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专题提优1 三角形中的思想方法与热点题型
类型一 方程思想
在进行与三角形或多边形的边、角有关的计算时，常通过设未知数的方法，构造方程来求解.
1.已知△ABC中,∠A 比它相邻的外角小10°,则∠B+∠C为 ( )
A.85° B.95° C. 100° D. 110°
2.如图,在△ABC中,∠A=∠ACB,CD 是△ABC 的角平分线,CE是△ABC的高.若∠DCE=48°,则∠ACB的度数为 ( )
A.28° B.29° C.30° D.31°
3.一个正多边形的一个内角比它的外角的2倍多60°，则它的边数是 .
4.如图,△ABC的面积为18,BD=2DC,AE=EC,那么阴影部分的面积是 .
5.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC6.在四边形ABCD中,∠A与∠C互补,∠A 的3 倍与∠B的2倍相等，∠B的5倍与∠C的6倍相等，求∠A∶∠B∶∠C∶∠D.
7. 如图,在△ABC中, BD:是边AC上的高，求∠DBC的度数.
8.如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB 的三等分线交于点E,D,F,G,若∠BFC=132°,∠BGC=118°,求∠A 的度数.
类型二分类讨论思想
在解决与三角形或多边形有关的问题时，有时存在多种符合题意的情况，这时就需要综合考虑所有可能情况，分类求解.
9.△ABC是等腰三角形，其一边长为6cm，另一边比这边短2cm，则这个等腰三角形的周长为 ( )
A. 14 cm B. 16 cm
C. 14 cm或 16 cm D. 无法确定
10.将长为24的木棒截成互不相等的且长都为整数的三段，使这三段能构成一个三角形的三条边，则不同的截法有 种.
11.已知一个三角形的两个内角相差20°，这两个内角中一个角为50°，则这个三角形另外两个内角的度数为 .
12.(1)如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件：(画出图形，把截去的部分涂上阴影)
①新多边形内角和比原多边形的内角和增加了 180°.
②新多边形的内角和与原多边形的内角和相等.
③新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 180°.
(2)将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为2 520°，求原多边形的边数.
13.已知:∠MON=40°,OE平分∠MON,点A,B,C分别是射线OM,OE,ON上的动点(A,B,C 不与点O 重合),连接AC交射线OE 于点 D.设∠OAC=x°.
(1) 如 图 ①, 若 AB ∥ ON, 则 ∠ABO 的度 数是 ; 当 ∠BAD = ∠ABD 时, x= ; 当 ∠BAD = ∠BDA 时,x= .
(2)如图②，若AB⊥OM于点 A，则是否存在这样的x的值，使得△ADB 中有两个相等的角 若存在，求出x的值；若不存在，说明理由.
类型 三 转化思想
在计算多边形的角度之和时，有时各个角比较分散，需要“聚角、补形”，将所要求的角转化到一个多边形中，并充分利用多边形的性质求解，为了便于转化，有时还需要添加适当的辅助线.
14.如图是一个五角星形的多边形纸片，被剪去了一个角,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为 ( )
A.270° B.360° C.450° D.540°
15.如图，把一个三角形纸片ABC的3个顶角向内折叠(3个顶点不重合)之后,那么图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数和是 .
16. (1)如图①称为二环三角形，它的内角和.
(2)如图②称为二环四边形，它的内角和∠A + °;
(3)如图③称为二环五边形，它的内角和∠A +
(4)二环n边形的内角和为 °.(用含 n的式子表示)
17.如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数.
18.(1)如图①,在有一个“凹角∠ABC”的四边形ABCD中,求证:∠ABC=∠A+∠C+∠D.
(2)如图②,在有一个“凹角∠ABC”的六边形ABCDEF中,求证:∠ABC = ∠A+∠C + ∠D + ∠E +∠F-360°.
(3)如图③,在有一个“凹角∠A A A ”的n边形 中(n为大于 3 的整数)，
(4)如图④,在有两个连续“凹角A A A 和∠A A A ”的n边形A A A A … An中(n为大于4的整数),
类型四动点问题
当点沿某条线运动时，相应线段的长、角的度数会发生变化，从而会引起相应图形的形状发生变化.在解决与三角形内、外角和有关的动态问题时，要注意辨明相关点的运动方式，结合相关角的大小之间的关系，通过分析、计算发现变化规律.
19.如图,在△ABC 中,∠ACB 是钝角,若点 C 在射线BD 上向右移动，则 ( )
A.△ABC将变为锐角三角形，而不会再是钝角三角形
B.△ABC将先变为直角三角形，然后变为锐角三角形，而不会再是钝角三角形
C.△ABC将先变为直角三角形，然后变为锐角三角形，接着由锐角三角形变为钝角三角形
D.△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形
20. 如图,∠XOY=90°,点A,B分别在射线OX,OY上移动，BE 是∠ABY 的平分线，BE 的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点 C，试问∠C的度数是否随点A，B的移动发生变化 若不变，请给出证明；若变化，请求出变化范围.
21.在Rt△ABC中,∠C=90°,点 D,E分别是△ABC的边AC,BC 上的点,点 P 是一动点.令∠PDA=∠1,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α.
(1)若点 P在线段AB上,如图①所示,且∠α=50°,则∠1+∠2= .
(2)若点 P 在边AB上运动,如图②所示,则∠α,∠1,∠2之间的关系为 .
(3)若点P运动到边AB的延长线上，如图③所示，则∠α，∠1，∠2之间有何关系 猜想并说明理由.
(4)若点 P 运动到△ABC外,如图④所示,则∠α,∠1,∠2之间的关系为 .
专题提优1 三角形中的思想方法与热点题型
1. B
2. A 解析:设∠A=2x,则∠ACB=2x,∠ACD=x,∴∠CDB=∠A+∠ACD=3x∴ ∠DCE=48°,∴∠CDB=90°-48°=42°,∴x=14°,∴∠ACB=28°.
3.9
4 解析:连接CF,∵ BD=2DC,AE=EC,. 设△DFC的面积为x,△EFC的面积为y,则△BFD 的面积为2x,△AEF的面积为y,∵△BEC的面积: = S△ABC=9,..3x+y= ①.∵ △ADC的面积= S△ABC=6,∴x+2y= ②.①+2×②,可得
5.设 AB =AC =x cm,BC =y cm.根据题意,得 解得{x= }.∴AB=AC=6cm,BC=8 cm.
6.设∠A=x,则 由题意，得 (180°-x),解得x=80°,所以∠A=80°,∠B=120°,∠C=100°,∠D=60°,所以∠A∶∠B∶∠C∶∠D=4∶6∶5∶3.
7.设∠A=x,则 ∴BD 是边AC 上的高,∴∠ADB=∠CDB=90°,..∠ABD=90°-∠A=90°-x,∠DBC=90°-∠C=90°- 解得 x=45°,∴ ∠DBC=90°-
8.∵∠ABC,∠ACB的三等分线交于点 E,D,F,G,∴∠CBG=∠EBG= 在△BCG中,∠BGC=118°,∴∠CBG+∠BCE=180°-∠BGC=180°-118°=62°,∴ ∠CBG+2∠BCF=62° ①.在△BCF 中,∠BFC=132°,∴∠BCF+∠CBF=180°-∠BFC=180°-132°=48°,. . ∠BCF+2∠CBG=48° ②,①+②得,3∠RCF+3∠CBG=110°,即∠ACB+∠ABC=110°,∴∠A=180°-(∠ACB+∠ABC)=180°-110°=70°.
9. C
10.7 解析:设截成的三角形三边长分别为a,b,c。且ac,∴a+b+c>2c,即2c<24,∴ c<12,3c>a+b+c=24,∴c>8,∴811.70°,60°或30°.100° 解析:有两种可能:①若50°的角是两角中的较小角，则较大角为. 此时第三个角的度数为 ；②若50°的角是两角中的较大角，则较小角为 此时第三个角的度数为
12.(1)如图所示(画法不唯一)：
(2)设新多边形的边数为n,则(n-2)·180°=2 520°, 解得n=16. ①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15； ②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16；③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17.故原多边形的边数可以为15,16或17.
13.(1)20° 120 60 解析:∵ ∠MON=40°,OE 平分∠MON,∴∠AOB=∠BON=20°.∵ AB∥ON,.. ∠ABO=∠BON=20°.当∠BAD=∠ABD时,∠BAD=20°.∵ ∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°,∴ ∠OAC = 120°.当∠BAD =∠BDA 时,∵ ∠ABO= 20°,∴∠BAD=80°..∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°,.∠OAC=60°.
(2)存在.①当点D在线段OB上时,若∠BAD=∠ABD,则x=20;若∠BAD=∠BDA,则x=35;若∠ADB=∠ABD;则x=50.②当点D在射线BE上时,∴∠ABE=110°,且三角形的内角和为 180°,∴只有∠BAD=∠BDA,此时x=125.综上可知,存在这样的x的值,使得△ADB中有两个相等的角,且x=20或x=35或x=50或x=125.
14. B
15.360° 解析:∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠B+∠B'+∠C+∠C'+∠A+∠A',∵∠B=∠B',∠C=∠C',∠A=∠A',∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2(∠B+∠C+∠A)=360°.
16. (1)360 解析:如图①,连接B B ,则. ∠C B B ,所以
(2)720 解析:如图②,在A A 之间添加两条边A M,A M,可得 则 6
(3)1080 解析:类似(1)(2)作法,解法略.
(4)(n-2)·360
17. 如图,分别延长AK,DE 交BC 于点 J,L.由三角形的外角的性质可知∠A+∠B=∠IJL,∠C+∠I)=∠MIJ,∠II+∠IIKI=∠GD,∠MEF+∠F = ∠GML, . ∠A+∠B+∠C+∠D+∠MEF+∠F+∠G+∠11+ ∠HKI = ∠1JI,+ ∠MIJ+ ∠GMI,+∠G+∠G∥=(5-2)×180°=3×180°=540°,
18. (1)如图①,延长 AB 交CD 于 E,由三角形的外角的性质得∠ABC=∠BEC+∠C.同理可得,∠BEC=∠A+∠D,∴ ∠ABC=∠A+∠C+∠D.
(2)如图②，延长 AB 交 CD 于 G，由三角形的外角的性质得∠ABC=∠BGC+∠C.∵ ∠BGC=180°-∠BGD,∠BGD=3×180°-(∠A+∠D+∠E+∠F),∴∠ABC=∠BGC+∠C=180°-[3×180°-(∠A+∠D+∠E+∠F)] +∠C=∠A+∠C+∠D+∠E+∠F-360°.
(3)4 解析:在题图③中,连接A A ,得到凸(n-1)边形A A A … An,该(n-1)边形的内角和为(n-3)×180°,..∠A A A + 180°.故答案为4.
(4)6 解析:如图③,延长A A 交A A 于点C,延长A A 交A A 于点 B.类比(2)中作法，易得∠A A A +∠A A A =∠A +∠2+ ，故答案为6.
19. D
20.∠C的度数不随点A，B的移动发生变化.证明如下：∵ ∠ABY是△ABO的外角,. ∠ABY=∠XOY+∠OAB.∵ AC,BE 分别为∠OAB,∠ABY 的平分线, .. ∠ABY.∵∠ABE 是△ABC 的外角,∴ ∠ABE=∠CAB+∠C. 是定值.
21.(1)140° 解析:∵∠1+∠2+∠CDP+∠CEP=360°,∠C+∠α+∠CDP+∠CEP=360°,∴∠1+∠2=∠C+∠α.∵ ∠C=90°,∠α=50°,∴∠1+∠2=140°.
(3)∠1=90°+∠2+∠α.理由如下:设BC与PD 交于点 M∴∠2+∠α=∠DME,∠DME+∠C=∠1,∴∠1=∠C+∠2+∠α=90°+∠2+∠α.
(4)∠2=90°+∠1-∠α 解析:设PE与AC交于点 F.∵ ∠PFD=∠EFC,∴180°-∠PFD=180°-∠EFC,..∠α+180°-∠1=∠C+180°-∠2,..∠2=90°+∠1-∠α.

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