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22.2一元二次方程的解法
——九年级数学华东师大版（2012）上册课前导学
一、知识详解
直接开平方法和因式分解法
1.平方根的概念：若，则称为的平方根，表示为__________.
一元二次方程的解是______________.（注：根据平方根的概念可知，是1的平方根），这种由平方根概念直接求出一元二次方程解的方法，叫做直接开平方法.
2.当一元二次方程的一边为 ，而另一边易于分解为两个 的乘积时，我们就可以采用分解因式法解一元二次方程．
3.分解因式法解一元二次方程的根据是：若，则或 ．如：若，那么或者 ．这就是说，求一元二次方程的解，就相当于求一次方程或的解．
说明：如果，那么或，“或”是“二者中至少有一个成立”的意思，包括两种情况，二者同时成立；二者有一个成立．“且”是“二者同时成立”的意思．
4.用因式分解法解一元二次方程的关键是：
（1）通过移项，将方程右边化为零；
（2）将方程左边分解成两个 次因式之积；
（3）分别令每个因式等于零，得到两个一元一次方程；
（4）分别解这两个 ，求得方程的解．
配方法
1.配方法解一元二次方程的思路是：将方程转化为 的形式，它的一边是一个 ，另一边是一个 ，当n 时，两边同时 转化为 方程，便可求出它的根．
2.用配方法解方程：
解：可以把常数项移到方程的右边，得
① ，
两边同时加上62（一次项系数12一半的平方），得
② ，
即
③ ．
两边开平方，得
④ ，
即
⑤ ．
所以
⑥ ．
3.我们通过配成 的方法，得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法．
4.配方法的关键是正确配方，要正确配方就必须熟悉完全平方式的特征．配方法的步骤如下：
（1）化 —— 化二次项系数为 ；
（2）移 —— 移项，方程左边为二次项和 ，右边为常数项
（3）配 —— 配方，方程两边都加上 一半的平方，使方程变形为．
（4）开 —— 用 解方程．
公式法、一元二次方程根的判别式
1.用配方法解方程
解：移项，得 ，
二次项系数化为1，得 ，
配方 ，
方程左边写成平方式 ，
， 0，有以下三种情况：
（1）当时， ； ．
（2）当时， ．
（3）当时，方程根的情况为 ．
2.由上可知，一元二次方程的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
（1）式子叫做方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）根的 ，通常用字母 “” 表示．
当 0时，方程 实数根；
当 0时，方程 实数根；
当 0时，方程 实数根．
（2）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式，时，将a、b、c代入式子 就得到方程的根．这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
3.用公式法求解一元二次方程，它的一般步骤是：
（1）把方程化为 ，进而确定a，b，c的值．(注意符号)
（2）求出 的值．(先判别方程是否有根)
（3）在的前提下，把a，b，c的值代入求根公式，求出 的值，最后写出方程的根．
一元二次方程的根与系数的关系
1.如果方程有两个实数根，那么 ， ．
2.重要结论
(1)若一元一次方程的两根为,则_____,______.
(2)以实数为两根的二次项系数为1的一元二次方程是_______________________
二、题目速练
1.用配方法解一元二次方程时,此方程可变形为( )
A. B. C. D.
2.在下列方程中,有两个互为相反数的根的方程是( )
A. B. C. D.
3.若是关于x的一元二次方程，则m的值是( )
A.2 B. C.0 D.2或
4.用因式分解法解方程，下列方法中正确的是( )
A.，或
B.，或
C.，或
D.，
5.关于x的一元二次方程的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
6.已知关于x的一元二次方程的一个根是-1,则另一个根是( )
A.1 B.-1 C. D.
7.一元二次方程的解是______.
8.一元二次方程的根的判别式的值是______.
9.解下列方程：
(1)；
(2)；
(3).
10.解方程：
(1)(配方法)；
(2)(公式法).
11.已知关于x的一元二次方程.
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为,,且,求m的值.
答案及解析
一、知识详解
直接开平方法和因式分解法
1.；
2.0；一次因式
3.；
4.（2）一；（4）一元一次方程
配方法
1.；完全平方式；常数；；开平方；一元一次
2.①；② ；③ ；④ ；
⑤或；⑥ 、
3.完全平方式
4.（1）1；（2）一次项；（3）一次项系数；（4）直接开平方法
公式法、一元二次方程根的判别式
1.；；；；>；
（1），；（2）；（3）方程没有实数根.
2.（1）判别式，>，有两个不相等的，＝，有两个相等的，＜，没有；
（2）
3.（1）一般形式；（2）；（3）
一元二次方程的根与系数的关系
1.；
2.；；
二、题目速练
1.答案：A
解析：,
∴,
∴,
∴.
故选：A.
2.答案：B
解析：A.,解得：,只有一个根,故该选项不正确,不符合题意；
B.,解得：,,故该选项正确,符合题意；
C.,没有实数根,故该选项不正确,不符合题意；
D.,解得：,,故该选项不正确,不符合题意；
故选：B.
3.答案：D
解析：是关于x的一元二次方程，
，即，
或，
故选：D.
4.答案：A
解析：用因式分解法时，方程的右边为0，才可以达到化为两个一次方程的目的.
因此第二、第三个不对，
第四个漏了一个一次方程，应该是，.
所以第一个正确.
故选：A.
5.答案：A
解析：∵,
∴,
所以原方程有两个不相等的实数根,
故选：A.
6.答案：C
解析：设方程的另一根为,
根据根与系数的关系可得：,
解得.
故选C.
7.答案：,/,
解析：
∴或,
解得：,,
故答案为：,.
8.答案：5
解析：
.
故答案为5.
9.答案：(1),
(2)
(3),
解析：(1)
,
解得：,.
(2)
,
,
解得：.
(3)
,
,
或,
解得：,.
10.答案：(1),
(2),
解析：(1),
,
,
,
,
,；
(2),
,,,
,
,
,.
11.答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1),
∵,
∴,
该方程总有两个不相等的实数根；
(2)方程的两个实数根,,
由根与系数关系可知,,,
∵,
∴,
∴,
解得：,,
∴,即.

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