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4.2 平行线
第四章 相交线和平行线
华师版七年级(上)
3 平行线的性质
教学目标
1. 知道平行线的性质.
2. 能应用平行线的性质进行简单的计算和推理，体会推理过程的严密性.
重点：平行线性质的应用.
难点：平行线的性质与平行线的判定方法的区别.
发现：不会相交.
两条看不到尽头的轨道，我们将它抽象成几何图形.
平行线还有哪些特点呢？
平行线的性质
1
活动 画两条平行线 a∥b，然后画一条截线 c 与 a、b 相交，标出如图所示的角. 度量所形成的 8 个角的度数，把结果填入下表：
角 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4
度数
角 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8
度数
b
1
2
a
c
5
6
7
8
3
4
一、平行线的性质 1
合作探究
观察 ∠1~ ∠8 中，哪些是同位角？它们的度数之间
有什么关系？说出你的猜想：
猜想 两条平行线被第三条直线所截，
同位角＿＿＿.
相等
b
1
2
a
c
5
6
7
8
3
4
a
b
d
再任意画一条截线 d，同样度量各个角的度数，你的猜想还成立吗？
成立
如果同位角不相等，上述结论还成立吗？
不成立
定义总结
一般地，平行线具有如下性质：
性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单说成：两直线平行，同位角相等.
b
1
2
a
c
∴∠1 = ∠2
（两直线平行，同位角相等）.
∵ a∥b（已知），
应用格式:
思考：在上一节中，我们利用“同位角相等，两直线平行”推出了“内错角相等，两直线平行”，类似地，已知“两直线平行，同位角相等”，能否得到内错角之间的等量关系？
二、平行线的性质 2
合作探究
如图，已知 a∥b，那么 2 与 3 相等吗？为什么
解 ∵ a∥b(已知)，
∴ ∠1 = ∠2(两直线平行，同位角相等).
又∵ ∠1 = ∠3(对顶角相等)，
∴ ∠2 = ∠3(等量代换).
b
1
2
a
c
3
定义总结
性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
简单说成：两直线平行，内错角相等.
∴ ∠2 = ∠3
（两直线平行，内错角相等）.
∵ a∥b（已知），
应用格式：
b
1
2
a
c
3
b
1
2
a
c
4
解： 2 + 4 = 180°，理由如下：
∵ a∥b (已知)，
∴ 1 = 2 (两直线平行，同位角相等).
∵ 1 + 4 = 180° (平角的定义)，
∴ 2 + 4 = 180° (等量代换).
思考：类似地，已知两直线平行，能否得到同旁内角之间的数量关系？
三、平行线的性质 3
如图，已知 a∥b，那么 2 与 4 有什么数量关系呢？为什么
定义总结
性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简单说成：两直线平行，同旁内角互补.
b
1
2
a
c
4
∴∠2 +∠4 = 180°
（两直线平行，同旁内角互补）.
∵ a∥b（已知），
应用格式:
两直线平行
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
平行线的判定
平行线的性质
线的关系
角的关系
性质
角的关系
线的关系
判定
讨论：平行线三个性质的条件是什么？结论是什么？它与判定有什么区别？（分组讨论）
四、平行线的判定与性质
典例精析
解：∵ a // b (已知)，
∵∠1 = 50° (已知)，
∴∠2 = ∠1 (两直线平行，内错角相等).
例1 如图， 已知直线 a // b，∠1 = 50°，求∠2 的度数.
b
1
a
c
2
∴∠2 = 50° (等量代换).
典例精析
例2 如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB//CD，∠B = 60°， 求∠C 的度数. 能否求得∠A的度数？
A
B
C
D
解：∵ AB//CD (已知)，
∴∠B + ∠C = 180°
(两直线平行，内错角相等).
∵ ∠B = 60° (已知)，
∴∠C = 180° - ∠B = 120° (等式的性质).
根据题目的已知条件，无法求出 ∠A 的度数.
例3 将如图所示的方格图中的图形向右平行移动 4格，再向上平行移动 3 格，画出平行移动后的图形.
解：如图所示的图形，即为原图形，以及原图形向右平行移动 4 格，再向上平行移动 3 格后的图形.
从图中可以看出，原图形中的每一个顶点及每一条边都向右平行移动了 4 格，再向上平行移动了3 格.
A
B
C
D
解：因为梯形上、下底互相平行，
所以∠A 与∠D 互补，∠B 与∠C 互补.
所以梯形的另外两个角分别是 80°、65°.
于是∠D = 180° - ∠A = 180°-100° = 80°，
∠C = 180° - ∠B = 180° - 115° = 65°.
1. 如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A = 100°，∠B = 115°，梯形的另外两个角的度数分别是多少？
练一练
平行线的性质
性质 1
两直线平行，同位角_____
相等
性质 2
性质 3
两直线平行，内错角_____
相等
两直线平行，同旁内角_____
互补
1. 如图，已知平行线 AB、CD 被直线 AE 所截.
(1) 从∠1 = 110° 可以知道∠2 是多少度吗？为什么？
(2) 从∠1 = 110° 可以知道∠3 是多少度吗？为什么？
(3) 从∠1 = 110° 可以知道∠4 是多少度吗？为什么？
解：(1) ∠2 = 110°.
两直线平行，内错角相等.
（2）∠3 = 110°.
两直线平行，同位角相等.
（3）∠4 = 70°.
两直线平行，同旁内角互补.
2
3
E
1
4
A
B
D
C
2. 如图，一条公路两次拐弯的前后两条路互相平行.
若第一次拐弯时∠B 是 142°，则第二次拐弯时∠C
是多少度？为什么？
解：∠C = 142°.
两直线平行，内错角相等.
B
C
3. 如图，直线 a∥b，直线 b 垂直于直线 c，那么直线 a 垂直于直线 c 吗？为什么？
a
b
c
解：a⊥c .
因为两直线平行，同位角相等.
4. 如果有两条直线被第三条直线所截，那么必定有
( ) .
A. 内错角相等 B. 同位角相等
C. 同旁内角互补 D. 以上都不对
D
解: ∵ AB∥DE ( )，
∴∠A =_______ ( ).
∵ AC∥DF ( ) ，
∴∠D =______ ( ).
∴∠A =∠D ( ).
5. (1) 有这样一题：如图1，若AB∥DE，AC∥DF，试说明∠A =∠D. 请补全下面的解答过程，括号内填写依据.
P
F
C
E
B
A
D
图 1
已知
∠CPE
两直线平行，同位角相等
已知
∠CPE
两直线平行，同位角相等
等量代换
解: ∵ AB∥DE ( )，
∴∠A = ______ ( ).
∵AC∥DF ( ) ，
∴∠D + _______=180° ( ).
∴∠A +∠D=180° ( ).
(2) 有这样一题：如图 2，若AB∥DE，AC∥DF，试说明∠A +∠D = 180°. 请补全下面的解答过程，括号内填写依据.
图2
F
C
E
B
A
D
P
已知
∠CPD
两直线平行,同位角相等
已知
∠CPD
两直线平行,同旁内角互补
等量代换

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