资源简介

拔高点突破 01 函数的综合应用
目录
01 方法技巧与总结 ...............................................................................................................................2
02 题型归纳总结 ...................................................................................................................................3
题型一：函数与数列的综合 .......................................................................................................................................3
题型二：函数与不等式的综合 ...................................................................................................................................3
题型三：函数中的创新题 ...........................................................................................................................................4
题型四：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离） ...............................................................................5
题型五：倍值函数 .......................................................................................................................................................6
题型六：函数不动点问题 ...........................................................................................................................................7
题型七：函数的旋转问题 ...........................................................................................................................................7
题型八：函数的伸缩变换问题 ...................................................................................................................................8
题型九：V 型函数和平底函数 ...................................................................................................................................9
03 过关测试 .........................................................................................................................................10
1、高考中考查函数的内容主要是以综合题的形式出现，通常是函数与数列的综合、函数与不等式的
综合、函数与导数的综合及函数的开放性试题和信息题，求解这些问题时，着重掌握函数的性质，把函数
的性质与数列、不等式、导数等知识点融会贯通，从而找到解题的突破口，要求掌握二次函数图像、最值
和根的分布等基本解法；掌握函数图像的各种变换形式（如对称变换、平移变换、伸缩变换和翻折变换
等）；了解反函数的概念与性质；掌握指数、对数式大小比较的常见方法；掌握指数、对数方程和不等式
的解法；掌握导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的定义、求导公式与求导法则、
复合函数求导法则及导数的几何意义，特别是应用导数研究函数的单调性、最值等．
n
2、函数 f x = x - ai 的图象与性质
i=1
分奇、偶两种情况考虑：
比如图（1）函数 f x = x + x -1 + x - 3 ，图（2）函数 g x = x + x -1 + x - 2 + x +1
y
y
x x
O O
图（1） 图（2）
n
（1）当 n为奇数时，函数 f x = x - ai 的图象是一个“ ”型，且在“最中间的点”取最小值；
i=1
n
（2）当 n为偶数时，函数 f x = x - ai 的图象是一个平底型，且在“最中间水平线段”取最小值；
i=1
若 ai i N * 为等差数列的项时，奇数的图象关于直线 x = a 对称，偶数的图象关于直线中
x + x
x = 左中 右中 对称．
2
3 、 若 f x 为 m,n 上 的 连 续 单 峰 函 数 ， 且 f m = f n , x0 为 极 值 点 ， 则 当 k,b 变 化 时 ，
g x = f x - kx - b f n - f x0 f n + f x的最大值的最小值为 ，当且仅当 0 k = 0,b = 时取得．
2 2
题型一：函数与数列的综合
【典例 1-1】（2024·四川资阳·模拟预测）将函数 f x = cos x 1- x 在 0, + 上的所有极值点按照由小到e
大的顺序排列，得到数列 xn （其中 n N* ），则（ ）

A． n
1
- ÷ π < x <

n n
1
+ ÷ π B． x - x < π
è 2 è 2 n+1 n
C． xn + xn+1 > 2n -1 π D． xn - n -1 π 为递减数列
na
【典例 1-2 n】（2024·新疆·三模）已知数列 an 中， a1 =1，若 an+1 = n + a （ n N
* ），则下列结论中错误
n
的是（ ）
2 1 1
A． a = B． - 13 5 an+1 an
ln n 1 1 1 1 1C． < -a （ n 2,n N
*） D． - <
n a2n+1 an+1 2
【变式 1-1】（2024·高三·海南省直辖县级单位·开学考试）已知数列 an 中， a1 =1，若
(n +1) an - an+1 = anan+1，则下列结论中正确的是（ ）
1 1 1 1 1 2
A． - a a 2 B．
- <
n+1 n an+2 an (n + 2)(n +1)
1 1 1
C． - < D． an × ln(n +1) <1a2n an 2
x + 2
【变式 1-2】（2024·四川资阳·模拟预测）将函数 f x = cos x - x 在 0, + 上的所有极值点按照由小e
到大的顺序排列，得到数列 xn （其中 n N*），则（ ）
A． (n
1
- )π < xn < (n
1
+ )π B． x - x < π
2 2 n+1 n
C． xn + xn+1 > (2n -1)π D．{| xn - (n -1)π |}为递减数列
题型二：函数与不等式的综合
【典例 2-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x 是定义域为 R 的函数， f 2 + x + f -x = 0，对任
意x1， x2 1, + x1 < x2 ，均有 f x2 - f x1 > 0，已知 a，b a b 为关于 x 的方程 x2 - 2x + t 2 - 3 = 0的
两个解，则关于 t 的不等式 f a + f b + f t > 0的解集为（ ）
A． -2,2 B． -2,0 C． 0,1 D． 1,2
ìe2x + 3sin
x , x 0

2-2 2 4p【典例 】（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = í x ，则不等式 f 3x - 2 > e 的解 e-2x - 3sin , x < 0
2
集为 ．
【变式 2-1】关于 x的不等式 (x -1)2023 - 22023 × x2023 x +1的解集为 ．
【变式 2-2】（2024·高三·黑龙江齐齐哈尔·期末）意大利数学家斐波那契 (1175年~1250年）以兔子繁殖
数量为例，引人数列：1,1,2,3,5,8,L，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即
an+2 = an+1 + an n N* ，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为
é n n
a 1
1+ 5 ê 1- 5
ù
= é n n ùn - ú．设n是不等式 log (1+ 5) - (1- 5) > n + 5的正整数解，则n的最小值5 ê è 2
÷÷
è 2
÷÷ 2
ú


为 ．
题型三：函数中的创新题
【典例 3-1】（2024·江苏无锡·模拟预测）从古至今，中国人一直追求着对称美学．世界上现存规模最大、
保存最为完整的木质结构——故宫：金黄的宫殿，朱红的城墙，汉白玉的阶，琉璃瓦的顶……沿着一条子
午线对称分布，壮美有序，和谐庄严，映衬着蓝天白云，宛如东方仙境．再往远眺，一线贯穿的对称风格，
撑起了整座北京城．某建筑物的外形轮廓部分可用函数 f x = x - 2a + x 的图像来刻画，满足关于 x的
方程 f x = b 恰有三个不同的实数根 x1, x2 , x3，且 x1 < x2 < x3 = b（其中 a,b (0,+ )），则b的值为（ ）
80
- 16A． B．
81 9
80 208
C． D．
81 81
【典例 3-2】（2024·山东·一模）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美
誉．函数 f x = x 称为高斯函数，其中 x R ， x 表示不超过 x 的最大整数，例如： -1.1 = -2 ，
2.5 = 2，则方程 2x +1 + x = 4x的所有解之和为（ ）
A 1
3 3 7
． 2 B． C． D．4 2 4
【变式 3-1】（2024·全国·模拟预测）“角股猜想”是“四大数论世界难题”之一，至今无人给出严谨证
明．“角股运算”指的是任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以 2，如果它是奇数，我们就把它
乘 3 再加上 1．在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数．如果反复使用这个变换，我们就会得
到一串自然数，该猜想就是：反复进行角股运算后，最后结果为 1．我们记一个正整数 n n 1 经过 J n
次角股运算后首次得到 1（若 n 经过有限次角股运算均无法得到 1，则记 J n = + ），以下说法有误的是
（ ）
A． J n 可看作一个定义域和值域均为N*的函数
B． J n 在其定义域上不单调，有最小值，无最大值
C．对任意正整数 n n 1 ，都有 J n J 2 = J 2n -1
D． J 2n = n n n是真命题， J 2 -1 J 2 +1 是假命题
【变式 3-2】 19 世纪美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以 1 开头的数出现的频率更
高．约半个世纪后，物理学家本·福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以 1 开头的数
出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率
n +1
为Pb (n) = logb ，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来n
14
检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若 P10 (n) log2 9 - log= 2 3（ k N*， k 20），则 k的
n=k 1+ log2 5
值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
题型四：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）
【典例 4-1】设函数 f x 4= x + - ax - b ，若对任意的实数 a，b，总存在 x0 1,3 使得 f x0 m成立，则x
实数m的最大值为（ ）
A．－1 B．0 C 8 - 4 3． D．1
3
【典例 4-2】已知函数 f (x)
x - 2
= - ax - b ，若对任意的实数 a，b，总存在 x0 [-1,2]，使得 f x0 …mx + 2 成
立，则实数 m 的取值范围是（ ）
- , 1 ù 1 ù 2ùA． ú B． - , ú C． - , ú D． (- ,1]è 4 è 2 è 3
1
【变式 4-1】（2024·江西宜春·模拟预测）已知函数 f x = ln x + - ax - b a,b R x é1,e2，且 0 ùx ，满
ln x 1+ = e -1 x é1足 0 ，当 ê , x
ù
0 时，设函数 f xx 的最大值为M a,b ，则M a,b 的最小值为（ ）0 e ú
3- e 1 e -1 e - 2A． B．
2 2
C． D．
2 2
【变式 4-2】设函数 f x = x3 - 6x2 + ax + b ，若对任意的实数a和b，总存在 x0 0,3 ，使得 f x0 m，
则实数m的最大值为 ．
【变式 4-3】设函数 f x = x - ax - b ，a，b R ，若对任意的实数a，b，总存在实数 x0 0,4 ，使得不
等式 f x0 m成立，则m的最大值是 ．
题型五：倍值函数
【典例 5-1】（2024·辽宁沈阳·三模）函数 f x 的定义域为 D，若存在闭区间 a,b D，使得函数 f x
满足：① f x 在 a,b 内是单调函数；② f x 在 a,b 上的值域为 2a, 2b ，则称区间 a,b 为 y = f x 的
“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有 ．
① f x = x2 x 0 ； ② f x = 3x x R ；
f x 4x③ = 2 x 0 ； ④ f x = x x R ．x +1
【典例 5-2】函数 f x 的定义域为D，若存在闭区间 a,b D，使得函数 f x 同时满足：（1） f x 在
a,b 内是单调函数；（2） f x 在 a,b 上的值域为 ka,kb k > 0 ，则称区间 a,b 为 f x 的“ k倍值区间”.
下列函数：① f x = ln x；② f x 1= x > 0 ③ f x = x2； x 0 ；④ f x x= 2 0 x 1 .其中存在x 1+ x
“ 3倍值区间”的序号为 .
a b
【变式 5-1】函数 f (x) 的定义域为D，满足：① f (x) 在D内是单调函数；②存在[ , ] D，使得 f (x) 在
2 2
[a , b ]上的值域为[a,b]，那么就称函数 y = f (x) 为“优美函数”，若函数 f (x) = logc (c
x - t)(c > 0,c 1)是“优
2 2
美函数”，则 t的取值范围是 .
【变式 5-2】（2024·山东济宁·三模）函数 f (x) 的定义域为D，若满足：① f (x) 在D内是单调函数；②
存在[a,b] D，使得 f (x) 在[a,b]上的值域为[2a,2b]，则称函数 f (x) 为“成功函数”，若函数
f (x) = log (c4xc + 3t) (c > 0,c 1)是“成功函数”，则 t的取值范围为 .
题型六：函数不动点问题
【典例 6-1】（2024·高三·上海·开学考试）设函数 f x = ln x + x - a （ a R ，e 为自然对数的底数），
若曲线 y = cos x上存在点 x0 , y0 使 f f y0 = y0成立，则 a 的取值范围是 ．
2022
【典例 6-2】设函数 f x = ex + x2022 - a （ a R ， e为自然对数的底数）.若曲线 y = sinx 上存在 x0 , y0
使得 f f y0 = y0，则a的取值范围是 .
4 2 2 e -1 e +1
【变式 6-1】设函数 f x = ln x + x + a ，若曲线 y = ×sin x + 上存在点 x0 , y0 ，使得3 3 3 2 2
f f y0 = y0成立，则实数 a 的取值范围是 .
e -1 e +1
【变式 6-2】设函数 f (x) = ln x + x + a ，若曲线 y = sin x + 上存在点 (x0 , y0 )使得 f ( f (y0 )) = y0 成立，2 2
求实数a的取值范围为 .
【变式 6-3】已知a > 0，将函数 y = sin x , x 0,p 的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角q ，得到曲线 C.若
对于每一个q 0,a .曲线 C 都是一个函数的图像，则a 的最大值为 .
题型七：函数的旋转问题
【典例 7-1】设a 是正实数，将函数 y = x 的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角q (0 < q < a) ，得到曲线
C ．若对于每一个旋转角q ，曲线C 都可以看成是某一个函数的图像，则a 的最大值为 ．
【典例 7-2】（2024·高三·山东青岛·开学考试）将函数 y = 13 - x2 - 2(x [-3,3])的图象绕点 (-3,0)逆时
针旋转a (0 a q )，得到曲线C ，对于每一个旋转角a ，曲线C 都是一个函数的图象，则q 最大时的正切
值为（ ）
3
A 2． B． 3 C．1 D．2 3
【变式 7-1】设D是含数 3 的有限实数集， f x 是定义在D上的函数，若 f x 的图象绕原点逆时针旋转
45°后与原图象重合，则在以下各项中， f 3 的可能取值只能是（ ）
A． 3 B．3 C．-3 D．0
x é π ù
【变式 7-2】（2024·浙江绍兴·三模）将函数 y = 2sin
2
x ê0, ú ÷的图像绕着原点逆时针旋转角a 得到è 2
曲线T ，当a 0,q 时都能使T 成为某个函数的图像，则q 的最大值是（ ）
π π 3 2
A． B． C． π D． π
6 4 4 3
题型八：函数的伸缩变换问题
ì x2 - x, x 0,1
【典例 8-1】定义域为 R 的函数 f x 满足 f x + 2 = 2 f x ，当 x 0,2 时， f x = í 1 x 3- ，若
-( ) 2 , x 1,2
2
2
当 x -4, -2 f x t t 1时，函数 - + 恒成立，则实数 t的取值范围为
4 2
A． 2,3 B． 1,4 é 1 1C ù． ê- , - ú D． 1,3 4 2
ìx2 - x, x (0,1)
【典例 8-2】定义域为 R 的函数 f x 满足 f x + 2 = 2 f x - 2 ，当 x 0,2 时， f x = í1 ，
, x [1, 2] x
若 x 0,4 t 2 7t时， - f (x)恒成立，则实数 t的取值范围是(　　)
2
5 5
A． 1,2 B．[2, ] C． 2, + D．[1, ]
2 2
【变式 8-1】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的
“高斯函数”为：设 x R ，用 x 表示不超过 x的最大整数，则 y =n x 称为高斯函数，例如： -2.1 = -3，
ì
x - x
2 , x 0,1
3.1 = 3，定义域为R 的函数 f x 满足 f x + 2 = 2 f x ，当 x 0,2 f x = 时， í ，若
x - x , x 1,2
x 4,6 时， f x < t 4- +1恒成立，则实数 t的取值范围是（
t ）
A． -1,0 4, + B． -1,0 4, +
C． - , -1 U 0,4 D． - , -1 0,4
【变式 8-2】（2024·山西·二模）定义域为 R 的函数 f x 满足 f x + 2 = 2 f x ，当 x 0,2 时，
ì
x
2 - 2x +13, x
f x 0,1 = í ，若当
x -4, -2 时，函数 f x t 2 + 2tx ln x, x 1,2 恒成立，则实数 t的取值范围为
A．-3 t 0 B．-3 t 1 C．-2 t 0 D．0 t 1
【变式 8-3】（2024·江西·一模）设函数 f (x) 的定义域为R ，满足 f (x + 2) = 2 f (x) ，且当 x (0, 2]时，
f (x) = -x(x - 2) .若对任意 x (- ,m] f (x)
40
，都有 ，则m的取值范围是（ ）.
9

A． - ,
9 ù 19ù 23ù
ú B． - , C． (- ,7] D． - ,è 4 è 3 ú è 3 ú
题型九：V 型函数和平底函数
【典例 9-1】（2024 *·上海青浦·二模）等差数列 a1,a2 L,an n N ，满足
a1 + a2 +L+ an = a1 +1 + a2 +1 +L+ an +1 = a1 + 2 + a2 + 2 +L+ an + 2
= a1 + 3 + a2 + 3 +L+ an + 3 = 2010，则（ ）
A．n 的最大值是 50 B．n 的最小值是 50
C．n 的最大值是 51 D．n 的最小值是 51
【典例 9-2】已知等差数列 a 1 1 1n 满足： a1 + a2 +L+ an = a1 - + a2 - +L+ a -2 2 n 2
= a 3 31 + + a2 + +L
3
+ an + = 72 ，则n2 2 2 的最大值为（ ）
A．18 B．16 C．12 D．8
【变式 9-1】等差数列 a1,a2 ,× × ×,an n 3,n N* ，满足 | a1 | + | a2 | + ×× × + | an | = | a1 +1| + | a2 +1| + ×× × + | an +1|
= | a1 - 2 | + | a2 - 2 | + ×× × + | an - 2 | = 2019，则（ ）
A．n的最大值为 50 B．n的最小值为 50
C．n的最大值为 51 D．n的最小值为 51
【变式 9-2】已知等差数列 an 满足， a1 + a2 + + an = a1 +1 + a2 +1 + + an +1 = a1 -1 + a2 -1 +
+ an -1 = 98，则n的最大值为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
【变式 9-3】设等差数列 a1， a2，…， an （ n 3， n N* )的公差为d ，满足 a1 + a2 + ××× + an = a1 -1
+ a2 -1 + ××× + an -1 = a1 + 2 + a2 + 2 + ××× + an + 2 = m，则下列说法正确的是
A． d 3 B．n的值可能为奇数
C．存在 i N * ，满足-2 < ai <1 D．m的可能取值为11
1 3
1．已知数列 an 满足 an+1 = a - 6 + 6(n =1,2,3,L)，则（ ）4 n
A．当 a1 = 3时， an 为递减数列，且存在常数M ≤0，使得 an > M 恒成立
B．当 a1 = 5时， an 为递增数列，且存在常数M 6 ，使得 an < M 恒成立
C．当 a1 = 7时， an 为递减数列，且存在常数M > 6，使得 an > M 恒成立
D．当 a1 = 9时， an 为递增数列，且存在常数M > 0，使得 an < M 恒成立
2．已知函数 f (x) = ex - x
1
-1，数列{an}的前n项和为 Sn ，且满足 a1 = ,an+1 = f (an )2 ，则下列有关数列{an}的
叙述正确的是（ ）
A． a5 <| 4a2 - 3a1 | B． a7 a8
C． a10 >1 D． S100 > 26
3．已知数列{xn}，满足 x1 =1， 2xn+1 = ln(1+ x )(n N *n ) ，设数列{xn}的前n项和为 Sn ，则以下结论正确的是
（ ）
A． xn+1 > xn B． xn - 2xn+1 < xn xn+1
C． 2 xn+2 > xn+1 +1 D． Sn+5 > 2
4．（2024·全国·模拟预测）德国数学家狄利克雷（Dirichlet）是解析数论的创始人之一，下列关于狄利
ì1, x为有理数
克雷函数D(x) = í 的结论正确的是（ ）
0, x为无理数
A．D(D(x))有零点 B．D(x) 是单调函数
C．D(x) 是奇函数 D．D(x) 是周期函数
5．（2024·安徽·三模）丹麦数学家琴生是 19 世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸
性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若 x1, x2 ,L, xn 为 a,b 上任意n个实数，满足
x1 + x2 +L+ xn f x + f x +L+ ff 1 2 xn ÷ ，则称函数 f x 在 a,b 上为“凹函数”.也可设可导函数
è n n
f x 在 a;b 上的导函数为 f x , f x 在 a,b 上的导函数为 f x ，当 f x > 0时，函数 f x 在 a,b
x x x
上为“凹函数”.已知 x1, x2 ,L, xn > 0,n 2，且 x1 + x2 +L+ xn =1
1 2 n
，令W = + +L+1- x1 1- x2 1- x
的最小值为
n
an ，则 a2024 为（ ）
2023 2024 2024 2025
A． B． C． D．
2024 2023 2025 2024
6．（2024·江苏·模拟预测）贝塞尔曲线（Beziercurve）是应用于二维图形应用程序的数学曲线，一般的
矢量图形软件通过它来精确画出曲线.三次函数 f x 的图象是可由A ， B ，C ， D四点确定的贝塞尔曲线，
其中A ， D在 f x 的图象上， f x 在点A ， D处的切线分别过点 B ，C .若 A 0,0 ， B -1, -1 ，C 2, 2 ，
D 1,0 ，则 f x =（ ）
A．5x3 - 4x2 - x B．3x3 - 3x
C．3x3 - 4x2 + x D．3x3 - 2x2 - x
7．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）早在西元前 6 世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以
及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中
项的定义与今天大致相同．若 2a + 2b = 1，则 4a +1 4b +1 的最小值为（ ）
25 9 9 25
A． B． C． D．
4 16 4 16
8．函数 f x 的定义域为D，若满足：① f x 在D内是单调函数；②存在 a,b D(a < b) ，使得 f x 在
a,b 上的值域也是 a,b ，则称 y = f x 为高斯函数.若 f x = k + x - 3 是高斯函数，则实数 k的取值范围
是（ ）
é11 ù 11 ù 11 1 11
A． ê ,3ú B． ,3ú C． ,+

D ．
4 4 4 ÷
,
è è è 2 4 ÷
9．设函数 f x 的定义域为D，若存在闭区间 a,b D，使得函数 f x 满足：① f x 在 a,b 上是单调函
数；② f x 在 a,b 上的值域是 2a, 2b ，则称区间 a,b 是函数 f x 的“和谐区间”．下列结论错误的是
（ ）
A 2．函数 f x = x x 0 存在“和谐区间”
B．函数 f x = x + 3 x R 不存在“和谐区间”
C．函数 f x 4x= 2 x 0 存在“和谐区间”x +1
D．函数 f x = log cx 1- c ÷ （ c > 0且 c 1）不存在“和谐区间”
è 8
10．（2024·云南昆明·模拟预测）对于定义域为D的函数 y = f x ，若存在区间 a,b D，使得 f x 同
时满足：
① f x 在区间 a,b 上是单调函数；
②当 f x 的定义域为 a,b 时， f x 的值域也为 a,b ，则称区间 a,b 为该函数的一个“和谐区间”
已知定义在 1, k f x m 2上的函数 = - 有“和谐区间”，则正整数 k 取最小值时，实数 m 的取值范围是（ ）
2 x
A． 4,4 2 B． 4 2,6 C． 4,6 D． 6,8
11．（2024·广西柳州·模拟预测）设函数 f (x) = ex + e -1 x - a （ a R ， e为自然对数的底数），若曲线
y = sin x 上存在点 x0 , y0 使 f y0 = y0成立，则a的取值范围是（ ）
A． 1,2e - 2 B． é e-1 - e,1ù C． 1,e D -1． ée - e,2e - 2ù
lnx x+1
12．（2024·安徽阜阳·二模）设函数 f x = + x - a a R y 2e，若曲线 = (e是自然对数的底数）
x e2x +1
上存在点 x0 , y0 使得 f f y0 = y0，则a的取值范围是
A． - ,0 B． 0,e C 1． - , ùú D． 0, + è e
13 x．（2024·河南郑州·一模）设函数 f x = e + 2x - a（ a R ）， e为自然对数的底数，若曲线 y = sinx上
存在点 x0 , y0 ，使得 f f y0 = y0，则a的取值范围是（ ）
A． é-1+ e-1 ,1+ eù B． 1,1+ e C． e,e +1 D． 1,e
14．设函数 f (x) = ex + x - a （ a R 3 10 10，e为自然对数的底数），若曲线 y = sin x + cos x 上存在点
10 10
(x0，y0 ) 使得 f (y0 ) = y0 ，则a的取值范围是
1- e 1- e
A．[ ,1] B．[ ，e +1] C．[1，e +1] D．[1,e]
e e
1- e 1+ e
15．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）设函数 f x = lnx + x + m ，若曲线 y = cosx + 上存在 x0 , y2 2 0 ，
使得 f f y0 = y0成立，则实数m的取值范围为（ ）
A 2． é0,e - e +1ù B
2 2 2
． é0,e + e -1ù C． é 0,e + e +1ù D． é 0,e - e -1ù
16．设 I 是函数π的有限实数集， f x 是定义在 I 上的函数，若 f x π的图象绕坐标原点逆时针旋转 后与
3
原图象重合，则在以下各项中， f π 的取值不可能是（ ）
A 3． π B． 3π C．π D． 2π
2
ì x2 - x, x [0,1)
17．定义域为 R 的函数 f x 满足 f x + 2 = 4 f x ，当 x 0,2 时， f (x) = í
log 2 (x +1), x
,若
[1, 2)
x [-2，0) 时,对任意的 t [1，2) 都有 f (x)
t a
- 2 成立，则实数 a 的取值范围是16 8t
A． - ，2 B． 2，+ C． - ，6 D． 6，+
18 h x = ex．（多选题）将函数 x 0 的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角q q 0,p ，得到曲线C ，若
曲线C 仍然是一个函数的图像，则q 的可能取值为（ ）
p p 3p
A． B． C． D．p
4 2 4
19．（多选题）（2024·山东日照·三模）设函数 f x 的定义域为R ，满足 f x + 2 = 2 f x ，且当
x 0,2 时， f x = x 2 - x ，则（ ）
A． f 9 = 2 f 7
B．若对任意 x - , m 13ù，都有 f x 6 ，则m的取值范围是 - ,
è 2 ú
C．若方程 f x = m x - 5 1 恰有三个实数根，则m的取值范围是 -1,- 4 ÷è
D．函数 f x 在区间 2n - 2,2n n N+ 上的最大值为 an ，若存在 n N+ ，使得lan < 2n - 7成立，则
l 3 - , 16 ֏
20．已知函数 f (x)
1
= x + x + 2，若不等式 f (m ×4
x +1) + f (m - 2x ) 5对任意的 x > 0恒成立，则实数m的
2 +1
最小值为 .
21 2．已知函数 f (x) = x + ax + b 在区间[0, 4]上的最大值为 M，当实数 a，b 变化时，M 最小值为 ．
22．（2024 3·全国·模拟预测）已知函数 f x = 2x + ax +b 的定义域为 -2,1 ，记 f x 的最大值为M ，则
当M 取得最小值时， a + b 的值为 ．
23．函数 f x = x2 + ax + b （a，b R ）在区间[0，c]（ c > 0）上的最大值为 M，则当 M 取最小值 2 时，
a + b + c = .
24．（2024·全国·模拟预测）定义域为 R 的函数 f (x) 满足 f (x + 2) = 2 f (x) ，当 x [0, 2)时，
ìx2 - x, x [0,1)f (x) = í ，若 x [-4,-2)时， f (x)
t 1
-
x-1.5 恒成立，则实数 t的取值范围是 ．
-0.5 , x [1, 2) 4 2t
25．（2024·上海长宁·一模）已知 a1，a2，a3与 b1，b2，b3是 6 个不同的实数，若关于 x 的方程
|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|解集 A 是有限集，则集合 A 中，最多有 个元素．
26． an 为等差数列，则使等式 a1 + a2 +L+ an = a1 +1 + a2 +1 +L+ an +1 = a1 + 3 + a2 + 3 +L+
an + 3 = a1 + 5 + a2 + 5 +L+ an + 5 = 2019能成立的数列 an 的项数 n 的最大值是 .
27．等差数列 an n 3,n N 满足 a1 + a2 + a3 + ×××+ an = a1 +1 + a2 +1 + a3 +1 + ×××+
an +1 = a1 - 2 + a2 - 2 + a3 - 2 + ×××+ an - 2 = 2024，则n的最大值为 ．
28 *．若等差数列 a1,a2 ,L,an n 3,n N 满足 a1 + a2 +L+ an = a1 +1 + a2 +1
+L+ an +1 = a1 - 2 + a2 - 2 +L+ an - 2 = 2023，则 n 的最大值为 ．拔高点突破 01 函数的综合应用
目录
01 方法技巧与总结 ...............................................................................................................................2
02 题型归纳总结 ...................................................................................................................................3
题型一：函数与数列的综合 .......................................................................................................................................3
题型二：函数与不等式的综合 ...................................................................................................................................6
题型三：函数中的创新题 ...........................................................................................................................................9
题型四：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离） .............................................................................12
题型五：倍值函数 .....................................................................................................................................................16
题型六：函数不动点问题 .........................................................................................................................................19
题型七：函数的旋转问题 .........................................................................................................................................23
题型八：函数的伸缩变换问题 .................................................................................................................................26
题型九：V 型函数和平底函数 .................................................................................................................................29
03 过关测试 .........................................................................................................................................34
1、高考中考查函数的内容主要是以综合题的形式出现，通常是函数与数列的综合、函数与不等式的
综合、函数与导数的综合及函数的开放性试题和信息题，求解这些问题时，着重掌握函数的性质，把函数
的性质与数列、不等式、导数等知识点融会贯通，从而找到解题的突破口，要求掌握二次函数图像、最值
和根的分布等基本解法；掌握函数图像的各种变换形式（如对称变换、平移变换、伸缩变换和翻折变换
等）；了解反函数的概念与性质；掌握指数、对数式大小比较的常见方法；掌握指数、对数方程和不等式
的解法；掌握导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的定义、求导公式与求导法则、
复合函数求导法则及导数的几何意义，特别是应用导数研究函数的单调性、最值等．
n
2、函数 f x = x - ai 的图象与性质
i=1
分奇、偶两种情况考虑：
比如图（1）函数 f x = x + x -1 + x - 3 ，图（2）函数 g x = x + x -1 + x - 2 + x +1
y
y
x x
O O
图（1） 图（2）
n
（1）当 n为奇数时，函数 f x = x - ai 的图象是一个“ ”型，且在“最中间的点”取最小值；
i=1
n
（2）当 n为偶数时，函数 f x = x - ai 的图象是一个平底型，且在“最中间水平线段”取最小值；
i=1
若 ai i N * 为等差数列的项时，奇数的图象关于直线 x = a 对称，偶数的图象关于直线中
x + x
x = 左中 右中 对称．
2
3 、 若 f x 为 m,n 上 的 连 续 单 峰 函 数 ， 且 f m = f n , x0 为 极 值 点 ， 则 当 k,b 变 化 时 ，
g x = f x - kx - b f n - f x0 f n + f x的最大值的最小值为 ，当且仅当 0 k = 0,b = 时取得．
2 2
题型一：函数与数列的综合
1
【典例 1-1】（2024·四川资阳·模拟预测）将函数 f x = cos x - x 在 0, + 上的所有极值点按照由小到e
大的顺序排列，得到数列 x （其中 n N*n ），则（ ）
n 1 1A． -

÷ π < x <

2 n
n + π B． x - x < π
è è 2 ÷ n+1 n
C． xn + xn+1 > 2n -1 π D． xn - n -1 π 为递减数列
【答案】D
f x cos x 1【解析】因为 = - x (x > 0)所以 f x = -sin x
1
+ ，
e ex
令 g x = f x 1= -sin x + ，
ex
故函数 f x 在 0, + 上的所有极值点为函数 g x 在 0, + 上的零点，
即方程-sin x
1
+ x = 0的正根，也即函数 h x = sin x 与函数m x
1
= x 图象交点的横坐标，e e
作出函数 h x = sin x 1和函数m x = x 图象如下e
π 1 1
对于 A，当 n =1时，由图可知0 < x1 < ，不满足 n -2 2 ÷
π < xn < n + ÷ π，故 A 错误；
è è 2
对于 B，由图可知，当n为奇数时， xn+1 - xn < π，当n为偶数时， xn+1 - xn > π，故 B 错误；
对于 C，由图可知，结合 h x = sin x 的对称性知， x1 + x2 > π ， x2 + x3 < 3π ，
不满足 xn + xn+1 > 2n -1 π ，故 C 错误；
对于 D， xn - n -1 π 在 x 轴上表示 xn与 n -1 π的距离，
由于函数m x 1= x 在 0, + 上单调递减，函数 h x = sin x 是以 2π为周期的函数，e
结合图象可知 xn - n -1 π 越来越小，即数列 xn - n -1 π 为递减数列，故 D 正确.
故选：D
na
1-2 2024 a a =1 a = n【典例 】（ ·新疆·三模）已知数列 n 中， 1 ，若 *n+1 n + a （ n N ），则下列结论中错误n
的是（ ）
2 1 1
A． a = B． - 13 5 an+1 an
C． ln n
1 1 1 1
< -1 * - <
a （ n 2,n N ） D．n a2n+1 an+1 2
【答案】D
nan 1 1 1
【解析】对于 A 项，由 a *n+1 = n + a （ n N ）得
- = ，
n an+1 an n
1 1 1 1 1
所以 - = - =1a ， ，3 a2 2 a2 a1
1 1 1 1 1 1 1 1 5
又因为 =1，所以 = ( - ) + ( - ) + = +1+1 =a ，1 a3 a3 a2 a2 a1 a1 2 2
2
所以 a3 = ，故 A 项正确；5
1 1 1
对于 B 项，由 A 项可知， - = 1a a n ，故 B 项正确；n+1 n
1 1 1 1
对于 C 项，因为 - =1，所以 -1 = =1 > ln 2a ，2 a1 a2 a1
假设当 k 2， k Z， ln k
1 1 1 1
< -1成立，则 -1 = + -1 > ln k
1
+
ak a
，
k +1 ak k k
令 g(x) = ln(x +1) - x ，则 g (x)
1 -x
= -1 = ，
x +1 x +1
当 x > 0， g (x) < 0， g(x)单调递减，
g(x) < g(0) = 0 ln(1 1所以 ，即 +1) - < 0 ln(
k +1) 1 1 - < 0 ln(k +1) - ln k - < 0，
k k k k k
所以 ln k
1
+ > ln(k +1)，
k
1 1 ln k 1所以有 - > + > ln(k +1)a ，k +1 k
1
所以对于任意 n 2， n N* ， ln n < -1a 成立，故 C 项正确；n
1 1 1 1 1 1
对于 D 项，由 A 项知， - = 不满足 - ，故 D 项错误.
故选：D.
【变式 1-1】（2024·高三·海南省直辖县级单位·开学考试）已知数列 an 中， a1 =1，若
(n +1) an - an+1 = anan+1，则下列结论中正确的是（ ）
1 1 1 1 1 2
A． - - B． an+2 an (n + 2)(n +1)
1 1 1
C． - < D． an × ln(n +1) <1a2n an 2
【答案】D
1 1 1
【解析】数列 an 中， a1 =1， (n +1)(an - an+1) = anan+1，显然 an 0 ，则 - =a a n +1，n+1 n
1 1 = 1 1对于 A， - an+1 an n +1 2
，A 错误；
1 1 1 1 = 1 1 1 1 2对于 B， - - ÷ + - ÷ = + >a a ，B 错误；n+2 n è an+2 an+1 è an+1 an n+2 n +1 n + 2 n +1
1 1 1 1 1 1 1 1
对于 C， - = ( - ) + ( - ) +L+ ( - )a2n an a2n a2n-1 a2n-1 a2n-2 an+1 an
= 1 + 1 1 L 1 1 1 1 L 1 = n 1+ + + + + + + = ，C 错误；
2n 2n -1 2n - 2 n 2n 2n 2n 2n 2n 2
对于 D，令 f (x) = x - ln(x +1), x > 0，求导得 f (x)
1 x
=1- = > 0，
x +1 x +1
因此 f (x) 在 (0, + )上单调递增， f (x) > f (0) = 0，于是当 x > 0时， x > ln(x +1)，
1 ln(1
1 1 1 n +1
则有 > +1) = ln
n +1
，当 n 2时， - = > ln
n n n an an-1 n n
，
1 1 ( 1 1 ) ( 1 1则 - = - + - ) +L (
1 1 1 1 1
+ - )= + +L+
an a1 an an-1 an-1 an-2 a2 a1 n n -1 2
>ln n +1 ln n L ln 4 ln 3+ + + + = ln(n +1) - ln 2，
n n -1 3 2
1
因此 >ln(n +1) - ln 2 +1>ln(n+1)
1 1
， > ln 2，则 > ln(n+1)a ，n a1 an
显然 an > 0，所以 an × ln n +1 <1，D 正确.
故选：D
x + 2
【变式 1-2】（2024·四川资阳·模拟预测）将函数 f x = cos x - x 在 0, + 上的所有极值点按照由小e
到大的顺序排列，得到数列 xn （其中 n N*），则（ ）
A． (n
1)π x (n 1- < n < + )π B． x2 2 n+1
- xn < π
C． xn + xn+1 > (2n -1)π D．{| xn - (n -1)π |}为递减数列
【答案】D
f (x) sin x x +1【解析】依题意， = - + ， f (x)x 在 0, + 上的所有极值点，即函数 f (x) 在 0, + 上的零点，e
g(x) x +1亦即函数 = x 与 h(x) = sin x
x
图象交点横坐标，当 x > 0时， g (x) = - < 0 ，
e ex
g(x) x +1函数 = 在 0, + x 上单调递减，且恒有0 < g(x) <1，作出函数 y = g(x), y = h(x)的图象，e
π π 3π
观察图象知，0 < x1 < ，显然不等式 < x1 < 不成立，A 错误；2 2 2
显然 x2 - x1 < π, x3 - x2 > π ，B 错误；
| xn - (n -1)π |
x +1
在数轴上表示 f (x) 的第 n个零点 xn与 (n -1)π的距离，由于 g(x) = 在 0, + x 上单调递减，e
因此随着n的增大， | xn - (n -1)π |逐渐减小，即{| xn - (n -1)π |}为递减数列，D 正确；
显然 x1 - 0 > π - x2 > x3 - 2π，即有 x1 + x2 > π ， x2 + x3 < 3π ，C 错误.
故选：D
题型二：函数与不等式的综合
【典例 2-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x 是定义域为 R 的函数， f 2 + x + f -x = 0，对任
意x1， x2 1, + x1 < x2 ，均有 f x2 - f x1 > 0，已知 a，b a b 为关于 x 的方程 x2 - 2x + t 2 - 3 = 0的
两个解，则关于 t 的不等式 f a + f b + f t > 0的解集为（ ）
A． -2,2 B． -2,0 C． 0,1 D． 1,2
【答案】D
【解析】由 f 2 + x + f -x = 0，得 f 1 = 0且函数 f x 关于点 1,0 对称．
由对任意x1， x2 1, + x1 < x2 ，均有 f x2 - f x1 > 0，
可知函数 f x 在 1, + 上单调递增．
又因为函数 f x 的定义域为 R，
所以函数 f x 在 R 上单调递增．
因为 a，b a b 为关于 x 的方程 x2 - 2x + t 2 - 3 = 0的两个解，
所以Δ = 4 - 4 t 2 - 3 > 0，解得-2 < t < 2 ，
且 a + b = 2 ，即b = 2 - a．
又 f 2 + x + f -x = 0，
令 x = -a，则 f a + f b = 0 ，
则由 f a + f b + f t > 0，得 f t > 0 = f 1 ，
所以 t > 1．
综上，t 的取值范围是 1,2 .
故选：D．
ì 2x
e + 3sin
x , x 0

【典例 2-2】（2024 2 4p·全国·模拟预测）已知函数 f x = í ，则不等式 f 3x - 2 > e 的解
e-2x - 3sin x , x < 0
2
集为 ．
, -2p + 2 2p + 2 【答案】 - ÷ U ,+
è 3 è 3 ÷
-x
【解析】由题可得，当 x > 0 -x < 0 -2 - x 时， ， f -x = e - 3sin = e2x x+ 3sin = f x ，
2 2
当 x < 0 时，-x > 0, f x e2 - x 3sin -x- = + = e-2x 3sin x- = f x ，
2 2
所以函数 f x 为偶函数．
x 0 f x = 2e2x 3 x当 时， + cos ，
2 2
此时 f x > 0恒成立，
所以函数 f x 在 0, + 上单调递增，
由 f x 为偶函数可得，函数 f x 在 - ,0 上单调递减．
又因为 f 2p = f -2p = e4p ，
所以 f 3x - 2 > e4p ，即 f 3x - 2 > f 2p ，
所以 3x - 2 > 2p ，即3x - 2 > 2p 或3x - 2 < -2p ，
x 2p + 2 x -2p + 2解得 > 或 < ，
3 3
f 3x - 2 > e4p - , -2p + 2 所以 的解集为 ÷ U
2p + 2
,+

．
è 3 è 3 ÷
-2p + 2 2p + 2
故答案为： - , ÷ U ,+ 3 ÷è è 3
【变式 2-1】关于 x的不等式 (x -1)2023 - 22023 × x2023 x +1的解集为 ．
【答案】 -1, +
【解析】 (x -1)2023 - 22023 × x2023 x +1可化为 (x -1)2023 + x -1 2x 2023 + 2x ，
f x = x2023设 + x，定义域为 R，且 f x -1 f 2x ，
故 f x = x2023 + x为奇函数，
且 f x = 2023x2022 +1 > 0恒成立，
故 f x = x2023 + x在 R 上单调递增，
故 x -1 2x，解得 x -1，
故解集为 -1, + .
故答案为： -1, +
【变式 2-2】（2024·高三·黑龙江齐齐哈尔·期末）意大利数学家斐波那契 (1175年~1250年）以兔子繁殖
数量为例，引人数列：1,1,2,3,5,8,L，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即
an+2 = an+1 + an n N* ，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为
n n
a 1
é 1+ 5 1- 5 ù
n = ê ÷÷ - ÷÷ ú．设n是不等式 log é2 (1+ 5)
n - (1- 5)n ù > n + 5的正整数解，则n的最小值5 êè 2 è 2 ú
为 ．
【答案】8
n
【解析】由 log é2 (1+ 5) - (1- 5)
n ù > n + 5，得 log é(1+ 5)n 2 - (1- 5)
n ù
- n > 5，
n n
得 log é2 (1+ 5)
n - (1- 5)n ù - log 2n > 5，得 1+ 5 - 1- 5 2 log2 n > 5，2
é n n 1+ 5
n n
ê 1- 5
ù
ú 1+ 5 log 1- 5

得 2 ÷ - ÷ > 5，\ ÷ - ÷ > 25 ，ê ÷ ÷ ÷ ÷ è 2 è 2 ú è 2 è 2
é n n1 ê 1+ 5
1- 5 ù 25
所以 -2 ÷÷ ÷
ú > ，
5 ê
÷
è è 2 ú 5
n n
a 1
é
ê 1+ 5
1- 5 ù
令 n = ÷ - ÷ ú，则数列 a 即为斐波那契数列，5 ê
2 ÷ ÷ nè è 2 ú
25 210\a > ，则 a2 2n n > ，显然数列 an 为递增数列且 an > 0，所以数列 an 亦为递增数列，5 5
由 a1 = a2 =1，得 a3 = a1 + a2 = 2， a4 = a2 + a3 = 3， a5 = a3 + a4 = 5， a6 = a4 + a5 = 8，
a7 = a5 + a6 =13， a8 = a6 + a7 = 21，
10 10
因为 a2 27 =13 =169
2
< = 204.8， a2 28 = 21 = 441
2
> = 204.8，
5 5
所以
a2 2
10
使得 n > 成立的n的最小值为 8．5
故答案为：8 .
题型三：函数中的创新题
【典例 3-1】（2024·江苏无锡·模拟预测）从古至今，中国人一直追求着对称美学．世界上现存规模最大、
保存最为完整的木质结构——故宫：金黄的宫殿，朱红的城墙，汉白玉的阶，琉璃瓦的顶……沿着一条子
午线对称分布，壮美有序，和谐庄严，映衬着蓝天白云，宛如东方仙境．再往远眺，一线贯穿的对称风格，
撑起了整座北京城．某建筑物的外形轮廓部分可用函数 f x = x - 2a + x 的图像来刻画，满足关于 x的
方程 f x = b 恰有三个不同的实数根 x1, x2 , x3，且 x1 < x2 < x3 = b（其中 a,b (0,+ )），则b的值为（ ）
80
- 16A． B．
81 9
80 208
C． D．
81 81
【答案】B
【解析】因为 f x + 2a = x + 2a - 2a + x + 2a = -x - 2a + -x = f -x ，
所以 f x 关于 x = a对称，所以 f x = b 的根应成对出现，
又因为 x的方程 f x = b 恰有三个不同的实数根 x1, x2 , x3且 x1 < x2 < x3 = b，
所以该方程的一个根是a，得 x1 = 2a - b, x2 = a, x3 = b，且 a b ，
ì f a = a + a = 2 a = b 2
所以 í ，由 f a = 2 a = b a b得 = ，
f b = b - 2a + b = b 4
2
当b - 2a 0，即b - 2 b 0，即0 < b 2时， f b = b - 2a + b = b，①
4
b2
则 b 2a b -2a
-2 b
- - = = 4 = - ，②
b - 2a + b b 2
由① -
3 16 64
②得 2 b = b，解得b = ，所以 a = ；
2 9 81
b2
当b - 2a < 0，即b - 2 < 0，即b > 2 时， f b = 2a - b + b = b，③
4
2
2 b - 2b
2a b b 2a - 2b 4 b- - = = = - 2，④
2a - b + b b 2
b 2
由③ - ④得 2 b = + 2 ，即 b - 2 = 0，2
2
解得b = 4 a b，此时 = = 4 = b ，不合题意，舍去，
4
64 16
综上， a = ,b = .
81 9
故选：B.
【典例 3-2】（2024·山东·一模）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美
誉．函数 f x = x 称为高斯函数，其中 x R ， x 表示不超过 x 的最大整数，例如： -1.1 = -2 ，
2.5 = 2，则方程 2x +1 + x = 4x的所有解之和为（ ）
1 3 3 7A． 2 B． C． D．4 2 4
【答案】C
【解析】"x R ，$k Z，使 k 2x +1 < k +1，则[2x +1] = k ，
k -1 x k可得 < ， 2k - 2 4x < 2k ，
2 2
k -1
若 k 为奇数，则 Z ，所以[x]
k -1
= ，
2 2
2x 1 x k k -1 4x 2k 2 k k -1\ + + = + = ，则 - + < 2k ，
2 2
解得-1 < k 3，\k =1或 k = 3，
1 1
当 k =1时，0
1
x < ，[x] = 0，[2x +1] =1，\1+ 0 = 4x x = é ê0, ÷，2 4 2
当 k = 3时，1
3
x < ，[x] = 1，[2x +1] = 3，\3 +1
3
= 4x x =1 é
2 ê
1, ÷ ，
2
k k
若 k 为偶数，则 Z ，所以[x] = -1，
2 2
\ 2x +1 + x = k k+ -1 = 4x，则 2k - 2 k k+ -1 < 2k ，
2 2
解得-2 < k 2，\k = 0或 k = 2，
1 1 1
当 k = 0时，- x < 0，\[x] = -1，[2x +1] = 0，\-1+ 0 = 4x x = - éê- ,0

2 4 2 ÷
1 1
当 k = 2时， x <1，\[x] = 0，[2x +1] = 2，\0 + 2 = 4x x = ，
2 2
1 1 1 3
因此，所有解之和为： +1- + = ，
4 4 2 2
故选：C.
【变式 3-1】（2024·全国·模拟预测）“角股猜想”是“四大数论世界难题”之一，至今无人给出严谨证
明．“角股运算”指的是任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以 2，如果它是奇数，我们就把它
乘 3 再加上 1．在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数．如果反复使用这个变换，我们就会得
到一串自然数，该猜想就是：反复进行角股运算后，最后结果为 1．我们记一个正整数 n n 1 经过 J n
次角股运算后首次得到 1（若 n 经过有限次角股运算均无法得到 1，则记 J n = + ），以下说法有误的是
（ ）
A． J n 可看作一个定义域和值域均为N*的函数
B． J n 在其定义域上不单调，有最小值，无最大值
C．对任意正整数 n n 1 ，都有 J n J 2 = J 2n -1
D． J 2n = n是真命题， J 2n -1 J 2n +1 是假命题
【答案】A
【解析】依题意， J (n)的定义域是大于 1 的正整数集，A 错误；
由 J (4) = 2, J (5) = 5, J (8) = 3，得 J (n)在其定义域上不单调，
而 J (2) =1， J (n) N*，则 J (n)有最小值 1，
由 n 经过有限次角股运算均无法得到 1，记 J n = + ，得 J (n)无最大值，B 正确；
对任意正整数 n n 1 ， J (2n) = J (n) +1，而 J (2) =1，因此 J (n)J (2) = J (n) = J (2n) -1，C 正确；
对任意正整数n，2n 每次除以 2，最后得到 1 的次数为n，因此 J (2n ) = n，
由 J (22 -1) = J (3) = 7, J (22 +1) = J (5) = 5，知 J 2n -1 J 2n +1 是假命题，D 正确.
故选：A
【变式 3-2】 19 世纪美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以 1 开头的数出现的频率更
高．约半个世纪后，物理学家本·福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以 1 开头的数
出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率
P n +1为 b (n) = logb ，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来n
14 log2 9 - log2 3
检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若 P10 (n) = （ k N*， k 20），则 k的
n=k 1+ log2 5
值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】B
14
【解析】 P10(n) = P10(k)+P10(k +1)+L+P10(14) k +1 k +2= lg +lg +L 15 15+lg = lg ，
n=k k k +1 14 k
log2 9 - log2 3 log2 3= = lg3
1+ log2 5 log210
，故 k = 5．
故选：B．
题型四：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）
4
【典例 4-1】设函数 f x = x + - ax - b ，若对任意的实数 a，b，总存在 x0 1,3 使得 f xx 0 m成立，则
实数m的最大值为（ ）
A．－1 B 0 C 8 - 4 3． ． D．1
3
【答案】C
【解析】由已知得m é f x ùmax min
设构造函数 g x 4= + lx满足 g 1 = g 3 ，即 4 + l 4 4= + 3l ，解得l = ，
x 3 3
f x 4 4x 1= + - + a x 1- b h x = + a 则 ，令 x + b，
x 3 ÷ ÷è 3 è 3
则函数 f x 1可以理解为函数 g x 4 4= + x与函数 h x = + a x 3 3 ÷
x + b在横坐标相等时，纵坐标的竖直距离，
è
∵ g 1 = g 3 16= g x 4 4 x 2 4 4x 8 3，且 = + = × = （当且仅当 x = 3时取等号），3 x 3 x 3 3
16 1
∴ 8 3若设直线 l1的方程为 y = ，直线 l2的方程为 y = ，由此可知当 a + = 0，直线 h x = b 位于直线 l3 3 1和3
16 8 3
- 8 - 4 3
直线 l2中间时，纵坐标的竖直距离取得最大值中的最小值，故 é f x ùmax min = 3 3 = ，
2 3
m 8 - 4 3所以实数 的最大值为 .
3
故选：C .
x - 2
【典例 4-2】已知函数 f (x) = - ax - b ，若对任意的实数 a，b，总存在 x0 [-1,2]x 2 ，使得
f x
+ 0
…m成
立，则实数 m 的取值范围是（ ）
1- , ù 1 2A． ú B． - ,
ù
C． - ,
ù
D． (- ,1]
è 4 è 2 ú è 3 ú
【答案】B
【解析】由存在 x0 [-1,2]，使得 f x0 m成立，故m≤ f (x)max ，
又对任意的实数 a，b，m≤ f (x)max ，则m [ f (x)max ]min ，
x - 2 ax b x - 2- - = - (ax + b) g(x) x - 2=
x + 2 x 2 可看作横坐标相同时，函数+ x + 2
与函数 h(x) = ax + b图象上的纵向距离的最大值中的最小值，
又 g(-1) = -3, g(2) = 0，作示意图如图所示：
设 A(-1, -3), B(2,0)，则直线 AB 的方程 l1 : y = x - 2，设 l2 : y = x + m与 g(x)相切，
x - 2
则 = x + m，得 x2 + (m +1)x + 2(m +1) = 0，有D = (m +1)2 - 8(m +1) = 0，
x + 2
得m = -1或m = 7 ，由图知，切点C(0,-1)，则 l2 : y = x -1，
当直线 h(x) 与 l1， l2平行且两直线距离相等时，即恰好处于正中间时，
函数 g(x)与 h(x) 图象上的纵向距离能取到最大值中的最小值，
此时 h(x)
3
= x - ，[ f (x)max ]min =| -1- (
3 1 1
- ) |= ，故m .
2 2 2 2
故选：B
1
【变式 4-1】（2024 2·江西宜春·模拟预测）已知函数 f x = ln x + - ax - b a,b R x é1,e ùx ，且 0 ，满
ln x 1足 0 + = e -1
é1 ù
，当 x ê , x0 ú时，设函数 f x 的最大值为M a,b ，则M a,bx e 的最小值为（ ）0
3- e 1 e -1 e - 2A． B． 2 C． D．2 2 2
【答案】D
1 1 1 x -1
【解析】设 g x = ln x + x > 0 ，则 g x = - 2 = 2 x > 0 ，x x x x
当0 < x <1时， g x < 0， g x 为减函数，
当 x >1时， g x > 0， g x 为增函数，所以 g x = g 1 =1min ，
作出 g x 的图象如下，
令 g x = e -1 1 1，即 g x = ln x + = e -1，得 x1 = , x2 = x0 x0 1,+ ，x e
ln x 1且 0 + = e -1 2x ，显然 x0 < e ， 0
é1
在 ê , x
ù
e 0 ú 上，当
a = 0时， f x = g x - b ，

当b
e -1+1 e
= 时，M a,b e e e - 2 e= -1- b e -1- = ，当b = 时取等号；
2 2 2 2 2
b e e - 2 e - 2当 > 时， M a,b = b -1 > ，所以M a,b =min ，2 2 2
1 ,e -1 此时点 ÷ , 1,1 , x0 ,e -1
e - 2
e 到直线
y = b的距离都是 ，
è 2
1
当 a 0 时，三点中 ,e -1

e ÷
, 1,1 , x0 ,e -1 中至少有一个点满足
è
ln x 1 e - 2+ - ax - b >
x 2 ，所以
M a,b e - 2 e - 2> ，综上所述，M a,b = ，
2 min 2
故选：D.
【变式 4-2】设函数 f x = x3 - 6x2 + ax + b ，若对任意的实数a和b，总存在 x0 0,3 ，使得 f x0 m，
则实数m的最大值为 ．
【答案】2
【解析】 f x = x3 - 6x2 + ax + b = x3 - 6x2 + 9x - (9 - a)x - b
设 g(x) = x3 - 6x2 + 9x, g '(x) = 3x2 -12x + 9 = 3(x -1)(x - 3)
g(x)在( 0, 1)上单调递增，在 (1,3)上单调递减， g(0) = g(3) = 0
设 h(x) = (9 - a)x - b
画出函数图像：
对任意的实数a和b，总存在 x0 0,3 ，使得 f x0 m
等价于求 f x 最大值里的最小值.
根据图像知：当 a = 9,b = -2时，最大值的最小值为 2
故实数m的最大值为 2
答案为 2
【变式 4-3】设函数 f x = x - ax - b ，a，b R ，若对任意的实数a，b，总存在实数 x0 0,4 ，使得不
等式 f x0 m成立，则m的最大值是 ．
1
【答案】
4
【解析】设 f x 的最大值为M b ，
令u x = x - ax - b ，则u x
1
= - a在 x 0,4 12 x 上，当u x 0时，即 a 时，u x 单调递增，4
此时 -b u x 2 - 4a - b ，
当b 1- 2a时，M b = 2 - 4a - b，
当b >1- 2a时，M b = b，
1 1
从而当 a 时，b =1- 2a时，M b 取最小值，M b min = 1- 2a 4 2 ，
1
当 a
1
> u x é0, é 1 ù时， 在 ê 4a2 ÷ 上单调递增，在 ê4b2
, 4ú 上单调递减，4
a é1 , 1 ù 1b u x 1 b b = 1 1在 ê ú 时， - -4 2 4a ，当 时，
M b =
8a min 8a 4
，
a 1在 ,+
1
÷，时， 2 - 4a - b u(x)
1
- b，当b =1- 2a + M b 2a 1时， = + -1 1>
è 2 4a 8a min 8a 4
，
对任意实数a，b，总存在实数 x0 0,4 ，使得不等式 f (x0 ) m 成立等价于m≤ f (x)max 恒成立，
\m 1 ，
4
故m 1的最大值为 ，
4
1
故答案为： .
4
题型五：倍值函数
【典例 5-1】（2024·辽宁沈阳·三模）函数 f x 的定义域为 D，若存在闭区间 a,b D，使得函数 f x
满足：① f x 在 a,b 内是单调函数；② f x 在 a,b 上的值域为 2a, 2b ，则称区间 a,b 为 y = f x 的
“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有 ．
① f x = x2 x 0 ； ② f x = 3x x R ；
③ f x 4x= 2 x 0 ； ④ f x = x x R ．x +1
【答案】①③．
2
【解析】①函数 f x = x x 0 2为增函数，若函数 f x = x x 0 存在“倍值区间” a,b , a < b ，则有
ì f a = a2 = 2a ìa = 0
í 2 ，解得 í ，所以函数 f x = x
2

x 0 存在“倍值区间” 0,2
f b = b = 2b b 2
，故正确；
=
②函数 f x = 3x x R 为增函数，若函数 f x = 3x x R 存在“倍值区间” a,b , a < b ，则
ì f a = 3a = 2a
í
f b 3b
，
= = 2b
当 x 0 时， y = 3x > 0， y = 2x 0 ，此时3x = 2x 无解；
当 x > 0时，设 g x = 3x - 2x， h x = ex - 2x，
令 h x = ex - 2 = 0，解得 x = ln 2，
故当0 < x < ln 2时， h x < 0， h x 单调递减；当 x > ln 2时， h x > 0， h x 单调递增；
所以 h x = h ln 2 =2 - 2ln 2 > 0，所以 x > 0时， g x = 3x - 2x > ex - 2x > 0min ，
所以此时3x = 2x 无解，
x
综上所述，3x = 2x 无解，故函数 f x = 3 x R 不存在“倍值区间”，
③当 x = 0时， f x = 0；
f
x > 0 x
4
= 1
当 时， x 1 ，由于对勾函数 y = x + 在 0,1+ 上单调递减，
x x
由复合函数可得函数 f x 在区间 0,1 上单调递增，
ì f a 4a= = 2a
f x 4x
2
若函数 = 2 在区间
a = 0
0,1 存在“倍值区间” a,b , a < b 1+ a ì，则有 í 4b ，解得 íb 1 ，1+ x f b = 2 = 2b
=
1+ b
所以函数 f x 4x= 存在“倍值区间” 0,1 ，故正确；
1+ x2
x, x 0④若函数 f x ì= x = í x, x 0 ，所以 f x 在 0, + 上单调递增，在 - ,0 上单调递减， - <
若 f x 在 0, + 存在“倍值区间” a,b , a < b ，
ì f a = a = 2a
所以则 í ，解得 a = b = 0，与区间 a,b 矛盾，故舍去，
f b = b = 2b
若 f x 在 - ,0 存在“倍值区间” a,b , a < b ，
ì f a = -a = 2b
所以则 í f b ，解得 a = b = 0，与区间 a,b 矛盾，故舍去， = -b = 2a
故 f x = x x R 没有“倍值区间”；
故答案为：①③．
【典例 5-2】函数 f x 的定义域为D，若存在闭区间 a,b D，使得函数 f x 同时满足：（1） f x 在
a,b 内是单调函数；（2） f x 在 a,b 上的值域为 ka,kb k > 0 ，则称区间 a,b 为 f x 的“ k倍值区间”.
下列函数：① f x = ln x；② f x 1= x > 0 2 x；③ f x = x x 0 ；④ f x = 0 x 1 .其中存在
x 1+ x2
“ 3倍值区间”的序号为 .
【答案】②③
【解析】对于①，函数 f x = ln x为增函数，若函数 f x = ln x存在“ 3倍值区间” a,b ，则
ì f a = ln a = 3a
í f b ln b 3b ，由图象可得方程 ln x = 3x 无解，故函数
f x = ln x不存在“ 3倍值区间”；
= =
ì f a 1 = = 3b1
对于②，函数 f x = x 0 > 为减函数，若存在“ 3 a 1倍值区间” a,b ，则有 í 1 得： ab = ， a > 0，x 3 f b = = 3a
b
1 1
b > 0 ,例如： a = ，b =1.所以函数 f x = x > 0 存在“ 3倍值区间”；
3 x
ì f a = a2 = 3a2 ìa = 0
对于③，若函数 f x = x x 0 存在“ 3倍值区间” a,b ，则有 í f b b2 3b ，解得 íb 3 .所以函数函数 = = =
f x = x2 x 0 存在“ 3倍值区间” 0,3 ；
f x 1=
对于④，当 x = 0时， f x = 0 .当0 < x 1 时， x 1+ ，从而可得函数 f x 在区间 0,1 上单调递增.
x
ì a
f a = 2 = 3a
f x x若函数 = 2 存在“ 3倍值区间” a,b ，且 a,b 0,1
1+ a
，则有 í ，无解.所以函数1+ x f b
b
= = 3b
1+ b2
f x x= 2 不存在“ 3倍值区间”.1+ x
故答案为：②③.
a b
【变式 5-1】函数 f (x) 的定义域为D，满足：① f (x) 在D内是单调函数；②存在[ , ] D，使得 f (x) 在
2 2
[a , b ]上的值域为[a,b]，那么就称函数 y = f (x) 为“优美函数”，若函数 f (x) = log xc (c - t)(c > 0,c 1)是“优2 2
美函数”，则 t的取值范围是 .
【答案】 (0,
1)
4
【解析】若 c >1，则函数 y = cx - t 为 R 上增函数， y = logc x为 (0, + )上的增函数，
x
所以函数 f x = logc c - t 为其定义域上的增函数，
若0 < c <1，则函数 y = cx - t 为 R 上减函数， y = logc x为 (0, + )上的减函数，
所以函数 f x = logc cx - t 为其定义域上的增函数，
综上，函数 f x = log cxc - t 为其定义域上的增函数，
ì a
f ÷ = a
f x = log cx若函数 c - t 2(c > 0,c 1) è 是“优美函数”，则 í ，
f b ÷ = b è 2
ì a
ca - c 2 + t = 0 a b
即 í ，即 是方程 x2b c 2 ,c 2 - x + t = 0的两个不同的正根，
b
c - c 2 + t = 0
ìΔ =1- 4t > 0 1 1
则 ít 0 ，解得
0 < t < ，即 t的取值范围是 (0, )，
> 4 4
故答案为： (0,
1)
4
【变式 5-2】（2024·山东济宁·三模）函数 f (x) 的定义域为D，若满足：① f (x) 在D内是单调函数；②
存在[a,b] D，使得 f (x) 在[a,b]上的值域为[2a,2b]，则称函数 f (x) 为“成功函数”，若函数
f (x) = log 4xc (c + 3t) (c > 0,c 1)是“成功函数”，则 t的取值范围为 .
【答案】 (0,
1 )
12
4x
【解析】当 c >1时，因 c4x + 3t 在其定义域内是单调递增函数，则 f (x) = logc (c + 3t)也是单调递增函数；
4x
当0 < c <1时， c4x + 3t 在其定义域内是单调递减函数，则 f (x) = logc (c + 3t)是单调递增函数；
4x ìlogc (c
4a + 3t) = 2a ìc4a + 3t = c2a
所以函数 f (x) = logc (c + 3t)是增函数，有 í 4b ，即 ，
logc (c + 3t) = 2b
íc4b + 3t = c
2b
故 a,b是方程 c4x - c2x + 3t = 0的两个实数根，即方程3t = -c4x + c2x 有两个不同的实数根，
也即函数 y = -c4x + c2x 与直线 y = 3t 有两个不同的交点.令 c2x = u，则 c4x = u2，
2 1
所以问题转化为函数 y = -u2 + u(u > 0)与 y = 3t 1 1有两个不同的交点， y = -u2 + u = - u - 2 ÷
+ 最大值为 ，
è 4 4
又u = 0时， y 0
1 1
= ，所以当0 < 3t < 时，即0 < t < 时，两函数恰有两个交点.
4 12
1
故答案为： (0, ) .
12
题型六：函数不动点问题
【典例 6-1】（2024·高三·上海·开学考试）设函数 f x = ln x + x - a （ a R ，e 为自然对数的底数），
若曲线 y = cos x上存在点 x0 , y0 使 f f y0 = y0成立，则 a 的取值范围是 ．
【答案】 - ,0 ．
【解析】由曲线 y = cos x, (y -1,1 ) 上存在点 x0 , y0 ，使得 f f y0 = y0，即 y0 0,1 ，
下面证明 f y0 = y0，因为 f x = ln x + x - a 在定义域上严格递增，
假设 f y0 = C > y0 ，则 f f y0 = f C > f y0 = C > y0 ，
不满足 f f y0 = y0，同理 f y0 = C < y0，不满足 f f y0 = y0，
所以 f y0 = y0，那么函数 f x = ln x + x - a 0,1 ，
即函数 f x = x在 x 0,1 有解，所以 ln x + x - a = x2 ，
即 ln x + x - x2 = a ， x 0,1 ，令 h x = ln x + x - x2 ，
1 - x -1 2x +1则 h x = +1- 2x = ，
x x
Q x 0,1 ，\h x 0 ，\h x 单调递增，
又 h 1 = 0，所以 a 0，所以 a 的取值范围是 - ,0 ．
故答案为： - ,0
2022
【典例 6-2】设函数 f x = ex + x2022 - a （ a R ， e为自然对数的底数）.若曲线 y = sinx 上存在 x0 , y0
使得 f f y0 = y0，则a的取值范围是 .
【答案】 1,e
【解析】由已知可得 y0 -1,1 ，且 f y0 = 2022 ey0 + y20220 -a ，
由已知存在 y0 -1,1 ，使得 f f y0 = y0，则 y0 0,1 ，
y 0,1 e y0 + y 2022 y 2022所以，存在 0 ，使得 0 - a 0，可得 a e 0 + y0 ，
因为函数 y = ex + x2022在 0,1 上单调递增，则 ymax = e +1，则 a e +1 .
易知函数 f x = 2022 ex + x2022 - a 在 0,1 上单调递增.
若 f y0 > y0，则 f f y0 > f y0 > y0 ，不合乎题意；
若 f y0 < y0 ，则 f f y0 < f y0 < y0 ，不合乎题意；
若 f y0 = y0，则 f f y0 = f y0 = y0 ，合乎题意.
故存在 x 0,1 ，使得 f x = 2022 ex + x2022 - a = x，可得 a = ex ，则 a 1, e ，
综上所述，实数a的取值范围是 1,e .
故答案为： 1,e .
【变式 6-1】设函数 f 4 e -1 e +1x = ln x 2 2+ x + a ，若曲线 y = ×sin x + 上存在点 x0 , y0 ，使得3 3 3 2 2
f f y0 = y0成立，则实数 a 的取值范围是 .
é1 3
【答案】 ê , e
2 - e - 2ù
2 2 ú
e-1 e +1
【解析】因为 (x0，y0 ) 在曲线 y = g sin x +2 2 上，-1 sin x 1，∴
1≤ y0 ≤ e .
f (x) = 4由于 ln x 2 2+ x + a 在定义域内是增函数，
3 3 3
所以若 f (y0 ) > y0 ，则 f ( f (y0 )) > f (y0 ) > y0 ，与 f ( f (y0 )) = y0 矛盾，
若 f (y0 ) < y0 ，则 f ( f (y0 )) < f (y0 ) < y0 ，与 f ( f (y0 )) = y0 矛盾，所以 f (y0 ) = y0 ，
则问题转化为 f (x) = x 在[1
4 2 2
，e] 2内有解，即方程 ln x + x + a = x 在[1，e]3 3 3 内有解，
3 2 3 2
得方程 a = x - 2ln x - x 在[1，e]内有解，令 g(x) = x - 2ln x - x2 2 ，
g (x) = (3x + 2)(x -1)则 ，∴ x [1，e]时， g (x) 0x ，
即 g(x)
1 3 2
在[1，e]上单调递增，所以 g(1)≤ g(x) ≤ g(e) ≤ g(x)≤ e - e - 2 .2 2
é1 , 3 e2故答案为： ê - e - 2
ù
2 2 ú
e -1 e +1
【变式 6-2】设函数 f (x) = ln x + x + a ，若曲线 y = sin x + 上存在点 (x0 , y0 )使得 f ( f (y2 2 0
)) = y0 成立，
求实数a的取值范围为 .
【答案】[0 , e2 - e -1]
【解析】Q-1 sin x 1，
\ e -1当 sin x = 1时， y = sin x
e +1 y e -1 e +1+ 取得最大值 = + = e，
2 2 2 2
y e -1sin x e +1 y e -1 e +1当 sin x = -1时， = + 取得最小值 = - + =1，
2 2 2 2
e -1
即函数 y = sin x
e +1
+ 的取值范围为[1 , e]，
2 2
y e -1sin x e +1若 = + 上存在点 (x0 , y0 )使得 f ( f (y0 )) = y0 成立，则 y0 [1 , e] .2 2
又 f (x) = ln x + x + a 在定义域上单调递增.
假设 f (y0 ) = c > y0，则 f ( f (y0 )) = f c > f (y0 ) = c > y0 ，不满足 f ( f (y0 )) = y0 ；
假设 f (y0 ) = c < y0，也不满足 f ( f (y0 )) = y0 ；
综上可得： f (y0 ) = y0 ， y0 [1 , e] .
Q函数 f x = x有解，等价为 ln x + x + a = x，在 (0 , e]上有解，即平方得 ln x + x + a = x2 ，则
a = x2 - ln x - x ，
2
设 h(x) = x2 - ln x - x，则 h (x) = 2x 1 1 2x - x -1 (2x +1)(x -1)- - = = ，
x x x
由 h (x) > 0 得1< x e ，此时函数单调递增，由 h (x) < 0得0 < x <1，此时函数单调递减，
即当 x =1时，函数取得极小值，即 h 1 =1- ln1-1 = 0，
x=e h e = e2当 时， - lne - e = e2 - e -1，
则0 h(x) e2 - e -1.则0 a e2 - e -1，
故实数a的取值范围为[0 , e2 - e -1] .
故答案为：[0 , e2 - e -1] .
【变式 6-3】已知a > 0，将函数 y = sin x , x 0,p 的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角q ，得到曲线 C.若
对于每一个q 0,a .曲线 C 都是一个函数的图像，则a 的最大值为 .
p
【答案】 ##45°
4
【解析】利用运动是相对的，
函数 y = sin x , x 0,p 的图像绕坐标原点逆时针方向旋转（左图），
可以看作直线 x = 0绕坐标原点顺时针方向旋转（右图），
根据函数的定义，对于定义域内的每一个自变量 x，都有唯一确定的 y 与之对应，
即直线 x = 0绕坐标原点顺时针方向旋转过程中，只能与 y = sin x 的图像有且只有一个交点，故只需求函数
在原点处的切线方程， k = y |x=0 = cos 0 =1，此时切线方程为 y = x ，
p
故直线 x = 0最多绕坐标原点顺时针方向旋转 ，
4
则函数 y = sin x , x 0,p p p p的图像只能绕坐标原点逆时针方向旋转 - = ，
2 4 4
p
故a 的最大值为 ，
4
p
故答案为：
4
题型七：函数的旋转问题
【典例 7-1】设a 是正实数，将函数 y = x 的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角q (0 < q < a) ，得到曲线
C ．若对于每一个旋转角q ，曲线C 都可以看成是某一个函数的图像，则a 的最大值为 ．
π
【答案】
4
π
【解析】画出函数 y = x 的图像，如图，在 y 轴正半轴上取一点 B ，则 MOB = ，
4
由图可知，当函数 y = x 的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角q 大于 MOB 时，旋转所得的图像与垂直于
x轴的直线就有两个交点，曲线C 不是一个函数的图像，
故a
π
的最大值是 MOB = .
4
π
故答案为： .
4
【典例 7-2】（2024·高三·山东青岛·开学考试）将函数 y = 13 - x2 - 2(x [-3,3])的图象绕点 (-3,0)逆时
针旋转a (0 a q )，得到曲线C ，对于每一个旋转角a ，曲线C 都是一个函数的图象，则q 最大时的正切
值为（ ）
3
A． B
2
． 3 C．1 D．2 3
【答案】B
【解析】由 y = 13 - x2 - 2(x [-3,3])，得 y 0，
x2 + y + 2 2 =13，则函数的图像是以M (0, -2)为圆心的圆的一部分，
先画出函数 y = 13 - x2 - 2(x [-3,3])的图象,
这是一个圆弧 AB，圆心为M (0, -2) ,如图所示，
由图可知当此圆弧绕点 (-3,0)逆时针方向旋转角大于 MAB 时，
曲线C 都不是一个函数的图象，
即当圆心M (0, -2)在 x 轴上时，
所以q 最大值即为 MAB ，
tan MAB 2= 2，所以q 最大时的正切值为
3 3
.
故选：B.
【变式 7-1】设D是含数 3 的有限实数集， f x 是定义在D上的函数，若 f x 的图象绕原点逆时针旋转
45°后与原图象重合，则在以下各项中， f 3 的可能取值只能是（ ）
A． 3 B．3 C．-3 D．0
【答案】A
【解析】
对于 A 项，若 f 3 = 3，则构造如图 1 的函数图象，
使得点 A1 3, 3 ，根据定义可得图象上不存在关于 x轴对称的点，
符合函数的定义，所以 f 3 的取值可能是 3 .故 A 正确；
对于 B 项，若 f 3 = 3，构造如图 2 的函数图象，
使得点 A1 3,3 ，根据定义可推得点 A7 3, -3 ，
所以有 f 3 = -3，不符合函数的定义，故 B 错误；
对于 C 项，若 f 3 = -3，构造如图 3 的函数图象，
使得点 A1 3, -3 ，根据定义可推得点 A3 3,3 ，
所以有 f 3 = 3，不符合函数的定义，故 C 错误；
对于 D 项，若 f 3 = 0，构造如图 4 的函数图象，
使得点 A1 3,0 ，根据定义可推得则点 A2 3,3 ，所以 f 3 = 3 .
又 A8 3, -3 ，所以 f 3 = -3，不符合函数的定义，故 D 错误.
故选：A.
y 2sin x = x é π ù 【变式 7-2】（2024·浙江绍兴·三模）将函数
2 è ê
0, ú ÷的图像绕着原点逆时针旋转角a 得到 2
曲线T ，当a 0,q 时都能使T 成为某个函数的图像，则q 的最大值是（ ）
π π 3 2
A． B． C． π D． π
6 4 4 3
【答案】B
x
【解析】 y ' = cos 在原点处的切线斜率为 k =1，切线方程为 y = x
2
当 y = 2sin
x p
绕着原点逆时针方向旋转时，若旋转角q 大于 ，则旋转所成的图像与 y 轴就会有两个交点，
2 4
则曲线不再是函数的图像.
p
所以q 的最大值为 .
4
故选：B.
题型八：函数的伸缩变换问题
ì x2 - x, x 0,1
【典例 8-1】定义域为 R 的函数 f x 满足 f x + 2 = 2 f x ，当 x 0,2 时， f x = í 1 x 3- ，若
-( ) 2 , x 1,2
2
2
当 x -4, -2 时，函数 f x t - t 1+ 恒成立，则实数 t的取值范围为
4 2
A． 2,3 B． 1,4 1C é． ê- ,
1
- ùú D． 1,3 4 2
【答案】D
1
【解析】当 x∈[0,1)时，f(x)=x2 x∈[ ,0]当 x∈[1,2) 2时，f(x)= (0.5)|x 1.5|∈[ 1, ]，
4 2
∴当 x∈[0,2)时，f(x)的最小值为 1，
又∵函数 f(x)满足 f(x+2)=2f(x)，
当 x∈[ 2,0) 1时，f(x)的最小值为- 2 ，
当 x∈[ 4, 2)时，f(x) 1的最小值为- 4 ，
2
若 x∈[ 4, 2] f x … t t 1时， - + 恒成立，
4 2
1 2∴ - … t - t 1+ 恒成立．
4 4 2
即 t2 4t+3 0，
即(t 3)(t 1) 0，
即 1 t 3，
即 t∈[1,3]，
本题选择 D 选项.
ìx2 - x, x (0,1)
【典例 8-2】定义域为 R 的函数 f x 满足 f x + 2 = 2 f x - 2，当 x 0,2 时， f x = í1 ，
, x [1, 2] x
2 7t
若 x 0,4 时， t - f (x)恒成立，则实数 t的取值范围是(　　)
2
5 5
A． 1,2 B．[2, ] C． 2, + D．[1, ]
2 2
【答案】D
1
2
1 é 1
【解析】当 x 0,1 时， f x = x2 - x = x - ÷ - 的取值范围是2 4 ê
- ,0
4 ÷
；
è
当 x 1,2 f x 1 1时， = é的取值范围是 ê ,1
ù
2 ú ，x
é 1 é1 ù
所以当 x 0,2 时， f x 的取值范围是 ê- ,04 ÷ ê
,1 ,
2 ú
因为函数 f x 满足 f x + 2 = 2 f x - 2，所以 f x = 2 f x - 2 - 2，
又当 x 2,4 时, x - 2 0,2 ,
f x é 5故 的取值范围是 ê- , -2
-1,0 ，
2 ÷
5
所以 x 0,4 时， f x = -min ，2
t 2 7 t 5 1 t 5故 - - ，解得 ，
2 2 2
é 5 ù
所以实数 t的取值范围是 ê1, ， 2 ú
故选：D.
【变式 8-1】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的
“高斯函数”为：设 x R ，用 x 表示不超过 x的最大整数，则 y =n x 称为高斯函数，例如： -2.1 = -3，
ì 2
3.1 = 3，定义域为R 的函数 f x - x , x 0,1x 满足 f x + 2 = 2 f x ，当 x 0,2 时， f x = í ，若
x - x , x 1,2
x 4,6 f x t 4时， < - +1恒成立，则实数 t的取值范围是（
t ）
A． -1,0 4, + B． -1,0 4, +
C． - , -1 U 0,4 D． - , -1 0,4
【答案】A
【解析】由 f x + 2 = 2 f x ，可知， f x + 4 = 2 f x + 2 = 4 f x ， f 4 = 4 f 0 ， f 6 = 4 f 2 ，
所以当 x 4,6 ，对应就是 x 0,2 的值域的4倍，
é 1 ù
由分段函数可以得，在 x 0,1 ，值域为 ê0, ú ； x 1,2 ，值域为 0,1 , 4
可知当 x 0,2 时， f x 的值域为 0,1 ，
故 x 4,6 对应值域为 0,4
对于 f x < t 4- +1恒成立，
t
t 4可得 - +1 4，解得， -1,0 4, + ，
t
故选：A．
【变式 8-2】（2024·山西·二模）定义域为 R 的函数 f x 满足 f x + 2 = 2 f x ，当 x 0,2 时，
ì 2
x - 2x +13, x f x 0,1 = x -4, -2 2íx ln x, x 1,2 ，若当 时，函数 f x t + 2t 恒成立，则实数
t的取值范围为

A．-3 t 0 B．-3 t 1 C．-2 t 0 D．0 t 1
【答案】C
【解析】当 x 0,1 时， f x = x2 - 2x +13 = (x -1)2 +12，
此时有 f (0) f x < f (1) 12 < f x 13，
当 x 1,2 时， f x = x ln x f (x) = ln x +1 > 0，此时函数单调递增，
故 f (1) f x < f (2) 0 f x < 2ln 2，故函数 f x 在 x 0,2 时的最小值为 0 ，
又 f x + 2 = 2 f x ，因此当 x -4, -2 时，函数 f x min = 0 ，
从而0 t 2 + 2t -2 t 0，
故选：C.
【变式 8-3】（2024·江西·一模）设函数 f (x) 的定义域为R ，满足 f (x + 2) = 2 f (x) ，且当 x (0, 2]时，
f (x) = -x(x - 2) .若对任意 x (- ,m]，都有 f (x)
40
，则m的取值范围是（ ）.
9
, 9- ù 19ù 23ùA． ú B． - , C． (- ,7] D． - ,è 4 è 3 ú è 3 ú
【答案】B
【解析】求出 f (x) 在 x (2n,2n + 2]的解析式，作出函数图象，数形结合即可得到答案.
当 x (2n,2n + 2]时， x - 2n (0,2]， f (x) = 2n f (x - 2n) = -2n (x - 2n)(x - 2n - 2)，
f (x)max = 2
n 4 40，又 < < 8，所以m至少小于 7，此时 f (x) = -23(x - 6)(x - 8)，
9
令 f (x)
40 40 23 19
= ，得-23(x - 6)(x - 8) = 19，解得 x = 或 x =3 ，结合图象，故m .9 9 3 3
故选：B.
题型九：V 型函数和平底函数
【典例 9-1】（2024·上海青浦·二模）等差数列 a1,a2 L,an n N * ，满足
a1 + a2 +L+ an = a1 +1 + a2 +1 +L+ an +1 = a1 + 2 + a2 + 2 +L+ an + 2
= a1 + 3 + a2 + 3 +L+ an + 3 = 2010，则（ ）
A．n 的最大值是 50 B．n 的最小值是 50
C．n 的最大值是 51 D．n 的最小值是 51
【答案】A
ìa > 0
【解析】不妨设 a1 > 0， d < 0
k
，由对称性可得：n = 2k ,k N * .可得 í ，ak+1 +3 < 0 .解得 d < -3
a
.可
k +1 < 0
得 a1 + a2 +L+ ak - ak +1 + ak +2 +L+ a2k = 2010，可得 k 2d = -2010，解出即可得出.不妨设 a1 > 0， d < 0 ，
ìa > 0
由对称性可得：n = 2k ,k N * . k则 í a +3 < 0
a
， k+1 .
k +1 < 0
a1 + k -1 d > 0， a1 + kd < 0， a1 + kd + 3 > 0
∴ d < -3
∴ a1 + a2 +L+ ak - ak +1 + ak +2 +L+ a2k = 2010，
∴ k 2d = -2010，
2010
∴ - 2 < -3，解得： k < 670 ，k
∴ 2k < 2 670 ，∴ 2k 50 .
∴n 的最大值为 50.
故选：A.
1 1 1
【典例 9-2】已知等差数列 an 满足： a1 + a2 +L+ an = a1 - + a2 - +L+ a -2 2 n 2
a 3 3 3= 1 + + a2 2
+ +L+ a
2 n
+ = 72
2 ，则
n的最大值为（ ）
A．18 B．16 C．12 D．8
【答案】C
【解析】Q a1 + a2 +L+ a
1
n = a1 - + a
1 1
2 - +L+ an - = 722 2 2
\ a *n 不为常数列，且数列的项数为偶数，设为 2k k N
则，一定存在正整数 k 使得 ak > 0，ak +1 < 0或 ak < 0，ak +1 > 0
ìak < 0 ìaa 0，a 0 \ 1
+ k -1 d < 0 ìd > 0
不妨设 k k +1 ，即， í í \
ak +1 > 0 a1 + kd > 0
í
a1 < 0
从而得，数列 an 为单调递增数列，
Q 1 1 1 3 3 3ak < 0
1
，\ak - < 0，且， a1 - + a - +L+ a2 2 2 2 n
- = a1 + + a2 + +L+ an +2 2 2 2
a 3 0 a - 3 1\ k + \ k ，同理 ak +1 - 02 2 2
ìa 3 ì k - a + k -1 d
3
-
2 1
即， í \
2
í \d 2
a 1 1
k +1
a1 + kd 2 2
根据等差数列的性质， ak +1 - a1 = ak +2 - a2 = ...... = a2k - ak = kd
\ a1 + a2 + ......+ an = a1 + a2 + ......+ a2k = ak +1 + ak +2 + ......+ a2k - a1 - a2 - ......- a = k
2
k d = 72
72 72
\k 2 = = 36 \n = 2k 2 6 = 12
d 2
所以 n 的最大值为 12，选项 C 正确，选项 ABD 错误
故选：C.
【变式 9-1】等差数列 a1,a2 ,× × ×,an n 3,n N* ，满足 | a1 | + | a2 | + ×× × + | an | = | a1 +1| + | a2 +1| + ×× × + | an +1|
= | a1 - 2 | + | a2 - 2 | + ×× × + | an - 2 | = 2019，则（ ）
A．n的最大值为 50 B．n的最小值为 50
C．n的最大值为 51 D．n的最小值为 51
【答案】A
【解析】 an 为等差数列，则使
a1 + a2 + ×××+ an | = a1 +1 + a2 +1 + ×××+ an +1 = a1 - 2 + a2 - 2 + ×××+ an - 2 | = 2019，所以数列 an 中的项一
定有正有负，不妨设 a1 < 0, d > 0，因为
ìa 0
a1 + a2 + ×××+ an | = a1 +1 + a2 +1 + ×××+ an +1 = a1 - 2 + a2 - 2 + ×××+ a - 2 | = 2019
k +1
n 为定值，故设 ía ， k < 0
ìak +1 - 2 0
且 ía +1 0 ，解得 d > 3 .若
ai < 0 且 ai +1< 0，则 ai - ai +1 =1，同理若 ai 0，则 a< i
+1 - ai =1 .所以
k
k k n n
ai - ai +1 = ai +1 - ai = k ，所以数列 an 的项数为 2k ，所以 | a1 + a2 + ×××+ an |
i=1 i=1 i=k +1 i=k +1
= -a1 - a2 -L- ak + ak +1 + ak +2 +L+ a2k = -2 a1 + a2 +L+ ak + a1 + a2 +L+ a2k
é k k -1 ù é 2k 2k +1 ù
= -2 êka
d 1 + ú +2 ê2ka1 + d2 ú = k
2d = 2019，由于 d > 3，所以 k 2d = 2019 > 3k 2 ，解得

k 2 < 673，故 k 25,n 50，故选 A.
【变式 9-2】已知等差数列 an 满足， a1 + a2 + + an = a1 +1 + a2 +1 + + an +1 = a1 -1 + a2 -1 +
+ an -1 = 98，则n的最大值为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
【答案】A
【解析】由题意，等差数列 an 满足 a1 + a2 + + an = a1 +1 + a2 +1 +L+ an +1
= a1 -1 + a2 -1 +L + an -1 = 98，
ìan > 0 ìan < 0
可得等差数列不是常数列，且 an 中的项一定满足 í
an-1 < 0
或 ía ，且项数为偶数， n-1 > 0
ìak +1 > 0
设 n = 2k,k N + ，等差数列的公差为d ，不妨设 í ，
ak < 0
则 a1 < 0, d > 0，且 ak +1 0，即 ak -1，
由 ak +1 -1 0，则-1+ kd a1 + kd 1，即 kd 2，
即有 d 2，
则 a1 + a2 + + an = -a1 -a2 -L-ak +ak+1 +L+a2k
= -[ka k(k -1)d1 + ]+ k(a
k(k -1) 2
2 1
+ kd ) + d = k d = 98，
2
可得98 2k 2 ，解得 k 7，
即有 k的最大值为 7 ，n的最大值为14 .
故选：A.
【变式 9-3】设等差数列 a1， a2，…， an （ n 3， n N* )的公差为d ，满足 a1 + a2 + ××× + an = a1 -1
+ a2 -1 + ××× + an -1 = a1 + 2 + a2 + 2 + ××× + an + 2 = m，则下列说法正确的是
A． d 3 B．n的值可能为奇数
C．存在 i N * ，满足-2 < ai <1 D．m的可能取值为11
【答案】A
【解析】因为 a1 + a2 + ××× + an = a1 -1 + a2 -1 + ××× + an -1 = a1 + 2 + a2 + 2 + ××× + an + 2 = m
所以 a1 + a1+d + ×××+ a1 + (n -1)d = a1 -1 + a1 -1+d + ×××+ a1 -1+ (n -1)d
= a1 + 2 + a1 + 2 + d + ×××+ a1 + 2+(n -1)d = m
令 f (x) = x + x + d + x + 2d +L+ x + (n -1)d ,n 3
则 f (a1) = f (a1 -1) = f (a1 + 2) = m （*）
①当 d = 0 时， f (x) = n x ，不满足（*），舍去．
②当 d > 0时，由（*）得 f (x) 为平底型，故n为偶数 (n≥ 4) ．
f (x) 的大致图像为：
n
则- d a1 -1< a
n
1 < a1 + 2 -( -1)d 2 2
n
所以 -( -1)d+
n d = d 3，故 A 正确．
2 2
ì n
- d a1 -1 2 n n
由 í 1- d a1 -2 - ( -1)d
a 2 (n 1)d 2 21 + - - 2
i 1,2,L, n a a (i 1)d 2 (n 1)d (i 1)d (i n当 = 时 i = 1 + - - - - + - = - )d - 2 2 2 2
n
当 i = +1,
n +2,L, n n n 时 ai = a1 + (i -1)d 1- d + (i -1)d=1+(i - -1)d 12 2 2 2
故不存在 i N * ，满足-2 < ai <1，C 错
m = f (a1) = a1 + a2 +L+ an + an +L+ an
+1
2 2
(a1 + a2 +L+ an ) - (an + an +L+ an )
+1 +2
2 2 2
n 2= (a nn - a1) = d 2 +12 4
2
由于 n 4,d 3 所以m n d 12，故 D 错
4
③当 d < 0 时，令 d = -d > 0
由于 f (x) 的图像与 f (-x) 的图像关于 y 轴对称，故只需研究 f (-x)
故令 g(x) = f (-x) = -x + -x + d + -x + 2d +L+ -x + (n -1)d , n 3
= x + x + d + x + 2d +L+ x + (n -1)d , n 3
因为 f (a1) = f (a1 -1) = f (a1 + 2) = m
所以 g(-a1) = g(-a1 -1) = g(-a1 + 2) = m
由②知 g(x)为平底型，故n为偶数 (n≥ 4)，故 B 错
令 a 1 = -a1 -1,a = a i 1 + (i -1)d = ai -1
所以 g(a i ) = g(a i -1) = g(a i + 2) = m d = -d 3 ，故 A 正确
由②知，不存在 i N * ，满足-2 < a i <1 -2 < -ai -1 <1 -2 < ai <1，故 C 错
n2
由②知，m = g(ai ) d 12 ，故 D 错4
综上所述，A 正确,BCD 错误
故选 A.
a a 1 31．已知数列 n 满足 n+1 = an - 6 + 6(n =1,2,3,L)，则（ ）4
A．当 a1 = 3时， an 为递减数列，且存在常数M ≤0，使得 an > M 恒成立
B．当 a1 = 5时， an 为递增数列，且存在常数M 6 ，使得 an < M 恒成立
C．当 a1 = 7时， an 为递减数列，且存在常数M > 6，使得 an > M 恒成立
D．当 a1 = 9时， an 为递增数列，且存在常数M > 0，使得 an < M 恒成立
【答案】B
1 3 1
【解析】法 1：因为 an+1 = an - 6 + 6，故 an+1 - 6 = an - 6
3
，
4 4
对于 A ，若 a1 = 3，可用数学归纳法证明： an - 6 -3即 an 3，
证明：当 n =1时， a1 - 6 = -3 -3，此时不等关系 an 3成立；
设当 n = k 时， ak - 6 -3成立，
a 1 3 27 则 k +1 - 6 = ak - 6 -54,-4 4 ÷，故 ak +1 - 6 -3成立，è
由数学归纳法可得 an 3成立.
1 3
而 an+1 - an = an - 6 - an - 6
1
= a é 2 ù
4 n
- 6 ê an - 6 -1 ， 4 ú
1 a - 6 2 1 9 5n - -1 = > 0， an - 6 < 0 ，故 a4 4 4 n+1
- an < 0，故 an+1 < an ，
故 an 为减数列，注意 ak +1 - 6 -3 < 0
a 1 3 1 2 9故 n+1 - 6 = an - 6 = an - 6 an - 6 an - 6 ，结合 an+1 - 6 < 0，4 4 4
9 n n6 - a 9 9 所以 n+1 6 - an ，故6 - a4 n+1 3 ÷ ，故 a4 n+1 6 - 3 ÷ ，è è 4
9
n

若存在常数M ≤0，使得 an > M 恒成立，则6 - 3 ÷ > M ，
è 4
6 - M n 9 6 - M
故 > ÷ ，故 n < log 9 ，故 an > M3 恒成立仅对部分
n成立，
3 è 4 4
故 A 不成立.
对于 B，若 a1 = 5,可用数学归纳法证明：-1 an - 6 < 0即5 an < 6 ，
证明：当 n =1时，-1 a1 - 6 = -1 0，此时不等关系5 an < 6 成立；
设当 n = k 时，5 ak < 6 成立，
则 ak +1 - 6
1
= a 3 1k - 6 - ,0

4 4 ÷，故
-1 ak +1 - 6 < 0成立即
è
由数学归纳法可得5 ak +1 < 6成立.
而 a
1 1
n+1 - an = an - 6
3 - a - 6 = a - 6 é 2 ù
4 n n ê
an - 6 -14 ú ，
1 an - 6
2 -1< 0， an - 6 < 0 ，故 an+1 - an > 0，故 an+1 > an ，故 an 为增数列，4
若M = 6，则 an < 6恒成立，故 B 正确.
对于 C，当 a1 = 7时， 可用数学归纳法证明：0 < an - 6 1即6 < an 7，
证明：当 n =1时，0 < a1 - 6 1，此时不等关系成立；
设当 n = k 时，6 < ak 7成立，
1
则 ak +1 - 6 = ak - 6
3 1 ù 0, ú，故0 < ak +1 - 6 14 4 成立即
6 < ak +1 7
è
由数学归纳法可得6 < an 7成立.
而 an+1 - an = an - 6
é1
ê an - 6
2 -1ù
4 ú
< 0，故 an+1 < an ，故 an 为减数列，

a 6 a 6 1 a 6 2 1
n
又 n+1 - = n - n - an - 6 ，结合 an+1 - 6 > 0 1可得： an+1 - 6 a1 - 6

÷ ，所以4 4 è 4
a 1
n

n+1 6 + 4 ÷
，
è
n
a 1 若 n+1 6 + 4 ÷
，若存在常数M > 6，使得 an > M 恒成立，
è
n
则M - 6 1 恒成立，故 n log 1 M - 6 ÷ ，n的个数有限，矛盾，故 C 错误.
è 4 4
对于 D，当 a1 = 9时， 可用数学归纳法证明： an - 6 3即 an 9，
证明：当 n =1时， a1 - 6 = 3 3，此时不等关系成立；
设当 n = k 时， ak 9成立，
1
则 ak +1 - 6 = ak - 6
3 27 > 3，故 ak +1 9成立4 4
由数学归纳法可得 an 9成立.
a - a é1 2 ù而 n+1 n = an - 6 ê an - 6 -1ú > 0 ，故 an+1 > an ，故 an 4 为增数列，
a - 6 1 9= a - 6 a - 6 2 > a - 6 a - 6 > 0 a 6 a 6 9
n-1 9 n-1
又 n+1 n n ，结合 可得： - > -

4 4 n n n+1 1 4 ÷
= 3 4 ÷
，所以
è è
n-1
a 6 + 3 9 n+1 ÷ ，
è 4
n-1
若存在常数M > 0，使得 an < M 恒成立，则M 6 3
9
> + ÷ ，
è 4
M 6 3 9
n-1
M - 6
故 > + ，故 n < log 9 +1
è 4 ÷ 4 è 3
÷ ，这与 n 的个数有限矛盾，故 D 错误.

故选：B.
a a 1 12 - = a - 6 3 + 6 - a = a3 9 2法 ：因为 n+1 n n n n - an + 26an - 48，4 4 2
f x 1 x3 9令 = - x2 + 26x - 48 3 2，则 f x = x - 9x + 26 ，
4 2 4
令 f x > 0 2 3 2 3，得0 < x < 6 - 或 x > 6 + ；
3 3
令 f x < 0，得6 2 3 2 3- < x < 6 + ；
3 3
2 3 2 3 2 3 2 3
所以 f x 在 - ,6 - ÷÷和 6 + , + ÷÷上单调递增，在 6 - ,6 + ÷÷ 上单调递减，
è 3 è 3 è 3 3
令 f x = 0 1 x3 9 2，则 - x + 26x - 48 = 0 1，即 x - 4 x - 6 x -8 = 0 ，解得 x = 4或 x = 6或 x = 8，
4 2 4
注意到 4 6 2 3 2 3< - < 5，7 < 6 + < 8，
3 3
所以结合 f x 的单调性可知在 - , 4 和 6,8 上 f x < 0 ，在 4,6 和 8,+ 上 f x > 0，
a 1= a - 6 3 1对于 A，因为 n+1 n + 6，则 an+1 - 6 = an - 6
3
，
4 4
1 3
当 n =1时， a1 = 3， a2 - 6 = a1 - 6 < -3，则a2 < 3，4
假设当 n = k 时， ak < 3，
1 1
n k 1 a - 6 = a - 6 3 < 3 - 6 3当 = + 时， k +1 k < -3，则 a4 4 k +1
< 3，
综上： an 3，即 an - , 4 ，
因为在 - , 4 上 f x < 0 ，所以 an+1 < an ，则 an 为递减数列，
a 1 3 1 9因为 n+1 - an +1 = an - 6 + 6 - a +1 = a3n n - a2n + 26a - 47，4 4 2 n
令 h x 1 x3 9= - x2 + 26x - 47 x 3 h x 3 2，则 = x - 9x + 26，
4 2 4
-9
h x x = - 3 = 6因为 开口向上，对称轴为 2 ，
4
所以 h x 在 - ,3 3 2上单调递减，故 h x h 3 = 3 - 9 3 + 26 > 0，
4
所以 h x 在 - ,3 1 3 9 2上单调递增，故 h x h 3 = 3 - 3 + 26 3 - 47 < 0，
4 2
故 an+1 - an +1< 0，即 an+1 < an -1，
假设存在常数M ≤0，使得 an > M 恒成立，
取m1 = - M + 4，其中M -1< M M ，且 M Z，
因为 an 1 < an -1，所以 a2 < a1 -1, a3 < a2 -1,L,a- M +4 < a+ - M +3 -1，
上式相加得， a- M +4 < a1 - - M + 3 3+ M - 3 = M ，
则 am = a M +4 < M ，与 an > M1 恒成立矛盾，故 A 错误；
对于 B，因为 a1 = 5，
当 n =1时， a1 = 5 < 6， a
1 1
2 = a1 - 6
3 + 6 = 5 - 6 3 + 6 < 6，
4 4
假设当 n = k 时， ak < 6，
3
当 n = k +1时，因为 ak < 6，所以 ak - 6 < 0，则 ak - 6 < 0 ，
所以 a
1
k +1 = a - 6
3
k + 6 < 6，4
1 3 1
又当 n =1时， a2 - 5 = a1 - 6 +1 = 5 - 6
3 +1 > 0，即 a2 > 5，4 4
假设当 n = k 时， ak 5，
当 n = k +1时，因为 ak 5，所以 ak - 6 -1，则 ak - 6
3 -1，
所以 a
1
k +1 = ak - 6
3 + 6 5，
4
综上：5 an < 6 ，
因为在 4,6 上 f x > 0，所以 an+1 > an ，所以 an 为递增数列，
此时，取M = 6，满足题意，故 B 正确；
a 1= a 3对于 C，因为 n+1 n - 6 + 6，则 an+1 - 6
1
= an - 6
3
，
4 4
a 1
3 4
注意到当 1 = 7时， a2 = 7 - 6
3 1+ 6 = + 6 a 1 1= + 6 - 6 1， 3 ÷ + 6 =

4 4 4 ÷
+ 6，
è 4 è 4
3
1 é 1 4 ù 1 13a4 =

ê ÷ + 6 - 6

4 4 ú
+ 6 = + 6
êè ú è 4
÷

1
1 3
k -1
2
猜想当 n 2时， a = ÷ + 6，k
è 4
1 4
1 3n -1
当 n = 2与 n = 3时， a2 = + 6与 a
1 2
3 =
+ 6满足 a = 1 4 ÷è 4 n 4 ÷
+ 6，
è
1 3k -12
假设当 n = k 时， a 1 ，k = + 6
è 4 ÷
é 1
3
3k -1 ù 1 3k+1 -12 2
当 n = k +1 1时，所以 a = a - 6 3 1+ 6 = ê 1 ú 1 k +1 k + 6 - 6 + 6 =4 4 ê 4 ÷ ú 4 ÷ + 6，è è

1 n
综上： a 1
3 -1
2
n = ÷ + 6 n 2 ，
è 4
1 n 13 -1 3n -12 2
易知3n -1 > 0，则0 1< ÷ <1，故 a =
1
n ÷ + 6 6,7 n 2 ，è 4 è 4
所以 an 6,7 ，
因为在 6,8 上 f x < 0 ，所以 an+1 < an ，则 an 为递减数列，
假设存在常数M > 6，使得 an > M 恒成立，
é ù *
记m0 = log3 ê2log 1 M - 6 +1ú ，取m = m0 +1，其中m0 -1< m0 m0 ,m0 N ，
4
则3
m > 3m0 = 2log 1 M - 6 +1，
4
1 1 m 1 2
3m -1 1 3m1 -12 故 3 -1 > log 1 M - 6 ，所以 2 ÷ < M - 6，即 ÷ + 6 < M ，4 è 4 è 4
所以 am < M ，故 an > M 不恒成立，故 C 错误；
对于 D，因为 a1 = 9，
1
当 n =1时， a2 - 6 = a
3 27
1 - 6 = > 3，则 a2 > 9，4 4
假设当 n = k 时， ak 3，
1
当 n = k +1时， ak +1 - 6 = ak - 6
3 1 9 - 6 3 > 3，则 ak +1 > 9，4 4
综上： an 9，
因为在 8,+ 上 f x > 0，所以 an+1 > an ，所以 an 为递增数列，
因为 a
1
n+1 - an -1 = an - 6
3 + 6 1 9- an -1 = a
3
n - a
2
n + 26an - 49，4 4 2
令 g x 1 x3 9= - x2 + 26x - 49 x 9 ，则 g x 3= x2 - 9x + 26，
4 2 4
x -9g x = - 3 = 6因为 开口向上，对称轴为 2 ，
4
所以 g x 3 2在 9, + 上单调递增，故 g x g 9 = 9 - 9 9 + 26 > 0 ，
4
所以 g x g 9 1 9= 93 - 92 + 26 9 - 49 > 0，
4 2
故 an+1 - an -1 > 0，即 an+1 > an +1，
假设存在常数M > 0，使得 an < M 恒成立，
取m2 = M +1，其中M -1< M M ，且 M Z，
因为 an+1 > an +1，所以 a2 > a1 +1, a3 > a2 +1,L, a M +1 > a M +1，
上式相加得， a M +1 > a1 + M > 9 + M -1 > M ，
则 am = a2 M +1 > M ，与 an < M 恒成立矛盾，故 D 错误.
故选：B.
2．已知函数 f (x) = ex - x -1，数列{a }
1
n 的前n项和为 Sn ，且满足 a1 = ,a2 n+1 = f (an )，则下列有关数列{an}的
叙述正确的是（ ）
A． a5 <| 4a2 - 3a1 | B． a7 a8
C． a10 >1 D． S100 > 26
【答案】A
【解析】由 f (x) = ex - x -1 = x，
解得 x = 0或 x = x0，
由零点存在性定理得 x = x0 (1, 2)，
\当 an < x0 时， an+1 - an = e
an - 2an -1 < 0，数列单调递减，
Qa 11 = < x0 ，2
\a2 = f (a1) < a
1
1 = < x2 0，
1
同理， a3 < a2 = f (a1) < ，2
1
迭代下去，可得0 < an < an-1 < < a1 = ，数列单调递减，2
故选项B和选项C 都错误；
1
又0 < a < a 2 1n n-1 < < a2 = e - -1 <1.7 -1.5 = 0.2 ，2
\S100 < 99a2 + a1 = 20.3，故D 错误；
对于A ， | 4a2 - 3a1 |>| 3 0.5 - 4 0.2 |= 0.7 ，
而 a5 < a2 < 0.2 < 0.7，
\a5 <| 4a2 - 3a1 |，故 A 正确．
故选：A．
3．已知数列{xn}，满足 x1 =1， 2x *n+1 = ln(1+ xn )(n N ) ，设数列{xn}的前n项和为 Sn ，则以下结论正确的是
（ ）
A． xn+1 > xn B． xn - 2xn+1 < xn xn+1
C． 2 xn+2 > xn+1 +1 D． Sn+5 > 2
【答案】B
【解析】Q2xn+1 = ln(1+ xn )(n N
*)，把 x1 =1代入递推可得： xn > 0，
令 f (x) = x - ln(x +1) ， x > 0，则 f (x)
x
= > 0 ， f (x) 在 (0, + )x 1 单调递增，+
\ f (x) > f (0) ，即当 x > 0时，恒有 ln(1+ x) < x 成立，
Q xn > 0，\2xn+1 = ln(1+ xn ) < xn ，\ xn > 2xn+1 > xn+1，故选项A 错误；
又Q2 xn+2 < 2 xn+1 xn+1 +1，\选项C 错误；
Q(xn - 2x ) x
xnln(1+ xn ) 2xn - (2 + xn )ln(1+ xn ) 2 + xn 2xn
n+1 - n xn+1 = xn - ln(1+ xn ) - = = [ - ln(1+ x )]2 2 2 2 0 < x 1+ x n ， n ，n
y 2x
x2
令 = - ln(1+ x) ， 0 < x 1，则 y = - < 0 2x2 ，\函数 y = - ln(1+ x) (0 1]x 2 (x 2) (x 1) x 2 在 ， 上递减，+ + + +
\ y < y(0) = 0，
\(xn - 2xn+1) - xn xn+1 < 0，故选项 B 正确；
x 1
又由 xn > 2xn+1可得 xn+1 < n ，Q x1 =1，\ xn 2 2n-1 （当且仅当 n =1时取“
= “ )，可得
S 1 1 1+ + + = 2 - (1)n-1n n-1 < 22 2 2 ，
\Sn+5 < 2，故选项D错误，
故选 B ．
4．（2024·全国·模拟预测）德国数学家狄利克雷（Dirichlet）是解析数论的创始人之一，下列关于狄利
ì1, x为有理数
克雷函数D(x) = í 的结论正确的是（ ）
0, x为无理数
A．D(D(x))有零点 B．D(x) 是单调函数
C．D(x) 是奇函数 D．D(x) 是周期函数
【答案】D
【解析】对于 A，因为D(x) = 0 或D(x) =1均为有理数，
所以D(D(x)) =1 > 0，故D(D(x))没有零点，A 错误，
对于 B，因为D(1) = D(2) =1, D( 2) = 0，所以D(2) = D(1) > D( 2)，
故D(x) 不是单调函数，B 错误，
对于 C，因为 x和-x同为有理数或同为无理数，所以D(-x) = D(x) ，
故D(x) 是偶函数，C 错误，
对于 D，设T 为任意非零有理数，则 x和 x +T 同为有理数或同为无理数，
所以D(x +T ) = D(x)，故D(x) 是周期函数（以任意非零有理数为周期），D 正确，
故选：D.
5．（2024·安徽·三模）丹麦数学家琴生是 19 世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸
性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若 x1, x2 ,L, xn 为 a,b 上任意n个实数，满足
x1 + x2 +L+ xn f x1 + f x2 +L+ f xf n ÷ ，则称函数 f x 在 a,b 上为“凹函数”.也可设可导函数
è n n
f x 在 a;b 上的导函数为 f x , f x 在 a,b 上的导函数为 f x ，当 f x > 0时，函数 f x 在 a,b
x x x
上为“凹函数”.已知 x1, x2 ,L, xn > 0,n 2，且 x1 + x2 +L+ xn =1
1
，令W = + 2 +L+ n1- x 1- x 1- x 的最小值为1 2 n
an ，则 a2024 为（ ）
2023 2024 2024 2025
A． B． C． D．
2024 2023 2025 2024
【答案】B
x 1
【解析】记函数 f x = = -1, x 0,1 ，首先证明其凹凸性：
1- x 1- x
Q f x -1 1 -2 1- x, 2= - = \ f x = - = > 0 ，
(1- x)2 (1- x)2 (1- x)4 (1- x)3
\ f x 1= -1在 0,1 上为“凹函数”.
1- x
x + x +L+ x f x1 + f x2 +L+ f xn
由琴生不等式，得 f 1 2 n ÷ ，
è n n
1
1 x
即 1
x2 L xn

+ + + n .
n è1- x 1- x 1- x
÷
1 11 2 n -
n
W x1 x x n所以 = + 2 +L+ n 1- x ，1 1- x2 1- xn n -1
即当 x1 = x2 =L = x
1
n = 时，W 取最小值 a
n 2024
n = ，所以 an n -1 2024
= .
2023
故选：B.
6．（2024·江苏·模拟预测）贝塞尔曲线（Beziercurve）是应用于二维图形应用程序的数学曲线，一般的
矢量图形软件通过它来精确画出曲线.三次函数 f x 的图象是可由A ， B ，C ， D四点确定的贝塞尔曲线，
其中A ， D在 f x 的图象上， f x 在点A ， D处的切线分别过点 B ，C .若 A 0,0 ， B -1, -1 ，C 2,2 ，
D 1,0 ，则 f x =（ ）
A．5x3 - 4x2 - x B．3x3 - 3x
C．3x3 - 4x2 + x D．3x3 - 2x2 - x
【答案】C
【解析】设 f x = ax3 + bx2 + cx + d 2，则 f x = 3ax + 2bx + c，
ì f 0 = d = 0
f 1 = a + b + c + d = 0 ìa = 3
b = -4 3 2
由题意 í f 0 = c -1- 0= = k ，解得 í ，所以 f x = 3x - 4x + x .AB
-1- 0 c =1

f 1 d = 0= 3a 2b 2 - 0+ + c = = k
2 -1 DC
故选：C.
7．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）早在西元前 6 世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以
及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中
a b
项的定义与今天大致相同．若 2a + 2b = 1，则 4 +1 4 +1 的最小值为（ ）
25 9 9 25
A． B． C． D．
4 16 4 16
【答案】D
【解析】不妨设m = 2a ， n = 2b ，则m > 0， n > 0，
m n 1所以1 = m + n 2 mn ，当且仅当 = = 时取等号，2
即0 < mn
1
，当且仅当m = n
1
= 时取等号，
4 2
a b
所以 4 +1 4 +1 = m2 +1 n2 +1 = mn 2 + m2 + n2 +1 = mn 2 + m + n 2 - 2mn +1
= mn 2 - 2mn + 2 = mn -1 2 1+1，（0 < mn ）4
mn 1 25所以当 = 时， mn 2 - 2mn + 2取得最小值 ，
4 16
故选：D．
8．函数 f x 的定义域为D，若满足：① f x 在D内是单调函数；②存在 a,b D(a < b) ，使得 f x 在
a,b 上的值域也是 a,b ，则称 y = f x 为高斯函数.若 f x = k + x - 3 是高斯函数，则实数 k的取值范围
是（ ）
é11,3ù 11,3ù 11A． ê ú B． ú C． ,+

D
1 ,11 ．
4 è 4 è 4 ÷ ÷ è 2 4
【答案】B
ì f a = k + a - 3 = a
【解析】 f x = k + x - 3 在 x 3,+ 上单调递增，则 í
f b = k + b - 3 = b
所以 a,b是方程 k + x - 3 = x在 x 3,+ 上的两个不等实根，
令 t = x - 3 ，则 x = t 2 + 3 t 0 ，
所以 t 2 - t + 3 - k = 0在 t 0, + 上有两个不等实根，
1
令 g(t) = t 2 - t + 3 - k ，对称轴 t = ，
2
ìg(0) 0 ì3- k 0 11
则 í ，即 ，解得 k ,3
ù
Δ 1 4 ． = - (3- k) > 0
í4k -11 > 0 è 4 ú
故选：B．
9．设函数 f x 的定义域为D，若存在闭区间 a,b D，使得函数 f x 满足：① f x 在 a,b 上是单调函
数；② f x 在 a,b 上的值域是 2a, 2b ，则称区间 a,b 是函数 f x 的“和谐区间”．下列结论错误的是
（ ）
A．函数 f x = x2 x 0 存在“和谐区间”
B．函数 f x = x + 3 x R 不存在“和谐区间”
C．函数 f x 4x= 2 x 0 存在“和谐区间”x +1
D．函数 f x = log cx 1- c ÷ （ c > 0且 c 1）不存在“和谐区间”
è 8
【答案】D
【解析】对于选项 A，存在区间 0,2 ， f x 在 0,2 上是单调增函数， f x 在 0,2 上的值域是 0,4 ，
故 A 正确；
对于选项 B，假设存在区间 a,b ，函数 f x = x + 3在区间 a,b 上为增函数，
由 f a + 3 = 2ax 在 a,b ì上的值域是 2a, 2b ，可得 í
b + 3 2b
，
=
ìa = 3
解得 í a b
b 3
，这与 矛盾，故假设错误，所以选项 B 正确；
=
4x
对于选项 C，由函数 f x = x 0 ，
x2 +1
4 x2 +1 - 4x ×2x
f x 4 - 4x
2
可得 =
2 2
= 2 ，
x +1 x2 +1
取区间 0,1 ，在此区间上 f x 0，所以函数 f x 在区间 0,1 上为增函数．
因为 f 0 = 0， f 1 = 2 ，所以函数在区间 0,1 上的值域为 0,2 ，所以选项 C 正确；
x 1
对于选项 D，不妨设 c >1，因为内层函数u = c - 为增函数，外层函数 y = logc u 也为增函数，8
所以，函数 f x 在其定义域内为增函数，
ì
log
cm 1- c ÷ = 2mì f m = 2m
假设函数 f 8x 存在“和谐区间”[m, n] è ，则由 í
f n = 2n
得 í ，
n 1
logc c - ÷ = 2n è 8
所以m、n是方程 log cx
1
c -

÷ = 2x 的两个根，
è 8
2x x 1
即m、n是方程 c - c + = 0的两个根．
8
x t 2 2t 1 0 4 4 1令 t = c > 0，可得 - + = ，D = - > 0，8 8
ìt1 + t2 = 2 > 0
t t 2 2t 1 设关于 的二次方程 - + = 0 的两根分别为 t1、 t2 ，则 ít t 1 ，则
t
8 = 1
、 t2 > 0 ，
1 2 8
即关于 t t 2 2t
1
的二次方程 - + = 0 有两个正根，故函数 f x 存在“和谐区间”，D 错.
8
故选：D.
10．（2024·云南昆明·模拟预测）对于定义域为D的函数 y = f x ，若存在区间 a,b D，使得 f x 同
时满足：
① f x 在区间 a,b 上是单调函数；
②当 f x 的定义域为 a,b 时， f x 的值域也为 a,b ，则称区间 a,b 为该函数的一个“和谐区间”
m 2
已知定义在 1, k 上的函数 f x = - 有“和谐区间”，则正整数 k 取最小值时，实数 m 的取值范围是（ ）
2 x
A． 4,4 2 B． 4 2,6 C． 4,6 D． 6,8
【答案】B
【解析】若函数 f (x) 有“和谐区间”，则 f (x) 在 1, k 上单调递增，
且 f (x)
m 2
= - = x在定义域内有两个不等的实数根，
2 x
m 2
= + x 2 2 ，即
2 x m 4 2
，
又 g(x)
2
= + x 在区间 1, 2 单调递减，x
在区间 2,+ 单调递增，且 k N* ，所以 k 2，
又因为 g(x)
2 m
= + x 与直线 y = 在 1, k 有两个交点，
x 2
g(1) = 3 2，所以 + k = 3，得 k = 2，
k
所以正整数 k的最小值为 2， g(2) = 3，
m
即 = 3，m = 6，
2
此时，实数m的取值范围是 4 2,6 .
故选：B.
11．（2024·广西柳州·模拟预测）设函数 f (x) = ex + e -1 x - a （ a R ， e为自然对数的底数），若曲线
y = sin x 上存在点 x0 , y0 使 f y0 = y0成立，则a的取值范围是（ ）
A． 1,2e - 2 B ée-1． - e,1ù C． 1,e D． ée-1 - e,2e - 2ù
【答案】A
【解析】 f (x) = ex + e -1 x - a
由题意， 存在 y0 0,1 ，使 f y0 = y0成立，
即存在 x 0,1 ，使 f (x) = x 成立，
所以 ex + e -1 x - a = x x，即 e + e -1 x - a = x2，
x
所以 a = e + e -1 x - x2
x
所以存在 x 0,1 ，使 y = a 与 y = e + e -1 x - x2 有交点，
对 y = ex + e -1 x - x2 ， x 0,1 ，求导得 y = ex + e -1- 2x ，
设 g x = ex + e -1- 2x ，则 g x = ex - 2 ，
令 g x > 0，即 x > ln 2；令 g x < 0，即 x < ln 2，
所以 g x = ex + e -1- 2x 在 0, ln 2 上单调递减，在 ln 2,1 上单调递增，
所以 y = ex + e -1- 2x > y = 2 + e -1- 2ln 2 = 2 1- ln 2 + e -1 > 0x=ln 2 ，
x
所以 y = e + e -1 x - x2 在 x 0,1 上单调递增，
又 y = e0 + e -1 0 - 02 =1x=0 ，
y = e1 + e -1 1-1 = 2e - 2x=1 ，
x 2
要使 y = a 与 y = e + e -1 x - x 有交点，则1 a 2e - 2，
所以a的取值范围是 1,2e - 2 .
故选：A.
lnx x+1
12．（2024 2e·安徽阜阳·二模）设函数 f x = + x - a a R ，若曲线 y = 2x (e是自然对数的底数）x e +1
上存在点 x0 , y0 使得 f f y0 = y0，则a的取值范围是
A． - ,0 B． 0,e 1C ． - , ùú D． 0, + è e
【答案】C
2ex0 +1 2ex0 +1 2ex0 -1
【解析】因为 y0 = 2x x = e, y0 = 2x > 0 ,所以 f ( f (x)) = x 在 (0,e] 上有解e 0 +1 2e 0 e 0 +1
1 2 7
因为 f (x) 1- ln x 1 1- (x -1) + x
2 (x - ) +
2 4 ,( 易证 x ln x +1 ) ,所以函数 f (x) 在 (0, + )= + 上单调
x2 x2
=
x2
> 0
递增,因此由 f ( f (x)) = x 得 f (x) = x (0,e]
ln x 1- ln x 1
在 上有解，即 a = , x (0,e] ,因为 a = 2 0 a (- , ] ，x x e
选 C.
13．（2024·河南郑州·一模）设函数 f x = ex + 2x - a（ a R ）， e为自然对数的底数，若曲线 y = sinx上
存在点 x0 , y0 ，使得 f f y0 = y0，则a的取值范围是（ ）
A -1． é -1+ e ,1+ e ù B． 1,1+ e C． e,e +1 D． 1,e
【答案】A
【解析】∵曲线 y = sinx上存在点 x0 , y0
∴ y0 = sin x0 [-1,1]
x
函数 f x = e + 2x - a（ a R ）在[-1,1]上是增函数，根据单调性可证 f (y0 ) = y0
即 f x = ex + 2x - a = x 在[-1,1]上有解，分离参数， a = ex + x， x [-1,1]，根据 y = ex + x 是增函数可知，
1
只需 a [ -1,e +1]故选 A.
e
14 f (x) ex x a a R e y 3 10 sin x 10．设函数 = + - （ ， 为自然对数的底数），若曲线 = + cos x 上存在点
10 10
(x0，y0 ) 使得 f (y0 ) = y0 ，则a的取值范围是
A．[
1- e 1- e
,1] B．[ ，e +1] C．[1，e +1] D．[1,e]
e e
【答案】D
3 10
【解析】法一：由题意可得， y0 = sin x
10
10 0
+ cos x
10 0
= sin(x0 +j) [-1,1]，
而由 f (x) = ex + x - a 可知 y0 [0,1]，
当 a = 0时， f (x) ＝ ex + x 为增函数，
∴ y0 [0,1]时， f (y0 )≥ e
0 =1．
∴ 不存在 y0 [0,1]使 f (y0 ) = y0 成立，故 A，B 错；
当 a = e +1时， f (x) ＝ ex + x - e -1，
当 y0 [0,1]时，只有 y0 =1时 f (x) 才有意义，而 f (1) = 0 1，故 C 错．故选 D．
法二：显然，函数 f (x) 是增函数， f (x) 0 y 3 10，由题意可得， 0 = sin x
10
+ cos x
10 0 10 0
= sin(x0 +j) [-1,1]，而由 f (x) = ex + x - a 可知 y0 [0,1]，
于是，问题转化为 f (t) = t 在[0,1]上有解．
由 t = et + t - a ，得 t 2 = et + t - a ，分离变量，得 a = g(t) = et - t 2 + t ， t [0,1]
因为 g (t) = et - 2t +1 > 0， t [0,1]，
所以，函数 g(t)在[0,1]上是增函数，于是有1 = g(0)≤ g(t)≤ g(1) = e ，
即 a [1,e]，应选 D．
1- e
15．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）设函数 f x = lnx + x + m ，若曲线 y = cosx 1+ e+ 上存在
2 2 x0 , y0 ，
使得 f f y0 = y0成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． é 0,e
2 - e +1ù 2 B． é0,e + e -1ù C． é0,e
2 + e +1ù D． é 0,e
2 - e -1 ù
【答案】D
【解析】因为-1 cos x 1，
1- e 1+ e e -1 1+ e
所以 + y + ，即1 y e，
2 2 2 2
所以由题意存在1≤ y0 ≤ e 使得 f f y0 = y0成立，
即 f y0 = y0 在区间[1,e]上有解，也即方程 ln x + x + m = x(1 x e)有解，
所以问题转化为方程 ln x + x + m = x2 (1 x e)有解，
令 h(x) = x2 - ln x - x(1 x e) ，
2
则 h (x) = 2x 1 2x - x -1 (2x +1)(x -1)-1- = = 0，
x x x
故函数 h(x) = x2 - ln x - x(1 x e) 单调递增，又 h(1) = 0, h(e) = e2 - e -1，
所以，0 m e2 - e -1.
故选：D．
π
16．设 I 是函数π的有限实数集， f x 是定义在 I 上的函数，若 f x 的图象绕坐标原点逆时针旋转 后与
3
原图象重合，则在以下各项中， f π 的取值不可能是（ ）
A 3． π B． 3π C．π D． 2π
2
【答案】B
π
【解析】由题意可得：问题相当于圆上由 6 个点为一组，每次绕原点逆时旋转 个单位后与下一个点会重
3
合．
设 f π 处的点为 A1，
∵ f x π的图象绕原点逆时针旋转 后原图重合，
3
∴旋转后 A1的对应点 A2也在 f x 的图象上，
同理 A2的对应点 A3也在图象上，
以此类推， f x 对应的图象可以为一个圆周上 6 等分的 6 个点，
f π 3π A π, 3π AOx π对于 B 项，当 = 时，即 1 ， 1 = ，3
A 4π将点 1绕坐标原点逆时针旋转 得到圆上的点 A5 π,- 3π 仍在函数图像上，3
如图所示，
从函数角度看，此点 A5的横坐标为 π，即 f π = - 3π，这与函数的定义相矛盾，故 B 项错误；
3π π
对于 A 3π项，当 f π = 时，即 A1 π, ，2 ÷÷ tan AOx
3
= ， A1Ox1 与旋转角 不存在倍数关系，可2 è 2 3
以取到，故 A 项成立；
对于 C 项，当 f π = π 时，即 A1 π, π ， A1Ox
π
= ， A1Ox
π
与旋转角 不存在倍数关系，可以取到，故
4 3
C 项成立；
对于 D 项，当 f π π= 2π时，即 A1 π, 2π ， tan A1Ox = 2 ， A1Ox 与旋转角 不存在倍数关系，可以3
取到，故 D 项成立.
故选：B.
ìx2 - x, x [0,1)
17．定义域为 R 的函数 f x 满足 f x + 2 = 4 f x ，当 x 0,2 f (x) = 时， í
log
,若
2 (x +1), x [1, 2)
x [-2，0) 时,对任意的 t [1，2) 都有 f (x)
t a
- 2 成立，则实数 a 的取值范围是16 8t
A． - ，2 B． 2，+ C． - ，6 D． 6，+
【答案】D
【解析】当 x -2, -1 时， x + 2 0,1
f x 1 f x 2 1 é x 2 2 x 2 ù 1\ = + = + - +
2
4 4
= x + 3x + 24
\ x -2,-1 3 1时， f x = f - = -min ÷è 2 16
当 x -1,0 时， x + 2 1,2 \ f x 1= f x + 2 1= log 2 x + 3 4 4
\ x -1,0 时， f x = fmin -1
1
=
2
\ x -2,0 时， f x 1 t a 1= -min ，即 - - 对 t 1,2 恒成立16 16 8t 2 16
即： 2a t3 + t 2 对 t 1,2 恒成立
3 2 2
令 g t = t + t ， t 1,2 ，则 g t = 3t + 2t
当 t 1,2 时， g t >0，则 g t 在 1,2 上单调递增 \ g t < g 2 =12
\2a 12，解得： a 6, +
本题正确选项：D
18 x．（多选题）将函数 h x = e x 0 的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角q q 0,p ，得到曲线C ，若
曲线C 仍然是一个函数的图像，则q 的可能取值为（ ）
p p 3p
A． B． C． D．p
4 2 4
【答案】ABCD
【解析】
如上图所示， L1, L2 , L3 , L4分别是 h x = ex
p p 3p
绕着原点逆时针方向旋转 ， ， ，p ，所得到的的曲线，
4 2 4
根据函数的定义可知，这四个曲线都符合函数图像的定义.
故选：ABCD．
19．（多选题）（2024·山东日照·三模）设函数 f x 的定义域为R ，满足 f x + 2 = 2 f x ，且当
x 0,2 时， f x = x 2 - x ，则（ ）
A． f 9 = 2 f 7
13
B．若对任意 x - , m ，都有 f x 6 m ù，则 的取值范围是 - ,
è 2 ú
C．若方程 f x = m x 1- 5 恰有三个实数根，则m的取值范围是 -1,- ÷
è 4
D．函数 f x 在区间 2n - 2,2n n N+ 上的最大值为 an ，若存在 n N+ ，使得lan < 2n - 7成立，则
l 3 - ,16 ֏
【答案】ABD
【解析】函数 f x 的定义域为R ，满足 f x + 2 = 2 f x ，即 f x = 2 f x - 2 ，且当 x 0,2 时，
f x = x 2 - x ，
当 x

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