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2024年高中数学联赛（贵州)预赛试题
一、填空题
1.已知数列{an}:a=a2=l,a+2=a+a(n∈N),则∑
2.已知函数f(x)=gx,若正实数a,b(a的取值范围是
3.已知△ABC的外心为O,AB=AC=8,AO=aAB+BAC(a,B∈R),若
y=2(1+cos(sin+Bcos2A00∈R)风有最大值2，则参数1=
2
4.在△1BC中，角4，B,C所对的边分别是ah,c,若+=4cosC,且c=2,则A1BC
b a
周长的取值集合为
5.设2x+y-V5z=2,则x2+y2+z2的最小值为
6.如图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线AOC和BOD均是以a为半径的半圆，平
面AOC和平面BOD均垂直于平面ABCD,用任意平行于
帐篷底面ABCD的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方
形，则该帐篷的体积为
(用数字作答)
8.已知数列{an}、{bn}满足41=2b=2,am1=3an+bn+2n-1，bn+1=an+3bn+n,
则{an}的通项公式an=
π
2π
3π。4
9.cos
6π，
7π
-c0S-+c0S
-COS
+c0S
.(用数字作答)
15
15
15
15
15
°15
10.已知复数名、3满是：名+2=5,6-2=53，ag+色=90°，则
Z1-Z2
1og,)24+（22）24
二、解答题
11.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三
角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.意大利数学家托里拆利给
出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AFB=∠BFC=∠CFA=120°的
点F即为费马点：当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点即为费马点.试
用以上知识解决下面问题：
(1)试用尺规作图画出下图中△ABC的费马点F:（保留作图痕迹并写出简单的证明过程)
B
(2)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cos2B+c0s2C-c0s2A=1且
SMBC=2,点F为△MBC的费马点，求FA:FB+FB.FC+FC.FA:
3)设点F为AMBC的费马点，B=受B列+FC=mF,求卖数m的最小鱼.
12。一个骰子连续掷两次，得到的点数依次为a,b,若关于x的三次方程
x3-(3a+1)x2+(3a+2b)x-2b=0有三个互不相等的实数根，求满足条件的有序数对
(a,b)的概率.
13.求函数f(x)=√3.x-6+√9-x+√26-2x的最大值.
14.已知a,b,c为正整数，证明：方程a2(b4+c4)=2024(abc+253)无解.

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