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1.2.4 圆与圆的位置关系
题型一：判断两个圆之间的位置关系
1．已知圆E : (x - 2)2 + (y - 4)2 = 25，圆F : (x - 2)2 + (y - 2)2 =1，则这两圆的位置关系为（ ）
A．内含 B．相切 C．相交 D．外离
2．圆 C： x2 + y2 - 2x + 4y = r 2 - 5(r > 0) 与圆D : x2 + y2 = 6的位置关系不可能（ ）
A．内含 B．内切 C．相交 D．外切
3．（多选）已知圆 C： x2 + y2 - 6x = 0 ，则下述正确的是（ ）
A．圆 C 的半径 r = 3 B．点 (1,2 2)在圆 C 的内部
C．圆 C 关于直线 x + y - 3 = 0对称 D．圆C ： (x +1)2 + y2 = 4与圆 C 相交
4 2．用 f X ,G 表示点 X 与曲线G上任意一点距离的最小值．已知eO : x2 + y2 = 1及eO1 : x - 4 + y2 = 4，
设 P 为eO 上的动点，则 f P,eO1 的最大值为 ．
题型二：求两圆的交点坐标的情况

P 3 , 1

1．已知点 ÷÷ 关于直线 l : y = kx的对称点 Q 落在圆C : (x -1)
2 + (y - 3)2 =1上，则 k = （
2 2 ）è
A．1 B 3． C． 3 D．0
3
2．已知圆M 的圆心为 -1, -2 ，且经过圆Q： x2 + y2 + 6x - 4 = 0与圆O2 ： x2 + y2 + 6y - 28 = 0的交点．则
圆M 的面积为（ ）
A．5π
25π
B． 25π C．10π D．
2
3．已知圆 x2 + y2 - 2x = 0和圆 x2 + y2 - 4y = 0，观察可得它们都经过坐标原点 (0,0)，除此之外，它们还相
交于一点，这点的坐标是 ．
4．已知圆C : x21 + y
2 + 6x - 4 = 0，圆C2 : x
2 + y2 + 6x - 28 = 0，则过圆C1与圆C1的交点且圆心在直线
x - y - 4 = 0 上的圆的方程为 .
题型三：由两圆的位置关系确定参数的值或范围
1．已知点 A 4,0 ，圆C： x - a 2 + y - a 2 =1，若圆C 上存在点 P 使得 PA = 3，则实数 a的最小值是（ ）
A．－1 B．1 C．0 D．2
2．（多选）已知圆C : x2 + y2 =1, A(4, a), B(4,-a)，若圆C 上仅存在一点 P 使PA ^ PB ，则正实数 a的取值
可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3 x2 + y - 3 2．已知两圆 = r 2 和 x2 + y2 - 6x + 2y +1 = 0有公共点则 r 的值可能是（ ）
A．-6 B．1 C．6 D．8
4．已知动圆 N A -6,0 O N M : x2 + y - 4 2经过点 及原点 ，点 P 是圆 与圆 = 4 的一个公共点，则当 OPA
最大时，圆 N 的半径为 .
题型四：由圆与圆的位置关系求圆的方程
1 C : (x - 5)2 + (y + 2)2 = r 2．已知圆 (r > 0), A -6,0 , B 0,8 ，若圆C 上存在点 P 使得PA ^ PB ，则 r 的取值
范围为（ ）
A． 0,5 B． 5,15 C． 10,15 D． 15, +
2．过圆C 2 2 2 21： x + y + 6x - 4 = 0和圆C2 ： x + y + 6y - 28 = 0的交点，且圆心在直线 2x + y + 4 = 0上的圆的
方程为（ ）
A 2 2． x +1 + y + 2 = 25 B x +1 2 + y + 2 2． = 20
C． x -1 2 + y + 6 2 = 25 D． x -1 2 + y + 6 2 = 20
3．以C 4, -3 为圆心且与圆 x2 + y2 = 4外切的圆的方程为 ．
4．已知圆C : x2 + y2 - 4x - 5 = 0．
(1)求直线 y = 2x被圆截得弦长；
(2)已知 A 0, 5 为圆 C 上一点，求与圆 C 外切于点 A，且半径为 6 的圆M 的方程．
题型五：两圆相交公共弦问题
1 O : x2 + 2x + y2 2 2．已知圆 1 =10与圆O2 : x + y - x - 3y = 4交于 A，B 两点，则 | AB |=（ ）
A 15． B．5 C． 26 D．3 3
2
2．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果．其中有这样一个结论：平面内
与两定点距离的比为常数l l 1 的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点O 0,0 , A 4,0 ，
PO
1动点P x, y 满足 = P C 2 2PA 3，则点 的轨迹 1与圆C : (x -1) + (y +1) =1的公共弦长为（ ）
A 3 13 B 6 13． ． 2 C． D． 3
13 13
3 2 2．已知圆O1： x2 + y2 = 4和圆O2 ： x -1 + y +1 = a的公共弦所在直线经过原点，则实数 a 的值
为 ．
4．已知圆O : x2 + y2 = 4，圆C 与 x 轴相切于点P(2,0)，与 y 轴正半轴交于 A，B 两点，且 | AB |= 3，则圆O
和圆C 的公共弦所在的直线方程为 .
题型六：圆的公切线问题
1．圆C ： x2 + y21 + 2x + 2y - 2 = 0与圆C2 ： x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0的公切线有且仅有（ ）
A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条
2 2．已知直线 l与圆C1： x - 2 + y - 3 2 = 8和圆C2 ： x + 2 2 + y +1 2 = 8都相切，则直线 l的方程可能为
（ ）
A． x + y -1 = 0 B． x - y + 5 = 0 C． x - y - 3 = 0 D． x - y - 7 = 0
3 2 2 2 2．已知圆C1 : x + y + 4x - 4y -1 = 0，圆C2 : x + y - 2x - 6y + 9 = 0，直线 l分别与圆C1和圆C2 切于M , N 两
点，则线段MN 的长度为 ．
4．已知两圆M ： x2 + y2 - 2x - 6y -1 = 0和 N ： x2 + y2 -10x -12y + m = 0．求：
(1) m 取何值时两圆外切；
(2) m 取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么．
1．已知点 A 3,0 C : x - a 2 + y - a 2，圆 =1，若圆 C 上存在点 P 使得PA = 2 ，则 a 的取值范围为（ ）
A． 0,3 B． 0,3 C． -3,0 D． -3,0
2 2．圆M ： x -1 + y2 = 4与圆 N : x2 + y2 + 4x + 2y = 0的位置关系为（ ）
A．相交 B．内切 C．外切 D．相离
3 2 2 2 2．圆C1 : x + y - 2x =10与圆C2 : x + 2 + y - 4 =16的公共弦长为（ ）．
A． 2 7 B． 7 C． 6 D．2 6
4．已知 A, B C : x2 + y2分别是圆 1 =1与圆C2 : (x - a)
2 + (y - 4)2 = 36 a 0 上的动点，若 AB 的最大值为 12，
则 a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5 2 2 2．已知圆C1 : x + y =1和圆C2: x + y
2 - 6x -8y + 9 = 0，则两圆公切线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知m R ，直线 l1 : mx + y + 2m = 0 与 l2 : x - my + 4m = 0的交点 P 在圆C ： x - 3 2 + y - 4 2 = r 2 r > 0 上，
则 r 的最大值是（ ）
A． 4 2 B．3 2 C． 2 5 D．3 5
7．（多选）已知圆C : x2 + y2 - 2x - 2y - 3 = 0，则（ ）
A．圆C 的圆心坐标为 -1, -1
B．圆C 的周长为 2 5π
C．圆M : x + 3 2 + y +1 2 = 5与圆C 外切
D．圆C 截 y 轴所得的弦长为 3
8．（多选）已知圆C1 : x + 2
2 + y2 =1 2，圆C 22 : x + y - a = 9，则下列结论正确的是（ ）
A．若C1和C2 外离，则 a > 2 3 或a < -2 3
B．若C1和C2 外切，则a = ±2 3
C．当 a = 0时，有且仅有一条直线与C1和C2 均相切
D．当 a = 2时，C1和C2 内含
9 2 2 2 2．（多选）已知圆C1 : x + y -8x + 7 = 0 和圆C2 : x + y + 6y + m = 0外离，则整数 m 的一个取值可以是
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．（多选）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆C1 : (x -1)
2 + y2 =1 2 2，圆C2 : (x - 5) + (y - 3) = 4， AB 是圆C1
的一条直径，点 P 在圆C2 上，设直线 l为两圆的公切线，则（ ）
A．圆C1和圆C2 外切 B．直线 l斜率的最小值为 0
24
C．直线 l斜率的最大值为 D7 ．VPAB 面积的最大值为 7
11．圆 x - a 2 + y - 2a - 3 2 = 9上总存在两个点到 2,3 的距离为 1，则 a 的取值范围是 .
12 2 2．已知圆O1 : x + y - 6x = 0 和圆O2 : x
2 + y2 + 8y + m = 0内切，则实数m 的取值范围是 .
13 C 2 2．圆 1 : (x -1) + y =1与圆C2 : (x - 5)
2 + (y - 3)2 = 36的公切线的方程为 ．
1
14．已知 A 为圆M : (x - 3)2 + y2 = 上的动点，B 为圆 N : (x - 4)2 + y2
1
= 上的动点，P 为直线 y = x 上的动
16 4
点，则 PB + PA 的最小值为 ．
15．已知圆C : x2 + y2 - 4x - 6 y = 0 ．
(1)求直线 y = 2x被圆截得弦长；
(2)已知圆M 过点 -4,0 且与圆C : x2 + y2 - 4x - 6 y = 0 相切于原点，求圆M 的方程．
16．已知圆C : x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 = 0 满足：① a >1,b > 0；②与圆O : x2 + y2 =1外切；③被直线 x =1
分成两段圆弧，其弧长的比为1: 2 .
(1)求圆C 的方程；
(2)若直线 l与圆C 相交于M , N 两点，四边形OCNM 为平行四边形，求直线 l的方程.1.2.4 圆与圆的位置关系
题型一：判断两个圆之间的位置关系
1．已知圆E : (x - 2)2 + (y - 4)2 = 25，圆F : (x - 2)2 + (y - 2)2 =1，则这两圆的位置关系为（ ）
A．内含 B．相切 C．相交 D．外离
【答案】A
【分析】求出两圆圆心坐标与半径，再求出圆心距与半径之和、半径之差的绝对值比较，即可判断.
【详解】圆E : (x - 2)2 + (y - 4)2 = 25的圆心E 为 (2, 4)，半径 r1 = 5；
圆F : (x - 2)2 + (y - 2)2 =1的圆心F 为 (2, 2)，半径 r1 =1，
则 EF = (2 - 2)2 + (4 - 2)2 = 2，故 EF < r1 - r2 ，所以两圆内含；
故选：A
2．圆 C： x2 + y2 - 2x + 4y = r 2 - 5(r > 0) 与圆D : x2 + y2 = 6的位置关系不可能（ ）
A．内含 B．内切 C．相交 D．外切
【答案】D
【分析】由题可得两圆半径与圆心，后由圆心距与两圆半径间关系可得答案.
【详解】由题可得圆 C： x -1 2 + y - 2 2 = r2 ，则其圆心 1,2 ，半径为 r ；
圆D : x2 + y2 = 6，则其圆心为 0,0 ，半径为 6 .
则两圆圆心距为 5 < 6 + r ，
故两圆可能内含，内切，相交，不可能外切，外离.
故选：D
3．（多选）已知圆 C： x2 + y2 - 6x = 0 ，则下述正确的是（ ）
A．圆 C 的半径 r = 3 B．点 (1,2 2)在圆 C 的内部
C．圆 C 关于直线 x + y - 3 = 0对称 D．圆C ： (x +1)2 + y2 = 4与圆 C 相交
【答案】ACD
【分析】把圆C 的方程化成标准形式，再逐项判断得解.
【详解】圆C : (x - 3)2 + y2 = 9，圆心C(3,0)，半径 r = 3，
对于 A，圆 C 的半径 r = 3，A 正确；
对于 B，点 (1,2 2)到点C 的距离 d = (1- 3)2 + (2 2)2 = 2 3 > r ，点 (1,2 2)在圆 C 外，B 错误；
对于 C，点C(3,0)在直线 x + y - 3 = 0上，圆 C 关于直线 x + y - 3 = 0对称，C 正确；
对于 D，圆C 的圆心C (-1,0)，半径 r = 2，而 | CC |= 4 (1,5)，因此圆C 与圆C 相交，D 正确.
故选：ACD
4 2．用 f X ,G 表示点 X 与曲线G上任意一点距离的最小值．已知eO : x2 + y2 = 1及eO1 : x - 4 + y2 = 4，
设 P 为eO 上的动点，则 f P,eO1 的最大值为 ．
【答案】3
【分析】由圆心距与半径的关系可得到两圆相离，再由题意与圆的知识即可求解．
【详解】如图所示，
eO : x2 + y2 = 1得到圆心O(0,0), r1 = 1；
eO 2 21 : x - 4 + y = 4得到圆心O1(4,0), r2 = 2；
由于 |OO1 |= 4 > r1 + r2 ，所以两圆相离，因为 P 为eO 上的动点， f P,eO1 = PO1 - 2，
所以要使 f P,eO1 取得最大值，只需 | PO1 |最大即可，
因为 | PO1 |max =|OO1 | +1 = 5，则 f P,eO1 的最大值为3 .
故答案为：3.
题型二：求两圆的交点坐标的情况

P 3 1

1．已知点 , ÷÷ 关于直线 l : y = kx的对称点 Q 落在圆C : (x -1)
2 + (y - 3)2 =1上，则 k = （
2 2 ）è
A．1 B 3． C． 3 D．0
3
【答案】A
【分析】根据点关于直线对称确定 Q 在圆O : x2 + y2 =1上．联立 (x -1)2 + ( y - 3)2 = 1，求出 Q 点坐标，根
据对称知识，即可求得答案.
2
3 1 2
【详解】由题可知，直线 l 经过坐标原点 O，所以 OQ = OP = + ÷÷ ÷ = 1，
è 2 è 2
则 Q 在圆O : x2 + y2 =1上．
ìx2 + y2 =1 1
联立方程组 í 2 2 ，两式相减得 y = - (x - 2) ，
x -1 + y - 3 =1 3
2 1 3
代入 x2 + y2 =1得 4x - 4x +1 = 0,\ x = ，则
2 y =
，
2
3 1
-
1 3
即Q( , ) ，则 k 2 2PQ = = -1，
2 2 1 3-
2 2
而P,Q 关于直线 l : y = kx对称，
k = - 1则 =1k ，PQ
故选：A
2．已知圆M 的圆心为 -1, -2 ，且经过圆Q： x2 + y2 + 6x - 4 = 0与圆O2 ： x2 + y2 + 6y - 28 = 0的交点．则
圆M 的面积为（ ）
25π
A．5π B． 25π C．10π D．
2
【答案】B
【分析】联立圆Q与圆O2 的方程，解得两交点坐标，即可求得圆M 的半径，从而可得答案.
ìx2 + y2 + 6x - 4 = 0 ìx = -1 ìx = -6
【详解】解：联立 í 2 2 ，解得： 或 í
x + y + 6y - 28 0
í
= y = 3 y = -2
，
所以圆M 的半径为： -1+1 2 + 3 + 2 2 = 5，
所以M 的面积为 25π .
故选：B．
3．已知圆 x2 + y2 - 2x = 0和圆 x2 + y2 - 4y = 0，观察可得它们都经过坐标原点 (0,0)，除此之外，它们还相
交于一点，这点的坐标是 ．
8 4
【答案】 ,5 5 ÷è
【分析】将两圆方程联立解方程组即可求得该点坐标.
ì 8
ìx2 x =+ y2 - 2x = 0 ìx = 0 5
【详解】联立两圆方程 í 2 ，解得 í 或 ，
x + y
2 - 4y í= 0 y = 0 y 4=
5
8 , 4 即可得这点的坐标为 .
è 5 5 ÷
8 , 4 故答案为： ÷
è 5 5
4 C : x2 + y2 + 6x - 4 = 0 C : x2 2．已知圆 1 ，圆 2 + y + 6x - 28 = 0，则过圆C1与圆C1的交点且圆心在直线
x - y - 4 = 0 上的圆的方程为 .
(x 1- )2 7 89【答案】 + (y + )2 =
2 2 2
【分析】联立方程组，求得两圆的交点坐标，设所求圆的圆心为C(a,b) ，列出方程求得 a的值，得出圆心坐
标和半径，即可求解.
ìx2 + y2 + 6x - 4 = 0 ìx = -1 ìx = -6
【详解】设圆C1与圆C2 的交点分别为 A, B，联立方程组 í 2 2 ，解得 或 í ，则
x + y + 6x - 28 0
í
= y = 3 y = -2
A(-1,3), B(-6,-2) ，
设所求圆的圆心为C(a,b) ，因为圆心C(a,b) 在直线 x - y - 4 = 0 上，可得b = a - 4，
2 1则 (a +1) + (a - 4 - 3)2 = (a + 6)2 + (a - 4 + 2)2 ，解得 a = ，
2
1 7 1 7 89
所以圆心为C( , - )，半径 r = AC = ( +1)2 + (- - 3)2 = ，
2 2 2 2 2
(x 1 2 7所以，所求圆的方程为 - ) + (y + )2
89
= .
2 2 2
1 2 7 2 89
故答案为： (x - ) + (y + ) = .
2 2 2
题型三：由两圆的位置关系确定参数的值或范围
1．已知点 A 4,0 ，圆C： x - a 2 + y - a 2 =1，若圆C 上存在点 P 使得 PA = 3，则实数 a的最小值是（ ）
A．－1 B．1 C．0 D．2
【答案】C
【分析】把存在性问题转化为两圆有公共点问题来求解即可.
【详解】根据题意，点 A 4,0 ，若 PA = 3，则点 P 的轨迹是以A 为圆心，3 为半径的圆，设该圆为圆A ，
圆C : x - a 2 + y - a 2 =1，若圆C 上存在点 P 使得 PA = 3，则圆C 与圆A 有公共点，
则 2 a - 4 2 + a2 4，解得0 a 4 ，即 a的取值范围为 0,4 ，
故 a的最小值为 0．
故选：C．
2．（多选）已知圆C : x2 + y2 =1, A(4, a), B(4,-a)，若圆C 上仅存在一点 P 使PA ^ PB ，则正实数 a的取值
可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】BD
【分析】由题意可得以 AB 为直径的圆与圆C 相内切或外切，得出该圆圆心与半径后，结合圆与圆的位置关
系计算即可得.
【详解】若圆C 上仅存在一点 P 使PA ^ PB ，则以 AB 为直径的圆与圆C 相内切或外切，
由 A(4, a), B(4,-a)，则以 AB 为直径的圆的圆心为 4,0 ，半径为 a > 0，
0 - 4 2则有 + 0 - 0 2 =1+ a或 0 - 4 2 + 0 - 0 2 = 1- a ，
分别解得 a = 3或 a = 5，故 a = 3或 a = 5，
故 B、D 正确，A、C 错误.
故选：BD.
3．已知两圆 x2 + y - 3 2 = r 2 和 x2 + y2 - 6x + 2y +1 = 0有公共点则 r 的值可能是（ ）
A．-6 B．1 C．6 D．8
【答案】ACD
【分析】由条件可求两圆的圆心与半径，由圆心距为5，可得 r - 3 5 r + 3，求解可判断结论.
2
【详解】由 x2 + y - 3 = r2 ，可得圆心为 0,3 ，半径分别为 r1 = r ，
由 x2 + y2 - 6x + 2y +1 = 0，可得 (x - 3)2 + y +1 2 = 9，得圆心坐标 3, -1 ，半径 r2 = 3，
则两圆圆心之间的距离为 d = 9 +16 = 5，
又两圆有公共点则 r - 3 5 r + 3，解得 2 r 8 .
故选：ACD．
4．已知动圆 N 经过点 A -6,0 及原点O，点 P 是圆 N 与圆M : x2 + y - 4 2 = 4 的一个公共点，则当 OPA
最大时，圆 N 的半径为 .
【答案】3
【分析】利用两圆的位置关系确定两圆外切时 OPA最大，根据位置关系可得圆 N 的半径.
【详解】因为动圆 N 经过点 A -6,0 及原点O，记 AO 的中点为 B ，则圆心在 x = -3上，
如图：
记圆 N 半径为 R ， OPA = q ，则 ANO = 2q ， BNO = q ，
BO
sin OPA sin BNO 3所以 = = =ON R ，
当 OPA最大时， R 最小，此时两圆外切.
由已知设动圆 N 的圆心为 N -3, t ，
M : x2 + y - 4 2又圆 = 4 的圆心M 0,4 ，半径 r = 2，
所以R + 2 = MN ，
即 -3 - 0 2 + t - 0 2 + 2 = -3- 0 2 + t - 4 2 ，
解得 t = 0，所以R = 3，即圆 N 的半径为3，
此时圆 N 为 x + 3 2 + y2 = 9，圆心 N -3,0 ， OPA π= .
2
故答案为：3 .
题型四：由圆与圆的位置关系求圆的方程
1 2 2 2．已知圆C : (x - 5) + (y + 2) = r (r > 0), A -6,0 , B 0,8 ，若圆C 上存在点 P 使得PA ^ PB ，则 r 的取值
范围为（ ）
A． 0,5 B． 5,15 C． 10,15 D． 15, +
【答案】B
【分析】由PA ^ PB 得到点 P 的轨迹是以 AB 为直径的圆，依题意，问题转化为两个圆有公共点的问题，
解不等式组即得.
【详解】
如图，由PA ^ PB 可知点 P 的轨迹是以 AB 为直径的圆，设为圆M ，
因 A -6,0 , B 0,8 ，故圆M : (x + 3)2 + ( y - 4)2 = 25 .
依题意知圆M 与圆C 必至少有一个公共点.
因C(5,-2), M (-3,4) ，则 | CM |= (5 + 3)2 + (-2 - 4)2 = 10，
由 r - 5 CM 5 + r ，解得：5 r 15 .
故选：B.
2．过圆C1： x2 + y2 + 6x - 4 = 0和圆C2 ： x2 + y2 + 6y - 28 = 0的交点，且圆心在直线 2x + y + 4 = 0上的圆的
方程为（ ）
A． x +1 2 y 2 2 2 2+ + = 25 B． x +1 + y + 2 = 20
C x -1 2． + y + 6 2 = 25 D x -1 2． + y + 6 2 = 20
【答案】A
【分析】设圆系方程，利用圆心坐标求出参数，建立方程求解即可.
【详解】经过圆C ： x2 21 + y + 6x - 4 = 0和圆C ： x22 + y2 + 6y - 28 = 0交点的圆可设为
x2 + y2 + 6x - 4 + l x2 + y2 + 6y - 28 = 0 x2，即 + y2 6 6l 4 + 28l+ x + y - = 0 ，
1+ l 1+ l 1+ l
3 3l 6 3l
圆心 - ,- ÷在直线 2x + y + 4 = 0上，故- - + 4 = 0，解得l = 2，
è 1+ l 1+ l 1+ l 1+ l
所以圆的方程为 x +1 2 + y + 2 2 = 25 .
故选：A.
3．以C 4, -3 为圆心且与圆 x2 + y2 = 4外切的圆的方程为 ．
【答案】 x - 4 2 + y + 3 2 = 9
【分析】求出两圆圆心距，利用两圆外切求出圆C 的半径，即可得出圆C 的方程.
【详解】设圆C 的半径为 r ，圆 x2 + y2 = 4的圆心为坐标原点O，半径为 2，
OC = 42 + -3 2两圆圆心距为 = 5，故 r = OC - 2 = 5 - 2 = 3，
因此，以C 4, -3 为圆心且与圆 x2 + y2 = 4外切的圆的方程为 x - 4 2 + y + 3 2 = 9 .
x - 4 2 + y + 3 2故答案为： = 9 .
4．已知圆C : x2 + y2 - 4x - 5 = 0．
(1)求直线 y = 2x被圆截得弦长；
(2)已知 A 0, 5 为圆 C 上一点，求与圆 C 外切于点 A，且半径为 6 的圆M 的方程．
(1) 2 145【答案】
5
(2) x + 4 2 + y - 3 5 2 = 36
【分析】
（1）根据圆的弦长公式，结合点到直线的距离公式即可求解，
（2）根据外切的性质，由点点距离公式即可求解.
【详解】（1）C : x2 + y2 - 4x - 5 = 0的圆心为 2,0 ，半径 r = 3，
4 - 0 4
圆心到直线的距离为 d = = ，
5 5
16 2 145
故弦长为 2 r 2 - d 2 = 2 9 - = ，
5 5
（2）由题意可知M 在直线 AC 上，由于 A 0, 5 ，C 2,0 ,
所以直线 AC 5方程为 y = - x + 5，
2
2
设M a,
5
- a + 5

÷÷，则2 MC = a - 2
2 5+ - a + 52 ÷÷
= r + 6 = 9，
è è
化简可得 a2 - 4a - 32 = 0，解得 a = -4 或a = 8，
由于两圆外切，且点A 为切点，所以a = 8不符合，舍去，
2 2
故 a = -4 ，圆心为M -4,3 5 则圆的方程为 x + 4 + y - 3 5 = 36
题型五：两圆相交公共弦问题
1 2 2．已知圆O1 : x + 2x + y =10与圆O2 : x
2 + y2 - x - 3y = 4交于 A，B 两点，则 | AB |=（ ）
A 15． B．5 C． 26 D．3 3
2
【答案】C
【分析】求出两圆的公共弦所在直线方程，再求出弦长即可.
2 2
【详解】圆O1 : (x +1) + y =11的圆心O1(-1,0)，半径 r1 = 11 ，
圆O2 : (x
1)2 (y 3)2 13 1 3- + - = 的圆心O2 ( , )
26
，半径 ，
2 2 2 2 2 r2 = 2
| O1O |
3 2
2 = (r O O1 - r2 , r1 + r2 )，圆 1与圆 2 相交，两圆方程相减得直线 AB ： x + y = 2 ，2
1 3
显然点O2 ( , )在直线 AB 上，因此线段 AB 是圆O2 的直径，2 2
所以 | AB |= 26 .
故选：C
2．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果．其中有这样一个结论：平面内
与两定点距离的比为常数l l 1 的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点O 0,0 , A 4,0 ，
PO
1动点P x, y 满足 = ，则点 PPA 3 的轨迹C1与圆C : (x -1)
2 + (y +1)2 =1的公共弦长为（ ）
A 3 13 B C 6 13． ． 2 ． D． 3
13 13
【答案】C
【分析】首先求出点 P 的轨迹C1的方程，即可得到其圆心与半径，再得到圆C 的圆心与半径，即可判断两
圆相交，再两圆方程作差即可得到公共弦方程，求出圆心C 到公共弦所在直线的距离d ，最后由 2 r 22 - d
2
计算可得.
x2 + y2 1 1 2 9 1 3
【详解】由题意知 = ，化简得C1 : x + + y
2 = ，其圆心为C - ,0 ，半径 r = ，
(x - 4)2 + y2 3 è 2 ÷ 4
1 2 ֏ 1 2
又圆C : (x -1)2 + (y +1)2 =1的圆心为C 1, -1 ，半径 r2 =1，
13
所以 CC = ，且 r2 - r1 < CC1 < r2 + r1 1 ，所以两圆相交，2
其公共弦所在的直线方程为3x - 2y - 3 = 0 ，
3- 2 -1 - 3 2
圆心C 到公共弦所在直线的距离 d = = ，
32 + -2 2 13
4 6 13
故公共弦长为 2 r 22 - d
2 = 2 1- = .
13 13
故选：C
3．已知圆O ： x2 + y21 = 4和圆O2 ： x -1 2 + y +1 2 = a的公共弦所在直线经过原点，则实数 a 的值
为 ．
【答案】6
【分析】将两圆方程作差，得两圆的公共弦所在的方程，即可求解．
ìx2 + y
2 = 4
【详解】解：将两圆方程联立，得： í ，
x -1
2 + y +1 2 = a
ìx2 + y2 = 4
得 í 2 2 ，
x + y - 2x + 2y + 2 = a
两式相减，得：6 - 2x + 2y = a，
则两圆的公共弦所在的方程为：6 - 2x + 2y = a，
因为公共弦所在的直线经过原点，
所以：6 - 2 0 + 2 0 = a，
得 a = 6，
故答案为：6
4．已知圆O : x2 + y2 = 4，圆C 与 x 轴相切于点P(2,0)，与 y 轴正半轴交于 A，B 两点，且 | AB |= 3，则圆O
和圆C 的公共弦所在的直线方程为 .
【答案】 4x + 5y -8 = 0
【分析】根据相切和弦长求出圆C 的方程，再联立两圆方程，即可得到相交弦所在的直线方程.
【详解】由圆C 与 x 轴相切于点P(2,0)，可设圆C 的方程为 (x - 2)2 + (y - b)2 = b2 ，
3 2 2 2
由 AB = 3，则b2 5 5 25= 22 + ÷ = ，所以圆C 的方程为 (x - 2)
2 + y - = ，
è 2 è 2 ÷ 2 ÷ è 4
圆C 与圆O的方程相减得 4x + 5y -8 = 0，即为两圆的相交弦所在直线方程.
故答案为： 4x + 5y -8 = 0
题型六：圆的公切线问题
1．圆C1： x2 + y2 + 2x + 2y - 2 = 0与圆C ： x22 + y2 - 4x - 2y +1 = 0的公切线有且仅有（ ）
A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条
【答案】B
【分析】将两圆方程化为标准方程，通过两圆的圆心距及半径关系，判断两圆的位置关系即可求解．
2 2
【详解】解：圆C1 : x +1 + y +1 = 4，则圆心C1 -1, -1 ，半径 r1 = 2，
圆C2 : x - 2
2 + y -1 2 = 4，则圆心C2 2,1 ，半径 r2 = 2，
2
得两圆的圆心距为： C1C2 = -1- 2 + -1-1
2 = 13，
则 r1 - r2 < C1C2 < r1 + r2 ，
得两圆相交，得两圆的公切线有且仅有 2 条．
故选：B
2．已知直线 l与圆C1： x - 2 2 + y - 3 2 = 8 2 2和圆C2 ： x + 2 + y +1 = 8都相切，则直线 l的方程可能为
（ ）
A． x + y -1 = 0 B． x - y + 5 = 0 C． x - y - 3 = 0 D． x - y - 7 = 0
【答案】ABC
【分析】先明确两圆位置关系，从而根据两圆位置关系明确公切线的情况，再根据公切线特征情况分情况
直接计算求解即可.
【详解】由题知C1 2,3 ,C2 -2,-1 ，两圆半径 r1 = r2 = 2 2 ，
2 2
所以 C C 2 21 2 = é2 - -2 ù + é 3- -1 ù = 4 + 4 = 32 = 4 2 = r1 + r2 ，
故圆C1、C2 外切，则两圆有三条公切线，如图，C1C2 的中点为两圆外切切点G 0,1 ，
当直线 l过C1C2 的中点，且与C1C2 垂直时，
3 - -1
因为 kC C = =11 2 2 - -2 ，所以直线 l的方程为 y -1 = -x，即 x + y -1 = 0 ；
当直线 l与C1C2 平行，且C1到 l的距离为 2 2 时，设直线 l的方程为 x - y + m = 0 ，
2 - 3 + m
所以 = 2 2 ，解得m = -3或m = 5，
1+1
所以直线 l的方程为 x - y + 5 = 0或 x - y - 3 = 0．
故选：ABC．
3 C : x2 2．已知圆 1 + y + 4x - 4y -1 = 0，圆C2 : x
2 + y2 - 2x - 6y + 9 = 0，直线 l分别与圆C1和圆C2 切于M , N 两
点，则线段MN 的长度为 ．
【答案】 6
【分析】利用圆与圆的位置关系，结合图形和几何关系，即可求解.
【详解】圆C1 : x + 2
2 + y - 2 2 = 9，圆心C1 -2,2 ，半径 r1 = 3，
圆C2 : x -1
2 + y - 3 2 =1，圆心C2 1,3 ，半径 r2 =1，
C C = -2 -1 2圆心距 1 2 + 2 - 3
2 = 10 ，由3-1 < 10 < 3 +1，
2
所以两圆相交，则 MN = 10 - 3-1 2 = 6 .
故答案为： 6
4．已知两圆M ： x2 + y2 - 2x - 6y -1 = 0和 N ： x2 + y2 -10x -12y + m = 0．求：
(1) m 取何值时两圆外切；
(2) m 取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么．
【答案】(1) m = 25 +10 11
(2) m = 25 -10 11 ， 4x + 3y + 5 11 -13 = 0．
【分析】（1）由两圆外切，得两圆圆心之间的距离等于两圆半径的和，从而求出m 的值；
（2）由两圆内切，得到两圆圆心之间的距离等于两圆半径之差，求解得出m 的值；由两圆心连线与两圆公
切线垂直，根据已知两圆心连线的斜率求出两圆公切线的斜率，设出切线方程，再根据切线的性质求解未
知量的值.
【详解】（1）由题意，圆M ： x2 + y2 - 2x - 6y -1 = 0，可化为M ： (x -1)2 + (y - 3)2 = 11
圆 N ： x2 + y2 -10x -12y + m = 0，可化为 N ： (x - 5)2 + (y - 6)2 = 61- m ，
可得圆心坐标分别为M 1,3 ， N 5,6 ，半径分别为 r1 = 11 ， r2 = 61- m ，
当两圆相外切时，可得 MN = r1 + r2 ，
即 (5 -1)2 + (6 - 3)2 = 11 + 61- m ，
解得m = 25 +10 11，
所以m = 25 +10 11时，两圆外切；
（2）由（1）知，圆心坐标分别为M 1,3 ， N 5,6 ，半径分别为 r1 = 11 ， r2 = 61- m ，
当两圆内切时，可得 MN = r2 - r1，
即 61- m - 11 = (5 -1)2 + (6 - 3)2 ，
解得m = 25 -10 11 ，
6 - 3 3
因为 kMN = = ，5 -1 4
4
可得两圆公切线的斜率是- ，
3
4 4
设切线方程为 y = - x + b，即 x + y - b = 0
3 3
则圆心M 1,3 到切线的距离等于圆M 的半径 r1，
4 1+ 3 - b
3
即 = 11 b 13 5 112 ，解得 = ± ，
4 3 3
3 ÷
+1
è
b 13 5 11当 = + 时，直线与圆 N ： x2 + y2 -10x -12y + m = 0相交，舍去，
3 3
y 4 x 13 5 11故所求公切线方程为 = - + - ，即 4x + 3y + 5 11 -13 = 0．
3 3 3
1．已知点 A 3,0 ，圆C : x - a 2 + y - a 2 =1，若圆 C 上存在点 P 使得PA = 2 ，则 a 的取值范围为（ ）
A． 0,3 B． 0,3 C． -3,0 D． -3,0
【答案】A
2
【分析】以点 A 为圆心，半径为 2 作圆 A : x - 3 + y2 = 4 ，根据点 P 既在圆A 上，也在圆C 上，根据两圆
有公共点的条件列不等式即可求 a的取值范围.
2
【详解】由PA = 2 ，则点 P 在圆 A : x - 3 + y2 = 4 上，
又有点 P 在圆 C 上，所以圆 A 和圆 C 有公共点（P)，
两圆半径分别为 2、1，
所以 2 -1 3 - a 2 + 0 - a 2 2 +1，
所以 a 0,3 .
故选：A．
2 2．圆M ： x -1 + y2 = 4与圆 N : x2 + y2 + 4x + 2y = 0的位置关系为（ ）
A．相交 B．内切 C．外切 D．相离
【答案】A
【分析】求出两圆的圆心距，则有R - r < MN < R + r ，即可判断两圆位置关系.
【详解】圆M 的圆心为M 1,0 ，半径为 r = 2； N : x + 2 2 + y +1 2 = 5，
则圆 N 的圆心为 N -2, -1 ，半径为R = 5 .
2
两圆心之间的距离 MN = 1+ 2 +1 = 10 ，
且满足R - r < MN < R + r ，可知两圆相交.
故选：A.
3．圆C1 : x
2 + y2 - 2x =10 C : x + 2 2 2与圆 2 + y - 4 =16的公共弦长为（ ）．
A． 2 7 B． 7 C． 6 D．2 6
【答案】A
【分析】两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程为3x - 4y + 7 = 0，即可利用点到线的距离公式以及圆的
弦长公式求解.
【详解】C1,C2 的圆心和半径分别为C1 1,0 , C2 -2, 4 ，r= 11, R=4 ,
R - r < C1C2 =5 < R + r ，故两圆相交，
将两个圆的方程作差得6x -8y +14 = 0，即公共弦所在的直线方程为3x - 4y + 7 = 0，
又知C2 -2,4 ，R = 4，
则C2
3 -2 - 4 4 + 7
-2,4 到直线的3x - 4y + 7

= 0 15的距离 d = = = 3，
32 + 42 5
所以公共弦长为 2 42 - 32 = 2 7 ，
故选:A．
4 2 2 2 2．已知 A, B分别是圆C1 : x + y =1与圆C2 : (x - a) + (y - 4) = 36 a 0 上的动点，若 AB 的最大值为 12，
则 a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据两圆圆心距离以及半径可得 AB = O1O2 +R+r =12max ，即可求解.
C : x2 2【详解】圆 1 + y =1的圆心为 0,0 ,半径 r =1，
圆C2 : (x - a)
2 + (y - 4)2 = 36 a 0 的圆心为 a, 4 ,半径R = 6 ，
故两圆不是内切和内含，
由题意知 AB 的最大值等于 12，则 AB = O O +R+r =12 2 2max 1 2 ，所以 O1O2 = a + 4 = 5 .
又 a 0，所以 a = 3 .
故选：D.
5 2 2．已知圆C1 : x + y =1和圆C2: x
2 + y2 - 6x -8y + 9 = 0，则两圆公切线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据圆与圆的位置关系求两圆圆心距及两圆半径，从而可判断两圆位置关系，即可得公切线条数.
2 2
【详解】圆C1 : x + y =1的圆心为C1 0,0 ，半径 r1 =1，圆C2: x2 + y2 - 6x -8y + 9 = 0的圆心C2 3,4 ，半径
r2 = 4，
则 C C = 321 2 + 4
2 = 5 = r1 + r2，故两圆外切，则两圆公切线的条数为3 .
故选：C.
6．已知m R ，直线 l1 : mx + y + 2m = 0
2 2
与 l2 : x - my + 4m = 0的交点 P 在圆C ： x - 3 + y - 4 = r 2 r > 0 上，
则 r 的最大值是（ ）
A． 4 2 B．3 2 C． 2 5 D．3 5
【答案】D
【分析】根据两直线方程可知两直线分别过定点且垂直，可求得 P 点轨迹方程，再由圆与圆的位置关系找出
圆心距与两圆半径之间的关系可得结果.
【详解】易知直线 l1 : mx + y + 2m = 0 恒过定点 A -2,0 ，
直线 l2 : x - my + 4m = 0恒过定点B 0,4 ，
且m 1+1 -m = 0，易知直线 l1与 l2互相垂直，即可得 APB = 90o，
所以 P 点轨迹是以 AB 为直径的圆，圆心为 AB 的中点 -1,2 ，半径为 5 ；
可得 P 点轨迹方程为 x +1 2 + y - 2 2 = 5；
2 2
又因为 P 点在圆C 上，所以可得圆 x +1 + y - 2 = 5与圆C 有公共点，
当两圆内切（圆C 在外）时， r 取得最大值；
此时满足 3 +1 2 + 4 - 2 2 = r - 5 ，解得 r = 3 5 .
故选：D
7．（多选）已知圆C : x2 + y2 - 2x - 2y - 3 = 0，则（ ）
A．圆C 的圆心坐标为 -1, -1
B．圆C 的周长为 2 5π
C．圆M : x + 3 2 + y +1 2 = 5与圆C 外切
D．圆C 截 y 轴所得的弦长为 3
【答案】BC
【分析】根据圆 C 和圆 M 的方程得它们的圆心和半径即可求解判断 ABC，对于 D 求出圆 C 上横坐标为 0 的
点的纵坐标即可判断.
【详解】对于 AB，圆C 2的方程可化为 x -1 + y -1 2 = 5，
可得圆心的坐标为 1,1 ，半径为 5 ，则周长为 2 5π，可知A 错误，B正确；
对于C ，由M -3,-1 ， MC = 16 + 4 = 2 5 为两圆半径之和，可知C 正确；
对于D ，令 x = 0，可得 y2 - 2y - 3 = 0，解得 y = -1或 3，
可得圆C 截 y 轴所得的弦长为 4，可知D 错误.
故选：BC.
8 2 2．（多选）已知圆C : x + 2 + y2 =1，圆C : x21 2 + y - a = 9，则下列结论正确的是（ ）
A．若C1和C2 外离，则 a > 2 3 或a < -2 3
B．若C1和C2 外切，则a = ±2 3
C．当 a = 0时，有且仅有一条直线与C1和C2 均相切
D．当 a = 2时，C1和C2 内含
【答案】ABC
【分析】首先得到两圆圆心坐标与半径，从而求出圆心距，再根据两圆的位置关系由圆心距与半径的和差
关系得到不等式（方程），即可判断.
【详解】圆C1 : x + 2
2 + y2 =1的圆心为C1 -2,0 ，半径 r1 =1，
圆C 22 : x + y - a
2 = 9的圆心为C2 0,a ，半径 r2 = 3，
所以 C1C2 = 4 + a
2 ，
若C1和C2 外离，则 C1C2 = 4 + a
2 > r1 + r2 = 4，解得 a > 2 3 或a < -2 3，故 A 正确；
若C 和C 外切，则 C C = 4 + a21 2 1 2 = 4，解得a = ±2 3 ，故 B 正确；
当 a = 0时， C1C2 = 2 = r2 - r1，则C1和C2 内切，故仅有一条公切线，故 C 正确；
当 a = 2时， 2 = r2 - r1 < C1C2 = 2 2 < r1 + r2 = 4 ，则C1和C2 相交，故 D 错误.
故选：ABC．
9 2 2 2 2．（多选）已知圆C1 : x + y -8x + 7 = 0 和圆C2 : x + y + 6y + m = 0外离，则整数 m 的一个取值可以是
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】CD
【分析】写出两圆的圆心及半径，利用两点之间坐标公式求出圆心距，利用两圆外离的关系列出不等式，
求出整数m 的值.
2
【详解】因为方程 x2 + y2 -8x + 7 = 0可化为 x - 4 + y2 = 9，
所以圆C1的圆心C1的坐标为 4,0 ，半径为3，
2
因为方程 x2 + y2 + 6y + m = 0 可化为 x2 + y + 3 = 9 - m ，
由已知9 - m > 0，且m 为正整数，
所以圆C2 的圆心C2 的坐标为 0, -3 ，半径为 9 - m ，
所以圆心距 C 2 21C2 = 4 + 3 = 5，
因为圆C1和圆C2 外离，
所以5 > 3 + 9 - m ，
所以5 < m < 9，
故m 的可能取值有 6,7,8，
故选：CD.
10 xOy C : (x -1)2 + y2．（多选）在平面直角坐标系 中，已知圆 1 =1，圆C2 : (x - 5)
2 + (y - 3)2 = 4， AB 是圆C1
的一条直径，点 P 在圆C2 上，设直线 l为两圆的公切线，则（ ）
A．圆C1和圆C2 外切 B．直线 l斜率的最小值为 0
24
C．直线 l斜率的最大值为 D 77 ．VPAB 面积的最大值为
【答案】BCD
【分析】A 选项，计算出圆心距，得到 C1C2 > r1 + r2 ，A 错误；B 选项，画出图形，得到内公切线 l1的斜率最
小，计算出最小斜率；C 选项，内公切线 l3 的斜率最大，设其倾斜角为a ，利用二倍角公式和斜率定义求出
答案；D 选项，计算出 PC1 7 ，得到面积最大值.
A C : (x -1)2 2【详解】 选项， 1 + y =1的圆心为C1 1,0 ，半径为 r1 =1，
C2 : (x - 5)
2 + (y - 3)2 = 4的圆心为C2 5,3 ，半径为 r2 = 2，
C1C2 = 4
2 + 32 = 5，因为 C1C2 > r1 + r2 ，所以C1和C2 外离，A 选项错误；
B 选项，画出两圆如下：
可以看出共有 4 条公切线，其中内公切线 l1的斜率最小，
其中 l1： y =1与C1和C2 均相切，所以直线 l斜率的最小值为0,B正确；
C 选项，由 B 选项可知， l1： y =1，内公切线 l3 的斜率最大，设其倾斜角为a ，
C C k 3- 0 3直线 1 2 的斜率 = = ，即 tan
a 3
= ，
5 -1 4 2 4
2 tan a
tana 2 24则 = a = ，1- tan2 7
2
24
所以直线 l斜率的最大值为 C7 ． 选项正确；
D 选项，易知 PC1 C1C2 + 2 = 5 + 2 = 7，此时P,C1,C2 三点共线，
PC ^ AB 1当 1 时，VPAB 面积取得最大值，最大值为 AB 7 = 7，D 选项正确，2
故选：BCD．
11 2 2．圆 x - a + y - 2a - 3 = 9上总存在两个点到 2,3 的距离为 1，则 a 的取值范围是 .
6
【答案】 - ,0
4÷ , 2

5 5 ÷è è
【分析】问题转化为两个圆的位置关系，通过圆心距与半径和与差的关系列出不等式求解即可.
2 2
【详解】圆 x - a + y - 2a - 3 = 9上总存在两个点到 2,3 的距离为 1，
转化为：以 2,3 为圆心 1 为半径的圆与已知圆相交，
ì5a2 - 4a > 0
可得3-1< 2 - a 2 + 3- 2a - 3 2 < 3+1，即 í5a2 ， - 4a -12 < 0
6 6 4
解得- < a 0
4
< 或 < a < 2，即 a

的取值范围是 - ,0
, 2 .
5 5 ÷ è 5 è 5 ÷
6 ,0 4 故答案为： - , 25 ÷ 5 ÷
.
è è
12 2 2 2．已知圆O1 : x + y - 6x = 0 和圆O2 : x + y
2 + 8y + m = 0内切，则实数m 的取值范围是 .
【答案】-48
【分析】把两圆化为标准方程，得到圆心坐标和半径，由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值，列方
程解实数m 的值.
【详解】圆O1 : x
2 + y2 - 6x = 0 2化为标准方程为 x - 3 + y2 = 9，圆心O1 3,0 ，半径 r1 = 3，
圆O2 : x
2 + y2 + 8y + m = 0化为标准方程为O2 : x
2 + y + 4 2 =16 - m，圆心O2 0, -4 ，半径 r2 = 16 - m ，
2
由两圆外切，有 O1O2 = r1 - r2 ，即 32 + -4 = 3 - 16 - m ，解得m = -48 .
故答案为：-48
13．圆C1 : (x -1)
2 + y2 =1 2 2与圆C2 : (x - 5) + (y - 3) = 36的公切线的方程为 ．
【答案】 4x + 3y +1 = 0
【分析】先判断两圆位置关系，然后将圆C1,C2 化为一般式，两式相减可得.
【详解】圆C1的圆心为 1,0 ，半径为 1，圆C2 的圆心为 5,3 ，半径为 6，
因为 C1C2 = 5 -1
2 + 3- 0 2 = 5 = 6 -1，所以两圆内切，只有一条公切线，
将圆C1,C2 化为一般式得：
C 21 : x + y
2 - 2x = 0 2，C2 : x + y
2 -10x - 6y - 2 = 0 ，
两式相减得8x + 6y + 2 = 0，即 4x + 3y +1 = 0，
所以圆C1,C2 的公切线的方程为 4x + 3y +1 = 0 .
故答案为： 4x + 3y +1 = 0
14．已知 A 为圆M : (x - 3)2 + y2
1 1
= 2 2上的动点，B 为圆 N : (x - 4) + y = 上的动点，P 为直线 y = x 上的动
16 4
点，则 PB + PA 的最小值为 ．
17
【答案】
4
【分析】作出圆M 关于 y = x 对称的圆M ，数形结合得到P, A , B三点共线时， PB + PA 取得最小值，求
出答案.
【详解】设M 3,0 关于直线 y = x 的对称点为M 0,3 ，
2 2 1
则圆M 关于 y = x 对称的圆M 的方程为 x + ( y - 3) = ，
16
要使 PB + PA 的值最小，
则P, A , B（其中 A 为A 关于直线 y = x 的对称圆M 上的点）三点共线，
1 1 2 2 3 17
且该直线过 N , M 两点，其最小值为 A B = M N - - = 3 + 4 - = ．
4 2 4 4
17
故答案为：
4
15．已知圆C : x2 + y2 - 4x - 6 y = 0 ．
(1)求直线 y = 2x被圆截得弦长；
(2)已知圆M 过点 -4,0 且与圆C : x2 + y2 - 4x - 6 y = 0 相切于原点，求圆M 的方程．
【答案】(1) 16 5
5
(2) x + 2 2 + y + 3 2 =13
【分析】（1）求出圆心和半径，结合勾股定理可得答案；
（2）利用待定系数法和相切可求圆的方程.
【详解】（1）由 x2 + y2 - 4x - 6y = 0可得 x - 2 2 + y - 3 2 =13，圆心为 2,3 ，半径为 r = 13 ，
圆心C 2,3 2 2 - 3 5到直线 y = 2x的距离为 d = = ，
5 5
所以直线 y = 2x被圆截得弦长为 2 r 2 - d 2 = 2 13 1 16 5- = .
5 5
（2）设 x - a 2 + y - b 2 = R2 R > 0 ，
ì -4 - a
2 + 0 - b 2 = R2
则 í
2
，解得 a = -2 ，
2 2 R = 4 + b
2 ；
0 - a + 0 - b = R
因为圆M 与圆C : x2 + y2 - 4x - 6 y = 0 相切于原点，且圆M 过点 -4,0 ，
所以R + 13 = 2 - a 2 + 3- b 2 ， 4 + b2 + 13 = 16 + 3 - b 2 ，
两边平方整理可得 4 - 3b = 13 4 + b2 ，平方可求b = -3，
代入可得R = 13 ，所以圆M 的方程为 x + 2 2 + y + 3 2 =13 .
16．已知圆C : x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 = 0 满足：① a >1,b > 0；②与圆O : x2 + y2 =1外切；③被直线 x =1
分成两段圆弧，其弧长的比为1: 2 .
(1)求圆C 的方程；
(2)若直线 l与圆C 相交于M , N 两点，四边形OCNM 为平行四边形，求直线 l的方程.
【答案】(1) (x - 3)2 + (y - 4)2 =16
(2) y 4 x 5 39 4= + 或 y = x 5 39-
3 6 3 6
【分析】（1）画出图形，由于圆C 与圆O外切，得到 a2 =1+ 2b ，圆C 被直线 x =1分成两段圆弧，其弧长的
1
比为1: 2 . 得到 a -1 = b ，求出 a,b即可；
2
4 4
（2）画出图形，四边形OCNM 为平行四边形, OC / /NM ，得到 kOC = = k3 MN
，将直线 l设为： y = x + m；
3
则 OC = NM 3m 39，结合垂径定理和勾股定理，得到 = ，求出m 即可.
5 2
【详解】（1）如图所示， x =1与圆C 交于P,Q ，过C 作CC1 垂直于 x =1于C1点．
由于C : x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 = 0 ，配方得 (x - a)2 + ( y - b)2 = b2 ，
则圆心为C(a,b) ，半径 r = b ．O : x21 + y2 =1，圆心为O(0,0) ，半径 r2 =1．
由于圆C 与圆O外切，则 OC = r 2 21 + r2 a + b =1+ b a
2 =1+ 2b（ ）．
圆C 被直线 x =1分成两段圆弧，其弧长的比为1: 2 .
QCP 2π QCC π π则 = 1 = CQC3 3 1
= ，
6
则 CC
1
1 = CQ a
1
-1 = b （ ），与（ ）联立方程，解得 a = 3（ a >1,b > 0）.
2 2
因此b = 4 ，则圆C 的方程为： (x - 3)2 + (y - 4)2 =16．
（2）
直线 l与圆C 相交于M , N 两点，四边形OCNM 为平行四边形，则OC / /NM ，.
4 4
则 kOC = = kMN ，则直线 l设为： y = x + m，即 4x - 3y + 3m = 0 .3 3
四边形OCNM 为平行四边形,则 OC = NM 5 = NM ．
过C
5
作CD ^ l于 D点，由垂径定理得 ND = ，
2
则 CD = CN |2 25 25 39- ND |2 = 16 - = 16 - = ，
4 4 2
3m 3m 39 5 39
运用点到直线的距离公式得到 CD = ，则 = ，解得m = ± ，
5 5 2 6
l y 4 x 5 39 y 4 x 5 39 4 5 39则直线 的方程为： = ± ，即 = + 或 y = x - .
3 6 3 6 3 6

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