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第四章 三角函数
4.3 任意角的三角函数
高教版 基础模板(上)
学习目标
在锐角三角函数基础上理解任意角三角函数的定义.
理解角的三角函数值（正弦、余弦、正切等）与在角的终边上选取的点（除原点外）无关.
学会根据角的终边上除原点外的任意一点的坐标来计算该角的正弦值、余弦值和正切值.
学会利用任意角三角函数的定义推断三角函数值在不同象限的符号.
第四章 三角函数
4.3.1 任意角的三角函数定义
高教版 基础模板(上)
导
探
练
结
回顾
在Rt△ABC中，
导
探
练
结
以x轴的正半轴为始边，旋转得到任意角.
导
探
练
结
任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数
设角α为平面直角坐标系Oxy 中的任意一个角, 在其终边上任取与原点O不重合的一点P(x,y) , 则
|OM|＝ |x|, |MP|＝ |y|
点P到原点O的距离
导
探
练
结
任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数
由相似三角形的性质可知
只依赖于角α的大小,
与点P在角α终边上的位置无关.
导
探
练
结
任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数
对任意角α，有如下定义：
导
探
练
结
正弦函数、余弦函数、正切函数
sinα与cosα是以角α为自变量的函数, 分别称为正弦函数与余弦函数, 它们的定义域都是R.
当 时, tanα也是以角α为自变量的函数, 称为正切函数, 其定义域为 .
正弦函数、余弦函数和正切函数都是三角函数.
例1 已知角 α 的终边经过点P(-4,3) , 求角α的正弦、余弦和正切．
导
探
练
结
由三角函数定义, 得
因为x=-4, y=3, 所以
例2 求终边在射线y=2x(x≥0)上的角的正弦、余弦和正切.
导
探
练
结
在射线y=2x(x≥0)上任取一点，如x=1，y=2 ，即P(1,2)
小组合作
导
探
练
结
1. 若 α 的终边过点(-8,6) , 则 sinα= , cosα= , tanα= .
2. 若 α 的终边过点(5,12) , 则 sinα= , cosα= , tanα= .
导
探
练
结
1.已知角α终边上的点P的坐标如下, 分别求出角 α的正弦、余弦和正切.
(1) (4,3)； (2) (2,0) ； (3) (0,1) ；
(4) ( 12,5) ； (5) (1, 2).
求a的值.
导
探
练
结
已知角α为第二象限角, 其终边上一点P的横坐标
为 8, |OP|＝10. 求角α的正弦、余弦和正切值．
已知角α的终边在射线y= 3x(x≥0)上, 求角的正弦、
余弦和正切.
导
探
练
结
任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数
对任意角α，有如下定义：
第四章 三角函数
4.3.2 单位圆与三角函数
高教版 基础模板(上)
导
探
练
结
引入
什么是单位圆呢？
导
探
练
结
单位圆是一个半径为1的圆，其圆心位于坐标系的原点.
单位圆
思考
在单位圆上, 角α的终边与单位圆的交点P的坐标可以用角α的三角函数表示吗？
导
探
练
结
思考
角α的终边与单位圆相交于点P(x,y), 则 r =|OP|=1, 由正弦函数和余弦函数的定义, 得
导
探
练
结
角 的终边与单位圆的交点P的坐标可以表示为(sin ,cos ).
归纳
导
探
练
结
一般地, 角α的终边与单位圆的交点为P(x,y), 那么
回顾
各象限中坐标的正负
导
探
练
结
x
y
O
>
>
<
>
<
<
>
<
三角函数值的符号判断——第一象限
导
探
练
结
>0
>0
>0
x
y
O
>
>
三角函数值的符号判断——第二象限
导
探
练
结
y
>0
<0
<0
x
O
<
>
三角函数值的符号判断——第三象限
导
探
练
结
y
<0
<0
>0
x
O
<
<
三角函数值的符号判断——第四象限
导
探
练
结
y
<0
>0
<0
x
O
>
<
归纳
导
探
练
结
根据点P的横坐标 x 和纵坐标 y 的符号, 可以确定当角α的终边在不同的象限时sinα, cosα与tanα的符号．
一全正，二正弦，三正切，四余弦
0°角、180°角、270°角和360°角的正弦、余弦和正切值
导
探
练
结
填空
导
探
练
结
.
.
.
.
.
.
0
0
1
0
0
-1
例
导
探
练
结
求 5sin180°-4sin90°+2tan180°-7sin270°的值.
5sin180°-4sin90°+2tan180°-7sin270°
=5×0-4×1+2×0-7×(-1)
=3
例
导
探
练
结
导
探
练
结
例4 判断下列各三角函数值的符号.
(1) 因为 325°＝35° 360°，所以－325°角是第一象限角，故sin( 325°)＞0；
(2)
导
探
练
结
例4 判断下列各三角函数值的符号.
(3) 因为 4252° ＝ 292° ＋ 11×360° ，所以4252°角是第四象限角，因此 tan4252°＜0；
导
探
练
结
例5 已知cos ＞0, 且tan ＜0, 试确定角 是第几象限角．
导
探
练
结
例 根据 sinα>0, 且 cosα<0, 确定 α是第几象限角.
sinα>0
α是第一、二象限角
cosα>0
α是第二、三象限角
综上，α是第二象限角
30°角的终边与单位圆的交点坐标可以表示为_______.
60°角的终边与单位圆的交点坐标可以表示为_______.
120°角的终边与单位圆的交点坐标可以表示为______.
导
探
练
结
小组合作
导
探
练
结
1. 判断下列三角函数值的符号：
导
探
练
结
2.计算：
7cos270°+12sin0°+2tan0° 8cos180°；
5cos180° 3sin90°+2tan0° 6sin270°；
导
探
练
结
3. 求下列各角的正弦、余弦和正切．
4. 已知sinθ＜0且tanθ＜0，试确定角θ是第几象限角．
导
探
练
结
一全正，二正弦，三正切，四余弦
导
探
练
结
0°角、180°角、270°角和360°角的正弦、余弦和正切值

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