出现．
注意到n = 9 为奇数，所以 x1 + x2 +L+ x9 = 1为最小值．
所以 x1 + x2 + L + x9 的所有可能取值为1,3,5,7,9．
（3）由题设，在 x1, x2 ,L, x2n 中，有n个+1，n个 -1，显然，从 x1, x2 ,L, x2n 中选n个+1，其余为 -1的种数共
n
有C2n 种．
下面我们考虑这样的数组中有多少个不满足 x1 + x2 +L+ xi ≥ 0 (i = 1,2,L, 2n -1)，记该数为 tn ．
如果 x1, x2 ,L, x2n 不满足 x1 + x2 +L+ xi ≥ 0 (i = 1,2,L, 2n -1)，则一定存在最小的正整数
s (s ≤ n)，使得 x1 + x2 +L+ x2s-2 = 0，且 x2s-1 = -1．
将 x1, x2 ,L, x2s-1 统统改变符号， 这一对应为：
x1, x2 ,L, x2s-1, x2s ,L, x2n -x1,-x2 ,L,-x2s-1, x2s ,L, x2n ，
从而将 x1, x2 ,L, x2n 变为 n +1个+1， n -1个 -1组成的有序数组．
因此， tn 就是 n +1个+1， n -1个 -1组成的有序数组的个数，即 tn = Cn+12n ．
所以 |P(A) | = Cn2n - C
n+1 1
2n = C
n
n +1 2n
.
14．（2023·北京顺义·一模）已知实数集 A = a1,a2 ,L,an (n 3)，定义j(A) = aia j ai ,a j A, i j ．
(1)若 A = -2,0,1,2 ，求j A ；
(2)若j A = 0,-6,-8,-12,12,18,24 ，求集合 A；
(3)若 A 中的元素个数为 9，求j A 的元素个数的最小值．
【解析】（1）j A = -4, -2,0,2 ;
（2）首先，0 A；
其次A 中有 4 个非零元素，符号为一负三正或者一正三负.
记 A = 0, a,b,c, d ，不妨设 a < 0 < b < c < d 或者 a < b < c < 0 < d --
①当 a < 0 < b < c < d 时， ab, ac, ad = -6,-8, -12 , bc,bd ,cd = 12,18,24 ，
相乘可知bcd = 72，a3bcd = -576 ，从而 a3 = -8 a = -2，
从而 b,c,d = 3,4,6 ，所以 A = 0,-2,3,4,6 ；
②当 a < b < c < 0 < d 时，与上面类似的方法可以得到 d 3 = 8 d = 2
进而 b,c,d = -3, -4, -6 ，从而 A = 0,2,-3,-4,-6
所以 A = 0,-2,3,4,6 或者 A = 0,2,-3,-4,-6 .
（3）估值+构造 需要分类讨论A 中非负元素个数.
先证明 j A 13．考虑到将A 中的所有元素均变为原来的相反数时，
集合j A 不变，故不妨设A 中正数个数不少于负数个数.接下来分类讨论：
情况一：A 中没有负数．
不妨设0 a1 < a2 上式从小到大共有 1+7+6=14 个数，它们都是j A 的元素，这表明 j A 14.
情况二： A 中至少有一个负数．
设 b1,b2 ,L,bs 是A 中的全部负元素， c1,c2 ,L,ct 是A 中的全部非负元素.
不妨设bs < bs-1 其中 s, t 为正整数， s + t = 9, s 4, t 5．
于是有0 b1c1 > b1c2 >L > b1ct > b2ct >L > bsct
以上是j A 中的 s + t -1 = 8个非正数元素：另外，注意到 c2c3 < c2c4 < c2c5 < c3c5 < c4c5
它们是j A 中的 5 个正数．这表明 j A 13.
综上可知，总有 j A 13. -
另一方面，当 A = 0, ±1, ±2,±22 , ±23 时，j A = 0, -1, ±2,±22 , ±23 ,±24 , ±25 , -26 中恰有 13 个元素. 综上所述，
j A 中元素个数的最小值为 13.拔高点突破 01　集合背景下的新定义压轴解答题
目录
01 方法技巧与总结 ...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结 ...............................................................................................................................2
题型一：定义新概念 ...................................................................................................................................................2
题型二：定义新运算 ...................................................................................................................................................3
题型三：定义新性质 ...................................................................................................................................................5
题型四：定义新背景 ...................................................................................................................................................6
03 过关测试 ...........................................................................................................................................8
1、解答新定义型创新题的基本思路是：
（1）正确理解新定义；
（2）根据新定义建立关系式；
（3）结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题；
（4）运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果．
2、集合中的新概念问题，往往是通过重新定义相应的集合或重新定义集合中的某个要素，结合集合
的知识加以创新，我们还可以利用原有集合的相关知识来解题．
3、集合中的新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则．按照新的运算规则，结合
数学中原有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等，从而达到解答的目的．
4、集合中的新性质问题往往是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的．我们通过可以结合相
应的集合概念、关系、运算等相关知识，利用相应的数学思想方法来解答有关的集合的新性质问题．
题型一：定义新概念
【典例 1-1】（2024·北京顺义·二模）已知点集M n = x1, y1 , x2 , y2 ,L, xn , yn n 3 满足0 xi ， yi ，
xi + yi 2 i =1,2,L,n .对于任意点集M n ，若其非空子集 A，B 满足 A B = ， AU B = M n ，则称集合对
A, B 为M n 的一个优划分.对任意点集M n 及其优划分 A, B ，记 A 中所有点的横坐标之和为 X A ，B 中
所有点的纵坐标之和为Y B .
(1)写出M3 = 1,1 , 2,0 , 0,2 的一个优划分 A, B ，使其满足 X A +Y B = 3；
(2)对于任意点集M3，求证：存在M3的一个优划分 A, B ，满足 X A +Y B 3；
n +1 n +1
(3)对于任意点集M n ，求证：存在M n 的一个优划分 A, B ，满足 X A 且Y B .2 2
【典例 1-2】（2024·浙江台州·二模）设 A，B 是两个非空集合，如果对于集合 A 中的任意一个元素 x，按照
某种确定的对应关系 f ，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 和它对应，并且不同的 x 对应不同的 y；同时
B 中的每一个元素 y，都有一个 A 中的元素 x 与它对应，则称 f ： A B 为从集合 A 到集合 B 的一一对应，
并称集合 A 与 B 等势，记作 A = B .若集合 A 与 B 之间不存在一一对应关系，则称 A 与 B 不等势，记作
A B .
*
例如：对于集合 A = N*，B = 2n n N ，存在一一对应关系 y = 2x x A, y B ，因此 A = B .
ì 2 2 2 2 x y ü(1)已知集合C = x, y x + y =1 ，D = í x, y | + =1 ，试判断C = D 是否成立 请说明理由；
4 3
(2)证明：① 0,1 = - , + ；
②N* x x N* .
ur uur
【变式 1-1】（2024·江西九江·二模）定义两个n维向量 ai = xi,1, xi,2 , × × ×, xi,n ， a j = x j ,1, x j ,2 , × × ×, x j ,n 的数量积
ur uur ur ur ur2 urai × a j = xi,1x j ,1 + xi ,2x j ,2 + ×××+ xi,n x j ,n i, j N+ ， ai × a = a ，记 xi i i,k 为 ai 的第 k 个分量（ k n且 k N+）.如三
ur ur
维向量 a1 = 2,1,5 ，其中 a 的第 2 分量 a1 1,2 =1 .若由n维向量组成的集合 A 满足以下三个条件：①集合中含
ur uur
有 n 个 n 维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取 0 或 1；③集合中任意两个元素 ai ， a j ，满足
ur2 uur2 ur uur
ai = a j = T （T 为常数）且 ai × a j =1.则称 A 为 T 的完美 n 维向量集.
(1)求 2 的完美 3 维向量集；
(2)判断是否存在完美 4 维向量集，并说明理由；
(3)若存在 A 为 T 的完美 n 维向量集，求证：A 的所有元素的第 k 分量和 Sk = T .
题型二：定义新运算
【典例 2-1】（2024·海南海口·一模）在计算机科学中，n维数组 X = x1, x2 ,L, xn , xi 0,1 , i N+ , n 2 是
一种基础而重要的数据结构，它在各种编程语言中被广泛使用．对于n维数组
A = a1, a2 ,L, an , B = b1,b2 ,L,bn ，定义A 与 B 的差为 A - B = a1 - b1 , a2 - b2 ,L, an - bn , A与 B 之间的距
n
离为 d (A, B) = ai - bi ．
i=1
(1)若n维数组C = 0,0,L,0 ，证明： d A,C + d B,C d A, B ；
(2)证明：对任意的数组 A, B,C ，有 d A - C, B - C = d A, B ；
(3)设集合 Sn = X X = x1, x2 ,L, xn , xi 0,1 , i N+ ,n 2 , P Sn，若集合 P 中有m m 2 个n维数组，记
mn
P 中所有两元素间的距离的平均值为 d P ，证明：d P 2 m -1 ．
【典例 2-2】（2024·浙江绍兴· i i i二模）已知 k N* ，集合 X = x x = 2 0 + 2 1 + ×××+ 2 kk ,0 i0 < i1 i0 , i1, × × ×, ik N .
(1)求 X 2 中最小的元素；
(2) 1 3设 a = 2 + 2 X1 ，b X1，且 a + b X1，求b 的值；
k +1
Y X 2k +n-1, 2k +n ù * Y b b(3) m记 k = k ， n N ，若集合 k 中的元素个数为 n ，求 m-1 .
m=1 2
ì m ü
【变式 2-1】（2024·浙江嘉兴·二模）已知集合 A = í 2a∣i 0 a1 < a2 i=1
集合A 中所有的数从小到大排列成数列 b(t)n ，数列 b(t)n 的前n项和为 S(t)n .例如： t = 2时，
b(2) 0 1 0 2 1 2 0 31 = 2 + 2 = 3,b(2)2 = 2 + 2 = 5,b(2)3 = 2 + 2 = 6,b(2)4 = 2 + 2 = 9,L，
S(2)4 = b(2)1 + b(2)2 + b(2)3 + b(2)4 = 23 .
(1)写出b(2)5 ,b(2)6，并求 S(2)10 ；
(2)判断 88 是否为数列 b(3)n 中的项.若是，求出是第几项；若不是，请说明理由；
(3)若 2024 是数列 b(t)n 中的某一项b t0 n ，求 t ,n 及 S t0 的值.0 0 0 n0
题型三：定义新性质
【典例 3-1】（2024·云南昆明·一模）若非空集合 A 与 B，存在对应关系 f，使 A 中的每一个元素 a，B 中总
有唯一的元素 b 与它对应，则称这种对应为从 A 到 B 的映射，记作 f：A→B．
设集合 A = -5, -3, -1,1,3,5 ，B = b ,b ,L,b （ n N*1 2 n ， n 6 ），且B A．设有序四元数集合
P = {X X = x1, x2 , x3 , x4 , xi A且 i =1,2,3,4}，Q = Y Y = y1, y2 , y3 , y4 ．对于给定的集合 B，定义映射 f：
P→Q，记为Y = f X ，按映射 f，若 xi B（ i =1,2,3,4），则 yi = xi +1；若 xi B（ i =1,2,3,4），则
4
yi = xi．记 SB Y = yi ．
i=1
(1)若B = -5,1 ， X = 1,-3,-3,5 ，写出 Y，并求 SB Y ；
(2)若B = b1,b2 ,b3 ， X = 1,-3,-3,5 ，求所有 SB Y 的总和；
4
(3)对于给定的 X = x1, x2 , x3 , x4 ，记 xi = m，求所有 SB Y 的总和（用含 m 的式子表示）．
i=1
【典例 3-2】（2024·广东江门·一模）将 2024 表示成 5 个正整数x1，x2， x3， x4， x5之和，得到方程
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 2024 ①，称五元有序数组 x1, x2 , x3 , x4 , x5 为方程①的解，对于上述的五元有序数组
x1, x2 , x3 , x4 , x5 ，当1 i, j 5时，若max(xi - x j ) = t(t N) ，则称 x1, x2 , x3 , x4 , x5 是 t -密集的一组解.
(1)方程①是否存在一组解 x1, x2 , x3 , x4 , x5 ，使得 xi+1 - xi i =1,2,3,4 等于同一常数 若存在，请求出该常数；
若不存在，请说明理由；
(2)方程①的解中共有多少组是1-密集的
5
(3)记 S = x2i ，问S 是否存在最小值 若存在，请求出S 的最小值；若不存在，请说明理由.
i=1
【变式 3-1】（2024·广东·模拟预测）已知集合A 中含有三个元素 x, y, z，同时满足① x < y < z；② x + y > z；
③ x + y + z 为偶数，那么称集合A 具有性质 P .已知集合 Sn = 1,2,3,L, 2n (n N*, n 4) ，对于集合 Sn 的非
空子集 B ，若 Sn 中存在三个互不相同的元素 a,b,c，使得a + b,b + c,c + a均属于 B ，则称集合 B 是集合 Sn 的
“期待子集”.
(1)试判断集合 A = 1,2,3,5,7,9 是否具有性质 P ，并说明理由；
(2)若集合B = 3,4,a 具有性质 P ，证明：集合 B 是集合 S4 的“期待子集”；
(3)证明：集合M 具有性质 P 的充要条件是集合M 是集合 Sn 的“期待子集”.
题型四：定义新背景
【典例 4-1】（2024·全国·模拟预测）拓扑学是一个研究图形（或集合）整体结构和性质的一门几何学，以
2
抽象而严谨的语言将几何与集合联系起来，富有直观和逻辑．已知平面 E = x，y |"x，y R ，定义对
A1 x1，y1 ， A2 x2，y2 ，其度量（距离） d A A 2 2 2， E ，d1 2 = x1 - x2 + y1 - y2 并称 为一度量平
面．设 x0 E2，d ，e R+ ，称平面区域B x0，e = x E2，d |d x0，x < e 为以 x0 为心，e 为半径的
球形邻域．
(1)试用集合语言描述两个球形邻域的交集；
(2) 2证明： E ，d 中的任意两个球形邻域的交集是若干个球形邻域的并集；
(3) 2一个集合称作“开集”当且仅当其是一个无边界的点集．证明： E ，d 的一个子集是开集当且仅当其可
被表示为若干个球形邻域的并集．
【典例 4-2】（2024·安徽芜湖·二模）对称变换在对称数学中具有重要的研究意义．若一个平面图形 K 在 m
（旋转变换或反射变换）的作用下仍然与原图形重合，就称 K 具有对称性，并记 m 为 K 的一个对称变
换．例如，正三角形 R 在m1 （绕中心 O 作 120°的旋转）的作用下仍然与 R 重合（如图 1 图 2 所示），所以
1 2 3m 1 是 R 的一个对称变换，考虑到变换前后 R 的三个顶点间的对应关系，记m1 = l
è3 1 2
÷；又如，R 在 1

（关于对称轴 r1所在直线的反射）的作用下仍然与 R 重合（如图 1 图 3 所示），所以 l1也是 R 的一个对称变
1 2 3
换，类似地，记 l1 = 1 3 2÷．记正三角形 R 的所有对称变换构成集合 S．一个非空集合 G 对于给定的代è
数运算.来说作成一个群，假如同时满足：
I．"a,b G ， a b G；
II．"a,b,c G， a b c = a b c ；
Ⅲ．$e G ，"a G， a e = e a = a；
Ⅳ．"a G，$a-1 G ， a a-1 = a-1 a = e．
对于一个群 G，称Ⅲ中的 e 为群 G 的单位元，称Ⅳ中的 a-1为 a 在群 G 中的逆元．一个群 G 的一个非空子
集 H 叫做 G 的一个子群，假如 H 对于 G 的代数运算 来说作成一个群．
(1)直接写出集合 S（用符号语言表示 S 中的元素）；
(2)同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如
1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2m
3 2 1
1 = ÷ = ÷ = ÷ = ÷ = =
è3 1 2 è3 2 1
÷ ÷ ．对于集合 S 中的元素，定义
è1 3 2 è1 2 3 è 2 3 1 è 2 1 3
a1 a2 a3 b1 b2 b3 a1 a2 a3
一种新运算*，规则如下： b b b ÷
* ÷ = ÷，
è 1 2 3 èc1 c2 c3 è c1 c2 c3
a1,a2 ,a3 = b1,b2 ,b3 = c1,c2 ,c3 = 1,2,3 ．
①证明集合 S 对于给定的代数运算*来说作成一个群；
②已知 H 是群 G 的一个子群，e， e 分别是 G，H 的单位元， a H ， a-1，a 分别是 a 在群 G，群 H 中的
逆元．猜想 e， e 之间的关系以及 a-1，a 之间的关系，并给出证明；
③写出群 S 的所有子群．
【变式 4-1】（2021·北京西城·二模）设 A 是正整数集的一个非空子集，如果对于任意 x A，都有 x -1 A
或 x +1 A，则称 A 为自邻集.记集合 An = {1,2L, n}(n > 2,n N) 的所有子集中的自邻集的个数为 an .
(1)直接写出 A4 的所有自邻集；
(2)若n为偶数且 n > 6，求证： An 的所有含 5 个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；
(3)若n 4，求证： an 2an-1 .
1．（2024·北京丰台·一模）已知集合M n = x N* x 2n （ n N，n 4），若存在数阵
éa1 a2 L an ùT = êb b L b ú 满足： 1 2 n
① a1,a2 ,L,an U b1,b2 ,L,bn = M n ；
② ak - bk = k k =1,2,L,n ．
则称集合M n 为“好集合”，并称数阵T 为M n 的一个“好数阵”．
éx y z 6ù
(1)已知数阵T = ê M7 w 1 2ú 是 4 的一个“好数阵”，试写出
x ， y ， z ，w的值；

(2)若集合M n 为“好集合”，证明：集合M n 的“好数阵”必有偶数个；
(3)判断M n n = 5,6 是否为“好集合”．若是，求出满足条件 n a1,a2 ,L, an 的所有“好数阵”；若不是，说
明理由．
2．（2024·湖南益阳·模拟预测）我们知道，二维空间（平面）向量可用二元有序数组 a1,a2 表示；三维空
间向盘可用三元有序数组 a1,a2 ,a3 表示．一般地，n维空间向量用n元有序数组 a1,a2 ,L,an 表示，其中
ak k =1,2,L,n 称为空间向量的第 k 个分量， k 为这个分量的下标．对于 n n 3 维空间向量 a1,a2 ,L,an ，
定义集合 A m = k∣ak = m,k =1,2,L,n ．记 A m 的元素的个数为 A m （约定空集的元素个数为 0）．
(1)若空间向量 a1,a2 ,a3,a4 ,a5,a6 ,a7 ,a8 = 6,3,2,5,3,7,5,5 ，求 A 5 及 A 5 ；
1 1 1
(2)对于空间向量 a ,a + +L+ = n1 2 ,L,an ．若 A a1 A a2 A ，求证：
"i, j 1,2,L,n ，若 i ja ，则n
ai a j ；
(3)若空间向量 a1,a2 ,a3 ,L,an 的坐标满足 A ak-2 + ak-1 = k ,a1 = a2 = 1，当 n 3时，求证：
a2 2 21 + a2 +L+ an > 2an-1an ．
3．（2024·北京·模拟预测）对给定的正整数n，令Wn = a = a1, a2 , , an ∣ ai 0,1 , i =1,2, , n ，对任意的
x = x1, x2 ,… , xn ， y = y1, y2 , , yn Wn ，定义 x 与 y 的距离 d x, y = x1 - y1 + x2 - y2 +L+ xn - yn ．设A
是Wn 的含有至少两个元素的子集，集合 D = d x, y x y, x, y A 中的最小值称为A 的特征，记作 c A ．
(1)当 n = 3时，直接写出下述集合的特征：
A = 0,0,0 , 1,1,1 , B = 0,0,0 , 0,1,1 , 1,0,1 , 1,1,0 ,C = 0,0,0 , 0,0,1 , 0,1,1 , 1,1,1 ；
(2)当n = 2020时，设 A Ω2020且 c A = 2，求A 中元素个数的最大值；
2020
(3)当n = 2020时，设 A Ω2020且 c A = 3 2，求证：A 中的元素个数小于 ．2021
4．（2024·北京延庆·一模）已知数列 an ，记集合T = S i, j S i, j = ai + ai+1 + ...+ a j ,1 i < j, i, j N* .
(1)若数列 an 为1,2,3，写出集合T ；
(2)若 an = 2n，是否存在 i , j N*，使得 S i, j = 512？若存在，求出一组符合条件的 i, j ；若不存在，说明
理由；
(3)若 an = n ，把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为b1,b2 ,...,bm ,...， 若bm 2024，求m 的最大
值．
5．（2024·湖南邵阳·二模）给定整数 n 3，由n元实数集合 P 定义其随影数集Q = x - y∣x, y P, x y .若
min Q =1，则称集合 P 为一个n元理想数集，并定义 P 的理数 t 为其中所有元素的绝对值之和.
(1)分别判断集合 S = -2, -1,2,3 ,T = -0.3, -1.2,2.1,2.5 是不是理想数集；（结论不要求说明理由）
(2)任取一个 5 元理想数集 P ，求证： min P + max P 4；
(3)当P = x1, x2 ,L, x2024 取遍所有 2024 元理想数集时，求理数 t 的最小值.
注：由n个实数组成的集合叫做n元实数集合，max P ,min P 分别表示数集 P 中的最大数与最小数.
6．（23-24 高三上·北京昌平·期末）已知Q : a1,a2 ,L,ak 为有穷正整数数列，且 a1 ≤ a2 ≤L≤ ak ，集合
X = -1,0,1 ．若存在 xi X , i =1,2,L, k ，使得 x1a1 + x2a2 +L+ xk ak = t ，则称 t 为 k -可表数，称集合
T = ∣t t = x1a1 + x2a2 +L+ xk ak , xi X , i =1,2,L,k 为 k -可表集．
(1) k =10, a = 2i-1若 i , i =1,2,L, k ，判定 31，1024 是否为 k -可表数，并说明理由；
k
(2)若 1,2,L, n T 3 -1，证明： n ；
2
(3)设 ai = 3
i-1, i =1,2,L,k ，若 1,2,L, 2024 T ，求 k 的最小值．
ì1
an an为偶数 7 *．设m 为给定的正奇数，定义无穷数列 Am ： a1 =1, an+1 = í2 ,其中n N .若 ak 是数列 Am 中
an + m an为奇数
的项，则记作 ak Am .
(1)若数列 Am 的前 6 项各不相同，写出m 的最小值及此时数列的前 6 项；
(2) *求证：集合B = k N∣ak Am , ak > 2m 是空集；
(3)记集合 Sm = x∣x Am , S = x∣"正奇数m, x Sm ，求集合S .（若m 为任意的正奇数，求所有数列 Am 的
相同元素构成的集合S .）
8．已知集合 A = a1, a2 , a3 an N*，其中 n N 且 n 3, a1 < a2 < a3 < < an，若对任意的
x, y A x y ，都有 x - y xy ，则称集合A 具有性质M
k k
.
(1)集合 A = 1,2,a 具有性质M3，求 a的最小值；
1 1 n -1
(2)已知A 具有性质M15，求证： - a1 an 15
；
(3)已知A 具有性质M15，求集合A 中元素个数的最大值，并说明理由.
9．（2023·河南·模拟预测）已知数列 an 是首项为 1 的等差数列，数列 bn -1 是公比为 2 的等比数列，且
a3 = b2 ,a6 + b3 = 20．
(1)求数列 an , bn 的通项公式；
(2)设 x 表示不超过 x 的最大整数（如： 3.5 = 3, -1.5 = -2），求集合
k N* am < log2 bk < a2m ,1 m 10 中元素的个数．
10．（2023·北京西城·模拟预测）已知 A 为有限个实数构成的非空集合，设 A + A = ai + a j ai ,a j A ，
A - A = ai - a j ai ,a j A ，记集合 A + A和 A - A其元素个数分别为 A + A ， A - A .设
n A = A + A - A - A .例如当 A = 1,2 时， A + A = 2,3,4 ， A - A = -1,0,1 ， A + A = A - A ，所以
n A = 0 .
(1)若 A = 1,3,5 ，求 n A 的值；
(2)设 A 是由 3 个正实数组成的集合且 A + A I A = ， A = A 0 ；，证明：n A - n A 为定值；
(3)若 an 是一个各项互不相同的无穷递增正整数列，对任意 n N* ，设 An = a1,a2 , × × ×, an ，bn = n An .已
知 a1 =1， a2 = 2，且对任意 n N* ，bn 0，求数列 an 的通项公式.
11．（2023·北京·模拟预测）正整数集合 A = {a1,a2 ,a3 ,L, an}，且 a1 < a2 < a3 为T (B) ，集合C = {T (B) | B A} .
(1)若 A ={1,2,5}，请直接写出集合C ；
(2)若集合 B 中有且只有两个元素，求证“ a1,a2 ,a3 ,L,an 为等差数列”的充分必要条件是“集合C 中有2n - 3个
元素”；
(3)若C = {1,2,3,L, 2023}，求n的最小值，以及当n取最小值时， an 最小值.
12．（2023·北京通州·模拟预测）设集合 A 为含有 n 个元素的有限集．若集合 A 的 m 个子集 A1， A2，…，
Am 满足：
① A1， A2，…， Am 均非空；
② A1， A2，…， Am 中任意两个集合交集为空集；
③ A1 A2 L Am = A．
则称 A1， A2，…， Am 为集合 A 的一个 m 阶分拆．
(1)若 A = 1,2,3 ，写出集合 A 的所有 2 阶分拆（其中 A1， A2与 A2， A1为集合 A 的同一个 2 阶分拆）；
(2)若 A = 1,2,3,L, n ， A1， A2为 A 的 2 阶分拆，集合 A1所有元素的平均值为 P，集合 A2所有元素的平均值
为 Q，求 P - Q 的最大值；
(3)设 A1， A2， A3为正整数集合 A = a1,a2 ,L, an （ n N*， n 3）的 3 阶分拆．若 A1， A2， A3满足任取集
合 A 中的一个元素 ai 构成 A1 = ai ，其中 i 1,2,3,L,n ，且 A2与 A3中元素的和相等．求证：n 为奇数．
13．（2023·北京延庆·一模）已知n为正整数，集合 A = {a |a = ( x1 , x 2 ,L , x 2 n ), x i { - 1,1} , i = 1, 2,L , 2 n } 具有性
质 P ：“对于集合A 中的任意元素a = ( x1 , x 2 ,L , x 2 n ) ， x1 + x 2 + L + x 2 n = 0 ，且 x1 + x2 + L + xi 0 ，其中
i =1,2,L, 2n -1”. 集合A 中的元素个数记为 | P ( A) |．
(1)当 n = 2时，求 | P ( A) |；
(2)当n = 9 时，求 x1 + x2 + L + x9 的所有可能的取值；
(3)给定正整数n，求 | P ( A) |．
14．（2023·北京顺义·一模）已知实数集 A = a1,a2 ,L,an (n 3)，定义j(A) = aia j ai ,a j A, i j ．
(1)若 A = -2,0,1,2 ，求j A ；
(2)若j A = 0,-6,-8,-12,12,18,24 ，求集合 A；
(3)若 A 中的元素个数为 9，求j A 的元素个数的最小值．

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