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3.1 等量关系和方程
第3章 一次方程(组)
1. 能通过对实际问题的分析，归纳并理解方程和一元一次方程的概念.
2. 估算使方程左右两边相等的未知数的值，理解方程的解的概念.
3. 会根据简单的实际问题列出一元一次方程.
4. 经历把实际问题抽象为数学方程的过程，认识到方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型，初步体会建立数学模型的思想.
重点：一元一次方程的概念及估算一元一次方程的解.
难点：根据实际问题列一元一次方程.
教学目标
为进一步推动全民健身，弘扬体育精神，凝聚奋进力量，某地区于今年 9 月举办了一次中学生篮球联赛. 比赛规则为：胜一场得 2 分，输一场得 1 分. 若某校初中男子篮球队参加了 14 场比赛，共得 26 分.
初中男子篮球队胜多少场，输多少场？
等量关系和方程
1
问：(1) 其中蕴含怎样的等量关系
为进一步推动全民健身，弘扬体育精神，凝聚奋进力量，某地区于今年 9 月举办了一次中学生篮球联赛. 比赛规则为：胜一场得 2 分，输一场得 1 分. 若某校初中男子篮球队参加了 14 场比赛，共得 26 分.
胜的场数得分＋输的场数得分＝总得分.
2×胜/输的场数
胜的场数＋输的场数＝14.
1×输的场数
（2）如果设该队胜了 x，则该队输了 场.又由于胜一场得 2 分，输一场得 1 分，因此可得以下等式：
2x + (14 - x) = 26
(14－x)
下图是一个长方体形状的包装盒示意图，长为 1.2 m， 高为 1 m，表面积为 6.8 m2.
1 m
1.2 m
(1) 这个问题涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？
(2) 若设包装盒底面的宽是 y m，则根据题意可得以下等式：
自主思考
表面积＝(长×宽＋宽×高＋长×高)×2
(1.2×y＋y×1＋1.2×1)×2＝6.8
2.4y＋2y＋2.4＝6.8
知识要点
2x + (14 - x) = 26
2.4y＋2y＋2.4＝6.8
1. 上式中的 x，y 叫作未知数，含有未知数的表示等量关系的等式叫作方程.
2. 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，这样的方程叫作一元一次方程.
观察下列两式，这两个式子有什么样的特点？
①2x2－5＝4；②－m＋8＝1；③x＝1；④x＋y＝1；
⑤x＋3>0；⑥2x2－2(x2－x)＝1；⑦ ；⑧πx＝12.
①只含有一个未知数；
②未知数的指数是 1；
③方程中的代数式都是整式.
判断一个方程是一元一次方程，化简后必须满足三个条件：
√
√
√
√
典例精析
例1 判断下列各式是不是一元一次方程：
1. 是一元一次方程，则 k = ________.
3. 是一元一次方程，k =_____.
2. 是一元一次方程，则 k =_____.
1 或 -1
-1
-2
注意：未知数的次数为 1，且系数不等于 0.
练一练
5.（福州·期末）“x 的 5 倍与 2 的和等于 x 的 与 4 的差”， 用等式表示为 .
4.（厦门·期中）已知长方形的长与宽分别为 16、x，周长为 40，根据条件，列出方程为 .
2(16 + x) = 40
练一练
探究2：填写下表：
合作探究
x 1 2 3 4 5 6 7 8 …
3x - 6
2x + 1
-3
3
0
5
3
7
6
9
9
11
12
13
15
15
18
17
…
…
观察表格，当 x = 1 时， 3x - 6 = ； 当 2x + 1 = 11 时，x = ；当 x = 时，3x - 6 = 2x + 1.
-3
5
7
方程的解
2
知识要点
总结
把方程的左边和右边分别看成多项式，找到一个数，将这个数代入方程，能使左、右两边的多项式的值相等，则这个数就是方程中未知数的一个值.
x 1 2 3 4 5 6 7 8 …
3x - 6
2x + 1
-3
3
0
5
3
7
6
9
9
11
12
13
15
15
18
17
…
…
当 x = 7 时，3x - 6 = 2x + 1.
《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，成书于公元 400 年前后，传本共有上、中、下三卷.下卷有许多著名数学题，如第 31 题就是有趣的“鸡兔同笼”问题：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94 只脚. 问笼中各有多少只鸡和兔
(1) 找出，上述趣题中的等量关系；
兔的只数＋鸡的只数＝35；
兔的脚数＋鸡的脚数＝94.
做一做
设免有 x 只，则鸡有 (35－x) 只.
由于每只兔有 4 只脚，每只鸡有 2 只脚，并且笼子里总共有 94 只脚，
因此，可得如下一元一次方程：
4x + 2(35 - x) = 94
将方程左边的多项式整理得
4x + 2(35 - x) = 4x + (70 - 2x) = 2x + 70
(2) 适当设未知数，列出一元一次方程.
从而方程变成
2x + 70 = 94
怎么求出 x 的值？
估计x的值 方程左边的值 与方程右边的值94比较
第1次估算 10
第2次估算 15
第3次估算 13
第4次估算 12
第5次估算 11
2x + 70 = 94
90
小了
100
大了
96
大了
94
相等
92
小了
由上可知，12 是方程的唯一解.
于是上述趣题中兔有 12 只，鸡有 23 只.
知识要点
对于含有一个未知数 x 的方程，若 x 用一个数 c 代人能使方程左、右两边的值相等，这个数 c 就是这个方程的一个解。习惯上记作 x = c.
2x + 70 = 94
x = 12
典例精析
例2 分别检验 x 的下列值是否是方程 2.5x + 318 = 1068 的解. (1) x = 300； (2) x = 330.
解：(1) 把 x 用 300 代入原方程得，
左边 = 2.5×300＋318= 1 068，
左边 = 右边，
所以 x = 300 是方程 2.5x＋318 = 1068 的解.
(2) 把 x 用 330 代人原方程得，
左边 = 2.5×330 + 318 = 1 143，
左边 ≠ 右边，
所以 x = 330 不是方程 2.5x＋318 = 1 068 的解.
练一练
6. 下列方程中，解为 x＝－2 的是(　　)
A. 3x－2＝2x B. 4x－1＝2x＋3
C. 3x＋1＝2x－1 D. 5x－3＝6x－2
C
7. 若 x＝4 是关于 x 的方程 ax＝8 的解，则 a 的值为______.
2
认识方程
方程的定义
一元一次方程
方程的解
1. 下列各式中，是一元一次方程的有______(填序号).
(1) ＋8＝3；(2) 18－x；(3) 1＝2x＋2；
(4) 5x2＝20；(5) x＋y＝8；(6) 3x＋5＝3x＋2.
2. x＝2________方程 4x－1＝3 的解．(填“是”或“不是”)
(1)(3)
不是
3. 若关于 x 的方程 (k－2)x|k－1| + 4 = 0 是一元一次方程，
则 k＝____.
0
4. 在一次植树活动中，甲班植树的株数比乙班多 20%，乙班植树的株数比甲班的一半多 10 株. 设乙班植树 x 株.
(1) 列两个不同的含 x 的代数式，分别表示甲班植树的
株数.
(2) 根据题意列出含未知数 x 的方程.
解：(1) 根据甲班植树的株数比乙班多 20%，得甲班植树的株数为 (1 + 20%)x；根据乙班植树的株数比甲班的一半多 10 株，得甲班植树的株数为 2(x - 10).
(2) (1 + 20%)x = 2(x - 10).
(3) 检验乙班、甲班植树的株数是不是分别为25株和35株.
(3) 把 x = 25 分别代入方程的左边和右边，得
左边 = (1 + 20%)×25 = 30，
右边 = 2×(25 - 10)=30.
因为左边 = 右边，
所以 25 是方程 (1 + 20%)x = 2(x - 10)的解.
这就是说乙班植树的株数是 25 株，从上面检验过程可得甲班植树的株数是 30 株，而不是 35 株.

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