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《2.7 商不变的规律》教学设计
课题 商不变的规律 单元 第二单元 学科 数学 年级 四年级
教材分析 商不变的规律能把一些两位数除法转化为一位数除法，使运算变得简单，更是后续学习小数除法计算、分数的基本性质的知识基础。本节课内容直接从数学问题入手，借助表格，引导学生经历“提出猜想——举例验证——获得结论”的探索过程。分三个层次组织学生探索规律的活动。第一层次，初步感知。先出示表格，让学生弄清楚表格每一栏的意思，再按要求算一算、填一填，并比较每次填出的结果，说说有什么发现。第二层次，提出猜想。引导学生观察，说说其中的规律。第三层次，举例验证。学生自己举一些例子，看是否符合规律。
学习目标 1.学习目标描述：让学生经历探索商不变规律的过程，理解和掌握商不变的规律，能初步运用商不变的规律推算。2.学习内容分析：这部分教材是在学生熟练掌握了三位数除以两位数的基础上安排的，让学生掌握这部分知识，既为学习简便运算做好准备，也有利于以后学习小数除法、分数和比的有关知识，是小学数学中十分重要的基础知识，同时商不变的规律在实际应用中较为广泛，有利于学生运用所学知识技能来，解决一些实际问题，让学生在参与、观察、比较、猜想、概括、验证等学习活动过程中体验成功。3.学科核心素养分析：使学生在经历感知、综合和抽象、概括等活动中发现商不变规律，培养学生观察、比较、抽象、概括等能力，积累数学活动的基本经验。让学生感受到数学问题的探索性以及商不变规律的合理性与确定性，在探索活动中获得探究数学的乐趣。
重点 理解归纳出商不变的规律。
难点 会初步运用商不变的规律进行一些简便计算。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 师：今天，老师带来两组题目和同学们一起研究，大家有兴趣吗？课件出示：谁能又快又准的口算出下面各题 6÷3= 45÷9=12÷6= 15÷3=24÷12= 5÷1=师：我们利用学过的知识很快地计算出了结果，关于除法我们不仅要会算，还可以继续深入的学习，看看除法中还隐藏着哪些小秘密。 学生独自完成，然后集体订正。 通过复习旧知，检查学生掌握知识的情况，同时为后面学习新的知识打基础。通过交流，激发学生探究新知的欲望和积极性。
讲授新课 任务一：提出猜想课件出示：（1）学校举行团体操表演，女生有100人，男生有20人，女生的人数是男生人数的多少倍？ 师：读一读，根据获取的数学信息和要求的数学问题，你能列出算式吗？师：表演过程中，男生举出两面红旗，女生拿出两个气球，气球的个数是红旗的多少倍？应该怎么列式？ 师：女生每人举起四朵红花，男生每人举起四朵黄花，红花是黄花的多少倍呢？师：队形变化时，男生、女生各下去一半，剩下的女生人数是男生的多少倍 师：最后，所有男生、女生每4位同学摆一个十字，女生摆的十字是男生的多少倍？师：老师把刚才的信息全部放进了表格，先按要求算一算，填一填，再比较算出的结果。课件出示：师：表格中的被除数和除数是怎样变化的 商呢 你有什么发现？与同伴交流。师：大家发现了什么？谁来说说？ 学生独自思考，然后回答：100÷20=5。学生独自思考，然后回答：（100×2）÷（20×2）=5。学生：（100×4）÷（20×4）=5。学生：（100÷2）÷（20÷2）=5。学生：（100÷4）÷（20÷4）=5。学生按要求独自计算，然后集体反馈。学生独自观察，并与同伴交流自己的发现。学生1：被除数和除数同时乘2或乘4，商不变。学生2：被除数和除数同时除以2或除以4，商不变。学生3：被除数和除数同时乘或除以同一个数，商不变。 创设一定的情境，引导学生列出算式，为后面的观察交流做准备。通过算一算，填一填，比一比，初步感受被除数和除数、商的变化，培养学生观察、分析、比较、总结、归纳等思维能力。
任务二：举例验证，获得结论师：同学们发现的这个规律是否具有普遍性？请验证一下。课件出示——学习任务：自己再找一些例子，算一算，比一比，看商有没有变化，与同学交流。师巡视指导，然后抽取几组展示：师：看来大家发现的这个规律具有普遍性。师：如果同时乘或除以相同的这个数包括0吗？为什么？课件出示：35÷5=7（35÷0）÷（5÷0）=0（35×0）÷（5×0）=0师：看来“相同的数”需要加个条件“零除外”，现在你能完整的说说发现的规律吗？学生尝试说一说：被除数和除数同时乘或除以一个相同的数(0除外)，商不变。师揭示：这就是“商不变的规律”。师：我们运用集体的智慧发现了完整的商不变规律，我们一起来读一读吧!师：读完了这个规律，你觉得运用这个规律时应该注意什么，有什么需要提醒大家的 根据学生的回答，师标出重点符号：同时，相同的数，零除外。 学生举例验证。学生1：如果同时乘或除以0，就变成了0÷0，商变了。学生2：如果同时乘或除以0，除数变成了0，没有意义了。学生读一读。学生自由说说。 学生举例验证的过程, 是学生经历不完全归纳的过程, 对于学生识记商不变的规律、 理解商不变规律的内涵有重要的作用。 通过老师举例引入，让学生充分感受同时乘或除以一个数，这个数不为0的理由，强化学生对商不变规律的进一步认识。
课堂练习 基础题：1.找出结果相同的算式。2.先说说被除数和除数分别是怎样变化的，再直接填出商。 学生独自完成，然后集体订正。 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
提高题：3.根据870÷△=15填一填。（870÷4）÷（△÷4）=________（870×5）÷（△×5）=________（870×2）÷△=________ 870÷（△÷3）=________
拓展题 4.利用商不变的规律简算。125÷25 3000÷125
课堂小结 通过本节课的学习，你们有什么收获？ 学生自由说说。 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书 商不变的规律100÷20=5（100×2）÷（20×2）=5（100×4）÷（20×4）=5（100÷2）÷（20÷2）=5（100÷4）÷（20÷4）=5 被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变，这叫做商不变的规律。 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 【知识技能类作业】 必做题：1.在横线上填上合适的数。200÷40=（200÷10）÷（40÷10）=（ ）160÷80=（160÷10）÷（80÷_______）=（ ）3600÷400=（3600÷________）÷（400÷100）=（ ）1200÷400==（1200÷________）÷（400÷_______）=（ ）2.选一选。（1）两个数相除商是200，被除数与除数同时扩大5倍，商是（ ）。 A.200 B.1000 C.40 （2）下列算式的计算结果与“400÷25”的商不相等的是（ ）。 A.（400×4）÷（25×4） B.（400÷5）÷（25÷5） C.（400÷4）÷（25×4）选做题：1.一个数（0除外）除以6，当除数加上18时，要使商不变，这个数应当怎么变化？2.小亮用计算器计算“360÷15”, 但他错误地输成了“3600÷15”，可以怎样弥补他的错误？
【综合实践类作业】找一找商不变的规律在生活中的应用。
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《两、三位数除以两位数》单元整体设计
一、单元主题解读
（一）课程标准要求分析
《两、三位数除以两位数》单元是“数与代数”中“数与运算”与“数量关系”方面的重要内容。《义务教育数学课程标准(2022年版)》在“课程内容”的“第二学段”中提出：“能进行整数四则运算和简单的小数、分数加减运算，形成数感、运算能力和初步的推理意识。结合现实生活，能尝试运用所学的数学知识和方法描述、表达、分析、解释实际问题，运用常见的数量关系解决问题。”同时也提出:“ 会独立思考，体会一些数学的基本思想。尝试从日常生活中发现并提出简单的数学问题，并运用一些知识加以解决。能探索分析和解决简单问题的有效方法，了解解决问题方法的多样性。能回顾解决问题的过程，初步判断结果的合理性。在运用数学知识和方法解决问题的过程中，认识数学的价值。”
在“内容要求”中指出：“并掌握多位数的乘除法，感悟从未知到已知的转化。能解决生活中的简单问题，并能对结果的实际意义作出解释，经历探索简单规律的过程，形成初步的模型意识和应用意识。”在“学业要求”中指出：“能在真实情境中，发现常见数量关系，感悟利用常见数量关系解决问题；形成初步的模型意识、几何直观和应用意识。在进行除法计算的过程中，进一步理解除法是乘法的逆运算。在这样的过程中，感悟如何将未知转为已知，形成初步的推理意识。”
（二）单元教材内容分析
本单元主要安排了8个例题，其中例1和例2主要让学生理解并掌握两、三位数除以整十数的口算和笔算方法，例3、例5和例6让学生掌握两、三位数除以两位数的笔算方法，例4是用连除计算解决的实际问题，例7主要探索商不变的规律，例8是引导学生利用商不变的规律笔算被除数和除数末尾都有0的除法，最后还安排了一节“综合与实践”课，让学生探索并发现简单周期现象中的排列规律，并用除法解决关于周期规律排列的实际问题。此外，教材还安排了四个练习，帮助学生及时巩固所学知识，形成计算技能，提高计算能力。在单元结束时，还安排了“整理与练习”，帮助学生整理本单元所学知识，完善认知结构，达成教学目标。
（三）学生认知情况
在学习本单元之前，学生已经学习过了一些简单的除法计算及解决实际问题，这为学习位数较多的除法打下了知识基础。由于四年级的学生在课堂上注意力集中的时间比较短，观察能力有限，表达能力有限，所以这个阶段的学生可能不会科学、完整地表述出笔算除法的计算方法以及商不变的规律，这需要老师的有效引导，让学生通过观察、分析总结、归纳出其中的规律。同时，计算教学比较枯燥，在教学中应结合原有的知识经验以及具体的生活问题加以引导，让学生明白学习是为了应用，体会到数学知识在生活中的广泛应用，为日常生活的数字计算提供简便的方法。
二、单元目标拟定
1.联系具体的实例，使学生理解并掌握除数是整十数商是一位数的口算方法，能正确地进行口算；理解两、三位数除以两位数笔算的算理，掌握计算方法，能正确地进行笔算和估算，培养学生的运算能力，增强应用意识。
2.理解和掌握商不变的规律，能初步运用商不变定律口算、笔算被除数和除数末尾有0的除法，培养学生的推理能力。
3.理解用连除解决的实际问题的基本结构和数量关系，能正确地进行解答，提高发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。
三、关键内容确定
（一）教学重点
1.理解并掌握除数是两位数除法的笔算方法，会用“四舍五入”的方法试商和调商。
2.理解和掌握商不变的规律，能用简便方法计算被除数和除数末尾都有0的除法。
3.能正确解答连除的实际问题。
（二）教学难点
1.掌握用“四舍”法或“五入”法试商后需要调商的除法笔算方法。
2.能根据简便计算的过程确定除法计算的余数。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
这是数学课程的核心素养内涵。《数学课程标准》指出：“每一堂课都应该以学生为中心， 以探究为手段,积极发展学生的求异思维，以培养学生各种能力为目的，最终让学生形成一种新型的数学思想，养成数学能力，体验数学与生活的关系。”
本单元教材的具体编排结构如下：
本单元教科书编写的基本特点主要体现在以下几个方面：*com
1.在学习两、三位数除法时，教材在编排上由易到难，先安排了两、三位数除以整十数的口算和笔算，然后再循序渐进地安排了用“四舍”和“五入”的方法试商，以及需要调商的除法笔算，提高除法笔算计算技能。
2.注重结合现实的问题情境引入计算学习内容，突出计算来自生活实际，增强应用意识。
3.重视口算和估算的教学,帮助学生切实掌握笔算试商方法。
4.在探究商不变规律时，让学生经历探索规律、发现规律的一般过程，体验探索规律的策略与方法。
五、单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 知识结构
课程内容模块 数与代数 图形与几何 统计与概率 □综合与实践
单元数量 2
单元主题 单元名称 主要内容 课时
数与代数 两、三位数除以两位数 除数是整十数的除法（1） 1
除数是整十数的除法（2） 1
除数是两位数的除法的试商 1
用连除解决问题 1
“四舍”法试商需调商的笔算除法 1
“五入”法试商需调商的笔算除法 1
商不变的规律 1
被除数和除数末尾都有0的除法 1
简单的周期 1
重点渗透的数学思想方法 抽象 符号化 分类 集合 对应 演绎 归纳 类比 转化 数形结合 □极限 模型 □方程 函数 统计 分析 综合 比较 □假设 □其他
课时 学习目标 评价形式 评价标准
2.1《除数是整十数的除法（1）》 目标： 通过思考，主动探究并获得除数是整十数，商是一位数的除法口算和笔算方法，能正确地口算整十数除以整十数，以及笔算两、三位数除以整十数，商一位数的除法并验算。 任务一：探究除数是整十数的口算方法 → 任务二：探究除数是整十数的笔算方法 → 任务三：完成“试一试” → 1.能用不同的方法口算60÷20，掌握口算除数是整十数的基本方法。 2.会用竖式计算，掌握笔算的方法和算理。 3.通过计算两、三位数除以整十数，会确定商的书写位置，并能通过验算检验结果。
2.2《除数是整十数的除法（2）》 目标： 联系已有的知识经验探索并掌握三位数除以整十数(商是两位数)的笔算方法，能正确地进行计算。 任务一：估一估 → 任务二：探索笔算方法 → 任务三：完成“试一试” → 1.能通过估一估得出商的取值范围。 2.会用竖式计算，掌握笔算的方法和算理。 3.能用竖式计算，并通过比一比总结出计算方法。
2.3《除数是两位数的除法的试商》 目标： 能运用“四舍五入”法，把除数看作整十数进行试商，并能正确计算不要调商的三位数除以两位数的笔算。 任务一：用“四舍”法试商 → 任务二：完成“试一试”→ 1.能把32看作30来试商，体会用“四舍”法试商的方法。 2.能把39看作40来试商，体会用“五入”法试商的方法，并回顾计算过程总结出计算方法。
2.4《用连除解决问题》 目标： 使学生理解用连除解决的实际问题的基本结构和数量关系，能正确解决这类问题。 任务一：理解题意，分析数量关系 → 任务二：列式解答 → 任务三：检验与反思 → 1.知道已知条件和问题，并能从不同的角度选取相应的信息分析数量之间的关系。 2.能用不同的方法解决问题，明确运算顺序。 3.能用“把得数代入原题”的方法检验解答是否正确，并回顾解题过程谈体会。
2.5《“四舍”法试商需调商的笔算除法》 目标： 经历探讨“四舍”法试商需调商的过程，了解把除数看作比它小的整十数试商时，可能出现初商偏大的的情况，学会调商的方法，并能正确地进行计算。 任务一：理解题意，列出算式 → 任务二：用“四舍”法试商——调商 → 1.能根据获取的数学信息提出问题，并列出算式。 2.能利用“四舍”法试商，知道商容易偏大，需要调小。
2.6《“五入”法试商需调商的笔算除法》 目标： 经历讨论、探索“五入”法试商需调商的过程，了解把除数看作比它大的整十数来试商时，可能出现初商偏小的情况，学会调商的方法，能正确地进行计算。 任务一：理解题意，列出算式 → 任务二：用“五入”法试商——调商 → 1.能根据获取的数学信息提出问题，并列出算式。 2.能利用“五入”法试商，知道商容易偏大，需要调小。
2.7《商不变的规律》 目标： 经历探索商不变规律的过程，理解和掌握商不变的规律，能初步运用商不变定律口算被除数和除数末尾有0的除法。 任务一：提出猜想 → 任务二：举例验证，获得结论 → 1.能正确填写表格，并通过观察提出猜想。 2.能举例看是否符合规律，并总结出规律，知道“0除外”的理由。
2.8《被除数和除数末尾都有0的除法》 目标： 能用商不变的规律计算被除数、除数末尾都有0的除法，并能确定余数，掌握被除数和除数同时乘几或除以几时余数的变化规律。 任务一：探究用商不变的规律计算被除数、除数末尾都有0的除法 → 任务二：探究有余数的除法 → 1.学会运用商不变的规律用竖式计算被除数和除数末尾都有0的除法。 2.理解并掌握有余数的除法中确立余数的方法。
2.9《简单的周期》 目标： 探索并发现简单周期现象中的排列规律，能根据规律确定某个序号所代表的是什么物体或图形，并学会用除法解决问题。 任务一：探究盆花中的周期规律 → 任务二：探究彩灯、彩旗中的周期规律 → 任务三：回顾与反思 → 1.能找出盆花的排列规律，尝试用不同的方式表示，并用除法求出第19盆花的颜色。 2.能找出彩灯、彩旗的排列规律，并能用除法解决问题，还能说说生活中的周期现象。 3.回顾探索和发现规律的过程，说说体会。
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2.7
商不变的规律
（苏教版）四年级
上
01
教学目标
02
新知导入
03
任务一
04
任务二
05
拓展延伸
06
课堂练习
07
课堂小结
08
作业布置
09
板书设计
01
教学目标
让学生经历探索商不变规律的过程，理解和掌握商不变的规律，能初步运用商不变的规律推算。
01
02
使学生在经历感知、综合和抽象、概括等活动中发现商不变规律，培养学生观察、比较、抽象、概括等能力，积累数学活动的基本经验。
03
让学生感受到数学问题的探索性以及商不变规律的合理性与确定性，在探索活动中获得探究数学的乐趣。
02
新知导入
6÷3= 45÷9=
12÷6= 15÷3=
24÷12= 5÷1=
谁能又快又准的口算出下面各题
2
2
2
5
5
5
学习任务一
提出猜想
03
任务一
学校举行团体操表演，女生有100人，男生有20人，女生的人数是男生人数的多少倍？
你能列出算式吗？
100÷20=5
03
任务一
表演过程中，男生举出两面红旗，女生拿出两个气球，气球的个数是红旗的多少倍？
（100×2）÷（20×2）=5
女生每人举起四朵红花，男生每人举起四朵黄花，红花是黄花的多少倍？
（100×4）÷（20×4）=5
03
任务一
队形变化时，男生、女生各下去一半，剩下的女生人数是男生的多少倍
（100÷2）÷（20÷2）=5
最后，所有男生、女生每4位同学摆一个十字，女生摆的十字是男生的多少倍？
（100÷4）÷（20÷4）=5
03
任务一
先按要求算一算，填一填，再比较算出的结果。
被除数 除 数 除法算式 商
100 20 100÷20 5
100×2 20×2 200÷40
100×4 20×4
100÷2 20÷2
100÷4 20÷4
400÷80
5
5
50÷10
5
25÷5
5
03
任务一
学习任务：
表格中的被除数和除数是怎样变化的 商呢 你有什么发现？与同伴交流。
03
任务一
被除数和除数同时乘2或乘4，商不变。
被除数和除数同时除以2或除以4，商不变。
03
任务一
被除数和除数同时乘或除以同一个数，商不变。
学习任务二
举例验证，获得结论
04
任务二
同学们发现的这个规律是否具有普遍性？请验证一下。
学习任务：
自己再找一些例子，算一算，比一比，看商有没有变化，与同学交流。
04
任务二
大家发现的这个规律具有普遍性。
04
任务二
如果同时乘或除以相同的这个数包括0吗？为什么？
35÷5=7
（35÷0）÷（5÷0）=0
（35×0）÷（5×0）=0
如果同时乘或除以0，就变成了0÷0，商变了。
如果同时乘或除以0，除数变成了0，没有意义了。
04
任务二
被除数和除数同时乘或除以一个相同的数(0除外)，商不变。
这就是“商不变的规律”。
同时
相同的数
0除外
05
课堂练习
基础题：
1.找出结果相同的算式。
480÷40
240÷20
（480×2）÷（20÷2）
05
课堂练习
基础题：
1.找出结果相同的算式。
800÷20
1600÷20
1600÷40
05
课堂练习
基础题：
1.找出结果相同的算式。
72÷8
36÷4
36÷2
05
课堂练习
基础题：
2.先说说被除数和除数分别是怎样变化的，再直接填出商。
被除数 32 32×10 32×100 32÷2 32÷4
除数 4 4×10 4×100 4÷2 4÷4
商 8
8
8
8
8
05
课堂练习
提高题：
3. 根据870÷ =15填一填。
（870÷4）÷（ ÷4）=________
（870×5）÷（ ×5）=________
（870×2）÷ =________
870÷（ ÷3）=________
15
15
30
45
05
课堂练习
拓展题：
4.利用商不变的规律简算。
125÷25 3000÷125
=（125×4）÷（25×4）
=500÷100
=5
=（3000×8）÷（125×8）
=24000÷1000
=24
06
课堂小结
通过今天的学习，你有哪些收获？
我知道了商不变的规律。
我还知道同时乘或除以一个数，这个数不包括0。
【知识技能类作业】
必做题：
1.在横线上填上合适的数。
200÷40=（200÷10）÷（40÷10）=（ ）
160÷80=（160÷10）÷（80÷_______）=（ ）
3600÷400=（3600÷________）÷（400÷100）=（ ）
1200÷400==（1200÷________）÷（400÷_______）=（ ）
07
作业设计
5
10
2
100
9
100
100
3
07
作业设计
【知识技能类作业】
必做题：
2.选一选。
（1）两个数相除商是200，被除数与除数同时扩大5倍，商是（ ）。
A.200 B.1000 C.40
（2）下列算式的计算结果与“400÷25”的商不相等的是（ ）。
A.（400×4）÷（25×4） B.（400÷5）÷（25÷5）
C.（400÷4）÷（25×4）
A
C
07
作业设计
【知识技能类作业】
选做题：
1.一个数（0除外）除以6，当除数加上18时，要使商不变，这个数应当怎么变化？
18÷6=3
除数乘3，要使商不变，被除数也要乘3。
答：这个数应当乘3。
【知识技能类作业】
选做题：
2.小亮用计算器计算“360÷15”, 但他错误地输成了“3600÷15”，可以怎样弥补他的错误？
07
作业设计
答：再除以10。
08
作业布置
【综合实践类作业】
找一找商不变的规律在生活中的应用。
09
板书设计
商不变的规律
100÷20=5
（100×2）÷（20×2）=5
（100×4）÷（20×4）=5
（100÷2）÷（20÷2）=5
（100÷4）÷（20÷4）=5
被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变，这叫做商不变的规律。
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