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第05讲 一元二次不等式及其他常见不等式
(
考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 一元二次等式解法 (2) 一元二次不等式恒成立问题 2024年I卷，5分 2024年上海卷，5分 2023年I卷，5分 2020年甲全国卷，5 分 2019年全国卷，5 分 2019年天津卷，5分 （1）本讲为高考命题热点，题型以选择题、填空题为主，考查内容、频率、题型、难度均变化不大. （2）重点是一元二次方程的解法，主要考查二次函数图象、一元二次方程根的个数、一元二次不等式的解法以及一元二次方程不等式恒成立求参数范围问题，常与集合、三角函数、对数函数、指数函数结合.
(
考试要求
小
)
1、会从实际情景中抽象出一元二次不等式；
2、结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式；
3、了解简单的分式、绝对不等式的解法。
(
考点突破考纲解读
)
(
考点梳理
小
)
知识点1:解一元二次不等式
1、二次函数与一元二次方程，不等式的解的对应关系:
判别式
二次函数的图象
方程的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根
不等式的解集 或 R
2、解一元二次不等式的步骤：
（1）将二次项系数化为正数；
（2）解相应的一元二次方程；
（3）根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；
（4）写出不等式的解集．
【易错提醒】
①未将二次项系数化正，对应错标准形式；
②解方程出错；
③结果未按要求写成集合形式．
3、含参数的一元二次不等式
对含参数的不等式，一般要对参数进行分类讨论，常见的分类方法有以下3种：
（1）根据二次项系数为正、负及零进行分类；
（2）根据判别式与0的关系判断根的个数进行分类；
（3）有两个根时，根据两根的大小进行分类.
知识点2:分式不等式与整式不等式解法
1、；与同号（异号）
2、
知识点3:绝对值不等式解法
1、
2、
(
题型展示
小
)
题型一:解一元二次不等式
【例1】不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
，答案为D.
【变式1】不等式的解集为 ．（用区间表示）
【答案】
【解析】
(1) 将二次项系数化为正数：
(2) 解相应的一元二次方程：；
(3) 根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图：开口向上，小于0取中间；
(4) 写出不等式的解集：．
题型二:一元二次不等式恒成立求参数范围
【例2】（多选）对，不等式恒成立，则实数的取值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
（1）分析开口方向：
对，不等式恒成立，开口向下，则；
（2）恒成立问题转换为比较最值，分析最值：
开口向下有最大值，当时取得，；答案为ABC.
【变式2】已知函数，若对于，恒成立，则实数的取值范围为 ．
【答案】D
【解析】
（1）移项化简不等式：对于恒成立；
（2）求出对称轴：
（3）分析区间内单调性，求出最值：
1）若，开口向上，在上递增，当时有最大值，
2）若，开口向上，在上递减，当时有最大值，
3）若，符合
综上可得，答案为
题型三:已知参数范围的恒成立问题
【例3】若不等式，当时恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】判别式求根法，换参数法
方法1 判别式求根法
（1）求出，判断根的个数：
有两个根；
（2）试求出根：
（3）画出图象判断范围：
结合图象可得的取值范围为，答案为D.
方法2 换参数法
要求谁的范围就把谁看作参数；
（1）题中要求的范围，把看作参数，看作变量：
（2）看成的一次函数，分类讨论求最值：
1）当时，有最小值或，则；
2）当时，，不符合；
3）当时，有最小值或，则；
故的取值范围为，答案为D.
【变式3】若不等式，当时恒成立，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】
（1）要求的谁的范围把谁看作参数；把看作参数，把看作变量，
（2）看成的一次函数，分类讨论求最值：
1）当时，有最小值或，则；
2）当时，，不符合；
3）当时，有最小值或，则；
故的取值范围为.
(
考场演练
)
【题1】（2024·全国新Ⅰ卷）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【题型】集合与不等式
【解析】
，且，；故答案为A.
【题2】（2024·上海）已知则不等式的解集为 ．
【答案】
【题型】解一元二次不等式
【解析】
或，
故不等式的解集为，答案为：.
【题3】（2023·全国新Ⅰ卷）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【题型】集合与一元二次不等式
【解析】直接求解法、选项代入法
方法1 直接求解法
，而，
．答案为C．
方法2 选项代入法
，将代入不等式，只有使不等式成立，
．答案为C．
【题4】（2020·全国）已知集合则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【题型】集合与一元二次不等式
【解析】直接求解法、选项代入法
方法1 直接求解法
由解得，
，又，，答案为D.
方法2 选项代入法
，将代入不等式，只有使不等式成立，
，答案为D.
【题5】（2019·全国）设集合，则（ ）
A．(-∞，1) B．(-2，1) C．(-3，-1) D．(3，+∞)
【答案】A
【题型】集合与一元二次不等式
【解析】直接求解法
由解得或，
，又，，答案为A.
【题6】（2019·天津） 设，使不等式成立的的取值范围为 .
【答案】
【题型】解一元二次不等式
【解析】
，故的取值范围是．
【题7】（2018·全国）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【题型】一元二次不等式与集合补集
【解析】
解不等式得， ，
，答案为B.
【题8】（2017·天津）已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【题型】不等式恒成立问题
【解析】参变分离法
分类讨论去掉绝对值，再把分离出来，求函数最值。将转化为去解决不等式为(*)，
当时，(*)式即为，，
又（时取等号），
（时取等号），，
当时，(*)式为，，又（当时取等号），
（当时取等号），，则 ．答案为A．
【题9】（2015·江苏）不等式的解集为 .
【答案】
【题型】指数型函数式大小比较
【解析】
先把底数化为相同的形式： 又是一个递增函数；
，答案为.
【题10】（2015·广东）不等式的解集为 ．
【答案】
【题型】一元二次不等式
【解析】
由得：，答案为 ．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第05讲 一元二次不等式及其他常见不等式
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考纲导向
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考点要求 考题统计 考情分析
(1) 一元二次等式解法 (2) 一元二次不等式恒成立问题 2024年I卷，5分 2024年上海卷，5分 2023年I卷，5分 2020年甲全国卷，5 分 2019年全国卷，5 分 2019年天津卷，5分 （1）本讲为高考命题热点，题型以选择题、填空题为主，考查内容、频率、题型、难度均变化不大. （2）重点是一元二次方程的解法，主要考查二次函数图象、一元二次方程根的个数、一元二次不等式的解法以及一元二次方程不等式恒成立求参数范围问题，常与集合、三角函数、对数函数、指数函数结合.
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考试要求
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1、会从实际情景中抽象出一元二次不等式；
2、结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式；
3、了解简单的分式、绝对不等式的解法。
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考点突破考纲解读
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知识点1:解一元二次不等式
1、二次函数与一元二次方程，不等式的解的对应关系:
判别式
二次函数的图象
方程的根 有 实数根 有 实数根 实数根
不等式的解集 ， R
2、解一元二次不等式的步骤：
（1）将二次项系数化为正数；
（2）解相应的一元二次方程；
（3）根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；
（4）写出不等式的解集．
【易错提醒】
①未将二次项系数化正，对应错标准形式；
②解方程出错；
③结果未按要求写成集合形式．
3、含参数的一元二次不等式
对含参数的不等式，一般要对参数进行分类讨论，常见的分类方法有以下3种：
（1）根据二次项系数为 进行分类；
（2）根据判别式与0的关系判断根的个数进行分类；
（3）有两个根时，根据两根的大小进行分类.
知识点2:分式不等式与整式不等式解法
1、；与同号（异号）
2、
知识点3:绝对值不等式解法
1、
2、
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题型展示
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题型一:解一元二次不等式
【例1】不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【变式1】不等式的解集为 ．（用区间表示）
题型二:一元二次不等式恒成立求参数范围
【例2】（多选）对，不等式恒成立，则实数的取值可以是（ ）
A. B. C. D.
【变式2】已知函数，若对于，恒成立，则实数的取值范围为 ．
题型三:已知参数范围的恒成立问题
【例3】若不等式，当时恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【变式3】若不等式，当时恒成立，则的取值范围为 .
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考场演练
)
【题1】（2024·全国新Ⅰ卷）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【题2】（2024·上海）已知则不等式的解集为 ．
【题3】（2023·全国新Ⅰ卷）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【题4】（2020·全国）已知集合则（ ）
A． B． C． D．
【题5】（2019·全国）设集合，则（ ）
A．(-∞，1) B．(-2，1) C．(-3，-1) D．(3，+∞)
【题6】（2019·天津） 设，使不等式成立的的取值范围为 .
【题7】（2018·全国）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【题8】（2017·天津）已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题9】（2015·江苏）不等式的解集为 .
【题10】（2015·广东）不等式的解集为 ．
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