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拔高点突破 02　柯西不等式、反柯西不等式与权方和不等式　
目录
01 方法技巧与总结 ...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结 ...............................................................................................................................2
题型一：柯西不等式之直接套公式型 .......................................................................................................................2
题型二：柯西不等式之根式下有正负型 ...................................................................................................................4
题型三：柯西不等式之高次定求低次型 ...................................................................................................................5
题型四：柯西不等式之低次定求高次型 ...................................................................................................................7
题型五：柯西不等式之整式与分式型 .......................................................................................................................8
题型六：柯西不等式之多变量型 ...............................................................................................................................9
题型七：柯西不等式之三角函数型 .........................................................................................................................11
题型八：Aczel 不等式 ...............................................................................................................................................12
题型九：权方和不等式之整式与分式综合型 .........................................................................................................13
题型十：权方和不等式之三角函数型 .....................................................................................................................14
题型十一：权方和不等式之杂合型 .........................................................................................................................15
03 过关测试 .........................................................................................................................................16
1、柯西不等式（Cauchy 不等式）
（1）二元柯西不等式：对于任意的a,b,c,d R ，都有(ac + bd)2 (a2 + b2)(c2 + d 2)．
（ 2） n元柯西不等式： (a21 + a
2
2 +L+ a
2
n )(b
2 + b2 +L+ b21 2 n )…(a1b1 + a2b2 +L + anbn )2 ，取等条件：
ai = lbi 或bi = lai （ i = 1,2,L,n）．
2、Aczel 不等式（反柯西不等式）
设 a1,a2 ,L,an ； b1,b2 ,L,b 均 为 实 数 ， a
2
n 1 - a
2
2 -L - a
2 > 0或 b2 - b2 2n 1 2 -L- bn > 0 ， 则 有
(a2 - a2 2 21 2 -L - an )(b1 - b
2
2 -L- b
2
n ) (a1b1 - a2b2 -L - a 2nbn ) ．当且仅当 ak ， bk 成比例时取等．
3、权方和不等式
（1）二维形式的权方和不等式
2 2 2
对于任意的a,b,x, y >0 a b (a + b) a b，都有 + … ．当且仅当 = 时，等号成立．
x y x + y x y
（2）一般形式的权方和不等式
am+1 am+1 am+1 (a + a +La )m+11 2 n 1 2 n
若 ai > 0 ，bi > 0 ， m > 0 ，则 m + m +L+ m … m ，当 ai = lbi 时等号成立．b1 b2 bn (b1 + b2 +Lbn )
题型一：柯西不等式之直接套公式型
【例 1】已知 x, y, z R+且 x + y + z =1则 x2 + y2 + z2 的最小值是（ ）
1
A 1 B C 2． ． ． 3 D．23
【答案】B
【解析】由柯西不等式可得：
x2 + y2 + z2 12 +12 +12 x + y + z 2 =1，
3 x2即 + y2 + z2 1
x2所以 + y2 + z2
1
，
3
ìx = y = z 1
当且仅当 íx y z 1即
x = y = z = 时取等号，
+ + = 3
故 x2 + y2 + z2
1
的最小值为 ，
3
故选：B．
1-1 a2 + a2 +L+ a2【变式 】若 1 2 n = 8，则 a1a2 + a2a3 + a3a4 +L+ an-1an + ana1的最小值为（ ）
A．25 B．8 C．-8 D．-25
【答案】C
2 2 2 2 2 2 2 2 2
【解析】由柯西不等式，得 (a1 + a2 +L+ an-1 + an )(a2 + a3 +L+ an + a1 ) (a1a2 + a2a3 +L+ an-1an + ana1) ，
∴ (a1a2 + a2a3 +L+ an-1an + a a
2
n 1) 8 8，
∴ -8 a1a2 + a2a3 + a3a4 +L+ an-1an + ana1 8，
a1 a= 2 a= 3 a=L = n-1 a当 = n = -1 2a a a a a 且 a1 + a
2
2 +L+ a
2
n = 8时，
2 3 4 n 1
即 a1 = a2 = a3 =L = an-1 = a
2 2n
n = ，且 a1,a3 ,a5 ,L与 a2 , a4 , a6 ,L异号时，n
a1a2 + a2a3 + a3a4 +L+ an-1an + ana1 = -8，
则 a1a2 + a2a3 + a3a4 +L+ an-1an + ana1的最小值为-8 .
选：C.
【变式 1-2】已知 a，b 2， c R ，满足 a + 2 + b2 + c +1 2 =12，则 a + b + c 的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【解析】设 a + 2 = w，b = v ， c +1 = u ，可得w2 + v2 + u2 =12，
所以 a + b + c = w + v + u - 3．
w + v + u 2 12 +12因为 +12 w2 + v2 + u2 = 36 ，
所以-6 w + v + u 6，
当且仅当w = v = u = 2，w + v + u 取得最大值 6，
此时 a + 2 = b = c +1 = 2，
所以 a + b + c 的最大值为6 - 3 = 3．
故选：B.
题型二：柯西不等式之根式下有正负型
【例 2】（2024·高三·山东青岛·期中）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与
德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：
a2 + b2 c2 + d 2 ac + bd 2 a b，当且仅当 = 时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数c d
f x = 3 4 - 3x + 3x - 2 的最大值为（ ）
A． 2 5 B． 2 3 C．12 D．20
【答案】A
ì4 - 3x 0 2
【解析】由 í ，解得 x
4

3x 2 0
，
- 3 3
é2 4ù
所以函数 f x 的定义域为 , ，
ê3 3ú
由柯西不等式得， f x = 3 4 - 3x + 3x - 2 32 +12 4 - 3x + 3x - 2 = 2 5 ，
3 1
= x 11当且仅当 ，即 = 时等号成立，
4 - 3x 3x - 2 15
所以 f x 的最大值为 2 5 .
故选：A.
【变式 2-1】柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等
r r
式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量 a = x1, y1 ,b = x2 , y2 ,由
r r r r
a ×b a b 得到 (x1x2 + y y )21 2 (x21 + y2 21 )(x2 + y22 ) ,当且仅当 x1y2 = x2 y1时取等号.现已知 a 0 ,b 0 , a + b = 5 ,则
2a + 2 + b + 3 的最大值为（ ）
A．18 B．9 C． 2 3 D．3 3
【答案】D
【解析】因为 (x1x2 + y1 y )
2
2 (x
2 + y21 1 )(x
2
2 + y
2
2 ) ,
令 x1 = 2, y1 =1, x2 = a +1, y2 = b + 3 ,又 a 0 ,b 0 , a + b = 5 ,
所以 2a + 2 + b + 3 2 2 2= 2 × a +1 +1× b + 3 éê 2 +12 ùú × a +1+ b + 3 = 27 ,
当且仅当 2 × b + 3 =1× a +1即 a = 5,b = 0时等号成立,
即 2a + 2 + b + 3 3 3 ,
故选:D.
【变式 2-2】（2024·浙江·模拟预测）已知 x > 0， y R ，且 x2 + xy - x + 5y = 30，则 2 - x + 30 - 3y
的最大值为（ ）
A． 3 B． 6 C．2 6 D．3 2
【答案】C
【解析】由 x2 + xy - x + 5y = 30可得 x2 - x - 30 + xy + 5y = 0，即 x + 5 x + y - 6 = 0 .
由 x > 0可知 x + y = 6，所以 2 - x + 30 - 3y = 2 - x + 12 + 3x = 2 - x + 3 × 4 + x .
由 x > 0， 2 - x 0可得0 < x 2，
由柯西不等式得
2 é 22 - x + 3 × 4 + x ê12 + 3 ù × é ú ê
2 2
2 - x + 4 + x ùú = 24 ，
4 + x 2 - x 1
所以 2 - x + 3 × 4 + x 2 6 ，当 = 即 x = 时，取等号.
3 1 2
所以 2 - x + 30 - 3y 的最大值为2 6 .
故选：C.
题型三：柯西不等式之高次定求低次型
【例 3】设 a，b，c 为正数，且 a2 + b2 + c2 =1，则 a(a + b + c) 的最大值为（ ）
A 3 +1． B 2 +1 3 2． C． D．
2 2 2 2
【答案】A
1
la2 1 2 2+ b2 ma + c
【解析】解法一 根据题意，有 a(a + b + c) a2 + l + m
2 2
= 1 l m+ + 2 1 2 1 2 ÷ a + b + c
è 2 2
，
2l 2m
l m 1 1
其中l, m > 0，令1+ + = =2 2 2l 2m ，
l m 3 -1解得 = = ，
2
a(a b c) 1 a2 b2 c2 3 +1于是 + + + + = ，2l 2
等号当 a : b : c = ( 3 +1) : 2 : 2 3 +1时取得，因此所求最大值为 ．
2
解法二 令 a = cosj,b = sinj sinq ,c = sinj cosq ，其中0 j p ,0 q < 2p ，则
a(a + b + c) = cos2 j + sinj cosj(sinq + cosq ) cos2 j + 2 sinj cosj
2
= sin 2j 1 cos 2j 1 3 +1+ + ，
2 2 2 2
3 +1
等号当 a : b : c = ( 3 +1) : 2 : 2时取得，因此所求最大值为 ．
2
解法三 根据题意，有
a(a + b + c) a éêa + 2 b2 + c2 ù ú
= a2 + 2a2 1- a2
1 2 2
= a2 - ÷ + 2
1 a2 1 1 3 +1× - -

÷ + ，
è 2 4 è 2 2 2
1 2 2 1 1
等号当b2 = c2 ，且 a
2 - ÷ = 2
2
a - ÷ 即 a : b : c = ( 3 +1) : 2 : 2时取得，4 è 2 è 2
3 +1
因此所求最大值为 ．
2
故选：A.
【变式 3-1】（2024·全国·模拟预测）柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的
“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家 Buniakowsky 和 Schwarz 彼此独立地在积分学中推而广之，才能
将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数 a1,a2 ,a3 和 b1,b2 ,b3 ，有
a2 + a2 + a2 b2 + b2 2 a a a1 2 3 1 2 + b3 a1b1 + a2b + a b 2 1 2等号成立当且仅当 = = 32 3 3 b b b 已知 x
2 + y2 + z2 =14 ，请你用
1 2 3
柯西不等式，求出 x + 2y + 3z 的最大值是（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
【答案】A
2 2 2 2 2 2 2
【解析】由题干中柯西不等式可得 x + 2y + 3z x + y + z 1 + 2 + 3 =14 14 =196，
所以 x + 2y + 3z 的最大值为14，当且仅当 x =1, y = 2, z = 3时取等号.
故选：A
【变式 3-2】已知实数 ai i =1,2,3,4,5 满足 (a - a )2 + (a - a )21 2 2 3 + (a3 - a4 )2 + (a 24 - a5 ) =1，则
a1 - 2a2 - a3 + 2a5 的最大值是（ ）
A．2 2 B． 2 5 C． 5 D． 10
【答案】D
【解析】设 c = a1 - a2 ,b = a2 - a3 ,c = a3 - a4 ,d = a4 - a5，
则条件为 a2 + b2 + c2 + d 2 =1，所以 a1 - 2a2 - a3 + 2a5 = a - b - 2c - 2d
12 + -1 2 + -2 2 + -2 2 × a2 + b2 + c2 + d 2 = 10 ，
a b c d
等号当 = = = 且 a > 0时取得，因此所求代数式的最大值为 10 ．
1 -1 -2 -2
故选：D
题型四：柯西不等式之低次定求高次型
【例 4】若实数 a，b，c，d 满足ab + bc + cd + da = 1，则a2 + 2b2 + 3c2 + 4d 2 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．以上答案都不对
【答案】B
【解析】根据题意，有ab + bc + cd + da = 1 (a + c)(b + d ) = 1，
a2 3c2 1 1 而 + + ÷ a + c 2，当且仅从a = 3c时等号成立.
è 3
2
同理 2b + 4d 2 1 1+ b + d 2 2b = 4d
è 2 4 ÷
，当且仅当 式等号成立，

M M = a2 + 3c2记题中代数式为 ，于是 + 2b2 + 4d 2
(a + c)2 (b + d )2
+ 3= (a c)2 4+ + (b + d )2 2(a + c)(b + d )
1 = 2，+ 1 1 + 1 4 3
3 2 4
ìa
= 3,
c
b
等号当 í = 2, a : b : c : d = 3: 2 :1:1时取得，因此所求代数式的最小值为 2．
d
a + c 4= ,
b + d 3
故选：B.
uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【变式 4-1】已知空间向量OA = 1, ,0÷ ,OB = 1,2,0 ,OC =

0,1,
1
÷，OP = xOA + yOB + zOC ，且
è 2 è 2
uuur
x + 2y + z = 2，则 OP 的最小值为（ ）
A． 2 B． 3 C．2 D．4
【答案】B
uuur uuur uuur uuur 1
【解析】因为OP = xOA + yOB + zOC = x 1, ,0÷ + y 1,2,0 + z

0,1,
1
÷ = x
1
+ y, x + 2y z, 1+ z
2 2 2 2 ÷ ，è è è
uuur 2
OP x y 2 1
2 2
= + + x + 2y + z 1+ z 所以
è 2 ÷ è 2 ÷
1 é 1 2 1 22 ù 1 1 1
2
= ê x + y + x + 2y + z ÷ + z ÷ ú 1+1+1

x + y + x + 2y + z + z

3 ÷ê è 2 è 2 ú 3 è 2 2
1 2
=
3
x + 3y
3
+ z 3= x + 2y + z 2 = 3，
3 è 2 2 ÷ 4
1 1
当且仅当 x + y = x + 2y + z = z 时等号成立，即 x = 2, y = -1, z = 2时等号成立.
2 2
uuur uuur
所以 OP 3 ，所以 OP 的最小值为 3 .
故选：B
【变式 4-2】已知 a，b ， c为实数，且 a + b + c = 5 ，则 a2 + 2b2 + c2 的最小值为（ ）
5
A． 5 B．1 C．2 D． 2
【答案】C
2 2 2 2 2 2
【解析】由三维柯西不等式： a1 + a2 + a3 b1 + b2 + b3 a1b1 + a 22b2 + a2b2
a1 a2 a3
当且仅当 = =b1 b b
时取等,
2 3
é 2 ù 2
ê12
2 12 ú a2 2b2 2 c 1 a 2 所以 + ÷ + + + + 2b + c 1÷ = a + b + c 2 = 5
ê è 2 ú è 2
a2
a 2b c
+ 2b2 5+ c2 5 =2 = =所以 ，当且仅当 1 2 1 时取等,
2 2
所以 a2 + 2b2 + c2 的最小值为：2
故选：C
题型五：柯西不等式之整式与分式型
4 4
【例 5】（2024 a 32b·高三·浙江台州·期末）已知正实数 a,b满足 a + 2b =1，则 + 的最小值为 ．
b a
1
【答案】 /0.5
2
a4 32b4 a4 32b4
【解析】由柯西不等式 + =（ + )（2b+a) ( 2a2 +4 2b2)2 = 2(a2 +4b2 )2
b a b a
4 4
a2而 + 4b2
1
= (a2 + 4b2 )(1+1) 1 (a + 2b)2 1= a 32b，所以 + 2 a2 + 4b2 2 1 ，a 1 1= ,b = 时等号成立，2 2 2 b a 2 2 4
1
故答案为： 2 .
1 1 1
【变式 5-1】已知 a、b 、 c R+ ，且满足 a + 2b + 3c =1，则 + + 的最小值为 .a 2b 3c
【答案】9
【解析】因为 a、b 、 c R+ ，且满足 a + 2b + 3c =1，
2
1 1 1
所以， + + = a + 2b + 3c 1 1 1 a 2b 3c + + + + = 9，a 2b 3c è a 2b 3c ÷ è a 2b 3c
÷÷

当且仅当 a 2b 3c
1 1 1 1
= = = 时，等号成立，故 + + 的最小值为9 .
3 a 2b 3c
故答案为：9 .
【变式 5-2】已知 a,b,c
1 1 1
(0,1)，且 ab + bc + ac =1，则 + + 的最小值为（ ）
1- a 1- b 1- c
A 3 - 3 B 9 - 3 C 6 - 3 D 9 + 3 3． ． ． ．
2 2 2 2
【答案】D
【解析】因为 a,b,c (0,1)且 ab + bc + ac =1，
\(a + b + c)2 3(ab + bc + ca) = 3，\a + b + c 3，
( 1 1 1因为 + + ) (1- a + 1- b +1- c) 1+1+11 a 1
2
- - b 1- c
1 1 1 9
+ + 9 9 + 3 3所以 = ，
1- a 1- b 1- c (1- a +1- b +1- c) 3- 3 2
3 1 1 1a b c + + 9 + 3 3当且仅当 = = = 时， 的最小值为 .
3 1- a 1- b 1- c 2
故选：D.
题型六：柯西不等式之多变量型
2 2 2
【例 6】已知 x, y, z > 0且 x + y + z =1
a b c
，a，b，c 为常数，则 + + 的最小值为（ ）
x y z
A． a2 + b2 + c2 B．3 a2 + b2 + c2
C． (a + b + c)3 D．前三个答案都不对
【答案】D
【解析】根据柯西不等式，有
a2 b2 c2 (a + b + c)2
+ + = (a + b + c)2 ，
x y z x + y + z
a b c
等号当 = = > 0 时取得，因此所求最小值为 (a + b + c)2x y z ．
故选：D.
ì a + b + c + d + e = 8,
【变式 6-1】已知实数 a，b，c，d，e 满足 í 2 2
a + b + c
2 d 2 e2 16,则 e 的取值范围是（+ + = ）
A．[-2,2] B．[0,1] C．[0, 2) D．以上答案都不对
【答案】D
【解析】根据柯西不等式，有- 4 × a2 + b2 + c2 + d 2 a + b + c + d 4 × a2 + b2 + c2 + d 2 ，
2 16
从而 | 8 - e | 2 16 - e 0 e ，
5
é 16ù
因此 e 的取值范围是 ê0, ． 5 ú
故选：D.
6-2 a,b,c R+ (a + b - c)
1 1 1
【变式 】已知 ，且 + - = 3，则a b c ÷ a
4 + b4 c4 1 1 1+ + + 的最小值是（ ）
è è a4 b4 c4 ÷

A．417 + 240 3 B．417 - 240 3
C．417 D．以上答案都不对
【答案】A
(a 1 1 1
2 2
【解析】由 + b - c) + - ÷ = 3
a + b 1
可得 = c 1 1 + ，
è a b c ab a + b ab c
2 2
由对称性可设 ab =1，则条件即 (a
1
+ b - c) a + b -

÷ = 3即 c
1 a + b
+ = ，
è c c a + b
a2 + b2
从而 2 a + b 1+ 3，
a + b
a4 + b4 + c4 a4 4 1 4 4 2根据柯西不等式 + b + c4 ÷ a + b +1 è
2
= é(a + b)
4 - 4(a + b)2 + 3ù
417 + 240 3 ，
等号当 c = 1,a + b = 1+ 3 时取得．因此所求最小值为417 + 240 3．
故选：A.
题型七：柯西不等式之三角函数型
【例 7】函数 3 + 2 3 cosq + cos2 q + 5 - 2 3 cosq + cos2 q + 4sin2 q 的最大值为（ ）
A． 2 + 3 B． 2 2 + 3
C． 2 + 2 3 D．前三个答案都不对
【答案】D
【解析】题中代数式为
3 + cosq + 10 - ( 3 cos 1)2 3 cosq +1 2+ = + 10 - ( 3 cosq +1)2 +
3 3
1
+1 2 10 +
3 3
2 10 + 2
= ，
3
10 - ( 3 cosq +1)2 10 - 2 2 10 + 2
等号当 = 3 cosq = 时可以取得，因此所求最大值为 ．
3 cosq +1 2 3 3
故选：D.
【变式 7-1】（2024·浙江·一模）若 sin x + cos y + sin x + y = 2，则 sin x 的最小值是（ ）
A 1．0 B． 2 - 3 C．3- 7 D． 2
【答案】C
【解析】由已知 sin x + cos y + sin x cos y + cos x sin y = 2整理得
2 - sin x = sin x +1 cos y + cos x sin y ，
由柯西不等式得
sin x +1 cos y + cos x sin y 1+ sin x 2 + cos2 x × cos2 y + sin2 y = 2 + 2sin x ，
当 sin x +1 sin y = cos y cos x时取等号，
所以 2 - sin x 2 2 + 2sin x，即 sin2 x - 6sin x + 2 0，
解得3- 7 sin x 1，所以 sin x 的最小值为3 - 7 .
故选：C．
【变式 7-2】函数 y = 2cos x + 3 1- cos 2x 的最大值为（ ）
A． 22 B．5 C．4 D． 13
【答案】A
【解析】利用柯西不等式进行求最值. y = 2cos x + 3 1- cos 2x = 2cos x + 3 2sin2 x
cos2 x + sin2 x é 22 + (3 2)2 ù = 22
cos x 2 3 2
当且仅当 =2 ，即 tan x = ± 时，函数有最大值 22 .sin x 3 2 2
故选：A.
题型八：Aczel 不等式
【例 8】 f (x) = 5x - 4 - x - 4 的最小值为 ．
8 5
【答案】
5
4
【解析】 f (x) = 5x - 4 - x - 4 = 5 × x - -1× x - 4
5
(5 1) é x 4 (x 4)ù 4 16 8 - ê - ÷ - - = =
è 5
ú
5 5
x 4- 5 24
当且仅当 5 = 即 x = 时取等号，
x - 4 1 5
故 f (x) = 5x - 4 8 5- x - 4 的最小值为 ．
5
【变式 8-1】为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》
选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等
r r r r 2 r 2 r 2
式（二维）；当向量 a = x1, y
2
1 ,b = x2 , y2 时，有 a ×b a b ，即 x 2 2 2 21x2 + y1 y2 x1 + y1 x2 + y2 ，当且
仅当 x1y2 = x2 y1时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数变换，得到了一个新不等式：
x1x2 - y1y2
2 x21 - y21 x2 22 - y2 ，当且仅当 x1y2 = x2 y1时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前面
1 2
的结论可知：当 x R 时， 2 - 2 的最小值是 ．2x +1 x +1
【答案】 -1
1 2 1 4
【解析】由题意得 2 - = - ，2x +1 x2 +1 2x2 +1 2x2 + 2
1 4- é 2则 2 2 2x +1 - 2x
2 + 2 ù
è 2x +1 2x + 2 ÷


é 2 2
ê 1
2 ù é 2 2= ÷ - ÷ ú ê 2x2 +1 - 2x2 + 2 ùê 2x2 +1 2x2 + 2 ú è è ú
2
1 2x2 1 2

× + - × 2x2 + 22 2 ÷ =1，è 2x +1 2x + 2
1
当且仅当 × 2x
2 2 2+ = × 2x2 +1
2 ，即 x = 0时，等号成立，2x +1 2x2 + 2
1 4- 即 ÷ é2 2 2x2 1 1 4+ - 2x2 + 2 ù 1 - - ，则2x +1 2x + 2 ÷ 1，è è 2x2 +1 2x2 + 2
1 2 1 4
所以 2 - 2 = 2 - 2 -1，最小值为 -1，此时 x = 0．2x +1 x +1 2x +1 2x + 2
故答案为： -1 .
题型九：权方和不等式之整式与分式综合型
2 2 2
【例 9】已知正数 x ， y ， z 满足 x + y + z =1
x y z
，则 + + 的最小值为
y + 2z z + 2x x + 2y
1
【答案】
3
【解析】因为正数 x ， y 满足 x + y + z =1，
x2 y2 z2 x + y + z 2 1
所以 + + = ，
y + 2z z + 2x x + 2y y + 2z + z + 2x + x + 2y 3
x y z 1
当且仅当 = = 即 x = y = z =y 2z z 2x x 2y 时取等号.+ + + 3
1
故答案为： .
3
【变式 9-1】权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如
a2 b2 a + b 2 a b
下：设 a，b，x，y>0，则 + ，当且仅当 =
x y x + y x y
时等号成立．根据权方和不等式，函数
f (x) 2 9 1= + (0 < x < )的最小值为（
x 1 2x 2 ）-
A．16 B．25 C．36 D．49
【答案】B
a2 b2 a + b 2 a b
【解析】因 a，b，x，y>0，则 + ，当且仅当 = 时等号成立，
x y x + y x y
0 1又 < x < ，即1- 2x > 0，
2
2 2 2
于是得 f (x)
2 3 (2 + 3) 25 2 3 1= + = ，当且仅当 = ，即 x = 时取“=”，
2x 1- 2x 2x + (1- 2x) 2x 1- 2x 5
f (x) 2 9 (0 x 1所以函数 = + < < )的最小值为 25.
x 1- 2x 2
故选：B
1 1 1
【变式 9-2】已知 a，b，c 为正实数，且满足 a + 4b + 9c = 4，则 + + 的最小值为 .
a +1 b +1 c +1
【答案】2
【解析】由权方和不等式，可知
1 1 1 1 4 9 1+ 2 + 3 2 36
+ + = + + = = 2，
a +1 b +1 c +1 a +1 4b + 4 9c + 9 a +1 + 4 + 4b + 9c + 9 18
1
当且仅当 a = 2,b = ,c = 0时等号成立，
2
1 1 1
所以 + + 的最小值为 2.
a +1 b +1 c +1
故答案为：2.
题型十：权方和不等式之三角函数型
【例 10】已知正实数 x y
1 8
、 且满足 x + y = 1，求 +x2 y2 的最小值 .
【答案】27
π
【解析】设 x = cos2a ， y = sin2 a ，a 0, 2 ÷ ，è
3
1 8 13 23 1+ 2
由权方和不等式，可知 2 + 2 = + = 27x y 2cos2a sin2 a 2 cos2 2 ，a + sin2a
1 2 1 2
当且仅当 2 = 2 ，即 x = ， y = 时取等号，cos a sin a 3 3
1 8
所以 +x2 y2 的最小值为27 .
故答案为：27
1 8
【变式 10-1】已知q 为锐角，则 + 的最小值为 .
sinq cosq
【答案】5 5
3 3 32
1 8 12 42 1+ 4 3
【解析】 + = + 2
sinq cosq 1 1
1 = 5 = 5 5
sin2 q 2 cos2 q 2 sin2 q + cos2 q 2
1 4
当且仅当 = 即
sin2 θ cos2 θ sinq
5
= ， cosq 2 5= 时取“ = ”.
5 5
故答案为：5 5
【变式 10-2】（2024·四川·模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪 80 年代初
*
命名的．其具体内容为：设an > 0,bn > 0,n N ,m > 0 ，则
am+1 am+1
m+1
1 2 a
m+1 am+13 n a1 + a + a +L+ a a a a a
m + m + m +L+
2 3 n 1 2 3 n
b b b bm m ，当且仅当
= = =L =
b 时，等号成立．根1 2 3 n b1 + b2 + b3 +L+ bn 1 b2 b3 bn
π 3 3 1
据权方和不等式，若 x 0, 2 ÷
，当 + 取得最小值时， x 的值为（ ）
è sinx cosx
π π π 5π
A． B． C． D．
12 6 3 12
【答案】C
【解析】由题意得， sinx > 0,cosx > 0，
3 3 3
3 3 1 32 12 (3 +1)2 3
则 + = + 2sin x cos x 1 1 1
= 4 = 8，
sin2 x 2 cos2 x 2 sin2 x + cos2 x 2
3 1 1 π
当且仅当 2 = 2 ，即 cosx = 时等号成立，所以 x = ．sin x cos x 2 3
故选：C．
题型十一：权方和不等式之杂合型
11 x, y 0, 1 2 2【例 】已知 > + = 1x y ，则 x
2 + y2 的最小值是 ．
【答案】3 3
3 3 3
1 2 2 12 22 1+ 2 2 3 3
【解析】由题意得，1 = + = + x y 1 1 1
=
2 2 ．
x2 2 y2 2 x2 + y2 2 x + y
am+1 am+1 am+1 am+13 n a + a + a + + a
m+1
1 2 3 n
（权方和的一般形式为： 1 2m + m + m + + m , ai > 0,bi > 0 ,当且仅当b1 b2 b3 bn b1 + b2 + b3 + + bn
m
ai = lbi 时等号成立）
ì 1 2
2 =x y2
当 í ，即 x = 3, y = 3 2 时， x2 + y2 取得最小值3 3．
1 2 2
+ =1 x y
故答案为：3 3
【变式 11-1】已知 x + 2y + 3z + 4u + 5v = 30，求 x2 + 2y2 + 3z2 + 4u2 + 5v2 的最小值为
【答案】60
2 2 2 2 2 x2 2y
2 3z 2 4u 2 5v 2
x + 2y + 3z + 4u + 5v = + + + +
1 2 3 4 5
【解析】
x + 2y + 3z + 4u + 5v 2 302
= = 60
1+ 2 + 3+4+5 15
当且仅当 x = y = z =u =v时取等号
故答案为：60
【变式 11-2】求 f x = x2 - 3x + 2 + 2 + 3x - x2 的最大值为
【答案】2 2
1 1
x2 - 3x + 2 2 2 + 3x - x2 2
f (x) = x2 - 3x + 2 + 2 + 3x - x2 = 1 + 1
- -
1 2 1 2
【解析】 1
x2 - 3x + 2 + 2 + 3x - x2 2
1 = 2 2
1+1 - 2
当且仅当 x 2 - 3x + 2 = 2 + 3x - x 2 ，即 x = 0或 x = 3时取等号
故答案为：2 2 .
1．（2024·吉林白山·一模）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的
a2 2a b x y b a + b
2 a b
应用，其表述如下：设正数 ， ， ， ，满足 + ，当且仅当 =x y 时，等号成立．则函x y x + y
f x 3 16数 = + 0 x
1
< < ÷ 的最小值为（ ）x 1- 3x 3 è
A．16 B．25 C．36 D．49
【答案】D
a2 b2a b x y a + b
2 a b
【解析】因为 ， ， ， ，则 + ，当且仅当 =x y 时等号成立，x y x + y
2 2 3+ 4 2
又0 < x
1
< 3 4 ，即1- 3x > 0，于是得 f x = + ≥ = 49，3 3x 1- 3x 3x + 1- 3x
1 4 1
当且仅当 = ，即 x = 时取“=”，
x 1- 3x 7
f x 3 16= + 1 所以函数的 0 < x < 最小值为 49．x 1- 3x ÷è 3
故选：D
2．已知 a，b，c 均大于 1， loga 3 + logb 9 + logc 27 =12 ，则 ab2c3的最小值为（ ）
A．243 B．27 C．81 D．9
【答案】B
【解析】由 loga 3 + logb 9 + logc 27 =12 得 loga 3 + 2logb 3 + 3logc 3 =12 ，
2 3
所以 log3 ab c = log3 a + log 2 33 b + log3 c = log3 a + 2log3 b + 3log3 c
1
= log3 a + 2log3 b + 3log3 c loga 3 + 2logb 3 + 3log12 c 3
1
2log3 a × loga 3 + 2log3 b ×2logb 3 + 3log12 3 c ×3logc 3
1
= 1+ 2 + 3 2 = 3，
12
log3 a log3 b log= = 3 c当且仅当 loga 3 log 3 log 3
时取等，
b c
2 3
所以 log3 ab c 3 = log3 27 ，
所以 ab2c3 27，
即 ab2c3的最小值为 27，
故选：B
p q
3．（2024·福建·模拟预测）设 p 、 q R+ ， x

0,
p
2 ÷，则
+ 的最小值是（
sin x cos x ）è
5 5 2 4
3 3 3 4 4 4 1 1 1 1 A． p5 + q5 ÷ B． p 5 + q 5 ÷ C． p
2 + q 2 ÷ D． p 4 + q 4 ÷
è è è è
【答案】B
p q p
【解析】设 f = + ，因为 x
sin x cos x
0, ÷，则0 < sin x <1且0 < cos x <12 ，è
p q
因为 sin2 x + cos2 x =1，构造数字式5 =1+ 4 =1+ 4 + ÷
è f sin x f cos x
4 p 2 4q 2 = + sin x ÷ + + cos x ÷
è f sin x è f cos x
4 4
p 5 p4 + 5 q4
55 ÷ ×sin2 x + 5
q
5 2 ÷ ×cos x = 5 × ，
è f sin x è f cos x 5 f 4
5
4 4 4 4 4
所以， 5 f 4 5 p4 + 5 q4 = p 5 + q 5 ，故 f p 5 + q 5 ÷ ，
è
ì p
= sin
2 x 2
f sin x 5
当且仅当 í q ，即当 tan x
p
=

时，等号成立，
= cos2 x è q
÷

f cos x
5
p q 4 4 4
因此， + 的最小值是 p 5 + q 5sin x cos x ÷
.
è
故选：B.
4．由柯西不等式，当 x + 2y + z = 4时，求 x + y + z 的最大值为（ ）
A．10 B．4 C．2 D． 10
【答案】D
【解析】由柯西不等式，得 (x + 2y + z)(4 + 2 + 4) (2 x + 2 y + 2 z )2 ，
x 2y z 8 2
当且仅当 = = ，即 x = z = , y = 时，等号成立.
4 2 4 2 5
因为 x + 2y + z = 4，所以 ( x + y + z )2 10，
则 x + y + z 10 ，故 x + y + z 的最大值为 10 .
故选：D
xy
5．已知3x + 2y + z = 3，则 x2 + y2 + 2z2的取最小值时， 为（ ）
z
8
A． 7 B． C 7．3 D．3 3
【答案】B
1 2
【解析】由柯西不等式得：3 = 3x + 2y + z 32 + 22 + × x2 + y2 ÷ + 2z
2
è 2
ì3x + 2y + z = 3
x2 y2
2
2z2 2 4 1则 + + ．则根据等号成立条件知
3 í
3 2 1 x = y = z =
= =
， ， ，
3 9 9
x y 2z
2 4
xy
= 3 9 8所以
z 1
=
3
9
故选：B
6．已知： a2 + b2 =1， x2 + y2 =1，则 ax + by 的取值范围是（ ）
A． 0,2 B． -1,1 C． -2,2 D． 0,1
【答案】B
2
【解析】利用柯西不等式，可得1 ax + by ,解不等式即可.解:利用柯西不等式，得 a2 + b2 =1 ,
1 = a2 + b2 x2 + y2 ax + by 2 ，
解得-1 ax + by 1.
故选:B
7．实数 x、y 满足3x2 + 4y2 =12，则 z = 2x + 3y 的最小值是（ ）
A．-5 B．-6 C．3 D．4
【答案】A
【解析】Q实数 x、y 满足3x2 + 4y2 =12，
x2 y2
\ + =1，
4 3
x2 y2 2
\ + ÷ 16 + 9 2x + 3y ，
è 4 3
-5 2x + 3y 5，
当且仅当3 3x = 8y时取等号，
\ z = 2x + 3y 的最小值是-5 .
故选：A.
8．已知 a，b > 0， a + b = 5，则 a +1 + b + 3 的最大值为（ ）
A．18 B．9 C．3 2 D． 2 3
【答案】C
2
【解析】由题意， a +1 + b + 3 1+1 a +1+ b + 3 =18，
当且仅当 a +1 = b + 3时等号成立，
\ a 7 3当 = ，b = 时，
2 2
故 a +1 + b + 3 的最大值为3 2 .
故选：C.
9．若实数 x + 2y + 3z = 1，则 x2 + y2 + z2 的最小值为（ ）
1 1
A．14 B． C．29 D．
14 29
【答案】B
x2 2 2【解析】根据柯西不等式： + y + z 1+ 4 + 9 2 + 2y + 3z =1，即 x2 1+ y2 + z2 ，
14
1
当且仅当 x = ， y
1 3
= ， z = 时等号成立.
14 7 14
故选：B.
10．函数 y = x2 - 2x + 3 + x2 - 6x +14 的最小值是
A． 10 B． 10 +1 C．11+ 2 10 D． 2 10
【答案】B
【解析】 y = x2 - 2x + 3 + x2 - 6x +14 = (x -1)2 + 2 + (3- x)2 + 5
根据柯西不等式，
得 y2 = (x -1)2 + 2 + (3 - x)2 + 5 + 2 é(x -1)
2 + 2ù 2 é (3 - x) + 5ù
(x -1)2 + 2 + (3 - x)2 + 5 + 2[(x -1)(3- x) + 10]
= [(x -1) + (3- x)]2 + 2 + 5 + 2 10 =11+ 2 10
x -1 2 2 10 -1
当且仅当 = ，即 x = 时等号成立.
3- x 5 3
2
此时， ymin = 11+ 2 10 = 10 +1 = 10 +1，
故选：B.
11．若 x2 + 4y2 + 9z2 = 4，则 x + y + 3z的最大值（ ）
A．3 B．6 C．9 D．27
【答案】A
【解析】根据柯西不等式可得：
(x + 2y + 3z)2 (x2 + 4y2 + 9z2 )[12 1+ ( )2 +12 ] = 4 9 = 9
2 4
\ x + y + 3z 3，当且仅当 x = 4y = 3z，
4 1 4
即 x = , y = , z = 时，等号成立.
3 3 9
故选:A.
12．函数 y = x - 5 + 2 6 - x 的最大值是( )
A． 3 B． 5 C．3 D．5
【答案】B
2 2
【解析】利用柯西不等式求解.因为 y = x - 5 + 2 6 - x éê x - 5 + 6 - x ùú 12 + 22 = 5
26
当且仅当 x - 5 6 - x= ，即 x = 时，取等号.
2 5
故选：B
13 2 2 2 2 2 2．已知 a1 + a2 +L+ an =1 ， x1 + x2 +L+ xn =1 ，则 a1x1 + a2x2 +L+ an xn 的最大值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】利用柯西不等式求解. a x + a x +L+ a x 2 a2 + a21 1 2 2 n n 1 2 +L+ a2n x2 21 + x2 +L+ x2n =1 1 =1 ，
x1 x2 x
当且仅当 = =L = n =1a a a 时取等号.1 2 n
∴ a1x1 + a2x2 +L+ an xn 的最大值是1
故选：A
14．函数 f x = 1- cos2x + cosx ，则 f x 的最大值是（ ）
A． 3 B． 2 C．1 D． 2
【答案】A
【解析】将 f x 化为 f x = 2 sin2x + cosx，利用柯西不等式即可得出答案.因为 f x = 1- cos2x + cosx
所以 f x = 2 sin2x + cosx 2 +1 sin2x + cos2x = 3
当且仅当 cosx 3= 时取等号.
3
故选：A
15．（2024·高三·河北衡水·期末）已知 a，b ， c > 0，且 a + b + c =1，则 3a +1 + 3b +1 + 3c +1 的最
大值为（ ）
A．3 B．3 2 C．18 D．9
【答案】B
【解析】由柯西不等式得：
2 2 2 23a +1 + 3b +1 + 3c +1 12 +12 +12 éê 3a +1 + 3b +1 + 3c +1
ù
ú = 3 é3 a + b + c + 3 ù =18，所
1
以 3a +1 + 3b +1 + 3c +1 3 2 ，当且仅当 a = b = c = 时，等号成立，故选 B.
3
16．已知 x，y 均为正数，且 x + y = 2 ，则 x + 4 xy + 4y的最大值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
2 2 2
【解析】 x + 4 xy + 4y = x + 2 y x + 2 y + 2 x - y = 5 x + y =10
2 8
当且仅当 2 x = y ，即 x = , y = 时，等式成立.
5 5
故选：C
17．（2024·广西南宁·二模）设实数 a,b,c, d ,e满足关系： a + b + c + d + e = 8， a2 + b2 + c2 + d 2 + e2 =16，
则实数 e的最大值为
16 2
A． 2 B． C．3 D．
5 5
【答案】B
【解析】根据柯西不等式知：
4(a2 + b2 + c2 + d 2 ) = (1+1+1+1)(a2 + b2 + c2 + d 2 ) (a + b + c + d )2 ，
当且仅当 a = b = c = d 时等号成立，
所以 4(16 - e2 ) (8 - e)2 ，即64 - 4e2 64 -16e + e2 ，所以5e2 -16e 0，
16 16
解得0 e ，即实数 e的最大值为 .
5 5
故选：B.
18．（2024·山西·二模）柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的
r
一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量 a = x1, y1 ，
r r r r r
b = x , y 22 2 ，由 a ×b a b 得到 x1x2 + y1 y2 x21 + y21 x22 + y22 ，当且仅当 x1y2 = x2 y1时取等号.现已知
a 0，b 0， a + b = 9，则 2a + 4 + b +1的最大值为 .
【答案】6
【解析】令 x1 = 2, y1 =1, x2 = a + 2, y2 = b +1，
又 a 0，b 0， a + b = 9，
所以 22a + 4 + b +1 2 +1 a + 2 + b +1 = 3 12 = 36，
所以 2a + 4 + b +1 6 ，
当且仅当 2 × b +1 = a + 2 ，即 a = 6,b = 3时取等号，
所以 2a + 4 + b +1的最大值为6 .
故答案为：6
19．若不等式 x + y k 5x + y 对任意正实数 x，y 都成立，则实数 k 的最小值为 .
30 1
【答案】 / 30
5 5
2 2x y x + y
【解析】由柯西不等式的变形可知 5x + y =
x + y 30
1 + 1 1 ，整理得

5 ，
5 +1
5x + y
5
x y
=
当且仅当 1 1 ，即 y = 25x 时等号成立，
5
则 k 30的最小值为 .
5
30
故答案为：
5
20．已知 x，y，z > 0，且 x + y + z = 9 ，则 x2 + 4y2 + z2的最小值为 ．
【答案】36
é
x2 4y2 z2 12 1
2
ù2 2
【解析】由柯西不等式可得 + + ê + ÷ +1 ú (x + y + z) ，
ê è 2 ú
9
所以 x2 + 4y2 + z2 81，即 x2 + 4y2 + z2 36，4
x 2y z
= 1 =当且仅当 1 1 即 x = 4y = z 也即 x = 4, y =1, z = 4时取得等号，
2
故答案为:36.
21．（2024·高三·江苏苏州·开学考试）设角a 、b 均为锐角，则 sina + sin b + cos a + b 的范围
是 ．
1, 3ù【答案】
è 2 ú
【解析】因为角a 、b 均为锐角，所以 sina , cosa ,sin b , cos b 的范围均为 0,1 ，
所以 sin a + b = sina cos b + cosa sin b < sina + sin b ，
所以 sina + sin b + cos a + b > sin a + b + cos a + b = 2 sin a + b π+ 4 ÷è
0 a π π π π 3π因为 < < ,0 < b < , < a + b + < ，
2 2 4 4 4
所以 2 sin a + b
π 2
+ ÷ > 2 =1，
è 4 2
sina + sin b + cos a + b = sina + sin b + cosa cos b - sina sin b
= 1- sin b sina + cosa cos b + sin b 1- sin b 2 + cos2 b + sin b
= 2 1- sin b + sin b ，
当且仅当 1- sin b cosa =sina cos b 时取等，
令 1- sin b = t ， t 0,1 ， sin b =1- t 2 ，
2
2 3 3
所以= 2 1- sin b + sin b = 2t +1- t 2 = - t - ÷ + .
è 2 2 2
则 sina + sin b + cos a + b 的范围是： 1,
3ù
.
è 2 ú
3ù
故答案为： 1,
è 2 ú
22．在锐角VABC 中， tan A tan B + 2 tan B tanC + 3tanC tan A的最小值是 ．
【答案】6 + 2 2 + 2 3 + 2 6
【解析】记题中代数式为 M，我们熟知三角形中的三角恒等式：cot Acot B + cot B cot C + cot C cot A = 1，
于是M = tan A tan B + 2 tan B tanC + 3tanC tan A
(1+ 2 + 3)2

cot Acot B + cot B cot C + cot C cot A
= (1+ 2 + 3)2 = 6 + 2 2 + 2 3 + 2 6 ，
等号当 tan A tan B = 2 tan B tanC = 3 tanC tan A tan A : tan B : tanC = 2 : 3 :1时取得，因此所求最小值
为6 + 2 2 + 2 3 + 2 6
故答案为：6 + 2 2 + 2 3 + 2 6
23．函数 f (x) = 2020 - x + x - 2010 的最大值与最小值之积为 ．
【答案】10 2
【解析】函数 f (x) 的定义域为[2010,2020]，
一方面， 2020 - x + x - 2010 (2020 - x) + (x - 2010) = 10 ，
等号当 x = 2010,2020时取得；
另一方面， 2020 - x + x - 2010 2 × (2020 - x) + (x - 2010) = 20 ，
当且仅当 x = 2015时等号成立，
于是最大值为 20 ，最小值为 10 ，所求乘积为10 2 ．
故答案为：10 2 .
1 2a
24．（2024·高三·天津南开·期中）已知正实数 a，b 满足 a + b =1，则 + 的最小值为 .
a b +1
5
【答案】 / 2.5
2
1 2a 1 2 - 2b 1 4
【解析】由题设， a =1- b，则 + = + = + - 2 ，
a b +1 a b +1 a b +1
又 (a + b +1)(
1 4 ) [ a 1 2+ = × + b +1 × ]2 = 9
a b ，+1 a b +1
1 4 9 b +1
∴ + ，当且仅当 a = 时等号成立，
a b +1 2 2
1 2a 9 2 5 b +1 2∴ + - = ，当且仅当 a = = 时等号成立.
a b +1 2 2 2 3
1 2a 5
∴ + 的最小值为 .
a b +1 2
5
故答案为： .
2
2 2
25．已知a > 1,b > 1 a b，则 + 的最小值是 ．
b -1 a -1
【答案】8
【解析】令 a + b - 2 = t > 0 ，
a2 b2 a + b 2 t + 2 2 4
则 + = = t + + 4 2 4 + 4 = 8，
b -1 a -1 a + b - 2 t t
ìa + b - 2 = 2

当 í a b 时，即 a = 2,b = 2时，两个等号同时成立，原式取得最小值 8．
= b -1 a -1
故答案为：8
1 1
26．已知 x>0，y>0，且 + =12x + y y +1 ，则 x+2y 的最小值为 .
【答案】 3
1
+
2
【解析】解法一：设 x + 2y = l1(2x + y) + l2 (y +1) + t ，
1 3 3
可解得l1 = ,l2 = , t = - ，2 2 2
x 2y 1 3从而 + = (2x + y) + (y +1)
3
-
2 2 2
1 3 1 1 3
= éê (2x + y) + (y +1)
ù + 1
2 2 ú 2x + y y +1÷
- … 3 + ，
è 2 2
1 3
当且仅当 x = + , y 3= 时取等号.
2 3 3
3 1故答案为： + ．
2
a2 b2 (a + b)2
解法二：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式： + … ，
x y x + y
1 1 3 … (1+ 3)
2
= + 2x + 4y + 3…4 + 2 3，
2x + y 3y + 3 2x + 4y + 3
1 1 3 3
所以 x + 2y… 3 + ，当且仅当 x = + , y = 时取等号.
2 2 3 3
1
故答案为： 3 + ．
2拔高点突破 02　柯西不等式、反柯西不等式与权方和不等式　
目录
01 方法技巧与总结 ...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结 ...............................................................................................................................2
题型一：柯西不等式之直接套公式型 .......................................................................................................................2
题型二：柯西不等式之根式下有正负型 ...................................................................................................................3
题型三：柯西不等式之高次定求低次型 ...................................................................................................................3
题型四：柯西不等式之低次定求高次型 ...................................................................................................................4
题型五：柯西不等式之整式与分式型 .......................................................................................................................4
题型六：柯西不等式之多变量型 ...............................................................................................................................4
题型七：柯西不等式之三角函数型 ...........................................................................................................................5
题型八：Aczel 不等式 .................................................................................................................................................5
题型九：权方和不等式之整式与分式综合型 ...........................................................................................................6
题型十：权方和不等式之三角函数型 .......................................................................................................................6
题型十一：权方和不等式之杂合型 ...........................................................................................................................7
03 过关测试 ...........................................................................................................................................7
1、柯西不等式（Cauchy 不等式）
（1）二元柯西不等式：对于任意的a,b,c,d R ，都有(ac + bd)2 (a2 + b2)(c2 + d 2)．
（ 2） n元柯西不等式： (a2 + a2 +L+ a2 )(b2 + b2 +L+ b2 21 2 n 1 2 n )…(a1b1 + a2b2 +L + anbn ) ，取等条件：
ai = lbi 或bi = lai （ i = 1,2,L,n）．
2、Aczel 不等式（反柯西不等式）
设 a1,a2 ,L,an ； b1,b2 ,L,b 均 为 实 数 ， a
2 - a2 2n 1 2 -L - an > 0或 b
2
1 - b
2
2 -L- b
2
n > 0 ， 则 有
(a2 - a2 2 2 2 21 2 -L - an )(b1 - b2 -L- bn ) (a1b1 - a2b2 -L - anbn )2．当且仅当 ak ， bk 成比例时取等．
3、权方和不等式
（1）二维形式的权方和不等式
2 2 2
对于任意的a,b,x, y >0 a b (a + b) a b，都有 + … ．当且仅当 = 时，等号成立．
x y x + y x y
（2）一般形式的权方和不等式
am+1 am+1 m+11 2 a (a + a +La )
m+1
若 ai > 0 ，bi > 0 ， m > 0 ，则 m + m +L+
n … 1 2 nm m ，当 ai = lbi 时等号成立．b1 b2 bn (b1 + b2 +Lbn )
题型一：柯西不等式之直接套公式型
【例 1】已知 x, y, z R+且 x + y + z =1则 x2 + y2 + z2 的最小值是（ ）
1
A．1 B C
2
． ． 3 D．23
2 2 2
【变式 1-1】若 a1 + a2 +L+ an = 8，则 a1a2 + a2a3 + a3a4 +L+ an-1an + ana1的最小值为（ ）
A．25 B．8 C．-8 D．-25
【变式 1-2 2 2】已知 a，b， c R ，满足 a + 2 + b2 + c +1 =12，则 a + b + c 的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
题型二：柯西不等式之根式下有正负型
【例 2】（2024·高三·山东青岛·期中）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与
德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：
a2 + b2 c2 + d 2 ac + bd 2 a b，当且仅当 = 时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数c d
f x = 3 4 - 3x + 3x - 2 的最大值为（ ）
A． 2 5 B． 2 3 C．12 D．20
【变式 2-1】柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等
r r
式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量 a = x1, y1 ,b = x2 , y2 ,由
r r r r
a ×b a b 得到 (x 21x2 + y1 y2 ) (x2 + y2 )(x21 1 2 + y22 ) ,当且仅当 x1y2 = x2 y1时取等号.现已知 a 0 ,b 0 , a + b = 5 ,则
2a + 2 + b + 3 的最大值为（ ）
A．18 B．9 C． 2 3 D．3 3
【变式 2-2】（2024·浙江·模拟预测）已知 x > 0， y R ，且 x2 + xy - x + 5y = 30，则 2 - x + 30 - 3y
的最大值为（ ）
A． 3 B． 6 C．2 6 D．3 2
题型三：柯西不等式之高次定求低次型
【例 3】设 a，b，c 为正数，且 a2 + b2 + c2 =1，则 a(a + b + c) 的最大值为（ ）
A 3 +1 B 2 +1． ． C 3 D 2． ．
2 2 2 2
【变式 3-1】（2024·全国·模拟预测）柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的
“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家 Buniakowsky 和 Schwarz 彼此独立地在积分学中推而广之，才能
将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数 a1,a2 ,a3 和 b1,b2 ,b3 ，有
a2 2 2 2 2 2 2 a1 a= 2 a= 3 2 2 21 + a2 + a3 b1 + b2 + b3 a1b1 + a2b2 + a3b3 等号成立当且仅当 b b b 已知 x + y + z =14 ，请你用1 2 3
柯西不等式，求出 x + 2y + 3z 的最大值是（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
【变式 3-2】已知实数 ai i =1,2,3,4,5 2满足 (a1 - a2 ) + (a2 - a3)2 + (a3 - a )24 + (a4 - a5 )2 =1，则
a1 - 2a2 - a3 + 2a5 的最大值是（ ）
A．2 2 B． 2 5 C． 5 D． 10
题型四：柯西不等式之低次定求高次型
【例 4】若实数 a，b，c，d 满足ab + bc + cd + da = 1，则a2 + 2b2 + 3c2 + 4d 2 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．以上答案都不对
uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur
【变式 4-1】已知空间向量OA = 1, ,0÷ ,OB = 1,2,0 ,OC = 0,1, ÷，OP = xOA + yOB + zOC ，且
è 2 è 2
uuur
x + 2y + z = 2，则 OP 的最小值为（ ）
A． 2 B． 3 C．2 D．4
【变式 4-2】已知 a，b ， c为实数，且 a + b + c = 5 ，则 a2 + 2b2 + c2 的最小值为（ ）
5
A． 5 B．1 C．2 D． 2
题型五：柯西不等式之整式与分式型
4 4
【例 5】（2024 a 32b·高三·浙江台州·期末）已知正实数 a,b满足 a + 2b =1，则 + 的最小值为 ．
b a
【变式 5-1】已知 a、b 、 c R+ ，且满足 a + 2b
1 1 1
+ 3c =1，则 + + 的最小值为 .
a 2b 3c
1 1 1
【变式 5-2】已知 a,b,c (0,1)，且 ab + bc + ac =1，则 + + 的最小值为（ ）
1- a 1- b 1- c
A 3 - 3． B 9 - 3 C 6 - 3 D 9 + 3 3． ． ．
2 2 2 2
题型六：柯西不等式之多变量型
2 2 2
【例 6】已知 x, y, z > 0且 x + y + z =1
a b c
，a，b，c 为常数，则 + + 的最小值为（ ）
x y z
A． a2 + b2 + c2 B．3 a2 + b2 + c2
C． (a + b + c)3 D．前三个答案都不对
ì a + b + c + d + e = 8,
【变式 6-1】已知实数 a，b，c，d，e 满足 í
a
2 则 e 的取值范围是（ ）+ b2 + c2 + d 2 + e2 =16,
A．[-2,2] B．[0,1] C．[0, 2) D．以上答案都不对
1 1 1
6-2 a,b,c R+ (a + b - c) + - = 3 a4 + b4 + c4 1 1 1【变式 】已知 ，且 ÷ ，则 4 + 4 + 4 ÷ 的最小值是（a b c a b c ）è è
A．417 + 240 3 B．417 - 240 3
C．417 D．以上答案都不对
题型七：柯西不等式之三角函数型
【例 7】函数 3 + 2 3 cosq + cos2 q + 5 - 2 3 cosq + cos2 q + 4sin2 q 的最大值为（ ）
A． 2 + 3 B． 2 2 + 3
C． 2 + 2 3 D．前三个答案都不对
【变式 7-1】（2024·浙江·一模）若 sin x + cos y + sin x + y = 2，则 sin x 的最小值是（ ）
A 1．0 B． 2 - 3 C．3- 7 D． 2
【变式 7-2】函数 y = 2cos x + 3 1- cos 2x 的最大值为（ ）
A． 22 B．5 C．4 D． 13
题型八：Aczel 不等式
【例 8】 f (x) = 5x - 4 - x - 4 的最小值为 ．
【变式 8-1】为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》
选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等
r r r r 2 r 2 r 2
式（二维）；当向量 a = x1, y1 ,b = x2 , y2 时，有 a ×b a b ，即 x1x2 + y1 y2
2 x21 + y21 x2 + y22 2 ，当且
仅当 x1y2 = x2 y1时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数变换，得到了一个新不等式：
x 2 2 2 2 21x2 - y1y2 x1 - y1 x2 - y2 ，当且仅当 x1y2 = x2 y1时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前面
1 2
的结论可知：当 x R 时， 2 - 2 的最小值是 ．2x +1 x +1
题型九：权方和不等式之整式与分式综合型
x2 y2 z2
【例 9】已知正数 x ， y ， z 满足 x + y + z =1，则 + + 的最小值为
y + 2z z + 2x x + 2y
【变式 9-1】权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如
2 2 a + b 2 a b
下：设 a，b，x，y>0 a b ，则 + ，当且仅当 =x y 时等号成立．根据权方和不等式，函数x y x + y
f (x) 2 9= + (0 1< x < )的最小值为（ ）x 1- 2x 2
A．16 B．25 C．36 D．49
【变式 9-2】已知 a，b，c 为正实数，且满足 a + 4b + 9c 4
1 1 1
= ，则 + + 的最小值为 .
a +1 b +1 c +1
题型十：权方和不等式之三角函数型
1 8
【例 10】已知正实数 x 、 y 且满足 x + y = 1，求 +x2 y2 的最小值 .
1 8
【变式 10-1】已知q 为锐角，则 + 的最小值为 .
sinq cosq
【变式 10-2】（2024·四川·模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪 80 年代初
命名的．其具体内容为：设an > 0,bn > 0,n N
*,m > 0 ，则
am+1 am+1 m+1 m+1 a + a + a +L+ a m+11 2 a3 an 1 2 3 n a a+ + +L+ 1 = 2 a3 L a= = = n
bm bm bm bm ，当且仅当 时，等号成立．根1 2 3 n b + b + b +L+ b m b b b b1 2 3 n 1 2 3 n
x π 0, 3 3 1据权方和不等式，若 ÷ ，当 + 取得最小值时， x 的值为（2 ）è sinx cosx
π π π 5π
A． B． C． D．
12 6 3 12
题型十一：权方和不等式之杂合型
【例 11
1 2 2
】已知 x, y > 0, + = 1，则 x2x y + y
2 的最小值是 ．
【变式 11-1】已知 x + 2y + 3z + 4u + 5v = 30，求 x2 + 2y2 + 3z2 + 4u2 + 5v2 的最小值为
【变式 11-2】求 f x = x2 - 3x + 2 + 2 + 3x - x2 的最大值为
1．（2024·吉林白山·一模）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的
2 2 a + b 2a b a b
应用，其表述如下：设正数 a，b ， x ， y ，满足 + ，当且仅当 =x y 时，等号成立．则函x y x + y
数 f x 3 16 1= + 0 < x <

÷ 的最小值为（x 1 3x 3 ）- è
A．16 B．25 C．36 D．49
2．已知 a，b，c 均大于 1， log 3 + log 9 + log 27 =12 ，则 ab2c3a b c 的最小值为（ ）
A．243 B．27 C．81 D．9
p p q
3．（2024

·福建·模拟预测）设 p 、 q R+ ， x 0, ÷，则 + 的最小值是（ ）
è 2 sin x cos x
5 5 2 4
3 3 3 4 4 4 1 1 1 1 A． p5 + q5 ÷ B． p 5 + q 5
2 2 4 4
÷ C． p + q ÷ D． p + q ÷
è è è è
4．由柯西不等式，当 x + 2y + z = 4时，求 x + y + z 的最大值为（ ）
A．10 B．4 C．2 D． 10
xy
5．已知3x + 2y + z = 3，则 x2 + y2 + 2z2的取最小值时， 为（ ）
z
8
A 7 B 7． ． C．3 D．3 3
6．已知： a2 + b2 =1， x2 + y2 =1，则 ax + by 的取值范围是（ ）
A． 0,2 B． -1,1 C． -2,2 D． 0,1
7．实数 x、y 满足3x2 + 4y2 =12，则 z = 2x + 3y 的最小值是（ ）
A．-5 B．-6 C．3 D．4
8．已知 a，b > 0， a + b = 5，则 a +1 + b + 3 的最大值为（ ）
A．18 B．9 C．3 2 D． 2 3
9．若实数 x + 2y + 3z = 1，则 x2 + y2 + z2 的最小值为（ ）
1 1
A．14 B． C．29 D．
14 29
10．函数 y = x2 - 2x + 3 + x2 - 6x +14 的最小值是
A． 10 B． 10 +1 C．11+ 2 10 D． 2 10
11．若 x2 + 4y2 + 9z2 = 4，则 x + y + 3z的最大值（ ）
A．3 B．6 C．9 D．27
12．函数 y = x - 5 + 2 6 - x 的最大值是( )
A． 3 B． 5 C．3 D．5
13 2 2 2 2 2．已知 a1 + a2 +L+ an =1 ， x1 + x2 +L+ x
2
n =1 ，则 a1x1 + a2x2 +L+ an xn 的最大值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
14．函数 f x = 1- cos2x + cosx ，则 f x 的最大值是（ ）
A． 3 B． 2 C．1 D． 2
15．（2024·高三·河北衡水·期末）已知 a，b ， c > 0，且 a + b + c =1，则 3a +1 + 3b +1 + 3c +1 的最
大值为（ ）
A．3 B．3 2 C．18 D．9
16．已知 x，y 均为正数，且 x + y = 2 ，则 x + 4 xy + 4y的最大值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
17．（2024·广西南宁·二模）设实数 a,b,c, d ,e满足关系： a + b + c + d + e = 8， a2 + b2 + c2 + d 2 + e2 =16，
则实数 e的最大值为
16 2
A． 2 B． C．3 D．
5 5
18．（2024·山西·二模）柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的
r
一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量 a = x1, y1 ，
r r r r r
b = x , y 2 2 2 2 22 2 ，由 a ×b a b 得到 x1x2 + y1 y2 x1 + y1 x2 + y2 ，当且仅当 x1y2 = x2 y1时取等号.现已知
a 0，b 0， a + b = 9，则 2a + 4 + b +1的最大值为 .
19．若不等式 x + y k 5x + y 对任意正实数 x，y 都成立，则实数 k 的最小值为 .
20．已知 x，y，z > 0，且 x + y + z = 9 ，则 x2 + 4y2 + z2的最小值为 ．
21．（2024·高三·江苏苏州·开学考试）设角a 、b 均为锐角，则 sina + sin b + cos a + b 的范围
是 ．
22．在锐角VABC 中， tan A tan B + 2 tan B tanC + 3tanC tan A的最小值是 ．
23．函数 f (x) = 2020 - x + x - 2010 的最大值与最小值之积为 ．
1 2a
24．（2024·高三·天津南开·期中）已知正实数 a，b 满足 a + b =1，则 + 的最小值为 .
a b +1
2 2
25．已知a > 1,b > 1 a b，则 + 的最小值是 ．
b -1 a -1
1 1
26．已知 x>0，y>0，且 + =12x y y 1 ，则 x+2y 的最小值为 .+ +

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