资源简介

第 02 讲 常用逻辑用语
目录
01 考情透视·目标导航 ........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航 ........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究 ........................................................................................................................4
知识点 1：充分条件、必要条件、充要条件 ............................................................................................................4
知识点 2：全称量词与存在量词 ................................................................................................................................4
知识点 3：含有一个量词的命题的否定 ....................................................................................................................5
解题方法总结 ...............................................................................................................................................................5
题型一：充分条件与必要条件的判断 .......................................................................................................................6
题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围 .......................................................................................................6
题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假 .......................................................................................................7
题型四：根据命题的真假求参数的取值范围 ...........................................................................................................8
题型五：全称量词命题与存在量词命题的否定 .......................................................................................................8
04 真题练习·命题洞见 .........................................................................................................................9
05 课本典例·高考素材 .......................................................................................................................10
06 易错分析·答题模板 .......................................................................................................................11
易错点：混淆充分条件与必要条件 .........................................................................................................................11
答题模板：充分条件与必要条件的判断 .................................................................................................................11
考点要求 考题统计 考情分析
从近几年高考命题来看，常用逻辑用语
没有单独命题考查，偶尔以已知条件的形式
2024年新高考 II卷第 2题，5分
（1）必要条件、充分条件、 出现在其他考点的题目中．重点关注如下两
2023年新高考 I卷第 7题，5分
充要条件； 点：
2023年天津卷第 2题，5分
（2）全称量词与存在量词； （1）集合与充分必要条件相结合问题的
2023年全国甲卷第 7题，5分
（3）全称量词命题与存在量 解题方法；
2022年天津卷第 2题，5分
词命题的否定． （2）全称命题与存在命题的否定和以全
2021年全国甲卷第 7题，5分
称命题与存在命题为条件，求参数的范围问
题．
复习目标：
1、理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；
2、理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系；
3、理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定．
知识点 1：充分条件、必要条件、充要条件
1、定义
如果命题“若 p ，则 q ”为真（记作 p q ），则 p 是 q的充分条件；同时 q是 p 的必要条件．
2、从逻辑推理关系上看
（1）若 p q 且 q p ，则 p 是 q的充分不必要条件；
（2）若 p q 且 q p ，则 p 是 q的必要不充分条件；
（3）若 p q 且 q p ，则 p 是 q的的充要条件（也说 p 和 q等价）；
（4）若 p q 且 q p ，则 p 不是 q的充分条件，也不是 q的必要条件．
对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质： p q ，则 p 是 q的充分条件，同时 q是
p 的必要条件．所谓“充分”是指只要 p 成立， q就成立；所谓“必要”是指要使得 p 成立，必须要 q成立
（即如果 q不成立，则 p 肯定不成立）．
【诊断自测】（2024·北京西城·二模）已知 a R , b R ．则“ ab >1”是“ a2 + b2 > 2 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
知识点 2：全称量词与存在量词
（1）全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号
“ " ”表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．全称量词命题“对 M 中的任意一个 x ，有 p(x)成立”可
用符号简记为“ "x M , p(x) ”，读作“对任意 x 属于 M ，有 p(x)成立”．
（2）存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符
号“ $ ”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．存在量词命题“存在 M 中的一个 x0 ，使 p(x0 )成立”
可用符号简记为“ $x0 M , P(x0 ) ”，读作“存在 M 中元素 x0 ，使 p(x0 )成立”（存在量词命题也叫存在性命
题）．
【诊断自测】下列命题中的假命题是( )
A．$x R , log2 x < 0 B．$x R , cos x =1
C．"x R , x2 > 0 D．"x R ,2x > 0
知识点 3：含有一个量词的命题的否定
（1）全称量词命题 p : "x M , p(x) 的否定 p 为$x0 M ， p(x0 )．
（2）存在量词命题 p : $x0 M , p(x0 ) 的否定 p 为"x M , p(x) ．
【诊断自测】（2024·全国·模拟预测）已知命题 p : "x Z, x2 0，则 p 为（ ）
A．$x Z, x2 0 B．$x Z, x2 0
C．$x Z, x2 < 0 D．$x Z, x2 < 0
解题方法总结
1、从集合与集合之间的关系上看
设 A = x | p(x) , B = x | q(x) ．
（1）若 A B ，则 p 是 q的充分条件（ p q ）， q是 p 的必要条件；若 A bB ，则 p 是 q的充分不必
要条件， q是 p 的必要不充分条件，即 p q 且 q p ；
简记：“小 大”．
（2）若 B A，则 p 是 q的必要条件， q是 p 的充分条件；
（3）若 A = B，则 p 与 q互为充要条件．
2、常见的一些词语和它的否定词如下表
原词语 等于 大于 小于 是 都是 任意 至多 至多
(=) (>) (<) （所有） 有一个 有一个
否定词语 不等于 小于等于 大于等于 不是 不都是 某个 至少有 一个都
( ) ( ) ( ) 两个 没有
（1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合 M 中的每一个元素 x 证明其成立，要判断
全称量词命题为假命题，只要能举出集合 M 中的一个 x 0 ，使得其不成立即可．
（2）要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合 M 中能找到一个 x0 使之成立即可，否则这
个存在量词命题就是假命题．
题型一：充分条件与必要条件的判断
【典例 1-1】（2024·浙江宁波·二模）已知平面a , b ,g ,a b = l ，则“ l ^ g ”是“a ^ g 且 b ^ g ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【典例 1-2】（2024·湖南·二模）已知实数a > b > 0，则下列选项可作为 a - b <1的充分条件的是（ ）
1 1 1
A． a - b =1 B． - =b a 2
C． 2a - 2b =1 D． log2a - log2b =1
【方法技巧】
1、要明确推出的含义，是 p 成立 q一定成立才能叫推出而不是有可能成立．
2、充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合．
r r r r r r
【变式 1-1】（2024·辽宁沈阳·二模）已知向量 a = 2,4 ,b = 3,-1 ，则“ k = 2 ”是“ a + kb ^ a - kb ”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不
必要条件
a b
【变式 1-2】（2024·福建福州·模拟预测）设 a，b R ，则“ ab < 0 ”是“ + = 0a b ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式 1-3】（多选题）已知 p 是 r 的充分而不必要条件，q 是 r 的充分条件，s 是 r 的必要条件，q 是 s 的必
要条件，下列命题正确的是（ ）
A．r 是 q 的充分条件 B．p 是 q 的充分条件
C．r 是 q 的必要而不充分条件 D．r 是 s 的充分而不必要条件
题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围
【典例 2-1】设 x R ， a < b ，若“ a x b ”是“ x2 + x - 2 0 ”的充要条件，则b - a的值为（ ）
A． 0 B．-3 C．3 D． 2
【典例 2-2】给出如下三个条件：①充要②充分不必要③必要不充分.请从中选择补充到下面横线上.
已知集合P = x -1 x 5 ， S = x 2 - m x 3 + 2m ，存在实数m 使得“ x P ”是“ x S ”的 条件.
【方法技巧】
1、集合中推出一定是小集合推出大集合，注意包含关系．
2、把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参
数的不等式求解.在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点能否能取到，容易出错．
【变式 2-1】已知命题 p :“方程 ax2 + 2x +1 = 0至少有一个负实根”，若 p 为真命题的一个必要不充分条件为
a m +1，则实数m 的取值范围是 ．
A ìx x + 2 0ü2-2 = < B = x x2 - 2ax + a2【变式 】已知集合 í ， -1 < 0 ，若“ x A ”是“ x B ”的必要非充分
x - 4
条件，则实数 a 的取值范围是 ．
【变式 2-3】已知命题 p : 4 - x 6, q : x a -1，若 p 是q的充要条件，则a = ．
题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假
【典例 3-1】下列正确命题的个数为（ ）
① "x R ， x2 + 2 > 0 ；② "x N, x4 1；③ $x Z, x3 < 1；④ $x Q, x2 = 3．
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例 3-2】（2024·高三·北京通州·期中）下列命题中的假命题是（ ）
x
1 1A．"x R ， ÷ > 0 B．$x R， x 2è 2 > x
C．"x R ， 2|x| >1 D．$x R， tan x > 1
【方法技巧】
1、全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要理解汉字意思，又要使用数学结论．
2、全称量词命题和存在量词命题的真假性判断相对简单，注重细节即可．
【变式 3-1】下列命题中，既是存在量词命题又是真命题的是（ ）
A．$x R,1+ sinx < 0
B．每个等腰三角形都有内切圆
C．"x R, x2 + 2x -1
D．存在一个正整数，它既是偶数又是质数
【变式 3-2】（2024·广东东莞·三模）已知全集U 和它的两个非空子集A ， B 的关系如图所示，则下列命
题正确的是（ ）
A．$x A， x B B．"x A， x B
C．$x B， x A D．"x B ， x A
【变式 3-3】（2024·福建厦门·模拟预测）已知集合 M，N 满足M N ，则（ ）
A．"x M ， x N B．"x M ， x N
C．$x M ， x N D．$x M ， x N
题型四：根据命题的真假求参数的取值范围
【典例 4-1】（2024·全国·模拟预测）已知命题“对于"x 0, + ， ex > ax +1”为真命题，写出符合条件
的 a的一个值： ．
é π π ù
【典例 4-2】（2024·高三·湖北武汉·期末）若命题“"x0 ê , ú ， tan 2x0 + 2 m ”是假命题，则实数m 8 6
的取值范围是 ．
【方法技巧】
1、在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，若哪个是假命题，去求真命题
的补集即可．
2、全称量词命题和存在量词命题的求参数问题，要注意端点是否可以取到．
【变式 4-1】若命题“ "x R ， a +1 x2 + x +1 0”是真命题，则实数 a 的取值范围为 ．
【变式 4-2】（2024·辽宁·三模）若“ $x 0, + ，使 x2 - ax + 4 < 0”是假命题，则实数 a的取值范围
为 .
2
【变式 4-3】（2024·辽宁·模拟预测）命题 p ：存在m -1,1 ，使得函数 f x = x - 2mx在区间 a,+
内单调，若 p 的否定为真命题，则 a的取值范围是 .
题型五：全称量词命题与存在量词命题的否定
【典例 5-1】（2024·内蒙古赤峰·一模）命题“ "x R ，$n N * ， n > x2 ”的否定形式是（ ）
A．"x R ，"n N * ， n x2 B．$x R，$n N * ， n < x2
C．$x R，"n N * ， n x2 D．$x R，"n N * ， n < x2
【典例 5-2】（2024·陕西商洛·三模）命题“对任意的 x R, x3 - x2 +1 0 ”的否定是（ ）
A．不存在 x R, x3 - x2 +1 0 B．存在 x R, x3 - x2 +1 0
C．存在 x R, x3 - x2 +1 < 0 D．对任意的 x R, x3 - x2 +1 > 0
【方法技巧】
含量词命题的否定，一是改写量词，二是否定结论.
【变式 5-1】（2024·四川成都·模拟预测）命题$x -1,1 , x + x < 0的否定是（ ）
A．$x -1,1 , x + x 0
B．"x -1,1 , x + x 0
C．"x - ,-1 1,+ , x + x 0
D．"x - ,-1 1,+ , x + x < 0
π
5-2 p : $q 0, cosq sinq【变式 】已知命题 ÷ ， sinq cosq 则（ ）
è 4
π
A． p : $q sinq 0, ÷ ， cosq > sinq4
cosq
，且 p 是真命题
è
B． p : "q
π
sinq 0, ÷， cosq > sinq cosq ，且 p 是假命题
è 4
π
C． p : $q 0, ÷ ， cosq sinq > sinq cosq ，且 p 是假命题
è 4
π
D sinq． p : "q 0, ÷， cosq > sinq cosq ，且 p 是真命题
è 4
【变式 5-3】（2024·贵州遵义·一模）已知命题 p : "x >1， ln x
1 1
> - ，则 p3 为（ ）3 3x
A．"x >1， ln x
1 1 1 1
- 3 B．$x 1， ln x < -3 3x 3 3x3
1 1 1 1
C．$x 1， ln x - 3 D．$x >1， ln x -3 3x 3 3x3
r r
1．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）已知向量a = x +1, x ,b = x,2 ，则（ ）
r r r r
A．“ x = -3”是“ a ^ b ”的必要条件 B．“ x = -3”是“ a / /b ”的必要条件
r r r r
C．“ x = 0 ”是“ a ^ b ”的充分条件 D．“ x = -1+ 3 ”是“ a / /b ”的充分条件
2．（2024 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知命题 p："x R ， | x +1|>1；命题 q：$x > 0 ， x3 = x ，则
（ ）
A．p 和 q 都是真命题 B． p 和 q 都是真命题
C．p 和 q 都是真命题 D． p 和 q 都是真命题
3．（2022 年新高考天津数学高考真题）“ x 为整数”是“ 2x +1为整数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
4．（2022 年新高考浙江数学高考真题）设 x R ，则“ sin x =1”是“ cos x = 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不
必要条件
1．设集合 A = {x | x满足条件 p}，B = {x | x满足条件 q} .
（1）如果 A B ，那么 p 是 q 的什么条件？
（2）如果B A，那么 p 是 q 的什么条件？
（3）如果 A = B ，那么 p 是 q 的什么条件？
试举例说明.
2．在下列各题中,判断 p 是 q 的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又
不必要条件”回答):
(1)p:三角形是等腰三角形,q:三角形是等边三角形;
(2)在一元二次方程中， p : ax2 + bx + c = 0有实数根， q : b2 - 4ac…0 ;
(3) p : a P Q, q : a P ;
(4) p : a P Q, q : a P ;
(5) p : x > y, q : x2 > y2 .
3．设 a,b,c 分别是VABC 的三条边,且 a b c .我们知道,如果VABC 为直角三角形,那么 a2 + b2 = c2 (勾股定
理).反过来,如果 a2 + b2 = c2 ,那么VABC 为直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知, VABC 为直角三角形的
充要条件是 a2 + b2 = c2 .请利用边长 a,b,c 分别给出VABC 为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件,并证
明.
4．写出下列命题的否定,并判断它们的真假：
(1)"a R ，一元二次方程 x2 - ax -1 = 0有实根；
(2)每个正方形都是平行四边形；
(3) $m N , m2 +1 N ；
(4)存在一个四边形 ABCD，其内角和不等于360o .
易错点：混淆充分条件与必要条件
易错分析： 对于条件 p，q，如果 p q ，则 p 是 q的充分条件， q是 p 的必要条件，如果 p q ，
则 p 是 q的充要条件．解题时最容易出错的就是混淆充分性与必要性，因此在解决这类问题时，一定要分
清条件和结论，根据充分必要条件的定义，选择合适的方法作出准确的判断，常借助反例说明．
答题模板：充分条件与必要条件的判断
1、模板解决思路
解决充分与必要条件问题时，首先是确定条件和结论，然后通过条件和结论的互推确定它们之间的关
系．
2、模板解决步骤
第一步：确定题中的条件 p 和结论q．
第二步：判断“ p q ”的真假．
第三步：判断“ q p ”的真假．
第四步：得出结论．
【易错题 1】（2024·江西·模拟预测）“ 0 < a < 1，0 < b <1”是“方程ax2 =1-by2表示的曲线为椭圆”的
（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【易错题 2】（2024·高三·贵州贵阳·阶段练习）二次函数 f (x) = ax2 + 2x -1在区间 (- ,1)上单调递增
的一个充分不必要条件为（ ）
1
A． a >1 B． a < -2 C．- < a < 0 D． 0 < a < 1
2第 02 讲 常用逻辑用语
目录
01 考情透视·目标导航 ........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航 ........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究 ........................................................................................................................4
知识点 1：充分条件、必要条件、充要条件 ............................................................................................................4
知识点 2：全称量词与存在量词 ................................................................................................................................4
知识点 3：含有一个量词的命题的否定 ....................................................................................................................5
解题方法总结 ...............................................................................................................................................................5
题型一：充分条件与必要条件的判断 .......................................................................................................................6
题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围 .......................................................................................................8
题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假 .......................................................................................................9
题型四：根据命题的真假求参数的取值范围 .........................................................................................................11
题型五：全称量词命题与存在量词命题的否定 .....................................................................................................13
04 真题练习·命题洞见 .......................................................................................................................15
05 课本典例·高考素材 .......................................................................................................................16
06 易错分析·答题模板 .......................................................................................................................19
易错点：混淆充分条件与必要条件 .........................................................................................................................19
答题模板：充分条件与必要条件的判断 .................................................................................................................19
考点要求 考题统计 考情分析
从近几年高考命题来看，常用逻辑用语
没有单独命题考查，偶尔以已知条件的形式
2024年新高考 II卷第 2题，5分
（1）必要条件、充分条件、 出现在其他考点的题目中．重点关注如下两
2023年新高考 I卷第 7题，5分
充要条件； 点：
2023年天津卷第 2题，5分
（2）全称量词与存在量词； （1）集合与充分必要条件相结合问题的
2023年全国甲卷第 7题，5分
（3）全称量词命题与存在量 解题方法；
2022年天津卷第 2题，5分
词命题的否定． （2）全称命题与存在命题的否定和以全
2021年全国甲卷第 7题，5分
称命题与存在命题为条件，求参数的范围问
题．
复习目标：
1、理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；
2、理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系；
3、理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定．
知识点 1：充分条件、必要条件、充要条件
1、定义
如果命题“若 p ，则 q ”为真（记作 p q ），则 p 是 q的充分条件；同时 q是 p 的必要条件．
2、从逻辑推理关系上看
（1）若 p q 且 q p ，则 p 是 q的充分不必要条件；
（2）若 p q 且 q p ，则 p 是 q的必要不充分条件；
（3）若 p q 且 q p ，则 p 是 q的的充要条件（也说 p 和 q等价）；
（4）若 p q 且 q p ，则 p 不是 q的充分条件，也不是 q的必要条件．
对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质： p q ，则 p 是 q的充分条件，同时 q是
p 的必要条件．所谓“充分”是指只要 p 成立， q就成立；所谓“必要”是指要使得 p 成立，必须要 q成立
（即如果 q不成立，则 p 肯定不成立）．
【诊断自测】（2024·北京西城·二模）已知 a R , b R ．则“ ab >1”是“ a2 + b2 > 2 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当 ab >1时，则 a2 + b2 2ab > 2，当且仅当 a = b时取等，所以充分性成立，
取 a = -4,b =1，满足a2 + b2 > 2，但 ab <1，故必要性不成立，
所以“ ab >1”是“ a2 + b2 > 2 ”的充分不必要条件.
故选：A.
知识点 2：全称量词与存在量词
（1）全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号
“ " ”表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．全称量词命题“对 M 中的任意一个 x ，有 p(x)成立”可
用符号简记为“ "x M , p(x) ”，读作“对任意 x 属于 M ，有 p(x)成立”．
（2）存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符
号“ $ ”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．存在量词命题“存在 M 中的一个 x0 ，使 p(x0 )成立”
可用符号简记为“ $x0 M , P(x0 ) ”，读作“存在 M 中元素 x0 ，使 p(x0 )成立”（存在量词命题也叫存在性命
题）．
【诊断自测】下列命题中的假命题是( )
A．$x R , log2 x < 0 B．$x R , cos x =1
C．"x R , x2 > 0 D．"x R ,2x > 0
【答案】C
1
【解析】因为 log2 = -1,cos 0 =1,0
2 = 0，所以选项 A、B 均为真命题，选项 C 为假命题；
2
因为 y = 2x 在 R 上的值域可知 2x > 0，所以 D 为真命题；
故选：C
知识点 3：含有一个量词的命题的否定
（1）全称量词命题 p : "x M , p(x) 的否定 p 为$x0 M ， p(x0 )．
（2）存在量词命题 p : $x0 M , p(x0 ) 的否定 p 为"x M , p(x) ．
【诊断自测】（2024·全国·模拟预测）已知命题 p : "x Z, x2 0，则 p 为（ ）
A．$x Z, x2 0 B．$x Z, x2 0
C．$x Z, x2 < 0 D．$x Z, x2 < 0
【答案】C
【解析】由题意，全称量词命题的否定是存在量词命题，可得：
命题 p : "x Z, x2 0的否定为： p 为$x Z, x2 < 0．
故选：C．
解题方法总结
1、从集合与集合之间的关系上看
设 A = x | p(x) , B = x | q(x) ．
（1）若 A B ，则 p 是 q的充分条件（ p q ）， q是 p 的必要条件；若 A bB ，则 p 是 q的充分不必
要条件， q是 p 的必要不充分条件，即 p q 且 q p ；
简记：“小 大”．
（2）若 B A，则 p 是 q的必要条件， q是 p 的充分条件；
（3）若 A = B，则 p 与 q互为充要条件．
2、常见的一些词语和它的否定词如下表
原词语 等于 大于 小于 是 都是 任意 至多 至多
(=) (>) (<) （所有） 有一个 有一个
否定词语 不等于 小于等于 大于等于 不是 不都是 某个 至少有 一个都
( ) ( ) ( ) 两个 没有
（1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合 M 中的每一个元素 x 证明其成立，要判断
全称量词命题为假命题，只要能举出集合 M 中的一个 x 0 ，使得其不成立即可．
（2）要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合 M 中能找到一个 x0 使之成立即可，否则这
个存在量词命题就是假命题．
题型一：充分条件与必要条件的判断
【典例 1-1】（2024·浙江宁波·二模）已知平面a , b ,g ,a b = l ，则“ l ^ g ”是“a ^ g 且 b ^ g ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由于a I b = l ，所以 l a , l b ，
若 l ^ g ，则a ^ g ， b ^ g ，故充分性成立，
若a ^ g ， b ^ g ，设a I g = m ， b I g = n ，
则存在直线 a g ,使得 a ^ m，所以 a ^ a ，由于 l a ，故 a ^ l ，
同理存在直线b g ,使得b ^ n，所以b ^ b ，由于 l b ，故b ^ l ，
由于 a,b不平行，所以 a,b是平面g 内两条相交直线，所以 l ^ g ，故必要性成立，
故选：C
【典例 1-2】（2024·湖南·二模）已知实数a > b > 0，则下列选项可作为 a - b <1的充分条件的是（ ）
1 1 1
A． a - b =1 B． - =b a 2
C． 2a - 2b =1 D． log2a - log2b =1
【答案】C
【解析】取 a = 4，b =1，满足 a - b =1，但是推不出 a - b <1，故排除 A；
取 a = 2，b =1
1 1 1
，满足 - = ，但是推不出 a - b <1，故排除 B；
b a 2
取 a = 4，b = 2 ，满足 log2a - log2b =1，但是推不出 a - b <1，故排除 D；
由 2a - 2b =1，a > b > 0，可推出 2a = 2b +1 < 2b+1，即 a < b +1，即 a - b <1，故充分性成立.
故选：C.
【方法技巧】
1、要明确推出的含义，是 p 成立 q一定成立才能叫推出而不是有可能成立．
2、充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合．
r r r r r r
【变式 1-1】（2024·辽宁沈阳·二模）已知向量 a = 2,4 ,b = 3,-1 ，则“ k = 2 ”是“ a + kb ^ a - kb ”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不
必要条件
【答案】A
r r r r r r r r
【解析】当 a + kb ^ a - kb 时， a + kb × a - kb = 0 r 2 r2 2，即a - k b = 0，
故 22 + 42 - k 2 é 3
2 + -1 2 ù = 0，解得 k = ± 2 .
r r r r
故“ k = 2 ”是“ a + kb ^ a - kb ”的充分不必要条件.
故选：A
a b
【变式 1-2】（2024·福建福州·模拟预测）设 a，b R ，则“ ab < 0 ”是“ + = 0a b ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
ìa > 0 ìa < 0 a b
【解析】当 ab < 0 时， íb 0 或 íb 0 ，则
+ = 0
a b ，即充分性成立； < >
a b
当 + = 0
b b
a b 时，
= - > 0
a a ，则 ab < 0 ，即必要性成立；
a b
综上可知，“ ab < 0 ”是“ + = 0a b ”的充要条件.
故选：C.
【变式 1-3】（多选题）已知 p 是 r 的充分而不必要条件，q 是 r 的充分条件，s 是 r 的必要条件，q 是 s 的必
要条件，下列命题正确的是（ ）
A．r 是 q 的充分条件 B．p 是 q 的充分条件
C．r 是 q 的必要而不充分条件 D．r 是 s 的充分而不必要条件
【答案】AB
【解析】由已知得 p r ， q r ， r s， s q，所以 r q且 q r ，故 A 正确，C 不正确； p q ，
B 正确； r s且 s r ，D 不正确．
故选:AB．
题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围
【典例 2-1】设 x R ， a < b ，若“ a x b ”是“ x2 + x - 2 0 ”的充要条件，则b - a的值为（ ）
A． 0 B．-3 C．3 D． 2
【答案】C
【解析】解不等式 x2 + x - 2 0可得-2 x 1，由题意可知 a = -2 ，b =1，因此，b - a = 3 .
故选：C.
【典例 2-2】给出如下三个条件：①充要②充分不必要③必要不充分.请从中选择补充到下面横线上.
已知集合P = x -1 x 5 ， S = x 2 - m x 3 + 2m ，存在实数m 使得“ x P ”是“ x S ”的 条件.
【答案】②，③
【解析】①“ x P ”是“ x S ”的充要条件，则 2 - m = -1，3+ 2m = 5，此方程无解，故不存在实数m ，则
不符合题意；
②“ x P ”是“ x S ”的充分不必要条件时， 2 - m -1，3+ 2m 5， 2 - m 3 + 2m ；解得m 3，符合题意；
③“ x P 1”是“ x S ”的必要不充分条件时，当 S = ， 2 - m > 3 + 2m，得m < 3 ；
当 S ，需满足 2 - m 3 + 2m ， 2 - m -1，3
1
+ 2m 5，解集为- m 1；
3
1 1
综上所述，实数m 的取值范围- m < .
3 3
故答案为：②，③.
【方法技巧】
1、集合中推出一定是小集合推出大集合，注意包含关系．
2、把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参
数的不等式求解.在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点能否能取到，容易出错．
【变式 2-1】已知命题 p :“方程 ax2 + 2x +1 = 0至少有一个负实根”，若 p 为真命题的一个必要不充分条件为
a m +1，则实数m 的取值范围是 ．
【答案】m > 0
【解析】若命题 p :“方程 ax2 + 2x +1 = 0至少有一个负实根”为真命题，
a = 0时， 2x +1 = 0, x
1
= - ，符合题意；
2
当 a<0时，D = 4 - 4a > 0，且 x1 + x
2 1
2 = - > 0, x1x2 = < 0，a a
则此时方程 ax2 + 2x +1 = 0有一个正根和一个负根，符合题意；
当 a > 0时，由D = 4 - 4a = 0，解得 a =1，
2
此时方程为 x2 + 2x +1 = x +1 = 0, x = -1符合题意；
由D = 4 - 4a > 0
2 1
解得 0 < a < 1，此时 x1 + x2 = - < 0, x1x2 = > 0，a a
则此时方程 ax2 + 2x +1 = 0有两个负根，符合题意.
综上所述， p 为真命题时， a的取值范围是 - ,1 .
若 p 为真命题的一个必要不充分条件为 a m +1，
则m +1 >1,m > 0 .
故答案为：m > 0
ì
【变式 2-2】已知集合 A = íx
x + 2
< 0ü ，B = x x2 - 2ax + a2 -1 < 0 ，若“ x A ”是“ x B ”的必要非充分
x - 4
条件，则实数 a 的取值范围是 ．
【答案】 a | -1 a 3
ì x + 2 ü 2 2
【解析】由题意可得 A = íx < 0 = x -2 < x < 4 ，B = x x - 2ax + a -1 < 0 = x | a -1 < x < a +1 ，
x - 4
若“ x A ”是“ x B ”的必要非充分条件，则集合 B 是集合 A 的真子集，
ìa -1 -2
则 ía ，且等号不能同时成立，解得
-1 a 3，
+1 4
所以实数 a 的取值范围是 a | -1 a 3 .
故答案为： a | -1 a 3 .
【变式 2-3】已知命题 p : 4 - x 6, q : x a -1，若 p 是q的充要条件，则a = ．
【答案】-1
【解析】由题意得， p : 4 - x 6，得 x -2，
设 A = x x -2 ，B = x x a -1 ，由 p 是q的充要条件，得 A = B ，
即 a -1 = -2，得 a = -1．
故答案为：-1
题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假
【典例 3-1】下列正确命题的个数为（ ）
① "x R ， x2 + 2 > 0 ；② "x N, x4 1；③ $x Z, x3 < 1；④ $x Q, x2 = 3．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】"x R ， x2 + 2 2 > 0，①正确；当 x = 0时， x4 = 0 <1，②错误；
当 x = 0时， x3 = 0 <1，③正确；由于 (± 3)2 = 3，而- 3, 3 都是无理数，④错误，
所以正确命题的个数为 2.
故选：B
【典例 3-2】（2024·高三·北京通州·期中）下列命题中的假命题是（ ）
1 xA "x R
1
． ， ÷ > 0 B．$x R， 2
è 2 x > x
C．"x R ， 2|x| >1 D．$x R， tan x > 1
【答案】C
x
【解析】对于 A，因为指数函数的值域为 0, + ，所以"x R 1 ， ÷ > 0，A 对；
è 2
1
x 1
1
对于 B，当 = 2时，
4 x
2 1 1 1= ÷ = > ，B 对；
è 4 2 4
对于 C，当 x = 0时， 2|x| = 20 =1，C 错；
π π
对于 D，当 x = 3 时， tan x = tan = 3 >1，D 对.3
故选：C.
【方法技巧】
1、全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要理解汉字意思，又要使用数学结论．
2、全称量词命题和存在量词命题的真假性判断相对简单，注重细节即可．
【变式 3-1】下列命题中，既是存在量词命题又是真命题的是（ ）
A．$x R,1+ sinx < 0
B．每个等腰三角形都有内切圆
C．"x R, x2 + 2x -1
D．存在一个正整数，它既是偶数又是质数
【答案】D
【解析】B 与 C 均为全称量词命题，A 与 D 均为存在量词命题，BC 错误；
因为"x R,1+ sinx 0，则“ $x R,1+ sinx < 0 ”是假命题，A 错误；
正整数 2 既是偶数又是质数，则“存在一个正整数，它既是偶数又是质数”是真命题，D 正确.
故选：D
【变式 3-2】（2024·广东东莞·三模）已知全集U 和它的两个非空子集A ， B 的关系如图所示，则下列命
题正确的是（ ）
A．$x A， x B B．"x A， x B
C．$x B， x A D．"x B ， x A
【答案】B
【解析】由图可知B A，且A ， B 非空，
则根据子集的定义可得：
对于A ，$x A， x B 不正确，
对于B，"x A， x B正确，
对于C ，$x B， x A不正确，
对于D ，"x B ， x A不正确，
故选：B．
【变式 3-3】（2024·福建厦门·模拟预测）已知集合 M，N 满足M N ，则（ ）
A．"x M ， x N B．"x M ， x N
C．$x M ， x N D．$x M ， x N
【答案】C
【解析】对于 A，取M = {1,2}, N = {1}，满足M N ，而 2 M , 2 N ，A 错误；
对于 B，取M = {1,2}, N = {1}，满足M N ，而1 M ,1 N ，B 错误；
对于 C，根据集合交集的定义可知$x M ， x N，故 C 正确，
对于 D，取M = {1}, N = {1,2}，满足M N ，但$x M ， x N 不成立，D 错误，
故选：C
题型四：根据命题的真假求参数的取值范围
【典例 4-1】（2024·全国·模拟预测）已知命题“对于"x 0, + ， ex > ax +1”为真命题，写出符合条件
的 a的一个值： ．
【答案】 -1（答案不唯一）
【解析】对于"x 0, + ， ex >1，
当 a<0时，对于"x 0, + ， ax +1<1，则 a可取任意负数，如 -1；
故答案为： -1 .
é π π ù
【典例 4-2】（2024·高三·湖北武汉·期末）若命题“"x0 ê ,8 6 ú
， tan 2x0 + 2 m ”是假命题，则实数m

的取值范围是 ．
【答案】 3, +
x é π【解析】若命题“" 0 ê ,
π ù
ú ， tan 2x0 + 2 m ”是真命题，可得 tan 2x0 + 2 m 8 6 min 即可；
易知 y tan 2x 2 x
é π , π= + ù0 在 0 ê 上单调递增， 8 6 ú
所以 tan 2x0 + 2 = tan

2
π
÷ + 2 = 3min ，可得m 3；è 8
又因为该命题是假命题，所以可得m > 3，
即实数m 的取值范围是 3, + .
故答案为： 3, +
【方法技巧】
1、在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，若哪个是假命题，去求真命题
的补集即可．
2、全称量词命题和存在量词命题的求参数问题，要注意端点是否可以取到．
【变式 4-1】若命题“ "x R ， a +1 x2 + x +1 0”是真命题，则实数 a 的取值范围为 ．
3
【答案】 a -
4
【解析】因为命题“ "x R ， a +1 x2 + x +1 0”是真命题，
当 a +1 = 0，即 a = -1时，不等式为 x +1 0，显然不满足题意，；
ì a +1 > 0
当 a +1 0 ，即 a -1时，所以 í ，解得 a
3
-
1- 4 a +1 0 ． 4
3
故答案为： a - ．
4
【变式 4-2】（2024·辽宁·三模）若“ $x 0, + ，使 x2 - ax + 4 < 0”是假命题，则实数 a的取值范围
为 .
【答案】 - , 4
【解析】因为“ $x 0, + ，使 x2 - ax + 4 < 0”是假命题，
所以“"x 0, + ， x2 - ax + 4 0”为真命题，
4
其等价于 a x + 在 0, + 上恒成立，
x
又因为对勾函数 f x = x 4+ 在 (0, 2]上单调递减，在[2,+ )上单调递增，
x
所以 f x = f 2 = 4min ，
所以 a 4，即实数 a的取值范围为 - , 4 .
故答案为： - , 4 .
2
【变式 4-3】（2024·辽宁·模拟预测）命题 p ：存在m -1,1 ，使得函数 f x = x - 2mx在区间 a,+
内单调，若 p 的否定为真命题，则 a的取值范围是 .
【答案】 - , -1
【解析】命题 p 的否定为：任意m -1,1 ，使得函数 f (x) = x2 - 2mx在区间[a,+ )内不单调，
由函数 f (x) = x2 - 2mx在 - ,m 上单调递减，在 m,+ 上单调递增，
则 a < m ，而m -1,1 ，
得 a < -1，
故答案为： - , -1
题型五：全称量词命题与存在量词命题的否定
【典例 5-1】（2024·内蒙古赤峰·一模）命题“ "x R ，$n N * ， n > x2 ”的否定形式是（ ）
A．"x R ，"n N * ， n x2 B．$x R，$n N * ， n < x2
C．$x R，"n N * ， n x2 D．$x R，"n N * ， n < x2
【答案】C
【解析】由全称量词命题与存在量词命题的否定可知：命题“"x R ，$n N * ， n > x2 ”的否定形式是
“ $x R，"n N * ， n x2 ”.
故选：C
【典例 5-2】（2024·陕西商洛·三模）命题“对任意的 x R, x3 - x2 +1 0 ”的否定是（ ）
A．不存在 x R, x3 - x2 +1 0 B．存在 x R, x3 - x2 +1 0
C．存在 x R, x3 - x2 +1 < 0 D．对任意的 x R, x3 - x2 +1 > 0
【答案】C
【解析】“对任意的 x R, x3 - x2 +1 0 ”的否定是：存在 x R, x3 - x2 +1 < 0 .
故选：C．
【方法技巧】
含量词命题的否定，一是改写量词，二是否定结论.
【变式 5-1】（2024·四川成都·模拟预测）命题$x -1,1 , x + x < 0的否定是（ ）
A．$x -1,1 , x + x 0
B．"x -1,1 , x + x 0
C．"x - ,-1 1,+ , x + x 0
D．"x - ,-1 1,+ , x + x < 0
【答案】B
【解析】因为命题$x -1,1 , x + x < 0，
则其否定为"x -1,1 , x + x 0 .
故选:B
5-2 p :
π
$q 0, cosq sinq sinq cosq【变式 】已知命题 ÷ ， 则（4 ）è
π
p : $q 0, A． ÷ ， cosq sinq > sinq cosq ，且 p 是真命题
è 4
p : "q 0, π B sinq． ÷， cosq > sinq cosq ，且 p 是假命题
è 4
C． p : $q

0,
π
÷ ， cosq sinq > sinq cosq ，且 p 是假命题
è 4
D． p :
π
"q 0, cosq sinq cosq ÷， > sinq ，且 p 是真命题
è 4
【答案】D

【解析】由 p : $q 0,
π
， (cosq )sinq÷ (sinq )cosq ，
è 4
则 p : "q
π
0, ， (cosq )sinq ÷ > (sinq )cosq ，
è 4
由q

0,
π
4 ÷
，则有0 < sinq < cosq <1，
è
(cosq )sinq (sinq )cosq 等价于 sinq ln cosq cosq ln sinq
ln cosq ln sinq
等价于 ，
cosq sinq
f x ln x令 = 0 < x <1 ，则 f x 1- ln x= 2 ，x x
则0 < x <1时， f x > 0恒成立，
故 f x 在 0,1 上单调递增，
又0 < sinq < cosq <1，
ln cosq ln sinq
故 > ，
cosq sinq
即 (cosq )sinq > (sinq )cosq ，
故原命题错误，则 p 是真命题.
故选：D.
1 1
【变式 5-3】（2024·贵州遵义·一模）已知命题 p : "x >1， ln x > - ，则 p3 为（3 3x ）
1 1
A．"x >1， ln x - 3 B．$x 1， ln x
1 1
< -
3 3x 3 3x3
x 1 ln x 1 1 1 1C．$ ， - D．$x >1， ln x -
3 3x3 3 3x3
【答案】D
【解析】由命题 p : "x >1， ln x
1 1
> - 3 可知，3 3x
p 为$x >1， ln x
1 1
- ，故 D 正确；ABC 错误；
3 3x3
故选：D
r r
1．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）已知向量a = x +1, x ,b = x,2 ，则（ ）
r r r r
A．“ x = -3”是“ a ^ b ”的必要条件 B．“ x = -3”是“ a / /b ”的必要条件
r r r r
C．“ x = 0 ”是“ a ^ b ”的充分条件 D．“ x = -1+ 3 ”是“ a / /b ”的充分条件
【答案】C
r r r r
【解析】对 A，当 a ^ b时，则a ×b = 0，
所以 x × (x +1) + 2x = 0，解得 x = 0或-3，即必要性不成立，故 A 错误；
r r r r
对 C，当 x = 0时， a = 1,0 ,b = 0,2 ，故a ×b = 0，
r r
所以 a ^ b，即充分性成立，故 C 正确；
r r
对 B，当 a / /b时，则 2(x +1) = x2 ，解得 x =1± 3 ，即必要性不成立，故 B 错误；
r r
对 D，当 x = -1+ 3 时，不满足 2(x +1) = x2 ，所以 a / /b不成立，即充分性不立，故 D 错误.
故选：C.
2．（2024 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知命题 p："x R ， | x +1|>1；命题 q：$x > 0 ， x3 = x ，则
（ ）
A．p 和 q 都是真命题 B． p 和 q 都是真命题
C．p 和 q 都是真命题 D． p 和 q 都是真命题
【答案】B
【解析】对于 p 而言，取 x=- 1，则有 x +1 = 0 <1，故 p 是假命题， p 是真命题，
对于q而言，取 x =1，则有 x3 =13 =1 = x ，故q是真命题， q 是假命题，
综上， p 和q都是真命题.
故选：B.
3．（2022 年新高考天津数学高考真题）“ x 为整数”是“ 2x +1为整数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】由 x 为整数能推出 2x +1为整数，故“ x 为整数”是“ 2x +1为整数”的充分条件，
1
由 x = , 2x +1为整数不能推出 x 为整数，故“ x 为整数”是“ 2x +1为整数”的不必要条件，
2
综上所述，“ x 为整数”是“ 2x +1为整数”的充分不必要条件，
故选：A.
4．（2022 年新高考浙江数学高考真题）设 x R ，则“ sin x =1”是“ cos x = 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不
必要条件
【答案】A
【解析】因为 sin2 x + cos2 x =1可得：
当 sin x =1时， cos x = 0，充分性成立；
当 cos x = 0时， sin x = ±1，必要性不成立；
所以当 x R ， sin x =1是 cos x = 0的充分不必要条件.
故选：A.
1．设集合 A = {x | x满足条件 p}，B = {x | x满足条件 q} .
（1）如果 A B ，那么 p 是 q 的什么条件？
（2）如果B A，那么 p 是 q 的什么条件？
（3）如果 A = B ，那么 p 是 q 的什么条件？
试举例说明.
【解析】（1）若 A B ，则有 x A x B ，即每个使 p 成立的元素也使 q 成立，
即 p q ，所以 p 是 q 的充分条件.如 A = {x | x > 1}，B = {x | x > 0}，
A B ， x >1是 x > 0的充分条件.
（2）若B A，则有 x B x A，即每个使 q 成立的元素也使 p 成立，
即 q p ，所以 p 是 q 的必要条件.如 A = {x | x > 0}，B = {x | x >1}，则B A，
x > 0是 x >1的必要条件.
（3）若 A = B ，则 A B ，B A，所以 p 是 q 的充要条件.如 A = B = {x | x > 1}，
x >1是 x >1的充要条件.
2．在下列各题中,判断 p 是 q 的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又
不必要条件”回答):
(1)p:三角形是等腰三角形,q:三角形是等边三角形;
(2)在一元二次方程中， p : ax2 + bx + c = 0有实数根， q : b2 - 4ac…0 ;
(3) p : a P Q, q : a P ;
(4) p : a P Q, q : a P ;
(5) p : x > y, q : x2 > y2 .
【解析】(1)因为等腰三角形是特殊的等边三角形,
故 p 是 q 的必要不充分条件.
(2) 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0有实数根则判别式D = b2 - 4ac…0 .
故 p 是 q 的充要条件.
(3)因为 a P Q ,故 a P 且 a Q；当 a P 时 a Q不一定成立.
故 p 是 q 的充分不必要条件.
(4) 因为 a P Q ,故 a P 或 a Q ,所以 a P 不一定成立；
当 a P 时 a P Q 一定成立.
故 p 是 q 的必要不充分条件.
(5) 当 x =1, y = -2 时,满足 x > y 但 x2 > y2 不成立.
当 x = -2, y =1时,满足 x2 > y2 但 x > y 不成立.
故 p 是 q 的既不充分又不必要条件.
3．设 a,b,c 分别是VABC 的三条边,且 a b c .我们知道,如果VABC 为直角三角形,那么 a2 + b2 = c2 (勾股定
理).反过来,如果 a2 + b2 = c2 ,那么VABC 为直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知, VABC 为直角三角形的
充要条件是 a2 + b2 = c2 .请利用边长 a,b,c 分别给出VABC 为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件,并证
明.
【解析】解:(1)设 a,b,c 分别是VABC 的三条边,且 a b c , VABC 为锐角三角形的充要条件是a2 +b2 > c2 .
证明如下:必要性:在VABC 中, C 是锐角,作 AD ^ BC ,D 为垂足,如图(1).
显然 AB2 = AD2 + DB2 = AC 2 - CD2 + (CB - CD)2 = AC 2 - CD2 + CB2 + CD2 - 2CB ×CD
= AC 2 + CB2 - 2CB ×CD < AC 2 + CB2 ,即 c2 < a2 + b2 .
充分性:在VABC 中, a2 +b2 > c2 ,\ C 不是直角.
假设 C 为钝角,如图(2).作 AD ^ BC ,交 BC 延长线于点 D.
则 AB2 = AD2 + BD2 = AC 2 - CD2 + (BC + CD)2 = AC 2 - CD2 + BC 2 + CD2 + 2BC ×CD
= AC 2 + BC 2 + 2BC ×CD > AC 2 + BC 2 .
即 c2 > b2 + a2 ,与“ a2 +b2 > c2 ”矛盾.
故 C 为锐角,即VABC 为锐角三角形.
(2)设 a,b,c 分别是VABC 的三条边,且 a b c , VABC 为钝角三角形的充要条件是 a2 + b2 < c2 .
证明如下:必要性:在VABC 中, C 为钝角,如图(2),显然:
AB2 = AD2 + BD2 = AC 2 - CD2 + (CD + CB)2 = AC 2 - CD2 + CD2 + CB2 + 2CD ×CB
= AC 2 + CB2 + 2CD ×CB > AC 2 + CB2 .即 a2 + b2 < c2 .
充分性:在VABC 中, a2 + b2 < c2 ,
\ C 不是直角,假设 C 为锐角,如图(1),
则 AB2 = AD2 + DB2 = AC 2 - CD2 + (CB - CD)2
= AC 2 - CD2 + CB2 + CD2 - 2CD ×CB = AC 2 + CB2 - 2CD ×CB < AC 2 + CB2 .即a2 +b2 > c2 ,这与“ a2 + b2 < c2 ”矛
盾,从而 C 必为钝角,即VABC 为钝角三角形.
4．写出下列命题的否定,并判断它们的真假：
(1)"a R ，一元二次方程 x2 - ax -1 = 0有实根；
(2)每个正方形都是平行四边形；
(3) $m N , m2 +1 N ；
(4)存在一个四边形 ABCD，其内角和不等于360o .
【解析】(1) $a R ,一元二次方程 x2 - ax -1 = 0没有实根,假命题，因为D=a2 + 4 > 0，方程恒有根；
(2)存在一个正方形不是平行四边形,假命题，因为任何正方形都是平行四边形；
(3)"m N , m2 +1 N ，假命题，因为m = 0 N 时， 02 +1 =1 N ；
(4)任意四边形 ABCD,其内角和等于360o ,真命题.
易错点：混淆充分条件与必要条件
易错分析： 对于条件 p，q，如果 p q ，则 p 是 q的充分条件， q是 p 的必要条件，如果 p q ，
则 p 是 q的充要条件．解题时最容易出错的就是混淆充分性与必要性，因此在解决这类问题时，一定要分
清条件和结论，根据充分必要条件的定义，选择合适的方法作出准确的判断，常借助反例说明．
答题模板：充分条件与必要条件的判断
1、模板解决思路
解决充分与必要条件问题时，首先是确定条件和结论，然后通过条件和结论的互推确定它们之间的关
系．
2、模板解决步骤
第一步：确定题中的条件 p 和结论q．
第二步：判断“ p q ”的真假．
第三步：判断“ q p ”的真假．
第四步：得出结论．
【易错题 1】（2024·江西·模拟预测）“ 0 < a < 1，0 < b <1”是“方程ax2 =1-by2表示的曲线为椭圆”的
（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
[解法一]
方程ax2 =1-by2即方程 ax2 + by2 =1，表示椭圆的充分必要条件是 a > 0,b > 0, a b ,
显然“ 0 < a < 1，0 < b <1”是“ a > 0,b > 0, a b ”既不充分也不必要条件，
故“ 0 < a < 1，0 < b <1”是“方程ax2 =1-by2表示的曲线为椭圆”的既不充分也不必要条件，
[解法二]
a 1当 = b = 时，满足“ 0 < a < 1，0 < b <1”，此时题中方程可化为： x2 + y2 = 4 ,表示的曲线是圆而不是椭
4
x2 y2
+
a =1,b = 4 “ 0 < a < 1 0 < b <1” 12 1 2
=1
圆，当 时，不满足 ， ，只是题中方程可化为： ,表示中心在原点，

è 2 ÷
1
半长轴为 1，半短轴为 的椭圆，
2
故：“ 0 < a < 1，0 < b <1”是“方程ax2 =1-by2表示的曲线为椭圆”的既不充分也不必要条件，
故选：D
【易错题 2】（2024·高三·贵州贵阳·阶段练习）二次函数 f (x) = ax2 + 2x -1在区间 (- ,1)上单调递增
的一个充分不必要条件为（ ）
1
A． a >1 B． a < -2 C．- < a < 0 D． 0 < a < 1
2
【答案】C
【解析】因为二次函数 f (x) = ax2 + 2x -1在区间 (- ,1)上单调递增，
ìa < 0,

所以 í 1 解得-1 a < 0．因为只有 C 是其真子集，
- 1, a
故选：C

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