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第 02 讲 常用逻辑用语
目录
01 模拟基础练 .............................................................................................................................................................2
题型一：充分条件与必要条件的判断 .......................................................................................................................2
题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围 .......................................................................................................3
题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假 .......................................................................................................5
题型四：根据命题的真假求参数的取值范围 ...........................................................................................................6
题型五：全称量词命题与存在量词命题的否定 .......................................................................................................7
02 重难创新练 .............................................................................................................................................................8
03 真题实战练 ...........................................................................................................................................................16
题型一：充分条件与必要条件的判断
1．（2024·北京房山·一模）“ 0 < x <1”是“ | x(x -1) |= x(1- x)”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由 | x(x -1) |= x(1- x)可得： x(x -1) 0，
解得：0 x 1，
所以“ 0 < x <1”能推出“ | x(x -1) |= x(1- x)”，
但“ | x(x -1) |= x(1- x)”推不出“ 0 < x <1”，
所以“ 0 < x <1”是“ | x(x -1) |= x(1- x)”的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知复数 z = a + bi i(a,b R, i 为虚数单位 )的共轭复数为 z ，则“ z 为纯虚
数”的充分必要条件为（ ）
A． a2 + b2 0 B． ab = 0
C． a = 0,b 0 D． a 0,b = 0
【答案】D
【解析】因为 z = a + bi i = -b + ai a,b R ，
由 z = -b - ai为纯虚数，即-b = 0且-a 0，
即 a 0且b = 0 .
故选：D.
3．（2024·四川·模拟预测）“ ln x -1 < 0 ”的一个必要不充分条件是（ ）
1
A．-1 < x < - B． x > 0
e
3
C．-1 < x < 0 D．1 < x <
2
【答案】B
【解析】 ln x -1 < 0等价于0 < x -1<1，即1 < x < 2，
因为1 < x < 2可以推出 x > 0，而 x > 0不能推出1 < x < 2，所以 x > 0是1 < x < 2的必要不充分条件，其它选
项均不满足；
所以“ ln x -1 < 0 ”的一个必要不充分条件是 x > 0．
故选：B．
4．若 x， y R ，则“ x > y ”的一个必要不充分条件可以是（ ）
A． 2x- y
x
> 0.5 B． x2 > y2 C． >1y D． 2
x- y > 2
【答案】A
【解析】A： 2x- y > 0.5 = 2-1 x - y > -1 x > y -1，是“ x > y ”的必要不充分条件，故 A 正确；
B x2： > y2 x > y ，是“ x > y ”的既不充分也不必要条件，故 B 错误；
x
C： >1
x - y
> 0 y x - y > 0，是“ x > yy y ”的既不充分也不必要条件，故 C 错误；
D： 2x- y > 2 x - y >1 x > y +1，是“ x > y ”的充分不必要条件，故 D 错误；
故选：A
r r r r r r r
5．（2024·全国·模拟预测）已知向量 a - b = (1- x, 2), a + b = (1+ x,0) ，则“ x = 0 ”是“ (a + b) ^ b ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
r r r r r r
【解析】当 x = 0时，可得 a - b = (1, 2), a + b = (1,0)，可得 a = (1,1),b = (0, -1)，
r r r r r r
则 (a + b) ×b =1 0 + 0 (-1) = 0，所以 (a + b) ^ b ，所以充分性成立；
r r r r r
由向量 a - b = (1- x, 2), a + b = (1+ x,0) ，可得b = (x, -1)，
r r r r r r r r
当 (a + b) ^ b 时，因为 a + b = (1+ x,0) ，所以 (a + b) ×b = (1+ x) x + 0 (-1) = 0，
即 x2 + x = 0，解得 x = 0或 x=- 1，所以必要性不成立，
r r
所以“ x = 0 ” r是“ (a + b) ^ b ”的充分不必要条件．
故选：A．
题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围
6．若 a < x < 3是不等式 log 1 x > -1成立的一个必要不充分条件，则实数 a 的取值范围是（ ）
2
A． - ,0 B． - ,0 C． 0,2 D． 2,3
【答案】B
【解析】 log 1 x > -1 log 1 x > log 1 2 0 < x < 2，
2 2 2
因为 a < x < 3是 log 1 x > -1成立的必要不充分条件，
2
所以a 0 .
故选：B.
7．（2024·高三·浙江绍兴·期末）已知命题 p ：函数 f (x) = 2x3 + x - a 在 1,2 内有零点，则命题 p 成立的一
个必要不充分条件是（ ）
A．3 a <18 B．3 < a <18 C．a < 18 D． a 3
【答案】D
【解析】函数 f (x) = 2x3 + x - a 在R 上单调递增，由函数 f (x) = 2x3 + x - a 在 1,2 内有零点，
ì f (1) = 3 - a < 0
得 í 3 < a 18 p 3 < a 18
f (2) 18
，解得 ，即命题 成立的充要条件是 ，
= - a 0
显然3 < a 18成立，不等式3 a <18、3 < a <18、a < 18都不一定成立，
而3 < a 18成立，不等式 a 3恒成立，反之，当 a 3时，3 < a 18不一定成立，
所以命题 p 成立的一个必要不充分条件是 a 3 .
故选：D
8．已知 p : -3 x 1， q : x a （a 为实数）．若 q 的一个充分不必要条件是 p，则实数 a 的取值范围是 .
【答案】 1, +
【解析】因为 q 的一个充分不必要条件是 p，
所以[-3,1]是 - ,a 的一个真子集，
则 a 1，即实数 a 的取值范围是 1, + .
故答案为： 1, + .
9．（2024·高三·河南南阳·期中）已知 p ：“ log p3x < 3”，q：“ x - a < 2”，若 是q的必要不充分条件，则实
数 a的取值范围是 ．
【答案】[2, 25]
【解析】对于 p ，由 log3x < 3可解得0 < x < 27 ，
对于q，由 x - a < 2可解得 a - 2 < x < a + 2，
p q ìa - 2 0因为 是 的必要不充分条件，所以 í 解得 2 a 25a 2 27 ． +
故 a的取值范围为： 2,25 .
故答案为： 2,25 .
题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假
10．（2024·陕西咸阳·模拟预测）下列命题中，真命题是（ ）
A．“ a > 1,b > 1 ”是“ ab >1”的必要条件
B．"x > 0,ex > 2x
C．"x > 0,2x x2
a
D． a + b = 0的充要条件是 = -1
b
【答案】B
【解析】对于 A，当 a = 2,b = 1时，满足 ab >1，但不满足a > 1,b > 1，故“ a > 1,b > 1 ”不是“ ab >1”的必要条
件，故错误；
x
B "x > 0, e 对于 ，根据指数函数的性质可得，对于 >1，即 ex x ÷ > 2 ，故正确；
è 2
对于 C，当 x = 3时，2x < x2，故错误；
a
对于 D，当 a = b = 0时，满足 a + b = 0，但 = -1不成立，故错误.
b
故选：B.
11．给出下列命题
①"x R, x2 +1 > 0；②"x N, x4 1；③$x Z, x3 <1；④"x Q, x2 2．
其中真命题有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】C
【解析】①中，由不等式 x2 +1> 0恒成立，所以命题"x R, x2 +1 > 0为真命题；
②中，当 x = 0时，此时0 <1，所以命题"x N, x4 1为假命题；
③中，当 x=- 1时，此时 x3 < 1成立，所以命题$x Z, x3 <1为真命题；
④中，由 x2 = 2，可得 x = ± 2 ，所以命题"x Q, x2 2为真命题．
故选：C.
12．下列命题中是真命题的为（ ）
A．$x N，使 4x < -3 B．"x R ， x2 + 2 > 0
C．"x N， 2x > x2 D．$x Z，使3x - 2 = 0
【答案】B
4x 3 x 3【解析】对于 A，由 < - ，得 < - ，所以不存在自然数使 4x < -3成立，所以 A 错误，
4
对于 B，因为"x R 时， x2 0 ，所以 x2 + 2 2 > 0，所以 B 正确，
对于 C，当 x = 2时， 2x = x2 = 4，所以 C 错误，
2
对于 D，由3x - 2 = 0 ，得 x = Z，所以 D 错误，
3
故选：B
13．（2024·河北·模拟预测）命题 p ："x >1， x + 2x - 3 > 0，命题q：$x R， 2x2 - 4x + 3 = 0，则（ ）
A． p 真q真 B． p 假q假 C． p 假q真 D． p 真q假
【答案】D
1
【解析】对于命题 p ：令 t = x > 1，则 y = t + 2t 2 - 3 = 2t 2 + t - 3开口向上，对称轴为 t = - ，4
且 y |x=1= 0，则 y = 2t 2 + t - 3 > 0，
所以"x >1， x + 2x - 3 > 0，即命题 p 为真命题；
对于命题q：因为D = -4 2 - 4 2 3 = -8 < 0，
所以方程 2x2 - 4x + 3 = 0无解，即命题q为假命题；
故选：D.
题型四：根据命题的真假求参数的取值范围
4
14．（2024·陕西宝鸡·一模）命题“任意 x (1,3)， a x + ”为假命题，则实数 a 的取值范围是 ．
x
【答案】 (- ,5)
4
【解析】若命题“任意 x (1,3)， a x
4
+ ”为真命题，则 a x +x è x ÷
，
max
设 y = x
4
+ ， x (1,3) x 4 4， + 2 x × = 4，当 x = 2时，等号成立，
x x x
由对勾函数的性质可知，当 x 1,2 时，函数单调递减，当 x 2,3 单调递增，
f 1 = 5， f 3 3 4 5 4= + < ，所以 4 x + < 5，
3 x
即a 5，
所以命题“任意 x (1,3)， a x
4
+ ”为假命题，则 a的取值范围为 - ,5 .
x
故答案为： - ,5
15．若命题“ $x R, mx2 + 2mx + 3 0 ”为假命题，则实数 m 的取值范围是 ．
【答案】 0,3
【解析】命题“ $x R, mx2 + 2mx + 3 0 ”的否定为：“"x R, mx2 + 2mx + 3 > 0 ”
命题“ $x R, mx2 + 2mx + 3 0 ”为假命题等价于命题“"x R, mx2 + 2mx + 3 > 0 ”为真命题；
当m = 0时，3 > 0，成立；
ìm > 0
当m 0 时，结合一元二次函数的图象可得： í 2 ，解得0 < m < 3
Δ = 4m -12m 0
，
<
综上，实数 m 的取值范围是[0,3) .
故答案为：[0,3) .
16．已知命题 p : $x0 R， x
2
0 + a -1 x0 +1< 0 ，若命题 p 是假命题，则 a的取值范围为（ ）
A．1 a 3 B．-1 < a < 3
C．-1 a 3 D．0 a 2
【答案】C
2
【解析】根据题意可知，命题 p 的否定为“ "x R ， x + a -1 x +1 0 ”为真命题；
x2即不等式 + a -1 x +1 0对"x R 恒成立，
所以D = a -1 2 - 4 0，解得-1 a 3；
可得 a的取值范围为-1 a 3 .
故选：C
题型五：全称量词命题与存在量词命题的否定
17．命题“ $x R ，使 x2 + x -1 = 0 ”的否定是（ ）
A．$x R ，使 x2 + x -1 0 B．不存在 x R ，使 x2 + x -1 = 0
C．"x R ，使 x2 + x -1 0 D．"x R ，使 x2 + x -1 0
【答案】D
【解析】命题“ $x R ，使 x2 + x -1 = 0 ”的否定是"x R ，使 x2 + x -1 0 .
故选：D.
18．（2024·全国·模拟预测）命题“"a >1，函数 f x = xa 在 a,+ 上单调递增”的否定为（ ）
A．$a > 1，函数 f x = xa 在 a,+ 上单调递减
B．$a > 1 a，函数 f x = x 在 a,+ 上不单调递增
C．$a 1，函数 f x = xa 在 a,+ 上单调递减
D $a 1 f x = xa． ，函数 在 a,+ 上不单调递增
【答案】B
【解析】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
“"a >1 f x = xa所以命题 ，函数 在 a,+ 上单调递增”的否定为“ $a > 1，函数 f x = xa 在 a,+ 上不单
调递增”．
故选：B．
19．命题 p : "x R, x2 Q的否定为（ ）
A．$x R, x2 Q B．$x R, x2 Q
C．"x R, x2 Q D．"x Q, x2 R
【答案】A
【解析】命题 p : "x R, x2 Q的否定为：$x R, x2 Q .
故选：A.
20．命题“"x Z， x2 0 ”的否定是（ ）
A．$x Z， x2 0 B．$x Z， x2 0
C．$x Z， x2 < 0 D．$x Z， x2 < 0
【答案】C
【解析】命题“"x Z， x2 0 ”的否定是“ $x Z， x2 < 0 ”．
故选：C．
1．（2024· 2陕西西安·模拟预测）设函数 f x = ax - 2ax，命题“ $x 2,6 ， f x -2a + 3 ”是假命题，则实
数 a 的取值范围是（ ）．
3
A． ,+

B． 3, + C． 2, 3+ D． - ,
2 ÷ 2 ÷è è
【答案】A
【解析】因为命题“ $x 2,6 ， f x -2a + 3 ”是假命题，所以"x 2,6 ， f x > -2a + 3恒成立，
则 ax2 - 2ax + 2a - 3 > 0 ，对"x 2,6 恒成立，
h x = ax2令 - 2ax + 2a - 3，则二次函数的对称轴为直线 x =1，
ìh 2 = 2a - 3 > 0
要使得"x 2,6 ， h x > 0 恒成立，则 í ，解得 a 3> ，
h 6 = 26a - 3 > 0 2
3
所以实数 a 的取值范围是 ,+ ÷ .
è 2
故选：A.
2．（2024·青海·模拟预测）记数列 an 的前 n 项积为Tn ，设甲： a
ìT ü
n 为等比数列，乙： í
n
n 为等比数列， 2
则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件
【答案】D
n-1 n(n-1)
【解析】若 an 为等比数列，设其公比为q，则 an = a1q ，T n 1+2+L+(n-1) n 2 ，n = a1 q = a1 q
Tn+1 (a
n(n+1)
1 n+1 2
T a n(n-1) n+1 ) q
于是 n = ( 1 )n 2 2
a
= = 1 × qn q 1 aq 2 ， 1T × q
n
n a n(n-1) 2 ，当 时， 2 不是常数，2 2 n
2n (
1 )n q 2
2
ìT
此时数列 í n
ü
不是等比数列，则甲不是乙的充分条件；
2n
ìT ü T
若 í n n-1n 为等比数列，令首项为b1，公比为 p ，则
n
n = b1 p ，Tn = 2b1 × (2 p)
n-1
2
，
2
a Tn 2b1 × (2 p)
n-1
于是当n 2时， n = = = 2 p，而 a = T = 2b ，Tn-1 2b1 × (2 p)n-2
1 1 1
当b1 p时， an 不是等比数列，即甲不是乙的必要条件，
所以甲是乙的既不充分也不必要条件.
故选：D
3 2024· · “"x 1,4 ,ex 2．（ 四川 模拟预测）已知命题 - - m 0 ”为真命题，则实数m 的取值范围为（ ）
x
A． - , e - 2 B ． - ,e4
1 1
- ùú C． e - 2, + D
é
． e4 - ,+ 2 ÷è ê 2
【答案】A
“"x 1,4 , ex 2【解析】因为命题 - - m 0 ”为真命题，所以"x 1,4 ,m ex 2- ．
x x
令 f x = ex 2- , x 1,4 , y = ex 与 y 2= - 在 1,4 上均为增函数，
x x
故 f x 为增函数，当 x =1时， f x 有最小值 e - 2，即m e - 2，
故选：A．
ìx -1, x < 0
4．（2024·北京顺义·二模）若函数 f x = í 0, x = 0 ，则“ x1 + x2 > 0 ”是“ f x1 + f x2 > 0 ”的（ ）

x +1, x > 0
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由题意可知： f x 的定义域为R ，且 f 0 = 0，
若 x > 0，则-x < 0，可知 f x + f -x = x +1 + -x -1 = 0 ，
若 x < 0 ，同理可得 f x + f -x = 0 ，所以 f x 为奇函数，
作出函数 f x 的图象，如图所示，
由图象可知 f x 在R 上单调递增，
若 x1 + x2 > 0，等价于 x1 > -x2，等价于 f x1 > f -x2 = - f x2 ，等价于 f x1 + f x2 > 0，
所以“ x1 + x2 > 0 ”是“ f x1 + f x2 > 0 ”的充要条件.
故选：C.
5．（2024·上海崇明·二模）已知函数 y = f (x) 的定义域为 D, x1, x2 D ．
命题 p ：若当 f (x1) + f (x2 ) = 0时，都有 x1 + x2 = 0，则函数 y = f (x) 是 D 上的奇函数．
命题q：若当 f (x1) < f (x2 )时，都有 x1< x2 ，则函数 y = f (x) 是 D 上的增函数．
下列说法正确的是（ ）
A．p、q 都是真命题 B．p 是真命题，q 是假命题
C．p 是假命题，q 是真命题 D．p、q 都是假命题
【答案】C
2
p ì-x , x (- ,1) (1, + )【解析】对于命题 ，令函数 f x = í ，
1, x =1
则 f 1 + f -1 = 0，此时1+ (-1) = 0，当函数 y = f x 不是奇函数，
所以命题 p 为假命题，
对于命题q，当 f (x1) < f (x2 )时，都有 x1< x2 ，即 x1< x2 ，不可能 f (x1) f (x2 ) ，
即当 x1< x2 时，可得 f (x1) < f (x2 )，满足增函数的定义，所以命题q为真命题.
故选：C.
6．（2024·北京丰台·一模）已知函数 f x = sin 2x +
a π÷，则“ = + kπ k Z ”是“ f x +a 是偶函数，且
è 4 8
f x -a 是奇函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为 f x = sin 2x +

÷，则 f x +a = sin

2x + 2a

+ ÷ ，
è 4 è 4
f x -a = sin 2x

- 2a +
4 ÷
，
è
若 f x -a k π是奇函数，则-2a + = k1π,k1 Z，解得a = - 1 ,k Z，4 8 2 1
若 f x +a 是偶函数，则 2a + = + k2π, k
k π
2 Z，解得a = + 2 ,k Z，4 2 8 2 2
所以若 f x +a f x -a a kπ是偶函数且 是奇函数，则 = + ,k Z，
8 2
π
所以由a = + kπ k Z 推得出 f x +a 是偶函数，且 f x -a 是奇函数，故充分性成立；
8
由 f x +a π是偶函数，且 f x -a 是奇函数推不出a = + kπ k Z ，故必要性不成立，
8
π
所以“a = + kπ k Z ”是“ f x +a 是偶函数，且 f x -a 是奇函数”的充分不必要条件.
8
故选：A
7．（2024·四川凉山·二模）已知命题“"x R 2， sin π + x + 2cos x + m 0 ”是假命题，则 m 的取值范围为
（ ）
A． -2, + B． -2, + C． - , -1 D． - , -2
【答案】B
2
【解析】命题“"x R ， sin π + x + 2cos x + m 0 ”是假命题，
则“ $x0 R ， sin
2 π + x + 2cos x + m > 0 ”是真命题，
所以m > -sin2 π + x - 2cos x 有解，
2
所以m > é -sin π + x - 2cos xù min ，
-sin2 π + x - 2cos x = -sin2 x - 2cos x = cos2 x - 2cos x -1 = cos x -1 2又 - 2，
因为 cos x -1,1 ，所以 é -sin
2 π + x - 2cos xù = -2min ，
即m > -2 .
故选：B.
8．（2024·全国·模拟预测）命题 p : 0 < a <1，命题 q：函数 f x = loga 6 - ax a > 0,a 1 在 - ,3 上单调，
则 p 是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】设 t = 6 - ax，则 f x = loga 6 - ax a > 0,a 1 可化为 y = logat ．
充分性：当 0 < a < 1时，函数 y = logat 在 - ,3 上单调递减， t = 6 - ax在 - ,3 上单调递减，且 t > 0，所以
f x = loga 6 - ax a > 0,a 1 在 - ,3 上单调递增，因此充分性成立．
必要性：当 0 < a < 1时， y = logat 在 - ,3 上单调递减， t = 6 - ax在 - ,3 上单调递减，且 t > 0，所以
f x = loga 6 - ax a > 0,a 1 在 - ,3 上单调递增；
当 a >1时， y = logat 在 - ,3 上单调递增， t = 6 - ax在 - ,3 上单调递减，且 t = 6 - ax > 0在 - ,3 上恒
成立，所以6 - 3a 0，则1< a 2，此时函数 f x = loga 6 - ax a > 0, a 1 在 - ,3 上单调递减．
综上可知，当函数 f x = loga 6 - ax a > 0,a 1 在 - ,3 上单调时， 0 < a < 1或1 < a 2，因此必要性不成
立．所以 p 是q的充分不必要条件．
故选：A．
9．（多选题）（2024·广东梅州·一模）已知直线m ，n和平面a ，b ，且n a，则下列条件中， p 是q的
充分不必要条件的是（ ）
A． p : m∥a ， q : m∥n B． p : m ^ a ， q : m ^ n
C． p :a ∥b ， q : n∥b D． p : n ^ b ， q :a ^ b
【答案】BCD
【解析】A：若m∥a ，n a，则直线m ，n可能平行或异面，所以 p 不能推出q，故 A 错误；
B：若 p : m ^ a ，则直线 m 垂直于平面a 的每一条直线，又n a，所以 q : m ^ n成立，
但若 q : m ^ n成立，根据线面垂直的判定，还需在平面a 找一条与 n 相交的直线，且 m 不在平面a 内，故 q
不能推出 p，故 B 正确；
C：若 p :a ∥b ，且n a，由面面平行的性质可知， q : n∥b 成立；反之，由线面平行的判定可知当
q : n∥b ，不能推出 p :a ∥b ，故 C 正确；
D：若 p : n ^ b ，且n a，由面面垂直的判定定理可知 q :a ^ b 成立；反之，若 q :a ^ b ，且n a，则直
线 n 与平面b 可能成任意角度，故 D 正确.
故选：BCD.
10．（多选题）（2024·云南楚雄·模拟预测）下列命题为真命题的是（ ）
1 1
A．"x R ， x + 2 B．"x R ， 1
x x2 +1
C．$x R ， ln(| x | +1) = 0 D．$x R ， x2 + x +1 0
【答案】BC
【解析】对 A，当 x = 0时， x
1
+ 无意义，故 A 错误；
x
1
对 B，易得"x R ， x2 +1 1，则 x2 +1 1，可得 12 ，故 B 正确；x +1
对 C，当 x = 0时， ln(| x | +1) = 0成立，故 C 正确；
对 D，D =1- 4 = -3 < 0，可得 x2 + x +1 > 0，故 D 错误.
故选：BC
11．（多选题）（2024·高三· *江苏盐城·期中）在VABC 中，若 A = nB n N ，则（ ）
A．对任意的n 2，都有 sin A < nsin B
B．对任意的n 2，都有 tan A < n tan B
C．存在n，使 sin A > nsin B 成立
D．存在n，使 tan A > n tan B成立
【答案】AD
【解析】在VABC A 3B n 3 B π中，当 = 时， = ，取 = ，则 A π= tan A =1
12 4
， ，
tan B tan(π π) 3 -1= - = = 2 - 3 ，3tan B = 3(2 - 3)，则 tan A > 3tan B，B 错，D 对；
3 4 1+ 3
ì0 < A < π ì0 < nB < π

显然 í0 < B < π

，即 í0 < B < π ，则0 < B
π
< ，
0 < C < π
n +1
0 < π - B - nB < π
令 f (x) = sin nx - nsin x，0 < x
π
< ,n 2 ， f (x) = n cos nx - ncos x = n(cos nx - cos x) < 0，
n +1
π
因此函数 f (x) 在 0, ÷上单调递减，则 f (x) < f (0) = 0，即 sin nB < nsin B，从而 sin A < nsin B ，A 对，C
è n +1
错.
故选：AD
12．（2024·上海普陀·二模）设等比数列 an 的公比为 q(n 1, n N) ，则“12a2， a4， 2a3成等差数列”的一
个充分非必要条件是 .
【答案】 q = 3（或 q = -2 ,答案不唯一）
【解析】12a2， a4， 2a3成等差数列，
则 2a4 =12a2 + 2a ，即 q23 = 6 + q，解得 q = 3或 q = -2 ，
故“12a2， a4， 2a3成等差数列”的一个充分非必要条件是 q = 3（或 q = -2) ．
故答案为： q = 3（或 q = -2 ,答案不唯一）
13．（2024·全国·模拟预测）“函数 y = tanx的图象关于 x0 ,0 中心对称”是“ sin2x0 = 0 ”的 条件．
【答案】充分必要
【解析】函数 y = tanx
kπ
图象的对称中心为 ,0

÷ ,k Z，
è 2
kπ
所以由“函数 y=tanx 的图象关于(x0,0)中心对称”等价于“ x0 = ,k Z ”．2
因为 sin2x0 = 0 等价于 2x0 = kπ,k Z x
kπ
，即 0 = ,k Z ．2
所以“函数 y = tanx的图象关于 x0 ,0 中心对称”是“ sin2x0 = 0 ”的是充分必要条件．
故答案为：充分必要
14．（2024·上海长宁·一模）若“存在 x > 0，使得 x2 + ax +1< 0 ”是假命题，则实数 a的取值范围 .
【答案】 -2, +
【解析】由题意可得：“任意 x > 0，使得 x2 + ax +1 0 ”是真命题，
1
注意到 x > 0，整理得 x + -ax ，
1
原题意等价于“任意 x > 0，使得 x + -a ”x 是真命题，
x 1 2 x 1
1
因为 + × = 2，当且仅当 x = ，即 x =1时，等号成立，
x x x
所以 2 -a ，解得 a -2，
所以实数 a的取值范围 -2, + .
故答案为： -2, + .
15．若“ x = a ”是“ sin x + cos x >1”的一个充分条件，则a 的一个可能取值是 .（写出一个符合要求的答
案即可）
π
【答案】 （答案不唯一）
4
π
sin x cos x 1 2 sin x + >1 sin x π 2【解析】由 + > 可得 ÷ ，则 + > ，è 4 è 4 ÷ 2
所以 2kπ
π
+ < x π 3π π+ < 2kπ + k Z ，解得 2kπ < x < 2kπ + k Z .
4 4 4 2
因为“ x = a ”是“ sin x + cos x >1”的一个充分条件，
π π
所以a 的一个可能取值为 （答案不唯一，a 2kπ,2kπ +4 ÷
k Z 均满足题意）．
è 2
π
故答案为： （答案不唯一，a 2kπ,2kπ
π
+ ÷ k Z 均满足题意）.4 è 2
ì 1 ü
16．（2024·安徽·模拟预测）已知集合 A = íx∣- x 2 ，集合B = x∣x2 - 2mx - 3m2 0 ，全集为R .
2
(1)若m =1，求 R AI R B；
(2)若“ x A ”是“ x B ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.
【解析】（1）由题知：当m =1时，
B = x∣x2 - 2x - 3 0 = x∣-1 x 3 ，
ì 1 ü
又 A = íx∣- x 22
\ A B = x∣-1 x 3 ，
\ R A R B = R A B = {x∣x < -1或 x > 3}.
（2）若“ x A ”是“ x B ”的必要不充分条件，则 B A ，
B = x∣x2 - 2mx - 3m2 0 = x∣ x + m x - 3m 0 ，
①当m = 0时，集合B = 0 ，满足题意；
②当m < 0时，集合B = x∣3m x -m ，
ì 1 ì 1
\
3m -

m -
m 1 1í 2 í 6 ，则 - ，又m = - 时，B =
ì
íx
1 x 1- ü∣ 符合 B A ，
6 6 2 6 -m 2 m -2
\ 1可得- m < 0；
6
③当m > 0时，集合B = x∣- m x 3m ，
ì ì 1
-m
1
- m
\ 2 1 1 ì 1 3í 2 í ，则m ，又m = 时，B = íx∣- x
ü
符合 B A ，
3m 2 m 2 2 2 2 2
3
\可得0 < m
1
.
2
ì 1 1
综上，实数m 的取值范围为 ím∣- m
ü
.
6 2


17．（2024·上海普陀· x - x一模）设函数 y = f x 的表达式为 f x = ae + e .
(1)求证：“ a =1”是“函数 y = f x 为偶函数”的充要条件；
(2)若 a =1，且 f m + 2 f 2m - 3 ，求实数m 的取值范围.
【解析】（1）函数 f x = aex + e- x 的定义域为 R， e x - e- x 不恒为 0，
函数 y = f x 为偶函数 "x R, f (-x) - f (x) = 0
"x R, ae- x + ex - (aex + e- x ) = 0 "x R,(1- a)(ex - e- x ) = 0 a =1，
所以“ a =1”是“函数 y = f x 为偶函数”的充要条件.
（2）当 a =1时， f (x) = ex + e- x ，求导得 f (x) = ex - e- x ，函数 f (x) 在 R 上单调递增，
当 x > 0时， f (x) > f (0) = 0 ，即函数 f (x) = ex + e- x 在[0, + ) 单调递增，又 f (x) 是偶函数，
因此 f (m + 2) f (2m - 3) f (| m + 2 |) f (| 2m - 3 |) | m + 2 | | 2m - 3 |，
即 (m - 5)(3m -1) 0，解得m
1
或m 5，
3
1
所以实数m 的取值范围是m 或m 5 .
3
1．（2022 年新高考北京数学高考真题）设 an 是公差不为 0 的无穷等差数列，则“ an 为递增数列”是“存
在正整数 N0 ，当 n > N0 时， an > 0”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】设等差数列 an 的公差为d ，则 d 0，记 x 为不超过 x 的最大整数.
若 an 为单调递增数列，则 d > 0，
若 a1 0，则当n 2时， an > a1 0；若 a1 < 0，则 an = a1 + n -1 d ，
a
由 an = a1 + n -1 d > 0
a
可得 n >1- 1 é，取 N 1 ù0 = ê1- ú +1，则当 n > N0 时， an > 0，d d
所以，“ an 是递增数列” “存在正整数 N0 ，当 n > N0 时， an > 0”；
若存在正整数 N0 ，当 n > N0 时， an > 0，取 k N* 且 k > N0 ， ak > 0 ，
假设 d < 0 ，令 a = a + n - k d < 0 n k ak k a可得 > - ，且 - kn k > k ，d d
é ak ù
当 n > êk - ú +1时， an < 0，与题设矛盾，假设不成立，则 d > 0，即数列 an 是递增数列. d
所以，“ an 是递增数列” “存在正整数 N0 ，当 n > N0 时， an > 0”.
所以，“ an 是递增数列”是“存在正整数 N0 ，当 n > N0 时， an > 0”的充分必要条件.
故选：C.
2．（2024 年天津高考数学真题）设 a,b R ，则“ a3 = b3 ”是“3a = 3b ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】根据立方的性质和指数函数的性质， a3 = b3和3a = 3b 都当且仅当 a = b，所以二者互为充要条件.
故选：C.
r r r r r r r r r r
3．（2024 年北京高考数学真题）设 a，b 是向量，则“ a + b · a - b = 0 ”是“ a = -b或a = b ”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
ar rb ar r r r r
r
【解析】因为 + × - b = a2 - b 2 = 0 r 2 r2，可得 a = b ，即 a = b ，
r r
可知 a + b × ar r- b r= 0 r等价于 a = b ，
r r r r r r r
若a = b或a = -b，可得 a = b ，即 ar + b × ar
r
- b = 0，可知必要性成立；
若 r r r r rar b ar b 0 ar r r+ × - = ，即 = b ，无法得出a = b或a = -b，
r r r r r r r r
例如 a = 1,0 ,b = 0,1 ，满足 a = b ，但 a b且 a -b，可知充分性不成立；
r r r r r r r r
综上所述，“ a + b × a - b = 0 ”是“ a b且 a -b ”的必要不充分条件.
故选：B.
4．（2022 年新高考天津数学高考真题）“ x 为整数”是“ 2x +1为整数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】由 x 为整数能推出 2x +1为整数，故“ x 为整数”是“ 2x +1为整数”的充分条件，
1
由 x = , 2x +1为整数不能推出 x 为整数，故“ x 为整数”是“ 2x +1为整数”的不必要条件，
2
综上所述，“ x 为整数”是“ 2x +1为整数”的充分不必要条件，
故选：A.
5．（2022 年新高考浙江数学高考真题）设 x R ，则“ sin x =1”是“ cos x = 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必
要条件
【答案】A
【解析】因为 sin2 x + cos2 x =1可得：
当 sin x =1时， cos x = 0，充分性成立；
当 cos x = 0时， sin x = ±1，必要性不成立；
所以当 x R ， sin x =1是 cos x = 0的充分不必要条件.
故选：A.
6．（2022 年新高考北京数学高考真题）设 an 是公差不为 0 的无穷等差数列，则“ an 为递增数列”是“存
在正整数 N0 ，当 n > N0 时， an > 0”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】设等差数列 an 的公差为d ，则 d 0，记 x 为不超过 x 的最大整数.
若 an 为单调递增数列，则 d > 0，
若 a1 0，则当n 2时， an > a1 0；若 a1 < 0，则 an = a1 + n -1 d ，
a é a ù
由 an = a 1 11 + n -1 d > 0可得 n >1- ，取 N0 = ê1- ú +1，则当 n > N0 时， an > 0，d d
所以，“ an 是递增数列” “存在正整数 N0 ，当 n > N0 时， an > 0”；
若存在正整数 N0 ，当 n > N0 时， an > 0，取 k N* 且 k > N0 ， ak > 0 ，
假设 d < 0 ，令 an = ak + n - k d < 0 n
a a
可得 > k - k ，且 k - k > k ，
d d
n a> ék - k ù当 ê ú +1时， an < 0，与题设矛盾，假设不成立，则 d > 0，即数列 an 是递增数列. d
所以，“ an 是递增数列” “存在正整数 N0 ，当 n > N0 时， an > 0”.
所以，“ an 是递增数列”是“存在正整数 N0 ，当 n > N0 时， an > 0”的充分必要条件.
故选：C.
7．（2021 年天津高考数学试题）已知 a R ，则“ a > 6 ”是“ a2 > 36 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意，若 a > 6，则 a2 > 36 ，故充分性成立；
若 a2 > 36 ，则 a > 6或 a < -6 ，推不出 a > 6，故必要性不成立；
所以“ a > 6 ”是“ a2 > 36 ”的充分不必要条件.
故选：A.
8．（2021 年北京市高考数学试题）已知 f (x) 是定义在上[0,1]的函数，那么“函数 f (x) 在[0,1]上单调递增”是“函
数 f (x) 在[0,1]上的最大值为 f (1) ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必
要条件
【答案】A
【解析】若函数 f x 在 0,1 上单调递增，则 f x 在 0,1 上的最大值为 f 1 ，
若 f x 在 0,1 上的最大值为 f 1 ，
1 2
比如 f x = x - 3 ÷ ，è
2
但 f éx = 1 x -

÷ 在 ê0,
1ù é1 ù
ú 为减函数，在 ê ,13 3 3 ú
为增函数，
è
故 f x 在 0,1 上的最大值为 f 1 推不出 f x 在 0,1 上单调递增，
故“函数 f x 在 0,1 上单调递增”是“ f x 在 0,1 上的最大值为 f 1 ”的充分不必要条件，
故选：A.
9．（2021 年全国高考甲卷数学（理）试题）等比数列 an 的公比为 q，前 n 项和为 Sn ，设甲： q > 0 ，乙：
Sn 是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】由题，当数列为-2,-4,-8,L时，满足q > 0 ，
但是 Sn 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若 Sn 是递增数列，则必有 an > 0成立，若q > 0 不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则q > 0 成
立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
10．（2020 年山东省高考数学真题）下列命题为真命题的是（ ）
A．1 > 0且3 > 4 B．1> 2或 4 > 5
C．$x R， cos x >1 D．"x R ， x2 0
【答案】D
【解析】A 项：因为 4 > 3，所以1 > 0且3 > 4是假命题，A 错误；
B 项：根据1< 2、 4 < 5易知 B 错误；
C 项：由余弦函数性质易知 cos x 1，C 错误；
D 项： x2 恒大于等于 0 ，D 正确，
故选：D.
11．（2020 年山东省高考数学真题）已知 a R ，若集合M = 1,a ， N = -1,0,1 ，则“ a = 0 ”是“ M N ”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当 a = 0时，集合M = 1,0 ， N = -1,0,1 ，可得M N ，满足充分性，
若M N ，则 a = 0或 a = -1，不满足必要性，
所以“ a = 0 ”是“ M N ”的充分不必要条件，
故选：A.
12．（2020 年北京市高考数学试卷）已知a , b R，则“存在 k Z使得a = k + (-1)k b ”是“ sina = sin b ”的
（ ）．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】(1)当存在 k Z使得a = k + (-1)k b 时，
若 k 为偶数，则 sina = sin k + b = sin b ；
若 k 为奇数，则 sina = sin k - b = sin é k -1 + - b ù = sin - b = sin b ；
(2)当 sina = sin b 时，a = b + 2m 或a + b = + 2m ，m Z a = k + -1 k，即 b k = 2m 或
a = k + -1 k b k = 2m +1 ，
亦即存在 k Z使得a = k + (-1)k b ．
所以，“存在 k Z使得a = k + (-1)k b ”是“ sina = sin b ”的充要条件.
故选：C.
13．（2020 年浙江省高考数学试卷）已知空间中不过同一点的三条直线 m，n，l，则“m，n，l 在同一平面”
是“m，n，l 两两相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】依题意m, n, l 是空间不过同一点的三条直线，
当m, n, l 在同一平面时，可能m//n//l ，故不能得出m, n, l 两两相交.
当m, n, l 两两相交时，设m n = A, m l = B,n l = C ，根据公理 2可知m, n确定一个平面a ，而
B m a ,C n a ，根据公理1可知，直线BC 即 l a ，所以m, n, l 在同一平面.
综上所述，“ m, n, l 在同一平面”是“ m, n, l 两两相交”的必要不充分条件.
故选：B
14．（2021 年天津高考数学试题）已知 a R ，则“ a > 6 ”是“ a2 > 36 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意，若 a > 6，则 a2 > 36 ，故充分性成立；
若 a2 > 36 ，则 a > 6或 a < -6 ，推不出 a > 6，故必要性不成立；
所以“ a > 6 ”是“ a2 > 36 ”的充分不必要条件.
故选：A.第 02 讲 常用逻辑用语
目录
01 模拟基础练 ......................................................................................................................................2
题型一：充分条件与必要条件的判断 ................................................................................................2
题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围 ................................................................................2
题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假 ................................................................................3
题型四：根据命题的真假求参数的取值范围 ....................................................................................3
题型五：全称量词命题与存在量词命题的否定 ................................................................................3
02 重难创新练 ......................................................................................................................................4
03 真题实战练 ......................................................................................................................................6
题型一：充分条件与必要条件的判断
1．（2024·北京房山·一模）“ 0 < x <1”是“ | x(x -1) |= x(1- x)”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知复数 z = a + bi i(a,b R, i 为虚数单位 )的共轭复数为 z ，则“ z 为纯虚
数”的充分必要条件为（ ）
A． a2 + b2 0 B． ab = 0
C． a = 0,b 0 D． a 0,b = 0
3．（2024·四川·模拟预测）“ ln x -1 < 0 ”的一个必要不充分条件是（ ）
1
A．-1 < x < - B． x > 0
e
3
C．-1 < x < 0 D．1 < x <
2
4．若 x， y R ，则“ x > y ”的一个必要不充分条件可以是（ ）
A． 2x- y > 0.5 B． x2
x
> y2 C． >1y D． 2
x- y > 2
r r r r r r r
5．（2024·全国·模拟预测）已知向量 a - b = (1- x, 2), a + b = (1+ x,0) ，则“ x = 0 ”是“ (a + b) ^ b ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围
6．若 a < x < 3是不等式 log 1 x > -1成立的一个必要不充分条件，则实数 a 的取值范围是（ ）
2
A． - ,0 B． - ,0 C． 0,2 D． 2,3
7．（2024·高三·浙江绍兴·期末）已知命题 p ：函数 f (x) = 2x3 + x - a 在 1,2 内有零点，则命题 p 成立的一
个必要不充分条件是（ ）
A．3 a <18 B．3 < a <18 C．a < 18 D． a 3
8．已知 p : -3 x 1， q : x a （a 为实数）．若 q 的一个充分不必要条件是 p，则实数 a 的取值范围是 .
9．（2024·高三·河南南阳·期中）已知 p ：“ log3x < 3”，q：“ x - a < 2”，若 p 是q的必要不充分条件，则实
数 a的取值范围是 ．
题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假
10．（2024·陕西咸阳·模拟预测）下列命题中，真命题是（ ）
A．“ a > 1,b > 1 ”是“ ab >1”的必要条件
B．"x > 0,ex > 2x
C．"x > 0,2x x2
a
D． a + b = 0的充要条件是 = -1
b
11．给出下列命题
①"x R, x2 +1 > 0；②"x N, x4 1；③$x Z, x3 <1；④"x Q, x2 2．
其中真命题有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
12．下列命题中是真命题的为（ ）
A．$x N，使 4x < -3 B．"x R ， x2 + 2 > 0
C．"x N， 2x > x2 D．$x Z，使3x - 2 = 0
13．（2024·河北·模拟预测）命题 p ："x >1， x + 2x - 3 > 0，命题q：$x R， 2x2 - 4x + 3 = 0，则（ ）
A． p 真q真 B． p 假q假 C． p 假q真 D． p 真q假
题型四：根据命题的真假求参数的取值范围
4
14．（2024·陕西宝鸡·一模）命题“任意 x (1,3)， a x + ”为假命题，则实数 a 的取值范围是 ．
x
15．若命题“ $x R, mx2 + 2mx + 3 0 ”为假命题，则实数 m 的取值范围是 ．
16．已知命题 p : $x0 R
2
， x0 + a -1 x0 +1< 0 ，若命题 p 是假命题，则 a的取值范围为（ ）
A．1 a 3 B．-1 < a < 3
C．-1 a 3 D．0 a 2
题型五：全称量词命题与存在量词命题的否定
17．命题“ $x R ，使 x2 + x -1 = 0 ”的否定是（ ）
A．$x R ，使 x2 + x -1 0 B．不存在 x R ，使 x2 + x -1 = 0
C．"x R ，使 x2 + x -1 0 D．"x R ，使 x2 + x -1 0
18．（2024·全国·模拟预测）命题“"a >1 f x = xa，函数 在 a,+ 上单调递增”的否定为（ ）
A．$a > 1 a，函数 f x = x 在 a,+ 上单调递减
B．$a > 1，函数 f x = xa 在 a,+ 上不单调递增
C．$a 1，函数 f x = xa 在 a,+ 上单调递减
D．$a 1 a，函数 f x = x 在 a,+ 上不单调递增
19．命题 p : "x R, x2 Q的否定为（ ）
A．$x R, x2 Q B．$x R, x2 Q
C．"x R, x2 Q D．"x Q, x2 R
20．命题“"x Z， x2 0 ”的否定是（ ）
A．$x Z， x2 0 B．$x Z， x2 0
C．$x Z， x2 < 0 D．$x Z， x2 < 0
1．（2024· 2陕西西安·模拟预测）设函数 f x = ax - 2ax，命题“ $x 2,6 ， f x -2a + 3 ”是假命题，则实
数 a 的取值范围是（ ）．
3
A． ,+

÷ B． 3, + C． 2,
3
+ D． - ,

2 ÷è è 2
ìT ü
2．（2024· n青海·模拟预测）记数列 an 的前 n 项积为Tn ，设甲： an 为等比数列，乙： í n 为等比数列， 2
则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件
2
3．（2024·四川·模拟预测）已知命题“"x 1,4 ,ex - - m 0 ”为真命题，则实数m 的取值范围为（ ）
x
A． - , e - 2 B ． - ,e4
1
- ùú C． e - 2,
1
+ D é 4． êe - ,+

2 ֏ 2
ìx -1, x < 0

4．（2024·北京顺义·二模）若函数 f x = í 0, x = 0 ，则“ x1 + x2 > 0 ”是“ f x1 + f x2 > 0 ”的（ ）

x +1, x > 0
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2024·上海崇明·二模）已知函数 y = f (x) 的定义域为 D, x1, x2 D ．
命题 p ：若当 f (x1) + f (x2 ) = 0时，都有 x1 + x2 = 0，则函数 y = f (x) 是 D 上的奇函数．
命题q：若当 f (x1) < f (x2 )时，都有 x1< x2 ，则函数 y = f (x) 是 D 上的增函数．
下列说法正确的是（ ）
A．p、q 都是真命题 B．p 是真命题，q 是假命题
C．p 是假命题，q 是真命题 D．p、q 都是假命题
π
6．（2024·北京丰台·一模）已知函数 f x = sin 2x + ÷，则“a = + kπ k Z ”是“ f x +a 是偶函数，且
è 4 8
f x -a 是奇函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2024·四川凉山·二模）已知命题“"x R ， sin2 π + x + 2cos x + m 0 ”是假命题，则 m 的取值范围为
（ ）
A． -2, + B． -2, + C． - , -1 D． - , -2
8．（2024·全国·模拟预测）命题 p : 0 < a <1，命题 q：函数 f x = loga 6 - ax a > 0,a 1 在 - ,3 上单调，
则 p 是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（多选题）（2024·广东梅州·一模）已知直线m ，n和平面a ，b ，且n a，则下列条件中， p 是q的
充分不必要条件的是（ ）
A． p : m∥a ， q : m∥n B． p : m ^ a ， q : m ^ n
C． p :a ∥b ， q : n∥b D． p : n ^ b ， q :a ^ b
10．（多选题）（2024·云南楚雄·模拟预测）下列命题为真命题的是（ ）
1 1
A．"x R ， x + 2 B．"x R ， 1
x x2 +1
C．$x R ， ln(| x | +1) = 0 D．$x R ， x2 + x +1 0
11．（多选题）（2024·高三· *江苏盐城·期中）在VABC 中，若 A = nB n N ，则（ ）
A．对任意的n 2，都有 sin A < nsin B
B．对任意的n 2，都有 tan A < n tan B
C．存在n，使 sin A > nsin B 成立
D．存在n，使 tan A > n tan B成立
12．（2024·上海普陀·二模）设等比数列 an 的公比为 q(n 1, n N) ，则“12a2， a4， 2a3成等差数列”的一
个充分非必要条件是 .
13．（2024·全国·模拟预测）“函数 y = tanx的图象关于 x0 ,0 中心对称”是“ sin2x0 = 0 ”的 条件．
14．（2024·上海长宁·一模）若“存在 x > 0，使得 x2 + ax +1< 0 ”是假命题，则实数 a的取值范围 .
15．若“ x = a ”是“ sin x + cos x >1”的一个充分条件，则a 的一个可能取值是 .（写出一个符合要求的答
案即可）
ì 1 ü
16．（2024·安徽·模拟预测）已知集合 A = íx∣- x 2 ，集合B = x∣x2 - 2mx - 3m2 0 ，全集为R .
2
(1)若m =1，求 R AI R B；
(2)若“ x A ”是“ x B ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.
17．（2024·上海普陀·一模）设函数 y = f x x - x的表达式为 f x = ae + e .
(1)求证：“ a =1”是“函数 y = f x 为偶函数”的充要条件；
(2)若 a =1，且 f m + 2 f 2m - 3 ，求实数m 的取值范围.
1．（2022 年新高考北京数学高考真题）设 an 是公差不为 0 的无穷等差数列，则“ an 为递增数列”是“存
在正整数 N0 ，当 n > N0 时， an > 0”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024 年天津高考数学真题）设 a,b R ，则“ a3 = b3 ”是“3a = 3b ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
r r r r r r r r r r
3．（2024 年北京高考数学真题）设 a，b 是向量，则“ a + b · a - b = 0 ”是“ a = -b或a = b ”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2022 年新高考天津数学高考真题）“ x 为整数”是“ 2x +1为整数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
5．（2022 年新高考浙江数学高考真题）设 x R ，则“ sin x =1”是“ cos x = 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必
要条件
6．（2022 年新高考北京数学高考真题）设 an 是公差不为 0 的无穷等差数列，则“ an 为递增数列”是“存
在正整数 N0 ，当 n > N0 时， an > 0”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2021 年天津高考数学试题）已知 a R ，则“ a > 6 ”是“ a2 > 36 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2021 年北京市高考数学试题）已知 f (x) 是定义在上[0,1]的函数，那么“函数 f (x) 在[0,1]上单调递增”是“函
数 f (x) 在[0,1]上的最大值为 f (1) ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必
要条件
9．（2021 年全国高考甲卷数学（理）试题）等比数列 an 的公比为 q，前 n 项和为 Sn ，设甲： q > 0 ，乙：
Sn 是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
10．（2020 年山东省高考数学真题）下列命题为真命题的是（ ）
A．1 > 0且3 > 4 B．1> 2或 4 > 5
C．$x R， cos x >1 D．"x R ， x2 0
11．（2020 年山东省高考数学真题）已知 a R ，若集合M = 1,a ， N = -1,0,1 ，则“ a = 0 ”是“ M N ”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．（2020 年北京市高考数学试卷）已知a , b R，则“存在 k Z使得a = k + (-1)k b ”是“ sina = sin b ”的
（ ）．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
13．（2020 年浙江省高考数学试卷）已知空间中不过同一点的三条直线 m，n，l，则“m，n，l 在同一平面”
是“m，n，l 两两相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
14．（2021 年天津高考数学试题）已知 a R ，则“ a > 6 ”是“ a2 > 36 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

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