资源简介

第 02 讲 三角恒等变换
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点 1：两角和与差的正余弦与正切 ....................................................................................................................4
知识点 2：二倍角公式 ................................................................................................................................................4
知识点 3：降次（幂）公式 ........................................................................................................................................5
知识点 4：半角公式 ....................................................................................................................................................5
知识点 4：辅助角公式 ................................................................................................................................................6
解题方法总结 ...............................................................................................................................................................7
题型一：两角和与差公式的证明 ...............................................................................................................................8
题型二：两角和与差的三角函数公式 .....................................................................................................................12
题型三：两角和与差的三角函数公式的逆用与变形 .............................................................................................14
题型四：利用角的拆分求值 .....................................................................................................................................16
题型五：给角求值 .....................................................................................................................................................18
题型六：给值求值 .....................................................................................................................................................20
题型七：给值求角 .....................................................................................................................................................22
题型八：正切恒等式及求非特殊角 .........................................................................................................................25
题型九：三角恒等变换的综合应用 .........................................................................................................................27
题型十：辅助角公式的高级应用 .............................................................................................................................30
题型十一：积化和差、和差化积公式 .....................................................................................................................32
04 真题练习·命题洞见........................................................................................................................35
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................36
06 易错分析·答题模板........................................................................................................................39
易错点：不会应用辅助角公式 .................................................................................................................................39
答题模板：三角关系式的化简求值 .........................................................................................................................40
考点要求 考题统计 考情分析
三角恒等变换位于三角函数与数学变换
2024年 I卷第 4题，5分 的结合点上，高考会侧重综合推理能力和运
（1）基本公式 2024年 II卷第 13题，5分 算能力的考查，体现三角恒等变换的工具性
（2）三角恒等变换 2024年甲卷第 8题，5分 作用，以及会有一些它们在数学中的应用．
求值 2023年 II卷第 7题，5分 这就需要同学熟练运用公式，进一步提
（3）辅助角公式 2023年 I卷 II卷第 8题，5分 高运用联系转化的观点去处理问题的自觉
2022年 II卷第 6题，5分 性，体会一般与特殊的思想、换元的思想、
2021年甲卷第 11题，5分 方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的
作用．
复习目标：
（1）会推导两角差的余弦公式
（2）会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式
（3）掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用
（4）能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等
变换
知识点 1：两角和与差的正余弦与正切
① sin( ) sin cos cos sin ；
② cos( ) cos cos sin sin ；
③ tan( ) tan tan ；
1 tan tan
tan11° + tan19°
【诊断自测】 ° .tan11 tan19° -1
3 1
【答案】- / - 3
3 3
tan11° + tan19° tan11° + tan19° 3
【解析】
° ° - - tan(11
°
° ° +19
° ) - tan 30° - .
tan11 tan19 -1 1- tan11 tan19 3
3
故答案为：-
3
知识点 2：二倍角公式
① sin 2 2sin cos ；
② cos 2 cos2 - sin2 2cos2 -1 1- 2sin2 ；
③ tan 2 2 tan ；
1- tan2
π 3 5π
【诊断自测】已知 sin - ÷ - ，则 cos + 2 ÷的值为（12 5 6 ）è è
24 24 7
A． B．- C 7． D．-
25 25 25 25
【答案】D
cos 5π 2 cos é2 5π ù 2 5π 【解析】 + ÷ ê +6 ÷
2cos + ÷ -1
è ú è 12 è 12
2sin2 π -

÷ -1
9 72 -1 -
25 ，è12 25
故选：D．
知识点 3：降次（幂）公式
sin cos 1 sin 2 ;sin2 1- cos 2 ;cos2 1+ cos 2 ;
2 2 2
2
【诊断自测】已知函数 f x 2sin x cos x + 2 3 cos x - 3 ．
(1)求 f x 的最小正周期和单调区间；
10 π π
(2)
π
若 f ， ,
13 4 2 ÷
，求 cos 2 + ÷的值．
è è 6
2
【解析】（1）因为 f x 2sin x cos x + 2 3 cos x - 3 sin 2x + 3 cos 2x 2sin 2x
π
+ ÷，
è 3
f x 2π可得 的最小正周期T π；
2
2kπ π π令 - 2x + 2kπ
π 5π
+ ,k Z ，解得 kπ - x kπ
π
+ ,k Z；
2 3 2 12 12
令 2kπ
π
+ 2x π+ 2kπ 3π+ ,k Z ，解得 kπ
π
+ x kπ 7π+ , k Z；
2 3 2 12 12
所以 f x é的单调递增区间为 êkπ
5π
- ,kπ π+ ùú ,k Z
é π 7π ù
，单调递减区间为 êkπ + ,kπ + ú ,k Z . 12 12 12 12
（2）因为 f 2sin π 10 π 5 2 + ，即 sin 2 + ，
è 3 ÷ ÷ 13 è 3 13
π , π 2 π 5π , 4π + 且 ÷，则4 2 3 6 3 ÷
，
è è
可得 cos 2 π+ π - 1- sin2 2 + 12 ÷ ÷ - ，
è 3 è 3 13
cos 2 π cos é 2 π π ù cos 2 π π π π 5 -12 3所以 + ÷ ê + ÷ - ú +

÷cos + sin
2 +
6 3 6 3 6 3 ÷
sin .
è è è è 6 26
知识点 4：半角公式
sin 1- cos ;cos 1+ cos ;
2 2 2 2
tan sin 1- cos .
2 1+ cos sin a
【诊断自测】（2024·高三·河北·期末）已知 tan
q 2 sinq sinq ，则 - 的值为 ．
2 1- cosq 1+ cosq
3
【答案】-
2
q
sinq sinq 2sin cos
q 2sin q cos q
2 2 2 2
【解析】（法一） - -1- cosq 1+ cosq 1- cos
2 q - sin2 q 1+ cos2 q - sin2 q
è 2 2 ÷ 2 2 ÷ è
2sin q cos q 2sin q cos q cos q sin q
2 2 - 2 2 2 2 1 q- - tan
2sin2 q 2cos2 q sin q cos q tan q 2
2 2 2 2 2
1
- 2 3 -
2 2 ．
q
tan q
2 tan
（法二）因为 2，所以 tanq 2
2 2 4
- ，
2 1 q- tan2 1- 4 3
2
sinq sinq 2sinq cosq 2sinq cosq 2sinq cosq 2cosq 2
则 - 1- cosq 1+ cosq 1- cosq 1+ cosq 1- cos2 q sin2 q sinq tanq
2 3 3 - ÷ - ．
è 4 2
3
故答案为：- ．
2
知识点 4：辅助角公式
asin + bcos a2 + b2 sin( + ) （其中 sin b a b ，cos ，tan ）．
a2 + b2 a2 + b2 a
【诊断自测】当 x 时， f x 2sinx +cosx 取最小值，求 sin 的值 .
2 5 2
【答案】- / - 5
5 5
f x 2sinx cosx 2 1 【解析】由 + 5 sinx + cosx ÷ 5 sin x +q ，
è 5 5
其中 sinq 5 2 5 ， cosq ，
5 5
又当 x 时， f x 取最小值，
π则 +q 2kπ - ,k Ζ，且 f 5 sin +q - 5 ，
2
sin sin 2kπ π 2 5所以 - -q

2 ÷
-cosq -
è 5
2 5
故答案为：- ．
5
解题方法总结
1、两角和与差正切公式变形
tan tan tan( )(1 tan tan )；
tan tan 1 tan + tan tan - tan - -1．
tan( + ) tan( - )
2、降幂公式与升幂公式
sin 2 1- cos 2 ；cos2 1+ cos 2 ；sin cos 1 sin 2 ；
2 2 2
1+ cos 2 2cos2 ；1- cos 2 2sin 2 ；1+ sin 2 (sin + cos )2 ；1- sin 2 (sin - cos )2 ．
3、其他常用变式
2 2 2
sin 2 2sin cos 2 tan cos 2 cos - sin 1- tan tan sin 1- cos 2 ； ； ．sin + cos2 1+ tan2 sin 2 + cos2 1+ tan2 2 1+ cos sin
4 1、拆分角问题：① =2 ； =( + )- ；② - ( - )；③ [( + ) + ( - )]；
2 2
④ 1 [( + ) - ( - )] ；⑤ + - ( - )．
2 4 2 4

注意：特殊的角也看成已知角，如 - ( - ) ．
4 4
5、和化积公式
sinα + sinβ 2sin + cos -
2 2
sinα - sinβ 2cos + sin -
2 2
cosα cosβ 2cos + cos - +
2 2
cosα - cosβ -2sin + sin -
2 2
6、积化和公式
sinα cosβ 1 ésin + + sin - ù
2
cosα cosβ 1 é cos + + cos - ù2
sinα sinβ 1 é cos - - cos + ù2
题型一：两角和与差公式的证明
【典例 1-1】阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有
sin + sin cos + cos sin ①，
sin - sin cos - cos sin ②，
由① +②得 sin + + sin - 2sin cos ③．
令 + A， - B
A + B A - B A + B A - B
，则 ， ，代入③得 sinA + sinB 2sin cos ．
2 2 2 2
(1)利用上述结论，试求 sin15° + sin75°的值；
(2)类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明： cosA - cosB -2sin
A + B sin A - B ．
2 2
【解析】（1） sin15 sin75 2sin 15° + 75° cos15° - 75° 6° + ° ；
2 2 2
（2）证明：根据两角和与差的余弦公式，有
cos + cos cos - sin sin ①，
cos - cos cos + sin sin ②，
由① - ②得 cos + - cos - -2sin sin ③．
令 + A， - B
A + B A - B A + B A - B，则 ， ，代入③得 cosA - cosB -2sin sin ．
2 2 2 2
【典例 1-2】如图，设单位圆与 x 轴的正半轴相交于点Q(1,0)，当 2k + (k Z) 时，以 x 轴非负半轴
为始边作角 ， ，它们的终边分别与单位圆相交于点P1(cos ,sin )，Q1(cos ,sin ) ．
（1）叙述并利用上图证明两角差的余弦公式；
（2）利用两角差的余弦公式与诱导公式．证明： sin( - ) sin cos - cos sin ．
2 2
（附：平面上任意两点P1 x1, y1 ，P2 x2 , y2 间的距离公式P1P2 x2 - x1 + y2 - y1 )
【解析】（1）两角差的余弦公式为： cos( - ) cos cos + sin sin .
证明：作角 - 的终边与单位圆相交于点P(cos( - ),sin( - )).
连接Q1P1,QP ，
若把扇形OQP绕着点O旋转 角，则点Q, P 分别与点Q1, P1 重合.
根据圆的旋转对称性可知，Q P 与Q 1P1 重合，
从而Q P Q P ，所以QP Q1P1 1 1 .
根据两点间的距离公式，得
[cos( - ) -1]2 + sin2 ( - ) (cos - cos )2 + (sin - sin )2
化简得 cos( - ) cos cos + sin sin .
当 2k + (k Z)时，容易证明上式仍然成立.

（2）证明：由诱导公式可知， sin - -cos + - ÷ .
è 2
cos cos é 而 + - ÷ ê +
- ù cos
2 2 ÷ ú
+ ÷cos + sin + ÷sin
è è è 2 è 2
-sin cos + cos sin ，
故 sin( - ) - -sin cos + cos sin sin cos - cos sin .
即证结论.
【方法技巧】
推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通过余弦定理或向量数
量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路．
【变式 1-1】如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，单位长度为半径的圆上有两点P(cos ,sin ) ，
Q(cos ,sin ) .
uuur uuur
（1）请分别利用向量OP 与OQ 的数量积的定义式和坐标式，证明： cos( - ) cos cos + sin sin .
（2）已知（1）中的公式对任意的 ， 都成立(不用证)，请用该公式计算 cos15°的值，并证明：
sin( + ) sin cos + cos sin .
【解析】（1）证明：根据两个向量的数量积公式可得
uuur uuur
OP OQ cos cos + sin sin ，
再根据两个数量积的定义
uuur uuur uuur uuur
OP OQ OP OQ cos - cos - sin - ，
\cos( - ) cos cos + sin sin .
2 ° °（ ）由（1）可得 cos15 cos 45 - 30°
cos45° cos30° + sin 45° sin 30°
2 3 2 1 6 + 2
+ .
2 2 2 2 4
sin( + ) cos é - ( + )ù
ê 2 ú
cos é ùê - ÷ - ú cos

-

÷cos + sin

- ÷sin
è 2 è 2 è 2
sin cos + cos sin ，即证.
【变式 1-2】在推导很多三角恒等变换公式时，我们可以利用平面向量的有关知识来研究，在一定程度上
可以简化推理过程．如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式：
cos( - ) cos cos + sin sin ．
具体过程如下：如图，在平面直角坐标系 xOy 内作单位圆O，以Ox 为始边作角 , ．它们的终边与单位
圆O的交点分别为 A, B．
uuur uuur uuur uuur
则OA (cos ,sin ),OB (cos ,sin )，由向量数量积的坐标表示，有OA OB cos cos + sin sin ．
uuur uuur uuuv uuuv uuuv uuuv
设OA,OB的夹角为q ，则OA OB | OA OB∣cosq cosq cos cos + sin sin ，另一方面，由图（1）可
知， 2k + +q ；
由图（2）可知 2k + -q ，于是 - 2k q ,k Z ．
所以cos( - ) cosq ，也有 cos( - ) cos cos + sin sin ；
所以，对于任意角 , 有： cos( - ) cos cos + sin sin C - ．
此公式给出了任意角 , 的正弦、余弦值与其差角 - 的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简
记作C - ．有了公式C - 以后，我们只要知道 cos , cos ,sin ,sin 的值，就可以求得 cos( - )的值了．
阅读以上材料，利用图（3）单位圆及相关数据（图中M 是 AB 的中点），采取类似方法（用其他方法解答
正确同等给分）解决下列问题：
uuur 1 uuuur
（1）判断OC uuuur OM| OM | 是否正确？（不需要证明）
sin sin 2sin + cos - （2）证明： + ．
2 2
r 1 r uuur
【解析】（1）因为对于非零向量 n, r n
r uuuur uuur
| n | 是 n方向上的单位向量，又 | OC | 1且OM 与OC 共线，
uuur 1 uuuur
所以OC uuuur OM| OM | 正确；
（2）因为M 为 AB 的中点，则OM ^ AB，
uuuur uuur
| OM | | OA | cos - cos - 从而在△OAM 中， ，
2 2
uuuuuuruuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuvuuuv uuuuv
OC uu1uuv OM + + 又 ，OC cos ,sin ,OM ÷è 2 2
又Q M 是 AB 的中点
uuuur
OM cos + cos , sin + sin
uuuur
\ OM cos - ，\
è 2 2 ÷ 2
sin + 1 sin + sin
所以 2 - ÷è 2 ，化简得， sin + sin 2sin
+ cos -
cos ．2 2
2
结论得证.
题型二：两角和与差的三角函数公式
【典例 2-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知 sin sin
π π π +
cos sin
6 ÷
- ，则 tan 2α +
3 ÷ 4 ÷

è è è
（ ）
A． 2 - 3 B． -2 - 3 C． 2 + 3 D．-2 + 3
【答案】B
3
【解析】由题意 sin2 1+ sin cos 3 cos2 1- sin cos 3，即 cos 2 1 sin 2 ，
2 2 2 2 2 2
tan 2
π
+ tan 23 +1
即 tan 2 3 ，所以 tan 2
π
+ 4 3 +1÷ π -2 - 3 .è 4 1- tan 2 tan 1- 3 -2
4
故选：B.
π
【典例 2-2】（2024·浙江·三模）若 sin - + cos - 2 2sin - 4 ÷sin ，则（ ）è
A． tan - -1 B． tan - 1
C． tan + -1 D． tan + 1
【答案】C
【解析】因为 sin - + cos - 2 2sin π- sin ，
è 4 ÷
所以 sin cos - cos sin + cos cos + sin sin 2 2 sin cos
π
- cos sin π ÷sin ，
è 4 4
即 sin cos - cos sin + cos cos + sin sin 2sin sin - 2cos sin ，
即 sin cos + cos cos sin sin - cos sin ，
两边同除 cos cos 可得 tan +1 tan tan - tan ，
所以 tan tan + tan + -11- tan tan .
故选：C
【方法技巧】
两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用 α，β 的三角函数表示 的三角函数，
在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．
1
【变式 2-1】（多选题）下列选项中，值为 2 的是（ ）
A． 2cos2 15° B． sin 27° cos 3° + cos 27° sin 3°
tan 22.5°
C． 2sin15°sin 75° D．
1- tan2 22.5°
【答案】BCD
A 2cos2 15 1 cos30 1 3【解析】选项 ： ° + ° + ，故选项 A 不符合题意；
2
选项 B： sin 27°cos3° + cos 27°sin 3
1
° sin 30° ，故选项 B 符合题意；
2
1
选项 C： 2sin15sin 75° 2sin15°cos15° sin 30° ，故选项 C 符合题意；
2
选项 D
tan 22.5° 1 2 tan 22.5° 1 1
： 2 tan 45° 1 tan 22.5 ，故选项 C 符合题意.- ° 2 1- tan2 22.5° 2 2
故选：BCD.
π
【变式 2-2】（多选题）已知0 < < < ，且 tan , tan 是方程
2 21x
2 -10x +1 0的两根，下列选项中正确
的是（ ）
sin +
A． tan + 1 6 B．
2 cos - 11
C． tan - 4 - D． + 2 π
11 4
【答案】AD
π
【解析】 tan , tan 是方程 21x2 -10x +1 0的两根，又0 < < < ，2
解得 tan
1
, tan 1 ，
7 3
1 1
+
tan + tan + tan 1 7 3 ，A 选项正确；
1- tan tan 1 1 1- 2
7 3
sin + sin cos + cos sin tan + tan 5

cos - cos cos + sin sin 1+ tan tan 11，B 选项错误；
1 1
-
tan - tan - tan 2 7 31 1 - ，C 选项错误；1+ tan tan 1+ 11
7 3
0 < < π< ， tan + 1 ，则0 π< + < ，有0 < + 2 < π，
2 2 2
1 1
tan + + tan
+
tan + 2 tan é + + ù 2 31 1 1，1- tan + tan 1-
2 3
+ 2 π ，D 选项正确.
4
故选：AD.
题型三：两角和与差的三角函数公式的逆用与变形
【典例 3-1】（2024·高三·陕西商洛·期中）已知 ， 满足 1+ tan 1- tan 2，则 - ．
π
【答案】- + kπ k Z
4
【解析】因为 1+ tan 1- tan 1+ tan - tan - tan tan 2，
tan - tan
即 tan - tan 1+ tan tan ，整理得 -1，即 tan - -11+ tan tan ，
所以
π
- - + kπ k Z ．
4
π
故答案为：- + kπ k Z ．
4
【典例 3-2】计算： tan 73° - tan193° - 3 tan 73° tan13° ＝ .
【答案】 3
° ° ° ° ° °
【解析】由题意 tan 73 - tan13 - 3 tan 73 tan13 tan 73 -13 1+ tan 73° tan13° - 3 tan 73° tan13° 3 ．
故答案为： 3．
【方法技巧】
运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用
和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．
【变式 3-1】 cos + 30° cos + sin + 30° sin ．
3 1
【答案】 / 3
2 2
【解析】因为 cos + 30° cos + sin + 30° sin cos é + 30° - ù cos30°
3
，
2
3
故答案为： .
2
3
【变式 3-2】（2024·江西·模拟预测）已知 cos + ， cos cos 2 ，则 cos 2 - 2 .
5 5
23
【答案】 - 25
【解析】因为 cos + cos cos 3 2- sin sin ， cos cos ，
5 5
所以 sin sin
1
- ，
5
所以 cos - cos cos + sin sin 1 ，
5
所以 cos 2 - 2 cos2 23- 2cos2 - -1 - .
25
23
故答案为： - 25 .
【变式 3-3】已知 , ,g
π
0, ÷ ,sin + sing sin , cos + cosg cos ，则 - .
è 2
π
【答案】-
3
【解析】由 sin + sing sin , cos + cosg cos ，
可得 sing sin - sin , cosg cos - cos ，
两式平方相加，可得：1 (sin - sin )2 + (cos - cos )2 2 - 2(sin sin + cos cos ) 2 - 2cos( - )，
即cos(
1
- ) ，
2
又由g
0, π ÷，可得 sing sin - sin > 0，所以 sin > sin ，所以 >
è 2
因为 ,
π
0, ÷，且cos( - )
1 π
，所以 - - .
è 2 2 3
π
故答案为：- .
3
【变式 3-4】设 cos + cos
7 1
2022 2022， sin - sin ，则 sin + + cos + ．
5 5
【答案】1
【解析】由 cos + cos
7
cos2 + cos2 + 2cos cos 49 (1) ，
5 25
sin - sin 1 sin2 + sin2 - 2sin sin 1 (2)，
5 25
(1) + (2) ，得 2 + 2cos + 2 cos + 0，
sin2 + 1- cos2所以 + 1，
故 sin2022 + + cos2022 + 1．
故答案为：1
题型四：利用角的拆分求值
π 1 5π
【典例 4-1】（2024·辽宁·模拟预测）已知 sin + ÷ ，则 sin 2 + ÷ .
è 6 4 è 6
7
【答案】 / 0.875
8
sin π 1【解析】因为 + ÷ ，则
è 6 4
sin 2 5π sin é 2 π π ù π π 1 7 + ÷ + + cos
2
6 ê 3 ÷ 2 ú
2 + ÷ 1- 2sin3
+ ÷ 1- .
è è è è 6 8 8
7
故答案为： .
8
5 10 +
【典例 4-2】已知 ， 均为锐角， sin - ÷ ， sin - + ÷ ，则 cos 的值为（ ）
è 2 5 è 2 10 2
A 2 B 2 2 2．- ． C． D．-
2 2 10 10
【答案】B
0 π ,0 π ( π , π) π π【解析】因为 ， 均为锐角，即 < < < < ，所以 - - ，- + (- , )，
2 2 2 4 2 2 4 2
sin - 5又 ÷ ， sin

- +
10 ，
è 2 ÷ 5 è 2 10
cos - 1- ( 5 )2 2 5 cos - + 10 3 10所以 ÷ ， ÷ 1- ( )
2 ，
è 2 5 5 è 2 10 10
所以 cos
+ cos[( - ) ( + - + )] cos( - )cos(- + ) - sin( - )sin( - + )
2 2 2 2 2 2 2
2 5 3 10 5 10 2
- ，
5 10 5 10 2
故选：B.
【方法技巧】
常 用 的 拆 角 、 配 角 技 巧 ： 2 ( + ) + ( - ) ； ( + ) - ( - ) + ；
+ - - ( + 2 ) - ( + ) ； - ( - g ) + (g - ) ； 15° 45° - 30° ； + - -
2 2 4 2 4 ֏
等．
π 4 π
【变式 4-1】（2024·山东·模拟预测）已知 cos - - cos ，则 sin 2 + （ ）
è 3 ÷ 5 6 ÷
è
7 7 24 24A． B．- C． D．-
25 25 25 25
【答案】B
cos π- - cos 4 cos cos π【解析】由 ÷ + sin sin
π
- cos 4 cos cos π - sin sin π 4 -
è 3 5 3 3 5 3 3 5
cos π 4 +

÷ - ，
è 3 5
所以 cos

2
2π π 7
+ 2
3 ÷
2cos + ÷ -1 ，
è è 3 25
sin 2 π é π π ù π 2π所以 + ÷ cos ê -

2 +

÷ú cos - 2
7
6 2 6 3 ÷
-cos 2 + 3 ÷
- .
è è è è 25
故选：B
π
【变式 4-2 3 3】已知 sinq + cosq 1，则 cos + 2q ÷ （3 ）2 2 è
1 1
A 3 3． B．- C． D．-
3 3 3 3
【答案】C
3 3
【解析】因为 sinq + cosq 1，
2 2
3 1
所以 3 sinq + cosq ÷÷ 1，
è 2 2
所以 sin q
π
+
3
，
è 6 ÷ 3
又 cos
π
+ 2q

÷ 1- 2sin
2 π
+q

3 ÷
，
è è 6
所以 cos
π 1
+ 2q ÷ ，
è 3 3
故选：C.
【变式 4-3】若 α 为锐角，且 sin
π 3
- ÷ ，则 cos2α＝（　　）
è 4 5
24 24 7
A．- B 7． C．- D．
25 25 25 25
【答案】A
π π π π
【解析】∵ a (0, )，∴ -

2 4
- , ÷，
è 4 4
sin π 3
1 2
又 -

÷
π
, ÷÷ ，∴ - (
π , π)，
è 4 5 è 2 2 4 6 4
∴ cos( π) 1 (3)2 4- - ，
4 5 5
∴ sin(2
π
- ) 2sin( π- ) cos( π) 3 4 24- 2 ，
2 4 4 5 5 25
则 cos 2 sin(
π
- 2 ) -sin(2 π- ) 24 - ．
2 2 25
故选：A．
题型五：给角求值
2sin18o 3cos2 9o - sin2 9o -1
【典例 5-1】（2024·重庆·模拟预测）式子 化简的结果为（ ）
cos 6o + 3 sin 6o
A 1． B．1 C． 2sin 9o2 D． 2
【答案】B
2sin18o 3cos2 9o - sin2 9o - cos2 9o - sin2 9o
【解析】原式
2sin 6o + 30o
2sin18o 2cos2 9o - 2sin2 9o 2sin18o cos18o sin 36o
o o 1.2sin 36 sin 36 sin 36o
故选：B.
sin 40° °
【典例 5-2 sin80】计算： 2 o o （ ）cos 40 + cos 60
A 2
1
．- B．- C 2． D
1
．
2 2 2 2
【答案】C
3 ° 2 1 ° 2
sin 40° sin80° sin（60° - 20°） sin（60° + 20° （ cos 20 ）-（ sin 20 ））
【解析】因为
°
2 2
cos 40 + cos 60° cos 40° 1 3+ - 2sin2 20°
2 2
3 cos2 20° 1- sin2 20° 3 - sin2 20° 1
4 4 4 23 ，所以原式
（2 - sin2 20° 3） （2 - sin2 20°） 2 2
4 4
故选：C
【方法技巧】
（1）给角求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转
化方法．
（2）给角求值问题的一般步骤
①化简条件式子或待求式子；
②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手；
③将已知条件代入所求式子，化简求值．
1- 3 tan10°
【变式 5-1】求值： （ ）
1- cos 20°
A．1 B． 2 C． 3 D． 2 2
【答案】D
1 3 sin10°-
【解析】原式 cos10° cos10° - 3 sin10°
2sin2 10° 2 sin10°cos10°
2cos 10° + 60° 2 2 cos 70° 2 2 cos 90° - 20° 2 2 sin 20°
2 2
2 sin 20° sin 20° sin 20° ，sin 20°
2
故选：D.
【变式 5-2】（2024·广东汕头·二模）若l sin160o + tan 20o 3 ，则实数l 的值为（ ）
A． 4 B． 4 3 C． 2 3 D 4 3．
3
【答案】A
3 - tan 20o 3 cos 20o - sin 20o 2 sin 60o cos 20o - cos 60o sin 20o
【解析】由已知可得l sin 180o - 20o sin 20o cos 20o 1 sin 40o
2
4sin 40o
4 .
sin 40o
故选：A.
5-3 sin110
ocos250o
【变式 】 2 o 2 o 的值为（ ）cos 25 - sin 155
1
A．- B 1 3 3． 2 C． D． -2 2 2
【答案】A
1 sin140o 1 sin40o
【解析】原式 -sin70ocos70o - 2 12 o 2 o o -
2
o -
.
cos 25 - sin 25 cos50 sin40 2
故选：A
题型六：给值求值
π 1 7
【典例 6-1】（2024·广西南宁·一模）已知0 < < < < π,cos - ,sin + ，则 tan ．
2 3 9
2
【答案】
4
π 3π
【解析】由题意， sin 1- cos2 2 2 ，且 < + < ，故2 2 cos + - 1- sin
2 4 2+ - .
3 9
故 sin sin + - sin + cos - cos + sin
7 1 4 2 2 2 1
9
-
3 ÷
-
è
- ÷÷ .
è 9 3 3
1
1 2 2 3 2
故 cos 1- tan
32
， .
3 2 2 4
3
2
故答案为：
4
π 1 3
【典例 6-2】（2024·高三·吉林长春·开学考试）已知0 < < < ，cos + ，sin - ，则
2 5 5
tan tan .
3
【答案】 / 0.6
5
ì
- > 0
π
【解析】由0 < <
π
< ，所以 í- < - < 0 0 <
π
- < ，
2 2 2
π
0 < < 2
3 2 4 sin - 3 tan - tan 3
所以 cos - 1- ÷ ，所以 tan - ①
è 5 5 cos - 4
，即1 ，+ tan tan 4
cos +
因为 cos + 1 ， sin 3 cos cos - sin sin 1 - ，所以
5 5 sin - sin cos - cos sin 3 ，
1- tan tan 1
即 ②，联立①②得 tan tan
3

tan tan 3 .- 5
3
故答案为： .
5
【方法技巧】
给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使
其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推
出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相
互关系，并根据这些关系来选择公式．
【变式 6-1】（2024·全国·模拟预测）已知 sin 2sin + , 2sin - cos + 2 0，则 tan + ．
1
【答案】 / 0.5
2
【解析】Qsin sin é + - ù 2sin + ，\sin + cos - cos + sin 2sin + ，
化简得 sin + cos + sin ,\ tan + sin ，
cos - 2 cos - 2
又 2sin - cos + 2
sin 1
0,\
cos 2 2 ，故
tan + 1 ．
- 2
1
故答案为： 2
3 5 q
【变式 6-2】（2024·高三·浙江绍兴·期末）若 sinq ， < q < 3 ，则 tan + 2cos
q
．
5 2 2 2
3 10 / 15 - 10【答案】 -
5 5
3 5
【解析】因为 sinq ， < q < 3 ，
5 2
所以 cosq 1 sin2 q 1 9 4 - - - - - ，
25 5
5
因为 < q < 3
2
5 q 3
所以 < < ，
4 2 2
1 4- 1 4+
所以 cos q 1+ cosq 5 10 ， sin q 1- cosq 3 10 - - - - - 5 - ，
2 2 2 10 2 2 2 10
sin q
所以 tan
q
2q 3，2 cos
2
q
所以 tan + 2cos q 10 3 - ，
2 2 5
10
故答案为：3-
5
π 2
【变式 6-3】（2024·山西临汾·模拟预测）已知 为锐角，且 sin - ÷ + 3sin ，则
è 6 3
cos 2
π
+ ÷ ．
è 6
3 + 4 5
【答案】
18
sin π 1 3 3 1 π 【解析】因为 -6 ÷
+ 3sin cos - sin + 3sin sin + cos sin +2 2 2 2 6 ÷
，
è è
即 sin
π 2 2
+ ÷ < ，
è 6 3 2
π π , 2π 且 为锐角，则 +
6 ÷
，
è 6 3
π π可知 + ,
π
÷，则 cos


π
+ 1- sin2 π 5
6 è 6 4 6 ÷
+ ÷ ，
è è 6 3
π π 1 π π π 4 5
可得 cos 2 + ÷ 2cos
2
6
+
6 ÷
-1 ,sin 2 +9 6 ÷
2sin + ÷cos + ÷ ，
è è è è 6 è 6 9
cos 2 π 所以 + ÷ cos
é2 π π ù 3+ - cos 2 π 1 π 3 + 4 5ê ÷ ú +
+ sin 2 + .
è 6 è 6 6 2 è 6
÷ ÷
2 è 6 18
3 + 4 5
故答案为： .
18
题型七：给值求角
π π π π
【典例 7-1】（2024·贵州六盘水·模拟预测）设
é , ù é ùê ú ， ê , ú，且 sin + cos 2 cos ，则 4 2 4 2
- .
π
【答案】
4

【解析】因为sin +cos 2
2
sin
2
+ cos π π π÷÷ 2 sin sin +cos cos ÷ 2 cos -

，
è 2 2
÷
è 4 4 è 4
π
所以 2 cos - ÷ 2 cos
π
，即 cos
4
- ÷ cos
è è 4
é π π π又 ê ,
ù é
ú ， ê ,
πù π- é π ù，所以 0, ，
4 2 4 2ú 4 ê 4 ú
π π π π π
则可得 - ，则 , 故 - .
4 4 2 4 4
π
故答案为： .
4
sin sin π+ + + sin 2π 【典例 7-2】已知 为锐角，且 ÷ + ÷ 3 ，则 .
è 3 è 3

【答案】 / 60°
3
【解析】因为 sin
π
+ ÷ sin cos
π
+ cos sin π 1 sin 3+ cos ，
è 3 3 3 2 2
sin 2π 2π +

÷ sin cos + cos sin
2π 1
- sin 3+ cos ，
è 3 3 3 2 2
又 sin + sin


π
+ + sin ÷
2π
+
3 3 ÷
3 ，
è è
π 3
所以 sin + 3cos 3 1 sin 3 ，所以 + cos 3 ，即 sin + ，
2 2 2 è 3 ÷ 2
因为0
π
< < π α π 5π π 2π π，所以 < + < + .
2 3 3 6
，所以 ，所以
3 3 3
π
故答案为： .
3
【方法技巧】
给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范
围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角．
7-1 cos 2 7 sin 3 3【变式 】已知 ， 均为锐角， ， ，则 cos 2 ，2 - .
7 14
1 π
【答案】
7 3
【解析】因为 cos 2 7 ，
7
所以 cos 2 2cos2 -1
1
，
7
又因 ， 均为锐角，所以 , 0,
π
÷，则 2 0, π ，
è 2
2 0, π 2 π π- - , sin 2 1 cos2 2 4 3所以 ÷ ，所以 ，2 2 2 ÷ -
，
è è 7
sin 3 3又因 ，所以 cos
13
1- sin2 ，
14 14
则 sin 2 - sin 2 cos - cos 2 sin 4 3 13 1 3 3 3 - ，
7 14 7 14 2
π
所以 2 - .
3
1 π
故答案为： ； .
7 3
3 4【变式 7-2】若 < < < < ，且
4 2 cos +
2
- ， sin 2 ，则 - .
10 5
3
【答案】
4

【解析】因为 < < ，所以 < 2 < 2 ，
4 2
sin 2 4 > 0，所以 < 2 <
，所以 < < ，
5 2 4 2

所以 - < - < - ， <
3
<
2 4 ，2
5
所以 < - < ，
2 4

因为 < 2 < ， sin 2
4 3
，则 cos 2 - ，
2 5 5
5
< + < 2 ，
4 cos +
2
- ，所以 sin + 7 2 -
10 10
所以 sin - sin é + - 2 ù sin + cos 2 - cos + sin 2
7 2 3
- -
2 4 2
÷ - - ÷÷ ，10 è 5 è 10 5 2
- 3 所以 .
4
3
故答案为： .
4
【变式 7-3】已知 tan - 1 ， tan 1 - ， , 0, π ，则 2 - 的值是（ ）2 7
π π 3π
A．- B． C D
3π
． ． -
4 4 4 4
【答案】D
【解析】因为 tan 1- ， tan 1 - < 0 ， , 0, π ，
2 7
1 1
-
则 tan tan é
1
- + ù
2 7 0,11 1 ，1- - 3
2 ֏ 7
π , π 可知 ÷ ， 0,
π
÷，则 2 - -π,0 ，
è 2 è 4
1
2 tan 2 3 3
又因为 tan 2 2 2 > 01- tan 4 ，
1- 1 ÷
è 3
3 1
- - ÷
可得 tan 2 tan 2 - tan - 4 è 7 1
1+ tan 2 tan 1 3
，
+
1
-

4 ֏ 7
3π
所以 2 - - .
4
故选：D.
é π 3π ù π π【变式 7-4】设 ê ， ú，
é ù
ê ， ú ，且 sin + cos 2cos ，则（2 4 4 2 ）
π π π πA． + B． - C． + D． - -
4 4 2 4
【答案】B
π
【解析】因为 sin + cos 2sin + ÷ 2cos ，所以 sin
π+ π ÷ cos sin
- ．
è 4 4 ÷ è è 2
é π , 3π ù é π , π ù π é3π因为 ê ú， ê ú ，所以 + ê , π
ù , π - é0, π ù ，
2 4 4 2 4 4 ú 2 ê 4 ú
π π所以 + + - π ，则
π
- ．
4 2 4
故选：B.
题型八：正切恒等式及求非特殊角
【典例 8-1】（2024·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考期中）已知 ， 满足 1 + tan 1 - tan 2 ，
则 - ______．
π
【答案】- + kπ k Z
4
【解析】∵ 1 + tan 1 - tan 1 + tan - tan - tan tan 2 ，
即 tan - tan 1+ tan tan ，
tan - tan
∴ -1 tan - - 11+ tan tan ，即 ，
∴
π
- - + kπ k Z ．
4
π
故答案为：- + kπ k Z .
4
【典例 8-2】（2024·江苏南通·高三校考期中）在VABC中，若 tan A + tan B + 2 2 tan A tan B ，则
tan2C _________.
【答案】-2 2
tan A B tan A + tan B【解析】因为 + tan π - C - tan C ，
1- tan A tan B
所以， tan A + tan B tan C tan A tan B - 1 ，
由题意可得 2 tan AtanB-1 tan A+tanB tanC tan AtanB-1 ，
若 tan Atan B 1，则 tan A+ tanB 0，不妨设A为锐角，则 tanB -tan A<0，
则 tan A tan B - tan2 A < 0，不合乎题意，
所以， tan Atan B 1 2tanC，故 tan C 2 ，因此， tan 2C 2 -2 2 .1- tan C
故答案为：-2 2 .
【方法技巧】
正切恒等式：当 A + B + C k 时， tan A + tan B + tan C tan A tan B tan C ．
证明：因为 tan(A B) tan A tan B ， tan C tan (A B)，所以 tan A tan B tan C(1 tan A tan B)
1 tan A tan B
故 tan A + tan B + tan C tan A tan B tan C ．
【变式 8-1】（2024·山东·高三济宁市育才中学校考开学考试）若角 的终边经过点 P sin 70°, cos 70° ，且
tan + tan 2 + m tan tan 2 3 ，则实数 m ___________.
【答案】 3
【解析】因为角 的终边经过点 P sin 70°, cos 70° ，
tan cos 70° cos(90° - 20°) sin 20°所以 tan 20°sin 70° sin(90° - 20°) cos 20°
因为sin70° > 0，cos70° > 0，
所以角 是第一象限的角，
所以 20° + k 360°,k Z，
不妨取k 0，则 20°，
所以 tan + tan2 +mtan tan2
tan20°+ tan40°+mtan20° tan40°
tan 2 0 ° + 4 0 ° 1 - tan 2 0 ° tan 4 0 ° + m tan 2 0 ° tan 40 °
tan 60° 1 - tan 20° tan 40° + m tan 20° tan 40°
3 1-tan20° tan40° +mtan20° tan40°，
所以 3 1-tan20° tan40° +mtan20° tan40° 3，
所以 (m - 3 ) tan 20° tan 40° 0 ，
所以m 3，
故答案为： 3
【变式 8-2】（山西省临汾市 2023-2024 学年高三 11 月期中数学试题）已知 0, π ， + + g π ，且
2sin + tan + tang 2sin tan tang ，则 （ ）
π π π 2π
A． B． C． D．
6 4 3 3
【答案】C
【解析】2sin + tan + tang 2sin tan tang ，
2sin sin sin g 2sin sin sin g即 + + cos cosg cos cosg ，
sin cosg + sin g cos 2sin sin sin g 故 -1
cos cosg cos cosg ÷
，
è
sin + g 2sin sin sin g - cos cosg 所以
cos cosg
，
è cos cosg
÷

所以 sin + g -2sin cos + g ，
因为 + + g π ， sin + g sin , cos + g -cos ，
所以 sin 2sin cos ，
因为 0, π ，所以 sin 0 ，
cos 1 π故 ，解得 .
2 3
故选：C
题型九：三角恒等变换的综合应用
a 2
【典例 9-1】在VABC 中 ,cos B 9 b 5 .16 ， ， c 3
(1)求 a；
(2)求 sin A ；
(3)求 cos(B - 2A) .
a 2
【解析】（1）在VABC 中 ,cos B 9 ，b 516 ， ，c 3
设 a 2k ，则 c 3k ， k > 0，
9k 2 + 4k 2cos B - 25 9\ ，
2 3k 2k 16
解得 k 2，
\a 2k 4；
（2）由（1）得 a 4， c 9 5 7 6， sin B 1- ( )2 ，
16 16
4 5
a b
由正弦定理得 ，即 sin A 5 7 ，
sin A sin B
16
7
解得 sin A .
4
π
（3）Qa < b， sin A 7 2 < sin π ，\ A是锐角，且 A < ，
4 2 4 4
\sin 2A 2sin Acos A 2 7 1- ( 7 )2 3 7 ，
4 4 8
cos 2A 1- (3 7 )2 1 ，
8 8
\cos(B - 2A) cos B cos 2A + sin Bsin 2A
9 1 5 7 3 7 57
+ .
16 8 16 8 64
【典例 9-2】（2024·天津·二模）在VABC 中，角A ， B ，C 所对的边分别为 a，b ，c，已知b 4 ，
a 3c ， cosA 3 - .
3
(1)求 sinC 的值；
(2)求c的值；
(3)求 sin(2A + C) 的值.
【解析】（1）因为 A (0, π)，所以 sinA 1- cos2 A 6 ，又 a 3c ，
3
3c c
a c
所以由正弦定理可得： ，即 6 sin C ，解得 sin C 6 sin A sin C 9
3
2 2 2 2 2
（2）因为b 4 ， a 3c cosA b + c - a 16 + c - 9c 3， - ，
2bc 8c 3
化简可得：3c2 - 3c - 6 0，解得 c 3 (负值舍去)，
（3）因为 sin2A 2sinAcosA 2 2 - ， cos2A 2cos2 A
1
-1 - ，
3 3
因为 c < a C 5 3， 为锐角，可得 cosC 1- sin2C ，
9
2 2 5 3 1 6 11 6
所以 sin(2A + C) sin 2AcosC + cos 2Asin C - + (- ) -
3 9 3 9 27
【方法技巧】
（1）进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆
用和变形使用．
（2）形如 y asin x + bcos x 化为 y a2 + b2 sin(x + )，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值
与对称性．
【变式 9-1】（2023·陕西咸阳·校考二模）已知函数 f x 2 co sx s in x - co sx + 1, x R
(1)求函数 f x 的对称轴和对称中心；
x éπ 3π(2)当 ùê , ú，求函数 f x 8 4 的值域．
【解析】（1）因为 f x 2cosx sinx - cosx +1 2sin x cos x - 2cos2 x π-1 sin 2x - cos 2x 2 sin 2x - ÷，
è 4
2x π kπ π令 - + ,k Z
kπ 3π
，解得 x + ,k Z；
4 2 2 8
令 2x
π
- kπ,k Z x kπ π，解得 + ,k Z；
4 2 8
kπ 3π
所以函数 f x 的对称轴为 x + ,k Z
kπ π
，对称中心
2 8
+ ,0÷ ,k Z .
è 2 8
2 x é
π,3πù（ ）因为 ê ú，则 2x
π 5π
- é0, ù，
8 4 4 ê 4 ú
当 2x
π π x 3π- ，即 时，函数 f x 取到最大值 2；4 2 8
3π
当 2 x
π 5π
- ，即 x 时，函数 f x 4 4 取到最小值 - 1 ；4
所以函数 f x 的值域为 é -1, 2ù .
3
【变式 9-2】（2023·上海松江·高三上海市松江二中校考阶段练习）已知 f x cosx 3sinx - cosx + .2
(1)求 f x 在 0 , 上的单调递减区间；
2 π
(2)若 f , ,
5π
5 3 6 ÷，求sin2 的值.è
1 f x 3 sin x cos x - cos 2 x 3 3+ sin 2 x 1 + cos 2 x 3- + sin π 【解析】（ ） 2 x + + 1，2 2 2 2 ÷è 6
π
由 + 2kπ 2x
π 3π π 5π
- + 2kπ,k Z ，解得 + kπ x + kπ,k Z，
2 6 2 3 6
又Q x 0 , π ，
π 5π
\函数 f x 在 0, π é ù上的单调递减区间为 ê , 3 6 ú
.

（2）由（1）知 f x π sin 2x - 6 ÷ +1，è
2
又Q f ,\sin 2
π 3
-
5 6 ÷
- ，
è 5
Q π 5π π π 3π ,3 6 ÷
,\2 -
6
,
2 2 ÷，è è
\cos 2
π
- ÷ - 1-sin
2
2
π 4- ÷ - ，
è 6 è 6 5
sin2 sin é 2 π ù sin 2 π cos π cos 2 π π\ ê - ÷ + ú -

6 6 6 ÷
+ - sin
è è 6
÷
è 6 6
3 3 4 1 -3 3 - 4 - + - ÷ .5 2 è 5 2 10
题型十：辅助角公式的高级应用
【典例 10-1】已知 f x cos x + + 2sin x tan 的最大值为 3，则 .
2
【答案】-1
【解析】 f x cos x + + 2sin x cos x cos + sin x 2 - sin ，
由辅助角公式可得 f x 的最大值 2 - sin 2 + cos2 3，
化简得5 - 4sin 9，即 sin -1，解得 2kπ
π
- , k Z，
2
所以， tan

tan k -

÷ tan

2 4
- ÷ -1 k Z .
è è 4
故答案为：-1.
【典例 10-2】设 A, B,C 是一个三角形的三个内角，则 cosA 3sinB + 4sinC 的最小值为 .
125 3
【答案】-
108
【解析】 cosA 3sinB + 4sinC cosA é3sinB + 4sin π - A - B ù cosA 3sinB + 4sin Acos B + 4cos Asin B
cosA é 3+ 4cos A sin B + 4sin Acos B ù ，
令3+ 4cos A a,b 4sin A，
所以 cosA 3sinB + 4sinC cosA asinB + bcos B a2 + b2 cos Asin q + B ，
要想 cosA 3sinB + 4sinC 有最小值，显然A 为钝角，即 cos A < 0，
于是有 a2 + b2 cos Asin q + B a2 + b2 cos A，
设 f A cos A 9 + 24cos A +16cos2 A +16sin2 A cos A 25 + 24cos A ，
因为 cos A < 0，
所以 f A - 25cos2 A + 24cos3 A
令 cos A t -1 < t < 0 2 3，即 f t 25t + 24t , -1< t < 0 f t 50t + 72t 2 2t 25 + 36t ，
当-1 < t
25
< - 时， f t > 0，函数 f t 单调递增，
36
25
当- < t < 0时， f t < 0，函数 f t 单调递减，
36
25 2
因此当 t - 时，函数 f t f 25 25 25有最大值 - ，
36 ֏ 36 362 3
f A 25
2 25 125 3
所以 的最小值为- - ，
362 3 108
此时 cos A
25 π
- < A 3π< ， a 3 + 4cos A 2 ,b 671 ，
36 2 4 9 9
即存在 tanq
671
>1,q π π , ÷，显然存在 B ，使得B
π
+q ，
2 è 4 2 2
即 cosA 3sinB + 4sinC 125 3的最小值为- ，
108
125 3
故答案为：-
108
【方法技巧】
（ 1 ） asin b a b+ bcos a2 + b2 sin( + ) （ 其 中 sin ，cos ，tan ，
a2 + b2 a2 + b2 a
< ）．
2
2 2
（2）msin ωxcosωx + ncos2 ωx m + n sin(2wx + ) n+ ， tanf n ．
2 2 m
π
【变式 10-1】（2024·高三·内蒙古赤峰·开学考试）已知 , 0, ÷，若P sin sin2 + cos cos ，则
è 2
P 的最大值为 ．
5
【答案】
4
【解析】将P sin sin2 + cos cos 视为 的函数，故P sin2 2 + cos2 sin( + )，其中
tan cos 1 π
sin 2 2sin ，
0, ÷，
è 2
π
所以当 + 时 sin( + )的最大值为 1，
2
5 5 5
设 t sin2 2 + cos2 -4cos4 + 5cos2 ，当 cos2 时， t 取得最大值 ，所以 P 的最大值为 .8 4 4
5
故答案为：
4
【变式 10-2】 y cos( + ) + cos - cos -1的取值范围是 ．
【答案】[-4,
1]
2
【解析】 y cos cos - sin sin + cos - cos -1 (cos +1)cos - (sin )sin - (cos +1)
(cos +1)2 + sin2 sin( + ) - (cos +1) 2 + 2cos sin( + ) - (cos +1)
由 sin( + ) [-1,1]，得 - 2 + 2cos - (cos +1) y 2 + 2cos - (cos +1) ，
令 t 1+ cos ，则 t [0, 2]，则 - 2t - t2 y 2t - t2 ，
y 2t t2 (t 2 )2 1所以 - - - + + -4 ，当且仅当 t 2 ，即 cos 1时取等号，2 2
2 1 1 2 1
且 y 2t - t2 -(t - )2 + ，当且仅当 t ，即 cos - 时取等号，
2 2 2 2 2
所以 y 的取值范围为[-4,
1] .
2
故答案为：[-4,
1]
2
题型十一：积化和差、和差化积公式
【典例 11-1】 cosα cosβ
1
,sinα sinβ 1 ，则 tan
α β
.
3 2 2
2
【答案】 3
1 1
【解析】由 cosα cosβ ,sinα sinβ 得
3 2

cos α β α β

÷÷ cos
α β α β 1 sin α β α β 1 ÷ sin ,
è 2 2 2 2 ÷ è 3 2 2 6

sin α β α β α β α β 1 α β α β 1 ÷÷ sin ÷÷ cos sin ,
è 2 2 è 2 2 2 2 2 4
- α β 2
由于 sin 0，故两式相除可得 tan
2 2 3
2
故答案为： 3
【典例 11-2】若 sin x + sin 3x + sin 5x a， cos x + cos3x + cos5x b ，则 tan 3x 结果用 a，b 表示.
a
【答案】
b
【解析】由和差化积公式得： sin 5x + sin x 2sin
x + 5x cos 5x - x 2sin 3x cos 2x，
2 2
cos5x + cos x 2cos x + 5x cos 5x - x 2cos3x cos 2x，
2 2
sin x + sin 3x + sin 5x 2sin 3x cos 2x + sin 3x sin 3x 2cos 2x +1 ，
cos x + cos3x + cos5x 2cos3x cos 2x + cos3x cos3x 2cos 2x +1 ，
sin x + sin 3x + sin 5x sin 3x 2cos 2x +1
故 tan 3xcos x + cos3x + cos5x cos3x 2cos 2x ，+1
a
故 tan 3x .
b
a
故答案为： .
b
【方法技巧】
三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)．
【变式 11-1】设 cos + cos
7 1
， sin - sin ，则 tan( - ) ．
5 5
7
【答案】
24
【解析】 cos
- + 7
+ cos 2cos cos ，
2 2 5
2 tan -
sin sin 2cos + - 1 tan
- 1
- sin tan -
7
2
2 2 5 2 7 1 tan -
2 ．
-
24
2 ֏
7
故答案为： .
24
【变式 11-2 + 6】已知 tan( ) , tan tan 13 ,则 cos( - )的值为 .
2 2 7
2
【答案】 3
1
tan tan sin sin
[cos( - ) - cos( + )]
2 13【解析】 ，
cos cos 1 (cos( - ) + cos( + )] 7
2
所以 cos( - )
10
- cos( + ) ，
3
1- tan2 + 1 6- ( )2
cos( 1+ ) 2
2 - ，
1+ tan2 + 6 5
2 1+ ( )
2
2
所以 cos( - )
10
- ( 1 2- ) ．
3 5 3
2
故答案为： 3 ．
cos x cos y sin x sin y 1【变式 11-3】若 - ， sin 2x - sin 2y
2
，则 sin x - y ．
2 3
2
【答案】 3
【解析】Q cos x cos y - sin x sin y
1
，\cos x + y 1
2 2
Q sin 2x 2- sin 2y ，
3
\sin (x + y) + (x - y) - sin (x y) 2 2+ - (x - y) ，即 2cos(x + y)sin(x - y) ，
3 3
2 1\ sin(x y) 2- ，\sin x - y 2
2 3 3
2
故答案为： 3
【变式 11-4】（2024·安徽阜阳·一模）已知 sin + sin a,cos + cos b ab 0 ，则 cos - ，
sin + .
2 2 2ab
【答案】 a + b - 2
2 a2 + b2
【解析】由 sin + sin a 可得 sin + sin 2 a2 ，即 sin2 + sin2 + 2sin sin a2 ，
由 cos + cos b 可得 cos + cos 2 b2 ，即 cos2 + cos2 + 2cos cos b2 ，
两式相加可得 2 + 2 sin sin + cos cos a2 + b2 ，
2 2
即 2 + 2cos - a2 + b2 cos a + b - 2，解得 - ；
2
sin sin sin + - + - + + - 因为 + ÷ + sin - ÷ 2sin cos a ，
è 2 2 è 2 2 2 2
cos + - + - + cos cos +

÷ + cos

-

÷
è 2 2 è 2 2
2cos + cos - b ，
2 2
+ 2sin
+ cos -
所以 tan 2 2
a
+ - ，2 2cos cos b
2 2
2sin + cos + 2tan + 2 a
所以 sin + 2 2 2 b
2ab

sin2 +
2 2 2 ．
+ cos2 + tan2 + +1 a a + b
2 2 2 ÷ +1è b
a2 + b2 - 2 2ab
故答案为： ；
2 a2 + b2
.
cos π
1．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）已知 3，则 tan + （ ）
cos - sin è 4 ÷
A． 2 3 +1 B． 2 3 -1 C 3． D．1- 3
2
【答案】B
cos
【解析】因为 3 ，
cos - sin
1 3
所以 3 ， ，
1- tan tan 1- 3
tan tan +1所以 + ÷ 2 3 -1
è 4 1- tan
，

故选：B.
2．（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知 cos( + ) m, tan tan 2，则 cos( - ) （ ）
m
A．-3m B．- C m． D．3m
3 3
【答案】A
【解析】因为 cos + m，所以 cos cos - sin sin m，
而 tan tan 2，所以 sin sin 2cos cos ，
故 cos cos - 2cos cos m即 cos cos -m，
从而 sin sin -2m ，故 cos - -3m，
故选：A.
1 1
3．（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知 sin - ,cos sin ，则 cos 2 + 2 （ ）．
3 6
7 1 1 7
A． B． C．- D．-
9 9 9 9
【答案】B
1
【解析】因为 sin( - ) sin cos - cos sin ，而 cos sin
1
，因此 sin cos
1
，
3 6 2
则 sin( + ) sin cos + cos sin
2
，
3
所以 cos(2 + 2 ) cos 2( + ) 1- 2sin2 ( + ) 1 2 (
2
- )2 1 .
3 9
故选：B

4．（2023 1+ 5年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知 为锐角， cos ，则 sin （ ）．
4 2
A 3- 5 B -1+ 5 C 3- 5 D -1+ 5． ． ． ．
8 8 4 4
【答案】D
1+ 5
【解析】因为 cos 1- 2sin2 ，而 为锐角，
2 4

解得： sin 3- 5
2
5 -1 5 -1
．2 8 16 4
故选：D．
1．在DABC 中，已知 tan A, tan B 是 x 的方程 x2 + p(x +1) +1 0的两个实根，求C .
【解析】Q tan A, tan B是 x 的方程 x2 + p(x +1) +1 0，
即 x2 + px + p +1 0 的两个实根.
\ tan A + tan B - p, tan A tan B p +1，
\ tan C tan[ - (A + B)] tan A + tan B - p - tan(A + B) - - -1
1- tan A tan B 1 .- ( p +1)
3
由于0 < C < ,\C .
4
2．你能利用所给图形，证明下列两个等式吗？
1 (sin sin ) sin + cos - + ；
2 2 2
1 (cos cos ) cos + cos - + .
2 2 2
1
【解析】证明：线段 AB 的中点 M 的坐标为 (cos + cos ),
1 (sin + sin ) ÷ .过点 M 作 MM2 2 1
垂直于 x 轴，
è
交 x 轴于M
1 1 - -
1 ，如图，则 MOM1 ( - ) + ( + ) .在RtVOMA中，OM OAcos cos .2 2 2 2
在RtVOM1M 中，OM
+ -
1 OM cos MOM1 cos cos .2 2
M M OM sin + - 1 MOM1 sin cos2 2
1
于是有 (cos + cos ) cos
+ cos - 1， (sin + sin ) sin
+ cos - .
2 2 2 2 2 2
2π
3．是否存在锐角 ， ，使得① + 2 ；② tan tan 2 - 3 同时成立？若存在，求出 ， 的
3 2
值；若不存在，请说明理由.
π
【解析】存在.由①得 + ，
2 3
tan

+ tan
∴ tan + 2 ÷ 3 ，è 2 1- tan tan
2

将②代入上式得 tan + tan 3- 3 ，
2
因此， tan

， tan
2
是方程 x - 3 - 3 x + 2 - 3 0的两根，解得 x1 1， x2 2 - 3 .2
tan 1 π π当 时，∵ 0 < < ，∴ 0 < < ，
2 2 2 4

此时 不存在，故 tan 2 - 3 ， tan 1，
2
2 tan
所以 tan 2
3
，
1 - tan2 3
2
∵ ， 均为锐角，
∴
π π ， .
6 4
4．（1）求函数 f (x)

sin + 4x

÷ + sin

4x -

÷ 的最小正周期和单调递增区间；
è 3 è 6
（2）求函数 f (x) a sin x + b cos x a2 + b2 0 的最大值和最小值.
【解析】（1） f (x) sin

4x

+ ÷ + sin
é 4x ù sin 4x ê + ÷ - + ÷ - cos
4x +
è 3 ÷ è 3 2 ú è 3 è 3
2 2 sin 4x + - ÷ 2 sin 4x + ÷ ，最小正周期为
è 3 4 è 12 4 2
；

由- + 2k 4x + + 2k , k Z k 7 k 5 ，得 - x + , k Z ，∴单调递增区间为
2 12 2 2 48 2 48
ék 7 k 5 ù
ê - , + ú ,k Z . 2 48 2 48
（2） f (x) a sin x + b cos x a2 + b2 sin(x + )，其中 cos
a
,sin b ，\ f (x)
a2 + b2
的最大值为
a2 + b2
a2 + b2 ，最小值为- a2 + b2 .
5．观察以下各等式：
sin2 300 + cos2 600 + sin 300 cos 600 3 sin2 200 + cos2 500 + sin 200， cos500
3

4 4
sin2 150 + cos2 450 3+ sin150 cos 450 ，
4
分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．
【解析】本试题主要是考查了合情推理的运用，根据已知的关系式观察发现了角的关系，然后将特殊问题
一般化 思想，是一种归纳推理的运用．并运用二倍角公式加以证明猜想的正确性．
证明：
sin2 + cos2 ( + 300 ) + sin cos( + 300 )
1- cos 2 1+ cos(600 + 2 ) 3
+ + sin cos 1- sin2
2 2 2 2
1 1 - cos 2 1+ cos 2 3- sin 2 3+ sin 2 1- cos 2 3-
2 4 4 4 4 4
6 f ( ) sin x．设 a + cosx , x {n | n 2k,k N+} .利用三角变换，估计 f ( ) 在 x 2,4,6时的取值情况，进而
猜想 x 取一般值时 f ( ) 的取值范围.
【解析】当 x 2时， f ( ) sin2 + cos2 1；
2
当 x 4时， f ( ) sin4 + cos4 sin2 + cos2 - 2sin2 cos2 1 1- sin2 2 1，此时有 f ( ) 1；2 2
x 6 f ( ) sin6 + cos6 sin2 3当 时， + cos2 - 3sin2 cos2 sin2 + cos2 1 3- sin2 2 ，此时有4
1 f ( ) 1，由此猜想，当 x 2k, k N 1+ 时， k -1 f ( ) 1 .4 2
易错点：不会应用辅助角公式
易错分析：不能真正的理解辅助角公式，不明白角 的三 角函数意义.
【易错题 1】若函数 y sinx + acosx的最大值为 5 ，则实数a ．
【答案】 2

【解析】 y sinx + acosx
1
a2 +1 sin x
a
+ cos x ÷
è a2 +1 a2 +1
1 a
a2 +1sin(x + )（其中 cos ,sin
a2
）
+1 a2 +1
所以当 sin(x + ) 1时， y sinx + acosx取得最大值 a2 +1，
因为函数 y sinx + acosx的最大值为 5 ，
所以 a2 +1 5 ，解得 a 2 .
故答案为： 2
【易错题 2】已知 sin + 3cos 10 ，则 sin .
10 1
【答案】 / 10
10 10
【解析】由辅助角公式得 sin + 3cos 10 sin + ，
cos 10其中 ,sin 3 10 ，
10 10
又 sin + 3cos 10 ，故 10 sin + 10 ，
即 sin + 1，
π则 + + 2kπ,k Z，
2
故 sin sin
π 2kπ cos 10 - +2 ÷
， k Z .
è 10
10
故答案为：
10
答题模板：三角关系式的化简求值
1、模板解决思路
对于要化简求值的三角函数关系式，首先要化简，尽可能化成最简的形式，然后结合已知条件和待求
问题进一步求值.
2、模板解决步骤
第一步：对已知条件中的三角函数式进行化简.
第二步：将待化简的三角函数式向第一步的化简结果进行转化.
第三步：求出最后的结果.
【典型例题 1】化简 2cos8 + 2 - 2 sin8 +1 ．
【答案】 2sin 4
【解析】原式 4cos2 4 - 2 1+ 2sin 4cos 4
2 | cos 4 | -2 | sin 4 + cos 4 |，
因为 4
3
< < ，
2
所以cos4 < 0,sin 4 + cos4 < 0．
所以原式 -2cos 4 + 2(sin 4 + cos 4) 2sin 4．
故答案为： 2sin 4
cos40° + sin50° 1+ 3tan10° sin20° - sin40°
【典型例题 2】化简求值： +
° ° cos20° °
=
sin70 1+ cos40 - cos40
【答案】 2 - 3
cos40° + sin50° 1+ 3tan10° sin20° - sin40°
【解析】 +
sin70° 1+ cos40° cos20
° - cos40°
cos40° sin50° 3 sin10
° + cos10°
+ ° -2cos30° sin10°
cos10 +
2sin70° cos 20° 2sin 30° sin10°
cos40° 2sin 40
° cos 40°
+ °
cos10
° cos30
-
2 cos2 20° sin 30°
cos40° +1
- 3= 2 - 3
2 cos2 20°
故答案为： 2 - 3第 02 讲 三角恒等变换
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点 1：两角和与差的正余弦与正切 ....................................................................................................................4
知识点 2：二倍角公式 ................................................................................................................................................4
知识点 3：降次（幂）公式 ........................................................................................................................................5
知识点 4：半角公式 ....................................................................................................................................................5
知识点 4：辅助角公式 ................................................................................................................................................5
解题方法总结 ...............................................................................................................................................................5
题型一：两角和与差公式的证明 ...............................................................................................................................7
题型二：两角和与差的三角函数公式 .......................................................................................................................9
题型三：两角和与差的三角函数公式的逆用与变形 .............................................................................................10
题型四：利用角的拆分求值 .....................................................................................................................................11
题型五：给角求值 .....................................................................................................................................................11
题型六：给值求值 .....................................................................................................................................................12
题型七：给值求角 .....................................................................................................................................................13
题型八：正切恒等式及求非特殊角 .........................................................................................................................14
题型九：三角恒等变换的综合应用 .........................................................................................................................14
题型十：辅助角公式的高级应用 .............................................................................................................................16
题型十一：积化和差、和差化积公式 .....................................................................................................................16
04 真题练习·命题洞见........................................................................................................................17
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................17
06 易错分析·答题模板........................................................................................................................19
易错点：不会应用辅助角公式 .................................................................................................................................19
答题模板：三角关系式的化简求值 .........................................................................................................................19
考点要求 考题统计 考情分析
三角恒等变换位于三角函数与数学变换
2024年 I卷第 4题，5分 的结合点上，高考会侧重综合推理能力和运
（1）基本公式 2024年 II卷第 13题，5分 算能力的考查，体现三角恒等变换的工具性
（2）三角恒等变换 2024年甲卷第 8题，5分 作用，以及会有一些它们在数学中的应用．
求值 2023年 II卷第 7题，5分 这就需要同学熟练运用公式，进一步提
（3）辅助角公式 2023年 I卷 II卷第 8题，5分 高运用联系转化的观点去处理问题的自觉
2022年 II卷第 6题，5分 性，体会一般与特殊的思想、换元的思想、
2021年甲卷第 11题，5分 方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的
作用．
复习目标：
（1）会推导两角差的余弦公式
（2）会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式
（3）掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用
（4）能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等
变换
知识点 1：两角和与差的正余弦与正切
① sin( ) sin cos cos sin ；
② cos( ) cos cos sin sin ；
③ tan( ) tan tan ；
1 tan tan
tan11° + tan19°
【诊断自测】 ° ° .tan11 tan19 -1
知识点 2：二倍角公式
① sin 2 2sin cos ；
② cos 2 cos2 - sin2 2cos2 -1 1- 2sin2 ；
③ tan 2 2 tan 2 ；1- tan
sin π - 3 5π 【诊断自测】已知 ÷ - ，则 cos + 2 的值为（ ）
è12 5 è 6 ÷

24 24 7
A 7． B．- C． D．-
25 25 25 25
知识点 3：降次（幂）公式
sin cos 1 sin 2 ;sin2 1- cos 2 ;cos2 1+ cos 2 ;
2 2 2
2
【诊断自测】已知函数 f x 2sin x cos x + 2 3 cos x - 3 ．
(1)求 f x 的最小正周期和单调区间；
(2)若 f 10 π ， ,
π
÷，求 cos

2
π
+
6 ÷的值．13 è 4 2 è
知识点 4：半角公式
sin 1- cos ;cos 1+ cos ;
2 2 2 2
tan sin 1- cos .
2 1+ cos sin a
q sinq sinq
【诊断自测】（2024·高三·河北·期末）已知 tan 2，则 - 的值为 ．
2 1- cosq 1+ cosq
知识点 4：辅助角公式
asin + bcos a2 + b2 sin( + ) （其中 sin b ，cos a ，tan b ）．
a2 + b2 a2 + b2 a
【诊断自测】当 x 时， f x 2sinx +cosx 取最小值，求 sin 的值 .
解题方法总结
1、两角和与差正切公式变形
tan tan tan( )(1 tan tan )；
tan tan 1 tan + tan tan - tan - -1．
tan( + ) tan( - )
2、降幂公式与升幂公式
sin 2 1- cos 2 cos2 1+ cos 2 ； ；sin cos 1 sin 2 ；
2 2 2
1+ cos 2 2cos2 ；1- cos 2 2sin 2 ；1+ sin 2 (sin + cos )2 ；1- sin 2 (sin - cos )2 ．
3、其他常用变式
2
sin 2 2sin cos 2 tan cos 2 cos - sin
2 1- tan2 tan sin 1- cos 2 2 ； ； ．sin + cos 1+ tan2 sin 2 + cos2 1+ tan2 2 1+ cos sin
4 、拆分角问题：① =2 ； =( + )- ；② - ( - )；③ 1 [( + ) + ( - )]；
2 2
④ 1 [( + ) - ( - )] ；⑤ + - ( - )．
2 4 2 4

注意：特殊的角也看成已知角，如 - ( - ) ．
4 4
5、和化积公式
sinα + sinβ + 2sin cos -
2 2
sinα - sinβ 2cos + sin -
2 2
cosα + - + cosβ 2cos cos
2 2
cosα - cosβ -2sin + sin -
2 2
6、积化和公式
sinα cosβ 1 é sin + + sin - ù2
cosα cosβ 1 é cos + + cos - ù2
sinα 1 sinβ é cos - - cos + ù2
题型一：两角和与差公式的证明
【典例 1-1】阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有
sin + sin cos + cos sin ①，
sin - sin cos - cos sin ②，
由① +②得 sin + + sin - 2sin cos ③．
令 + A - B
A + B A - B A + B A - B
， ，则 ， ，代入③得 sinA + sinB 2sin cos ．
2 2 2 2
(1)利用上述结论，试求 sin15° + sin75°的值；
A + B A - B
(2)类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明： cosA - cosB -2sin sin ．
2 2
【典例 1-2】如图，设单位圆与 x 轴的正半轴相交于点Q(1,0)，当 2k + (k Z) 时，以 x 轴非负半轴
为始边作角 ， ，它们的终边分别与单位圆相交于点P1(cos ,sin )，Q1(cos ,sin ) ．
（1）叙述并利用上图证明两角差的余弦公式；
（2）利用两角差的余弦公式与诱导公式．证明： sin( - ) sin cos - cos sin ．
（附：平面上任意两点P1 x1, y1 ，P2 x2 , y2 间的距离公式P1P2 x2 - x1
2 + y2 - y
2
1 )
【方法技巧】
推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通过余弦定理或向量数
量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路．
【变式 1-1】如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，单位长度为半径的圆上有两点P(cos ,sin ) ，
Q(cos ,sin ) .
uuur uuur
（1）请分别利用向量OP 与OQ 的数量积的定义式和坐标式，证明： cos( - ) cos cos + sin sin .
（2）已知（1）中的公式对任意的 ， 都成立(不用证)，请用该公式计算 cos15°的值，并证明：
sin( + ) sin cos + cos sin .
【变式 1-2】在推导很多三角恒等变换公式时，我们可以利用平面向量的有关知识来研究，在一定程度上
可以简化推理过程．如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式：
cos( - ) cos cos + sin sin ．
具体过程如下：如图，在平面直角坐标系 xOy 内作单位圆O，以Ox 为始边作角 , ．它们的终边与单位
圆O的交点分别为 A, B．
uuur uuur uuur uuur
则OA (cos ,sin ),OB (cos ,sin )，由向量数量积的坐标表示，有OA OB cos cos + sin sin ．
uuur uuur uuuv uuuv uuuv uuuv
设OA,OB的夹角为q ，则OA OB | OA OB∣cosq cosq cos cos + sin sin ，另一方面，由图（1）可
知， 2k + +q ；
由图（2）可知 2k + -q ，于是 - 2k q ,k Z ．
所以cos( - ) cosq ，也有 cos( - ) cos cos + sin sin ；
所以，对于任意角 , 有： cos( - ) cos cos + sin sin C - ．
此公式给出了任意角 , 的正弦、余弦值与其差角 - 的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简
记作C - ．有了公式C - 以后，我们只要知道 cos , cos ,sin ,sin 的值，就可以求得 cos( - )的值了．
阅读以上材料，利用图（3）单位圆及相关数据（图中M 是 AB 的中点），采取类似方法（用其他方法解答
正确同等给分）解决下列问题：
uuur uuuur
（1）判断OC uu
1uur OM
| OM | 是否正确？（不需要证明）
（2）证明： sin + sin 2sin
+ cos - ．
2 2
题型二：两角和与差的三角函数公式
π π π
【典例 2-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知 sin sin + ÷ cos sin6
-
3 ÷
，则 tan 2α + ÷
è è è 4
（ ）
A． 2 - 3 B． -2 - 3 C． 2 + 3 D．-2 + 3
【典例 2-2】（2024·浙江·三模）若 sin - + cos - 2 2sin π - ÷sin ，则（4 ）è
A． tan - -1 B． tan - 1
C． tan + -1 D． tan + 1
【方法技巧】
两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用 α，β 的三角函数表示 的三角函数，
在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．
1
【变式 2-1】（多选题）下列选项中，值为 2 的是（ ）
A． 2cos2 15° B． sin 27° cos 3° + cos 27° sin 3°
tan 22.5°
C． 2sin15°sin 75° D．
1- tan2 22.5°
【变式 2-2】（多选题）已知0
π
< < < ，且 tan , tan 是方程
2 21x
2 -10x +1 0的两根，下列选项中正确
的是（ ）
1 sin +
A． tan 6 + B．
2 cos - 11
C． tan - 4 - D． + 2 π
11 4
题型三：两角和与差的三角函数公式的逆用与变形
【典例 3-1】（2024·高三·陕西商洛·期中）已知 ， 满足 1+ tan 1- tan 2，则 - ．
【典例 3-2】计算： tan 73° - tan193° - 3 tan 73° tan13° ＝ .
【方法技巧】
运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用
和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．
【变式 3-1 cos + 30°】 cos + sin + 30° sin ．
【变式 3-2】（2024·江西·模拟预测）已知 cos + 3 ， cos cos 2 ，则 cos 2 - 2 .
5 5

【变式 3-3】已知 , ,g 0,
π
÷ ,sin + sing sin , cos + cosg cos ，则 - .
è 2
【变式 3-4】设 cos + cos
7
sin - sin 1 sin2022， ，则 + + cos2022 + ．
5 5
题型四：利用角的拆分求值
π 1 5π
【典例 4-1】（2024·辽宁·模拟预测）已知 sin + ÷ ，则 sin 2 + ÷ .
è 6 4 è 6
【典例 4-2】已知 ， 5 10
+
均为锐角， sin -

÷ ， sin

- +

÷ ，则 cos 的值为（ ）
è 2 5 è 2 10 2
A 2 B 2 2．- ． C． D 2．-
2 2 10 10
【方法技巧】
常 用 的 拆 角 、 配 角 技 巧 ： 2 ( + ) + ( - ) ； ( + ) - ( - ) + ；
+ - - ( + 2 ) - ( + ) ； - ( - g ) + (g - ) ； 15° 45° - 30° ； + - -
2 2 4 2 è 4 ÷
等．
π 4 π
【变式 4-1】（2024·山东·模拟预测）已知 cos - ÷ - cos ，则 sin 2 + ÷ （ ）
è 3 5 è 6
7 7- 24 24A． B． C． D．-
25 25 25 25
3 3 π
【变式 4-2】已知 sinq + cosq 1，则 cos + 2q ÷ （ ）
2 2 è 3
3 3 1 1A． B．- C． D．-
3 3 3 3
sin π 3【变式 4-3】若 α 为锐角，且 - ÷ ，则 cos2α＝（　　）
è 4 5
24 24 7
A．- B． C．- D 7．
25 25 25 25
题型五：给角求值
2sin18o 3cos2 9o - sin2 9o -1
【典例 5-1】（2024·重庆·模拟预测）式子 化简的结果为（ ）
cos 6o + 3 sin 6o
A 1． o2 B．1 C． 2sin 9 D． 2
sin 40° sin80°
【典例 5-2】计算： 2 o o （ ）cos 40 + cos 60
A 2
1 2 1
．- B．- C． D．
2 2 2 2
【方法技巧】
（1）给角求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转
化方法．
（2）给角求值问题的一般步骤
①化简条件式子或待求式子；
②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手；
③将已知条件代入所求式子，化简求值．
1- 3 tan10°
【变式 5-1】求值： （ ）
1- cos 20°
A．1 B． 2 C． 3 D． 2 2
【变式 5-2】（2024·广东汕头·二模）若l sin160o + tan 20o 3 ，则实数l 的值为（ ）
A． 4 B． 4 3 C． 2 3 D 4 3．
3
o
5-3 sin110 cos250
o
【变式 】 2 o 的值为（ ）cos 25 - sin2155o
1
A - B 1 3． ． 2 C． D
3
． -
2 2 2
题型六：给值求值
π 1 7
【典例 6-1】（2024·广西南宁·一模）已知0 < < < < π,cos - ,sin + ，则 tan ．
2 3 9
π 1 3
【典例 6-2】（2024·高三·吉林长春·开学考试）已知0 < < < ，cos + ，sin - ，则
2 5 5
tan tan .
【方法技巧】
给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使
其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推
出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相
互关系，并根据这些关系来选择公式．
【变式 6-1】（2024·全国·模拟预测）已知 sin 2sin + , 2sin - cos + 2 0，则 tan + ．
sinq 3 5 q q【变式 6-2】（2024·高三·浙江绍兴·期末）若 ， < q < 3 ，则 tan + 2cos ．
5 2 2 2
π 2
【变式 6-3】（2024·山西临汾·模拟预测）已知 为锐角，且 sin - ÷ + 3sin ，则
è 6 3
cos 2 π+ ÷ ．
è 6
题型七：给值求角
é π π ù éπ πù
【典例 7-1】（2024·贵州六盘水·模拟预测）设 ê , ú ， ê , ú，且 sin + cos 2 cos ，则 4 2 4 2
- .
π
【典例 7-2】已知 为锐角，且 sin + sin + ÷ + sin
2π
+ ÷ 3 ，则 .
è 3 è 3
【方法技巧】
给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范
围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角．
【变式 7-1】已知 2 7， 均为锐角， cos ， sin 3 3 ，则 cos 2 ，2 - .
7 14
3 4
【变式 7-2】若 < < < < ，且 cos + 2 - ， sin 2 ，则 - .4 2 10 5
1 1
【变式 7-3】已知 tan - ， tan - ， , 0, π ，则 2 - 的值是（
2 7 ）
π π 3π
A - B C D 3π． ． ． ． -
4 4 4 4
é π 3π ù é π π ù
【变式 7-4】设 ê ， ú， ê ， ú ，且 sin + cos 2cos ，则（2 4 4 2 ）
π π π πA． + B． - C． + D． - -
4 4 2 4
题型八：正切恒等式及求非特殊角
【典例 8-1】（2024·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考期中）已知 ， 满足 1 + tan 1 - tan 2 ，
则 - ______．
【典例 8-2】（2024·江苏南通·高三校考期中）在VABC中，若 tan A + tan B + 2 2 tan A tan B ，则
tan2C _________.
【方法技巧】
正切恒等式：当 A + B + C k 时， tan A + tan B + tan C tan A tan B tan C ．
证明：因为 tan(A B) tan A tan B ， tan C tan (A B)，所以 tan A tan B tan C(1 tan A tan B)
1 tan A tan B
故 tan A + tan B + tan C tan A tan B tan C ．
【变式 8-1】（2024·山东·高三济宁市育才中学校考开学考试）若角 的终边经过点 P sin 70°, cos 70° ，且
tan + tan 2 + m tan tan 2 3 ，则实数 m ___________.
【变式 8-2】（山西省临汾市 2023-2024 学年高三 11 月期中数学试题）已知 0, π ， + + g π ，且
2sin + tan + tang 2sin tan tang ，则 （ ）
π π π 2π
A． B． C． D．
6 4 3 3
题型九：三角恒等变换的综合应用
9 a 2
【典例 9-1】在VABC 中 ,cos B b 5 .16 ， ， c 3
(1)求 a；
(2)求 sin A ；
(3)求 cos(B - 2A) .
【典例 9-2】（2024·天津·二模）在VABC 中，角A ， B ，C 所对的边分别为 a，b ，c，已知b 4 ，
a 3c ， cosA 3 - .
3
(1)求 sinC 的值；
(2)求c的值；
(3)求 sin(2A + C) 的值.
【方法技巧】
（1）进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆
用和变形使用．
（2）形如 y asin x + bcos x 化为 y a2 + b2 sin(x + )，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值
与对称性．
【变式 9-1】（2023·陕西咸阳·校考二模）已知函数 f x 2 co sx s in x - co sx + 1, x R
(1)求函数 f x 的对称轴和对称中心；
x éπ,3π(2) ù当 ê8 4 ú，求函数
f x 的值域．

3
【变式 9-2】（2023·上海松江·高三上海市松江二中校考阶段练习）已知 f x cosx 3sinx - cosx + .2
(1)求 f x 在 0 , 上的单调递减区间；
f 2 , π , 5π(2)若 5 3 6 ÷，求sin2 的值.è
题型十：辅助角公式的高级应用
【典例 10-1】已知 f x cos x + + 2sin x 的最大值为 3，则 tan .
2
【典例 10-2】设 A, B,C 是一个三角形的三个内角，则 cosA 3sinB + 4sinC 的最小值为 .
【方法技巧】
asin bcos a2 b2 sin( ) sin b cos a tan b（ 1 ） + + + （ 其 中 ， ， ，
a2 + b2 a2 + b2 a
< ）．
2
2 2
（2）msin ωxcosωx + ncos2 ωx m + n sin(2wx n+ ) + ， tanf n ．
2 2 m
, 0, π 【变式 10-1】（2024·高三·内蒙古赤峰·开学考试）已知 ÷，若P sin sin2 + cos cos ，则
è 2
P 的最大值为 ．
【变式 10-2】 y cos( + ) + cos - cos -1的取值范围是 ．
题型十一：积化和差、和差化积公式
1
【典例 11-1】 cosα cosβ ,sinα sinβ
1 α β
，则 tan .
3 2 2
【典例 11-2】若 sin x + sin 3x + sin 5x a， cos x + cos3x + cos5x b ，则 tan 3x 结果用 a，b 表示.
【方法技巧】
三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)．
7
【变式 11-1】设 cos + cos ， sin - sin
1
，则 tan( - ) ．
5 5
11-2 tan( + ) 6 , tan tan 13【变式 】已知 ,则 cos( - )的值为 .
2 2 7
【变式 11-3】若 cos x cos y sin x sin y
1
- ， sin 2x - sin 2y
2
，则 sin x - y ．
2 3
【变式 11-4】（2024·安徽阜阳·一模）已知 sin + sin a,cos + cos b ab 0 ，则 cos - ，
sin + .
cos tan π 3 + 1．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）已知 ，则
cos - sin 4 ÷
（ ）
è
A． 2 3 +1 B． 2 3 -1 C 3． D．1- 3
2
2．（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知 cos( + ) m, tan tan 2，则 cos( - ) （ ）
m
A．-3m B．- C m． D．3m
3 3
1 1
3．（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知 sin - ,cos sin ，则 cos 2 + 2 （ ）．
3 6
7 1 1 7
A． B． C．- D．-
9 9 9 9
4 2023 cos 1+ 5

．（ 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知 为锐角， ，则 sin （2 ）．4
A 3- 5 B -1+ 5 C 3- 5 D -1+ 5． ． ． ．
8 8 4 4
1．在DABC 中，已知 tan A, tan B 是 x 的方程 x2 + p(x +1) +1 0的两个实根，求C .
2．你能利用所给图形，证明下列两个等式吗？
1 (sin sin ) sin + cos - + ；
2 2 2
1 (cos + cos ) cos + cos - .
2 2 2
2π
3．是否存在锐角 ， ，使得① + 2 ；② tan tan 2 - 3 同时成立？若存在，求出 ， 的
3 2
值；若不存在，请说明理由.
f (x) sin + 4x + sin 4x - 4．（1）求函数 ÷ ÷ 的最小正周期和单调递增区间；
è 3 è 6
2 f (x) a sin x + b cos x a2 + b2（ ）求函数 0 的最大值和最小值.
5．观察以下各等式：
sin2 300 3+ cos2 600 + sin 300 cos 600 sin2 200， + cos2 500 + sin 200 cos500
3

4 4
sin2 150 + cos2 450 + sin150 cos 450 3 ，
4
分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．
6．设 f ( ) sin x a + cosx , x {n | n 2k,k N+} .利用三角变换，估计 f ( ) 在 x 2,4,6时的取值情况，进而
猜想 x 取一般值时 f ( ) 的取值范围.
易错点：不会应用辅助角公式
易错分析：不能真正的理解辅助角公式，不明白角 的三 角函数意义.
【易错题 1】若函数 y sinx + acosx的最大值为 5 ，则实数a ．
【易错题 2】已知 sin + 3cos 10 ，则 sin .
答题模板：三角关系式的化简求值
1、模板解决思路
对于要化简求值的三角函数关系式，首先要化简，尽可能化成最简的形式，然后结合已知条件和待求
问题进一步求值.
2、模板解决步骤
第一步：对已知条件中的三角函数式进行化简.
第二步：将待化简的三角函数式向第一步的化简结果进行转化.
第三步：求出最后的结果.
【典型例题 1】化简 2cos8 + 2 - 2 sin8 +1 ．
cos40° + sin50° 1+ 3tan10° ° °
【典型例题 2】化简求值： + sin20 - sin40° = ．
sin70° 1+ cos40° cos20 - cos40
°

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