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拔高点突破 05 函数与导数背景下的新定义压轴解答题　
目录
01 方法技巧与总结 ..............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结 ..............................................................................................................................2
题型一：曲率与曲率半径问题 ............................................................................................................2
题型二：曼哈顿距离与折线距离 ......................................................................................................13
题型三：双曲正余弦函数问题 ..........................................................................................................16
题型四：凹凸函数 ..............................................................................................................................20
题型五：二元函数问题 ......................................................................................................................26
题型六：切线函数新定义 ..................................................................................................................29
题型七：非典型新定义函数 ..............................................................................................................37
题型八：拐点、好点 、不动点、S 点..............................................................................................46
题型九：各类函数新概念 ..................................................................................................................50
03 过关测试 .........................................................................................................................................55
1、函数与导数新定义问题主要分两类：一是概念新定义型，主要是以函数新概念为背景，通常考查
考生对函数新概念的理解，涉及函数的三要素的理解；二是性质新定义型，主要是以函数新性质为背景，
重点考查考生灵活应用函数性质的能力，涉及函数的各种相关性质的拓展延伸．
2、设 P x1, y1 ,Q x2 , y2 为平面上两点，则定义 x2 - x1 + y2 - y1 为“折线距离”“直角距离”或“曼哈
顿距离”，记作 d (P,Q) = x2 - x1 + y2 - y1 ．
结论 1：设点 P x0 , y0 为直线 l : Ax + By + C = 0 外一定点，Q为直线 l 上的动点，则
Ax + By + C
d (P,Q) = 0 0min max{| A |,| B |}
结论 2：设点 P 为直线 Ax + By + C1 = 0 上的动点，点Q为直线 Ax + By + C2 = 0 上的动点，则
C - C
d (P,Q) = 1 2min ．max{| A |,| B |}
题型一：曲率与曲率半径问题
【典例 1-1】（2024·浙江温州·二模）如图，对于曲线Γ ，存在圆C 满足如下条件：
①圆C 与曲线Γ 有公共点A ，且圆心在曲线Γ 凹的一侧；
②圆C 与曲线Γ 在点A 处有相同的切线；
③曲线 Γ 的导函数在点 A 处的导数（即曲线 Γ 的二阶导数）等于圆 C 在点 A 处的二阶导数（已知圆
r 2
x - a 2 + y - b 2 = r2 在点 A x0 , y0 处的二阶导数等于 ）；b - y0
3
则称圆C 为曲线Γ 在A 点处的曲率圆，其半径 r 称为曲率半径．
(1)求抛物线 y = x2 在原点的曲率圆的方程；
1
(2)求曲线 y = x 的曲率半径的最小值；
(3)若曲线 y = ex 在 x x1 x21, e 和 x2 , e x1 x2 处有相同的曲率半径，求证： x1 + x2 < -ln2．
【解析】（1）
2 2
记 f x = x ，设抛物线 y = x2 在原点的曲率圆的方程为 x2 + y - b = b2 ，其中b 为曲率半径．
则 f x = 2x， f x = 2，
b2 1 r 2 1
故 2 = f 0 = = 3 b ， 2 = ，即
b = ，
b - 0 b3 2
y = x2 x2 y 1
2
1
所以抛物线 在原点的曲率圆的方程为 + - 2 ÷
= ；
è 4
（2）设曲线 y = f x 在 x0 , y0 的曲率半径为 r ．则
ì
f x
x0 - a
0 = -
y0 - b
法一： í 2 ，
f x r=
0 b - y
3
0
2 r 2
由 x0 - a
2 + y - b 20 = r2知， é f x0 ù +1 = ，y 20 - b
3
2é f x ù +1 2所以 0 r = ，
f x0
3
ì 2 1 ü2
1 í
-
x2 ÷
+1
故曲线 y = x 在点
x0 , y0 处的曲率半径 è 0 r = ，
2
x30
3
1
4 +1÷ 3 2 2 1
2 x 1 1 - 1
所以 r = è 0 2 3 3 2 32 = 4
x0 + x2 ÷
2 ，则 r = 2 x0 + 2 ÷ 2 ，
2 è 0 è x0
x30
3
则 r 1
1 2 2 1 2
= x2 + ÷ 2 ，当且仅当 x0 = x2 ，即 x0 = 1时取等号，2 0 2è x0 0
1
故 r 2 ，曲线 y = x 在点
1,1 处的曲率半径 r = 2 ．
ì 1 x0 - a
- = -
x
2
0 y0 - b a + bx20 - 2x0
法二： í 2 ， = r2 r ，4 = x0 +1
x
3
0 b - y 30
ì 2
y x0 × r
3
0 - b = - 1 4 4
23 x2r 2 x 2 2 0 × r
3 r 3
所以 í 2 ，而 = 0 - a + y0 - b = 2 + 2 ，
r 3 23 23 × x2
x - a = - 00 1

23 x0
2 2 3
-
r 3 = 2 3 x2 1 1 1 2所以 20 + ，解方程可得x2 ÷ r = x0 +
，
è 2 ÷0 2 è x0
3
2 1 则 r = x2 1
2 1 2
0 + 2 ÷ 2，当且仅当 x0 = x2 ，即 x0 = 1时取等号，4 è x0 0
1
故 r 2 ，曲线 y = 在点 1,1 x 处的曲率半径 r = 2 ．
3
2x
（3）法一：函数 y = ex 的图象在 x, ex 处的曲率半径 e +1 2r = ，
ex
2 4 2
故 x - xr 3 = e3 + e 3 ，
4 2 2
由题意知： x
2 4 2
1 - x1 x2 - xe3 + e 3 = e3 + e 3 2
x x
令 t 3 1 3 2 ，1 = e , t2 = e
则有 t 2
1 1
1 + = t
2 +
t 21 t
，
2
2 2 1 1 t1 - t2
所以 t1 - t2 = - ，即 t1 - t2 t1 + t2 = ，故 t1t2 t1 + t2 =1t t ． 2 1 t1t2
因为 x1 x2 ，所以 t1 t2 ，
3
所以1 = t1t2 t1 + t2 > t1t2 × 2 t1t2 = 2 t t 2 = 2ex1 +x2 ，1 2
所以 x1 + x2 < -ln2．
3
x 2x 2
法二：函数 y = ex 的图象在 x, e 处的曲率半径 e +1 r = ，
ex
3e2x +1有 r 2 = 2x = e4x + 3e2x + 3+ e-2xe
2x 1 1
令 t 1 2x2 2 21 = e , t2 = e ，则有 t1 + 3t1 + 3+ = t2 + 3t2 + 3+t t ， 1 2
则 t1 - t2 t
1
1 + t2 + 3 - ÷ = 0，故 t1 + t2 + 3
1
- = 0
t t ， è t1t2 1 2
因为 x1 x2 ，所以 t1 t2 ，
1 1
所以有0 = t1 + t2 + 3- > 2 tt t 1
t2 + 3 - t t ，1 2 1 2
令 t
1
= t t 3 2 21 2 ，则 2t + 3- 2 < 0 ，即0 > 2t + 3t -1 = (t +1) 2t -1 ， t
t 1 ex +x t t t 1故 < ，所以 1 2 = 1 2 = < ，即 x1 + x2 2 2
< -ln2；
3
2x 2
法三：函数 y = ex x的图象在 x, e 处的曲率半径 e +1 r = ．
ex
2 4 x 2故 xr 3 = e3 + e3
4 2 4 4 x 2 2 x 2 2x x - - x
设 g x e3 e3 ，则 g x = e3 - e 3 = e 3 2e2x= + -1 ，3 3 3
x - , 1- ln2 g x < 0 x 1所以当 ÷时 ，当 - ln2,+

2 2 ÷
时 g x > 0，
è è
所以 g x - , 1- ln2 1 在 ÷上单调递减，在 - ln2,+ ÷上单调递增，
è 2 è 2
故有 x
1
1 < - ln2 < x2 ，2
x , ln2 x , 1所以 1 - - 2 - - ln2

，
è 2 ÷
要证 x1 + x2 < -ln2，即证 x1 < -ln2- x2 ，
即证 g x2 = g x1 > g -ln2 - x2 将 x1 + x2 < -ln2 ，
1
下证：当 x - ln2,+ ÷时，有 g x > g -ln2 - x ，
è 2
设函数G x = g x - g -ln2 - x x 1（其中 > - ln2），
2
2 x 1 4- - x
则G

x = g x 2+ g -ln2 - x = 2e2x -1 e3 - 2 3
3 ÷ ×e
3 > 0，
è
故G x 1 单调递增，G x > G - ln2÷ = 0 ，
è 2
故 g x2 > g -ln2 - x2 ，所以 x1 + x2 < -ln2．
3
2x 2
法四：函数 y = ex x的图象在 x, e 处的曲率半径 e +1 r = ，
ex
2x 3e +1有 r 2 = 2x = e4x + 3e2x + 3+ e-2x ，e
h x = e4x + 3e2x设 + 3 + e-2x ．
则有 h x = 4e4x
2
+ 6e2x - 2e-2x = 2e-2x e2x +1 2e2x -1 ，
x 1- , - ln2 1 所以当 ÷时 h x < 0，当 x - ln2,+ ÷时 h x > 0，
è 2 è 2
故 h x 1 1 在 - ,- ln 2÷ 上单调递减，在 - ln 2,+ ÷ 上单调递增．
è 2 è 2
x 1故有 1 < - ln2 < x2 ，2
所以 x1,-ln2 x
, 1- - - ln2 2 2 ÷
，
è
要证 x1 + x2 < -ln2，即证 x1 < -ln2- x2 ，
即证 h x2 = h x1 > h -ln2 - x2 ．将 x1 + x2 < -ln2，
下证：当 x
1- ln2,+ ÷时，有 h x > h -ln2 - x ，
è 2
设函数H x = h x - h -ln2 - x x 1（其中 > - ln2），
2
H x = h x + h -ln2 - x = 2e2x -1 2 1 1+ e-2x 1则 + e-4x ÷ > 0，
è 2 4
故H x H x H 1单调递增，故 > - ln2

÷ = 0 ，
è 2
故 h x2 > h -ln2 - x2 ，所以 x1 + x2 < -ln2．
【典例 1-2】有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知．由于地形等原因，在
修建高铁、公路、桥隧等基建中，我们常用曲线的曲率（Curvature）来刻画路线弯曲度．如图所示的光滑
曲线C 上的曲线段 AB，设其弧长为Ds，曲线C 在 A，B 两点处的切线分别为 lA , lB ，记 lA , lB 的夹角为
Δq f (x)
Δq Δq é0, p ù K Δq= K (x) = lim = ÷，定义 为曲线段 AB 的平均曲率，定义 Δx 0 Δs 3 为曲线
è ê 2 ú Δs 1+ f (x) 2 2
C : y = f (x)在其上一点 A(x, y) 处的曲率．（其中 f (x) 为 f (x) 的导函数，f (x )为 f (x) 的导函数）
(1)若 f (x) = sin(2x)，求K
p
4 ÷
；
è
π
(2)记圆 x2 + y2 = 2025上圆心角为 的圆弧的平均曲率为 a．
3
①求 a的值；
②设函数 g(x) = ln(x + 45a) - xex-1，若方程 g(x) = m(m > 0) 有两个不相等的实数根 x1, x2 ，证明：
x2 - x1 <1
(5e - 2)m
- ，其中 e为自然对数的底数， e = 2.71828L．
3e - 3
【解析】（1） f (x) = sin(2x), f (x) = 2cos(2x), f (x) = -4sin(2x)，
所以 f
π
÷ = 2cos
π π
= 0, f '' ÷ = -4sin
π
= -4，
è 4 2 è 4 2
f '' π
π K 4
÷
= è
-4
÷ 3 =因此 è 4 3
= 4
ì 2 ì π ü ü2 1+ 0
.
2
í1+ í f ÷
è 4
π π
（2）①由圆的性质知圆 x2 + y2 = 2025上圆心角为 的圆弧的弧长为DS = × R .
3 3
弧的两端点处的切线对应的夹角Δq
π
= ，
3
Δq
K 1 1 1所以该圆弧的平均曲率 = = = = a
1
=
ΔS R 45 ，也即 .2025 45
1
②由于 a = ，故 g x = ln x +1 - xex-1, x -1, + ，
45
又 g(0) = 0， g x
1
= - x +1 ex-1, g x 1= - 2 - x + 2 ex-1 < 0x +1 x +1 ，
所以 g (x) 在 -1, + g 0 1 1上单调递减，而 = - > 0, g 1 1= - 2 3= - < 0 .
e 2 2
因此必存在唯一的 x0 (0,1) 使得 g (x0) = 0且 g (x) 在 -1, x0 上为正，在 x0 ,+ 为负，即 g(x)在 -1, x0 上
单调递增，在 x0 ,+ 上单调递减，
1
而 g(0) = 0
1
，又 g ÷ = ln
3 1 ln 3 1- > - > 0 Q2 e 3
9 3 1 3 27
> e > , ln > e3 < e < ，
è 2 2 2 e 2 3 è 4 2 3 2 8
÷

g(1) = ln 2 -1 < 0，
1
所以$t

,1÷使得 g(t) = 0，即 g(x)的图象与 x 轴有且仅有两个交点 (0,0), (t,0)，易得 g(x)在 (0,0)处的切
è 2
l :y 1 1 x e -1线方程为 0 = - = x ，
è e ÷ e
在 (t , 0) 处的切线方程为 l :y =
1
t - t +1 et-1

t +1 ÷
x - t ，
è
下面证明两切线 l0 , lt 的图象不在 g(x)的图象的下方:
令 h x = g x 1- - t +1 et-1

÷ x - t = g(x) - g (t)(x - t)，则 h (x) = g (x) - g (t) .
è t +1
因为 h (x) = g (x) < 0 ，所以 h (x)在 (-1, + )单调递减，而 h (t) = 0 ，
所以 h (t) 在 (-1, t) 上为正，在 (t, + )为负，即 h(x) 在 (-1, t) 上单调递增，在 (t, + )单调递减，
因此 h(x) h(t) = g(t) - 0
1
= 0 ，即 g x - t +1 et-1

÷ x - t ，
è t +1
即 g(x)的图象恒在其图象上的点 (t , 0) 处的切线的下方(当且仅当 x = t 时重合) .
同理可证(将 t视为 0 即可)， g x 1 1- ÷ x
è e
设直线 y = m(m > 0) 与两切线 l0 , l1交点的横坐标分别为 X 0 , X t ，
X me0 = , X
m
= + t
则易得 e -1 t 1 t-1 且 X- t +1 e 0 < x1 < x2 < X t ，
t +1
t 1 ,1 1 t-1 3 2 3 3因为

2 ÷
，故 - t +1 e - , - ÷ t +1 2 3 2 e
- ,0÷，
è è è 2
X m m 2mt = 1 + t < 3 + t <1-所以 - t +1 et-1 - 3 ，
t +1 2
2m me 5e - 2 m
因此 x2 - x1 < X t - X 0 <1- - =1- .3 e -1 3e - 3
【变式 1-1】定义：若 h (x)是 h(x) 的导数，h (x)是 h (x)的导数，则曲线 y = h(x)在点 (x, h(x))处的曲率
h (x)
K = 3
2 ；已知函数 f (x) = e
x sin π + x ÷ ， g(x) = x + (2a -1)cos x,

a
1
<
÷，曲线
y = g(x) 在点
1+ h (x) 2 è 2 è 2
(0, g(0)) 2处的曲率为 ；
4
(1)求实数 a 的值；
é π ù
(2)对任意 x ê- ,0ú , mf (x) g (x)恒成立，求实数 m 的取值范围； 2
(3)设方程 f (x) = g (x) 在区间 2nπ
π
+ , 2nπ π+ *÷ n N 内的根为 x1, x2 , , xn，…比较 xn+1与 xn + 2π 的大小，
è 3 2
并证明．
【解析】（1）由已知 g (x) = - 2a -1 sin x +1, g (x) = - 2a -1 cos x，
2a -1 2
所以 3 = 4 ，解得 a = 0（ a =1舍去）， 1+12 2
所以 a = 0；
π
（2 x x）由（1）得 g(x) = x - cos x， f (x) = e sin + x ÷ = e cos x，
è 2
则 g x =1+ sin x，
é π ù
对任意的 x xê- ,0ú，mf x - g x 0，即2 me cos x - sin x -1 0恒成立，
p
令 x = - ，则m ×0 +1-1 = 0 0，不等式恒成立，
2
x π当
ù sin x +1
- ,0ú 时， cos x > 0，原不等式化为m ，è 2 ex cos x
h x sin x +1令 = x , x
π
- ,0
ù
ú ，e cos x è 2
cos x e
x cos x - ex cos x - sin x sin x +1
则 h x

=
2ex cos x
1- sin x cos x - cos x + sin x 1- cos x 1+ sin x
= x 2 = x 2 0，e cos x e cos x
所以 h x π在区间 - ,0
ù
ú单调递增，所以 h x = h 0 =1è 2 max ，
所以m 1，
综上所述，实数 m 的取值范围为 1, + ；
（3） xn+1 > xn + 2p，证明如下：
由已知方程 f x = g x 可化为 ex cos x - sin x -1 = 0，
令j x = ex cos x - sin x -1，则j x = ex cos x - sin x - cos x ，

因为 x 2nπ
π
+ , 2nπ π+ ÷，所以 cos x < sin x, cos x > 0，
è 3 2
所以j x < 0，所以j x 在区间 2nπ
π π
+ , 2nπ + ÷ n N* 上单调递减，
è 3 2
2nπ π+ 2nπ π+
故j 2nπ
π e 3 cos 2nπ π sin 2nπ π 1 3+ ÷ = + - +

÷ ÷ -1 = e 3 - -1
è 3 è 3 è 3 2 2
1 2π π+ 3 1 3
e 3 - -1 > 22 3+1 - -1 > 0，
2 2 2 2
j 2nπ
π
+ = -2 < 0，
è 2 ÷
x 2nπ π所以存在唯一 0 + , 2nπ
π
+
3 2 ÷
，使得j x0 = 0，
è
x 又 n 2nπ
π
+ , 2nπ π+ x - 2π ÷， n+1 2nπ
π
+ , 2nπ π+ ，
è 3 2 è 3 2 ÷
则j xn+1 - 2π = exn+1 -2π cos xn+1 - 2π - sin xn+1 - 2π -1
= exn+1 -2π cos xn+1 - sin xn+1 -1
= exn+1 -2π cos x - exn+1n+1 cos xn+1
= exn+1 -2π - exn+1 cos xn+1 < 0 = j xn
由j x 单调递减可得 xn+1 - 2p > xn ，
所以 xn+1 > xn + 2p .
【变式 1-2】（2024·湖北黄冈·二模）第二十五届中国国际高新技术成果交易会（简称“高交会”）在深圳
闭幕.会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服.现
代产品外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线C : y = f x 上
的曲线段 AB ，其弧长为Ds，当动点从A 沿曲线段 AB 运动到 B 点时，A 点的切线 lA 也随着转动到 B 点的
切线 lB ，记这两条切线之间的夹角为Dq （它等于 lB 的倾斜角与 lA 的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，
Δq
夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义K = 为
Δs
曲线段 AB 的平均曲率；显然当 B 越接近A ，即Ds越小， K 就越能精确刻画曲线C 在点A 处的弯曲程度，
K lim Δq
y
= =
因此定义 Δ 0 Δs 3 （若极限存在）为曲线C 在点A 处的曲率.（其中 y ， y 分别表示 1+ y 2 2
y = f x 在点A 处的一阶 二阶导数）
(1)已知抛物线 x2 = 2 py( p > 0) 的焦点到准线的距离为 3，则在该抛物线上点 3, y 处的曲率是多少？
x - x
(2)若函数 g x 1 1
e + e
= x - ，不等式 g ÷ g 2 - coswx 对于 x R 恒成立，求w的取值范围；2 +1 2 è 2
(3) A f x = 2x2若动点 的切线沿曲线 -8运动至点B xn , f xn 处的切线，点 B 的切线与 x 轴的交点为
x ,0 n N*n+1 .若 x1 = 4，bn = xn - 2，Tn 是数列 bn 的前n项和，证明Tn < 3 .
【解析】（1）Q抛物线 x2 = 2 py( p > 0) 的焦点到准线的距离为 3，\ p = 3，
1 2 1 1
即抛物线方程为 x2 = 6y ，即 f x = y = x ，则 f x = x ， f x = ，
6 3 3
1 1
3 3 2
又抛物线在点 3, y K = = =处的曲率，则 3 ，
1 1+ ×32
2 2 2 12
÷
è 9
2
即在该抛物线上点 3, y 处的曲率为 ；
12
x
2 Q g x 1 1 2 1 1 1（ ） - = - x - = x - = - = -g x ，2 +1 2 2 +1 2 2 2x +1
\ g x 在R 上为奇函数，又 g x 在R 上为减函数.
x
g e + e
- x x - x
\ ÷ g 2 - coswx 对于 x R e + e恒成立等价于 coswx 2 - 对于 x R 恒成立.
è 2 2
又因为两个函数都是偶函数，
p x = coswx q x 2 e
x + e- x
记 ， = - ，则曲线 p x 恒在曲线 q x 上方，
2
x
p x = -wsinwx q x e - e
- x
， = - ，又因为 p 0 = q 0 =1，
2
p 0 q 0
所以在 x = 0处三角函数 p x 的曲率不大于曲线 q x 的曲率，即 3 3 ，
é 1+ p
2 0 ù 2 é 1+ q
2 0 2 ù
x - x
又因为 p x = -w2coswx q x e + e， = - ，
2
p 0 = -w2， q 0 = -1，所以w 2 1，解得：-1 w 1，
因此，w的取值范围为 -1,1 ；
（3）由题可得 f x = 4x，
所以曲线 y = f x 在点 xn , f xn 处的切线方程是 y - f xn = f xn x - xn ，
y - 2x 2即 n -8 = 4xn x - xn ，
令 y = 0 ，得- x 2n - 4 = 2xn x 2n+1 - xn ，即 xn + 4 = 2xn xn+1，
显然 xn 0 ，\ x
x 2
n+1 =
n +
2 x ，n
x xn 2= + xn 2 xn + 2
2 x - 2 2
由 n+1 2 x ，知 xn+1 + 2

= + + 2 = ，同理 x - 2 = n ，
n 2 x n+1n 2xn 2xn
2
xn+1 + 2 xn + 2 x= n+1
+ 2 xn + 2
故 ÷ ，从而 lg = 2lg ，xn+1 - 2 è xn - 2 xn+1 - 2 xn - 2
设 lg
xn + 2 = an ，即 ax - 2 n+1
= 2an，所以数列 an 是等比数列，
n
a n-1 n-1 x1 + 2 n-1 xn + 2 n-1 xn + 2 2
n-1
故 n = 2 a1 = 2 lg = 2 lg3，即 lg = 2 lg3，从而 = 3x1 - 2 xn - 2 xn - 2
，
2 2n-13 +1 b x 2 4所以 x = ，\n n = n - = 2n-1 > 0，2n-13 -1 3 -1
n-1
bn+1 3
2 -1 1 1 1 1
= n =b 2 2n-1
<
2n-1

21-1
= ，
n 3 -1 3 +1 3 3 3
当 n =1时，显然T1 = b1 = 2 < 3；
1 2 n-1
当 n >1时，bn < b <
1 b < 1
3 n-1 3 ÷ n-2 ÷
b1，
è è 3
é n
b 1- 1
ù
T b 1 1
n-1 1 ê ÷ ú n
\ n = 1 + b2 +L+ bn < b1 + b1 +L+
è 3
3 3 ÷
b ê ú 1 1
è = 1 = 3 - 3 × ÷ < 3
，
1- è 3
3
综上，Tn < 3 n N* .
题型二：曼哈顿距离与折线距离
【典例 2-1】（2024·甘肃兰州·一模）定义：如果在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为 x1, y1 ，
x2, y 2 ，那么称d (A, B) = x1 - x2 + y1 - y2 为 A，B 两点间的曼哈顿距离．
(1)已知点 N1， N2 分别在直线 x - 2y = 0， 2x - y = 0上，点M 0,2 与点 N1， N2 的曼哈顿距离分别为
d M , N1 ， d M , N2 ，求 d M , N1 和 d M , N2 的最小值；
(2) 2已知点 N 是直线 x + k y + 2k +1 = 0 k > 0 上的动点，点M 0,2 与点 N 的曼哈顿距离 d M , N 的最小值
记为 f k ，求 f k 的最大值；
(3)已知点M ek , kek ，点 N (m,n) （k，m， n R ，e 是自然对数的底），当 k 1时， d M , N 的最大值为
f m, n ，求 f m, n 的最小值．
ì 3
- x + 2, x < 0
2
【解析】（1） d M , N1 = x + y - 2 = x
1
+ x 2 1- = í x + 2,0 x < 4，2 2
3
x - 2, x 4 2
则 d M , N1 2，即 d M , N1 的最小值为 2；
ì2 - 3x, x < 0
d M , N2 = x + y - 2 = x + 2x - 2 =

í2 - x,0 x <1，

3x - 2, x 1
则 d M , N2 1，即 d M , N2 的最小值为1.
（2）当 k 2 1时， d M , N = x + y - 2 ，
点 x, y 2为直线 x + k y + 2k +1 = 0 k > 0 上一动点，
则当 k 2 1时 d M , N x x 2 1= + + + + 2 x x 2 1 + + + + 2 2 1 + + 2 ，k 2 k k 2 k 2 k 2 k k 2 k k 2
f k 2 1即 = + + 2 ；
k k 2
2 x 2 1当 k < 1时， d M , N = x + 2 + + + 2 x + x + 2k +1+ 2k 2 2k 2 + 2k +1 ，k k k 2
f k = 2k 2即 + 2k +1 ；
ì 2 1
+ + 2 , k 1
所以 f k = í k k
2 2 1
，又当 k 1时， + + 2 5，
k k
2
2k
2 + 2k +1 ,0 < k <1
当0 < k <1时， 2k 2 + 2k +1 < 5，
所以 f k 的最大值为5 .
（3）令 x = ek ，则 kek = x ln x ， 0 < x e ，
d M , N = ek - m + kek - n = max x + x ln x - m - n , x - x ln x - m + n ，
令 g x = x + x ln x,0 < x e，则 g x = 2 + ln x > 0 e-2在区间 , eù 内成立，
g x e-2 1 -2则 在区间 , eù 内单调递增，则- 2 = g e g x g e = 2e，e
令 h x = x - x ln x,0 < x e ，则 h x = - ln x < 0 在区间 1,e 内成立，
则 h x 在区间 1,e 内单调递减，则0 = h e h x g 1 =1，
f m,n max ì 1所以 = í - 2 - m - n , 2e - m - n ,
ü
-m + n , 1- m + n
e
，

ì
2e - 1
ü
-
f m,n max
e2 ֏ 1- 0 1
所以 í ,2 2
= e + ，
2e
2

m n e 1 1 1当 + = - 且-
2e2 2e2
< n < e - 时，取最小值，
2
f m, n 1的最小值 e +
2e2
【典例 2-2】（2024·高三·广西防城港·阶段练习）若设M a,n = ax -1 + ax - 2 + ×××+ ax - n 为曼哈顿扩张距
离，它由n个绝对值之和组成，其中n为正整数.如：
M 2,6 = 2x -1 + 2x - 2 + 2x - 3 + 2x - 4 + 2x - 5 + 2x - 6
(1)若M 1,2 5，求 x 的取值范围；
(2)若M 3,2 m 对一切实数 x 恒成立，设 a > 0，b > 0，且 a2 + b2 = m +1，求 2a + b 的最大值.
【解析】（1）依题意，M 1,2 = x -1 + x - 2 5，
当 x <1时，1- x + 2 - x 5，解得 x -1，于是-1 x<1，
当1 x 2时， x -1+ 2 - x =1 5，于是1 x 2，
当 x > 2时， x -1+ x - 2 5，解得 x 4，于是 2 < x 4 ，
所以 x 的取值范围是 x | -1 x 4 .
（2）M 3,2 = 3x -1 + 3x - 2 m对一切实数 x 恒成立，
而 3x -1 + 3x - 2 3x -1- 3x + 2 =1，当且仅当 (3x -1)(3x - 2) 0
1 2
，即 x 时取等号，
3 3
则m 1 2 2 2 2 2 ，因此 a2 + b2 2 ，当且仅当m =1时取等号，根据柯西不等式得 a + b 2 +1 2a + b ，
2a + b 2 10 0 2a b 10 a 2b 2 10则 ，解得 < + ，当且仅当 = = 时等号成立，
5
m 1,a 2b 2 10所以当 = = = 时， 2a + b 取得最大值 10 .
5
【变式 2-1】（2024·高三·北京·期中）“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在 19 世纪由赫尔曼·闵可夫斯基
提出来的．如图是抽象的城市路网，其中线段 AB 是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，
我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用 d A, B 表示，又称
“曼哈顿距离”，即 d A, B = AC + CB ，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，则
d A, B = x2 - x1 + y2 - y1
(1)①点 A 3,5 ，B 2, -1 ，求 d A, B 的值．
②求圆心在原点，半径为 1 的“曼哈顿单位圆”方程．
(2)已知点B 1,0 ，直线 2x - y + 2 = 0，求 B 点到直线的“曼哈顿距离”最小值；
(3)设三维空间 4 个点为 Ai = xi , yi , zi ， i =1,2,3,4，且 xi ， yi ， zi 0,1 ．设其中所有两点“曼哈顿距离”的
平均值即 d ，求 d 最大值，并列举最值成立时的一组坐标．
【解析】（1）① d A, B = 3- 2 + 5 +1 = 7；
②设“曼哈顿单位圆”上点的坐标为 x, y ，则 x - 0 + y - 0 =1，即 x + y =1 .
（2）设直线 2x - y + 2 = 0上任意一点坐标为C x1, 2x1 + 2 ，则 d C, B = x1 -1 + 2x1 + 2 ，
当 x1 < -1时， d C, B = -3x1 -1，此时 d C, B > 2 ；
当-1 x1 1时， d C, B = x1 + 3，此时 d C, B 2；
当 x1 >1时， d C, B = 3x1 +1，此时 d C, B > 4 ，
综上所述， d C, B 的最小值为 2.
（3）
如图， A B C D - E F G H 为正方体，边长为 1，则 Ai 对应正方体的八个顶点，
当四个点在同一个面上时，
d 1+ 2 +1+1+ 2 +1 4（i）例如： A , B ,C , D ，此时 = = ；
6 3
d 2 + 3 +1+1+ 3 + 2（ii）例如： A , E ,G ,C ，此时 = = 2；6
当四个点不在同一个平面时，
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2
（iii）例如： A ,C , H , D ，此时 d = = 2；6
2 + 2 +1+1+1+ 2 5
（iiii）例如： A , B , E , D ，此时 d = = ；6 3
d 1+1+ 2 + 2 + 3 +1 5（iiiii）例如： A , B , E , H ，此时 = = ；6 3
1+ 2 + 2 + 3+1+ 2 11
（iiiiii）例如： A , B , E ,G ，此时 d = = ；6 6
综上所述， d 的最大值为 2，例如： A1 0,0,0 ， A2 1,0,1 ， A3 1,1,0 ， A4 0,1,1 .
题型三：双曲正余弦函数问题
x - x
【典例 3-1】（2024·高三·江苏苏州· e + e开学考试）定义：双曲余弦函数 cosh x = ，双曲正弦函数
2
x - x
sinh x e - e= ．
2
(1)求函数 y = cosh 2x + sinh x 的最小值；
(2)若函数 f x = log9 é cosh 2x - a sinh x ù 在R 上的最小值为 -1，求正实数 a的值；
sinh x 1
(3)求证：对任意实数 k ，关于 x 的方程 = kx +cosh x 2 总有实根．
2x -2x x
1 y cosh 2x sinh x e + e e - e
- x
【解析】（ ）依题意有 = + = +
2 2
1 2
= ex 1- e- x + ex - e- x +1，2 2
1 1 1 1 2
令 t = ex - e- x ，则 y = t 2 + t +1
7
=
2 2 2
t + ÷ + .
è 2 8
因为 t = ex - e- x 在 R 上单调递增，
当 x 趋近于- 时， t趋近于- ，当 x 趋近于+ 时， t趋近于+ ，
所以 t R ，所以当 t
1
= - ex -1+ 17时，即 = 时，
2 4
函数 y = cosh 2x + sinh x 7有最小值 ．
8
（2）函数 f x = log9 é cosh 2x - a sinh x ù 在R 上的最小值为 -1，
即函数 y = cosh 2x - a sinh x 1有最小值 ．
9
e2x + e-2x a ex - e- x 因为 y = cosh 2x - a sinh x = -
2 2
1 2 a
= ex - e- x -2 2 e
x - e- x +1
x - x y 1 a 1 a
2 a2
令 t = e - e ，则 = t 2 - t +1 = t - - +1，
2 2 2 è 2 ÷ 8
1 a2 1 8
因为最小值为 ，所以- +1 = ，解得 a = ± ，
9 8 9 3
a 8所以正实数 的值为 ．
3
sinh x
（3）证明：令 p x = cosh x ，定义域为R ，
x
p x e - e
- x e2x -1 2
则 =
ex - x
= 2x =1- 2x ，+ e e +1 e +1
-2x -2x
又 p -x e -1 1- e= -2x = -2x = - p x ，所以（p x）是奇函数，e +1 1+e
因为 y = e2x 是R 上的增函数，
所以 p x =1 2- 2x 在R 上单调递增，且当 x 趋近于+ 时， p x 趋近于 1，e +1
所以函数（p x）在R 上的值域为（-1,1），
1 1
直线 y = kx + 过定点（0, ），
2 2
1
如图所示：无论 k 取任何实数，直线 y = kx + 与函数 p x 的图象都有交点，
2
sinh x 1
即对任意实数 k ，关于 x 的方程 = kx +cosh x 2 总有实根．
【典例 3-2】（2024·高三·福建宁德·期末）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链
x x
-
线.1691 c c年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程 y c(e + e )= ，其中 c为参数.当 c =1时，就是双曲余弦函数
2
x - x x - x
cosh x e + e e - e= ，类似地我们可以定义双曲正弦函数 sinh x = .它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
2 2
(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论: sinh 2x = _____________.（只写出
即可，不要求证明）；
(2)"x [-1,1]，不等式 cosh 2x + mcosh x 0 恒成立，求实数m 的取值范围；
π 3π
(3)若 x [ , ]，试比较 cosh(sin x)与 sinh(cos x)的大小关系，并证明你的结论.
4 2
e2x - e-2x (ex - e- x )(ex - x
【解析】（1） sinh 2x + e )= = = 2sinh x cosh x .
2 2
e2x + e-2x ex + e- x
（2）依题意，"x [-1,1]，不等式 cosh 2x + mcosh x 0 + m × 0 ，
2 2
函数u = ex 在[-1,1]上单调递增，u [e-1
1
,e] x - x，令 t = e + e = u + ，
u
显然函数 t = u
1
+ 在[e-1,1]上单调递减，在[1,e]上单调递增， t [2,e-1 + e]，
u
2
又 e2x + e-2x = (ex + e- x )2 - 2 = t 2 - 2，于是"x [-1,1]， cosh 2x mcosh x 0 t - 2 mt+ + 0，
2 2
因此"t [2,e-1 + e]，m
2 2
- t，显然函数 y = - t 在[2,e-1 + e]上单调递减，
t t
当 t = 2时， ymax = -1，从而m -1，
所以实数m 的取值范围是m -1 .
π 3π
（3）"x [ , ]， cosh(sin x) > sinh(cos x) .
4 2
π 3π esin x + e-sin x ecos x - e-cos x
依题意， x [ , ]， cosh(sin x) - sinh(cos x) = -
4 2 2 2
1
= (esin x - ecos x + e-sin x + e-cos x )，
2
x [π , 5π当 ]时， x
π
- [0, π]， sin x - cos x = 2 sin(x
π
- ) 0，即 sin x cos x，
4 4 4 4
于是 esin x - ecos x 0，而 e-sin x + e-cos x > 0，因此 cosh(sin x) - sinh(cos x) > 0，
x (5π , 3π当 ]时， cos x 0，则-cos x cos x， ecos x4 2 e
-cos x ，
即 ecos x - e-cos x 0，而 esin x + e-sin x > 0，因此 cosh(sin x) - sinh(cos x) > 0，
于是"x [
π , 3π]， cosh(sin x) - sinh(cos x) > 0，所以 cosh(sin x) > sinh(cos x) .
4 2
【变式 3-1】（2024·上海宝山·模拟预测）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函
ex - e- x x - x
数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦： sinh x = ，双曲余弦函数： cosh x e + e= ，
2 2
（ e是自然对数的底数）.
（1）解方程： cosh x = 2；
（2）写出双曲正弦与两角和的正弦公式类似的展开式： sinh x + y = ________，并证明；
5
（3）无穷数列 an ， a1 = a 2， an+1 = 2an -1，是否存在实数 a，使得 a2021 = ？若存在，求出 a的值，若不4
存在，说明理由.
2
【解析】（1）由题意得： ex + e- x = 4 ，即 ex - 4ex +1 = 0，解得： x = ln 2 ± 3 ；
（2） sinh x + y = sinh x cosh y + cosh x sinh y
ex+ y - e- x- y
左边= sinh x + y = ，
2
ex - e- x e y + e- y ex + e- x y - y
右边= sinh x cosh y cosh x sinh y e - e+ = +
2 2 2 2
ex+ y + ex- y - e y-x - e- x- y ex+ y + e y-x - ex- y - e- x- y ex+ y - e- x- y
= + = ，
4 4 2
∴左边等于右边，即 sinh x + y = sinh x cosh y + cosh x sinh y 成立
（3）当 a1 = a -1,1 时，存在q 0,p ，使得 cosq = a，
n-1
由数学归纳法证明： an = cos 2 q ，证明如下：
ⅰ）当 n =1时， a1 = a = cos 21-1q = cosq 成立，
ⅱ k -1）假设 n = k 时， ak = cos 2 q ，则 ak +1 = 2a2k -1 = 2cos2 2k -1q -1 = cos 2 2k -1q = cos 2kq 成立.
n-1
综上： an = cos 2 q .
∴ a1 = a -1,1 ，有 an -1,1
5
，即 a2021 .4
x - x
当 a1 = a - ,-1 1,+ 时，由 a >1 cosh x e + e1 ，函数 = 的值域为 1, + ，对于任意大于 1 的实2
数 a1 ，存在不为 0 的实数m ，使得 cosh m = a1 ，类比余弦二倍角公式，猜测 cosh 2x = 2cosh
2 x -1.
证明如下：
ex + e- x
2
e2x + 2 + e-2x 2x -2x2cosh2 x 1 2 1 1 e + e- = ÷ - = - = = cosh 2x .
è 2 2 2
类比 a1 -1,1 2时的数学归纳法，由 a1 = cosh m ，易证 a2 = 2cosh m -1 = cosh 2m ，
a 23 = cosh 2 m ，…， an = cosh 2n-1m ，…，
t -t
a = cosh 22020∴若 2021 m 5= ，设 t = 22020 m，则 cosh t e + e 5 t 1= = ，解得：4 e = 2或 2 ，即 t = ± ln 2，2 4
ln 2 em + e-m 1 1 1-
∴m = ± ，于是 a = cosh m = = 22020 + 2 2020 .22020 1 2 2 ÷è
1 1 1-
综上：存在实数 a = ± 22020 + 2 2020
5
÷ 使得 a2 2021
= 成立.
è 4
题型四：凹凸函数
【典例 4-1】（2024·江苏苏州·模拟预测）定义：函数 f x 的导函数为 f x ，我们称函数 f x 的导函
数f (x ) x 2 x为函数 f x 的二阶导函数.已知 p x = e x + 3 ， q x = e + ax + 2 .
（1）求函数 p x 的二阶导函数；
（2）已知定义在 R 上的函数 g x 满足：对任意 R ， g x > 0恒成立. P 为曲线 y = g x 上的任意一点.求证：
除点 P 外，曲线 y = g x 上每一点都在点 P 处切线的上方；
（3）试给出一个实数 a的值，使得曲线 y = p x 与曲线 y = q x 有且仅有一条公切线，并证明你的结论.
x 2
【解析】（1）∵ p x = e x + 3 ∴ p x = ex x2， + 2x + 3 ，
∴ p x = ex x2 + 4x + 5 .
（2）设P x0 , g x0 ，则曲线 y = g x 在点 P 处的切线方程为 y = g x0 x - x0 + g x0 ，
设G x = g x - ég x0 x - x0 + g x0 ù ，则G x = g x - g x0 ，G x = g x > 0，
∴ G x 在 - ,+ 上递增，又G x0 = g x0 - g x0 = 0，
∴ 当 x < x0 时，G x < 0 x > x G ：当 0时， x > 0，
∴ G x 在 - , x0 递减，在 x0 , + 递增，
∴ "x R ， x x0，G x > G x0 = 0，
∴ g x > g x0 x - x0 + g x0 ，
∴除点 P 外，曲线 y = g x 上每一点都在点 P 处切线的上方.
（3）给出 a = 2，此时 q x = ex + 2x + 2，
∵ p x = ex x2 + 2x + 3 ，∴ p 0 = 3，又 p 0 = 3，
∴曲线 y = p x 在 x = 0如的切线为 y = 3x + 3，
∵ q x = ex + 2，∴ q 0 = 3，又 q 0 = 3，
∴曲线 y = q x 在 x = 0处的切线为 y = 3x + 3，
∴两曲线有一条公切线 y = 3x + 3 .
下面证明它们只有这一条公切线.
①先证明"x R ， p x q x ，当且仅当 x = 0时取等号.
设 h x = p x - q x ，则 h x = p x - q x ，
∴ h x = ex x + 2 2 0，当且仅当 x = -2时取等号，
∴ h x 在 - ,+ 上递增，又 h 0 = p 0 - q 0 = 0，
∴当 x < 0 时， h x < 0；当 x > 0时， h x > 0，
∴ h x 在 - ,0 递减，在 0, + 递增.
∴ "x R ， h x h 0 = 0，当且仅当 x = 0时取等号，
∴ "x R ， p x q x ，当且仅当 x = 0时取等号；
②再证明它们没有其它公切线.
若它们还有一条公切线 y = t x ，它与曲线 y = p x 切于点 x1, p x1 ，
与曲线 y = q x 切于点 x2 ,q x2 ，显然 x1 x2 ， p x1 = t x1 ， q x2 = t x2 .
∵ q x = ex > 0，由（2）知"x R ， q x t x ，当且仅当 x = x2时取等号，
∵ x1 x2 ∴ q x1 > t x1 = p x1 ，
又由①与 p x1 q x1 矛盾，故它们只有这一条公切线.
综上，当 a = 2时，曲线 y = p x 与曲线 y = q x 有且仅有一条公切线.．
【典例 4-2】记 f x = f x ， f x 为 f x 的导函数．若对"x D， f x > 0，则称函数 y = f x 为
1
D “ ” f x = ex - x3上的 凸函数 ．已知函数 - ax2 -1， a R ．
3
（1）若函数 f x 为R 上的凸函数，求 a的取值范围；
（2）若函数 y = f x - x 在 1,+ 上有极值，求 a的取值范围．
【解析】（1）Q f x = ex - x2 - 2ax ，
若函数 f x x为R 上的凸函数，则 f x = e - 2x - 2a > 0，即 2a < ex - 2x，
令 y = ex - 2x ， y = ex - 2，则当 x = ln 2时， y = 0，
\当 x - , ln 2 时， y < 0；当 x ln 2, + 时， y > 0；
\当 x - , ln 2 时， y = ex - 2x 单调递减；当 x ln 2,+ 时， y = ex - 2x 单调递增，
\ y ln 2min = e - 2ln 2 = 2 - 2ln 2，\2a < 2 - 2ln 2，解得： a <1- ln 2，
\a 的取值范围为 - ,1- ln 2 .
（2）Q y = f x - x = ex 1- x3 - ax2 - x -1，\ y = ex - x2 - 2ax -1，
3
Q y = f x - x在 1,+ 上有极值，\ g x = ex - x2 - 2ax -1在 1,+ 有变号零点，
g x = ex - 2x - 2a，令m x = ex - 2x - 2a ，则m x = ex - 2，
Q x >1，\m x > 0，\m x 在 1,+ 上单调递增，
\ g x = m x > m 1 = e - 2 - 2a ；
e - 2
①当 e - 2a - 2 0，即 a > 时， g x 0，\ g x 在 1,+ 上单调递增，
2
\ g x > g 1 = e - 2 - 2a 0．即 g x > 0，
\ g x = ex - x2 - 2ax -1在 1,+ 无零点，不合题意；
a e - 2②当 e - 2a - 2 < 0，即 > 时，则$x0 1, + ，使得m x = 0，2 0
当 x 1, x0 时，，m x < m x0 = 0，\ g x 单调递减，
又 g 1 = e - 2 - 2a < 0，当 x 1, x0 时， g x < 0，\ g x 在 x 1, x0 上无零点；
当 x x0 , + 时，m x > m x0 = 0，\ g x 单调递增，
又 x + 时， g x + ，
\ g x 在 x 1, + 上有零点，且在零点左右两侧 g x 符号相反，即该零点为 g x 的变号零点，
\ y = f x - x在 1,+ 上有极值；
e - 2
综上所述： a的取值范围为 ,+ ÷ .
è 2
【变式 4-1】设 g x 为 g x 的导函数，若 g x 是定义域为 D 的增函数，则称 g x 为 D 上的“凹函数”，
已知函数 f x = xex + ax2 + a 为 R 上的凹函数．
(1)求 a 的取值范围；
h x ex 1(2)设函数 = - x2 - x -1，证明：当 x > 0时， h x > 0 ，当 x < 0 时， h x < 0．
2
(3)证明： f x 1> x3 45+ x2 + x 1+ ．
2 44 44
x
【解析】（1）解 f x = x +1 e + 2ax ，设 f x 为 f x 的导函数，
则 f x = x + 2 ex + 2a．
设m x = f x ，则m x = x + 3 ex ．
当 x < -3时，m x < 0 ；当 x > -3 时，m x > 0．
所以m x 在 - , -3 上是减函数，在 -3, + 上增函数．
所以m x 1= - + 2amin e3 ．
1
因为 f x 为 R 上的凹函数，所以- 3 + 2a 0 ，e
1 é 1
解得 a 3 ，故 a 的取值范围是 ê , + 2e 2e3 ÷
．

（2）证明 h x = ex - x -1， h x ''的导函数 h x = ex -1．
若 x > 0，则 h x > 0 ，若 x < 0 ，则 h x < 0，
所以 h x 在 - ,0 上单调递减，在 0, + 上单调递增，
所以 h x 的最小值为 h 0 = 0，则h x 0， h x 为增函数．
又 h 0 = 0，所以当 x > 0时， h x > 0 ，当 x < 0 时， h x < 0．
1
（3）证明：由（2）知 xh x = xex - x3 - x2 - x 0，
2
xex 1即 x3 + x2 + x，
2
f x = xex + ax2 1+ a x3所以 + a +1 x2 + x + a．
2
由（1）知， a
1
3 ，因为 2.7 < e < 2.8，2e
a 1 1 1所以 > = > ，
2 2.83 43.904 44
1
所以 x3 a 1 1 1+ +1 x2 + x + a > x3 + +1

÷ x
2 + x + ，
2 2 è 44 44
f x 1 x3 45故 > + x2 1+ x + ．
2 44 44
【变式 4-2】（2024·上海普陀·一模）若函数 y = f x x D 同时满足下列两个条件，则称 y = f x 在
D上具有性质M ．
① y = f x 在 D上的导数 f x 存在；
② y = f x 在 D上的导数 f x 存在，且 f x > 0（其中 f x = é f x ù ）恒成立．
1
(1)判断函数 y = lg 在区间 0, + 上是否具有性质M ？并说明理由．
x
(2)设 a b 3 2
b
、 均为实常数，若奇函数 g x = 2x + ax + 在 x =1处取得极值，是否存在实数 c，使得
x
y = g x 在区间 c,+ 上具有性质M ？若存在，求出 c的取值范围；若不存在，请说明理由．
1+ ln x +1
(3)设 k Z k且 k > 0，对于任意的 x 0, + ，不等式 > 成立，求 k 的最大值．
x x +1
1
【解析】（1）令 y = f x = lg ， x 0, + ，
x
f x 1 1= 1
则 1 × -è x2 ÷
= -
x ln10 ， x 0, + ln10 ，
x

f x 1 1= - x ln10 ÷ =
， x 0, + ，
è x2 ln10
当 x 0, + 时， f x 1= 2 > 0恒成立，x ln10
∴函数 y = lg
1
在区间 0, + 上具有性质M ；
x
（2）∵ g x = 2x3 + ax2 b+ ，
x
∴ g x = 6x2 b+ 2ax -
x2
，
∵ g x 在 x =1处取得极值，且 g x 为奇函数，
∴ g x 在 x=- 1处也取得极值，
ìg 1 = 6 + 2a - b = 0 ìa = 0
∴ í
g -1 = 6 - 2a - b = 0
，解得 í ，
b = 6
g x 2x3 6 6∴ = + g x = 6x2 - = 6x2 - 6x-2， 2 ，x x
当 x > 0时，令 g x > 0，解得 x >1；令 g x < 0，解得0 < x <1；
故 g x 在 0,1 单调递减，在 1, + 单调递增，满足 g x 在 x =1处取得极值，
g x 12x 12x-3 12x 12∴ = + = + 3 ，x
当 x 0, + g x 12x 12时， = + 3 > 0 恒成立，x
∴存在实数 c 0, + ，使 g x > 0在区间 c, + 上恒成立，
∴存在实数 c，使得 y = g x 在区间 c, + 上具有性质M ， c的取值范围是 0, + ；
（3）∵ x 0, + ，
1+ ln x +1 k x +1∴ > k < é1+ ln x +1 ù ，
x x +1 x
x +1 é1+ ln x +1 ù令F x = ，
x
x - ln x +1 -1则F x = 2 ，x
令G x = x - ln x +1 -1，
则G x 1 x=1- = ，
x +1 x +1
当 x 0, + 时，G x > 0，G x 在区间 0, + 上单调递增，
又∵ G 2 =1- ln 3 < 0，G 3 = 2 - ln 4 > 0，
∴存在 x0 2,3 ，使G x0 = x0 - ln x0 +1 -1 = 0，
∴当 x 0, x0 时，G x < 0，F x < 0，F x 在区间 0, x0 上单调递减，
当 x x0 ,+ 时，G x > 0，F x > 0，F x 在区间 x0 ,+ 上单调递增，
∴当 x 0, + 时，F x
x +1 é1+ ln x +1 ù
的最小值为F x0 = 0 0 ，x0
由G x0 = x0 - ln x0 +1 -1 = 0，有 ln x0 +1 = x0 -1，
x0 +1 é1+ x0 -1 ù∴ F x0 = = x0 +1，x0
∵ x0 2,3 ，∴ F x0 3,4 ，
x +1 é 1+ ln x +1 ù又∵ k < = F x 恒成立，
x
∴ k < F x0 ，
∵ k Z 且 k > 0，
∴ k 的最大值为3 .
题型五：二元函数问题
【典例 5-1】（2024·高三·湖南·阶段练习）设A 是有序实数对构成的非空集， B 是实数集，如果对于集合A
中的任意一个有序实数对 x, y ，按照某种确定的关系 f ，在 B 中都有唯一确定的数 z 和它对应，那么就称
f : A B为从集合A 到集合 B 的一个二元函数，记作 z = f x, y , x, y A，其中A 称为二元函数 f 的定
义域.
r r r r r r(1)已知 f x, y = x2 + y2 ,a = x1, y1 ,b = x2 , y2 ，若 f a =1, f b = 2, x1x2 + y1 y2 =1，求 f a + b ;
u x , y x, y D, D A,h 0 ar(2)非零向量 = 0 0 ，若对任意的 > ，记 = x, y ，都有 f a
r < f ar + hu ，则称 f
D u x+ y x- y在 上沿 方向单调递增.已知 f x, y = e + e , x R, y R .请问 f 在 x, y ∣x, y R 上沿向量 1,1 方向
单调递增吗？为什么？
(3)设二元函数 f 的定义域为 D，如果存在实数M 满足：
①" x, y D ，都有 f x, y M ，
②$ x0 , y0 D，使得 f x0 , y0 = M .
那么，我们称M 是二元函数 f 的最小值.求
f x, y = y + sin2x 1 + - y ÷cos2x, x, y
ì
í x, y∣ , x 1 R, y 2üy 的最大值. è 2
r r r
【解析】（1）由已知有 f ar r= a =1, f b b 2,ar= = ×b =1，
r r
则 f a + b r r r r r r= a + b = a2 + 2a ×b + b 2 = 7 ；
（2） x, y R,h > 0,a
r
= x, y ,u = 1,1 ，
\ar + hu = x + h, y + h , x + y + 2h > x + y ，
x+ y x- y
又Q f x, y = e + e ，
r
\ f a + hu - f ar = ex+h+ y+h + ex+h- y-h - ex+ y - ex- y = ex+ y+2h - ex+ y > 0，
故 f 在 x, y∣ x, y R 上沿向量 1,1 方向单调递增；
（3）由题意可类似的知道 f x, y 的最大值的含义，
f x, y y sin2x 1= + + - y

÷cos
2x
è y
1
= y2sin2x + 2ysinxcosx + cos2x 1= (ysinx + cosx)2y y
y2 +1 1
= sin2 x +j ，其中 tanj = y ，y
（或者直接使用柯西不等式，
(ysinx + cosx)2 y2 +1 sin2x + cos2x y sinx，当且仅当 = 时取等号.）
1 cosx
故 f x, y 1 y + ，当 x +j = kπ π+ ,k Zy 时取等号，（或当 tanx = y 时取等号），2
1
又 y 2
1
，根据对勾函数单调性易知当 y = 或 2 时，函数 f x, y 5取最大值为 .
2 2 2
【典例 5-2】（2024·江苏盐城·模拟预测）根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数 z = f (x, y)在约束
条件 g(x, y) 的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数 L(x, y,l) = f (x, y) + lg(x, y)，其中l 为拉格
朗日系数．分别对 L(x, y,l) 中的 x, y, λ部分求导，并使之为 0，得到三个方程组，如下：
ìLx (x, y,l) = fx (x, y) + lgx (x, y) = 0

íLy (x, y,l) = f y (x, y) + lg y (x, y) = 0，解此方程组，得出解 (x, y)，就是二元函数 z = f (x, y)在约束条件

Ll (x, y,l) = g(x, y) = 0
g(x, y) 的可能极值点． x, y 的值代入到 f (x, y)中即为极值．
补充说明：【例】求函数 f (x, y) = x2 + xy + y2关于变量 x 的导数．即：将变量 y 当做常数，即：
fx (x, y) = 2x + y ，下标加上 x ，代表对自变量 x 进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的 Lx , Ly , Ll 表示
分别对 x, y, λ进行求导．
(1)求函数 f (x, y) = x2 y2 + 2xy + xy2关于变量 y 的导数并求当 x =1处的导数值．
(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数 x, y 满足 g(x, y) = 4x2 + y2 + xy -1 = 0 ，求 f (x, y) = 2x + y 的最大值．
(3)①若 x, y, z为实数，且 x + y + z =1 2 2 2
1
，证明： x + y + z ．
3
1 1
②设 a > b > c > 0 2 2，求 2a + + -10ac + 25cab a(a b) 的最小值．-
【解析】（1）函数 f (x, y) = x2 y2 + 2xy + xy2，对变量 y 求导得： f y (x, y) = 2x
2 y + 2x + 2xy，
当 x =1时， f y (1, y) = 4y + 2 .
（2）令 L(x, y,l) = 2x + y + l(4x2 + y2 + xy -1) ，
ì ì
x 10 x 10 = - =
L (x, y,l) 2 8lx l y 0 10 10ì x = + + =

则 íLy (x, y,l) =1+ 2l y + lx 0
10= 10，解得 íy = - 或 íy = ，
5 5
Ll (x, y,l) = 4x
2 + y2 + xy -1 = 0
l
10 10
= l = -
5 5
f (x, y) g(x, y) = 0 ( 10 , 10 ) ( 10 , 10于是函数 在约束条件 的可能极值点是 - - ， )，
10 5 10 5
10
当 x = - , y 10 10 10 2 10= - 时，函数 f (x, y)的一个极值为函数 f (- , - ) = - ，
10 5 10 5 5
x 10 , y 10当 = = 时，函数 f (x, y) f ( 10 , 10 ) 2 10的一个极值为函数 = ，
10 5 10 5 5
4
方程 4x2 + y2 + xy -1 = 0视为关于 x 的方程： 4x2 + yx + y2 -1 = 0 D = y2，则 1 -16(y
2 -1) 0，解得 | y | ，
15
视为关于 y 的方程： y2
2
+ xy + 4x2 -1 = 0 2 2，则D2 = x - 4(4x -1) 0，解得 | x | ，15
2 10 2 10
因此函数 z = f (x, y)对应的图形是封闭的，而 > - ，
5 5
所以 f (x, y) 2 10的最大值为 .
5
（3）①由 x + y + z =1， x, y, z R
1 1
，设 x = + l1, y = + l , z
1
2 = - (l1 + l2 ),l1,l2 R ，3 3 3
则 x2 y2 z2 (
1 1 1 1 1
+ + = + l 21) + ( + l )
2 + [ - (l + l )]2 = + l 2 + l 2 + (l + l )2 ，
3 3 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3
当且仅当l1 = l2 = 0时取等号，
x2 1所以 + y2 + z2 .
3
1 1 (a - b) + b
②当 a > b > c > 0时， 2a2 + + -10ac + 25c2 = a2 + + (a - 5c)2ab a(a - b) ab(a - b)
a2 1 a2 1 4
ìa = 5c
+ + = a2 + 2 a2 4× = 4
b(a - b) b + a - b a22 a2 ，当且仅当( ) í
b = a - b时取等号，
2 a = 2
2 1 1
所以5c = 2b = a = 2 时， 2a + + -10ac + 25c
2
ab a(a b) 取得最小值 4.-
【变式 5-1】（2024·全国·模拟预测）已知变量 x，y，z，当 x，y 在某范围 D 内任取一组确定的值时，若变
量 z 按照一定的规律 f，总有唯一确定的 x，y 与之对应，则称变量 z 为变量 x，y 的二元函数，记作
z = f x, y ．已知二元函数 f x, y = 2x 1+ y 0 y ．
(1)若 xy > 0，求 f x, y × f 1 1 , ÷的最小值．
è x y
(2)对任意实数 x，不等式 f x,a + f x, 2a a 恒成立，求实数 a 的取值范围．
1
【解析】（1）依题意得 f x, y × f ,
1 2x 1 2= + × + y 2÷ = 2xy + + 5．
è x y è y
÷ ÷
è x xy
∵ xy > 0，∴ 2xy
2
+ + 5 2 2xy 2× + 5 = 9，
xy xy
2
当且仅当 2xy = ，即 xy = 1时 f x, y 1 1× f ,xy ÷取得最小值为 9．è x y
（2） f x,a + f x, 2a 1 1= 2x + + 2x + 2x 1 2x 1 1+ - + = ．
a 2a a ÷ ÷è è 2a 2a
∵ f x,a + f x, 2a a 恒成立，∴ a 1 ，
2a
a 1当 a < 0时， 恒成立．
2a
1 1 2
当 a > 0时， a 等价于0 < a ，解得
2a 0 < a
．
2a 2
2 ù
综上，实数 a 的取值范围是 - ,0 U 0, ú．
è 2
题型六：切线函数新定义
【典例 6-1】若两个函数 y = f x 与 y = g x 在 x = x0处有相同的切线，则称这两个函数相切，切点为
x0 , f x0 .
(1)判断函数 y = sin x 与 y = x 是否相切；
y 1 y = ax2 + bx a 0 t,1 y 1(2)设反比例函数 = x 与二次函数 相切，切点为 ÷ .求证：函数 =
2
x 与 y = ax + bx 恰è t
有两个公共点；
(3)若 0 < a < 1，指数函数 y = a x 与对数函数 y =loga x相切，求实数 a的值；
(4)设（3）的结果为 a0，求证：当0 < a < a x0 时，指数函数 y = a 与对数函数 y =loga x的图象有三个公共点.
【解析】（1）对于函数 y = sin x ，求导得 y = cos x，则 y x=0 =1，且 y x=0 = 0，
所以，曲线 y = sin x 在 x = 0处的切线方程为 y = x ，
因此，函数 y = sin x 与 y = x 相切.
1
（2 2）反比例函数 y = 与二次函数 y = ax + bx a 0 在 x = tx 处有相同的切线，
1 1
对函数 y = y = - 2x 求导得 2 ，对函数
y = ax + bx a 0 求导得 y = 2ax + b ，
x
ì1 = at 2 + bt t 2b
所以 í 1 ，可得3at
3 + 2bt 2 = 0，因为 t 0，则 t = - ，
- 2 = 2at + b
3a
t
1 2 2 2
代入 = at 2 + bt 3a 4b 2b 2b可得- = - = - ，所以，
t 27a
2 = 4b3，
2b 9a 3a 9a
1 2 2b
此时令 = ax + bx得 ax3 + bx2 -1 = 0，它的一个解为 x1 = t = - ，x 3a
2b 2 1 2b2
所以，方程 ax3 + bx2 -1 = 0可化为 x + ÷ ax + bx - ÷ = 0，
è 3a è 3 9a
2b b
解得 x2 = - ， x3 = ，3a 3a
t
所以，方程 ax3 + bx2 -1 = 0的三个解为 x1 = x2 = t ， x3 = - ，2
y 1即函数 = y = ax2 + bx a 0 t,1 t 2- , - .x 与函数 的两个公共点分别为 t ÷、 è è 2 t ÷
（3）设指数函数 y = a x 与对数函数 y =loga x在 x = x0处有相同的切线，
1
对函数 y = a x 求导得 y = a x ln a ，对函数 y =loga x求导得 y = ，x ln a
ìa x0 = log x
a 0
由题意可得 í x 1 ，令 a
x 10 ln a = = t
a ln a x ln a ，0 =
x0 ln a
0
ìa x0 = log x ìx t
a 0 0
= loga ÷
è ln a
方程组 ía x 1 等价于 ，0 ln a =
í
x
1
0 ln a
x0 = t ln a
因此即 log
t 1
a = ，
è ln a ÷ t ln a
1 1 1 t 1
而 = loga e = log t

a e ，所以 logt ln a t a ÷
= log e t ，
è ln a a
t 1 t
1
t
t
即 = e t ，得 ln a = 1 ，所以， 1 ①，则 1 e ，②
ln a e t a = ee
t x0 = =t ln a t 2
1 1 1
e t t t
t t2 ln e e1 1 ln
将①②代入 a x0 = log x 得 ee t ÷ ln x
2 2
= 0 t t ta 0 e =
÷
=
÷ ln a t
，化简得 t ，
è 1 1
e t e t
1
所以， t = ln e t - ln t 2 1= - ln t 2 ，
t
因为 0 < a < 1，则函数 y = a x 为严格减函数，则 t = a x0 ln a < 0 ，
t 1 1故 = - 2ln -t ，即 t - + 2ln -t = 0 ，
t t
构造函数 f t 1= t - + 2ln -t ，其中 t < 0，
t
2
则 f t =1 1 2+ + = 2 1
1
+ ÷ 0且 f t 不恒为零，t t è t
1
所以，函数 f t = t - + 2ln -t 在 - ,0 上为增函数，且 f -1 = 0，
t
t 1故方程 - + 2ln -t = 0 的唯一解为 t = -1，
t
1
t
t
因此， 1 ， e 1 .
a = ee t = e-e x0 = 2 =t e
（4）证明：设函数 g x = a x - loga x ，其中0 < a < e-e 且 x > 0，
1- x ×a
x × ln a 2
求导得 g x = a x ln a 1 - = ，
x ln a -x ln a
令 h x =1- xa x × ln a 2 ，则 h x = -a x ln a 2 × 1+ x ln a ，
令 h x = 0 1可得 x = - = - loga e，ln a
由 h x < 0可得0 < x < - loga e，由 h x > 0可得 x > - loga e ，
所以，函数 h x 在 0, - loga e 上为减函数，在 - loga e, + 上为增函数，
所以， h x ln a= h - loga e =1+min .e
-e h x 1 ln a因为0 < a < e ，则 = + < 0min ，e
因为 h 0 =1 > 0，所以，函数 h x 在 0, - loga e 内有一个零点，
在 - loga e, + 内取 x =1，则 h 1 =1- a ln a 2 ，
令j a = a ln a 2 ，其中0 < a < e-e ，则j a = ln a ln a + 2 ，
因为0 < a < e-e ，则 ln a < -e，则 ln a + 2 < -e + 2 < 0，所以，j a = ln a ln a + 2 > 0，
j a 0,e-e所以， 在 上单调递增，且j a < j e-e = e2-e <1，所以， h 1 =1- a ln a 2 > 0，
所以，函数 h x 在 - loga e, + 内也存在一个零点，
所以，函数 g x 在 0, + 内共有两个零点，不妨设为x1、x2，且 x1 < x2，
当0 < x < x1 或 x > x2 时， g x > 0；当 x1 < x < x2 时， g x < 0，
所以，函数 g x 有一个极大值 g x1 和一个极小值 g x2 ，
下面证明 g x1 > 0， g x2 < 0，
设函数 y = a x 与直线 y = x 的交点为 x3 , x3 ，
x x
所以， x 为函数 y = a x - x 的一个零点，所以， a 3 = x ，则 x = log x ，所以 a 33 3 3 a 3 = loga x3，
所以， x x3 也为函数 g x = a - loga x 的一个零点，
x ln x
所以， a 3 = x3， x3 = log 3a x3 = ，ln a
1
当0 < a < e-e 时，函数 y = a x 为减函数，则函数 y = a x - x
1
也为减函数，且 a e < ，
e
1 1
因为 a e 1- < 0 = a x3 - x ，所以， x < ，
e 3 3 e
1- x3a
x3 × ln a 2 1- ln x 2
所以， g x = = 3 < 0，所以， x3 x1, x3 2 ，且 g xx ln a x ln a 3
= 0，
- 3 - 3
所以， g x1 > 0， g x2 < 0，
因为 g 1 = a > 0 = g x3 且 x3 <1，
所以，函数 g x 在 x3 ,1 内有一个零点，也是 x3 ,+ 上的唯一零点，
a
同理 g a = a -1 < 0 = g x x3 ，且 x3 = a 3 > a ，
所以，函数 g x 在 a, x3 内有一个零点，也是 0, x3 内的唯一零点，
x
综上所述，当0 < a < e-e 时，函数 g x = a - loga x 共有三个零点.
【典例 6-2】对给定的在定义域内连续且存在导函数的函数 f x ，若对在 f x 定义域内的给定常数 a，存
*
在数列 an 满足 a1在 f x 的定义域内且 a1 > a ，且对"n 2,n N , y = f x 在区间 a, an-1 的图象上有且
仅有在 x = an 一个点处的切线平行于 a, f a 和 an-1, f an-1 的连线，则称数列 an 为函数 f x 的“ a关
联切线伴随数列”.
(1)若函数 f x = x2 ，证明："a R, f x 都存在“ a关联切线伴随数列”；
(2)若函数 g x = x -1 3，数列 an 为函数 g x 的“1 关联切线伴随数列”，且 a1 = 3 +1，求 an 的通项公
式；
(3)若函数 h x = mx3 + 6sinx ，数列 bn 为函数 h x 的“b 关联切线伴随数列”，记数列 bn 的前 n项和为 Sn ，
证明：当m 1,b 0时， Sn + bn n -1 b + 2b1 .
【解析】（1）因为 f x = x2 ，则 f x = 2x，
f a f an-1 - f a a
2
n-1 - a
由题意可得： n = = = aa - a a - a n-1
+ a，
n-1 n-1
则2an = an-1 + a ，即 2 an - a = an-1 - a ，且 a1 - a > 0，
可知数列 an - a 为以 a1 - a 1为首项， 2 为公比的等比数列，
显然这样的数列对于给定的 a1 > a 是存在的，
所以"a R, f x 都存在“ a关联切线伴随数列”.
（2）因为 g x = x -1 3，则 g x = 3 x -1 2 ，
g an-1 - g 1 a
3
设 g a = = n-1 -1 n = a -1
2 2
，即3 a -1 = a -1 2 ，
an-1 -1 an-1 -1
n-1 n n-1
由题意可知： an >1，则 an -1 > 0，
可得 3 an -1 = an-1 -1 ，且 a1 -1 = 3 0，
可知数列 an -1 为以 a1 -1 = 3 3为首项， 为公比的等比数列，3
n-1
3 1 n- n
可得 an -1 = 3 ÷÷ = 3
2 ，所以数列通项公式为 1- 2 .
è 3
an = 3 +1
（3）先证明b + bn < 2bn+1，
h b - h b
设函数 s x = h x n - x, x b,b ，
bn - b
n
s b s b s x hh x bn - h b 则 n = ， = - ，则 s bb - b n+1 = 0，n
定义 h x 的导函数为 h x ,h x 的导函数为 h x ，
则 h x = 6mx - 6sinx, h x = 6m - 6cosx 6 - 6cosx 0, h x h 0 = 0，
且 s x = h x ， s x = h x ，
令w x = s bn+1 + x - s bn+1 - x x 0 ，则w x = s bn+1 + x + s bn+1 - x ，
w x = s bn+1 + x + s bn+1 - x , w x = s bn+1 + x - s bn+1 - x ，
因为w x = s bn+1 + x + s bn+1 - x 0，
可知w x 在 0, + 内单调递增，则w x w 0 = 0，
同理得w x w 0 = 0，w x w 0 = 0，
故 s bn+1 + x > s bn+1 - x (x > 0) ，
又 h x h 0 = 0, s x s 0 = 0, s x 在 0, + 内单调递增，
在 b,bn+1 有 s x < 0, bn+1,bn 有 s x > 0
因此取 x = bn - bn+1，有 s b = s bn > s 2bn+1 - bn ，
又 s x 在 b,bn+1 单调递减，在 bn+1,bn 单调递增，
故b + bn < 2bn+1，
当 n =1时， Sn + bn = 2b1 ，符合题意；
当 n 2时，b + b1 < 2b2 ,b + b2 < 2b3 , × × ×,b + bn-1 < 2bn，
累加可得 n -1 b + b1 + b2 + ×××+ bn-1 < 2b2 + 2b3 + ×××+ 2bn ，
整理得 n -1 b + b1 < b2 + b3 + ×××+ +bn-1 + 2bn ，
所以 n -1 b + 2b1 < b1 + b2 + b3 + ×××+ +bn-1 + 2bn = Sn + bn ；
综上所述： Sn + bn n -1 b + 2b1 .
【变式 6-1】（2024·广西·二模）定义：若函数 f x 图象上恰好存在相异的两点P,Q 满足曲线 y = f x
在 P 和Q处的切线重合，则称P,Q 为曲线 y = f x 的“双重切点”，直线 PQ为曲线 y = f x 的“双重切线”.
y x 5 1(1)直线 = - 2是否为曲线 f x = x - 2x + 2lnx的“双重切线”，请说明理由；
2 2
ì ex+1, x 0,

(2)已知函数 g x = í 4 求曲线 y = g x 的“双重切线”的方程；
6 - , x > 0, x
(3)已知函数 h x = cosx，直线 PQ为曲线 y = h x 的“双重切线”，记直线 PQ的斜率所有可能的取值为
k 15k1, k2 ,L,kn ，若 k1 > k2 > ki i = 3,4,5,L, n 1，证明： 【解析】（1）不是，理由如下：
由已知 f (x) = x 2
2
- + ，由 f (x) = x
2
- 2 + =1解得 x1 =1， x2 =2，x x
f (1) 3 3又 = - ， f (2) = 2ln 2 - 2 ，不妨设切点为P(1,- ) ，Q(2, 2 ln 2 - 2)，
2 2
3 5
在点 P 处的切线的方程为 y + = x -1，即 y = x - ，
2 2
在点Q的切线方程为 y - 2ln 2 + 2 = x - 2，即 y = x - 4 + 2ln 2
5
与直线 y = x - 不重合，
2
所以直线 y = x
5
- 不是曲线 f x 1= x2 - 2x + 2lnx的“双重切线”．
2 2
ìex+1, x 0
g (x) = 4（2）由题意 í 4 ，函数 y = ex+1(x 0)和 y = (x > 0) 都是单调函数，
2 , x > 0 x
2
x
则可设切点为P(x1, y1),Q(x2 , y2 ) ，且 x1 0 < x2 ，
所以在点 P 处的切线的方程为 y - ex1 +1 = ex1 +1(x - x1)，
4 4
在点Q的切线方程为 y - (6 - ) = (x - x )x2 x
2 2 ，
2
ìex1 +1 4 = 2 x2 1
所以 í 4 4 ，消去
x2得 x
(x1 +1)e 1 +1(x1 -1) - 4e2 + 6 = 0， ex1 +1(1- x
1
) = 6 - -
x2 x2
1
设 t(x) = ex+1
(x+1)
(x -1) - 4e2 + 6（ x 0 ），
1
则 x+1 (x 1
1
+ ） (x+1) 1 (x+1)
t (x) = xe - 2e2 = e2 [xe2 - 2] < 0，所以 t(x)是减函数，
又 t(-1) = 0，所以 t(x) = 0在 x 0 时只有一解 x=- 1，
1
所以方程 x +1 (x +1)e 1 (x -1) - 4e2 1 + 6 = 0的解是 x1 = -1，从而 x1 2 =2，
在点 P(-1,1)处切线方程为 y -1 = x +1，即 y = x + 2 ，
在点Q(2, 4)处的切线方程为 y - 4 = x - 2，即 y = x + 2 ，
所以“双重切线”方程为 y = x + 2 ；
（3）证明：设 k1对应的切点为 (x1, cos x1), (x 1 , cos x1 )， x1 < x 1 ， k2 对应的切点为 (x 2 , cos x2 ), (x2 .cos x 2 )，
x 2 < x2 ，
由于 (cos x) = -sin x，所以 k = -sin x = -sin x 1 1 1 ， k2 = -sin x = -sin x 2 ，
π
由余弦函数的周期性，只要考虑-π < x2 < x1 < - 的情形，又由余弦函数的图象，只需考虑2 x

1 + x1 = π，
x2 + x 2 = 3π情形，
k cos x

1 - cos x cos(π - x ) - cos x -2cos x cos x - cos x cos(3π - x ) - cos x -2cos x则 = 1 = 1 1 = 1 ， k = 2 2 = 2 2 21 2 = ，
x 1 - x (π - x1) - x1 π - 2x1 1 x - x (3π - x2 ) - x2 3π - 2x2 2 2
π
其中-π < x2 < x1 < - ，2
3π
k cos x - x
所以 1 = 1 × 2
2
，
k2 cos x π2 - x
2 1
k -2cos x= 1 = -sin x k -2cos x= 2又 1 1， 2 = -sin xπ - 2x1 3π - 2x
2 ，
2
即 cos x
π 3π
1 = ( - x1)sin x1， cos x2 = ( - x2 )sin x2 ，2 2
π π- < x < - 时， sin x < 0， cos x < 0，
2
F (x) cos x π π
2
= + x - -π < x < - F (x ) = 0 F (x) -sin x - cos
2 x 1 1 1 cos
2 x
令 （ ），则 ， = + = - + = - < 0，
sin x 2 2 1 sin2 x sin2 x sin2 x
F (x) π 5π 5π π 5π在 (-π,- )上单调递减，又F (- ) = 3 - - < 0，所以-π < x < - ，
2 6 6 2 1 6
π x x 5π
cos x
所以- < 2 <
1
1 < - ，此时-1 < cos x2 < cos x1 < 0，则0 < <16 cos x
，
2
3π
k cos x - x
3π x 3π2 - 2 - (-π)
所以 1 = 1
15
× 2 2 2
k cos x π
< < = ．
2 2 - x π x π ( 5π1 - 1 - - )
8
2 2 2 6
【变式 6-2】（2024·高三·贵州贵阳·开学考试）牛顿迭代法是牛顿在 17 世纪提出的一种在实数域和复
数域上近似求解方程的方法．比如，我们可以先猜想某个方程 f x = 0的其中一个根 r 在 x = x0的附近，如
图所示，然后在点 x0 , f x0 处作 f x 的切线，切线与 x 轴交点的横坐标就是x1，用x1代替 x0 重复上面的
过程得到x r2；一直继续下去，得到 x0 ，x1，x2，……， xn ．从图形上我们可以看到x1较 x0 接近 ，x2较
x 接近 r1 ，等等．显然，它们会越来越逼近 r ．于是，求 r 近似解的过程转化为求 xn ，若设精度为e ，则
把首次满足 xn - xn-1 < e 的 xn 称为 r 的近似解．
f x = x3已知函数 + a - 2 x + a， a R ．
(1)当 a =1时，试用牛顿迭代法求方程 f x = 0满足精度e = 0.5的近似解（取 x0 = -1，且结果保留小数点
后第二位）；
(2)若 f x - x3 + x2lnx 0，求 a的取值范围．
3
【解析】（1）当 a =1时， f x = x - x +1，则 f x = 3x2 -1，
曲线 f x 在 x0 = -1处的切线为 y -1 = 2 x +1 x1 = -1.5，且 x1 - x0 0.5
f x x 1.5 y 7 23 x 3 31曲线 在 1 = - 处的切线为 + = + x = - ，且 x - x < 0.58 4 2 ÷ 2è 23 2 1
故，用牛顿迭代法求方程 f x = 0满足精度e = 0.5的近似解为-1.35．
a - 2
（2）由 x > 0，得 f x - x3 + x2lnx 0 lnx a+ + 2 0，x x
设 g x lnx a - 2 a= + + ，
x x2
1 a - 2 2a x
2 + 2 - a x - 2a x + 2 x - ag x 则 = - 2 - 3 =x x x x3 = x3
∴当 a 0时， g x > 0， g x 单调递增，由于 x 0 时， g x - ，不合题意；
当 a > 0时，则有 x 0, a ， g x < 0， g x 单调递减， x a,+ ， g x > 0， g x 单调递增，
a - 2 a a -1 1
即 g x g a = lna + + 2 = lna + ，即 f x 0 lna +1- 0a a a a
易知 g a 单调递增，且 g 1 = 0，故 f x 0 g a g 1 a 1.
题型七：非典型新定义函数
【典例 7-1】（2024·湖南长沙·二模）极值的广义定义如下：如果一个函数在一点的一个邻域（包含该点
的开区间）内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）
值.
y = f x x + Dx f x0 + Dx - f x 对于函数 ，设自变量 x 从 x0 变化到 0 ，当Dx > 0， lim 0 是一个确定的值，
Dx 0 Dx
则称函数 y = f x f x在点 x 处右可导；当Dx < 0， lim 0 + Dx - f x0 0 是一个确定的值，则称函数
Dx 0 Dx
y = f x 在点 x0 处左可导.当函数 y = f x 在点 x0 处既右可导也左可导且导数值相等，则称函数 y = f x
在点 x0 处可导.
(1)请举出一个例子，说明该函数在某点处不可导，但是该点是该函数的极值点；
2
(2)已知函数 f x = x2eax +1 - x3 sin x - ex2 .
（ⅰ）求函数 g 2x = eax +1 - x sin x - e在 x = 0处的切线方程；
（ⅱ）若 x = 0为 f x 的极小值点，求 a 的取值范围.
【解析】（1） y = x ， x = 0为该函数的极值点，
f 0 + Dx - f 0 Dx - 0
当Dx > 0， lim lim lim Dx= = =1，
Dx 0 Dx Dx 0 Dx Dx 0 Dx
f 0 + Dx - f 0 Dx - 0Dx < 0 lim lim -Dx当 ， = = lim = -1，
Dx 0 Dx Dx 0 Dx Dx 0 Dx
则该函数在 x = 0处的左导数为 -1，右导数为 1，
所以该函数在 x = 0处不可导.
（2）（ⅰ）根据题意， g(0) = 0，则切点 0,0 ，
2又 g x = 2axeax +1 - sin x - x cos x，则 k = g (0) = 0，
所以切线方程为 y = 0 ；
（ⅱ） f
2 2
x = x2eax +1 - x3 sin x - ex2 = x2 eax +1 - x sin x - e ，
因为当 x 0时， x2 > 0，故 f x 与 g x 同号，
ax2g x = e +1 - x sin x - e，先考察 g x 的性质，
由于 g x 为偶函数，只需分析其在 0, + 上的性质即可，
2g x = 2axeax +1 - sin x - x cos x， g 0 = 0,，
2
设m x = 2axeax +1 - sin x - x cos x, x 0,+ ，
则m x 2= 2a + 4a2x2 eax +1 - 2cos x + x sin x ，m 0 = 2ae - 2，
则必有m 0 = 2ae - 2 1≥0 ，即 a .
e
1
①否则，若m 0 = 2ae - 2 < 0，即 a < ，
e
则必存在一个区间 0, m ，使得m x < 0 ，
则 g x 在 0, m 单调递减，又 g 0 = 0，
则 g x 在区间 0, m 内小于 0，则 g x 在 0, m 单调递减，
又 g 0 = 0，故 g x 在区间 0, m 内小于 0，
故 f x 在区间 0, m 内小于 0，
则 x = 0不可能为 f x 的极小值点.
a 1
1 2
②当 x +1时，
e g x
2
= eax +1 - x sin x - e≥ ee - x sin x - e，
1 1x2
2
+1 2x x +1
令 h x = ee - x sin x - e ， h x = ee - sin x - x cos x ，e
2x 1 x2 +1
令 s x = ee - sin x - x cos x ，
e
1 x2 +1
则 s x 2 4= 2 + e
è e e2
x ÷e - 2cos x + x sin x，

y 2 4
1 x22 +1
易知 = + 2 x ÷ee 在区间 0, + 上单调递增，è e e
对 y = -2cos x + x sin x ， y = 2sin x + sin x + x cos x = 3sin x + x cos x，
则 y = 3sin x + x cos x 0,
π
在区间 ÷上大于 0，
è 2
故 y = -2cos x + x sin x
π
在区间 0, 2 ÷上单调递增.è
s x 2 4= + x2
1 x2 +1
故 2 ÷ee - 2cos x + x sin x
0, π 在区间
e e 2 ÷
上单调递增.
è è
又 s 0 = 0，故 s x 0，
故 h x
π
在区间 0, 2 ÷上单调递增，è
又 h 0 = 0，故h x 0，故 h x 0, π 在区间 2 ÷上单调递增，è
又 h 0 = 0，故 h x > 0 ， x 0, π 2 ÷ ，è
则 g x 2= eax +1 - x sin x - e≥ h x > 0， x 0,
π
÷ ，
è 2
x π 故当 0, ÷ 时， f x > 0，
è 2
x π由偶函数知 - ,0

÷时， f x > 0，
è 2
故 x = 0为 f x 的极小值点，
1
所以 a 的取值范围为 a .
e
【典例 7-2】（2024·高三·重庆·期中）若函数 f x 在定义域内存在两个不同的数 x1, x2 ，同时满足
f x1 = f x2 ，且 f x 在点 x1, f x1 , x2 , f x2 处的切线斜率相同，则称 f x 为“切合函数”
(1) f x = x3证明： - 2x 为“切合函数”；
(2) g x = xlnx - x2若 + ax 为“切合函数”，并设满足条件的两个数为 x1, x2 ．
1
（ⅰ）求证： x1x2 < ；4
2 3
（ⅱ）求证： a +1 x1x2 - x1x2 < ．4
【解析】（1）假设存在两个不同的数 x1, x2 ，满足题意，
易知 f x = 3x2 - 2，由题意可得
f x1 = f x2 ，
3 3
即 x1 - 2x1 = x2 - 2x2 ，
x3 - 2x - x3 - 2x = 0 x3 - x3 - 2 x - x = 0 x - x x2 + x x + x21 1 2 2 ， 1 2 1 2 ， 1 2 1 1 2 2 - 2 x1 - x2 = 0，
x1 - x 22 x1 + x x 21 2 + x2 - 2 = 0，
又 x1 x2 ，
2 2
所以 x1 + x1x2 + x2 - 2 = 0 .
因为 f x1 = f x 2 22 ，即3x1 - 2 = 3x2 - 2，
x2 2化简可得 1 = x2 ，又 x1 x2 ，
所以 x1 = -x2，
2 2
代入 x1 + x1x2 + x2 - 2 = 0，
可得 x1 = - 2, x2 = 2 或 x1 = 2, x2 = - 2 ，
3
所以 f x = x - 2x 为“切合函数”.
（2）由题意知 g x = lnx - 2x + a +1，
因为 g x = xlnx - x2 + ax 为“切合函数”，
故存在不同的数 x1, x2 (不妨设0 < x1 < x2 )使得
ìg x1 = g x2
í
g x1 = g x
，
2
ìx 2 2
í 1
lnx1 - x1 + ax1 = x2lnx2 - x2 + ax2
即 ，
lnx1 - 2x1 + a +1 = lnx2 - 2x2 + a +1
ìa x= 1lnx1 - x2lnx2 + x2 + x1 1 x2 - x1
整理得 í1 x x ， 2 -= 1 2
2 lnx2 - lnx1
x - x
ⅰ 2 1（ ）先证 > x xlnx - lnx 1 2 ，2 1
x2 - x1
即 > lnxx x 2
- lnx1，
1 2
x2 x x- 1 > ln 2 ，
x1 x2 x1
t x令 = 2 ，则由0 < x < x ，知 t > 1，
x 1 21
x2 x x要证 - 1 > ln 2
1
，只需证 t - > 2ln t ，
x1 x2 x1 t
2ln t t 1即 - + < 0，
t
1
设m t = 2ln t - t + t >1 ，
t
2
易知m t 2 1 - t -1 = -1- = < 0，
t t 2 t 2
故m t 在 1,+ 单调递减，所以m t < m 1 = 0，
x2 - x1
故有 > x xlnx2 - lnx
1 2 ，
1
1
由上面的 2 式知 x1x2 < ,2
所以 x1x
1
2 < . 4
2 x2 - x2 1 1 （ⅱ）由上面的 得 = ，
lnx2 - lnx1
a x1lnx= 1 - x2lnx2 x x lnx - x lnx x + x + 2 + x = 1 1 2 2 + 2 1x - x 12 1 x2 - x1 1
x1lnx1 - x2lnx2 x2 + x1 x lnx= + = 1 1 - x2lnx2 x+ 2 + x1 lnx2 - lnx1
x2 - x1 2 x2 - x1 x2 - x1 2 x2 - x1
lnx2 - lnx1
2 x1lnx1 - x2lnx2 + x2 + x1 lnx2 - lnx= 1 x1ln x1x2 - x2ln x1x2 =
2 x2 - x1 2 x2 - x1
ln x1x = - 2 ，
2
1
又 x1x2 < ，4
所以 a > ln 2且 x1x2 = e
-2a
，
a +1 2故要证 x1x2 - x1x
3
2 < ，4
a +1 2 e-2a - e-a 3只需证 < ，
4
3
即 e2a +ea - a +1 2 > 0 a > ln 2 ，
4
h(a) 3= e2a设 +ea - a +1 2 ，
4
则即证 h(a) > 0 a > ln 2
h (a) 3= 2e2a +ea - 2 a +1 = 3 e2a +ea - 2 a +1 ，
4 2
k(a) 3= e2a a设 +e - 2 a +1 ，
2
则 k (a) = 3e2a +ea - 2= 3ea - 2 ea +1 > 0，
即 k(a)也就是h (a)在 ln 2,+ 单调递增，
h (a) > h (ln 2) 3= e2ln 2 + eln 2 - 2 ln 2 +1
2
3
= 4 + 2 - 2ln 2 - 2 = 2 3- ln 2 > 0，
2
所以 h(a) 在 ln 2,+ 单调递增，
3 2ln 2 ln 2 2 2
所以 h(a) > h(ln 2) = e + e - ln 2 +1 = 5 -
4 ln 2+1 ，
因为1 < ln 2+1 < 2，
2
所以1< ln 2+1 < 4，
所以5 - ln 2+1 2 > 0，
所以原不等式成立.
【变式 7-1】（2024·上海·模拟预测）已知函数 y = f x , x D ，如果存在常数M ，对任意满足
n
x1 < x2 i=2
恒成立，则称函数 y = f x , x D 是“绝对差有界函数”
f x ln x , x 1(1)函数 = 是“绝对差有界函数”，求常数M 的取值范围；
x e
(2)对于函数 y = f x , x a,b ，存在常数 k ，对任意的 x1, x2 a,b ，有 f x1 - f x2 k x1 - x2 恒成立，
求证：函数 y = f x , x a,b 为“绝对差有界函数”
ì
x cos
π ,0 < x 1
(3)判断函数 f x = í 2x 是不是“绝对差有界函数”？说明理由
0, x = 0
Q f (x) ln x 1 1- ln x【解析】（1） = , x ，\ f ' x =
x e x2
\ f x 1- ln x= = 0，\x = e2 ，x
é1 ù
即当 x ê ,eú， f (x) 单调递增；当 x e, + ， f (x) 单调递减. e
n
所以 f xi - f xi-1 = f xn - f xn-1 + f xn-1 - f xn-2 +L+ f x2 - f x0 ,
i=2
f (x) 单调递增时， f xn - f xn-1 > 0，
f (x) 单调递减时， f xn - f xn-1 < 0 .
且当 x 无限趋向于正无穷大时， f x 无限趋向于 0，
n
所以 f x f x 1 2i - i-1 = f e - f ÷ + f (e) = + e .
i=2 è e e
所以M
2
+ e ·
e
n n
（2） f xi - f xi-1 k xi - xi-1 = k b - a 成立，则可取M = k b - a ，
i=2 i=2
所以函数 y = f x , x a,b 为“绝对差有界函数”
0 1 1 L 1（3） < < < < <1, n N* ，
2n 2n -1 2
1 cos 2nπ 1 2n -1 π0 cos 1 cos 2nπ L cos π 1 cos 2π则有 = - + - + + - ，
2n 2 2n -1 2 2n 2 2 2 2
n
1 1 1 1 1 1 L 1 1 L 1 L 1 1 1 1> + + + + + + + + + + = + + +L+ +L
i=2 i 2 4 4 1842438 16424136 2 2 2
4个 8个
所以对任意常数M > 0，只要n足够大，就有区间 0,1 的一个划分
1 1 1 n0 < < M ，i=2
ì
x cos
π ,0 < x 1
所以函数 f x = í 2x 不是 0,1 的“绝对差有界函数”.
0, x = 0
【变式 7-2】（2024·上海·三模）设函数 y = f x 的定义域为 D，对于区间 I = a,b I D ，当且仅当函
数 y = f x 满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间 I 是 y = f x 的一个“美好区间”．
性质①：对于任意 x0 I ，都有 f (x0 ) I ；性质②：对于任意 x0 I ，都有 f (x0 ) I ．
(1)已知 f x = -x2 + 2x， x R ．分别判断区间 0,2 和区间 1,3 是否为函数 y = f x 的“美好区间”，并说
明理由；
(2)已知 f (x)
1
= x3 - x2 - 3x +12(x R)且m > 0，若区间 0, m 是函数 y = f x 的一个“美好区间”，求实数
3
m 的取值范围；
(3)已知函数 y = f x 的定义域为R ，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意 a < b ，都有
f a - f b > b - a．求证：函数 y = f x 存在“美好区间”，且存在 x0 R ，使得 x0 不属于函数 y = f x 的
任意一个“美好区间”．
【解析】（1）区间 0,2 和区间 1,3 都是函数 y = f x 的“美好区间”，理由如下：
由 f x = -x2 + 2x = -(x -1)2 +1，
当 x 0,2 时， f (x) 0,1 0,2 ，所以区间 0,2 是函数 y = f x 的“美好区间”
当 x 1,3 时， f (x) 1,2 0,2 ，所以区间 1,3 是函数 y = f x 的“美好区间”
（2）记 I = 0, m ， S = f (x) | x I
若区间 0, m 是函数 y = f x 的一个“美好区间”，则 S I 或 S I I =
由 f (x)
1
= x3 - x2 - 3x +12(x R)，可得 f (x) = x2 - 2x - 3 = (x - 3)(x +1)，
3
所以当 x < -1或 x > 3时， f (x) > 0，则 f (x) 的单调递增区间为： (- , -1)， (3, + )；
当-1 < x < 3时， f (x) < 0，则 f (x) 的单调递增区间为： (-1,3)，
且 f (0) =12， f (3) = 3， f (3+ 3 5 ) =12，得到 f (x) 在 0, + 的大致图像如下：
2
(i)当0 < m < 3时， f (x) 在区间 0, m 上单调递减，且 f (m) > f (3) = 3，
所以 S = f (m),12 ，则 S I I = ，即对于任意 x0 I ，都有 f (x0 ) I ，满足性质②,
故当m 0,3 时，区间 0, m 是函数 y = f x 的一个“美好区间”；
(ii) 3 m 3+ 3 5当 ， f (x) 在区间 0,3 上单调递减，在 3, m 上单调递增，此时 S = 3,12 ，
2
é ù
所以 f (3) = 3 0, m 3+ 3 5， f (0) =12 0, m ，则当m ê3, ú 时，区间 0, m 不是函数 y = f x 的一个“美
2
好区间”；
(iii) 3+ 3 5当 < m <12 时， f (x) 在区间 0,3 上单调递减，在 3, m 上单调递增，且 f (m) >12，此时
2
S = 3, f (m) ，

所以 f (3) = 3 0, m ， f (m) 0,m 3 + 3 5，则当m ,12÷÷时，区间 0, m 不是函数 y = f x 的一个“美好
è 2
区间”；
(iv)当m 12时， f (x) 在区间 0,3 上单调递减，在 3, m 上单调递增，且 f (m) >12，此时 S = 3, f (m) ，
因为 f (0) =12 0, m ，则要使区间 0, m 是函数 y = f x 的一个“美好区间”，则 S I ，即 f (m) m，
1 3 2
构造函数 g(m) = f (m) - m = m - m - 4m +12 m 12 ，
3
则 g (m) = m2 - 2m - 4 = (m -1)2 - 5，
由于m 12，所以 g (m) > 0恒成立，则 g(m)在区间 m,+ 上单调递增，
1 3
所以 g(m)min = g(12) = 12 -12
2 - 4 12 +12 = 396 > 0，则 f (m) > m，不满足题意，
3
故当m 12时，区间 0, m 不是函数 y = f x 的一个“美好区间”，
综上，实数m 的取值范围是 0,3
（3）对于任意区间 I = a,b ，记 S = f (x) | x I ，
因为对于任意 a < b ，都有 f a - f b > b - a，
所以 f (x) 在区间 I 上单调递减，故 S = f (b), f (a) ，
因为 f a - f b > b - a，即S的长度大于 I 的长度，故 f (x) 不满足性质①，
所以若 I 为 y = f x 的“美好区间”必满足性质②，即 S I I = ，
即只需要 f (a) < a或 f (b) > b，
由 f (x) = x 显然不恒成立，所以存在常数 c使得 f (c) c ，
如果 f (c) < c，取 a = c ，则区间 I = a,b (a < b)满足性质②；
如果 f (c) > c，取b = c ，则区间 I = a,b (a < b)满足性质②；
综上，函数 y = f x 一定存在“美好区间”；
记 g(x) = f (x) - x ，则 g(x)的图象连续不断，下证明 g(x)有零点，
由于 f (x) 在R 上单调递减，则 g(x)在R 上是减函数，记 f (0) = t
若 t = 0，则 x0 = 0是 g(x)的零点；
若 t > 0，则 f (t) < f (0) = t ，记 g(0) > 0， g(t) < 0 ，
由零点存在定理，可知存在 x0 (0, t)，使得 g(x0 ) = 0；
若 t < 0，则 f (t) > f (0) = t ，记 g(0) < 0， g(t) > 0，
由零点存在定理，可知存在 x0 (t,0) ，使得 g(x0 ) = 0；
综上， g(x)有零点 x0 ，即 f (x0 ) = x0，
因为 f (x) 所有“美好区间” I 都满足性质②，故 x0 I ，否则 f (x0 ) = x0 I 与性质②矛盾；
即存在 x0 R ，使得 x0 不属于函数 y = f x 的任意一个“美好区间”，证毕.
题型八：拐点、好点 、不动点、S 点
【典例 8-1】（2024·高三·福建泉州·期中）记 f x 、 g x 分别为函数 f x 、 g x 的导函数．若存在
x0 R ，满足 f x0 = g x0 且 f x0 = g x0 ，则称 x0 为函数 f x 与 g x 的一个“S点”．
（1 2）证明：函数 f x = x与 g x = x + 2x - 2不存在“S点”；
（2）若函数 f x = ax2 -1与 g x = ln x存在“S点”，求实数 a的值．
1 f x = x g x = x2【解析】（ ）函数 ， + 2x - 2，则 f x =1， g x = 2x + 2．
ì f x0 = g x0 ìx20 + 2x0 - 2 = xí 0由 f x g x ，可得 í ，此方程组无解， 0 = 0 2x0 + 2 =1
2
因此，函数 f x = x与 g x = x + 2x - 2不存在“S点”；
（2）函数 f x = ax2 -1， g x = ln x，则 f x = 2ax g x 1， = ，
x
2
f x g x ìax0 -1 = ln x ì 0 = 0 0
设 x0 为 f x 与 g x 的“S点”，由 í 可得 í 1 ，
f x0 = g x0 2ax0 =
x0
1 1
可得 ln x0 = - ，解得 -x = e 2 ，此时 a
1 1 e
= 2 = -1 = .2 0 2x0 2e 2
e
因此， a = .
2
【典例 8-2】对于函数 f（x），若存在实数 x0 满足 f x0 = x0 ，则称 x0 为函数 f（x）的一个不动点.已知函数
f x = x3 + ax2 + bx + 3，其中 a,b R
(1)当 a = 0时，
（i）求 f（x）的极值点；
（ii）若存在 x0 既是 f（x）的极拔高点突破 05 函数与导数背景下的新定义压轴解答题　
目录
01 方法技巧与总结 ..............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结 ..............................................................................................................................2
题型一：曲率与曲率半径问题 ............................................................................................................2
题型二：曼哈顿距离与折线距离 ........................................................................................................5
题型三：双曲正余弦函数问题 ............................................................................................................6
题型四：凹凸函数 ................................................................................................................................8
题型五：二元函数问题 ........................................................................................................................9
题型六：切线函数新定义 ..................................................................................................................11
题型七：非典型新定义函数 ..............................................................................................................12
题型八：拐点、好点 、不动点、S 点..............................................................................................14
题型九：各类函数新概念 ..................................................................................................................16
03 过关测试 .........................................................................................................................................17
1、函数与导数新定义问题主要分两类：一是概念新定义型，主要是以函数新概念为背景，通常考查
考生对函数新概念的理解，涉及函数的三要素的理解；二是性质新定义型，主要是以函数新性质为背景，
重点考查考生灵活应用函数性质的能力，涉及函数的各种相关性质的拓展延伸．
2、设 P x1 , y1 ,Q x2 , y2 为平面上两点，则定义 x2 - x1 + y2 - y1 为“折线距离”“直角距离”或“曼哈
顿距离”，记作 d (P,Q) = x2 - x1 + y2 - y1 ．
结论 1：设点 P x0 , y0 为直线 l : Ax + By + C = 0 外一定点，Q为直线 l 上的动点，则
Ax + By + C
d (P,Q) = 0 0min max{| A |,| B |}
结论 2：设点 P 为直线 Ax + By + C1 = 0 上的动点，点Q为直线 Ax + By + C2 = 0 上的动点，则
C - C
d (P,Q) = 1 2min ．max{| A |,| B |}
题型一：曲率与曲率半径问题
【典例 1-1】（2024·浙江温州·二模）如图，对于曲线 Γ ，存在圆C 满足如下条件：
①圆C 与曲线 Γ 有公共点A ，且圆心在曲线 Γ 凹的一侧；
②圆C 与曲线 Γ 在点A 处有相同的切线；
③曲线 Γ 的导函数在点 A 处的导数（即曲线 Γ 的二阶导数）等于圆 C 在点 A 处的二阶导数（已知圆
2 2 r
2
x - a + y - b = r2 在点 A x0, y0 处的二阶导数等于 ）；b - y 30
则称圆C 为曲线 Γ 在A 点处的曲率圆，其半径 r 称为曲率半径．
(1)求抛物线 y = x 2 在原点的曲率圆的方程；
1
(2)求曲线 y = 的曲率半径的最小值；
x
(3) x x若曲线 y = ex 在 x1, e 1 和 x 22 , e x1 x2 处有相同的曲率半径，求证： x1 + x2 < -ln2 ．
【典例 1-2】有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知．由于地形等原因，在
修建高铁、公路、桥隧等基建中，我们常用曲线的曲率（Curvature）来刻画路线弯曲度．如图所示的光滑
曲线C 上的曲线段 AB，设其弧长为Ds ，曲线C 在 A，B 两点处的切线分别为 lA , lB ，记 lA , lB 的夹角为
Δq K (x) lim Δq
f (x)
Δq Δq é0, p ù ê ú ÷ ，定义K =
= =
2 为曲线段
AB 的平均曲率，定义 Δx 0 Δs 3 2 为曲线è Δs 1+ f (x) 2
C : y = f (x)在其上一点 A(x, y)处的曲率．（其中 f (x) 为 f ( x ) 的导函数，f (x )为 f (x) 的导函数）
(1)若 f (x) = sin(2x) K
p
，求 4 ÷
；
è
π
(2)记圆 x2 + y2 = 2025上圆心角为 的圆弧的平均曲率为a．
3
①求a的值；
②设函数 g (x) = ln(x + 45a) - xe x-1，若方程 g(x) = m(m > 0)有两个不相等的实数根 x1, x2 ，证明：
x x (5e - 2)m2 - 1 <1- ，其中 e 为自然对数的底数， e = 2.71828L．3e - 3
【变式 1-1】定义：若 h (x)是 h(x) 的导数，h (x)是 h (x)的导数，则曲线 y = h(x)在点 (x,h(x))处的曲率
h (x)
K = 3 x
2 ；已知函数 f (x) = e sin
π 1

+ x ÷ ， g(x) = x + (2a -1)cos x, a < ÷，曲线 y = g(x)在点
1+ h (x) 2 è 2 è 2
(0, g(0)) 2处的曲率为 ；
4
(1)求实数 a 的值；
é π ù
(2)对任意 x ê- ,0ú , mf (x) g (x)恒成立，求实数 m 的取值范围； 2
π π
(3)设方程 f (x) = g (x) 在区间 2nπ + , 2nπ +3 2 ÷ n N
* 内的根为 x1, x2 , , xn，…比较 xn +1 与 xn + 2π 的大小，
è
并证明．
【变式 1-2】（2024·湖北黄冈·二模）第二十五届中国国际高新技术成果交易会（简称“高交会”）在深圳
闭幕.会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服.现
代产品外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线C : y = f x 上
的曲线段 AB ，其弧长为Ds ，当动点从A 沿曲线段 AB 运动到 B 点时，A 点的切线 lA 也随着转动到 B 点的
切线 lB ，记这两条切线之间的夹角为Dq （它等于 lB 的倾斜角与 lA 的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，
Δq
夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义K = 为
Δs
曲线段 AB 的平均曲率；显然当 B 越接近 A ，即 Ds 越小， K 就越能精确刻画曲线C 在点 A 处的弯曲程度，
Δq y K = lim =
因此定义 Δ 0 Δs 3 （若极限存在）为曲线C 在点A 处的曲率.（其中 y ， y 分别表示 1+ y 2 2
y = f x 在点A 处的一阶 二阶导数）
(1)已知抛物线 x2 = 2 py( p > 0) 的焦点到准线的距离为 3，则在该抛物线上点 3, y 处的曲率是多少？
1 1 ex + e- x
(2)若函数 g x = x - ，不等式 g ÷ g 2 - coswx 对于 x R 恒成立，求w的取值范围；2 +1 2 è 2
(3) 2若动点A 的切线沿曲线 f x = 2x -8运动至点 B xn , f xn 处的切线，点 B 的切线与 x轴的交点为
x ,0 n N*n+1 .若 x1 = 4，bn = xn - 2，Tn 是数列 bn 的前n项和，证明Tn < 3 .
题型二：曼哈顿距离与折线距离
【典例 2-1】（2024·甘肃兰州·一模）定义：如果在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为 x1, y1 ，
x 2, y 2 ，那么称 d ( A, B ) = x1 - x2 + y1 - y 2 为 A，B 两点间的曼哈顿距离．
(1)已知点 N 1 ， N 2 分别在直线 x - 2y = 0， 2x - y = 0上，点M 0,2 与点 N 1 ， N 2 的曼哈顿距离分别为
d M , N1 ，d M , N2 ，求 d M , N1 和d M , N2 的最小值；
(2) 2已知点 N 是直线 x + k y + 2k +1= 0 k > 0 上的动点，点M 0,2 与点 N 的曼哈顿距离d M , N 的最小值
记为 f k ，求 f k 的最大值；
(3)已知点M ek , kek ，点 N(m,n)（k，m， n R ，e 是自然对数的底），当 k 1时，d M , N 的最大值为
f m, n ，求 f m, n 的最小值．
【典例 2-2】（2024·高三·广西防城港·阶段练习）若设M a,n = ax -1 + ax -2 +×××+ ax -n 为曼哈顿扩张距
离，它由n个绝对值之和组成，其中n为正整数.如：
M 2,6 = 2x -1 + 2x - 2 + 2x -3 + 2x - 4 + 2x -5 + 2x -6
(1)若M 1,2 5，求 x的取值范围；
(2)若M 3,2 m 对一切实数 x恒成立，设 a > 0，b > 0，且 a2 + b2 = m +1，求 2a + b 的最大值.
【变式 2-1】（2024·高三·北京·期中）“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在 19 世纪由赫尔曼·闵可夫斯基
提出来的．如图是抽象的城市路网，其中线段 AB 是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，
我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用 d A, B 表示，又称
“曼哈顿距离”，即d A,B = AC + CB ，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若 A x1, y1 ，B x2, y2 ，则
d A, B = x2 - x1 + y2 - y1
(1)①点 A 3,5 ，B 2,-1 ，求 d A, B 的值．
②求圆心在原点，半径为 1 的“曼哈顿单位圆”方程．
(2)已知点B 1,0 ，直线 2x - y + 2 = 0，求 B 点到直线的“曼哈顿距离”最小值；
(3)设三维空间 4 个点为 Ai = xi , yi , zi ， i =1,2,3,4，且 xi ， yi ， zi 0,1 ．设其中所有两点“曼哈顿距离”
的平均值即 d ，求 d 最大值，并列举最值成立时的一组坐标．
题型三：双曲正余弦函数问题
x - x
【典例 3-1 2024· e + e】（ 高三·江苏苏州·开学考试）定义：双曲余弦函数 cosh x = ，双曲正弦函数
2
sinh x e
x - e- x
= ．
2
(1)求函数 y = cosh 2x +sinh x 的最小值；
(2)若函数 f x = log9 é cosh 2x - a sinh x ù 在R 上的最小值为-1，求正实数a的值；
sinh x 1
(3)求证：对任意实数 k，关于 x的方程 = kx +cosh x 2 总有实根．
【典例 3-2】（2024·高三·福建宁德·期末）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链
x x
-
线.1691 c c年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程 y c(e + e )= ，其中c为参数.当 c = 1时，就是双曲余弦函数
2
ex + e-x ex - e- xcosh x = ，类似地我们可以定义双曲正弦函数 sinh x = .它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
2 2
(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论: sinh 2 x = _____________.（只写出
即可，不要求证明）；
(2)"x [-1,1]，不等式 cosh 2x + m cosh x 0 恒成立，求实数m的取值范围；
π 3π
(3)若 x [ , ]，试比较cosh(sin x)与 sinh(cos x)的大小关系，并证明你的结论.
4 2
【变式 3-1】（2024·上海宝山·模拟预测）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函
ex - e- x
数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦： sinh x = ，双曲余弦函数：
2
ex + e- xcosh x = ，（ e 是自然对数的底数）.
2
（1）解方程：cosh x = 2；
（2）写出双曲正弦与两角和的正弦公式类似的展开式： sinh x + y = ________，并证明；
（3）无穷数列 an ， a1 = a ， an +1 = 2a 2 1
5
n - ，是否存在实数a，使得 a2021 = ？若存在，求出a的值，若不4
存在，说明理由.
题型四：凹凸函数
【典例 4-1】（2024·江苏苏州·模拟预测）定义：函数 f x 的导函数为 f x ，我们称函数 f x 的导函
数f (x )为函数 f x 的二阶导函数.已知 p x = ex x2 + 3 ，q x = ex + ax + 2 .
（1）求函数 p x 的二阶导函数；
（2）已知定义在 R 上的函数 g x 满足：对任意 R ， g x > 0恒成立. P 为曲线 y = g x 上的任意一点.求
证：除点 P 外，曲线 y = g x 上每一点都在点 P 处切线的上方；
（3）试给出一个实数a的值，使得曲线 y = p x 与曲线 y = q x 有且仅有一条公切线，并证明你的结论.
【典例 4-2】记 f x = f x ， f x 为 f x 的导函数．若对"x D ， f x > 0，则称函数 y = f x 为D
“ x
1 3 2
上的 凸函数”．已知函数 f x = e - x - ax -1， a R ．
3
（1）若函数 f x 为R 上的凸函数，求a的取值范围；
（2）若函数 y = f x - x 在 1,+ 上有极值，求a的取值范围．
【变式 4-1】设 g x 为 g x 的导函数，若 g x 是定义域为 D 的增函数，则称 g x 为 D 上的“凹函数”，已
f x = xex + ax2知函数 + a为 R 上的凹函数．
(1)求 a 的取值范围；
(2)设函数 h x 1= ex - x2 - x -1，证明：当 x > 0时，h x > 0，当 x < 0时，h x < 0．
2
f x 1 x3 45 1(3)证明： > + x2 + x + ．
2 44 44
【变式 4-2】（2024·上海普陀·一模）若函数 y = f x x D 同时满足下列两个条件，则称 y = f x 在D
上具有性质 M ．
① y = f x 在D上的导数 f x 存在；
② y = f x 在D上的导数 f x 存在，且 f x > 0（其中 f x = é f x ù ）恒成立．
(1)判断函数 y lg
1
= 在区间 0,+ 上是否具有性质 M ？并说明理由．
x
b
(2) 3 2设a、b均为实常数，若奇函数 g x = 2x + ax + 在 x = 1处取得极值，是否存在实数c，使得 y = g x
x
在区间 c,+ 上具有性质 M ？若存在，求出c的取值范围；若不存在，请说明理由．
(3)设 k Z 且 k > 0，对于任意的 x 0,+ 1+ ln x +1 k，不等式 > 成立，求 k的最大值．
x x +1
题型五：二元函数问题
【典例 5-1】（2024·高三·湖南·阶段练习）设A 是有序实数对构成的非空集， B 是实数集，如果对于集合A
中的任意一个有序实数对 x, y ，按照某种确定的关系 f ，在 B 中都有唯一确定的数 z 和它对应，那么就称
f : A B为从集合A 到集合 B 的一个二元函数，记作 z = f x, y , x, y A，其中A 称为二元函数 f 的定
义域.
r r r
(1)已知 f x, y = x 2 + y 2 , ar = x1 , y1 ,b = x2 , y2 ，若 f a
r 1, f b 2, x x y y 1 f ar= = 1 2 + 1 2 = ，求 + b ;
(2)非零向量u = x0, y0 ，若对任意的 x, y D, D A,h 0
r r r
> ，记a = x, y ，都有 f a < f a + hu ，则称 f
在D上沿u方向单调递增.已知 f x, y = ex+y + ex-y , x R, y R .请问 f 在 x, y∣ x, y R 上沿向量 1,1 方向
单调递增吗？为什么？
(3)设二元函数 f 的定义域为D，如果存在实数 M 满足：
①" x, y D，都有 f x, y M ，
②$ x0 , y 0 D ，使得 f x0 , y0 = M .
那么，我们称 M 是二元函数 f 的最小值.求
f x, y = y + sin2x 1 y + - cos2x, x, y ì x, y , x R, 1 y 2ü ÷ í ∣ 的最大值.
è y 2
【典例 5-2】（2024·江苏盐城·模拟预测）根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数 z = f (x, y)在约束
条件 g(x, y)的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数 L(x, y,l) = f (x, y) + lg(x, y)，其中 l 为拉
格朗日系数．分别对L(x, y,l)中的 x, y, λ部分求导，并使之为 0，得到三个方程组，如下：
ìLx (x, y,l) = fx (x, y) + lgx (x, y) = 0

íLy (x, y,l) = f y (x, y) + lg y (x, y) = 0，解此方程组，得出解 ( x , y ) ，就是二元函数 z = f (x, y)在约束条件

Ll (x, y,l) = g(x, y) = 0
g(x, y)的可能极值点． x, y 的值代入到 f (x, y)中即为极值．
补充说明：【例】求函数 f (x, y) = x2 + xy + y2关于变量 x的导数．即：将变量 y 当做常数，即：
fx (x, y) = 2x + y ，下标加上 x，代表对自变量 x 进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的 Lx , L y , Ll 表示
分别对 x, y, λ进行求导．
(1)求函数 f (x, y) = x2 y2 + 2xy + xy2关于变量 y 的导数并求当 x = 1处的导数值．
(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数 x, y 满足 g(x, y) = 4x2 + y2 + xy -1 = 0，求 f (x, y) = 2x + y 的最大值．
(3)①若 x, y, z为实数，且 x + y + z =1 2 2，证明： x + y + z2 1 ．
3
2a2 1 1②设 a > b > c > 0 ，求 + + -10ac + 25c2ab a(a b) 的最小值．-
【变式 5-1】（2024·全国·模拟预测）已知变量 x，y，z，当 x，y 在某范围 D 内任取一组确定的值时，若变
量 z 按照一定的规律 f，总有唯一确定的 x，y 与之对应，则称变量 z 为变量 x，y 的二元函数，记作
z = f x, y 1．已知二元函数 f x, y = 2x + y 0 y ．
(1)若 xy > 0，求 f x, y × f 1 , 1 ÷的最小值．
è x y
(2)对任意实数 x，不等式 f x,a + f x, 2a a 恒成立，求实数 a 的取值范围．
题型六：切线函数新定义
【典例 6-1】若两个函数 y = f x 与 y = g x 在 x = x0处有相同的切线，则称这两个函数相切，切点为
x0, f x0 .
(1)判断函数 y = sin x 与 y = x 是否相切；
1 2 1 1(2)设反比例函数 y = 与二次函数 y = ax +bx a 0 相切，切点为 t, ÷ .求证：函数 y = 与 y = ax2 + bx 恰有x è t x
两个公共点；
(3)若 0 < a < 1，指数函数 y = a x 与对数函数 y = loga x相切，求实数a的值；
(4)设（3）的结果为 a0，求证：当0 < a < a0 时，指数函数 y = a x 与对数函数 y = loga x的图象有三个公共点.
【典例 6-2】对给定的在定义域内连续且存在导函数的函数 f x ，若对在 f x 定义域内的给定常数a，存
在数列 an 满足 a1 在 f x 的定义域内且 a1 > a ，且对"n 2,n N*, y = f x 在区间 a, an-1 的图象上有且
仅有在 x = an 一个点处的切线平行于 a, f a 和 an-1, f an-1 的连线，则称数列 an 为函数 f x 的“a关
联切线伴随数列”.
(1)若函数 f x = x2 ，证明："a R, f x 都存在“a关联切线伴随数列”；
(2)若函数 g x = x -1 3，数列 an 为函数 g x 的“1 关联切线伴随数列”，且 a1 = 3 +1，求 an 的通项公
式；
(3)若函数h x = mx3 + 6sinx，数列 bn 为函数h x 的“b关联切线伴随数列”，记数列 bn 的前n项和为 Sn ，
证明：当m 1,b 0时， Sn +bn n-1 b+ 2b1 .
【变式 6-1】（2024·广西·二模）定义：若函数 f x 图象上恰好存在相异的两点P,Q 满足曲线 y = f x
在 P 和Q处的切线重合，则称P,Q 为曲线 y = f x 的“双重切点”，直线 PQ 为曲线 y = f x 的“双重切线”.
y x 5 1(1)直线 = - 2是否为曲线 f x = x - 2x + 2lnx的“双重切线”，请说明理由；
2 2
ì ex+1, x 0,
(2)已知函数 g x = í 4 求曲线 y = g x 的“双重切线”的方程；
6 - , x > 0, x
(3)已知函数h x = cosx，直线 PQ 为曲线 y = h x 的“双重切线”，记直线 PQ 的斜率所有可能的取值为
k 15
k1, k2 ,L,kn ，若 k1 > k2 > ki i = 3,4,5,L,n 1，证明： 【变式 6-2】（2024·高三·贵州贵阳·开学考试）牛顿迭代法是牛顿在 17 世纪提出的一种在实数域和复
数域上近似求解方程的方法．比如，我们可以先猜想某个方程 f x = 0的其中一个根 r 在 x = x0的附近，如
图所示，然后在点 x0 , f x0 处作 f x 的切线，切线与 x轴交点的横坐标就是x1，用x1代替 x0 重复上面的
过程得到x2；一直继续下去，得到 x0 ，x1，x2，……， xn．从图形上我们可以看到x1较 x0 接近 r ，x2较x1
接近 r ，等等．显然，它们会越来越逼近 r ．于是，求 r 近似解的过程转化为求 xn，若设精度为e，则把首
次满足 xn - xn-1 < e 的 xn称为 r 的近似解．
已知函数 f x = x3 + a - 2 x + a， a R ．
(1)当 a = 1时，试用牛顿迭代法求方程 f x = 0满足精度e = 0.5 的近似解（取 x0 = -1，且结果保留小数点
后第二位）；
(2)若 f x - x3 + x2lnx 0，求a的取值范围．
题型七：非典型新定义函数
【典例 7-1】（2024·湖南长沙·二模）极值的广义定义如下：如果一个函数在一点的一个邻域（包含该点
的开区间）内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）
值.
y = f x x x f x0 + Dx - f x对于函数 ，设自变量 x x 从 0 变化到 0 + D ，当Dx > 0， lim 0 是一个确定的值，
Dx 0 Dx
则称函数 y = f x f x + Dx - f x 在点 x0 处右可导；当Dx < 0， lim 0 0 是一个确定的值，则称函数
Dx 0 Dx
y = f x 在点 x0 处左可导.当函数 y = f x 在点 x0 处既右可导也左可导且导数值相等，则称函数 y = f x 在
点 x0 处可导.
(1)请举出一个例子，说明该函数在某点处不可导，但是该点是该函数的极值点；
2
(2)已知函数 f x = x2eax +1 - x3 sin x - ex2 .
ax2（ⅰ）求函数 g x = e +1 - x sin x - e在 x = 0处的切线方程；
（ⅱ）若 x = 0为 f x 的极小值点，求 a 的取值范围.
【典例 7-2】（2024·高三·重庆·期中）若函数 f x 在定义域内存在两个不同的数 x1, x2 ，同时满足
f x1 = f x2 ，且 f x 在点 x1, f x1 , x2 , f x2 处的切线斜率相同，则称 f x 为“切合函数”
(1)证明： f x = x3 -2x为“切合函数”；
(2)若 g x = xlnx - x2 + ax为“切合函数”，并设满足条件的两个数为 x1, x2 ．
1
（ⅰ）求证： x1x2 < ；4
3
（ⅱ）求证： a +1 2 x1x2 - x1x2 < ．4
【变式 7-1】（2024·上海·模拟预测）已知函数 y = f x , x D，如果存在常数 M ，对任意满足
n
x1 < x2 i=2
恒成立，则称函数 y = f x , x D是“绝对差有界函数”
ln x
(1)函数 f x = , x 1 是“绝对差有界函数”，求常数 M 的取值范围；
x e
(2)对于函数 y = f x , x a,b ，存在常数 k，对任意的 x1, x2 a,b ，有 f x1 - f x2 k x1 - x2 恒成立，
求证：函数 y = f x , x a,b 为“绝对差有界函数”
ì
x cos
π ,0 < x 1
(3)判断函数 f x = í 2x 是不是“绝对差有界函数”？说明理由
0, x = 0
【变式 7-2】（2024·上海·三模）设函数 y = f x 的定义域为 D，对于区间 I = a,b I D ，当且仅当函
数 y = f x 满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间 I 是 y = f x 的一个“美好区间”．
性质①：对于任意 x0 I ，都有 f (x0 ) I ；性质②：对于任意 x0 I ，都有 f (x0 ) I ．
(1)已知 f x = -x2 + 2x， x R ．分别判断区间 0,2 和区间 1,3 是否为函数 y = f x 的“美好区间”，并说
明理由；
f (x) 1(2)已知 = x3 - x2 - 3x +12(x R)且m > 0，若区间 0,m 是函数 y = f x 的一个“美好区间”，求实数
3
m的取值范围；
(3)已知函数 y = f x 的定义域为R ，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意 a < b，都有
f a - f b > b -a．求证：函数 y = f x 存在“美好区间”，且存在 x0 R ，使得 x0 不属于函数 y = f x 的
任意一个“美好区间”．
题型八：拐点、好点 、不动点、S 点
【典例 8-1】（2024·高三·福建泉州·期中）记 f x 、 g x 分别为函数 f x 、 g x 的导函数．若存在
x0 R ，满足 f x0 = g x0 且 f x0 = g x0 ，则称 x0 为函数 f x 与 g x 的一个“S点”．
2
（1）证明：函数 f x = x与 g x = x + 2x -2不存在“S点”；
2
（2）若函数 f x = ax -1与 g x = ln x存在“S点”，求实数a的值．
【典例 8-2】对于函数 f（x），若存在实数 x0 满足 f x0 = x0 ，则称 x0 为函数 f（x）的一个不动点.已知函数
f x = x3 + ax2 +bx +3，其中a,b R
(1)当 a = 0时，
（i）求 f（x）的极值点；
（ii）若存在 x0 既是 f（x）的极值点，又是 f（x）的不动点，求 b 的值：
(2)若 f（x）有两个相异的极值点x1，x2，试问：是否存在 a，b 使得x1，x2均为 f（x）的不动点？证明你
的结论.
【变式 8-1】记 y = f x ， y = g x 分别为函数 y = f x ， y = g x 的导函数．若存在 x0 R ，满足
f x0 = g x0 且 f x0 = g x0 ，则称 x0 为函数 y = f x 与 y = g x 的一个“好点”．
(1)判断函数 f x = x 2与 g x = x - x +1是否存在“好点”，若存在，求出“好点”；若不存在，请说明珵由；
(2)若函数 f x = ax 3 - 1与 g x = ln x存在“好点”，求实数a的值；
x
(3) 2已知函数 f x = -x + a， g x be= ，若存在实数 a > 0，使函数 y = f x 与 y = g x 在区间 2,+ 内
x
存在“好点”，求实数b的取值范围．
【变式 8-2】给出定义：设 f x 是函数 y = f x 的导函数， f x 是函数 f x 的导函数，若方程
f x = 0有实数解 x = x0，则称 x0, f x0 为函数 y = f x 的“拐点”.经研究发现所有的三次函数
f x = ax3 +bx2 + cx + d a 0 都有“拐点”，且该“拐点”也是函数 y = f x 图象的对称中心.
(1)若函数 f x = x3 +3x2 -9x -1，求函数 f x 图象的对称中心；
(2)已知函数 g x = 2mx3 + é6ln mx -15
18 5
ù x
2 + x - 2 +1，其中m > 0 .m m
（ⅰ）求 g x 的拐点；
（ⅱ）若 g x1 + g x2 = 2 0 < x1 < x
1
2 ，求证：0 < x1 < < x2 .m
【变式 8-3】（2024·河南·三模）设函数 f x 的导函数为 f x , f x 的导函数为 f x , f x 的导函数
为 f x .若 f x0 = 0，且 f x0 0，则 x0, f x0 为曲线 y = f x 的拐点.
(1)判断曲线 y = x6 是否有拐点，并说明理由；

(2)已知函数 f x = ax5 -5x3 2 2，若 , f ÷÷÷÷为曲线 y = f x 的一个拐点，求 f x 的单调区间与极值.
è 2 è 2
题型九：各类函数新概念
【典例 9-1】定义：函数m x ，n x 的定义域的交集为 D， A D ，若对任意的 x0 A ，都存在 x1, x2 D ，
使得x1， x0 ，x2成等比数列，m x1 ，n x0 ，m x2 成等差数列，那么我们称m x ，n x 为一对“ K 函
a x
数”，已知函数 f x = x - ln ， g x = ax， a > 0．
4 a
（Ⅰ）求函数 f x 的单调区间；
（Ⅱ）求证： f x a 4 - a ；4
4
（Ⅲ）若 A = 1,+ ，对任意的 a S ， f x ， g x 为一对“ K 函数”，求证： S é1,e ．（ e 为自然对数的
底数）
【典例 9-2】（2024·山东·模拟预测）如果 h(x) 是定义在区间 D 上的函数，且同时满足：① h (x)h(x) > 0 ；
2
② h (x)与 h(x) x的单调性相同，则称函数 h(x) 在区间 D 上是“链式函数”.已知函数 f (x) = ex - - x -1，
2
2
g(x) = 1 x- - cos x .
2
（1）判断函数 f ( x ) 与 g(x)在 (0, + )上是否是“链式函数”，并说明理由；
4 sin x
（2）求证：当 x > 0时， e x + cos x - 2 > 3 + cos x .
【变式 9-1】（2024·上海奉贤·一模）若函数 y = f (x) 满足：对任意的实数 s ， t (0,+ )，有
f (s + t) > f (s) + f (t)恒成立，则称函数 y = f (x) 为 “ S 增函数” ．
(1)求证：函数 y = sin x 不是“ S 增函数”；
(2)若函数 y = 2x-1 - x - a是“ S 增函数”，求实数a的取值范围；
(3)设 g x = ex ln 1+ x ，若曲线 y = g(x)在 x = x0处的切线方程为 y = x ，求 x0 的值，并证明函数 y = g(x)
是“ S 增函数”．
【变式 9-2】（2024·高三·陕西安康·期末）已知函数 f x = 6ln x -3 x2 +12ax a R .
(1)若 f x 在其定义域内是增函数，求a的取值范围；
(2)定义：若 f x 在其定义域内单调递增，且 f x + g x 在其定义域内也单调递增，则称 g x 为 f x 的
“协同增函数”.
已知函数 g x = 4x3 -18ax2 +12 2- a x，若 g x 是 f x 的“协同增函数”，求a的取值范围.
1．（2024·湖北·二模）记 A = l x l x = kx + m,k,m R ，若 l0 x A，满足：对任意 l x A，均有
max | f (x) - l(x) | max | f (x) - l (x) |
x [a ,b ] x [a ,b ] 0 ，则称 l0 x 为函数 f x 在 x a,b 上“最接近”直线．已知函数
g x = 2lnx - x2 +3，x r, s ．
(1)若 g r = g s = 0，证明：对任意 l x A，max g x - l x 1；
1+ x 2 + g x
(2)若 r = 1， s = 2 ，证明： g x 在 x 1,2 上的“ 0最接近”直线为： l 00 x = 2ln2 - 3 x - ÷ + ，
è 2 2
其中 x 1,2 20 且为二次方程2x + 2ln2-3 x - 2 = 0的根．
2．（2024·高三·浙江宁波·期末）在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯
曲程度．考察如图所示的光滑曲线 C： y = f x 上的曲线段 AB ，其弧长为Ds ，当动点从 A 沿曲线段 AB
运动到 B 点时，A 点的切线 lA 也随着转动到 B 点的切线 lB ，记这两条切线之间的夹角为Dq （它等于 lB 的
倾斜角与 lA 的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，
Δq
弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义K = 为曲线段 AB 的平均曲率；显然当 B 越接近 A，即Ds 越Δs
K lim Δq
y
= =
小，K 就越能精确刻画曲线 C 在点 A 处的弯曲程度，因此定义 Δs 0 Δs 3 （若极限存在）为 1+ y 2 2
曲线 C 在点 A 处的曲率．（其中 y＇，y＇＇分别表示 y = f x 在点 A 处的一阶、二阶导数）
(1)求单位圆上圆心角为 60°的圆弧的平均曲率；
2 1
(2) x求椭圆 + y2 =1在 3, ÷处的曲率；4 è 2
2 2 y
(3)定义j y = 3 为曲线 y = f x 的“柯西曲率”．已知在曲线 f x = x ln x - 2x 上存在两点 1+ y
P x1, f x1 和Q x2 , f x2 ，且 P，Q 处的“柯西曲率”相同，求 3 x 31 + x2 的取值范围．
3．（2024·高三·辽宁·期中）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲
线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若 f x 是 f x 的导函数，
f (x)
f x 是 f x 的导函数，则曲线 y = f x K =在点 x, f x 处的曲率 3 ．1+ f (x) 2 2
(1)求曲线 f x = lnx + x在 1,1 处的曲率K1的平方；
(2)求余弦曲线h x = cosx(x R)曲率 K 2 的最大值；
4．已知定义在R 上的函数 f x 的导函数为 f x ，若 f x 1对任意 x R 恒成立，则称函数 f x 为“线
性控制函数”.
(1)判断函数 f x = sinx和 g x = ex是否为“线性控制函数”，并说明理由；
(2)若函数 f x 为“线性控制函数”，且 f x 在R 上严格增，设 A B 为函数 f x 图像上互异的两点，设直线
AB 的斜率为 k，判断命题“ 0 < k 1”的真假，并说明理由；
(3)若函数 f x 为“线性控制函数”，且 f x 是以T(T > 0)为周期的周期函数，证明：对任意 x1, x2 都有
f x1 - f x2 T .
5．（2024·上海徐汇·二模）已知常数 k为非零整数，若函数 y = f x ， x 0,1 满足：对任意 x1, x2 0,1 ，
f x1 - f x2 x1 +1
k - x2 +1
k
，则称函数 y = f x 为 L k 函数.
(1)函数 y = 2x， x 0,1 是否为L 2 函数﹖请说明理由；
(2)若 y = f x 为 L 1 函数，图像在 x 0,1 是一条连续的曲线， f 0 = 0， f 1 1= ，且 f x 在区间
2
0,1 上仅存在一个极值点，分别记 f x fmax 、 x y = f x f x - f xmin 为函数 的最大、小值，求 max min
的取值范围；
(3)若 a > 0， f x = 0.05x2 + 0.1x + a ln x +1 ，且 y = f x 为 L -1 函数， g x = f x ，对任意 x, y 0,1 ，
恒有 g x - g y M ，记 M 的最小值为M a ，求a的取值范围及M a 关于a的表达式.
6．（2024·上海奉贤·二模）设函数 y = f x 的定义域是 R，它的导数是 f x ．若存在常数m (m R)，
使得 f x + m = - f x 对一切 x恒成立，那么称函数 y = f x 具有性质 P m ．
(1)求证：函数 y = ex 不具有性质 P m ；
(2)判别函数 y = sin x 是否具有性质 P m ．若具有求出m的取值集合；若不具有请说明理由．
k
7．（2024·河北石家庄·一模）已知函数 f x = 2x - - k +1 ln x， k > 0 .
x
(1)当 k = 1时，过坐标原点O 作曲线 y = f x 的切线，求切线方程；
(2)设定义在 I 上的函数 y = h x 在点 P(x0 ,y0 ) 处的切线方程为 y = l x ，对任意 x x0，若
h x - l x x - x0 > 0在 I 上恒成立，则称点 P 为函数 y = h x 的“好点”，求函数 y = f x 在 0,+ 上所
有“好点”的横坐标（结果用 k表示）.
8．对于定义在 D 上的函数 f x ，其导函数为 f x ．若存在 k D ，使得 f k = f k ，且 x = k 是函数
f x 的极值点，则称函数 f x 为“极致 k 函数”．
(1)设函数 f x = x + a tan x π x π，其中- < < ， a R ．
2 2
①若 f x 是单调函数，求实数 a 的取值范围；
②证明：函数 f x 不是“极致 0 函数”．
(2)对任意m R，证明：函数 g x = xsin x + mcos x - m是“极致 0 函数”．
9．曲线的曲率定义如下：若 f '(x)是 f ( x ) 的导函数， f "(x)是 f '(x)的导函数，则曲线 y = f (x) 在点
K | f "(x) |(x, f (x)) = 3 . x处的曲率 已知函数 f x = e cos x 2 ，
g x = acos x + x a < 0 ，曲线 y = g(x)在
1+ [ f '(x)] 2
点 (0, g(0)) 2处的曲率为 ．
4
（1）求实数a的值；
2 x
π
é- ,0ù（ ）对任意的 ê ú， tf x - g x 02 恒成立，求实数 t 的取值范围；
π π
（3）设方程 f x = g x 在区间 2nπ + , 2nπ + ÷（ n N+ ）内的根从小到大依次为 x , x3 2 1 2 ,L , xn ,L，求证：è
xn+1 - xn > 2p ．
10．（2024·湖南永州·三模）曲线的曲率定义如下：若 f (x) 是 f ( x ) 的导函数，令j (x) = f (x) ，则曲线
j (x) 2
y = f (x) 在点 x, f x 处的曲率 K = x3 ．已知函数 f (x) = + x(a > 0) ， g(x) = (x +1)ln(x +1)，
(1+ f (x) 2 )2 a
且 f ( x ) 在点 (0, f (0)) 2处的曲率K = ．
4
（1）求a的值，并证明：当 x > 0时， f (x) > g(x)；
b ln(n +1)
n
（2）若 n = ，且Tn = b1 × b2 × b3 L bn (n N
* ) ，求证： 1-
n +1 (n + 2)Tn < e
2 ．
x
11．（2024·江苏淮安·三模）定义可导函数 y = f (x) 在 x 处的弹性函数为 f (x) × ，其中 f (x) 为 f ( x )f (x)
的导函数．在区间 D 上，若函数 f ( x ) 的弹性函数值大于 1，则称 f ( x ) 在区间 D 上具有弹性，相应的区间
D 也称作 f ( x ) 的弹性区间．
（1）若 r( x) = e x - x + 1，求 r(x) 的弹性函数及弹性函数的零点；
（2）对于函数 f (x) = (x - 1)e x + ln x - tx （其中 e 为自然对数的底数）
（ⅰ）当 t = 0时，求 f ( x ) 的弹性区间 D；
（ⅱ）若 f ( x) > 1在（i）中的区间 D 上恒成立，求实数 t 的取值范围．
1+ ln x
12．（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数 f x = .
x
（1）求函数 f x 的图象在 x=e（ e 为自然对数的底数）处的切线方程；
（2）若对任意的 x D ，均有m x n x ，则称m x 为n x 在区间D上的下界函数，n x 为m x 在区
间D上的上界函数.
x
①若 g x e= ，求证： g x 为 f x 在 0,+ 上的上界函数；
x +1
②若 g x k= ， g x 为 f x 在 1,+ 上的下界函数，求实数 k的取值范围.
x +1
13．（2024·高三·全国·课后作业）设 f(x)是定义在区间(1，+∞)上的函数，其导函数为 f ' x .如果存在实
数 a 和函数 h(x)，其中 h(x)对任意的 x∈(1，+∞)都有 h(x)>0，使得 f ' x =h(x)(x2-ax+1)，则称函数 f(x)具有
性质 P(a).
f (x) ln x b + 2(1)设函数 = + (x >1)，其中 b 为实数.
x +1
①求证：函数 f(x)具有性质 P(a).②求函数 f(x)的单调区间.
(2)已知函数 g(x)具有性质 P(2)，给定 x1，x2∈(1，+∞)，x1a = mx1 + (1- m)x2 , b = (1- m)x2 + mx2 ，且a >1,b >1.若 g(a ) - g(b ) < g x1 - g x2 ，求实数 m 的取值范
围
14．（2024·甘肃·二模）已知函数 f (x) = ex
ax
+ -1（ a R 且a为常数）．
x +1
（1）当 a = -1时，讨论函数 f ( x ) 在 (-1,+ )的单调性；
（2）设 y = t(x)可求导数，且它的导函数 t ' (x) 仍可求导数，则 t ' (x) 再次求导所得函数称为原函数 y = t(x)
的二阶函数，记为 t '' (x) ，利用二阶导函数可以判断一个函数的凹凸性．一个二阶可导的函数在区间[a,b]上
是凸函数的充要条件是这个函数在 (a , b)的二阶导函数非负．
若 g(x) = (x +1)[ f (x) +1] (a
1
+ - 4 )x
2
在 (- ,-1)不是凸函数，求a的取值范围．
2e
15．已知函数 f (x) = x2 - (a + 2)x + a ln x ，其中实数 a > 0．
(1)讨论函数 f x 的单调性；
(2)设定义在D上的函数 y = h x 在点P x0,h x0 处的切线的方程为 y = g x ，当 x x0时，若
h(x) - g(x)
> 0
x - x 在D内恒成立，则称 P 为
y = h x 的“类对称点”当 a = 4时，试问 y = f x 是否存在“类对称
0
点”？若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由.
16．曲率是曲线的重要性质，表征了曲线的“弯曲程度”，曲线曲率解释为曲线某点切线方向对弧长的转动
f x
K =
率，设曲线C : y = f x 具有连续转动的切线，在点 x, f x 处的曲率 32 ，其中 f x 为é
ê1+ f x ù
2
ú
f x 2的导函数， f x 为 f x 的导函数，已知 f x = x ln x a- x3 3- x2 ．
3 2
(1) a = 0时，求 f x 在极值点处的曲率；
(2) a > 0时， f x 是否存在极值点，如存在，求出其极值点处的曲率；
(3) g x = 2xex - 4ex + a2x2 a 1 ， 0, ÷ ，当 f x ， g x 曲率均为 0 时，自变量最小值分别为 x1，x2，求证：è e
x1 > e2．
ex2
17．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡量曲线弯
曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若 f x 是 f x 的导函数， f x 是 f x 的导函数，则
f x
曲线 y = f x 在点 x, f x K =处的曲率 3 .1+ é f x 2ù 2
(1)求曲线 f x = ln x + x在 1,1 处的曲率K1的平方；
(2)求余弦曲线h x = cos x x R 曲率 K 2 的最大值；
(3)余弦曲线h x = cos x x R x，若 g x = e h x + xh x g x é π , π，判断 在区间 ê-
ù
上零点的个数，并写
2 2 ú
出证明过程.
18 3 2．对于三次函数 f x = ax +bx + cx + d a 0 ．定义：① f x 的导数为 f x ， f x 的导数为 f x ，
若方程 f x = 0有实数解 x0 ，则称点 x0, f x0 为函数 y = f x 的“拐点”；②设 x0 为常数，若定义在R 上
的函数 y = f x 对于定义域内的一切实数 x，都有 f x0 + x + f x0 - x = 2 f x0 恒成立，则函数 y = f x
的图象关于点 x0, f x0 对称．
(1)已知 f x = x3 -3x2 + 2x + 2，求函数 f x 的“拐点” A 的坐标；
(2)检验（1）中的函数 f x 的图象是否关于“拐点” A 对称.
19．一般地，设函数 f ( x ) 在区间[a，b]上连续，用分点 a = x0 < x1 成n个小区间．每个小区间长度为Δx Δx = xi - xi-1 ．在每个小区间 xi-1, xi 上任取一点xi i =1,2,L,n 作和
n n
式 Sn = f xi Δx = f xi xi - xi-1 ．如果Δx 无限接近于 0（亦即 n + ）时，上述和式 Sn 无限趋于常
i=1 i=1
b
数S，那么称该常数S为函数 f ( x ) 在区间[a，b]上的定积分，记为 S = ò f (x)dx．当 f (x) 0时，定积分a
b
ò f (x)dx 的几何意义表示由曲线 y = f (x) ，两条直线 x = a, x = b与 x轴所围成的曲边梯形的面积．如下图a
所示：
b
b
如果函数 f ( x ) 是区间[a，b]上的连续函数，并且F (x) = f (x)，那么 ò f (x)dx = F (x) = F (b) - F (a).a
a
2
(1)求 ò ex + 2x dx ；
1
(2)设函数 f (x) = ln(x +1), g (x) = x × f (x)(x 0)．
①若 f (x) mg(x)恒成立，求实数m的取值范围；
n n
②数列 an 满足a1 =1,an = g an-1 ，利用定积分的几何意义，证明： ai < ln n < ai ．
i=2 i=1
20．若函数 f x 在 a,b 上有定义，且对于任意不同的 x1, x2 a,b ，都有 f x1 - f x2 < l x1 - x2 ，则称
f x 为 a,b 上的“ l 类函数”.
2
(1)若 f x x= + x，判断 f x 是否为 1,2 上的“2 类函数”；
2
2
(2)若 f x = a x x-1 ex - - x ln x ，为 1,2 上的“2 类函数”，求实数 a 的取值范围.
2
21 3 2．对于三次函数 f x = ax +bx + cx + d a 0 ．定义：① f x 的导数为 f x ， f x 的导数为 f x ，
若方程 f x = 0有实数解 x0 ，则称点 x0, f x0 为函数 y = f x 的“拐点”；②设 x0 为常数，若定义在R 上
的函数 y = f x 对于定义域内的一切实数 x，都有 f x0 + x + f x0 - x = 2 f x0 恒成立，则函数 y = f x
的图象关于点 x0, f x0 对称．
(1)已知 f x = x3 -3x2 + 2x + 2，求函数 f x 的“拐点” A 的坐标；
(2)检验（1）中的函数 f x 的图象是否关于“拐点” A 对称；
(3)对于任意的三次函数 f x = ax3 +bx2 + cx + d a 0 写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）．
22．一般地，设函数 f x 在区间 a,b 上连续，用分点 a = x0 < x1 n个小区间，每个小区间长度为Δx Δx = xi - xi-1 ，在每个小区间 xi-1, xi 上任取一点xi i =1,2,L,n ，作和
n n
式 Sn = f xi Dx = f xi xi - xi-1 ．如果Dx 无限接近于 0（亦即 n + ）时，上述和式 Sn 无限趋近于
i=1 i=1
b
常数S，那么称该常数S为函数 f x 在区间 a,b 上的定积分，记为 S = ò f (x)dx．当 f x 0时，定积分a
b
ò f x dx 的几何意义表示由曲线 y = f x ，两直线 x = a, x = b与 x轴所围成的曲边梯形的面积．如果 f x
a
b
b
是区间 a,b 上的连续函数，并且F x = f x ，那么 ò f x dx = F x = F b - F a a ．
a
2
(1)求 ò ex + x dx ；1
(2)设函数 f x = ln x +1 , g x = xf x x 0 ．
①若 f x mg x 恒成立，求实数m的取值范围；
n n
②数列 an 满足a1 = 1,an = g an-1 ，利用定积分几何意义，证明： ai < ln n < ai ．
i=2 i=1
23．已知函数 f x = ex - ax2(a > 0)．
(1)若 x 0,+ 时，函数 f x 有 2 个不同的零点，求a的取值范围；
(2)已知 f x 为函数 f x 的导函数， f x 在R 上有极小值 0，对于某点P x0 , f x0 ， f x 在 P 点的切
线方程为 y = g x ，若对于"x R ，都有 x - x0 × é f x - g x ù 0 ，则称 P 为好点．
①求a的值；
②求所有的好点．
24．记 f x = f x ， f x 为 f x 的导函数.若对"x D ， f x > 0，则称函数 y = f x 为 D 上的“凸
1
函数”.已知函数 f x = ex - x3 - ax2 -1， a R .
3
(1)若函数 f x 为R 上的凸函数，求 a 的取值范围；
(2)若函数 y = f x 在 1,+ 上有极值，求 a 的取值范围.
25．已知函数 f x ln x 1= - ax2 + a -1 x a R, a 0 .
2
(1)当 a < -1时，求函数 f x 的单调递增区间；
(2)记函数F x 的图象为曲线C ，设点 A x1, y1 、B x2, y2 是曲线C 上两个不同点，如果曲线C 上存在
M x 0, y x + x0 ，使得：① x 1 20 = ；②曲线C 在点 M 处的切线平行于直线 AB ，则称函数F x 存在“中值2
相依切线”.试问：函数 f x 是否存在中值相依切线，说明理由.

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