拔高点突破02 平面向量与复数背景下的新定义问题(六大题型)(含答案)第五章 平面向量与复数 2025年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)

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拔高点突破02 平面向量与复数背景下的新定义问题(六大题型)(含答案)第五章 平面向量与复数 2025年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)

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拔高点突破 02 平面向量与复数背景下的新定义问题 
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................2
题型一:向量外积(叉积)................................................................................................................2
题型二:斜坐标系................................................................................................................................3
题型三:向量新定义之新概念............................................................................................................5
题型四:向量新定义之新运算............................................................................................................6
题型五:向量新定义之新性质............................................................................................................8
题型六:复数新定义............................................................................................................................9
03 过关测试 .........................................................................................................................................10
1、平面向量背景下的新定义问题是一类既涉及平面向量基础知识,又融入新颖定义和复杂信息的数
学问题。这类问题要求考生不仅掌握平面向量的基本概念和运算规则,还需要具备良好的分析能力和逻辑
推理能力。平面向量背景下的新定义问题,通常基于平面向量的方向性和大小性,引入新的运算规则或概
念。解题时,首先要准确理解新定义的本质,明确其涉及的向量运算和性质。接着,将新定义应用到具体
的题目情境中,通过向量的加法、减法、数乘、数量积等运算,推导出所需的结论。这类问题往往信息量
大,背景新颖,需要考生耐心分析,细致推理。同时,注意平面向量的模、夹角等几何特征在新定义问题
中的应用,以及如何利用这些特征简化解题过程。最终,通过综合应用平面向量的基础知识和新定义,解
决这类复杂而有趣的数学问题。
2、复数背景下的新定义问题是一类融合了复数基础理论与新颖概念的数学问题。这类问题要求考生
不仅熟悉复数的代数表示、模、辐角等基本概念,还需具备灵活运用复数运算规则的能力。解题时,首先
要深入理解新定义的本质,明确其涉及的复数运算和性质。接着,将新定义与具体的题目情境相结合,通
过复数的加、减、乘、除等运算,推导出所需的结论。这类问题往往考察考生的逻辑推理能力和创新能力,
需要考生在新颖的复数运算或概念中找到解题的突破口。最终,通过综合运用复数的基础知识和新定义,
解决这类富有挑战性的数学问题。
题型一:向量外积(叉积)
r r r r r r r r
【典例 1-1】如果向量 a ,b 的夹角为q ,我们就称 a b为向量 a 与b 的“向量积”, a b还是一个向量,它
r r r r r r r r r r
的长度为 a b = a × b sinq ,如果 a =10 , b = 2, a ×b = -12,则 a b = ( )
A.-16 B.16 C.-20 D.20
r r r r
【典例 1-2】(2024·高三·内蒙古呼和浩特·期末)若向量 a = x1, y1 ,b = x2 , y2 ,则以 a 、b 为邻边的平行
r r r r r r
四边形的面积S可以用 a 、b 的外积 a b表示出来,即 S = a b = x1y2 - x2 y1 .已知在平面直角坐标系 xOy 中,
A cosa , 3 B sin 2a , 2cosa a é0, π ù、 , ê ú ,则 OAB2 面积的最大值为( )
A.1 B. 2 C. 2 D.3
r r r r r r r r
【变式 1-1】(多选题)已知向量 a,b 的数量积(又称向量的点积或内积): a ×b = a × b cos a,b ,其中
r r r r r r
ar,b r r r r表示向量 a,b 的夹角;定义向量 a,b 的向量积(又称向量的叉积或外积): a b = a × b sin a
r,b ,其
r r r r
中 a,b 表示向量 a,b 的夹角,则下列说法正确的是( )
r r r r r r r r πA.若 a,b 为非零向量,且 a b = a ×b ,则 a,b =
4
uuur uuur
B.若四边形 ABCD为平行四边形,则它的面积等于 AB AD
uuur uuur
C.已知点 A 2,0 , B -1, 3 ,O为坐标原点,则 OA OB = 2 3
r
D ar b 3 r
r r r
.若 = a ×b = 3 ,则 a + 2b 的最小值为 12 + 8 3
3
r r r r r r
【变式 1-2】(2024·高三·黑龙江哈尔滨·期中)已知两个非零向量 a 与b ,定义 a b = a × b ×sinq ,其中q
r r r r r r
为 a 与b 的夹角,若 a = (-2,3),b = (1,1) ,则 a b 的值为( )
A.5 B.7 C.2 D. 26
r r r r r r r r r r r
【变式 1-3】定义: a b = a b sinq ,其中q 为向量 a ,b 的夹角,若 a = 2, b = 5, a + b × a = -2,则
r r
a b = ( )
A.6 B.-6 C.-8 D.8
题型二:斜坐标系
【典例 2-1】(2024·云南昆明·模拟预测)向量的广义坐标是用于描述向量或系统状态的一组数值,其选择
取决于问题的特定背景和需求.在物理学、工程学、计算机图形学等领域,广义坐标被广泛应用.比如,
物理学中的振动系统可能采用角度作为广义坐标,而工程学中的结构分析可能使用特定坐标系来简化问
题.通过选择适当的广义坐标,可以更自然地描述问题,简化数学表达,提高问题的可解性,并使模型更
ur uur
符合实际场景.已知向量 e1 , e2 是平面a 内的一组基向量,O 为a 内的定点.对于a 内任意一点 P,若
uuur ur uur
OP = xe1 + ye2 x, y R ,则称有序实数对 x, y 为点 P 的广义坐标.若点 A,B 的广义坐标分别为 x1, y1 ,
x2, y 2 ,关于下列命题正确的( )
A.点M 1,2 关于点 O 的对称点不一定为M -1,-2
B.A,B x - x 2 + y - y 2两点间的距离为 1 2 1 2
uuur uuur
C.若向量OA平行于向量OB ,则 x1 y2 - x2 y1的值不一定为 0
x1 + x2 , y1 + y D.若线段 AB 的中点为 C,则点 C 的广义坐标为 2
2 2
【典例 2-2】(2024·吉林长春·模拟预测)互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,但如果
平面坐标系中两条坐标轴不垂直,则这样的坐标系称为“斜坐标系”.如图,在斜坐标系中,过点 P 作两坐
标轴的平行线,其在 x 轴和 y 轴上的截距 a,b 分别作为点 P 的 x 坐标和 y 坐标,记 P a,b ,则在 x 轴正方
向和 y 轴正方向的夹角为q 的斜坐标系中,下列选项错误的是( )
A.当q = 60°时 A 1,2 与B 3,4 距离为 2 3
B.点 A 1,2 关于原点的对称点为 A -1, -2
r r
C.向量 a = x1, y1 与 b = x2 , y2 平行的充要条件是 y1x2 = y2x1
D.点 A 1,2 到直线 x + y -1= 0的距离为 2
p ur uur
【变式 2-1】如图所示,设 Ox,Oy 是平面内相交成q q 角的两条数轴, e1,e2 分别是与 x,y 轴正方向 2
uuuur ur uur
同向的单位向量,则称平面坐标系 xOy 为q 斜坐标系,若OM = xe1 + ye2 ,则把有序数对 x, y 叫做向量
uuuur uuuur p r 1 3 r
OM 的斜坐标,记为OM = x, y .在q = 的斜坐标系中, a = , ,b = 3, -1 ﹒则下列结论中,错4 2 2
误的是( )
r r 1 3 r
① a - b = - 3, +1 ;② a
r
=1 r r;③ r ;④
2 2 a ^ b b
在 a上的投影为- 2

A.②③ B.②④ C.③④ D.②③④
π ur uur
【变式 2-2】如图,设Ox ,Oy是平面内夹角为q q 的两条数轴, e1 , e2 分别是与 x 轴、 y 轴正方向 2
uuur ur uur
同向的单位向量.若向量OA = xe1 + ye2 ,则有序数对 x, y 叫做点A 在坐标系Oxy 中的坐标.在该坐标系下,
A x1, y1 ,B x2 , y2 ,C x3 , y3 为不共线的三点,下列结论错误的是( )
x1 + x2 y1 + y2 x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y A 3.线段 AB 中点的坐标为 , B. ABC 重心的坐标为 ,2 2 3 3
C.A , B 两点的距离为 x1 - x2 2+ y1 - y2 2 D.若 x1y2 = x2 y1,则O,A , B 三点共线
题型三:向量新定义之新概念
【典例 3-1】(多选题)(2024·山东潍坊·三模)定义平面向量的一种运算“ Q ”如下:对任意的两个向量
r r r r
a = x1, y1 , b = x2 , y2 ,令 aQb = x1 y2 - x2 y1, x1x2 + y1 y2 ,下面说法一定正确的是( )
r r r r
A.对任意的l R ,有 la Qb = l aQb
r r r r r r r
B.存在唯一确定的向量 e使得对于任意向量 a,都有 aQe = eQa = a 成立
r r r r r r r rC.若 a与b 垂直,则 aQb Qc 与 aQ bQc 共线
r r r r r r r r
D.若 a与b 共线,则 aQb Qc 与 aQ bQc 的模相等
uuuur uuuur
【典例 3-2】(多选题)设 A1、A2、A3、A4 是平面直角坐标系中相异的四点,若 A1A3 = l A1A2 (l R) ,
uuuur uuur 1 1
A A + = 21 4 = m A1A (m R) ,且 ,则称 A3 , A4 调和分割 A2 l m 1
, A2 ,已知平面上的点 C,D 调和分割点 A,B,
则下面说法正确的是( )
A.A、B、C、D 四点共线
B.D 可能是线段 AB 的中点
C.C、D 可能同时在线段 AB 上
D.C、D 不可能同时在线段 AB 的延长线上
r r r r
r r r r ì a ×b ,a与b不共线,
【变式 3-1】设 a,b 为平面内的任意两个向量,定义一种向量运算“ ”: a b = í r r r r 对于同
a - b , a与b共线.
r r r r
一平面内的向量 a,b ,c, d ,给出下列结论:
r r r r r r r① a b b r = a ;② l a b = la b l R ;
r r r r r r r r r r③ a + b c = a c + b c ;④若 er 是单位向量,则 a e a +1.
以上所有正确结论的序号是 .
r r
r r r r a ×b
【变式 3-2】(2024·河北邯郸·二模)对任意两个非零的平面向量 a 和b ,定义:a b = r 2 r 2 ,a + b
r r r r
a eb a ×b= r r r rr r r
r r
2 .若平面向量 a,b满足 a > b > 0
ìn
,且 a b 和a e b都在集合 í | n Z,0 < n 4
ü
4
中,则
b
r r r r
a b + a e b = ( )
3 7 5
A.1 B. C.1 或 D.1 或
2 4 4
uuur uuur
【变式 3-3】(多选题)(2024·高三·山东青岛·期末)已知对任意平面向量 AB = x, y ,把 AB 绕其起点沿逆时
uuur
针方向旋转q 角得到向量 AP = xcosq - ysinq , xsinq + ycosq ,叫做把点 B 绕点 A 沿逆时针方向旋转q 角得
uuur
uuur uuur到点 P .已知平面内点 A 2,1 ,点B 2 + t,1- t , AB = 2 2 , AB ×OA > 0 ,点 B 绕点 A 沿逆时针方向旋转
π
角得到点 P ,则( )3
uuur uuur
A. BP = 2 2 B. AB = -2,2
C. B 的坐标为 4, -1 D. P 的坐标为 3 + 3, 3
题型四:向量新定义之新运算
【典例 4-1】(多选题)在实数集R 中,我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”.类似实数排序
的定义,我们定义“点序”,记为“ ”:已知M x1, y1 , N x2 , y2 ,M N ,当且仅当“ x1 > x2 ”或“ x1 = x2且
y1 > y2 ”.定义两点的“ ”与“ ”运算:M N = x1 + x2,y1 + y2 ,M N = x1x2 + y1 y2 .则下列说法正确
的是( )
A.若P 2025,2024 ,Q 2024,2025 ,则P Q
B.若P 2025,2024 ,Q x,y ,P Q,则 x 2025且 y 2024
C.若P Q,则对任意的点 T,都有P T Q T
D.若P Q,则对任意的点 T,都有P T > Q T
r r r r r r
【典例 4-2】定义空间两个向量的一种运算 a b = a × b sin a,b ,则关于空间向量上述运算的以下结论中
恒成立的有( )
r r
A.l a b r r= la b
r r r r r rB. a b c = a b c
r r r r r r rC. a + b c = a c + b c
r r r r
D.若 a = x1, y1 , b = x2 , y2 ,则 a b = x1 y2 - x2 y1
r r v v
【变式 4-1】设向量m = a,b ,向量 n = c,d ,规定两向量 m,n 之间的一个运算“ Θ ”的结果为向量mΘ n
a b r= - , ad + bc -1 = 1,2 pvΘ qv r r ), 若已知向量 q ,且向量 与向量u = 1,-2 共线又与向量 v = 1,1 垂直,
c d
ur
则向量 p 的坐标为( )
1 1 1 1
A.( , ) B.( , )
2 4 4 2
1
C.(- ,
1 1 1
) D.(- , )
2 4 4 2
r r r r r r r r
【变式 4-2】设向量 a 与b 的夹角为q ,定义 a b = asinq + bcosq .已知向量 a 为单位向量, b = 2 ,
r r r r
a - b =1,则 a b =( )
A 2 B 10. . 2 C. D. 2 3
2 2
r r r r r r r r r r
【变式 4-3】设向量 a与b 的夹角为q ,定义 a b = a sinq - b cosq ,已知 a = 2 , b = a - b =1,则
r r
a b =( )
A 2. B 3. 2 C. D. 3
2 2
r r r
【变式 4-4】定义向量一种运算“ ”如下:对任意的 a = (m, n),b = ( p, q) r,令 a b = mq - np ,下面错误
的是( )
r r r
A r.若 a与b 共线,则 a b = 0
r r r rB. (a b)2 + (ar ×b)2 r=| a |2 × | b |2
r r
C.对任意的l R ,有 (lar) b r = l(a b)
D ar
r r
b b ar. =
r r r
r r r r a sin a,b ur r
【变式 4-5】对任意量给非零向量 a,b ,定义新运算: a b = r .已知非零向量m , n满足
b
ur r ur r
m 3 n q π π
ur r
> ,且向量m , n的夹角 , ,若 44 2 m n
r ur ur r
和 4 n m 都是整数,则m n的值可能是( )

A.2 B.3 C 4 D
17
. .
4
题型五:向量新定义之新性质
【典例 5-1 *】我们称 n n N 元有序实数组 x1, x2 ,L, xn 为 n维向量, x1 + x2 +L+ xn 为该向量的范数.已
r
知 n维向量 a = x1, x2 ,L, xn ,其中 xi -1,0,1 i
r
=1,2,Ln ,记范数为奇数的 a 的个数为 An ,则 A3 = ;
A2n = (用含 n的式子表示, n N* ).
ur r ur rur ur a × b r r r r r
【典例 5-2】对任意两个非零的平面向量a 和 b ,定义a o b = r r .若平面向量 a 、b 满足 a b > 0, a
b × b
r π r r r r ìn ü r r r r
与b 的夹角q 0, 4 ,且a o b 和b o a 都在集合 í
n Z 中,则2 a ob + b o a =( ).
3 5
A. B. 2 C. D.3
2 2
ur uur uur uur uur uur
【变式 5-1】(2024·浙江绍兴·模拟预测)定义两个向量组 X = x1, x2 , x3 ,Y = y1, y2 , y3 的运算
ur uur uur uur uur uur ur uur ur ur uur uur uur uur uur ur uur ur
X ×Y = x1 × y1 + x2 × y2 + x3 × y3 ,设 e1,e2 ,e3 为单位向量,向量组 X = x1, x2 , x3 ,Y = y1, y2 , y3 分别为 e1,e2 ,e3
的一个排列,则 X ×Y 的最小值为 .
【变式 5-2】我们知道,在平面内取定单位正交基底建立坐标系后,任意一个平面向量,都可以用二元有
序实数对 a1, a2 表示.平面向量又称为二维向量.一般地,n 元有序实数组 a1, a2 , L, an 称为 n 维向量,
它是二维向量的推广.类似二维向量,对于 n 维向量,也可定义两个向量的数量积、向量的长度(模)等:
r r r r
设 a = a1, a2 , L, an , b = b1, b2 , L, bn ,则 a × b = a1, a2 , L, an × b1, b2 , L, bn = a1b1 + a2b2 +L+ anbn ;
r
a = a2 + a2
r r
1 2 +L+a
2
n .已知向量 a = a1, a2 , L, an 满足 an =n ,向量b = b1, b2 , L, bn 满足bn =2n .
r r
(1)求 a × b的值;
r
c =ln a
r
(2)若 c = c1, c2 , L, c
n+1 n
n ,其中 n a ,当 n 2且 n N
* 时,证明: c > .
n 2n + 4
r r r r
【变式 5-3】设向量 a = x1, y1 ,b = x2 , y2 ,当 x1 x2,且 y1 > y2 时,则记作 a b ;当 x1 < x2,且
r ry1 y2 时,则记作 a = b ,有下面四个结论:
ar
r
2,4 r①若 = ,b = 3,5 ,则 ar = b ;
r r r② r若 a b 且ma lb ,则m l ;
③ ar
r r r r r r
若 b ,则对于任意向量 c ,都有 a + c b + c ;
r r r
④若 ar = b r r r,则对于任意向量 c ,都有 a ×c b ×c ;
其中所有正确结论的序号为( )
A.①②③ B.②③④ C.①③ D.①④
题型六:复数新定义
r
【典例 6-1】已知平面直角坐标系 xOy 中向量的旋转和复数有关,对于任意向量 x = a,b ,对应复数
r
z = a + bi ,向量 x 逆时针旋转一个角度q ,得到复数 z = a + bi cosq + isinq = acosq -
ur
bsinq + i asinq + bcosq ,于是对应向量 x = a cosq - bsinq ,a sinq + b cosq .这就是向量的旋转公式.已
知正三角形 ABC 的两个顶点坐标是 A 1, 4 , B 3, 2 ,根据此公式,求得点C 的坐标是 .(任写一个即可)
【典例 6-2】(2024·浙江· 模拟预测)已知平面直角坐标系 xOy 中向量的旋转和复数有关,对于任意向量 x
=(a,b),对应复数 z=a+ib,向量 x 逆时针旋转一个角度q ,得到复数
z ' = (a + ib)(cosq + i sinq ) = a cosq - bsinq + i(a sinq + b cosq ),于是对应向量

x ' = (a cosq - bsinq ,a sinq + b cosq ) .这就是向量的旋转公式.根据此公式,已知正三角形 ABC 的两个顶点坐
标是 A(1,2),B(3,4),则 C 的坐标是 .(任写一个即可)
【变式 6-1】(多选题)(2024·河北沧州·一模)在复数城内,大小成为了没有意义的量,那么我们能否赋予
它一个定义呢,在实数域内,我们通常用绝对值来描述大小,而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝
对值,于是,我们只需定义复数的正负即可,我们规定复数的“长度”即为模长,规定在复平面 x 轴上方的
复数为正,在 x 轴下方的复数为负,在 x 轴上的复数即为实数大小.“大小”用符号+“长度”表示,我们用
[z]来表示复数的“大小”,例如:[1+ 2i] = 5 ,[1- 2i] = - 5 ,[1] = 1,[-3] = -3,[-1- 2i] = - 5 ,则下列
说法正确的是( )
A.[z] =1在复平面内表示一个圆
B.若 z C,则方程[z]2 = -1无解
C.若 z1, z2 为虚数,且 z1 = z2 ,则 z1 + z2 = 0
D.复平面内,复数 z 对应的点在直线 y = -x + 4上,则 | [z] |最小值为 2 2
【变式 6-2】(多选题)(2024·全国·三模)一般地,对于复数 z = a + bi (i 为虚数单位,a,b R ),在平面
uuur
直角坐标系中,设 z = OZ = r r 0 ,经过点Z 的终边的对应角为q ,则根据三角函数的定义可知
a = r cosq ,b = r sinq ,因此 z = r cosq + i sinq ,我们称此种形式为复数的三角形式,r 称为复数 z 的模,
q 称为复数 z 的辐角.为使所研究的问题有唯一的结果,我们规定,适合0 q < 2π 的辐角q 的值叫做辐角的
主值.已知复数 z 满足 z -1 r , r 0,1 ,Re z 为 z 的实部,q 为 z 的辐角的主值,则( )
A. z - 2024i 的最大值为 r + 2025
B. z - 2024i 的最小值为 2025 - r
C. cosq 1- r 2
1 1
D 2.Re 1- r
z Re z
【变式 6-3】现定义“ n维形态复数 zn ”: zn = cos nq + i sin nq ,其中 i为虚数单位, n N* ,q 0 .
q π(1)当 = 时,证明:“2 维形态复数”与“1 维形态复数”之间存在平方关系;
4

(2)若“2 维形态复数”与“3 维形态复数”相等,求 sin q
π
+ 的值;
4
(3)若正整数m , n m >1, n > 2 ,满足 zm = z 21 , zn = zm ,证明:存在有理数q,使得m = q ×n +1- 2q .
a,b éc ù z【变式 6-4】若定义一种运算: ê ú = ac + bd .已知 z 为复数,且 2, z é ùê ú = 6 - 4i .
d 4
(1)求复数 z ;
t, x é1ù ésin xù(2)设 为实数,若 t + cos x, i ê ú - 1,1 ê ú为纯虚数,求 t 的最大值.
2 i
r r
1.(多选题)(2024·河南·模拟预测)设向量 a = x1, y1 ,b = x2 , y2 ,当且仅当 x1 x2,且 y1 > y2 时,则
r r r r
称 a b;当且仅当 x1 < x2,且 y1 y2 时,则称 a = b,则下列结论正确的有( )
r r r r
A.若 a b且ma lb,则m l
r r r r
B.若 a = 2022,2024 ,b = 2023,2025 ,则 a = b
r r r r r r r
C.若 a b,则对于任意向量 c,都有 a + c b + c
r r r r r r r
D.若 a = b,则对于任意向量 c,都有 a ×c≤b ×c
ur uur
2.(多选题)(2024·江苏盐城·一模)定义平面斜坐标系 xOy ,记 xOy = q , e1 , e2 分别为 x 轴、y 轴正方
uuur ur uur uuur
向上的单位向量,若平面上任意一点 P 的坐标满足:OP = xe1 + ye2 ,则记向量OP 的坐标为 x, y ,给出
下列四个命题,正确的选项是( )
uuur uuur uuur uuur
A.若OP = x1, y1 ,OQ = x2 , y2 ,则OP + OQ = x1 + x2 , y1 + y2
uuur uuur uuur uuur
B.若OP = x1, y1 ,OQ = x2 , y2 ,则OP ×OQ = x1x2 + y1 y2
C.若P x1, y 2 21 ,Q x2 , y2 ,则 PQ = x2 - x1 + y2 - y1
D.若q = 60°,以 O 为圆心、半径为 1 的圆的斜坐标方程为 x2 + y2 + xy -1 = 0
ur uur
3.(多选题)(2024·山西临汾·二模)设Ox ,Oy 是平面内相交成 60°角的两条数轴, e1,e2 分别是与 x 轴、
uuur ur uur
y uuur轴正方向同向的单位向量.若OP = xe1 + ye2 ,则把有序实数对 (x, y)叫做向量OP 在斜坐标系 Oxy 中的坐标,
uuur
记作OP = (x, y) .则下列说法正确的是( )
uuur uuur
A.若OP = (2,1),则 | OP |= 7
uuur uuur
B.若 AB = (2,1), BC =

-1,
1
- ,则 A,B,C 三点共线
2
uuur uuur uuur uuur
C.若OP1 = (3, 2),OP2 = (2,-3),则OP1 ^ OP2
uuur uuur uuur
D.若OA = (2,0),OB = (0,3),OC = (4,1) 7 3,则四边形 OACB 的面积为
2
r r r r r r
4.(多选题)(2024·湖北·二模)定义空间两个非零向量的一种运算: a b = a × b ×sináa,b ,则关于空间
向量上述运算的以下结论中恒成立的有( )
r r r r r r r rA.l a b = la b B. a b=b a
r r r r r r r r
C.若 a b = 0,则 a ^ b D. a b a × b
r
5.(多选题)定义: ar,b 两个向量的叉乘 a b = a × b ×sin a,b ,则以下说法正确的是( )
r r r rA.若 a b = 0,则 a P b

B.l a b = la b
uuur uuur
C.若四边形 ABCD 为平行四边形,则它的面积等于 AB AD
r r rD.若 a b = 3 ar, ×b =1,则 a + b 的最小值为 7
r r
6.(多选题)在平面直角坐标系 xOy 内,设两个向量 a = x1, y1 ,b = x2 , y2 ,定义运算:
r r
a b = x1y2 - x2 y1,下列说法正确的是( )
r r r r r r r r
A. a b = 0是 a∥b的充要条件 B. a b = b a
r r r r r r r uuur uuurC. a b + c = a b + a c 1D.若点O,A , B 不共线,则 OAB的面积 S = OA OB2
r r r r
7.(多选题)(多选)在三维空间中, a b叫做向量 a与b 的外积,它是一个向量,且满足下列两个条件:
r r r r r r r r r r r r r r r r① a ^ a b ,b ^ a b ,且 a,b , a b三个向量构成右手系(如图所示);② a b = a b sin a,b .在
正方体 ABCD - A1B1C1D1 中,已知其表面积为 S,下列结论正确的有( )
uuuur uuur uuuur uuur
AB AC AD DB uuur uuur uuur uuurA. 1 = 1 B. AB AD = AD AB
uuur uuur uuuur uuuur uuuur
C. S = 6 BC AC D. A1C1 A1D 与 BD1 共线
p ur uur
8.(多选题)如图所示设Ox ,Oy是平面内相交成q q 角的两条数轴, e1 , e2 分别是与 x,y 轴正方 2
uuuur ur uur
向同向的单位向量,则称平面坐标系 xOy 为q 反射坐标系,若OM = xe1 + ye2 ,则把有序数对 x, y 叫做向
uuuur uuuur 2 r r
量OM 的反射坐标,记为OM = x, y .在q = p 的反射坐标系中, a = 1,2 ,b = 2,-1 .则下列结论中,3
错误的是( )
r r r
A. a - b = -1,3 B. a = 3
r r r r
C 3 7
r
. a ^ b D. a在b 上的投影向量为- b
14
r r r
r r r r a sin a,b ur r ur r
9.(多选题)对任意两个非零向量 a,b ,定义新运算: a b = r .已知非零向量m, n满足 m > 3 n 且
b
ur r
q p p
ur r r ur ur r
向量m, n的夹角 , ,若 4 m n 和 4 n m 都是整数,则m n的值可能是(4 2 )
5
A.2 B. C.3 D.4
2
10.如图,在平面斜坐标系 xOy 中, xOy = q ,平面上任意一点 P 关于斜坐标系的斜坐标这样定义:若
uuur ur uur ur uur uuur
OP = xe + ye (其中 e ,e 分别是 x 轴, y 轴正方向的单位向量),则 P 点的斜坐标为 (x, y)1 2 1 2 ,且向量OP 的
斜坐标为 (x, y) .给出以下结论,其中所有正确的结论的序号是
uuur
①若q = 60°, P (2, -1) ,则 OP = 3 ;
uuur uuur
②若P(x1, y1),Q(x2 , y2 ) ,则OP + OQ = (x1 + x2 , y1 + y2 ) ;
uuur
③若P x, y ,l R,则lOP = (lx,l y);
uuur uuur uuur uuur
④若OP = (x1, y1),OQ = (x2 , y2 ) ,则OP ×OQ = x1x2 + y1 y2.
r r r r r r r
11.(2024·河南·模拟预测)向量 a,b的夹角为q ,定义运算“ ”: a b =| a || b | sinq ,若 a = ( 3,1) ,
r r r
b = (- 3,1),则 a b 的值为 .
12.我们把由平面内夹角成60°的两条数轴Ox ,Oy构成的坐标系,称为“@未来坐标系”,如图所示,
ur uur uuur ur uur uuur
e1,e2 分别为Ox,Oy 正方向上的单位向量,若向量OP = xe1 + ye2 ,则把实数对 x, y 叫做向量OP 的“@未来
uuur r r r r
坐标”,记OP = x, y ,已知 x1, y1 , x2 , y2 分别为向量 a ,b 的“@未来坐标”,若向量 a ,b 的“@未来
坐标”分别为 1,2 , 2,1 r r,则向量 a ,b 的夹角的余弦值为 .
uuur
13.已知对任意平面向量 AB = x, y ,把 B 绕其起点沿逆时针方向旋转q 得到向量
uuur
AP = x cosq - y sinq , x cosq + y sinq 叫做把点 B 绕点 A 沿逆时针方向旋转q 得到点 P.已知平面内点 A 2,1 ,
r
点B 2 2,1 uuur uuur+ - 2 π,把点 B 绕点 A 沿逆时针 后得到点 P,向量 a 为向量4 PB在向量PA上的投影向量,则
r
a = .
r r r r r r14.定义平面非零向量之间的一种运算“*”,记 a * b = a cosq + b sinq (其中q 是非零向量 a,b 的夹角).若
ur uur ur uur 1 ur uure1 , e2 均为单位向量,且 e1 ×e2 = ,则 e1 * 3e2 = .2
r r r r r r r r r r
15.定义 a*b是向量 a 和b 的“向量积”,其长度为 | a *b |=| a || b | sinq ,其中q 为向量 a 和b 的夹角.若
r r r
a = 2,0 , a - b = r r r1, - 3 ,则 | a *(a + b) | = .
uuur
uuur16.已知对任意平面向量 AB = x, y ,把 AB 绕其起点沿逆时针方向旋转q 角得到向量
uuur
AP = x cosq - y sinq , x sinq + y cosq ,叫做把点 B 绕点 A 沿逆时针方向旋转q 角得到点 P.已知平面内点
A 3- 3,2 3 B 4 3- 3,3 + 2 3 p B2 , ,把点 绕点 A 沿顺时针方向旋转 后得到点 P,则点 P 的坐标 2 3
为 .
17.(多选题)在复数域内,大小成为了没有意义的量,那么我们能否赋予它一个定义呢,在实数域内,
我们通常用绝对值来描述大小,而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值,于是,我们只需定义复
数的正负即可,我们规定复数的“长度”即为模长,规定在复平面 x 轴上方的复数为正,在 x 轴下方的复数
为负,在 x 轴上的复数即为实数大小.“大小”用符号+“长度”表示,我们用 z 来表示复数的“大小”,例如:
1+ 2i = 5, 1- 2i = - 5, 1 =1, -3 = -3, -1- 2i = - 5 ,则下列说法正确的是( )
A. z = 1在复平面内表示一个圆
B.若 z C,则方程[z]2 = -1无解
C.若 z1, z2 为虚数,且 z1 = z2 ,则 z1 + z2 = 0
D.复数 z 满足 z - i =1,则 z 的取值范围为 é 2, 2ù
18.(多选题)(2024·山西·模拟预测)数系的扩充是数学发展的一个重要内容,1843 年,数学家哈密顿发
现了四元数.四元数的产生是建立在复数的基础上的,和复数相似,四元数是实数加上三个虚数单位 i, j
和 k,而且它们有如下关系: i2 = j2 = k2 = -1,i0 = j0 = k0 =1,ij = k, ji = -k, jk = i, kj = -i, ki = j, ik = - j.四元数
一般可表示为 a + bi + cj+ dk ,其中 a,b,c,d 为实数.定义两个四元数:
a = a1 + b1i + c1 j+ d1k, b = a2 + b2i + c2 j+ d2k ,那么这两个四元数之间的乘法定义如下:
ab = a1a2 - b1b2 - c1c2 - d1d2 + a1b2 + b1a2 + c1d2 - d1c2 i + a1c2 + c1a2 + d1b2 - b1d2 j+ a1d2 + d1a2 + b1c2 - c1b2 k .
关于四元数,下列说法正确的是( )
A. ijk = -1
B aa = a2 + b2. 1 1 + c
2 2
1 + d1
C.ab = ba
D.若a =1+ i + j+ k,且ab = 4,则 b =1- i - j- k
19.(多选题)(2024·重庆沙坪坝·模拟预测)定义复数的大小关系:已知复数 z1 = a1 + b1i , z2 = a2 + b2i , a1,
a2,b1,b2 R.若 a1 > a2 或( a1 = a2 且b1 > b2 ),称 z1 > z2.若 a1 = a2 且b1 = b2 ,称z1 = z2.共余情形均为
2

z1 < z2 .复数 u v
3 +1
, ,w 分别满足:u2 + u +1 = 0, v = , w +1 =1,则( )
2
A.u < w < v B.u = v = w C. v > u = w D.w < u < v
20.对于任意的复数 z = x + yi(x, y R),定义运算 P(z) = x2[cos(yπ) + isin(yπ)].
(1)集合 A = {w | w = P(z) , | z | 1,Rez, Imz 均为整数},试用列举法写出集合A ;
(2)若 z = 2 + yi(y R) ,P(z)为纯虚数,求 | z |的最小值;
(3)直线 l : y = x - 9上是否存在整点 (x, y)(坐标 x , y 均为整数的点),使复数 z = x + yi经运算 P 后,P(z)对
应的点也在直线 l上?若存在,求出所有的点;若不存在,请说明理由.
21.(2024·河南郑州·三模)复数除了代数形式 a + bi之外,还有两种形式,分别是三角形式和指数形式,
著名的欧拉公式 eiq = cosq + isinq 体现了两种形式之间的联系.利用复数的三角形式进行乘法运算,我们可

以定义旋转变换.根据 a + bi e = a + bi cosq + isinq = acosq - bsinq + asinq + bcosq i,我们定义:在
直角坐标系内,将任一点绕原点逆时针方向旋转q 的变换称为旋转角是q 的旋转变换.设点 A a,b 经过旋
ìa = acosq - bsinq ,
转角是q 的旋转变换下得到的点为 A a ,b ,且旋转变换的表达式为 íb asinq bcosq . 曲线的旋转变换也 = +
1 π
如此,比如将“对勾”函数 y = x + 图象上每一点绕原点逆时针旋转 8 后就得到双曲线:x
y2 x2
- =1
2 2 +1 2 2 -1 .
(1)求点 -1, - 3 π在旋转角是 的旋转变化下得到的点的坐标;4
π
(2)求曲线 xy =1在旋转角是 的旋转变化下所得到的曲线方程;
4
(3)等边 ABC 中,B -1, -1 , A,C 在曲线 xy =1上,求 ABC 的面积.
22.(2024·河南·模拟预测)从数据组W : (1, 2,3,L, n) 中取出 k k N*, k n 个不同的数构成一个新数据组
P: (x1, x2 ,L, xk ).若"a W,$xi , x j P , i, j {1,2,L, k},使得 a = lxi + mx j ,l, m -1,0,1 ,则称数
据组P为数据组W的一个 k 维基本数据库.
(1)判断数据组P: 1,4 是否为数据组W: 1,2,3,4,5 的一个 2 维基本数据库;
(2)判断数据组P: 2,3,4 是否为数据组W: 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的一个 3 维基本数据库.
(3)若数据组P是数据组W的一个 k 维基本数据库,求证: k 2 + k n .
a1 b1
r a r b 2 2 r r r23.(2024·全国·模拟预测)设有 n维向量 a = ,b = ,称 é a,b ù = a1b1 + a b + ×××+ a b
r
××× 2 2 n n
为向量 a和
× × × b

an bn
r r r r
的内积,当 éa,b ù = 0,称向量 a和b 正交.设 Sn 为全体由 -1和 1 构成的 n元数组对应的向量的集合.
1
r 2 r r r
(1)若 a = 3 ,写出一个向量b ,使得
éa,b ù = 0.

4


B xr(2)令 = , yr xr, yr Sn .若m B ,证明:m + n为偶数.
r r
(3)若 n = 4, f 4 是从 S4 中选出向量的个数的最大值,且选出的向量均满足 é a,b ù = 0,猜测 f 4 的值,
并给出一个实例.拔高点突破 02 平面向量与复数背景下的新定义问题 
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................2
题型一:向量外积(叉积)................................................................................................................2
题型二:斜坐标系................................................................................................................................5
题型三:向量新定义之新概念..........................................................................................................10
题型四:向量新定义之新运算..........................................................................................................14
题型五:向量新定义之新性质..........................................................................................................18
题型六:复数新定义..........................................................................................................................22
03 过关测试 .........................................................................................................................................26
1、平面向量背景下的新定义问题是一类既涉及平面向量基础知识,又融入新颖定义和复杂信息的数
学问题。这类问题要求考生不仅掌握平面向量的基本概念和运算规则,还需要具备良好的分析能力和逻辑
推理能力。平面向量背景下的新定义问题,通常基于平面向量的方向性和大小性,引入新的运算规则或概
念。解题时,首先要准确理解新定义的本质,明确其涉及的向量运算和性质。接着,将新定义应用到具体
的题目情境中,通过向量的加法、减法、数乘、数量积等运算,推导出所需的结论。这类问题往往信息量
大,背景新颖,需要考生耐心分析,细致推理。同时,注意平面向量的模、夹角等几何特征在新定义问题
中的应用,以及如何利用这些特征简化解题过程。最终,通过综合应用平面向量的基础知识和新定义,解
决这类复杂而有趣的数学问题。
2、复数背景下的新定义问题是一类融合了复数基础理论与新颖概念的数学问题。这类问题要求考生
不仅熟悉复数的代数表示、模、辐角等基本概念,还需具备灵活运用复数运算规则的能力。解题时,首先
要深入理解新定义的本质,明确其涉及的复数运算和性质。接着,将新定义与具体的题目情境相结合,通
过复数的加、减、乘、除等运算,推导出所需的结论。这类问题往往考察考生的逻辑推理能力和创新能力,
需要考生在新颖的复数运算或概念中找到解题的突破口。最终,通过综合运用复数的基础知识和新定义,
解决这类富有挑战性的数学问题。
题型一:向量外积(叉积)
r r r r r r r r
【典例 1-1】如果向量 a ,b 的夹角为q ,我们就称 a b为向量 a 与b 的“向量积”, a b还是一个向量,它
r r r r r r r r r r
的长度为 a b = a × b sinq ,如果 a =10 , b = 2, a ×b = -12,则 a b = ( )
A.-16 B.16 C.-20 D.20
【答案】B
r r r r r r
【解析】因为 a =10 b 2
r r
, = , a ×b = -12,所以 a ×b = a b cosq =10 2cosq = -12,
cosq 3= - sinq 4 r
r r r
所以 ,所以 = ,所以 a b = a b sinq =10 2
4
=16 .
5 5 5
故选:B
r r r r
【典例 1-2】(2024·高三·内蒙古呼和浩特·期末)若向量 a = x1, y1 ,b = x2 , y2 ,则以 a 、b 为邻边的平行
r r r r r r
四边形的面积S可以用 a 、b 的外积 a b表示出来,即 S = a b = x1y2 - x2 y1 .已知在平面直角坐标系 xOy 中,
A cosa , 3 、B sin 2a , 2cosa a é0, π ù, ê 2 ú ,则 OAB面积的最大值为( )
A.1 B. 2 C. 2 D.3
【答案】A
【解析】已知在平面直角坐标系 xOy 中, A cosa , 3 、B sin 2a , 2cosa a é π ù, ê0, ú , 2
1 uuur uuur
因为 S OAB = OA OB
1
= 2cos2 a - 3 sin 2a 1= 3 sin 2a - 2cos2 a
2 2 2
1 3 sin 2a 1 1 π= - 1+ cos 2a = 3 sin 2a - cos 2a -1 = 2sin 2a -

÷ -1 ,2 2 2 è 6
π π π 5π 1
因为0 a ,则- 2a - ,则- sin

2a
π
- 1,
2 6 6 6 2 è 6 ÷
2 π 1 π则- 2sin

2a -

÷ -1 1,则 S = 2sin 2a - ÷ -1 0,1 ,
è 6 2 è 6
π π
当 2a - = - 时,即当a = 0 时, OAB面积取最大值1.
6 6
故选:A.
r r r r r r r r
【变式 1-1】(多选题)已知向量 a,b 的数量积(又称向量的点积或内积): a ×b = a × b cos a,b ,其中
r r r r r r
ar,b ar
r r r
表示向量 ,b r的夹角;定义向量 a,b 的向量积(又称向量的叉积或外积): a b = a × b sin a,b ,其
r r
中 a
r,b r表示向量 a,b 的夹角,则下列说法正确的是( )
r r r r r r r π
A r.若 a,b 为非零向量,且 a b = a ×b ,则 a,b =
4
uuur uuur
B.若四边形 ABCD为平行四边形,则它的面积等于 AB AD
uuur uuurC.已知点 A 2,0 , B -1, 3 ,O为坐标原点,则 OA OB = 2 3
D ar
r
b 3 r
r
ar
r
.若 = a ×b = 3 ,则 + 2b 的最小值为 12 + 8 3
3
【答案】BCD
A ar
r r r r r r r
【解析】对于 中,因为 ,b 是非零向量,由 a
r b ar b r r r r = × ,可得 a b sin a,b = a b cos a,b ,即
r r
sin ar,b cos ar= ,b ,
r r r r
可得 tan a
r,b = ±1,且 a,b 0, π r π 3π,解得 a,b = 或 ,所以 A 错误;
4 4
1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
对于 B 中,由 S = 2 | AB‖AD | sináAB, AD = AB AD ,所以 B 正确;
2
uur uuur uur uuur uur uuur
对于 C 中,因为OA = 2,0 ,OB = -1, 3 ,可知OA ×OB = -2, OA = OB = 2,
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
则 cos OA,OB = u
OuurA ×OuuBur 1= - ,且OA,OB 0, π


OA ,可得 OA,OB = ,× OB 2 3
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以 OA OB = OA × OB sin OA,OB = 2 3 ,故 C 正确;
D ar
r 3 r r r r r r r r
对于 中,因为 b = a ×b = 3 ,即 a b sin ar,b 3= a b cos ar,b = 3 ,
3 3
r r r r r
可得 tan ar,b 3= ,可知 a,b 0, π ar,b π,可得 = , ar b = 2 3,
3 6
r r r r r r
则 | a + 2b |2 =| ar |2 4ar r r+ ×b + 4 | b |2 =12+ | a |2 +4 | b |2 12 + 4 | a || b |=12 + 8 3,
r r r r
所以 a + 2b 12 + 8 3 = 2 3+ 2 3 ,当且仅当 a = 2 b 时,等号成立,所以 D 正确,
故选:BCD.
r r r r r r
【变式 1-2】(2024·高三·黑龙江哈尔滨·期中)已知两个非零向量 a 与b ,定义 a b = a × b ×sinq ,其中q
r r r r r r
为 a 与b 的夹角,若 a = (-2,3),b = (1,1) ,则 a b 的值为( )
A.5 B.7 C.2 D. 26
【答案】A
r r r r
【解析】因为 a = (-2,3),b = (1,1) ,则 | a |= 13,| b |= 2,
r r
a ×b = -2 1+ 3 1 =1,
r r r r
cos a,b ra ×br 1 1则 = = = ,
| a | × | b | 13 × 2 26
又q [0, π],则 sinq 1 5= 1- cos2 q = 1- = ,
26 26
r
则 | a
r b | 5 = 13 2 = 5 .
26
故选:A
r r r r r r r r r r r
【变式 1-3】定义: a b = a b sinq ,其中q 为向量 a ,b 的夹角,若 a = 2, b = 5, a + b × a = -2,则
r r
a b = ( )
A.6 B.-6 C.-8 D.8
【答案】D
r r r r 2 r r【解析】∵ a + b a r r× = -2 ∴ 2 r, a + a ×b = -2,即 a + a b cosq = -2,
3
∴ 22 + 2 5 cosq = -2,∴ cosq = - ,5
∵ 0 q 4 π,∴ sinq = 5 ,
r r r r
∴ a b = a b sinq = 2 5
4
= 8 .
5
故选:D.
题型二:斜坐标系
【典例 2-1】(2024·云南昆明·模拟预测)向量的广义坐标是用于描述向量或系统状态的一组数值,其选择
取决于问题的特定背景和需求.在物理学、工程学、计算机图形学等领域,广义坐标被广泛应用.比如,
物理学中的振动系统可能采用角度作为广义坐标,而工程学中的结构分析可能使用特定坐标系来简化问
题.通过选择适当的广义坐标,可以更自然地描述问题,简化数学表达,提高问题的可解性,并使模型更
ur uur
符合实际场景.已知向量 e1 , e2 是平面a 内的一组基向量,O 为a 内的定点.对于a 内任意一点 P,若
uuur ur uur
OP = xe1 + ye2 x, y R ,则称有序实数对 x, y 为点 P 的广义坐标.若点 A,B 的广义坐标分别为 x1, y1 ,
x2, y 2 ,关于下列命题正确的( )
A.点M 1,2 关于点 O 的对称点不一定为M -1,-2
B 2 2.A,B 两点间的距离为 x1 - x2 + y1 - y2
uuur uuur
C.若向量OA平行于向量OB ,则 x1 y2 - x2 y1的值不一定为 0
x1 + x2 , y1 + y D.若线段 AB 的中点为 C,则点 C 的广义坐标为 2 2 2 ÷è
【答案】D
uuuur ur uur
【解析】对于 A,OM = e1 + 2e2 ,设M 1,2 关于点O的对称点为M x, y ,则
uuuuur uuuur ur uur ur uur
OM = -OM = -e1 - 2e2 = xe1 + ye2 ,
ur uur ì x = -1
因为 e1 , e2 不共线,所以 íy ,A 错误; = -2
uuur uuur uuur ur uur ur uur ur uur
对于 B,因为 AB = OB - OA = x2 e1 + y2 e2 - x1e1 - y1e2 = x2 - x1 e1 + y2 - y1 e2 ,
uuur ur uur 2 ur2 ur uur uur2
所以 AB = é x2 - x1 e1 + y2 - y e ù = x - x
2 2
1 2 2 1 e1 + 2 x2 - x1 y2 - y1 e1 ×e2 + y2 - y1 e2 ,
ur uur 2 2
当向量 e1 , e2 是相互垂直的单位向量时,A , B 两点间的距离为 x1 - x2 + y1 - y2 ,否则距离不为
x1 - x
2
2 + y1 - y
2
2 ,B 错误;
uuur uuur r
对于 C,当OA与OB 中至少一个是0 时,结论成立;
uuur uuur r uuur uuur ur uur ur uur ìx1 = x2
当OA与OB 都不为0 时,设OA = OB( 0),有 x1e1 + y1e2 = x2 e1 + y2 e2 ,即 íy ,所以 1 = y2
x1y2 = x2 y1,C 错误;
uuur 1 uuur uuur 1 ur uur ur uurOC OA OB x e y e x e x1 + x ur y + y uur对于 D, = + = + + 2 1 22 2 1 1 1 2 2 1 + y2 e2 = e1 + e2 ,2 2
x + x y + y
所以线段 AB 中点C 的广义坐标为 1 2 1 2 , ÷,D 正确
è 2 2
故选:D
【典例 2-2】(2024·吉林长春·模拟预测)互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,但如果
平面坐标系中两条坐标轴不垂直,则这样的坐标系称为“斜坐标系”.如图,在斜坐标系中,过点 P 作两坐
标轴的平行线,其在 x 轴和 y 轴上的截距 a,b 分别作为点 P 的 x 坐标和 y 坐标,记 P a,b ,则在 x 轴正方
向和 y 轴正方向的夹角为q 的斜坐标系中,下列选项错误的是( )
A.当q = 60°时 A 1,2 与B 3,4 距离为 2 3
B.点 A 1,2 关于原点的对称点为 A -1, -2
r r
C.向量 a = x1, y1 与 b = x2 , y2 平行的充要条件是 y1x2 = y2x1
D.点 A 1,2 到直线 x + y -1= 0的距离为 2
【答案】D
ur uur
【解析】设 x 轴正方向的单位向量为 e1 , y 轴正方向的单位向量为 e2 ,
ur uur ur uur
对于 A 1 1选项:由已知得 e1,e2 = 60°,所以 e1 × e2 = 1 1 =2 2 .
uuur ur uur uuur ur uur
由 A 1,2 , B 3,4 及斜坐标的定义可知OA = e1 + 2e2 ,OB = 3e1 + 4e2 ,
uuur uuur uuur ur uur ur uur 2 ur2 ur uur uurAB OB OA 2 e e 2 e e 2= - = 1 + 2 = 1 + 2 = 2 e1 + 2e1 ×e2 + e2 = 2 1+1+1 = 2 3,
故 A 选项正确;
uuur ur uur
对于 B 选项:根据“斜坐标系”的定义可知:点 A 1,2 ,则OA = e1 + 2e2 ,设 A 1,2 关于原点的对称点为
uuur uuur ur uur ur uur
A x, y ,则OA ' = -OA = -e1 - 2e2 = xe1 + ye2 ,
ur uur ì x = -1
由于 e1,e2 不共线,所以 í
y = -2

故 B 选项正确;
r ur uur r ur uur
对于 C 选项: a = x1e1 + y1e2 ,b = x2 e1 + y2 e2 ,
r r r
若 a是零向量,则 a//b 成立,同时 x1 = y1 = 0,所以 x1y2 = x2 y1成立,
r r
此时 a//b x1 y2 = x2 y1 ;
r r r r r ur uur ur uur ìx2 = x1
若 a是非零向量,则 a//b 存在非零常数 ,使b = a x2 e1 + y2 e2 = x1e1 + y1e2 í
y1 = y2
r r
x2 y1 = x1 y2 y1x2 = y2x1 ,所以 a//b x1 y2 = x2 y1 .
故 C 选项正确;
uuur ur uur
对于 D 选项:设直线 x + y -1= 0上的动点为P x, y ,OP = xe1 + ye2 ,
因为 x + y -1= 0,所以 x + y =1,
uuur ur uuur uur
设OC = e1,OD = e2 ,则点P x, y 在直线CD 上,
所以直线 x + y -1= 0过点C 1,0 , D 0,1 ,
uuur ur uur uuur uuur uuur uur
因为OA = e1 + 2e2 ,则 AC = OC - OA = 2 e2 = 2 ,
uuur uuur uuur ur uur ur uur 2
AD = OD - OA = e1 + e2 = e1 + e2 = 3 ,
uuur uuur uuur uuur uuur
由于 OC = OD =1, OC,OD = 60°,所以 CD =1 .
uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur uuur
所以 AD + CD = AC ,所以 AD ^ CD ,
uuur
所以点 A 到直线 x + y -1= 0的距离为 AD = 3 ,
故 D 选项错误.
故选:D
p ur uur
【变式 2-1】如图所示,设 Ox,Oy 是平面内相交成q q ÷角的两条数轴, e1,e2 分别是与 x,y 轴正方向è 2
uuuur ur uur
同向的单位向量,则称平面坐标系 xOy 为q 斜坐标系,若OM = xe1 + ye2 ,则把有序数对 x, y 叫做向量
uuuur uuuur
p ar
1 3 r
OM 的斜坐标,记为OM = x, y .在q = 的斜坐标系中, = , ÷÷ ,b =4 2 2 3, -1 ﹒则下列结论中,错è
误的是( )
r r 1 3 r
① a - b = - 3, +1÷÷;② a
r
=1 r r r;③ a ^ b ;④ b 在 a上的投影为- 2
è 2 2
A.②③ B.②④ C.③④ D.②③④
【答案】D
r r 1 ur 3 uur ur uur①. a b ( e e ) ( 3e e ) (1
ur uur
【解析】对于 - = 1 + 2 - 1 - 2 = - 3)e1 + (
3 +1)e
2 2 2 2 2

r r 1 3
所以 a - b = - 3, +1 ,故①正确;
è 2 2 ÷
÷

r 1 ur 3 uur 1 ur2 1 3 ur uur uur
对于②. a ( e e )2 e 2 e e 3
2 3 p 6
= 1 + 2 = 1 + 1 × 2 + e2 = 1+ cos = 1+ >1 ,故②错误;2 2 4 2 2 4 2 4 4
r r ur uur ur uur uur uur
对于③. a ×b = (1 e 31 + e2 ) × ( 3e1 - e )
3 3
2 = - + e2 ×e
2
2 = 0 + 0,故③错误;2 2 2 2 2
2
r r r r
对于④. b 在 a上的投影为 ar×b = 2r > 0 ,故④错误.
a a
故选:D
π ur uur
【变式 2-2】如图,设Ox Oy q q , 是平面内夹角为 ÷的两条数轴, e , e 分别是与 x 轴、 y1 2 轴正方向è 2
uuur ur uur
同向的单位向量.若向量OA = xe1 + ye2 ,则有序数对 x, y 叫做点A 在坐标系Oxy 中的坐标.在该坐标系下,
A x1, y1 ,B x2 , y2 ,C x3 , y3 为不共线的三点,下列结论错误的是( )
x + x y + y x + x + x y + y + y
A.线段 AB 中点的坐标为 1 2 ,1 2 ÷ B. ABC
1 2 3
重心的坐标为 ,
1 2 3
è 2 2 ÷ è 3 3
C.A , B 两点的距离为 x - x 21 2 + y1 - y2 2 D.若 x1y2 = x2 y1,则O,A , B 三点共线
【答案】C
uuur ur uur uuur ur uur uuur ur uur
【解析】根据题意,OA = x1e1 + y1e2 ,OB = x2 e1 + y2 e2 ,OC = x3 e1 + y3 e2 ,
uuuur uuur uuur ur uur ur uur ur uur
对于 A,设 AB 的中点为M OM
1 (OA OB) 1 (x e y e x x1 + x2 y1 + y,则 = + = + + 22 2 1 1 1 2 2
e1 + y2 e2 ) = e2 1
+ e
2 2 ,
x + x y + y
故线段 AB 中点的坐标为 1 2 , 1 2 ÷,故 A 正确.
è 2 2
uuur uuur uuur uuur 2 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur
对于 B,设 ABC 重心为G ,则OG = OA + AG = OA + (AB + AC) = OA + (AB + AC)3 2 3
uuur 1 uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur urOA (OB OA OC OA) (OA OB OC) x1 + x2 + x3 e y1 + y + y
uur
= + - + - = + + = + 2 3 e
3 3 3 1 3 2 ,
x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y3
故 ABC 重心的坐标为 , ÷,故 B 正确;
è 3 3
uuur uuur uuur ur uur ur uur ur uur对于 C, AB = OB - OA = x2 e1 + y2 e2 - x1e1 + y1e2 = x2 - x1 e1 + y2 - y1 e2 ,
uuur ur uur 2
所以 AB = é x2 - x ù1 e1 + y2 - y e1 2
2 ur2 2 uur2 ur uur= x2 - x1 e1 + y2 - y1 e2 +2 x2 - x1 y2 - y1 e1 ×e2
2 ur 2 uur 2 ur uur= x2 - x1 e1 + y - y
2
2 1 e2 +2 x2 - x1 y2 - y1 e1 × e2 cosq
= x - x 2 121 2 + y1 - y
2 2
2 1 +2 x1 - x2 y1 - y2 1 1 cosq
= x1 - x
2
2 + y1 - y2
2 +2 x1 - x2 y1 - y2 cosq
即该坐标系中 A x1, y1 ,B x2 , y2 两点间的距离为:
x1 - x2
2 + y1 - y2
2 +2 x1 - x2 y1 - y2 cosq ,故 C 错误;
uuur ur uur uuur ur uur
对于 D,OA = x1e1 + y1e2 ,OB = x2 e1 + y2 e2 ,
uuur uuur
若 x1 y2 = x2 y1 = 0,易得OA//OB ,则O、A 、 B 三点共线,
x1 y1 uuur uuur
若 x1 y2 = x2 y1 0,变形可得 = = t t 0 x y ,所以OA = tOB ,2 2
uuur uuur
所以OA//OB ,所以O、A 、 B 三点共线,
综合可得:若 x1y2 = x2 y1,则O,A , B 三点共线,故 D 正确.
故选:C.
题型三:向量新定义之新概念
【典例 3-1】(多选题)(2024·山东潍坊·三模)定义平面向量的一种运算“ Q ”如下:对任意的两个向量
r r r r
a = x1, y1 , b = x2 , y2 ,令 aQb = x1 y2 - x2 y1, x1x2 + y1 y2 ,下面说法一定正确的是( )
r r r r
A.对任意的 R ,有 a Qb = aQb
r r r r r r r
B.存在唯一确定的向量 e使得对于任意向量 a,都有 aQe = eQa = a 成立
r r r r r r r r
C.若 a与b 垂直,则 aQb Qc 与 aQ bQc 共线
r r r r r rD.若 a与b 共线,则 aQb Qc 与 aQ r rbQc 的模相等
【答案】AD
r r
【解析】设向量 a = x1, y1 , b = x2 , y2 ,对于 A,对任意的 R ,有
r r a Qb = x1, y1 Q x2 , y2 = x1 y2 - x2 y1, x1x2 + y1 y2
r r
= x1y2 - x2 y1, x1x2 + y1 y2 = aQb ,故 A 正确;
r r r r r r r
对于 B,假设存在唯一确定的向量 e = x0 , y0 使得对于任意向量 a,都有 aQe = eQa = a 成立,即
x1y0 - x0 y1, x1x0 + y1 y0 = x0 y1 - x1y0 , x0x1 + y0 y1 = x1, y1 恒成立,即方程组
ìx1y0 - x0 y1 = x0 y1 - x1 y0 = x1
í ,对任意 x , yx x y y y 1 1恒成立,而此方程组无解,故 B 不正确; 1 0 + 1 0 = 1
r r r
对于 C,若 a与b 垂直,则 x1x2 + y1 y2 = 0,设 c = x3 , y3 ,则
r raQb rQc = x1 y2 - x2 y1,0 Q x3 , y3 = x1 y2 y3 - x2 y1 y3 , x1 y2x3 - x2 y1x3 ,
r r r
aQ bQc = x1, y1 Q x2 y3 - x3 y2 , x2x3 + y2 y3
= x1x2x3 + x1y2 y3 - y1x2 y3 + y1x3 y2 , x1x2 y3 - x1 y2x3 + y1x2x3 + y1 y2 y3
= x1y2 y3 - y1x2 y3 , -x1y2x3 + y1x2x3 m x1y2 y3 - y1x2 y3 , x1 y2x3 - y1x2x3 ,其中m R ,故 C 不正确;
r r r
对于 D,若 a与b 共线,则 x1y2 - x2 y1=0,设 c = x3 , y3 ,
r raQb rQc= 0, x1x2 + y1 y2 Q x3 , y3 = -x1x2x3 - y1 y2x3 , x1x2 y3 + y1 y2 y3 ,
r r raQ bQc = x1x2x3 + x1y2 y3 - y1x2 y3 + y1 y2x3 , x1x2 y3 - x1 y2x3 + y1x2x3 + y1 y2 y3
r r r r r r
= x1x2x3 + y1 y2x3 , x1x2 y3 + y1 y2 y3 ,所以 aQb Qc 与 aQ bQc 的模相等,故 D 正确.
故选:AD.
uuuur uuuur
【典例 3-2】(多选题)设 A1、A2、A3、A4 是平面直角坐标系中相异的四点,若 A1A3 = A1A2 ( R) ,
uuuur uuur 1 1
A A = m A A (m R) ,且 + = 21 4 1 ,则称 A , A2 m 3 4 调和分割
A1, A2 ,已知平面上的点 C,D 调和分割点 A,B,
则下面说法正确的是( )
A.A、B、C、D 四点共线
B.D 可能是线段 AB 的中点
C.C、D 可能同时在线段 AB 上
D.C、D 不可能同时在线段 AB 的延长线上
【答案】AD
uuuur uuuur uuuur uuur
【解析】∵ A1A3 = A1A2 ( R) , A1A4 = m A1A2 (m R)
∴ A1A3 //A1A2 , A1A4 //A1A2
∴ A1、 A2、 A3 、 A4 四点共线
∵平面上的点 C,D 调和分割点 A,B
∴A、B、C、D 四点共线,故 A 正确;
由题意可设 A 0,0 、B 1,0 、C c,0 、D d ,0 ,则 c,0 = 1,0 , d ,0 = m 1,0 .
∴ = c,m = d
1 1
∵ + = 2 m
1 1
∴ + = 2
c d
1 1 1
对于 B,若 D 是线段 AB 的中点,则 d = ,代入到 + = 2,c不存在,故 B 错误;
2 c d
1 1
对于 C,若 C、D 同时在线段 AB 上,则0 c 1,0 d 1,代入到 + = 2,可得 c = d =1,此时 C、D
c d
重合,与题意不符,故 C 错误;
1 1 1 1
对于 D,若 C、D 同时在线段 AB 的延长线上,则 c >1,d >1,所以 + < 2,与 + = 2矛盾,故 C、
c d c d
D 不可能同时在线段 AB 的延长线上,故 D 正确.
故选:AD.
ìar
r r
r r r r ×b ,a
r
与b不共线,
【变式 3-1】设 a,b 为平面内的任意两个向量,定义一种向量运算“ ”: a b = í r r 对于同
a
r
- b , ar与b共线.
ar
r r
一平面内的向量 ,b ,cr, d ,给出下列结论:
r r r r rar b ar r① a b = b a ;② = b R ;
r r r r r ra b c a c b cr r r r r③ + = + ;④若 e 是单位向量,则 a e a +1.
以上所有正确结论的序号是 .
【答案】①④
r r r r r r
【解析】对于①,当 a与b 不共线时, ar b ar b b ar r= × = × = b a ;
r r r r r r r r r
当 ar与b 共线时, a b = a - b = b - a = b a ,①正确.
r r r r r r r r r r
对于②,当 a与b 共线时, a b = a - b , a b = a - b ,
r r r r
所以 a b 与 a b 不一定相等,②错误.
ar
r r r r r r r r r
对于③,当 ,b , c共线时, a + b cr ar b cr= + - , a c + b cr ar cr b cr = - + - ,
r r
所以 a + b cr r 与 ar cr + b cr 不一定相等,③错误.
r r r r r r r r r
对于④,当 ar与 e不共线时,记 a,e = q ,则 a e = a ×e = a cosq < a ;
r r r r r r r r
当 ar与 e共线时, a e = a - e a + e = a +1,④正确.
故答案为:①④
r r r r
r r
a ×b
【变式 3-2】(2024·河北邯郸·二模)对任意两个非零的平面向量 a 和b ,定义:a b = r 2 r 2 ,a + b
r r r r
a eb a ×b= r r r r r rr r r2 .若平面向量 a,b满足 a > b > 0 ì
n
,且 a b 和a e b都在集合 í | n Z,0 < n 4
ü
中,则
b 4
r r r r
a b + a e b = ( )
3 7 5
A.1 B. C.1 或 D.1 或
2 4 4
【答案】D
ìn
【解析】因为 í | n Z,0 n 4
ü ì1 1 3 < = í , , ,1
ü

4 4 2 4
r r r r r 2 r 2 r r
设向量 a 和b 的夹角为q ,因为 a > b > 0,所以 a + b > 2 a b ,
r r r r
r r ar ×b a b cosq a
r b cosq
a b r = cosq得到 = r r 2 = r r 2 r ,
+ b a 2 + b 2 a × b 2
q 0, π cosq 1又 ,所以 ,
2 2
r r ìn r r
又 a b 在集合 í | n Z,0 < n 4
ü cosq 1
中,所以 > ,即 cosq
1 1
> ,得到 a b = ,
4 2 4 2 4
r r r r
ar
r ar ×b a × b cosq a r r
又因为 eb = r 2 = r 2 = r cosq > cosq
1
>
2 ,所以 a eb
3
= 或1,
b b b 4
r r r r 5
所以a b + a e b = 1或 ,4
故选:D.
uuur uuur
【变式 3-3】(多选题)(2024·高三·山东青岛·期末)已知对任意平面向量 AB = x, y ,把 AB 绕其起点沿逆时
uuur
针方向旋转q 角得到向量 AP = xcosq - ysinq , xsinq + ycosq ,叫做把点 B 绕点 A 沿逆时针方向旋转q 角得
uuur uuur uuur
到点 P .已知平面内点 A 2,1 ,点B 2 + t,1- t , AB = 2 2 , AB ×OA > 0 ,点 B 绕点 A 沿逆时针方向旋转
π
角得到点 P ,则( )
3
uuur uuur
A. BP = 2 2 B. AB = -2,2
C. B 的坐标为 4, -1 D. P 的坐标为 3 + 3, 3
【答案】ACD
uuur
【解析】由题意可知点 A 2,1 ,点B 2 + t,1- t ,故 AB = t,-t ,
uuur
因为 AB = 2 2 ,故 t 2 + (-t)2 = 8,\t 2 = 4 ,
uuur uuur
又 AB ×OA > 0 ,即 t, -t × (2,1) > 0,\2t - t > 0,\t > 0,故 t = 2,
uuur
所以 AB = 2,-2 ,B 4, -1 ,故 B 错误,C 正确;
π
因为点 B 绕点 A 沿逆时针方向旋转 角得到点 P ,
3
uuur
所以 AP =

2cos
π 2sin π+ , 2sin π - 2cos π ÷ = (1+ 3, 3 -1) ,
è 3 3 3 3
则由 (1+ 3, 3 -1) + (2,1) = (3 + 3, 3) ,可得点 P 坐标为 (3 + 3, 3),故 D 正确;
uuur uuur
故BP = ( 3 -1, 3 +1),则 BP = ( 3 -1)2 + ( 3 +1)2 = 2 2 ,A 正确,
故选:ACD
题型四:向量新定义之新运算
【典例 4-1】(多选题)在实数集R 中,我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”.类似实数排序
的定义,我们定义“点序”,记为“ ”:已知M x1, y1 , N x2 , y2 ,M N ,当且仅当“ x1 > x2 ”或“ x1 = x2且
y1 > y2 ”.定义两点的“ ”与“ ”运算:M N = x1 + x2,y1 + y2 ,M N = x1x2 + y1 y2 .则下列说法正确
的是( )
A.若P 2025,2024 ,Q 2024,2025 ,则P Q
B.若P 2025,2024 ,Q x,y ,P Q,则 x 2025且 y 2024
C.若P Q,则对任意的点 T,都有P T Q T
D.若P Q,则对任意的点 T,都有P T > Q T
【答案】AC
【解析】选项 A:因为P 2025,2024 ,Q 2024,2025 ,所以 xP > xQ,
故由定义可知P Q,故 A 正确;
选项 B:根据定义可知,当 x = 2025时,有 y < 2024,
当 x < 2025时,y 与 2024 之间没有大小关系,故 B 错误;
选项 C:设P x1, y1 ,Q x2 , y2 ,T x3 , y3 ,则由P Q可得,“ x1 > x2 ”或“ x1 = x2且 y1 > y2 ”,
由定义得P T = x1 + x3 , y1 + y3 ,Q T = x2 + x3 , y2 + y3 ,
当 x1 > x2 时, x1 + x3 > x2 + x3,所以P T Q T ;
当 x1 = x2时,有 y1 > y2 ,此时 x1 + x3 = x2 + x3,且 y1 + y3 > y2 + y3,所以P T Q T ,故 C 正确;
选项 D:设P x1, y1 ,Q x2 , y2 ,取T 0,0 ,
则有P T = x1 0 + y1 0 = 0,Q T = x2 0 + y2 0 = 0,
显然P T > Q T 不成立,故 D 错误.
故选:AC
r r r r r r
【典例 4-2】定义空间两个向量的一种运算 a b = a × b sin a,b ,则关于空间向量上述运算的以下结论中
恒成立的有( )
A. r r r ra b = a b
r r r r r r
B. a b c = a b c
C. r r r r r r ra + b c = a c + b c
r r r r
D.若 a = x1, y1 , b = x2 , y2 ,则 a b = x1 y2 - x2 y1
【答案】D
r r r r r r
【解析】A. ( a) b = a b sin < a,b >,
r r r r r r r r r r r r
> 0时,< a,b >=< a,b >, ( a) b = a b sin < a,b >= (a b),
r r r r
= 0时, a b = 0, a b = 0,成立,
r r r r r r r r r r
< 0 时,< a,b >= p - < a,b > , sin < a,b >= sin(p - < a,b >) = sin < a,b >
r r r r r r r r
( a) b = - a b sin < a,b >= - (a b),
综上,A 不恒成立;
r r r r r
B. a b 是一个实数, a b c 无意义,B 不成立;
r r r r r
C.若 a = (0,1),b = (1,0), c = (1,1) ,则 a + b = (1,1) ,
r r r r r r r r r
< a + b,c >= 0, a + b c = a + b c sin 0 = 2 2 0 = 0,
r r r r
< a,c p>= ,< b,c p>= ,
4 4
r ra c + r rb c =1 2 sin p +1 2 sin p = 2 ,4 4
r r r r r r ra + b c a c + b c ,C 错误;
r r r r
D.若 a = x1, y1 , b = x2 , y 2 22 ,则 a = x1 + y1 , b = x22 + y22 ,
r r
cos a,b x x + y y< >= 1 2 1 2
x2 y2 x2 y2 ,1 + 1 2 + 2
r r r r
2 (x x + y y )2 x y - x ysin < a,b >= 1- cos < a,b > = 1- 1 2 1 2 1 2 2 1
(x2 2
=
1 + y1 )(x
2 2 ,2 2 2 2
2 + y2 ) (x1 + y1 )(x2 + y2 )
r r r r r r
所以 a b = a b sin < a,b >= x1 y2 - x2 y1 ,成立.
故选:D.
【变式 4-1】设向量m
r
= a,b ,向量 nr = c,d v v,规定两向量 m,n 之间的一个运算“ Θ ”的结果为向量mΘ n
a b r v v r r= - , ad + bc -1÷), 若已知向量 q = 1,2 ,且向量 pΘ q 与向量u = 1,-2 共线又与向量 v = 1,1 垂直,
è c d
ur
则向量 p 的坐标为( )
1
A.( ,
1 1 1
) B.( , )
2 4 4 2
1
C.(- ,
1 1 1
) D.(- , )
2 4 4 2
【答案】B
ur
【解析】解析:设 p = x, y v,依题意得: pΘ qv = x
y
- , 2x + y -1
2 ֏
ì -2x + y = 2x + y -1 ìx
1
=

由题意可得 4í y ,解得x í - + 2x + y -1 = 0 2 y
1
=
2
ur 1 1
故 p =

,4 2 ֏
故选:B.
r r r r r r r r
【变式 4-2】设向量 a 与b 的夹角为q ,定义 a b = asinq + bcosq .已知向量 a 为单位向量, b = 2 ,
r r r r
a - b =1,则 a b =( )
A 2 B C 10. . 2 . D. 2 3
2 2
【答案】C
r r r 2 r r r2
【解析】由题意得 a - b = a - 2a ×b + b = 12 - 2 1 2cosq + ( 2)2 =1,
2
解得 cosq = ,
2
2
又q 0, π 2 2,所以 sinq = 1- 2 ÷÷ = ,è 2
r r 2 r 2 ra b a b 1
r 2 r r 1 r2
所以 = + = a + a ×b + b = 1 1 1 2 10+ + = .2 2 2 2 2 2 2
故选:C
r r r r r r r r r r
【变式 4-3】设向量 a与b 的夹角为q ,定义 a b = a sinq - b cosq ,已知 a = 2 , b = a - b =1,则
r r
a b =( )
A 2. B. 2 C
3
. D. 3
2 2
【答案】A
r r r r r r r r r r
Q a = 2 b = a - b =1 2 2【解析】 , ,\ a - b = a + 2a ×b + b =1,
r r r r 2
得 a ×b = a b cosq = -1 cosq = - , Qq 0, π ,
2
2
r r 2 r 2 r
\sinq 1 2 2= - - ÷ = ,\a b = a + b ÷
è 2 2 2 2
1 r 2 r r 1 r2
= a 1 1 2+ a ×b + b = 2 -1+ = .
2 2 2 2 2
故选:A
r r r
【变式 4-4】定义向量一种运算“ ”如下:对任意的 a = (m, n),b = ( p, q),令 ar b = mq - np ,下面错误
的是( )
r r r rA.若 a与b 共线,则 a b = 0
B (ar
r r r r r
. b)2 + (a ×b)2 =| a |2 × | b |2
r r
C r r.对任意的 R ,有 ( a) b = (a b)
r r rD. a b = b ar
【答案】D
r r
【解析】对于 A,因为若 a与b 共线,则mq = np,
r
所以 ar b = mq - np = 0 ,故 A 正确;
r r r
对于 B, a b = mq np ar- , ×b = mp + nq,
r r r(a b)2 r 2 2+ (a ×b)2 = mq - np + mp + nq = mq 2 + np 2 - 2mnqp + mp 2 + nq 2 + 2mnqp,
r
= m2 q2 + p2 + n2 q2 + p2 = m2 + n2 q2 + p2 = ar |2 × b |2 ,故 B 正确;
r r
对于 C r,因为 ( a) b = mq - np = (ar b),故 C 正确;
r r r r
对于 D,因为 a b = mq - np ,b a = pn - qm,不相等,故 D 错误;
故选:D.
r r r
r r r r a sin a,b ur r
【变式 4-5】对任意量给非零向量 a,b ,定义新运算: a b = r .已知非零向量m , n满足
b
ur r ur r ur r r ur ur r
m > 3 n q π π ,且向量m , n的夹角 , ÷,若 4 m n 和 4 n m 都是整数,则m n的值可能是( )
è 4 2
A.2 B.3 C
17
.4 D.
4
【答案】B
r r
r ur n sinq
n k
ur r n 1
【解析】由题意可得 m = ur = k Z .因为 m > 3 n > 0,所以0 < ur < .
m 4 m 3
r
π π 2 n
因为q , ÷,所以 < sinq <1,所以0 < ur sinq
1
< k 1,即0 < < ,
è 4 2 2 m 3 4 3
解得0 < k
4
< .因为 k Z,所以 k =1,
3
r ur
r ur n sinq m
所以 n m = ur
1
= ,则 r = 4sinq ,
m 4 n
r ur
n 1 1 3 ur r m sinq
则 ur
9
= < ,得 < sinq <1,故m n = r = 4sin2 q
m 4sinq 3 4 n
, 4 ,
è 4 ÷
符合该条件的是 3,
故选:B
题型五:向量新定义之新性质
*
【典例 5-1】我们称 n n N 元有序实数组 x1, x2 ,L, xn 为 n维向量, x1 + x2 +L+ xn 为该向量的范数.已
r
知 n
r
维向量 a = x1, x2 ,L, xn ,其中 xi -1,0,1 i =1,2,Ln ,记范数为奇数的 a 的个数为 An ,则 A3 = ;
A2n = (用含 n的式子表示, n N* ).
32n -1
【答案】 14
2
【解析】当n = 3时,范数为奇数,则 xi = 0 的个数为偶数,即 0的个数为 0、 2,
A = C0 ×23 + C2 × 23-2根据乘法原理和加法原理得到 3 3 3 =14 .
r
在 2n维向量 a = x1, x2 ,L, x2n 中,范数为奇数,则 xi = 0 的个数为奇数,
即 0的个数为1、3、5、L、 2n -1,
1 2n-1 3
根据乘法原理和加法原理得到 A2n = C2n × 2 + C2n ×2
2n-3 +L+ C2n-12n ×2,
32n = 2 +1 2n = C0 ×22n + C1 × 22n-1 +L+ C2n-1 2n2n 2n 2n ×2 + C2n ,
1 = 2 -1 2n = C02n × 22n - C1 2n-1 2n-1 2n2n × 2 +L- C2n × 2 + C2n ,
两式相减得到 A = 3
2n -1
2n 2 .
2n
故答案为:14 3 -1; .
2
ur ur ur r
ur r
a × b r r
【典例 5-2】对任意两个非零的平面向量a 和 b ,定义a o b = r r
r r r
.若平面向量 a 、b 满足 a b > 0, a
b × b
r π r r r r ìn ü r r r r
与b 的夹角q 0, ÷,且a o b 和b o a 都在集合 í n Z4 中,则 a ob + b o a =( ).è 2
3 5
A. B. 2 C. D.3
2 2
【答案】B
ìn ü ì r r r
【解析】首先观察集合 í n Z = í×××,-1,
1 ,0, 1 ,1, 3- , 2, × × ×ü r ,从而分析a o b 和b o a 的范围如下:
2 2 2 2
r r r r
q 0, π 2
r r b ×a b r r b
因为 ÷,所以, < cosq <1,而b o a = r r = r cosq ,且 a b > 0,可得0 < r cosq <1,
è 4 2 a ×a a a
r r
r b b
b o ar ìn n Zü r cosq 1 r 1又因为 í ,所以, = ,从而 = ,
2 a 2 a 2cosq
r r r r
r
a
a ob ar ×b= r = r cosq = 2cos2所以, q ,
b ×b b
1 2 r r r r ìn ü
又因为 < cos q <1,所以
2 1< a ob < 2
.且 a ob也在集合 í n Z 中,
2
r r 3 r r r r
故有 a ob = ,因此, a ob + b o a
3 1
= + = 2 .
2 2 2
故选:B.
ur uur uur uur uur uur
【变式 5-1】(2024·浙江绍兴·模拟预测)定义两个向量组 X = x1, x2 , x3 ,Y = y1, y2 , y3 的运算
ur uur uur uur uur uur ur uur ur ur uur uur uur uur uur ur uur ur
X ×Y = x1 × y1 + x2 × y2 + x3 × y3 ,设 e1,e2 ,e3 为单位向量,向量组 X = x1, x2 , x3 ,Y = y1, y2 , y3 分别为 e1,e2 ,e3
的一个排列,则 X ×Y 的最小值为 .
3
【答案】- / -1.5
2
ur uur ur
【解析】当 xi = yi = ei 且 i =1,2,3时, X ×Y = 3;
ur uur ur uur uur uur uur ur uur ur ur ur
当 x
2
1 = y1 = e1 且 x2 y2 、 x3 y3 时,则 X ×Y = e + 2e ×e 1- 2 = -1,当且仅当 áe2 ,e3 = p1 2 3 时等号成立;
uur uur uur ur uur uur uur uur uur ur ur uur uur uur
同理 x2 = y2 = e2 且 x1 y1 、 x3 y3 或 x3 = y3 = e3 且 x1 y1 、 x2 y2 时, X ×Y 的最小值也为 -1;
ur uur ur uur uur ur ur ur uur ur ur ur ur ur ur ur ur
当 xi yi ,i = 1,2,3时,则 X ×Y = e1 ×e2 + e2 ×e3 + e1 ×e3 = e2 × e1 + e3 + e1 ×e3 e1 ×e3 - | e1 + e3 |,
ur ur 2 ur ur ur ur ur ur 2
由 e1 + e3 = 2 + 2e1 × e3 ,设 t = e
t - 2
1 + e3 ,0 t 2,则 e1 ×e3 = ,2
ur ur ur ur 1 2
所以 e1 ×e3 - | e1 + e3 |= t - t -1
3
- ,当 t =1时等号成立.
2 2
3
综上, X ×Y 的最小值为- .
2
3
故答案为:- .
2
【变式 5-2】我们知道,在平面内取定单位正交基底建立坐标系后,任意一个平面向量,都可以用二元有
序实数对 a1, a2 表示.平面向量又称为二维向量.一般地,n 元有序实数组 a1, a2 , L, an 称为 n 维向量,
它是二维向量的推广.类似二维向量,对于 n 维向量,也可定义两个向量的数量积、向量的长度(模)等:
r r r r
设 a = a1, a2 , L, an , b = b1, b2 , L, bn ,则 a × b = a1, a2 , L, an × b1, b2 , L, bn = a1b1 + a2b2 +L+ anbn ;
r
a = a2 + a2 2
r r
1 2 +L+an .已知向量 a = a1, a2 , L, an 满足 an =n ,向量b = b1, b2 , L, bn 满足bn =2n .
r r
(1)求 a × b的值;
r a r
(2)若 c = c , c , L, c c =ln n+11 2 n ,其中 n a ,当 n 2且 n N
* 时,证明: c n> .
n 2n + 4
r r 2 n
【解析】(1)依题, a = 1, 2, L, n ,b = 2, 2 , L, 2 ,
ar
r
×b =1 2 + 2 22则 + 3 23 +L+ n -1 ×2n-1 + n × 2n ①
2ar
r
×b =1 22 + 2 23 + 3 24 +L+ n -1 ×2n + n × 2n+1 ②
r r
①-②,得- a ×b = 2 + 22 + 23 +L+ 2n - n × 2n+1
r r 2 1- 2n 即- a ×b = - n ×2n+1 = - n -1 × 2n+1 - 2
1- 2
ar
r
所以 ×b = n -1 ×2n+1 + 2 .
r n +1 1
(2)因为 c = c1, c2 , L, cn , cn = ln ÷ = ln 1+ ,
è n è n ÷
所以 cr = ln2 1 1 1 1+ + ln
2 1+ 2
1÷ 2 ÷
+L+ ln 1+ ÷ ,
è è è n
1 1
先证: ln 1+ ÷ > , * ,
è n n +1
n N
设 f x = ln x +1 x- , x > 0,则 f x
1 1 x
= - 2 = > 0
x +1 x +1 x +1 x +1 2 ,
所以 f x 在 0, + 1 上单调递增,即当 n N* 时, f ÷ > f 0 = 0,
è n
1
1 n 1 1
即 ln 1+ - = ln 1+ - > 0 ,
è n ÷ ÷ 1 1+ è n n +1
n
ln 1 1故 1+ ÷ > , n N* .
è n n +1
1 1 1 1
因为 > = - n +1 2 n +1 n + 2 n +1 n + 2 ,
所以 ln
2 1 1+ + ln2 1 1 1 1 1 1 ÷ +

÷ +L+ ln
2
1+

÷ > 2 + +L+è 1 è 2 è n 2 32 n +1 2
1 1 1 1 L 1 1 1 1 n > - ÷ + - ÷ + + - ÷ = - = ,
è 2 3 è 3 4 è n +1 n + 2 2 n + 2 2n + 4
cr n\ > .
2n + 4
r n
综上可得,当 n 2且 n N* 时, c > .
2n + 4
r r r
【变式 5-3】设向量 a = x1, y1 ,b = x r2 , y2 ,当 x1 x2,且 y1 > y2 时,则记作 a b ;当 x1 < x2,且
y y ar
r
1 2 时,则记作 = b ,有下面四个结论:
r r
①若 a = 2,4 r,b = 3,5 ar,则 = b ;
r
② r mar
r
若 a b 且 b ,则m ;
r r r r r
③若 ar b ,则对于任意向量 c
r
,都有 a + c b + c ;
r r r
④ ar若 = b ,则对于任意向量 c r r r,都有 a ×c b ×c ;
其中所有正确结论的序号为( )
A.①②③ B.②③④ C.①③ D.①④
【答案】C
r r ì2 < 3 r r
【解析】对于①:若 a = 2,4 ,b = 3,5 ,则 í4 5,所以 a = b ,故①正确;
r r r
对于② r:取 a = 1,1 ,b = -1,-1 , m = -1, = 2,满足 a b ,
r r
则ma
r
= -1, -1 , b = -2, -2 mar,满足 b ,但m < ,故②错误;
③ ar
r
对于 :若 b ,则 x1 x2,且 y1 > y2 ,
r r
设 c = x0 , y
r r
0 ,则 a + c = x1 + x0 , y1 + y0 ,b + c
r
= x2 + x0 , y2 + y0 ,
ìx1 + x0 x2 + x0 r
可知 í ,所以 ar + cr b + cry y y y ,故③正确; 1 + 0 > 2 + 0
r r
对于④:取 a = -2, -2 ,b r= c = r-1,-1 ,可知 ar b ,
r r r ra ×c = 4,b ×c = 2 ar
r r r
但 ,即 ×c > b ×c ,故④错误;
故选:C.
题型六:复数新定义
r
【典例 6-1】已知平面直角坐标系 xOy 中向量的旋转和复数有关,对于任意向量 x = a,b ,对应复数
r
z = a + bi ,向量 x 逆时针旋转一个角度q ,得到复数 z = a + bi cosq + isinq = acosq -
ur
bsinq + i asinq + bcosq ,于是对应向量 x = a cosq - bsinq ,a sinq + b cosq .这就是向量的旋转公式.已
知正三角形 ABC 的两个顶点坐标是 A 1, 4 , B 3, 2 ,根据此公式,求得点C 的坐标是 .(任写一个即可)
【答案】 (2 + 3,3+ 3) (答案不唯一)
uuur uuur
【解析】设点C 的坐标为 x0 , y0 ,点 A 1, 4 , B 3, 2 ,则 AB = 2, -2 , AC = x0 -1, y0 - 4 ,
uuur
从而 AB 对应的复数为 z = 2 - 2i ,
uuur uuur uuur
若 AC 由 AB 逆时针旋转60°得到, AC 对应的复数为 z = 2 - 2i cos60° + isin60° = 3 +1+ 3 -1 i,
uuur
因此 AC = x0 -1, y0 - 4 = 3 +1, 3 -1 ,解得 x0 = 2 + 3, y0 = 3+ 3 ,
则C 的坐标是 2 + 3,3+ 3 ;
uuur uuur uuur
若 AC 由 AB 逆时针旋转300°得到, AC 对应的复数为 z = 2 - 2i cos300° + isin300° =1- 3 - (1+ 3)i ,
uuur
因此 AC = (x0 -1, y0 - 4) = (1- 3, -1- 3) ,解得 x0 = 2 - 3, y0 = 3- 3 ,
则点C 的坐标是 2 - 3,3 - 3 .
故答案为: (2 + 3,3+ 3) (或 (2 - 3,3 - 3))
【典例 6-2】(2024· 浙江·模拟预测)已知平面直角坐标系 xOy 中向量的旋转和复数有关,对于任意向量 x
=(a,b),对应复数 z=a+ib,向量 x 逆时针旋转一个角度q ,得到复数
z ' = (a + ib)(cosq + i sinq ) = a cosq - bsinq + i(a sinq + b cosq ),于是对应向量

x ' = (a cosq - bsinq ,a sinq + b cosq ) .这就是向量的旋转公式.根据此公式,已知正三角形 ABC 的两个顶点坐
标是 A(1,2),B(3,4),则 C 的坐标是 .(任写一个即可)
【答案】 (2 - 3,3 + 3) (答案不唯一)

【解析】不妨设C 的坐标为 (x0 , y0 ),且 AC 是 AB 逆时针旋转60
o 得到,

因为 A(1,2),B(3,4),所以 AB = (2, 2), AC = (x ,0 -1, y0 - 2)

从而 AB 对应的复数为 z = 2 + 2i ,

AC 对应的复数为 z
' = (2 + 2i)(cos 60o + i sin 60o ) =1- 3 + (1+ 3)i ,

所以 AC = (x0 -1, y0 - 2) = (1- 3,1+ 3) ,解得 x0 = 2 - 3 , y0 = 3 + 3 ,
故 C 的坐标是 (2 - 3,3 + 3) .
故答案为: (2 - 3,3 + 3) .
【变式 6-1】(多选题)(2024·河北沧州·一模)在复数城内,大小成为了没有意义的量,那么我们能否赋予
它一个定义呢,在实数域内,我们通常用绝对值来描述大小,而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝
对值,于是,我们只需定义复数的正负即可,我们规定复数的“长度”即为模长,规定在复平面 x 轴上方的
复数为正,在 x 轴下方的复数为负,在 x 轴上的复数即为实数大小.“大小”用符号+“长度”表示,我们用
[z]来表示复数的“大小”,例如:[1+ 2i] = 5 ,[1- 2i] = - 5 ,[1] = 1,[-3] = -3,[-1- 2i] = - 5 ,则下列
说法正确的是( )
A.[z] =1在复平面内表示一个圆
B.若 z C,则方程[z]2 = -1无解
C.若 z1, z2 为虚数,且 z1 = z2 ,则 z1 + z2 = 0
D.复平面内,复数 z 对应的点在直线 y = -x + 4上,则 | [z] |最小值为 2 2
【答案】BCD
【解析】根据已知条件[z] =1表示模长为1,在复平面位于 x 轴上方的复数,
所以并不是一个圆,A 错误;
若 z C,则方程[z]为一个实数,所以[z]2 = -1无解,B 正确;
若 z1, z2 为虚数,且 z1 = z2 ,设 z1 = bi ,则 z2 = -bi, z1 = b, z2 = -b,
所以 z1 + z2 = 0,C 正确;
复数 z 对应的点在直线 y = -x + 4上,则 | [z] |最小值为:
4
点O 0,0 到直线 y = -x + 4的距离,所以 | [z] |最小值为: = 2 2 ,D 正确.
2
故选:BCD
【变式 6-2】(多选题)(2024·全国·三模)一般地,对于复数 z = a + bi (i 为虚数单位,a,b R ),在平面
uuur
直角坐标系中,设 z = OZ = r r 0 ,经过点Z 的终边的对应角为q ,则根据三角函数的定义可知
a = r cosq ,b = r sinq ,因此 z = r cosq + i sinq ,我们称此种形式为复数的三角形式,r 称为复数 z 的模,
q 称为复数 z 的辐角.为使所研究的问题有唯一的结果,我们规定,适合0 q < 2π 的辐角q 的值叫做辐角的
主值.已知复数 z 满足 z -1 r , r 0,1 ,Re z 为 z 的实部,q 为 z 的辐角的主值,则( )
A. z - 2024i 的最大值为 r + 2025
B. z - 2024i 的最小值为 2025 - r
C. cosq 1- r 2
Re 1 1D. ÷ 1- r
2
è z Re z
【答案】ABD
【解析】因为 z -1 r , r 0,1 , 复数 z 在复平面的对应的点为Z ,
所以点 Z 在以 1,0 为圆心、以 r 为半径的圆上或圆内.
对于选项 A,B,由复数的几何意义可得 z - 2024i 表示点 Z 与 0, 2024 的距离,
又点 0, 2024 到点 1,0 的距离为 2025 ,
所以 z - 2024i 的最大值为 r + 2025 ,A 正确,
z - 2024i 的最小值为 2025 - r ,B 正确,
对于 C,过点O作以C 1,0 为圆心, r 为半径的圆的切线,设切点为 A, B,
设 AOC = q0 ,则0 q q0 或 2π -q0 q < 2π,
所以 cosq cosq0,所以 cosq 1- r 2 ,所以 C 错误.
对于 D,设 z = x
1 x 1
+ yi x, y R ,有Re ÷ = 2 2 = ×cos2 q (其中q 是 z 的辐角的主值),è z x + y x
Re 1 12 = cos2 1 2 1 2由于 cosq 1- r ,所以 ÷ q 1- r = 1- rè z x x Re z ,所以 D 正确.
故选:ABD.
【变式 6-3】现定义“ n维形态复数 zn ”: zn = cos nq + i sin nq ,其中 i为虚数单位, n N* ,q 0 .
π
(1)当q = 时,证明:“2 维形态复数”与“1 维形态复数”之间存在平方关系;
4
π
(2)若“2 维形态复数”与“3 维形态复数”相等,求 sin q + ÷的值;
è 4
(3)若正整数m , n m >1, n > 2 2,满足 zm = z1 , z qn = zm ,证明:存在有理数 ,使得m = q ×n +1- 2q .
π π π
【解析】(1)当q = 时, z = cos n + i sin n ,
4 n 4 4
π π 2 π π
则 z1 = cos + i sin = 1+ i , z2 = cos + i sin = i .4 4 2 2 2
2
é 2 ù 1
因为 z21 = ê 1+ i ú = 1+ 2i + i2 = i = z2 ,
2 2
故“2 维形态复数”与“1 维形态复数”之间存在平方关系.
(2)因为“2 维形态复数”与“3 维形态复数”相等,
所以 cos 2q + i sin 2q = cos3q + i sin 3q ,
ìcos 2q = cos3q
因此 í
sin 2q

= sin 3q
解 cos 2q = cos3q ,得3q = 2q + 2kπ k Z 或3q + 2q = 2kπ k Z ,
解 sin 2q = sin 3q ,得3q = 2q + 2kπ k Z 或3q + 2q = 2kπ + π k Z ,
由于两个方程同时成立,故只能有3q = 2q + 2kπ k Z ,即q = 2kπ k Z .
sin q π+ = sin π π 2所以 ÷ 2kπ + ÷ = sin = .
è 4 è 4 4 2
(3)由 zm = z1 ,得 cos mq + i sin mq = cosq + i sinq ,由(2)同理可得mq = q + 2k1π k1 Z ,
即 m -1 q = 2k1π k1 Z .
2k π
因为m > 1,所以q = 1 k
m -1 1
Z .
因为 z 2n = zm = z
2
1 ,
2
由(1)知 z2 = z1 ,所以 zn = z2 .
由(2)同理可得 nq = 2q + 2k2π k2 Z ,即 n - 2 q = 2k2π k2 Z .
2k π
因为 n > 2 ,所以q = 2 k2 Z ,n - 2
2k π 2k
所以 1 = 2
π k , k Z ,
m -1 n - 2 1 2
m -1 k
又因为q 0 , 1所以 k1k2 0 ,所以 = k , k Z n - 2 k 1 2 ,2
m k= 1即 n - 2 1
k1 2k+ = ×n +1- 1 k1,k2 Z k ,2 k2 k2
k1
所以存在有理数 q = k ,使得
m = q ×n +1- 2q .
2
c z
【变式 6-4】若定义一种运算: a,b é ù é ùê ú = ac + bd .已知 z 为复数,且 2, z ê ú = 6 - 4i4 . d
(1)求复数 z ;
é1ù ésin xù
(2)设 t, x为实数,若 t + cos x, i ê2ú - 1,1 ê i ú为纯虚数,求 t 的最大值.
【解析】(1)设复数 z = a + bi(a , b R , i是虚数单位),则 z = a - bi ,
z
因为 2, z é ùê ú = 4z + 2z = 4(a - bi) + 2(a + bi) = 6a - 2bi = 6 - 4i ,
4
解得 a =1,b = 2 ,
可得 z = 1+ 2i .
1 sin x
(2) t + cos x, i é ù é ùê ú - 1,1 ê ú = t + cos x + 2i - sin x - i=t + cos x - sin x + i,
2 i
由题意可得 t + cos x - sin x 0
π
= t = sin x - cos x = 2 sin x - 4 ÷

è
sin 当 x
π
- ÷ =1时, t 取最大值4 2è
r r
1.(多选题)(2024·河南·模拟预测)设向量 a = x1, y1 ,b = x2 , y2 ,当且仅当 x1 x2,且 y1 > y2 时,则
r r r r
称 a b;当且仅当 x1 < x2,且 y1 y2 时,则称 a = b,则下列结论正确的有( )
r r r r
A.若 a b且ma b,则m
r r
B.若 a = 2022,2024 r r,b = 2023,2025 ,则 a = b
r r r
C.若 a b,则对于任意向量 c,都有
r r r ra + c b + c
r r r r r r r
D.若 a = b,则对于任意向量 c,都有 a ×c≤b ×c
【答案】BC
r r r r r
【解析】对于 A,取 a = 1,1 ,b = -1, -1 ,满足 a b,取m = -1, = 2,则-a = -1, -1 ,
r r r
2b = -2, -2 ,满足ma b,但m < ,A 错误;
r r
对于 B,因为 2022 < 2023, 2024≤ 2025,根据新定义可知, a = b,B 正确;
r r r r r
对于 C,设向量 a = x1, y1 ,b = x2 , y2 , c = x0 , y0 ,由 a b,得 x1 x2,且 y1 > y2 ,则 x1 + x0 ≥ x2 + x0 ,
r r r r
且 y1 + y0 > y2 + y0 ,所以 a + c b + c ,C 正确;
r r r r r r r r r r r r r对于 D,根据 a = b,取向量 a = -2, -2 ,b = -1,-1 , c = -1, -1 ,则 a ×c = 4,b ×c = 2, a × c > b × c ,D
错误.
故选:BC.
ur uur
2.(多选题)(2024·江苏盐城·一模)定义平面斜坐标系 xOy ,记 xOy = q , e1 , e2 分别为 x 轴、y 轴正方
uuur ur uur uuur
向上的单位向量,若平面上任意一点 P 的坐标满足:OP = xe1 + ye2 ,则记向量OP 的坐标为 x, y ,给出
下列四个命题,正确的选项是( )
uuur uuur uuur uuur
A.若OP = x1, y1 ,OQ = x2 , y2 ,则OP + OQ = x1 + x2 , y1 + y2
uuur uuur uuur uuur
B.若OP = x1, y1 ,OQ = x2 , y2 ,则OP ×OQ = x1x2 + y1 y2
C.若P x1, y1 ,Q x2 , y2 ,则 PQ = x 22 - x1 + y - y
2
2 1
D.若q = 60°,以 O 为圆心、半径为 1 的圆的斜坐标方程为 x2 + y2 + xy -1 = 0
【答案】AD
uuur uuur uuur uuur ur uur ur uur
【解析】对于 A,OP = x1, y1 ,OQ = x2 , y2 ,则OP + OQ = x1e1 + y1e2 + x2 e1 + y2 e2 ,
ur uur
= x1 + x2 e1 + y1 + y2 e2 = x1 + x2 , y1 + y2 ,A 正确;
uuur uuur uuur uuur ur uur ur uur
对于 B,OP = x1, y1 ,OQ = x2 , y2 ,则OP ×OQ = x1e1 + y1e2 × x2 e1 + y2 e2 ,
ur uur ur uur uuur uuur
= x1x2 + y1 y2 + x1y2 + x2 y1 e1 ×e2 ,显然 e1 ×e2 0 ,则OP ×OQ x1x2 + y1y2,B 错误;
uuur uuur uuur uuur
对于 C,OP = x1, y1 ,OQ = x2 , y2 ,由选项 A 同理得OQ - OP = x2 - x1, y2 - y1 ,
uuur uuur ur uur
即 PQ = x2 - x1, y2 - y1 ,PQ = x2 - x1 e1 + y2 - y1 e2 ,
PQ = x2 - x1
2 + y2 - y
2
1 + 2 x2 - x1 y2 - y1 cosq ,C 错误;
对于 D,设以 O 为圆心、半径为 1 的圆上任意一点为P x, y ,
ur uur 2 ur uur
由 OP =1,得 xe1 + ye2 =1,于是 x2 + y2 + 2xye1 ×e2 -1 = 0,
ur uur
由q = 60 1°,得 e1 ×e2 = ,即 x2 + y2 + xy -1 = 0,D 正确.2
故选:AD
ur uur
3.(多选题)(2024·山西临汾·二模)设Ox ,Oy 是平面内相交成 60°角的两条数轴, e x1,e2 分别是与 轴、
uuur ur uur
y uuur轴正方向同向的单位向量.若OP = xe1 + ye2 ,则把有序实数对 (x, y)叫做向量OP 在斜坐标系 Oxy 中的坐标,
uuur
记作OP = (x, y) .则下列说法正确的是( )
uuur uuur
A.若OP = (2,1),则 | OP |= 7
uuur uuur
B.若 AB = (2,1), BC
1
= -1, -

÷ ,则 A,B,C 三点共线
è 2
uuur uuur uuur uuur
C.若OP1 = (3, 2),OP2 = (2,-3),则OP1 ^ OP2
uuur uuur uuur
D.若OA = (2,0),OB = (0,3),OC = (4,1),则四边形 OACB 7 3的面积为
2
【答案】ABD
uuur ur uur
【解析】对于 A,由题意得OP = 2e1 + e2 ,
uuur2 ur uur 2 ur2 ur uur uur2 ur 2 ur uur uur 2 1故OP = 2e1 + e2 = 4e1 + 4e1 ×e2 + e2 = 4 e1 + 4 e1 × e2 cos 60° + e2 = 4 + 4 1 1 +1 = 7,2
uuur
故 | OP |= 7 .正确;
uuur ur uur uuur ur 1 uur uuur uuur
对于 B,由题意得 AB = 2e1 + e2 , BC = -e1 - e2 2
,所以 AB = -2BC ,所以 A,B,C 三点共线.正确;
uuur ur uur uuur ur uur
对于 C,由题意得OP1 = 3e1 + 2e2 ,OP1 = 2e1 - 3e2 ,
uuur uuur ur uur ur uur ur2 ur uur uur2所以OP1 ×OP1 = 3e 1 51 + 2e2 2e1 - 3e2 = 6e1 - 5e1 ×e2 - 6e2 = 6 - 5 1 1 - 6 = - 0,2 2
uuur uuur
故OP1 与OP2 不垂直,错误;
uuur uuur uuur uuur uuur uuur ur
对于 D,因为OA = (2,0),OB = (0,3),OC = (4,1),所以 AC = (2,1), BC = (4,-2) OA = 2e1 ,
uuur ur 2 uuur uur 2 uuur uuur
所以 OA = 2e1 = 2, OB = 3e AC = OP = 72 = 3, ,
uuur ur uur 2 ur2 ur uur uur2BC = 4e1 - 2e2 = 16e1 -16e1 ×e2 + 4e2 = 16 -8 + 4 = 2 3 ,
uuur ur uur 2 ur2 ur uur uur2
OC = 4e1 + e2 = 16e1 + 8e1 ×e2 + e2 = 16 + 4 +1 = 21,所以OB2 + BC 2 = OC 2 ,
即OB ^ BC
1
,所以 S OBC = 3 2 3 = 3 3,在 OAC 中,由余弦定理知,2
2 2 2
cos OAC OA + AC - OC 4 + 7 - 21 5 = = = - 4 + 7 - 21 3,所以 sin OAC = 1- cos2 OAC = = ,
2OA × AC 2 2 7 2 7 2 2 7 2 7
S 1 1 3 3所以 OAC = OA AC sin OAC = 2 7 = ,2 2 2 7 2
所以四边形 OACB 3 7 3的面积为 S OBC + S OAC = 3 3 + = .正确.2 2
故选:ABD
r r r r r r
4.(多选题)(2024·湖北·二模)定义空间两个非零向量的一种运算: a b = a × b ×sináa,b ,则关于空间
向量上述运算的以下结论中恒成立的有( )
r r r r r r r rA. a b = a b B. a b=b a
r r r r r r r r
C.若 a b = 0,则 a ^ b D. a b a × b
【答案】BD
r r r r r r r r r r r r【解析】对于 A, a b = a × b ×sináa,b , a b = a × b ×siná a,b ,
r r r r
若 a,b不共线,且 为负数,则 a b r r r r r r r r r r= a × b ×sináa,b < 0,而 a b = a × b ×siná a,b > 0,
r r r r此时 a b a b,故 A 错误;
r r r r r r r r r r r r
对于 B,由定义知 a b = a × b ×sináa,b ,b a = b × a ×sináa,b ,故 B 正确;
r r r r r r
对于 C,若 a b = 0,则 sináa,b = 0 , a,b共线,故 C 错误;
r r r r r r r r
对于 D,由定义知 a b = a × b ×sináa,b ,又 áa,b 0, π ,
r r r r r r r r r r
故 a b = a × b ×sináa,b a × b ,当且仅当 sináa,b =1时,等号成立,故 D 正确.
故选:BD
r r r r r r r r
5.(多选题)定义: a,b 两个向量的叉乘 a b = a × b ×sin a,b ,则以下说法正确的是( )
A ar
r r
.若 b = 0,则 ar P b
ar r r rB. b = a b
uuur uuur
C.若四边形 ABCD 为平行四边形,则它的面积等于 AB AD
r r r r ar
r
D.若 a b = 3 , a ×b =1,则 + b 的最小值为 7
【答案】AC
r r r r
【解析】对于 A, a b a
r r
= × b ×sin a,b = 0,
ar
r r r
若 ,b 至少有一个为零向量,则满足 a / /b ;
r r r r r r
若 a,b 均不为零向量,则 sináar,b = 0 r,即 a,b 同向或反向,即 a∥b ,故 A 正确,
r r r r
对于 B, (a b) = | ar | × | b | ×sináar,b ,
( ar
r r r
) b =| ar | × | b | r×siná a,b ,
r r r r r
若 λ 0,则 ( ar) b = | ar | × | b | ×sin ará ,b ,此时 (ar b) r= ( a) b ;
r r r r r r 0 ( a) b | a | | b | sin a,b (ar
r r
若 < , = - × × á ,此时 b) ( ar) b ,故 B 错误;
对于 C,若四边形 ABCD为平行四边形,
uuur uuur uuur uuur uuur
则它的面积等于 | AB | × | AD | ×sináAB, AD ,即 AB AD ,故 C 正确;
r
D ar b | ar
r r r
对于 , = | × | b | ×sináa,b = 3 ,
ar
r r r r r
×b =| ar | × | b | cos ar× á ,b =1 r r,两式平方后相加得 (| a | × | b |)2 = 4,即 | a | × | b |= 2,
| ar
r r r
b | ar2 2ar b b 2 | ar
r r
又 + = + × + = |2 + | b |2 2 2 | ar+ | × | b | +2 = 6 ,
r
当且仅当 | ar |=| b |= 2 时等号成立,
r r
故 | a + b |的最小值为 6 ,故 D 错误,
故选:AC
r r
6.(多选题)在平面直角坐标系 xOy 内,设两个向量 a = x1, y1 ,b = x2 , y2 ,定义运算:
r r
a b = x1y2 - x2 y1,下列说法正确的是( )
r r r r r r r r
A. a b = 0是 a∥b的充要条件 B. a b = b a
r r r r r r r 1 uuur uuurC. a b + c = a b + a c D.若点O,A , B 不共线,则 OAB的面积 S = OA OB2
【答案】ACD
【解析】
r r r r
a b = x1y2 - x2 y1 = 0,而 a∥b x1 y2 - x2 y1 = 0,故A 对;
r r r r
a b = x1y2 - x2 y1,b a = x2 y1 - x1 y2 ,故B错;
r r r r
设 c = x3 , y3 ,则 a b + c = x1 y2 + y3 - x2 + x3 y1
r r r r
= x1y2 - x2 y1 + x1 y3 - x3 y1 = a b + a c ,故C 对;
r uuur uuur
对于选项D :如图BH 是边OA上的高,设 A(x1, y1),B(x2 , y2 ) , a 是与OA垂直的单位向量, OA = t
r uuur
r 1 a ×OB r uuur
则 a = (-y
t 1
, x1),BH = r = a ×OB ,a
即BH
y
= - 1 x x+ 12 y
1 1
2 , S = × BH × t = x1 y2 - x yt t 2 2 2 1

uuur r uuur r 1 uuur uuur 1
设OA = a,OB = b,则 S = OA OB = x1 y2 2 2
- x2 y1 ,所以D 对.
故选: ACD .
r r r r
7.(多选题)(多选)在三维空间中, a b叫做向量 a与b 的外积,它是一个向量,且满足下列两个条件:
r r r① a ^ a b r r r r r r r r r r r r r,b ^ a b ,且 a,b , a b三个向量构成右手系(如图所示);② a b = a b sin a,b .在
正方体 ABCD - A1B1C1D1 中,已知其表面积为 S,下列结论正确的有( )
uuuur uuur uuuur uuur
AB AC AD DB uuur uuur uuur uuurA. 1 = 1 B. AB AD = AD AB
uuur uuur uuuur uuuur uuuur
C. S = 6 BC AC D. A1C1 A1D 与 BD1 共线
【答案】ACD
【解析】设正方体的棱长为 a,如图.
uuur uuur
对于 A,连接B
p 2
1C ,因为VAB1C 为等边三角形,故 AB1 AC = 2a 2a sin = 3a ,3
连接 B1D1,因为BD // B1D1,BD = B1D1 , AB1D1为等边三角形,
uuuur uuur uuuur uuuur
所以 AD DB
2p
1 = AD1 D
2
1B1 = 2a 2a sin = 3a ,故 A 正确;3
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
对于 B,根据定义, AB AD = AA1 , AD AB = -AA1 ,故 B 错误;
uuur uuur
对于 C,6 BC AC = 6 a 2a 2 = 6a2 = S ,故 C 正确;
2
对于 D,因为 A1C1 ^ B1D1,而D1D ^平面 A1B1C1D1,所以D1D ^ A1C1
B1D1 DD1 = D1 ,则 A1C1 ^ 平面 BB1D1D,又BD1 平面 BB1D1D,所以 A1C1 ^ BD1,
又 A1D ^ AD1, AB ^ A1D, AD1 AB = A,所以 A1D ^平面 ABD1,
uuuur uuuur uuuur
所以 BD1 ^ A1D ,结合外积的定义可知 A1C1 A1D 与 BD1 共线,故 D 正确.
故选:ACD.
p ur uur
8.(多选题)如图所示设Ox Oy q , 是平面内相交成 q

÷角的两条数轴, e1 , e2 分别是与 x,y 轴正方è 2
uuuur ur uur
向同向的单位向量,则称平面坐标系 xOy 为q 反射坐标系,若OM = xe1 + ye2 ,则把有序数对 x, y 叫做向
uuuur uuuur 2 r r
量OM 的反射坐标,记为OM = x, y .在q = p 的反射坐标系中, a = 1,2 ,b = 2,-1 .则下列结论中,3
错误的是( )
r r r
A. a - b = -1,3 B. a = 3
r r r r
C 3 7
r
. a ^ b D. a在b 上的投影向量为- b
14
【答案】AB
ur uur 2p 1
【解析】由题意 e1 ×e2 = cos = - ,3 2
r r ur uur ur uur ur uur
a - b = e1 + 2e2 - (2e1 - e2 ) = -e1 + 3e2 = (-1,3),A 正确;
r 2 ur uur ur2 ur uur uur2 r
a = (e1 + 2e2 )
2 = e1 + 4e1 ×e2 + 4e
1
2 =1+ 4 (- ) + 4 1 = 3, a = 3 ,B 正确;2
r r ur uur ur uur ur2 ur uur uur
a ×b = (e1 + 2e2 ) × (2e1 - e2 ) = 2e1 + 3e1 ×e2 - 2e2 = 2 + 3 (
1
- ) - 2 3= - 0,C 错误;
2 2
r 2 ur uur ur2 ur uur uur2 r
b = (2e - e 2 11 2 ) = 4e1 - 4e1 ×e2 + e2 = 4 - 4 (- ) +1 = 7, b = 7 ,2
3
r r r r r ra ×b b - 2 b 3 ra在b 上的投影向量为 r × r = × = - b ,D 错;
b b 7 7 14
故选:AB.
r r r
r r r r a sin a,b ur r ur r
9.(多选题)对任意两个非零向量 a,b ,定义新运算: a b = r .已知非零向量m, n满足 m > 3 n 且
b
ur r
q p , p
ur r r ur ur r
向量m, n的夹角 ÷ ,若 4 m n 和 4 n m 都是整数,则4 2 m n的值可能是( )è
5
A.2 B. C.3 D.4
2
【答案】BC
r
r ur n sinq rk
【解析】由题意可得 n m = ur = k Z ,因为 m > 3 n > 0 0 |unr | 1, ,所以 < < ,
m 4 | m | 3
r
q p , p 2 | n |因为 ÷,所以 < sinq <1,所以0 < ur sinq
1
< ,
è 4 2 2 | m | 3
0 k 1 0 4即 < < ,解得 < k < ,因为 k Z,所以 k =1,
4 3 3
r r ur
ur r n sinq
ur 1
n 1 ur r
= = ur = m n | m |rsinq所以m n ,则 ,故 = = 4sin2 q ,
m 4 m 4sinq | n |
r
因为q
p p 2 | n | 1 , ÷,所以 < sinq <1,因为 0 < ur < ,
è 4 2 2 | m | 3
0 1 1 3所以 < < ,所以 < sinq 1
9 2 9< ,所以 < sin q <1,则 < 4sin2 q < 4,
4sinq 3 4 16 4
ur r
m n 9 即 , 4÷ .
è 4
故选:BC.
10.如图,在平面斜坐标系 xOy 中, xOy = q ,平面上任意一点 P 关于斜坐标系的斜坐标这样定义:若
uuur ur uur ur uur uuur
OP = xe1 + ye2 (其中 e ,e 分别是 x y1 2 轴, 轴正方向的单位向量),则 P 点的斜坐标为 (x, y),且向量OP 的
斜坐标为 (x, y) .给出以下结论,其中所有正确的结论的序号是
uuur
①若q = 60°, P (2, -1) ,则 OP = 3 ;
uuur uuur
②若P(x1, y1),Q(x2 , y2 ) ,则OP + OQ = (x1 + x2 , y1 + y2 ) ;
uuur
③若P x, y , R,则 OP = ( x, y);
uuur uuur uuur uuur
④若OP = (x1, y1),OQ = (x2 , y2 ) ,则OP ×OQ = x1x2 + y1 y2.
【答案】①②③
uuur ur uur
【解析】对于①:∵q = 60°,P 2, -1 ,即OP = 2e1 - e2 ,
uuur ur uur 2 ur2 ur uur uur2∴ OP = 2e1 - e2 = 4e1 - 4e1 ×e2 + e2
= 4 +1- 4 1 1 cos 60° = 3 ,故①正确;
uuur ur uur uuur ur uur
对于②:∵ P x1, y1 ,Q x2 , y2 ,即OP = x1e1 + y1e2 ,OQ = x2 e1 + y2 e2 ,
uuur uuur ur uur ur uur ur uur
∴ OP + OQ = x1e1 + y1e2 + x2 e1 + y2 e2 = x1 + x2 e1 + y1 + y2 e2 ,
uuur uuur
∴ OP + OQ = x1 + x2 , y1 + y2 ,故②正确;
uuur ur uur
对于③:∵ P x, y , R ,OP = xe1 + ye2 ,
uuur ur uur ur uur
∴ OP = xe1 + ye2 = xe1 + ye2 ,
uuur
∴ OP = x, y ,故③正确;
uuur uuur ur uur ur uur对于④:OP ×OQ = x1e1 + y1e2 × x2 e1 + y2 e2
ur2 uur2 ur uur= x1x2 e1 + y1 y2 e2 + x1 y2 + y1x2 e1 ×e2
= x1x2 + y1 y2 + x1 y2 + y1x2 cosq ,故④错误.
故答案为:①②③
r r r r r r r
11.(2024·河南·模拟预测)向量 a,b的夹角为q ,定义运算“ ”: a b =| a || b | sinq ,若 a = ( 3,1) ,
r r r
b = (- 3,1),则 a b 的值为 .
【答案】 2 3
r r r r
【解析】由 a = ( 3,1) ,b = (- 3,1),得 a ×b = 3 - 3 +1 1 = -2,
r r ar
r
r r ×b 1 r r
| a |= (- 3)2 +12 = 2,| b |= ( 3)2 +12 = 2 , cosna,bn= r r = - ,na,bn 0, π a b 2 ,
r r 3 r r 3
则 sináa,b = ,所以 a b = 2 2 = 2 3 .
2 2
故答案为: 2 3
12.我们把由平面内夹角成60°的两条数轴Ox ,Oy构成的坐标系,称为“@未来坐标系”,如图所示,
ur uur uuur ur uur uuur
e1,e2 分别为Ox,Oy 正方向上的单位向量,若向量OP = xe1 + ye2 ,则把实数对 x, y 叫做向量OP 的“@未来
uuur r r r r
坐标”,记OP = x, y ,已知 x1, y1 , x2 , y2 分别为向量 a ,b 的“@未来坐标”,若向量 a ,b 的“@未来
坐标”分别为 1,2 , 2,1 r r,则向量 a ,b 的夹角的余弦值为 .
13
【答案】
14
ur uur ur uur 1 1 r ur uur r ur uur
【解析】依题意 e1 ×e2 = e1 × e2 cos 60° =1 1 = , a = e1 + 2e2 ,b = 2e1 + e2 2 2

r r ur uur所以 a ×b = e1 + 2e2
ur uur
× 2e1 + e2
ur2 uur2 ur uur 13
= 2e1 + 2e2 + 5e1 ×e2 = ,2
r ur uur ur uur 2 ur2 uur2 uura = e1 + 2e e r2 = 1 + 2e2 = e1 + 4e2 + 4e1 ×e2 = 7 ,
r ur uur ur uur 2 ur2 uur2 ur uurb = e1 + 2e2 = 2e1 + e2 = 4e1 + e2 + 4e1 ×e2 = 7 ,
13
r r r
r
所以 cos a,b a ×b 13
r r 13
= r r = 2 = ,即向量 a ,b 的夹角的余弦值为 .a b 7 7 14 14
13
故答案为:
14
uuur
13.已知对任意平面向量 AB = x, y ,把 B 绕其起点沿逆时针方向旋转q 得到向量
uuur
AP = x cosq - y sinq , x cosq + y sinq 叫做把点 B 绕点 A 沿逆时针方向旋转q 得到点 P.已知平面内点 A 2,1 ,
点B 2 + 2,1- 2 π r uuur uuur,把点 B 绕点 A 沿逆时针 后得到点 P,向量4 a 为向量PB在向量PA上的投影向量,则
r
a = .
【答案】 2 - 2 / - 2 + 2
uuur
【解析】因为 A 2,1 ,B 2 + 2,1- 2 ,所以 AB = ( 2, - 2),
uuur
AP π= ( 2 cos - (- 2)sin π , 2 cos π + (- 2)sin π) = (2,0) ,
4 4 4 4
所以 P 点坐标为 (4,1),
uuur uuur
所以PB = 2 - 2,- 2 ,PA = -2,0
uuur uuur uuur
r PB
所以 a = uu
×urPA × uPuAur 4 - 2 2 (-2,0)= × = 2 - 2 .
PA PA 2 2
故答案为: 2 - 2 .
r r r r r r14.定义平面非零向量之间的一种运算“*”,记 a * b = a cosq + b sinq (其中q 是非零向量 a,b 的夹角).若
ur uur ur uur 1 ur uure1 , e2 均为单位向量,且 e1 ×e2 = ,则 e1 * 3e2 = .2
13
【答案】
2
ur uur ur uur ur uur
【解析】Qe1 ×e2 = e1 × e2 ×cosq
1 1 π
= ,且 e = e =1,\cosq = ,又q 0, π ,则q = ;
2 1 2 2 3
ur uure1 * 3e2
ur uur
= e1 cos 60° + 3e2 sin 60°
1 ur 3 uur
= e
2 1
+ e
2 2
1 ur uur 2= e1 + 3e2 2
1 1 1= + 6 + 9
2 2
13
= ,
2
13
故答案为:
2
r r r r r r r r r r
15.定义 a*b是向量 a 和b 的“向量积”,其长度为 | a *b |=| a || b | sinq ,其中q 为向量 a 和b 的夹角.若
r r r r r r
a = 2,0 , a - b = 1, - 3 ,则 | a *(a + b) | = .
【答案】 2 3
r r r r r r
【解析】Qa = 2,0 , a - b = 1, - 3 ,\b = 1, 3 ,进而 a + b = 3, 3 ,
r r rr r r a × a + b r r r
cos a,a b r r r 6 3+ = = = sin a, a 1,所以 + b =
a a + b 2 2 3 2 2
r r r r r r r r
由“向量积”的定义可知: | a *(a + b) |= a b sin a,a b
1
+ = 2 2 3 = 2 3
2
故答案为: 2 3
uuur
uuur16.已知对任意平面向量 AB = x, y ,把 AB 绕其起点沿逆时针方向旋转q 角得到向量
uuur
AP = x cosq - y sinq , x sinq + y cosq ,叫做把点 B 绕点 A 沿逆时针方向旋转q 角得到点 P.已知平面内点
A 3 - 3,2 3

÷ ,B
3 p
2
4 - 3,3 + 2 3 ÷,把点 B 绕点 A 沿顺时针方向旋转 后得到点 P,则点 P 的坐标
è è 2 3
为 .
2, 3 【答案】 ÷ .
è 2
uuur
【解析】由题意得 AB = 4,3 p 5π,把点 B 绕点 A 沿顺时针方向旋转 (即按逆时针方向旋转
3 3
)后得到点 P,
uuur
AP 4cos 5p 5p

则 = - 3sin ,4sin
5p 3cos 5p+ 3 3 3 3 3÷ = 2 + , - 2 3 ÷÷,又 A - , 2 3 ÷÷,设P(x, y) ,è 3 3 3 3 è 2 2 è 2
ì
x 3 3

- - ÷÷ = 2
3 3
+
è 2 2 3 则 í ,解得 x = 2, y = ,即点 P 的坐标为 2,
3
.
3 2 è 2
÷

y - 2 3 = - 2 3 2

故答案为: 2,
3
2 ÷
.
è
17.(多选题)在复数域内,大小成为了没有意义的量,那么我们能否赋予它一个定义呢,在实数域内,
我们通常用绝对值来描述大小,而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值,于是,我们只需定义复
数的正负即可,我们规定复数的“长度”即为模长,规定在复平面 x 轴上方的复数为正,在 x 轴下方的复数
为负,在 x 轴上的复数即为实数大小.“大小”用符号+“长度”表示,我们用 z 来表示复数的“大小”,例如:
1+ 2i = 5, 1- 2i = - 5, 1 =1, -3 = -3, -1- 2i = - 5 ,则下列说法正确的是( )
A. z = 1在复平面内表示一个圆
B.若 z C,则方程[z]2 = -1无解
C.若 z1, z2 为虚数,且 z1 = z2 ,则 z1 + z2 = 0
D.复数 z 满足 z - i =1,则 z 的取值范围为 é 2, 2ù
【答案】BCD
【解析】A:根据已知条件 z = 1表示模长为 1,在复平面位于 x 轴上方的复数,所以并不是一个圆,故 A
错误;
B:若 z C,则方程[z]为一个实数,所以[z]2 = -1无解,故 B 正确;
C:若 z1, z2 为虚数,且 z1 = z2 ,设 z1 = bi ,则 z2 = -bi,
所以 z1 = b, z2 = -b,所以 z1 + z2 = 0,故 C 正确;
D:设 z = a + bi ,
根据复数的新定义有 z - i = éa + b -1 iù =1,
所以 a2 + b -1 2 =1,且1 b 2,
所以 a2 =1- b -1 2 ,
所以 z 是 a2 + b2 = 1- b -1 2 + b2 = 2b ,
所以 2b é 2,2ù ,故 D 正确;
故选:BCD.
18.(多选题)(2024·山西·模拟预测)数系的扩充是数学发展的一个重要内容,1843 年,数学家哈密顿发
现了四元数.四元数的产生是建立在复数的基础上的,和复数相似,四元数是实数加上三个虚数单位 i, j
和 k,而且它们有如下关系: i2 = j2 = k2 = -1,i0 = j0 = k0 =1,ij = k, ji = -k, jk = i, kj = -i, ki = j, ik = - j.四元数
一般可表示为 a + bi + cj+ dk ,其中 a,b,c,d 为实数.定义两个四元数:
a = a1 + b1i + c1 j+ d1k, b = a2 + b2i + c2 j+ d2k ,那么这两个四元数之间的乘法定义如下:
ab = a1a2 - b1b2 - c1c2 - d1d2 + a1b2 + b1a2 + c1d2 - d1c2 i + a1c2 + c1a2 + d1b2 - b1d2 j+ a1d2 + d1a2 + b1c2 - c1b2 k .
关于四元数,下列说法正确的是( )
A. ijk = -1
B aa = a2 + b2 + c2 2. 1 1 1 + d1
C.ab = ba
D.若a =1+ i + j+ k,且ab = 4,则 b =1- i - j- k
【答案】AD
【解析】对于 A:因为 ij = k ,所以 ijk = k2 = -1,故 A 正确;
对于 B:设a = a1 + b1i + c1 j+ d1k(a,b,c,d R),由两个四元数之间的乘法定义得,
aa = (a1 + b1i + c1 j+ d1k)(a1 + b1i + c1 j+ d1k)
= a1a1 - b1b1 - c1c1 - d1d1 + a1b1 + b1a1 + c1d1 - d1c1 i + a1c1 + c1a1 + d1b1 - b1d1 j+ a1d1 + d1a1 + b1c1 - c1b1 k
= a 2 - b 2 - c 2 21 1 1 - d1 + 2a1b1i + 2a1c1 j+ 2a1d1k ,故 B 错误;
对于 C:设a = a1 + b1i + c1 j+ d1k, b = a2 + b2i + c2 j+ d2k(a,b,c,d R),

ab = a1a2 - b1b2 - c1c2 - d1d2 + a1b2 + b1a2 + c1d2 - d1c2 i + a1c2 + c1a2 + d1b2 - b1d2 j+ a1d2 + d1a2 + b1c2 - c1b2 k
ba = a1a2 - b1b2 - c1c2 - d1d2 + a2b1 + b2a1 + c2d1 - d2c1 i + a2c1 + c2a1 + d2b1 - b2d1 j+ a2d1 + d2a1 + b2c1 - c2b1 k
当 c2d1 = d2c1, d2b1 = b2d1,b2c1 = c2b1,有ab = ba ,
所以ab 与 ba 不一定相等,故 C 错误;
对于 D:设 b = a + bi + cj+ dk(a,b,c,d R),
因为ab = a - b - c - d + b + a + d - c i + c + a + b - d j+ (d + a + c - b)k = 4,
ìa - b - c - d = 4 ìa =1

b + a + d - c = 0 b = -1
所以 í
c + a b d 0
,解得
+ - = í c = -1

d + a + c - b = 0 d = -1
所以 b =1- i - j- k ,故 D 正确,
故选:AD.
19.(多选题)(2024·重庆沙坪坝·模拟预测)定义复数的大小关系:已知复数 z1 = a1 + b1i , z2 = a2 + b2i , a1,
a2,b1,b2 R.若 a1 > a2 或( a1 = a2 且b1 > b2 ),称 z1 > z2.若 a1 = a2 且b1 = b2 ,称z1 = z2.共余情形均为
2

z1 < z
3 +1
2 .复数 u,v,w 分别满足:u2 + u +1 = 0, v = ÷÷ , w +1 =1,则( )
è 2
A.u < w < v B.u = v = w C. v > u = w D.w < u < v
【答案】ACD
【解析】设复数u = a + bi a,b R ,若b = 0,因为 a R ,则 a2 + a +1 = 0 无解,
所以 a,b R,b 0,将u = a + bi代入u2 + u +1 = 0,可得,
a2 - b2 + 2abi + a + bi 2 2+1 = 0,即 a - b + a +1+ 2a +1 bi = 0,
ìa 1= -
ìa2 - b2 + a +1 = 0 2 1 3
所以 í 2a ,解得+1 b = 0 í ,所以u = - ± i , 3
b = ±
2 2
2
2
3 +1 v 4 + 2 3 1 3又因为 = ÷÷ = = + ,
è 2 4 2
设w = x + yi x, y R ,所以 w +1 = (x +1)2 + y2 =1,
所以 (x +1)2 + y2 =1,
所以复数w = x + yi 对应的点在以 (-1,0) 为圆心,1为半径的圆上,
所以-2 x 0, -1 y 1,从而v最大,故 B 错误;
1
若 x = - y 3 1 3,2 = ±
,则w = - ± i,
2 2 2
1 3 1 3 1 3 1 3
所以当u = - + i ,w = - + i或u = - - i,w = - - i
2 2 2 2 2 2 2 2
时u = w,则 v > u = w,C 正确;
1
若- < x 0,此时u < w,则u < w < v,A 正确;
2
若 x
1
< - ,此时u > w,则 v > u > w,D 正确;
2
故选:ACD.
20.对于任意的复数 z = x + yi(x, y R),定义运算 P(z) = x2[cos(yπ) + isin(yπ)].
(1)集合 A = {w | w = P(z) , | z | 1,Rez, Imz 均为整数},试用列举法写出集合A ;
(2)若 z = 2 + yi(y R) ,P(z)为纯虚数,求 | z |的最小值;
(3)直线 l : y = x - 9上是否存在整点 (x, y)(坐标 x , y 均为整数的点),使复数 z = x + yi经运算 P 后,P(z)对
应的点也在直线 l上?若存在,求出所有的点;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)由题意得 x2 + y2 1,且 x , y Z ,
ìx =1 ìx = -1 ìx = 0 ìx = 0 ìx = 0
所以 í íy 0,或 íy 0 ,或 y = 0,或 íy 1,或 = = = -
í
y =1

所以 z =1,或 z = -1,或 z = 0,或 z = -i ,或 z = i ,
所以 P(z) = P(1) = cos0 + isin 0 = 1,或 P(z) = P(-1) = cos0 + isin 0 = 1,
或 P(z) = P(0) = 0 ,或 P(z) = P(-i) = 0,或 P(z) = P(i) = 0,
所以 A = {0,1};
(2)若 z = 2 + yi(y R) ,则 P(z) = 4[cos(yπ) + isin(yπ)]
ìcos yπ = 0
若P(z)
π 1
为纯虚数,则 í ,所以 yπ = + kπ, k Zsin yπ ,得
y = k + ,k Z ,
0 2 2
所以 | z | 1= 22 + y2 = (k + )2 + 4,k Z,
2
所以当 k = 0或 -1时, | z | 17min = .2
(3)P(z)对应点坐标为 (x2 cos(yπ), x2 sin(yπ)),
ìy = x - 9
2 2
由题意 íx sin yπ = x cos yπ - 9,得 x2 sin(xπ - 9π) = x2 cos(xπ - 9π) - 9

x, y Z
所以 x2 sin xπ = x2 cos xπ + 9,而 x Z,
①当 x = 2k , k Z时,得 x2 + 9 = 0不成立;
②当 x = 2k +1, k Z时,得x 2 - 9 = 0,所以 x = ±3成立,
ìx = 3 ìx = -3
此时 íy = -6或 í y

= -12
故满足条件的整点为 (3,-6)和 (-3,-12) .
21.(2024·河南郑州·三模)复数除了代数形式 a + bi之外,还有两种形式,分别是三角形式和指数形式,
著名的欧拉公式 eiq = cosq + isinq 体现了两种形式之间的联系.利用复数的三角形式进行乘法运算,我们可

以定义旋转变换.根据 a + bi e = a + bi cosq + isinq = acosq - bsinq + asinq + bcosq i,我们定义:在
直角坐标系内,将任一点绕原点逆时针方向旋转q 的变换称为旋转角是q 的旋转变换.设点 A a,b 经过旋
a = acosq - bsinq ,
转角是q 的旋转变换下得到的点为 A a ,b ì,且旋转变换的表达式为 íb asinq bcosq . 曲线的旋转变换也 = +
1
如此,比如将“对勾”函数 y = x +
π
图象上每一点绕原点逆时针旋转 8 后就得到双曲线:x
y2 x2
- =1
2 2 +1 2 2 -1 .
(1)求点 -1, - 3 π在旋转角是 的旋转变化下得到的点的坐标;4
(2)求曲线 xy =1
π
在旋转角是 的旋转变化下所得到的曲线方程;
4
(3)等边 ABC 中,B -1, -1 , A,C 在曲线 xy =1上,求 ABC 的面积.
ìx cos π π = - + 3sin , 4 4
【解析】(1)由题可设所求点的坐标为 x, y ,由 í
y = -sin π π- 3cos ,
4 4
6 - 2 6 + 2
得所求点的坐标为 ,-2 2 ÷÷

è
π
(2)设曲线 xy =1上任意一点 x, y 在旋转角是 的旋转变换下所得点坐标为 x , y .
4
ì ì
x = xcos
π π 2
- ysin , x = x - y ,
4 4 2
则 í 即 í
y xsin π ycos π= + ,
4 4 y
2
= x + y , 2
2
得 y - x 2 = 2xy = 2,
y2 x2
所求曲线方程为 - =1.
2 2
(3)由题点B -1, -1 π在旋转角是 的旋转变换下所得的点为B 0, - 2 .
4
π
设 A,C 在旋转角是 的旋转变换下所得的点分别为 A 和C .
4
设曲线 xy =1
π
在旋转角是 的旋转变换下所得曲线为M ,
4
2 2
则M y x方程为 - =1.
2 2
则B 是曲线M 的下顶点.
由题, A B C 为等边三角形, A B C 的面积即为 ABC 的面积.
设 ABC 的边长为 t(t > 0),由双曲线的对称性:
t 3
当 A 和C 同在曲线M 的下支时,则 A - , - t - 2 ÷÷,
è 2 2
代入M 的方程得 t 无解.
t 3
当 A 和C 同在曲线M 的上支时,则 A - , t - 2 ÷÷,
è 2 2
代入M 的方程得 t = 2 6.△ABC 的面积为6 3 .
综上所述, ABC 的面积为6 3 .
22 *.(2024·河南·模拟预测)从数据组W : (1, 2,3,L, n) 中取出 k k N , k n 个不同的数构成一个新数据组
P: (x1, x2 ,L, xk ).若"a W,$xi , x j P , i, j {1,2,L, k},使得 a = xi + mx j , , m -1,0,1 ,则称数
据组P为数据组W的一个 k 维基本数据库.
(1)判断数据组P: 1,4 是否为数据组W: 1,2,3,4,5 的一个 2 维基本数据库;
(2)判断数据组P: 2,3,4 是否为数据组W: 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的一个 3 维基本数据库.
(3)若数据组P是数据组W的一个 k 维基本数据库,求证: k 2 + k n .
【解析】(1)因为1 =1 1+ 0 4,2 =1 1+1 1,3 = -1 1+1 4,4 = 0 1+1 4,5 =1 1+1 4,
所以数据组P: 1,4 是数据组W: 1,2,3,4,5 的一个 2 维基本数据库;
(2)因为等式9 = 2 + m 2,9 = 2 + m 3,9 = 3+ m 3,9 = 2 + m 4,
9 = 3 + m 4,9 = 4 + m 4,对于 , m -1,0,1 均不可能成立,
所以数据组P: 2,3,4 不是数据组W: 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的一个 3 维基本数据库;
(3)不妨设 x1 < x2 形如1× xi +1× xi i 1,2,3,L, k 的正整数共有 k 个;
形如1× xi +1× x j i, j 1,2,3,L, k , i j C2的正整数至多有 k 个;
-1 × x 2形如 i +1× x j i, j 1,2,3,L, k 的正整数至多有Ck 个;
又数据组W : (1, 2,3,L, n) 含 n 个不同的正整数,数据组P是数据组W的一个 k 维基本数据库,
故 k + k + C2k + C
2
k n,化简得 k 2 + k n .
a1 b1
r a
÷ r b ÷ r r r r
23.(2024· · 2 2全国 模拟预测)设有 n维向量 a = ÷ ,b =
÷,称 éa,b ù = a b + a b + ×××+ a b 为向量 a和
× × × ÷ ×××÷ 1 1 2 2 n n b

è a
÷
n èb
÷
n
r
的内积,当 éa
r,b ù r r = 0,称向量 a和b 正交.设 Sn 为全体由 -1和 1 构成的 n元数组对应的向量的集合.
1
r 2÷
(1)若 a = ÷
r r r
3 ÷,写出一个向量b ,使得
é a,b ù = 0.
÷
è 4
r r r r
(2)令B = x, y x, y Sn .若m B ,证明:m + n为偶数.
r r
(3)若 n = 4, f 4 是从 S4 中选出向量的个数的最大值,且选出的向量均满足 é a,b ù = 0,猜测 f 4 的值,
并给出一个实例.
1
r 1 ÷
【解析】(1)由定义,只需满足b + 2b + 3b + 4b = 0,不妨取b = ÷1 2 3 4 1÷(答案不唯一).-

è 0
÷

x1 y1
r x ÷ r y ÷ r r
(2)对于 m B , i =1 2,2, × × × , n,存在 x = ÷, x -1,1 , y = 2 ÷, y -1,1 ,使得 x, y = m .× × × ÷ i ××× ÷ i

è x
÷ ÷
n è yn
ì1, x = y n
当 xi = y x
i i
i时, i yi =1;当 xi yi 时, xi yi = -1.令 i = í , k = .
0, xi y
i
i i=1
n
所以 xr, yr = xi yi = k - n - k = 2k - n .
i=1
所以m + n = 2k - n + n = 2k 为偶数.
(3)当 n = 4时,可猜测互相正交的 4 维向量最多有 4 个,即 f 4 = 4.
1 -1 -1 1
r 1÷ r 1 ÷ ÷ ÷
不妨取 a = ÷ , a = ÷
r -1a r
-1
1 2 , 3 = ÷ a = ÷ 1÷ -1÷ 1 ÷, 4 1÷,-
1÷ 1 ÷ 1 ÷ 1 ÷è è è è
ar ,ar则有 1 2 = 0, a
r
1,a
r
3 = 0
r r r r r r r r
, a1,a4 = 0, a2 ,a3 = 0 , a2 ,a4 = 0, a3 , a4 = 0 .
-1 1 1
r r 1 ÷ -1
÷ 1 ÷
若存在a5,使 a1,a
r
5 = 0
r
,则 a = ÷ 或 ÷ ÷5 1 ÷ 1 ÷或 -1÷.
1÷ ÷ ÷è - è -1 è -1
-1
r ÷
当 a =
1 ÷ ar ,ar5 = -4 1 ÷ 时, 4 5 ;
÷
è -1
1
r ÷
当 a =
-1÷ r r
5 1 ÷ 时,
a2 ,a5 = -4 ;

è -1
÷

1
r ÷
当 a =
1 ÷ ar r5 1÷ 时, 3 , a5 = -4,-
1֏ -
故找不到第 5 个向量与已知的 4 个向量互相正交.

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