资源简介

拔高点突破 04 多元函数最值与双重变量最值问题
目录
01 方法技巧与总结 ...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结 ...............................................................................................................................2
题型一：消元法 ....................................................................................................................................2
题型二：判别式法 ................................................................................................................................4
题型三：基本不等式法 ........................................................................................................................5
题型四：辅助角公式法 ........................................................................................................................6
题型五：柯西不等式法 ........................................................................................................................8
题型六：权方和不等式法 ....................................................................................................................9
题型七：拉格朗日乘数法 ..................................................................................................................10
题型八：三角换元法 ..........................................................................................................................11
题型九：构造齐次式 ..........................................................................................................................13
题型十：数形结合法 ..........................................................................................................................15
题型十一：向量法 ..............................................................................................................................18
题型十二：琴生不等式法 ..................................................................................................................21
题型题型十三：双重变量最值问题 ..................................................................................................23
03 过关测试 ........................................................................................................................................25
解决多元函数的最值问题不仅涉及到函数、导数、均值不等式等知识，还涉及到消元法、三角代换法、
齐次式等解题技能．
题型一：消元法
【典例 1-1】已知正实数 x，y 满足 ln x = yex + ln y ，则 y - e- x 的最大值为______.
1
【答案】 2 / e
-2
e
ln x
【解析】由 ln x = yex ln
x yex x ln x+ ln y = = xex x得 y ，所以 y y ，则 xe
x = ln ×e y ，
y
x
因为 x > 0， ex > 0， lne y 0，所以 ln
x
> 0
> y ，
令 f (x) = xex x > 0 ，则 f (x) = ex (x +1) > 0，所以 f x 在 0, + 上单调递增，
xex ln x
ln x
所以由 = ×e y ，即 f x = f ln
x
÷ ，得 x = ln
x
y x，所以 =y x ，y è y e
- x x 1 x -1
所以 y - e = x - x = x ，e e e
g(x) x -1 x 0 2 - x令 = x > ，则 g (x) = ，e ex
令 g (x) > 0，得0 < x < 2；令 g (x) < 0，得 x > 2，
所以 g(x)在 0,2 上单调递增，在 2, + 上单调递减，
1
所以 g(x)max = g(2)
1
= y - e- x
e2 ，即 的最大值为 2 ．e
1
故答案为： 2 ．e
ln t
【典例 1-2】已知实数m, n满足：m ×em = (n -1) ln(n -1) = t(t > 0)，则 m(n 1) 的最大值为___________.-
1
【答案】
e
【解析】由已知得，m > 0, n -1 > 0, ln n -1 > 0 ，
令 f x = xex (x > 0) '，则 f x = x +1 ex > 0，
\ f x 在 0, + 上单调递增，
又因为m ×em = (n -1) ln(n -1)，
所以 f m = f ln n -1 ,
\m = ln n -1 ，
\m n -1 = (n -1) × ln n -1 = t,
lnt lnt
\ =
m n -1 t ，
lnt
令 g t = (t > 0),
t
' 1- lnt
所以 g t = 2 ，t
则当 t (0,e) 时， g ' (t) > 0， g(t)单调递增；当 t (e,+ )时， g ' (t) < 0， g(t)单调递减；
1
所以 g(t)max = g(e) = .e
1
故答案为： .
e
【变式 1-1】对任给实数 x > y > 0 ,不等式 x2 - 2y2 cx(y - x)恒成立,则实数 c的最大值为__________.
【答案】 2 2 - 4
【解析】因为对任给实数 x > y > 0 ,不等式 x2 - 2y2 cx(y - x)恒成立，
2
x
x2 - 2y2 ÷
- 2
c = è
y
所以 ，
xy - x2 2x x
-
y è y
÷

x t 2 - 2
令 = t >1y ，则 c = f (t)，t - t 2
2
f (t) t - 4t + 2 (t - 2 + 2)(t - 2 - 2)= 2 = 2 2 2 ，t - t t - t
当 t > 2 + 2 时， f (t) > 0，函数 f (t) 单调递增；当1< t < 2 + 2 时， f (t) < 0 ，函数 f (t) 单调递减，
所以当 t = 2 + 2 时， f (t) 取得最小值， f (2 + 2) = 2 2 - 4，
所以实数 c的最大值为 2 2 - 4
故答案为： 2 2 - 4
题型二：判别式法
【典例 2-1】（2024·广东茂名·二模）已知实数 a，b 满足 lg a + lgb = lg a + 2b ，则 a + b 的最小值是 .
【答案】3+ 2 2
【解析】因为实数 a，b 满足 lg a + lgb = lg a + 2b ，
所以 a > 0,b > 0，且 ab = a + 2b .
令u = a + b ，则u > 0，所以 a = u - b ，
代入 ab = a + 2b，则有 u - b b = u - b + 2b，
2
所以关于 b 的一元二次方程b - u -1 b + u = 0有正根，
只需D = u -1 2 - 4u 0 ，解得：u 3+ 2 2 .
此时，关于 b 2的一元二次方程b - u -1 b + u = 0的两根b1b2 = u > 0，所以两根同号，只需b1 + b2 = u -1 > 0，
解得u >1 .
综上所述：u 3+ 2 2 .
即 a + b 的最小值是3+ 2 2 （此时Δ = 0，解得： a = 2 + 2,b =1+ 2 ）.
故答案为：3+ 2 2 .
【典例 2-2】已知a, b R，且 a2 + b2 + ab = 1，则b 的取值范围是 .
é 2 3 2 3 ù
【答案】 ê- ,
3 2
ú

【解析】因为 a2 + b2 + ab = 1，所以 a2 + ab + b2 -1 = 0 .
又因为a, b R，
所以D = b2 - 4 b2 -1 0 2 3 b 2 3，解得- .
3 2
é 2 3 ù
故答案为： ê- ,
2 3
3 2 ú
.

【变式 2-1】（2024·浙江·二模）设a, b R，l > 0，若 a2 + lb2 = 4 ，且 a + b 的最大值是 5 ，则
l = .
【答案】4
ìa + b = d
【解析】令 a + b =d，由 í 2 2 消去 a 得： (d - b)2 + lb2 = 4，即 (l +1)b2 - 2db + d 2 - 4 = 0，
a + lb = 4
4(l +1)
而b R ，l > 0，则D = (2d )2 - 4(l +1)(d 2 - 4) 0 2， d ，-2 l +1 l +1 d 2 ，
l l l
l +1
依题意 2 = 5 ，解得l = 4 .
l
故答案为：4
ax + b
【变式 2-2】设非零实数 a，b 满足a2 +b2 = 4，若函数 y = 2 存在最大值 M 和最小值 m，则x +1
M - m = .
【答案】2
b - 2 b + 2 ax + b
【解析】化简得到 yx2 - ax + y - b = 0，根据D 0和 a2 +b2 = 4得到 y ，解得答案. y = ，2 2 x2 +1
则 yx2 - ax + y - b = 0 D = a2，则 - 4y y - b 0，
即4 y2 - 4 yb - a2 0，a2 +b2 = 4，故 4y2 - 4yb + b2 - 4 0，
é 2y - b + 2 ù é2y - b - 2 ù 0
b - 2 y b + 2 b - 2 b + 2 ，即 ，即m = , M = ，2 2 2 2
M - m = 2 .
故答案为：2.
题型三：基本不等式法
【典例 3-1】已知 x2 + y2 + z2 =1，则 3xy + yz 的最小值为 .
【答案】 -1
3 1
【解析】Q x2 + y2 + z2 = 1，\ x2 + y2 + y2 + z2 =1，
4 4
ì
x2 + y2 + z2 =1
1 x2 3 y2 1
3
\ = + + y2 + z2 - 3xy - yz ，当且仅当 í x=- y 时等号成立.4 4 2
z 1 = - y 2
\ 3xy + yz -1，\ 3xy + yz 的最小值为 -1 .
故答案为： -1
【典例 3-2】已知正实数 a，b ， c满足 ab + bc + ca =16(a 3) ，则 2a + b + c 的最小值为 ．
【答案】10
【解析】解析：易知恒等式 a2 + ab + bc + ca = (a + b)(a + c)，而
2a + b + c 2 (a + b)(a + c) = 2 a2 +16 2 9 +16 =10，
当且仅当 a = 3，b = c = 2时，等号成立．
故答案为：10.
【变式 3-1】已知 x, y R,3x2 + y2 = 3，则 4x2 + xy + y2 的最大值为 ．
9
【答案】
2
2 2
4x2 xy y2 4x2 x y 9【解析】 + + + 2 3 + ÷ + y = ，当且仅当 x = y = ± 时取到等号．
è 2 2 2 2
9
故答案为： .
2
x2 + x +1
【变式 3-2】（2024·河南郑州·模拟预测）已知 x > 0， y > 0， x + 2y =1，则 的最小值为 ．
2xy
【答案】3+ 2 3 / 2 3 + 3
【解析】因为 x + 2y =1，
x2 + x +1 x x +1 x x + y x 1 1
所以 = + = + = + +
2xy 2y 2xy 2y xy 2y y x
x x + 2y x + 2y 3x 2y
= + + = 3 + + 3 + 2 3
2y y x 2y x ，
ì 3x 2y
ì 3 -1
= , x = , 2
当且仅当 í 2y x 即 í 时等号成立，
x + 2y =1, y
3- 3
= ,
4
x2 + x +1
所以 的最小值为3+ 2 3 ．
2xy
故答案为：3+ 2 3 ．
题型四：辅助角公式法
【典例 4-1】设 A, B,C 是一个三角形的三个内角，则 cosA 3sinB + 4sinC 的最小值为 .
125 3
【答案】-
108
【解析】 cosA 3sinB + 4sinC = cosA é3sinB + 4sin π - A - B ù = cosA 3sinB + 4sin Acos B + 4cos Asin B
= cosA é 3+ 4cos A sin B + 4sin Acos Bù ，
令3+ 4cos A = a,b = 4sin A，
所以 cosA 3sinB + 4sinC = cosA asinB + bcos B = a2 + b2 cos Asin q + B ，
要想 cosA 3sinB + 4sinC 有最小值，显然A 为钝角，即 cos A < 0，
于是有 a2 + b2 cos Asin q + B a2 + b2 cos A，
设 f A = cos A × 9 + 24cos A +16cos2 A +16sin2 A = cos A × 25 + 24cos A ，
因为 cos A < 0，
所以 f A = - 25cos2 A + 24cos3 A
cos A = t -1 < t < 0 f t = 25t 2令 ，即 + 24t3 , -1< t < 0 f t = 50t + 72t 2 = 2t 25 + 36t ，
当-1 < t
25
< - 时， f t > 0，函数 f t 单调递增，
36
25
当- < t < 0时， f t < 0，函数 f t 单调递减，
36
t 25 f t f 25 25
2 25
因此当 = - 时，函数 有最大值 - = ，
36 ֏ 36 362 3
2
所以 f A 25 25 125 3的最小值为- = - ，
362 3 108
此时 cos A
25 π
= - < A 3π< ， a = 3 + 4cos A 2= ,b 671= ，
36 2 4 9 9
tanq 671
π
即存在 = >1,q
π , π ÷，显然存在 B ，使得B +q = ，2 è 4 2 2
即 cosA 3sinB + 4sinC 125 3的最小值为- ，
108
125 3
故答案为：-
108
【典例 4-2】曲线 x2 +xy - y2 =1上的点到坐标原点的距离的最小值等于 ．
2 5
【答案】
5
1
【解析】由已知，设 x = r cosq ， y = r sinq r > 0 2 ，则 r cos 2q + sin 2q
=1，
è 2 ÷
Qcos 2q 1+ sin 2q 5= sin 2q +j 5 ,
2 2 2
r 2 1 1 2= =
∴ 1 5 5 ∴ r 2 5cos 2q + sin 2q ， .
2 2 5
2 5
故答案为： .
5
2 2 2 2
【变式 4-1】已知 x - 3xy + 2y =1 x, y R ，则 x + y 的最小值为 ．
【答案】 2 10 - 6 / -6 + 2 10
【解析】设 x = r cosq ， y = r sinq ，则 x2 + y2 = r 2 ，而 x2 - 3xy + 2y2 =1(x, y R)，显然 r 0，
2 2
x2 y2 r r因此 + = 2 2 =| x - 3xy + 2y | | r 2 cos2 q - 3r 2 cosq sinq + 2r 2 sin2 q |
1 2
=
| 1+ cos 2q 3
=
- sin 2q +1- cos 2q | | 3 - (3sin 2q + cos 2q ) |
2 2
2
= j tanj 1=
| 3 10 sin(2 ) | ，其中锐角 由 确定，- q +j 3
函数 y = 3- 10 sin(2q +j) ，当 sin(2q +j ) = -1时， ymax = 3+ 10 ，当 sin(2q +j) =1时， ymin = 3 - 10 ，
2 2
因此0 <| 3 - 10 sin(2q +j) | 3 + 10 ，即有 = 2( 10 - 3)| 3 - 10 sin(2q +j) | 3 + 10 ，
x2所以 + y2的最小值为 2 10 - 6 .
故答案为： 2 10 - 6
题型五：柯西不等式法
【典例 5-1】实数 x、y 满足 x2 + y2 = 20，则 xy + 8x + y的最大值是
【答案】42
1 1 5
【解析】注意 xy x2 + y2 8x x2 +16 y y2 +1 2 2， ， ，这三者相加即得 xy + 8x + y x + y +17 = 42 .4 4 4
当 x = 4， y = 2 时等号成立，所以 xy + 8x + y的最大值是 42.
也可以直接用柯西（Cauchy）不等式 xy + 8x + y 2 x2 + 82 + y2 y2 + x2 +12 = 84 21 = 422 ，得到最大值
为 42.
故答案为 42
【典例 5-2】函数 f (x) = 2020 - x + x - 2010 的最大值与最小值之积为 ．
【答案】10 2
【解析】函数 f (x) 的定义域为[2010,2020]，
一方面， 2020 - x + x - 2010 (2020 - x) + (x - 2010) = 10 ，
等号当 x = 2010,2020时取得；
另一方面， 2020 - x + x - 2010 2 × (2020 - x) + (x - 2010) = 20 ，
当且仅当 x = 2015时等号成立，
于是最大值为 20 ，最小值为 10 ，所求乘积为10 2 ．
故答案为：10 2 .
【变式 5-1】已知 x, y, z R, x2 + y2 + z2 = 2, 则 x + 2y + 2z的最大值为
【答案】3 2
x2 + y2 + z2 12 + 22 2【解析】由柯西不等式， + 2 x + 2y + 2z 2 ,
x + 2y + 2z 2则 2 9 =18，
所以 x + 2y + 2z 3 2 ，当且仅当 y = z = 2x 时，等号成立，
所以 x + 2y + 2z的最大值为3 2 .
故答案为：3 2 .
x2 2
【变式 5-2】已知 x > 0， y > 0， + y2 =1，则 x + 2y的最大值是 .
4 2
【答案】2
x2 2
+ y2
2
【解析】由柯西不等式得 ÷ 1 +12 … x x 2 1+ y 1÷ = ( + y)
è 4 è 2 2
所以1 2…( x + y)2 x，当 = y , 即 x = 2, y 2= 时等号成立.
2 2 2
x 2
所以 + y 2 ，即 x + 2y的最大值是 2
2 2
题型六：权方和不等式法
1 8
【典例 6-1】已知q 为锐角，则 + 的最小值为 .
sinq cosq
【答案】5 5
3 3 32
1 8 12 42 1+ 4 3
【解析】 + = + = 52 = 5 5
sinq cosq 1 1 1 sin2 q 2 cos2 q 2 sin2 q + cos2 q 2
1 4 5 2 5
当且仅当 2 = 2 即 sinq = ， cosq = 时取“ = ”.sin θ cos θ 5 5
故答案为：5 5
【典例 6-2】求 f x = x2 - 3x + 2 + 2 + 3x - x2 的最大值为
【答案】 2 2
1 1
x2 - 3x + 2 2 2 + 3x - x2 2
f (x) = x2 - 3x + 2 + 2 + 3x - x2 = 1 + 1
- -
1 2 1 2
【解析】 1
x2 - 3x + 2 + 2 + 3x - x2 2
1 = 2 2
1+1 - 2
当且仅当 x 2 - 3x + 2 = 2 + 3x - x 2 ，即 x = 0或 x = 3时取等号
故答案为： 2 2 .
【变式 6-1】已知 x + 2y + 3z + 4u + 5v = 30，求 x2 + 2y2 + 3z2 + 4u2 + 5v2 的最小值为
【答案】60
2
2 2 2 2 2 x 2yx 2y 3z 4u 5v
2 3z 2 4u 2 5v 2
+ + + + = + + + +
1 2 3 4 5
【解析】
x + 2y + 3z + 4u + 5v 2 302
= = 60
1+ 2 + 3+4+5 15
当且仅当 x = y = z =u =v时取等号
故答案为：60
【变式 6-2】（2024·四川·模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪 80 年代初命名
m+1 m+1 m+1 m+1
* a + a + a +L+ a
m+1
的．其具体内容为：设an > 0,bn > 0,n N ,m > 0
a1 a2 a a+ + 3 +L+ n 1 2 3 n，则
bm bm m
，
1 2 b3 b
m
n b1 + b2 + b3 +L+ b
m
n
a1 a2 a3 L a= = = = n π 3 3 1当且仅当 b b b b 时，等号成立．根据权方和不等式，若
x 0, 2 ÷
，当 + 取得最小
1 2 3 n è sinx cosx
值时， x 的值为（ ）
π π π 5π
A． B． C． D．
12 6 3 12
【答案】C
【解析】由题意得，sinx > 0,cosx > 0，
3 3 3
3 3 1 32 12 (3 +1)2 3
则 + = 1 + 2sin x cos x 1 1
= 4 = 8，
sin2 x 2 cos2 x 2 sin2 x + cos2 x 2
3 1 1 π
当且仅当 = ，即 cosx = 时等号成立，所以 x = ．
sin2x cos2x 2 3
故选：C．
题型七：拉格朗日乘数法
【典例 7-1】 x > 0 ， y > 0 ， xy + x + y = 17 ，求 x + 2y + 3的最小值．
【解析】令 F (x, y,l) = x + 2y + 3 - l(xy + x + y -17)
Fx = 1- l y - l = 0， Fy = 2 - lx - l = 0， Fl = -(xy + x + y) +17 = 0，
1
联立解得 x = 5 ， y = 2 ，l = ，故 x + 2y + 3最小为 12．
3
【典例 7-2】设 x, y 为实数，若 4x2 + y2 + xy = 1，则 2x + y 的最大值是 ．
2 10
【答案】
5
【解析】令 L = 2x + y + l(4x2 + y2 + xy -1) ，
ì
ìL 10x = 2 + 8lx - 3l y = 0 x = ± 10
由 íLy = 1+ 2l y - 3lx = 0 ，解得 í ，

Ll = 4x
2 + y2 + xy -1 = 0 10 y = ± 5
10 10 2 10
所以 2x + y 的最大值是 2 × + = ．
10 5 5
【变式 7-1】已知 a,b为非负数, M = a4 + b4 , a + b =1 ,求M 的最值.
【解析】设F a,b,l = a4 + b4 + l 1- a - b ,
ì
F a= 4a
3 - l = 0, ìa 1=
\

íF b= 4b
3 - l = 0, 解得 2í
1
F l=1- a - b = 0,
b =
2
1
\当 a = ,b 1 1= 时, m 取最值且M = .
2 2 8
又 a,b为非负数,且 a + b =1,
故 a = 0,b =1或 a =1,b = 0为M 可能取最值处，则M =1 .
1
综上可知M max =1, M min = .8
题型八：三角换元法
【典例 8-1】函数 y = x - 4 + 15 - 3x 的值域为 .
【答案】 1,2
ì x-4=sinq ìsinq 0 é p ù
【解析】令 í ，由 í 得q 2kp , + 2kp ，
5-x=cosq cosq 0
ê 2 ú
y = sinq + 3 ×cosq = 2sin q p+ p则 ÷，q
é2kp , + 2kp ù ，
è 3 ê 2 ú
所以 y 1,2 .
故答案为： 1,2 .
x - x3
【典例 8-2】函数 f (x) = 2 2 的值域是 ．1+ x
é 1 1 ù
【答案】 ê- , 4 4ú
2
【解析】 f (x) x 1- x= × ，
1+ x2 1+ x2
x = tana f 1令 ，则 = sin 2a ×cos2a
1
= sin 4a ，
2 4
1 f 1由此，- ，当 x = - tan
p , tan p 时两边分别取得等号．
4 4 8 8
é 1 1 ù
故答案为： - , .
ê 4 4ú
【变式 8-1】函数 y = 7 - x + 9 + x 的值域是区间 ．
【答案】 é4,4 2 ù
【解析】显然函数定义域为 x -9,7 ，在此区间内 y > 0，
由于 7 - x + 9 + x =16 7 - x 9 + x，即 + =1，
16 16
故有角a
é0, π ù 7 - xê ú 使得2 = sina
9 + x
， = cosa ．
16 16
y 7 - x 9 + x
于是 = + = sina + cosa = 2sin
π
4 16 16
a + ÷，
è 4
0 a π π π 3π因为 ，则 a + ．
2 4 4 4
2
在此范围内 sin a
π
+ ÷ 1，则有1 2sin
π
2 4
a + ÷ 2 ．
è è 4
因此 4 y 4 2 ．（当 x = 7时， ymin = 4；当 x = -1时， ymax = 4 2 ）
故答案为 é ù 4,4 2
【变式 8-2】若 x, y R ，且3x2 + 2y2 = 6x f x, y = 2x2 + 3y2，则二元函数 - 4x - 6y的取值范围是（）
é5
A． ê - 3 6,
5
+ 3 6 ù
2 2 ú
B． 5,10

C． é 2 6 -1,2 6 +1ù é D． 7 - 2 6,7 + 2 6 ù
【答案】A
2

÷
【解析】配方得 x -1 2 y+ ÷ =1
3 ÷
÷
è 2
y =sinq -p < 0 p
令 x -1 = cosq ， 3 ，则 x =1+cosq ， y= 3sinq
2 2
从而， f x, y 5= sinq sinq 6- 6
2 5 ÷
，其中，-1 sinq 1
è
由此易知 f x, y é5 3 6, 5的值域为 ê - + 3 6
ù
ú .选 A. 2 2
题型九：构造齐次式
2xy xy
【典例 9-1】已知 x > 0， y > 0，则 2 2 +x + 8y x2 + 2y2 的最大值是______.
2
【答案】 3
3( x 4y3 3 + )2xy xy 3x y +12xy
【解析】由题意， 2 2 + = =
y x
x + 8y x2 + 2y2 x4 +10x2 y2 +16y4 ( x )2 +16( y )2 +10
y x
3( x 4y+ ) 3( x 4y+ )
= y x y x
( x 4y
= x 4y 2
+ )2 + 2 ( + ) + ，
y x y x x 4y+
y x
x 4y x 4y x 4y x 4y
设 t = + ，则 t = + 2 × = 4y x ，当且仅当
= x = 2y
y x ，即 取等号，y x y x
又由 y = t
2
+ 在[4,+ )上单调递增，
t
2 9 2 9
所以 y = t + 的最小值为 ，即 t + ，
t 2 t 2
3( x 4y+ )
y x 3 2
x 4y 2 2 =所以 ( + ) + t + 3 ，
y x x 4y+ t
y x
2xy xy 2
所以 x2 4y2
+
x2 2y2 的最大值是+ + 3 .
2
故答案为： 3 .
3a 1
【典例 9-2】已知实数 a,b > 0，若 a + 2b =1，则 + 的最小值为（
b ab ）
A．12 B． 2 3 C．6 3 D．8
【答案】A
3a 1
【解析】由 + ， a + 2b =1， a,b > 0，
b ab
3a 1 3a a + 2b 2
所以 + = +
b ab b ab
3a a2 + 4ab + 4b2
= +
b ab
3a a 4b
= + + 4 +
b b a
4a 4b
= + + 4 2 4a 4b× + 4 = 8 + 4 =12，
b a b a
4a 4b
当且仅当 = a
1
= b = 时，取等号，
b a 3
3a 1
所以 + 的最小值为：12，
b ab
故选：A.
ab
【变式 9-1】（2024·天津南开·高三统考期中）已知正实数 a，b，c 满足 a2 - 2ab + 9b2 - c = 0，则 的最大c
值为____________．
1
【答案】 /0.25
4
【解析】由 a2 - 2ab + 9b2 - c = 0，得 c = a2 - 2ab + 9b2 ，
∵正实数 a，b，c
ab ab 1
=
∴则 c a2
=
- 2ab + 9b2 a 9b+ - 2
b a
a 9b 2 a 9b则 + × = 6 ，
b a b a
a 9b
当且仅当 = ，且 a，b>0，即 a=3b 时，等号成立
b a
a 9b
+ - 2 4 > 0
b a
1 1
则 a 9b

+ - 2 4
b a
ab 1
所以， 的最大值为 .
c 4
1
故答案为： .
4
题型十：数形结合法
【典例 10-1】 4y + y -1 2 + 22 y -1 + y - 5 2 的最小值为（ ）
A．5 B． 2 + 17 C．6 D．1+ 26
【答案】C
2
【解析】设 x = 2 y ，则 x = 4y y 0 ，则曲线 x = 2 y 为抛物线 x2 = 4y的右半部分．抛物线 x2 = 4y的焦
点为F 0,1 ，设点 A 1,5 到准线 l： y = -1的距离为 d，点 P 为抛物线 x2 = 4y的右半部分上一点，设 P 到
准线 l： y = -1的距离为 d1 ，
2
则 4y + y -1 2 + 2 y -1 + y - 5 2 = x2 + y -1 2 + x -1 2 + y - 5 2
= PF + PA = d1 + PA 5 +1 = 6 ．
故选：C
【典例 10-2】（2024·高三·山西太原·期末）已知函数 y = 3 1- x + 3x + 9 的最大值为M ，最小值为m ，则
m
的值为
M
1
A B 1 C 3 D 2 3． ．
4 2
． ．
2 3
【答案】B
ì1- x 0 ì u = 1- x , u 0,2
【解析】由 í 解得-3 x 1为函数的定义域.令 í ，消去 x
3x
得
+ 9 0 v = 3x + 9, v é ù 0,2 3
2 2
3u2 + v2 =12, u v+ =1，图像为椭圆的一部分，如下图所示. y = 3u + v，即直线 v = -3u + y，由图可知，截
4 12
距 y 在点A 处取得最小值，在与椭圆相切的点 B 处取得最大值.而 A 0,2 3 ，故最小值为
ìv = -3u + y

m = 3 0 + 2 3 = 2 3 .联立 íu2 v2 ，消去u 得12u2 - 6yu + y2 -12 = 0，其判别式为零，即
+ =1 4 12
36y2 - 4 ×12 y2 -12 = 0 m 2 3 1，解得 y = 4 3 （负根舍去），即M = 4 3 ，故 = = .
M 4 3 2
2
【变式 10-1】（2024·湖北·模拟预测）设D = x - a 2 + ex - 2 a + a +1，其中e 2.71828，则 D的最小
值为（ ）
A． 2 B． 2 +1 C． 3 D． 3 +1
【答案】A
x
【解析】令Q x, e ，P a, 2 a ，则点Q在函数 f x = ex 图象上， P 在函数 g x = 2 x 的图象上，
容易知道 g x = 2 x 图象是抛物线 y2 = 4x图象的上半部分，
记抛物线焦点为F 1,0 ，过 P 作抛物线的准线 l : x = -1的垂线，垂足为M ，如图所示：
2
则D = x - a 2 + ex - 2 a + a +1 = PQ + PM = PQ + PF FQ ，
当且仅当 P 在线段 FQ上时，取最小值.
设这时Q点坐标为Q x0 , ex0 x，又 f x = e ，
x0
ex e - 0所以有 0 × = -1 e2x0 =1- x ，解得 x = 0 ，即该点为 0,1 ，
x0 -1
0 0
FQ 1- 0 2 + 0 -1 2所以 = 2 ，因此Dmin = 2 .
故选：A.
【变式 10-2】已知点M x1, y1 在直线 l1 : y = x + 2，点 N x2 , y2 在直线 l2 : y = x 上，且MN ^ l1，
x2 + y - 4 2 + x - 5 2 + y21 1 2 2 的最小值为（ ）
A 7 2． B 11 2． C． 41 - 2 D．5
2 2
【答案】D
【解析】由已知 x2 + y - 4 2 表示点M x1, y1 到点 A 0,41 1 的距离，
x2 - 5
2 + y 2 表示点 N x2 , y2 2 到点B 5,0 的距离，
所以 x2 2 21 + y1 - 4 + x2 - 5 + y22 = MA + NB ，
过点A 作 AC ^ l1，垂足为C ，
因为直线 l1的方程为 x - y + 2 = 0 ， A 0,4 ，
0 - 4 + 2
所以 AC = = 2 ，
1+1
又直线 l1 : y = x + 2与直线 l2 : y = x 平行，MN ^ l1，
2 - 0
所以 MN = = 2 ，所以MN //AC, MN = AC ，
1+1
所以四边形 AMNC 为平行四边形，所以 AM = CN ，
所以 x21 + y1 - 4
2 + x2 - 5
2 + y22 = CN + NB ，
又 CN + NB CB ，当且仅当C, N , B 三点共线时等号成立，
所以当点 N 为线段CB与直线 l2的交点时，
x21 + y
2
1 - 4 + x2 - 5
2 + y22 取最小值，最小值为 CB ，
因为过点 A 0,4 与直线 l1垂直的直线的方程为 y = -x + 4，
ìy = -x + 4 ìx =1
联立 íy ，可得 ， = x + 2
í
y = 3
所以点C 的坐标为 1,3 CB = 5 -1 2，所以 + 0 - 3 2 ，
所以 x21 + y - 4
2
1 + x2 - 5
2 + y22 的最小值为5，
故选：D.
题型十一：向量法
r r r r r r r r r r r r
11-1 2024· 2【典例 】（ 上海金山·二模）已知平面向量 a、b 、 c满足： |a |=| b |=1， a ×c = b ×c =1，则 a ×b + c
的最小值为 ．
【答案】 2 2 -1
r r r r r r r r r r r r
【解析】因 |a |=| b |=1，由 a ×c = b ×c =1可得 | c | cosáa,c =| c | cosáb,c = 1，
r r r r r r
即 c在 a方向上的投影数量等于 c在b 方向上的投影数量，且等于 |a |=| b |=1，
r r r r r r r r r r
又由 cosáa,c = cosáb,c 可得 áa,c = áb,c ，不妨设 áa,c = q ，
r r r 1 r r r2 1 1
则a ×b = cos2q ， | c |= ，于是a ×b + c = cos2q + 2 = 2cos
2 q +
cosq cos q cos2
-1，
q
因q [0, π]，则0 < cos2 q 1，因2cos2 q
1
+ 2 2 cos2 q 22 ，当且仅当 = 时，等号成立，cos q 2
r r r
即当 cos2 q 2= 2时， a ×b + c 取得最小值 2 2 -1.2
故答案为： 2 2 -1.
uuur uuur uuur
【典例 11-2】如图，圆O是VABC 的外接圆，BA = m，BC
4
= ， ABC = 60°，若BO = xBA + yBC ，则
m
x + y 的最大值是 ．
2
【答案】 3
【解析】如图，分别取BA, BC 的中点 E, F ，连接OE,OF ，
则OE ^ AB,OF ^ BC ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
故BA × BO = BA BO cos OBA
1 1
= BA BA = m2，
2 2
uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuurBC × BO = BC BO cos 8 OBC = BC BC =
2 m2
，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur
又BA × BO = BA × xBA + yBC = xBA + yBC × BA = xm2 + 2y ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2BC × BO = BC × xBA + yBC = xBC × BA + yBC = 2x 16y+ 2 ，m
ì1 2m2
ì
xm2 2y x 2m - 4= + =
2 3m2
所以 í 8 16y ，解得 í 2 ， = 2x + y 8 - m = m2 m2 12
2m2x y - 4 8 - m
2 4 4 m2 4 4 m2 2
所以 + = 2 + = - +3m 12 3 3m2 12 ÷
- 2 × = ，
è 3 3m
2 12 3
4 m2
当且仅当 2 = ，即m = 2 时取等号，3m 12
x + y 2所以 的最大值是 3 .
2
故答案为： 3 .
r r r r r 1 r r r r
【变式 11-1】（2024·浙江杭州·二模）已知 a,b,c都是单位向量，且 a ×b = - ，则
2 1- a ×c + 1- b ×c
的最小
值为 ；最大值为
6
【答案】 6
2
r r r r r 1
【解析】因为 a,b,c都是单位向量，且 a ×b = - ，
2
r r 1 3 r
设 a = 1,0 ,b = - ,2 2 ÷÷ ,c = cosq ,sinq ,q 0,2p ，è
r r r r
则 1- a ×c + 1- b c 1
1
× = - cosq + 1- - cosq
3
+ sinq
è 2 2 ÷
÷

= 2 sin q p+ 1+ cos q + ÷ = 2 sin
q q p
+ 2 cos +
2 è 3 2 è 2 6 ÷
sin q q p取当取 0,cos

2
+ ÷ 0时，
è 2 6
q é0, 2p ù即 ê 3 ú
，

r r r r
1 a c 1 b c 2 sin q 2 cos q p则有 - × + - × = + +

2 è 2 6 ÷
2 sin q 2 cos q p= + + = 2 sin q p+ é 2p ù
2 2 6 ÷ 2 3 ÷
，q 0, ，
è è ê 3 ú
r r r r é ù
此时有： 1- a ×c 1 b
6
+ - ×c ê , 2ú，
2
é2p ù
同理当q ê , 2p ú 时，有 3
r r r r
1- a ×c + 1- b c q× = 2 sin + 2 cos q p
2
+
è 2 6 ÷
= 2 sin q - 2 cos q p q p+ = 6 sin - ，q
é2p , 2p ù ，
2 è 2 6 ÷ è 2 6 ÷ ê 3 ú
r r r r é ù
此时有： 1- a ×c + 1 b
6
- ×c ê , 62 ú
r r r r 6
故 1- a ×c + 1- b ×c 的最小值为 ；最大值为 6
2
6
故答案为： ； 6
2
r r r r
【变式 11-2】（2024·四川成都·二模）已知向量 a = cosq ,sinq ，向量b = 1, - 3 ，则 2a - b 的最大值
是 ．
【答案】4
r r
【解析】因为向量 a = cosq，sinq ，向量b = 1, - 3 ，
2ar
r
所以 - b = 2cosq -1，2sinq + 3 ，
r r 2
则 2a - b = 2cosq -1 2 + 2sinq + 3
= 4cos2 q - 4cosq +1+ 4sin2 q + 4 3 sinq + 3
= 8 - 4cosq + 4 3 sinq = 8 + 8sin π q - ÷ ，
è 6
r r
所以当 sin
q π- 2π ÷ =1时，即q = + 2kπ,k Z时， 2a - b 取最大值6 4，è 3
故答案为： 4 .
题型十二：琴生不等式法
【典例 12-1】在VABC 内，求 sin A + sin B + sin C 的最大值 ．
3 3 3
【答案】 / 3
2 2
【解析】在VABC 中， A + B + C = π，
设函数 f (x) = sin x，则 f (x) 在 0, π 上为凸函数，
由琴生不等式可得 sin A + sin B sin C 3sin A + B + C 3sin π 3 3+ = = ，
3 3 2
当且仅当 A
π
= B = C = 时取等号，
3
所以 sin A + sin B + sin C 3 3的最大值为 .
2
3 3
故答案为： .
2
【典例 12-2】已知函数 f x = 3sin x + sin 3x ，则 f x 的最小值是 .
【答案】-2 2
【解析】 f x = 3sin x + sin 3x 定义域为 R，
f -x = 3sin -x + sin -3x = -3sin x - sin 3x = - f x ，
故 f x = 3sin x + sin 3x 为奇函数，
又 f x + 2π = 3sin x + 2π + sin 3x + 6π = 3sin x + sin 3x = f x ，
故 f x 是周期函数，周期T = 2π，
先考虑 x 0, π ，函数 f x = cos x， f x = -sin x < 0在 0, π 上恒成立，
故 f x = sin x在 0, π 上是上凸函数，
由琴生不等式得 f x = 3sin x + sin 3x = sin x + sin x + sin x + sin π - 3x
x + x + x + π - 3x
4sin π= 4sin = 2 2 .
4 4
π
当且仅当 x = 4 时，
f x = 2 2max .
又因为 f x 是奇函数，所以 f x = -2 2min .
故答案为：-2 2
【变式 12-1】半径为 R 的球的内接三棱锥的体积V 的最大值为 .
8 3
【答案】 R3
27
【解析】设三棱锥为P - ABC ，DABC 的外接圆半径为 r ，则 SDABC = 2r
2sinA ×sinB sinC 3 3× r 2，
4
当且仅当 A = B = C = 60°时，上式等号成立，
O ABC V 1若球心 到平面 的距离为 h ，则 SDABC R + h 3
3
r 2 R + h 3= R2 - h2 R + h 3= R + h R + h 2R - 2h 4 4 8
3 R + h + R + h + 2R - 2h
3
8 3= R3，
8 è 3 ÷ 27
当且仅当三棱锥P - ABC 为正四面体时，上式等号成立.
【变式 12-2】半径为 R 的圆的内接三角形的面积的最大值是 ．
3 3
【答案】 R2
4
【解析】设eO 的内接三角形为VABC ．
显然当VABC 是锐角或直角三角形时，面积可以取最大值（因为若VABC 是钝角三角形，可将钝角（不妨
设为A ）所对边以圆心为对称中心作中心对称成为B C ）．
因此， SVAB C > SVABC ．
下面设 AOB = 2a ， BOC = 2b ， COA = 2g ，a + b + g = π ．
1 2
则 SVABC = R sin2a + sin2b + sin2g ．2
由讨论知可设0 < a 、b g
π
、 < ，而 y = sinx 在 0, π 上是上凸函数．
2
sin2a + sin2b + sin2g 2 a + b + g 3
则由琴生不等式知 sin = ．
3 3 2
1
所以， SVABC R
2 3 3 3 3 = R2 ．
2 2 4
当且仅当VABC 是正三角形时，上式等号成立．
3 3
故答案为 R2
4
题型题型十三：双重变量最值问题
【典例 13-1】规定max a,b 表示取 a、b 中的较大者，例如max 0.1, -2 = 0.1，max 2,2 = 2，则函数
f x = max x2 - 4 , x +1 的最小值为 .
21 - 3
【答案】
2
2
【解析】在同一直角坐标系中分别画出 f1 x = x - 4 与 f2 x = x +1 的图象如图，
两个函数的图象有四个交点 A，B，C，D．由图可知，B 为函数 f x = max x2 - 4 , x +1 图象的最低点，
ìy = 4 - x2 1- 21 1+ 21
联立方程组 í ，解得 x = 或 x = （舍去），
y = -x -1 2 2
所以 f x max x2 1- 21= - 4 , x +1 的最小值为 +1 21 - 3= ．2 2
21 - 3
故答案为： ．
2
ìa, a b ìb,a b
【典例 13-2】（2024·广东韶关·二模）定义max a,b = í ,min a,b =
b, a b
ía, a b，对于任意实数< <
ì ü
x > 0, y > 0，则min ímax
ì
í2x,3y,
1 1 ü
2 + 2 的值是（）
4x 9 y
A． 3 2 B． 2 C． 3 D． 3 3
【答案】A
【解析】设max{2x,3y,
1 1
+ } = M M 2x, M 3y, M 1 1 +
4x2 9y2 ，则 4x2 9y2 ，
得 3M 2x
1
+ 2 + 3y
1
+ 2 = 2x
1 3y 1+ + +
4x 9y (2x)2 (3y)2 ，
3
设 f (x) = x
1
+ 2 (x > 0)
2 x - 2
x ，则
f (x) = 1- 3 = 3 ，x x
令 f (x) < 0 0 < x < 3 2 ， f (x) > 0 x > 3 2 ，
所以函数 f (x) 在 (0, 3 2)上单调递减，在 ( 3 2,+ )上单调递增，
故 f (x)min = f (
3 2) = 3 2 1 3 3+ = f (x)
( 3 2)2 2 ，即 2 ，23 23
得 f (2x)
3
2 , f (3y)
3
2 ，
23 23
3M 2x 1 3y 1 f (2x) f (3y) 3 3 6所以 + (2x)2
+ + 2 = + 2 + =(3y) 2 2 ，
23 23 23
得M
2
2 =
3 2 ，即min{max{2x,3y,
1 1
2 + 2 }} =
3 2
23 4x 9y
.
故选：A
【变式 13-1】设 a,b > 0 max

，则 min
ì2a b, b ü í +
a2 + b2

÷
= .
è
5 +1
【答案】 .
2
ì2a + b m
ì b ü
【解析】设min í2a + b,
a2
= m，则 ，
+ b2 í b 2 m a + b2
m2所以 (2a + b)
b

a2 + b2
.
设给定的正实数l ， ，
ìl =1
令 í ，解得 2
5 +1 2 5 -1 2 5 +1
2 2 ， ，所以 .
l = +1
l = = m
2 2 2
m2 2ab + b
2 l 2a2 + 2b2 + b2 l 2a2 + 2 +1 b2 5 +1
则 ，
a2 + b2
= =
a2 + b2 a2 + b2 2
a 2= 5 +1当且仅当 ，b = 时等号均成立，
2 5 -1 + 5 +1 2 5 -1 + 5 +1
m 5 +1故 的最大值为 ,
2
5 +1
故答案为： .
2
【变式 13-2】（2024·全国·模拟预测）设max a,b,c 为实数 a,b,c中最大的数．若， x > 0, y > 0, z > 0，则
max ìíxz
1 1 y 1 ü
+ , x + , + 的最小值为 ．
y yz x z
【答案】 2
A max ìxz 1 1 y 1 ü【解析】设 = í + , x + , + ，
y yz x z
1
则 A xz + > 0 A x
1
， + > 0， A
y 1
+ > 0
y yz ，x z
1
因为 A xz + = z(x
1 1
+ ) y 1
y yz ，当0 < z 1时，只需考虑
A x + > 0， A + > 0yz ，x z
1 1 x
又因为 A x + x + 2 y 1 y y， A + +1 2 ，
yz y y x z x x
2 y x
两式相乘得 A 2 × 2 = 4，可得 A 2，当且仅当 x = y = z =1时取等号，
x y
1 1 1 y 1
当 z >1时，0 < x + < xz +yz y ，只需考虑
A xz + ， A +y ，x z
A2 xz 1 y 1 1 1 1 1两式相乘得 +

y ÷
+ ÷ = x + + yz + 2 x + 2 yz = 4，
è è x z x yz x yz
则 A 2，当且仅当 x = y = z =1时取等号，
因为 z >1，故 A > 2，综上所述，A 的最小值为 2．
故答案为： 2 .
2 uuur uuur1．已知直线 l与抛物线C : y = 4x 相交于A ， B 两点，若OA ×OB = -4，则 | AB |的最小值为（ ）
A．4 B． 4 2 C．8 D．16
【答案】B
【解析】由题意可知，直线 l的斜率不可能为 0，设直线 l的方程为 x = my + n(n 0)，
ìx = my + n
由 í 2 ，消去 x ，得 y
2 - 4my - 4n = 0
y = 4x
设 A x1, y1 , B x2 , y2 ，则 y1 + y2 = 4m, y1y2 = -4n,D =16m2 +16n > 0，
所以 x1x2 = my1 + n my2 + n = m2 -4n + mn 4m + n2 = n2 .
uuur uuur
因为OA ×OB = -4，
所以 x1x2 + y1 y = n
2
2 - 4n = -4，解得 n = 2，
AB = 1+ m2 × é y + y 2 - 4y y ù 1 2 1 2 = 1+ m
2 × é 4m
2 - 4 -4n ù
2
= 1 3 1+ m2 × é 4m 2 - 4 -4 2ù = 4 m4 + 3m2 + 2 = 4 m2 + 2 ÷ - 4 2è 4
当且仅当m2 = 0即m = 0时， | AB |取的最小值为 4 2 ,
所以 | AB |的最小值为 4 2 .
故选：B.
2．函数 f (x) = 2x - x2 + x的值域为 .
【答案】[0, 2 +1]
【解析】解法一： f (x) = 1- (x -1)2 + x .
设 x 1 sina
p- = - a
p
÷，则 f (x) = cosa + (1+ sina ) = 2 sin

a
p
+ ÷ +1.
è 2 2 è 4
p
- a p p p 3p 2 p 由 ，得- a + , - sin
2 2 4 4 4 2
a + 1 .
è 4 ÷
所以 f(x)的值域为[0, 2 +1] .

解法二： f (x)
2 - 2x 1 1- x= + = +1(0 < x < 2) .
2 2x - x2 2x - x2
因为0 < x <1 2 2+ 时，f'(x)>0；1+ < x < 2时，f'(x)<0.
2 2
é ù é ù
所以 f(x)在区间 ê0,1
2 2
+ ú上为增函数，在区间 ê1+ , 22 ú
上为减函数.
2
所以 f(x)的值域为[0, 2 +1] .
故答案为：[0, 2 +1]．
3．函数 f x = x - 3 + 12 - 3x 的值域为 ．
【答案】 1,2
【解析】因为 f x 的定义域为3 x 4，所以，0 x - 3 1．
令 x - 3 = sin2q

0 q
p
÷，
è 2
则 f x = x - 3 + 3 4 - x = sinq + 3 1- sin2q
p
= sinq + 3cosq = 2sin q + ÷．
è 3
p p 5p
因为 q + ，
3 3 6
所以，1 2sin
q p+ 3 ÷
2．
è
2 2 2
4．已知正数 x ， y ， z 满足 x + y + z =1
x y z
，则 + + 的最小值为
y + 2z z + 2x x + 2y
1
【答案】
3
【解析】因为正数 x ， y 满足 x + y + z =1，
x2 y2 z2 x + y + z 2 1
所以 + + = ，
y + 2z z + 2x x + 2y y + 2z + z + 2x + x + 2y 3
x y z 1
当且仅当 = = x = y = z =y 2z z 2x x 2y 即 时取等号.+ + + 3
1
故答案为： .
3
xy + 3 yz
5．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知 x，y，z 均为正实数，则 的最大值为 .
x + 2y + z
5
【答案】
2
【解析】因为 x，y，z 均为正实数，
5 5 5x + y 9y + 5z
所以 xy + 3 yz 5xy + 9y ×5z + ÷
= 5 5 è 2 2
x + 2y + z x + 2y + z x + 2y + z
5 5x + y + 9y + 5z
10 5 5x +10y + 5z 5 ，当且仅当5x = y,9y = 5z= = = 时，等号成立.
x + 2y + z 10 x + 2y + z 2
xy + 3 yz 5
所以 的最大值为 .
x + 2y + z 2
5
故答案为： .
2
6．已知实数 a，b ， c满足 a2 + b2 + c2 =1，则ab + bc + 2ca的最大值为
3 +1
【答案】
2
【解析】设0 < m <1，因为 a2 + b2 + c2 =1，
1 a2 b2 c2 ma2 1 2 1 2 2 2 2所以 = + + = + b ÷ + b + mc ÷ + 1- m 2 2 a + c è è
2 mab 2 m + bc + 2 1- m ac，
2 2
2 m令 =1- m，解得m = 2 - 3或m = 2 + 3 （舍去），
2
因此 3 -1 ab + bc + 2ca 1，即 ab + bc + 2ca 3 +1 ，当b = 3 -1 a且 c = a 时取等号，
2
故ab + bc + 2ca 3 +1的最大值为 .
2
3 +1
故答案为：
2
7．（2024·贵州·三模）以maxM minM 表示数集M 中最大（小）的数.设 a > 0,b > 0,c > 0，已知
a2c + b2c =1，则min
ì
ímax
ì1 1
í , ,
1üü
= .
a b c
【答案】 3 2
2 2 1
【解析】由 a2c + b2c =1，得 a + b = ，c
max ì1 , 1 , 1ü 1 1 1í = M 2设 ，则M , M , M = a + b2 2ab，
a b c

a b c
由3M = 2 M
1 1 1 1
× M + M 2 × × + 2ab = + + 2ab
a b ab ab
3 1 1 3 × ×2ab = 33 2 ，
ab ab
1
当且仅当 a = b = c = 3 时，取等号，2
min ìmax ì1 , 1 , 1üü所以 í í = 3 2 .
a b c
故答案为： 3 2 .
2 y 18．已知正实数 x，y 满足 4y + 4xy +1 = ，则 + x - 3y 的最小值为 ．
x x
【答案】 2 2
【解析】由 4y2 4xy
y
+ +1 = ，
x
y 2
得 +1- 4y - 4xy = 2，
x
x + y
即 - 4y(x + y) 2
1
= ，得 (x + y)( - 4y) = 2，
x x
Q x > 0， y > 0，
\ x + y > 0 1， - 4y 0 xy
1
> ，\ < ，
x 4
1
\ + x - 3y 1= - 4y + x + y
x x
2 x y 2 2= + + (x + y) = 2 2 ，
x + y x + y
当且仅当 x + y = 2 x 5 2 - 34 3 2 + 34，即 = ， y = 时取等号，
8 8
此时 xy 17 -1 1= < ，
16 4
1
\ + x - 3y的最小值为 2 2.
x
故答案为： 2 2.
r r9 a,b ,cr r
r r r
．向量 满足 | a |=| b |= 2， | ar - b |= 2 | 2ar r r， - c |= 3 ，则 | c - b |的最大值为 .
【答案】3 3
r r r r
【解析】因为 | a |=| b |= 2， | a - b |= 2，
r r r r r
所以 | ar - b |2 = ar2 - 2ar r×b + b 2 = 4 - 2a ×b + 4 = 4 ar，则 ×b = 2，
ar
r
b cos ar
r r r
则 × á ,b = 4cos a
r
á ,b = 2，所以 cosáa
r,b 1 = ，
2
0 ar
r r
又因为 á ,b π，所以 áa
r,b π = ，
3
r r r r r
则可设 a = (2,0),b = (1, 3),c = (x, y) ，则 2a - c = (4 - x, -y)，
r r
又因为 | 2a - c |= 3 ，所以 (x - 4)2 + y2 = 3，
r
故又可设 c 的坐标为 ( 3 cosa + 4, 3 sina )，
r
所以 | cr - b |2 = ( 3 cosa + 3)2 + ( 3 sina - 3)2 = 6 3 cosa - 6sina +15
= -12sin a π - 3 ÷
+15 27，
è
r r r
因此 | c - b | 3 3 ，所以 | cr - b |最大值为3 3 .
故答案为：3 3 .
r r r r r r 5π r
10．（2024·河北沧州·模拟预测）已知单位向量 a，向量b 与 a不共线，且 a - b ,b = ，则 b 的最大值6
为 ．
【答案】2
uuur r uuur r uuur r
【解析】法 1：设CB = a ，CA = b ，则 AB = ar - b ，如图所示．
r r r
因为 a - b ,b
5π π 5π
= ，所以在△ABC 中， A = ，0 < B < ，
6 6 6
r r ra b b r
由正弦定理，得 = 即 2 = ，得 b = 2sin B ，
sin A sin B sin B
π r π
当B = 时， b = 2sin = 2．
2 max 2
uuur r uuur r uuur r
法 2：设CB = a ，CA = b ，则 AB r= a - b ，作出△ABC 的外接圆，如图所示．
r r r r uuur
因为 a - b ,b
5π π
= ，所以 A = ，因为 a = CB =1，
6 6
π r r
当 AC 为圆的直径，即B = 时， b = 2 a = 2．
2 max
故答案为：2
r r r r r r r r
11．已知两个非零向量m, n满足 m = 2, m + 2n = 2，则 2m + n + n 的最大值是 ．
8 3
【答案】
3
r r r
【解析】设m = 2,0 ,m + 2n = 2cos x, 2sin x r，则 n = cos x -1,sin x ．则：
| 2mr + nr | + | nr |= (cos x + 3)2 + sin2 x + (cos x -1)2 + sin2 x
= 10 + 6cos x + 2 - 2cos x
3 10= + 2cos x + 2 - 2cos x
3
3 1 10 + + 2cos x + 2 - 2cos x

3 ֏
8 3
= .
3
10
当且仅当 + 2cos x = 3(2 - 2cos x)，即 cos x
1
= 8 3时，等号成立．即最大值为 .
3 3 3
8 3
故答案为： .
3
12．设 a,b,c为正数， a + b + 4c2 =1，则 a + b + 2c的最大值是
10
【答案】
2
【解析】Q ( a + b + 2c)2 (12 +12 ( 2+ )2 )[( a )2 + ( b)2 + (2c)2 ] 5=
2 2
2 5
当且仅当 a = b = ,c = 时取等号
5 10
10 10
\ a + b + 2c ，即 a + b + 2c的最大值是
2 2
10
故答案为：
2
13．函数 y = 2 1- x + 2x +1的最大值为 .
【答案】3
【解析】由题意，函数 y = 2 1- x + 2x +1 = 2 2 - 2x +1× 2x +1
( 2)2 +12 × ( 2 - 2x )2 + ( 2x +1)2 = 3 3 = 3
当且仅当 2 - 2x ×1 = 2 × 2x +1取等号，即12 - 2x = 4x + 2，即 x = 0时取等号，
所以函数的最大值为 3．
故答案为：3.
14．已知实数 x1, x2 , y1, y
2 2 2 2
2 满足： x1 + y1 = 2, x2 + y2 = 2, x1 y2 - y1x2 = 2 ，则 x1 + y1 - 2 + x2 + y2 - 2 的最大值
是 ．
【答案】 4 + 2 2
【解析】设 A x1, y1 , B y2 ,-x2 ，
x2由 1 + y
2
1 = 2, x
2 2
2 + y2 = 2，
可得点 A, B在以O 0,0 为圆心 2 为半径的圆 x2 + y2 = 2上，
uuur uuur uuur uuur
OA ×OB = x1, y1 × y2 ,-x2 = x1y2 - y1x2 = 2 = OA OB cos AOB = 2cos AOB ，
所以 cos AOB =1，所以 AOB = 0，
所以 A, B两点重合，故 y2 = x1, x2 = -y1，
则 x1 + y1 - 2 + x2 + y2 - 2 = x1 + y1 - 2 + x1 - y1 - 2 ，
x + y - 2
x1 + y1 - 2 = 2 ×
1 1
表示，点A 到直线 x + y - 2 = 0的距离的 2 倍，
2
x - y - 2
x1 - y - 2 = 2 ×
1 1
1 表示，点A 到直线 x - y - 2 = 0 的距离的 2 倍，2
故 x1 + y1 - 2 + x1 - y1 - 2
表示点A 到直线 x + y - 2 = 0和 x - y - 2 = 0 的距离之和的 2 倍，
设直线 x + y - 2 = 0和 x - y - 2 = 0 的交点为C ，则C 2,0 ，
设点A 到直线 x + y - 2 = 0和 x - y - 2 = 0 的距离分别为m, n，
则m2 + n2 = AC 2 ，
2 m2 + n2 m2因为 + n2 + 2mn = m + n 2 ，
所以m + n 2 m2 + n2 = 2 AC 2 = 2 AC ，
当且仅当m = n时，取等号，
而 AC = 2 + 2max ，
所以m + n 2 2 + 2 = 2 + 2 2 ，
此时 A -2,0 ，m = n =1+ 2 ，
所以 x1 + y1 - 2 + x2 + y2 - 2 的最大值是 2 2 + 2 2 = 4 + 2 2 .
故答案为： 4 + 2 2 .
15 C:(x-4)2 + y2．已知圆 =5, A,B是C 上的两个动点，且 AB = 2 .设 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，则
x1 - y1 +2 + x2 - y2 +2 的最大值为 .
【答案】12+ 4 2
【解析】由题意得C 4,0 ，半径为 r = 5 ，
2
AB
由垂径定理得CM ⊥ AB ，则 CM 2 + ÷ = 4 ，解得 CM = 2，
è 2
故点M 的轨迹为以C 为圆心，半径为 2 的圆，
故点M 的轨迹方程为 (x - 4)2 + y2 = 4
x1 - y1 + 2
可看作点A 到直线 x - y + 2 = 0 的距离，
2
x2 - y2 + 2
同理， 可看作点 B 到直线 x - y + 2 = 0 的距离，
2
设线段 AB 的中点为M ，
x1 - y1 + 2 + x2 - y2 + 2
故 可看作点M 到直线 x - y + 2 = 0 的距离，
2 2
点M 的轨迹方程为 (x - 4)2 + y2 = 4，
故点M 到直线 x - y + 2 = 0 的距离最大值为圆心到 x - y + 2 = 0 的距离加上半径，
4 - 0 + 2 6 2 x - y + 2 + x - y + 2
即 + 2 = + 2 = 3 2 + 2 1 1 2 2，故 3 2 + 2，
1+1 2 2 2
所以 x1 - y1 + 2 + x2 - y2 + 2 12 + 4 2 ，故最大值为12+ 4 2，
故答案为：12+ 4 2
16．已知实数 x，y 满足 x - 2 2 + y -1 2 = 1，则 z
y +1
= 的最大值和最小值分别为 和 ．
x
4 + 7【答案】 ； 4 - 7
3 3
y +1 2 2
【解析】由题意，得 表示过点 A 0, -1 和圆 x - 2 + y -1 =1上的动点P x, y 连线的斜率．当且仅
x
当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值．
设切线方程为 y = kx -1，则 kx - y -1 = 0 ，
2k - 2
故 =12 ，解得 k
4 ± 7
= ，
k +1 3
4 + 7 4 - 7
所以 zmax = ， z3 min
= ．
3
4 + 7 4 - 7
故答案为： ； .
3 3
17．函数max a , b , a + 2b - 4 的最小值为 .（其中max x, y 表示 x, y 中较大者）
【答案】1
【解析】令max a , b , a + 2b - 4 = m，
则 a m, b m, a + 2b - 4 m ，
所以 4 = -a - 2b + a + 2b - 4 a + 2 b + a + 2b - 4 4m ，所以m 1；
即函数max a , b , a + 2b - 4 的最小值为 1.
故答案为：1
18．（2024·湖北·一模）记 max f x ， min f x x fa,b x a,b 分别表示函数 x 在 a,b 上的最大值和最小值．则
min
m -3,3 max m + n - 2 n = ．n 0,9
【答案】2
【解析】由 m + n - 2 n = ( n -1)2 + m -1 ，设n为变量，
2
max m + n - 2 n = max n -1 + m -1 ，
n 0,9 n 0,9
t = ( n -1)2令 + m -1 ，当 n = 0时， t = m ，当 n =1时， t = m -1 ，当n = 9 时， t = m + 3 ，
最大值只可能在 n = 0或 n =1或n = 9 处取得，
所以 t = ( n -1)2 + m -1 的最大值为max m -1 , m + 3 ，
ìm + 3, m -1所以max m + n - 2 n = ，n í0,9 -m +1, m < -1
当m -3,3 时，原式的最小值为 2．
或者由 m + n - 2 n = ( n -1)2 + m -1 在 n 0,9 时的最大值只可能在 n = 0或
n =1 2或n = 9 处取得，令 t = ( n -1) + m -1 ，当 n = 0时， t = m ，当 n =1时， t = m -1 ，
当n = 9 时， t = m + 3 ，结合图象可得原式的最小值为 2．
故答案为：2.
19．记min x, y, z ì 1 1 ü表示 x、y、z 中的最小值.若 x， y > 0，M = min íx, , + yy x ，则 M 的最大值为 .
【答案】 2
M x 1 1【解析】 ，M
1
y 1
x M y M
，
M 1 1 2又 + y 得M + y ，可得
x x M M
2 2，即M 2 ，
1
当M = 2 即 x = = 2y 时等号成立
故答案为： 2 .
20 ．已知将 x1, x2 , x3 ,L, xn 中最小数记为 min x1, x2 , x3 ,L, xn ，最大数记为 max x1, x2 , x3 ,L, xn ，若
a 0,b 0,c 0 min ìmax ì2a,3b, 4c, 2 16 53 ü> > > ，则 í í + +
ü
a2 b2 c2
= ．

【答案】10
ì 2 16 53ü
【解析】设M = max í2a,3b, 4c, 2 + 2 + 2 ，则M > 0， a b c
ìM 2a ì M

a
M 3b
2 ìa > 0
M
依题意 íM 4c ，所以 í b ，又 íb > 0 ，
3
M 2 16 53
c > 0
2 + + M

a b2 c2 c 4
ì 1 4
a2

M
2
1 9
则 í 2 2 ，
b M
1 16
c2 M 2
M 2 16 53 8 144 848 1000所以 2 + 2 + 2 2 + 2 +a b c M M M 2
= 2 ，M
所以M 3 1000，
所以M 10，当且仅当 2a = 3b = 4c =10时取等号，
所以M 的最小值为10 .
故答案为：10拔高点突破 04 多元函数最值与双重变量最值问题
目录
01 方法技巧与总结 ...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结 ...............................................................................................................................2
题型一：消元法 ....................................................................................................................................2
题型二：判别式法 ................................................................................................................................2
题型三：基本不等式法 ........................................................................................................................2
题型四：辅助角公式法 ........................................................................................................................3
题型五：柯西不等式法 ........................................................................................................................3
题型六：权方和不等式法 ....................................................................................................................3
题型七：拉格朗日乘数法 ....................................................................................................................4
题型八：三角换元法 ............................................................................................................................4
题型九：构造齐次式 ............................................................................................................................5
题型十：数形结合法 ............................................................................................................................5
题型十一：向量法 ................................................................................................................................5
题型十二：琴生不等式法 ....................................................................................................................6
题型题型十三：双重变量最值问题 ....................................................................................................6
03 过关测试 ..........................................................................................................................................7
解决多元函数的最值问题不仅涉及到函数、导数、均值不等式等知识，还涉及到消元法、三角代换法、
齐次式等解题技能．
题型一：消元法
【典例 1-1】已知正实数 x，y 满足 ln x = yex + ln y ，则 y - e- x 的最大值为______.
ln t
【典例 1-2】已知实数m, n满足：m ×em = (n -1) ln(n -1) = t(t > 0)，则 m(n 1) 的最大值为___________.-
【变式 1-1】对任给实数 x > y > 0 ,不等式 x2 - 2y2 cx(y - x)恒成立,则实数 c的最大值为__________.
题型二：判别式法
【典例 2-1】（2024·广东茂名·二模）已知实数 a，b 满足 lg a + lgb = lg a + 2b ，则 a + b 的最小值是 .
【典例 2-2】已知a, b R，且 a2 + b2 + ab = 1，则b 的取值范围是 .
【变式 2-1】（2024·浙江·二模）设a, b R，l > 0，若 a2 + lb2 = 4 ，且 a + b 的最大值是 5 ，则
l = .
ax + b
【变式 2-2】设非零实数 a，b 满足a2 +b2 = 4，若函数 y = 2 存在最大值 M 和最小值 m，则x +1
M - m = .
题型三：基本不等式法
【典例 3-1】已知 x2 + y2 + z2 =1，则 3xy + yz 的最小值为 .
【典例 3-2】已知正实数 a，b ， c满足 ab + bc + ca =16(a 3) ，则 2a + b + c 的最小值为 ．
【变式 3-1】已知 x, y R,3x2 + y2 = 3，则 4x2 + xy + y2 的最大值为 ．
x2 + x +1
【变式 3-2】（2024·河南郑州·模拟预测）已知 x > 0， y > 0， x + 2y =1，则 的最小值为 ．
2xy
题型四：辅助角公式法
【典例 4-1】设 A, B,C 是一个三角形的三个内角，则 cosA 3sinB + 4sinC 的最小值为 .
【典例 4-2】曲线 x2 +xy - y2 =1上的点到坐标原点的距离的最小值等于 ．
2 2
【变式 4-1】已知 x - 3xy + 2y =1 x, y R 2 2，则 x + y 的最小值为 ．
题型五：柯西不等式法
【典例 5-1】实数 x、y 满足 x2 + y2 = 20，则 xy + 8x + y的最大值是
【典例 5-2】函数 f (x) = 2020 - x + x - 2010 的最大值与最小值之积为 ．
【变式 5-1】已知 x, y, z R, x2 + y2 + z2 = 2, 则 x + 2y + 2z的最大值为
2
【变式 5-2】已知 x > 0， y > 0 x， + y2 =1 2，则 x + 2y的最大值是 .
4 2
题型六：权方和不等式法
1 8
【典例 6-1】已知q 为锐角，则 + 的最小值为 .
sinq cosq
【典例 6-2】求 f x = x2 - 3x + 2 + 2 + 3x - x2 的最大值为
【变式 6-1】已知 x + 2y + 3z + 4u + 5v = 30，求 x2 + 2y2 + 3z2 + 4u2 + 5v2 的最小值为
【变式 6-2】（2024·四川·模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪 80 年代初命名
am+1 am+1 am+1 am+1* a + a + a +L+ a
m+1
的．其具体内容为：设an > 0,b > 0,n N ,m > 0 ，则
1
n m +
2 + 3 +L+ n 1 2 3 n ，
b1 b
m m m
2 b3 bn b1 + b2 + b3 +L+ bn
m
a1 a2 a3 L a当且仅当 = = = = n
π
时，等号成立．根据权方和不等式，若 x
0, 3 3 1
b b b b ÷ ，当 + 取得最小1 2 3 n è 2 sinx cosx
值时， x 的值为（ ）
π π π 5π
A． B． C． D．
12 6 3 12
题型七：拉格朗日乘数法
【典例 7-1】 x > 0 ， y > 0 ， xy + x + y = 17 ，求 x + 2y + 3的最小值．
Fx = 1- l y - l = 0， Fy = 2 - lx - l = 0， Fl = -(xy + x + y) +17 = 0，
【典例 7-2】设 x, y 为实数，若 4x2 + y2 + xy = 1，则 2x + y 的最大值是 ．
【变式 7-1】已知 a,b为非负数, M = a4 + b4 , a + b =1 ,求M 的最值.
题型八：三角换元法
【典例 8-1】函数 y = x - 4 + 15 - 3x 的值域为 .
x - x3
【典例 8-2】函数 f (x) = 2 2 的值域是 ．1+ x
【变式 8-1】函数 y = 7 - x + 9 + x 的值域是区间 ．
2 2
【变式 8-2】若 x, y R ，且3x2 + 2y2 = 6x ，则二元函数 f x, y = 2x + 3y - 4x - 6y的取值范围是（）
é5
A． ê - 3 6,
5
+ 3 6 ùú B． 5,10 2 2
C． é 2 6 -1,2 6 +1ù D． é 7 - 2 6,7 + 2 6 ù
题型九：构造齐次式
2xy xy
【典例 9-1】已知 x > 0， y > 0，则 2 +x 8y2 x2 的最大值是______.+ + 2y2
【典例 9-2】已知实数 a,b > 0，若 a 2b 1
3a 1
+ = ，则 + 的最小值为（
b ab ）
A．12 B． 2 3 C．6 3 D．8
ab
【变式 9-1】（2024·天津南开·高三统考期中）已知正实数 a，b，c 满足 a2 - 2ab + 9b2 - c = 0，则 的最大c
值为____________．
题型十：数形结合法
2
【典例 10-1】 4y + y -1 2 + 2 y -1 + y - 5 2 的最小值为（ ）
A．5 B． 2 + 17 C．6 D．1+ 26
【典例 10-2】（2024·高三·山西太原·期末）已知函数 y = 3 1- x + 3x + 9 的最大值为M ，最小值为m ，则
m
的值为
M
1
A． B 1 3 2 3． 2 C． D．4 2 3
2 2
【变式 10-1】（2024·湖北·模拟预测）设D = x - a + ex - 2 a + a +1，其中e 2.71828，则 D的最小
值为（ ）
A． 2 B． 2 +1 C． 3 D． 3 +1
【变式 10-2】已知点M x1, y1 在直线 l1 : y = x + 2，点 N x2 , y2 在直线 l2 : y = x 上，且MN ^ l1，
x21 + y
2
1 - 4 + x2 - 5
2 + y22 的最小值为（ ）
A 7 2 B 11 2． ． C． 41 - 2 D．5
2 2
题型十一：向量法
r r r r r r r r r r r r
【典例 11-1】（2024·上海金山·二模）已知平面向量 a、b 、 c满足： |a |=| b |=1 a 2， ×c = b ×c =1，则 a ×b + c
的最小值为 ．
uuur uuur uuur
【典例 11-2】如图，圆O是V
4
ABC 的外接圆，BA = m，BC = ， ABC = 60°，若BO = xBA + yBC ，则
m
x + y 的最大值是 ．
r r r r r 1 r r r r
【变式 11-1】（2024·浙江杭州·二模）已知 a,b,c都是单位向量，且 a ×b = - ，则
2 1- a ×c + 1- b ×c
的最小
值为 ；最大值为
r r r r
【变式 11-2】（2024·四川成都·二模）已知向量 a = cosq ,sinq ，向量b = 1, - 3 ，则 2a - b 的最大值
是 ．
题型十二：琴生不等式法
【典例 12-1】在VABC 内，求 sin A + sin B + sin C 的最大值 ．
【典例 12-2】已知函数 f x = 3sin x + sin 3x ，则 f x 的最小值是 .
【变式 12-1】半径为 R 的球的内接三棱锥的体积V 的最大值为 .
【变式 12-2】半径为 R 的圆的内接三角形的面积的最大值是 ．
题型题型十三：双重变量最值问题
【典例 13-1】规定max a,b 表示取 a、b 中的较大者，例如max 0.1, -2 = 0.1，max 2,2 = 2，则函数
f x = max x2 - 4 , x +1 的最小值为 .
ìa, a b ìb,a b
【典例 13-2】（2024·广东韶关·二模）定义max a,b = í ,min a,b =b, a ，对于任意实数 < b
í
a, a < b
ì
x 0, y 0 min max ì2x,3y, 1 1 ü
ü
> > ，则 í í 2 + 2 的值是（）
4x 9 y
A． 3 2 B． 2 C． 3 D． 3 3
b
【变式 13-1】设 a,b > 0，则max min
ì
í2a + b,
ü
2 2 ÷ = .
è a + b
【变式 13-2】（2024·全国·模拟预测）设max a,b,c 为实数 a,b,c中最大的数．若， x > 0, y > 0, z > 0，则
max ìíxz
1
+ , x 1 y 1 ü+ , + 的最小值为 ．
y yz x z
uuur uuur
1．已知直线 l与抛物线C : y2 = 4x 相交于A ， B 两点，若OA ×OB = -4，则 | AB |的最小值为（ ）
A．4 B． 4 2 C．8 D．16
2．函数 f (x) = 2x - x2 + x的值域为 .
3．函数 f x = x - 3 + 12 - 3x 的值域为 ．
x2 y2 z2
4．已知正数 x ， y ， z 满足 x + y + z =1，则 + + 的最小值为
y + 2z z + 2x x + 2y
xy + 3 yz
5．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知 x，y，z 均为正实数，则 的最大值为 .
x + 2y + z
6．已知实数 a，b ， c满足 a2 + b2 + c2 =1，则ab + bc + 2ca的最大值为
7．（2024·贵州·三模）以maxM minM 表示数集M 中最大（小）的数.设 a > 0,b > 0,c > 0，已知
2 2 min ìmax ì1 , 1 1üüa c + b c =1，则 í í , = .
a b c
y 1
8．已知正实数 x 2，y 满足 4y + 4xy +1 = ，则 + x - 3y 的最小值为 ．
x x
9 ar
r
,b ,cr r
r r r r r
．向量 满足 | a |=| b |= 2 r r， | a - b |= 2， | 2a - c |= 3 ，则 | c - b |的最大值为 .
r r r r r r 5π r
10．（2024·河北沧州·模拟预测）已知单位向量 a，向量b 与 a不共线，且 a - b ,b = ，则 b 的最大值6
为 ．
r
11．已知两个非零向量m, n
r r r r r r r
满足 m = 2, m + 2n = 2，则 2m + n + n 的最大值是 ．
12．设 a,b,c为正数， a + b + 4c2 =1，则 a + b + 2c的最大值是
13．函数 y = 2 1- x + 2x +1的最大值为 .
14．已知实数 x1, x2 , y , y
2 2 2 2
1 2 满足： x1 + y1 = 2, x2 + y2 = 2, x1 y2 - y1x2 = 2 ，则 x1 + y1 - 2 + x2 + y2 - 2 的最大值
是 ．
15．已知圆C:(x-4)2 + y2 =5, A,B是C 上的两个动点，且 AB = 2 .设 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，则
x1 - y1 +2 + x2 - y2 +2 的最大值为 .
16．已知实数 x，y 满足
y +1
x - 2 2 + y -1 2 = 1，则 z = 的最大值和最小值分别为 和 ．
x
17．函数max a , b , a + 2b - 4 的最小值为 .（其中max x, y 表示 x, y 中较大者）
18．（2024·湖北·一模）记 max f x ， min f x f x a,bx a,b x a,b 分别表示函数 在 上的最大值和最小值．则
min
m -3,3 max m + n - 2 n = ．n 0,9
19．记min x, y, z 表示 x、y、z 中的最小值.若 x， y > 0，M = min ìx, 1í , 1 y
ü
+ ，则 M 的最大值为 .
y x
20 ．已知将 x1, x2 , x3 ,L, xn 中最小数记为 min x1, x2 , x3 ,L, xn ，最大数记为 max x1, x2 , x3 ,L, xn ，若
a ì 2 16 53 ü> 0,b > 0,c > 0，则min ímax
ì
í2a,3b, 4c, + +
ü = ．
a2 b2 c2

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