资源简介

第 02 讲 导数与函数的单调性
目录
01 考情透视·目标导航 .........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航 .........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究 .........................................................................................................................4
知识点 1：函数的单调性与导数的关系 ....................................................................................................................4
知识点 2：利用导数判断函数单调性的步骤 ............................................................................................................5
解题方法总结 ...............................................................................................................................................................5
题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像 ...........................................................................................6
题型二：求单调区间 ...................................................................................................................................................9
题型三：已知含参函数在区间上的递增或递减，求参数范围 .............................................................................11
题型四：已知含参函数在区间上不单调，求参数范围 .........................................................................................13
题型五：已知含参函数在区间上存在增区间或减区间，求参数范围 .................................................................16
题型六：不含参数单调性讨论 .................................................................................................................................19
题型七：导函数为含参一次函数的单调性分析 .....................................................................................................20
题型八：导函数为含参准一次函数的单调性分析 .................................................................................................22
题型九：导函数为含参可因式分解的二次函数单调性分析 .................................................................................23
题型十：导函数为含参不可因式分解的二次函数单调性分析 .............................................................................27
题型十一：导函数为含参准二次函数型的单调性分析 .........................................................................................32
题型十二：分段分析法讨论函数的单调性 .............................................................................................................35
04 真题练习·命题洞见 .......................................................................................................................38
05 课本典例·高考素材 .......................................................................................................................40
06 易错分析·答题模板 .......................................................................................................................44
易错点：对 “导数值符号” 与 “函数单调性” 关系理解不透彻 .............................................................................44
答题模板：利用导数判断函数的单调性 .................................................................................................................45
考点要求 考题统计 考情分析
2023 年乙卷（文）第 20 题，12 高考对函数单调性的考查相对稳定，考
分 查内容、频率、题型、难度均变化不大．高
2023 年乙卷（理）第 16 题，5 分 考在本节内容上无论试题怎样变化，我们只
（1）函数的单调区间
2023 年 II 卷第 6 题，5 分 要把握好导数作为研究函数的有力工具这一
（2）单调性与导数的关系
2022 年甲卷第 12 题，5 分 点，将函数的单调性本质问题利用图像直观
2022 年 I 卷第 7 题，5 分 明了地展示出来，其余的就是具体问题的转
2021 年浙江卷第 7 题，5 分 化了．
复习目标：
（1）结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系．
（2）能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）．
知识点 1：函数的单调性与导数的关系
1、函数的单调性
函数单调性的判定方法：设函数 y = f (x) 在某个区间内可导，如果 f (x) > 0 ，则 y = f (x) 为增函数；
如果 f (x) < 0 ，则 y = f (x) 为减函数．
2、已知函数的单调性问题
①若 f (x) 在某个区间上单调递增，则在该区间上有 f (x) 0 恒成立（但不恒等于 0）；反之，要满足
f (x) > 0 ，才能得出 f (x) 在某个区间上单调递增；
②若 f (x) 在某个区间上单调递减，则在该区间上有 f (x) 0 恒成立（但不恒等于 0）；反之，要满足
f (x) < 0 ，才能得出 f (x) 在某个区间上单调递减．
【诊断自测】（2024·高三·上海松江·期末）函数 y = f x 的图象如图所示， y = f x 为函数 y = f x
f x
的导函数，则不等式 < 0的解集为（ ）
x
A． (-3, -1) B．( 0, 1)
C． (-3,-1) (0,1) D． (- , -3) U (1,+ )
【答案】C
【解析】由图象可知，在区间 - , -3 , -1,1 上 f x < 0，
在区间 -3, -1 , 1, + 上 f x > 0，
f x
所以不等式 < 0的解集为 (-3,-1) (0,1) .
x
故选：C
知识点 2：利用导数判断函数单调性的步骤
（1）确定函数 f x 的定义域；
（2）如果导函数中未知正负，则需要单独讨论的部分．如果导函数恒正或恒负，则无需单独讨论；
（3）求出导数 f x 的零点；
（4）用 f x 的零点将 f x 的定义域划分为若干个区间，列表给出 f x 在各区间上的正负，由此得
出函数 y = f x 在定义域内的单调性；
（5）如果找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导；求二阶导
往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．通过二阶导正
负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段.
【诊断自测】（2024·湖南怀化·二模）已知 f (x) = 2x2 - 3x - lnx ，则 f (x) 的单调增区间为 ．
【答案】 1, + / 1, +
【解析】函数 f (x) = 2x2 - 3x - lnx 的定义域为 (0, + )，求导得 f (x) 4x 3
1 (4x +1)(x -1)
= - - = ，
x x
由 f (x) > 0，得 x >1，所以 f (x) 的单调增区间为 (1, + ) .
故答案为： (1, + )
解题方法总结
1、使 f (x) = 0 的离散点不影响函数的单调性，即当 f (x)在某个区间内离散点处为零，在其余点处均
为正（或负）时， f (x) 在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的．例如，在 (- ,+ ) 上， f (x) = x3 ，
当 x = 0 时， f (x) = 0 ；当 x 0时， f (x) > 0 ，而显然 f (x) = x3 在 (- ,+ ) 上是单调递增函数．
2、若函数 y = f (x) 在区间 (a,b)上单调递增，则 f (x) 0 （ f (x)不恒为 0），反之不成立．因为
f (x) 0 ，即 f (x) > 0 或 f (x) = 0 ，当 f (x) > 0 时，函数 y = f (x) 在区间 (a,b)上单调递增．当 f (x) = 0
时， f (x) 在这个区间为常值函数；同理，若函数 y = f (x) 在区间 (a,b)上单调递减，则 f (x) 0 （ f (x)不
恒为 0），反之不成立．这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不
必要条件．于是有如下结论：
f (x) > 0 f (x) 单调递增； f (x) 单调递增 f (x) 0；
f (x) < 0 f (x) 单调递减； f (x) 单调递减 f (x) 0．
题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像
【典例 1-1】（2024·重庆·模拟预测）已知函数 f (x) = xa (x > 0)，a 为实数， f (x) 的导函数为 f (x) ，在
同一直角坐标系中， f (x) 与 f (x) 的大致图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由 f (x) = xa ,可得 f x = a xa -1
对于A ，当a = -1时，在第一象限上 f x = x-1递减，对应 f x 1= -x-2 = - 2 图象在第四象限且递增，故x
A 项符合；
对于B, C, D,在第一象限上 f x 与 f (x) 的图象在 (0, + )上都单调递增，故a > 0且a -1 > 0 ，则a > 1 .
又由 f x = f x 可得 x = a > 1，即 f (x) = xa 与 f x = a xa -1 的图象交点横坐标应大于 1，显然 C 项不符
合，B, D 项均符合.
故选：C.
【典例 1-2】（2024·广东广州·一模）已知函数 y = f (x) 的图像如图所示，则其导函数 y = f x 的图像可
能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由图可知，当 x > 0时， f x 单调递减， f x < 0，由此排除 BD 选项.
当 x < 0 时，从左向右， f x 是递增、递减、递增，
对应导数的符号为+,-,+ ，由此排除 C 选项，
所以 A 选项正确.
故选：A
【方法技巧】
原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数 f (x) 单调递增 导函数 f (x) 0 （导函数
等于 0，只在离散点成立，其余点满足 f (x) > 0 ）；原函数单调递减 导函数 f (x) 0 （导函数等于 0，
只在离散点成立，其余点满足 f (x0 ) < 0）．
【变式 1-1】（2024·高三·陕西西安·期中）已知函数 y = f x x R 的图象如图所示，则不等式
xf x > 0的解集为（ ）.

A． 0,
1 1 1
÷ 2, +

B． - ,
U
3 3 ÷
, 2÷
è è è 3
1
C． - ,0 U , 2÷ D． -1,0 U 1,3
è 3
【答案】A
【解析】由 y = f x x R 的图象可知， f x 1 1在 - , ÷和 2, + 上单调递增，在 , 23 ÷上单调递减，è è 3
x 1 1则当 - , ÷时 f x > 0， x 2, + 时 f x > 0 ， x , 2 时 f x < 0，
è 3 è 3 ÷
所以不等式 xf x 1> 0 的解集为 0,

÷ 2, + .
è 3
故选：A
【变式 1-2】（2024·北京海淀·一模）函数 f (x) 是定义在 (-4,4)上的偶函数，其图象如图所示， f (3) = 0 .
设 f (x) 是 f (x) 的导函数，则关于 x 的不等式 f (x +1) × f (x) 0的解集是（ ）
A．[0,2] B．[-3,0]U[3,4) C． (-5,0]U[2, 4) D． (-4,0]U[2,3)
【答案】D
【解析】由 f (3) = 0，且 f (x) 为偶函数，故 f (-3) = 0 ，
由导数性质结合图象可得当 x -4,0 时， f x < 0，
当 x 0,4 时， f x > 0，当 x = 0时，即 f 0 = 0，
ì-4 < x +1 < 4
则由 f (x +1) × f (x) 0，有 í ，解得-4 < x < 3
-4 < x < 4
，
ì f x +1 > 0 ì f x +1 < 0
亦可得 í f x 0 ，或 í f x 0 ，或
f x +1 = 0，或 f x = 0，
> <
ì f x +1 > 0 ì-4 < x +1 < -3 ì3 < x +1< 4
由 í f x 0 可得 í 或 í ，即 2 < x < 3， > 0 < x < 4 0 < x < 4
ì f x +1 < 0 ì-3 < x +1 < 3
由 í f x < 0 可得 í ，即-4 < x < 0 -4 < x < 0
，
由 f x +1 = 0，可得 x +1 = ±3，即 x = 2或 x = -4（舍去，不在定义域内），
由 f x = 0，可得 x = 0，
综上所述，关于 x 的不等式 f (x +1) × f (x) 0的解集为 (-4,0]U[2,3) .
故选：D.
题型二：求单调区间
【典例 2-1】（2024·四川成都·三模）已知函数 f x 是定义在R 上的奇函数，且当 x > 0时，
f x = x 1- lnx ，则当 x < 0 时， f x 的单调递增区间为 ．
【答案】 -1,0
【解析】当 x > 0时， f x = -lnx ,
由 f x > 0，解得0 < x <1，所以 f x 在区间 0,1 上单调递增，
因为函数 f x 是定义在R 上的奇函数，
所以函数 f x 图象关于原点对称，
所以 f x 在区间 -1,0 上单调递增.
故答案为： -1,0 .
x
【典例 2-2 e】函数 y = 的严格递减区间是 .
x - 2
【答案】 - , 2 , 2,3 .
ex
【解析】函数 y = 的定义域为 - , 2 2, + ，
x - 2
x - 3 ×e
x
f x =
x - 2 2 ，
x
令 f x < 0，则 x < 3且 x 2 y e，即 = 的严格递减区间为 - , 2 , 2,3 .
x - 2
故答案为： - , 2 , 2,3 .
【方法技巧】
求函数的单调区间的步骤如下：
（1）求 f (x) 的定义域
（2）求出 f (x)．
（3）令 f (x) = 0 ，求出其全部根，把全部的根在 x 轴上标出．
（4）在定义域内，令 f (x) > 0 ，解出 x 的取值范围，得函数的增区间；令 f (x) < 0 ，解出 x 的取值范
围，得函数的减区间．若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间用“和”或“，”隔开．
2 a
【变式 2-1】（2024·四川巴中·一模）已知奇函数 f x 的导函数为 f x ，若当 x < 0 时 f x = x - ，
x
且 f -1 = 0 .则 f x 的单调增区间为 .
【答案】 -1,0 , 0,1
2 a
【解析】因为 x < 0 时 f x = x - ，则 f x a= 2x + 2 x < 0 ，x x
又 f -1 = 0，则-2 + a = 0，即 a = 2，
2 x
3 +1
所以 f x = 2x + 2 = 2 2 ÷ x < 0 ，x è x
f x < 0 x3 1 0 x +1 x2令 ，即 + < ，即 - x +1 < 0，
2
又 x2 - x +1 = x 1- 3 ÷ + > 0，则 x +1 < 0，解得 x < -1，
è 2 4
令 f x > 0，即 x3 +1 > 0，即 x +1 x2 - x +1 > 0，
即 x +1 > 0，解得-1 < x < 0，
所以 f x 在 -1,0 单调递增，
又 f x 为奇函数，
当 x > 0时， f x 在 0,1 单调递增，
所以 f x 的单调增区间为 -1,0 , 0,1 .
故答案为： -1,0 , 0,1
1
【变式 2-2】（2024 2·广西·模拟预测）函数 f x = x - 2x - 3ln x的单调递增区间为 ．
2
【答案】 3, +
【解析】函数 f x 的定义域为 0, + ，
2 x - 3 x +1
f x = x - 2 3 x - 2x - 3 - = = ，
x x x
由 f x > 0得 x > 3或 x < -1（因为 x > 0，故舍去），
所以 f x 在区间 3, + 上单调递增．
故答案为： 3, +
【变式 2-3】函数 f x = sin2x + 2cosx在 0, π 上的单调递减区间为 .
π , 5π 【答案】 6 6 ÷è
【解析】由题意知， f x = 2cos2x - 2sinx = 2 1- 2sin2x - 2sinx < 0 .
1
即 2sin2x + sinx -1> 0 ， 2sin x -1 sin x +1 > 0，因为 sin x > 0，所以 sin x > ，2
所以在 0, π π 5π中， < x < ，
6 6
所以 f x = sin2x + 2cosx在 0, π π 5π 上的单调递减区间为 ,6 6 ÷ .è
π , 5π 故答案为：
è 6 6 ÷
题型三：已知含参函数在区间上的递增或递减，求参数范围
x
【典例 3-1】已知函数 f x = 2 - x e - ax 在 0,5 上为减函数，则 a的取值范围是（ ）
A． - ,5e B． 5e, + C． 1, + D． 1, +
【答案】D
x
【解析】因为函数 f x = 2 - x e - ax 在 0,5 上为减函数，
所以 f x = -ex + 2 - x ex - a 0在 0,5 上恒成立，
所以 a 1- x ex 在 0,5 上恒成立，令 g x = 1- x ex，
x
所以 g x = -e + 1- x ex = -xex < 0，
所以 g x 在 0,5 5上单调递减，所以-4e = g 5 < g x < g 0 =1，
故 a 1，所以 a的取值范围是 1, + .
故选：D.
1
3-2 f x = x3 a【典例 】已知函数 + x2 + x +1在 - ,0 ， 3, + 上为增函数，在（1，2）上为减函数，
3 2
则实数 a 的取值范围为（ ）
A é
10 10 5
． ê- ,-2
ù é ù
ú B． ê- ,- ú C．
10
- , -2 D． - ,-2
3 ÷ 3 2 è 3
【答案】B
【解析】由 f x 1= x3 a+ x2 + x +1，得 f x = x2 + ax +1，
3 2
∵ f x 在 - ,0 ， 3, + 上为增函数； 1,2 上为减函数,
∴ f x = 0两根分别位于 0,1 和 2,3 中，
ì f 0 0 ì f 0 =1 0

f 1 0 f 1 = a + 2 0 10 a 5得 í - - f 2 0
，即
í f 2 = 2a + 5 0
，解得 .
3 2
f 3 0 f 3 = 3a +10 0
故选：B
【方法技巧】
已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解．
【变式 3-1】已知函数 f x = lnx - ax 在区间 1,3 上单调递减，则实数 a的取值范围为（ ）
1
A． a 1
1
B． a >1 C． a D． a >
3 3
【答案】A
【解析】因为 f x = lnx - ax ，所以 f x 1= - ax ，
因为 f x 在区间 1,3 上单调递减，
所以 f x 0 1，即 - a 0，则 a 1 在 1,3 上恒成立，
x x
y 1因为 = 在 1,3 上单调递减，所以 ymax =1，故 a 1 .x
故选：A.
【变式 3-2】（2024 x x·高三·广东汕头·期中）设 a 0,1 ，若函数 f x = a + (1+ a) 在 0, + 递增，则 a
的取值范围是（ ）
é 5 -1, 5 +1
ù é 5 -1 5 -1 5 -1
A． ê ú B． ê ,12 2 2 ÷÷
C． ,1÷÷ D． 0,
è 2
÷÷
è 2
【答案】B
x x
【解析】因为函数 f x = a + (1+ a) 在 0, + 递增，
所以 f x = a x ln a + (1+ a)x ln(1+ a) 0在 0, + 上恒成立，
x
(1+ a)x ln(1+ a) -a x ln a 1+ a ln a则 ，即 ÷ - 在 0, + 上恒成立，
è a ln(1+ a)
x 0
y = 1+ a 1+ a ln a由函数 ÷ 单调递增得 =1 - ，
è a è a ÷ ln(1+ a)
又 a 0,1 ，所以 a +1 1,2 ，所以 ln a +1 > 0 ，
ìln a +1 - ln a ìa a +1 1 5 -1
所以 í 即 í ，解得 a <1，
0 < a <1 0 < a <1 2
é 5 -1
所以 a的取值范围是 ê ,1÷÷ .
2
故选：B
【变式 3-3】（2024 2·陕西西安·三模）若函数 f x = x - ax + ln x在区间 1,e 上单调递增，则 a的取值范
围是（ ）
A． 3, + B． - ,3 C． é 3,e2 +1ù D． é 3,e2 -1ù
【答案】B
【解析】因为函数 f x = x2 - ax + ln x在区间 1,e 上单调递增，
所以 f x = 2x - a 1+ 0在区间 1,e 上恒成立，
x
即 a 2x
1
+ 在区间 1,e 上恒成立，
x
g x 2x 1令 = + 1< x < e ，
x
1 2x2 -1 2x +1 2x -1 则 g x = 2 - = = > 0，
x2 x2 x2
所以 g x 在 1,e 上递增，又 g 1 = 3，
所以 a 3 .
所以 a的取值范围是 - ,3 .
故选：B
【变式 3-4】（2024·高三·江苏南通·期中）已知函数 f x = x2 - ax + ln x a R 1 的减区间为 ,1÷，则
è 2
a = .
【答案】3
1 2x
2 - ax +1 1
【解析】由题意可得， f x 2x = - a + = < 0，解集为 ,12 ÷，则 a = 3 .x x è
故答案为：3
题型四：已知含参函数在区间上不单调，求参数范围
4-1 2024 f (x) x
2 1
【典例 】（ ·宁夏银川·三模）若函数 = - ln x 在区间 (m, m + )上不单调，则实数 m 的取值
2 3
范围为（ ）
0 m 2 2A． < < B． < m <1
3 3
2
C． m 1 D．m>1
3
【答案】B
x2
【解析】函数 f (x) = - ln x 的定义域为 (0, + )，
2
f (x) x 1 x
2 -1 (x +1)(x -1)
且 = - = = ，
x x x
令 f (x) = 0，得 x =1，
因为 f (x) 在区间 (m, m
1
+ )上不单调，
3
ìm > 0
2
所以 í 1 ，解得： < m <1
m <1 < m + 3 3
故选：B.
【典例 4-2】已知函数 f x = 1- x ln x + ax 在 1, + 上不单调，则 a的取值范围是（ ）
A． 0, + B． - ,0 C． 0, + D． - ,0
【答案】A
【解析】依题意 f x = - ln x 1+ + a -1，故 f (x)在 1, + 上有零点，令 g(x) ln x 1= - + + a -1，令 g(x) = 0 ，
x x
得 a = ln x
1
- +1，令 z(x) ln x
1
= - +1，
x x
则 z (x)
1 1
= + 2 ，由 x >1，得 z (x) > 0， z(x)单调递增，又由 z(1) = 0，得 z(x) > 0，x x
故 a = z(x) > 0，所以， a的取值范围 0, +
故选：A
【方法技巧】
已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围．
【变式 4-1】函数 f (x)
1
= ax2 - 2ax + ln x在 1,3 上不单调，则实数 a的取值范围为（ ）
2
, 1- - A． ÷ B． (1, + )
è 3
1 1
C． - , - (1, + ) D． - , - U (2, + )
è 3 ÷ 2 ÷ è
【答案】C
1 2
【解析】函数 f (x) = ax - 2ax + ln x，
2
f (x) ax 2a 1 ax
2 - 2ax +1
则 = - + = ，
x x
记j(x) = ax2 - 2ax +1，
∵ f (x) 在 1,3 上不单调，
当 a = 0时不满足；
当 a 0时，j x 对称轴为 x =1，j(1)j(3) < 0，
a 1∴ < - 或 a >1，
3
故选：C．
【变式 4-2】函数 f x = 1- x lnx + ax在 1, + 上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A． a 1,+ B． a - ,0 C． a 0, + D． a -1, +
【答案】A
【解析】依题意， f x = -lnx 1+ + a -1，因 f x 在 1, + 上不单调，
x
故导函数 f x 在 1, + 上必有变号零点.
f x = 0 a lnx 1 1 1 1令 ，得 = - +1，再令 z x = lnx - +1，则 z x = + ，
x x x x2
由 x >1，得 z x > 0, 即 z x 在 1, + 上单调递增，所以 z x > z(1) = 0，
故只需 a > 0，即 a (0,+ ) ，
对于 A， 1, + 是 0, + 的真子集,故 A 选项是一个充分不必要条件，
而其他选项中， a的范围都不是 (0, + )的真子集，故都不正确.
故选:A．
【变式 4-3】若函数 f x = x3 -12x在区间 k -1, k +1 上不单调，则实数 k 的取值范围是（ ）
A． - , -3 -1,1 3, + B． -3, -1 1,3
C． -2,2 D．不存在这样的实数 k
【答案】B
【解析】由题意得， f x = 3x2 -12 = 0在区间 k -1, k +1 上至少有一个实数根，
又 f x = 3x2 -12 = 0的根为±2，且 f x 在 x = 2或 x = -2两侧异号，
而区间 k -1, k +1 的区间长度为 2，故只有 2 或-2 在区间 k -1, k +1 内，
∴ k -1< 2 < k +1或 k -1< -2 < k +1，
∴1 < k < 3或-3 < k < -1，故 A，C，D 错误.
故选：B.
【变式 4-4】函数 f x p= sin x ÷ - ax 在 R 上不单调，则 a的取值范围是（2 ）è
A． -1,1 B． -1,1 p p p p C é ù． ê- ,-2 2 ú D． - ,-2 2 ÷ è
【答案】D
π π
【解析】由 f (x) = cos( x)
π
- a ，而 cos(
π x) [ π- , π]，
2 2 2 2 2 2
要使 f (x)
π π
在 R 上不单调，则a (- , ) .
2 2
故选：D
题型五：已知含参函数在区间上存在增区间或减区间，求参数范围
【典例 5-1】已知函数 f (x) = ax3 - x2 +1在( 0, 1)上有增区间，则 a 的取值范围是 .
2
【答案】 ,+

÷
è 3
【解析】等价于存在 x (0,1) 使得 f (x) > 0成立，即 a ( 2> ) 成立，即得解.由题得 f (x) = 3ax2 - 2x ，
3x min
因为函数 f (x) = ax3 - x2 +1在( 0, 1)上有增区间，
所以存在 x (0,1) 使得 f (x) > 0成立，
即a
2
> 成立，
3x
2 2
因为0 < x <1时， > ，
3x 3
2
所以 a > .
3
2
故答案为： ,+
è 3 ÷
5-2 f (x) = x3
1
【典例 】若函数 - ax2 + x在 1,3 存在单调递减区间，则 a 的取值范围为 ．
2
【答案】 a > 4
【解析】 f (x) = 3x2 - ax +1，等价于 f x < 0在 1,3 有解，即3x2 - ax +1 < 0 在 1,3 有解，
a 3x 1即 > + 在 1,3 1有解，所以 a > 3x + x è x ÷ ， min
g(x) 3x 1令 = + , x 1,3 ，
x
2
则 g x 3 1 3x -1= - 2 = g x2 > 0，即 在 1,3 上是增函数，x x
∴ g(x)min = g(1) = 4，所以 a > 4 .
故答案为： a > 4 .
【方法技巧】
已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解．
【变式 5-1】若函数 f (x) ln x
1
= - ax2 - 2x 存在单调递减区间，则实数 a的取值范围是 .
2
【答案】 (-1, + )
f (x) 1 ax 2 1- 2x - ax
2
【解析】 = - - = ，
x x
由题意知， f (x) < 0在 (0, + )上有实数解，
即 ax2 + 2x -1 > 0 有实数解，
当 a 0时，显然满足，
当 a<0时，只需D = 4 + 4a > 0
\-1< a < 0
综上所述 a > -1
故答案为： (-1, + )
【变式 5-2】若函数 f (x) = x2 - ex - ax在 R 上存在单调递增区间，则实数 a的最大值为 ．
【答案】 2ln 2 - 2
【解析】因为 f (x) = x2 - ex - ax，所以 f (x) = 2x - ex - a ，由题意 f (x) = 2x - ex - a > 0有解，即
a < -ex + 2x有解，令 g(x) = -ex + 2x , g (x) = -ex + 2 = 0, x = ln 2 ,
g (x) = -ex + 2 > 0, x > ln 2时，该函数单调递增；
g (x) = -ex + 2 < 0, x < ln 2 时,该函数单调递增，
所以，当 x = ln 2, g(x)取得最大值 2ln 2 - 2 ,
所以 a < 2ln 2 - 2．
【变式 5-3】（2024·高三·湖北襄阳·期末）函数 f x 的导函数为 f x ，若在 f x 的定义域内存在一
个区间D, f x 在区间 D上单调递增， f x 在区间 D上单调递减，则称区间 D为函数 f x 的一个“渐缓
增区间”．若对于函数 f x = aex - x2 ，区间 0,
1
÷是其一个渐缓增区间，那么实数 a的取值范围是 ．
è 2
é e 2 e ù
【答案】 ê ,e e ú
x 2 1
【解析】对于函数 f x = ae - x ， x 0, 2 ÷è
f x = aex - 2x g x = aex，令 - 2x ，
g x = aex - 2 1 则 ，因为 f x 在区间 0, ÷ 上单调递减，
è 2
2 2 2
所以 aex
2
- 2 0恒成立，即 a x 恒成立，又 x
>
e 1
=
e e2 e
，
2 e
所以 a ，
e
f x 0, 1 又 在区间 ÷ 上单调递增，
è 2
所以 f x = aex - 2x 0恒成立，
1 e
所以 ae2 -1 0，解得 a ，e
e
综合得 a 2 e .
e e
é e 2 e ù
故答案为： ê , ú .
e e
1 3
【变式 5-4】若函数 f (x) = x2 + mx ex é在 ê- , ùú上存在单调递减区间，则m 的取值范围是 ． 2 2
3
【答案】 - ,

2 ֏
2
【解析】 f x = x + mx ex ，则 f x = ex x2 + mx + 2x + m ，
函数 f x é 1 3 1 3在区间 ê- ,
ù
ú上存在减区间，只需 f x < 0
é ù
在区间 ê- , ú上有解， 2 2 2 2
2
即 x + m + 2 x + m < 0 é 1 3ù在区间 ê- , ú上有解， 2 2
x 1 3 1 5又
é- , ù x +1 é , ùê ，则 ， 2 2ú ê2 2ú
-x2 - 2x é 1 3ù
所以m < 在区间 ê- ,x +1 2 2ú
上有解，


m -x
2 - 2x é 1 3ù é1 5ù
所以 < ÷ ， x ê- , ú，令 x +1= t ， t , ，
è x +1 max 2 2
ê2 2 ú
2
则 -x
2 - 2x - x +1 +1 -t 2 +1
= = ，
x +1 x +1 t
令 g t 1 1 1 5= -t + ，则 g t = -1- 2 < 0在区间 t
é , ù
t t ê2 2 ú
恒成立，

g t t é1 5 , ù g t g 1= 3所以 在 ê = 2 2 ú上单调递减，所以 max 2 ÷ ，è 2
-x2 - 2x 3 3 3
即 ÷ = ，所以m < ，所以实数m 的取值范围是 - , ÷．
è x +1 2max 2 è 2
3
故答案为： - , ÷．
è 2
题型六：不含参数单调性讨论
【典例 6-1】（2024·河北保定·二模）已知函数 f x = x - 2e2 lnx - ax - 2e2 a R .若 a =1，讨论 f x
的单调性；
【解析】函数 f x 的定义域为 0, + ，
2
当 a =1时， f x = x - 2e2 lnx - x - 2e2 ，所以 f x 2e= - + lnx ，
x
2 2
设 g x f x 2e 2e= = - + lnx，因为 y = - 、 y = lnx都在 0, + 上单调递增，
x x
所以 g x 在 0, + 上单调递增，且 g e2 = 0，
2
所以 x 0,e 时， g x < 0, f x < 0, f x 单调递减；
x e2 ,+ 时， g x > 0, f x > 0, f x 单调递增.
所以 f x 在 0,e2 2上单调递减，在 e ,+ 上单调递增.
π
【典例 6-2】（2024·高三·天津·开学考试）已知函数 f ( x ) = ex - k si n x ．当 k =1, x 0, ÷时，求
è 2
f (x) 的单调区间；

【解析】当 k =1时，若 x 0,
π
÷ , f (x) = e
x - sin x，则 f (x) = ex - cos x >1- cos x > 0，
è 2
π
所以函数 f (x)

的单调递增区间为 0,

÷，无单调递减区间．
è 2
【方法技巧】
确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点：一是不能漏掉求函数
的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，而用“，”或“和”隔开．
x
【变式 6-1】已知函数 f (x) = ln(e -1) - ln x．
判断 f (x) 的单调性，并说明理由；
f (x) e
x 1 xex - ex +1 (x -1)ex +1
【解析】 = x - = =e -1 x (ex -1)x (ex -1)x
令 g(x) = (x -1)ex +1 x， g (x) = e + (x -1)ex = xex > 0
g(x)在 (0,+ )上递增，\ g(x) > g(0) = 0，\ f (x) > 0，
f (x) 在 (0,+ )上单调递增.
2lnx + x + a
【变式 6-2】（2024·湖南邵阳·三模）已知函数 f x = a R ，若 a = 2，求 f x 的单调区
x
间.
f x 2lnx + x + 2【解析】若 a = 2，则 = 的定义域为 0, + ，
x
x 2 +1÷ - 2ln x + x + 2 且 f x è x -2ln x ，=
x2
=
x2
令 f x > 0，解得0 < x <1；令 f x < 0，解得 x >1；
所以 f x 的单调递增区间为 0,1 ，单调递减区间为 1, + .
2
【变式 6-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = ax2 - lnx a R ．
当 a =1时，讨论函数 f x 的单调性．
【解析】当 a =1时，可得 f x = x2 - lnx 2 ，其中 x (0,+ )，则 f x 2x 2lnx= - ，x
g x 2x 2lnx= - 2 x
2 + lnx -1
设 ，则
x g x = ，x2
令 h x = x2 + lnx -1，可得 h x = 2x 1+ > 0恒成立，
x
所以 h x 为 0, + 上的增函数，且 h 1 = 0，
所以 g x 在 0,1 上单调递减，在 1, + 上单调递增，所以 g(x)min = g 1 = 2 ，
所以 f (x)min = 2 > 0，所以 f x > 0，所以 f x 在 0, + 上单调递增．
x
【变式 6-4】函数 f x = ae - ln x -1 . a 2 e当 = 时，求函数 f x 的单调性；
e
【解析】当 a 2 e 2 e= 时， f x = ex - ln x -1，定义域为 0, + ，
e e
f x 2 e ex 1 g x f x 2 e ex 1 2 e 1= - ，记 = = - ，则 g x = ex + > 0，
e x e x e x2
f x 2 e 1
1
所以 = ex - 在 0, + 1 2 e上单调递增，又 f ÷ = e2 - 2 = 0，e x è 2 e
0 x 1所以当 < < 时， f x < 0 x 1，当 > 时， f x > 0，
2 2
f x 0, 1 1 所以 在 ÷ 上单调递减，在 ,+ ÷上单调递增，
è 2 è 2
题型七：导函数为含参一次函数的单调性分析
【典例 7-1】已知函数 f (x) = ax - 2ln x．讨论函数 f (x) 的单调性；
【解析】由题意可知 f (x) 的定义域为 0, + ，且 f x = a 2 ax - 2- = x > 0 ，
x x
当 a 0时， f x < 0恒成立，
所以 f x 的单调递减区间是 0, + ，无单调递增区间.
当 a > 0
2
时，令 f x = 0解得 x = ，
a
令 f x < 0 ，解得 x 0,
2
÷；令 f x > 0
2
，解得 x , +

÷，
è a è a
f x 所以 的单调递减区间是 0,
2 2
÷，单调递增区间是 ,+ ；
è a a ÷ è
综上所述：当 a 0时， f x 的单调递减区间是 0, + ，无单调递增区间；
当 a > 0时， f x 2 2 的单调递减区间是 0, ÷，单调递增区间是 ,+ .
è a ÷ è a
a
【典例 7-2】已知函数 f x = + lnx -1, a R .讨论函数 f x 的单调性；
x
a
【解析】（1）函数 f x = + lnx -1的定义域是 0, + ，
x
f x a 1 x - a因 = - + = ，
x2 x x2
①若 a 0，则 f x > 0, f x 在 0, + 上单调递增；
②若 a > 0，则当 x 0, a 时， f x < 0, f x 单调递减；
当 x a, + 时， f x > 0, f x 单调递增；
综上，当 a 0时， f x 在 0, + 上单调递增，
当 a > 0时， f x 在 0, a 上单调递减，在 a,+ 上单调递增
【方法技巧】
导函数的形式为含参一次函数，首先讨论一次项系数为 0 的情形，易于判断；当一次项系数不为零时，
讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区
间．
【变式 7-1】（2024·陕西渭南·二模）已知函数 f x = ln x +1 - mx ，其中m R .讨论 f x 的单调性；
1 1- mx - m
【解析】因为 f x = ln x +1 - mx ，易知其定义域为 (-1, + )， f x = - m = ，
x +1 x +1
当m 0时， f (x) > 0在 (-1, + )上恒成立，
当m > 0时，由 f x = 0，得到 x 1= -1 > -1，
m
所以，当-1
1
< x < -1时， f (x) > 0， x 1> -1时， f (x) < 0，
m m
综上所述，当m 0时， f x 的单调增区间为 (-1, + )，无减区间，
当m > 0时， f x 1 1的单调增区间为 -1, -1m ÷，减区间 ( -1, + ) .è m
【变式 7-2】设函数 f x ln x 1 ax= + - ．讨论 f x 的单调性；
x +1
1 a x +1- a
【解析】 f x 的定义域为 -1, + ， f x = - =x +1 x +1 2 x +1 2 ，
若 a 0，则 f x > 0， f x 在 -1, + 上单调递增．
若 a > 0，则当 x -1,a-1 时， f x < 0， f x 单调递减；
当 x a -1, + 时， f x > 0， f x 单调递增；
题型八：导函数为含参准一次函数的单调性分析
【典例 8-1】（2024·山东枣庄·模拟预测）已知函数 f (x) = ex - ax2 - x ， f (x) 为 f (x) 的导数,讨论 f (x) 的单
调性；
【解析】由题知 f x = ex - 2ax -1，
令 g x = f x = ex - 2ax -1，则 g x = ex - 2a，
当 a 0时， g x > 0, f x 在区间 - , + 单调递增，
当 a > 0时，令 g x = 0 ，解得 x = ln2a，
当 x - , ln2a 时， g x < 0，当 x ln2a, + 时， g x > 0，
所以 f x 在区间 - , ln2a 上单调递减，在区间 ln2a, + 上单调递增，
综上所述，当 a 0时， f x 在区间 - , + 上单调递增；
当 a > 0时， f x 在区间 - , ln2a 上单调递减，在区间 ln2a, + 上单调递增.
x
【典例 8-2】（2024·海南海口·二模）已知函数 f x = x + 2 - ae .讨论 f x 的单调性；
【解析】 f x x的定义域为R ， f x =1- ae ，
当 a 0时， f x > 0，所以 f x 在 - , + 上单调递增；
当 a > 0
1 1
时，令 f x > 0，得 x < ln ，令 f x < 0，得 x > ln ，a a
所以 f x 在 - , ln
1 1
÷上单调递增，在 ln ,+ ÷上单调递减.
è a è a
【方法技巧】
导函数的形式为含参准一次函数，首先对 f (x)定号，然后讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，
结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间．
【变式 8-1】已知函数 f x = x ln x - ax .讨论 f x 的单调性；
【解析】
函数 f x 的定义域为 x (0，+ )， f (x) = ln x +1- a．
令 f (x) = 0，解得 x = ea-1，
则有当 0 < x < ea -1 时， f (x) < 0；当 x > ea-1时， f (x) > 0；
所以 f (x) 在 (0，ea-1)上单调递减，在 (ea-1，+ ) 上单调递增．
【变式 8-2】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知函数 f (x) = ex - ax -1 .讨论 f (x) 的单调性;
【解析】 f x = ex - a ，
当 a 0时， f x > 0恒成立，故 f x 在R 上单调递增，
当 a > 0时，令 f x = 0，解得 x = ln a，
所以当 x ln a,+ 时， f x > 0， f x 单调递增；当 x - , ln a 时， f x < 0， f x 单调递减；
综上，当 a 0时， f x 在R 上单调递增；当 a > 0时， f x 在 ln a, + 上单调递增，在 - , ln a 上单调
递减；
题型九：导函数为含参可因式分解的二次函数单调性分析
2
【典例 9-1】已知函数 f x x= - a +1 x + a ln x．讨论 f x 的单调性；
2
2
【解析】函数 f x x= - a +1 x + a ln x的定义域为 (0, + )，
2
f x x (a 1) a x
2 - (a +1)x + a (x -1)(x - a)
则 = - + + = = ，
x x x
①当 a 0时，令 f x < 0，解得0 < x <1，令 f x > 0，解得 x >1，
\ f (x)在( 0, 1)上单调递减，在 (1, + )上单调递增，
②当 0 < a < 1时，令 f x < 0，解得 a < x <1，令 f x > 0，解得0 < x < a 或 x >1，
\ f (x)在 (a,1)上单调递减，在 (0,a)和 (1, + )上单调递增，
③当 a =1时， f x 0恒成立，
\ f (x)在 (0, + )上单调递增，
④当 a >1时，令 f x < 0，解得1< x < a ，令 f x > 0，解得0 < x <1或 x > a，
\ f (x)在 (1, a)上单调递减，在( 0, 1)和 (a,+ ) 上单调递增，
综上所述，当 a 0时， f (x) 在( 0, 1)上单调递减，在 (1, + )上单调递增；
当 0 < a < 1时， f (x) 在 (a,1)上单调递减，在 (0,a)和 (1, + )上单调递增；
当 a =1时， f (x) 在 (0, + )上单调递增；
当 a >1时， f (x) 在 (1, a)上单调递减，在( 0, 1)和 (a,+ ) 上单调递增；
【典例 9-2】已知函数 f (x)
1
= x2 + (1- a)x - a ln x(a R) .讨论函数 f (x) 的单调性；
2
1 2
【解析】（1）因为 f (x) = x + (1- a)x - a ln x(a R)的定义域为 0, + ，
2
a x2f x x (1 a) + (1- a)x - a (x +1)(x - a)又 = + - - = = ，
x x x
当 a 0时，在 x (0,+ )上 f x > 0恒成立，所以 f (x) 在 (0, + )上单调递增；
当 a > 0时，令 f x = 0，解得 x1 = -1（舍去）， x2 = a ；
当 x (0,a)， f x < 0， f (x) 在 (0,a)上单调递减；
x (a,+ ) ， f x > 0， f (x) 在 (a,+ ) 上单调递增；
综上，当 a 0时， f (x) 在 (0, + )上单调递增；
当 a > 0时， f (x) 在 (0,a)上单调递减， f (x) 在 (a,+ ) 上单调递增.
【方法技巧】
若导函数为含参可因式分解的二次函数，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，
判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性.
【变式 9-1】已知函数 f x = ax2 - 2 + 5a x + 5ln x a R ，讨论函数 f x 的单调性；
【解析】由题知， x > 0， f (x) = 2ax - (2 + 5a)
5 (ax -1)(2x - 5)
+ = ，
x x
①当 a 0时， x > 0,ax -1 < 0，
0 x 5则 < < 时， f (x) > 0， f (x) 单调递增；
2
当 x
5
> 时， f (x) < 0， f (x) 单调递减；
2
5 5
所以 f (x)

的增区间是 0, ÷ ，减区间是2
,+ ÷；
è è 2
0 a 2 1 5②当 < < 时， > ，
5 a 2
x 当 0,
5 1
和 ,+

2 ÷ a ÷
时， f (x) > 0， f (x) 单调递增，
è è
x 5 1 当 , ÷时， f (x) < 0， f (x) 单调递减，
è 2 a
0, 5 1 5 1故 f (x)

的增区间是 和2 ÷
,+ ÷ ，减区间是 , ÷；
è è a è 2 a
2
a 2= 4
x 5-
③当 时， ÷è 2 ，故 f (x) 的单调递增区间是 0, + ；5 f (x) = 0
5x
1
a 2> 0 1 5< < 5 ④当 时， ，在 0, ÷和 ,+ ÷上， f (x) > 0, f (x)单调递增；5 a 2 è a è 2
1 5
在 , ÷上， f (x) < 0, f (x) 单调递减；
è a 2
f (x) 0, 1 5 1 5 故 的增区间是 和 ,+ ，减区间是 , ，
è a ÷ 2 ÷ ÷ è è a 2
5 5
综上，当 a 0 f (x) 时， 的增区间是 0, ÷ ，减区间是 ,+ ÷；
è 2 è 2
5 1 5 1
当0 < a
2
< 时， f (x)

的增区间是 0,

5 2 ÷
和 ,+ ÷ ，减区间是 ,a 2 a ÷
；
è è è
a 2当 = 时， f (x) 的增区间是 0, + ，
5
2 0, 1 5 , 1 , 5a > f (x) + 当 时， 的增区间是 ÷和 ÷，减区间是 ÷．5 è a è 2 è a 2
1
【变式 9-2】已知函数 f x = - - a +1 ln x +1 + ax + e - 2（ a R ， e为自然对数的底数）.讨论函数
x +1
f x 的单调性；
【解析】 f x 1= - - a +1 ln x +1 + ax + e - 2的定义域为 -1, + ，
x +1
1 a +1 a x +1
2 - a +1 x +1 +1 ax + a -1 x -1f x a = - + = = ，
x +1 2 x +1 x +1 2 x +1 2
- x -1f x 当 a = 0时， = f x > 0 f x < 0 x +1 2 ，令 得-1 < x <1，令 得 x >1，
故 f x 在 -1,1 上单调递增，在 1, + 上单调递减，
1
当 a<0时，令 f x = 0得 x = -1< -1（舍去），或 x =1，
a
令 f x > 0得-1 < x <1，令 f x < 0得 x >1，
故 f x 在 -1,1 上单调递增，在 1, + 上单调递减，
当 a > 0时，令 f x = 0 x 1得 = -1 > -1或 x =1，
a
0 a 1 1若 < < 时， x = -1 >1，
2 a
f x > 0 x 1令 得-1 < x <1或 > -1，令 f x < 0 1 x 1得 < < -1，
a a
故 f x 在 -1,1 1， -1, +
1
÷ 上单调递增，在a
1, -1÷上单调递减，
è è a
1 x -1 2
若 a =
1
时， - 1 = 1，此时 f x = 2 0 恒成立，2 a 2 x +1
故 f x 在 -1, + 上单调递增，
若 a
1 1
> 时， -1<1，
2 a
令 f x > 0 1 1得-1 < x < -1或 x >1，令 f x < 0得 -1< x <1，
a a
f x 1, 1 1 1, 1故 在 - - ÷， +

上单调递增，在
a
-1,1÷上单调递减，
è è a
综上，当 a 0时， f x 在 -1,1 上单调递增，在 1, + 上单调递减，
1 1
当0
1
< a < 时， f x 在 -1,1 ， -1, + ÷ 上单调递增，在2 a 1, -1÷上单调递减，è è a
a 1当 = 时， f x 在 -1, + 上单调递增，
2
a 1>
1 1
当 时， f x 在 -1, -1÷， 1, + 上单调递增，在2 a -1,1a ÷上单调递减；è è
1
【变式 9-3】（2024·河南洛阳·模拟预测）已知函数 f (x) = (1- b) ln x + bx + ,b R ．
x
(1)当b = 0时，求曲线 y = f (x) 在 (1, f (1))处的切线方程；
(2)讨论 f (x) 的单调性．
1
【解析】（1）由题意知，当b = 0时， f (x) = ln x + ，
x
则 f (1) =1, f (x)
x -1
= 2 , f
(1) = 0，
x
故曲线 y = f (x) 在 (1, f (1))处的切线方程为 y =1．
（2） f (x) 的定义域为 (0, + ) f (x)
1- b b 1 (bx +1)(x -1)，且 = + -
x x2
= 2 ，x
当b 0时，则bx +1 > 0，
令 f (x) > 0，解得 x >1，令 f (x) < 0，解得0 < x <1，
所以 f (x) 在( 0, 1)上单调递减， f (x) 在 (1, + )上单调递增；
当b < 0时，则有：
1
- >1 f (x) > 0 1 x 1若-1 < b < 0 ，则 ，令 ，则 < < - , f (x)单调递增；
b b
令 f (x) < 0 1，则0 < x <1或 x > - , f (x) 单调递减；
b
b 1若 < -1，则- <1，令 f (x) > 0
1
，则- < x <1, f (x) 单调递增；
b b
令 f (x) < 0，则 x >1或0 1< x < - , f (x)单调递减；
b
若b = -1，则 f (x) 0, f (x)单调递减．
综上所述，当b 0时， f (x) 在( 0, 1)上单调递减，在 (1, + )上单调递增；
当-1 < b < 0 时， f (x) 在 (0,1),
1
- ,+

÷上单调递减，在 1,
1
- ÷ 上单调递增；
è b è b
1 1
当b < -1时， f (x) 在 0,- ÷,(1,+ )上单调递减，在b
- ,1÷上单调递增；
è è b
当b = -1时， f (x) 在 (0, + )上单调递减．
1 2
【变式 9-4】已知函数 f x = lnx - ax ， a R ．求函数 f x 的单调区间.
2
f x 0, + f x 1 ax 1- ax
2
【解析】函数 的定义域为 ．由题意得 = - = ,
x x
当 a 0时, f x > 0，则 f x 在区间 0, + 内单调递增；
当 a > 0时，由 f x = 0，得 x 1= 或 x 1= - （舍去）,
a a
当0 < x 1< 时， f x > 0， f x 单调递增，
a
x 1当 > 时， f x < 0， f x 单调递减．
a
所以当 a 0时， f x 的单调递增区间为 0, + ，无单调递减区间；
1 1
当 a > 0时， f x 的单调递增区间为 0, a ÷÷，单调递减区间为 ,+ ÷÷ .è è a
题型十：导函数为含参不可因式分解的二次函数单调性分析
【典例 10-1 2】已知函数 g x = x + ln x - ax．讨论 g x 的单调性
g x 2x 1 a 2x
2 - ax +1
【解析】 = + - = ， x > 0 ，
x x
当 a 0时， g x > 0，所以 g x 在 0, + 上单调递增．
当 a > 0时，令 g x = 0 ，则 2x2 - ax +1 = 0．
若D = a2 -8 0，即0 < a 2 2 时， g x 0恒成立，所以 g x 在 0, + 上单调递增．
2
D = a2 -8 > 0 a > 2 2 2x2 - ax +1 = 0 x a ± a - 8若 ，即 时，方程 的根为 = ，
4
2 2 2 2
当 g x a - a -8 a + a -8> 0 0 a - a -8 a + a -8时， < x < 或 x > ， g x 在 0, ÷÷ 和 ,+ ÷÷上单调递4 4 è 4 è 4
增；
2 2 2 2
当 g x < 0 a - a -8 a + a -8 a - a -8 a + a -8时， < x < ， g x 在 , ÷上单调递减．
4 4 ֏ 4 4
a - a2 -8
综上所述，当 a 2 2 时， g x 在 0, + 上单调递增；当 a > 2 2 时， g x 在 0, ÷4 ÷ 和è
a + a2 -8
, + ÷4 ÷
上单调递增，
è
a - a2 -8 , a + a
2 -8
在 ÷÷上单调递减．
è 4 4
【典例 10-2】已知函数 f x = a +1 ln x + ax2 +1．讨论函数 f x 的单调性；
2
f x 0, + a +1 2ax
2 + a +1 a 2x +1 +1【解析】 的定义域为 ， f x = + 2ax = = ．
x x x
当 a 0时， f x > 0，故 f x 在 0, + 单调递增；
当 a -1时， f x < 0，故 f x 在 0, + 单调递减；
当-1 < a < 0时，令 f x = 0 x a +1，解得 = - ．
2a
由于 f x 在 0, + 上单调递减，

故当 x 0,
a +1 a +1
-
2a ÷
时， f x > 0，故 f x 在 0, - ÷单调递增；
è è 2a
a +1 a +1
当 x - , + 时， f x < 0，故 f x 在 - ,+ 单调递减．
è 2a
÷÷
è 2a
÷

【方法技巧】
若导函数为含参不可因式分解的二次函数，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域讨
论.
1
【变式 10-1 2】讨论函数 f (x) = ax - ln x + x ， a R 的单调性
2
【解析】因为 f (x)
1
= ax2 - ln x + x x > 0 f x ax 1，所以 = - +1 x > 0 ，
2 x
2
f x ax + x -1即 = x > 0 ，
x
当 a = 0时， f x x -1= x > 0 ，令 f x = 0，解得 x =1，
x
所以 x 0,1 时， f x < 0，所以 f x 在 0,1 上单调递减，
x 1, + 时， f x > 0，所以 f x 在 0,1 上单调递增；
2
当 a 0时， f x ax + x -1= x > 0 ，
x
令 g x = ax2 + x -1 x > 0 ，D =1+ 4a，
当 a > 0时，令 g x = 0，则 ax2 + x -1 = 0 ，D =1+ 4a > 0，
-1+ 1+ 4a -1- 1+ 4a
所以方程有x1、x2两个根， 解得 x1 = ， x2a 2
= ，
2a
x x 1 0 1因为 1 + 2 = - < ， x1 × x2 = - > 0，所以 x1 > 0， x2 < 0，a a
x -1- 1+ 4a所以 2 = < 0不在定义域内，2a

x -1+ 1+ 4a

0, ÷÷ 时， f x < 0， f x 单调递减，
è 2a

x -1+ 1+ 4a

, + 2a ÷÷
时， f x > 0， f x 单调递增；
è
a<0时，当D =1+ 4a 0
1
时，即 a≤- 时， f x 0在 0, + 上恒成立，
4
所以 f x 在 0, + 上单调递减；
1
当D =1+ 4a > 0，即- < a < 0 时，方程有x1、x2两个根，4
x -1+ 1+ 4a x -1- 1+ 4a解得 1 = ， = ，2a 2 2a
因为 x1 + x
1 1
2 = - > 0， x1 × x2 = - < 0，所以 x1 > 0， x2 > 0，a a
1 1 4a 1 1 4a a<0 -1+ 1+ 4a -1- 1+ 4a- + + > - - + ，又因为 ， < ，
2a 2a
-1+ 1+ 4a
所以当 x 0, ÷÷ 时， f x < 0， f x 单调递减，
è 2a

x -1+ 1+ 4a -1- 1+ 4a

, ÷÷时， f x > 0， f x 单调递增，
è 2a 2a

x -1- 1+ 4a

,+ 2a ÷÷
时， f x < 0， f x 单调递减；
è
综上所述： a = 0时， f x 在 0,1 是单调递减，在 1, + 单调递增；
ù é
f x -1+ 1+ 4a -1+ 1+ 4a

a > 0时， 在 0, 上单调递减，在 ,+ 上单调递增
è 2a
ú ê ÷÷
2a
1 ù éf x -1+ 1+ 4a -1- 1+ 4a

- < a < 0 时， 在 0, ú 和4 ê
,+ 上单调递减，
è 2a 2a ÷
÷

é -1+ 1+ 4a -1- 1+ 4a ù
在 ê , ú 上单调递增；
2a 2a
a 1≤- 时， f x 在 0, + 单调递减.
4
【变式 10-2】（2024·高三·广西·开学考试）已知函数 f (x) = (x2 +1)eax + 3(a R)．讨论 f (x) 的单调性．
【解析】 f (x) = (ax2 + 2x + a)eax ，
（i）当 a = 0时， f (x) = 2x ，由 f x < 0，得 x < 0 ；由 f x > 0，得 x > 0，
所以 f x 在 - ,0 上单调递减，在 0, + 上单调递增；
（ⅱ）当 a 0时， ax2 + 2x + a = 0的判别式Δ = 4 - 4a2 ，
若 a > 0，①当 a 1时，Δ 0， f x 0在R 上恒成立， f x 在R 上单调递增；
2 2
②当 0 < a < 1 -1- 1- a时，Δ > 0，方程 ax2 + 2x + a = 0的二根 x1 = , x
-1+ 1- a
a 2
= ，
a
由 f x > 0，得 x < x1或 x > x2 ，由 f x < 0，得 x1 < x < x2 ，
函数 f x 在 (- , x1)， (x2 ,+ )上单调递增，在 (x1, x2)上单调递减；
若 a<0，①当 a -1时，Δ 0， f x 0在R 上恒成立， f x 在R 上单调递减；
-1 < a < 0 Δ > 0 ax2 + 2x + a = 0 x -1- 1- a
2 -1+ 1- a2
②当 时， ，方程 的二根 1 = , x2 = ，a a
由 f x > 0，得 x2 < x< x1，由 f x < 0，得 x x1，
函数 f x 在 (x2 , x1)上单调递增，在 (- , x2 )， (x1,+ )上单调递减，
所以当 a = 0时， f x 在 - ,0 上单调递减，在 0, + 上单调递增；
当 a 1时， f x 在R 上单调递增；
2 2 2 2
当 0 < a < 1时， f x 在 (- , -1- 1- a ) (-1+ 1- a , -1- 1- a -1+ 1- a， + )上单调递增，在 ( , ) 上
a a a a
单调递减；
当 a -1时， f x 在R 上单调递减；
-1+ 1- a2 -1- 1- a2 -1+ 1- a2 -1- 1- a2
当-1 < a < 0时， f x 在 (- , )， ( ,+ )上单调递减，在 ( , )上
a a a a
单调递增.
1
【变式 10-3】设函数 f x = ax3 + 2ax2 + 1- 2a x,a 0 ,求 f x 的单调区间.
3
2
【解析】 f x = ax + 4ax +1- 2a， Δ =16a2 - 4a 1- 2a = 24a2 - 4a = 4a 6a -1 ，
D 0, a 0 0 a 1若 ，则 < ， 则 f x 0恒成立，此时 f x 在R 上单调递增.
6
D > 0, a 0 a < 0 a 1> , f x = 0 x -4a ± 24a
2 - 4a 22 6a - a当 或 由 解得6 = = - ±
，
2a a
当 a<0时，列表如下：
2 2 2 2
x - ,-2
6a - a 2 6a - a , 2 6a - a 2 6a - a+ - + - - - - , +
÷÷ ÷÷ ÷è a è a a a ÷è
f x - + -
f x ] Z ]
a 1 当 > 时，列表如下：
6
6a2 - a 6a2 2 2
x - ,
- a 6a - a 6a - a
-2 -
÷÷
-2 - , -2 +
÷÷ -2 + , +
è a è a a ÷
÷
è a
f x + - +
f x Z ] Z
6a2 - a 6a2 - a 6a2 - a
综上, 当 a<0时, f x 在 - ,-2 + ÷ -2 + , -2 - ÷递减，在 ÷÷递增，在
è a è a a
6a22 - a

- - , + ÷÷递减；
è a
当0 < a
1
时， f x 在R 上单调递增；
6
1 2 f x , 2 6a - a 2 6a
2 - a 6a2 - a
当 a > 时， 在 - - - ÷递增，在 - - , -2 +
6 a ÷ a a ÷
÷递减，在
è è

2 6a
2 - a
- + , + ÷÷递增.
è a
题型十一：导函数为含参准二次函数型的单调性分析
a
【典例 11-1 f x = eax】已知函数 + a +1÷ ,其中 a -1 .求 f x 的单调区间．
è x
x +1 é a +1 x -1ù
【解析】 f x = aeax 2 , x 0 ,x
令 f x > 0，即解不等式: a x +1 é a +1 x -1ù > 0 ,
① 当 a = -1时,解得: x > -1 ,
故 f x 的单调区间为：
x - ,-1 -1,0 0, +
f x - + +
f x ] Z Z
1 1
② 当-1 < a < 0时, x1 = -1, x2 = > 0 ,所以解得: -1 < x < ,a +1 a +1
故 f x 的单调区间为：
1 1
x - ,-1 -1,0 0,

a +1÷
,+
è è a +1 ÷
f x - + + -
f x ] Z Z ]
③ a = 0 ,则 f x =1 ,常值函数不具备单调性.
④ a
1
> 0时,解得: x < -1或 x > ,
a +1
故 f x 的单调区间为：
x - ,-1 -1,0 0, 1 1 ÷ ,+

è a +1 ÷ è a +1
f x + - - +
f x Z ] ] Z
综上，当 a = -1时, f x 在 - ,-1 递减，在 -1,0 递增，在 0, + 递减;
1 a 0 f x - , 1 1,0 0, 1- - 1 ,+ 当- < < 时, 在 递减，在 递增，在 ÷递增，在 递减；
è a +1 è a +1 ÷
当 a = 0时,则 f x =1 ,常值函数不具备单调性;
a 0 f x - ,-1 -1,0 0, 1 1 当 > 时, 在 递增，在 递减，在 ÷递减，在 ,+ 递增.
è a +1 è a +1 ÷
x-1
【典例 11-2】已知函数 f (x) ae 1= - lnx - .讨论 f (x) 的单调性；
x x
aex-1
【解析】函数 f (x) lnx 1= - - 的定义域为 (0, + )，
x x
aex-1f (x) (x -1) 1 1 (x -1)(ae
x-1 -1)
求导得 = 2 - + 2 = 2 ，x x x x
若 a 0，则 aex-1 -1< 0，且当 x 0,1 时， f x > 0，当 x 1, + 时， f x < 0，
即函数 f (x) 在( 0, 1)上递增，在 (1, + )上递减；
若 a > 0，令 aex-1 -1 = 0，解得 x =1- lna ，
若1- lna 0，即a e ，则 aex-1 -1 0恒成立，当 x 0,1 时， f x < 0，当 x 1, + 时， f x > 0，
即函数 f (x) 在( 0, 1)上递减，在 (1, + )上递增；
若0 <1- lna <1，即1< a < e ，则当 x 0,1- lna 1,+ 时， f x > 0，当 x 1- lna,1 时， f x < 0，
即函数 f (x) 在 (0,1- ln a), (1,+ ) 上递增，在 (1- ln a,1) 上递减；
若1- lna =1，即 a =1，则 f x 0在 0, + 上恒成立，函数 f (x) 在 (0, + )上递增；
若1- lna > 1，即 0 < a < 1，则当 x 0,1 1- lna,+ 时， f x > 0，当 x (1,1- lna)时， f x < 0，
即函数 f (x) 在 (0,1), (1- ln a,+ ) 上递增，在 (1,1- ln a) 上递减，
所以当 a 0时， f x 的递增区间为 0,1 ，递减区间为 1, + ；
当 0 < a < 1时， f x 的递增区间为 0,1 和 1- lna, + ，递减区间为 1,1- lna ；
当 a =1时， f x 的递增区间为 0, + ，无递减区间；
当1 < a < e 时， f x 的递增区间为 0,1- lna 和 1, + ，递减区间为 1- lna,1 ；
当a e 时， f x 的递增区间为 1, + ，递减区间为 0,1 .
【方法技巧】
若导函数为含参准二次函数型，首先对导函数进行因式分解，求导函数的零点并比较大小，然后再划
分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性.
【变式 11-1】已知函数 f (x) = ln x - x ， g(x) = x2 - 2x + 3 .若 h(x) = (x - 2)ex + ag(x)，讨论函数 h x 的单调性；
【解析】 h(x) = (x - 2)ex + a x2 - 2x + 3
h (x) = (x -1)ex + 2a(x -1) = (x -1) ex + 2a .
①当 a 0时，令 h x = 0，解得 x =1，
当 x >1时， h (x) > 0， h(x) 单调递增；当 x <1时， h x < 0， h x 单调递减；
\h x 在 (- ,1)上单调递减，在 (1, + )上单调递增.
②当 a < 0时，令 h x = 0，解得 x =1或 x = ln(-2a)，
e
当 a < - 即 ln(-2a) >1时， h x 在 (- ,1)2 上单调递增，
在 (1,ln(-2a))上单调递减，在 (ln(-2a), + )上单调递增，
a e当 = - 即 ln(-2a) =1时， h x 在R 上单调递增，
2
a e当 > - 即 ln(-2a) < 1时， h x 在 (- , ln(-2a))单调递增，在 (ln(-2a),1)上单调递减，在 (1, + )上单调递
2
增，
综上所述：当 a 0时， h x 在 (- ,1)上单调递减，在 (1, + )上单调递增，
e
当- < a < 0 时， h x 在 (- , ln(-2a))上单调递增，在 (ln(-2a),1)上单调递减，在 (1, + )上单调递增，
2
a e当 = - 时， h x 在 (- , + )上单调递增，
2
当 a < - e 时， h x 在 (- ,1)上单调递增；在 (1,ln(-2a))2 上单调递减，在 (ln(-2a), + )上单调递增.
【变式 11-2】已知函数 f (x) = ex éx
2 - (2a +1)x + b ù (a,b R)．b =1时，讨论 f (x) 的单调性．
【解析】因为b =1，所以 f (x) = ex é x
2 - (2a +1)x +1 ù，
所以 f (x) = ex éx
2 - (2a +1)x +1ù + ex 2x - (2a +1) = e
x éx2 - (2a -1)x - 2a ù ，
所以 f (x) = ex x - 2a x +1
令 f (x) = 0可得， x = 2a或 x=- 1，
a 1若 < - 时，
2
当 x < 2a 时， f (x) > 0，函数 f x 在 - , 2a 上单调递增，
当 2a < x < -1时， f (x) < 0，函数 f x 在 2a , -1 上单调递减，
当 x > -1时， f (x) > 0，函数 f x 在 -1, + 上单调递增，
a 1若 > - ，
2
当 x < -1时， f (x) > 0，函数 f x 在 - , -1 上单调递增，
当-1 < x < 2a 时， f (x) < 0，函数 f x 在 -1, 2a 上单调递减，
当 x > 2a时， f (x) > 0，函数 f x 在 2a,+ 上单调递增，
若 a
1
= - ， f (x) 0，且当且仅当 x=- 1时取等号，
2
所以 f x 在 - , + 上单调递增，
综上，当 a
1
< - 时，函数 f x 的递增区间为 - , 2a ， -1, + ，递减区间为 2a , -1 ，
2
a 1当 > - ，函数 f x 的递增区间为 - , -1 ， 2a,+ ，递减区间为 -1, 2a ，
2
若 a
1
= - 时，函数 f x 的单调递增区间为 - , + ，没有递减区间，
2
题型十二：分段分析法讨论函数的单调性
12-1 f x = a- x+1 + x2【典例 】已知函数 - 2x +1+ x -1 lna（ a > 0，且 a 1）求函数 f x 的单调区间；
【解析】 f x 定义域为R ， f (x) = -a- x+1 ln a + 2x - 2 + ln a = 2(x -1) + (1- a- x+1) ln a （ a > 0，且 a 1），则
f 1 = 0 .
当 x >1时， 2 x -1 > 0 ，-x +1 < 0，
若 0 < a < 1，则 lna < 0， a- x+1 >1，得1- a- x+1 < 0 ，于是 f x > 0，
若 a >1，则 lna > 0，0 < a- x+1 <1，得1- a- x+1 > 0，于是 f x > 0，
∴当 x >1时 f x > 0， 即 f x 在 1, + 上单调递增；
当 x <1时， 2 x -1 < 0，-x +1 > 0，
若 0 < a < 1，则 lna < 0，0 < a- x+1 <1，得1- a- x+1 > 0，于是 f x < 0，
若 a >1，则 lna > 0， a- x+1 >1，得1- a- x+1 < 0 ，于是 f x < 0，
∴当 x <1时 f x < 0，即 f x 在 - ,1 上单调递减；
综上， f x 的单调递增区间为 1, + ，单调递减区间为 - ,1 .
π
【典例 12-2 f x = ex - ax a R g x = ex】已知函数 ， + cos x .
2
(1)若 f x 0，求 a 的取值范围；
(2)求函数 g x 在 0, + 上的单调性；
【解析】（1）由题意知 f x 的定义域为 R.
x x x
①当 x > 0时，由 f x 0 a e e x -1得 ，设m x e= ，则m x = ，
x x x2
当 x 0,1 时，m x < 0 ，故m x 在( 0, 1)上单调递减；当 x 1,+ 时，m x > 0，故m x 在 (1,+ )上
单调递增，
所以 ém x ù = m 1 = emin ，因此 a e .
1
x < 0 a < 0 f
1
②当 时，若 ，因为 ÷ = ea -1 < 0，不合题意.所以 a 0，此时 f x > 0恒成立.
è a
③当 x = 0时， f 0 =1 > 0，此时 a R .
综上可得，a 的取值范围是 0, e .
（2）设 n x = sin x - x， x > 0，则 n x = cos x -1≤0，所以 n x 在 0, + 上单调递减，
n x < n 0 = 0 sin x x 0, + sin π x π所以 ，即 < 在 上恒成立. 所以 < x .
2 2
又由（1）知ex ex，
π π π π π2
所以当 x > 0 x时， g x = e - sin x > ex - × x = e - x > 0 ，
2 2 2 2 4 ֏
所以 g x 在 0, + 上单调递增.
【方法技巧】
分段讨论导函数的正负.
ex
【变式 12-1】（2024·全国·高三专题练习）已知函数 f x = x - ln x - .判断函数 f x 的单调性.
x
x
【解析】因为 f x = x - ln x e- ，定义域为 (0,+ )，
x
1 x -1 ex x -1 x - exf x =1- - = ，
x x2 x2
令 g x = x - ex x > 0 g x =1- ex <1- e0，因为 ，则 = 0 ，
可得 g x 在 0, + 上单调递减，所以 g x < g 0 = -1< 0，
所以当 x 0,1 时， f x > 0，当 x 1,+ 时， f x < 0，
所以 f x 在 0,1 上单调递增，在 1, + 上单调递减.
【变式 12-2】（2024·高三·湖北·期中）已知函数 f x = a sin 1- x + ln x， a R ．讨论函数 f x 在
x 0,1 上的单调性．
f (x) a cos(1 x) 1 1- ax cos(1- x)【解析】 = - - + = ,0 < x <1，
x x
Q0 < x <1\cos(1- x) > 0，
当 a 0时Q0 < x <1\ f (x) > 0，此时 f (x) 在( 0, 1)内单调递增；
当0 < a 1时，Q0 < x <1\0 < cos(1- x) <1, f (x) > 0，
此时 f (x) 在( 0, 1)内单调递增；
当 a >1时，令 h(x) =1- ax cos(1- x),0 < x <1，
h (x) = -a[cos(1- x) + x sin(1- x)]，
Qa >1,cos(1- x) > 0,sin(1- x) > 0\h (x) < 0\h(x)在( 0, 1)上为减函数．
又Qh(0) =1 > 0,h(1) =1- a < 0，
\h(x)在( 0, 1)上存在唯一零点 x0 ，使得 h x0 =1- ax0 cos 1- x0 = 0，
∴当 x 0, x0 时 h(x) > 0, f (x) > 0， f (x) 递增；
当 x x0 ,1 时 h(x) < 0, f (x) < 0， f (x) 递减．
综上：当 a 1时，此时 f (x) 在( 0, 1)内单调递增；
当 a >1时，当 x 0, x0 时， h(x) > 0, f (x) > 0， f (x) 递增；
当 x x0 ,1 时， h(x) < 0, f (x) < 0， f (x) 递减，其中 x0 为方程 ax0 cos 1- x0 =1的根．
x +1 2
【变式 12-3】设函数 f x = x + ax ，其中 a R ，讨论 f x 的单调性.e
【解析】由 f x -x x= x + 2ax = x 2aex -1e e
① a 0时，由 2aex -1< 0，令 f x = 0，解得 x = 0，
所以 x < 0 时， f x > 0, x > 0时， f x < 0，
则 f x 在 - ,0 单调递增，在 0, + 单调递减；
2ax
a 0 f x = 1 ② > 时，由 x ex - ，e è 2a ÷
1 x
（i） a = 时，因为 x e -1 0，则 f x 0, f x 在 - ,+ 单调递增，
2
a 0, 1 （ii） ÷时， f x = 0
1
，解得 x = 0或 x = ln > 0，
è 2 2a
所以 x - ,0 ln
1 , + 1 ÷时， f x > 0,x 0, ln ÷时， f x < 0，
è 2a è 2a
1 1
则 f x 在 - ,0 ， ln ,+

÷上单调递增，在 0, ln

单调递减；
è 2a ÷ è 2a
a 1 1（iii） , + ÷时，由 x = ln < 0，
è 2 2a
x , ln 1 所以 - ÷ 0, + 时， f x > 0, x ln
1 ,0 ÷时， f x < 0，
è 2a è 2a
则 f x 1 1在 - , ÷， 0, + 上单调递增，在 ln ,0

2a 2a ÷
单调递减；
è è
综上： a 0时， f x 的单调递增区间为 - ,0 ，单调递减区间为 0, + ；
a 1 0, f x ,0 ln 1 ÷时， 的单调递增区间为 - 和 ,+ ，单调递减区间为 0, ln
1
；
è 2 è 2a ÷ 2a ÷ è
a 1= 时， f x 的单调递增区间为 - ,+ ；
2
a 1 , + f x - , 1 0, + ÷时， 的单调递增区间为 ÷和 ，单调递减区间为 ln
1 ,0
2 2a 2a ÷
；
è è è
1 x．（2023 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数 f x = ae - ln x在区间 1,2 上单调递增，则 a 的最小值
为（ ）．
A． e2 B．e C． e-1 D． e-2
【答案】C
x 1
【解析】依题可知， f x = ae - 0在 1,2 x 1上恒成立，显然 a > 0，所以 xe ，
x a
设 g x = xex , x 1,2 x，所以 g x = x +1 e > 0，所以 g x 在 1,2 上单调递增，
g x > g 1 = e 1 1，故 e ，即 a = e-1 ，即 a 的最小值为
a e e
-1．
故选：C．
2．（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）设 a 0,1 ，若函数 f x = a x + 1+ a x 在 0, + 上单调递增，
则 a 的取值范围是 .
é 5 -1
【答案】 ê ,1÷÷
2
【解析】由函数的解析式可得 f x = a x ln a + 1+ a x ln 1+ a 0在区间 0, + 上恒成立，
x
则 1+ a x ln 1+ a -a x ln a 1 + a ln a，即 ÷ - 在区间 0, + 上恒成立，è a ln 1 + a
0
1+ a
故 ÷ =1
ln a
- ，而 a +1 1,2 ，故 ln 1+ a > 0 ，
è a ln 1+ a
ìln a +1 - ln a ìa a +1 1 5 -1
故 í 即 ，故 ，
0 a 1
í0 a 1 a <1< < < < 2
é 5 -1
结合题意可得实数 a的取值范围是 ê ,1 .
2 ÷
÷

é 5 -1
故答案为： ê ,12 ÷÷
.

1
3．（2023 年高考全国乙卷数学（文）真题）已知函数 f x = + a ÷ ln 1+ x ．
è x
(1)当 a = -1时，求曲线 y = f x 在点 1, f 1 处的切线方程．
(2)若函数 f x 在 0, + 单调递增，求 a的取值范围．
1
【解析】（1）当 a = -1时， f x = -1÷ ln x +1 x > -1 ，
è x
f x 1 ln x 1 1则 = - 2 +1 +

-1

x x ÷
，
è x +1
据此可得 f 1 = 0, f 1 = - ln 2 ，
所以函数在 1, f 1 处的切线方程为 y - 0 = - ln 2 x -1 ，即 ln 2 x + y - ln 2 = 0 .
1
（2）由函数的解析式可得 f x = - 2 ÷ ln x +1
1+ + a
1
÷ x > -1 ，
è x è x x +1
满足题意时 f x 0在区间 0, + 上恒成立.
1 ln x 1 1 1令 - 2 ÷ + + + a

÷ 0，则- x +1 ln x +1 + x + ax2 0，
è x è x x +1
2
令 g x = ax + x - x +1 ln x +1 ，原问题等价于 g x 0在区间 0, + 上恒成立，
则 g x = 2ax - ln x +1 ，
当 a 0时，由于 2ax 0, ln x +1 > 0，故 g x < 0， g x 在区间 0, + 上单调递减，
此时 g x < g 0 = 0，不合题意;
令 h x = g x = 2ax - ln x +1 ，则 h x = 2a 1- ，
x +1
a 1 1当 ， 2a 1时，由于 <1，所以 h x > 0, h x 在区间 0, + 上单调递增，
2 x +1
即 g x 在区间 0, + 上单调递增，
所以 g x > g 0 = 0 ， g x 在区间 0, + 上单调递增， g x > g 0 = 0，满足题意.
0 a 1 1当 < < 时，由 h x = 2a - = 0 x = 1可得 -1，
2 x +1 2a
x 1 当 0, -1÷时， h x < 0,h x
1
在区间 0, -1

÷上单调递减，即 g x 单调递减，
è 2a è 2a
g 0 = 0 x 0, 1 -1 注意到 ，故当 ÷时， g x < g 0 = 0， g x 单调递减，
è 2a
由于 g 0 = 0，故当 x 1 0, -1÷时， g x < g 0 = 0，不合题意.
è 2a
ì 1 ü
综上可知：实数 a得取值范围是 ía | a .
2
1．判断下列函数的单调性：
（1） f x = x2 - 2x + 4；
（2） f x = ex - x
【解析】（1） f (x) = 2x - 2 ,
令 f (x) = 2x - 2 > 0 x >1， f (x) = 2x - 2 < 0 x <1
所以 f x 在 (1, + )上单调递增，在 (- ,1)单调递减.
（2） f (x) = ex -1，
令 f (x) = ex -1 > 0 x > 0， f (x) = ex -1< 0 x < 0
所以 f x 在 (0, + )上单调递增，在 (- ,0)单调递减.
2．证明函数 f x = 2x3 - 6x2 + 7 在区间 0,2 上单调递减．
3 2
【解析】因为 f x = 2x - 6x + 7 ，所以 f (x) = 6x2 -12x，
当 x 0,2 时， f (x) = 6x2 -12x < 0，
所以函数 f x = 2x3 - 6x2 + 7 在区间 0,2 上单调递减．
3．利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证： sin x < x ， x (0,p )，
【解析】∵ sin x < x 等价于 x - sin x > 0，
∴可令 f (x) = x - sin x ，则 f (x) =1- cos x，在 x (0,p )上 f (x) > 0，
∴ f (x) 在 x (0,p )上单调递增，即 f (x) > f (0) = 0，
∴ x - sin x > 0在 x (0,p )上恒成立，则 sin x < x ， x (0,p )得证.
4 a b c d f x = ax3．利用信息技术工具，根据给定的 ， ， ， 的值，可以画出函数 + bx2 + cx + d 的图象，当
a = -4 ，b =1， c = 5， d = -1时， f x 的图象如图所示，改变 a，b，c，d 的值，观察图象的形状：
（1）你能归纳函数 f x 图象的大致形状吗？它的图象有什么特点？你能从图象上大致估计它的单调区间
吗？
（2）运用导数研究它的单调性，并求出相应的单调区间．
【解析】（1） a 0时， f (x) 有如下图所示的几种情况，其图象大致为“S”型，当图象存在驼峰，即存在极
值点，则必有一个极大值，一个极小值；当不存在驼峰时，函数在定义域内为单调增或单调减，如下图所
示：
题设中的函数 f (x) = -12x2 + 2x + 5 1± 61的图象， f (x) = 0有 x = ： f (x) 在 ( 1- 61- , ) 上单调递减，
12 12
(1- 61 ,1+ 61) 1+ 61上单调递增， ( ,+ )上单调递减.
12 12 12
（2）1、当 a 0时 f (x) = 3ax2 + 2bx + c，
当 a > 0时，b2 - 3ac 0，则 f (x) 0，即 f (x) 单调递增；
2 2
当 a > 0 -b - b - 3ac -b + b - 3ac时，b2 - 3ac > 0，若 f (x) = 0，则 x1 = ， x2 = ，a a
∴ x < x1时， f (x) > 0， f (x) 单调递增； x1 < x < x2 时， f (x) < 0， f (x) 单调递减； x > x2 时， f (x) > 0，
f (x) 单调递增；
当 a<0时，b2 - 3ac 0，则 f (x) 0，即 f (x) 单调递减；
2 2
当 a<0时，b2 - 3ac > 0 f (x) = 0 x -b - b - 3ac x -b + b - 3ac，若 ，则 1 = ， 2 = ，a a
∴ x < x1时， f (x) < 0， f (x) 单调递减； x1 < x < x2 时， f (x) > 0， f (x) 单调递增； x > x2 时， f (x) < 0，
f (x) 单调递减；
2、当 a = 0时， f (x) = bx2
c
+ cx + d ，对称轴为 x = - ，
2b
当b > 0时， f (x) 在 (- ,
c
- ) c上单调递减，在 (- ,+ )上单调递增；
2b 2b
当b < 0时， f (x) ( ,
c ) c在 - - 上单调递增，在 (- ,+ )上单调递减；
2b 2b
3、当 a = 0、b = 0时， f (x) = cx + d ：当 c > 0时， f (x) 单调递增；当 c < 0时， f (x) 单调递减；
4、当 a = 0、b = 0、 c = 0 时， f (x) = d ： f (x) 无单调性.
5．求函数 f (x) = 3 x2 的单调区间．
2 1-
【解析】函数 f (x) = 3 x2 的定义域为 R， x 0时， f (x) = x 3 ，
3
2 1 2 1- -
由 x 3 > 0得 x > 0，由 x 3 < 0得 x < 0 ，即 f (x) 在 (0, + )上单调递增，在 (- ,0)上单调递减，
3 3
所以 f (x) 的递增区间为 (0, + )，递减区间为 (- ,0) .
x
6 y e (2x -1)．作函数 = 的大致图象．
x -1
x x 2 x
y f x e (2x -1) f x
e (2x - 3x) xe (2x - 3)
【解析】 = = ，定义域为 x | x 0 3则 = 2 = 2 ，所以当 x > 或
x -1 x -1 x -1 2
x < 0 时 f x 0 3 f x 0 ,0 3> ，当0 < x <1或1 < x < 时 < ，即函数在 - 和 , + ÷上单调递增，在 0,1 和2 è 2

1,
3
÷ 单调递减，当 x - 时， x -1 - ， ex 0， 2x -1 - ，所以 f x 0 ，又 f 0 =1，
è 2
f 3
3 ex (2x -1)
÷ = 4e2 ，所以函数 y = f x = 的大致图象如下所示：
è 2 x -1
易错点：对 “导数值符号” 与 “函数单调性” 关系理解不透彻
易错分析： 一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在这个区间上恒大
（小）于等于 0，且导函数在这个区间的任意子区间上都不恒为 0．一定要注意导函数在某区间上恒大
（小）于 0 仅为该函数在此区间上单调增（减）的充分条件．
【易错题 1 x】若函数 f x = x + k e 在区间 1, + 上单调递增，则 k 的取值范围是（ ）
A． -1, + B． 1, + C． -2, + D． 2, +
【答案】C
【解析】因为函数 f x = x + k ex ，
所以 f x = x + k +1 ex ，
因为函数 f x = x + k ex 在区间 1, + 上单调递增，
所以 f x 0在 1, + 上恒成立；
即 x + k +1 0在 1, + 上恒成立；
即 k -x -1在 1, + 上恒成立；
所以 k -2，
故选：C
【易错题 2】“当 a > 0时，函数 f (x) = 4ln x - ax 在区间( 0, 1)上不是单调函数”为真命题的 a的一个取值
是 ．
【答案】5（答案不唯一，只要是大于 4 的实数即可）
【解析】∵ f (x)
4 4 - ax
= 4ln x - ax ，∴ f (x) = - a = ，
x x
函数 f (x) = 4ln x - ax 在区间( 0, 1)上不是单调函数，
4 ax 0 a 0 x 4∴ - = 在区间( 0, 1)上有解,∵ > ，∴ = 0,1 ,
a
∴ a > 4 ,
故答案为：5（答案不唯一，只要是大于 4 的实数即可）.
答题模板：利用导数判断函数的单调性
1、模板解决思路
利用导数判断函数单调性的重点在于准确判断导数的符号，当函数 f (x) 含参数时，则根据参数取值
范围进行分类讨论．
2、模板解决步骤
第一步：求 f (x) 的定义域
第二步：求出 f (x)．
第三步：令 f (x) = 0 ，求出其全部根，把全部的根在 x 轴上标出．
第四步：在定义域内，令 f (x) > 0 ，解出 x 的取值范围，得函数的增区间；令 f (x) < 0 ，解出 x 的取
值范围，得函数的减区间．若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间用“和”或“，”隔
开．
【典例 1】已知函数 f x 1 a= x3 + x 2 + a -1 x + 1．讨论函数的单调性；
3 2
f x 1 x3 a【解析】易知 = + x 2 + a -1 x + 1定义域为R, f x = x2 + ax + a -1 ，令 f x = 0得 x =1- a 或
3 2
x=- 1，
①当1- a < -1，即 a > 2时，令 f x > 0得 x <1- a或 x > -1，令 f x < 0得1- a < x <1；
故 f x 在 1- a, -1 单调递减，在 - ,1-a ， -1, + 上单调递增；
②当1- a = -1，即 a = 2时， f x = x +1 2 0恒成立，故 f x 在R 上单调递增；
③当1- a > -1，即 a < 2时，令 f x > 0得 x >1- a 或 x < -1，
令 f x < 0得-1 < x <1- a ， f x 在 -1,1- a 上单调递减，在 - , -1 ， 1- a, + 上单调递增；
综上，当 a > 2时， f x 在 1- a, -1 单调递减，在 - ,1-a ， -1, + 上单调递增；
当 a = 2时， f x 在R 上单调递增；当 a < 2时， f x 在 -1,1- a 上单调递减，
在 - , -1 ， 1- a, + 上单调递增.
1
【典例 2 2 2】已知函数 f x = x + ax - 6a lnx ，求 f x 的单调区间.
2
1 2
【解析】函数 f x = x + ax - 6a2lnx 的定义域为 0, + ，
2
2
求导得 f x x a 6a (x + 3a)(x - 2a)= + - = ，
x x
由 f x = 0可得 x = 2a或 x = -3a ，
①当 a > 0时，由 f x > 0可得 x > 2a，由 f x < 0可得0 < x < 2a ，
②当 a = 0时， f x = x > 0在 (0, + )上恒成立，
③当 a<0时，由 f x > 0可得 x > -3a ，由 f x < 0可得0 < x < -3a .
故当 a > 0时， f x 的单调增区间为 (2a,+ )，单调减区间为 (0, 2a) ；
当 a = 0时， f x 的单调增区间为 (0, + )，无递减区间；
当 a<0时， f x 的单调增区间为 (-3a, + )，单调减区间为 (0,-3a) .第 02 讲 导数与函数的单调性
目录
01 考情透视·目标导航 ................................................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航 ................................................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究 ................................................................................................................................................4
知识点 1：函数的单调性与导数的关系 ....................................................................................................................4
知识点 2：利用导数判断函数单调性的步骤 ............................................................................................................4
解题方法总结 ...............................................................................................................................................................5
题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像 ...........................................................................................5
题型二：求单调区间 ...................................................................................................................................................7
题型三：已知含参函数在区间上的递增或递减，求参数范围 ...............................................................................8
题型四：已知含参函数在区间上不单调，求参数范围 ...........................................................................................8
题型五：已知含参函数在区间上存在增区间或减区间，求参数范围 ...................................................................9
题型六：不含参数单调性讨论 .................................................................................................................................10
题型七：导函数为含参一次函数的单调性分析 .....................................................................................................11
题型八：导函数为含参准一次函数的单调性分析 .................................................................................................12
题型九：导函数为含参可因式分解的二次函数单调性分析 .................................................................................12
题型十：导函数为含参不可因式分解的二次函数单调性分析 .............................................................................14
题型十一：导函数为含参准二次函数型的单调性分析 .........................................................................................15
题型十二：分段分析法讨论函数的单调性 .............................................................................................................15
04 真题练习·命题洞见 ..............................................................................................................................................16
05 课本典例·高考素材 ..............................................................................................................................................17
06 易错分析·答题模板 ..............................................................................................................................................19
易错点：对 “导数值符号” 与 “函数单调性” 关系理解不透彻 .............................................................................19
答题模板：利用导数判断函数的单调性 .................................................................................................................19
考点要求 考题统计 考情分析
2023 年乙卷（文）第 20 题，12 高考对函数单调性的考查相对稳定，考
分 查内容、频率、题型、难度均变化不大．高
2023 年乙卷（理）第 16 题，5 分 考在本节内容上无论试题怎样变化，我们只
（1）函数的单调区间
2023 年 II 卷第 6 题，5 分 要把握好导数作为研究函数的有力工具这一
（2）单调性与导数的关系
2022 年甲卷第 12 题，5 分 点，将函数的单调性本质问题利用图像直观
2022 年 I 卷第 7 题，5 分 明了地展示出来，其余的就是具体问题的转
2021 年浙江卷第 7 题，5 分 化了．
复习目标：
（1）结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系．
（2）能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）．
知识点 1：函数的单调性与导数的关系
1、函数的单调性
函数单调性的判定方法：设函数 y = f (x) 在某个区间内可导，如果 f (x) > 0 ，则 y = f (x) 为增函数；
如果 f (x) < 0 ，则 y = f (x) 为减函数．
2、已知函数的单调性问题
①若 f (x)在某个区间上单调递增，则在该区间上有 f (x) 0 恒成立（但不恒等于 0）；反之，要满足
f (x) > 0 ，才能得出 f (x)在某个区间上单调递增；
②若 f (x)在某个区间上单调递减，则在该区间上有 f (x) 0 恒成立（但不恒等于 0）；反之，要满足
f (x) < 0 ，才能得出 f (x)在某个区间上单调递减．
【诊断自测】（2024·高三·上海松江·期末）函数 y = f x 的图象如图所示， y = f x 为函数 y = f x
f x
的导函数，则不等式 < 0的解集为（ ）
x
A． (-3,-1) B．(0,1)
C． (-3,-1) (0,1) D． (- ,-3)U(1,+ )
知识点 2：利用导数判断函数单调性的步骤
（1）确定函数 f x 的定义域；
（2）如果导函数中未知正负，则需要单独讨论的部分．如果导函数恒正或恒负，则无需单独讨论；
（3）求出导数 f x 的零点；
（4）用 f x 的零点将 f x 的定义域划分为若干个区间，列表给出 f x 在各区间上的正负，由此得
出函数 y = f x 在定义域内的单调性；
（5）如果找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导；求二阶导
往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．通过二阶导正
负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段.
【诊断自测】（2024·湖南怀化·二模）已知 f (x) = 2x2 - 3x - lnx ，则 f ( x ) 的单调增区间为 ．
解题方法总结
1、使 f (x) = 0 的离散点不影响函数的单调性，即当 f (x)在某个区间内离散点处为零，在其余点处均
3
为正（或负）时， f (x)在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的．例如，在 (- ,+ ) 上， f (x) = x ，当
3
x = 0 时， f (x) = 0 ；当 x 0 时， f (x) > 0 ，而显然 f (x) = x 在 (- ,+ ) 上是单调递增函数．
2、若函数 y = f (x) 在区间 (a,b)上单调递增，则 f (x) 0 （ f (x)不恒为 0），反之不成立．因为
f (x) 0 ，即 f (x) > 0 或 f (x) = 0 ，当 f (x) > 0 时，函数 y = f (x) 在区间 (a,b)上单调递增．当 f (x) = 0
时， f (x)在这个区间为常值函数；同理，若函数 y = f (x) 在区间 (a,b)上单调递减，则 f (x) 0 （ f (x)不
恒为 0），反之不成立．这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不
必要条件．于是有如下结论：
f (x) > 0 f (x)单调递增； f (x)单调递增 f (x) 0；
f (x) < 0 f (x)单调递减； f (x)单调递减 f (x) 0．
题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像
【典例 1-1】（2024·重庆·模拟预测）已知函数 f (x) = xa (x > 0) ，a 为实数， f ( x ) 的导函数为 f (x) ，在
同一直角坐标系中， f ( x ) 与 f (x) 的大致图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【典例 1-2】（2024·广东广州·一模）已知函数 y = f (x) 的图像如图所示，则其导函数 y = f x 的图像
可能是（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧】
原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数 f (x)单调递增 导函数 f (x) 0 （导函数
等于 0，只在离散点成立，其余点满足 f (x) > 0 ）；原函数单调递减 导函数 f (x) 0 （导函数等于 0，只
在离散点成立，其余点满足 f (x0 ) < 0）．
【变式 1-1】（2024·高三·陕西西安·期中）已知函数 y = f x x R 的图象如图所示，则不等式
xf x > 0的解集为（ ）.
1 1 1
A． 0, ÷ 2, + B． - , ÷ U , 2
è 3 è 3 è 3 ÷
C． - ,0 U 1 , 2

÷ D． -1,0 U 1,3
è 3
【变式 1-2】（2024·北京海淀·一模）函数 f ( x ) 是定义在 (-4,4)上的偶函数，其图象如图所示， f (3) = 0 .
设 f (x) 是 f ( x ) 的导函数，则关于 x 的不等式 f (x +1) × f (x) 0的解集是（ ）
A． [0 , 2 ] B．[-3,0]U[3,4) C． (-5,0]U[2,4) D． (-4,0]U[2,3)
题型二：求单调区间
【典例 2-1】（2024·四川成都·三模）已知函数 f x 是定义在R 上的奇函数，且当 x > 0时，
f x = x 1- lnx ，则当 x < 0时， f x 的单调递增区间为 ．
x
【典例 2-2 e】函数 y = 的严格递减区间是 .
x - 2
【方法技巧】
求函数的单调区间的步骤如下：
（1）求 f (x)的定义域
（2）求出 f (x)．
（3）令 f (x) = 0 ，求出其全部根，把全部的根在 x轴上标出．
（4）在定义域内，令 f (x) > 0 ，解出 x的取值范围，得函数的增区间；令 f (x) < 0 ，解出 x的取值范
围，得函数的减区间．若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间用“和”或“，”隔开．
a
【变式 2-1】（2024 2·四川巴中·一模）已知奇函数 f x 的导函数为 f x ，若当 x < 0时 f x = x - ，且
x
f -1 = 0 .则 f x 的单调增区间为 .
1
【变式 2-2】（2024 2·广西·模拟预测）函数 f x = x - 2x - 3ln x的单调递增区间为 ．
2
【变式 2-3】函数 f x = sin2x+2cosx在 0,π 上的单调递减区间为 .
题型三：已知含参函数在区间上的递增或递减，求参数范围
【典例 3-1】已知函数 f x = 2- x ex - ax在 0,5 上为减函数，则a的取值范围是（ ）
A． - ,5e B． 5e,+ C． 1,+ D． 1,+
1
3-2 f x = x3 a 2【典例 】已知函数 + x + x +1在 - ,0 ， 3,+ 上为增函数，在（1，2）上为减函数，
3 2
则实数 a 的取值范围为（ ）
é 10 ù é 10 5 ù 10 A．
ê
- ,-2ú B． ê- ,- ú C． - ,-2 D． - ,-23 ÷ 3 2 è 3
【方法技巧】
已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解．
【变式 3-1】已知函数 f x = lnx -ax在区间 1,3 上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
1 1
A． a 1 B． a > 1 C． a D． a >
3 3
【变式 3-2】（2024·高三·广东汕头·期中）设a 0,1 ，若函数 f x = ax + (1+ a)x在 0,+ 递增，则a
的取值范围是（ ）
é 5 -1 5 +1ù é, 5 -1
5 -1 5 -1
A． ê 2 2 ú B． ê
,1÷÷ C． ,1÷÷ D． 0, ÷÷
2 è 2 è 2
2
【变式 3-3】（2024·陕西西安·三模）若函数 f x = x - ax + ln x在区间 1, e 上单调递增，则a的取值范
围是（ ）
A． 3, + B． - ,3 C． é 3,e2 +1ù D é3,e2 ． -1ù
1
【变式 3-4 2 】（2024·高三·江苏南通·期中）已知函数 f x = x -ax + ln x a R 的减区间为 ,12 ÷ ，则è
a = .
题型四：已知含参函数在区间上不单调，求参数范围
2 1
【典例 4-1】（2024 x·宁夏银川·三模）若函数 f (x) = - ln x 在区间 (m, m + )上不单调，则实数 m 的取
2 3
值范围为（ ）
A．0 m
2 2
< < B． < m <1
3 3
2
C． m 1 D．m>1
3
【典例 4-2】已知函数 f x = 1- x ln x + ax在 1,+ 上不单调，则a的取值范围是（ ）
A． 0,+ B． - ,0 C． 0,+ D． - , 0
【方法技巧】
已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围．
1
【变式 4-1】函数 f (x) = ax2 - 2ax + ln x在 1,3 上不单调，则实数a的取值范围为（
2 ）
1
A． - , -

÷ B． (1,+ )
è 3
1 1
C． - , -

÷ (1, + )

D． - , - ÷ U (2, + )
è 3 è 2
【变式 4-2】函数 f x = 1- x lnx + ax在 1,+ 上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A． a 1,+ B．a - ,0 C．a 0,+ D．a -1,+
【变式 4-3 3】若函数 f x = x -12x在区间 k -1, k +1 上不单调，则实数 k的取值范围是（ ）
A． - ,-3 -1,1 3,+ B． -3, -1 1,3
C． -2,2 D．不存在这样的实数 k
【变式 4-4】函数 f x sin p= x

2 ÷
- ax 在 R 上不单调，则a的取值范围是（ ）
è
é p p ù p p
A． -1,1 B． -1,1 C． ê- ,- ú D． - ,- ÷ 2 2 è 2 2
题型五：已知含参函数在区间上存在增区间或减区间，求参数范围
【典例 5-1】已知函数 f ( x) = ax 3 - x 2 + 1在(0,1)上有增区间，则 a 的取值范围是 .
1
【典例 5-2】若函数 f (x) = x3 - ax2 + x在 1,3 存在单调递减区间，则 a 的取值范围为 ．
2
【方法技巧】
已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解．
f (x) ln x 1【变式 5-1 2】若函数 = - ax - 2x 存在单调递减区间，则实数a的取值范围是 .
2
【变式 5-2】若函数 f (x) = x2 - e x - ax 在 R 上存在单调递增区间，则实数a的最大值为 ．
【变式 5-3】（2024·高三·湖北襄阳·期末）函数 f x 的导函数为 f x ，若在 f x 的定义域内存在一
个区间D, f x 在区间D上单调递增， f x 在区间D上单调递减，则称区间D为函数 f x 的一个“渐缓增
x 2 1
区间”．若对于函数 f x = ae - x ，区间 0, ÷是其一个渐缓增区间，那么实数a的取值范围是 ．
è 2
【变式 5-4】若函数 f (x) = x2 + mx ex é 1 3ù在 ê- , ú上存在单调递减区间，则m的取值范围是 ． 2 2
题型六：不含参数单调性讨论
【典例 6-1】（2024·河北保定·二模）已知函数 f x = x - 2e2 lnx - ax - 2e2 a R .若 a = 1，讨论 f x
的单调性；
π
【典例 6-2】（2024·高三·天津·开学考试）已知函数 f ( x ) = ex - k si n x ．当 k =1, x 0, ÷时，求
è 2
f ( x ) 的单调区间；
【方法技巧】
确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点：一是不能漏掉求函数
的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，而用“，”或“和”隔开．
【变式 6-1】已知函数 f (x) = ln(ex -1) - ln x．
判断 f (x)的单调性，并说明理由；
2lnx + x + a
【变式 6-2】（2024·湖南邵阳·三模）已知函数 f x = a R ，若 a = 2，求 f x 的单调区间.
x
【变式 6-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = ax2 - lnx 2 a R ．
当 a = 1时，讨论函数 f x 的单调性．
【变式 6-4 x】函数 f x = ae - ln x -1. a 2 e当 = 时，求函数 f x 的单调性；
e
题型七：导函数为含参一次函数的单调性分析
【典例 7-1】已知函数 f (x) = ax - 2ln x．讨论函数 f ( x ) 的单调性；
a
【典例 7-2】已知函数 f x = + lnx -1, a R .讨论函数 f x 的单调性；
x
【方法技巧】
导函数的形式为含参一次函数，首先讨论一次项系数为 0 的情形，易于判断；当一次项系数不为零时，
讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区
间．
【变式 7-1】（2024·陕西渭南·二模）已知函数 f x = ln x +1 - mx ，其中m R .讨论 f x 的单调性；
f x ln x 1 ax【变式 7-2】设函数 = + - ．讨论 f x 的单调性；
x +1
题型八：导函数为含参准一次函数的单调性分析
【典例 8-1】（2024·山东枣庄·模拟预测）已知函数 f (x) = ex - ax2 - x ， f (x) 为 f ( x ) 的导数,讨论 f (x) 的
单调性；
【典例 8-2 2024 f x = x + 2- aex】（ ·海南海口·二模）已知函数 .讨论 f x 的单调性；
【方法技巧】
导函数的形式为含参准一次函数，首先对 f (x)定号，然后讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，
结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间．
【变式 8-1】已知函数 f x = x ln x -ax .讨论 f x 的单调性；
【变式 8-2】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知函数 f (x) = e x - ax -1 .讨论 f ( x ) 的单调性;
题型九：导函数为含参可因式分解的二次函数单调性分析
9-1 f x x
2
【典例 】已知函数 = - a +1 x + a ln x．讨论 f x 的单调性；
2
【典例 9-2】已知函数 f (x)
1
= x2 + (1- a)x - a ln x(a R) .讨论函数 f ( x ) 的单调性；
2
【方法技巧】
若导函数为含参可因式分解的二次函数，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，
判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性.
【变式 9-1】已知函数 f x = ax2 - 2+5a x +5ln x a R ，讨论函数 f x 的单调性；
1
【变式 9-2】已知函数 f x = - - a +1 ln x +1 + ax + e - 2（ a R ， e 为自然对数的底数）.讨论函数
x +1
f x 的单调性；
1
【变式 9-3】（2024·河南洛阳·模拟预测）已知函数 f (x) = (1- b) ln x + bx + ,b R ．
x
(1)当b = 0时，求曲线 y = f (x) 在 (1, f (1))处的切线方程；
(2)讨论 f ( x ) 的单调性．
【变式 9-4】已知函数 f x = lnx 1- ax2， a R ．求函数 f x 的单调区间.
2
题型十：导函数为含参不可因式分解的二次函数单调性分析
【典例 10-1】已知函数 g x = x2 + ln x -ax．讨论 g x 的单调性
【典例 10-2】已知函数 f x = a +1 ln x + ax2 +1．讨论函数 f x 的单调性；
【方法技巧】
若导函数为含参不可因式分解的二次函数，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域讨
论.
【变式 10-1】讨论函数 f (x)
1
= ax2 - ln x + x ， a R 的单调性
2
【变式 10-2】（2024·高三·广西·开学考试）已知函数 f (x) = (x2 +1)eax + 3(a R) ．讨论 f ( x ) 的单调性．
1
【变式 10-3】设函数 f x = ax3 + 2ax2 + 1- 2a x,a 0 ,求 f x 的单调区间.
3
题型十一：导函数为含参准二次函数型的单调性分析
a
【典例 11-1】已知函数 f x = eax + a +1÷ ,其中 a -1 .求 f x 的单调区间．
è x
x-1
【典例 11-2 ae 1】已知函数 f (x) = - lnx - .讨论 f ( x ) 的单调性；
x x
【方法技巧】
若导函数为含参准二次函数型，首先对导函数进行因式分解，求导函数的零点并比较大小，然后再划
分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性.
【变式 11-1】已知函数 f (x) = ln x - x， g(x) = x2 - 2x + 3 .若 h(x) = (x - 2)e x + ag (x)，讨论函数 h x 的单调性；
【变式 11-2】已知函数 f (x) = ex éx
2 - (2a +1)x + bù (a,b R)．b = 1时，讨论 f ( x ) 的单调性．
题型十二：分段分析法讨论函数的单调性
【典例 12-1】已知函数 f x = a-x+1 + x2 - 2x +1+ x -1 lna（ a > 0，且 a 1）求函数 f x 的单调区间；
12-2 f x = ex【典例 】已知函数 - ax a R g x ex π， = + cos x .
2
(1)若 f x 0，求 a 的取值范围；
(2)求函数 g x 在 0,+ 上的单调性；
【方法技巧】
分段讨论导函数的正负.
ex
【变式 12-1】（2024·全国·高三专题练习）已知函数 f x = x - ln x - .判断函数 f x 的单调性.
x
【变式 12-2】（2024·高三·湖北·期中）已知函数 f x = asin 1- x + ln x， a R ．讨论函数 f x 在
x 0,1 上的单调性．
f x x +1 2【变式 12-3】设函数 = x + ax ，其中 a R ，讨论 f x 的单调性.e
1．（2023 x年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数 f x = ae - ln x在区间 1,2 上单调递增，则 a 的最小值
为（ ）．
A．e2 B．e C． e-1 D．e-2
2．（2023 x年高考全国乙卷数学（理）真题）设a 0,1 ，若函数 f x = a x + 1+ a 在 0,+ 上单调递增，
则 a 的取值范围是 .
1
3．（2023 年高考全国乙卷数学（文）真题）已知函数 f x = + a ÷ ln 1+ x ．
è x
(1)当 a = -1时，求曲线 y = f x 在点 1, f 1 处的切线方程．
(2)若函数 f x 在 0,+ 单调递增，求a的取值范围．
1．判断下列函数的单调性：
（1） f x = x2 -2x + 4；
（2） f x = ex - x
2 3．证明函数 f x = 2x -6x2 + 7在区间 0,2 上单调递减．
3．利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证： sin x < x ， x (0,p )，
4 3 2．利用信息技术工具，根据给定的 a，b，c，d 的值，可以画出函数 f x = ax +bx + cx + d 的图象，当
a = -4 ，b = 1， c = 5， d = -1时， f x 的图象如图所示，改变 a，b，c，d 的值，观察图象的形状：
（1）你能归纳函数 f x 图象的大致形状吗？它的图象有什么特点？你能从图象上大致估计它的单调区间
吗？
（2）运用导数研究它的单调性，并求出相应的单调区间．
5．求函数 f (x) = 3 x2 的单调区间．
ex6 y (2x -1)．作函数 = 的大致图象．
x -1
易错点：对 “导数值符号” 与 “函数单调性” 关系理解不透彻
易错分析： 一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在这个区间上恒大
（小）于等于 0，且导函数在这个区间的任意子区间上都不恒为 0．一定要注意导函数在某区间上恒大
（小）于 0 仅为该函数在此区间上单调增（减）的充分条件．
x
【易错题 1】若函数 f x = x + k e 在区间 1,+ 上单调递增，则 k 的取值范围是（ ）
A． -1,+ B． 1,+ C． -2,+ D． 2,+
【易错题 2】“当 a > 0时，函数 f (x) = 4ln x - ax在区间(0,1)上不是单调函数”为真命题的a的一个取值
是 ．
答题模板：利用导数判断函数的单调性
1、模板解决思路
利用导数判断函数单调性的重点在于准确判断导数的符号，当函数 f (x) 含参数时，则根据参数取值
范围进行分类讨论．
2、模板解决步骤
第一步：求 f (x)的定义域
第二步：求出 f (x)．
第三步：令 f (x) = 0 ，求出其全部根，把全部的根在 x轴上标出．
第四步：在定义域内，令 f (x) > 0 ，解出 x的取值范围，得函数的增区间；令 f (x) < 0 ，解出 x的取
值范围，得函数的减区间．若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间用“和”或“，”隔
开．
1 a
【典例 1】已知函数 f x = x 3 + x 2 + a - 1 x + 13 2 ．讨论函数的单调性；
1 2 2
【典例 2】已知函数 f x = x + ax - 6a lnx ，求 f x 的单调区间.
2

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