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第 06 讲 同底数幂的乘法 幂的乘方（七大题型）
学习目标
1、掌握同底数幂相乘、幂的乘方；
2、学会同底数幂相乘、幂的乘方的逆用；
3、掌握同底数幂相乘、幂的乘方的逆用的应用。
一、知识引入
我们知道 a·a·a 可以写成 a (读作 “a 的三次方”或 “a 的立方”).
(读作 “a 的 n次方).
其中 a表示底数，正整数 n表示指数，a的 n次乘方的结果叫做 a 的 n次幂.
二、同底数幂的乘法性质
am × an = am+n (其中m, n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
【方法规律】（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，
am × an ×a p = am+n+ p即 （m, n, p都是正整数）.
（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数
m+n
相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即 a = am × an （ m, n 都是正整
数）.
三、幂的乘方法则
(am )n mn = a (其中m, n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
m n
【方法规律】（1）公式的推广： ((a ) ) p = amnp ( a 0，m, n, p均为正整数)
mn n m
（2）逆用公式： a = am = an ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些
幂变形，从而解决问题.
【即学即练 1】计算：
（1） b 5 × b ；
2 1 1
2 3
1
（ ） - ÷ -2 2 ÷
- ÷ ；
è è è 2
（3） a2 ×a6；
（4） y2n × yn+1．
【即学即练 2】计算：
5
(1) -x2 ；
3
(2) é (x + y)
a+1
ù ；
(3) -x4 2 - x × (-x)3 × (-x)4 ．
【即学即练 3】计算：
(1) 3a2 × 2 3-a3 × -a2 ；
3 2
(2) y2 + y3 - y × y5；
(3) -a2 3 + 2-a3 - a2 × a4 ；
2 3 4(4) é a + b ù × é a + b
2 ù
．
【即学即练 4】计算： -2 2023 + -2 2024 = ．
【即学即练 5】已知 am = 2，an = 3， 求 a2m+3n 的值．
题型 1：同底数幂相乘
【典例 1】．计算：
(1) x2 × x5；
(2) a × a 6 ；
(3) (-2) (-2)4 (-2)3；
(4) x m × x 3n +1 ．
【典例 2】．计算：
(1)108 102 ；
(2) (-x)2 × (-x)3；
(3) an+2 × an+1 × an × a；
(4) (y -1)2 × y -1 ；
(5) (b + 2)3 × (b + 2)5 × b + 2 ．
【典例 3】．计算：
(1) a ×a9；
(2) x3n × x2n-2 ；
(3) -x × x2 × x4 ；
(4) (x - y)2 × (x - y)3 ．
题型 2：同底数幂乘法的逆用
【典例 4】．已知3m = 4，3n = 6，则3m+n =（ ）
A．10 B
2
．-2 C．24 D． 3
【典例 5】．（1）已知 am = 2， an = 3，求 am+n 的值．
（2）已知 23x+1 =16，求 x ．
【典例 6】．已知2x = 3， 2y = 6，则2x+ y 的值是（ ）
A．12 B．18 C．36 D．54
题型 3：幂的乘方
【典例 7】．计算：
(1) -x2 5 ；
3
(2) é (x + y)
a+1 ù ；
(3) -x4 2 - x × (-x)3 × (-x)4 ．
【典例 8】．计算：
(1) 3 2 3a2 × -a3 × -a2 ；
3 2
(2) y2 + y3 - y × y5；
2 3(3) -a + -a3 2 - a2 × a4 ；
3 4
(4) é a + b 2 ù × é a + b
2 ù
．
【典例 9】．计算：
3
(1) é 2 ù a - b ；
4 2 2 3(2) 4a - -a + a2 ；
m
(3) é x + y
3 ù
；
(4) a3 2 + a2 × a4．
题型 4：幂的乘方的逆用
【典例 10】．已知 4 - 3x = 6y ，求8x g64y 的值．
2 2
【典例 11】．已知 a2b = 4，求 2 a3b - a4b 的值．
【典例 12】．已知 am = 2， an = 5，求下列各式的值．
(1) am+n
(2) a3m+2n
【典例 13】．若 2x = 4y-1， 27 y = 3x+1 ，则 x - y等于（ ）
A．-5 B．-3 C． -1 D．1
【典例 14】．若 am = an (a > 0且 a l ，m 、 n是正整数），则m = n ．利用上面结论解决下面的问题：
(1)如果8x = 25 ，求 x 的值；
(2)如果 2x+2 + 2x+1 = 24 ，求 x 的值；
(3)若 x = 5m - 3， y = 4 - 25m ，用含 x 的代数式表示 y．
题型 5：利用幂的乘方比较大小
【典例 15】．把255、344、533、622 这 4 个数按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　）
A． 255 < 622 < 344 < 533 B．255 < 344 < 533 < 622
C．533 < 255 < 622 < 344 D．622 < 533 < 344 < 255
【典例 16】．已知 a = 8131，b = 2741 ， c = 961 ，则 a、b 、 c的大小关系是（ ）
A． a > b > c B． a > c > b C． a < b < c D．b > c > a
【典例 17】．探究题：
(1)计算下列算式的结果： 22 3 = ______， 26 = ______；
3 n
发现 22 = 26，小浦猜想会有如下规律： am = ______（用 a，m ， n表示）；
(2)利用上述规律，你能帮助小浦解决下列问题吗？
①若 a2n = 3，求 a3n 2 的值；
②比较3555 ， 4444 ，5333 的大小，并用“ <”号连接．
题型 6：其他应用
101
1
【典例 18】． ·8100 ÷ = （ ）
è 8
1 1
A． B． C．4 D．8
4 8
【典例 19】．计算 42024 (-0.25)2023的结果是 ．
【典例 20】．计算，结果用幂的形式表示：93 32 274．
【典例 21】．已知 3a 2 = 36 ，35 + 35 + 35 = 3b ，则 a + b 的值是（　　）
A．19 B．18 C．9 D．7
【典例 22】．若3x + y - 4 = 0，则8x ×2y 的结果是 ．
【典例 23】．中国天宫空间站以7.68 103 米/秒的速度绕地球飞行，每天能绕地球飞行约 16 圈，每圈约需
5 103 秒，则天宫空间站绕地球飞行一圈的路程约为 米（结果用科学记数法表示）．
3 n
【典例 24】．已知：3m + 2n - 4 = 0，求 2m × 22 的值．
ìax - y =13 a ì
x = 2
【典例 25】．甲、乙两名同学在解方程组 íx by 4 时，甲同学因看错了 ，从而求得解为 í ，乙同学 - = y =1
ìx = 3
因看错了b ，从而求得解为 íy 1，计算 a
6 ×b3，并用幂的形式表示结果．
= -
【典例 26】．已知2a = 3，2b = 6，2c = 12，现给出 3 个数 a，b ， c之间的三个关系式：
① a + c = 2b；
② b = a + 2 ；
③ a + b = 2c - 3．
其中正确的关系式是 （填序号）．
【典例 27】．已知 a，b ， c均为正整数，且满足 2a 3b 4c = 3456，则 a + b + c 的取值不可能是（ ）
A． 7 B．8 C．9 D．10
题型 7：新定义题
【典例 28】．如果 a b = c，则 ac = b ，例如 2 8 = 3，则 23 = 8 ．根据上述规定，若 4 64 = x ，则 x = ；
【典例 29】．类比同底数幂的乘法法则： am × an = am+n（其中 a 0, m,n 为正整数），我们规定一种新运算：
h(m + n) = h(m) × h(n)，其中m, n为任意正整数．若 h(1) = p( p 0)，那么 h(n) × h(2024) = （用含 n
和 P 的代数式表示，其中 n 为正整数）．
m n
【典例 30】．新定义： a*b = ab + ba （ a,b,m,n 均为正整数），例如： 3*2 = (32 )m + (23)n ．若1*4 = 8，
2*2 =10，则 42m+n 的值为（　　）
A．18 B．24 C．36 D．63
【典例 31】．如果 xn = y ，那么我们规定 x, y = n ．例如：因为 42 = 16 ，所以 4,16 = 2．
(1) -2,16 = ______ ；若 2, y = 6，则 y = ______ ；
(2)已知 4,12 = a， 4,5 = b ， 4, y = c ，若 a + b = c，求 y 的值；
5,10 = a 2,10 = b t 2ab(3)若 ， ，令 = ．
a + b
a
① 25求 b 的值；16
②求 t 的值．
一、单选题
1．b3 × b3 的值是（ ）
A．b9 B． 2b3 C．b6 D． 2b6
2． (-c)3 × (-c)5 的值是（ ）
A．-c8 B． (-c)15 C． c15 D． c8
3．下列运算正确的是（ ）．
3 4 12 3 2 5 2 3A． a × a = a B． a = a C． -3a = -9a6 D． -a2 3 = -a6
4．若 2n+2n+2n+2n＝26，则 n＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．10x = a ，10y = b，则10x+ y+2等于（ ）
A．2ab B．a+b C． a + b + 2 D．100ab
6．若(7×106)(5×105)(2×10)＝a×10n，则 a，n 的值分别为(　　)
A．a＝7，n＝11 B．a＝5，n＝12 C．a＝7，n＝13 D．a＝2，n＝13
7．当 m 为偶数时， (a - b)m × (b - a)n 与 (a - b)m+n 的关系是( )
A．相等 B．互为相反数
C．不相等 D．以上说法都不对
3
8．如果 an ×bm ×b = a9b15 ，那么m 、 n的值等于（ ）
A．m = 3， n = 4 B．m = 9， n = -4 C．m = 4 ， n = 3 D．m = 9， n = 2
4 20199．计算0.752020 -

÷ 的结果是（ ）
è 3
4 4
A． B．- C．0.75 D．-0.75
3 3
10．如果 a = 355 ，b = 444 ， c = 533 ，那么 a，b ， c的大小关系是（ ）
A． a > b > c B． c > b > a C．b > a > c D．b > c > a
二、填空题
11．（1） x2 × x3 = ；（2） y3 × y2 × y = ；
（3） (-a)3(-a)3(-a) = ；（4） (a - b)3 × (a - b)5 = ；
（5） (x + y) × (x + y)4 = ；（6） xn-1 × xn+1 = ；
（7）100 10n+1 10n-1 = ；（8） x5 × x × (-x)3 = ；
（9） (x - 2y)2 × (2y - x)5 = ；（10） (a + b - c)2 × (c - a - b)3 = ．
12．(103)6＝ ；(－a2)5＝ ；(－mn)4＝ ；(a3)2·(a2)4＝ ．
13．计算
4
（1 2） é x + y ù = ；
5
（2） é - m - n
3 ù
= .
14．若 2n+2n+2n+2n=28，则 n= ．
15．若 4x=a，4y=b，则 4x+y= ．
16．已知 x = 2m +1， y = 3+ 2m+1，若用含 x 的代数式表示 y，则 y = ．
17．已知 2x+3y-5=0，则 9x 27y 的值为 ．
18．已知 xn=2，yn=3，则(x2y)2n= . 若(9m+1)2=316，则正整数 m 的值为 .
三、解答题
19．化简下列各题：
4
1 1 1
3 2
×
1
（ ） 10 ÷ 10 ÷
× ÷ ；
è è è10
（2） an-1 × an × a ；
2 3 2
（3） -x × x × -x ；
（4） 2x - y 3 × 2x - y 1 × 2x - y 4 ．
5 -a 2n+1（ ） -a 3n+2 -a
20．计算：
（1）（a-b）2（a-b）3（b-a）5 （2）（a-b+c）3（b-a-c）5（a-b+c）6
（3）（b-a）m·（b-a）n-5·（a-b）5 （4）x·xm-1+x2·xm-2-3x3·xm-3
21．计算：
(1) 3x +1 3 × 3x +1 2 + 3x +1 4 × -1- 3x ；
(2) a2·a4 + 2-a3 ；
(3) -a3 2· 3-a2 ；
2 4 2
(4) x4 + x2 - x· x2 ·x3 - -x 3 × 2-x2 × -x ．
22．计算：（1） an+2 ×an+1 ×an ；
（2） a4 × an-1 + 2an+1 ×a2 ；
（3） (x - y)2 × (y - x)5 ．
23．计算：
3 3 2
（1） -2x2 + -3x2 + x2 × x2
3 4 4 2（2） (-a) × a × (-a) - a2 + -2a4
24．已知10a = 5，10b =2，求：
(1)102a +103b 的值；
(2)102a+3b+1的值．
2 2
25．若b ab = 9 (1 a3b 2是正整数，且 ，求 ) - 3 a23 的值．
26．（1）已知 am = 2, an = 3，求a2m-3n 的值．
2 4n n（ ）已知： x2n = 3，求 x + 2x -5x5n 的值．
（3）已知3x + 5y = 4 ，求8x ×25 y 的值．
（4）已知3 9m 27m = 321，求 m 的值．
27．若 am = an （ a > 0且a 1，m 、 n是正整数），则m = n ．
利用上面结论解决下面的问题：
(1)如果3x = 34，则 x = ___________；
(2)如果8x = 29 ，求 x 的值．
(3)如果5x+2 - 5x+1 = 100，求 x 的值．
28．阅读材料：下面是底数大于 1 的数比较大小的两种方法：
①比较 2a ， 2b 的大小：当 a > b时， 2a > 2b ，所以当同底数时，指数越大，值越大；
②比较340 60
20 20
和 2 的大小：因为340 = 32 = 920 ， 260 = 23 = 820，9 > 8所以340 > 260 ．
可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)比较大小：320 __________915 （填“ >”或“ <”）
(2)已知 a = 344 ，b = 433 ， c = 522 ，试比较 a，b ， c的大小．
29．阅读材料：我们已经学过幂的相关运算，其中幂的乘方是重要的性质之一，用式子表示为：
am n = amn （m 、 n为正整数），由此，幂的乘方运算反过来也是成立的，用式子表示为：
amn = am n = an m （m 、 n为正整数），逆用幂的乘方的方法是：幂的底数不变，将幂的指数分解成两个因
3
数的乘积，再转化成幂的乘方的形式．如 x 6 = x 2 = x 3 2 ，至于选择哪一个变形结果，要具体问题具体分
析．例如，判断3299的末尾数字，我们可以采用如下的方法：
解析：3299的末尾数字等于 299 的末尾数字
∵ 21 =2,22 =4,23 =8,24 =16，又16n （ n为正整数）的末尾数字均为6，
∴ 299 = 2 4 44 23 = 2 4 24 8 = 16 24 8的末尾数字是6 8的末尾数字，即为8．
∴3299的末尾数字为8
根据以上阅读材料，回答下列问题：
(1)逆用幂的乘方，写出338 的末尾数字
(2)试判断201999 +992000的末尾数字第 06 讲 同底数幂的乘法 幂的乘方（七大题型）
学习目标
1、掌握同底数幂相乘、幂的乘方；
2、学会同底数幂相乘、幂的乘方的逆用；
3、掌握同底数幂相乘、幂的乘方的逆用的应用。
一、知识引入
我们知道 a·a·a 可以写成 a (读作 “a 的三次方”或 “a 的立方”).
(读作 “a 的 n次方).
其中 a表示底数，正整数 n表示指数，a的 n次乘方的结果叫做 a 的 n次幂.
二、同底数幂的乘法性质
am × an = am+n (其中m, n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
【方法规律】（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，
am × an ×a p = am+n+ p即 （m, n, p都是正整数）.
（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数
m+n m n
相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即 a = a × a （ m, n 都是正整
数）.
三、幂的乘方法则
(am )n = amn (其中m, n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
【方法规律】（1）公式的推广： ((am )n ) p = amnp ( a 0，m, n, p均为正整数)
mn m n n m（2）逆用公式： a = a = a ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些
幂变形，从而解决问题.
【即学即练 1】计算：
（1） b 5 × b ；
1 1
2 1 3
（2） - ÷ - ÷ - ÷ ；
è 2 è 2 è 2
（3） a2 ×a6；
4 y2n × yn+1（ ） ．
1
【答案】（1）b6；（2） ；（3） 8 ；（4） y3n+1．64 a
【分析】根据同底数幂相乘底数不变指数相加即可得出答案．
【解析】解：（1） b 5 × b
= b5+1
= b6
1 1 2 1 32 - （ ） ÷ - ÷ -

è 2 ÷ è 2 è 2
1 1+2+3
= -

2 ֏
1 6
= - 2 ֏
1
=
64
（3） a2 ×a6
= a2+6
= a8
2n n+1
（4） y × y
= y2n+n+1
= y3n+1
【点睛】本题考查了同底数幂相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【即学即练 2】计算：
5
(1) -x2 ；
(2) é(x + y)a+1
3
ù ；
4 2(3) -x - x × (-x)3 × (-x)4 ．
【答案】(1) -x10
(2) (x + y)3a+3
(3) 2x8
【分析】（1）（2）直接根据幂的乘方法则计算；
（3）先根据幂的乘方和同底数幂的乘方法则计算，再合并同类项．
【解析】（1）原式= -x10 ；
（2）原式= (x + y)3 a+1 = (x + y)3a+3 ；
（3）原式= x8 - x × (-x3) × x4 = x8 + x8 = 2x8 ．
【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
【即学即练 3】计算：
(1) a2 3 3 2 3× -a × -a2 ；
(2) y2 3 2+ y3 - y × y5；
(3) -a2 3 + 2-a3 - a2 × a4 ；
2 3 4(4) é a + b ù × é a + b
2 ù
．
【答案】(1) -a18
(2) y6
(3) -a6
(4) a + b 14
【分析】（1）先运算幂的乘方，然后利用同底数幂的乘法计算解题；
（2）先运算幂的乘方、同底数幂的乘法，然后合并同类项解题；
（3）先运算幂的乘方、同底数幂的乘法，然后合并同类项解题；
（4）先运算幂的乘方，然后利用同底数幂的乘法计算解题；
【解析】（1）原式= a6 × a6 × -a6 = -a18；
（2）原式= y6 + y6 - y6 = y6 ；
（3）原式= -a6 + a6 - a6 = -a6 ；
6 8 14
（4）原式= a + b × a + b = a + b ．
【点睛】本题考查幂的运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．
4 -2 2023【即学即练 】计算： + -2 2024 = ．
【答案】 22023
【分析】根据同底数幂的乘法将 (-2)2024 变成 (-2)2023 (-2)，根据提公因式将原式变形为 -2 2023 (1- 2) ，由
此即可求解．
-2 2023 + -2 2024【解析】解：
= -2 2023 1+ -2 2023 (-2)
= -2 2023 (1- 2)
= -22023 (-1)
= 22023，
故答案为： 22023 ．
【点睛】本题主要考查整式乘法，含有乘方的有理数的运算，掌握其运算法则是解题的关键．
【即学即练 5】已知 am = 2，an = 3， 求 a2m+3n的值．
【答案】108
【分析】根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则逆应用代入求解即可得到答案．
【解析】 a2m+3n
= a2m × a3n
= am 2 × 3an
= 22 33
=108．
【点睛】本题考查幂的运算，掌握同底数幂相乘底数不变指数相加；幂的乘方：底数不变，指数相乘是解
题关键．
题型 1：同底数幂相乘
【典例 1】．计算：
(1) x2 × x5；
(2) a × a 6 ；
(3) (-2) (-2)4 (-2)3；
(4) x m × x 3n +1 ．
【答案】(1) x7
(2) a7
(3)256
(4) x4m+1
【分析】本题考查了同底数幂相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂乘法运算法则计算即
可．
（1）根据同底数幂相乘运算法则求解即可；
（2）根据同底数幂相乘运算法则求解即可；
（3）根据同底数幂相乘运算法则求解即可；
（4）根据同底数幂相乘运算法则求解即可．
【解析】（1）解： x2 × x5 = x2+5 = x7
（2）解： a × a6 = a1+6 = a7
（3）解： (-2) (-2)4 (-2)3 = (-2)1+4+3 = (-2)8 = 256
（4）解： xm × x3m+1 = xm+3m+1 = x4m+1
【典例 2】．计算：
(1)108 102 ；
(2) (-x)2 × (-x)3；
(3) an+2 × an+1 × an × a；
(4) (y -1)2 × y -1 ；
(5) (b + 2)3 × (b + 2)5 × b + 2 ．
【答案】(1)1010
(2) -x5
(3) a3n+4
(4) (y -1)3
(5) (b + 2)9
【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可；
（2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可；
（3）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可；
（4）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可；
（5）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可．
【解析】（1）108 102
=108+2
=1010．
（2） (-x)2 × (-x)3
= (-x)2+3
= (-x)5
= -x5 ．
（3） an+2 × an+1 × an × a
= an+2+n+1+n+1
= a3n+4 ．
2
（4） (y -1) × y -1
= (y -1)2+1
= (y -1)3
（5） (b + 2)3 × (b + 2)5 × b + 2
= (b + 2)3+5+1
= (b + 2)9 ．
【典例 3】．计算：
(1) a ×a9；
(2) x3n × x2n-2 ；
(3) -x × x2 × x4 ；
(4) (x - y)2 × (x - y)3 ．
【答案】(1)a10
(2) x5n-2
(3) -x7
(4) (x - y)5
【分析】（1）由同底数幂的乘法法则计算即可；
（2）由同底数幂的乘法法则计算即可；
（3）由同底数幂的乘法法则计算即可；
（4）参照同底数幂的乘法法则计算即可．
【解析】（1）解： a × a9 = a1+9 = a10；
（2）解： x3n × x2n-2 = x3n+2n-2 = x5n-2；
（3）解：-x × x2 × x4 = -x1+2+4 = -x7 ；
（4）解： (x - y)2 × (x - y)3 = (x - y)2+3 = (x - y)5．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，熟练掌握法则是解题的关键．
题型 2：同底数幂乘法的逆用
【典例 4】．已知3m = 4，3n = 6，则3m+n =（ ）
2
A．10 B．-2 C．24 D． 3
【答案】C
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆用．根据同底数幂乘法的逆用可得3m+n = 3m 3n ，即可进行解
答．
【解析】解：∵3m = 4，3n = 6，
∴3m+n = 3m 3n = 4 6 = 24．
故选：C．
【典例 5】．（1）已知 am = 2， an = 3，求 am+n 的值．
（2）已知 23x+1 =16，求 x ．
【答案】（1）6；（2） x =1
【分析】（1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可；
（2）根据同底数幂的乘法运算的逆用求解即可．
【解析】（1）因为 am = 2， an = 3，
am+n = am × an = 2 3 = 6．
（2）因为 23x+1 =16，
所以 23x+1 = 24，
所以3x +1 = 4，
解得 x =1．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法运算及其逆运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【典例 6】．已知2x = 3， 2y = 6，则2x+ y 的值是（ ）
A．12 B．18 C．36 D．54
【答案】B
【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，根据同底数幂的乘法法则进行变形即可求解，解题的关键是
熟练掌握同底数幂的乘法法则．
【解析】解：由 2x+ y = 2x 2y = 3 6 =18，
故选：B．
题型 3：幂的乘方
【典例 7】．计算：
5
(1) -x2 ；
3
(2) é(x + y)
a+1
ù ；
2
(3) -x4 - x × (-x)3 × (-x)4 ．
【答案】(1) -x10
(2) (x + y)3a+3
(3) 2x8
【分析】（1）（2）直接根据幂的乘方法则计算；
（3）先根据幂的乘方和同底数幂的乘方法则计算，再合并同类项．
【解析】（1）原式= -x10 ；
（2）原式= (x + y)3 a+1 = (x + y)3a+3 ；
（3）原式= x8 - x × (-x3) × x4 = x8 + x8 = 2x8 ．
【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
【典例 8】．计算：
3 2
(1) a2 × -a3 × -a2 3；
2 3(2) y + y3 2 - y × y5；
(3) -a2 3 + -a3 2 - a2 × a4 ；
3 4
(4) é a + b
2 ù × é a + b
2 ù
．
【答案】(1) -a18
(2) y6
(3) -a6
(4) a + b 14
【分析】（1）先运算幂的乘方，然后利用同底数幂的乘法计算解题；
（2）先运算幂的乘方、同底数幂的乘法，然后合并同类项解题；
（3）先运算幂的乘方、同底数幂的乘法，然后合并同类项解题；
（4）先运算幂的乘方，然后利用同底数幂的乘法计算解题；
1 = a6 × a6 6 18【解析】（ ）原式 × -a = -a ；
（2）原式= y6 + y6 - y6 = y6 ；
（3）原式= -a6 + a6 - a6 = -a6 ；
4 = a + b 6 8（ ）原式 × a + b = a + b 14 ．
【点睛】本题考查幂的运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．
【典例 9】．计算：
3
(1) é a - b
2 ù
；
4 2 2 2 3(2) 4a - -a + a ；
m
(3) é 3 ù x + y ；
(4) a3 2 + a2 × a4．
【答案】(1) a - b 6 ；
(2) 3a4 + a6 ；
(3) x + y 3m ；
(4) 2a6 ．
【分析】（1）根据幂的乘方运算法则进行计算即可求解；
（2）根据幂的乘方运算法则进行计算，然后合并同类项即可求解；
（3）根据幂的乘方运算法则进行计算即可求解；
（4）根据幂的乘方运算法则进行计算，然后合并同类项即可求解．
2 3
【解析】（1）解： é a - b ù
= a - b 6 ；
4 2 2 2 3（2）解： 4a - -a + a
= 4a4 - a4 + a6
=3a4 + a6 ；
3 é x + y 3
m
（ ）解： ù
= x + y 3m；
2
（4）解： a3 + a2 × a4
=a6 +a6
= 2a6 ．
【点睛】本题考查了幂的乘方运算以及合并同类项，熟练掌握幂的乘方运算法则是解题的关键．
题型 4：幂的乘方的逆用
【典例 10】．已知 4 - 3x = 6y ，求8x g64y 的值．
【答案】16
x y
【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，先得出3x + 6y = 4，再得出8x g64y = 23 g 26 = 23x g26 y 即
可得出答案．
【解析】解：∵ 4 - 3x = 6y ，
∴3x + 6y = 4，
∴8x y x yg64 = 23 g 26 = 23x g26 y = 23x+6 y = 24 =16 ．
【典例 11】．已知 a2b
2
= 4，求 2 a3b - a4b 2 的值．
【答案】-128
【分析】本题主要考查了幂的乘方．熟练掌握积的乘方的法则，是解决问题的关键．
根据幂的乘方的性质将原式化成已知条件的形式，代入计算即得．
【解析】解： 2 a3b 2 2 3 4- a4b = 2 a2b - a2b ，
将 a2b = 4代入上式得，
原式= 2 43 - 44 = -128．
【典例 12】．已知 am = 2， an = 5，求下列各式的值．
(1) am+n
(2) a3m+2n
【答案】(1)10
(2) 200
【分析】（1）根据逆用同底数幂的乘法进行计算即可求解；
（2）逆用同底数幂的乘法及逆用幂的乘方即可完成计算．
【解析】（1）解：Qam = 2 ， an = 5，
\am+n = am gan = 2 5 =10；
（2）Qam = 2 ， an = 5，
\a3m+2n = a3m ga2n
m 3 2= a g an
= 23 52
= 200．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法及幂的乘方法则，正确运用相关法则是解题的关键．
【典例 13】．若 2x = 4y-1， 27 y = 3x+1 ，则 x - y等于（ ）
A．-5 B．-3 C． -1 D．1
【答案】B
【分析】根据幂的运算进行计算，即可得出答案．
【解析】解：∵ 2x = 4y-1， 27 y = 3x+1 ，
x 2 y-1∴ 2 = 2 = 22 y-2 ，33 y = 3x+1，
ìx = 2y - 2
∴ í ，
3y = x +1
ìx = -4
∴ í ，
y = -1
∴ x - y = -4 - -1 = -3，
故选：B．
【点睛】本题考查了幂的运算，掌握幂的运算是解题的关键．
【典例 14】．若 am = an (a > 0且 a l ，m 、 n是正整数），则m = n ．利用上面结论解决下面的问题：
(1)如果8x = 25 ，求 x 的值；
(2)如果 2x+2 + 2x+1 = 24 ，求 x 的值；
(3)若 x = 5m - 3， y = 4 - 25m ，用含 x 的代数式表示 y．
5
【答案】(1) x =
3
(2) x = 2
(3) y = -x2 - 6x - 5
【分析】（1）根据幂的乘方运算法则把8x 化为底数为 2 的幂，解答即可；
（2）根据同底数幂的乘法法则把 2x+2 + 2x+1 = 24 变形为 2x (22 + 2) = 24即可解答；
（3）由 x = 5m - 3可得5m = x + 3，再根据幂的乘方运算法则解答即可．
【解析】（1）解： 8x = (23 )x = 23x = 25 ，
\3x = 5，
解得 x
5
= ；
3
（2）解：Q2x+2 + 2x+1 = 24 ，
\2x 22 + 2x 2 = 24
\6 2x = 24，
\2x = 4，
\ x = 2；
（3）解：Q x = 5m - 3，
\5m = x + 3，
Q y = 4 - 25m = 4 - (52 )m
= 4 - (5m )2
= 4 - (x + 3)2 ，
\ y = -x2 - 6x - 5．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握利用同底数幂的乘法、幂的乘方及其逆运算对式
子进行变形是关键．
题型 5：利用幂的乘方比较大小
【典例 15】．把255、344、533、622 这 4 个数按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　）
A． 255 < 622 < 344 < 533 B．255 < 344 < 533 < 622
C．533 < 255 < 622 < 344 D．622 < 533 < 344 < 255
【答案】A
【解析】先根据幂的乘方法则，把 4 个数化成指数相同的数，再根据底数的大小比较即
可．Q 255 = 11 44 4 11 11 1125 = 3211，3 = 3 = 8111，533 = 53 =12511，622 = 62 = 3611，且3211 < 3611 < 8111 < 12511，
\255 < 622 < 344 < 533．
【易错点分析】与幂有关的计算，需要用到如下策略：把不同底数的幂化为同底数的幂；把不同指数的幂
化为同指数的幂；把已知幂化为特殊底数的幂．
【典例 16】．已知 a = 8131，b = 2741 ， c = 961 ，则 a、b 、 c的大小关系是（ ）
A． a > b > c B． a > c > b C． a < b < c D．b > c > a
【答案】A
【分析】本题考查了幂的乘方，变形为同底数幂的形式，再比较大小，可使计算简便．
先把 81，27，9 转化为底数为 3 的幂，再根据幂的乘方，底数不变，指数相乘化简．然后根据指数的大小
即可比较大小．
31
【解析】解：∵ a = 8131 = 34 = 3124 ；
41 3 41b = 27 = 3 = 3123；
61
c = 961 = 32 = 3122 ．
则 a > b > c．
故选：A．
【典例 17】．探究题：
3
(1)计算下列算式的结果： 22 = ______， 26 = ______；
3 n
发现 22 = 26，小浦猜想会有如下规律： am = ______（用 a，m ， n表示）；
(2)利用上述规律，你能帮助小浦解决下列问题吗？
2
①若 a2n = 3，求 a3n 的值；
②比较3555 ， 4444 ，5333 的大小，并用“ <”号连接．
【答案】(1)64；64； amn
(2)① 27；②5333 < 3555 < 4444
3 n
【分析】（1）根据乘方运算法则求解 22 = 43 =64 ， 26 = 64 ，从而得到猜想 am = amn ；
n
（2）由（1）中猜想 am = amn ，直接运算以及化成同指数幂的形式比较大小即可得到答案．
3
【解析】（1）解：Q 22 = 43 =64 ， 26 = 64 ，
2 3\ 2 = 26，
n
\小浦猜想会有如下规律： am = amn （用 a，m ， n表示）；
故答案为：64；64； amn ；
（2）解：①∵ a2n = 3，
∴ a3n 2 = a6n = a2n 3 = 33 = 27；
555 5 111 111 444 4 111 111 333 3 111②∵3 = 3 = 243 ，4 = 4 = 256 ，5 = 5 = 125111，
Q 125 < 243 < 256，
\125111 < 243111 < 256111，
∴5333 < 3555 < 4444．
【点睛】本题考查幂的乘方运算的归纳及应用，读懂题意，理解幂的乘方运算法则的应用是解决问题的关
键．
题型 6：其他应用
101
【典例 18 1 】． ÷ ·8
100 = （ ）
è 8
1 1
A． B． C．4 D．8
4 8
【答案】B
【分析】本题考查了逆用幂的乘方，同底数幂的乘法，熟练应用幂的乘方的逆应用是解题的关键．
1 101 1 100 1 1 100 ×8100 = 1 1【解析】 100 ÷ ÷ g8 =
8 = ，
è 8 ÷ è 8 8 è 8 8 8
故选 B．(注：可看成 100 组 1/8×8，再×一个 1/8)
【典例 19】．计算 42024 (-0.25)2023的结果是 ．
【答案】-4
【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，逆用同底数幂的乘法法则计算即可．
【解析】解： 42024 (-0.25)2023
= 4 42023 -0.25 2023
= 4 -4 0.25 2023
= 4 -1
= -4
故答案为：-4．(注：可看成 2003 组 4×(-0.25)，先定符号，再×一个 4)
【典例 20】．计算，结果用幂的形式表示：93 32 274．
【答案】320
【分析】先把每个因式都化为底数为 3 的幂的形式，再利用同底数幂的乘法运算法则进行计算即可．
【解析】解：93 32 274
2 3 4= 3 32 33
= 36 32 312
= 320 ．
【点睛】本题考查的是幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算，掌握幂的运算法则是解本题的关键．
2
【典例 21】．已知 3a = 36 ，35 + 35 + 35 = 3b ，则 a + b 的值是（　　）
A．19 B．18 C．9 D．7
【答案】C
【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘方，根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则，求出 a,b的值，进而
求出 a + b 的值即可．
2
【解析】解：∵ 3a = 32a = 36，
∴ 2a = 6，
∴ a = 3，
∵ 35 + 35 + 35 = 3 35 = 36 = 3b，
∴ b = 6，
∴ a + b = 9，
故答案为：C．
【典例 22】．若3x + y - 4 = 0，则8x ×2y 的结果是 ．
【答案】16
【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，根据题意得8x ×2y = 23x × 2y = 23x+ y 是解题关键．
【解析】解：∵8x ×2y = 23x × 2y = 23x+ y ，
又∵ 3x + y - 4 = 0，
∴ 3x + y = 4，
8x ×2y = 24 =16，
故答案为：16．
【典例 23】．中国天宫空间站以7.68 103 米/秒的速度绕地球飞行，每天能绕地球飞行约 16 圈，每圈约需
5 103 秒，则天宫空间站绕地球飞行一圈的路程约为 米（结果用科学记数法表示）．
【答案】3.84 107
【分析】本题考查科学记数法，同底数幂的乘法，科学记数法的表示形式为 a 10 n 的形式，其中
1 a <10， n为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．根据路程=速度 时间计算，把结果写成
科学记数法的形式．
【解析】解：天宫空间站绕地球飞行一圈的路程约为7.68 103 5 103 = 38.4 106 = 3.84 107 米，
故答案为：3.84 107．
【典例 24】．已知：3m + 2n - 4 = 0，求 2m 3 n× 22 的值．
【答案】16
【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
根据幂的乘方，同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答．
【解析】解：∵ 3m + 2n - 4 = 0，
∴ 3m + 2n = 4，
3 n∴ 2m × 22
= 23m
n
×22
= 23m+2n
= 24 ，
=16．
ìax - y =13 ìx = 2
【典例 25】．甲、乙两名同学在解方程组 íx by 4 时，甲同学因看错了
a，从而求得解为 ，乙同
- =
í
y =1
ìx = 3
学因看错了b ，从而求得解为 íy 1，计算 a
6 ×b3，并用幂的形式表示结果．
= -
【答案】-215
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，同底数幂的乘法及幂的乘方，解题关键是由二元一次方程组的
解，求出 a，b 的值．根据题意，甲同学看错了 a，可将甲的解代入 x - by = 4得 2 - b = 4，乙同学看错了b ，
将乙的解代入 ax - y =13得3a +1 =13，求解即可得出 a，b 的值，再代入式子 a6 ×b3计算即可．
【解析】解：由题意得 x - by = 2 - b = 4 ，解得b = -2，
ax - y = 3a - (-1) =13，解得 a = 4，
\ a6 ×b3 = 46 × (-2)3 = (22 )6 (-2)3 = 212 (-2)3 = -215 ．
【典例 26】．已知2a = 3，2b = 6，2c = 12，现给出 3 个数 a，b ， c之间的三个关系式：
① a + c = 2b；
② b = a + 2 ；
③ a + b = 2c - 3．
其中正确的关系式是 （填序号）．
【答案】①③
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是
解此题的关键．
【解析】解：Q2c = 12 = 3 4 = 2a 22 = 2a+2 ， 2c = 12 = 6 2 = 2b 2 = 2b+1 ，
\c = a + 2， c = b +1，
\a + c = 2a + 2 = 2b，b = a +1， a + b = 2c - 3，
故其中正确的关系式是①③，
故答案为：①③．
【典例 27】．已知 a，b ， c均为正整数，且满足 2a 3b 4c = 3456，则 a + b + c 的取值不可能是（ ）
A． 7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【分析】将原方程化为 2a+2c ×3b = 27 33，得到 a + 2c = 7，b = 3，再根据 a，b ， c均为正整数，求出 a， c
的值，进而求出答案．
【解析】解：Q2a 3b 4c = 3456，
\2a+2c ×3b = 27 33 ，
\a + 2c = 7，b = 3，
Q a ，b ， c均为正整数，
\当 c =1时， a = 5，此时 a + b + c = 5 + 3+1 = 9，
当 c = 2时， a = 3，此时 a + b + c = 3+ 3+ 2 = 8，
当 c = 3时， a =1，此时 a + b + c =1+ 3+ 3 = 7，
\a + b + c不可能为10．
故选：D．
【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，根据 a，b ， c均为正整数求出 a， c的值是解题的关
键．
题型 7：新定义题
【典例 28】．如果 a b = c，则 ac = b ，例如 2 8 = 3，则 23 = 8 ．根据上述规定，若 4 64 = x ，则 x = ；
【答案】3
【分析】本题考查乘方及同底数幂乘法逆运算， 根据新定义列式，再根据乘方的逆运算即可得答案，正确
理解新定义，熟练掌握运算法则是解题关键．
【解析】解：Q如果 a b = c，则 ac = b ， 4 64 = x ，
\4x = 64 = 43 ，
\ x = 3，
故答案为：3.
【典例 29】．类比同底数幂的乘法法则： am × an = am+n（其中 a 0, m,n 为正整数），我们规定一种新运算：
h(m + n) = h(m) × h(n)，其中m, n为任意正整数．若 h(1) = p( p 0)，那么 h(n) × h(2024) = （用含 n
和 P 的代数式表示，其中 n 为正整数）．
【答案】 pn+2024
【分析】本题考查同底数幂乘法、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新运算求出所求式子的值，
根据题中的新定义化简，计算即可求出值．
【解析】解：由Qh(1) = p( p 0)， h(m + n) = h(m) × h(n)，
\h(n) × h(2024) = pn × p2024 = pn+2024 ．
故答案为： pn+2024．．
m n
【典例 30】．新定义： a*b = ab + ba （ a,b,m,n 均为正整数），例如：3*2 = (32 )m + (23)n ．若
1*4 = 8， 2*2 =10，则 42m+n 的值为（　　）
A．18 B．24 C．36 D．63
【答案】D
【分析】本题主要考查新定义运算，幂的乘方和积的乘方逆运算，根据新运算法则求出 4m = 3,4n = 7，再把
42m+n 变形为 24m 4n ，再代入计算即可
【解析】解：∵ a *b = (ab )m + (ba )n （ a、b、m、n均为正整数），
∴1*4 = (14 )m + (41)n =1+ 4n = 8, 2*2 = (22 )m + (22 )n = 4m + 4n =10,
∴ 4n = 7,4m = 3,
∴ 42m+n m 2= 4 4n = 32 7 = 9 7 = 63，
故选：D
【典例 31】．如果 xn = y ，那么我们规定 x, y = n ．例如：因为 42 = 16 ，所以 4,16 = 2．
(1) -2,16 = ______ ；若 2, y = 6，则 y = ______ ；
(2)已知 4,12 = a， 4,5 = b ， 4, y = c ，若 a + b = c，求 y 的值；
(3)若 5,10 = a ， 2,10 = b 2ab，令 t = ．
a + b
① 25
a
求 b 的值；16
②求 t 的值．
【答案】(1)4，64
(2) y = 60
(3)① 25
a 1
= ；② t = 2
16b 100
【分析】（1）由 (-2)4 =1，可直接得出 -2,16 = 4 ；由 26 = 64 ，可得出 y = 64；
（2）由题意可得出 4a =12， 4b = 5， 4c = y．根据 a + b = c，得出 4a+b = 4c ，即 4a × 4b = 4c ，进而即可求出
y =12 5 = 60；
a 2 b 4
（3）①由题意可得出5a =10， 2b =10，再根据 25a = 52 = 5a =100，16b = 24 = 2b =10000 ，即可
25a 1 b
求出 b = ；②根据 (5
a )b =10b ，即得出5ab =10b ，结合题意可得出 5,10 ù = ab．由①知5a = 2b =10，16 100
即得出5a+b = 5a ×5b = 2b 5b =10b ，进而得出 5,10b ù = a + b
2ab
，即说明 ab = a + b ，代入 t = 中求值即可．
a + b
【解析】（1）解：Q(-2)4 =16，
\ -2,16 = 4；
Q 2, y = 6，且 26 = 64 ，
\ y = 64．
故答案为： 4，64 ；
（2）解：Q 4,12 = a ， 4,5 = b ， 4, y = c ，若 a + b = c，
\4a =12， 4b = 5， 4c = y．
Qa + b = c ，
\4a+b = 4c，即 4a × 4b = 4c ，
\ y =12 5 = 60 ；
（3）解：①Q 5,10 = a， 2,10 = b，
\5a =10， 2b =10，
a 2 b 4
\25a = 52 = 5a =102 =100 4，16b = 24 = 2b = 10 =10000 ，
25a 100 1
\ b = = ；16 10000 100
②Q (5a )b =10b ，
\5ab =10b ，
\ 5,10b ù = ab．
由①知：5a = 2b =10，
\5a+b = 5a ×5b = 2b 5b =10b ，
\ 5,10b ù = a + b ，
\ab = a + b，
t 2ab\ = = 2．
a + b
【点睛】本题考查有理数的乘方，积的乘方与其逆用，幂的乘方与其逆用．熟练掌握各运算法则是解题关
键．
一、单选题
1．b3 × b3 的值是（ ）
A．b9 B． 2b3 C．b6 D． 2b6
【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘法法则运算即可．
【解析】解：b3 ×b3 = b3+3 = b6．
故选择 C．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法是解题关键．
2． (-c)3 × (-c)5 的值是（ ）
A．-c8 B． (-c)15 C． c15 D． c8
【答案】D
【分析】同底数幂相乘底数不变，把指数 3、5 相加进行计算.
【解析】 (-c)3 × (-c)5=(-c)8=c8，
故选：D.
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握计算法则即可.
3．下列运算正确的是（ ）．
3 2 3 3A． a × a4 = a12 B． a3 = a5 C． -3a2 = -9a6 D． -a2 = -a6
【答案】D
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则计算逐一判断即可．
【解析】解：A a3 × a4 = a7 a12 ，该选项不符合题意；
2
B、 a3 = a6 a5 ，该选项不符合题意；
C、 -3a2 3 = -27a6 -9a6 ，该选项不符合题意；
3
D、 -a2 = -a6 ，正确，，该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解题的关键．
4．若 2n+2n+2n+2n＝26，则 n＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据题意运用同底数幂的乘法对 2n+2n+2n+2n 进行变形得到 22+n，进而即可求出 n 的值．
【解析】解：∵2n+2n+2n+2n
＝4×2n
＝22×2n
＝22+n
＝26，
∴2+n＝6，
解得 n＝4．
故选：C．
【点睛】本题考查幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则是解答此题的关键．
5．10x = a ，10y = b，则10x+ y+2等于（ ）
A．2ab B．a+b C． a + b + 2 D．100ab
【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘法，可得结果．
【解析】解：10x+ y+2 =10x 10y 102 =100ab，
故选 D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，掌握底数不变，指数相加是解题的关键．
6．若(7×106)(5×105)(2×10)＝a×10n，则 a，n 的值分别为(　　)
A．a＝7，n＝11 B．a＝5，n＝12 C．a＝7，n＝13 D．a＝2，n＝13
【答案】C
【分析】根据科学记数法表示的数的计算方法，乘号前面的数相乘，乘号后面的数相乘，再根据同底数幂
相乘，底数不变指数相加进行计算，最后再化成科学记数法即可得解．
【解析】解：(7×106)(5×105)(2×10)
＝(7×5×2)×(106×105×10)
＝7×1013
所以，a＝7，n＝13．
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则与科学记数法表示的数的计算方法是解题的关
键．
7．当 m 为偶数时， (a - b)m × (b - a)n 与 (a - b)m+n 的关系是( )
A．相等 B．互为相反数
C．不相等 D．以上说法都不对
【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，求解即可．
【解析】解：当 n 为偶数时， (a - b)n = (b - a)n ，
所以 (a - b)m × (b - a)n = (a - b)m × (a - b)n = (a - b)m+n
当 n 为奇数时， (b - a)n = -(a - b)n ，
所以 (a - b)m × (b - a)n = -(a - b)m × (a - b)n = -(a - b)m+n
故选：D．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握互为相反数的两数的偶数次方相等是解本题的关键．
3
8．如果 an ×bm ×b = a9b15 ，那么m 、 n的值等于（ ）
A．m = 3， n = 4 B．m = 9， n = -4 C．m = 4 ， n = 3 D．m = 9， n = 2
【答案】C
【分析】先根据同底数幂的乘法和积的乘方计算法则计算出 (an ×bm ×b)3 = a3n ×b3m ×b3 = a3nb3m+3 = a9b15 ，由此
进行求解即可得到答案．
3
【解析】解：∵ an ×bm ×b = a3n ×b3m ×b3 = a3nb3m+3 = a9b15
∴3n=9，3m+3=15，
解得：n=3，m=4，
故选 C．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，积的乘方，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．
2019
9．计算0.752020 4 - ÷ 的结果是（ ）
è 3
4 4
A． B．- C．0.75 D．-0.75
3 3
【答案】D
3 2019
【分析】先将0.752020 3化为 ，再用幂的乘方的逆运算计算，再计算乘法即可得到答案．
4 4
4 2019
【解析】0.752020 - 3 ÷è
2019 2019
= 3 4 3 ÷ - ÷
è 4 è 3 4
= é3
2019
ê (
4
- )ù 3
4 3 ú 4
= (-1)
3

4
3
= - ,
4
故选：D．
【点睛】此题考查有理数数的乘法运算，掌握幂的乘方的逆运算是解题的关键．
10．如果 a = 355 ，b = 444 ， c = 533 ，那么 a，b ， c的大小关系是（ ）
A． a > b > c B． c > b > a C．b > a > c D．b > c > a
【答案】C
【分析】根据幂的乘方得出指数都是 11 的幂，再根据底数的大小比较即可．
【解析】解：a=355=（35）11=24311，
b=444=（44）11=25611，
c=533=（53）11=12511，
∵256＞243＞125，
∴b＞a＞c．
故选：C．
【点睛】本题考查了幂的乘方，关键是掌握 amn=（an）m．
二、填空题
11．（1） x2 × x3 = ；（2） y3 × y2 × y = ；
（3） (-a)3(-a)3(-a) = ；（4） (a - b)3 × (a - b)5 = ；
（5） (x + y) × (x + y)4 = ；（6） xn-1 × xn+1 = ；
（7）100 10n+1 10n-1 = ；（8） x5 × x × (-x)3 = ；
（9） (x - 2y)2 × (2y - x)5 = ；（10） (a + b - c)2 × (c - a - b)3 = ．
【答案】 x5 y6 -a7 (a - b)8 (x + y)5 x2n 102n+2 -x9 (2y - x)7
(c - a - b)5
【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则计算即可；
（2）根据同底数幂的乘法法则计算即可；
（3）根据同底数幂的乘法法则运算，再利用负数的乘方化底数为正计算即可；
（4）根据同底数幂的乘法法则计算即可；
（5）根据同底数幂的乘法法则计算即可；
（6）根据同底数幂的乘法法则计算即可；
（7）根据同底数幂的乘法法则计算结果为102n+2 也可102+2n 即可；
（8）先利用负数的乘方化为同底数，根据同底数幂的乘法法则计算即可；
7
（9）先利用负数的乘方化为同底数，根据同底数幂的乘法法则计算结果- x - 2y 或 2y - x 7 即可；
（10
5 5
）先利用负数的乘方化为同底数，根据同底数幂的乘法法则计算结果- a + b - c 或 c - a - b 即可．
【解析】解：（1） x2 × x3 = x2+3 = x5；
（2） y3 × y2 × y = y3+2+1 = y6；
3 -a 3 -a 3 -a = -a 3+3+1 7（ ） = -a = -a7 ；
（4） (a - b)3 × (a - b)5 = a - b 3+5 = a - b 8 ；
5 (x + y) × (x + y)4 = x + y 1+4（ ） = x + y 5；
（6） xn-1 × xn+1 = xn-1+n+1 = x2n ；
（7）100 10n+1 10n-1 =102+n+1+n-1 =102n+2 ；
（8） x5 × x × (-x)3 = -x5+1+3 = -x9 ；
（9） (x - 2y)2 × (2y - x)5 = - x - 2y 2 x - 2y 5 = - x - 2y 2+5 = - x - 2y 7 = 2y - x 7 ；
（10） (a + b - c)2 × (c - a - b)3 = - a + b - c 2 × a + b - c 3 = - a + b - c 5 = c - a - b 5 ．
故答案为： x5 ； y6 ；-a7 ； (a - b)8； (x + y)5 ； x2n ；102n+2 ；-x9 ； (2y - x)7 ； (c - a - b)5 ．
【点睛】本题考查负数的乘方，同底数幂的乘法，掌握利用负数的乘方化同底数的方法，同底数幂的乘法
法则是解题关键．
12．(103)6＝ ；(－a2)5＝ ；(－mn)4＝ ；(a3)2·(a2)4＝ ．
【答案】 1018 －a10 m4n a14
【分析】依次使用幂的乘方公式及同底数幂的乘法公式即可.
【解析】(103)6＝103×6=1018；
(－a2)5＝－a2×5=－a10；
(－mn)4＝(mn)4= m4n；
(a3)2·(a2)4＝a6·a8= a14．
【点睛】此题主要考查幂的乘方公式，再结合同底数幂的乘法公式进行计算.
13．计算
4
（1） é x + y
2 ù
= ；
3 5
（2） é- m - n ù = .
【答案】 x + y 8 - m - n 15
n
【分析】根据幂的乘方的定义 am = amn ，将底数看作整体计算即可.
4
【解析】（1） é x + y
2 ù = (x + y)2 4 = (x + y)
8 ；
5
2 é- m - n 3 ù = - m - n 3 5 15（ ） = - m - n .
【点睛】本题考查幂的乘方的计算，计算时需注意幂的乘方的符号，偶次幂为正，奇次幂为负.
14．若 2n+2n+2n+2n=28，则 n= ．
【答案】6
【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相
加．am an=am+n（m，n 是正整数）．
【解析】解：∵2n+2n+2n+2n=4×2n=22×2n=28，
∴2+n=8，
解得 n=6．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
15．若 4x=a，4y=b，则 4x+y= ．
【答案】 ab .
【分析】根据同底数的幂的乘法法则， 4x+ y = 4x ×4y 代入求值即可.
【解析】由题意 4x = a， 4y = b，
4x+ y = 4x ×4y = ab .
故答案为 ab .
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法运算，底数不变，指数相加.
16．已知 x = 2m +1， y = 3 + 2m+1，若用含 x 的代数式表示 y，则 y = ．
【答案】2x+1/1+2x
【分析】由 x = 2m +1， y = 3 + 2m+1，即可得 x -1 = 2m ， y - 3 = 2m 2 ，进而有 y - 3 = (x -1) 2，则问题得
解．
【解析】∵ x = 2m +1， y = 3 + 2m+1，
∴ x -1 = 2m ， y - 3 = 2m 2 ，
∴ y - 3 = (x -1) 2，
即 y = 2x +1，
故答案为： 2x +1．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，掌握同底数幂的乘法是解答本题的关键．
17．已知 2x+3y-5=0，则 9x 27y 的值为 ．
【答案】243
【分析】先将 9x 27y 变形为 32x+3y，然后再结合同底数幂的乘法的概念和运算法则进行求解即可．
【解析】∵2x+3y 5=0，
∴2x+3y=5，
∴9x×27y=32x×33y=32x+3y=35=243.
故答案为 243.
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是熟练的掌握同底数幂乘法的概念和运算法则.
18．已知 xn=2，yn=3，则(x2y)2n= . 若(9m+1)2=316，则正整数 m 的值为 .
【答案】 144 3
【分析】（1）利用积的乘方公式与幂的乘方公式把(x2y)2n 化成与已知条件相关联的式子，再进行计算；
（2）利用幂的乘方逆运算把等式都化成底数为 3，再进行计算.
【解析】∵xn=2，yn=3，
∴(x2y)2n= x4n y2n=( xn)4·( yn)2=24×32=144；
∵(9m+1)2=[ 32 m+1 ]2= 34m+4 =316
∴4m+4=16
解得 m=3
【点睛】此题主要考查积的乘方公式，解题的关键是灵活运用幂的乘方公式逆运算进行化简解答.
三、解答题
19．化简下列各题：
1 4 1 31 1
2

（ ） ×10 ÷ 10 ÷
× ÷ ；
è è è10
（2） an-1 × an × a ；
-x2 × x3 × -x 2（3） ；
4 2x - y 3（ ） × 2x - y 1 × 2x - y 4 ．
（5） -a 2n+1 -a 3n+2 -a
9
【答案】(1) 1 2n 7 8 ÷ ；（2） a ；（3）-x ；（4） 2x - y ；（5） -a
5n+4 .
è10
【分析】根据同底数幂的乘法公式，但是要注意公式的适用范围，同底与相乘.
1
4 1 3 1 2 1 4+3+2 9 1
【解析】（1） ×10 ÷ ÷
×
10 10 ÷
= ÷ = ÷ ；
è è è è10 è10
（2） an-1 × an × a = an-1+n+1 = a2n ；
（3 -x2） × x3 × -x 2 = -x2+3+2 = -x7 ；
（4） 2x - y 3 × 2x - y 1 × 2x - y 4 = 2x - y 3+1+4 = 2x - y 8；
（5） -a 2n+1 -a 3n+2 -a =（- a）2n+1+3n+2+1 = -a 5n+4
【点睛】此题主要考查同底数幂相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键.
20．计算：
（1）（a-b）2（a-b）3（b-a）5 （2）（a-b+c）3（b-a-c）5（a-b+c）6
（3）（b-a）m·（b-a）n-5·（a-b）5 （4）x·xm-1+x2·xm-2-3x3·xm-3
【答案】（1）-(a - b)10 ；（2）-(a - b + c)14 ；（3）-(b - a)m+n ；（4）-xm .
【分析】（1）、（2）与（3），首先将其变形为同底数幂相乘的形式，接下来利用同底数幂的乘法法则进
行解答即可；
（4），首先利用同底数幂的乘法法则对其进行变形，接下来合并同类项即可.
【解析】（1）（a-b）2（a-b）3（b-a）5
= -（a - b）（2 a - b）（3 a - b）5 ,
= -（a - b）10 ;
（2）（a-b+c）3（b-a-c）5（a-b+c）6
= -（a - b + c）（3 a - b + c）（5 a - b + c）6 ,
= -（a - b + c）14 ;
（3）（b-a）m·（b-a）n-5·（a-b）5
= -（b - a）（m b - a）n-（5 b - a）5 ,
= -（b - a）m+n ;
（4）x·xm-1+x2·xm-2-3x3·xm-3
= x1+m-1 + x2+m-2 - 3x3+m-3 ,
= xm + xm - 3xm ,
= -xm .
10
故答案为：（1）- a - b ；（2）- a - b + c 14 ；（3）- b - a m+n ；（4）-xm .
【点睛】本题考查同底数幂的乘法. ，解体的关键是掌握同底数幂的乘法法则.
21．计算：
(1) 3x +1 3 × 3x +1 2 + 3x +1 4 × -1- 3x ；
(2) a2·a4 + -a3 2；
2 3
(3) -a3 · -a2 ；
(4) x4 2 + 2 4 2 2x - x· x ·x3 - -x 3 × 2-x2 × -x ．
【答案】(1)0
(2) 2a6
(3) -a12
(4)0
【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，正确计算是解题的关键：
（1）根据同底数幂的乘法计算即可；
（2）根据同底数幂的乘法及幂的乘方计算即可；
（3）根据同底数幂的乘法及幂的乘方计算即可；
（4）根据同底数幂的乘法及幂的乘方计算即可．
1 3x +1 3 2 4【解析】（ ）解： × 3x +1 + 3x +1 × -1- 3x
= 3x +1 5 + 3x +1 4 ×[- 1+ 3x ]
= 3x +1 5 - 3x +1 5
= 0；
2
（2）解： a2·a4 + -a3
= a6 + a6
= 2a6 ；
2 3
（3）解： -a3 · -a2
= a6· -a6
= -a12 ；
4 2（4）解： x + x2 4 2 2 2- x· x ·x3 - -x 3 × -x2 × -x
= x8 + x8 - x8 - x8
= 0．
22．计算：（1） an+2 ×an+1 ×an ；
（2） a4 × an-1 + 2an+1 ×a2 ；
（3） (x - y)2 × (y - x)5 ．
【答案】（1） a3n+3 ；（2）3an+3；（3）-(x - y)7
【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则进行计算即可；
（2）先根据同底数幂的乘法法则计算出各数，再合并同类项即可；
（3）根据同底数幂的乘法法则进行计算即可．
【解析】（1）原式= an+2+n+1+n = a3n+3；
（2）原式= a4+n-1 + 2an+1+2 = an+3 + 2an+3 = 3an+3 ；
（3）原式= -(x - y)2 × (x - y)5 = -(x - y)7．
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，熟知同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解答此题的关键．
23．计算：
2 3 3 2（1） -2x + -3x2 + x2 × x2
4 2
（2） (-a)3 × a4 × (-a) - a2 + -2a4
【答案】（1）-34x6 ；（2） 4a8
【分析】（1）先计算积的乘方，幂的乘方，再合并同类项即可；
（2）计算同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项即可．
2 3 2 3【解析】解：（1） -2x + -3x + x2 2 × x2 ，
= -8x6 - 27x6 + x4 g x2 ，
= -8x6 - 27x6 + x6，
= -34x6 ；
（2） (-a)3 × a4
4
× (-a) - a2 + 2-2a4 ，
= a8 - a8 + 4a8 ，
= 4a8．
【点睛】本题考查幂的混合运算，掌握幂的运算法则是解题关键．
24．已知10a = 5，10b =2，求：
(1)102a +103b 的值；
(2)102a+3b+1的值．
【答案】(1)33
(2)2000
【分析】本题主要考查同底数幂乘法、幂的乘方运算能力，恰当地选择运算法则是解题关键，属中档题．
（1）根据幂的乘方变形，代入计算即可；
（2）先根据同底数幂乘法变形，再根据幂的乘方变形，最后代入计算可得．
【解析】（1）解：当10a = 5，10b = 2时，
102a +103b
2 3
= 10a + 10b
= 52 + 23
= 33；
（2）解：102a+3b+1
=102a 103b 10
= 10a 2 310b 10
= 52 23 10
= 2000．
25．若b 是正整数，且 ab 2 1= 9 ( a3b )2，求 - 3 a2 2 的值．3
【答案】-162．
【分析】由 ab 2 = 9 1得 a2b = 9 2b 3 2b 2，再根据积的乘方和幂的乘方法则把原式变为 (a ) - 3(a ) ，然后代入计9
算即可.
【解析】解：∵ 2ab = 9，
∴ a2b = 9，
1
∴ = (a2b原式 )3 - 3(a2b )2
9
1
= 93 - 3 92
9
= 81- 243
= -162 ．
【点睛】本题考查了幂的乘方计算及求代数式的值，熟练掌握积幂的乘方运算法则是解答本题的关键.
26．（1）已知 am = 2, an = 3，求a2m-3n 的值．
4n n 5n
（2）已知： x2n = 3，求 x + 2x -5x 的值．
（3）已知3x + 5y = 4 ，求8x ×25 y 的值．
（4）已知3 9m 27m = 321，求 m 的值．
4
【答案】（1） ；（2）-261；（3）16；（4）m = 4
27
【分析】（1）根据幂的除法运算法则再逆用幂的乘方即可求解；
（2）利用幂的运算法则都化成底数为 x2n 的形式，即可求解；
（3）把 8x 化成底数为 2 的幂的形式，再利用同底数幂的乘法法则计算即可；
（4）都化成底数为 3 的幂的形式，再利用同底数幂的乘法法则计算得到关于 m 的一元一次方程，再解即
可．
【解析】解：（1）（1）∵ am = 2, an = 3，
2
2m am 2
∴ a2m-3n
a 2 4
=
a3n
= = = ；
an 3 33 27
（2）∵x2n=3，
∴ x4n + 2xn -5x5n
= x2n 2 -10 x2n 3
= 32 -10 33
= -261．
（3）∵ 3x + 5y = 4 ，
∴8x ×25 y = 23x ×25 y = 23x+5 y = 24 =16；
（4）∵ 3 9m 27m = 321，
∴ 3 32m 33m = 321，即35m+1 = 321，
∴ 5m +1 = 21，解得m = 4 ．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方的计算方法，根据式子的特点，灵活变形解决问题．
27．若 am = an （ a > 0且a 1，m 、 n是正整数），则m = n ．
利用上面结论解决下面的问题：
(1)如果3x = 34，则 x = ___________；
(2)如果8x = 29 ，求 x 的值．
(3)如果5x+2 - 5x+1 = 100，求 x 的值．
【答案】(1)4
(2) x = 3
(3) x =1
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法逆用以及幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方
对式子进行变形．
（1）根据 am = an （ a > 0且a 1，m、n是正整数），则m = n 即可求解；
（ 2）根据幂的乘方法则计算即可；
（3）根据同底数幂的乘法逆用以及幂的乘方法则计算即可；
【解析】（1）解：∵ 3x = 34，
∴ x = 4，
故答案为：4
（2）∵8x = 29 ，
∴ x23 = 29 ，
∴ 23x = 29，
∴ 3x = 9 ，
解得： x = 3；
（3）5x+2 - 5x+1 = 100
∵5x+2 - 5x+1 = 100，
∴ 5 5x+1 - 5x+1 =100，
4 5x+1 =100，
∴ 5x+1 = 25 = 52 ，
∴ x +1 = 2，
解得： x =1．
28．阅读材料：下面是底数大于 1 的数比较大小的两种方法：
①比较 2a ， 2b 的大小：当 a > b时， 2a > 2b ，所以当同底数时，指数越大，值越大；
②比较340和 260 40 2 20的大小：因为3 = 3 = 920 ， 260 = 23 20 = 820，9 > 8所以340 > 260 ．
可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)比较大小：320 __________ 915 （填“ >”或“ <”）
(2)已知 a = 344 ，b = 433 ， c = 522 ，试比较 a，b ， c的大小．
【答案】(1) <
(2) c < b < a
【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算及有理数的乘方运算，熟练掌握幂的乘方的逆运算是解题关
键．
（1）根据幂的乘方的逆运算进行化简比较即可；
（2）根据题目中的方法，变化成指数相同时，比较底数即可．
【解析】（1）因为915 = 32 15 = 330 ， 20 < 30，
所以320 < 915 ．
故答案为：<；
11
（2）因为 a = 344 = 34 = 8111，
b = 433 = 3 114 = 6411，
22 2 11c = 5 = 5 = 2511，
且 25 < 64 < 81，
所以2511 < 6411 < 8111，
所以 c < b < a ．
29．阅读材料：我们已经学过幂的相关运算，其中幂的乘方是重要的性质之一，用式子表示为：
am n = amn （m 、 n为正整数），由此，幂的乘方运算反过来也是成立的，用式子表示为：
amn = am n n m= a （m 、 n为正整数），逆用幂的乘方的方法是：幂的底数不变，将幂的指数分解成两个
3 2
因数的乘积，再转化成幂的乘方的形式．如 x 6 = x 2 = x 3 ，至于选择哪一个变形结果，要具体问题具体
分析．例如，判断3299的末尾数字，我们可以采用如下的方法：
解析：3299的末尾数字等于 299 的末尾数字
∵ 21 =2,22 =4,23 =8,24 =16，又16n （ n为正整数）的末尾数字均为6，
∴ 299 = 2 4 44 3 24 2 = 2 4 8 = 16 24 8的末尾数字是6 8的末尾数字，即为8．
∴3299的末尾数字为8
根据以上阅读材料，回答下列问题：
(1)逆用幂的乘方，写出338 的末尾数字
(2)试判断201999 +992000的末尾数字
【答案】(1)9
(2)1
【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知81n （n 为正整数）的末尾数字均为 1，根据阅读材料中提供的方
法，可得338 = 819 9 ，于是得解；
（2）根据阅读材料中提供的方法可得992000的末尾数字等于92000的末尾数字，又92000 = 811000 ，从而得出结
论．
1 2
【解析】（1）解∵3 =3,3 =9,33 =27,34 =81，又81n （n 为正整数）的末尾数字均为 1，
∴ 338
9
= 34 9 32 = 34 9 = 819 9 的末尾数字是 1×9 的末尾数字，即为 9．
（2）∵ 91 = 9,92 = 91,93 = 729, × × ×，则992000的末尾数字等于92000的末尾数字．
∵91 =9,92 =81，又81n （n 为正整数）的末尾数字均为 1，
2000 2 1000 2 1000∴ 9 = 9 = 9 = 811000 的末尾数字为 1．
∵ 201999的末尾数字为 0，
∴ 201999 +992000的末尾数字为0 +1 =1
【点睛】本题考查了幂的运算，根据所给的题目总结规律，熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方积的乘方
是解答本题的关键．

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