资源简介

/ 让教学更有效 精品试卷 |数学
第04讲 基本不等式及其应用
(
考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 基本不等式求最值 (2) 基本不等式综合运用 2024年Ⅱ卷，5分 2024年北京卷，5分 2021年乙卷，5 分 2021年I卷，5分 2020年甲卷，5分 （1）本讲为高考命题热点，题型以选择题为主； （2）重点是运用基本不等式求最值及其成立条件，主要考查利用对勾型凑配法，“1”的代换来运用基本不等式，常与圆锥曲线、一元二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数结合. （3） 理解、掌握基本不等式及其推论，会使用应用条件：“一正，二定，三相等”，能正确处理常数“1”求最值，能用拼凑等思想合理使用基本不等式求最值，能熟练掌握基本不等式的应用，应用于函数和解析几何的求解过程中求最值
(
考试要求
小
)
1、了解基本不等式的推导过程；
2、会用基本不等式解决简单的最值问题；
3、理解基本不等式在实际过程中的应用.
(
考点突破考纲解读
)
(
考点梳理
小
)
知识点1:基本不等式
1、基本不等式：
，即几何平均数算术平均数；
，当且仅当时，等号成立；
2、几个重要基本不等式变式：
（同号）
（3）利用基本不等式求最值
1）积定和最小：若已知，由可得当时，有最小值.
2）和定积最大：若已知，由可得时，有最大值.
【重要结论】
1、
2、
3、基本不等式应用条件：“一正、二定、三相等”
知识点2:对勾型凑配法
由对勾函数的单调性可知：
将所给函数往对勾型函数上配凑，利用求出最值.
知识点3:“1”的代换
（1）基础型
适用类型：1）已知，求的最小值
2）已知，求的最小值
解题方法：（1）把要求式子乘以1，用所给式子代换
（2）用不等式（同号）求解
（2）有和有积无常数型
适用类型：已知且，求的最小值
解题方法：对所给有和有积无常数型式子同除，得到“1”的等式，再利用基础代换型“1”的代换解题步骤求解.
（3）有和有积有常数型
适用类型：1）已知且，求的最小值
2）已知且，求的取值范围
解题方法：
类型1）、利用不等式，将条件等式转换为关于的一元二次不等式，进而求解.
类型2）、利用基本不等式，将条件等式转换为关于的不等式，进而求解.
（4）分母和定型
适用类型：观察分式的分母，两分式的分母之和为定值.
解题方法：1）将两式分母相加得到和为定值的等式；
2）将等式化成为和1 的等式，再用“1”的代换求最值.
（5）分离型
适用类型：观察分式，分式的分子分母都含.
解题方法：1）将分子中的式子，配凑出分母的形式，约分分离；
2）将含的一次项凑出分母的形式，利用均值不等式求解.
（6）单分母构造型
适用类型：对，求用“1”的代换的模型进行单个分母的变换的题型; 如已知且，求的最小值.
解题步骤：1）将等式凑出分母相加的形式；
2）将等式化成和为1 的等式，再用“1”的代换求最值.
（7）双分母构造型
适用类型：对，求用“1”的代换的模型进行两个分母的变换的题型；如已知且，求的最小值.
解题方法：1）将等式变形凑出两个分母相加的形式；
2）将等式化成和为1 的等式，再用“1”的代换求最值.
（8）换元构造型
适用类型：如已知且，则的最小值.
解题方法：1）换元令分母1为，分母2为；
2）根据所给等式得到和的关系，再用“1”的代换求最值.
(
题型展示
小
)
题型一:对勾型凑配法
【例1】已知函数，则当时，有（ ）
A.最大值 B. 最小值 C. 最大值 D. 最小值
【答案】B
【解析】
当且仅当时，等号成立；故答案为B.
【变式1】函数的最小值是（ ）
A. 2 B.5 C.6 D.7
【答案】D
【解析】
，当且仅当时等号成立；故答案为D.
题型二:“1”的代换
【例2】已知且，则的最小值是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
【解析】
；
对乘以1，并用“1”的代换得：；故答案为A.
【变式2】已知且，则的最小值是（ ）
A. B. 8 C. 9 D. 10
【答案】C
【解析】
；
对乘以1，并用“1”的代换得：；故答案为C.
题型三:基本不等式综合运用
【例3】已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【解析】
由题意，，则，（当且仅当时，等号成立）．答案为C．
【变式3】设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【解析】
双曲线的渐近线方程是
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
不妨设为在第一象限，在第四象限
联立，解得，则
联立，解得，则
，面积为：
其焦距为（当且仅当取等号）
的焦距的最小值：；答案为B.
(
考场演练
)
【题1】（2024·北京）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【题型】单调性和基本不等式
【解析】
由题意不妨设，函数是增函数， ，即，
对选项AB：由基本不等式可得，即，
是增函数，，故B正确，A错误；
对选项C：取特殊值，令，则，
可得，即，故C错误；
对选项D：例如，则，可得，即，故D错误；答案为B.
【题2】（2021·全国乙卷）下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【题型】基本不等式使用条件
【解析】
对A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，其最小值不为，B不符合题意；
对C，，，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．答案为C．
【题3】（2021·全国新Ⅰ卷）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【题型】基本不等式与椭圆
【解析】
由题意，，则，（当且仅当时，等号成立）．答案为C．
【题4】（2020·全国）设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【题型】基本不等式与双曲线
【解析】
双曲线的渐近线方程是
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
不妨设为在第一象限，在第四象限
联立，解得，则
联立，解得，则
，面积为：
其焦距为（当且仅当取等号）
的焦距的最小值：；答案为B.
【题5】（2015·四川）如果函数在区间上单调递减，则的最大值为（ ）
A．16 B．18 C．25 D．
【答案】B
【题型】基本不等式与二次函数
【解析】
时，抛物线的对称轴为.
当时，即..由且得.
当时，抛物线开口向下，可得 即 .由且得，故应舍去.
要使得取得最大值，应有.，则最大值为18.选B.
【题6】（2015·陕西）设，若，，，则下列关系式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【题型】基本不等式与对数函数
【解析】
，，，
函数在上单调递增，， ，
，故选C．
【题7】（2015·湖南）若实数满足，则的最小值为
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【题型】基本不等式
【解析】
，（当且仅当时取等号），则的最小值为，故选C.
【题8】（2015·福建）若直线过点，则的最小值等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【题型】基本不等式
【解析】
直线过点，．则，当且仅当时取等号．故答案为C．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)/ 让教学更有效 精品试卷 |数学
第04讲 基本不等式及其应用
(
考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 基本不等式求最值 (2) 基本不等式综合运用 2024年Ⅱ卷，5分 2024年北京卷，5分 2021年乙卷，5 分 2021年I卷，5分 2020年甲卷，5分 （1）本讲为高考命题热点，题型以选择题为主； （2）重点是运用基本不等式求最值及其成立条件，主要考查利用对勾型凑配法，“1”的代换来运用基本不等式，常与圆锥曲线、一元二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数结合. （3） 理解、掌握基本不等式及其推论，会使用应用条件：“一正，二定，三相等”，能正确处理常数“1”求最值，能用拼凑等思想合理使用基本不等式求最值，能熟练掌握基本不等式的应用，应用于函数和解析几何的求解过程中求最值
(
考试要求
小
)
1、了解基本不等式的推导过程；
2、会用基本不等式解决简单的最值问题；
3、理解基本不等式在实际过程中的应用.
(
考点突破考纲解读
)
(
考点梳理
小
)
知识点1:基本不等式
1、基本不等式：
，即 ；
，当且仅当 时，等号成立；
2、几个重要基本不等式变式：
（同号）
（3）利用基本不等式求最值
1）积定和最小：若已知，由可得当时，有最小值 .
2）和定积最大：若已知，由可得时，有最大值 .
【重要结论】
1、
2、
3、基本不等式应用条件：“ ”
知识点2:对勾型凑配法
由对勾函数的单调性可知：
将所给函数往对勾型函数上配凑，利用求出最值.
知识点3:“1”的代换
（1）基础型
适用类型：1）已知，求的最小值
2）已知，求的最小值
解题方法：（1）把要求式子乘以1，用所给式子代换
（2）用不等式（同号）求解
（2）有和有积无常数型
适用类型：已知且，求的最小值
解题方法：对所给有和有积无常数型式子同除 ，得到“1”的等式，再利用基础代换型“1”的代换解题步骤求解.
（3）有和有积有常数型
适用类型：1）已知且，求的最小值
2）已知且，求的取值范围
解题方法：
类型1）、利用不等式，将条件等式转换为关于的一元二次不等式，进而求解.
类型2）、利用基本不等式，将条件等式转换为关于的不等式，进而求解.
（4）分母和定型
适用类型：观察分式的分母，两分式的分母之和为定值.
解题方法：1）将两式分母相加得到和为定值的等式；
2）将等式化成为和1 的等式，再用“1”的代换求最值.
（5）分离型
适用类型：观察分式，分式的分子分母都含.
解题方法：1）将分子中的式子，配凑出分母的形式，约分分离；
2）将含的一次项凑出分母的形式，利用均值不等式求解.
（6）单分母构造型
适用类型：对，求用“1”的代换的模型进行单个分母的变换的题型; 如已知且，求的最小值.
解题步骤：1）将等式凑出分母相加的形式；
2）将等式化成和为1 的等式，再用“1”的代换求最值.
（7）双分母构造型
适用类型：对，求用“1”的代换的模型进行两个分母的变换的题型；如已知且，求的最小值.
解题方法：1）将等式变形凑出两个分母相加的形式；
2）将等式化成和为1 的等式，再用“1”的代换求最值.
（8）换元构造型
适用类型：如已知且，则的最小值.
解题方法：1）换元令分母1为，分母2为；
2）根据所给等式得到和的关系，再用“1”的代换求最值.
(
题型展示
小
)
题型一:对勾型凑配法
【例1】已知函数，则当时，有（ ）
A.最大值 B. 最小值 C. 最大值 D. 最小值
【变式1】函数的最小值是（ ）
A. 2 B.5 C.6 D.7
题型二:“1”的代换
【例2】已知且，则的最小值是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【变式2】已知且，则的最小值是（ ）
A. B. 8 C. 9 D. 10
题型三:基本不等式综合运用
【例3】已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【变式3】设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
(
考场演练
)
【题1】（2024·北京）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
【题2】（2021·全国乙卷）下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【题3】（2021·全国新Ⅰ卷）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【题4】（2020·全国）设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【题5】（2015·四川）如果函数在区间上单调递减，则的最大值为（ ）
A．16 B．18 C．25 D．
【题6】（2015·陕西）设，若，，，则下列关系式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【题7】（2015·湖南）若实数满足，则的最小值为
A． B．2 C． D．4
【题8】（2015·福建）若直线过点，则的最小值等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑