资源简介

第 01 讲 三角函数概念与诱导公式
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点 1：三角函数基本概念 .............................................................................................................4
知识点 2：同角三角函数基本关系 .....................................................................................................5
知识点 3：三角函数诱导公式 .............................................................................................................6
解题方法总结 ........................................................................................................................................6
题型一：终边相同的角的集合的表示与区别 ....................................................................................6
题型二：等分角的象限问题 ................................................................................................................8
题型三：弧长与扇形面积公式的计算 ................................................................................................8
题型四：割圆术问题 ..........................................................................................................................10
题型五：三角函数的定义 ..................................................................................................................11
题型六：象限符号与坐标轴角的三角函数值 ..................................................................................12
题型七：弦切互化求值 ......................................................................................................................13
题型八：诱导求值与变形 ..................................................................................................................14
题型九：同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用 ..........................................................15
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................17
05课本典例·高考素材........................................................................................................................18
06易错分析·答题模板........................................................................................................................19
易错点：不能理解三角函数的定义 ..................................................................................................19
考点要求 考题统计 考情分析
高考对此也经常以不同的方式进行考
（1）三角函数基本概念
2023年甲卷第 14题，5分 查，将三角函数的定义、同角三角函数关
（2）任意角的三角函数
2022年浙江卷第 13题，5分 系式和诱导公式综合起来考查，且考查得
（3）同角三角函数的基本关
2021年甲卷第 8题，5分 较为灵活，需要深人理解概念、熟练运用
系
公式．
复习目标：
（1）了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性．
（2）理解同角三角函数的基本关系式 sin2 a + cos2 a sina= 1， = tana ．
cosa
（3）掌握诱导公式，并会简单应用．
知识点 1：三角函数基本概念
1、角的概念
（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图
形；
②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．
（2）所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，构成的角的集合是 S = = k 360 + a ，k Z ．
（3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，
就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
（4）象限角的集合表示方法：
2、弧度制
（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示，读作弧度．正角
的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0．
180
（2）角度制和弧度制的互化：180 = rad ，1 = rad ，1rad = ．
180
3 l = a r 1 1（ ）扇形的弧长公式： ，扇形的面积公式： S = lr = a r 2 ．
2 2
3、任意角的三角函数
（1）定义：任意角α的终边与单位圆交于点 P(x，y) 时，则 sina = y ， cosa = x tana y， = (x 0) ．
x
（2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点 P P(x，y) 是角 α终边上异于顶点的任一点，设点 P 到原
O r sina y cosa x y点 的距离为 ，则 = ， = ， tana = (x 0)
r r x
三角函数的性质如下表：
第一象 第二象限 第三象 第四象
三角函数 定义域
限符号 符号 限符号 限符号
sina R ＋ ＋ － －
cosa R ＋ － － ＋
tana {a |a k + ，k Z} ＋ － ＋ －
2
记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
4、三角函数线
如下图，设角 α 的终边与单位圆交于点 P，过 P 作 PM⊥x 轴，垂足为 M，过 A（1，0）作单位圆的切
线与 α 的终边或终边的反向延长线相交于点 T．
三角函数线
有向线段 MP 为正弦线；有向线段 OM 为余弦线；有向线段 AT 为正切线
π
【诊断自测】在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于 的角一定是锐角；②钝角一定是第二象限的
2
角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命题的个数是（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
知识点 2：同角三角函数基本关系
1、同角三角函数的基本关系
（1）平方关系： sin 2 a + cos2 a = 1．
（2 sina ）商数关系： = tana (a + k )；
cosa 2
【诊断自测】（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，角a 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非
负半轴重合，终边经过点P 3,4 sina + 2cosa，则 =（ ）
cosa - sin a
A．11 B．-10 C．10 D．-11
知识点 3：三角函数诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2k + a (k Z ) + a -a -a -a + a
2 2
正弦 sina -sina -sina sina cosa cosa
余弦 cosa -cosa cosa -cosa sina -sina
正切 tana tana - tana - tana
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限

【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作 n ± a ；
2

（2）无论有多大，一律视为锐角，判断 n ± a 所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）
2
当 n为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当 n为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．
π 1 5π
【诊断自测】（2024·河南信阳·模拟预测）若 sin a + ÷ = ，则 cos3 4
a + ÷ =（ ）
è è 6
1 1 1
A． B．- C．± D 15．
4 4 4 4
解题方法总结
1 sin 2 a + cos2 a = 1 a sina、利用 可以实现角 的正弦、余弦的互化，利用 = tana 可以实现角a 的弦切
cosa
互化．
2、“ sina + cosa ，sina cosa ，sina - cosa ”方程思想知一求二．
(sina + cosa )2 = sin2 a + cos2 a + 2sina cosa = 1+ sin 2a
(sina - cosa )2 = sin2 a + cos2 a - 2sina cosa = 1- sin 2a
(sina + cosa )2 + (sina - cosa )2 = 2
题型一：终边相同的角的集合的表示与区别
【典例 1-1】集合 A = a∣a = -2024 + k 180 ,k Z 中的最大负角a 为（ ）v
A．-2024 B．-224 C．-44 D．-24
【典例 1-2】（2024·湖北·模拟预测）若角a 的顶点为坐标原点，始边在 x 轴的非负半轴上，终边在直线
y = 3x上，则角a 的取值集合是（ ）
ì π
A． ía a = 2kπ + , k Z
ü ì
B． ía a = 2kπ
2π
+ ,k Zü
3 3
ìa a = kπ 2π+ ,k Zü ìa a = kπ π+ , k ZüC． í D． í
3 3
【方法技巧】
（1）终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决．
（2）注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐
角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角．
【变式 1-1】如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角a 的集合是（ ）
ìa | 5πA． í + 2kπ a 2k +1 π,k Zü ì 5π B． ía | + kπ a k +1 π,k Zü6 6
ì 7π ü ì π ü
C． ía | - + 2kπ a 2k -1 π,k Z D． ía | - + 2kπ a 2kπ,k Z
6

6
【变式 1-2】用弧度制分别表示每个图中顶点在原点、始边重合于 x 轴的非负半轴、终边落在阴影部分内
（包括边界）的角的集合.
【变式 1-3】已知角a 的集合为M = a a = 30 + k 90 ,k Z ，回答下列问题：
(1)集合 M 中有几类终边不相同的角？
(2)集合 M 中大于－360°且小于 360°的角是哪几个？
(3)求集合 M 中的第二象限角 ．
题型二：等分角的象限问题
【典例 2-1】已知a 是第二象限角，则（ ）
a a
A． 是第一象限角 B． sin > 0
2 2
C． sin 2a < 0 D． 2a 是第三或第四象限角
a a 2k 【典例 2-2】（2024·高三·湖北黄冈·期中）若角 满足 ＝ + (k∈Z)，则a 的终边一定在(　　)
3 6
A．第一象限或第二象限或第三象限
B．第一象限或第二象限或第四象限
C．第一象限或第二象限或 x 轴非正半轴上
D．第一象限或第二象限或 y 轴非正半轴上
【方法技巧】
先从a a的范围出发，利用不等式性质，具体有：（1）双向等差数列法；（2） 的象限分布图示．
n
【变式 2-1】已知 sina > 0， cos
a
a < 0，则 的终边在（
3 ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
【变式 2-2】若角 α 是第二象限角，则角 2α 的终边不可能在(　　)
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
a a a
【变式 2-3】（2024·全国·模拟预测）已知角a 第二象限角，且 cos = cos ，则角 是（
2 2 2 ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
题型三：弧长与扇形面积公式的计算
【典例 3-1】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）用一个圆心角为120 ，面积为3 的扇形OMN （O为圆心）用
成一个圆锥（点M , N 恰好重合），该圆锥顶点为 P ，底面圆的直径为 AB ，则 cos APB的值为 ．
【典例 3-2】若扇形的周长为 18，则扇形面积取得最大值时，扇形圆心角的弧度数是 .
【方法技巧】
应用弧度制解决问题的方法
（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
（2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
（3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
【变式 3-1】已知扇形的周长为20cm，则当扇形的圆心角a = 扇形面积最大．
【变式 3-2】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）下图是第 19 届杭州亚运会的会徽“潮涌”，可将其视为一扇环
ABCD．已知 AB = 2π， AD = 3．且该扇环 ABCD的面积为9π，若将该扇环作为侧面围成一圆台，则该圆
台的体积为 .
【变式 3-3】（2024·广东·二模）如图，在平面直角坐标系 xOy 中放置着一个边长为 1 的等边三角形PAB，
且满足 PB与 x 轴平行，点A 在 x 轴上.现将三角形PAB沿 x 轴在平面直角坐标系 xOy 内滚动，设顶点
P x, y 的轨迹方程是 y = f x ，则 f x 的最小正周期为 ； y = f x 在其两个相邻零点间的图象与 x 轴
所围区域的面积为 .
【变式 3-4】建于明朝的杜氏雕花楼被誉为“松江最美的一座楼”，该建筑内有很多精美的砖雕，砖雕是我
国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖墙精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖
雕，可视为扇形 OCD 截去同心扇形 OAB 所得部分，已知 AD=1m AB = π 2π，弧 3 m，弧CD = 3 m，则此扇
环形砖雕的面积为 m2．
题型四：割圆术问题
【典例 4-1】（2024·贵州铜仁·模拟预测）魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正 24576 边形，求出圆周
355
率 π约等于 ，和 π相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知 π的近似值
113
π 16 - π2
还可以表示成 4sin 52 ，则 4 4 3 的值约为（ ）cos 3.5 + sin 3.5 -
4
1 1
A． -32 B．- C．32 D．
32 32
【典例 4-2】我国魏晋时期的数学家刘徽创造性的提出了“割圆术”，刘徽认为圆的内接正n边形随着边数n
的无限增大，圆的内接正n边形的周长就无限接近圆的周长，并由此求得圆周率 π的近似值．如图当 n = 6
6r
时，圆内接正六边形的周长为6r ，故 π ，即 3．运用“割圆术”的思想，下列估算正确的是（
2r ）
A． n =12 时， π 12sin15o B． n =12 时， π 6sin15o
C． n =12 时， π 12cos15o D． n =12 时， π 24cos15o
v
【方法技巧】
割圆术是魏晋时期数学家刘徽首创的方法，用于计算圆周率。其核心思想是通过不断倍增圆内接正多
边形的边数，使正多边形的周长无限接近圆的周长，进而求得较为精确的圆周率。这一方法体现了极限思
想，为中国古代数学发展做出了重要贡献。具体操作为：从圆内接正六边形开始，逐步分割成正十二边形、
正二十四边形等，直至边数无法再增，此时正多边形的周长即接近圆周率与直径的乘积。
【变式 4-1】（2024·四川成都·模拟预测）我国古代魏晋时期数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，“割之弥细，
所失弥少，割之，又割，以至于不可割，则与圆周合体无所失矣”.刘徽从圆内接正六边形逐次分割，一直
分割到圆内接正 3072 边形，用正多边形的面积逼近圆的面积.利用该方法，由圆内接正 n 边形与圆内接正
2n边形分别计算出的圆周率的比值为（ ）
A sin 180
o o o o

． ÷ B． cos
180 360 360
n ÷
C． 2sin ÷ D． 2cos
è è n è n ÷ è n
【变式 4-2】在 3 世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥
少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术可以
视为将一个圆内接正n边形等分成n个等腰三角形（如图所示），当n越大，等腰三角形的面积之和越近似
等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到 sin 5 的近似值为（ ）

A． B． C． D．
72 48 36 18
题型五：三角函数的定义
【典例 5-1】（2024·江西·二模）已知角a 的终边经过点M ( 2,1)，则cosa =（ ）
A 6 B 3 C D 2． ． ． 2 ．
3 3 2
【典例 5-2】（2024·北京房山·一模）已知角a 的终边经过点 (3, 4)
π
，把角a 的终边绕原点 O 逆时针旋转 得
2
到角 的终边，则 sin =（ ）
4 4 3 3
A．- B． C．- D．
5 5 5 5
【方法技巧】
（1）利用三角函数的定义，已知角 α 终边上一点 P 的坐标可求 α 的三角函数值；已知角 α 的三角函
数值，也可以求出角 α 终边的位置．
（2）判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符
号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
【变式 5-1】（2024·北京通州·二模）在平面直角坐标系 xOy 中，角a 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非
4 3
负半轴重合，终边与单位圆交于点P ,- ÷，则 cos π - 2a =（5 5 ）è
9 7
A．-
9
B．- C 7． D．
25 25 25 25
【变式 5-2】已知角a 的终边经过点P 1,2sina ，则 sina 的值不可能是（ ）
A 3 B 0 C 3． ． ． - D 1．
2 2 2
【变式 5-3】如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，动点 P 、Q从点 A 1,0 出发在单位圆上运动，点 P 按
π 11π
逆时针方向每秒钟转 弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转 弧度，则 P 、Q两点在第1804次相遇时，点
12 12
P 的坐标是（ ）
1 3 1 3
A． ,- ÷÷ B． ,2 2 ÷÷è è 2 2
1 3 1 - 3
C． - , ÷÷ D．2 2
- , ÷÷
è è 2 2
【变式 5-4】（2024·山东济南·二模）质点 P 和Q在以坐标原点O为圆心，半径为 1 的圆O上逆时针作匀速
圆周运动，同时出发. P 的角速度大小为 2rad / s ，起点为圆O与 x 轴正半轴的交点；Q的角速度大小为
5rad / s，起点为圆O与射线 y = - 3x x 0 的交点.则当Q与 P 第 2024 次重合时， P 的坐标为（ ）
cos 2π ,sin 2π cos 5π , sin 5π π π- - A． ÷ B． ÷ C． cos , -sin ÷ D． -cos
π ,sin π ÷
è 9 9 è 9 9 è 9 9 è 9 9
题型六：象限符号与坐标轴角的三角函数值
【典例 6-1】（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系 xOy 中，角a 以Ox 为始边，终边在第三象限.则
（ ）
A． sina - cosa tana B． sina - cosa tana
C． sina cosa < tana D． sina cosa > tana
【典例 6-2】若a 是第二象限角，则（ ）
a
A． cos -a > 0 B． tan > 0
2
C． sin π +a > 0 D． cos π -a < 0
【方法技巧】
正弦函数值在第一、二象限为正，第三、四象限为负；．
余弦函数值在第一、四象限为正，第二、三象限为负；．
正切函数值在第一、三象限为正，第二、四象限为负．
q
【变式 6-1】已知 sinq tanq < 0，且 cosq sin q < 0 ，则 为（ ）
2
A．第一或二象限角 B．第二或三象限角 C．第一或三象限角 D．第二或四
象限角
sin a 2cos a 3tan a
6-2 a 2 + 2 - 2【变式 】（多选题）若角 的终边在第三象限，则 的值可能为（ ）
sin a cos a tan a
2 2 2
A．0 B．2 C．4 D．-4
【变式 6-3】（2024·高三·海南·期末）已知a , 都是第二象限角，则“ sin a - < 0 ”是“ tana < tan ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不
必要条件
题型七：弦切互化求值
【典例 7-1】（2024·高三·福建泉州·期末）已知q 0, π ,sinq = cosq ，则 sinqcosq =（ ）
1
A 1．- 2 B．- C． D．2 2 2
【典例 7-2】已知 sina + cosa = 3cosa tana ，则 cos2 a tana =（ ）
- 3 3 2 2A． B． C．- D．
5 5 5 5
【方法技巧】
（1）若已知角的象限条件，先确定所求三角函数的符号，再利用三角形三角函数定义求未知三角函
数值．
（2）若无象限条件，一般“弦化切”．
【变式 7-1】若 tanq = 2，则 sinq cosq - sinq = .
sinq - 2cosq 3
【变式 7-2 2024· · = 2 sin q + cosq】（ 浙江杭州 模拟预测）已知 ，则 = ．
sinq + cosq 2sinq + cos3q
7-3 tana = 2 cos π -a + 3sina【变式 】已知 ，则 = .
4cosa - sina
5
【变式 7-4】（多选题）已知 sina - cosa = ，0 a π ，则下列选项中正确的有（ ）
5
A． sina cosa
2
= B．
5 sina cosa
3 5
+ =
5
C． tana
1 5
+ = D． sina 5=
tana 3 5
【变式 7-5】（多选题）已知a 0, π ， sina + cosa 10= ，则下列结论中正确的是（ ）
5
A sin2a
3
= - B cosa sina 2 10． ．5 - = 5
C． cos2a
4
= D． tana = -3
5
题型八：诱导求值与变形
cos a 2π 4 sin a π 【典例 8-1】已知 + ÷ = ，则 + ÷ = （3 5 6 ）è è
4 3 3 4
A．- B．- C． D．
5 5 5 5

【典例 8-2】（2024·浙江·模拟预测）已知a 0,
π
÷ ， sin

a
π 1- ÷ = ，则 cos

a
2π
+ ÷ = （ ）
è 2 è 10 3 è 5
A 2 2 B 2 2
1 1
．- ． C．- D．
3 3 3 3
【方法技巧】
（1 ）诱导公式用于角的变换，凡遇到与 整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任
2
意角的三角函数化成锐角三角函数．
（2）通过±2 ,± , ± 等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数．
2

（3）a ± = ±2 ,± , ± 等可利用诱导公式把a , 的三角函数化
2
π 4 π
【变式 8-1】（2024·高三·广东深圳·期中）已知 sin a + ÷ = ，则 cos a -3 5 6 ÷
=（ ）
è è
4 - 3 4 3A．- B． C． D．
5 5 5 5
sin π a 1 π【变式 8-2】若 - ÷ = ，则 cos

+a

等于（
6 3 3 ÷ ）è è
1 1
A 2 2．- B． C．- D．
3 3 3 3
π π π
【变式 8-3】（2024·江西九江·三模）若 2sin a + ÷ = cos a - ÷，则 tan a - ÷ =（3 3 6 ）è è è
A．-4 - 3 B．-4 + 3 C． 4 - 3 D． 4 + 3
题型九：同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
sin 5π -a -

÷cos
3π
+a

÷ tan
2 π -a
【典例 9-1】已知 f a = è 2 è 2
cos π
.
-a

÷sin π +a
è 2
(1)化简 f a ；
(2)若 f a = 2，求sin2a -3sinacosa 的值；
(3)若 f
π π
a + ÷ = 3，求 sin(a - )的值.
è 3 6
【典例 9-2】已知 cos a + 3π + 2sin a + 6π = 0 .
(1)求 tana 的值；
sin2a + 5cos a 3π+ ÷cosa(2)求 è 2 的值.
2 + 2cos2a
【方法技巧】
（1）利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使
用公式进行变形．
（2）注意角的范围对三角函数符号的影响．
4
【变式 9-1】已知角a 的顶点在原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点P 3, y ，且 tana = - ．
3
(1)求 sin a+cos a 的值；
sin π -a + 2cos π +a
(2)求 sin 3 3 π -a ÷ - cos π +a
的值．
è 2 è 2 ÷
tan(π a )cos(2π a )sin( π+ - +a )
【变式 9-2】已知 f (a ) = 2
cos(π -a )tan(-a )
(1)化简 f (a )
(2)若a (0, 2π)，且 f (a ) 3= - ，求a 的值.
2
1
(3)若a 是第三象限角，且 sin(π +a ) = ，求 f (π -a ) 的值.
5
3
【变式 9-3】在单位圆中，锐角a 的终边与单位圆相交于点P m, ÷÷ ，连接圆心O和 P 得到射线OP ，将
è 2
π
射线OP O 绕点 按逆时针方向旋转q 后与单位圆相交于点 B ，其中q 0,

÷ .
è 2
4sin3 π a + ÷ + 2sin
2 3π
-a

÷ - 4cos a + π (1)求 è 2 è 2 的值；
2 + 2cos2 5π +a + cos -a
(2)记点 B 的横坐标为 f q f q π- 1 ，若 ÷ = ，求 cos q
π
-
5π
6 4 3 ÷
+ cos q - ÷的值.
è è è 6
【变式 9-4】在平面直角坐标系中，锐角a ， 均以Ox 为始边，终边分别与单位圆交于点A ， B ，已知点
3 5
A 的纵坐标为 ，点 B 的横坐标为 .
5 13
(1)直接写出 tana 和 sin 的值，并求 tan(a - )的值；
2sin(π -a ) + sin(π +a )
(2)求 23π 的值；cos( -a ) - cos(3π +a )
2
π
(3)将点A 绕点O逆时针旋转 得到点C ，求点C 的坐标.
4
1．（2023 年高考全国甲卷数学（理）真题）设甲：sin2 a + sin2 =1，乙： sina + cos = 0，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2．（2022 年高考全国甲卷数学（理）真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了
计算圆弧长度的“会圆术”，如图， AB 是以 O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是 AB 的中点，D 在 AB 上，
2
CD ^ AB ．“会圆术”给出 CDAB 的弧长的近似值 s 的计算公式： s = AB + ．当OA = 2, AOB = 60 时，OA
s =（ ）
A 11- 3 3 B 11- 4 3 C 9 - 3 3 D 9 - 4 3． ． ． ．
2 2 2 2
3．（2022 年新高考浙江数学高考真题）设 x R ，则“ sin x = 1”是“ cos x = 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不
必要条件
1．写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式-720 360 的元素 ：
(1)1303o18 ；
(2) -225o．
2．每人准备一把扇形的扇子，然后与本小组其他同学的对比，从中选出一把展开后看上去形状较为美观
的扇子，并用计算工具算出它的面积 S1 .
（1）假设这把扇子是从一个圆面中剪下的，而剩余部分的面积为 S2 ，求 S1与 S2 的比值；
（2）要使 S1与 S2 的比值为0.618，则扇子的圆心角应为几度（精确到1 ）？
3．（1）时间经过 4h（时），时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？
（2）有人说，钟的时针和分针一天内会重合 24 次。你认为这种说法是否正确？请说明理由.
（提示：从午夜零时算起，假设分针走了 t min 会与时针重合，一天内分针和时针会重合 n 次，建立 t 关于
n 的函数解析式，并画出其图象，然后求出每次重合的时间）
4．已知相互啮合的两个齿轮，大轮有 48 齿，小轮有 20 齿.
（1）当大轮转动一周时，求小轮转动的角度；
（2）如果大轮的转速为180r / min （转/分），小轮的半径为10.5cm，那么小轮周上一点每 1s 转过的弧长是
多少？
5 1+ sina 1- sina．化简 - ，其中a 为第二象限角.
1- sina 1+ sina

6 1 sin4 - cos4
sin2 ．（ ）分别计算 和 - cos2

的值，你有什么发现？
3 3 3 3
（2）任取一个a 的值，分别计算 sin4 a - cos4 a ,sin2 a - cos2 a ，你又有什么发现？
（3）证明："x R,sin2 x - cos2 x = sin4 x - cos4 x .
易错点：不能理解三角函数的定义
易错分析： 利用定义求任意角的三角函数时，要根据条件选择不同的解法，看所给的条件是终边与单
位圆的交点还是终边上的任意一点.
4 17
【易错题 1

】（2024·山东青岛·一模）已知角q 终边上有一点 P tan π,2sin - π ÷÷，则 cosq 的值为（3 6 ）è è
1
A 1 3 3． 2 B．- C． - D．2 2 2
【易错题 2】（多选题）若角a 的终边上有一点P(-4,a)，且 sina cosa 3 = ，则 a 的值为（ ）
4
A． 4 3 B． 3 C 4 3．-4 3 D．-
3第 01 讲 三角函数概念与诱导公式
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点 1：三角函数基本概念 .............................................................................................................4
知识点 2：同角三角函数基本关系 .....................................................................................................5
知识点 3：三角函数诱导公式 .............................................................................................................6
解题方法总结 ........................................................................................................................................7
题型一：终边相同的角的集合的表示与区别 ....................................................................................7
题型二：等分角的象限问题 ................................................................................................................9
题型三：弧长与扇形面积公式的计算 ..............................................................................................11
题型四：割圆术问题 ..........................................................................................................................15
题型五：三角函数的定义 ..................................................................................................................17
题型六：象限符号与坐标轴角的三角函数值 ..................................................................................20
题型七：弦切互化求值 ......................................................................................................................23
题型八：诱导求值与变形 ..................................................................................................................25
题型九：同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用 ..........................................................27
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................31
05课本典例·高考素材........................................................................................................................34
06易错分析·答题模板........................................................................................................................36
易错点：不能理解三角函数的定义 ..................................................................................................36
考点要求 考题统计 考情分析
高考对此也经常以不同的方式进行考
（1）三角函数基本概念
2023年甲卷第 14题，5分 查，将三角函数的定义、同角三角函数关
（2）任意角的三角函数
2022年浙江卷第 13题，5分 系式和诱导公式综合起来考查，且考查得
（3）同角三角函数的基本关
2021年甲卷第 8题，5分 较为灵活，需要深人理解概念、熟练运用
系
公式．
复习目标：
（1）了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性．
（2）理解同角三角函数的基本关系式 sin2 a + cos2 a sina= 1， = tana ．
cosa
（3）掌握诱导公式，并会简单应用．
知识点 1：三角函数基本概念
1、角的概念
（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图
形；
②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．
（2）所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，构成的角的集合是 S = = k 360 + a ，k Z ．
（3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，
就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
（4）象限角的集合表示方法：
2、弧度制
（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示，读作弧度．正角
的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0．
180
（2）角度制和弧度制的互化：180 = rad ，1 = rad ，1rad = ．
180
3 l = a r 1 1（ ）扇形的弧长公式： ，扇形的面积公式： S = lr = a r 2 ．
2 2
3、任意角的三角函数
（1）定义：任意角α的终边与单位圆交于点 P(x，y) 时，则 sina = y ， cosa = x tana y， = (x 0) ．
x
（2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点 P P(x，y) 是角 α终边上异于顶点的任一点，设点 P 到原
点O的距离为 r ，则 sina y cosa x= ， = ， tana y= (x 0)
r r x
三角函数的性质如下表：
第一象 第二象限 第三象 第四象
三角函数 定义域
限符号 符号 限符号 限符号
sina R ＋ ＋ － －
cosa R ＋ － － ＋
tana {a |a k + ，k Z} ＋ － ＋ －
2
记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
4、三角函数线
如下图，设角 α 的终边与单位圆交于点 P，过 P 作 PM⊥x 轴，垂足为 M，过 A（1，0）作单位圆的切
线与 α 的终边或终边的反向延长线相交于点 T．
三角函数线
有向线段 MP 为正弦线；有向线段 OM 为余弦线；有向线段 AT 为正切线
π
【诊断自测】在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于 的角一定是锐角；②钝角一定是第二象限的
2
角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命题的个数是（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】B
π π
【解析】因为锐角a (0, )，所以小于 的角不一定是锐角，故①不成立；
2 2
因为钝角 (
π , π) π，第二象限角q ( + 2kπ, π + 2kπ)， k Z，所以钝角一定是第二象限角，故②成立；
2 2
若两个角的终边不重合，则这两个角一定不相等，故③成立；
例如a =120 ， = 390 ，但a < ，故④不成立.
故选：B.
知识点 2：同角三角函数基本关系
1、同角三角函数的基本关系
（1）平方关系： sin 2 a + cos2 a = 1．
2 sina（ ）商数关系： = tana (a + k )；
cosa 2
【诊断自测】（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，角a 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非
负半轴重合，终边经过点P 3,4 sina + 2cosa，则 =（
cos sin ）a - a
A．11 B．-10 C．10 D．-11
【答案】B
【解析】因为角a 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，
且角的终边经过点P 3,4 ，
4 4 3 3
所以 sina = = ， cosa = = ，
9 +16 5 9 +16 5
4 3
sina + 2cosa + 2
= 5 5所以
cosa - sina 3 4
= -10 .
-
5 5
故选：B.
知识点 3：三角函数诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2k + a (k Z ) + a -a -a -a + a
2 2
正弦 sina -sina -sina sina cosa cosa
余弦 cosa -cosa cosa -cosa sina -sina
正切 tana tana - tana - tana
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限

【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作 n ± a ；
2
（2 ）无论有多大，一律视为锐角，判断 n ± a 所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）
2
当 n为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当 n为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．
π 1 5π
【诊断自测】（2024·河南信阳·模拟预测）若 sin a + ÷ = ，则 cos a + =（3 4 6 ÷ ）è è
1 1 1
A． B．- C 15．± D．
4 4 4 4
【答案】B
π 1 cos a 5π cos é π π ù πsin(a + ) = + = a + + = -sin a +
1
【解析】由 ，得
3 4 6 ÷ ê 3 ÷ 2 ú ÷
= - .
è è è 3 4
故选：B
解题方法总结
1、利用 sin 2 a + cos2 a = 1 sina可以实现角a 的正弦、余弦的互化，利用 = tana 可以实现角a 的弦切
cosa
互化．
2、“ sina + cosa ，sina cosa ，sina - cosa ”方程思想知一求二．
(sina + cosa )2 = sin2 a + cos2 a + 2sina cosa = 1+ sin 2a
(sina - cosa )2 = sin2 a + cos2 a - 2sina cosa = 1- sin 2a
(sina + cosa )2 + (sina - cosa )2 = 2
题型一：终边相同的角的集合的表示与区别
【典例 1-1】集合 A = a∣a = -2024 + k 180 ,k Z 中的最大负角a 为（ ）v
A．-2024 B．-224 C．-44 D．-24
【答案】C
【解析】因为-2024 = -44 -11 180 ，
所以集合 A = a∣a = -2024 + k 180 ,k Z 中的最大负角a 为-44 .
故选：C.
【典例 1-2】（2024·湖北·模拟预测）若角a 的顶点为坐标原点，始边在 x 轴的非负半轴上，终边在直线
y = 3x上，则角a 的取值集合是（ ）
ìa a = 2kπ π+ , k Zü ìA． í B． ía a = 2kπ
2π
+ ,k Zü
3 3
ì 2π π
C． ía a = kπ + ,k Z
ü ì
D． ía a = kπ + , k Z
ü
3 3


【答案】D
【解析】根据题意，角
π
的终边在直线 y = 3x上，a 为第一象限角时，a = + 2kπ k Z ；
3
a 4π为第三象限角时，a = + 2kπ k Z ；
3
综上，角a
ì π
的取值集合是 ía a = + kπ,k Z
ü
.
3
故选：D.
【方法技巧】
（1）终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决．
（2）注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐
角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角．
【变式 1-1】如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角a 的集合是（ ）
ìa | 5πA． í + 2kπ a 2k +1 π,k 5π Zü ì B． ía | + kπ a k +1 π,k Zü
6 6


ì 7π π
C． ía | - + 2kπ a 2k -1 π,k Zü ì D． ía | - + 2kπ a 2kπ,k Zü
6 6
【答案】B
5π
【解析】终边落在阴影部分的角为 + kπ a (k +1)π ， k Z，
6
ì 5π
即终边落在阴影部分（包括边界）的角a 的集合是 ía | + kπ a k +1 π,k Zü ．
6
故选：B．
【变式 1-2】用弧度制分别表示每个图中顶点在原点、始边重合于 x 轴的非负半轴、终边落在阴影部分内
（包括边界）的角的集合.
ìa π 2kπ a 5π ü【解析】图 1：易知 í ∣- + + 2kπ,k Z ；
6 12
ìa 3π 3π图 2： í ∣- + 2kπ a + 2kπ,k Z
ü
；
4 4
π
图 3：{a∣ + 2kπ
π 7π
a + 2kπ 或 + 2kπ a
3π
+ 2kπ，k Z}
6 2 6 2
= {a π 2kπ a π π π∣ + + 2kπ 或 + π + 2kπ a + π + 2kπ，k Z}
6 2 6 2
= {a π 2kπ a π 2kπ π∣ + + 或 + 2k +1 π a π + 2k +1 π，k Z}
6 2 6 2
= ìa πí ∣ + kπ a
π
+ kπ, k Zü
6 2
【变式 1-3】已知角a 的集合为M = a a = 30 + k 90 ,k Z ，回答下列问题：
(1)集合 M 中有几类终边不相同的角？
(2)集合 M 中大于－360°且小于 360°的角是哪几个？
(3)求集合 M 中的第二象限角 ．
【解析】（1）集合 M 中的角可以分成四类，即终边分别与－150°，－60°，30°，120°的终边相同的角．
（2）令-360 < 30 k 90
13 11
+ < 360 ，得- < k < ，
3 3
又 k Z ，所以终边不相同的角，所以集合 M 中大于－360°且小于 360°的角共有 8 个，
分别是:－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°．
（3）集合 M 中的第二象限角与 120°角的终边相同，
所以 =120 + k 360 ， k Z .
题型二：等分角的象限问题
【典例 2-1】已知a 是第二象限角，则（ ）
a a
A． 是第一象限角 B． sin > 0
2 2
C． sin 2a < 0 D． 2a 是第三或第四象限角
【答案】C
【解析】∵ a是第二象限角，

∴ + 2k < a < + 2k ， k Z

，即 + k
a
< < + k ， k Z，
2 4 2 2
a
∴ 是第一象限或第三象限角，故 A 错误；
2
a a a
由 是第一象限或第三象限角， sin > 0或 sin < 0，故 B 错误；
2 2 2
∵ a是第二象限角，

∴ + 2k < a < + 2k ， k Z，
2
∴ + 4k < 2a < 2 + 4k ， k Z，
∴ 2a 是第三象限，第四象限角或终边在 y 轴非正半轴， sin2a < 0，故 C 正确，D 错误.
故选：C．
2k
【典例 2-2】（2024·高三·湖北黄冈·期中）若角a 满足a ＝ + (k∈Z)，则a 的终边一定在(　　)
3 6
A．第一象限或第二象限或第三象限
B．第一象限或第二象限或第四象限
C．第一象限或第二象限或 x 轴非正半轴上
D．第一象限或第二象限或 y 轴非正半轴上
【答案】D
【解析】当 k

= 0时，a = ，终边位于第一象限
6
当 k 1 a
5
= 时， = ，终边位于第二象限
6
3
当 k = 2时，a = ，终边位于 y 轴的非正半轴上
2

当 k = 3时，a = 2 + ，终边位于第一象限
6
综上可知，则a 的终边一定在第一象限或第二象限或 y 轴的非正半轴上
故选D
【方法技巧】
a
先从a 的范围出发，利用不等式性质，具体有：（1）双向等差数列法；（2） 的象限分布图示．
n
a
【变式 2-1】已知 sina > 0， cosa < 0，则 的终边在（
3 ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
【答案】D
【解析】因为 sina > 0， cosa < 0，
π
所以a 为第二象限角，即 + 2kπ < a < π + 2kπ,k Z，
2
π 2kπ a π 2kπ
所以 + < < + ,k Z，
6 3 3 3 3
a π , π , 5π , π , 3π 5π 则 的终边所在象限为 ÷ ÷ , ÷所在象限，3 è 6 3 è 6 è 2 3
a
即 的终边在第一、二、四象限.
3
故选：D.
【变式 2-2】若角 α 是第二象限角，则角 2α 的终边不可能在(　　)
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
【答案】A
【解析】∵角 α 是第二象限角，∴k×360°＋90°＜α＜k×360°＋180°，k∈Z.
∴2k×360°＋180°＜2α＜2k×360°＋360°，k∈Z.
∴2α 可能是第三或第四象限角或是终边在 y 轴的非正半轴上的角，即其终边不可能在第一、二象限.
故选 A.
a a a
【变式 2-3】（2024·全国·模拟预测）已知角a 第二象限角，且 cos = cos ，则角 是（
2 2 2 ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】A
π
【解析】因为角a 第二象限角，所以 + 2kπ < a < π + 2kπ k Z ，
2
π kπ a π所以 + < < + kπ k Z a ，所以角 是第一象限角或第三象限角．
4 2 2 2
又因为 cos
a a
= cos a a，即 cos > 0，所以角 是第一象限角，
2 2 2 2
故选：A．
题型三：弧长与扇形面积公式的计算
【典例 3-1】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）用一个圆心角为120 ，面积为3 的扇形OMN （O为圆心）用
成一个圆锥（点M , N 恰好重合），该圆锥顶点为 P ，底面圆的直径为 AB ，则 cos APB的值为 ．
7
【答案】
9
【解析】设圆锥的母线长为 l，底面半径为 r ，
2π
∵扇形的圆心角为
3
S 1 2π l 2 πl
2
\ = = = 3π ，解得 l = 3，
扇形 2 3 3
∵扇形的弧长等于它围成的圆锥的底面周长，
2π
\ l = 2πr \r =1，
3
所以圆锥的轴截面VABP中，PA = PB = 3， AB = 2 ，
cos APB PA
2 + PB2 - AB2 18 - 4 7
由余弦定理可得 = = = ，
2PA PB 2 3 3 9
7
故答案为：
9
【典例 3-2】若扇形的周长为 18，则扇形面积取得最大值时，扇形圆心角的弧度数是 .
【答案】2
【解析】设扇形的半径为 r ，弧长为 l，则 l + 2r =18，即 l =18 - 2r ，
1 1
所以扇形面积 S = lr = r(18
9 81
- 2r) = -r 2 + 9r = -(r - )2 + ，
2 2 2 4
9 81 9
所以当 r = 时，S取得最大值为 ，此时 l =18 - 2 = 9，
2 4 2
q l 9= = = 2
所以圆心角为 r 9 （弧度）.
2
故答案为：2
【方法技巧】
应用弧度制解决问题的方法
（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
（2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
（3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
【变式 3-1】已知扇形的周长为 20cm ，则当扇形的圆心角a = 扇形面积最大．
【答案】 2
【解析】设扇形的半径为 r ，弧长为 l，
由题意， 2r + l = 20 l = 20 - 2r(0 < r <10) ，
S 1 lr 1 2扇形的面积为 = = 20 - 2r r =10r - r
2 2
= - r - 5 2 + 25 0 < r <10 ，所以当 r = 5时，
扇形面积取最大值25，此时 l = 20 -10 =10，
所以扇形的圆心角a
l 10
= = = 2时，扇形面积最大.
r 5
故答案为： 2
【变式 3-2】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）下图是第 19 届杭州亚运会的会徽“潮涌”，可将其视为一扇环
ABCD．已知 AB = 2π， AD = 3．且该扇环 ABCD的面积为9π，若将该扇环作为侧面围成一圆台，则该圆
台的体积为 .
14 2π
【答案】
3
【解析】如图，设 AOB = q ，OA = r ，C D = l ，
ì q r = 2π
2π
由题意可知， í1 2 1 ，解得 r = 3，
q = ，
q 3+ r - q r
2 = 9π 3
2 2
则C D
2π
= 6 = 4π ，将该扇面作为侧面围成一圆台，
3
则圆台上、下底面的半径分别为 1 和 2，
所以其高为 32 - (2 -1)2 = 2 2 ，
1
故该圆台的体积为V = (π+4π+ π×4π) 2 2 14 2π = .
3 3
14 2π
故答案为： .
3
【变式 3-3】（2024·广东·二模）如图，在平面直角坐标系 xOy 中放置着一个边长为 1 的等边三角形PAB，
且满足 PB与 x 轴平行，点A 在 x 轴上.现将三角形PAB沿 x 轴在平面直角坐标系 xOy 内滚动，设顶点
P x, y 的轨迹方程是 y = f x ，则 f x 的最小正周期为 ； y = f x 在其两个相邻零点间的图象与 x 轴
所围区域的面积为 .
【答案】 3 2π 3+
3 4
【解析】设P( p, 3 ) ，
2
如图，当三角形PAB沿 x 轴在平面直角坐标系 xOy 内滚动时，
3
开始时， P 先绕A 旋转，当 B 旋转到B1时， P 旋转到P1，此时P1( p +1, )，2
5
然后再以B1为圆心旋转，旋转后 P 旋转到P2，此时P2 ( p + ,0) ，2
当三角形再旋转时， P 不旋转，此时A 旋转到 A2，
当三角形再旋转后，必以 A2为圆心旋转，旋转后 P 旋转到P3，
点 P 从开始到B2 时是一个周期，故 y = f x 的周期为MN = 3，
如图， xP , xP 为 y = f x 2 4 相邻两个零点，
y = f x 在 éxP , xP ù上的图像与 x 轴围成的图形的面积为：2 4
2 1 2π 3 2π 3 12 + 12 = + .
2 3 4 3 4
2π 3
故答案为：3, + .
3 4
【变式 3-4】建于明朝的杜氏雕花楼被誉为“松江最美的一座楼”，该建筑内有很多精美的砖雕，砖雕是我
国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖墙精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖
OCD OAB AD=1m AB = π m CD = 2π雕，可视为扇形 截去同心扇形 所得部分，已知 ，弧 3 ，弧 3 m，则此扇
环形砖雕的面积为 m2．
π
【答案】
2
C D AB
【解析】设圆心角为a ，则a = = ，
OD OA
2π π
所以 3 = 3 ，解得OA =1 m，所以OD = 2m ，
OA +1 OA
1 1
所以此扇环形砖雕的面积为 C D OD - AB OA
2 2
1 2π
= 2 1 π π- 1 = 2 .
2 3 2 3 2 m
π
故答案为：
2
题型四：割圆术问题
【典例 4-1】（2024·贵州铜仁·模拟预测）魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正 24576 边形，求出圆周
π 355率 约等于 ，和 π相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知 π的近似值
113
π 16 - π2
还可以表示成 4sin 52 ，则 的值约为（ ）
cos4 3.5 + sin4 3.5 - 3
4
1 1
A． -32 B．- C．32 D．
32 32
【答案】C
π 16 - π2
【解析】将 π = 4sin 52 代入 ，
cos4 3.5 + sin4 3.5 - 3
4
π 16 - π2
可得
cos4 3.5 + sin4 3.5 - 3
4
4sin 52 4cos52
=
1+ cos7 2 2 + 1- cos7 3 ÷ ÷ -
è 2 è 2 4
8sin104
= 1 cos2 7 1 -
2 4
8sin104
= 1 (1+ cos14 ) 1 -
4 4
8cos14
= 1 = 32cos14 .
4
故选：C.
【典例 4-2】我国魏晋时期的数学家刘徽创造性的提出了“割圆术”，刘徽认为圆的内接正 n边形随着边数 n
的无限增大，圆的内接正 n边形的周长就无限接近圆的周长，并由此求得圆周率 π的近似值．如图当 n = 6
6r
时，圆内接正六边形的周长为6r ，故 π ，即 3．运用“割圆术”的思想，下列估算正确的是（
2r ）
A． n =12 时， π 12sin15o B． n =12 时， π 6sin15o
C． n =12 时， π 12cos15o D． n =12 时， π 24cos15o
【答案】A
【解析】设圆的内接正十二边形被分成12个如图所示的等腰三角形，其顶角为30o，即 AOB = 30o ，
作OH ^ AB 于点H ，则H 为 AB 的中点，且 AOH =15o，
AH
因为OA = OB = r，在Rt△AOH 中， sin AOH = ，即 sin15o
AH
= ，
OA r
所以， AH = r sin15o，则 AB = 2AH = 2r sin15o ，
L 24r sin15o
所以，正十二边形的周长为 L =12 2r sin15o = 24r sin15o ，所以， π = =12sin15o .
2r 2r
故选：A.
v
【方法技巧】
割圆术是魏晋时期数学家刘徽首创的方法，用于计算圆周率。其核心思想是通过不断倍增圆内接正多
边形的边数，使正多边形的周长无限接近圆的周长，进而求得较为精确的圆周率。这一方法体现了极限思
想，为中国古代数学发展做出了重要贡献。具体操作为：从圆内接正六边形开始，逐步分割成正十二边形、
正二十四边形等，直至边数无法再增，此时正多边形的周长即接近圆周率与直径的乘积。
【变式 4-1】（2024·四川成都·模拟预测）我国古代魏晋时期数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，“割之弥细，
所失弥少，割之，又割，以至于不可割，则与圆周合体无所失矣”.刘徽从圆内接正六边形逐次分割，一直
分割到圆内接正 3072 边形，用正多边形的面积逼近圆的面积.利用该方法，由圆内接正 n 边形与圆内接正
2n边形分别计算出的圆周率的比值为（ ）
o
A sin 180 B cos 180
o
C 2sin 360
o o

． ÷ ． ÷ ． ÷ D． 2cos
360
n è è n è n è n ÷
【答案】B
o o
n 360 1 360 n
o
360
【解析】对于正 边形，其圆心角为 ÷ ，面积为 S1 = n r r sin = r
2 sin
n 2 n ÷ 2 n ÷
，对于正 2n
è è è
360 o
边形，其圆心角为 ，
è 2n ÷
1 o o
面积为 S2 = 2n r r sin
360 2 180
2 ÷
= nr sin ÷ ，由此可得，
è 2n è n
n o o or 2 sin 360 nr 2 sin 180 cos 180
S 2 n ÷ ÷ ÷
o
1 = è = è n è n 180o o = cos

S n ÷
.
2 nr 2 sin 180 nr 2 sin 180 è
è n ÷ ÷ è n
故选：B.
【变式 4-2】在 3 世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥
少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术可以
视为将一个圆内接正 n边形等分成 n个等腰三角形（如图所示），当 n越大，等腰三角形的面积之和越近似
等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到 sin 5 的近似值为（ ）

A． B． C． D．
72 48 36 18
【答案】C
2
【解析】在单位圆中作内接正三十六边形，则每个等腰三角形的顶角为10 ，底边约为 ，
36

由题意得 sin 5 36 = ，
1 36
故选：C
题型五：三角函数的定义
【典例 5-1】（2024·江西·二模）已知角a 的终边经过点M ( 2,1)，则cosa =（ ）
A 6． B 3 C 2． ． 2 D．
3 3 2
【答案】A
2
【解析】根据题意 r = OM = 2 +12 = 3，
由三角函数的定义得 cosa x 2 6= = = .
r 3 3
故选：A.
【典例 5-2】（2024·北京房山·一模）已知角a 的终边经过点 (3, 4)
π
，把角a 的终边绕原点 O 逆时针旋转 得
2
到角 的终边，则 sin =（ ）
4 4 3 3
A．- B． C．- D．
5 5 5 5
【答案】D
【解析】因为角a 的终边经过点 (3, 4) ，
3 3
所以 cosa = = ，
32 + 42 5
π
因为把角a 的终边绕原点 O 逆时针旋转 得到角 的终边，
2
π所以 = a + ，
2
所以 sin = sin

a
π
+ ÷ = cosa
3
= .
è 2 5
故选：D.
【方法技巧】
（1）利用三角函数的定义，已知角 α 终边上一点 P 的坐标可求 α 的三角函数值；已知角 α 的三角函
数值，也可以求出角 α 终边的位置．
（2）判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符
号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
【变式 5-1】（2024·北京通州·二模）在平面直角坐标系 xOy 中，角a 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非
4 3
负半轴重合，终边与单位圆交于点P ,- ÷，则 cos π - 2a =（5 5 ）è
9 7
A．- B．-
9
C 7． D．
25 25 25 25
【答案】B
【解析】由三角函数的定义可得 sina
3 4
= - ，cosa = ，
5 5
所以 cos π - 2a = -cos 2a = - 2cos2 a -1 16 7= - 2 -1 ÷ = - .
è 25 25
故选：B.
【变式 5-2】已知角a 的终边经过点P 1,2sina ，则 sina 的值不可能是（ ）
A 3 B 0 C 3 1． ． ． - D．
2 2 2
【答案】D
2sina
【解析】由定义， sina = ，
1+ 4sin2 a
当sina = 0，合题意；
当 sin
3
a 0 2，化简得 sin a = ，由于横坐标1 > 0，角的终边在一、四象限，
4
3
所以 sina = ± ．
2
故选：D．
【变式 5-3】如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，动点 P 、Q从点 A 1,0 出发在单位圆上运动，点 P 按
π 11π
逆时针方向每秒钟转 弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转 弧度，则 P 、Q两点在第1804次相遇时，点
12 12
P 的坐标是（ ）
1 3 1 3
A． ,-2 2 ÷÷
B． , ÷÷
è è 2 2
1 , 3
1 , - 3

C． - 2 2 ÷÷
D． - ÷÷
è è 2 2
【答案】C
π 11π
【解析】相遇时间为 t =1804 2π + ÷ = 3608秒，
è12 12
π 2π
故 P 转过的角度为 3608 = 300π + ，
12 3
cos 2π ,sin 2π
1 , 3

故对应坐标为 ÷ ，即 -3 3 2 2 ÷÷
.
è è
故选：C
【变式 5-4】（2024·山东济南·二模）质点 P 和Q在以坐标原点O为圆心，半径为 1 的圆O上逆时针作匀速
圆周运动，同时出发. P 的角速度大小为 2rad / s ，起点为圆O与 x 轴正半轴的交点；Q的角速度大小为
5rad / s，起点为圆O与射线 y = - 3x x 0 的交点.则当Q与 P 第 2024 次重合时， P 的坐标为（ ）
cos 2π ,sin 2π -cos 5π ,-sin 5π πA． ÷ B． ÷ C． cos , -sin
π π π
9 9 9 9 ÷
D． -cos ,sin ÷
è è è 9 9 è 9 9
【答案】B
【解析】设两质点重合时，所用时间为 t ，则重合点坐标为 cos 2t,sin 2t ，
π
由题意可知，两质点起始点相差角度为 ，
3
π
则5t - 2t = 2kπ + k N t 2kπ π，解得 = + k Z ，
3 3 9
k 0 t π
2π 2π
若 = ，则 =

，则重合点坐标为 cos ,sin ，
9 ֏ 9 9
7π cos14π ,sin 14π 5π 5π若 k =1，则 t = ，则重合点坐标为 ，即 -cos , -sin ，
9 è 9 9 ÷ 9 9 ÷ è
k 2 13π 若 = ，则 t = ，则重合点坐标为 cos
26π ,sin 26π cos π÷，即 - ,sin
π
，
9 è 9 9 è 9 9 ÷
Q t 12139π当 与 P 第 2024 次重合时， k = 2023，则 = ，
9
cos 24278π ,sin 24278π cos 5π , sin 5π 则重合点坐标为 ，即 - -9 9 ÷ 9 9 ÷
.
è è
故选：B.
题型六：象限符号与坐标轴角的三角函数值
【典例 6-1】（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系 xOy 中，角a 以Ox 为始边，终边在第三象限.则
（ ）
A． sina - cosa tana B． sina - cosa tana
C． sina cosa < tana D． sina cosa > tana
【答案】C
【解析】由题意可得sina < 0、 cosa < 0， tana > 0，
对 A：当 sina 0- 时， cosa -1，则 sina - cosa 1， tana 0，
此时 sina - cosa > tana ，故 A 错误；
a 5π对 B：当 = 时， sina - cosa = sin
5π 5π
- cos = 0 < tan 5π =1，故 B 错误；
4 4 4 4
对 C、D： sina cosa cos2 a
sina
= = cos2 a tana ，由-1 < cosa < 0，
cosa
2
故 cos a 0,1 ，则 cos2 a tana < tana ，即 sina cosa < tana ，
故 C 正确，D 错误.
故选：C.
【典例 6-2】若a 是第二象限角，则（ ）
A． cos -a > 0 B． tan a > 0
2
C． sin π +a > 0 D． cos π -a < 0
【答案】B
【解析】若 α 是第二象限角，则 cos -a = cosa < 0，故 A 错误；
a a
为第一、三象限角，则 tan > 0，故 B 正确；
2 2
sin π +a = -sina < 0 ，故 C 错误；
cos π -a = -cosa > 0，故 D 错误.
故选：B.
【方法技巧】
正弦函数值在第一、二象限为正，第三、四象限为负；．
余弦函数值在第一、四象限为正，第二、三象限为负；．
正切函数值在第一、三象限为正，第二、四象限为负．
q
【变式 6-1】已知 sinq tanq < 0，且 cosq sinq < 0，则 为（
2 ）
A．第一或二象限角 B．第二或三象限角 C．第一或三象限角 D．第二或四
象限角
【答案】C
sinq tanq < 0 sin
2 q
【解析】由 ，得 < 0，则 cosq < 0 且 sinq 0，又 cosq sinq < 0，
cosq
因此 cosq < 0 且 sin
π
q > 0，q 是第二象限角，即 + 2kπ < q < π + 2kπ,k Z，
2
π kπ q π则 + < < + kπ,k
q q
Z，当 k 为偶数时， 是第一象限角，当 k 为奇数时， 是第三象限角，
4 2 2 2 2
q
所以 是第一或三象限角.
2
故选：C
sin a 2cos a 3tan a
【变式 6-2 2 2 2】（多选题）若角a 的终边在第三象限，则 + -a a a 的值可能为（ ）sin cos tan
2 2 2
A．0 B．2 C．4 D．-4
【答案】BC
【解析】由角a
π π a π
的终边在第三象限，得-π + 2kπ < a < - + 2kπ,k Z，则- + kπ < < - + kπ,k Z，
2 2 2 4
a
因此 是第二象限角或第四象限角，
2
sin a 2cos a 3tan a
a 2 + 2 - 2当 是第二象限角时， =1- 2 - (-3) = 2，
2 sin a cos a tan a
2 2 2
sin a 2cos a 3tan a
a 2 + 2 - 2当 是第四象限角时， = -1+ 2 - (-3) = 4
2 sin a cos a
.
tan a
2 2 2
故选：BC
【变式 6-3】（2024·高三·海南·期末）已知a , 都是第二象限角，则“ sin a - < 0 ”是“ tana < tan ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不
必要条件
【答案】C
【解析】若 sin a - < 0，则 sina cos - cosa sin < 0即 sina cos < cosa sin ，
而a , 都是第二象限角，故 cos cosa > 0，故 tana < tan ，
故“ sin a - < 0 ”是“ tana < tan ”的充分条件.
若 tana < tan ，因为a , 都是第二象限角，故 cos cosa > 0，
所以 sina cos < cosa sin 即 sin a - < 0，
故“ sin a - < 0 ”是“ tana < tan ”的必要条件，
所以“ sin a - < 0 ”是“ tana < tan ”的充要条件.
故选：C.
题型七：弦切互化求值
【典例 7-1】（2024·高三·福建泉州·期末）已知q 0, π ,sinq = cosq ，则 sinqcosq =（ ）
1
A B - C 1．- 2 ． ． 2 D．2 2
【答案】C
【解析】因为q 0, π ,sinq cosq q π = ，则 0, 2 ÷ ，结合 sin
2q + cos2q =1，
è
2
2
解得 sinq = cosq = ，则 sinqcosq
2 1
= 2 ÷÷
= ，
2 è 2
故选：C.
【典例 7-2】已知 sina + cosa = 3cosa tana ，则 cos2 a tana =（ ）
A．-
3 3 2 2
B． C．- D．
5 5 5 5
【答案】D
【解析】因为 sina + cosa = 3cosa tana ，
所以 sina + cosa = 3cosa
sina
，
cosa
即 sina cosa + cos2 a = 3cosa sina ，即 cos2 a = 2cosa sina ，
显然 cosa 0，所以 cosa = 2sina ，则 tana
1
= ，
2
4
又 sin2 a + cos2 a =1 2，所以 cos a = ，
5
cos2 a tana 4 1 2所以 = = .
5 2 5
故选：D
【方法技巧】
（1）若已知角的象限条件，先确定所求三角函数的符号，再利用三角形三角函数定义求未知三角函
数值．
（2）若无象限条件，一般“弦化切”．
【变式 7-1】若 tanq = 2，则 sinq cosq - sinq = .
2
【答案】- / -0.4
5
2 2 2
【解析】由已知 sinq cosq - sinq 2 sinq cosq - sin q tanq - tan q 2 - 2 2= sinq cosq - sin q = =
sin2 q + cos2 q tan2
= 2 = - ，q +1 2 +1 5
2
故答案为：- .
5
sinq - 2cosq 3
7-2 2024· · = 2 sin q + cosq【变式 】（ 浙江杭州 模拟预测）已知 ，则 = ．
sinq + cosq 2sinq + cos3q
47
【答案】
135
sinq - 2cosq
【解析】由 = 2 可得 sinq = -4cosq ，即 tanq = -4 ；
sinq + cosq
3
sin3q + cosq -4cosq + cosq -64cos3q + cosq -64cos2q +1
所以 = = =
2sinq + cos3q 2 -4cosq + cos3q -8cosq + cos3q -8 + cos2q
-64cos2q + sin2 q + cos2q -63cos2q + sin2 q -63 + tan2 q
= = =
-8 sin2 q + cos2q + cos2q -8sin2 q - 7cos2q -8 tan2 q - 7
2
将 tanq = -4 -63 + tan q -63 +16 47代入计算可得 2 = = ；-8 tan q - 7 -8 16 - 7 135
sin3q + cosq 47
即 = .
2sinq + cos3q 135
47
故答案为：
135
【变式 7-3 tana = 2 cos π -a + 3sina】已知 ，则 = .
4cosa - sina
5
【答案】
2
【解析】因为 tana = 2 ，
cos π -a + 3sina - cosa + 3sina
所以 =
4cosa - sina 4cosa - sina
-1+ 3tana
=
4 - tana
-1+ 3 2 5
= =
4 .- 2 2
5
故答案为：
2
5
【变式 7-4】（多选题）已知 sina - cosa = ，0 a π ，则下列选项中正确的有（ ）
5
A． sina cosa
2
= B 3 5．
5 sina + cosa = 5
C． tana
1 5
+ = D sina 5． =
tana 3 5
【答案】AB
【解析】由 sina - cosa 5= ，得 (sina
1
- cosa )2 =1- 2sina cosa = ，
5 5
所以 sina cosa
2
= ，故选项 A 正确；
5
sina cosa 2因为 = ，a [0, π]，所以 sina > 0， cosa > 0，
5
又因为 (sina + cosa )2
9
=1+ 2sina cosa = 3 5，所以 ，故选项 B 正确；
5 sina + cosa = 5
tana 1 sina cosa 1 5因为 + = + = = ，故选项 C 错误；
tana cosa sina sina cosa 2
由 sina - cosa 5 3 5 2 5= ， sina + cosa = ，所以 sina = ，故选项 D 错误；
5 5 5
故选：AB
10
【变式 7-5】（多选题）已知a 0, π ， sina + cosa = ，则下列结论中正确的是（ ）
5
A sin2a
3
= - B cosa sina 2 10． ．5 - = 5
C． cos2a
4
= D． tana = -3
5
【答案】AD
2 3
【解析】对于选项 A，由 sina cosa 10+ = 两边平方得：1+ sin 2a = 5 ，故得 sin2a = - ，即 A 项正确；5 5
3 π
对于选项 B，由 sin2a = 2sina cosa = - < 0，a 0, π 可得：a , π ÷ 故 cosa < sina2 ，5 è
由 (cosa - sina )2
8
= 1- sin 2a = 2 10可得：
5 cosa - sina = -
，故 B 项错误；
5
对于选项 C， cos 2a = cos2 a - sin2 a = (sina + cosa )(cosa - sina ) 10 ( 2 10= - ) 4= - ，故 C 项错误；
5 5 5
ì ì
sina + cosa
10 sina 3 10= =
D 5对于选项 ，由 í ,
10
可解得： í ,故得： tana = -3 .故 D 项正确.

cosa sina
2 10 10
- = - cosa = -
5 10
故选：AD.
题型八：诱导求值与变形
cos a 2π 4 π【典例 8-1】已知 +

÷ = ，则 sin
a + ÷ = （ ）
è 3 5 è 6
4 3 3 4
A．- B．- C． D．
5 5 5 5
【答案】A
2π 4 π π π 4 π 4
【解析】由 cos a + 3 ÷
= 可得 cos a + + = -sin a + = sin a + = - ，
è 5 è 6 2 ÷ ÷ ÷ è 6 5 è 6 5
故选：A
a 0, π sin a π 1 cos a 2π 【典例 8-2】（2024·浙江·模拟预测）已知 ÷ ，2
- ÷ = ，则 + ÷ = （ ）
è è 10 3 è 5
A 2 2
1 1
．- B 2 2． C．- D．
3 3 3 3
【答案】C
cos a 2π cos é a π π ù【解析】 + ÷ = ê - ÷ + ú = -sin
a π- 1= - .
è 5 è 10
÷
2 è 10 3
故选：C
【方法技巧】

（1）诱导公式用于角的变换，凡遇到与 整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任
2
意角的三角函数化成锐角三角函数．

（2）通过±2 ,± , ± 等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数．
2
（3）a ± = ±2 ,± , ± 等可利用诱导公式把a , 的三角函数化
2
【变式 8-1】（2024·高三·广东深圳·期中）已知 sin a
π
+
4 π
÷ =

，则 cos a - =（ ）
è 3 5 è 6 ÷

4
A．- B．-
3 4 3
C． D．
5 5 5 5
【答案】C
【解析】因为 sin a
π
+
4
÷ = ，
è 3 5
π é π π ù π 4
所以 cos a - ÷ = cos ê a + ÷ - ú = sin6 3 2
a + ÷ = .
è è è 3 5
故选：C
【变式 8-2】若 sin
π a 1 cos π - ÷ = ，则 +a

6 ÷
等于（ ）
è 3 è 3
A 2 B 2
1 1
．- ． C．- D．
3 3 3 3
【答案】D
【解析】因为 sin
π
-a
1
÷ = ，
è 6 3
所以 cos
π a sin é π+ = - π a ù+ = sin π -a 1 3 ÷ ê 2 3 ÷ú 6 ÷
= .
è è è 3
故选：D
π π π
【变式 8-3】（2024·江西九江·三模）若 2sin a + ÷ = cos a - ÷，则 tan a - ÷ =（3 3 6 ）è è è
A．-4 - 3 B．-4 + 3 C． 4 - 3 D． 4 + 3
【答案】C
a π π【解析】令 = - ，则a = + ，
6 6
π
所以由 2sin a + ÷ = cos a
π
-
3 ÷
，
è è 3
得 2sin
π+ cos π= - 2 ÷ 6 ÷
，
è è
即 2cos 3= cos 1+ sin ，
2 2
即 sin = 4 - 3 cos ，得 tan = 4 - 3 ，
所以 tan

a
π
- = tan = 4 - 3，
è 6 ÷
故选：C.
题型九：同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
sin a 5π- - cos 3π 2 ÷ +a ÷ tan π -a
è 2 è 2
【典例 9-1】已知 f a = .
cos π -a

÷sin π +a
è 2
(1)化简 f a ；
(2)若 f a = 2，求 sin2a - 3sinacosa 的值；

(3)若 f a +
π
÷ = 3
π
，求 sin(a - )的值.
è 3 6
2
2 -cosa g sin a
【解析】（1） f -cosa sina tan a cos
2
a a sina= = = = tana
sina (-sina ) -sina cosa
（2）由（1）得 tana = 2 ，
sin22 a - 3sinacosa tan
2a - 3tana 4 - 6 2
所以 sin a - 3sinacosa = 2 2 = 2 = = - .sin a + cos a tan a +1 4 +1 5
π
（3）由（1）得 tan a + ÷ = 3，令a
π
- = q ，则a = q
π
+ ，
è 3 6 6
sin q π+ ÷
tan a π π cosq 1则 + ÷ = tan
è 2
3
q + ÷ = = = - = 3，
è è 2 cos π -sinq tanq q + 2 ÷è
\ tanq 1= - ，又 tanq
sinq 1
= = - ，
3 cosq 3
得 cosq = -3sinq ，代入 sin2 q + cos2 q =1 sinq 10，计算得： = ± ，
10
当q 10为第二象限角时， sinq = ，即 sin a
π 10-
10 ÷
= ；
è 6 10
当q
π 10
为第四象限角时， sinq 10= - ，即 sin a - = - .
10 6 ֏ 10
【典例 9-2】已知 cos a + 3π + 2sin a + 6π = 0 .
(1)求 tana 的值；
sin2a + 5cos a 3π+ ÷cosa(2)求 è 2 的值.
2 + 2cos2a
【解析】（1）由 cos a + 3π + 2sin a + 6π = 0可得：-cosa + 2sina = 0，
即 tana
1
= ，
2
sin2a 5sinacosa
2 2sin a + 5cos 3π a + ÷cosa sin a + 5sinacosa2 = sin
2a + 5sinacosa 2 + 2
（ ） è 2 2 + 2 2cos2a -1 = =
cos a cos a
2 4cos2a
2 + 2cos2a 4cos a cos2a
tan2a + 5tana 1 5+ 11
= =
4 = 4 24 16
【方法技巧】
（1）利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使
用公式进行变形．
（2）注意角的范围对三角函数符号的影响．
4
【变式 9-1】已知角a 的顶点在原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点P 3, y ，且 tana = - ．
3
(1)求 sin a+cos a 的值；
sin π -a + 2cos π +a
(2)求 sin 3 π -a - cos 3 π +a 的值． ÷
è 2 è 2 ÷
【解析】（1）Q tana
y 4
= = - ，\ y = -4，
3 3
\sina 4= - ， cosa
3
= ，则 sina + cosa
1
= -
5 ．5 5
4 10
sina - 2cosa tana - 2 - - 2 -
2 = = = 3 = 3（ ）原式 = -10．
-cosa - sina -1- tana 1 4 1- +
3 3
tan(π +a )cos(2π -a )sin( π +a )
【变式 9-2】已知 f (a ) = 2
cos(π -a )tan(-a )
(1)化简 f (a )
(2)若a (0, 2π)，且 f (a ) 3= - ，求a 的值.
2
1
(3)若a 是第三象限角，且 sin(π +a ) = ，求 f (π -a ) 的值.
5
f (a ) tana cosa cosa【解析】（1）依题意， = = cosa
-cosa (- tana ) .
3 a (0, 2π) a 5π 7π（2）由（1）知， cosa = - ，而 ，所以 = 或a = .
2 6 6
1 1
（3）由 sin(π +a ) = ，得 sina = - ，
5 5
由a 2 6是第三象限角，得 cosa = - 1- sin2 a = - ，
5
2 6
所以 f (π -a ) = cos(π -a ) = -cosa = .
5
3
【变式 9-3】在单位圆中，锐角a 的终边与单位圆相交于点P m, ÷÷ ，连接圆心O和 P 得到射线OP，将
è 2

射线OP绕点O按逆时针方向旋转q 后与单位圆相交于点 B ，其中q 0,
π
.
è 2 ÷
4sin3 a π+ + 2sin2 3π ÷ -a ÷ - 4cos a + π (1)求 è 2 è 2 的值；
2 + 2cos2 5π +a + cos -a
f q f q π- 1 π 5π (2)记点 B 的横坐标为 ，若 ÷ = ，求 cos q - ÷ + cos q - ÷的值.
è 6 4 è 3 è 6
1
【解析】（1）由于点 P 在单位圆上，且a 是锐角，可得m = ，
2
cosa 1所以 = ，
2
4sin3 a
π
+ ÷ + 2sin
2 3π -a - 4cos a + π
所以 è 2 è 2 ÷
2 + 2cos2 5π +a + cos -a
4cos3a + 2cos2a + 4cosa
= = 2cosa =1；
2 + 2cos2a + cosa
（2）由（1）可知 cosa
1 π
= ，且a 为锐角，可得a = xOP = ，
2 3
根据三角函数定义可得： f q = cos q π+ 3 ÷ ，è
π
因为 f q - ÷ = cos
q π 1 π+
6 6 ÷
= > 0，且q
4
0, ÷，
è è è 2
π π 2π π 15
因此q + , ÷，所以 sin q +6 è 6 3 6 ÷
=
è 4
π 5π é π π ù é π ù
所以 cos q - ÷ + cos
q - = cos q + - + cos q + - π
è 3 6 ÷ ê 6 ÷ ÷ è è 2
ú ê ú
è 6
= sin q π+ - cos π ÷ q +

6 ÷è è 6
15 -1
= .
4
【变式 9-4】在平面直角坐标系中，锐角a ， 均以Ox 为始边，终边分别与单位圆交于点A ， B ，已知点
3 5
A 的纵坐标为 ，点 B 的横坐标为 .
5 13
(1)直接写出 tana 和 sin 的值，并求 tan(a - )的值；
2sin(π -a ) + sin(π +a )
(2)求 2
cos(3π
的值；
-a ) - cos(3π +a )
2
π
(3)将点A 绕点O逆时针旋转 得到点C ，求点C 的坐标.
4
3 5
【解析】（1）由锐角a ， ，得点A ， B 都在第一象限，而点A 的纵坐标为 ，点 B 的横坐标为 ，
5 13
4 12 3 12 12
则点A 的横坐标为 ，点 B 的纵坐标为 ，因此 tana = , tan = ,sin = ；
5 13 4 5 13
3 12
tan(a tana - tan
- 33
- ) = = 4 5 = - .
1+ tana tan 1 3 12+ 56
4 5
3 2sin(π -a )
π 3
+ sin( +a )
2 2sina + cosa 2 tana +1
2 +1
（2）由（1）知 tana = ， = = = 4 =10 .
4 cos(3π -a ) - cos(3π +a ) -sina + cosa 1- tana 1 3-
2 4
C π
3 4
（3）依题意，点 在角 +a 的终边上，且 | OC |=1，由（1）知 sina = , cosa = ，
4 5 5
则点C π的横坐标为 cos( +a ) = cos π cosa - sin π sina 2 (4 3) 2= - = ，
4 4 4 2 5 5 10
点C 的纵坐标为 sin(π +a ) = sin π cosa + cos π sina 2 (4 3 7 2= + ) = ，
4 4 4 2 5 5 10
2 7 2
所以点C 的坐标为 ( , ) .
10 10
1．（2023 年高考全国甲卷数学（理）真题）设甲：sin2 a + sin2 =1，乙： sina + cos = 0，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
2 π【解析】当sin a + sin2 =1时，例如a = , = 0但 sina + cos 0，
2
即sin2 a + sin2 =1推不出 sina + cos = 0；
当 sina + cos = 0时， sin2 a + sin2 = (-cos )2 + sin2 =1，
即 sina + cos = 0能推出sin2 a + sin2 =1 .
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
2．（2022 年高考全国甲卷数学（理）真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了
计算圆弧长度的“会圆术”，如图， AB 是以 O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是 AB 的中点，D 在 AB 上，
2
CD ^ AB ．“会圆术”给出 AB 的弧长的近似值 s 的计算公式： s = AB
CD
+ ．当OA = 2, AOB = 60 时，
OA
s =（ ）
A 11- 3 3 B 11- 4 3 C 9 - 3 3 D 9 - 4 3． ． ． ．
2 2 2 2
【答案】B
【解析】如图，连接OC ，
因为C 是 AB 的中点，
所以OC ^ AB，
又CD ^ AB ，所以O,C, D 三点共线，
即OD = OA = OB = 2，
又 AOB = 60 ，
所以 AB = OA = OB = 2，
则OC = 3 ，故CD=2- 3，
2
CD2 2 - 3所以 s = AB 11- 4 3+ = 2 + = .
OA 2 2
故选：B.
3．（2022 年新高考浙江数学高考真题）设 x R ，则“ sin x = 1”是“ cos x = 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不
必要条件
【答案】A
【解析】因为 sin2 x + cos2 x =1可得：
当 sin x = 1时， cos x = 0，充分性成立；
当 cos x = 0时， sin x = ±1，必要性不成立；
所以当 x R ， sin x = 1是 cos x = 0的充分不必要条件.
故选：A.
1．写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式-720 360 的元素 ：
(1)1303o18 ；
(2) -225o．
【解析】（1）根据题意可知1303o18 = 223o18 + 3 360o ，
所以与1303o18 o o终边相同的角的集合为 | = 223 18 + k 360 ,k Z ，
易知当 k = 0时， = 223o18 ；当 k = -1时， = -136o42 ；当 k = -2 时， = -496o42 ；
所以适合不等式-720 360 的元素 有： 223o18 ，-136o42 ，-496o42 ；
（2 o o）与-225o终边相同的角的集合为 | = -225 + k 360 , k Z，
易知当 k = -1时， = -585o ；当 k = 0时， = -225o ；当 k =1时， =135o ；
所以适合不等式-720 360 的元素 有：-585o，-225o，135o；
2．每人准备一把扇形的扇子，然后与本小组其他同学的对比，从中选出一把展开后看上去形状较为美观
的扇子，并用计算工具算出它的面积 S1 .
（1）假设这把扇子是从一个圆面中剪下的，而剩余部分的面积为 S2 ，求 S1与 S2 的比值；
（2）要使 S1与 S2 的比值为0.618，则扇子的圆心角应为几度（精确到1 ）？
1 a R2
【解析】（1）设半径为R, S , S a , a 2 , S S R2 ,
S a
1 2 所对圆心角分别为 ，且 + = 1 + 2 = \
1 = 21 = .S2 R2
2
1
S R
2q
（2）设扇子的圆心角为q .由 1 = 2 = 0.618，得q = 0.618(2 -q ) ,则
S 1 q 2.40rad 138
.
2 R2 (2 -q )
2
3．（1）时间经过 4h（时），时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？
（2）有人说，钟的时针和分针一天内会重合 24 次。你认为这种说法是否正确？请说明理由.
（提示：从午夜零时算起，假设分针走了 t min 会与时针重合，一天内分针和时针会重合 n 次，建立 t 关于
n 的函数解析式，并画出其图象，然后求出每次重合的时间）
【解析】（1）因为时针按照顺时针方向旋转，故形成的角为负角，
4 360 1440 2 经过 4 小时，时针转了 -30 4 = -120 ，分针转了 - = - ，分别等于- 弧度和-8 弧度；
3
（2）分针每比时针多走一圈便会重合一次，设分针走了 tmin会和时针重合，并且是第 n此重合，则：
2 gt 2 - gt = 2 n
60 12 60 ；
\ n 11= t
720 ， n N
* ；
最后一次相遇经过了 24 60 = 1440min ；
\此时 n = 22，即时针和分针相遇 22 次；
\重合 24 次的说法不正确．
4．已知相互啮合的两个齿轮，大轮有 48 齿，小轮有 20 齿.
（1）当大轮转动一周时，求小轮转动的角度；
（2）如果大轮的转速为180r / min （转/分），小轮的半径为10.5cm，那么小轮周上一点每 1s 转过的弧长是
多少？
【解析】（1）Q相互啮合的两个齿轮，大轮有 48 齿，小轮有 20 齿，
\当大轮转动一周时，
大轮转动了 48 个齿，
\ 48 12小轮转动 = 周，
20 5
12
即 360 = 864 5 ．
12 2 24 = ．
5 5
（2）\当大轮的转速为180r / min时，
12
180 = 432r / min．
5
小轮转速为 432r / min，
\小轮周上一点每1s 432 2 60
72
转过的弧度数为： = ．
5
Q小轮的半径为10.5cm，
\ 72 21小轮周上一点每1s转过的弧长为： =151.2 cm．
5 2
5 1+ sina 1- sina．化简 - ，其中a 为第二象限角.
1- sina 1+ sina
【解析】Q a 为第二象限角,
∴ 1+ sina 1- sina-
1- sina 1+ sina
(1+ sina )2 (1- sina )2
= -
(1- sina )(1+ sina ) (1+ sina )(1- sina )
(1+ sina )2 (1- sina )2
=
cos2
-
a cos2 a
1+ sina 1- sina
= - + = -2 tana
cosa cosa
4 4 2 6 2．（1）分别计算 sin - cos 和 sin - cos 的值，你有什么发现？
3 3 3 3
（2）任取一个a 的值，分别计算 sin4 a - cos4 a ,sin2 a - cos2 a ，你又有什么发现？
（3）证明："x R,sin2 x - cos2 x = sin4 x - cos4 x .
【解析】（1）根据特殊角三角函数值计算可知
4
sin4
3 1 4 1
- cos4 =
3 3 2 ÷÷
- 2 ÷
=
è è 2
2 2
sin2

- cos2 3 1 1= - =
3 3 2 ÷÷ è è 2
÷
2
4 4
所以 sin - cos = sin2 - cos2
3 3 3 3

（2）取a =
6
1 4
4
sin4 - cos4 =
3 1
则 - = -
6 6 2 ÷ è 2 ÷
÷
è 2
2
2
2 sin - cos2 1 3 1= -
6 6 2 ÷ ÷
= -
è ÷è 2 2
sin4 所以 - cos4

= sin2 - cos2 .
6 6 6 6
（3）证明:"x R,sin4 x - cos4 x
= sin2 x + cos2 x sin2 x - cos2 x
= sin2 x - cos2 x
所以 sin2 x - cos2 x = sin4 x - cos4 x .
易错点：不能理解三角函数的定义
易错分析： 利用定义求任意角的三角函数时，要根据条件选择不同的解法，看所给的条件是终边与单
位圆的交点还是终边上的任意一点.
4 17
【易错题 1】（2024·山东青岛· q

一模）已知角 终边上有一点 P tan π,2sin - π3 6 ÷÷
，则 cosq 的值为（ ）
è è
A 1
1
B 3 3． 2 ．- C． - D．2 2 2
【答案】D
【解析】因为 tan
4 = tan +

÷ = tan = 33 è 3 3
sin 17- = sin ÷ -2 - +

÷ = sin - + ÷ = -sin


sin 1- ÷ = - = -
è 6 è 6 è 6 è 6 6 2
2sin 11- 即 6 ÷
= -1
è
所以P 3, -1
3 3
所以 cosq = =
( 3)2 + (-1)2 2
故选：D.
3
【易错题 2】（多选题）若角a 的终边上有一点P(-4,a)，且 sina cosa = ，则 a 的值为（ ）
4
A． 4 3 B． 3 C．-4 3 D 4 3．-
3
【答案】CD
a
【解析】由三角函数的定义可知， sina = -4 2 + a2 ，
cosa -4=
-4 2 + a2 ，
3 -4a 3
又 sina cosa = ，则 2 = ，
4 -4 + a2 4
4
解得 a = -4 3 或- 3 ，3
故选：CD．

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