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对数运算与对数函数—高一数学北师大版(2019)必修一单元检测卷（B卷）
【满分：150分】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
2.以下四种说法中，正确的是( )
A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B.对任意的，
C.对任意的，
D.不一定存在，当时，总有
3.已知函数，若，则( )
A. B. C. D.1
4.已知函数，若，使得恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. B.，
C. D.
5.已知，，，则a，b，c的大小关系是( )
A. B. C. D.
6.已知是奇函数，若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的值域为( )
A. B.
C. D.
7.已知，，且，则的最小值为( )
A.10 B.9 C. D.
8.函数（，，），若，则a的值为( )
A.4 B.4或 C.2或 D.2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.设，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
10.已知函数是R上的偶函数,且在上单调递增,,,,则下列说法正确的是( )
A.函数的图象关于直线对称
B.
C.函数在区间上单调递减
D.函数在处取到最大值
11.定义:表示的解集中整数的个数.若,,则下列说法正确的是( )
A.当时,
B.当时,不等式的解集是
C.当时,
D.当时,若,则实数a的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.化简___________.
13.设函数.若,则ab的最小值为________.
14.若函数（且）在上的最大值为2，最小值为m，函数在上是增函数，则的值是____________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）已知函数.
(1)求函数的定义域;
(2)求y的最大值,并求取得最大值时的x值.
16.（15分）已知实数a，b满足，.
（1）用a表示；
（2）计算的值.
17.（15分）已知函数,.
（1）当时,判断函数的奇偶性并证明;
（2）给定实数且,问是否存在直线,使得函数的图像关于直线对称 若存在,求出的值（用a表示）;若不存在,请说明理由.
18.（17分）已知函数是偶函数.
(1)求k的值.
(2)若函数,,是否存在实数m使得的最小值为0？
若存在,求出实数m的值;若不存在,请说明理由.
19.（17分）已知函数为奇函数.
（1）求实数k的值;
（2）若对任意都有成立,求t的取值范围;
（3）若存在,,且,使得函数在区间上的值域为,求实数m的取值范围.
答案以及解析
1.答案：A
解析：函数有意义,,解得或,
所以函数的定义域为.
故选：A.
2.答案：D
解析：对于A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较；对于B、C，当时，显然不成立；当，时，一定存在，使得当时，总有，但若去掉限制条件“，”，则结论不成立.故选D.
3.答案：B
解析：当时，，无解，
当时，，
所以，
故选：B.
4.答案：A
解析：已知函数，若，使得恒成立，即函数存在最小值，
所以的图像与x轴相离，且函数在上为增函数，
所以，解得，
所以实数a范围是.
故选：A.
5.答案：D
解析：因为为减函数，所以，即；
因为为增函数，所以，即；
因为为增函数，所以，即；
所以.
故选：D.
6.答案：A
解析：因为，由可得或，所以的定义域为或.因为是奇函数，定义域关于原点对称，所以，解得，
所以的定义域为.
因为函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以与互为反函数，
故的值域即为的定义域.故选A.
7.答案：C
解析：令，，则，，代入，得.
因为，，所以，当且仅当，即时，等号成立.故的最小值为.故选C.
8.答案：C
解析：由题意得，，
令，则，
则函数，，
即，.
当时，在上单调递增，由可得，解得；
当时，在上单调递减，由可得，解得.故a的值为2或，故选C.
9.答案：AC
解析：对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.
10.答案：ABC
解析：由函数是R上的偶函数,所以函数的图象关于y轴对称,
因为在上单调递增,所以函数在上单调递减,所以C正确;
又由的图象是由的图象向左平移1个单位得到的,
所以的图象关于对称,所以A正确;
因为,,,
因为且函数在上单调递增,所以,
即,所以B正确;
因为在上单调递增,所以函数在上单调递减,
所以函数在处取到最小值,所以D不正确.
故选：ABC.
11.答案：BCD
解析：根据题意,可转化为满足的整数x的个数.
当时,如图,数形结合得的解集中整数的个数有无数多个,故A错误;
当时,,数形结合(如图),由解得,
所以在内有3个整数解,为1,2,3,故B和C都正确;
当时,作出函数和的图象,如图所示,
若,即的整数解只有一个,
只需满足,即,解得,
所以时,实数a的取值范围是,故D正确;
故选:BCD.
12.答案：
解析：原式.
故答案为：.
13.答案：/
解析：当时,,此时要使,还需恒成立,即还需,
当时,,此时要使,还需恒成立,即还需,
综上所述,,即,
所以,所以ab的最小值为,等号成立当且仅当,.
故答案为:.
14.答案：3
解析：当时，函数是正实数集上的增函数，而函数在上的最大值为，因此有，解得，所以，此时在上是增函数，符合题意，因此；
当时，函数是正实数集上的减函数，而函数在上的最大值为2，因此有，，所以，此时在上是减函数，不符合题意.
综上所述，，，.
故答案为：3.
15.答案：(1);
(2)y的最大值为1,此时.
解析：(1)由题意,解得,
所以函数的定义域为;
(2)因为,
所以,当且仅当时,等号成立,
所以y的最大值为1,此时.
16.答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意可知，
所以.
（2）由题得，
所以
.
17.答案：（1）偶函数,证明见解析;
（2）存在符合题意.
解析：（1）当时,,函数为偶函数,证明如下:
,
又函数的定义域为R,
函数为偶函数;
（2）假设存在直线,使得函数的图像关于直线对称,
则,
,
即,即,
,即,
,
,即,
且,
,
故存在,使得函数的图像关于直线对称.
18.答案：(1)
(2)存在,m的值为-1
解析：(1)函数是偶函数,
,即,
,∴;
(2)假设存在满足条件的实数m.
由题意,可得,.
令,则,.
令,.
函数的图象开口向上,对称轴为直线,
当,即时,,解得;
当,即时,
,解得（舍去）;
当,即时,
,解得（舍去）.
综上,存在实数m使得的最小值为0,此时实数m的值为-1.
19.答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）因为函数为奇函数,所以,
即对定义域内任意x恒成立,
所以,即,
显然,又当时,的定义域关于原点对称.所以为满足题意的值.
（2）由（1）知,其定义域为,
可以判断出在上为增函数.所以在上为增函数,
对任意都有成立,则有,所以,
所以,
所以求t的取值范围为;
（3）由（2）知在上为增函数,
又因为函数在上的值域为,
所以,且,所以,
即,是方程的两实根,
问题等价于方程在上有两个不等实根,
令,对称轴则,
即,解得.

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