拔高点突破01 一网打尽平面向量中的范围与最值问题（十大题型）（含答案）第五章平面向量与复数 2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

资源简介

拔高点突破 01 一网打尽平面向量中的范围与最值问题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................5
题型一：利用三角向量不等式............................................................................................................5
题型二：定义法....................................................................................................................................6
题型三：基底法....................................................................................................................................6
题型四：几何意义法............................................................................................................................7
题型五：坐标法....................................................................................................................................8
题型六：极化恒等式............................................................................................................................9
题型七：矩形大法..............................................................................................................................10
题型八：等和线、等差线、等商线..................................................................................................10
题型九：平行四边形大法..................................................................................................................12
题型十：向量对角线定理..................................................................................................................14
03 过关测试 .........................................................................................................................................14
技巧一．平面向量范围与最值问题常用方法：
（1）定义法
第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系
第二步：运用基木不等式求其最值问题
第三步：得出结论
（2）坐标法
第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标
第二步：将平面向量的运算坐标化
第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解
（3）基底法
第一步：利用其底转化向量
第二步：根据向量运算律化简目标
第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论
（4）几何意义法
第一步：先确定向量所表达的点的轨迹
第二步：根据直线与曲线位置关系列式
第三步：解得结果
技巧二．极化恒等式
（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
r r r r r r
| a + b |2 + | a - b |2 = 2(| a |2 + | b |2 )
uuur r uuur r uuur r r uuur r r
证明：不妨设 AB = a, AD = b ，则 AC = a + b， DB = a - b
uuur 2 uuur2 r r 2 r 2 r r r 2AC = AC = a + b = a + 2a × b + b ①
uuur 2 uuur2 r r 2 r 2 r r r 2
DB = DB = a - b = a - 2a × b + b ②
①②两式相加得：
uuur 2 uuur 2 r 2 r 2 uuur 2 uuur 2AC + DB = 2 a + b = 2 AB + AD
（2）极化恒等式：
1 r r
上面两式相减，得： éê a + b
2
- r r 2a - b ùú ————极化恒等式4
r r
① 1平行四边形模式： a × b = é AC
2 - DB 2 ù
4
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方
1
差的．
4
r r
② 2 1 2三角形模式： a × b = AM - DB （M 为 BD 的中点）
4
A
B M C
技巧三．矩形大法
矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点 O 是矩形 ABCD 与所在平面内任一点，
证明：OA2 + OC 2 = OB2 + OD2 ．
【证明】（坐标法）设 AB = a, AD = b，以 AB 所在直线为轴建立平面直角坐标系 xoy，
则 B(a,0), D(0,b),C(a,b)，设O(x, y) ，则
OA2 + OC 2 = (x2 + y2 ) + [(x - a)2 + (y - b)2 ]
OB2 + OD2 = [(x - a)2 + y2 ] + [x2 + (y - b)2 ]
\OA2 + OC 2 = OB2 + OD2
技巧四．等和线
（1）平面向量共线定理
uuur uuur uuur
已知OA = lOB + mOC ，若l + m = 1，则 A, B,C 三点共线；反之亦然．
（2）等和线
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
平面内一组基底OA,OB 及任一向量OP ，OP = lOA + mOB(l, m R) ，若点 P 在直线 AB 上或者在平行
于 AB 的直线上，则 l + m = k （定值），反之也成立，我们把直线 AB 以及与直线 AB 平行的直线称为等和
线．
①当等和线恰为直线 AB 时， k =1；
②当等和线在O点和直线 AB 之间时， k (0,1) ；
③当直线 AB 在点O和等和线之间时， k (1,+ ) ；
④当等和线过O点时， k = 0；
⑤若两等和线关于O点对称，则定值 k 互为相反数；
B1
B
Q P l
O A A1
技巧五．平行四边形大法
1、中线长定理
2
2 AO = AB 2 1+ AD 2 - DB 2
2
2、 P 为空间中任意一点，由中线长定理得：
2
2 PO = PA 2 + PC 2 1- AC 2
2
2
2 PO PD 2 PB 2 1= + - DB 2
2
AC 22 2 - BD
2

两式相减： PA + PC - ( PD 2 + PB 2 ) = = 2 AB× AD
2
技巧六．向量对角线定理
uuur uuur uuur2 uuur2 uuur2 uuur2
AC BD (AD + BC ) - (AB + CD )× =
2
题型一：利用三角向量不等式
r r r r r r
【典例 1-1】已知 a + b = 2， a - b = 4 ，则 a + b 的范围是 .
r r r r r r r
【典例 1-2】（2024·浙江杭州·模拟预测）已知 | a - 2e |=| b - e |= 1,| e |= 1，则向量 a ×b 的范围是．
r r r r r 5 r r r
【变式 1-1】已知 a =1， b = 2， c = 3且 a ×b = ，则 a + b + c 的最大值为（）
8
A．5.5 B．5 C．6.5 D．6
r r ur ur r r r r
【变式 1-2】（2024·高三·浙江金华·开学考试）已知向量 a,b满足 | a + b |= 4 ， | a - b |= 3，则 | a | + | b |的范围
是（）
A．[3,5] B．[4,5] C．[3, 4] D．[4, 7]
【变式 1-3】（2024·河北保定·二模）如图，圆O1 和圆O2 外切于点 P ，A ， B 分别为圆O1 和圆O2 上的动点，
O uuur uuur
uuur uuur 2
已知圆 1 和圆O2 的半径都为 1，且PA × PB = -1，则 PA + PB 的最大值为（）
A．2 B．4 C． 2 2 D． 2 3
ur uur ur ur ur ur r ur ur r r
【变式 1-4】已知平面向量 e1,e2 满足 2e2 - e1 = 2 a
r
，设 = e1 + 4e
r
2 ,b = e1 + e2 ，若1 a ×b 2，则 | a |的取值范
围为________．
题型二：定义法
r r r r r r r r
【典例 2-1】已知向量 a、b 满足： a - b = 4 a = 2 b
r r
， .设 a - b与 a + b 的夹角为q ，则sinq 的最大值为
___________.
【典例 2-2】八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹．八角星纹常绘于彩陶盆和豆的
上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样．八角星纹以白彩的成，
黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉．八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在
长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹．图 2 是图 1 抽象出来的
图形，在图 2 中，圆中各个三角形（如△ACD）为等腰直角三角形，点 O 为圆心，中间部分是正方形且边
uuur uuur
长为 2，定点 A，B 所在位置如图所示，则 AB × AO 的值为（）
A．14 B．12 C．10 D．8
uuur uuur
【变式 2-1】已知点 A，B，C 均位于单位圆（圆心为 O，半径为 1）上，且 AB = 2, AB × AC 的最大值为
（）
A． 2 B． 3 C． 2 +1 D． 3 +1
uuur uuuur uuuur uuur
【变式 2-2】已知 PQ, MN 是半径为 5 的圆O上的两条动弦， PQ = 6, MN = 8，则 PM + QN 最大值是（）
A．7 B．12 C．14 D．16
题型三：基底法
【典例 3-1
π
】已知VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，若 A = ， a = 23 ，D为 AB 的中点，E 为CD 的
uuur uuur uuur uuur
中点，BC = 3BF ，则 AE × AF 的最大值为 .
uuur 1 uuur
【典例 3-2】在VABC 中， A = 60°， BC =1，点 D 为 AB 的中点，点 E 为CD 的中点，若BF = BC ，则
3
uuur uuur
AE × AF 的最大值为 .
uuur
【变式 3-1】在VABC 中， A = 60°， | BC |=1，点D为 AB 的中点，点E 为CD 的中点，若设
uuur r uuur r uuur r r uuur 1 uuur uuur uuur
AB = a, AC = b ，则 AE可用 a,b表示为；若BF = BC ，则 AE × AF 的最大值为．3
VABC M BC N A π【变式 3-2】在中，是边的中点，是线段 BM 的中点．若 = ，VABC6 的面积为 3，则
uuuur uuur
AM × AN 取最小值时，则 2BC = （）
A．2 B．8 3 -12 C．6 D．4
【变式 3-3】如图，已知等腰VABC 中， AB = AC = 3， BC = 4，点 P 是边BC上的动点，则
uuur uuur uuurAP × AB + AC （）
A．为定值 10 B．为定值 6
C．为变量且有最大值为 10 D．为变量且有最小值为 6
题型四：几何意义法
r r r r r r r r r
【典例 4-1】已知 a,b,c是同一平面上的 3 个向量，满足 a = 3， b = 2 2 ， a × b = -6，则向量 a 与b 的夹角
r r r r π r
为，若向量 c - a与 c - b 的夹角为，则 c 的最大值为．4
r r r r r r
【典例 4-2】已知向量 a，b 满足 a =1, b 2 a
r r
= ，则 + b + a - b 的最小值是，最大值是．
uuur uuur uuur
【变式 4-1】（2024·内蒙古包头·模拟预测）已知 O 是VABC 所在平面内一点，且 AB = 2 ，OA × AC = -1，
uuur uuur
OC × AC =1，则 ABC 的最大值为（　　）
π π π π
A． B． C． D．
6 4 3 2
r r r r r r r r r r r
【变式 4-2】已知平面向量 a ，b ， e，且 e =1， a = 2 .已知向量b 与 e所成的角为 60°，且 b - te b - e
r r
a e 1
r r
对任意实数 t 恒成立，则 + + a - b 的最小值为（
2 ）
A． 3 +1 B． 2 3 C． 3 + 5 D． 2 5
r r r r r r π r
【变式 4-3】已知 a,b,e是平面向量，且 e是单位向量，若非零向量 a 与 e的夹角为，向量4 b
满足
r r r r r2 r r
b - 4e ×b + 3 = 0，则 a - b + a - e 的最小值是（）
A． 5 - 2 B． 5 -1 C．2 D． 5
r r r r r r r r 1 r r r r
【变式 4-4】（2024·山东青岛·三模）已知向量 a，b ， c满足 a = b =1， a × (a - b) = ，2 b - c ^ 3b - c ，
r r
则 a - c 的最小值为（）
A． 3－1 B． 3 C．2 D．1
题型五：坐标法
【典例 5-1】（2024·河北沧州·一模）如图，在等腰直角VABC 中，斜边 AB = 4 2 ，点D在以 BC 为直径的
uuur uuur
圆上运动，则 | AB + AD |的最大值为（）
A． 4 6 B．8 C．6 3 D．12
uuuur uuuur uuur uuur uuuur
【典例 5-2】已知 | AM |= 2， AM = 2MB ，若动点 P，Q 与点 A，M 共面，且满足 | AP |=| AM |，
uuur uuuur uuur uuuur
| BQ |=| BM |，则MP × MQ的最大值为（）
A．0 B 1． 2 C．1 D．2
【变式 5-1】在梯形 ABCD中， AB / /CD ， AB = 2 ， AD = 2 ，CD =1， BAD = 45 o， P ，Q分别为线
uuur uuur
段 AD 和线段 AC 上（包括线段端点）的动点，则 AP × AQ 的最大值为（）
A． 2 5 B． 2 2 C． 10 D．3
π
【变式 5-2】在△ABC 中，BC＝2， BAC = ，D 为 BC 中点，在△ABC 所在平面内有一动点 P 满足
3
uur uuur uuur uuur uuur uuur
PB × PD = PC × PD ，则 AP × BC 的最大值为（　　）
A 3 B 2 3 C 4 3．．． 3 D．
3 3 3
uuur uuur
【变式 5-3】在DABC 中， AB = 2BC = 2，∠B = 90o ， P 是以 AB 为直径的圆上任意一点，则 AC × AP 的最
大值是（）
A． 5 + 2 B． 2 5 - 2 C． 2 5 D． 4
题型六：极化恒等式
uuur uuur uuur r
【典例 6-1】已知VABC 中，BC = 4 A
π
， = ，若VABC 所在平面内一点D满足
3 DB + DC + 2DA = 0
，则
uuur uuur
DB × DC 的最大值为 .
π uuur uuur uuur uuur uuur
【典例 6-2】在VPAB 中， AB = 2 3, APB = ，点 Q 满足PQ = 2(QA + QB)，则QA ×QB 的最大值
3
为 .
uuur uuur
【变式 6-1】在边长为 2 的正方形 ABCD中，动点 P，Q 在线段BD上，且 PQ = 2，则 AP × AQ的最小值为
（）
A．2 B 1． 2 C．1 D． 2
uuur uuur
【变式 6-2】点 P 是边长为 1 的正六边形 ABCDEF 边上的动点，则PA × PB 的最大值为（）
11 13
A．2 B． C．3 D．
4 4
【变式 6-3】勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两
个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知
uuur uuur
AB = 2, P为弧 AC （含端点）上的一点，则BP ×CP的范围为．
【变式 6-4】（2024·河南新乡·二模）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里
慢慢地往上转，可以在高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮的最高点距离地面的高度为 12，转盘的直径为
uuur uuur
10，A，B 为摩天轮在地面上的两个底座， AB =10，点 P 为摩天轮的座舱，则PA × PB 的范围为．
题型七：矩形大法
【典例 7-1】已知圆C : x2 + y21 = 9 与C2 : x
2 + y2 = 36 ，定点 P(2,0)，A、B 分别在圆C1 和圆C2 上，
满足 PA ^ PB，则线段 AB 的取值范围是．
uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur
【典例 7-2】在平面内，已知 AB1 ^ AB2 ，OB1 = OB2 =1， AP = AB1 + AB2 ，若 | OP |
1
，则
2
uuur
| OA |的取值范围是（）
A． (0, 5 ] 5 7 5 B． ( , ] C． ( , 2] 7 D． ( , 2]
2 2 2 2 2
uuuur uuur
【变式 7-1】已知圆Q : x2 + y2 = 16，点P 1,2 ，M、N 为圆 O 上两个不同的点，且PM × PN = 0若
uuur uuuur uuur uuur
PQ = PM + PN ，则 PQ 的最小值为______．
r r r 1 r r
【变式 7-2】设向量 ar r r
r r r r
，b ， c 满足 | a |=| b |=1， a ×b = ， (a - c) × (b - c) = 0，则 | c |的最小值是（）2
A 3 +1 B 3 -1．． C． 3 D．1
2 2
题型八：等和线、等差线、等商线
uuur 1 uuur uuur uuur uuur
【典例 8-1】如图，在VABC 中， AN = NC ， P 是线段BN 上一点，若，则mn 的最大值
3 AP = mAB + nAC
为 .
uuur uuur uuur uuur uuur
【典例 8-2】（多选题）（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知向量OA,OB,OP 满足 | OA |=1， | OB |= 2，
uuur uuur uuur uuur uuur
OA ×OB = 0 ， OP = lOA + mOB .则下列说法正确的是（）
uuur
A．若点 P 在直线 AB 上运动，当 l m 取得最大值时， | OP |的值为 5
uuur uuur
B P 5．若点在直线 AB 上运动， OA在OP 上的投影的数量的取值范围是 (- ,1]
5
uuur
C．若点 P 2 5在以 r = 为半径且与直线 AB 相切的圆上， | OP |取得最大值时，l + m 的值为 3
5
D．若点 P 在以 r = 2 5 为半径且与直线 AB 相切的圆上，l + m 的范围是[-1,3]
5
uuur uuur
【变式 8-1】如图所示， B 是 AC 的中点，BE = 2OB, P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且
uuur uuur uuur
OP = xOA + yOB x, y R ，则当 y = 2时， x 的范围是 .
uuur uuur uuur
【变式 8-2】如图，点C 是半径为1的扇形圆弧 3πAB 上一点，且 AOB = 4 ，若OC = xOA + yOB，则
x + 2y 的最大值是（）
A．1 B 5． C． 10 D．4
2
uuur uuur uuur
【变式 8-3】如图，边长为 2 的等边三角形的外接圆为圆 O，P 为圆 O 上任一点，若 AP = xAB + y AC ，则
x + y 的最大值为（）
8 4
A． B．2 C． D．1
3 3
【变式 8-4】（2024·河北沧州·三模）对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学
的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边VABC 中， AB = 2 ，以三条边为直径
uuuur uuur uuur
向外作三个半圆，M 是三个半圆弧上的一动点，若BM = l AB + m AC ，则l + m 的最大值为（）
A 1
3
． 2 B
3
． C．1 D．
3 2
【变式 8-5】平行四边形 ABCD中， AB = 2 ， AD =1，以 C 为圆心作与直线 BD 相切的圆，P 为圆 C 上且
uuur uuur uuur
落在四边形 ABCD内部任意一点， AP = l AB + m AD，若l + m > 1，则角A 的范围为（）
0, π π π π πA ． ÷ B． 0,
π
÷ C

． ,

3 D． ,è 6 è 6 3 ÷ è è 3 2 ÷
题型九：平行四边形大法
【典例 9-1】如图，圆O OA
1
是半径为 1 的圆， = ，设 B ，C 为圆上的任意 2 个点，则的取值范围
2 AC× BC
是___________.
uuur uuur
【典例 9-2】如图，C，D 在半径为 1 的eO 上，线段 AB 是eO 的直径，则 AC × BD的取值范围是
_________.
r r r
【变式 9-1】（2024·浙江·模拟预测）已知 er ar为单位向量，平面向量，b 满足 | a
r er | | b er+ = - |=1 r， a ×b 的取
值范围是____.
【变式 9-2】（2024·江西宜春·校联考模拟预测）半径为1的两圆 M 和圆O外切于点 P ，点C 是圆 M 上一点，
uuur uuur
点 B 是圆O上一点，则PC × PB的取值范围为_______.
【变式 9-3】设圆M ，圆 N 的半径分别为 1，2，且两圆外切于点 P ，点A ， B 分别是圆M ，圆 N 上的两
uuur uuur
动点，则PA × PB 的取值范围是（）
é 1 ù é 3 ù
A． ê-8, ú B． ê-16, 2 4 ú
C． -8,1 D． -16,1
题型十：向量对角线定理
【典例 10-1】已知平行四边形 ABCD ， AB ^ BC ， AB = BC = AD = 2，CD = 3 ， AC 与 BD交于点O，若
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
记 a = OA × OB ，b = OB ×OC ， c = OC × OD ，则（）
A. a b c B． a c b C． c a b D．b a c
uuur uuur
【典例 10-2】如图，在圆O中，若弦 AB = 3，弦 AC = 5，则 AO × BC 的值是（）
A． -8 B． -1 C．1 D．8
uuur uuur uuur uuur
【变式 10-1】在四边形 ABCD 中， AB ^ BC ， AD ^ BC 若， AB = a ， AD = b ，则 AC × BD 等于（）
A．b2 - a2 B． a2 - b2 C． a2 + b2 D． a2 ×b2
1．如图，VABC 的三边长为 AB = 3, BC = 7, AC = 5，且点B,C 分别在 x 轴， y 轴正半轴上移动，点A 在
uuur uuur uuur uuur uuur
线段BC的右上方．设OA = xOB + yOC x, y R ，记M = OA ×OC, N = x + y，分别考查M , N 的所有可能结
果，则（）
A．M 有最小值， N 有最大值 B．M 有最大值， N 有最小值
C．M 有最大值， N 有最大值 D．M 有最小值， N 有最小值
uuur uuur
2．在矩形 ABCD中， AB = 2 ， AD = 3， P 为矩形 ABCD所在平面内的动点，且PA =1，则PB × PC 的最大
值是（）
A．9 B．10 C．11 D．12
r r r r r
3．（2024· r湖北黄冈·二模）已知 e 为单位向量，向量 a满足 a ×e = 3, le - a =1 a
r
，则的最大值为（）
A．9 B．3 C． 10 D．10
r r r r r r
4 r．已知 e 为单位向量，向量 a满足 e ×a = 3, le - a =1，则 a 的最大值为（）
A．9 B．2 3 C． 10 D．8
5．如图，在等腰梯形 ABCD中， AB / /CD ， AB = 5， AD = 4，DC =1，点E 是线段 AB 上一点，且满足
uuur uuur
AE = 4EB ，动点 P 在以E 为圆心的半径为1的圆上运动，则DP × AC 的最大值为（）
A． 21 - 6 B． 3 - 21 C． 2 3 - 6 D． 3
6．（2024·四川成都·模拟预测）在矩形 ABCD中， AB = 5, AD = 4 ，点E 是线段 AB 上一点，且满足
uuur uuur
AE = 4EB .在平面 ABCD中，动点 P 在以E 为圆心，1 为半径的圆上运动，则DP × AC 的最大值为（）
A． 41 + 4 B． 41 - 6 C． 2 13 + 4 D． 2 13 - 6
r r
7 2024· · | ar | 3,| b | 1,ar b 0,| cr ar | | cr ar
r r r r r
．（贵州贵阳三模）已知 = = × = + + - |= 4,d 2 - 6b × d + 5 = 0，则 | c - d |的最
大值为（）
A 4 21． + 2 B．4 C．6 D 2 21． + 2
3 3
r r r r
8．已知非零平面向量 ar
π
，b 的夹角为，且 a - b =1，则 a
r r
× (a + 2b)的最大值为（
3 ）
A 2 3 B 2 3 +1 C 3 3．．． D． + 2
3 3 6 6
9．如图，在矩形 ABCD中， AB = 2BC = 4, AC 与BD的交点为M , N 为边 AB 上任意一点（包含端点），则
uuur uuur
MB × DN 的最大值为（）
A．2 B．4 C．10 D．12
uuur uuur uuur 2 1
10．如图所示，VABC 中，点D是线段BC的中点，E 是线段 AD 上的动点，若BE = xBA + yBC ，则 +x y
的最小值（）
A．1 B．3 C．5 D．8
11．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.如图甲是一张由卷曲纹和回纹构成
的正六边形剪纸窗花，如图乙所示其外框是边长为 4 的正六边形 ABCDEF ，内部圆的圆心为该正六边形的
uuur uuur
中心O，圆O的半径为 2，点 P 在圆O上运动，则PE ×OF 的最小值为（）
A．-8 B．-4 C．0 D．4
uuur uuur
12．已知点A 、 B 在圆 x2 + y2 = 4上，且 AB = 2 ， P 为圆O上任意一点，则 AB × BP 的最小值为（）
A． 0 B．-4 C．-6 D．-8
uuur uuur uuur
13．已知VABC 是边长为 4 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则PA × PB + PC 的最小值是（）
A．-2 B．-8 C．-3 D．-6
r r 2π r r r r
14．已知向量 a,b的夹角为，且 a = 2 b = 4，则 a + tb t R 的最小值是（
3 ）
A． 3 B．3 C． 2 3 D． 2 5
uuur uuur
15．扇形 AOB的半径为 1， AOB = 120° ，点C 在弧 AB 上运动，则CA ×CB 的最小值为（）
1 3
A．- B．0 C．- D．-1
2 2
16．（多选题）在VOAB中，OA =1,OB = 2, AOB =120°，点 P 是等边VABC （点O与C 在 AB 的两侧）边
uuur uuur uuur
上的一动点，若OP = xOA + yOB，则有（）
1
A．当 x =
9
时，点 P 必在线段 AB 的中点处 B． x + y 的最大值是
2 2
uuur uuur uuur uuur
C é
7 7 ù
．OP ×OA的最小值是 -1 D．PA × PB 的范围是 ê- , 4 2 ú
17．（多选题）已知点 A、B、P 在eC 上，则下列命题中正确的是（）
uuur uuur uuur
A． AC =1 1，则 AC × AB 的值是 2
uuur uuur uuur
B． AB =1 1，则 AC × AB 的值是 2
uuur uuur
C． AC = AB 1
uuur uuur é 1 3= ù，则 AP × AB 的范围是 ê- , 2 2ú
uuur uuur uuur uuur uuur
AC = AB =1 é ùD．，且 AP = l AB + m AC l + m 1- 2 3，则的范围是 ê 3 ,1+
2 3
3 ú
18．（多选题）已知圆O半径为 2，弦 AB = 2 ，点C 为圆O上任意一点，则下列说法正确的是（）
uuur uuur uuur uuur
A．BA × BO = 2 B． AB × AC 的最大值为 6
uuur uuur uuur uuur uuur
C． OC - AB - AO 0,4 D．满足 AB × AC = 0的点C 只有一个
19．（多选题）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆O的半径 2，点 P 是圆O内的定点，
且OP = 2 ，弦 AC，BD 均过点 P ，则下列说法正确的是（）
uuur uuur
A．PA × PC 为定值
uuur uuur
B．OA ×OC 的取值范围是 -2，0
uuur uuur
C．当 AC ^ BD 时， AB ×CD为定值
uuur uuur
D． AC ·BD 的最大值为 16
20．（多选题）如图，在梯形 ABCD中， AB∥CD, AD ^ AB,CD = 2, AD = 4, AB = 5, E, F 分别在线段 AD, AB
上，且线段DE 与线段 BF 的长度相等，则（）
uuur uuur uuur uuur
A．CE ×CF 的最小值为-4 B．CE ×CF 的最大值为 18
uuur uuur 41
C．CE × EF 的最大值为 -1 D．△CEF 的面积的最大值为 8
r r r r r r r
21．（多选题）（2024·山东潍坊·二模）已知向量 a ，b ， c为平面向量， a =1， b = 2， a ×b = 0 ，
r r
c a 1- = ，则（
2 ）
r 3 r r r rA 1+ 2 5．1 c B． c - a × c - b 的最大值为2 4
r r r r r
C 5．-1 b ×c 1 D．若 c = la + mb，则l + m 的最小值为1-
4
r r r
22．（2024· r甘肃·一模）已知单位向量 a,b 满足 3a - 4b = m，则m 的范围是 .
23．（2024·高三·上海闵行·开学考试）阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数
的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点 A，B 间的距离为 3，动点 P 满足
PA
= 2 uuur uuur
PB ，则PA × PB 的范围为 .
uuur uuur uuur
24．在VABC 中， AB = 3， AC = 2， BAC = 60° ，点 P 是VABC
2
内一点（含边界），若 AP = AB + l AC ，
3
uuur
则 AP 的最大值为 .
25．（2024·天津河西·三模）如图，动点 C 在以 AB 为直径的半圆 O 上（异于 A，B），DC ^ BC ，
uuur uuur uuur uuur
DC = BC ， AB = 2 ， CA - BC = ；OC ×OD 的最大值为．
uuur uuur
26．如图所示，在边长为 3 的等边三角形 ABC
2
中， AD = AC ，且点 P 在以 AD 的中点 O 为圆心、OA为
3
uuur uuur uuur
半径的半圆上，若BP = xBA + yBC ，则下列说法正确的是．
uuur 1 uuur 2 uuur
① BD = BA + BC ② x + y 3的最大值为1+
3 3 3
uuur uuur uuur uuur
③ BP × BC 最大值为 9 ④ BO × DO =1
uuur 2 uuur
27．如图所示，在边长为 3 的等边三角形 ABC 中， AD = AC ，且点 P 在以 AD 的中点O为圆心，OA为
3
uuur uuur
半径的半圆上，则BP × BC 的最大值为．拔高点突破 01 一网打尽平面向量中的范围与最值问题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................5
题型一：利用三角向量不等式............................................................................................................5
题型二：定义法....................................................................................................................................8
题型三：基底法..................................................................................................................................10
题型四：几何意义法..........................................................................................................................13
题型五：坐标法..................................................................................................................................18
题型六：极化恒等式..........................................................................................................................22
题型七：矩形大法..............................................................................................................................27
题型八：等和线、等差线、等商线..................................................................................................30
题型九：平行四边形大法..................................................................................................................36
题型十：向量对角线定理..................................................................................................................41
03 过关测试 .........................................................................................................................................42
技巧一．平面向量范围与最值问题常用方法：
（1）定义法
第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系
第二步：运用基木不等式求其最值问题
第三步：得出结论
（2）坐标法
第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标
第二步：将平面向量的运算坐标化
第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解
（3）基底法
第一步：利用其底转化向量
第二步：根据向量运算律化简目标
第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论
（4）几何意义法
第一步：先确定向量所表达的点的轨迹
第二步：根据直线与曲线位置关系列式
第三步：解得结果
技巧二．极化恒等式
（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
r r r r r r
| a + b |2 + | a - b |2 = 2(| a |2 + | b |2 )
uuur r uuur r uuur r r uuur r r
证明：不妨设 AB = a, AD = b ，则 AC = a + b， DB = a - b
uuur 2 uuur2 r r 2 r 2 r r r 2AC = AC = a + b = a + 2a × b + b ①
uuur 2 uuur2 r r 2 r 2 r r r 2
DB = DB = a - b = a - 2a × b + b ②
①②两式相加得：
uuur 2 uuur 2 r 2 r 2 uuur 2 uuur 2AC + DB = 2 a + b = 2 AB + AD
（2）极化恒等式：
1 r r
上面两式相减，得： éê a + b
2
- r r 2a - b ùú ————极化恒等式4
r r
① 1平行四边形模式： a × b = é AC
2 - DB 2 ù
4
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方
1
差的．
4
r r
② 2 1 2三角形模式： a × b = AM - DB （M 为 BD 的中点）
4
A
B M C
技巧三．矩形大法
矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点 O 是矩形 ABCD 与所在平面内任一点，
证明：OA2 + OC 2 = OB2 + OD2 ．
【证明】（坐标法）设 AB = a, AD = b，以 AB 所在直线为轴建立平面直角坐标系 xoy，
则 B(a,0), D(0,b),C(a,b)，设O(x, y) ，则
OA2 + OC 2 = (x2 + y2 ) + [(x - a)2 + (y - b)2 ]
OB2 + OD2 = [(x - a)2 + y2 ] + [x2 + (y - b)2 ]
\OA2 + OC 2 = OB2 + OD2
技巧四．等和线
（1）平面向量共线定理
uuur uuur uuur
已知OA = lOB + mOC ，若l + m = 1，则 A, B,C 三点共线；反之亦然．
（2）等和线
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
平面内一组基底OA,OB 及任一向量OP ，OP = lOA + mOB(l, m R) ，若点 P 在直线 AB 上或者在平行
于 AB 的直线上，则 l + m = k （定值），反之也成立，我们把直线 AB 以及与直线 AB 平行的直线称为等和
线．
①当等和线恰为直线 AB 时， k =1；
②当等和线在O点和直线 AB 之间时， k (0,1) ；
③当直线 AB 在点O和等和线之间时， k (1,+ ) ；
④当等和线过O点时， k = 0；
⑤若两等和线关于O点对称，则定值 k 互为相反数；
B1
B
Q P l
O A A1
技巧五．平行四边形大法
1、中线长定理
2
2 AO = AB 2 1+ AD 2 - DB 2
2
2、 P 为空间中任意一点，由中线长定理得：
2
2 PO = PA 2 + PC 2 1- AC 2
2
2
2 PO PD 2 PB 2 1= + - DB 2
2
AC 22 2 - BD
2

两式相减： PA + PC - ( PD 2 + PB 2 ) = = 2 AB× AD
2
技巧六．向量对角线定理
uuur uuur uuur2 uuur2 uuur2 uuur2
AC BD (AD + BC ) - (AB + CD )× =
2
题型一：利用三角向量不等式
r r r r r r
【典例 1-1】已知 a + b = 2， a - b = 4 ，则 a + b 的范围是 .
【答案】 é 4,2 5ù
r r
【解析】设 a = m， b = n ，
Q ar
r
+ b = 2 r 2ar b r r r r 2 r r，\ + = a 2 + 2a ×b + b = m2 + n2 + 2a ×b = 4 …①；
r r r r 2 r 2 r r r 2 r rQ a - b = 4，\ a - b = a - 2a ×b + b = m2 + n2 - 2a ×b =16 …②；
① + ②得： 2 m2 + n2 = 20，\m2 + n2 =10，
2
\ m n 2 10 2mn m + n+ = + 10 + 2 ÷ （当且仅当m = n = 5 时取等号），
è 2
则 m + n 2 20，\m + n 2 5 ；
Q ar
r r r r
+ b = m + n a + b = 4 r（当且仅当 a与b 同向时取等号），
r r
\ a + b 的取值范围为 é4,2 5ù .
故答案为： é4,2 5ù .
r r
【典例 1-2 2024· r r r r】（浙江杭州·模拟预测）已知 | a - 2e |=| b - e |= 1,| e |= 1，则向量 ar ×b 的范围是．
é 1 ù
【答案】 - ,6
ê 4 ú
r r r r
【解析】设 cr = ar r- 2e,d = b - er, | c |=| d |= 1，
ar
r r r
b (cr 2er) (d er) cr d er
r
所以 × = + × + = × + × (2d + cr) + 2 ①,
r rc d er
r r v
一方面， × + × (2d r+ c) + 2 r r c ×d + | 2d + c∣+ 2 =1+ 3+ 2 = 6 ，
r r r r r
当且仅当 c 与 d 同向， e 与 (2d + c)同向时取得最大值，
r r r r r r r r r
另一方面， c ×d + e × (2d + c) + 2 c ×d - 2d + c + 2
1
= t 2 - 5 1 3 1- t + 2 = t 2 - t + - ，
4 4 4 4
r r
t = 2d + cr [0,3] | 2d cr | 2,er
r r
其中，当且仅当 + = 与 (2d + c)反向时取得最小值．
r r é 1 ù
故a ×b ê- ,6 ． 4 ú
é 1- ,6ù故答案为： ê 4 ú
r r r r r
a =1 b = 2 c = 3 a b 5
r r r
【变式 1-1】已知，，且 × = ，则 a + b + c 的最大值为（）
8
A．5.5 B．5 C．6.5 D．6
【答案】A
r r r r r r 2 r 2 r 2 r 2 r r r r r 5 r r r
【解析】 a + b + c = a + b + c = a + b + c + 2a ×b + 2c × a + b = 1+ 4 + 9 + + 2c × a + b ，4
r r r r r r r 2 r 2 r r 5 15 r r又 c × a + b c a + b = 3 a + b + 2a ×b = 3 1+ 4 + = r，当且仅当 c 与 a + b 同向时取得等号；4 2
r r r
故 a + b + c 1 4 9 5 15 121 11+ + + + 2 = = = 5.5 .
4 2 4 2
故选：A.
r r ur ur r r r r
【变式 1-2】（2024·高三·浙江金华·开学考试）已知向量 a,b满足 | a + b |= 4 ， | a - b |= 3，则 | a | + | b |的范围
是（）
A．[3,5] B．[4,5] C．[3, 4] D．[4, 7]
【答案】B
r r r r r r【解析】 a + b max a + b , a - b = 4，
r r r 2 r2 r r
由于： ( a + b )2 = a + b + 2 a × b ，
r r 2 r r 2 r 2 r2 r 2 r2 r 2 r2 r 2 r2 r r
25 = a + b + a - b = 2 a + b = a + b + a + b a + b + 2 a × b ，
r r
当且仅当 a = b 时等号成立.
r r r r 2 r r 2
所以 ( a + b )2 a + b + a - b = 25，
r r
所以 a + b 5，
r r
所以 4 a + b 5 .
故选：B
【变式 1-3】（2024·河北保定·二模）如图，圆O1 和圆O2 外切于点 P ，A ， B 分别为圆O1 和圆O2 上的动点，
uuur uuur 2
已知圆O
uuur uuur
1 和圆O2 的半径都为 1，且PA × PB = -1，则 PA + PB 的最大值为（）
A．2 B．4 C． 2 2 D． 2 3
【答案】D
uuur uuur uuuur uuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur【解析】PA × PB = PO1 + O1A × PO2 + O2B = PO1 × PO2 + PO1 ×O2B + O1A × PO2 + O1A ×O2B
uuuur uuuur uuur uuur uuuur
= -1+ PO1 × O2B - O1A + O1A ×O2B = -1，
uuur uuuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur所以 O1A ×O2B = PO1 × O2B - O1A O2B - O1A ，
uuur uuuur 2 uuuur 2 uuur 2 uuur uuuur uuur uuuur 2 uuur uuuur
所以 O1A ×O2B O2B + O1A - 2O1A ×O2B ，即 O1A ×O2B + 2O1A ×O2B - 2 0，
uuur uuuur
解得-1- 3 O1A ×O2B -1+ 3 .
uuur uuur 2 uuuur uuur uuuur uuuur 2 uuur uuuur 2 uuur 2 uuuur 2 uuur uuuur
PA + PB = PO1 + O1A + PO2 + O2B = O1A + O2B = O1A + O2B + 2O1A ×O2B
uuur uuuur
= 2 + 2O1A ×O2B 2 + 2 -1+ 3 = 2 3 .
故选：D
ur uur ur ur r ur ur r ur ur r r
【变式 1-4】已知平面向量 e1,e2 满足 2e2 - e1 = 2，设a = e1 + 4e2 ,b = e1 + e2 ，若1 a
r
×b 2，则 | a |的取值范
围为________．
【答案】[ 3 -1, 5 +1]
r ur ur rc e 2e b 1 (ar cr
r r r r
【解析】设 = 1 -
r
2 ，则 = + ) ，则由条件2 1 a ×b 2
知2 a × (a + c) 4 ，
r2 r r 1 r2 3 ar c
r cr
所以3 a + a × c + c 5，所以 + 5, = 1
4 2 2
，
r cr cr r cr cr r cr cr
又 a + - a
v = a + - a + +
2 2 2 2 2 2
所以 3 -1 | ar | 5 +1．
故答案为：[ 3 -1, 5 +1] .
题型二：定义法
r r r r r r r r r r
【典例 2-1】已知向量 a、b 满足： a - b = 4， a = 2 b .设 a - b与 a + b 的夹角为q ，则sinq 的最大值为
___________.
2 2 2
【答案】 / 2
3 3
r r r r
【解析】设 b = t ，则 a = 2t ，设向量 a、b 的夹角为a ，
r r r 2a - b = 4 2 r r r2 3t -16若，则 a - 2a ×b + b = 3t 2 - 2 2t 2 cosa =16，可得 cosa = ，2 2t 2
2
由题意可得-1
3t -16
1，解得 4 2 -1 t 4 2 +1 ，
2 2t 2
r r 2 r 2 r r r2 r r
所以， a + b = a + 2a ×b + b = 3t 2 + 2 2t 2 cosa = 6t 2 -16，\ a + b = 6t 2 -16 ，
r r r ra + b × a - b
cosq r r r r t
2 1 1
= = = =
所以， a + b × a - b 4 6t 2 -16 4 2 3 8
2 ，
×
t 2
-
t 4 4 2
1 3 9
× -8 -

÷ +
è t 2 16 32
1 3
= 4 3 1当 2 时，即当 t = 时， cosq 取得最小值，此时sinq 取得最大值，t 16 3 3
1 2
且 sinq = 1- 2 2 ÷ = .max è 3 3
2 2
故答案为： .
3
【典例 2-2】八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹．八角星纹常绘于彩陶盆和豆的
上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样．八角星纹以白彩的成，
黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉．八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在
长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹．图 2 是图 1 抽象出来的
图形，在图 2 中，圆中各个三角形（如△ACD）为等腰直角三角形，点 O 为圆心，中间部分是正方形且边
uuur uuur
长为 2，定点 A，B 所在位置如图所示，则 AB × AO 的值为（）
A．14 B．12 C．10 D．8
【答案】A
【解析】如图：连接OD
因为中间是边长为 2 的正方形，且图中的各个三角形均为等腰直角三角形，
uuur uuur
所以 ADO = ODB = 45°， OD = 2 ， AD = 4， ADB = 90° .
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以 AB·AO = AD + DB · AD + DO uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur= AD + AD·DO + DB·AD + DB·DO
= 42 + 4 3π π 2 cos + 0 + 2 2 cos =14 .
4 4
故选：A
uuur uuur
【变式 2-1】已知点 A，B，C 均位于单位圆（圆心为 O，半径为 1）上，且 AB = 2, AB × AC 的最大值为
（）
A． 2 B． 3 C． 2 +1 D． 3 +1
【答案】C
uuur uuur uuur
【解析】设O为圆心，则 | OA |=| OB |=| OC |= 1，因为 | AB |= 2 ，
uuur2 uuur uuur uuur2 uuur uuur uuur2 uuur uuur
所以 AB = (OB - OA)2 = OB - 2OBgOA + OA = 2，所以OBgOA = 0，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以 ABgAC = ABg(OC - OA) = ABgOC - ABgOA = ABgOC - (OB - OA)gOA
uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
= AB·OC - OB·OA + OA = AB · OC cos AB,OC +1 = 2 cos AB,OC +1，
uuur uuur uuur uuur
因为 cos AB,OC [-1,1]，所以 (ABgAC)max =1+ 2 .
故选：C.
uuur uuuur uuuur uuur
【变式 2-2】已知 PQ, MN 是半径为 5 的圆O上的两条动弦， PQ = 6, MN = 8，则 PM + QN 最大值是（）
A．7 B．12 C．14 D．16
【答案】C
【解析】
如图，连接MO,OQ,OP,ON ，作PQ ^ OE ，MN ^ OD ，
易知E 是QP 的中点，D是MN 的中点，由勾股定理得OE = 4，OD = 3，
uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur
故PM + QN = OM - OP + ON - OQ = (OM + ON ) - (OP + OQ) = 2(OD - OE)，
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
故 PM + QN = 2 OD - OE 2( OD + OE ) =14，当OE,OD 反向时等号成立，故 C 正确.
故选：C
题型三：基底法
【典例 3-1】已知VABC 的内角 A, B,C π的对边分别为 a,b,c，若 A = ， a = 2，D为 AB 的中点，E 为CD3 的
uuur uuur uuur uuur
中点，BC = 3BF ，则 AE × AF 的最大值为 .
13
【答案】 / 2
1
6 6
【解析】因为D为 AB 的中点，E 为CD 的中点，
uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur所以 AE = AD AC 1 1 1+ = AB + AC 1 1= AB + AC ,2 2 2 2 4 2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2 uuur 1 uuur
因为BC = 3BF ，所以 AC - AB = 3(AF - AB)，所以 AF = AB + AC3 3
uuur uuur 1 uuur 1 uuur 2 uuur 1 uuur 1 uuur2 5 uuur uuur uuur2
则 AE × AF = AB + AC
1
÷ × AB + AC ÷ = AB + AB × AC + AC ，
è 4 2 è 3 3 6 12 6
uuur uuur
AE AF 1所以 × = c2
5
+ bc 1 1× + b2 1= b2 + c2 5+ bc .6 12 2 6 6 24
π
因为 A = , a = 2 2 2
π
，所以由余弦定理得 4 = b + c - 2bc cos ，
3 3
所以b2 + c2 = 4 + bc 2bc，则bc 4，当且仅当b = c = 2时，等号成立，
uuur uuur
AE AF 1 4 bc 5 bc 2 3 bc 2 3 13所以 × = + + = + + = ，
6 24 3 8 3 2 6
当且仅当b = c = 2时，等号成立.
13
故答案为：
6
uuur 1 uuur
【典例 3-2】在VABC 中， A = 60°， BC =1，点 D 为 AB 的中点，点 E 为CD 的中点，若BF = BC ，则
3
uuur uuur
AE × AF 的最大值为 .
13
【答案】
24
uuur
【解析】在VABC 中， A = 60°， | BC |=1，点D为 AB 的中点，点E 为CD 的中点，
uuur r uuur r uuur 1 uuur uuur 1 uuur 1 uuur 1 r 1 r
设 AB = a, AC = b ，则 AE = (AD + AC) = AB + AC = a + b ，2 4 2 4 2
uuur uuur
设 AB = x, AC = y ，
由余弦定理可得1 = x2 + y2 - xy ，
因为 x2 + y2 2xy，可得1 = x2 + y2 - xy xy ，即 xy 1，当且仅当 x = y 时取等号，
uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur r r
又因为BF = BC ，则 AF = AB + BC = AB + (AC - AB)
2
= AB 1 AC 2 1+ = a + b ，
3 3 3 3 3 3 3
uuur uuur 1 r 1 r 2 r 1 r 1 r 2 r r r 1 5
则 AE × AF = ( a + b) × ( a + b) = (2a + 5a ×b + 2b 2 ) = (2x2 + 2y2 + xy)
4 2 3 3 12 12 2
1 (9 1 9 13= × xy + 2) ( + 2) = ，
12 2 12 2 24
uuur uuur 13
即 AE × AF 的最大值为．24
13
故答案为：．
24
uuur
【变式 3-1】在VABC 中， A = 60°， | BC |=1，点D为 AB 的中点，点E 为CD 的中点，若设
uuur r uuur r uuur r r uuur 1 uuur uuur uuur
AB = a, AC = b ，则 AE可用 a,b表示为；若BF = BC ，则的最大值为．3 AE × AF
1 r r
【答案】 a
1 b 13+ ．
4 2 24
uuur
【解析】在VABC 中， A = 60°， | BC |=1，点D为 AB 的中点，点E 为CD 的中点，
uuur r uuur r uuur 1 uuur uuur 1 uuur 1 uuur 1 r 1 r
由 AB = a, AC = b ，则 AE = (AD + AC) = AB + AC = a + b ，2 4 2 4 2
uuur uuur
设 AB = x, AC = y ，
由余弦定理可得1 = x2 + y2 - xy ，
因为 x2 + y2 2xy，可得1 = x2 + y2 - xy xy ，即 xy 1，当且仅当 x = y 时取等号，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r r
又因为BF
1 BC AF AB 1 BC AB 1 2 1= ，则 = + = + (AC - AB) = AB + AC
2 1
= a + b ，
3 3 3 3 3 3 3
uuur uuur
AE 1
r 1 r 2 r 1 r 1 r 2 r r r 1 5
则 × AF = ( a + b) × ( a + b) = (2a + 5a ×b + 2b 2 ) = (2x2 + 2y2 + xy)
4 2 3 3 12 12 2
1 (9 xy 2) 1 9= × + ( + 2) 13= ，
12 2 12 2 24
uuur uuur 13
即 AE × AF 的最大值为．24
1 ar 1
r 13
故答案为： + b ；．
4 2 24
【变式 3-2】在VABC π中，M 是边BC的中点， N 是线段 BM 的中点．若 A = ，VABC6 的面积为 3，则
uuuur uuur
AM × AN 取最小值时，则 2BC = （）
A．2 B．8 3 -12 C．6 D．4
【答案】D
VABC A π 1 π【解析】在中，由 = 6 ，VABC 的面积为 3，得 3 = AB × AC sin ，则2 6 AB × AC = 4 3
，
uuuur
BC AM 1
uuur uuur
由M 是边的中点， N 是线段 BM 的中点，得 = (AB + AC)，
2
uuur 1 uuur uuuurAN (AB AM ) 1
uuur 1 uuur 1 uuur 3 uuur(AB 1
uuur
= + = + AB + AC) = AB + AC ，
2 2 2 2 4 4
uuuur uuur 1 uuur uuur 3 uuur 1 uuur 3 uuur 1 uuur 1 uuur uuur
则 AM × AN = (AB + AC) × ( AB + AC) = | AB |2 + | AC |2 + AB × AC
2 4 4 8 8 2
3 uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
= | AB |2 + | AC |2 + | AB || AC | cos π 3 | AB || AC | 3+ | AB || AC | 3= | AB || AC |= 6，
8 8 2 6 4 4 2
uuur uuur uuur uuur
当且仅当 3 | AB |=| AC |，即 | AB |= 2,| AC |= 2 3时取等号，
在VABC 3中，由余弦定理得：BC = AB2 + AC 2 - 2AB × AC cos A = 4 +12 - 2 2 2 3 = 2，
2
所以 2BC = 4 .
故选：D
【变式 3-3】如图，已知等腰VABC 中， AB = AC = 3， BC = 4，点 P 是边BC上的动点，则
uuur uuur uuurAP × AB + AC （）
A．为定值 10 B．为定值 6
C．为变量且有最大值为 10 D．为变量且有最小值为 6
【答案】A
uuur uuur
【解析】设BP = lBC 0 l 1 ，因为 AB = AC = 3， BC = 4
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur所以 AP × AB + AC = AB + BP × AB + AC = AB + AB × AC + lBC × AB + AC ,
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur2 uuur 2 uuur 2又lBC × AB + AC = l AC - AB × AB + AC = l AC - AB = l AC - AB = 0，
AB 2 + AC 2 - BC 2
cosA 9 + 9 -16 1= = = ，
2 AB × AC 2 3 3 9
uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur uuur 2 uuur uuur所以 AP × AB + AC = AB + AB × AC = AB + AB AC cosA 9 3 3 1× = + =10，9
故选：A.
题型四：几何意义法
r r r r r r r r r
【典例 4-1】已知 a,b,c是同一平面上的 3 个向量，满足 a = 3， b = 2 2 ， a × b = -6，则向量 a 与b 的夹角
r r r r π r
为，若向量 c - a与 c - b 的夹角为，则 c 的最大值为．4
3p
【答案】 /135° 58
4
r r r
【解析】因为 a
r
= 3， b = 2 2 ， a × b = -6，
r
cos ar
r ar,b ×b -6 2所以 = r r = = -a b 3 2 2 2 ，×
r r
又 a
r,b 0, π r 3π，所以 a,b = ，
4
r r r r 3π uuur r uuur r uuur
因为 a = 3 r， b = 2 2 ， a,b = ，如图，设OA = a ，OB = b ，OC = c ，4
r r uuur uuur uuur r r uuur uuur uuur
则 c - a = OC - OA = AC ， c - b = OC - OB = BC ，
r r r r π π 3π
又向量 c - a与 c - b 的夹角为，则 ACB = ，又 AOB = ，4 4 4
uuur r
所以O, A, B,C r四点共圆，又 AB = b - a ，
uuur
rAB b ar 2 r r r r 2所以 = - = a2 + b 2 - 2b ×a = 32 + 2 2 - 2 -6 = 29 ，
设VAOB外接圆的半径为 R ，
2R AB 29= r
由正弦定理 sin 3π
= = 58
2 ，所以 c 的最大值为 58 .
4 2
3π
故答案为：；
4 58
r r r r r
【典例 4-2】已知向量 a，b 满足 a
r 1, b 2 r= = ，则 a + b + a
r
- b 的最小值是，最大值是．
【答案】 4 2 5
r ra b ar
r r r
【解析】(几何法)：本题的关键是要挖掘隐含条件: + 和 - b 是以 a , b 为邻边的平行四边形的两条对
角线，
r r 2 r 2 r 2
故 a + b ar b =2 ar+ - 2（ + b ）=10．
r r r r r r
如图， a + b 和 a - b 是以 a , b 为邻边的平行四边形的两条对角线，A 是以O为圆心的单位圆上一动点，
构造 2 个全等的平行四边形．
ar
r
b ar
r uuur uuur
所以 + + - b = AB + AC ．
uuur uuur uuur uuur uuur
易知当 A, B,C 三点共线时， AB + BC 最小，此时 AB + AC = BC = 4 ;
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
当 AO ^ BC 时， AB + BC 最大，此时 AB + BC = 2 AB = 2 5 ．
r r r r
(坐标法)：设 a = cosq ,sinq ，b r= 2,0 ，则 a + b = cosq + 2,sinq ar， - b = cosq - 2,sinq ，
r r r
所以 a + b = 5 + 4cosq , a
r
- b = 5 - 4cosq ，
r
r r r
则 a + b + a - b 2 =10 + 2 25 -16cos2 q 16,20 ，
r r r r
所以 4 a + b + a - b 2 5 ．
r r r r r r
(不等式法)：最小值: a + b a
r b ar b ar+ - + - - b = 2b = 4．
r r r r r r(当且仅当 a + b 和 a - b 方向相反，即 a / /b 时，取“ = ”)．
r 2 r 2
最大值: r r r r a
r r
+ b + a - b r r r r
a + b + a - b 2 = 2 5 ． (当且仅当 a + b = a
r
- b = 5 r，即 a ^ b 时，取“=”)．
2
ar
r
b x, ar
r
(转化为二元最值问题)：令 + = - b = y 原题转化为 x2 + y2 =10 ，且 x, y [1,3]，求 t = x+y的最值．
方法 1(数形结合):直线 t = x+y与圆弧 x2 + y2 =10且x, y [1,3]有交点，如图可得 4 t 2 5 ．
方法 2(判别式法): x2 + (t - x)2 =10化简得 2x2 - 2tx + t 2 -10 = 0,得Δ = 4t 2 -8(t 2 -10) 0 ，所以 4 t 2 5 ．
故答案为： 4； 2 5
uuur uuur uuur
【变式 4-1】（2024·内蒙古包头·模拟预测）已知 O 是VABC 所在平面内一点，且 AB = 2 ，OA × AC = -1，
uuur uuur
OC × AC =1，则 ABC 的最大值为（　　）
π π π π
A． B． C． D．
6 4 3 2
【答案】B
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2
【解析】根据OA × AC = -1，OC × AC =1可得OC × AC - OA × AC = OC - OA × AC = AC = 2 ，
uuur
即可得 AC = 2 ；
即可知C 点轨迹是以A 为圆心，半径为 2 的圆，如下图所示：
由图可知，当BC与圆相切时， ABC 取到最大，
uuur uuur
又 AB = 2 ， AC = 2
π
可知此时 ABC = .
4
故选：B.
r r r r r r r r r r r
【变式 4-2】已知平面向量 a ，b ， e，且 e =1， a = 2 .已知向量b 与 e所成的角为 60°，且 b - te b - e
r r 1 r r
对任意实数 t 恒成立，则 a + e + a - b 的最小值为（
2 ）
A． 3 +1 B． 2 3 C． 3 + 5 D． 2 5
【答案】B
r r r r r
【解析】根据题意，b ×e = b × e cos 60
1
° = b ，
2
r
b ter
r r r
b er b |2 t 2 er |2 2tb er
r r r r r r
- - + - × b |2 + e |2，两边平方 -2b ×e 2，整理得到 t - b t -1+ b 0，
r r r r
对任意实数 t 恒成立，则Δ =| b |2 -4 -1+ b 0 2，解得 ( b - 2) 0，则 | b |= 2 .
ar 2 r r 1 r r r r 1 r
r 1 r r 1 r r 1 r r 1 r r
由于 = ，如上图， a + e = a + 2e ，则 a + e + a - b = a + 2e + a - b ( a + 2e) - ( a - b)
2 2 2 2 2 2
r r 2 r r r 1 r r
= 2er r+ b = 2e + b = 8 + 4b ×er = 2 3 ，则 a + e + a - b 的最小值为 2 3 ．2
r r
当且仅当-2e,b ,
1 ar终点在同一直线上时取等号.
2
故选：B．
r r r r r r π r
【变式 4-3】已知 a,b,e是平面向量，且 e是单位向量，若非零向量 a 与 e的夹角为，向量4 b
满足
r r r r r2 a b ar erb - 4e ×b + 3 = 0，则 - + - 的最小值是（）
A． 5 - 2 B． 5 -1 C．2 D． 5
【答案】B
r r r r r r r r r r2
【解析】由b - 4e ×b + 3 = 0 b 2 - 4e ×b 3e
r2 0 b er b 3er 0, b er b 3er+ = - × - = \ - ^ - ，
uuur r uuur r uuur r uuur
设OA = e,OB = b,OC = a，以O为原点，OA的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的坐标系，
由 r rb er- ^ b - 3er ，得点 B 在以D 2,0 为圆心，以 1 为半径的圆上，
r r π r r
又非零向量 a 与 e的夹角为，设 a 的起点为原点，则 a 的终点在不含端点O的两条射线 y = ±x x > 0 上，4
设C x,-x ，
r uuur uuur uuur uuur uuur uuur
则 a
r r r
- b + a - e = BC + AC 的最小值为 CD -1+ AC = CD + AC -1
uuur uuur
CD + AC = x -1 2 + x2 + x - 2 2 + x2 = 2x2 - 2x +1 + 2x2 - 4x + 4

2 2 1 2

= x - x + + x - 2x + 22 ÷÷è ，
2 2
= 2 x 1- + 0 1- + x -1 2 + 0 -1 2 ÷ ÷ è 2 è 2 ÷è ÷
表示点 x,0 1 1 到 , ÷和 1,1 的距离之和的最小值的 2 倍，
è 2 2
1 2 2 1
则最小值为 2 -1÷ + +12 2 ÷
= 5 ，
è è
uuur uuur\ CD + AC -1 = 5 -1
min
故选：B.
r r r r r r r r 1 r r r r
【变式 4-4】（2024·山东青岛·三模）已知向量 a，b ， c满足 a = b =1， a × (a - b) = ， b - c ^ 3b - c2 ，
r r
则 a - c 的最小值为（）
A． 3－1 B． 3 C．2 D．1
【答案】A
r uuur r uuur r uuur
【解析】由题意设b = OB = (1,0) ， a = OA = (m, n)， c = OC = (x, y)，
则 m, n · m -1, n 1= ，即 (m 1- )2 + n2 3= ，且m2 + n 2 =1，2 2 4
m 1 3 3解得 = ， n = 或 n = - .2 2 2
r r由 b - c ^ r r r r r r3b - c 可得 b - c × 3b - c = 0 ，即 (1- x, -y) × (3 - x,-y) = (x - 2)2 + y2 -1 = 0 ，
r
则 (x - 2)2 + y2 =1，即 c的终点C 在以D(2,0) 为圆心，1 为半径的圆上,
r r uuur
故 a - c = CA .
3 r 1 3
由圆的对称性，不妨令 n = ，即 a = ( , )，
2 2 2
如图，连接 AD ，交圆于E ，
uuur uuur 1
由点与圆的位置关系可知， CA AE = AD - DE = ( - 2)2 3+ ( )2 -1 = 3 -1 .
2 2
故选：A.
题型五：坐标法
【典例 5-1】（2024·河北沧州·一模）如图，在等腰直角VABC 中，斜边 AB = 4 2 ，点D在以 BC 为直径的
uuur uuur
圆上运动，则 | AB + AD |的最大值为（）
A． 4 6 B．8 C．6 3 D．12
【答案】D
【解析】如图：以C 为原点，建立平面直角坐标系.
则 A 0,4 ，B 4,0 ，可设D 2 + 2cosq , 2sinq ，
uuur uuur
则 AB = 4, -4 ， AD = 2 + 2cosq , 2sinq - 4
uuur uuur
所以 AB + AD = 6 + 2cosq , 2sinq -8
uuur uuur 2
所以 AB + AD = 6 + 2cosq 2 + 2sinq -8 2 =104 + 8 3cosq - 4sinq .
uuur uuur 2 uuur uuur
又因为3cosq - 4sinq 5，所以 AB + AD 144 AB + AD 12 .
故选：D
uuuur uuuur uuur uuur uuuur
【典例 5-2】已知 | AM |= 2， AM = 2MB ，若动点 P，Q 与点 A，M 共面，且满足 | AP |=| AM |，
uuur uuuur uuur uuuur
| BQ |=| BM |，则MP × MQ的最大值为（）
A．0 B 1． 2 C．1 D．2
【答案】C
【解析】以点M 为原点，直线 AB 为 x 轴建立平面直角坐标系，如图，则 A(-2,0), B(1,0) ，
uuur uuuur
由 | AP |=| AM |= 2，得点 P 在以A 为圆心，2 为半径的圆 (x + 2)2 + y2 = 4 上，
uuur uuuur
由 | BQ |=| BM |=1，得点Q在以 B 为圆心，1 为半径的圆 (x -1)2 + y2 =1上，
设P(-2 + 2cosa , 2sina ),Q(1+ cos b ,sin b )，
uuur uuuur
则MP × MQ = (-2 + 2cosa )(1+ cos b ) + 2sina sin b
= 2cosa cos b + 2sina sin b + 2 cosa - cos b - 2
2cos a b é a + b a - b a + b a - b ù= - + 2 êcos

+

2 2 ÷
- cos -
è è 2 2 ÷ ú
- 2

= -4sin2 a - b 4sin a + b sin a - b- = -(2sin a - b + sin a + b )2 sin2 a + b+ sin2 a + b 1，
2 2 2 2 2 2 2
a π当 = , b
2π
= 时，能取到所有等号，
3 3
uuur uuuur
所以MP × MQ的最大值为 1.
故选：C
【变式 5-1】在梯形 ABCD中， AB / /CD ， AB = 2 ， AD = 2 ，CD =1， BAD = 45 o， P ，Q分别为线
uuur uuur
段 AD 和线段 AC 上（包括线段端点）的动点，则 AP × AQ 的最大值为（）
A． 2 5 B． 2 2 C． 10 D．3
【答案】D
【解析】
以 AB 为 x 轴，过 A 垂直于 AB 的直线为 y 轴，
因为 AD = 2, DAB = 45°，所以D 1,1 ,
因为CD =1, AB = 2, DAB = 45°，所以C 2,1 ,
uuur uuur uuur uuur
AP = l AD,0 l 1, AQ = t AC,0 t 1,
uuur uuur uuur uuur
AP·AQ = l AD·t AC = lt 1,1 · 2,1 = lt 2 +1 = 3lt ,
uuur uuur
当l = t =1时， AP·AQ 的最大值为 3.
故选：D.
π
【变式 5-2】在△ABC 中，BC＝2， BAC = ，D 为 BC 中点，在△ABC 所在平面内有一动点 P 满足
3
uur uuur uuur uuur uuur uuur
PB × PD = PC × PD ，则 AP × BC 的最大值为（　　）
A 3 B 2 3．． C 4 3． 3 D．
3 3 3
【答案】D
uur uuur uuur uuur uuur uuur uur uuur uuur
【解析】由PB × PD = PC × PD ，得PD × (PC - PB) = 0 ，即PD × BC = 0 ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以 AP × BC = (AD - PD) × BC = AD × BC - PD × BC = AD × BC ．
因为BC = 2， BAC
π
= ，所以点 A 在以 BC 为弦的优弧上运动（不含端点）．
3
设B AC 所在圆的圆心为 M，连接 MB、MC、MD，
2π BD 3 BD 2 3
则 MD⊥BC， BMC = MD = = , BM = =，可得BD =1，，．
3 tan π 3 sin π 3
3 3
以 B 为原点，BC 所在直线为 x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，
2
可得C 2,0 , D 1,0 , M 3 1, ÷÷，圆 M 的方程为 x -1
2 3 4+ y - ÷÷ =3 ，è è 3 3
uuur uuur
设 A m, n ，则 AD = 1- m,-n ，结合BC = 2,0 ，
uuur uuur
可得 AD × BC = 2 1- m + 0 = 2 - 2m，
2
2 3 A M x 1 4因为点在圆： - + y - ÷÷ = 上运动，
è 3 3
1 2 3 m 1 2 3 m 1 2 3 2 2m 2 2(1 2 3 ) 4 3所以 - + ，可得当 = - 时， - = - - = ，达到最大值．
3 3 3 3 3
2 3 uuur uuur 4 3
综上所述，当m =1- 时， AD × BC 有最大值．
3 3
故选：D．
uuur uuur
【变式 5-3】在DABC 中， AB = 2BC = 2，∠B = 90o ， P 是以 AB 为直径的圆上任意一点，则 AC × AP 的最
大值是（）
A． 5 + 2 B． 2 5 - 2 C． 2 5 D． 4
【答案】A
【解析】如图：以 AB 中点O为原点，建立平面直角坐标系，
则 A 0,1 ，C 1, -1 ，设P cosa ,sina ，a [0, 2π)，
uuur uuur
所以 AC = 1,-2 ， AP = cosa ,sina -1 ，
uuur uuur
所以 AC × AP = 1, -2 × cosa ,sina -1 = cosa - 2sina + 2 .
因为 cosa - 2sina = 5 cos a +j ，（其中j 0, π 且 tanj = 2）.
所以 cosa - 2sina = 5 cos a +j 5 .
uuur uuur
从而 AC × AP 5 + 2 .
故选：A
题型六：极化恒等式
π uuur uuur uuur r
【典例 6-1】已知VABC 中，BC = 4，A = ，若VABC 所在平面内一点D满足DB + DC + 2DA = 0，则3
uuur uuur
DB × DC 的最大值为 .
【答案】 -1
【解析】如图，设BC中点为E ，
uuur uuur uuur r
因为DB + DC + 2DA = 0，
uuur uuur uuur uuur
所有DA
1
= - DB + DC = -DE ，2
所以D为 AE 中点，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur2 uuur2所以DB × DC = DE + EB × DE + EC = DE + EB × DE - EB = DE - EB = DE - 4 ,
又BC 2 = AB2 + AC 2 - 2AB × AC ×cos BAC ，
AB2 + AC 2 AB2 + AC 2
所以16 = AB2 + AC 2 - AB × AC AB2 + AC 2 - = ，
2 2
即 AB2 + AC 2 32，当且仅当 AB = AC = 4时等号成立，
uuur 1 uuur uuur 22AE = é AB + AC ù 1 uuur2 uuur uuur uuur2 1 uuur2 uuur uuur uuur2又 ê ú = AB + 2AB × AC + AC = 2 4 4 AB + AB × AC + AC
uuur 2 uuur 2
1 uuur2 AB + AC uuur

2 ÷ 1 32 AB + + AC ÷ = 32 + ÷ =12，当且仅当 AB = AC 时等号成立，4 2 ÷ 4 è 2
è
所以 AE 2 3
uuur uuur uuur2 2所以DB × DC = DE - 4 3 - 4 = -1.
故答案为： -1 .
π uuur uuur uuur uuur uuur
【典例 6-2】在VPAB 中， AB = 2 3, APB = ，点 Q 满足PQ = 2(QA + QB)，则QA ×QB 的最大值
3
为 .
66
【答案】-
25
uuur uuur uuur uuur uuuur uuuur
QM 1
uuuur
【解析】设 AB 中点为 M，则PQ = 2(QA + QB) QP = 4MQ ，则 = PM ，
5
uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
QA ×QB = (QM + MA) × (QM + MB) = (QM + MA) × (QM - MA)
uuuur 2 uuur 2 1 uuuur 2 uuur 2
= QM - MA = PM - MA ，
25
uuuur 2 1 uuur 1 uuur
2
1 uuur 2 uuur 2 uuur uuur又 PM = PA + PB ÷ = PA + PB + 2 PA × PB cos APBè 2 2 4
1 uuur 2 uuur 2 uuur uuur= PA + PB + PA × PB ，4
由余弦定理可得：
uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur uuur uuur 2 uuur 2 uuur uuur
AB = PA + PB - 2 PA × PB cos APB = PA + PB - PA × PB =12，
uuur 2 uuur 2 uuur uuur
有 PA + PB = PA × PB +12，
uuur uuur uuur 2 uuur 2 uuur uuur
即 PA × PB +12 = PA + PB 2 PA × PB ，
uuur uuur uuur uuur
即 PA × PB 12，当且仅当 PA = PB 时，等号成立，
uuuur 2 1 uuur 2 uuur 2 uuur uuur 1 uuur uuur则 PM = PA + PB + PA × PB = 12 1+ 2 PA × PB 12 + 2 12 = 9，4 4 4
uuur uuur 1 uuuur 2 uuur 2
即QA ×QB = PM
1 66
- MA 9 - 3 = - .
25 25 25
66
故答案为：- .
25
uuur uuur
【变式 6-1】在边长为 2 的正方形 ABCD中，动点 P，Q 在线段BD上，且 PQ = 2，则 AP × AQ的最小值为
（）
A．2 B． 2 C．1 D
1
． 2
【答案】C
【解析】方法一：设 PQ的中点为M ，
uuur uuur uuuur uuur uuuur uuuur则 AP × AQ = AM + MP × AM + MQ
uuuur2 uuur2
= AM - MP
uuuur 2
= AM -1 2 -1 =1（当M 为BD中点时取等号）.
方法二：建立平面直角坐标系如图所示.设P a, 2 - a ，
因为在边长为 2 的正方形 ABCD中，动点 P，Q 在线段BD上，且 PQ = 2，
所以Q a + 2, 2 - 2 - a ， a é 0,2 - 2 ù ，
uuur uuur
所以 AP × AQ = a, 2 - a × a + 2,2 - 2 - a
= a a + 2 + 2 - a 2 - 2 - a
2

= 2a2 - 4 - 2 2 a 2 - 2+ 4 - 2 2 = 2 a - 2 ÷÷ +1，è
2 - 2 uuur uuur
所以当 a = 时， AP × AQ有最小值 1.
2
故选：C.
uuur uuur
【变式 6-2】点 P 是边长为 1 的正六边形 ABCDEF 边上的动点，则PA × PB 的最大值为（）
11 13
A．2 B． C．3 D．
4 4
【答案】C
【解析】分别取 AB ，DE 中点 Q，R，连接 PQ，QR ，
QA 1则由题 = ，BD22 = DC
2 + BC 2 - 2DC BC cos BCD =1+1- 2 1 1 cos120o = 3，即BD = 3 ，
所以QD = QB2 + BD2 1 3 13 13= + = = ，
4 4 2
作图如下，由图可知当 P 运动到 D 或 E 时 PQ 最大，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur所以PA × PB = PQ + QA × PQ + QB = PQ + QA × PQ - QA
uuur2 uuur2 uuur2 uuur2
= PQ - QA = PQ 1 1- QD - = 3，
4 4
uuur uuur
所以PA × PB 的最大值为 3.
故选：C.
【变式 6-3】勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两
个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知
uuur uuur
AB = 2, P为弧 AC （含端点）上的一点，则BP ×CP的范围为．
【答案】 0,2
【解析】取BC中点为O，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur则BP ×CP = PB × PC = PO + OB × PO + OC = PO + OB × PO - OB
uuur2 uuur2 uuur2
= PO - OB = PO -1，
uuur uuur uuur
其中易得 PO é 1, 3ù ，故BP ×CP 0,2 ．
故答案为： 0,2 .
【变式 6-4】（2024·河南新乡·二模）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里
慢慢地往上转，可以在高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮的最高点距离地面的高度为 12，转盘的直径为
uuur uuur
10，A，B 为摩天轮在地面上的两个底座， AB =10，点 P 为摩天轮的座舱，则PA × PB 的范围为．
【答案】 -21,119
【解析】设 C 为 AB 的中点，如图示：由题意可知： 2 | PC | 12 ,
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuuur uuuur
则PA × PB = PC + CA × PC + CB = PC 2 - CB2 = PC 2 - 52，
uuur
又因为 PC 2,12 uuur uuur，所以PA × PB 的取值范围是 -21,119 ,
故答案为： -21,119
题型七：矩形大法
【典例 7-1】已知圆C : x21 + y
2 = 9 与C 22 : x + y
2 = 36 ，定点 P(2,0)，A、B 分别在圆C1 和圆C2 上，
满足 PA ^ PB，则线段 AB 的取值范围是．
【答案】[ 41 - 2, 41 + 2]
【解析】以 PA, PB为邻边作矩形 PAQB ，则 | AB |=| PQ |
| OP |2 + | OQ |2 =| OA |2 + | OB |2由得
| OQ |2 +4 = 9 + 36，即 | OQ |= 41 ，
Q的轨迹是以O为圆心，半径为 41 的圆，
| PM |= 41 - 2, | PN |= 41 + 2，
\| AB |=| PQ | [ 41 - 2, 41 + 2]．
uuur uuuur uuur uuuur
【典例 7-2】在平面内，已知 AB1 ^ AB2 ，OB1 = OB2 =1，
uuur uuur uuuur uuur 1 uuurAP = AB1 + AB2 ，若 | OP | ，则 | OA |的取值范围是（）2
A． (0, 5 ] 5 7 5 7 B． ( , ] C． ( , 2] D． ( , 2]
2 2 2 2 2
【答案】D
uuur uuur uuuur
【解析】因为 AP = AB1 + AB2 ，
所以四边形 AB1PB2 是平行四边形，
uuur uuuur
又 AB1 ^ AB2 ，所以四边形 AB1PB2 是矩形，
uuur uuur uuur uuuur uuur uuur
从而 | OA |2 + | OP |2 =| OB 2 21 | + | OB2 | = 2 ，因为 | OP |
1 7
，所以 | OA |2 2 ，即
2 4
7 uuur
| OA | 2.
2
uuuur uuur
【变式 7-1】已知圆Q : x2 + y2 = 16，点P 1,2 ，M、N 为圆 O 上两个不同的点，且PM × PN = 0若
uuur uuuur uuur uuur
PQ = PM + PN ，则 PQ 的最小值为______．
【答案】3 3 - 5 / - 5 + 3 3
uuuur uuur
【解析】解法 1：如图，因为PM × PN = 0，所以 PM ^ PN ，故四边形PMQN 为矩形，
设MN 的中点为 S，连接OS ，则OS ^ MN ，
OS 2所以 = OM
2 - MS 2 = 16 - MS 2 ，
又VPMN 2为直角三角形，所以 MS = PS ，故 OS = 16 - PS 2 ①，
设 S x, y 2 2，则由①可得 x + y = 16 - é x -1
2 + y - 2 2 ù ，
1
2
2 27
整理得： x - ÷ + y -1 = ，
è 2 4
1
从而点 S 的轨迹为以T ,1
3 3
2 ÷ 为圆心，为半径的圆，è 2
3 3 3 3 5
显然点 P 在该圆内部，所以 PS = - PT = -min ，2 2 2
uuur uuur
因为 PQ = 2 PS ，所以 PQ = 3 3 - 5min ；
uuuur uuur
解法 2：如图，因为PM × PN = 0，所以 PM ^ PN ，
故四边形PMQN 2 2 2 2为矩形，由矩形性质， OM + ON = OP + OQ ，
所以16 +16 = 5 + OQ
2
，从而 OQ = 3 3，
故 Q 点的轨迹是以 O 为圆心，3 3为半径的圆，
uuur
显然点 P 在该圆内，所以 PQ = 3 3 - OP = 3 3 - 5min ．
故答案为： 3 3 - 5 ．
r r r r r r 1 r r
【变式 7-2 r】设向量 a，b ， c 满足 | a |=| b | 1 r r= ， a ×b = ， (a - c) r× (b - c) = 0，则 | c |的最小值是（）2
A 3 +1 3 -1． B． C． 3 D．1
2 2
【答案】B
r r 3 1
【解析】建立坐标系，以向量 ar r，b 的角平分线所在的直线为 x 轴，使得 a，b 的坐标分别为 , ，
è 2 2 ÷
÷

3 , 1

-
r
÷÷，设 c 的坐标为 x, y 2 2 ，è
r r r
因为 (a - c) × (b cr- ) = 0，
3 1 3 1
2

所以 - x, - y ÷÷ × - x, - - y = 0
3 1
÷÷ ，化简得2 2 2 2
x - ÷ + y2 = ，
è è 2 ÷è 4
3
表示以 ,0
1
÷÷为圆心， 2 为半径的圆，è 2
则 | c
r |的最小值表示圆上的点到原点的距离的最小值，
3 3 1
因为圆到原点的距离为，所以圆上的点到原点的距离的最小值为 - ，
2 2 2
故选：B
题型八：等和线、等差线、等商线
uuur 1 uuur uuur uuur uuur
【典例 8-1】如图，在VABC 中， AN = NC ， P 是线段BN 上一点，若
3 AP = mAB + nAC
，则mn 的最大值
为 .
1
【答案】
16
uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【解析】因为 AN = NC ,所以 AC = 4AN , AP = mAB + nAC = mAB + 4nAN ,
3
因为 P, B, N 在一条直线上，所以m + 4n =1, m > 0, n > 0 ,
1 1
所以m + 4n 2 4mn ,1 4 mn , mn ,当且仅当m = 4n = 时取等号，
16 2
所以mn
1
的最大值为 .
16
1
故答案为： .
16
uuur uuur uuur uuur uuur
【典例 8-2】（多选题）（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知向量OA,OB,OP 满足 | OA |=1， | OB |= 2，
uuur uuur uuur uuur uuur
OA ×OB = 0 ， OP = lOA + mOB .则下列说法正确的是（）
uuur
A．若点 P 在直线 AB 上运动，当 l m 取得最大值时， | OP |的值为 5
uuur uuur
B 5．若点 P 在直线 AB 上运动， OA在OP 上的投影的数量的取值范围是 (- ,1]
5
C 2 5
uuur
．若点 P 在以 r = 为半径且与直线 AB 相切的圆上， | OP |取得最大值时，l + m 的值为 3
5
D 2 5．若点 P 在以 r = 为半径且与直线 AB 相切的圆上，l + m 的范围是[-1,3]
5
【答案】BD
uuur uuur uuur uuur
【解析】因为OA ×OB = 0 ，即有OA ^ OB，则以点O为坐标原点，OA,OB的方向分别为 x, y 轴的正方向，
建立平面直角坐标系，
uuur uuur uuur
则 A(1,0), B(0, 2)，由OP = lOA + mOB，得P(l,2m)，
点 A, B
x y
确定的直线 l方程为： + = 1，即 2x + y = 2，
1 2
当点 P 在直线 l上时， 2l + 2m = 2，即m =1- l ，lm = l(1
1 1
- l) = -(l - ) + ，
2 4
uuur
因此当m = l
1 1
= 时， l m 取得最大值，此时P(
1 ,1)， | OP |= (1)2 +12 5= ，A 错误；
2 4 2 2 2
uuur uuur
uuur uuur OA ×OP l l
OA在OP 上的投影的数量m = uuur = =| OP | l 2 + (2m)2 5l 2
，
-8l + 4
m 1= 1
当l = 0时，m = 0，当l > 0时， ( 2
l = 1 0 m 1
- 2)2 +1 ，当且仅当时取等号，即，
l
m 1 5= - > - 4 8
l 0 - + 5 > 5 5当时， 4 8 5 ，因为 2 恒成立，则- m 0 ，
l 2
- + 5 l l 5
l
5 uuur uuur 5
所以- m 1，即OA在OP 上的投影的数量的取值范围是 (- ,1]，B 正确；
5 5
当点 P 在以 r = 2 5 为半径且与直线 AB 相切的圆上时，因为与直线 AB 相切，
5
2 5 2 5
且半径为的圆的圆心轨迹是与直线 AB 平行，到直线 AB 距离为的两条平行直线，
5 5
| t - 2 | 2
设这两条与 AB 平行的直线方程为 2x + y = t, t 2，则 =2 2 5 ，解得
t = 4或 t = 0，
2 +1
因此动圆圆心的轨迹为直线 l1 : 2x + y = 4或直线 l2 : 2x + y = 0，
2 2 4
设圆心为 (a , b ) ，则点 P 在圆 (x - a) + (y - b) = 上，其中 2a + b = 4或 2a + b = 0 ，
5
ì 2
l = a + cosq 5
于是令 í (q R)，
2m = b 2+ sinq
5
uuur
| OP |= (a 2+ cosq )2 (b 2+ + sinq )2 = a2 + b2 4 4+ + (a cosq + bsinq )
5 5 5 5
a2 + b2 4 4 2+ - a2 + b2 =| a2 + b2 - |，显然点 (a , b ) 是直线 l1或 l2上任意一点，5 5 5
uuur
即 a,b R ，从而 a2 + b2 无最大值，即 | OP |无最大值，C 错误；
l m a b 2+ = + + cosq 1+ sinq = a b+ + sin(q +j)，其中锐角j2 2 满足
tanj = 2，
5 5
显然-1 sin(q +j) 1，当圆心 (a , b ) 在直线 l2时， 2a + b = 0 ，则l + m = sin(q +j) [-1,1]，
当圆心 (a , b ) 在直线 l1时， 2a + b = 4，则l + m = 2 + sin(q +j) [1,3]，
所以l + m 的范围是[-1,3]，D 正确.
故选：BD
uuur uuur
【变式 8-1】如图所示， B 是 AC 的中点，BE = 2OB, P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且
uuur uuur uuur
OP = xOA + yOB x, y R ，则当 y = 2时， x 的范围是 .
【答案】 -1,0
【解析】如图，过 P 作PM / / AO ，交OE于M ，作PN / /OE ，交 AO 的延长线于 N ，
uuur uuur uuuur
则：OP = ON + OM ，
uuur uuur uuur
又因为OP = xOA + yOB， y = 2，则点M 为 BE 中点，
又 B 是 AC 的中点，所以CM //OA，则点 P 在CM 上，
uuur uur uuur
由图形看出，当 P 与C 重合时：OP = -OA + 2OB ，此时 x 取最小值 -1，
uuur uur uuur
当 P 与M 重合时：OP = 0 ×OA + 2OB，此时 x 取最大值 0，
所以 x 的范围是 -1,0
故答案为： -1,0
3π uuur uuur uuur
【变式 8-2】如图，点C 是半径为1的扇形圆弧 AB 上一点，且 AOB = 4 ，若OC = xOA + yOB，则
x + 2y 的最大值是（）
A．1 B 5． C． 10 D．4
2
【答案】C
【解析】
如图所示，以OB为 x 轴，过O作与OB垂直的线作为 y 轴，
3π uuur uuur Q 2 2 AOB = ， OA = OB =1，\ A - , ÷÷，B 1,0 4 ，è 2 2
uuur 2 2 uuur
则OA = - , ÷÷，OB = 1,0 ，
è 2 2
设C cosq ,sinq ,q éê0,
3π ù
ú ， 4
uuur
OC cosq ,sinq x 2 , 2

= = - ÷÷ + y 1,0
2 x y, 2=
2 2
- + x ÷÷
è è 2 2
ì
cosq 2 = - x + y ì
\ 2í ，\
x = 2 sinq
í ，
y = cosq + sinq
sinq
2
= x
2
\ x + 2y = 2 sinq + 2 cosq + sinq = 2 2 sinq + 2 cosq = 10 sin q +j ，
tanj 1= tanj 1 3 tan π
π
其中，又 = = 0 j 2 ，所以，2 3 6 6
\sin q +j =1 π，即q +j = 时， x + 2y 取得最大值，即 x + 2y = 10 ．
2 max
故选：C．
uuur uuur uuur
【变式 8-3】如图，边长为 2 的等边三角形的外接圆为圆 O，P 为圆 O 上任一点，若 AP = xAB + y AC ，则
x + y 的最大值为（）
8 4
A． B．2 C． D．1
3 3
【答案】C
【解析】以O为坐标原点，过点O平行于 AB 的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，
A( 1, 3 ), B(1, 3 ),C(0, 2 3如图所示，可得 - - - ) ，
3 3 3
因为VABC 2 3是边长为 2 的等边三角形，可得其外接圆的半径为R = ，
3
2 3 2 3
因为点 P 在VABC 的外接圆上，设P( cosq , sinq )，其中q [0, 2π)，
3 3
uuur 2 3 uuur uuur
则 AP = ( cosq +1, 2 3 sinq 3+ )，且 AB = (2,0), AC = (1, 3)，
3 3 3
uuur uuur uuur
又因为 AP xAB y AC 2 3 2 3 3= + ，可得 2x + y = cosq +1且 3y = sinq + ，
3 3 3
2x 2 3 2 1 4 π 4所以 + 2y = cosq +1+ sinq + = sin(q + ) + ，
3 3 3 3 3 3
π π π 8
当q + = 时，即q = 时， 2x + 2y 取得最大值为，
3 2 6 3
所以 x + y
4
取得最大值为 .
3
故选：C.
【变式 8-4】（2024·河北沧州·三模）对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学
的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边VABC 中， AB = 2 ，以三条边为直径
uuuur uuur uuur
向外作三个半圆，M 是三个半圆弧上的一动点，若BM = l AB + m AC ，则l + m 的最大值为（）
A 1
3
． 2 B
3
． C．1 D．
3 2
【答案】B
【解析】如图所示，过点M 作MP / /BC ，交直线 AB, AC 于点P,Q ，
uuuur uuur uuur
设 AM = xAP + y AQ，可得 x + y = 1 .
uuur uuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur
设 AP = k AB， AQ = k AC ，则BM = AM - AB = kx -1 AB + ky AC ，
uuuur uuur uuur
因为BM = l AB + m AC ，所以l + m = kx -1+ ky = k -1，
由图可知，当PM 与半圆BC相切时， k 最大，
1 2 3
又由 AB = 2 BE = = 2 3 6 + 2 3，，可得，
sin π 3 AE = 2 + =
3 3 3
AE 3+ 3
所以 k = = ，即 k 3 + 3最大为，所以l + m 3的最大值为 .
AB 3 3 3
故选：B.
【变式 8-5】平行四边形 ABCD中， AB = 2 ， AD =1，以 C 为圆心作与直线 BD 相切的圆，P 为圆 C 上且
uuur uuur uuur
落在四边形 ABCD内部任意一点， AP = l AB + m AD，若l + m > 1，则角A 的范围为（）
π π π π π π A． 0, ÷ B． 0, ÷ C． ,6 è 3 6 3 ÷
D． , ÷
è è è 3 2
【答案】B
uuur uuur uuur
【解析】由 AP = l AB + m AD，当 P 在直线BD上时，l + m =1，
当圆C 与BD的切点在DB延长线上时，圆C 落在四边形 ABCD内部部分与直线DB没有公共点，此时
l + m > 1，
当恰好切于点 B 时，则 DBC
π
= ，又CD = AB = 2，BC = AD = 12 ，
cos BCD BC 1 π所以 = = ，则 BCD = ，
CD 2 3
π π π
所以 DBC > 0 BCD

，则，故 A 0, .
2 3 ÷è 3
故选：B
题型九：平行四边形大法
1
【典例 9-1 】如图，圆O是半径为 1 的圆，OA = ，设 B ，C 为圆上的任意 2 个点，则 AC× BC 的取值范围2
是___________.
é 1
【答案】 ê- ,3
ù
8 ú
【解析】连接OA，OB，设D是线段BC的中点，连接OD，则有OD ^ BC .
设q 为OA和BC 的夹角.

则 AC× BC = OC- OA

÷ × BC = OC× BC- OA× BC
è
2
= OC × BC ×cos BCO - OA × BC ×cosq 1 1= BC - BC cosq ，
2 2
1 2 1 2 uuur 2BC - BC cosq 1 1 BC - BC 1 BC 1 1= -
2 2 2 2 2 2 ÷
- ，
è 8
（当 cosq =1即q = 0时取等）

BC 0,2 BC 1= 1因为，所以当时， AC× BC 有最小值- .2 8
1 2 1 2 uuur 2BC - BC cosq 1 1 BC + BC 1 BC 1= + 1
2 2 2 2 2 2 ÷
- ，
è 8
（当 cosq = -1即q = p 时取等）
1 2
当 BC = 2时， BC + 1 BC 有最大值为 3，
2 2
é 1 ù
即 AC× BC 有最大值 3，所以 AC× BC 的取值范围是 ê- ,3 8 ú
.

é 1
故答案为： - ,3
ù
ê 8 ú
uuur uuur
【典例 9-2】如图，C，D 在半径为 1 的eO 上，线段 AB 是eO 的直径，则 AC × BD的取值范围是
_________.
é 4, 1 ù【答案】 -
ê 2 ú
【解析】以点 O 为原点， AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，
uuur p p
设点D(cosq ,sinq ), (-p q p ), AC = (a,b) ， CAB = a - a

2 2 ÷，è
b uuur
则 tana = ,a = 2cos2 a ，b = 2sina cosa ，BD = cosq -1,sinq
a
uuur uuur
则 AC × BD = (a,b) × (cosq -1,sinq ) = a cosq + bsinq - a = a2 + b2 sin(q +j ) - a ，
其中 tanj
a
= ，
b
uuur uuur
所以 AC × BD的最大值为：
2
a2 + b2 - a = 2cos2 a 2 + (2sina cosa )2 - 2cos2 a = 2cosa - 2cos2 a = -2 cosa 1 1- 2 ÷ + ，è 2
uuur uuur
cosa 1= 1则当时， AC × BD取得最大值2 2
，
2
最小值为- a2 + b2 - a = -2cosa - 2cos2 a 2 cosa 1 1= - +

2 ÷
+ ，
è 2
uuur uuur
则当 cosa =1时， AC × BD取得最小值-4，
uuur uuur é 1 ù
综上， AC × BD的取值范围为 ê-4, 2 ú
.

é
故答案为： ê-4,
1 ù
2 ú
.

r r r r r r r r
【变式 9-1】（2024·浙江·模拟预测）已知 e 为单位向量，平面向量 a，b 满足 | a + e |=| b - e |=1 ar， ×b 的取
值范围是____.
é 1 ù
【答案】 -4,
ê 2 ú
r r r r
【解析】建系，不妨设 e = (1,0)， a = (x, y)，b = (m,n) r，则 a ×b = mx + ny，再利用柯西不等式将所求mx + ny
r r
转化为 x2 + y2 + x = -2x + x ，利用换元法求出最大值，最小值显然为 a,b 共线方向时取得.不妨设
r r r
e = (1,0)， a = (x, y)，b = (m,n)，由已知，得 (x +1)2 + y2 =1， (m -1)2 + n2 = 1，
r ra ×b = mx + ny = (m -1)x + ny + x (m -1)2 + n2 × x2 + y2 + x = -2x + x，令
1
-2x = t [0,2] -2x + x = t - t2
1 r
，则 = - (t -1)2
1 1
+ r，又显然当 a，b 向量反2 2 2 2
r r r r r r é 1 ù
向时， a ×b 最小，即a = (-2,0)，b = (2,0) ar b 4 ar，此时 × = - ，综上， ×b 的取值范围是 ê-4, 2 ú
.

é
故答案为： ê-4,
1 ù
ú . 2
【变式 9-2】（2024·江西宜春·校联考模拟预测）半径为1的两圆 M 和圆O外切于点 P ，点C 是圆 M 上一点，
uuur uuur
点 B 是圆O上一点，则PC × PB的取值范围为_______.
é
【答案】 ê-4,
1 ù
2 ú
【解析】设点C 关于点 P 的对称点为A ，则点A 在圆O上，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2
所以，PC × PB = -PA × PB = - OA - OP × OB - OP = OP × OA + OB - OA ×OB - OP
uuur uuur uuur uuur uuur= OP × OA + OB - OA ×OB -1，
uuur uuur uuur
因为 OA + OB - OP 2 uuur2 uuur2 uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur= OA + OB + OP - 2OP × OA + OB + 2OA ×OB
uuur uuur uuur uuur uuur
= 3- 2OP × OA + OB + 2OA ×OB ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1 é uuur uuur uuur 2 ù 1 1 uuur uuur uuur 2所以，PC × PB = OP × OA + OB - OA ×OB -1 = ê3- OA + OB - OP ú -1 = - OA + OB - OP ，2 2 2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
因为0 OA + OB - OP OA + OB + OP = 3，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
当且仅当OA、OB 同向且OA、OP 反向时， OA + OB - OP = 3，
uuur uuur uuur
当OA + OB = OP 时，则 uuur uuur 2 uuur2 uuur uuurOA + OB = OP ，所以， 2 + 2OA ×OB =1，
uuur uuur
uuur uuur 1 uuur uuur
所以，OA ×OB = - ，所以， cos OA,OB u
OuurA ×OuuBur 1= = -
2 OA
，
× OB 2
uuur uuur uuur uuur
因为0 OA,OB π，则 OA,OB
2π
= ，
3
uuur uuur uuur
故当 AOB
2π
= 且四边形OAPB为菱形时， OA + OB - OP = 0，
3
uuur uuur
PC PB 1 1
uuur uuur uuur 2
因此， × = - OA + OB - OP
é 1-4, ùê ú .2 2 2
é 1 ù
故答案为： ê-4, 2 ú
.

【变式 9-3】设圆M ，圆 N 的半径分别为 1，2，且两圆外切于点 P ，点A ， B 分别是圆M ，圆 N 上的两
uuur uuur
动点，则PA × PB 的取值范围是（）
é 1 ù é 3 ù
A． ê-8, ú B． 2 ê
-16,
4 ú
C． -8,1 D． -16,1
【答案】C
【解析】连接MN 分别与两圆交于 E, F ，又两圆外切于点 P ，
\P, E, F 三点共线，连 AE ，延长 AP 交圆 N 与C ，连CF ，
QPE, PF 分别为圆M ，圆 N 的直径，
\PA ^ AE, PC ^ CF ,\ AE / /CF ，
uuur uuur uuur uuur
又PF = 2PE,\PC = 2PA，PA PB
1
× = - PB × PC ，
2
设G 为 PB中点，连GN ，
uuur
先固定PB，根据向量数量积的定义，
uuur uuur
当PC 在PB同向投影最大值时C 为与GN 平行的圆切线的切点，
uuur uuur 1
记为图中的D点，此时PD在PB投影 | PH |= | PB | +22
\PB 1× PC PB × PD =| PB | × | PH |=| PB | × 2 + | PB |2 ÷è
1
= | PB |2 +2 | PB | 16，
2
当且仅当 | PB |= 4 ，等号成立，
uuur uuur 1 uuur uuur
\(PA × PB)min = - (PB × PC)max = -82
uuur uuur uuur
同理当PC 在PB投影最小（在PB反向上）时，
C 为与GN 平行的圆切线的切点，
uuur uuur 1
记为图中的K 点，此时 PK 在PB投影 2 - | PB |，2
uuur uuur uuur uuur
PB × PC PB × PK = - | PB | × 2
1
- | PB
è 2 ÷
1
= | PB |2 -2 | PB | 1= (| PB | -2)2 - 2 -2，
2 2
当且仅当 | PB |= 2 时，等号成立，
uuur uuur 1 uuur uuur
\(PA × PB) 1max = - (PB × PC)2 min
= - (-2) =1，
2
uuur uuur
所以PA × PB 的数量积取值范围是[-8,1] .
故选：C.
题型十：向量对角线定理
【典例 10-1】已知平行四边形 ABCD ， AB ^ BC ， AB = BC = AD = 2，CD = 3 ， AC 与 BD交于点O，若
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
记 a = OA × OB ，b = OB ×OC ， c = OC × OD ，则（）
A. a b c B． a c b C． c a b D．b a c
【答案】C
uuuur uuuur uuuur uuuur
uuur uuur (AB2 + CD2 ) - (AD2 + CB2 ) 5
【解析】由对角线向量定理得 AC × DB = = > 0 ，
2 2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以b - a = OB ×OC - OA × OB = OB × AC = tDB × AC >（0 t > 0），
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
而 c - a = OC × OD - OA ×OB = ( OC OD - OA OB )cos AOB 0，
所以 c a b ，选择 C．
uuur uuur
【典例 10-2】如图，在圆O中，若弦 AB = 3，弦 AC = 5，则 AO × BC 的值是（）
A． -8 B． -1 C．1 D．8
【答案】D
uuuur uuuur uuuur uuuur
uuur uuur (AC 2 + BO2 ) - (AB2 + CO2 )
【解析】如图所示，由对角向量定理得 AO × BC = = 8
2
所以选 D．
uuur uuur uuur uuur
【变式 10-1】在四边形 ABCD 中， AB ^ BC ， AD ^ BC 若， AB = a ， AD = b ，则 AC × BD 等于（）
A．b2 - a2 B． a2 - b2 C． a2 + b2 D． a2 ×b2
【答案】A
uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur
uuur uuur (AD2 + BC 2 ) - (AB2 + CD2 ) (b2 - a2 ) + (BC 2 - CD2 )
【解析】如图所示，由对角线向量定理得 AC × BD = =
2 2
uuuur uuuur uuuur uuuur
(b2 - a2= ) + (AC
2 - AB2 ) - (AC 2 - AD2 )
= b2 - a2 ，所以选 A．
2
1．如图，VABC 的三边长为 AB = 3, BC = 7, AC = 5，且点B,C 分别在 x 轴， y 轴正半轴上移动，点A 在
uuur uuur uuur uuur uuur
线段BC的右上方．设OA = xOB + yOC x, y R ，记M = OA ×OC, N = x + y，分别考查M , N 的所有可能结
果，则（）
A．M 有最小值， N 有最大值 B．M 有最大值， N 有最小值
C．M 有最大值， N 有最大值 D．M 有最小值， N 有最小值
【答案】B

【解析】设 BCO = a 0,
π
÷ , ACB = b ，
è 2
cosb 49 + 25 - 9 13由余弦定理得 = = ,sinb = 1- cos2b 3 3= ,
2 7 5 14 14
过A 点作 AD ^ y轴，设垂足为D，
在VBOC 中， OC = BC cosa = 7cosa , OB = BC sina = 7sina ，
所以B 7sina ,0 ,C 0,7cosa
在△ADC 中，
AD = AC sin ACD = 5sin a + b , CD = AC cos ACD = 5cos a + b ，
所以 A 5sin a + b ,7cosa - 5cos a + b
uuur uuur uuur
由OA = xOB + yOC
即 5sin a + b ,7cosa - 5cos a + b = 7xsina ,0 + 0,7ycosa
5sin a + b 7cosa - 5cos a + b
得 x = , y = ，
7sina 7cosa
5sin a + b 7cosa - 5cos a + bN 15 3 15 3所以 = x + y = + =1+ 1+ ，
7sina 7cosa 49sin2a 49
π
当且仅当a = 时取最小值，没有最大值．
4
uuur uuur
M = OA ×OC = 7cosa é7cosa - 5cos a b
33 21
+ ù = + sin 2a + g ，4 2
sing 11 ,cosg 5 3其中 = = ,g 0,
π
，
14 14 ÷è 2
g 2a + g π + g 11因为，所以- = sin π + g sin 2a + g 1，
14
M 75ù所以 0, ú，当且仅当 sin 2a + g =1即a
π g
= - 时取最大值，没有最小值．
è 4 4 2
故选：B.
uuur uuur
2．在矩形 ABCD中， AB = 2 ， AD = 3， P 为矩形 ABCD所在平面内的动点，且PA =1，则PB × PC 的最大
值是（）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【解析】如图，建立平面直角坐标系，设P(x, y) ，BC中点为H ，
因为 AB = 2 ， AD = 3，所以 A(0,0) , B(2,0)，C(2,3) 3，H (2, )2 ，
uuuuur uuur uuur uuur
得到PB =(2 - x, -y), PC = (2 - x,3 - y) ，所以PB × PC = (x - 2)2 + y2 - 3y = (x
3 9
- 2)2 + (y - )2 - ，
2 4
又因为PA = 1，所以 x2 + y2 =1，
又PH = (x - 2)2 (y 3+ - )2 AH + AP 9 7= 22 + +1 = ，当且仅当H , A, P（ P 在HA的延长线上）三点共
2 4 2
线时取等号，
uuur uuur
2 2 2 3 2 9 49 9
所以PB × PC = (x - 2) + y - 3y = (x - 2) + (y - ) - - =10，
2 4 4 4
故选：B.
r r r r r r
3．（2024· r湖北黄冈·二模）已知 e 为单位向量，向量 a满足 a ×e = 3, le - a =1，则 a 的最大值为（）
A．9 B．3 C． 10 D．10
【答案】C
(ar ler)2 ar |2 l 2 2ar erl l 2 6l ar【解析】根据条件得 - = + - × = - + |2 =1，
r 2 2 2 r r
得到 | a | = - l - 6l -1 = -(l - 3) +10 10，所以 a 10 ，即 a 的最大值为 10 ，
故选：C.
r r r r r r4．已知 e 为单位向量，向量 ar满足 e ×a = 3, le - a =1，则 a 的最大值为（）
A．9 B．2 3 C． 10 D．8
【答案】C
r
【解析】依题意设 e = 1,0 ， ar = x, y ，
er ar
r
由 × = 3，所以 x = 3，则 a = 3, y ，
ler ar又 - = l,0 - 3, y = l - 3, y r r- ，且 le - a =1，
所以 l - 3 2 2+ -y 2 =1，即 y2 =1- l - 3 ，
r
所以 a = 32 + y2 = 9 +1- l - 3 2 10 ，当且仅当l = 3时取等号，
r
即 a 的最大值为 10 .
故选：C.
5．如图，在等腰梯形 ABCD中， AB / /CD ， AB = 5， AD = 4，DC =1，点E 是线段 AB 上一点，且满足
uuur uuur
AE = 4EB ，动点 P 在以E 为圆心的半径为1的圆上运动，则DP × AC 的最大值为（）
A． 21 - 6 B． 3 - 21 C． 2 3 - 6 D． 3
【答案】A
【解析】
如图，以E 为原点，建立直角坐标系.
由题意，梯形 ABCD的高长为 42 5 -1- ( )2 = 2 3 ，则 A(-4,0),C(-1,2 3), D(-2,2 3) .
2
因为以E 为圆心的半径为1的圆的方程为： x2 + y2 =1，可设点 P(cosq ,sinq )，0 q 2π .
uuur uuur
则DP × AC = (cosq + 2,sinq - 2 3) × (3, 2 3) = 3cosq + 6 + 2 3 sinq -12
= 2 3 sinq + 3cosq - 6 = 21sin(q +j) - 6, 3其中， tanj = ，
2
uuur uuur
故当 sin(q +j) =1时， (DP × AC)max = 21 - 6 .
故选：A.
6．（2024·四川成都·模拟预测）在矩形 ABCD中， AB = 5, AD = 4 ，点E 是线段 AB 上一点，且满足
uuur uuur
AE = 4EB .在平面 ABCD中，动点 P 在以E 为圆心，1 为半径的圆上运动，则DP × AC 的最大值为（）
A． 41 + 4 B． 41 - 6 C． 2 13 + 4 D． 2 13 - 6
【答案】A
【解析】以E 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，
动点 P 在以E 为圆心，1 为半径的圆上运动，故设P cosq ,sinq ，
则 A 0,4 , D 4,4 ,C 4,-1 ,
uuur uuur
DP × AC = cosq - 4,sinq - 4 × 4,-5 = 4 cosq - 4 - 5 sinq - 4 = 41cos q +j + 4 ，其中锐角j 满足
uuur uuur
tanj 5= ，故
4 DP × AC
的最大值为 41 + 4 ,
故选：A
r r r7 2024· · | a | 3,| b | 1,ar b 0,| cr ar | | cr r
r r r r r
．（贵州贵阳三模）已知 = = × = + + - a |= 4,d 2 - 6b × d + 5 = 0，则 | c - d |的最
大值为（）
A 4 21 2 21． + 2 B．4 C．6 D． + 2
3 3
【答案】C
【解析】如图所示，
r uuur r uuur uuur uuur r r r r
不妨设 a = OA = ( 3,0) ，b = OB = (0,1)，OC = (m,n)，OD = ( p,q) ， A1(- 3,0)，满足 | a |= 3 ， | b |=1， a ×b = 0，
| cr r又 + a | + | c
r
- ar |= 4 ，即 (m + 3)2 + n2 + (m - 3)2 + n2 = 4 = 2a > 2c = 2 3 =| A1A |，
由椭圆的定义可知点C 在以 A1 A 为焦点，长轴长为 4 的椭圆上运动，
2
a = 2 x， c = 3，b = a2 - c2 = 4 - 3 =1，所以该椭圆方程为 + y2 =1，
4
r r r
而 d 2 - 6b × d + 5 = 0 ，即 p2 + q2 - 6q + 5 = 0，
即 p2 + (q - 3)2 = 4，这表明了点D在圆 x2 + (y - 3)2 = 4上面运动，其中点E(0,3)为圆心， r = 2为半径，
r r uuur uuur
又 c - d = OC - OD = CD CE + ED = CE + 2，等号成立当且仅当C ，D，E 三点共线，
2
故只需求 | CE | x的最大值即可，因为点C 在椭圆 + y2 =1上面运动，
4
所以不妨设C(2cosq ,sinq )，
则 | CE |= 4cos2q + (sinq - 3)2 = 4(1- sin2q ) + sin2q - 6sinq + 9 = -3sin2q - 6sinq +13 ，
sinq -6所以当 = - = -12 (-3) ，且C ，D，E 三点共线时，
| cr
r
- d | 2有最大值， | CE |max +2 = 13 - 3 -1 - 6 -1 + 2 = 6．
故选：C．
ar
r π r r
8．已知非零平面向量，b 的夹角为，且 a
r
- b =1 r，则 a × (ar + 2b)的最大值为（
3 ）
A 2 3． B 2 3 3． +1 C 3． D． + 2
3 3 6 6
【答案】B
r r π r r r 2 r2 r r r 2 r2 r r
【解析】由向量 a，b 的夹角为及 a - b =1，得3 a + b - 2a ×b =1
，即 a + b - | a || b |=1，
r
r b
r r r r r r
ar2 + ar b 1+ ar r
则 a × a + 2b = a2 + 2a ×b = r r r = | b |a2 + b 2 ar- b r r 2 ，令 r = t > 0b b ，| a |
1- r + a ar
÷
÷
è
ar (ar
r
2b) 1+ t 1+ t 1× + =
于是 1- t + t 2
= =
(1+ t)2 - 3(1+ t) + 3 (1 3+ t) + - 3
1+ t
1 2 3 1 t 3 = +1，当且仅当 + = ，即 t = 3 -1时取等号，
2 3 - 3 3 1+ t
ì r
b = ( 3 -1) a
r
r 3 2 + 6 r
由 í r r r ，解得 | a |= ,| b |
6
= ，
a |
2 b |2 ar+ - b =1 6 3
r
| a | 3 2 + 6
r 6 r r r
所以当 = ,| b |= 且 áa,b
π
= ar (ar时， × + 2b) 2 3取得最大值
3 +1
.
6 3 3
故选：B
9．如图，在矩形 ABCD中， AB = 2BC = 4, AC 与BD的交点为M , N 为边 AB 上任意一点（包含端点），则
uuur uuur
MB × DN 的最大值为（）
A．2 B．4 C．10 D．12
【答案】C
uuur uuur
【解析】以点A 为坐标原点， AB, AD的方向为 x 轴， y 轴正方向，建立平面直角坐标系，则
M 2,1 , B 4,0 ，D 0,2 ，
uuur uuur
uuur uuur设 N m,0 0 m 4 ，所以MB = 2, -1 , DN = m, -2 ，则MB × DN = 2m + 2，
uuur uuur uuur uuur
因为0 m 4，所以 2 MB × DN 10，即MB × DN 的最大值为 10.
故答案为：C
uuur uuur uuur 2 1
10．如图所示，VABC 中，点D是线段BC的中点，E 是线段 AD 上的动点，若BE = xBA + yBC ，则 +x y
的最小值（）
A．1 B．3 C．5 D．8
【答案】D
uuur uuur
【解析】因为点D是线段BC的中点，则BC = 2BD，
uuur uuur uuur uuur uuur
则BE = xBA + yBC = xBA + 2yBD ，
因为 A, E, D 三点共线，所以 x + 2y =1 x > 0, y > 0 ，
2 1 2 1
则 + = + ÷ x + 2 y 4
4 y x 4 2 4 y x= + + + × = 8，
x y è x y x y x y
ì4y x
= 1 1
当且仅当 í x y 时，即 x = , y = 时，等号成立，
x 2y 1 2 4 + =
2 1
所以 +x y 的最小值为8 .
故选：D
11．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.如图甲是一张由卷曲纹和回纹构成
的正六边形剪纸窗花，如图乙所示其外框是边长为 4 的正六边形 ABCDEF ，内部圆的圆心为该正六边形的
uuur uuur
中心O，圆O的半径为 2，点 P 在圆O上运动，则PE ×OF 的最小值为（）
A．-8 B．-4 C．0 D．4
【答案】C
【解析】
如图，以O为坐标原点， BE 所在直线为 x 轴， AF 的垂直平分线所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系.
设点P 2cosq , 2sinq 0 q 2π ，由题意知，E 4,0 ,O 0,0 , F 2,2 3 ，
uuur uuur
则PE = 4 - 2cosq ,-2sinq ，OF = 2,2 3 ，
uuur uuur π
所以PE ×OF = 8 - 4cosq - 4 3sinq = 8 -8sin

q +

÷，
è 6
π
因0 q 2π ，则 q +
π 13
π ,
6 6 6
π uuur uuur
故当q + =
π
时，即 sin
q π + ÷ =1时，PE ×OF 取最小值 0.6 2 è 6
故选:C.
uuur uuur
12．已知点A 、 B 在圆 x2 + y2 = 4上，且 AB = 2 ， P 为圆O上任意一点，则 AB × BP 的最小值为（）
A． 0 B．-4 C．-6 D．-8
【答案】C
【解析】因为点A 、 B 在圆O : x2 + y2 =16上，且 AB = 2 ， P 为圆O上任意一点，
因为 OA = OB = 2 = AB ，所以，VOAB是等边三角形，则 AOB
π
= ，
3
不妨设 A -1, - 3 、B 1, - 3 ，设点P 2cosa , 2sina ，
uuur uuur
所以 AB = 2,0 ，BP = 2cosa -1,2sina + 3 ，
uuur uuur
所以 AB × BP = 2 2cosa -1 = 4cosa - 2 -6,2 ，
uuur uuur
即 AB × BP 的最小值为-6 .
故选：C.
uuur uuur uuur
13．已知VABC 是边长为 4 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则PA × PB + PC 的最小值是（）
A．-2 B．-8 C．-3 D．-6
【答案】D
【解析】以 BC 中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系.
则 A(0, 2 3), B(-2,0),C(2,0),设P x, y ，
uuur uuur uuur
则PA = -x, 2 3 - y , PB = -2 - x, -y , PC = 2 - x, -y
uuur uuur uuur
所以PA × PB + PC = -x × -2x + 2 3 - y × -2y = 2x2 - 4 3y + 2y2
= 2[x2 + (y - 3)2 - 3];
uuur uuur uuur
所以当 x = 0, y = 3时, PA × PB + PC 取得最小值为 2 (-3) = -6 .
故选：D.
r r 2π r r r r
14．已知向量 a,b的夹角为，且 a = 2 b = 4，则 a + tb t R 的最小值是（
3 ）
A． 3 B．3 C． 2 3 D． 2 5
【答案】C
r r 2π r r r r r r 2π
【解析】因为向量 a,b的夹角为，且 a = 2 b = 4，则 a ×b = a b cos = -4，
3 3
r r r 2 r r r2
可得 (a + tb)2 = a + 2ta ×b + t2b = 4t2 - 8t +16 = 4(t -1)2 +12 12，
当且仅当 t =1时，等号成立，
r r
所以 a + tb t R 的最小值是 2 3 .
故选：C.
uuur uuur
15．扇形 AOB的半径为 1， AOB = 120° ，点C 在弧 AB 上运动，则CA ×CB 的最小值为（）
1 3
A．- B．0 C．- D．-1
2 2
【答案】A
【解析】以O为原点，以OA所在直线为 x 轴，过O作OA的垂线为 y 轴，建立平面直角坐标系，
设 AOC
2π
= q ，则C(cosq ,sinq ) 1 3，其中0 q ， A(1,0)，B(- , )，3 2 2
uuur uuur 1
故CA = (1- cosq ,-sinq )，CB = (- - cosq , 3 - sinq )2 ，2
uuur uuur
\ CA × CB = (-cosq +1)( 1- - cosq ) + ( 3 - sinq )(-sinq )
2 2
1 1
= - cosq 3 sinq 1- = - sin(q π+ ) ，
2 2 2 2 6
Q0 q 2π \ π q π 5π 1 ， + ，\ sin(q
π
+ ) 1，
3 6 6 6 2 6
1 1
\- - sin(q π+ ) 0 ，
2 2 6
uuur uuur
\ [ 1
uuur uuur 1
CA ×CB 的取值范围为 - 2 ,
0]，故CA ×CB 的最小值为- ；2
故选：A．
16．（多选题）在VOAB中，OA =1,OB = 2, AOB =120°，点 P 是等边VABC （点O与C 在 AB 的两侧）边
uuur uuur uuur
上的一动点，若OP = xOA + yOB，则有（）
A．当 x
1
= 9时，点 P 必在线段 AB 的中点处 B． x + y 的最大值是
2 2
uuur uuur uuur uuur é 7 7C ù．OP ×OA的最小值是 -1 D．PA × PB 的范围是 - ,
ê 4 2 ú
【答案】BCD
【解析】
如图，过OA中点作OB 1的平行线与VABC 的三边有两个交点，所以 x = 时，点 P 有两种情况，故 A 错；
2
2
OAB cos120 OA + OB
2 - AB2 1+ 4 - AB2 1
在三角形中由余弦定理得 ° = = = - ,
2 ×OA ×OB 4 2
2 2 2 2
解得 AB = 7 ，则 cos ABO
AB + OB - OA 10
= = 10 2 3，，
2 × AB ×OB sin ABO = 1-4 7 4 7 ÷
=
è 4 7
cos CBO = cos 10 1 2 3 3 1 ABO + CBA = - = ，
4 7 2 4 7 2 2 7
以O为原点，OB为 x 轴，过点O垂直OB向上的方向为 y 轴建系，
1 3 3 3 3 uuur 1 3 uuur uuurO 0,0 ， A - , ÷÷，B 2,0 ，C2 2 , ÷÷，OA = - , ÷÷，OB = 2,0 ， AC = 2, 3 ，è è 2 2

è 2 2
uuur
BC 1 , 3 3
uuur uuur
= - ， xOA + yOB
1
= - x + 2y, 3 x
2 2 ÷÷ 2 2 ÷÷
，
è è
当点 P 在 AB 上时， x + y = 1，
uuur uuur
当点 P 在 AC 上时，设 AP = l AC = 2l, 3l ，l 0,1 ，
uuur uuur uuur
OP 1 3
1 3
= OA + AP = - + 2l, + 3l ÷÷ = - x + 2y, x2 2 2 2 ÷÷
，
è è
3 7
则 x =1+ 2l ， y = l ， x + y =1+ l ，
2 2
9
所以当l = 1时， x + y 最大为，
2
uuur uuur
当点 P 在BC上时，设BP = m BC
1
= - m,
3 3 m ，m 0,1 ，
è 2 2
÷÷

uuur uuur uuur
OP 1 3 3 1 3= OB + BP = 2 - m, m ÷÷ = - x + 2y, x2 2 2 2 ÷÷
，
è è
则 x = 3m
1 7
， y =1+ m ， x + y =1+ m ，
2 2
9
当m =1时， x + y 最大为，
2
综上可得，当点 P 在点C 处时 x + y 9最大为，故 B 正确；
2
uuur uuur
根据数量积的几何意义可得，当点 P 在点 B 处时OP ×OA最小，
uuur uur uuur uur
此时OP ×OA = OB ×OA = -1，故 C 正确；
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2 uuur 2 uuur 2 7取 AB 中点D，则PA × PB = PD + DA × PD - DA = PD - DA = PD - ，4
uuur é 21 ù uuur uuurPD 0, PA PB é 7 , 7因为
ù
ê 2 ú
，所以 × ê- ，故 D 正确.
4 2
ú
故选：BCD.
17．（多选题）已知点 A、B、P 在eC 上，则下列命题中正确的是（）
uuur uuur uuur
A AC =1 1．，则 AC × AB 的值是 2
uuur uuur uuur
B． AB =1 1，则 AC × AB 的值是 2
uuur uuur
C． AC = AB =1
uuur uuur é 1 3ù
，则 AP × AB 的范围是 ê- , 2 2ú
uuur uuur uuur uuur uuur
D AC = AB =1
é
AP = l AB + m AC l + m 1- 2 3 ,1+ 2 3
ù
．，且，则的范围是 ê 3 3 ú
【答案】BCD
uuur uuur uuur uuur 1 uuur 2
【解析】由 AC × AB = AC × AB cos BAC = 2 AB
uuur uuur uuur
当 AB =1
1
时， AC × AB = ，则 A 错，B 正确；
2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur由 AP × AB = AC + CP × AB = AC × AB + CP × AB = + cos CP, AB2
uuur uuur
因为 cos CP, AB -1,1 uuur uuur é 1 3ù，所以 AP × AB 的范围是 ê- ,2 2ú，故 C 正确；
1 3
设eC 方程为 x2 + y2 =1， A 1,0 , B , ÷÷ , P cosq ,sinq ,q 0,2p
è 2 2
uuur uuur uuur 1 3
由 AP = l AB + m AC 得 cosq -1,sinq = l - , ÷÷ + m -1,0
è 2 2
ì 2
cosq
1 ì
-1 = - l - m l = sinq 2 3
则 í ，得 í
1
sinq
3
= l m = - sinq - cosq +1
2 3
é ù
所以l + m
1
= sinq 2 2 3 2 3- cosq +1 = sin q +a +1 ê1- ,1+ ú ，故 D 正确．
3 3 3 3
故选：BCD
18．（多选题）已知圆O半径为 2，弦 AB = 2 ，点C 为圆O上任意一点，则下列说法正确的是（）
uuur uuur uuur uuur
A．BA × BO = 2 B． AB × AC 的最大值为 6
uuur uuur uuur uuur uuur
C． OC - AB - AO 0,4 D．满足 AB × AC = 0的点C 只有一个
【答案】AB
【解析】对于 A 选项，圆O半径为 2，弦 AB = 2 ，故VABO 为等边三角形，
uuur uuur uuur uuur
取 AB 的中点D，连接OD，则OD ^ AB ，所以BA × BO = BA × BD = 2，A 正确；
对于B选项，过点O作OE平行于 AB ，交圆与点E ，
过点E 作 EG ^ AB，交 AB 延长线于点G ，连接EB，
则四边形OABE 为菱形，
uuur uuur
由投影向量可知，当点C 与点E 重合时， AB × AC 取得最大值，
此时 AG = AD + DG =1+ 2 = 3，
uuur uuur uuur uuur
故 AB × AC 的最大值为 AB × AG = 2 3 = 6，B 正确；
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
对于 C 选项，OC - AB - AO = OC + OA + BA，
uuur uuur uuur uuur
因为四边形OABE 为菱形，所以OA + BA = EA，且 EA = 2 3 ，
uuur
因为 OC = 2 为定值，
uuur uuur uuur uuur uuur
故当OC 与 EA平行且方向相同时， OC - AB - AO 取得最大值，最大值为 2 + 2 3 ，
uuur uuur uuur uuur uuur
当OC 与 EA平行且方向相反时， OC - AB - AO 取得最小值，最小值为 2 3 - 2，
uuur uuur uuur
故 OC - AB - AO é 2 3 - 2,2 3 + 2ù ，C 错误；
uuur uuur
对于 D 选项，因为点C 为圆O上任意一点，故当C, A重合时， AB × AC = 0，
uuur uuur uuur uuur
又当 AC ^ AB时，满足 AB × AC = 0，故满足 AB × AC = 0的点C 有 2 个，D 错误.
故选：AB
19．（多选题）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆O的半径 2，点 P 是圆O内的定点，
且OP = 2 ，弦 AC，BD 均过点 P ，则下列说法正确的是（）
uuur uuur
A．PA × PC 为定值
uuur uuur
B．OA ×OC 的取值范围是 -2，0
uuur uuur
C．当 AC ^ BD 时， AB ×CD为定值
uuur uuur
D． AC ·BD 的最大值为 16
【答案】ACD
【解析】对于 A，如图，过O，P 作直径EF ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
由题意PA × PC = - PA PC = - PF PE = - OF - OP OE + PO ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur所以PA × PC = - OF - OP - OF + OP = - OF - OP OF + OP
uuur uuur uuur uuur uuur 2 uuur 2= - OF - OP OF + OP = - OF - OP = -2 为定值，故 A 正确；
对于 B，若M 为 AC 中点，连接OM ，则
uuur uuur uuuur uuur uuuur uuuurOA ×OC = OM + MA × OM + MC
uuuur2 uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuuur2 uuuur2 uuuur2= OM + OM × MA + MC + MA × MC = OM - 4 - OM = 2OM - 4，
uuuur2 uuur uuur uuur2
由题意0 OM OP = 2 ，则OA ×OC -4，0 ，故 B 错误；
uuur uuur uuur uuur
对于 C，若 AC ^ BD ，故PB ×CP = AP × PD = 0 ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur则 AB ×CD = AP + PB × CP + PD = AP ×CP + PB ×CP + AP × PD + PB × PD，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
又PA × PC = -2，则 AP ×CP = -2，同理可得PB × PD = -2，故 AB ×CD = -4，
故 C 正确；
uuur uuur
对于 D，因为 AC 4，BD 4，则当弦 AC，BD 均与EF 重合时，
uuur uuur
此时 AC × BD 有最大值，为 16，故 D 正确.
故选：ACD.
20．（多选题）如图，在梯形 ABCD中， AB∥CD, AD ^ AB,CD = 2, AD = 4, AB = 5, E, F 分别在线段 AD, AB
上，且线段DE 与线段 BF 的长度相等，则（）
uuur uuur uuur uuur
A．CE ×CF 的最小值为-4 B．CE ×CF 的最大值为 18
uuur uuur 41
C．CE × EF 的最大值为 -1 D．△CEF 的面积的最大值为 8
【答案】BCD
【解析】如图，以点 A 为坐标原点建立平面直角坐标系，设DE = BF = x 0 x 4 ，则
uuur uuur uuur
C 2,4 , E 0,4 - x , F 5 - x,0 ,CE = -2,-x ,CF = 3- x, -4 , EF = 5 - x, x - 4 ，
uuur uuur
对于 A,B，CE ×CF = 2x - 6 + 4x = 6x - 6 -6,18 ，故 A 错误，B 正确；
uuur uuur
对于 C，CE × EF = 2x -10 - x2 + 4x = -x2 + 6x -10 = - x - 3 2 -1，
uuur uuur
当 x = 3时，CE × EF 取得最大值，且最大值为 -1，故 C 正确；
4 - x
D S 2 + 5 4 2x 4x 5 - x 对于，△CEF 的面积 = - - -
2 2 2 2
1 2
= - x2 3 1 3 41 x
3 41
+ x + 4 = - x - ÷ + ，当 = 时，S取得最大值，且最大值为，故 D 正确．2 2 2 è 2 8 2 8
故选：BCD.
r r r r r r r
21．（多选题）（2024·山东潍坊·二模）已知向量 a ，b ， c为平面向量， a =1， b = 2， a ×b = 0 ，
r r
c 1- a = ，则（）2
r 3 r r r r
A．1 c B 1+ 2 5． c - a × c - b 的最大值为2 4
r r r r r
C．-1 b ×c 1 D．若 c = la + mb 5，则l + m 的最小值为1-
4
【答案】BCD
r r
【解析】对 A，设 a = 1,0 ,b = 0,2 ,cr = x,y r r 1 2 2 1，根据 c - a = 有 x -1 + y = ，
2 2
x 1 2 y2 1- + = 1 r即，为圆心为 1,0 ，半径为 2 的圆，又 c = x
2 + y2 的几何意义为原点到圆
4
x -1 2 + y2 1 x, y 1 cr 3= 上的距离，则，故 A 错误；
4 2 2
cr r r r对 B， - a × c - b = x -1 x + y y - 2 = x2 - x + y2 - 2y
1 2 5 2 1 1
= x - ÷ + y -1
2 - ，则转化为求圆 x -1 + y2 = 上的点到
2 4 4
,1÷的距离最大值，
è è 2
2
2 2 1 1 5 5 1 1 5 1+ 2 5为 -
2
2 ÷
+1 + ÷ - =
2 4
+ ÷÷ - = ，故 B 正确； è ÷ è 2 2 4 4è
r r 1 1 r r
对 C，b ×c = 2y ，因为- y ，故
2 2 -1 b ×c 1
，故 C 正确；
对 D，因为 x -1 2 y2 1 x cosq 1,y sinq+ = ，故 = + = ，
4 2 2
r r r y
又因为 c = la + mb，故l = x, m = ，2
l m cosq 1 sinq 5
2 5 cosq 5

sinq 1 5+ = + + = + + = sin q +j +1，
2 4 4 5 5 ÷÷è 4
故当 sin q +j = -1时，取最小值l + m 1 5取最小值 - ，故 D 正确.
4
故选：BCD
r r r22．（2024·甘肃·一模）已知单位向量 a,b 满足 3a
r
- 4b = m，则m 的范围是 .
【答案】 1,7
r r
【解析】设 a,b 的夹角为q (q 0, π ) ，
r r 2 r r r r 2
因为 3a - 4b 9ar2 r r r= - 24a ×b +16b 2 = 9 a 2 - 24 a × b cosq +16 b ，
r
又 ar,b 为单位向量，得到m2 = 9 +16 - 24cosq = 25 - 24cosq ，
又 cosq -1,1 ，得到1 m2 49，所以1 m 7 ，
故答案为：1 m 7 .
23．（2024·高三·上海闵行·开学考试）阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数
的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点 A，B 间的距离为 3，动点 P 满足
PA
= 2 uuur uuur
PB ，则PA × PB 的范围为 .
【答案】 -2,18
【解析】以 AB 中点为原点O，以 AB 所在直线为 x 轴，以 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系
xOy ，
3 3
因为 AB = 3，所以 A - ,02 ÷
，B ,0÷ .
è è 2
PA 2 2
P x, y = 2 3 设，因为，所以 x + 2 3PB ÷ + y = 2 ×

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