资源简介

第 02 讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值
目录
01 考情透视·目标导航 ................................................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航 ................................................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究 ................................................................................................................................................4
知识点 1：函数的单调性 ............................................................................................................................................4
知识点 2：函数的最值 ................................................................................................................................................5
知识点 3：函数的奇偶性 ............................................................................................................................................5
知识点 4：函数的周期性 ............................................................................................................................................6
知识点 5：函数的对称性 ............................................................................................................................................7
解题方法总结 ...............................................................................................................................................................7
题型一：单调性的定义及判断 .................................................................................................................................10
题型二：复合函数单调性的判断 .............................................................................................................................12
题型三：分段函数的单调性 .....................................................................................................................................14
题型四：利用函数单调性求函数最值 .....................................................................................................................16
题型五：利用函数单调性求参数的范围 .................................................................................................................19
题型六：利用函数的单调性比较函数值大小 .........................................................................................................22
题型七：函数的奇偶性的判断与证明 .....................................................................................................................24
题型八：已知函数的奇偶性求参数 .........................................................................................................................28
题型九：已知函数的奇偶性求表达式、求值 .........................................................................................................30
题型十：奇函数的中值模型 .....................................................................................................................................31
题型十一：利用单调性与奇偶性求解函数不等式 .................................................................................................36
题型十二：函数对称性的应用 .................................................................................................................................38
题型十三：函数周期性的应用 .................................................................................................................................42
题型十四：对称性与周期性的综合应用 .................................................................................................................44
题型十五：类周期与倍增函数 .................................................................................................................................49
题型十六：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性 .................................................................................52
04 真题练习·命题洞见 ..............................................................................................................................................57
05 课本典例·高考素材 ..............................................................................................................................................60
06 易错分析·答题模板 ..............................................................................................................................................63
易错点：判断函数的奇偶性忽视定义域 .................................................................................................................63
答题模板：判断函数的奇偶性 .................................................................................................................................63
考点要求 考题统计 考情分析
2024年 II卷第 8题，5分
2024年 I卷第 6题，5分 从近几年高考命题来看，本节是高
（1）函数的单调性 2024年天津卷第 4题，5分 考的一个重点，函数的单调性、奇偶
（2）函数的奇偶性 2023年 I卷第 4、11题，10分 性、对称性、周期性是高考的必考内
（3）函数的对称性 2023年甲卷第 13题，5分 容，重点关注周期性、对称性、奇偶性
（4）函数的周期性 2022年 II卷第 8题，5分 结合在一起，与函数图像、函数零点和
2022年 I卷第 12题，5分 不等式相结合进行考查．
2021年 II卷第 8题，5分
复习目标：
（1）借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．
（2）结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义．
（3）结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义．
（4）会依据函数的性质进行简单的应用．
知识点 1：函数的单调性
（1）单调函数的定义
一般地，设函数 f (x) 的定义域为 A，区间 D A：
如果对于 D 内的任意两个自变量的值 x1 ， x2 当 x1 < x2 时，都有 f (x1) < f (x2 )，那么就说 f (x) 在区间
D 上是增函数．
如果对于 D 内的任意两个自变量的值 x1 ， x2 ，当 x1 < x2 时，都有 f (x1) < f (x2 )，那么就说 f (x) 在区
间 D 上是减函数．
①属于定义域 A内某个区间上；
②任意两个自变量 x1 ， x2 且 x1 < x2 ；
③都有 f (x1) < f (x2 )或 f (x1) > f (x2 )；
④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．
（2）单调性与单调区间
①单调区间的定义：如果函数 f (x) 在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 f (x) 在区间 D 上具
有单调性， D 称为函数 f (x) 的单调区间．
②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
（3）复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是
增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减
函数.
【诊断自测】（2024·高三·上海杨浦·期中）已知函数 y = f x ， x R .若 f 1 < f 2 成立，则下列论
断中正确的是（ ）
A．函数 f x 在 - , + 上一定是增函数；
B．函数 f x 在 - , + 上一定不是增函数；
C．函数 f x 在 - , + 上可能是减函数；
D．函数 f x 在 - , + 上不可能是减函数.
【答案】D
【解析】因为函数 y = f x ， x R 且 f 1 < f 2 成立，
则函数 f x 在 - , + 上不可能是减函数，可能是增函数，也可能不是增函数，
如 f x = x2 ，满足 f 1 < f 2 ，但是 f x 在 - , + 上不具有单调性，
故 D 正确，A、B、C 错误.
故选：D
知识点 2：函数的最值
一般地，设函数 y = f x 的定义域为 D，如果存在实数 M 满足
① "x D ，都有 f x M ；② $x0 D，使得 f x0 = M ，则 M 是函数 y = f x 的最大值；
① "x D ，都有 f x M ；② $x0 D，使得 f x0 = M ，则 M 是函数 y = f x 的最小值.
1
【诊断自测】（2024·高三·北京·开学考试）函数 y = -1+ x(x 3) 的最小值为 .
x -1
5
【答案】
2
【解析】设 t = x -1, t 2，
1 1
则 y = -1+ x = t + ，
x -1 t
1
又函数 y = t + 在 1, + 上单调递增，
t
所以当 t = 2，即 x = 3时，
函数 y = t
1 1 5
+ 有最小值 2 + = ，
t 2 2
5
故答案为： .
2
知识点 3：函数的奇偶性
函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性 定义 图象特点
如果对于函数 f (x) 的定义域内任意一个 x ，都有
偶函数 关于 y 轴对称
f (-x) = f (x) ，那么函数 f (x) 就叫做偶函数
如果对于函数 f (x) 的定义域内任意一个 x ，都有
奇函数 关于原点对称
f (-x) =- f (x)，那么函数 f (x) 就叫做奇函数
【诊断自测】（2024·高三·河北唐山·期末）函数 f x 为奇函数， g x 为偶函数，在公共定义域内，下
列结论一定正确的是（ ）
A． f x + g x 为奇函数 B． f x + g x 为偶函数
C． f x g x 为奇函数 D． f x g x 为偶函数
【答案】C
【解析】令F1(x) = f (x) + g(x) ，则F1(-x) = f (-x) + g(-x) = - f (x) + g(x) -F1(x) ,且F1 -x F1 x ，
\ F1(x) 既不是奇函数，也不是偶函数，故 A、B 错误；
令F2 (x) = f (x)g(x)，则F2 (-x) = f (-x)g(-x) = - f (x)g(x) = -F2 (x) ,且F2 -x F2 x ，
\ F2 (x)是奇函数，不是偶函数，故 C 正确、D 错误；
故选：C
知识点 4：函数的周期性
（1）周期函数：
对于函数 y = f (x) ，如果存在一个非零常数T ，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有
f (x + T）= f (x) ，那么就称函数 y = f (x) 为周期函数，称T 为这个函数的周期.
（2）最小正周期：
如果在周期函数 f (x) 的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做 f (x) 的最小正周
期.
1
【诊断自测】若偶函数 f (x) 对任意 x R 都有 f (x + 3) = - ，且当 x [-3, -2]时， f (x) = 4xf (x) ，则
f 113 = ．
1
【答案】 /0.125
8
1
【解析】由题设 f (x + 6) = - = f (x)f (x + 3) ，即偶函数
f (x) 的周期为 6，
所以 f (113) = f (6 17 +1) = f (1) = f ( 2 3)
1 1
- + = - =
f ( 2) 8 .-
1
故答案为：
8
知识点 5：函数的对称性
(1)若函数 y = f (x + a) 为偶函数，则函数 y = f (x) 关于 x = a对称．
(2)若函数 y = f (x + a) 为奇函数，则函数 y = f (x) 关于点 (a，0) 对称．
(3)若 f (x) = f (2a - x)，则函数 f (x) 关于 x = a对称．
(4)若 f (x)＋f (2a - x) = 2b，则函数 f (x) 关于点 (a，b) 对称．
【诊断自测】若函数 y＝g（x）的图象与 y＝ln x 的图象关于直线 x＝2 对称，则 g（x）＝ ．
【答案】ln （4－x）
【解析】在函数 y＝g（x）的图象上任取一点（x，y），则点（x，y）关于直线 x＝2 对称的点为（4－x，y），
且点（4－x，y）在函数 y＝ln x 的图象上，所以 y＝ln （4－x）,
即 g x = ln 4 - x ,
故答案为： ln 4 - x
解题方法总结
1、单调性技巧
（1）证明函数单调性的步骤
①取值：设 x1 ， x2 是 f (x) 定义域内一个区间上的任意两个量，且 x1 < x2 ；
②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；
③定号：判断差的正负或商与1的大小关系；
④得出结论．
（2）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调
区间．
（3）记住几条常用的结论：
①若 f (x) 是增函数，则 - f (x) 为减函数；若 f (x) 是减函数，则 - f (x) 为增函数；
②若 f (x) 和 g(x) 均为增(或减)函数，则在 f (x) 和 g(x) 的公共定义域上 f (x) + g(x)为增(或减)函数；
③若 f (x) > 0 且 f (x) 1为增函数，则函数 f (x) 为增函数， 为减函数；
f (x)
④若 f (x) > 0 且 f (x) 1为减函数，则函数 f (x) 为减函数， 为增函数．
f (x)
2、奇偶性技巧
(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
(2)奇偶函数的图象特征.
函数 f (x) 是偶函数 函数 f (x) 的图象关于 y 轴对称；
函数 f (x) 是奇函数 函数 f (x) 的图象关于原点中心对称.
(3)若奇函数 y = f (x) 在 x = 0 处有意义，则有 f (0) = 0；
偶函数 y = f (x) 必满足 f (x) = f (| x |) .
(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的
两个区间上单调性相同.
(5)若函数 f (x) 的定义域关于原点对称，则函数 f (x) 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记
g(x) 1 [ f (x) f ( x)] h(x) 1= + - ， = [ f (x) - f (-x)] ，则 f (x) = g(x) + h(x) .
2 2
(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的
函数，如 f (x) + g(x), f (x) - g(x), f (x) g(x), f (x) g(x) .
对于运算函数有如下结论：奇 ± 奇=奇；偶 ± 偶=偶；奇 ± 偶=非奇非偶；
奇 ( ) 奇=偶；奇 ( ) 偶=奇；偶 ( ) 偶=偶.
(7)复合函数 y = f [g(x)]的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
(8)常见奇偶性函数模型
x x
奇函数：①函数 f (x) m(a +1= x )( x 0
a -1
)或函数 f (x) = m(
a -1 a x
) ．
+1
②函数 f (x) = ±(a x - a- x ) ．
f (x) log x + m log (1 2m③函数 = a = a + ) 或函数 f (x) = log
x - m log (1 2m= - )
x - m x - m a x + m a x + m
④函数 f (x) = loga ( x
2 +1 + x) 或函数 f (x) = log 2a ( x +1 - x)．
2m
注意：关于①式，可以写成函数 f (x) = m + x (x 0)
2m
或函数 f (x) = m - (m R)．
a -1 a x +1
偶函数：①函数 f (x) = ±(a x + a- x )．
f (x) log (amx 1) mx②函数 = a + - ．2
③函数 f (| x |) 类型的一切函数．
④常数函数
3、周期性技巧
函数式满足关系（x R） 周期
f (x + T ) = f (x) T
f (x + T ) = - f (x) 2T
f (x + T ) 1 1= ; f (x + T ) = - 2T
f (x) f (x)
f (x + T ) = f (x - T ) 2T
f (x + T ) = - f (x - T ) 4T
ì f (a + x) = f (a - x)
í 2(b - a)
f (b + x) = f (b - x)
ì f (a + x) = f (a - x)
í 2a
f (x)为偶函数
ì f (a + x) = - f (a - x)
í 2(b - a)
f (b + x) = - f (b - x)
ì f (a + x) = - f (a - x)
í 2a
f (x)为奇函数
ì f (a + x) = f (a - x)
í 4(b - a)
f (b + x) = - f (b - x)
ì f (a + x) = f (a - x)
í 4a
f (x)为奇函数
ì f (a + x) = - f (a - x)
í 4a
f (x)为偶函数
4、函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数 y = f (x) 有两条对称轴 x = a， x = b(a < b)，则函数 f (x) 是周期函数，且T = 2(b - a) ；
（2）若函数 y = f (x) 的图象有两个对称中心 (a,c), (b,c)(a < b) ，则函数 y = f (x) 是周期函数，且
T = 2(b - a) ；
（3）若函数 y = f (x) 有一条对称轴 x = a和一个对称中心 (b,0)(a < b)，则函数 y = f (x) 是周期函数，
且T = 4(b - a) .
5、对称性技巧
（1）若函数 y = f (x) 关于直线 x = a对称，则 f (a + x) = f (a - x) ．
（2）若函数 y = f (x) 关于点 (a，b) 对称，则 f (a + x) + f (a - x) = 2b ．
（3）函数 y = f (a + x) 与 y = f (a - x) 关于 y 轴对称，函数 y = f (a + x) 与 y = - f (a - x) 关于原点对称．
题型一：单调性的定义及判断
【典例 1-1】（2024·陕西榆林·一模）已知函数 f x 在 0, + 上单调递增，则对实数 a > 0,b > 0，
“ a > b ”是“ f a > f b ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为函数 f x 在 0, + 上单调递增，且 a > 0,b > 0，
由增函数的定义可知，当 a > b时，有 f a > f b ，
充分性成立；当 f a > f b 时，若 a = b，由函数定义可知矛盾，
若 a < b ，由函数单调性的定义可知矛盾，则 a > b，必要性成立.
即对实数 a > 0,b > 0，“ a > b ”是“ f a > f b ”的充要条件.
故选：C
【典例 1-2】（2024·安徽蚌埠·模拟预测）下列函数中，满足“对任意的 x1, x2 (0,+ )，使得
f x1 - f x2 < 0 ”成立的是（
x x ）1 - 2
A． f (x) = -x2 - 2x +1
1
B． f (x) = x -
x
C． f (x) = x +1
D． f (x) = log2 (2x) +1
【答案】A
f x - f x
【解析】根据题意，“ 1 2对任意的 x1, x2 (0,+ )，使得 < 0 ”，则函数 f (x) 在 (0, + )上为减函数.x1 - x2
对于选项 A， f (x) = -x2 - 2x +1，为二次函数，其对称轴为 x＝－1，在 (0, + )上递减，符合题意；
1
对于选项 B， f (x) = x - ，其导数 f (x) = 1 1+ ，所以 f (x)2 在 (0, + )x 上递增，不符合题意；x
对于选项 C， f (x) = x +1为一次函数，所以 f (x) 在 (0, + )上递增，不符合题意；
对于选项 D，由复合函数单调性“同增异减”知， f (x) = log2 (2x) +1在 (0, + )上单调递增，不符合题意.
故选：A.
【方法技巧】
函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调
区间．
b
【变式 1-1 2】三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数 f x = ax + 的图象恰如其形，因而得名三
x
2 b
叉戟函数，因为牛顿最早研究了这个函数的图象，所以也称它为牛顿三叉戟.已知函数 f x = ax + 的图
x
象经过点 2,8 ，且 f -2 = 0 .
(1)求函数 f x 的解析式；
(2)用定义法证明： f x 在 - ,0 上单调递减.
ì
4a
b
+ = 8
2
【解析】（1）由题意可知 í b ， 4a - = 0
2
解得 a =1，b = 8，
2 8
故 f x = x + （ x 0）.
x
（2）证明："x1， x2 - ,0 ，且 x1 < x2，则
f x 2 8 2 8 2 8 81 - f x2 = x1 + - x2 + ÷ = x1 - x22 + -x1 è x2 x1 x2
= x - x 8 x - xx x + + 2 1 1 2 1 2 x1x2
= é 8 ùx1 - x2 ê x1 + x2 - x x ú 1 2
x
= 1
- x2 × éx1x2 x1 + xx x 2 -8 ù .1 2
由x ， x2 - ,01 且 x1 < x2，
得 x1x2 > 0， x1 - x2 < 0， x1 + x2 < 0，
x1 - x2
所以 < 0， x1x2 x1 + x2 -8 < 0x ，1x2
x1 - x2
所以 × é x1x2 x1 + x2 -8x x ù > 0 ，1 2
则 f x1 - f x2 > 0，即 f x1 > f x2 .
故 f x 在 - ,0 上单调递减.
【变式 1-2】（2024·高三·上海·期中）由方程 x x + y y =1确定函数 y = f x ，则 y = f x 在 - ,
上是（ ）
A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数
【答案】B
【解析】当 x 0 且 y 0时， x2 + y2 =1，
当 x > 0且 y < 0 时， x2 - y2 =1，
当 x < 0 且 y > 0时， y2 - x2 =1，
当 x < 0 且 y < 0 时，无意义，
如图：
结合图象可知， y = f x 在 - , 上是减函数.
故选：B
题型二：复合函数单调性的判断
2
【典例 2-1】函数 f (x) = (
1)x -2x-8的单调递增区间是（
2 ）
A． - ,1 B． - , -2 C． 4, + D． 1, +
【答案】A
2
【解析】函数 f (x) = (
1)x -2x-8的定义域为 R，函数u = x2 - 2x -8在 (- ,1)上单调递减，在 (1, + )单调递增，2
y (1而函数 = )u 在 R 上单调递减，因此函数 f (x) 在 (- ,1)上单调递增，在 (1, + )单调递减，
2
2
所以函数 f (x) = (
1)x -2x-8的单调递增区间是 (- ,1) .
2
故选：A
【典例 2-2】（2024·高三·浙江绍兴·期末）函数 y = ln x2 - 2x 的单调递减区间是（ ）
A． - ,1 B． 1, + C． - ,0 D． 2, +
【答案】C
【解析】由 y = ln x2 - 2x ，
\ x2 - 2x > 0，解得 x < 0 或 x > 2，
所以函数 y = ln x2 - 2x 的定义域为 - ,0 U 2, + ，
令u = x2 - 2x，则函数u = x2 - 2x在 - ,0 上单调递减，在 2, + 上单调递增，
而函数 y = ln u 在 0, + 上为增函数，
2
由复合函数单调性可得 y = ln x - 2x 的单调递减区间为 - ,0 .
故选：C.
【方法技巧】
讨论复合函数 y = f [g(x)]的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般
需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，
再用复合法则，复合法则如下：
1、若u = g(x)， y = f (u ) 在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则 y = f [g(x)]为增函数；
2、若u = g(x)， y = f (u ) 在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则 y = f [g(x)]为减函
数．列表如下：
u = g(x) y = f (u ) y = f [g(x)]
增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增
复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．
【变式 2-1】（2024
π
·高三·甘肃·开学考试）函数 f x = 2 cos - 3x ÷ 的单调递减区间是（ ）
è 4
é π 2kπ π 2kπ ù é π 2kπ 5π 2kπ ù
A． ê- + , + k Z B． + , + k Z 4 3 12 3 ú ê12 3 12 3 ú
é π 2kπ , π 2kπ ù é π 2kπ π 2kπC． ê- + +
ù
12 3 12 3 ú
k Z D． ê + , + ú k Z 12 3 4 3
【答案】D
【解析】 f x = 2 cos π - 3x

÷ = 2 cos

3x
π
- ÷ ，
è 4 è 4
由题意 y = cos
π
3x - ÷ 单调递减，且 cos

3x
π
- ÷ 0，
è 4 è 4
则 2kπ 3x
π π π 2kπ π 2kπ
- + 2kπ, k Z，解得 + x + ， k Z ，
4 2 12 3 4 3
所以 f x é π 2kπ , π 2kπ ù的单调递减区间是 ê + + ú k Z . 12 3 4 3
故选：D.
1
【变式 2-2】函数 f x = 2 的单调递减区间是（ ）x -8x +15
A． - ,3 B． 3,4 C． 5,+ D． 4, +
【答案】C
1
【解析】由 f x = 2 可得 x2 -8x +15 > 0，x -8x +15
解得 x < 3或 x > 5，
由 y = x2 -8x +15图象的对称轴为 x = 4，
则 y = x2 -8x +15在[4,+ )上单调递增，
故 f x
1
=
2 的单调递减区间为 5,+ ，x -8x +15
故选：C
题型三：分段函数的单调性
ì-x2 + 2ax, x 1
【典例 3-1】（2024·陕西商洛·一模）已知函数 f (x) = í 是定义在R 上的增函数，则 a的
(3 - a)x + 2, x >1
取值范围是（ ）
A． 1,3 B． 1,2 C． 2,3 D． 0,3
【答案】B
ì-x2 + 2ax, x 1
【解析】因为 f (x) = í 是定义在R 上的增函数，
(3 - a)x + 2, x >1
ì 2a
- 1
-2
所以 í3- a > 0 ，解得1 a 2 .

-1+ 2a 3 - a + 2

故选：B
ì(a - 2)x + 4a - 6, x 1 f (x ) - f (x )
【典例 3-2】已知函数 f x = í x 满足对于任意的x x (x x ) 1 2 > 0
a + 2, x >1 1
， 2 1 2 都有 x1 - x
成
2
立，则实数 a的取值范围是（ ）
1, 3ù 2, 5 ù é3 ,2 1, 5 ùA．
è 2ú
B． C． ÷ D．
è 2ú ê 2 è 2 ú
【答案】B
f (x ) - f (x )
【解析】根据题意，对于任意的 x1, x2 (x1 x2 )
1 2
都有 > 0x - x 成立1 2
ì(a - 2)x + 4a - 6, x 1则函数 f x = í x Ra 2, x 1 在 上是增函数 + >
ìa - 2 > 0

∴ a >1 a
5 ù
í ，解得 2,
è 2 ú
，

(a - 2) 1+ 4a - 6 a
1 + 2
故选：B．
【方法技巧】
ìs(x), x m
函数 f (x) = í ，在R 上为增函数，则：
t(x), x > m
① s(x)在 (- ,m]上单调递增；② t(x) 在 (m,+ ) 上单调递增；③ s(m) t(m)．
ìs(x), x m
函数 f (x) = í ，在R 上为减函数，则：
t(x), x > m
① s(x)在 (- ,m]上单调递减；② t(x) 在 (m,+ ) 上单调递减；③ s(m) t(m)．
ìax +1- a,0 x 1 f x - f x
【变式 3-1】已知函数 f x = í 2 ，若"x1, x2 0, 2 , x x
2 1
x -ax ，都有 > 0成立， 2 ,1 < x 2
1 2 x2 - x1
则 a的取值范围为（ ）
A． 0,2 B． - ,1 C． 0,1 D． 0, +
【答案】C
f x2 - f x1
【解析】因为对于"x1, x2 0, 2 , x1 x2 ，都有 > 0成立，所以函数 f x 是增函数，x2 - x1
则函数 y = ax +1- a 0 x 1 x2和 y = 2 -ax (1 < x 2) 均为增函数，且有1 21-a ，
ìa > 0
a
即 í 1 ，解得0 < a 1.
2
21-a 1
故选：C.
ì 2a - 3 x + 2, x 1
【变式 3-2】已知函数 f x = ía 是 R 上的减函数，则 a的取值范围是（ ）
, x >1 x
0 a 3 1 a 3A． < < B． <
2 2
3 3
C．0 < a D．1< a <
2 2
【答案】B
ì 2a - 3 x + 2, x 1
【解析】由于函数 f x = ía 是定义在 R 上的减函数，
, x >1 x
所以，函数 y = 2a - 3 x + 2 在区间 - ,1 上为减函数，
函数 y
a
= 在区间 1, + 上为减函数，且有1× 2a - 3 + 2 a ，
x
ì2a - 3 < 0
a > 0 1 a 3即 í ，解得 < .
2
2a -1 a
é 3
因此，实数 a的取值范围是 ê1, ÷ . 2
故选：B.
题型四：利用函数单调性求函数最值
π
【典例 4-1】（2024 é ù·全国·模拟预测）设 x ê0, 2 ú ，则函数 y = sin x + cos x 的最大值为 ．
3
【答案】 24
é π ù
【解析】设 y = sin x + cos x ， x ê0, ú ，两边平方得 y22 =sinx+cosx+2 sinxcosx．
设 t = sin x + cos x ，两边平方得 t 2 = sin2 x + 2sin x cos x + cos2 x =1+ 2sin x cos x，
2
则 sin x cos x t -1= ，
2
0 x π π x π 3π由于 ， + ，则 t = sin x + cos x = 2 sin

x
π
+ ，
2 4 4 4 4 ÷ 1 t 2
，
è
y2 t 2 t
2 -1
又由于 = + 在区间[1, 2]上单调递增，
2
所以当 t = 2 时, y2 的最大值为 2 2 ，
é 1 3
则 y = sin x + cos x 在区间 ê0,
π ù
ú上的最大值为2 2 4
．
(2 2) = 2
3
故答案为： 24
【典例 4-2】若函数 f x = x2 - 2x + x - a a > 0 在 0,2 上的最小值为 1，则正实数 a的值为 .
13
【答案】
4
2 ì x
2 - x - a, x a
【解析】由题可得 f x = x - 2x + x - a = í ,
x
2 - 3x + a, x < a
因为函数 f x = x2 - 2x + x - a a > 0 在 0,2 上的最小值为 1，
0 a 1当 < 时，在 0,2 上， f x é 1在 ê0,
1 ù ù
2ú 单调递减，
, 2
2 è 2 ú
单调递增，
f x = f 1 1 7所以 min 2 ÷ = -1- a =1，解得 a = （舍）；è 4 4
1 3
当 < a 时，在 0,2 上 f x 在 0,a 单调递减， a,2 单调递增，
2 2
所以 f x = f a = a2 - 2a =1min ，解得a =1± 2 （舍）；
3 3
当 a
3
> 时，在 0,2 上， f x é ù ù在
2 ê
0,
2 ú
单调递减， , 2 单调递增，
è 2 ú
所以 f x f 3 9 9= = - + a =1 13min ÷ ，解得 a = .è 2 4 2 4
13
故答案为：
4
【方法技巧】
利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：
1、如果函数 y = f ( x) 在区间 (a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数 y = f (x)(x a ，c)
在 x=b处有最大值 f (b) ．
2、如果函数 y = f ( x) 在区间 (a，b]上是减函数，在区间[b，c) 上是增函数，则函数 y = f (x)(x a ，c)
在 x=b处有最小值 f (b) ．
3、若函数 y = f ( x) 在[a，b]上是严格单调函数，则函数 y = f ( x) 在[a，b]上一定有最大、最小值．
4、若函数 y = f ( x) 在区间[a，b]上是单调递增，则 y = f ( x) 的最大值是 f (b) ，最小值是 f (a)．
5、若函数 y = f ( x) 在区间[a，b]上是单调递减，则 y = f ( x) 的最大值是 f (a)，最小值是 f (b) ．
2 é3 ù
【变式 4-1】（2024 y 2x - 3x + 5·上海嘉定·一模）函数 = 在 x ê ,3ú 上的最大值和最小值的乘积为 x -1 2
【答案】40 2 +10 /10+ 40 2
é3 ù 1
【解析】令 t = x -1
é
， x = t +1，∵ x ê ,3ú ，∴ t ê ,2
ù
2 2 ú
，

y 2(t +1)
2 - 3(t +1) + 5 2t 2 + t + 4
∴ = = = 2 t
2
+ ÷ +1，t t è t
令 g t = 2 t
2
+ +1, t é1÷ , 2
ù
，
è t ê 2 ú
é1 ù
由对勾函数的性质可知，函数 g t 在 ê , 2ú 上为减函数，在 é 2, 2ù 上为增函数， 2
g 1 ∵ ÷ =10, g 2 = 4 2 +1, g 2 = 7，
è 2
∴ g t =10, g tmax = 4 2 +1min
2 é3 ù
∴函数 y 2x - 3x + 5= 在 x ê ,3ú 上的最大值和最小值分别为2 10, 4 2 +1，x -1
2
∴ y 2x - 3x + 5函数 = 在 x
é3 ê ,3
ù
2 ú
上的最大值和最小值的乘积为40 2 +10．
x -1
故答案为：40 2 +10．
2
【变式 4-2】若函数 y = x - mx + 2 在 0,1 的最大值为 2，则 m 的取值范围是 .
【答案】 1,5
【解析】设 f x = x2 - mx + 2， x 0,1 ， y = g x = f x ，
因为函数 y = g x 在 0,1 的最大值为 2， g 0 = 2，
所以 g 1 = 3- m 2，解得：m 1,5 ，
当m 1,2 时，函数 f x = x2 - mx + 2在 0,1 上先递减再递增，
2
而 f 0 = 2, f 1 = 3 - m 1,2 , f m = 2 m- 1, 7 ù ，
è 2 ÷ 4 è 4 ú
所以， f x > 0，且 fmax = f 0 = 2，即函数 y = g x 在 0,1 的最大值为 2，符合题意；
当m 2,5 时，函数 f x = x2 - mx + 2在 0,1 上递减，所以 f x 3 - m, 2 ，
而 3- m 2，所以函数 y = g x 在 0,1 的最大值为 2，符合题意，
综上，m 1,5 ．
故答案为： 1,5
题型五：利用函数单调性求参数的范围
【典例 5-1】（2024·全国·模拟预测）若函数 f (x) = 4 | x - a | +3在区间[1, + ) 上不单调，则 a 的取值范围
是（ ）
A．[1, + ) B． (1, + )
C． (- ,1) D． (- ,1]
【答案】B
【解析】因为函数 f (x) = 4 | x - a | +3在 (- ,a)上单调递减，在 (a,+ ) 上单调递增．
又函数 f x 在区间[1, + ) 上不单调，所以 a >1，
故选：B．
1
【典例 5-2】（2024·广东佛山·二模）已知 0 < a < 1且 a ，若函数 f (x) = 2loga x - log2a x 在 (0, + )上单2
调递减，则实数 a 的取值范围为（ ）
(1 , 1) 1 1 1 1 1 1A． B． (0, ) C． ( , ) U ( ,1) D． (0, ) U ( ,1)
4 2 4 4 2 2 4 2
【答案】D
f (x) 2 ln x ln x 2ln 2a - ln a【解析】依题意， = - = × ln x
ln 4a
= × ln x
ln a ln 2a ln a × (ln 2a) ln a ，× (ln 2a)
显然函数 y = ln x 在 (0, + )上单调递增，而函数 f (x) 在 (0, + )上单调递减，
ln 4a ìln a < 0
因此 < 0
1
ln a (ln 2a) ，而0 < a < 2a < 4a，则 ln 4a < 0
1
或 íln 2a 0，解得
0 < a < 或 < a <1，
× > 4 2
所以实数 a 的取值范围为 (0,
1) U (1 ,1) .
4 2
故选：D
【方法技巧】
若已知函数的单调性，求参数 a 的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数 a 的不等式，
利用下面的结论求解．
1、若 a > f ( x) 在[m，n]上恒成立 a > f (x)在[m，n]上的最大值．
2、若 a < f ( x) 在[m，n]上恒成立 a < f (x) 在[m，n]上的最小值．
【变式 5-1】若 f x 1= - x3 1+ x2 + 2x +1是区间 m -1, m + 4 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（ ）
3 2
A．m -5 B．m 3
C．m -5或m 3 D．-5 m 3
【答案】C
2
【解析】由题意， f x = -x + x + 2 = - x - 2 x +1 ，
令 f x > 0，解得-1 < x < 2，令 f x < 0，解得 x < -1或 x > 2，
所以 f x 在 -1,2 上单调递减，在 - , -1 ， 2, + 上单调递减，
1 3 1 2
若函数 f x = - x + x + 2x +1在区间 m -1, m + 4 上单调，
3 2
ìm -1 -1
则m + 4 -1或m -1 2 或 ím 4 2 ，解得
m -5或m 3或m ，
+
即m -5或m 3 .
故选：C.
【变式 5-2】（2024·全国·模拟预测）函数 f x = loga x x - a -1 在 1,2 上单调递增，则实数 a 的取值范
围是（ ）
A． 2, + B． 0,1 2,+ C． 4,+ D． 0,1 4,+
【答案】C
【解析】令u = x x - a -1，则 y = loga u ．
当 a >1时， y = loga u 在 0, + 上单调递增，
则由复合函数的单调性可知u = x x - a -1在 1,2 上单调递增，
且u = x x - a -1 > 0 在 1,2 上恒成立，
所以umin = 1- a -1 > 0，解得 a > 2或 a < 0（舍去）．
所以u = x x - a -1 = x a - x -1 = -x2 + ax -1在 1,2 上单调递增，
a
则 2，解得 a 4．
2
当 0 < a < 1时， y = loga u 在 0, + 上单调递减，
则由复合函数的单调性可知u = x x - a -1在 1,2 上单调递减，
且u = x x - a -1 > 0 在 1,2 上恒成立，
所以umin = 2 2 - a -1 > 0 a
3
，解得 < 或 a
5
> （舍去）．
2 2
所以u = x x - a -1 = x x - a -1 = x2 - ax -1在 1,2 上单调递减，
a
则 2，解得 a 4，与 0 < a < 1矛盾．
2
综上所述， a 4, + .
故选：C．
【变式 5-3】（2024 3 2·全国·模拟预测）已知函数 f (x) = loga x - ax + x - 2a (a > 0且 a 1)在区间 (1, + )
上单调递减，则 a的取值范围是（ ）
2ù é2
A． 0, ú B． ê ,1÷ C． (1, 2] D．[2,+ )è 3 3
【答案】A
【解析】设函数 g x = x3 - ax2 + x - 2a，则 g x = 3x2 - 2ax +1．
①若 0 < a < 1，则 y = loga x 在定义域上单调递减．
f x = log x3又 a - ax2 + x - 2a 在区间 1, + 上单调递减，所以 g x 在区间 1, + 上单调递增，故
g x 0对任意的 x 1,+ 恒成立．
又 g 1 = 4 - 2a 0，所以对任意的 x 1, + , g x 0显然成立．
又因为 g x > 0对任意 x 1,+ 恒成立，所以 g 1 = 2 - 3a 20，故0 < a ．
3
②若 a >1，则 y = loga x 在定义域上单调递增．
f x = log 3 2又 a x - ax + x - 2a 在区间 1, + 上单调递减，所以 g x 在区间 1, + 上单调递减，故
g x 0对任意的 x 1,+ 恒成立．
因为抛物线 y = 3x2 - 2ax +1的开口向上，所以 g x 0不可能对任意的 x 1,+ 恒成立．

所以 a的取值范围为 0,
2ù
ú ．è 3
故选：A．
【变式 5-4】若函数 f x = log 1 -x2 + 6x - 5 在区间 3m - 2, m + 2 内单调递增，则实数 m 的取值范围为
2
（ ）
é5 ,+ é5 ,3ù é5 ,2ù é5 A． ê ÷ B． ê ú C． ê ú D． ê , 2 3 ÷ 3 3 3
【答案】D
【解析】由已知得-x2 + 6x - 5 > 0 ，解之得 x 1,5 ，即 f x 的定义域为 1,5 ，
又 f x 在区间 3m - 2, m + 2 内单调递增，根据复合函数的单调性，
ì3m - 2 3 5
可得： í m < 2
3m - 2 < m
，解得 ．
+ 2 5 3
故选：D
题型六：利用函数的单调性比较函数值大小
6-1 2024 f (x) = ln x2 1【典例 】（ ·宁夏银川·一模）若 +1 - ，设 a = f (-3),b = f (ln 2),c = f| x | 2
0.3 ，则 a，
b，c 的大小关系为（ ）
A． c > a > b B．b > c > a C． a > b > c D． a > c > b
【答案】D
2 1
【解析】由题意知 x - ,0 0,+ ，由 f -x = ln é ù -x +1 - = f x -x ，
所以 f x 为偶函数，图象关于 y 轴对称，
当 x > 0时，由复合函数的单调性法则知 f x 随 x 的增大而增大，
1即 x 0, + ， f (x) = ln x2 +1 - | x | 单调递增，
因为 a = f -3 = f 3 ，b = f (ln 2),c = f 20.3 ，
且1 = 20 < 20.3 < 21 = 2，0 < ln 2 < ln e =1，
所以 ln 2 < 20.3 0.3< 3，所以 f ln 2 < f 2 < f -3 ，
即b c > b .
故选：D
【典例 6-2】（2024·宁夏石嘴山·三模）若定义在R 上的偶函数 f x 在 0, + 上单调递增，则
f ln 3 1 -2 2 ÷
, f - 3 ÷
, f e 的大小关系为（ ）
è è
f ln 3 1 3 1A． ÷ > f - ÷ > f e-2 f B ln > f e-2 ．2 3 ÷ > f - ÷è è è 2 è 3
f 1 3 1 3C． -

3 ÷
> f ln > f2 ÷ e
-2 D f - > f e-2． ÷ > f ln ÷
è è è 3 è 2
【答案】A
【解析】因为 f x 是定义在R 上偶函数，所以 f 1- = f 1 ÷ ÷，
è 3 è 3
1
1 3 1 3 -2 1 1 3
因为 e3 27< 3 ÷ = ，则 < ln ，所以0 < e = 2 < < ln ，
è 8 2 3 2 e 3 2
因为 f x 在 0, + 上单调递增，所以 f ln
3 > f 1 ÷ ÷ > f e-2 ，
è 2 è 3
f 3 1 -2即 ln ÷ > f - ÷ > f e2 ，è è 3
故选：A．
【方法技巧】
1、比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决.
1
【变式 6-1】（2024·高三·河北沧州·期中）已知函数 f x = x ，记e + e- x

a = f -log5 2 ,b = f
3 ,c 1= f - ，则（ ）
è 3
÷÷ 2 ÷ è
A． c > b > a B． c > a > b
C． a > c > b D．b > a > c
【答案】C
f x R, f x 1【解析】函数 的定义域为 - = - x x = f x ，所以函数 f x 为偶函数，e + e
当 x 0, + 时，设 g x = ex + e- x g x ex e- x ex 1，则 = - = - x 0 ，故 g x 在 0, + 上单调递增且恒为正e
数，
1
则函数 f x = 在 0, + 上单调递减，又函数 f x 为偶函数，故 f x 1= 在 - ,0g(x) g(x) 上单调递增，
1 1 1 1 1
又 -log52 = log5 > log5 = - ,
3 1
= ，即 0 > -log5 2 > - > -2 5 2 2
，于是
3 f -log5 2 > f (
1
- ) > f ( 3 )，
3 3 2 3
即 a > c > b .
故选:C.
1
【变式 6-2】函数 f x = x3 + 2x - cos x, a = f lg3

,b = f ln
1
÷ ,c = f 23 ÷ ，则 a,b,c的大小关系为（2 ）è è
A． a > b > c B．b > c > a
C．b > a > c D． c > a > b
【答案】D
2
【解析】由题意知 f x = 3x + 2 + sin x > 0，易知 f x 在R 上单调递增．
0 lg1 lg3 lg10 1, ln 1
1
因为 = < < = < ln1 = 0,23 > 20 =1，
2
1 1
所以 23 lg3 ln 1> > ，所以 f 23 ÷ > f lg3
1
> f ln

÷，
2 è è 2
即 c > a > b .
故选：D.
【变式 6-3】（2024·四川·模拟预测）若定义在R 上的偶函数 f x 在 0, + 上单调递增，则
f ln 2 1 ÷ , f ÷ , f e-2 的大小关系为（3 3 ）è è
2 1
A f ln > f > f e-2 B f ln 2 > f e-2 1 ． ．3 ÷ 3 ÷ ÷ > f ÷è è è 3 è 3
f 1C > f ． ÷ ln
2 f e-2 f 1 f e-2 f ln 2> D． > >
è 3 3 ÷ 3 ÷ 3 ÷ è è è
【答案】A
【解析】因为 f x 2 2 3 是定义在R 上偶函数，所以 f ln 3 ÷ = f -ln ÷ = f ln3 2 ÷，è è è
1
1
3 1 3
因为 e3 3< = 27 ÷ ，所以0 < e
-2 < < ln ，
2 è 8 3 2
因为 f x 0, + f ln 2 f 1> 在 上单调递增，所以 > f e-2 ，
è 3 ÷ 3 ÷

è
故选：A.
题型七：函数的奇偶性的判断与证明
【典例 7-1】设函数 f x , g x 的定义域为R ，且 f x 是奇函数， g x 是偶函数，则下列结论中正确的
是（ ）
A． f x g x 是偶函数 B． f x g x 是奇函数
C． f x g x 是奇函数 D． f x g x 是奇函数
【答案】C
【解析】易知选项 ABCD 中的函数定义域即为R ；
因为 f x 是奇函数， g x 是偶函数，所以 f -x = - f x , g -x = g x ，
对于 A， f -x g -x = - f x g x ，故 f x g x 是奇函数，即 A 错误；
对于 B， f -x g -x = - f x g x = f x g x ，故 f x g x 是偶函数，即 B 错误；
对于 C， f -x g -x = - f x g x ，故 f x g x 是奇函数，即 C 正确；
对于 D， f -x g -x = - f x g x = f x g x ，故 f x g x 是偶函数，即 D 错误；
故选：C.
【典例 7-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数 f (x) = 4log x24 + a - x - 3的图象经过点M (-1,1)，则函
数 y = f (x) 的奇偶性为（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
【答案】A
【解析】 f (-1) = 4log4 ( 1+ a +1) - 3 =1，整理得 log4 ( 1+ a +1) =1，即a = 8，
则 f (x) = 4log x2 + 8 - x - 3， x24 + 8 - x >| x | -x．
当 x > 0时， | x | -x = x - x = 0；当 x < 0 时， | x | -x = -x - x = -2x > 0，
即 x2 + 8 - x > 0 对一切实数都成立，即函数 f (x) 的定义域为R ．
f ( x) 4log x2 8 x 3 8 - = 4 + + - = 4log4 ÷ - 3
è x2 + 8 - x
3
= 4log 42 - 4log x2 + 8 2- x - 3 = -4log4 x + 8 - x + 3 = - f (x)4 4 ，
即函数 f (x) 为奇函数．
故选：A．
【方法技巧】
函数单调性与奇偶性结合时，注意函数单调性和奇偶性的定义，以及奇偶函数图像的对称性.
x - x
7-1 2024 f x 2 + 2= g x = ln 1+ 9x2【变式 】（多选题）（ ·重庆·模拟预测）函数 ， - 3x ，那么3
（ ）
A． f x + g x 是偶函数 B． f x gg x 是奇函数
g x
C． f x 是奇函数 D．
g f x 是奇函数
【答案】BC
- x x x - x
【解析】因为 f (-x) 2 + 2= = f (x) f x 2 + 2，所以 = 为偶函数，
3 3
因为 g(-x) + g(x) = ln 1+ 9x2 + 3x +ln 1+ 9x2 - 3x = ln 1+ 9x2 + 3x 1+ 9x2 - 3x = ln1 = 0，
即 g(-x) = -g(x)，所以 g x = ln 1+ 9x2 - 3x 为奇函数，
所以 f x + g x 为非奇非偶函数，A 错误；
f -x gg -x = -[ f x gg x ]，所以 f x × g x 为奇函数，B 正确；
g -x -g x g x g x
= = -
f ，所以-x f x f x f x 是奇函数，C 正确；
令H x = g f x ，H -x = g f -x = g f x = H x ，H x 为偶函数，D 错误.
故选：BC．
【变式 7-2】利用图象判断下列函数的奇偶性：
ì-x2 + 2x +1, x > 0
(1) f (x) = í
x
2 + 2x -1, x < 0
ì x2 + x, x < 0,
(2) f (x) = í
x
2 - x，x > 0
1
(3) y = ( ) x ；
2
(4) y = log2(x +1) ；
(5) y = x2 - 2 x -1.
【解析】（1）函数 f (x) 的定义域为 (- ,0) U (0, + )，
ì-x2 + 2x +1，x > 0
对于函数 f (x) = í 2 ，
x + 2x -1，x < 0
当 x > 0, f (x) = -x2 + 2x +1，为二次函数，是一条抛物线，开口向下，对称轴为 x =1，
当 x < 0, f (x) = x2 + 2x -1，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为 x=- 1，
ì-x2 + 2x +1，x > 0
画出函数 f (x) = í 2 的图象，如图所示，
x + 2x -1，x < 0
函数图象关于原点对称，所以函数 f (x) 为奇函数；
（2）函数 f (x) 的定义域为 (- ,0) U (0, + )，
ìx2 + x，x < 0
对于函数 f (x) = íx2
，
- x，x > 0
1
当 x < 0, f (x) = x2 + x，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为 x = - ，
2
1
当 x > 0, f (x) = x2 - x，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为 x = ，
2
ìx2 + x，x < 0
画出函数 f (x) = í 2 的图象，如图所示，
x - x，x > 0
函数图象关于 y 轴对称，故 f (x) 为偶函数；
1 1
（3）先作出 y = ( )x x的图象，保留 y = ( ) 图象中 x≥0 的部分，
2 2
y (1 x再作出 = ) 的图象中 x>0 部分关于 y 轴的对称部分，
2
y (1即得 = ) x 的图象，如图实线部分．
2
1
由图知 y = ( ) x 的图象关于 y 轴对称，所以该函数为偶函数.
2
（4）将函数 y = log2 x 的图象向左平移一个单位长度，再将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折上去，
即可得到函数 y = log2(x +1) 的图象，如图，
由图知 y = log2(x +1) 的图象既不关于 y 轴对称，也不关于 x 轴对称，
所以该函数为非奇非偶函数；
2 ìx
2 - 2x -1, x 0
（5）函数 y = f (x) = x - 2 x -1 = í 2 ，
x + 2x -1, x < 0
当 x 0, f (x) = x2 - 2x -1，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为 x =1，
当 x < 0, f (x) = x2 + 2x -1，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为 x=- 1，
ìx2 - 2x -1，x 0
画出函数 f (x) = í 2 的图象，如图，
x + 2x -1，x < 0
y = x2由图知 - 2 x -1的图象关于 y 轴对称，所以该函数为偶函数.
题型八：已知函数的奇偶性求参数
ì2x -1, x > 0
【典例 8-1】已知函数 f (x) = log2 x2 + a - x 是奇函数，则a = ，若 g(x) = í 则
f (x), x 0
g g -1 = .
【答案】 1 2
2
【解析】由 f (x) = log 22 x + a - x ，得 x + a - x > 0 ，
则 a > 0，所以函数 f x 的定义域为 R ，
所以 f 0 = log2 a = 0，解得 a =1，
所以 f (x) = log2 x2 +1 - x ，
此时 f (-x) + f (x) = lg[( x2 +1 - x)( x2 +1 + x)] = lg1 = 0，
2
所以 f (x) = log2 x +1 - x 为奇函数，
g -1 = f -1 = log2 -1 2 +1 - -1 = log2 2 +1 > 0 ，
所以 g g -1 = 2log2 2+1 -1 = 2 .
故答案为：1； 2 .
x
【典例 8-2】已知函数 f x 9 - a= xx 的图象关于原点对称， g x = lg 10 +1 + bx是偶函数，则 a + b = .3
1
【答案】 2
9x - a
【解析】函数 f (x) = x 的图象关于原点对称，则函数 f (x) 是奇函数，3
Q函数的定义域为 R ，
0
\ f 0 = 0 f 0 9 - a，即 = 0 = 1- a = 0，3
则 a =1，
Qg(x) = lg(10x +1) + bx是偶函数，
\ g(-x) = g(x)，
即 lg(10-x +1) - bx = lg(10x +1) + bx，
lg 1+10
x
即 x - lg(10
x +1) = 2bx ，
10
即 lg(10x +1) - lg10x - lg(10x +1) = 2bx，
1
则 -x = 2bx， 2b = -1，得b = - ，
2
则 a + b 1
1 1
= - =
2 2 ，
1
故答案为： 2
【方法技巧】
利用函数的奇偶性的定义转化为 f (- x ) = ± f ( x ) ，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、
填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解.
x
【变式 8-1】（2024 g x k - 2·高三·湖北武汉·期末）函数 = x k < 0 为奇函数，则实数 k 的取值1+ k ×2
为 .
【答案】 -1
x
【解析】因为 g x k - 2= x 为定义域上的奇函数，所以 g x +g -x = 0，1+ k ×2
k - 2x k - 2- x
即 + = 0，整理化简有： (k 2 -1)(22x
1+ k ×2x - x
+1) = 0恒成立，
1+ k ×2
所以 k 2 -1 = 0，得 k = ±1，又因为 k < 0，所以 k = -1，
x x
且当 k = -1时， g x k - 2 2 +1= = ，其定义域为{x | x 0}x x ，关于原点对称，故 k = -1满足题意.1+ k ×2 2 -1
故答案为： -1
【变式 8-2】已知函数 f x = log3 9x + m - x 的图象关于 y 轴对称，则m = ．
【答案】1
2x
【解析】因为 f x = log 32x3 + m - log 3x3 = log 3 + m3 x = log x3 3 + m ×3- x ，3
且 f (-x) = f (x)，即3- x + m ×3x = 3x + m ×3- x ，
有m(3x - 3- x ) = 3x - 3- x ，
所以m =1．
故答案为：1.
【变式 8-3】已知函数 f (x)
2
= x 定义域为R ， g(x) = x( f (x) + a) ，若 g(x)为偶函数，则实数 a的值2 +1
为 ．
【答案】 -1
【解析】由题设， g(-x) = g(x)，即-x[ f (-x) + a] = x[ f (x) + a]，
2x ax 2x所以- - x - = x + ax，整理得 2x(a +1) = 0恒成立，则 a = -1 .2 +1 2 +1
故答案为： -1
题型九：已知函数的奇偶性求表达式、求值
【典例 9-1】已知函数 f x ， g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且 f x + g x = x2 - x +1，则
g 3 的值是 .
【答案】-3
【解析】因为 f x + g x = x2 - x +1 ① f -x + g -x = x2，所以 + x +1
由函数 f (x) ， g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，则 f (x) = f (-x), g(x) = -g(-x)
所以 f x - g x = x2 + x +1 ②
则①-②可得： 2g x = -2x，所以 g x = -x
则 g 3 = -3．
故答案为：-3．
ìx2 - 3- x , x < 0,
【典例 9-2】（2024·广东湛江·二模）已知奇函数 f x = í g x = 则 g x +1, x > 0,
．
【答案】-x2 + 3x -1
2 - - x
【解析】当 x > 0时，-x < 0， f x = g x +1 = - f -x = - é -x - 3 ù = -x
2 + 3x，
则 g x = -x2 + 3x -1．
故答案为：-x2 + 3x -1.
【方法技巧】
抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于 f ( x ) 的方程，从而可得
f ( x ) 的解析式.
x
【变式 9-1】若定义在 R 上的偶函数 f x 和奇函数 g x 满足 f x + g x = e ，则 g x 的解析式为
g x = .
ex - e- x
【答案】
2
【解析】由题意得： f -x + g -x =e-x ，即 f x - g x = e-x ①， f x + g x = ex ②，②-①得：
x -x
2g x = ex - e- x ，解得： g x e -e= .
2
ex - e- x
故答案为：
2
【变式 9-2】已知函数 f x 对一切实数 x 都满足 f x + f -x = 0 ，且当 x < 0 时， f x = 2x2 - x +1，则
f x = ．
ì-2x2 - x -1, x > 0

【答案】 í0, x = 0
2
2x - x +1, x < 0
【解析】函数 f x 对一切实数 x 都满足 f x + f -x = 0，
所以 f 0 = 0，
设 x > 0，则-x < 0， f (-x) = 2x2 + x +1 ，
又因为 f x + f -x = 0，即 f x = - f -x ，
所以 f (x) = -2x2 - x -1
ì-2x2 - x -1, x > 0
所以 f (x) =

í0, x = 0 .

2x
2 - x +1, x < 0
ì-2x2 - x -1, x > 0

故答案为： í0, x = 0 ．
2x2 - x +1, x < 0
题型十：奇函数的中值模型
6
【典例 10-1】函数 f (x) = x + lg x2 +1 + x 在区间[-m,m]内的最大值为 M，最小值为 N，其中m > 0，e +1
则M + N = ．
【答案】6
x
f (x) 6 lg( x2 1 x) 3 3(e -1)【解析】由题意可知， = x + + + = - x + lg( x
2 +1 + x)，
e +1 e +1
g(x) 3(e
x -1)
设 = - + lg( x2 +1 + x)， g(x)的定义域为[-m,m]，
ex +1
- x x
所以 g(-x)
3(e -1)
= - - x + lg( x
2 +1 - x) 3(e -1)= -[- 2x + lg( x +1 + x)] = -g(x)，e +1 e +1
所以 g(x)为奇函数，所以 g(x)max + g(x)min = 0，
所以 f (x)max + f (x)min = M + N = g(x)max + 3 + g(x)min + 3 = 6.
故答案为：6.
10-2 f (x) = ax3【典例 】对于函数 + bx x + c （其中 a,b R,c Z ），选取 a,b,c的一组值计算 f (2), f (-2)，
所得出的正确结果一定不可能是（ ）
A．4 和 6 B．3 和 1 C．2 和 4 D．1 和 2
【答案】D
3
【解析】构造函数 g(x) = ax + bx x ，
因为 g(-x) = - ax3 + bx x = -g x ，
所以 g x 是奇函数，
所以 f (2) + f (-2) = g(2) + g(-2) + 2c = 2c ，
c f (2) + f (-2)所以 = ，
2
又因为 c Z，所以 f (2) + f (-2) 能被 2 整除，
故选：D
【方法技巧】
已知 f (x) =奇函数 +M ， x [-a , a ]，则
（1） f (-x) + f (x) = 2M
（2） f (x)max + f (x)min = 2M
1 1
【变式 10-1】（2024·广西·一模） f x 是定义在 R 上的函数， f x + ÷ + 为奇函数，则
è 2 2
f 2023 + f -2022 =（ ）
1
A 1．－1 B．- C． 2 D．12
【答案】A
1 1
【解析】 f x 是定义在 R 上的函数， f x + 2 ÷ + 为奇函数，则è 2
f x 1- + 1 é 1 1 ù 1 1 ÷ + = - f
x + + f
2 2 ê 2 ÷ 2 ú
-x + ÷ + f2
x + ÷ = -1.
è è è è 2
∴ f 2023 + f -2022 f 4045 1 f 4045 1= + ÷ + - +

÷ = -1 .
è 2 2 è 2 2
故选：A
【变式 10-2】设函数 f (x) = ax3 + bsin x + c ln x + x2 +1 + 3的最大值为 5，则 f (x) 的最小值为（ ）
A．-5 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】根据题意，设 g(x) = ax3 + bsin x + c ln x + x2 +1 ，利用定义法判断函数的奇偶性，得出 g(x)是
奇函数，结合条件得出 g(x)的最大值和最小值，从而得出 f (x) 的最小值.由题可知，
f (x) = ax3 + bsin x + c ln x + x2 +1 + 3，
g(x) = ax3设 + bsin x + c ln x + x2 +1 ，其定义域为 R ，
又 g(-x) = a(-x)3 + bsin -x + c ln(-x + (-x)2 +1) ，
即 g -x = -ax3 - bsin x + c ln(-x + x2 +1)，
g -x + g x = c ln x + x2由于 +1 + c ln -x + x2 +1
= c ln x + x2 +1 -x + x2 +1 = c ln x2 +1- x2 = c ln1 = 0，
即 g -x + g x = 0，所以 g(x)是奇函数，
而 f x = g x + 3，
由题可知，函数 f (x) 的最大值为 5，
则函数 g(x)的最大值为：5-3=2，
由于 g(x)是奇函数，得 g(x)的最小值为-2，
所以 f (x) 的最小值为：-2+3=1.
故选：B.
【变式 10-3 f x = ax7 + bx3 + x2】已知函数 + cx - 2023，且 f 10 = 6，则 f -10 = ．
【答案】-3852
f x = ax7 + bx3 + x2 7【解析】由 + cx - 2023，得 ax + bx3 + cx = f x - x2 + 2023，
h x = ax7构建函数 + bx3 + cx = f x - x2 + 2023，定义域为R ，
则 h -x = a -x 7 + b -x 3 + c -x = - ax7 + bx3 + cx = -h x ，即 h x 是奇函数，
于是 h -10 = -h 10 ，所以 f -10 - -10 2 + 2023 = - é f 10 -10
2 + 2023ù ，
可得 f -10 = - f 10 - 3846，
又 f 10 = 6，因此 f -10 = -3852．
故答案为：-3852
f x 2【变式 10-4】设 = x + a 为奇函数，若 g x = f x + sinx + a在 x -m,m (m > 0)的最大值为 3，则e +1
g x 在 x -m,m (m > 0)的最小值为 .
【答案】-5
【解析】 f x 的定义域为R 且为奇函数，
所以 f x f 2 2+ -x = x + a + - x + a = 0，e +1 e +1
2 + 2ex
x + 2a = 2 + 2a = 0,a = -1，e +1
f x 2 2所以 = x -1， g x = x -1+ sinx -1，e +1 e +1
设 h x = g x +1 = f x + sin x ，
则 h -x = f -x + sin -x = - f x - sin x = -h x ，所以 h x 是奇函数，
依题意可知， h x 在 x -m,m (m > 0)的最大值为3+1 = 4，
所以 h x 在 x -m,m (m > 0)的最小值为-4，
所以 g x = h x -1在 x -m,m (m > 0)的最小值为-4 -1 = -5 .
故答案为：-5
2
【变式 10-5】（2024·高三·安徽·期中）函数 f x = x - 6x sin x - 3 + x + a x 0,6 的最大值为 M ，
最小值为m ，若M + m = 8，则a = ．
【答案】1
【解析】 f x = (x2 - 6x)sin(x - 3) + x + a = [(x - 3)2 - 9]sin(x - 3) + (x - 3) + a + 3，
设 x - 3 = t [-3,3]，则 y = (t 2 - 9)sin t + t + a + 3，
记 g(t) = y - (a + 3) = (t 2 - 9)sin t + t ，
因为 g(-t) = -(t 2 - 9)sin t - t = -g(t)，
所以 g(t)是在[-3,3]上的奇函数，最大值为M - (a + 3)，最小值为m - (a + 3) ，
所以M - (3+ a) + m - (3+ a) = 0，
又因为M + m = 8，
所以 a =1，
故答案为：1．
【变式 10-6】（2024·高三·河南周口·开学考试）已知定义在R 上的函数 f x 满足
2
"x, y R, f x + y = f x + f y - 2024 g x x 2024 - x，若函数 = 的最大值和最小值分别为M ,m，
2024 + x2
+ f x
则M + m = ．
【答案】4048
【解析】令 x = y = 0 ，得 f 0 = 2024 ，令 y = -x，则 f 0 = f x + f -x - 2024，
所以 f -x - 2024 = - é f x - 2024ù ，令 h x = f x - 2024，
所以 h(-x) = -h(x)， h x 为奇函数， f x = h x + 2024 ．
G x x 2024 - x
2
令 = 2 + h x ，2024 + x
2
G x x 2024 - x h x [ x 2024 - x
2
则 - = - + - = - + h x ] = -G x ，
2024 + x2 2024 + x2
即G x 为奇函数，所以G(x)max + G(x)min = 0．
x 2024 - x2
而 g x = 2 + h x + 2024 = G x + 2024，2024 + x
所以M + m = G(x)max + 2024 + G(x)min + 2024 = 4048．
故答案为：4048
ax2 + a + ln x2 +1 + x
【变式 10-7】函数 f x 4= + ，若 f x 最大值为M ，最小值为 N ， a 1,3 ，则
x2 +1 a
M + N 的取值范围是 .
【答案】 8,10
Q ax
2 + a + ln x2 +1 + x 4 4 ln x2 +1 + x【解析】 f x = 2 + = a + + ，x +1 a a x2 +1
ln x2 +1 + x
令 g x = ， g x 定义域为 R 关于原点对称，
x2 +1
1
∴ ln x2 +1 - x ln x2 +1 + x ln x2 +1+x g -x ，= 2 = = - = -g x x +1 x2 +1 x2 +1
∴ g x 为奇函数，∴ g x + g x = 0max min ，
∴ f x + f x = M + N = 2 a
4
+
max min ，è a ÷
Q a 1,3 4，由对勾函数的单调性可知 h a = a + 在 1,2 上单调递减，在 2,4 上单调递增，
a
∴ h a = h 2 = 4min ， h 1 = 5,h 3
13
= ， h a = hmax 1 = 5，3
∴ h a 4,5 ，
4
∴ M + N = 2 a + ÷ 8,10 ，
è a
故答案为： 8,10 .
题型十一：利用单调性与奇偶性求解函数不等式
【典例 11-1】已知函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，且在区间[0, + ) 上单调递增. 若实数 a满足
f (log2 a) + f (log1 a) 2 f (1)， 则 a的最小值是（ ）
2
3
A． B．1 C 1． 2 D．22
【答案】C
【解析】由题设， f (x) 在 (- ,0)上递减，由偶函数知： f (log 1 a) = f (- log2 a) = f (log2 a)，
2
∴ f (log2 a) + f (log1 a) = 2 f (log2 a) 2 f (1) ，即 f (log2 a) f (1)，2
∴ | log2 a | 1
1
，则-1 log2 a 1，得 a 2 .2
1
故 a的最小值是 2 .
故选：C
【典例 11-2】（2024·安徽安庆·三模）已知函数 f x = ax x 的图象经过点 2,8 ，则关于 x 的不等式
9 f x + f 4 - x2 < 0的解集为（ ）
A． - , -4 U 1,+ B． -4,1
C． - , -1 4, + D． -1,4
【答案】C
【解析】由题意知 f 2 = 4a = 8，解得 a = 2，所以 f x = 2x x ，其在R 上单调递增，
又因为 f -x = -2x -x = -2x x = - f x ，所以函数 f x 为奇函数，9 f x = f 3x ，
所以不等式9 f x + f 4 - x2 < 0可化为 f 3x < - f 4 - x2 = f x2 - 4 ，
于是3x < x2 - 4，即 x2 - 3x - 4 > 0，解得 x > 4或 x < -1.
故选：C．
【方法技巧】
求解函数不等式时，由条件去掉“ f ”，从而转化为自变量的大小关系，记得考虑函数的定义域．
【变式 11-1】（2024 x - x·湖南永州·三模）已知函数 f x = e - e + sinx - x + 2，其中 e是自然对数的底数.若

f log 1t ÷ + f 3 > 4，则实数 t的取值范围是（ ）
è 2
0, 1 1 A． ÷ B． ,+ ÷ C． 0,8 D． 8,+ è 8 è 8
【答案】C
【解析】Q f (x) = ex + e- x + cos x -1 2 ex ×e- x + cos x -1 =1+ cos x 0，
\ f (x)在R 上单调递增.
令 g(x) = f (x) - 2，\ g(x)在R 上单调递增， f (x) = g(x) + 2.
因为 g(-x) = e- x - ex + sin -x + x = -g(x)，所以 g(x)为奇函数，
则 f (log 1 t) + f (3) > 4

化为 g log 1 t ÷ + 2 + g(3) + 2 > 4,
2 è 2
所以 g(log 1 t) > -g(3) g(log 1 t) > g(-3) log 1 t > -3，解得0 < t < 8，
2 2 2
\t 0,8 .
故选：C
【变式 11-2】设函数 f x = sin x + ex - e- x + 2，则满足 f (x) + f (3- 2x) < 4的 x 的取值范围是（ ）
A． (3, + ) B． (1, + ) C． ( - ,3) D． ( - ,1)
【答案】A
g x = f x - 2 = sin x + ex - e- x【解析】设 , x R ，则 g -x = -sin x + e- x - ex = -g(x) ，
故 g(x)是奇函数．
又 g x = cos x + ex + e- x cos x + 2 ex ×e- x = cos x + 2 > 0，(等号成立的条件是 x = 0 )，
所以 g(x)是 R 上的增函数，则 f (x) + f (3 - 2x) < 4 f (x) - 2 < - f (3 - 2x) + 2，
而 g(2x - 3) = -g(3- 2x) = - f (3- 2x) + 2，
因此有 g(x) < g(2x - 3) ，从而 x < 2x - 3，解得 x > 3，
故选：A.
【变式 11-3 f x = ex-2 - e2-x】已知函数 + x，则不等式 f 3- x + f 6 - 2x 4的解集是
5
【答案】[ ,+ )
3
【解析】令 t = x - 2，则 x = t + 2，故 f (t + 2) = et - e-t + t + 2，
令 g(t) = f (t + 2) - 2，则 g(-t) = e-t - et - t = -g(t)，故 g(t)为奇函数，且 g(t) = et - e-t + t 在定义域上单调递
增，
由 f (3 - x) - 2 + f (6 - 2x) - 2 0等价于 g(1- x) + g(4 - 2x) 0，
所以 g(4 - 2x) -g(1- x) = g(x -1)
5
，故 4 - 2x x -1，可得 x ，
3
[5故不等式解集为 ,+ ) .
3
5
故答案为：[ ,+ )
3
ì x3 , x 0
【变式 11-4】（2024·天津河北·二模）已知函数 f x = í 3 ，若 f 3a -1 8 f a ，则实数 a的取
-x , x < 0
值范围是 .
1
【答案】 (- , ] [1, + )
5
【解析】由题意得函数 f x 为偶函数，且当 x < 0 时函数单调递减，当 x 0 时函数单调递增．
原不等式可化为 f 3a -1 f 2a ，
∴ 3a -1 2a ，
两边平方整理得5a2 - 6a +1 0，
1
解得 a 或 a 1．
5
1
∴实数 a的取值范围是 (- , ] [1, + )．
5
1
故答案为： (- , ] [1, + )．
5
题型十二：函数对称性的应用
3 2
【典例 12-1】已知函数 g x = x - 9x + 29x - 30， g m = -12， g n =18，则m + n = ．
【答案】6
【解析】设函数 f x 图象的对称中心为 a,b ，则有 2b = f x + f (2a - x) ，
即 2b = x3 - 9x2 + 29x - 30 + (2a - x)3 - 9(2a - x)2 + 29(2a - x) - 30，
整理得 2b = (6a -18)x2 - (12a2 - 36a)x + 8a3 - 36a2 + 58a - 60，比较系数可得 a = 3,b = 3，
因此函数 f x 图象的对称中心为 3,3 ，又 f m = -12， f n =18，且 f m + f n = 6，
则点 m, f m 和点 n, f n 关于 3,3 对称，所以m + n = 2 3 = 6 .
故答案为：6
【典例 12-2】（2024·河南·模拟预测）已知函数 f x 的定义域为 R，若 g x =1- f 2x -1 为奇函数，且
直线 2m +1 x + 1- m × y + 3m = 0与 f x 的图象恰有 5 个公共点 x1, y1 ， x2, y 2 ， x3 , y3 ， x4 , y4 ，
5
x5 , y5 ，则 xi - yi = .
i=1
【答案】-10
【解析】 g x =1- f 2x -1 为奇函数，则有 g x + g -x = 0，
即1- f 2x -1 +1- f -2x -1 = 0 ，可得 f 2x -1 + f -2x -1 = 2，
2x -1+ -2x -1
= -1，所以函数 f x 的图象关于点 -1,1 对称.
2
直线 2m +1 x + 1- m × y + 3m = 0，即 2x - y + 3 m + x + y = 0，
ì2x - y + 3 = 0 ìx = -1
由 íx y 0 ，解得 íy 1 ，所以直线过定点
-1,1 ，
+ = =
即直线 2m +1 x + 1- m × y + 3m = 0关于点 -1,1 对称.
直线 2m +1 x + 1- m × y + 3m = 0与 f x 的图象恰有 5 个公共点 x1, y1 ， x2 , y2 ， x3 , y3 ， x4 , y4 ，
x5 , y5 ，
5 5 5
则有 xi = 5 -1 = -5， yi = 5 1 = 5， xi - yi = -10 .
i=1 i=1 i=1
故答案为：-10
【方法技巧】
(1)若 f (x) = f (2a - x)，则函数 f (x) 关于 x = a 对称．
(2)若 f (x)＋f (2a - x) = 2b，则函数 f (x) 关于点 (a，b) 对称．
12-1 f x = ax3 b b 【变式 】已知所有的三次函数 + bx2 + cx + d a 0 的图象都有对称中心 - ， f -

，
è 3a 3a ÷÷è
f x x3 3x2 f 1 f 2 f 3 L f 4045 若函数 = - + ，则 + + + + = .
è 2023 ÷ è 2023 ÷ è 2023 ÷ è 2023 ÷
【答案】8090
【解析】Q f x = -x3 + 3x2 ，
b
则 a = -1,b = 3,\- =1, f 1 = 2，
3a
即函数 y = f x 的图象的对称中心为 1,2 ，
则 f x + f 2 - x = 4 ，
f 1 f 2 f 3 L f 4044 f 4045 故 2023 ÷
+ + + + +
è è 2023 ÷ ÷ ÷ ÷ è 2023 è 2023 è 2023
é f 1 f 4045 ù é 2 4044 ù é 2022 2024 ù 2023= + ê è 2023 ÷ è 2023 ÷ ú
+ ê f + f +L+ f + f + f
è 2023
÷ 2023 ÷ú ê 2023 ÷ ÷ ÷ è è è 2023
ú
è 2023
= 4 2022 + 2 = 8090 .
故答案为：8090.
【变式 12-2】若函数 y = f (x -1)的图象与函数 y = ln x +1的图象关于直线 y = x 对称，则 f (x) = ．
【答案】 e2x
【解析】由于 y = ln x +1，解得 x = e2 y-2 ，故它的反函数为 y = e2x-2 .
再由函数 y = f (x -1)的图像与 y = ln x +1的图像关于直线 y = x 对称，
可得 y = f (x -1)是函数 y = ln x +1 2x-2的反函数，故 f x -1 = e ，
所以 f x = e2x ．
f x = e2x故答案为 ．
f (x) 3x + 2017【变式 12-3】已知 = ，函数 g(x)对任意 x R 有 g(2018 - 2x) = 3- g(2x - 2013) 成立，
2x - 5
m
y = f (x) 与 y = g(x) 的图象有m 个交点为 (x1, y1) ， (x2 , y2 ) …， (xm , ym )，则 (xi + yi ) =（ ）
i=1
A． 2013m B． 2015m C． 2017m D． 4m
【答案】D
3x + 2017 3 2032 5 3
【解析】化简 f x = = + ，所以 f x 的图象关于 , ÷ 对称，2x - 5 2 2x - 5 è 2 2
由 g 2018 - 2x = 3- g 2x - 2013 可得 g 5 - t = 3- g t ，
y = g x 5 , 3 可得 的图象也关于 2 2 ÷对称，è
因此 y = f x 与 y = g x 的图象的m 个交点为 x1, y1 ， x2 , y2 …， xm , ym ，
5 3
也关于 , ÷对称，所以 x1 + xm = x + x2 2 2 m-2
= x3 + xm-3 = ... = 5， y1 + ym = y2 + ym-2 = y3 + ym-3 = ... = 3，设
è
x1 + x2 + ...xm-1 + xm = M ，
则 xm + xm-1 + ...x2 + x1 = M ，两式相加可 x1 + xm + x2 + xm-2 + ...+ x
5
m-1 + x2 + xm + x1 = 2M = 5m, M = m，2
同理可得
3 my1 + y2 + ...+ ym-1 + ym = m ， xi + yi = x1 + x2 + ...+ x + y 3 5m 1 + y2 + ...+ ym = m + m = 4m .2 i=1 2 2
故选：D.
【变式 12-4 2】已知函数 f x x R 满足： f x +1 是偶函数，若函数 y = x - 2x - 3 与函数 y = f x 图象
的交点为 x1, y1 ， x2, y 2 ，L， xm , ym ，则横坐标之和 x1 + x2 +L+ xm =（ ）
A．0 B．m C． 2m D． 4m
【答案】B
【解析】由 f x +1 2是偶函数，知函数 f x 的图象关于直线 x =1对称，函数 y = x - 2x - 3 = x -1 2 - 4 ，
其图象也关于直线 x =1对称，
所以函数 y = x2 - 2x - 3 与函数 y = f x 图象的交点也关于直线 x =1对称，当m 为偶数时，其和为
2 m = m；当m 为奇数时，其和为 2 m -1 +1 = m .
2 2
故选：B.
【变式 12-5】（多选题）（2024·高三·黑龙江鸡西·开学考试）对于定义在R 上的函数 f x ，下述结论
正确的是（ ）
A．若 f x +1 = f x -1 ，则 f x 的图象关于直线 x =1对称
B．若 f x 是奇函数，则 f x -1 的图象关于点 A(1,0)对称
C．函数 y = f 1+ x 与函数 y = f 1- x 的图象关于直线 x =1对称
D．若函数 f x -1 的图象关于直线 x =1对称，则 f x 为偶函数
【答案】BD
【解析】对 A，对 x R ，有 f x +1 = f x -1 ，
令 x +1替换 x ，得 f x + 2 = f x ，可得函数 f x 是周期为 2 的周期函数，
则 y = f x 的图象对称性不确定，即 A 错误；
对 B，Q f x 是奇函数，\ f x 的图象关于原点成中心对称，
而 y = f x -1 的图象是将 y = f x 的图象向右平移一个单位，
y = f x -1 的图象关于点 A(1,0)对称，故 B 正确；
对 C，函数 y = f 1+ x 是由 y = f x 的图象向左平移一个单位得到；
函数 y = f 1- x 的图象是由 y = f -x 的图象向右平移一个单位得，
而 y = f x 与 y = f -x 的图象关于 y 轴对称，
所以函数 y = f 1+ x 与函数 y = f 1- x 的图象关于 y 轴对称，故 C 错误；
对于 D，若函数 f x -1 的图象关于直线 x =1对称，
则将其向左平移 1 个单位得到 f x ，则对称轴也向左平移 1 单位，
则 f x 关于 y 轴对称，即 f x 为偶函数，故 D 正确.
故选：BD.
题型十三：函数周期性的应用
【典例 13-1】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知定义在 R 上的函数 f x 满足 f x + 3 = - f x ，
g x = f x -1为奇函数，则 f 198 = （ ）
A． -1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】因为 f x + 3 = - f x ，
所以 f x + 6 = - f x + 3 = f x ，
所以 f x 的周期为 6.
又因为 g x = f x -1为奇函数，
所以 g x + g -x = 0，即 f x -1+ f -x -1 = 0，即 f x + f -x = 2，
令 x = 0，则 2 f 0 = 2，即 f 0 =1.
所以 f 198 = f 6 33 + 0 = f 0 =1，
故选：C.
【典例 13-2】（ 2024·山东青岛·一模） "x R ， f (x) + f (x + 3) =1- f (x) f (x + 3)， f (-1) = 0，则
f (2024)的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．－1
【答案】B
【解析】由题意知"x R ， f (x) + f (x + 3) =1- f (x) f (x + 3)， f (-1) = 0，
令 x=- 1，则 f (-1) + f (2) =1- f (-1) f (2),\ f (2) =1
显然 f (x) = -1时，-1+ f (x + 3) =1+ f (x + 3)不成立，故 f (x) -1，
1 1- f (x)-
故 f (x 3)
1- f (x)
+ = f (x + 6) = 1+ f (x)，则 1 f (x) = f (x)1+ f (x) ，1 -+
1+ f (x)
即 6 为函数 f (x) 的周期，
则 f (2024) = f (337 6 + 2) = f (2) =1，
故选：B
【方法技巧】
(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据周期定义，从而求出函数的周期．
(2)利用函数的周期性，可以解决区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题．
【变式 13-1】已知函数 f x 满足 f
1+ f x
x + 2 = x R
1 f ， fx 2
1
= ，则 f 2004 等于
- 2
【答案】3
【解析】根据函数解析式，求得函数的周期，利用函数周期性即可求得函数值.
1+ f x
1 +
1+ f x + 2 1- f xf x 1+ 4 = f é x + 2 + 2ù = = = -1- f x + 2 1+ f x1 f x-
1- f x
f x 1+ 8 = f é x + 4 + 4ù = - = f xf x + 4
则 f x 是以 8 为周期的周期函数.
1
1+ f 2
1+
所以 f 2004 = f 250 8 + 4 = f 4 = f 2 + 2 = = 21 = 3 .1- f 2 1-
2
故答案为：3 .
【变式 13-2】（2024·广东广州·二模）已知函数 f x 的定义域为 R，且
f 1+ x + f 1- x = f x , f 0 = 2，则 f 20 + f 24 = （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】由题意可知：函数 f x 的定义域为 R，
因为 f 1+ x + f 1- x = f x ，则 f 1- x + f 1+ x = f -x ，
可得 f x =f -x ，所以 f x 为偶函数，
由 f 1+ x + f 1- x = f x 可得 f 2 + x + f -x = f x +1 ，
即 f 2 + x + f x = f x +1 ，整理得 f 2 + x + f 1- x = 0 ，
可得 f 3+ x + f -x = f 3 + x + f x = 0，
则 f 6 + x + f 3 + x = 0，可得 f 6 + x = f x ，
所以 6 为 f x 的周期，
由 f 1+ x + f 1- x = f x , f 0 = 2，
令 x = 0，可得 f 1 + f 1 = f 0 = 2，可得 f 1 =1；
令 x =1，可得 f 2 + f 0 = f 1 =1，可得 f 2 = -1；
所以 f 20 + f 24 = f 2 + f 0 = -1+ 2 =1．
故选：A．
【变式 13-3】（2024·陕西西安·二模）已知定义域为R 的函数 f (x) 满足 f (x + 2) = - f (x) ，且当 0 < x < 2时，
f (x) = 3x - ln x，则 f (211) = .
【答案】-3
【解析】由已知可得 f x + 2 + f x = 0，所以 f x + 4 + f x + 2 = 0，
所以 f x + 4 = f x ，即T = 4是函数 f x 的一个周期，
1
所以 f 211 = f 3 = - f 1 = - 3 - ln1 = -3 .
故答案为：-3
题型十四：对称性与周期性的综合应用
【典例 14-1】（多选题）（2024·江西赣州·二模）函数 f x 及其导函数 g x 的定义域均为 R， f x +1
和 g 2x -1 都是奇函数，则（ ）
A． g x 的图象关于直线 x=- 1对称 B． f x 的图象关于点 1,0 对称
2024
C． g x 是周期函数 D． g i = 2024
i=1
【答案】BC
【解析】对于 A，因为 g 2x -1 是奇函数，所以 g -2x -1 = -g 2x -1 ，
则有 g -x -1 = -g x -1 ， g x 的图象关于点 -1,0 对称，故 A 错误；
对于 B， f x +1 是奇函数，其图象关于原点对称，
f x +1 向右平移 1 个单位后可得 f x ，所以 f x 的图象关于点 1,0 对称，故 B 正确；
对于 C，因为 f x +1 是奇函数，所以 f -x +1 = - f x +1 ，
所以- f -x +1 = - f x +1 ，所以 f -x +1 = f x +1 ，
所以 g -x +1 = g x +1 ，所以 g -x + 2 = g x ①，
因为 g -x -1 = -g x -1 ，所以 g x = -g -x - 2 ②，
由①②可得： g -x + 2 = -g -x - 2 ，所以 g x = -g x - 4 ，
所以 g x + 4 = -g x ， g x + 8 = -g x + 4 = g x ，
所以8是函数 g x 的一个周期函数，所以 g x 是周期函数，故 C 正确；
对于 D，因为 g x + 4 = -g x ，所以 g 1 = -g 5 ，
g 2 = -g 6 ， g 3 = -g 7 ， g 4 = -g 8 ，
所以 g 1 + g 2 + g 3 + g 4 + g 5 + g 6 + g 7 + g 8 = 0，
2024
而 g i = 253é g 1 + g 2 + g 3 + g 4 + g 5 + g 6 + g 7 + g 8 ù = 0，故 D 错误.
i=1
故选：BC.
【典例 14-2】（2024·高三·辽宁营口·期末）设函数 f x 的定义域为 R， f x +1 - 3为奇函数，
f x + 2 为偶函数，当 x 1,2 时， f x = ax2 + b．若 f -1 + f 0 1 2023 = ，则 f 2 ÷ = （ ）è
37 11 5
A．- B C
2
． ． D．
12 12 6 3
【答案】B
【解析】 f x +1 - 3为奇函数， f -x +1 + f x +1 = 6 ，所以 f x 关于 1,3 对称，所以
f x = 6 - f 2 - x ①，且 f 1 = 3，
又 f x + 2 为偶函数， f -x + 2 = f x + 2 ，则 f x 关于 x = 2对称，所以 f x = f 4 - x ②，
由①②可得 f 4 - x = 6 - f 2 - x ，即 f x = 6 - f x + 2 ，所以 f x + 2 = 6 - f x + 4 ，
于是可得 f x = f x + 4 ，所以 f x 的周期T = 4，
则 f x = 6 - f 2 - x = 6 - f 2 + x = f -x ，所以 f x 为偶函数
则 f -1 + f 0 = f 1 + f 0 =1，所以 f 0 = -2，所以 f 2 = 6 - f 0 = 8
ì 5
ì f 1 = a + b = 3 a = 3 5 4
所以 í 2f 2 4a b 8，解得 í 4 ，所以当
x 1,2 时， f x = x +
= + = b = 3 3
3
f 2023 f 1012 1 f 1 f 1 6 f 3 6 61 11所以 ÷ = - ÷ = - = = - = - = .
è 2 è 2 è 2 ÷ ÷ ÷ è 2 è 2 12 12
故选：B.
【方法技巧】
（1）若函数 y = f (x) 有两条对称轴 x = a ， x = b(a < b)，则函数 f (x) 是周期函数，且T = 2(b - a) ；
（2）若函数 y = f (x) 的图象有两个对称中心 (a, c), (b, c)(a < b) ，则函数 y = f (x) 是周期函数，且
T = 2(b - a) ；
（3）若函数 y = f (x) 有一条对称轴 x = a 和一个对称中心 (b,0)(a < b)，则函数 y = f (x) 是周期函数，
且T = 4(b - a) .
【变式 14-1】（多选题）定义在R 上的函数 f x 与 g x 的导函数分别为 f x 和 g x ，若
g x - f 3- x = 2 ， f x = g x -1 ，且 g -x + 2 = -g x + 2 ，则下列说法中一定正确的是（ ）
A． g x + 2 为偶函数 B． f x + 2 为奇函数
2024
C．函数 f x 是周期函数 D． g(k) = 0
k =1
【答案】BCD
【解析】对 A：由 g -x + 2 = -g x + 2 ，故 g x + 2 为奇函数，
若 g x + 2 为偶函数，则 g x = 0，与条件不符，故 A 错误；
对 B：由 g x - f 3- x = 2 ，则 g x + f 3 - x = 0，
又 f x = g x -1 ，即 f x +1 = g x = - f 3- x ，
即 f x + 2 = - f 2 - x ，又 f x + 2 定义在R 上，
故 f x + 2 为奇函数，故 B 正确；
对 C：由 g -x + 2 = -g x + 2 ， f x = g x -1 ， g x - f 3- x = 2 ，
所以 f x = g x -1 +b，则 f -x + 3 = g -x + 2 + b = -g x + 2 + b，
所以 g x - f 3- x = g x + g x + 2 - b = 2， g x + g x + 2 = b + 2，
所以 g x + 2 + g x + 4 = b + 2，所以 g x + 4 = g x ，
则函数 g x 是周期函数 4的周期函数，函数 f x 是周期函数 4的周期函数，故 C 正确；
对 D：由 g x 是周期函数 4的周期函数，
由 g -x + 2 = -g x + 2 ，令 x = 0，则 g 2 = -g 2 ，即 g 2 = 0，
令 x =1，则 g 1 = -g 3 ，即 g 1 + g 3 = 0，
由 g x + f 3 - x = 0， f -x + 3 = g -x + 2 ，
则 g x = -g -x + 2 ，则 g x 关于 1,0 对称，则 g x 关于 x =1对称，
又 g x + 2 为奇函数，即 g x 关于 2,0 中心对称，
故 g x 关于 x = 3对称，则 g 4 = g 2 = 0，
2024
则 g(k) = 506 é g 1 + g 2 + g 3 + g 4 ù = 506 0 = 0，故 D 正确.
k =1
故选：BCD.
【变式 14-2】（多选题）（2024·湖北·模拟预测）设定义在R 上的函数 f x 与 g x 的导函数分别为
f x 和 g x .若 f x + 4 = g -x + 2， g x + 2 = f x ，且 f x + 2 为奇函数，则下列说法正确的是
（ ）
A．函数 f x 的图象关于直线 x =1对称 B． g 2023 + g 2025 = -2
2023 2023
C． f k = 0 D． g k = 0
k =1 k =1
【答案】AC
【解析】对于选项 A：因为 g x = f x - 2 ，则 g x = f x - 2 + a ，
可得 g 4 - x = f 2 - x + a，
又因为 f x - g 4 - x = 2，可得 f x = f 2 - x + a + 2 .
令 x =1，可得 f 1 = f 1 + a + 2，解得 a = -2 ，
可得 f x = f 2 - x ，所以函数 f x 的图象关于直线 x =1对称，A 正确；
对于选项 C：因为 f x + 2 为奇函数，
可知 y = f x 的图象关于点 2,0 对称，且 f 2 + x + f 2 - x = 0，
令 x = 0，可得 2 f 2 = 0，即 f 2 = 0 ；
令 x =1，可得 f 1 + f 3 = 0；
令 x =1，可得 f 4 + f 0 = 0；
由函数 f x 的图象关于直线 x =1对称，可得 f 0 = 0；
所以 f 4 = 0 ，
又因为 f x + 2 = - f -x + 2 = - f x ，则 f x = - f x + 2 = f x + 4 ，
可知函数 f x 的周期T = 4，
2023
所以 f k = 505 é f 1 + f 2 + f 3 + f 4 ù + f 1 + f 2 + f 3 = 0 ，故 C 正确；
k =1
对于选项 B：由 AC 可知 g x = f x - 2 - 2 = f x + 2 - 2 = - f x - 2，
可得 g 2023 = f 2021 - 2 = f 1 - 2， g 2025 = f 2023 - 2 = f 3 - 2 ，
所以 g 2023 + g 2025 = f 1 - 2 + f 3 - 2 = -4，故 B 错误；
2023 2023 2023
对于选项 D：可得 g k = é- f k - 2 ù = - f k - 2 2023 = -4046 ，故 D 错误.
k =1 k =1 k =1
故选：AC.
【变式 14-3】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x ， g x 的定义域均为R ，其导函数分别
为 f x ， g x ．若 f 3- x + 2 = g x ， f x = g x +1 ，且 g 2 - x + g x = 0，则（ ）
A．函数 g x + 2 为偶函数 B．函数 f x 的图像关于点 2,2 对称
2024 2024
C． g n = 0 D． f n = -4048
i=1 i=1
【答案】ACD
【解析】因为 f x = g x +1 ，所以 f x + a = g x +1 + b a,b R ．
又因为 f 3- x + 2 = g x ，所以 f x + 2 = g 3- x ．
于是可得 g 3- x - 2 + a = g x +1 + b ，令 x =1，则 g 3-1 - 2 + a = g 1+1 + b ，所以 a - 2 = b．
所以 g 3- x = g x +1 ，即函数 g x 的图像关于直线 x = 2对称，即 g -x = g x + 4 ．
因为 g 2 - x + g x = 0，所以函数 g x 的图像关于点 1,0 对称，即 g 2 + x + g -x = 0 ，所以
g x + 2 = -g x + 4 ，即 g x = -g x + 2 ，于是 g x = g x + 4 ，所以函数 g x 是周期为 4 的周期函数．
因为函数 g x 的图像关于直线 x = 2对称，所以 g x + 2 的图像关于 y 轴对称，所以 g x + 2 为偶函数，所
以 A 选项正确．
将 g x 的图像作关于 y 轴对称的图像可得到 y = g -x 的图像，再向右平移 3 个单位长度，可得到
y = g é- x - 3 ù = g 3 - x 的图像，再将所得图像向下平移 2 个单位长度，即可得到 g 3- x - 2 = f x 的图
像，因此函数 f x 也是周期为 4 的函数．又 g x 的图像关于点 1,0 对称，所以 f x 的图像关于点
2, -2 对称，所以 B 选项不正确．
因为 g 2 - x + g x = 0，令 x =1，得 g 1 + g 1 = 0，即 g 1 = 0，所以 g 1 = g 3 = 0；令 x = 0，得
2024
g 2 + g 0 = 0，所以 g 2 + g 4 = 0 ，所以 g 1 + g 2 + g 3 + g 4 = 0，所以 g n = 0 ，所以 C 选项
i=1
正确．
因为 f x = g 3 - x - 2 ，所以 f 0 = g 3 - 2 = -2， f 2 = g 1 - 2 = -2， f 1 = g 2 - 2，
f 3 = g 0 - 2 ， f 4 = f 0 = -2，
则有 f 1 + f 2 + f 3 + f 4 = g 2 - 2 + -2 + g 0 - 2 + -2 = -8，
2024
可得 f n = -4048，所以 D 选项正确．
i=1
故选：ACD．
【变式 14-4】（多选题）（2024·福建宁德·三模）若定义在R 上的函数 f (x) 满足
f (xy第 02 讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值
目录
01 考情透视·目标导航 ................................................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航 ................................................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究 ................................................................................................................................................4
知识点 1：函数的单调性 ............................................................................................................................................4
知识点 2：函数的最值 ................................................................................................................................................5
知识点 3：函数的奇偶性 ............................................................................................................................................5
知识点 4：函数的周期性 ............................................................................................................................................5
知识点 5：函数的对称性 ............................................................................................................................................6
解题方法总结 ...............................................................................................................................................................6
题型一：单调性的定义及判断 ...................................................................................................................................9
题型二：复合函数单调性的判断 .............................................................................................................................10
题型三：分段函数的单调性 .....................................................................................................................................11
题型四：利用函数单调性求函数最值 .....................................................................................................................12
题型五：利用函数单调性求参数的范围 .................................................................................................................12
题型六：利用函数的单调性比较函数值大小 .........................................................................................................13
题型七：函数的奇偶性的判断与证明 .....................................................................................................................14
题型八：已知函数的奇偶性求参数 .........................................................................................................................15
题型九：已知函数的奇偶性求表达式、求值 .........................................................................................................16
题型十：奇函数的中值模型 .....................................................................................................................................16
题型十一：利用单调性与奇偶性求解函数不等式 .................................................................................................17
题型十二：函数对称性的应用 .................................................................................................................................18
题型十三：函数周期性的应用 .................................................................................................................................19
题型十四：对称性与周期性的综合应用 .................................................................................................................20
题型十五：类周期与倍增函数 .................................................................................................................................21
题型十六：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性 .................................................................................22
04 真题练习·命题洞见 ..............................................................................................................................................23
05 课本典例·高考素材 ..............................................................................................................................................24
06 易错分析·答题模板 ..............................................................................................................................................25
易错点：判断函数的奇偶性忽视定义域 .................................................................................................................25
答题模板：判断函数的奇偶性 .................................................................................................................................25
考点要求 考题统计 考情分析
2024年 II卷第 8题，5分
2024年 I卷第 6题，5分 从近几年高考命题来看，本节是高
（1）函数的单调性 2024年天津卷第 4题，5分 考的一个重点，函数的单调性、奇偶
（2）函数的奇偶性 2023年 I卷第 4、11题，10分 性、对称性、周期性是高考的必考内
（3）函数的对称性 2023年甲卷第 13题，5分 容，重点关注周期性、对称性、奇偶性
（4）函数的周期性 2022年 II卷第 8题，5分 结合在一起，与函数图像、函数零点和
2022年 I卷第 12题，5分 不等式相结合进行考查．
2021年 II卷第 8题，5分
复习目标：
（1）借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．
（2）结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义．
（3）结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义．
（4）会依据函数的性质进行简单的应用．
知识点 1：函数的单调性
（1）单调函数的定义
一般地，设函数 f (x) 的定义域为 A，区间 D A：
如果对于 D 内的任意两个自变量的值 x1 ， x2 当 x1 < x2 时，都有 f (x1) < f (x2 )，那么就说 f (x) 在区间
D 上是增函数．
如果对于 D 内的任意两个自变量的值 x1 ， x2 ，当 x1 < x2 时，都有 f (x1) < f (x2 )，那么就说 f (x) 在区
间 D 上是减函数．
①属于定义域 A内某个区间上；
②任意两个自变量 x1 ， x2 且 x1 < x2 ；
③都有 f (x1) < f (x2 )或 f (x1) > f (x2 )；
④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．
（2）单调性与单调区间
①单调区间的定义：如果函数 f (x) 在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 f (x) 在区间 D 上具
有单调性， D 称为函数 f (x) 的单调区间．
②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
（3）复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是
增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减
函数.
【诊断自测】（2024·高三·上海杨浦·期中）已知函数 y = f x ， x R .若 f 1 < f 2 成立，则下列论
断中正确的是（ ）
A．函数 f x 在 - , + 上一定是增函数；
B．函数 f x 在 - , + 上一定不是增函数；
C．函数 f x 在 - , + 上可能是减函数；
D．函数 f x 在 - , + 上不可能是减函数.
知识点 2：函数的最值
一般地，设函数 y = f x 的定义域为 D，如果存在实数 M 满足
① "x D ，都有 f x M ；② $x0 D，使得 f x0 = M ，则 M 是函数 y = f x 的最大值；
① "x D ，都有 f x M ；② $x0 D，使得 f x0 = M ，则 M 是函数 y = f x 的最小值.
1
【诊断自测】（2024·高三·北京·开学考试）函数 y = -1+ x(x 3) 的最小值为 .
x -1
知识点 3：函数的奇偶性
函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性 定义 图象特点
如果对于函数 f (x) 的定义域内任意一个 x ，都有
偶函数 关于 y 轴对称
f (-x) = f (x) ，那么函数 f (x) 就叫做偶函数
如果对于函数 f (x) 的定义域内任意一个 x ，都有
奇函数 关于原点对称
f (-x) =- f (x)，那么函数 f (x) 就叫做奇函数
【诊断自测】（2024·高三·河北唐山·期末）函数 f x 为奇函数， g x 为偶函数，在公共定义域内，下
列结论一定正确的是（ ）
A． f x + g x 为奇函数 B． f x + g x 为偶函数
C． f x g x 为奇函数 D． f x g x 为偶函数
知识点 4：函数的周期性
（1）周期函数：
对于函数 y = f (x) ，如果存在一个非零常数T ，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有
f (x + T）= f (x) ，那么就称函数 y = f (x) 为周期函数，称T 为这个函数的周期.
（2）最小正周期：
如果在周期函数 f (x) 的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做 f (x) 的最小正周
期.
f (x 3) 1【诊断自测】若偶函数 f (x) 对任意 x R 都有 + = - x [-3, -2] f (x) = 4xf (x) ，且当 时， ，则
f 113 = ．
知识点 5：函数的对称性
(1)若函数 y = f (x + a) 为偶函数，则函数 y = f (x) 关于 x = a对称．
(2)若函数 y = f (x + a) 为奇函数，则函数 y = f (x) 关于点 (a，0) 对称．
(3)若 f (x) = f (2a - x)，则函数 f (x) 关于 x = a对称．
(4)若 f (x)＋f (2a - x) = 2b，则函数 f (x) 关于点 (a，b) 对称．
【诊断自测】若函数 y＝g（x）的图象与 y＝ln x 的图象关于直线 x＝2 对称，则 g（x）＝ ．
解题方法总结
1、单调性技巧
（1）证明函数单调性的步骤
①取值：设 x1 ， x2 是 f (x) 定义域内一个区间上的任意两个量，且 x1 < x2 ；
②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；
③定号：判断差的正负或商与1的大小关系；
④得出结论．
（2）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调
区间．
（3）记住几条常用的结论：
①若 f (x) 是增函数，则 - f (x) 为减函数；若 f (x) 是减函数，则 - f (x) 为增函数；
②若 f (x) 和 g(x) 均为增(或减)函数，则在 f (x) 和 g(x) 的公共定义域上 f (x) + g(x)为增(或减)函数；
③若 f (x) 1> 0 且 f (x) 为增函数，则函数 f (x) 为增函数， 为减函数；
f (x)
④若 f (x) > 0 且 f (x) 1为减函数，则函数 f (x) 为减函数， 为增函数．
f (x)
2、奇偶性技巧
(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
(2)奇偶函数的图象特征.
函数 f (x) 是偶函数 函数 f (x) 的图象关于 y 轴对称；
函数 f (x) 是奇函数 函数 f (x) 的图象关于原点中心对称.
(3)若奇函数 y = f (x) 在 x = 0 处有意义，则有 f (0) = 0；
偶函数 y = f (x) 必满足 f (x) = f (| x |) .
(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的
两个区间上单调性相同.
(5)若函数 f (x) 的定义域关于原点对称，则函数 f (x) 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记
g(x) 1= [ f (x) + f (-x)]， h(x) 1= [ f (x) - f (-x)] ，则 f (x) = g(x) + h(x) .
2 2
(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的
函数，如 f (x) + g(x), f (x) - g(x), f (x) g(x), f (x) g(x) .
对于运算函数有如下结论：奇 ± 奇=奇；偶 ± 偶=偶；奇 ± 偶=非奇非偶；
奇 ( ) 奇=偶；奇 ( ) 偶=奇；偶 ( ) 偶=偶.
(7)复合函数 y = f [g(x)]的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
(8)常见奇偶性函数模型
a x +1 a x -1
奇函数：①函数 f (x) = m( )( x 0)或函数 f (x) = m( ) ．
a x -1 a x +1
②函数 f (x) = ±(a x - a- x ) ．
x + m 2m x - m 2m
③函数 f (x) = loga = loga (1+ ) 或函数 f (x) = log = log (1- )x - m x - m a x + m a x + m
④函数 f (x) = loga ( x
2 +1 + x) 或函数 f (x) = log ( x2a +1 - x)．
2m 2m
注意：关于①式，可以写成函数 f (x) = m + x (x 0) 或函数 f (x) = m - x (m R)．a -1 a +1
偶函数：①函数 f (x) = ±(a x + a- x )．
②函数 f (x) = log (amxa +1)
mx
- ．
2
③函数 f (| x |) 类型的一切函数．
④常数函数
3、周期性技巧
函数式满足关系（x R） 周期
f (x + T ) = f (x) T
f (x + T ) = - f (x) 2T
f (x 1 1+ T ) = ; f (x + T ) = - 2T
f (x) f (x)
f (x + T ) = f (x - T ) 2T
f (x + T ) = - f (x - T ) 4T
ì f (a + x) = f (a - x)
í 2(b - a)
f (b + x) = f (b - x)
ì f (a + x) = f (a - x)
í 2a
f (x)为偶函数
ì f (a + x) = - f (a - x)
í 2(b - a)
f (b + x) = - f (b - x)
ì f (a + x) = - f (a - x)
í 2a
f (x)为奇函数
ì f (a + x) = f (a - x)
í 4(b - a)
f (b + x) = - f (b - x)
ì f (a + x) = f (a - x)
í 4a
f (x)为奇函数
ì f (a + x) = - f (a - x)
í 4a
f (x)为偶函数
4、函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数 y = f (x) 有两条对称轴 x = a， x = b(a < b)，则函数 f (x) 是周期函数，且T = 2(b - a) ；
（2）若函数 y = f (x) 的图象有两个对称中心 (a,c), (b,c)(a < b) ，则函数 y = f (x) 是周期函数，且
T = 2(b - a) ；
（3）若函数 y = f (x) 有一条对称轴 x = a和一个对称中心 (b,0)(a < b)，则函数 y = f (x) 是周期函数，
且T = 4(b - a) .
5、对称性技巧
（1）若函数 y = f (x) 关于直线 x = a对称，则 f (a + x) = f (a - x) ．
（2）若函数 y = f (x) 关于点 (a，b) 对称，则 f (a + x) + f (a - x) = 2b ．
（3）函数 y = f (a + x) 与 y = f (a - x) 关于 y 轴对称，函数 y = f (a + x) 与 y = - f (a - x) 关于原点对称．
题型一：单调性的定义及判断
【典例 1-1】（2024·陕西榆林·一模）已知函数 f x 在 0, + 上单调递增，则对实数 a > 0,b > 0，
“ a > b ”是“ f a > f b ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【典例 1-2】（2024·安徽蚌埠·模拟预测）下列函数中，满足“对任意的 x1, x2 (0,+ )，使得
f x1 - f x2 < 0 ”成立的是（
x x ）1 - 2
A． f (x) = -x2 - 2x +1
B． f (x)
1
= x -
x
C． f (x) = x +1
D． f (x) = log2 (2x) +1
【方法技巧】
函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调
区间．
f x ax2 b【变式 1-1】三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数 = + 的图象恰如其形，因而得名三
x
2 b
叉戟函数，因为牛顿最早研究了这个函数的图象，所以也称它为牛顿三叉戟.已知函数 f x = ax + 的图
x
象经过点 2,8 ，且 f -2 = 0 .
(1)求函数 f x 的解析式；
(2)用定义法证明： f x 在 - ,0 上单调递减.
【变式 1-2】（2024·高三·上海·期中）由方程 x x + y y =1确定函数 y = f x ，则 y = f x 在 - ,
上是（ ）
A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数
题型二：复合函数单调性的判断
1 2
2-1 f (x) = ( )x -2x-8【典例 】函数 的单调递增区间是（
2 ）
A． - ,1 B． - , -2 C． 4, + D． 1, +
【典例 2-2】（2024 2·高三·浙江绍兴·期末）函数 y = ln x - 2x 的单调递减区间是（ ）
A． - ,1 B． 1, + C． - ,0 D． 2, +
【方法技巧】
讨论复合函数 y = f [g(x)]的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般
需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，
再用复合法则，复合法则如下：
1、若u = g(x)， y = f (u ) 在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则 y = f [g(x)]为增函数；
2、若u = g(x)， y = f (u ) 在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则 y = f [g(x)]为减函
数．列表如下：
u = g(x) y = f (u ) y = f [g(x)]
增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增
复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．
【变式 2-1
π
】（2024·高三·甘肃·开学考试）函数 f x = 2 cos - 3x ÷ 的单调递减区间是（ ）
è 4
é π 2kπ , π 2kπ ù k Z é π 2kπ 5π 2kπA． ê- + + ú B． ê + , +
ù
ú k Z 4 3 12 3 12 3 12 3
é π 2kπ
C． ê- + ,
π 2kπ ù é π 2kπ π 2kπ+ ùú k Z D． ê + , + ú k Z 12 3 12 3 12 3 4 3
1
【变式 2-2】函数 f x = 2 的单调递减区间是（ ）x -8x +15
A． - ,3 B． 3,4 C． 5,+ D． 4, +
题型三：分段函数的单调性
ì-x2 + 2ax, x 1
【典例 3-1】（2024·陕西商洛·一模）已知函数 f (x) = í 是定义在R 上的增函数，则 a的
(3 - a)x + 2, x >1
取值范围是（ ）
A． 1,3 B． 1,2 C． 2,3 D． 0,3
ì(a - 2)x + 4a - 6, x 1 f (x1) - f (x2 )
【典例 3-2】已知函数 f x = ía x 2, x 1 满足对于任意的x1， x2 (x+ > 1 x2 ) 都有
> 0
x1 - x
成
2
立，则实数 a的取值范围是（ ）
1, 3ù 5 ù é3 5 ùA． ú B． 2,è 2 è 2ú
C．
ê
, 2÷ D．2
1,
è 2 ú
【方法技巧】
ìs(x), x m
函数 f (x) = í ，在R 上为增函数，则：
t(x), x > m
① s(x)在 (- ,m]上单调递增；② t(x) 在 (m,+ ) 上单调递增；③ s(m) t(m)．
ìs(x), x m
函数 f (x) = í ，在R 上为减函数，则：
t(x), x > m
① s(x)在 (- ,m]上单调递减；② t(x) 在 (m,+ ) 上单调递减；③ s(m) t(m)．
ì ax +1- a,0 x 1 f x - f x
【变式 3-1】已知函数 f x = í 2 ，若"x1, x 0, 2 , x x
2 1
2 1 2 ，都有 > 0x -ax 成立， 2 ,1 < x 2 x2 - x1
则 a的取值范围为（ ）
A． 0,2 B． - ,1 C． 0,1 D． 0, +
ì 2a - 3 x + 2, x 1

【变式 3-2】已知函数 f x = ía 是 R 上的减函数，则 a的取值范围是（ ）
, x >1 x
0 a 3 1 a 3A． < < B． <
2 2
C．0
3 3
< a D．1< a <
2 2
题型四：利用函数单调性求函数最值
π
【典例 4-1】（2024 é ù·全国·模拟预测）设 x ê0, 2 ú ，则函数 y = sin x + cos x 的最大值为 ．
【典例 4-2】若函数 f x = x2 - 2x + x - a a > 0 在 0,2 上的最小值为 1，则正实数 a的值为 .
【方法技巧】
利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：
1、如果函数 y = f ( x) 在区间 (a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数 y = f (x)(x a ，c)
在 x=b处有最大值 f (b) ．
2、如果函数 y = f ( x) 在区间 (a，b]上是减函数，在区间[b，c) 上是增函数，则函数 y = f (x)(x a ，c)
在 x=b处有最小值 f (b) ．
3、若函数 y = f ( x) 在[a，b]上是严格单调函数，则函数 y = f ( x) 在[a，b]上一定有最大、最小值．
4、若函数 y = f ( x) 在区间[a，b]上是单调递增，则 y = f ( x) 的最大值是 f (b) ，最小值是 f (a)．
5、若函数 y = f ( x) 在区间[a，b]上是单调递减，则 y = f ( x) 的最大值是 f (a)，最小值是 f (b) ．
2 é3 ù
【变式 4-1】（2024 y 2x - 3x + 5·上海嘉定·一模）函数 = 在 x ê ,3ú 上的最大值和最小值的乘积为 x -1 2
【变式 4-2】若函数 y = x2 - mx + 2 在 0,1 的最大值为 2，则 m 的取值范围是 .
题型五：利用函数单调性求参数的范围
【典例 5-1】（2024·全国·模拟预测）若函数 f (x) = 4 | x - a | +3在区间[1, + ) 上不单调，则 a 的取值范围
是（ ）
A．[1, + ) B． (1, + )
C． (- ,1) D． (- ,1]
1
【典例 5-2】（2024·广东佛山·二模）已知 0 < a < 1且 a ，若函数 f (x) = 2loga x - log2a x 在 (0, + )上单2
调递减，则实数 a 的取值范围为（ ）
(1 , 1) 1 1 1A． B． (0, ) C． ( , ) U (
1 ,1) D． (0,
1) U (1 ,1)
4 2 4 4 2 2 4 2
【方法技巧】
若已知函数的单调性，求参数 a 的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数 a 的不等式，
利用下面的结论求解．
1、若 a > f ( x) 在[m，n]上恒成立 a > f (x)在[m，n]上的最大值．
2、若 a < f ( x) 在[m，n]上恒成立 a < f (x) 在[m，n]上的最小值．
1 1
【变式 5-1 3 2】若 f x = - x + x + 2x +1是区间 m -1, m + 4 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（ ）
3 2
A．m -5 B．m 3
C．m -5或m 3 D．-5 m 3
【变式 5-2】（2024·全国·模拟预测）函数 f x = loga x x - a -1 在 1,2 上单调递增，则实数 a 的取值范
围是（ ）
A． 2, + B． 0,1 2,+ C． 4,+ D． 0,1 4,+
【变式 5-3 3 2】（2024·全国·模拟预测）已知函数 f (x) = loga x - ax + x - 2a (a > 0且 a 1)在区间 (1, + )
上单调递减，则 a的取值范围是（ ）

A． 0,
2ù é2
ú B． ê ,1

÷ C． (1, 2] D．[2,+ )
è 3 3
2
【变式 5-4】若函数 f x = log 1 -x + 6x - 5 在区间 3m - 2, m + 2 内单调递增，则实数 m 的取值范围为
2
（ ）
é5 , é5 ,3ù é5 ,2ù é5A． ê +

3 ÷
B． C．
ê 3 ú ê3 ú
D． ê , 23 ÷
题型六：利用函数的单调性比较函数值大小
【典例 6-1】（2024·宁夏银川·一模）若 f (x) = ln x2 1+1 - ，设 a = f (-3),b = f (ln 2),c = f| x | 2
0.3 ，则 a，
b，c 的大小关系为（ ）
A． c > a > b B．b > c > a C． a > b > c D． a > c > b
【典例 6-2】（2024·宁夏石嘴山·三模）若定义在R 上的偶函数 f x 在 0, + 上单调递增，则
f ln 3 ÷ , f
1- , f e
-2
的大小关系为（
2 3 ÷ ）è è
f ln 3 1 -2 3 -2 1 A． 2 ÷
> f - ÷ > f e B． f ln ÷ > f e > f -3 2 3 ÷è è è è
f 1 3- > f ln > f e-2 f 1- > f e-2 f ln 3> C． 3 ÷ D．2 ÷ 3 ÷ 2 ÷è è è è
【方法技巧】
1、比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决.
1
【变式 6-1】（2024·高三·河北沧州·期中）已知函数 f x = x ，记e + e- x

a = f -log5 2 ,b
3 1
= f 3 ÷÷
,c = f - 2 ÷
，则（ ）
è è
A． c > b > a B． c > a > b
C． a > c > b D．b > a > c
1
【变式 6-2】函数 f x 1= x3 + 2x - cos x, a = f lg3 ,b = f ln ,c = f2 ÷ 2
3 ÷ ，则 a,b,c的大小关系为（ ）
è è
A． a > b > c B．b > c > a
C．b > a > c D． c > a > b
【变式 6-3】（2024·四川·模拟预测）若定义在R 上的偶函数 f x 在 0, + 上单调递增，则
f ln 2 1 -2 3 ÷
, f ÷ , f e 的大小关系为（3 ）è è
f ln 2 f 1 -2 2A -2
1
． ÷ > ÷ > f e B． f ln ÷ > f e > f ÷
è 3 è 3 è 3 è 3
f 1 f ln 2 1 2C． ÷ > ÷ > f e-2 D f > f e-2． ÷ > f 3 3 3 ln 3 ÷è è è è
题型七：函数的奇偶性的判断与证明
【典例 7-1】设函数 f x , g x 的定义域为R ，且 f x 是奇函数， g x 是偶函数，则下列结论中正确的
是（ ）
A． f x g x 是偶函数 B． f x g x 是奇函数
C． f x g x 是奇函数 D． f x g x 是奇函数
2
【典例 7-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数 f (x) = 4log4 x + a - x - 3的图象经过点M (-1,1)，则函
数 y = f (x) 的奇偶性为（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
【方法技巧】
函数单调性与奇偶性结合时，注意函数单调性和奇偶性的定义，以及奇偶函数图像的对称性.
x - x
【变式 7-1 2 + 2 2】（多选题）（2024·重庆·模拟预测）函数 f x = ， g x = ln 1+ 9x - 3x ，那么3
（ ）
A． f x + g x 是偶函数 B． f x gg x 是奇函数
g x
C． g f x f x 是奇函数 D． 是奇函数
【变式 7-2】利用图象判断下列函数的奇偶性：
ì-x2 + 2x +1, x > 0
(1) f (x) = í x2 + 2x -1, x < 0
ì x2 + x, x < 0,
(2) f (x) = í 2
x - x，x > 0
1
(3) y = ( ) x ；
2
(4) y = log2(x +1) ；
(5) y = x2 - 2 x -1.
题型八：已知函数的奇偶性求参数
ì2x2 -1, x > 0
【典例 8-1】已知函数 f (x) = log2 x + a - x 是奇函数，则a = ，若 g(x) = í 则
f (x), x 0
g g -1 = .
x
【典例 8-2 9 - a x】已知函数 f x = x 的图象关于原点对称， g x = lg 10 +1 + bx是偶函数，则 a + b = .3
【方法技巧】
利用函数的奇偶性的定义转化为 f (- x ) = ± f ( x ) ，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、
填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解.
8-1 2024 g x k - 2
x
【变式 】（ ·高三·湖北武汉·期末）函数 = x k < 0 为奇函数，则实数 k 的取值1+ k ×2
为 .
【变式 8-2】已知函数 f x = log x3 9 + m - x 的图象关于 y 轴对称，则m = ．
2
【变式 8-3】已知函数 f (x) = x 定义域为R ， g(x) = x( f (x) + a) ，若 g(x)为偶函数，则实数 a的值2 +1
为 ．
题型九：已知函数的奇偶性求表达式、求值
2
【典例 9-1】已知函数 f x ， g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且 f x + g x = x - x +1，则
g 3 的值是 .
ìx2 - 3- x , x < 0,
【典例 9-2】（2024·广东湛江·二模）已知奇函数 f x = í g x = 则 g x +1, x > 0,
．
【方法技巧】
抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于 f ( x ) 的方程，从而可得
f ( x ) 的解析式.
x
【变式 9-1】若定义在 R 上的偶函数 f x 和奇函数 g x 满足 f x + g x = e ，则 g x 的解析式为
g x = .
【变式 9-2】已知函数 f x 对一切实数 x 都满足 f x + f -x = 0 2，且当 x < 0 时， f x = 2x - x +1，则
f x = ．
题型十：奇函数的中值模型
6
【典例 10-1】函数 f (x) = x + lg x2 +1 + x 在区间[-m,m]内的最大值为 M，最小值为 N，其中m > 0，e +1
则M + N = ．
【典例 10-2】对于函数 f (x) = ax3 + bx x + c （其中 a,b R,c Z ），选取 a,b,c的一组值计算 f (2), f (-2)，
所得出的正确结果一定不可能是（ ）
A．4 和 6 B．3 和 1 C．2 和 4 D．1 和 2
【方法技巧】
已知 f (x) =奇函数 +M ， x [-a , a ]，则
（1） f (-x) + f (x) = 2M
（2） f (x)max + f (x)min = 2M
1 1
【变式 10-1】（2024·广西·一模） f x 是定义在 R 上的函数， f x + ÷ + 为奇函数，则
è 2 2
f 2023 + f -2022 =（ ）
1
A．－1 B 1．- C．
2 2
D．1
【变式 10-2】设函数 f (x) = ax3 + bsin x + c ln x + x2 +1 + 3的最大值为 5，则 f (x) 的最小值为（ ）
A．-5 B．1 C．2 D．3
【变式 10-3 7 3 2】已知函数 f x = ax + bx + x + cx - 2023，且 f 10 = 6，则 f -10 = ．
2
【变式 10-4】设 f x = x + a 为奇函数，若 g x = f x + sinx + a在 x -m,m (m > 0)的最大值为 3，则e +1
g x 在 x -m,m (m > 0)的最小值为 .
【变式 10-5】（2024·高三·安徽·期中）函数 f x = x2 - 6x sin x - 3 + x + a x 0,6 的最大值为 M ，
最小值为m ，若M + m = 8，则a = ．
【变式 10-6】（2024·高三·河南周口·开学考试）已知定义在R 上的函数 f x 满足
2
"x, y R, f x + y = f x + f y - 2024 g x x 2024 - x，若函数 = + f x 的最大值和最小值分别为M ,m，
2024 + x2
则M + m = ．
ax2 + a + ln
【变式 10-7】函数 x2 +1 + x f x 4= + ，若 f x 最大值为M ，最小值为 N ， a 1,3 ，则
x2 +1 a
M + N 的取值范围是 .
题型十一：利用单调性与奇偶性求解函数不等式
【典例 11-1】已知函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，且在区间[0, + ) 上单调递增. 若实数 a满足
f (log2 a) + f (log1 a) 2 f (1)， 则 a的最小值是（ ）
2
3
A B 1． ．1 C． 2 D．22
【典例 11-2】（2024·安徽安庆·三模）已知函数 f x = ax x 的图象经过点 2,8 ，则关于 x 的不等式
9 f x + f 4 - x2 < 0的解集为（ ）
A． - , -4 U 1,+ B． -4,1
C． - , -1 4, + D． -1,4
【方法技巧】
求解函数不等式时，由条件去掉“ f ”，从而转化为自变量的大小关系，记得考虑函数的定义域．
【变式 11-1】（2024 x - x·湖南永州·三模）已知函数 f x = e - e + sinx - x + 2，其中 e是自然对数的底数.若

f log 1t ÷ + f 3 > 4，则实数 t的取值范围是（ ）
è 2
1 1
A． 0, ÷ B． ,+

÷ C． 0,8 D． 8,+ è 8 è 8
11-2 f x = sin x + ex【变式 】设函数 - e- x + 2，则满足 f (x) + f (3- 2x) < 4的 x 的取值范围是（ ）
A． (3, + ) B． (1, + ) C． ( - ,3) D． ( - ,1)
11-3 f x = ex-2 2-x【变式 】已知函数 - e + x，则不等式 f 3- x + f 6 - 2x 4的解集是
ì x3 , x 0
【变式 11-4】（2024·天津河北·二模）已知函数 f x = í 3 ，若 f 3a -1 8 f a ，则实数 a的取
-x , x < 0
值范围是 .
题型十二：函数对称性的应用
12-1 g x = x3 2【典例 】已知函数 - 9x + 29x - 30， g m = -12， g n =18，则m + n = ．
【典例 12-2】（2024·河南·模拟预测）已知函数 f x 的定义域为 R，若 g x =1- f 2x -1 为奇函数，且
直线 2m +1 x + 1- m × y + 3m = 0与 f x 的图象恰有 5 个公共点 x1, y1 ， x2, y 2 ， x3 , y3 ， x4 , y4 ，
5
x5 , y5 ，则 xi - yi = .
i=1
【方法技巧】
(1)若 f (x) = f (2a - x)，则函数 f (x) 关于 x = a 对称．
(2)若 f (x)＋f (2a - x) = 2b，则函数 f (x) 关于点 (a，b) 对称．
【变式 12-1 3 2】已知所有的三次函数 f x = ax + bx + cx + d a 0 b f b - - 的图象都有对称中心 ，3a 3a ÷÷，è è
若函数 f x = -x3 3x2 f 1 2 3 4045+ ，则 + f
+ f +L+ f = .
è 2023 ÷ è 2023 ÷ ÷ è 2023 è 2023 ÷
【变式 12-2】若函数 y = f (x -1)的图象与函数 y = ln x +1的图象关于直线 y = x 对称，则 f (x) = ．
f (x) 3x + 2017【变式 12-3】已知 = ，函数 g(x)对任意 x R 有 g(2018 - 2x) = 3- g(2x - 2013) 成立，
2x - 5
m
y = f (x) 与 y = g(x) 的图象有m 个交点为 (x1, y1) ， (x2 , y2 ) …， (xm , ym )，则 (xi + yi ) =（ ）
i=1
A． 2013m B． 2015m C． 2017m D． 4m
【变式 12-4】已知函数 f x x R 满足： f x +1 是偶函数，若函数 y = x2 - 2x - 3 与函数 y = f x 图象
的交点为 x1, y1 ， x2, y 2 ，L， xm , ym ，则横坐标之和 x1 + x2 +L+ xm =（ ）
A．0 B．m C． 2m D． 4m
【变式 12-5】（多选题）（2024·高三·黑龙江鸡西·开学考试）对于定义在R 上的函数 f x ，下述结论
正确的是（ ）
A．若 f x +1 = f x -1 ，则 f x 的图象关于直线 x =1对称
B．若 f x 是奇函数，则 f x -1 的图象关于点 A(1,0)对称
C．函数 y = f 1+ x 与函数 y = f 1- x 的图象关于直线 x =1对称
D．若函数 f x -1 的图象关于直线 x =1对称，则 f x 为偶函数
题型十三：函数周期性的应用
【典例 13-1】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知定义在 R 上的函数 f x 满足 f x + 3 = - f x ，
g x = f x -1为奇函数，则 f 198 = （ ）
A． -1 B．0 C．1 D．2
【典例 13-2】（ 2024·山东青岛·一模） "x R ， f (x) + f (x + 3) =1- f (x) f (x + 3)， f (-1) = 0，则
f (2024)的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．－1
【方法技巧】
(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据周期定义，从而求出函数的周期．
(2)利用函数的周期性，可以解决区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题．
1+ f x
【变式 13-1】已知函数 f x 满足 f x + 2 =
x R ， f 2 1=1 f x ，则 f 2004 等于 - 2
【变式 13-2】（2024·广东广州·二模）已知函数 f x 的定义域为 R，且
f 1+ x + f 1- x = f x , f 0 = 2，则 f 20 + f 24 = （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式 13-3】（2024·陕西西安·二模）已知定义域为R 的函数 f (x) 满足 f (x + 2) = - f (x) ，且当 0 < x < 2时，
f (x) = 3x - ln x，则 f (211) = .
题型十四：对称性与周期性的综合应用
【典例 14-1】（多选题）（2024·江西赣州·二模）函数 f x 及其导函数 g x 的定义域均为 R， f x +1
和 g 2x -1 都是奇函数，则（ ）
A． g x 的图象关于直线 x=- 1对称 B． f x 的图象关于点 1,0 对称
2024
C． g x 是周期函数 D． g i = 2024
i=1
【典例 14-2】（2024·高三·辽宁营口·期末）设函数 f x 的定义域为 R， f x +1 - 3为奇函数，
f x + 2 为偶函数，当 x 1,2 时， f x = ax2 + b．若 f -1 + f 0 1 f 2023 = ，则 = （ ）
è 2
÷

37 11 5
A．- B． C． D
2
．
12 12 6 3
【方法技巧】
（1）若函数 y = f (x) 有两条对称轴 x = a ， x = b(a < b)，则函数 f (x) 是周期函数，且T = 2(b - a) ；
（2）若函数 y = f (x) 的图象有两个对称中心 (a, c), (b, c)(a < b) ，则函数 y = f (x) 是周期函数，且
T = 2(b - a) ；
（3）若函数 y = f (x) 有一条对称轴 x = a 和一个对称中心 (b,0)(a < b)，则函数 y = f (x) 是周期函数，
且T = 4(b - a) .
【变式 14-1】（多选题）定义在R 上的函数 f x 与 g x 的导函数分别为 f x 和 g x ，若
g x - f 3- x = 2 ， f x = g x -1 ，且 g -x + 2 = -g x + 2 ，则下列说法中一定正确的是（ ）
A． g x + 2 为偶函数 B． f x + 2 为奇函数
2024
C．函数 f x 是周期函数 D． g(k) = 0
k =1
【变式 14-2】（多选题）（2024·湖北·模拟预测）设定义在R 上的函数 f x 与 g x 的导函数分别为
f x 和 g x .若 f x + 4 = g -x + 2， g x + 2 = f x ，且 f x + 2 为奇函数，则下列说法正确的是
（ ）
A．函数 f x 的图象关于直线 x =1对称 B． g 2023 + g 2025 = -2
2023 2023
C． f k = 0 D． g k = 0
k =1 k =1
【变式 14-3】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x ， g x 的定义域均为R ，其导函数分别
为 f x ， g x ．若 f 3- x + 2 = g x ， f x = g x +1 ，且 g 2 - x + g x = 0，则（ ）
A．函数 g x + 2 为偶函数 B．函数 f x 的图像关于点 2,2 对称
2024 2024
C． g n = 0 D． f n = -4048
i=1 i=1
【变式 14-4】（多选题）（2024·福建宁德·三模）若定义在R 上的函数 f (x) 满足
f (xy) = f (x) f (y) + f (x) + f (y)，且值域为[-1, + ) ，则以下结论正确的是（ ）
A． f (0) = -1 B． f (-1) = 0
C． f (x) 为偶函数 D． f (x) 的图象关于 (1,0)中心对称
题型十五：类周期与倍增函数
【典例 15-1】已知函数 f x 的定义域为 R ,且满足 f x +1 = -2 f x ,当 x 0,1 时, f x = x 1- x .则函数
在 y = 4 f x - 3区间 0,5 上的零点个数为（ ）
A． 2 B．3 C． 4 D．5
【典例 15-2】设函数 f x 的定义域为 R ，满足3 f x = f x +1 ，且当 x 0,1 时， f x = x2 - x,若对任
意 x - ,a ，都有 f x 54 - ，则实数 a的取值范围是（ ）
25
12- , ù 13ùA． ú B．5
- , ú C． - , 2 D． - ,3 è è 5
【方法技巧】
1、类周期函数
若 y = f ( x) 满足： f (x + m) = kf (x)或 f (x) = kf (x - m) ，则 y = f ( x) 横坐标每增加 m 个单位，则函数值
扩大 k倍．此函数称为周期为 m 的类周期函数．
2、倍增函数
x
若函数 y = f ( x) 满足 f (mx) = kf (x) 或 f (x) = kf ( )，则 y = f ( x) 横坐标每扩大 m 倍，则函数值扩大 k
m
倍．此函数称为倍增函数．
【变式 15-1】设函数 y = f (x) 的定义域为 R，满足 f (x +1) = 2f (x)，且当 x (0,1]时， f (x) = x(x -1) .若对
任意 x (- ,m] 3，都有 f (x) > - ，则 m 的取值范围是 .
4
【变式 15-2】（2024·上海·二模）已知函数 f x 是定义在 1, + 上的函数，且
ì1- 2x - 3 ,1 x < 2
f x = í ，则函数 y = 2xf x - 30.5 f 0.5x , x 2 在区间 1,2016 上的零点个数为 .
题型十六：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性
【典例 16-1】已知定义在 0, + 上的函数 f x 对任意正数 x, y 都有 f xy = f x + f y ，当 x >1时，
f x > 0，
(1)求 f 1 的值；
(2)证明：用定义证明函数 f x 在 0, + 上是增函数；
【典例 16-2】（2024·山西临汾·三模）已知函数 f x 的定义域为R ，且 f x + y + f x - y = f x f y ，
f 1 =1，则 f 2024 = ．
【方法技巧】
抽象函数的模特函数通常如下：
(1)若 f (x + y) = f (x) + f ( y) ，则 f (x) = xf (1) (正比例函数)
(2)若 f (x + y) = f (x) f ( y) ，则 f ( x ) = [ f (1)] x (指数函数)
(3)若 f (xy) = f (x) + f (y)，则 f (x) = log b x (对数函数)
(4)若 f (xy) = f (x) f (y) ，则 f ( x ) = x a (幂函数)
(5)若 f (x + y) = f (x) + f (y) + m ，则 f (x) = xf (1) - m (一次函数)
【变式 16-1】（多选题）（2024·辽宁·二模）已知定义城为 R 的函数 f x ．满足
f x + y = f x f y - f 1- x f 1- y ，且 f 0 0 ， f -1 = 0，则（ ）
A． f 1 = 0 B． f x 是偶函数
2024
2 2C． é f x ù + é f 1+ x ù = 1 D． f i = -1
i
x + y
【变式 16-2】（多选题）（2024·广西贺州·一模）已知函数 f (x) 的定义域为 (-1,1), f (x) + f (y) = f ÷，
è1+ xy
且当 x (0,1) 时， f (x) > 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A． f x 是奇函数
B． f x 为增函数
C．若实数 a 满足不等式 f (2a) + f (a -1)
1
> 0 , + ，则 a 的取值范围为 ÷
è 3
1 1 1
D． f ÷ - f ÷ > f ÷
è 2 è 3 è 6
【变式 16-3】定义在 R 上的连续函数 f (x)、g(x)满足对任意 x、y R ， f (x + y) = f (x)g(y) + f (y) × g(x)，
g(x + y) = f (x) f (y) + g(x)g(y), g(2x) = 2[g(x)]2 -1.
(1)证明： g(x) > f (x) ；
(2)请判断 f (x)、g(x)的奇偶性；
(3)若对于任意 x R ，不等式 g(2x) mg(x) - 6恒成立，求出 m 的最大值.
【变式 16-4】（2024·河南南阳·模拟预测）定义在正实数集上的函数 f x 满足下列条件：
①存在常数 a 0 < a <1 ，使得 f (a) =1；②对任意实数m ，当 x > 0时，恒有 f (xm ) = mf (x)．
(1)求证：对于任意正实数 x 、 y ， f (xy) = f (x) + f (y) ；
(2)证明： f (x) 在 (0, + )上是单调减函数；
(3) 2若不等式 f loga 4 - x + 2 - f log (4 - x)8a 3恒成立，求实数 a的取值范围．
ì-x2 - 2ax - a, x < 0
1．（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数为 f (x) = í x ，在 R 上单调递增，则 a 取
e + ln(x +1), x 0
值的范围是（ ）
A． (- ,0] B．[-1,0] C．[-1,1] D．[0, + )
2．（多选题）（2022 年新高考全国 I 卷数学真题）已知函数 f (x) 及其导函数 f (x) 的定义域均为R ，记
g(x) f (x) f 3= - 2x ，若 ÷， g(2 + x) 均为偶函数，则（ ）
è 2
f (0) = 0 g 1 A． B． - ÷ = 0 C． f (-1) = f (4) D． g(-1) = g(2)
è 2
3．（2024 年上海夏季高考数学真题）已知函数 f (x) 的定义域为 R，定义集合
M = x0 x0 R , x - , x0 , f x < f x0 ，在使得M = -1,1 的所有 f x 中，下列成立的是（ ）
A．存在 f x 是偶函数 B．存在 f x 在 x = 2处取最大值
C．存在 f x 是严格增函数 D．存在 f x 在 x=- 1处取到极小值
4．（多选题）（2023 2 2年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数 f x 的定义域为R ， f xy = y f x + x f y ，
则（ ）．
A． f 0 = 0 B． f 1 = 0
C． f x 是偶函数 D． x = 0为 f x 的极小值点
1．已知函数 f x = x2 - 2x， g(x) = x2 - 2x x 2,4 .
（1）求 f x 、 g x 的单调区间；
（2）求 f x 、 g x 的最小值.
9
2．（1）根据函数单调性的定义证明函数 y = x + 在区间[3, + )上单调递增.
x
（2）讨论函数 y = x
9
+ 在区间 (0, + )上的单调性.
x
k
（3）讨论函数 y = x + (k > 0) 在区间 (0, + )上的单调性.
x
3．设函数 y = f (x) 的定义域为 I，区间D I ，记Dx = x1 - x2 ,Dy = f x1 - f x2 .证明：
（1）函数 y = f (x)
Dy
在区间 D 上单调递增的充要条件是："x1，x2 D, x1 x2 ，都有 > 0 ；Dx
（2）函数 y = f (x)
Dy
在区间 D 上单调递减的充要条件是："x1，x2 D, x1 x2 ，都有 < 0 .Dx
4．已知函数 f x 是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f x = x 1+ x ，画出函数 f x 的图像，并求出
f x 的解析式．
5．我们知道，函数 y = f (x) 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 y = f (x) 为奇函数，有
同学发现可以将其推广为：函数 y = f (x) 的图象关于点P(a,b) 成中心对称图形的充要条件是函数
y = f (x + a) - b为奇函数.
（1）求函数 f (x) = x3 - 3x2图象的对称中心；
（2）类比上述推广结论，写出“函数 y = f (x) 的图象关于 y 轴成轴对称图形的充要条件是函数 y = f (x) 为
偶函数”的一个推广结论.
易错点：判断函数的奇偶性忽视定义域
易错分析： 函数具有奇偶性的必要条件是定义域一定要关于原点对称。如果定义域不关于原点对称，
一定是非奇非偶函数.
答题模板：判断函数的奇偶性
1、模板解决思路
奇、偶函数定义域的特点：因为 f (x) 和 f (-x) 需同时有意义，所以奇、偶函数的定义域一定关于原
点对称．这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，因此要先考虑定义域．
2、模板解决步骤
第一步：求函数的定义域；
第二步：判断其定义域是否关于原点对称；
第三步：若是，则验证 f (x) 与 f (-x) 的关系；若不是，则非奇非偶函数；
第四步：得出结论．
1 f x 4 - x
2
【易错题 】函数 = 是 函数（填“奇”、“偶”、“既奇又偶”或“非奇非偶”）.
-x
【易错题 2】下列函数中，是偶函数的有 （填序号）.
（1） f x = x3 ；（2） f x = x +1；（3） f x 1=
x2
；
（4） f x = x 1+ 5 f x = x2；（ ） ， x -1,2 ；（6） f x = x2 -1 .x
x + 3 - 3
【易错题 3】函数 y = 的奇偶性为 .
4 - x2

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