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比赛中的推理（六上）
这一讲我们学习的主要内容是与比赛有关的逻辑推理问题.这些问题有各种不同的形式： 有分析对阵情况的，有计算各队积分的，有利用积分排名的，甚至还有讨论进球数、失球数 的.不同类型的问题我们应该用不同的方法来处理.
在逻辑推理中，特别有用的方法是画示意图或表格，这种方法相信大家并不陌生，用它 来分析比赛问题，能够让我们对比赛的情况更为直观明了。
1、比赛分类：
(1)淘汰赛：每场比赛踢掉一支球队，只取第一名.
(2)单循环赛：n 支球队，每两队比赛1场，总共比赛 场.
(3)双循环比赛：n 支球队，每两球比赛2场总共比赛 场。
2、画图列表分析法在逻辑推理问题中的应用。
3、与比赛积分有关的推理问题.两种常见的计分法：
(1)2分制计分法：“每场比赛胜者得2分，负者得0分，平局各得1分”.这种情况下 每场比赛无论结果如何，双方总得分都是2分，因此所有选手的总分就等于“比赛场数 ×2”.
(2)3分制计分法：“每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各的1分”.这种情况下 总分就是“胜负场数×3+平局场数×2”,或者写成“比赛场数×3-平局场数”。
4、极端思想与整体思想在逻辑推理问题中的应用。
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1.需要熟记一些与比赛相关的最基本常识性内容；
2.常见赛制还有小组赛，每小组内即为循环赛， 一般是小组前几名出线，晋级淘汰赛，在 世界杯等重大赛事中很常见；
3.所有球队的进球总和与失球总和相等，即净胜球之和永远为0: 4.涉及比分的题目可能需要从个体和整体两方面来思考；
5.要能综合运用之前的各种逻辑推理方法，包括列表法、画图法、假设法、排除法、矛盾 分析法、极端思想等：
6.一些题目的关键是转化条件，如几人猜东西这种类型的题目。
连线对阵图
1、编号为1，2，3，4，5，6的同学进行围棋比赛，每2个人都要赛1盘．现在编号为1，2，3，4，5的同学已经赛过的盘数和他们的编号数相等．请问：编号为6的同学赛了几盘？
【答案】
3盘
【解析】
5号已经赛过5盘，说明他和其他5个人都已经赛过了．而1号只赛了一盘，所以1号这一盘是同5号赛的，他同其他四个人都没有赛过（如图1所示）．
再看4号．他赛过4盘，而且4号同1号没有赛过．所以同4号赛过的同学是除1号以外的4个人．21世纪教育网
而2号只赛过两盘，所以2号只同5号、4号赛过（如图2所示）．
3号赛过3盘，而且他同1号、2号没有赛过，那么同3号赛过的就是4号、5号和6号（如图3所示）．
于是我们知道同6号赛过的有3号、4号和5号．他赛了3盘．
用类似数独的方法求解问题
2、A，B，C，D，E，F六个国家的足球队进行单循环比赛（即每队都与其他队赛一场），每天同时在3个场地各进行一场比赛，已知第一天B对D，第二天C对E，第三天D对F，第四天B对C．请问：第五天与A队比赛的是哪支队伍？
【答案】
B队
【解析】
题目的条件比较多，如何才能看清楚呢？我们可以用表格来表示．
如图1，第二列从上到下依次表示A在5天中分别遇到的对手，第三列表示B在5天中遇到的对手，依此类推．
下面我们来分析这个表格的特点：很明显每行的六个字母应该是互不相同的，每列的六个字母也是互不相同的．那么利用这个特点，我们就可以逐渐填出其中的空格了．
首先可以确定（2，D）处应填A．这是因为第2行已经有E和C，第4列已经有D、B和F，所以这一个格不能填这些字母，只能填A．由于第二天A与D比赛，那么对应地（2，A）处也应填D（如图2）．
此时第二行中已经填出了四个字母，那么余下的两个字母也很容易填出．第五列中也填出了四个字母，而（4，D）处又不能填C，因此只能填E，如图3所示．
（4，D）处已经填上了E，那么（4，E）处就应该填D．此时第四行中已经填出了四个字母，那么余下的两个字母也就确定了．我们用类似的方法把整个表格填出来，得到图4．
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因此，第五天与A比赛的球队是B．
3、墨莫在纸上写下了10组数据：14073，63136，29402，35862，84271，79588，42936，98174，50811，07145，卡莉娅看到说她的游戏编号也是一个五位数码，恰好每一组数据与她的游戏编号都只有一个数位上的数字相同，这个编号是多少？
【答案】
09876
【解析】
各组数如下表所示，从左数的第1-5位各数的最高频数分别为1、2、3、3、2．设编号为，每位分别有~个与编号一致，则，，，，，且．易知，且、中至少有一个为3．
当时，，②⑧⑩其它位均错，故，，
这样，矛盾．
这样，，由此易得，，，，．①④⑤⑧⑨的第一、二、五位均错，，，故，．这样，⑩只能是首位正确，即．
综上，编号为09876．
4、小王和小李酷爱打牌，而且推理能力都很强：一天，他们和华教授围着桌子打牌，华教授给他们出了道推理题．华教授从桌子上抽取了如下l8张扑克牌：
红桃A，Q，4； 黑桃J，8，4，2，7，3，5； 草花K，Q，9，4，6，10； 方块A，9．
华教授从这18张牌中挑出一张牌来，并把这张牌的点数告诉小王，把这张牌的花色告诉小李．然后，华教授问小王和小李：“你们能从已知的点数或花色中推断出这张牌是什么牌吗？”小王：“我不知道这张牌．”小李：“我知道你不知道这张牌．”小王：“现在我知道这张牌了．”小李：“我也知道了．”那么这张牌是什么？
【答案】
方块9
【解析】
设小王、小李的四句话按顺序分别为①、②、③、④．由①可知牌的点数不能只出现一次，剩红桃A，Q，4；黑桃4；草花Q，9，4；方块A，9．
由②可知花色中不能含点数只出现一次的牌，排除黑桃、草花，剩红桃A，Q，4；方块A，9．
由③可知点数不是A，否则此时小王仍无法知道，剩红桃Q，4；方块9．
由④可知花色不是红桃，否则此时小李仍无法知道，即只可能为方块9．
与场次数、积分排名相关问题
5、甲、乙、丙、丁四名同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场，规定胜者得2分，平局各得1分，输者得0分．请问：
（1）一共有多少场比赛？
（2）四个人最后得分的总和是多少？
（3）如果最后结果甲得第一，乙、丙并列第二，丁是最后一名，那么乙得了多少分？
【答案】
（1）6场（2）12分（3）3分
【解析】
（1）从四个人中选出两人，有种方法．每两人之间比赛一场，那么一共就有6场比赛．
（2）如果一场比赛分出了胜负，那么比赛双方一共得了2分；如果平局，双方也得了2分，因此每场比赛两人都得了2分．一共6场比赛，那么四个人最后得分的总和就是．
（3）四个人得分之和是12，甲得分最高，丁得分最低，而乙、丙得分相同．
如果乙、丙得分是4分，则甲得分超过4分，这三人的得分之和已经超过12分，与题意矛盾．因此乙、丙得分最多是3分．
如果乙、丙得分是2分，则丁最多得了1分，而甲至少得了分．但是连胜3场也只能得6分，不可能达到7分，因此乙、丙得分至少是3分．
综合以上讨论，可知乙、丙得分就是3分．
6、四支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．比赛结束后，各队的总得分恰好是4个连续的自然数．问：输给第一名的队的总分是多少？
【答案】
4分
【解析】
如果比赛分出胜负，那么双方得分之和就是3分；如果平局，双方得分之和就是2分．
4支队之间要进行场比赛，那么总分就要在12分和18分之间．各队的总得分就是6场比赛的总得分，因此四支球队的总分也要在12分和18分之间．
由题意，四支球队的得分是4个连续的自然数．而四个连续自然数的和可能是：，，，，…… 在12分和18分之间的只有14和18，因此这四支球队的得分可能是2分、3分、4分、5分，或者3分、4分、5分、6分．这两种情况都可能出现吗？
如果是3分、4分、5分、6分，总分是18分，那么每场比赛都分出了胜负，但这是不可能的，大家自己想想这是为什么？
如果是2分、3分、4分、5分，那么第一名得5分，只能是1胜2平；第二名得4分，只能是1胜1平1负；第三名得3分，可能是1胜2负，也可能是3平；第四名得2分，只能是2平1负．其中只有第三名的比赛结果有两种情况．
综合考虑第一名、第二名、第四名的胜负情况：他们一共有2胜5平2负．由于总胜场数与总负场数相同，所以第三名只能是3平．第三名没有平局，容易画出四支队之间的比赛胜负关系，如图所示．
因此输给了第一名的只有第二名，他得了4分．
7、有甲、乙、丙、丁四支球队参加的足球循环赛，每两队都要赛一场，胜者得3分，负者得0分，如果踢平，两队各得1分．现在甲、乙和丙分别得7分、1分和6分．已知甲和乙踢平，那么丁得多少分？
【答案】
3
【解析】
每队比了3场，易知甲、乙分别只有1场平局，丙无平局，故丁无平局．各队总分为，故丁得分．
与得失球数相关内容
8、（龙校四年级春季）2015年亚洲杯足球赛小组赛中国队被分在B组，同组四支球队举行单循环比赛，下表给出小组赛结束之后比赛结果：
（1）请将表格内空缺处补充完整；
（2）根据此表格有人猜测中国队对朝鲜队的比分可能是2:0，你认为有可能吗？为什么？
【答案】
（1）如下表（2）不可能
【解析】
（1）每队胜平负场次和为3场，故乌兹别克斯坦胜2场，朝鲜胜、平均为0场．由于乌、沙、朝均无平局，故中国也无平局，胜3场．这样，所有队的胜场和与负场和均为6场，因此沙特1胜2负．此外，所有球队总进球数与总失球数相等，因此中国进球数为个．
（2）不可能，中国总净胜球为个且3战全胜，故每场只能净胜1球，因此不可能出现．
9、A，B，C，D四个足球队进行循环比赛．赛了若干场后，A，B，C三队的比赛情况如图：
问：D赛了几场？D赛的几场的比分各是多少？
【答案】
3场；比分分别是0:1输给A，3:4输给B，5:3赢了C
【解析】
由分析可知，A队0:0平B，1:0胜C，1:0胜D．
B队1胜1平，进4球失3球．由于它与A的比赛是0:0，所以它赢的那场比赛是4:3．
C队2负，进3球失6球．由于它与A的比赛是0:1，所以它输的另一场比赛是3:5．
B赢的那场比赛与C输的另一场比赛比分不相同，因此它们没有踢过，只能是B队4:3赢D，C队3:5输给D．
这样，D一共比赛了3场，比分分别是0:1输给A，3:4输给B，5:3赢了C．
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其它问题
10、A，B，C，D，E五位同学分别从不同的途径打听到五年级数学竞赛获得第一名的那位同学的情况：
A打听到的：姓李，是女同学，13岁，东城区；
B打听到的：姓张，是男同学，11岁，海淀区；
C打听到的：姓陈，是女同学，13岁，东城区；
D打听到的：姓黄，是男同学，11岁，西城区；
E打听到的：姓张，是男同学，12岁，东城区．
实际上第一名同学的情况在上面都出现过，而且这五位同学的消息都仅有一项正确，那么第一名的同学应该是哪个区的，今年多少岁呢？
【答案】
海淀区，12岁
【解析】
由分析可知，对于第一名同学的姓名、性别、年龄、城区，分别有1项、2项、1项、1项是正确的．
先来看性别，有2项消息正确，那么第一名是女同学；
再来看年龄，2个人说是13岁，2个人说是11岁，只有1个人说是12岁，由于只有1项消息正确，则第一名是12岁；
再看城区，3人说东城区，1人说海淀区，1人说西城区，那么第一名在海淀区或者西城区；
类似地，可以分析出第一名同学姓李，或姓陈，或姓黄．
综合考虑第一名同学的姓名与城区，就很容易判断出唯一的答案：姓黄，是女同学，12岁，海淀区．
11、老师在A、B、C每个人头顶上带一个帽子，每个帽子上都有一个大于0的自然数，A、B、C每个人可以看见别人帽子上的数，但是看不见自己帽子上的数．老师对他们说：“3个数可以组成一个加法算式．”老师问A：“你知道你的数吗？”A说：“不知道．”老师问B：“现在你知道你的数吗？”B说：“我还是不知道．”老师又问C：“现在你知道你的数吗？”C说：“刚才我不知道，现在知道了，是2000．”则A、B各是多少？
【答案】
800；1200
【解析】
设A、B、C帽子上的自然数分别为a、b、c，则．开始谁也无法判断，故a、b、c两两不等．在C看来，c可能为a、b之差或，且通过A、B对话可排除其中某种情况，从而求出c．若a、b之差为c，易知C不可能排除这一情况，即C无法推出c的值，因此，即，．
这样，C需从A、B对话排除c为a、b之差这种情况，即当或时，A或B已经可推出自己帽子上的数．显然在的情况下，故A必无法推出，因此B可推出自己的数．当时，若，则B可判断出b只能为，否则当时，A已经可以判断a的值．即满足题目要求，解得．
1、五个国家足球队A、B、C、D、E进行单循环比赛，每天进行两场比赛，一队轮空．已知第一天比赛的是A与D，C轮空；第二天A与B比赛，E轮空；第三天A与E比赛；第四天A与C比赛；B与C的比赛在B与D的比赛之前进行．那么C与E在哪一天比赛？
【答案】
第五天
【解析】
列表分析，用*表示轮空．
2、有A、B、C、D四支足球队进行单循环比赛，每两队都比赛一场．比赛规定：胜一场得2分，平局各得1分，负一场得0分．全部比赛结束后，A、B两队的总分并列第一名，C队第二名，D队第三名，C队最多得多少分？
【答案】
3
【解析】
四队总分为分，A、B分数高于C，故C至多分，且易知四队分别4、4、3、1分即符合要求，因此C最多得3分．
3、（金帆四年级春季）甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘．到现在为止，甲已经赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘．问：小强已经赛了几盘？分别与谁赛过？
【答案】
2；甲，乙
【解析】
用5个点代表5人，实线代表两人比过，虚线则为没比过．甲与每人都比过，这样丁只与甲比过，乙未与丁比，与另三人比过，进而丙只与甲、乙比过．最终得小强与甲、乙比过2盘．
4、A、B、C、D四个队举行足球循环赛(即每两个队都要赛一场)，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．已知:
(1)比赛结束后四个队的得分都是奇数；
(2)A队总分第一；
(3)B队恰有两场平局，并且其中一场是与C队平局．那么，D队得多少分？
【答案】
3
【解析】
B队得分是奇数，并且恰有两场平局，所以B队是平2场胜1场，得5分．A队总分第1，并且没有胜B队，只能是胜2场平1场(与B队平)，得7分．因为C队与B队平局，负于A队，得分是奇数，所以只能得1分，即他要输给D．D队负于A、B队，胜C队，得3分．
5、（龙校四年级春季）2014年巴西世界杯足球赛小组赛结束后，东道主巴西所在的A组比赛结果如下所示：
（1）请将表格内空缺处补充完整
（2）根据此表有人猜测克罗地亚对喀麦隆的比分可能是1:0，你认为有可能吗？为什么？
【答案】
（1）见下表（2）不可能
【解析】
（1）每队胜平负场次和为3场，故喀麦隆胜、平均为0场，且其它队均战胜喀麦隆，胜场至少为1场，这样克罗地亚1胜0平，进而巴西的平局只能是和墨西哥产生，墨西哥1平0负．所有队总胜场与总负场相等，故巴西2胜0负．此外，所有球队总进球数与总失球数相等，因此巴西进球数为个．
（2）不可能，克罗地亚负于巴西与墨西哥，至少净负2球．由于其净胜球为0，故胜朝鲜至少胜2球，1:0不可能出现．
6、甲、乙、丙三名选手参加马拉松比赛．起跑后甲处在第一的位置，在整个比赛过程中，甲的位置共发生了7次变化．比赛结束时甲是第__________名。（注：整个比赛过程中没有出现三人跑在同一位置的情形．）
【答案】
第二名
【解析】
很难一下看出甲的名次，让我们先从甲的名次变化中找找规律．
当甲的名次第一次发生变化时，他只能由第一变成第二；21世纪教育网
当甲的名次再一次发生变化时，他将变成第一或者第三；
当甲的名次再一次发生变化时，他只能变回第二；
……
我们发现一个规律：如果甲的名次发生奇数次变化，结果就是第二名；而如果发生偶数次变化，甲最后就是第一名或者第三名．
由于甲的名次变化了7次，是个奇数，于是甲最后是第二名．
1、A、B、C、D四支球队进行足球比赛，每两队都要比赛一场．已知A、B、C三队的成绩分别是：A队2胜1负，B队2胜1平，C队1胜2负．那么D队的成绩是________胜．
【答案】
0
【解析】
D显然有1平．共赛了场，A、B、C共胜5场，再加上1场平局，已经达到6场，因此D没有获胜．
2、6名同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场，比赛规定胜者得2分，平局各得1分，输者得0分．那么6个人最后得分的总和是_______分．
【答案】
30
【解析】
无论赛果如何，每场共产生2分．6个人共赛了场，因此总分为分．
3、六个人参加乒乓球比赛，每两人之间都要比赛一场，胜者得2分，负者得0分，没有平局．比赛结束时发现，有两人并列第二名，两人并列第五名．那么第一名得了_______分．
【答案】
10
【解析】
每场共产生2分，6个人共赛了场，总分为分．第一名最多为分，假设第一名没全胜，则所有人总分至多为，矛盾，因此第一名全胜，得到10分．
4、足球甲A联赛共有12个足球俱乐部参加，实行主客场双循环赛制，即任何两队分别在主场和客场各比赛一场，胜一场得3分，平一场各得1分，负一场得0分，在联赛结束后按积分的高低排出名次．那么，在积分榜上第一名与第二名的积分差距最多可达_______分．
【答案】
46
【解析】
每队比场．极端情况是第一名全胜，其它队之间均打平，此时第一名与第二名的积分差距为分．
5、A、B、C、D四个足球队进行单循环比赛，赛了若干场后，A、B、C三队的比赛情况如下：
那么，D赛了________场．
【答案】
2
【解析】
A、B比满3场，即D与A、B均比过，且C的2场分别是和A、B赛的，即C、D未赛．综上，D只与A、B赛过，即比了2场．
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