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平面向量5分小题问题的类型与解法
平面向量问题是近几年高考的热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，只要是高考（或高三诊断考试）试卷，就必然会涉及到平面向量问题。从题型上看，可能是选择题（或填空题），也可能参透到大题，这里主要探导平面向量5分小题的问题；难度系数为低（或中）档，但有时也会是高档。纵观近几年高考（或高三诊断考试）试题，归结起来，平面向量5分小题问题主要包括：①平面向量几何运算；②平面向量坐标运算；③平面向量数量积等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答平面向量5分小题问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过近几年高考（或高三诊断考试）试题的详细解析，来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、已知正方形ABCD的边长为1，M，N分别是AB，AD上的点（均不与端点重合），记AMN，CMN的面积分别为，，若=|.|.|.|，则的取值范围是（ ）（成都市高2021级高三三诊）
A [，） B [-1，） C [，） D [-1，）
2、（理）在ABC中，已知=2，AC=3BC，sinBDC=3sinBAC，当.-||取得最小值时，ABC的面积为（ ）
A B C D
（文）在ABC中，已知=2，AC=3BC=3，sinBDC=3sinBAC，则ABC的面积为（ ）（成都市高2020级高三二诊）
A B C D
3、在ABC中，点D在边AB上，BD=2DA，记=m，=n，则=（ ）（2022全国高考新高考I卷）
A 3m-2n B -2m+3n C 3m+2n D 2m+3n
『思考问题1』
（1）【典例1】是向量几何运算的问题，解答这类问题需要掌握向量几何运算的法则和运算的基本方法，能够灵活运用平行四边形法则和三角形法则，一般来说，两个向量具有公共的始点时，选用平行四边形法则；两个向量如果一个向量的始点与另一个向量的终点重合时，选用三角形法则；
（2）用两个不共线的已知向量来表示其他向量是用向量解题的基本要领，在实际解答问题时，应该尽可能地把相关向量转化到同一平行四边形 或 同一三角形中去；
（3）注意待定系数法和方程思想的运用，在实际解答问题时，经常运用向量共线的充分必要条件和平面向量基本定理建立方程（或方程组），再通过解方程（或方程组）达到解答问题的目的。
［练习1］解答下列问题：
1、已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则.的取值范围是（ ）（2020全国高考新高考I）
A （-2，6） B （-6，2） C （-2，4） D （-4，6）
【典例2】解答下列问题：
1、已知向量=（，2），=（1，1），若|+|=|-|，则实数的值为（ ）（成都市高2021级高三三诊）
A -2 B 2 C - D
2、已知，是两个非零向量，设=，=，给出定义：经过的起点A和终点B分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，则称向量为在上的投影向量，已知=（1，0），=（，1），则向量在上的投影向量为（ ）（成都市高2020级高三三珍）
A （，） B （1，） C （，） D （，）
3、已知向量=（1，m），=（n，4），其中m，nR，若=2，则m+n的值为 （成都市2020级高三零诊）
4、已知O为坐标原点，点（cos，sin），（cos，-sin），（cos(+)，sin(+)），A（1，0），则（ ）（2021全国高考新高考I）
A ||=|| B ||=|| C.=. D .=.
『思考问题2』
（1）【典例2】是向量坐标运算的问题，解答这类问题需要理解平面向量坐标的定义，掌握向量坐标运算的法则和基本方法；
（2）向量的坐标运算主要包括：①向量坐标的加法运算；②向量坐标的减法运算，③向量坐标的数乘运算；这三种运算都可以直接运用运算法则进行，同时注意坐标运算性质和运算律的灵活运用，对于综合性问题解答时注重方程思想与数形结合思想的运用。
［练习2］解答下列问题：
1、ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若向量=（a，-cosA），=（cosC，b-c），且.=0，则角A的大小为（ ）（2020成都市高三零诊）
A B C D
2、设向量=（x，x-1），=（2，-1），若+2与共线，则实数x的值为（ ）（2020成都市高三三诊）
A B - C 10 D -11
【典例3】解答下列问题：
1、 已知向量=（x+1，x）, =(x，2)，则（ ）（2024全国高考甲卷）
A “x=-3”是“⊥的必要条件 B “x=-3”是“//的必要条件
C “x=0”是“⊥的充分条件 D “x=-1+”是“//的充分条件
2、 已知向量=（0，1）, =(2，x)，⊥（-4），则x=( )(2024全国高考新高考I)
A -2 B -1 C 1 D 2
3、已知向量，满足：||=1，|+2|=2，且（-2）⊥，则||=（ ）(2024全国
高考新高考II)
A B C D 1
4、已知向量=（-1，），=（2，0），则cos<，>=（ ）（成都市高2021级高三一诊）
A B C - D -
5、（理）已知向量，是平面内的一组基向量，O为内的定点，对于内任意一点P，当=x+y时，称有序实数对（x，y）为点P的广义坐标，若点A，B（均不与O重合）的广义坐标分别为（，），B（，），则“⊥”是“+=0”的（ ）（成都市高2021级高三二诊）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
（文）已知向量，是平面内的一组基向量，O为内的定点，对于内任意一点P，当=x+y时，称有序实数对（x，y）为点P的广义坐标，若点A，B（均不与O重合）的广义坐标分别为（，），B（，），则“//”是“=”的（ ）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
6、（理）向量||=||=1，||=且++=0，则cos<-，->=（ ）
A - B - C D
（文）已知向量=（3，1），=（2，2），则cos<+，->=（ ）（2023全国高考甲卷）
A B C D
7、（理）已知O的半径为1，直线PA于O相切于点A，直线PB与O相交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|=，则.的最大值为（ ）
A B C 1+ D 2+
（文）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则.=（ ）（2023全国高考乙卷）
A B 3 C 2 D 5
8、已知向量=（1，1），=（1，-1），若（+）（+u），则（ ）（2023全国高考新高考I）
A +u=1 B +u=-1 C u=1 D u=-1
9、已知向量，满足|-|=，|+|=|2-|，则||= （2023全国高考新高考II）
10、（理）已知向量，，满足.=0，||= ||=1，（-）.（-）=，则|-|的最大值为（ ）
A B 1+ C D 2
（文）已知平面向量，，满足||=||=|-|=1，.=.=1，则||= （成都市高2020级高三一诊）
11、（理）设向量，的夹角的余弦值为，且||=1，||=3，则（2+）. = 。
（文）已知向量=（m，3），=（1，m+1），若，则m= （2022全国高考甲卷）
12、（理）已知向量，满足||=1，||=，|-2|=3，则.=（ ）
A -2 B - 1 C 1 D 2
（文）已知向量=（2，1），=（-2，4），则|-|=（ ）（2022全国高考乙卷）
A 2 B 3 C 4 D 5
『思考问题3』
（1）【典例3】是向量数量积的问题，解答这类问题需要理解平面向量数量积的定义，掌握平面向量数量积的性质，运算的法则和基本方法；平面向量数量积包括：①平面向量数量积的几何运算；②平面向量数量积的坐标运；
（2）平面向量数量积几何运算的基本方法是：①若已知向量的模和夹角，则直接运用公式.=||||cos〈，〉计算；②运用向量数量积的几何意义求解；
（3）已知向量=，=，求向量数量积直接运用公式.=求解；
已知向量=，求向量的模一般运用公式.=||=+，||=求解，尤其是求几个向量的和或差的模时需要灵活运用公式；
（4）求与的夹角常用公式cos= 求解，基本方法是：①求出.及||||或得出它们之间的关系，②根据三角函数的相关知识得出结果(注意两向量夹角的取值范围。
［练习3］解答下列问题：
1、已知向量=（3，4），=（1，0），=+t，若<，>=<，>，则实数t=（）（2022全国高考新高考II卷）
A -6 B - 5 C 5 D 6
2、已知向量，满足=（1，1）， +2=（3，-1），则向量与的夹角为 （成都市2019级高三一诊）
3、已知RtABC中，C=，BC=2，D为AC边上的动点，则. = （成都市2019级高三二诊）
4、在ABC中，已知A=，C=，AC=2，则向量在方向上的投影为（ ）
A 2 B 2 C D -
5、已知向量=（3，1），=（1，0），=+k，，则k= （2021全国高甲卷）
6、已知向量=（1，3），=（3，4），若（-），则= （2021全国高考乙卷）
7、已知向量++=0，||=1，||=||=2，.+.+.= （2021全国高考高考II）
8、已知向量，满足=（1，1）， +2=（3，-1），则向量与的夹角为 （2021
成都市高三一诊）
9、已知RtABC中，C=，BC=2，D为AC边上的动点，则. = （2021成都市高三二诊）
10、已知向量，满足||=5，||=6，.=-6，则cos<，+>=（ ）（2020全国高考新课标III）
A - B - C D
11、（理）设，为单位向量，且|+|=1，则|-|= 。
（文）设=（1，-1），=（m+1，2m-4），若，则m= （2020全国高考新课标I）
12、（理）已知单位向量，的夹角为，若k-与垂直，则k= 。
（文）已知单位向量，的夹角为，则在下列向量中，与垂直的是（ ）（2020全国高考新课标II）
A +2 B 2+ C -2 D 2-
13、（理）若向量，满足| |=2，（ +2）. =6，则在方向上的投影为（ ）
A 1 B C - D -1
（文）若向量，满足| |=2，||=1，（ +2）. =6，则cos<，>=（ ）（2020成都市高三一诊）
A B C - D -
14、在ABC中，已知AB=AC，D为BC边中点，点O在直线AD上，且. =3，则BC边的长度为（ ）（2020成都市高三二诊）
A B 2 C 2 D 6
平面向量5分小题问题的类型与解法
平面向量问题是近几年高考的热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，只要是高考（或高三诊断考试）试卷，就必然会涉及到平面向量问题。从题型上看，可能是选择题（或填空题），也可能参透到大题，这里主要探导平面向量5分小题的问题；难度系数为低（或中）档，但有时也会是高档。纵观近几年高考（或高三诊断考试）试题，归结起来，平面向量5分小题问题主要包括：①平面向量几何运算；②平面向量坐标运算；③平面向量数量积等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答平面向量5分小题问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过近几年高考（或高三诊断考试）试题的详细解析，来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、已知正方形ABCD的边长为1，M，N分别是AB，AD上的点（均不与端点重合），记AMN，CMN的面积分别为，，若=|.|.|.|，则的取值范围是（ ）(成都市高2021级高三三诊)
A [，） B [-1，） C [，） D [-1，）
【解析】
【考点】①正方形定义与性质；②平面向量定义与性质；③向量数量积定义与性质；④向量几何运算法则和基本方法；⑤基本不等式及运用。
【解题思路】根据正方形，平面向量和平面向量数量积的性质，运用向量几何运算的法则与基本方法和基本不等式，结合问题条件求出的取值范围就可得出选项。
【详细解答】如图，正方形ABCD的边长为1，M，N分 D C
别是AB，AD上的点（均不与端点重合），=+ N
=t+（0=|.|.|.|=|（t+）.|.|（ --u）.|=tu=（1-t）（1-u），t+u+tu=1，2-2≤t+u<1，-1≤=1-（t+u）-tu=（t+u）<1，的取值范围是[-1，），D正确，选D。
2、（理）在ABC中，已知=2，AC=3BC，sinBDC=3sinBAC，当.-||取得最小值时，ABC的面积为（ ）
A B C D
（文）在ABC中，已知=2，AC=3BC=3，sinBDC=3sinBAC，则ABC的面积为（ ）（成都市高2020级高三二诊）
A B C D
【解析】
【考点】①三角形正弦定理及运用；②三角形余弦定理及运用；③向量数量积定义与性质；④三角形面积公式及运用。
【解题思路】（理）设ABC的三边分别为a，b，c，根据三角形正弦定理和三角形余弦定理，结合问题条件得到关于a，b，c的等式，从而得到a，b关于c的表示式，运用向量数量积的性质，求出当.-||取得最小值时c的值，从而求出a，b，sinC的值，利用三角形面积公式求出ABC的面积就可得出选项。
（文）设ABC的三边分别为a，b，c，根据三角形正弦定理和三角形余弦定理，结合问题条件得到关于a，b，c的等式，从而得到a，b关于c的表示式，运用向量数量积的性质，求出当.-||取得最小值时c的值，从而求出a，b，sinC的值，利用三角形面积公式求出ABC的面积就可得出选项。
【详细解答】（理）如图，设ABC的三边分别为a，b， A
c，sinBDC=sinBDA=3sinBAC， c b D
=，BD==， B a C
=2，cosBDA=-cosBDC，AD=b，CD=b，=-，AC=3BC，=，=， .-||=abcosC-c=ab
-c=-c，当且仅当c=时，.-||取得最小值，a=，b=，cosC
= ，sinC=，= absinC==，当.-||取得最小值时，ABC的面积为 ，D正确，选D。 A
（文）如图，设ABC的三边分别为a，b，c， c b D
sinBDC=sinBDA=3sinBAC， B a C
=，BD==， =2，AC=3BC=3，AD=b=2，CD=b=1，a=1，cosC==，c=，cosC= ，sinC=，= absinC=13=，ABC的面积为 ，D正确，选D。
3、在ABC中，点D在边AB上，BD=2DA，记=m，=n，则=（ ）（2022全国高考新高考I卷）
A 3m-2n B -2m+3n C 3m+2n D 2m+3n
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量基本定理及运用；③向量几何运算的法则和基本方法。
【解答思路】根据平面向量的性质，运用平面向量基本定理，几何运算法则和基本方法，求出关于m，n的表示式，就可得出选项。 C
【详细解答】如图，在ABC中，点D在边AB上，
BD=2DA，=m，=n，=-=n-m，
=2=2 n-2m，=+=n+2n-2m A D B
=3n-2m，B正确，选B。
『思考问题1』
（1）【典例1】是向量几何运算的问题，解答这类问题需要掌握向量几何运算的法则和运算的基本方法，能够灵活运用平行四边形法则和三角形法则，一般来说，两个向量具有公共的始点时，选用平行四边形法则；两个向量如果一个向量的始点与另一个向量的终点重合时，选用三角形法则；
（2）用两个不共线的已知向量来表示其他向量是用向量解题的基本要领，在实际解答问题时，应该尽可能地把相关向量转化到同一平行四边形 或 同一三角形中去；
（3）注意待定系数法和方程思想的运用，在实际解答问题时，经常运用向量共线的充分必要条件和平面向量基本定理建立方程（或方程组），再通过解方程（或方程组）达到解答问题的目的。
［练习1］解答下列问题：
1、已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则.的取值范围是（ ）（2020全国高考新高考I）（答案：A）
A （-2，6） B （-6，2） C （-2，4） D （-4，6）
【典例2】解答下列问题：
1、已知向量=（，2），=（1，1），若|+|=|-|，则实数的值为（ ）（成都市高2021级高三三诊）
A -2 B 2 C - D
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量数量积定义与性质；③平面向量坐标运算的法则和基本方法。
【解题思路】根据平面向量和平面向量数量积的性质，运用平面向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件得到关于的方程，求解方程求出的值就可得出选项。
【详细解答】向量=（，2），=（,2，1），|+|=|-|，.=+2=0，即=-2，A正确，选A。
2、已知，是两个非零向量，设=，=，给出定义：经过的起点A和终点B分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，则称向量为在上的投影向量，已知=（1，0），=（，1），则向量在上的投影向量为（ ）（成都市高2020级高三三珍）
A （，） B （1，） C （，） D （，）
【解析】
【考点】①平面向量坐标定义与性质；②平面向量数量积定义与性质；③平面向量坐标运算法则和基本方法。
【解题思路】根据平面向量坐标和平面向量数量积的性质，运用平面向量坐标运算法则和基本方法，结合问题条件求出向量在上的投影向量的坐标就可得出选项。
【详细解答】=（1，0），=（，1），.=||||cos<，>=+0=，
||==2，||cos<，>==，向量的单位向量为（，1）
=（，），向量在上的投影向量的坐标为（，）=（，），D正确，选D。
3、已知向量=（1，m），=（n，4），其中m，nR，若=2，则m+n的值为 （成都市2020级高三零诊）
【解析】
【考点】①向量坐标定义与性质；②向量坐标运算法则和基本方法。
【解题思路】根据向量坐标的性质，运用向量坐标运算法则和基本方法，结合问题条件得到关于m，n的方程组，求解方程组求出m，n的值，就可求出m+n的值。
【详细解答】=（1，m），=（n，4），=2，n=2①，2m=4②，联立①②解得：m=2，n=2，m+n=2+2=4。
4、已知O为坐标原点，点（cos，sin），（cos，-sin），（cos(+)，sin(+)），A（1，0），则（ ）（2021全国高考新高考I）
A ||=|| B ||=|| C.=. D .=.
【解析】
【考点】①向量坐标定义与性质；②向量坐标运算的法则和基本方法；③向量数量积的定义与性质；④向量模定义与性质。
【解答思路】根据向量坐标，向量模和向量数量积的性质，运用向量坐标运算法则与基本方法，结合问题条件分别对各选项的正确与错误进行判断就可得出选项。
【详细解答】点（cos，sin），（cos，-sin），（cos(+)，sin(+)），A（1，0），=（cos，sin），=（cos，-sin），=（cos(+)，sin(+)），=（1，0），=（cos-1，sin），=（cos-1，-sin），||=
=1，||==1，==，||
==，.= cos(+)+0= cos(+)，.
= cos. cos- sin. sin= cos(+)，.= cos+0= cos，.= cos
. cos(+)-sin. sin(+)=cos(++)=cos(+2)， ||=||=1，A正确，选A。
『思考问题2』
（1）【典例2】是向量坐标运算的问题，解答这类问题需要理解平面向量坐标的定义，掌握向量坐标运算的法则和基本方法；
（2）向量的坐标运算主要包括：①向量坐标的加法运算；②向量坐标的减法运算，③向量坐标的数乘运算；这三种运算都可以直接运用运算法则进行，同时注意坐标运算性质和运算律的灵活运用，对于综合性问题解答时注重方程思想与数形结合思想的运用。
［练习2］解答下列问题：
1、ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若向量=（a，-cosA），=（cosC，b-c），且.=0，则角A的大小为（ ）（2020成都市高三零诊）（答案：A）
A B C D
2、设向量=（x，x-1），=（2，-1），若+2与共线，则实数x的值为（ ）（2020成都市高三三诊）（答案：B）
A B - C 10 D -11
【典例3】解答下列问题：
1、 已知向量=（x+1，x）, =(x，2)，则（ ）（2024全国高考甲卷）
A “x=-3”是“⊥的必要条件 B “x=-3”是“//的必要条件
C “x=0”是“⊥的充分条件 D “x=-1+”是“//的充分条件
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量数量积定义与性质；③向量共线的充分必要条件及运用；④充分条件，必要条件和充分必要条件定义与性质；⑤判断充分条件，必要条件和充分必要条件的基本方法。
【解答思路】根据平面向量，平面向量数量积和充分条件，必要条件与充分必要条件的性质，运用共线向量充分必要条件与判断充分条件，必要条件和充分必要条件的基本方法，对各选项结论的正确与错误进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，⊥，=x(x+1)+2x=+3x=x(x+3)=0，x=0，或x=-3，“x=-3”不是“⊥的必要条件 ，A错误；对B，//， 2(x+1)-x，x =-+2x+2=-2x-2=0，x=1+，或x=1-，“x=-3”不是“//的必要条件 ，B错误；对C, 当x=0时。=x(x+1)+2x=+3x=0+0=0，⊥，“x=0”是“⊥的充分条件,C正确；对D，
当x=-1+时。2(x+1)-x，x=2（-1++1）-（-1+）（-1+）=2-1+2-3=4-4
=4（-1）0，//不成立，“x=-1+”不是“//的充分条件，综上所述，C正确，
选C。
4、已知向量=（-1，），=（2，0），则cos<，>=（ ）（成都市高2021级高三一诊）
A B C - D -
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量数量积定义与性质；③平面向量坐标运算法则和基本方法。
【解题思路】根据平面向量和平面向量数量积的性质，运用平面向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件求出cos<，>的值就可得出选项。
【详细解答】向量=（-1，），=（2，0），.=-2+0=-2，||==2， ||=
=2，.=||||cos<，>，cos<，>===- ，C正确，选C。
5、（理）已知向量，是平面内的一组基向量，O为内的定点，对于内任意一点P，当=x+y时，称有序实数对（x，y）为点P的广义坐标，若点A，B（均不与O重合）的广义坐标分别为（，），B（，），则“⊥”是“+=0”的（ ）（成都市高2021级高三二诊）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
（文）9、已知向量，是平面内的一组基向量，O为内的定点，对于内任意一点P，当=x+y时，称有序实数对（x，y）为点P的广义坐标，若点A，B（均不与O重合）的广义坐标分别为（，），B（，），则“//”是“=”的（ ）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
【解析】
【考点】①平面内点广义坐标定义与性质；②平面向量数量积定义与性质；③平面向量共线的充分必要条件及运用；④充分条件，必要条件和充分必要条件定义与性质；⑤判断充分条件，必要条件和充分必要条件的基本方法。
【解题思路】根据平面内点广义坐标，平面向量数量积与充分条件，必要条件和充分必要条件的性质，运用判断充分条件，必要条件和充分必要条件的基本方法，结合问题条件得到⊥”是“+=0”的结果就可得出选项。 （文） 根据平面内点广义坐标，与充分条件，必要条件和充分必要条件的性质，运用平面向量共线的充分必要条件与判断充分条件，必要条件和充分必要条件的基本方法，结合问题条件得到//”是“=”的结果就可得出选项。
【详细解答】点A，B（均不与O重合）的广义坐标分别为（，），B（，），
=+，=+，若⊥，当且仅当⊥时，才能推出+=0，否则不能推出+=0，“⊥”不是“+
=0”的充分条件；若+，当且仅当⊥时，才能推出⊥，否则不能推出⊥，“⊥”不是“+=0”的必要条件，综上所述，“⊥”既不是“+=0”的充分条件，也不是“+=0”的必要条件，
D正确，选D。
（文）点A，B（均不与O重合）的广义坐标分别为（，），B（，），
=+，=+，若//，则存在实数t，使=t成立，+=t+t，（-t）+（-t）=0，=t，=t，=t.=，“//”是“=”的充分条件；若=，则=t.（t为实数），=t，=t，=+=t+t
=t，//，“//”是“==0”的必要条件，综上所述，“//”是“==0”的充分必要条件，C正确，选C。
6、（理）向量||=||=1，||=且++=0，则cos<-，->=（ ）
A - B - C D
（文）已知向量=（3，1），=（2，2），则cos<+，->=（ ）（2023全国高考甲卷）
A B C D
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量数量积定义与性质；③平面向量几何运算的法则和基本求法；④平面向量坐标运算的法则和基本求法。
【解题思路】（理）根据平面向量和平面向量数量积的性质，结合问题条件得到向量与向量垂直，向量与向量成角余弦值为-，向量与向量成角的余弦值为-，从而求出（-）（-），|-|，|-|的值，运用平面向量数量积几何运算的基本方法求出cos<-，->就可得出选项。（文）根据平面向量和平面向量数量积的性质，运用向量坐标运算法则和基本方法，结合问题条件求出向量+，-，（+）.（-），|+|，|-|，从而求出cos<+，->的值就可得出选项。
【详细解答】（理）设向量与向量的夹角为，向量与向量的夹角为，向量||=||
=1，||=，++=0，=-（+），2=1+2.+1，.=0，向量与向量垂直，同理可得cos=cos=-,（-）（-）=0-.-.+2=4，|-|
==，|-|==,cos<-，->
===， D正确，选D。（文）），=（2，2），向量+
=（5，3），-=（1，-1），（+）.（-）=5-3=2，|+|==，|-|==，cos<+，->===， B正
确，选B。
7、（理）已知O的半径为1，直线PA于O相切于点A，直线PB与O相交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|=，则.的最大值为（ ）
A B C 1+ D 2+
（文）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则.=（ ）（2023全国高考乙卷）
A B 3 C 2 D 5
【解析】
【知识点】①圆定义与性质；②直角三角形定义与性质； ③正方形定义与性质；④平面向量数量积定义与性质；⑤平面向量几何运算法则与基本方法；⑥求三角函数最值的基本方法。
【解题思路】（理）根据圆，直角三角形和平面向量数量积的性质，结合问题条件得到.的三角函数表示式，运用求三角函数最值的基本方法，求出.的最大值就可得出选项。（文）根据正方形和平面向量数量积的性质，运用平面向量几何运算的法则与基本方法，结合问题条件求出.的值就可得出选项。
【详细解答】（理）如图，连接PO，OA，设BPO=（0≤≤），|OA|=1，|PO|=，直线PA于O相切于点A，|PA|= =1，|PD|=cos，APO=AOP=，①当点A，D位于PO的异侧时，.=|PA||PD|cos(+)=cos（cos- sin）= cos- cossin=- sin2+ cos+=- sin(2-)+，当且仅当2-=-，即=0时，.=-（-）+=+=1为最大值；
②当点A，D位于PO的同侧时，.=|PA||PD|cos(-)=cos（cos
+sin）= cos+cossin= sin2+ cos+=sin(2+)+，当且仅当2+=，即=/8时，.=-1+=为最大值，＞1，.的最大值为， A正确，选A。（文）如图，正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，= +=+，=+=-+，
.=（+）（-+）=||-||=4-1=3，B正确，选B。
8、已知向量=（1，1），=（1，-1），若（+）（+u），则（ ）（2023全国高考新高考I）
A +u=1 B +u=-1 C u=1 D u=-1
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②向量数量积定义与性质；③平面向量坐标运算的法则和基本方法。
【解答思路】根据平面向量和平面向量数量积的性质，运用平面向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件得到关于，u的等式，从而求出+u（或u）的值就可得出选项。
【详细解答】向量=（1，1），=（1，-1），+=（1+，1-），+u=（1+u，1-u），（+）（+u），（1+）（1+u）+（1-）（1-u）=1+u++u+1-u-+u
=2+2u=0，即 u=-1，D正确，选D。
9、已知向量，满足|-|=，|+|=|2-|，则||= （2023全国高考新高考II）
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②向量数量积定义与性质；③平面向量几何运算的法则和基本方法。
【解答思路】根据平面向量和平面向量数量积的性质，运用平面向量几何运算的法则和基本方法，结合问题条件得到关于||的等式，从而就可求出||的值。
【详细解答】向量，满足|-|=，||-2.+||=3，2.=||+||-3，
|+|=||+2.+||=2||+2||-3，|2-|=4||-4.+||=4||-2
||-2||+6+||=2||-||+6，|+|=|2-|，2||+2||-3=2||-||+6，
3||=9，||=。
10、（理）已知向量，，满足.=0，||= ||=1，（-）.（-）=，则|-|的最大值为（ ）
A B 1+ C D 2
（文）已知平面向量，，满足||=||=|-|=1，.=.=1，则||= （成都市高2020级高三一诊）
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量数量积定义与性质；③平面向量坐标运算法则和基本方法；④圆定义与性质；⑤求圆上一点到定点距离最值的基本方法。
【解题思路】（理）设=（1，0），=（0，1），=（x，y），根据平面向量和平面向量数量积的性质，运用平面向量坐标运算的法则和基本方法得到关于x，y的等式，从而得到向量的终点在圆+=1上，问题转化为求点（1，0）到点（x，y）距离的最大值，利用圆的性质和求圆上一点到定点距离最值的基本方法求出|-|的最大值就可得出选项。
（文）如图，设=（，），=（-，），=（x，y），根据平面向
量和平面向量数量积的性质，运用平面向量坐标运算的法则和基本方法得到关于x，y的方程组，求解方程组求出x，y的值，从而得到向量的坐标，利用求向量摸的基本方法就可求出||的值。
【详细解答】（理）向量，，满足.=0，||= ||=1，（-）.（-）=，设=（1，0）， =（0，1），=（x，y），-=（x-1，y），-=（x，y-1）（-）.（-）=x(x-1)+y(y-1)=+-x-y=，+=1，向量的终点在圆+=1上，点（1，0）到圆心的距离为=，|-|的最大值为1+c， B正确，选B。
（文）向量，，满足||=||=|-|=1， y
如图，设=（，），=（-，），
=（x，y），.=x+y=1①，.=- x - 0
+y=1②，联立①②解得：x=0，y=，向量的坐标为（0，），||=。
11、（理）设向量，的夹角的余弦值为，且||=1，||=3，则（2+）. = 。
（文）已知向量=（m，3），=（1，m+1），若，则m= （2022全国高考甲卷）
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②向量数量积定义与性质；③平面向量数量积几何运算的法则和基本方法；④平面向量坐标定义与性质；⑤向量坐标运算法则和基本方法。
【解答思路】（理）根据平面向量和平面向量数量积的性质，运用平面向量数量积几何运算的法则和基本方法，结合问题条件就可求出（2+）. 的值。（文）根据平面向量和平面向量数量积的性质，运用平面向量数量积坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件得到关于m的方程，求解方程就可求出m的值。
【详细解答】（理）向量，的夹角的余弦值为，||=1，||=3， （2+）. =2
.+.=213+9=2+9=11。（文）向量=（m，3），=（1，m+1），， .=m+3m+3=4m+3=0，m=-。
12、（理）已知向量，满足||=1，||=，|-2|=3，则.=（ ）
A -2 B - 1 C 1 D 2
（文）已知向量=（2，1），=（-2，4），则|-|=（ ）（2022全国高考乙卷）
A 2 B 3 C 4 D 5
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②向量数量积定义与性质；③平面向量数量积几何运算的法则和基本方法；④平面向量坐标定义与性质；⑤向量坐标运算法则和基本方法。
【解答思路】（理）根据平面向量和平面向量数量积的性质，运用平面向量数量积几何运算的法则和基本方法，结合问题条件就可求出. 的值就可得出选项。（文）根据平面向量和平面向量数量积的性质，运用平面向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件就可求出|-|的值就可得出选项。
【详细解答】（理）向量，满足||=1，||=，|-2|=3，|-2|=||-4.+4
||=13-4.=9，即.=1，C正确，选C。（文）向量=（2，1），=（-2，4），|-|=||-2.+||=5-2（-4+4）+20=25，即|-|=5，D正确，选D.
『思考问题3』
（1）【典例3】是向量数量积的问题，解答这类问题需要理解平面向量数量积的定义，掌握平面向量数量积的性质，运算的法则和基本方法；平面向量数量积包括：①平面向量数量积的几何运算；②平面向量数量积的坐标运；
（2）平面向量数量积几何运算的基本方法是：①若已知向量的模和夹角，则直接运用公式.=||||cos〈，〉计算；②运用向量数量积的几何意义求解；
（3）已知向量=，=，求向量数量积直接运用公式.=求解；
已知向量=，求向量的模一般运用公式.=||=+，||=求解，尤其是求几个向量的和或差的模时需要灵活运用公式；
（5）求与的夹角常用公式cos= 求解，基本方法是：①求出.及||||或得出它们之间的关系，②根据三角函数的相关知识得出结果(注意两向量夹角的取值范围。
［练习3］解答下列问题：
1、已知向量=（3，4），=（1，0），=+t，若<，>=<，>，则实数t=（）（2022全国高考新高考II卷）（答案：C）
A -6 B - 5 C 5 D 6
2、已知向量，满足=（1，1）， +2=（3，-1），则向量与的夹角为 （成都市2019级高三一诊）(答案：向量与的夹角为。)
3、已知RtABC中，C=，BC=2，D为AC边上的动点，则. = （成都市2019级高三二诊）（答案：. =4.）
4、在ABC中，已知A=，C=，AC=2，则向量在方向上的投影为（ ）（答案：C）
A 2 B 2 C D -
5、已知向量=（3，1），=（1，0），=+k，，则k= （2021全国高甲卷）（答案：k=-。）
6、已知向量=（1，3），=（3，4），若（-），则= （2021全国高考乙卷）（答案：=。）
7、已知向量++=0，||=1，||=||=2，.+.+.= （2021全国高考高考II）（答案：.+.+.=-。）
8、已知向量，满足=（1，1）， +2=（3，-1），则向量与的夹角为 （2021
成都市高三一诊）（答案：向量与的夹角为。）
9、已知RtABC中，C=，BC=2，D为AC边上的动点，则. = （2021成都市高三二诊）（答案：. =4。）
10、已知向量，满足||=5，||=6，.=-6，则cos<，+>=（ ）（2020全国高考新课标III）（答案：D）
A - B - C D
11、（理）设，为单位向量，且|+|=1，则|-|= 。（答案：|-|=。）
（文）设=（1，-1），=（m+1，2m-4），若，则m= （2020全国高考新课标I）（答案：m=5。）
12、（理）已知单位向量，的夹角为，若k-与垂直，则k= 。（答案：k=。）
（文）已知单位向量，的夹角为，则在下列向量中，与垂直的是（ ）（2020全国高考新课标II） （答案：D）
A +2 B 2+ C -2 D 2-
13、（理）若向量，满足| |=2，（ +2）. =6，则在方向上的投影为（ ）（答案：B）
A 1 B C - D -1
（文）若向量，满足| |=2，||=1，（ +2）. =6，则cos<，>=（ ）（2020成都市高三一诊）（答案：B）
A B C - D -
14、在ABC中，已知AB=AC，D为BC边中点，点O在直线AD上，且. =3，则BC边的长度为（ ）（2020成都市高三二诊）（答案：A）
A B 2 C 2 D 6

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