资源简介

专题1 集 合
知识梳理
一、集合的含义与表示
1．元素与集合：一般地，把研究对象统称元素；把一些元素组成的总体叫做集合．
集合中的元素具有：确定性，互异性，无序性．
2．元素与集合的关系：，；
3．常用数集符号：
正整数集，自然数集，整数集，有理数集，实数集，复数集
4．集合的三种常用表示方法：列举法、描述法、图示法．
二、集合间的基本关系
1．集合与集合的（包含）关系：，．
概念：①子集（若，都有）；
②集合相等（若，且）；
③真子集（若，但存在一个，且，则．）
2．若集合中有个元素，则集合的所有子集个数为．所有非空子集的个数是，所有真子集的个数是，所有非空真子集的个数是．
3．集合的分类：有限集，无限集，空集．
三、集合的基本运算
1．①；
②；
③．
全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作．
题型1 集合的含义
例1．下列关系中正确的个数为（ ）
① ② ③ ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】判断数所在数域，结合常用数集的定义即可得解.
【详解】因为为实数，所以，故①正确；
因为是无理数，所以，故②正确；
因为是正自然数，所以，③错误；
因为是无理数，所以，④错误；
所以正确的个数为.
故选：B.
例2．下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中正确的个数为（　　）
A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个
【答案】C
【分析】利用元素与集合的关系进行判断，以及集合自身是自身的子集、空集是任何集合的子集进行判定即可．
【详解】根据集合自身是自身的子集，可知①正确；
根据集合无序性可知②正确；
根据元素与集合只有属于与不属于关系可知③不正确；
根据元素与集合之间的关系可知，④正确；
根据空集是任何集合的子集可知，⑤不正确，⑥正确．
故选：C．
例3．集合用列举法可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据列举法表示集合即可求解.
【详解】由得.
故选：A
题型2 集合的基本关系
例1．集合的子集的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】列举法表示集合，由集合元素个数与子集个数的关系直接求解即可．
【详解】由题设，则集合的子集个数为．
故选：D．
例2．设集合，，若，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得或，然后分别求出的值进行验证即可
【详解】因为，，且，
所以或，
当时，，则，此时不满足，所以舍去，
当时，，则，符合题意，
综上，
故选：B
例3．集合，集合，若，则实数a取值范围为（ ）
A． B． C．a>2 D．
【答案】D
【分析】根据列出不等式，即可求解.
【详解】因为，所以.
故选：D
例4．设集合，，若，则（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．1或-1
【答案】A
【分析】分情况讨论中元素与中元素对应关系求解即可.
【详解】由题意，当时，，此时不满足集合中元素互异性；
当时，且，则，此时满足条件.
故.
故选：A
题型3 集合的基本运算
例1．若集合，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据并集运算求解.
【详解】由题意可得：.
故选：C.
例2．已知集合，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用集合的交运算求结果.
【详解】由已知得，且，故．
故选：A
例3．已知集合则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解分式不等式得，解绝对值不等式得,再根据集合交集运算求解即可.
【详解】因为，所以.
因为，所以.
.
故选：A.
巩固练习
1．已知集合，，则集合的子集个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】由集合的描述列方程组求出，即可确定子集个数.
【详解】由，故有1个元素，
所以的子集个数是2.
故选：C
2．集合，则集合的真子集个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】根据集合真子集个数公式进行求解即可.
【详解】因为集合有三个元素，
所以集合的真子集个数为，
故选：C
3．已知为实数，，，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用集合关系，即可得到的取值范围.
【详解】因为，，
当时，得，
故选：
4．若集合，，则的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用两个集合的关系即可得出答案.
【详解】因为集合，，且，所以，
故选：D.
5．以下五个写法中:① ；②； ③ ；④0；⑤，正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】由集合的概念与运算逐一判断
【详解】对于①，，故①错误，
对于②，空集是任何集合的子集，故②正确，
对于③，由集合的无序性知③正确，
对于④，空集不含任何元素，故④错误，
对于⑤，，故⑤错误，
故选：A
6．已知集合，若，则实数的值是（ ）
A． B．
C． D．；
【答案】D
【分析】根据两个集合相等列方程，从而求得的值.
【详解】依题意，
所以或，
解得或或（舍去）.
故选：D.
7．已知集合，，若，则等于（ ）
A．或3 B．0或 C．3 D．
【答案】C
【分析】根据集合相等的定义，结合集合元素的互异性进行求解即可.
【详解】由于，故，解得或.
当时，，与集合元素互异性矛盾，故不正确.
经检验可知符合.
故选：C
8．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用交集的定义运算即可.
【详解】由题意可知.
故选：D
9．已知集合，则（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】B
【分析】根据交集概念进行求解.
【详解】.
故选：B
10．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】B
【分析】先求解一元二次不等式得到集合，再求出即可.
【详解】，所以.
故选：B.
11．设集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据集合的交运算即可求解.
【详解】由题意得，所以.
故选：B
12．已知，，，则下图中阴影部分表示的集合是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据集合交集的韦恩图进行求解即可.
【详解】因为影部分表示的集合是，
所以，
故选：A
13．设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据补集的定义即可得解.
【详解】由全集，集合，
得.
故选：A.
14．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据集合的交并补运算即可求解.
【详解】因为，，所以．
故选：D
15．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先将集合A化简，再根据集合的并集运算得解.
【详解】因为，，
故.
故选：C．
16．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据交集概念进行求解.
【详解】.
故选：A
17．若，则a的值为 .
【答案】
【分析】集合中的元素依次取，求出a值，利用集合元素的性质验证作答.
【详解】因为，则当，即，此时，矛盾，
若，解得，此时，，符合题意，即，
而，即，
所以a的值为.
故答案为：
18．设集合，若，则实数 ．
【答案】2
【分析】根据题意，利用集合元素的互异性，分类讨论即可求解.
【详解】当时，，此时，不符合条件；
当时，，此时，符合条件；
若，即，无实根，不符合条件．
所以．
故答案为：2.
19．设集合，则集合A的真子集个数为 .
【答案】15
【分析】先计算出，进而利用真子集个数的性质计算出答案.
【详解】，共有4个元素，
故集合A的真子集个数为.
故答案为：15
20．设集合，集合A的子集个数是 个
【答案】4
【分析】根据列举法求解子集，即可求解.
【详解】由得，
所以集合A的子集有，共有4个，
故答案为：4
（北京）股份有限公司专题2 不等式
知识梳理
1. 不等式的基本性质：（不等式没有减法、除法的性质）
⑴对称性：；
⑵传递性：；
⑶可加性：①；②；
⑷可乘性：①；②；（同正同向可相乘）
⑸乘方性：，；
⑹开方性：，；
⑺可倒性：若，则．
2. 解一元二次不等式步骤：
①把不等式化为的形式，确保二次项系数
②解出方程的两个根
③然后大于取两边，小于取中间
3. 解分式不等式步骤：
①把分式不等式化为的形式
②将等价变形为的形式
③按照一元二次不等式解法求解即，但要注意有等号时分母不为0
4. 绝对值不等式解法：
①；
②；
题型1 不等式的性质
例1．已知，那么下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若且，则 D．若且，则
【答案】C
【分析】根据不等式的性质逐项判断即可.
【详解】对于A，若，当时，，故A选项错误；
对于B，若，当时，则，故B选项错误；
对于C，若且，可知，所以，即有，故C选项正确；
对于D，若且，则当时也能满足已知，此时，故D选项错误.
故选：C.
题型2 一元二次不等式解法
例1．不等式的解集是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由一元二次不等式的解法，可得答案.
【详解】由不等式，则，解得.
故选：B.
例2．一元二次不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】.
故选：A
例3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用一元二次不等式的解法和充分必要条件的定义求解.
【详解】由解得，，
因为“”是“”的必要不充分的条件，
所以“”是“”的必要不充分的条件，
故选:B.
题型3 分式不等式解法
例1．分式不等式的解集为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】根据分式不等式和一元二次不等式的解法，准确运算，即可求解.
【详解】由分式不等式可转化为且，解得或，
所以不等式的解集为或.
故选：D.
例2．不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分式不等式的解法计算即可.
【详解】又得，解得，
所以不等式的解集为.
故选：A.
题型4 绝对值不等式解法
例1．不等式的解集是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．
【答案】C
【分析】根据绝对值不等式的解法，直接求解即可．
【详解】因为，
所以或，
解得或，
所以不等式的解集是或，
故选：C．
例2．不等式的解集是（　　）
A． B．
C．R D．
【答案】D
【分析】利用公式法解绝对值不等式得到答案.
【详解】，故或，故或.
故选：D
例3．已知的解集是，则实数a，b的值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】解不等式，求出不等式的解集，根据对应关系得到关于，的方程组，解出即可．
【详解】，
，
又不等式的解集是，
则，解得：，
故选：C．
巩固练习
1．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据题意，求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由不等式，可得或，则“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
2．若集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用交集的概念及运算即可判定选项.
【详解】由，，故.
故选：D
3．不等式的解集为（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】B
【分析】直接解一元二次不等式可得答案.
【详解】原不等式即为，解得，
故原不等式的解集为.
故选：B.
4．设，则“”是“”的（ ）.
A．既不充分也不必要条件 B．充要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
【答案】C
【分析】根据题意，充分不必要条件的定义，即可得到结果.
【详解】由可得或，
则“”是“”的充分不必要条件，
故选：C
5．已知集合则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解分式不等式得，解绝对值不等式得,再根据集合交集运算求解即可.
【详解】因为，所以.
因为，所以.
.
故选：A.
6．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解分式不等式求出集合A，再结合交集的概念与运算求解.
【详解】，
所以，
所以.
故选：A.
10．下列不等式中，解集为或的不等式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解绝对值不等式得到A正确，B错误；将分式不等式化为一元二次不等式求解；D选项可直接求解.
【详解】A选项，，即，所以或，
解得或，A正确；
B选项，或，解得或，B错误；
C选项，等价于，解得或，C错误；
D选项，变形为，解得或，D错误.
故选：A
12．不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
【分析】由绝对值不等式的解法解原不等式即可得解.
【详解】由可得，解得，
故原不等式的解集为.
故选：A.
13．不等式的解集是（ ）
A．R B． C． D．
【答案】C
【分析】根据含绝对值不等式的解法，可知，从而即可求得不等式的解.
【详解】解：∵不等式，
∴，即，解得，
∴不等式的解集为，
故选：C.
（北京）股份有限公司专题3 简易逻辑
知识梳理
一、充分条件与必要条件
1．当“若，则”为真命题时，即，则是的充分条件，是的必要条件．
2．充分必要条件的四种形式
⑴若，则是的充分不必要条件；
⑵若且，则是的必要不充分条件；
⑶若，则是的充分必要条件；
⑷若，则是的既不充分又不必要条件；
3．从集合包含关系看：设包含的对象分别组成集合，
①若，则是的充分条件；
②若，则是的充分不必要条件；
③若，则是的充要条件.
题型1 充分条件和必要条件的判断
例1．已知是实数，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】利用充分、必要条件的定义即可判断.
【详解】由得不到，如，故充分性不成立，
反之，由可以得到，故必要性成立，
则“”是“”的必要不充分条件.
故选:C.
例2．已知， ， 则是的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充要也不必要条件
【答案】A
【分析】利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】因为 ，所以，是的充分而不必要条件.
故选：A.
例3．已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】判断出的真子集，得到答案.
【详解】因为是的真子集，故是p的一个充分不必要条件，C正确；
ABD选项均不是的真子集，均不合要求.
故选：C
例4．“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】求解一元二次方程，再根据充分不必要条件即可判断.
【详解】由，即，
显然当，可得成立，所以充分性满足，
当时，可得或，所以必要性不满足，
即“”是“”的充分不必要条件.
故选：B.
例5．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】首先求解条件和结论表示的集合，根据集合的包含关系，即可判断选项.
【详解】由可得，
由可得，解得，因为 ，
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：B
巩固练习
1．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件与必要条件的概念判断.
【详解】若，则未必成立，如时，．
若，则，则一定成立．
故“”是“”的必要不充分条件．
故选：B.
2．下列哪一项是“”的必要条件（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据必要条件的定义可得不等式范围包含“”判断即可.
【详解】“”的必要条件不等式范围包含“”，选项中仅有满足.
故选：D
3．设a，b，c为的三条边长，则“”是“为等腰三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】分别讨论命题的充分性和必要性即可得出结论.
【详解】由题意，充分性：若，则为等腰三角形.
必要性：若为等腰三角形，则a，b不一定相等.
故选：A.
4．已知，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】由，得，必有，
而当时，可以是负数，如成立，却有，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
5．“”是“”的（ ）.
A．必要条件 B．充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】当时，，
当时，且，所以“”是“”的必要不充分条件，
即“”是“”的必要条件.
故选：A.
6．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用一元二次不等式的解法和充分必要条件的定义求解.
【详解】由解得，，
因为“”是“”的必要不充分的条件，
所以“”是“”的必要不充分的条件，
故选:B.
7．已知，那么的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】因为，
所以只有A选项是的一个必要不充分条件.
故选：A.
8．设，则“”是“”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据明天充分必要性直接判断.
【详解】由可知，
又可得或，不能说明，
所以是的充分不必要条件，
故选：A.
9．设，则且是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】首先推出充分性成立，再举出反例得到必要性不成立，得到答案.
【详解】若且，一定有，故充分性成立，
若，不能得到且，
比如满足，但不满足且，必要性不成立，
故且是的充分不必要条件.
故选：A
10．已知集合，，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】由可得a的值，结合充分性、必要性判断即可.
【详解】因为，所以或或，
所以是的充分不必要条件.
故选：C.
11．已知a，b是实数，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】结合充分与必要条件判断即可.
【详解】当时，由，同时除以可得，故可推出；
但时，也满足，但推不出，
故“”是“”的充分而不必要条件.
故选：A
12．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】解不等式，结合包含关系判断充分、必要条件.
【详解】由，解得，且是的真子集，
所以“”是“” 必要不充分条件.
故选：B.
（北京）股份有限公司专题4 函数
知识梳理
1．函数单调性定义：对于定义域内某个区间上的任意两个自变量．
①当时，都有，则称在区间上是增函数；
②当时，都有，则称在区间上是减函数．
【注意】写出函数的单调区间时，多个单调区间之间用逗号隔开的方式来书写，绝对不能出现并集符号“”．
2．单调性定义的变式：设，且，则
①在是增函数
②在是减函数
3．奇偶性定义：先注意定义域是否关于原点对称，再比较与的关系．
⑴偶函数：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数．其图象关于轴对称.
⑵奇函数：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数．其的图象关于原点对称，奇函数的定义域若包括，则．
4．指数函数图象及性质
a>1 0图象
性 质
定义域 R R
值域 (0，＋∞) (0，＋∞)
定点 图象过点(0,1)，即x＝0时y＝1 图象过点(0,1)，即x＝0时y＝1
函数值的变化 x>0时，y>1； x>0时，0x<0时，01
单调性 在(－∞，＋∞)上是单调增函数 在(－∞，＋∞)上是单调减函数
图象特点 越大图象越靠近轴 越小图象越靠近轴
5．对数的运算性质：
其中
6．对数函数的图像与性质：
a>1 0图象
性 质
定义域 (0，＋∞) (0，＋∞)
值域 R R
定点 图象过点(1,0)，即x＝1时y＝0 图象过点(1,0)，即x＝1时y＝0
函数值的变化 x>1时，y>0； x>1时，y<0；
00
单调性 在(0，＋∞)上是单调增函数 在(0，＋∞)上是单调减函数
图象特点 越大图象越靠近轴 越小图象越靠近轴
7. 常用幂函数图象及性质：
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1
图象
定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R且x≠0}
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R且y≠0}
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
单调性 增 x∈[0，＋∞)时增； x∈(－∞，0]时减 增 增 x∈(0，＋∞)时，减； x∈(－∞，0)时，减
典型例题
题型1 求函数值问题
例1．函数，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】由解析式代入计算函数值即可.
【详解】设，得，则.
故选：A.
例2．已知函数，则 ．
【答案】6
【分析】直接代入计算即可.
【详解】，
故答案为：6.
题型2 函数定义域问题
例1．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，列不等式组，解不等式组可求得结果
【详解】要使函数有意义，必须，解得且，
则函数的定义域为，
故选：D．
例2．函数的定义域为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据解析式列出不等式组求解即可.
【详解】由题得，解得且.
故选：A.
例3．函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据对数的真数大于，解不等式可得结果.
【详解】由，得，
得或.
所以函数的定义域为.
故答案为：.
题型3 函数值域问题
例1．二次函数，，则函数在此区间上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的性质求解即可.
【详解】解：，
则，
所以函数在此区间上的值域为.
故选：A.
例2．当时，函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据指数函数的单调性得出值域.
【详解】因为指数函数在区间上是增函数，所以，
于是，即
所以函数的值域是.
故选：C.
例3．若函数的定义域是，则函数值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据的单调性求得正确答案.
【详解】根据复合函数单调性同增异减可知在上递增，
，
即.
故选：A
例4．已知二次函数，且满足①不等式的解集为：②函数的图象过点.
(1)求函数的解折式：
(2)设，求函数在上的最小值.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）是方程的两个根，由韦达定理求出，结合图象过点，得到，从而求出，，得到解析式；
（2），求出对称轴，分，与三种情况，结合单调性求出最小值，得到答案.
【详解】（1）由题意得是方程的两个根，所以，故，
又的图象过点，故，所以，解得，
所以，所以；
（2），对称轴为，
当，即时，在上单调递增，
故在取得最小值，最小值为，
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
故在取得最小值，
最小值为，
当，即时，在上单调递减，
故在取得最小值，最小值为，
故.
题型4 函数单调性问题
例1．下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】逐一判断每一个选项函数的奇偶性和单调性即得解.
【详解】A. 是奇函数，不是偶函数，所以该选项不符合题意；
B. 是偶函数，在上单调递减，所以该选项不符合题意；
C. 是偶函数，在上单调递增，所以该选项符合题意；
D. 奇函数，不是偶函数，所以该选项不符合题意.
故选：C
例2．下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是 （ ）
A． B．y=tan x
C．y=lnx D．y=x|x|
【答案】D
【分析】由奇偶性排除AC，由增减性排除B，D选项符合要求.
【详解】，不是奇函数，排除AC；定义域为，而在上为增函数，故在定义域上为增函数的说法是不对的，C错误；满足，且在R上为增函数，故D正确.
故选：D
题型5 函数奇偶性问题
例1．若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ）
A． B． C．5 D．7
【答案】C
【分析】求出时的解析式后，代入可求出结果.
【详解】因为为奇函数，且当时，，
所以当时，，所以.
故选：C
例2．已知偶函数在上单调递减，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据偶函数的性质和函数的单调性求解.
【详解】由于函数为偶函数，故，
且在上单调递减，所以，即，
故选:D．
例3．已知函数，．
(1)用定义法证明：函数在上单调递增；
(2)求不等式的解集．
【答案】(1)证明过程见解析；(2)
【分析】（1）取值，作差，判号，得到相应结论；
（2）先得到，为奇函数，从而根据奇偶性和第一问求出的单调性解不等式，得到答案.
【详解】（1）任取，且，
，
因为，且，故，，，，，
所以，，故函数在上单调递增；
（2），定义域关于原点对称，且，所以为奇函数，
变形为，则要满足，解得：，
故不等式的解集为
例4．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求．
(2)求函数的解析式．
(3)若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）利用奇函数定义直接可得；
（2）设，利用，可得解析式；
（3）利用函数的奇偶性，根据单调性可去掉符号“f”，再考虑到定义域即可求出a的范围．
【详解】（1）因为为奇函数，则
（2）因为为奇函数，，设，则，
则,因为为奇函数，则
则．
（3）当时，为单调递增函数，由奇函数可知是定义在[﹣3，3]上的增函数，
又∵，∴，
故有：，则有，解得
所以实数a取值范围是：
题型6 利用函数性质比较大小
例1．已知，，，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过化简，并比较与1的大小即可得出结论.
【详解】由题意，，，所以.
故选：D.
例2．已知，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的单调性和不等式的性质可得，进而得，结合对数的运算性质可得，即可求解.
【详解】由，得，
即，又，所以.
，所以.
故选：A.
题型7 函数图象问题
例1．已知为二次函数，且满足：对称轴为，．
(1)求函数的解析式，并求图象的顶点坐标；
(2)在给出的平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的单调区间．
【答案】(1),顶点坐标为.
(2)图象见解析，函数的增区间为：，函数的减区间为：.
【分析】(1)根据已知条件列出方程组即可求解；(2)作出函数图象可求解.
【详解】（1）设函数为，
所以解得，所以，
所以，所以顶点坐标为.
（2）图象如图所示，
函数的增区间为：，函数的减区间为：.
例2．已知函数.
(1)在给出的直角坐标系中，画出的大致图象；
(2)根据图象写出的单调区间;
(3)根据图象写出不等式的解集.
【答案】(1)见解析;(2) 递增区间为,递减区间为;(3) .
【分析】(1)直接由分段函数的解析式作图即可；、
(2)直接由图象可得单调区间;
(3)找到图像中函数值大于0的部分即可得解.
【详解】(1)
(2)根据图象可知，的单调递增区间为
单调递减区间为
(3)根据图象可得，的解集为.
例3．已知函数.
(1)作出函数的图象；
(2)讨论方程根的情况.
【答案】(1)作图见解析；(2)答案见解析
【分析】（1）化简函数解析式，可作出函数的图象；
（2）将方程的根的个数转化为直线与函数图象的交点个数，数形结合可得出结论.
【详解】（1）解：当时，，则，
作出函数的图象如下图所示：
（2）解：由可得，则方程的根的个数即为直线与函数图象的交点个数，如下图所示：
当时，方程无实根；
当或时，方程只有一个实根；
当时，方程有两个实根.
题型8 函数与不等式综合问题
例1．已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)解不等式.
【答案】(1)；(2).
【分析】根据对数函数的定义域建立不等式组，求解即可；
根据函数的单调性和定义域求解.
【详解】（1）依题意有解得，
∴的定义域为；
（2）∵，∴，∴，解得，
又∵，∴.
不等式 的解集为.
例2．已知函数；
（1）判断函数的奇偶性；
（2）判断函数的单调性；
（3）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）奇函数；（2）单调增区间为，；（3）或
【解析】（1）求出，比较与的关系即可得出奇偶性；
（2），则，利用复合函数的单调性判断；
（3）利用函数单调性解不等式即可．
【详解】解：（1）由得，或，
又，
故函数是奇函数；
（2）令，其在上单调递增，
又在上单调递增，
根据复合函数的单调性可知在上单调递增，
又根据（1）其为奇函数可得在上单调递增，
所以函数的单调增区间为，；
（3），且函数在上单调递增得，
解得或．
例3．已知函数过点．
(1)求函数的定义域及实数a的值；
(2)求不等式的解集．
【答案】(1)，函数的定义域为；(2).
【分析】（1）将点代入，求出，并得到函数定义域；
（2）在（1）的基础上，解对数不等式即可.
【详解】（1）∵函数过点，∴，∴，
∵有意义，∴，∴，
∴，函数的定义域为；
（2）∵，∴函数，
∵，∴，∴，∴，∴不等式的解集为.
巩固练习
1．已知函数满足，则 ．
【答案】4
【分析】根据函数解析式代入即可.
【详解】因为，将代入可得，
故答案为：4
2．已知函数，则（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分段函数的解析式先求出的值，在求出的值即可.
【详解】因为，所以，
所以，
故选：B.
3．函数的定义域是（ ）
A．且 B．
C． D．且
【答案】D
【分析】根据的次方没有意义，分母不等于及开偶数次方根号里的数大于等于零即可得解.
【详解】由，得，解得且，
所以函数的定义域是且.
故选：D.
4．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据根式以及分式的性质即可列不等式求解.
【详解】由题意可得且，
故定义域为；，
故选：D
5．在中，实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据对数的概念以及不等式计算求解.
【详解】要使式子有意义，
则，解得或.故A，C，D错误.
故选：B.
6．函数的定义域为 .
【答案】
【分析】由函数解析式，结合根式、分式的性质求定义域.
【详解】由题设且，
所以函数定义域为.
故答案为：
7．函数的定义域为（写成集合形式） .
【答案】 且
【分析】利用定义域的求解方法以及一元二次不等式的解法求解.
【详解】要使函数有意义，则，
解得，且，
故答案为: 且.
8．函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】利用函数有意义，列出不等式求解即得.
【详解】函数有意义，则，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
9．函数的定义域是 .
【答案】
【分析】根据题意列出不等式组，求解即可.
【详解】由题意可得，解得且，
所以函数的定义域为.
故答案为：
10．函数的定义域为
【答案】
【分析】由真数大于0，二次根式下被开方数要满足的范围求出定义域.
【详解】，解得，故定义域为
故答案为：
11．函数的一个单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】画出函数的图象，由此判断出正确答案.
【详解】，
由此画出函数的图象如下图所示，
由图可知，函数的一个单调递减区间为.
故选：A

12．下列函数中，既是偶函数又在上不单调的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数奇偶性与单调性的概念判断即可.
【详解】对于A，定义域，但，为奇函数，且在上单调递减，故A错误；
对于C，为偶函数，且在上既有增区间，也有减区间，所以在上不单调，故B正确；
对于C，在单调递减，不符合题意，故C错误；
对于D，在单调递增，不符合题意，故D错误.
故选：B
13．下列函数中，在其定义域上为单调递减的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用指数函数，幂函数相关知识直接进行判断
【详解】在R上单调递减，A正确；
在上单调递减，在上单调递增，故B错误；
在上单调递增，故C错误；
在R上单调递增，D错误
故选：A
14．下列四个函数中,在上为增函数且为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数图象可以对ABC选项的单调性和奇偶性进行判断，D选项可以用函数奇偶性判断方法得到是偶函数，故D选项错误.
【详解】在单调递减且不是奇函数，故A错误；在上单调递减，在上单调递增，且不是奇函数，故B错误；在上为增函数且为奇函数，C正确；是偶函数，D错误.
故选：C
15．已知函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用函数的奇偶性求解即可.
【详解】由可得，且定义域关于原点对称，
所以为奇函数，所以，
故选：B
16．下列函数中，值域为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】对选项逐一分析对应函数的值域，由此确定正确答案.
【详解】A，的值域为，不符合，
B，的值域为，不符合，
C，的值域为，符合，
D，函数值可以为负数，不符合.
故选：C
17．函数在区间上的值域是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用函数单调性求值域即可.
【详解】在上是减函数，，即值域为.
故选：A.
18．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由的值域为可得的值域为.
【详解】由对数函数的值域为，向右平移2个单位得函数的值域为，
则的值域为，
故选：A.
19．已知函数是偶函数，且当时，，那么当时，的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性及时的解析式，求出时的函数解析式.
【详解】因为函数是偶函数，所以，
时，，故.
故选：A
20．已知在上的奇函数，当时，，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【分析】根据函数解析式以及奇函数性质循环代入计算即可.
【详解】根据题意可知，
由奇函数性质可知；
所以.
故选：B
21．函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据f(x)是奇函数可得．
【详解】∵为奇函数，
∴．
故选：C
22．已知（，且），．
(1)求，的值；
(2)求的值；
(3)求函数的值域．
【答案】(1)；；(2)；(3)．
【分析】（1）根据函数解析式，直接求函数值；
（2）根据函数解析式，先求，再求；
（3）由二次函数的性质，求值域.
【详解】（1）由，有．
又，得．
（2）由，得．
（3），由，则，
所以函数的值域为．
23．已知函数.
(1)若，求函数的最小值和最大值；
(2)当，时，求函数的最小值.
【答案】(1)，
(2)详见解析
【分析】（1）直接根据二次函数性质计算得到最值.
（2）考虑，，三种情况，根据二次函数的单调性计算得到最值.
【详解】（1），，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
，.
（2）当，即时，函数在单调递减，；
当，即时，函数在单调递减，在上单调递增，
；
当时，函数在单调递增，；
综上所述：
当时，；
当时，
当时，；
24．已知定义在上的函数.
(1)判断函数的奇偶性；
(2)若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)奇函数；(2)
【分析】（1）利用奇偶函数的定义即可判断；
（2）利用函数的单调性和奇偶性列不等式即可
【详解】（1）因为，
所以函数是定义在上的奇函数；
（2）中，函数单调递减，单调递增，故在上单调递增，
故原不等式化为，
∴即恒成立，
∴，解得，
所以实数m的取值范围
25．已知是定义在上的奇函数，且是减函数.
(1)当时，，求函数在上的解析式；
(2)求使成立的实数a的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据奇函数定义直接求解析式即可；
（2）根据奇函数将不等式转化为，结合函数单调性求解答案即可.
【详解】（1）设，则，所以，
因为函数是定义在上的奇函数，所以，
所以函数在上的解析式为；
（2）因为是定义在上的奇函数，且是减函数，
所以由，得，所以，解得或，
所以a的取值范围为
26．已知函数
（1）在给出的坐标系中画出函数的图象．
（2）根据图象写出函数的单调区间和值域．
【答案】（1）图见解析；（2）函数的单调递增区间为，单调递减区间为，值域为.
【解析】（1）利用指数函数和一次函数的图象特征即可画出所求分段函数的图象；
（2）根据图象观察可知即可得出结果.
【详解】（1）利用指数函数和一次函数的图象特征即可画出分段函数的图象为：
（2）由函数的图像可知，函数的单调递增区间为
单调递减区间为，
函数的值域为
27．已知函数.
（1）在平面直角坐标系中，画出函数的简图；
（2）根据函数的图象，写出函数的单调区间﹔
（3）若，求实数的值.
【答案】（1）图象见解析；（2）的增区间为，减区间为；（3）或.
【分析】（1）根据函数解析式画出函数图象即可；
（2）由（1）中函数图象，数形结合即可判断；
（3）由函数图象可知，再根据函数的单调性即可判断；
【详解】解：（1）函数的简图如下:
（2）由图可知，函数的增区间为，减区间为；
（3）由，及函数的单调性可知，
若则实数的值为或.
28．设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据指数函数的性质得到，根据对数函数的性质得到，即可得到答案.
【详解】因为，，所以.
又因为，所以.
故选：C
29．已知函数.
(1)求的定义域；
(2)判断的奇偶性并给予证明；
(3)求关于的不等式的解集.
【答案】(1)；(2)函数为奇函数，证明见解析；(3)见解析.
【分析】（1）根据对数函数真数大于0见解析即可；（1）根据奇偶性证明步骤进行即可；（3）分类讨论，单调性不同两种情况即可.
【详解】（1）根据题意，函数，
所以，解可得，
所以函数的定义域为；
（2）由（1）得函数的定义域为，关于原点对称，
因为函数，
所以，
所以函数为奇函数.
（3）根据题意，即，
当时，有，解可得，此时不等式的解集为；
当时，有，解可得，此时不等式的解集为
所以当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.
30．已知函数．
（1）求的定义域；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由真数大于零可求出函数的定义域；
（2）由对数函数的单调性得出，解出即可.
【详解】（1），，解得，
因此，函数的定义域为；
（2），得，解得，
因此，的取值范围是.
31．已知函数f(x)＝，g(x)＝(a>0，且a≠1).
(1)求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域；
(2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围.
【答案】（1）.（2）见解析.
【分析】(1) 函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域为f(x)＝和 g(x)＝定义域的交集，列出方程组求解即可. (2) f(x)≤g(x)，即为，对，两种情况分类讨论，即可求出x的取值范围.
【详解】解：(1)φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域为：，解得：，所以定义域为.
(2) f(x)≤g(x)，即为，定义域为.
当时，，解得：，所以x的取值范围为.
当时，，解得：，所以x的取值范围为.
综上可得：当时，x的取值范围为.
当时，x的取值范围为.
32．已知函数，且.
(1)求a的值及的定义域；
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）先根据得到，进而由真数大于0得到不等式，求出定义域；
（2）不等式变形得到，结合对数函数单调性和真数大于0得到不等式组，求出不等式的解集.
【详解】（1）因为，解得.
由题意可得，解得，故的定义域为.
（2）不等式等价于，
即，
由于在上单调递增，
则，解得.
故不等式的解集为.
33．已知函数（且），经过点.
(1)求实数a的值并指出定义域；
(2)求满足不等式的x的取值范围.
【答案】(1)2；定义域为；(2)
【分析】（1）将点代入函数的解析式，可得a的值，进而得到定义域；
（2）结合（1），将所求不等式转化为，再利用对数函数的单调性即可.
【详解】（1）依题意，，解得，则，
由，可得，则函数的定义域为；
（2）由（1）可知，即，
即，则，解得，
故x的取值范围为.
34．已知函数，且．
(1)求的定义域；
(2)求不等式的解集．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据题意，先由条件可得，然后列出不等式即可得到结果；
（2）根据题意，由函数的单调性，列出不等式，即可得到结果.
【详解】（1），
则，解得，
则，
则，解得，
故的定义域为．
（2）由（1）知，．
因为函数在上单调递增，所以在上单调递增．
又，所以等价于，解得．
则不等式的解集为．
35．设函数为常数，且
（1）求的值；
（2）设，求不等式的解集．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由即可构造方程求得；
（2）分别在和两种情况下，解指数和对数不等式求得结果.
【详解】（1），；
（2）由（1）知：，；
①当时，，即，解得：；
②当时，，即，，
解得：，；
综上所述：的解集为.
36．设函数
（1）求的值；
（2）若，求x的取值范围
【答案】（1）0；（2）.
【分析】（1）根据分段函数解析式，将自变量代入即可求解.
（2）利用指数函数、对数函数的单调性分类讨论即可求解.
【详解】（1），
，
（2）当，，
又，
当时，，
又，
综上所述，x的取值范围.
37．已知函数为定义在上的偶函数，其部分图象如图所示.
(1)请作出函数在上的图象；
(2)根据函数图象写出函数的单调区间及最值.
【答案】(1)答案见解析
(2)单调递增区间为，，单调递减区间为，，最大值为2，最小值为-2.
【分析】（1）根据偶函数图像关于轴对称作图.
（2）由图像可写出单调区间及最值.
【详解】（1）画图如图：
（2）根据函数图象，的单调递增区间为，，
的单调递减区间为，，
的最大值为2，
的最小值为-2.
38．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．
(1)在给出的直线坐标系中，画出函数的图象．
(2)根据图象写出的单调区间（不必证明）．
(3)写出函数在上的解析式（只写结果，不写过程）．
【答案】(1)详见解析；
(2)函数的单调增区间是，单调减区间是和；
(3).
【分析】（1）根据二次函数的性质画出时的图象，再根据函数为奇函数作出对称即可；
（2）根据函数的图象写出函数的单调区间；
（3）利用函数的奇偶性可得函数的解析式.
【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，且当时，，
函数的图象如图；
；
（2）由图可得函数的单调增区间是，
单调减区间是和；
（3）因为函数是定义在上的奇函数，且当时，，
当时，，
所以，又，
所以，
所以.
（北京）股份有限公司专题5 三角函数与解三角形
知识梳理
1．同角三角函数的基本关系式：
⑴平方关系：；⑵商数关系：．
⑶三角完全平方公式：①；
②；
③．
2．诱导公式：奇变偶不变，符号看“原函数”象限.
3．特殊角的三角函数值
30 45 60 90 120 135 150 180 27 36
弧度
sin 0 1 0 0
cos 1 0 0 1
tan 0 1 / 0 / 0
4．三角函数的图象与性质
性质
图象
定义域 R R
值域 R
最值 当时， 当时， 当时， 当时， 既无最大值，也无最小值
周期
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调 区间 在[ 上单调递增 在[ 上单调递减 在[ 上单调递增 在[上单调递减 在 上单调递增
对称性 对称中心 对称轴 对称中心 对称轴 对称中心
5．两角和与差公式：
①；③；
②；④；
⑤；变形公式：；
⑥；变形公式：．
6．二倍角公式：
①；
②；
③.
7．降幂公式：；．
8．正弦定理（为三角形的外接圆半径）：
常见变形： “化边为角”
， “化角为边”
．
9．余弦定理：
①； ②； ③．
④； ⑤； ⑥；
10．三角形面积公式：
①．
②
11．常见结论：在中，有
；
题型1 特殊角的三角函数值
例1．等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求出结果.
【详解】因为，
故选：D.
例2．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据特殊角的三角函数值结合充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】当时，或，
当时，，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
题型2 同角三角关系与诱导公式
例1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式化简求值.
【详解】由，得，所以.
故选：A
例2．已知，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据诱导公式和同角三角函数的关系即可求解.
【详解】，
又，所以.
故选：C
题型3 两角和与差公式
例1．，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】由两角差的正切公式求解即可.
【详解】因为，
所以.
故选：A.
例2．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据同角三角函数关系求出,再根据两角差的正弦公式求解即可.
【详解】因为,,
所以,
则.
故选：A.
例3．已知为锐角，若则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由诱导公式化简可得，由同角三角函数的平方关系求出，再由两角差的余弦公式求解即可.
【详解】因为因为为锐角，所以，
所以.
故选：A.
题型4 二倍角公式
例1．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二倍角余弦公式求解.
【详解】，
.
故选：D.
例2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】 先通过诱导公式解出，然后通过二倍角公式即可解.
【详解】由，知，则.
故选：A
例3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二倍角的正弦公式变形后，再弦化切可得结果.
【详解】.
故选：B
题型5 三角函数图象及性质
例1．函数，，则y的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正弦函数的单调性求值域即可.
【详解】由的单调性知，在上函数单调递增，在上函数单调递减，
又，，，
故.
故选：B
例2．如图，某港口一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函水深数，据此可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（ ）

A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】根据三角函数的值域，结合题意，建立求最小值的方程，可得参数的值，进而可得答案.
【详解】由题意可知函数的最小值为，
由，则，解得，
易知函数的最大值为.
故选：B.
例3．曲线的一条对称轴方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由三角函数的图象与性质，直接令求解即可.
【详解】由，得．
故选：B.
例4．函数的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
【答案】D
【分析】根据余弦函数的对称中心、对称轴，应用整体代入判断各选项的正误.
【详解】由题设，由余弦函数的对称中心为，令，得，，易知A、B错误；
由余弦函数的对称轴为，令，得，，
当时，，易知C错误，D正确；
故选：D
题型6 正弦定理
例1．在中，角所对的边长分别为.若，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】直接利用正弦定理即可得解.
【详解】因为，则，所以，
由正弦定理得，
所以，
所以或.
故选：D.
例2．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理计算即可.
【详解】由正弦定理知：得.
故选：B
例3．的内角的对边分别为，已知，则（ ）
A．6 B． C．8 D．
【答案】A
【分析】由同角的平方关系和正弦定理求解.
【详解】由得.
由正弦定理得.
故选：A
题型7 余弦定理
例1．在中，已知，则角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用余弦定理的推论即可求解.
【详解】由及余弦定理的推论，得，
因为，
所以.
故选：B.
例2．在中，若，，，则（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【分析】由余弦定理直接求解.
【详解】中，若，，，由余弦定理，
，则.
故选：C
例3．在中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据二倍角公式求出，再结合余弦定理求即可.
【详解】由题意得，，
由余弦定理得，，
所以.
故选：D
例4．在中，三个内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．21
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合余弦定理，以及三角函数的同角公式，求出，再根据三角形面积公式，即可求解．
【详解】，，，
则，
，
，
的面积为．
故选：．
题型8 解三角形综合
例1．如图，已知△ABC中，AB＝，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°．
（1）求AC的长；
（2）若CD＝5，求AD的长．
【答案】（1）3，（2）7
【分析】（1）在△ABC中直接利用正弦定理求解即可；
（2）先求出，然后在中利用余弦定理求解即可
【详解】解：（1）如图所示，在△ABC中，由正弦定理得，,
则，
（2）因为∠ACB＝60°，所以,
在中，由余弦定理得，
例2．如图，在四边形中，，，.
（1）求的长；
（2）若的面积为6，求的值.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用余弦定理可得的长；（2）利用面积得出，结合正弦定理可得.
【详解】解：（1）由题可知.
在中，，
所以.
（2），则.
又，
所以.
例3．如图，在中，点在边上，
(1)证明：；
(2)若，，求.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）在中根据题意结合正弦定理分析运算；
（2）不妨设，在、、中利用余弦定理运算求解.
【详解】（1）在中，由正弦定理知：，即
又，
可得，
在中，所以，所以.
（2）不妨设，则
在中，由余弦定理知；
在中同理可知：
在中，
即有
解得.
巩固练习
1．等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据诱导公式求解即可.
【详解】.
故选：A.
2．的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用特殊角的三角函数值结合诱导公式计算即可.
【详解】由诱导公式可得：.
故选：C
3．已知，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】运用诱导公式直接进行求解即可.
【详解】由，
所以，
故选：B
4．已知，则下列各式中值为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据诱导公式求解即可.
【详解】对A，，故A错误；
对B，，故B错误；
对C，，故C正确；
对D，，故D错误.
故选：C
5．的值为（ ）
A．－ B．
C．－ D．
【答案】D
【分析】，利用诱导公式一化简即可得解.
【详解】
故选：D.
6．若，则值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意结合诱导公式分析可得，进而可得结果.
【详解】因为，即，
且，则，
所以，
故选：A.
7．已知，，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知角的范围，利用同角三角函数的基本关系求出，
再利用和角的余弦公式进行求解.
【详解】因为，所以，
又，所以，
所以，故A，C，D错误.
故选：B.
8．已知则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用三角函数定义求出，再利用两角和得正切公式求出结果.
【详解】∵为第二象限角， ，
∴，
∴，
则．
故选：A.
9．已知，则（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】根据条件及诱导公式求得，再求.
【详解】由得，
所以，
所以.
故选：A
10．函数最大值为（ ）
A．2 B．5 C．8 D．7
【答案】A
【分析】根据正弦函数的图象与性质直接求解.
【详解】时，，
所以，
所以函数最大值为2.
故选:A.
11．若函数的最大值为 ，则a的值等于（ ）
A．2 B． C．0 D．
【答案】D
【分析】根据正弦函数的性质即可求解.
【详解】由于，所以时，取最大值，故 ，所以，
故选：D
12．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋1(A>0，ω>0)的最大值为5，则A＝（ ）
A．5 B．－5
C．4 D．－4
【答案】C
【分析】根据正弦型函数的最值性质进行求解即可.
【详解】因为A>0，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)＋1的最大值为，
由题意可知：.
故选：C
13．已知函数的值域是，则实数的值等于（ ）
A．2 B．-2 C． D．
【答案】C
【分析】分类讨论，根据正弦函数的值域列式可得结果.
【详解】当时，由，得，
因为的值域为，所以，解得，
当时，显然不符合题意；
当，由，得，
因为的值域为，所以，解得，
故选：C
14．函数的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令即可求解.
【详解】令，可得，
令，可得.
所以函数的一条对称轴是.
故选:B.
15．函数图象的一个对称中心可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正弦函数的对称性逐一验证即可.
【详解】对于A，由，得，，
则不是函数图象的一个对称中心，故A错误；
对于B，由，得，
则不是函数图象的一个对称中心，故B错误；
对于C，由，得，
则不是函数图象的一个对称中心，故C错误；
对于D，，得，，
则是函数图象的一个对称中心，故D正确.
故选：D.
16．函数的一条对称轴可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正弦函数的对称性逐一检验即可.
【详解】对于A，因为，
所以是函数的一条对称轴，故A正确；
对于B，因为，
所以不是函数的一条对称轴，故B错误；
对于C，因为，
所以不是函数的一条对称轴，故C错误；
对于D，因为，
所以不是函数的一条对称轴，故D错误.
故选：A.
17．下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用求解最小正周期，再代入验证，是否是对称轴，对四个选项一一判断.
【详解】A选项，的最小正周期为，
且当时，，故图象关于直线对称，A正确；
B选项，的最小正周期为，B错误；
C选项，当时，，故图象不关于直线对称，C错误；
D选项，当时，，故图象不关于直线对称，D错误.
故选：A.
18．函数的图象的一条对称轴方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用整体思想直接代入余弦函数对称轴的性质即可求解.
【详解】依题意，
由，，得，．
当时，得.
故选：A.
19．函数的值域为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用余弦函数的值域求解作答.
【详解】函数的定义域为R，，因此，
所以函数的值域为.
故选：A
20．函数和都是增函数的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正余弦函数图像即可求得结果.
【详解】
函数和在上的图像如图所示，
则由图像可知C选项符合题意，
故选：C.
21．下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用基本初等函数的单调性逐项判断各选项中函数在区间上的单调性，可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，当时，，则在上单调递减；
对于B选项，函数在区间上不单调；
对于C选项，函数在上不单调；
对于D选项，因为函数、在上均为增函数，
所以，函数在上为增函数.
故选：D.
22．函数的一个单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由的图象与性质得的单调减区间.
【详解】由的图象与性质，的单调减区间为，，所以D符合题意.
故选：D.
23．下列各组函数，既是奇函数，又在区间上单调递增的为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】根据正弦函数、余弦函数和正切函数的性质分析判断即可.
【详解】因为，在上为奇函数，在上为偶函数，
所以排除AC，
因为，在上单调递增，在上单调递减，
所以B符合题意，D不合题意，
故选：B
24．下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的单调性和奇偶性确定正确答案.
【详解】是非奇非偶函数，不符合题意.
在其定义域上不是单调函数，不符合题意.
在其定义域上不是单调函数，不符合题意.
在其定义域上单调递增，且为奇函数，符合题意.
故选：B
25．下列函数中，在其定义域上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用幂函数与正余弦函数的单调性一一判定即可.
【详解】由幂函数的单调性可知在定义域上单调递减，故A正确；
在上单调递减，上单调递增，不符题意，
在上单调递增，不符题意，
在上单调递增，不符题意，即B、C、D错误.
故选：A
26．函数在区间上（ ）
A．单调递增 B．单调递减
C．先减后增 D．先增后减
【答案】C
【分析】由余弦函数的单调性分析判断
【详解】因为在区间上先增后减，
所以区间上先减后增，
故选：C
27．下列函数中，在其定义域内单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的单调性确定正确选项
【详解】在上递增，不符合题意.
在上递减，符合题意.
在上有增有减，不符合题意.
故选：B
28．函数，x∈R在（ ）
A．上是增函数
B．上是减函数
C．上是减函数
D．上是减函数
【答案】B
【分析】化简，根据余弦函数的知识确定正确选项.
【详解】，
所以在上递增，在上递减.B正确，ACD选项错误.
故选：B
29．在中，角的对边分别为，若，则b＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用正弦定理计算即可.
【详解】因为，由正弦定理得，．
故选：D．
30．在中，边长，，，则边长（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理解三角形.
【详解】在中，边长，，，
由正弦定理得，
所以.
故选：C
31．在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，，求的值（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】由余弦定理变形得到，代入求解即可.
【详解】，
即，解得，负值舍去.
故选：A
32．在中，，，，则最长边（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【分析】根据题意利用余弦定理直接求解即可
【详解】在中，，，，
由余弦定理得，，
化简得，解得或，
因为是最长的边，所以，
故选：B
33．在中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用余弦定理列方程，化简求得的值.
【详解】由余弦定理得，
即，
解得（负根舍去）.
故选：B
34．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用余弦定理结合特殊角的三角函数值求解.
【详解】在中，，即，
由余弦定理可得，
由于，故．
故选：A．
35．在中， ，则（ ）
A．9 B． C． D．3
【答案】D
【分析】根据余弦定理即可求得答案.
【详解】由题意知中，，
故
，
故，
故选：D
36．的三内角，，所对边分别为，，，若，则角的大小（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用余弦定理计算可得.
【详解】依题意由余弦定理，
又，所以.
故选：A
37．已知角，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据余弦的二倍角公式即可求解.
【详解】因为，
所以，
因为，
所以.
故选：.
38．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用诱导公式和二倍角的余弦公式求解.
【详解】由题得.
故选：B.
39．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据诱导公式转化为求，再根据余弦二倍角公式直接计算即可.
【详解】由题意得，.
故选：C
40．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式、同角三角函数基本关系式和二倍角公式即可解得.
【详解】因为且，所以
从而.
故选：D
41．如图，在中，已知，是边上的一点，，，.
（1）求的面积；
（2）求边的长.
【答案】（1）；（2）
【详解】分析：（1）在中，根据余弦定理求得，然后根据三角形的面积公式可得所求．（2）在中由正弦定理可得的长．
详解：（1）在中，由余弦定理得
，
∵为三角形的内角，
，
，
．
（2）在中，，
由正弦定理得：
∴．
42．如图，在中，的垂直平分线交边于点．
（1）求的长；
（2）若，求的值．
【答案】（1）或；（2）．
【分析】（1）在中，利用余弦定理可求出的长；
（2）由（1）可得，在中，由余弦定理求出，再利用正弦定理可求出的值
【详解】解：（1）在中，，
整理得，
即，所以或．
（2）因为，由（1）得，
所以．
在中，由余弦定理得．
所以．
由，得．
在中，由正弦定理得，
即，
所以．
43．在平面四边形 中.
(1)求 ；
(2)若 求.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由题意，根据余弦定理求出BD，结合正弦定理计算即可求解；
（2）由（1），根据同角的三角函数关系求出，利用和两角差的余弦公式和余弦定理计算即可求解.
【详解】（1）在中，解得.
因为所以
解得.
（2）解法一：由（1）可得.
.
在中，解得.
44．如图，在圆内接四边形ABCD中，，，，的面积为.
(1)求AC；
(2)求.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据面积公式可得，再根据余弦定理求解可得；
（2）根据内接四边形可得 ，再根据正弦定理求解即可
【详解】（1）因为的面积为，所以.
又因为，，所以.
由余弦定理得，，
，所以.
（2）因为ABCD为圆内接四边形，且，所以.又，由正弦定理可得，，故.因为，所以，所以.
45．如图，在中，，AB＝8，点D在边BC上，，CD＝2．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）同角三角函数关系可得，再应用差角正弦公式求、，进而求.
（2）应用正余弦定理分别求出BC、AC即可得结果.
【详解】（1）∵，
∴，
则
．
所以，
所以．
（2）在中，由正弦定理得，则BC＝BD＋CD＝5，
在中，由余弦定理得，即AC＝7，
所以．
（北京）股份有限公司专题6 数 列
知识梳理
1．等差数列通项公式：⑴；⑵．
2．等差数列前项和公式：
①；
②
3．等差数列的性质：
①若成等差数列，则叫做的等差中项，即；
②若，则；
③等差数列的连续项的和构成的数列：，，，…，仍为等差数列（公差为）．
4．等比数列通项公式：⑴；⑵．
5．等比数列前项和公式：当时，；
当时，．
6．等比数列的性质：
①若成等比数列，则叫做的等比中项，显然；
②若，则；
③等比数列的连续项的和构成的数列：，，，…，仍为等比数列（公比为）．
题型1 等差数列基本量运算
例1．已知是等差数列的前n项和，且，则的公差（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据已知结合等差数列的性质可得，进而即可得出答案.
【详解】因为，所以.
又，且，
所以，.
故选：A.
例2．已知等差数列中，，则公差（ ）
A．4 B．3 C． D．
【答案】B
【分析】根据等差数列通项公式即可求解.
【详解】在等差数列中，，
所以有．
故选：B
例3．已知等差数列的前n项和为，且，，则（ ）
A．-2 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【分析】设出公差，利用题目条件得到方程组，求出首项和公差，得到.
【详解】设公差为，则，，
联立可得，故.
故选：B
题型2 等差数列性质
例1．记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．-10 B．-8 C．10 D．8
【答案】D
【分析】根据等差数列等差中项与前n项和性质求解即可.
【详解】由，可知，
因为，所以，
.
故选：D
例2．等差数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用等差数列的求和公式结合等差中项的性质求出的值，再利用等差中项的性质可求得的值.
【详解】因为等差数列的前项和为，且，则，
因此，.
故选：B.
例3．设等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，即可得出．
【详解】由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，
，
，解得．
故选：C.
题型3 等比数列基本量计算
例1．已知等比数列中，，，则公比（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【分析】根据等比数列的知识求得正确答案.
【详解】依题意.
故选：D
例2．已知等比数列满足，公比，则（ ）
A．32 B．64 C．128 D．256
【答案】B
【分析】根据等比数列通项公式计算可得.
【详解】因为且，
所以.
故选：B
题型4 等比数列性质
例1．已知等比数列中，，则（ ）
A．4 B．±4 C．8 D．±8
【答案】C
【分析】根据等比数列的性质求得正确答案.
【详解】依题意.
故选：C
例2．已知等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据等比数列的下标性质进行求解即可.
【详解】因为数列是等比数列。
所以，
故选：A
例3．在等比数列中，若，则（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【答案】B
【分析】根据等比数列的性质可得，再根据对数的运算性质即可求得答案.
【详解】在等比数列中，由，根据等比中项可得，
所以，
故选：B．
题型5 等差等比数列综合
例1．在各项均为正数的等比数列中，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若,求数列的前项和.
【答案】（1），（2）
【分析】（1）设等比数的公比为（），则由列方程可求出公比，从而可求出数列的通项公式；
（2）由（1）可得，然后利用等差数列的求和公式求解即可
【详解】（1）由题意设等比数的公比为（），
因为，所以，
解得或（舍去），
所以，
（2）由（1）可得，
所以
例2．等比数列的公比为2，且成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)运用等差中项求出 ，再根据等比数列的通项公式求出 ；
(2)根据条件求出 的通项公式，再分组求和.
【详解】（1）已知等比数列的公比为2，且成等差数列，
， ， 解得，
；
（2），
.
；
综上，
例3．已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)设等差数列的公差为d，根据题意列出关于和d的方程组求解即可；
(2)证明是等比数列，根据等比数列前n项和公式即可求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
，成等比数列，
，解得
；
（2）由(1)得，，
，，
是首项为4，公比为4的等比数列，
.
例4．已知数列是等差数列，且，．
(1)求的通项公式；
(2)若数列的前项和为，求及其最小值．
【答案】(1)
(2)，最小值为
【分析】（1）设的公差为，即可得到关于、的方程组，解得、，从而求出其通项公式；
（2）根据等差数列求和公式计算可得.
【详解】（1）设的公差为，则，
解得，
所以．
（2）由（1）可得，
所以当或时，取得最小值，最小值为．
巩固练习
1．在等差数列中，若，则公差（ ）
A．2 B．4 C．3 D．5
【答案】B
【分析】根据等差数列通项公式列出方程组求解即可.
【详解】因为，
所以，.
故选：B.
2．在数列中，，，则的值为（ ）
A．99 B．201 C．102 D．101
【答案】B
【分析】根据等差数列的通项公式计算．
【详解】因为，所以是等差数列，且公差为，又，所以，
故选：B．
3．在等差数列中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用等差中项的性质可求得的值.
【详解】在等差数列中，，由等差中项的性质可得.
故选：B.
4．在等差数列中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用等差中项的性质求出，再利用等差中项的性质可求得的值.
【详解】在等差数列中，，则，因此，.
故选：D.
5．在等差数列中，若，则（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【分析】根据等差数列的性质即可求解.
【详解】由等差数列的性质可得，则，.
故选：D
6．设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【分析】由已知条件利用等差数列前项和公式推导出，由此能求出的值
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
∵等差数列的前项和为，，
∴，整理得，
∴．
故选：.
7．已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等差数列前项和公式和通项公式即可求解.
【详解】由题意得，解得，
，
故选：C.
8．已知等差数列前9项的和为27，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据等差数列的性质及求和公式可求，再根据等差数列的通项公式即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，
所以．
又因为，所以．
故选:C.
9．若为等差数列，其前n项和为，则（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】B
【分析】利用等差数列的性质可得成等差数列，即可求得答案
【详解】因为成等差数列，
故，即，得.
故选：B
10．在等比数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用等比数列通项公式可直接求得结果.
【详解】，，解得：.
故选：C.
11．已知等比数列的公比为2，前项和为.若，则（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】A
【分析】根据已知条件求得，进而求得.
【详解】依题意，
所以.
故选：A
12．在递增的等比数列中，，，其中.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，求出的首项、公比即可作答.
（2）利用分组求和法及等比数列前n项和公式求和作答.
【详解】（1）由，等比数列是递增数列，得，
因此数列的公比，则，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）得，，
.
13．在等比数列中，
(1)已知，求前4项和；
(2)已知公比，前5项和，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出公比，再根据等比数列前项和公式即可得解；
（2）根据等比数列前项和公式求出首项，再根据等比数列的通项公式即可得解.
【详解】（1）设公比为，由，
得，所以，
所以；
（2）由，得，
所以.
14．记等差数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)根据已知条件列出关于首项和公差的方程组即可求解；
(2)根据等比数列求和公式即可求解．
【详解】（1）由题可知，解得，，
∴；
（2）∵，∴，
∴是首项为3，公比为9的等比数列，
∴﹒
15．在等差数列中，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求.
【答案】(1)
(2)1280
【分析】（1）直接利用等差数列的通项公式即可求解；
（2）先判断出数列单调性，由，则时，，时，；然后去掉绝对值，利用等差数列的前项和公式求解即可.
【详解】（1）设数列的公差为，由，可知，
∴;
（2）由（1）知，数列为单调递减数列，由，则时，，时，；
.
16．已知是等差数列的前项和，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的最小值.
【答案】(1)
(2)12
【分析】（1）设出公差，利用等差数列通项公式基本量列出方程，求出公差，进而求出通项公式；
（2）在第一问的基础上，求出，得到不等式，求出，结合，得到的最小值.
【详解】（1）设数列的公差为，因为，
所以.
解得.
所以.
（2），
所以.
令，得，
解得：（舍去）.
因为，所以的最小值是12.
17．已知等差数列，为其前项和，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，为数列的前项和，求．
【答案】（1），；（2），.
【分析】（1）由已知，结合等差数列前n项和及通项公式求、，写出通项公式即可；
（2）由（1）可得，再应用等差数列前n项和公式求.
【详解】（1）由题意，，可得，若公差为，
∴，故，
∴的通项公式.
（2）由（1）得，则，
∴.
18．设等差数列的前项和为.已知，.
(1)求；
(2)当为何值时，最小？并求此最小值.
【答案】(1)
(2)8，4
【分析】（1）设等差数列的公差为d，由，求解；
（2）由，分，，利用二次函数的性质求解.
【详解】（1）解：设等差数列的公差为d，
又，，
所以，
解得，
所以；
（2）由（1）得，
当时，，
当时，递增，当时，递减，又，
所以的最小值为7；
当时，，在上递增，又，
所以的最小值为4，
综上：的最小值为4.
19．等差数列满足，，前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知条件列方程组求出，，从而可求出其通项公式；
（2）由通项公式可知数列有前7项和最大，从而可求得结果.
【详解】（1）设首项为，公差为，
因为等差数列满足，，
所以，解得，
所以；
（2）因为当时，，当时，，
所以的最大值为，
因为，
所以.
（北京）股份有限公司专题7 平面向量
知识梳理
一、平面向量的概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度或模．
2．零向量：长度为0的向量叫做零向量，记为．当有向线段的起点与终点重合时，．
3．单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．与共线的单位向量为：（即）．
4．共线向量：方向相同或相反的非零向量叫做共线向量或平行向量．，，规定．
5．相等向量：长度相等且方向相同的向量称为相等向量．
6．相反向量：与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为．
二、平面向量的线性运算
1．向量加法运算：
（1）三角形法则：(首尾相接、首尾连)．
（2）平行四边形法则：以向量为邻边作平行四边形，则．
（3）向量加法满足的运算律：交换律，结合律．
2．向量减法运算：
（1）三角形法则：(共起点、连终点，指向被减向量终点)．
（2）平行四边形法则：以向量为邻边作平行四边形，则．
3．向量数乘运算：
（1）规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘运算，记作，它的长度和方向规定如下：①；②当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，．
（2）向量数乘运算满足的运算律：
①； ②； ③；
④； ⑤；
⑥．（）
（3）向量共线定理：存在，使得．
三、平面向量的坐标运算
1．平面向量的坐标运算：设，则
⑴， ⑵， ⑶，
⑷设点，，则，
2．平面向量共线定理的坐标表示：已知，若．
四、平面向量的数量积：
1．已知两个非零向量与，它们的夹角为，则．
2．平面向量数量积满足的运算性质：
⑴； ⑵； ⑶．
3．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角：
⑴设非零向量，则
①，
②，
③．
⑵设，则，或；
设点，，则，．
题型1 平面向量的线性运算
例1．如图，在平行四边形中，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量加法的平行四边形法则分析求解.
【详解】因为为平行四边形，所以.
故选：B.
例2．如图，ABC中，，，，用，表示，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形法则得，然后将即可得出答案.
【详解】,
故选：D.
题型2 平面向量的数量积--数量积的计算
例1．已知等边三角形边长为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合向量的数量积的定义域运算，即可求解.
【详解】由向量的数量积的运算，可得.
故选：A.
例2．已知向量满足，则（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】C
【分析】根据数量积的定义及运算律计算即可.
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：C.
例3．已知向量满足，，且与夹角为30°，那么等于（　　）
A．1 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】直接利用平面向量的数量积公式，即可求得本题答案.
【详解】，
故选：C
题型3 平面向量的数量积--夹角的计算
例1．若平面向量，满足，，且，则向量与夹角的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量的夹角公式进行计算即可.
【详解】设向量与的夹角是，
则．
又因为，所以．
故选：A．
例2．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平面向量数量积的运算律和夹角公式求解.
【详解】由题意，得，即，
所以，所以，
故选:C．
题型4 平面向量的数量积--模的计算
例1．已知，是夹角为60°的单位向量，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】先求，从而得到.
【详解】，
故.
故选：C
例2．已知，且，则等于（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量垂直得出其数量积为0，即可根据向量的模长求法得出答案.
【详解】，，
，
故选：A.
题型5 平面向量的坐标运算--加减数乘
例1．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量的坐标运算即可得解.
【详解】因为，，
所以.
故选：D.
例2．若向量，，则向量的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平面向量的坐标运算可得答案.
【详解】向量，，
则向量.
故选：A.
题型6 平面向量的坐标运算--数量积、模
例1．已知向量，，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】根据向量数量积的坐标运算即可.
【详解】由题意，， ，因此.
故选：B
例2．设，，，则（ ）
A．11 B．5 C．-14 D．10
【答案】A
【分析】先根据向量坐标运算求出，的坐标，然后利用向量数量积的坐标公式求解即可.
【详解】因为，，，所以，，
所以.
故选：A
例3．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】运用平面向量减法和模的坐标运算公式求解即可.
【详解】由题意知，，所以.
故选：A.
例4．已知向量，，则（ ）
A． B．5 C． D．4
【答案】B
【分析】根据平面向量坐标运算求出，再由向量模公式求解即可.
【详解】因为，
所以.
故选：B
题型7 平面向量的坐标运算--平行垂直、夹角
例1．已知向量，且，则实数的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】先求出，根据平行得到方程，求出答案.
【详解】，
由可得，解得.
故选：D
例2．已知平面向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】直接利用数量积的坐标运算列方程求解.
【详解】因为，
所以，
解得．
故选：A.
例3．已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量的夹角公式直接求解.
【详解】，则，所以C正确.
故选：C.
例4．已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量的夹角公式即可求解.
【详解】因为，
所以.
故选：C.
巩固练习
1．在中，为边上的中线，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据图形的几何性质，以及向量加减法、数乘运算的几何意义，即可得出答案.
【详解】
因为，所以
由已知可得，，
所以，，
所以，.
故选：A.
2．如图，四边形是菱形，下列结论正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量相等的概念及向量的加法法则判断选项即可.
【详解】因为四边形是菱形，
所以根据向量加法的平行四边形法则知，，
，故C对D错；
因为向量方向不同，所以，，故AB错误.
故选：C
3．已知，，且，则（ ）
A．1 B． C． D．5
【答案】C
【分析】根据向量数量积的运算律求解.
【详解】因为，
结合已知向量垂直知：，
故选:C.
4．已知均是单位向量，，则（ ）
A． B．0 C． D．1
【答案】D
【分析】将两边平方，再根据数量积得运算律即可得解.
【详解】因为均是单位向量，所以，
又，则，
即，所以.
故选：D.
5．已知非零单位向量的夹角为，若与垂直，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用向量垂直的性质直接求解即可.
【详解】若与垂直，
则，
又单位向量的夹角为，
则，，，
所以，解得.
故选：D
6．已知向量，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量数量积的运算律直接计算.
【详解】由，，
得，
故选：D.
7．已知，且，则向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的数量积运算律和夹角公式求解.
【详解】由可得，，
所以，
所以，又因为，所以，
故选：A.
8．若平面向量，的夹角为60°，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出，再分别求出对应的向量数量积，即可得出结论.
【详解】由题意，向量，的夹角为60°，且，
A项，，故A不正确;
B项，因为，∴，故B正确;
C项，，故C不正确;
D项，，故D不正确.
故选：B.
9．已知，，，则与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量夹角公式即可代入求解.
【详解】设向量与的夹角为θ，则，
因为，所以.
故选:D.
10．已知空间向量，满足，，，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】目标式平方，利用转化法求解可得
【详解】因为，，，
所以，
所以.
故选：C
11．已知向量、的夹角为，，，则（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】C
【分析】利用向量数量积和向量模的定义解决本题.
【详解】由向量、的夹角为，，，得出.
则.
故选：C
12．已知向量，，，若，则（ ）
A．3 B．-1 C．2 D．4
【答案】A
【分析】运用共线向量的坐标表达式即得.
【详解】由，，又由，可得：，解得.
故选：A.
13．已知向量满足，则（ ）
A． B．0 C．5 D．7
【答案】C
【分析】先求出，进而利用向量数量积公式求出答案.
【详解】因为，所以，
故.
故选：C
14．已知向量，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据平面向量共线的坐标公式计算即可.
【详解】由，
得，
因为，所以，解得.
故选：B.
15．已知平面向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量坐标化的加法运算即可得到答案.
【详解】，
故选：C.
16．已知向量，则（ ）
A．0 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】利用数量积坐标公式计算即可.
【详解】.
故选：D
17．已知向量，若，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量垂直的坐标表示即可解得.
【详解】由可得，
即，解得.
故选：A
18．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．5
【答案】A
【分析】根据向量垂直列出方程，求出，进而利用模长公式求出答案.
【详解】由题意得，解得，
则，则.
故选：A
19．设，，向量，，，且，，则（ ）
A． B． C． D．10
【答案】B
【分析】根据向量垂直和平行求得，进而求得.
【详解】由于，所以；
由于，所以；
所以，
所以.
故选：B
20．已知向量，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据题意，设向量与夹角为，求出、和的值，进而计算可得答案．
【详解】根据题意，设向量与夹角为，
向量，，
则，，，
则．
故选：A．
21．已知平面向量，，则与夹角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量夹角公式直接求解即可.
【详解】设与的夹角为，则，
，.
故选：B.
（北京）股份有限公司专题8 直线与圆的方程
知识梳理
1．直线的斜率的计算方法：（直线的倾斜角：）
①定义法：，；
②坐标法：，，，；
③（直线方程的一般式）．
2．直线方程的五种形式：
①点斜式：； ②斜截式：；
③两点式：； ④截距式：；
⑤一般式：
3．设的坐标分别为，则中点的坐标公式：
4．距离公式：
①两点间的距离公式：，其中．
②点到直线的距离公式：点到直线的距离为：．
③两条平行直线间的距离公式：和的距离为：．
5．两条直线位置关系的判定方法：
方法1：设；，则
①； ②．
③与重合； ④与相交；
方法2：设；，则
①； ②；
③与重合； ④与相交．
6．圆的方程
①标准方程：，圆心坐标为，半径为．
②一般方程：（），圆心，半径．
4．圆的弦长与弦心距的关系：
5．两圆位置关系（有五种）的判定方法：
①； ②；
③； ④；
⑤．
6．当两圆相交时，它为公共弦所在直线方程为把两个圆的方程化为一般式后相减
题型1 求直线的倾斜角和斜率
例1．已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出斜率即可得倾斜角.
【详解】直线的方程为，即，
方程斜率为，所以倾斜角为.
故选：D.
例2．已知直线l经过两点，，则直线l的斜率是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】根据斜率公式即可计算.
【详解】直线l的斜率.
故选：C.
例3．若过点的直线的倾斜角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解.
【详解】由题意得，解得，
故选：D
题型2 直线方程
例1．过点，且倾斜角为的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】倾斜角为的直线斜率不存在，可解.
【详解】过点，且倾斜角为的直线垂直于轴，
其方程为.
故选：B
例2．过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据两直线互相垂直可得所求直线的斜率，利用直线的点斜式方程即得.
【详解】由直线可得其斜率为：，则与其垂直的直线斜率为，
故过点且与直线垂直的直线方程为，即：.
故选：C.
例3．若直线过点且与斜率为4的直线垂直，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据直线垂直的斜率关系求出斜率，然后可得直线方程.
【详解】因为直线与斜率为4的直线垂直，
所以直线的斜率为，
又直线过点，
所以直线的方程为，即．
故选：A
题型3 两直线的位置关系
例1．直线与互相平行，则实数的值等于（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【分析】根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值.
【详解】因为直线与互相平行，则，解得.
故选：A.
例2．已知直线与直线互相垂直，则m为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】根据两直线垂直的一般式的结论即可得出答案.
【详解】两直线垂直，则有，即，解得.
故选：C
例3．若直线与互相垂直，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】根据两直线垂直可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.
【详解】因为，则，即，
解得或.
故选：D.
题型4 与直线有关的距离
例1．点到直线的距离为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】由点到直线的距离公式计算即可得.
【详解】.
故选：D.
例2．两条直线与之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依题意代入两平行线之间的距离公式即可得出结果.
【详解】由两平行线之间的距离公式可得.
故选：C
题型5 圆的方程
例1．圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A．， B．， C．，3 D．，3
【答案】A
【分析】利用给定圆的方程直接求出圆心坐标及半径即得.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为.
故选：A
例2．圆的圆心和半径分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将圆的一般方程化为标准方程求圆心与半径即可.
【详解】由，所以圆心和半径分别为.
故选：D
题型6 直线与圆的位置关系
例1．已知直线与圆相切，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得圆心到的距离等于半径1，即可解得的值．
【详解】直线即，
由已知直线与圆相切可得，
圆的圆心到的距离等于半径1，
即，解得，
故选：B．
例2．直线被圆所截得的弦长为（ ）
A． B． C．5 D．10
【答案】B
【分析】判断出圆心在直线上即可求解.
【详解】圆即，故圆心为，
显然圆心在直线上，
故直线被圆所截得的弦即为圆的直径，长为.
故选:B．
例3．直线平分圆C：，则（ ）
A． B．1 C．-1 D．-3
【答案】D
【分析】求出圆心，结合圆心在直线上，代入求值即可.
【详解】变形为，故圆心为，
由题意得圆心在上，故，解得.
故选：D
例4．圆在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先计算出，从而由斜率乘积为-1得到切线斜率，利用点斜式写出切线方程，得到答案.
【详解】因为，所以在圆上，
的圆心为，
故，
设圆在点处的切线方程斜率为，
故，解得，
所以圆在点处的切线方程为，
变形得到，即.
故选：A
例5．若过点，且与圆相切的直线方程为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】D
【分析】验证点在圆外，然后讨论切线斜率存在与不存在两种情况即可解决.
【详解】圆的圆心是 ，半径是 ，
把点的坐标代入圆的方程可知点P在圆外，
当直线斜率不存在时，
直线为 ，不满足题意；
当直线斜率存在时，
设直线为 ，即 ，
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，即
，
解得 或 ，
切线为或 ，
故选：D.
例6．过点作圆的切线，切点为，则切线段长为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】根据相切，由勾股定理即可求解.
【详解】设圆心为半径为，
所以,
故，
故选：C
题型7 圆与圆的位置关系
例1．圆与圆的位置关系为（ ）
A．外离 B．相切 C．相交 D．内含
【答案】D
【分析】求出圆心距，小于两半径之差，得到位置关系.
【详解】的圆心为，半径为，
变形为，圆心为，半径为，
故圆心距，
故圆与圆的位置关系为内含.
故选：D
例2．圆和圆的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
【答案】C
【分析】利用圆心距与半径和差关系判定两圆位置关系即可.
【详解】易知圆和圆的圆心与半径分别为：和，所以圆心距为，显然，即两圆相外切.
故选：C
例3．圆：与圆：的公共弦所在直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将两圆方程作差即可得相交弦方程.
【详解】由，即，半径为，
由，即，半径为，
所以，即两圆相交，
将两圆方程作差得，整理得，
所以公共弦所在直线方程为.
故选：B
巩固练习
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求斜率，再求倾斜角.
【详解】由条件可知，直线的斜率，设直线的倾斜角为，
则，，所以.
故选：B
2．已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定的直线方程，求出直线的斜率，进而求出倾斜角.
【详解】直线的斜率，所以该直线的倾斜角为.
故选：B
3．已知点，则直线的斜率为（ ）
A．－3 B． C． D．3
【答案】C
【分析】由斜率公式计算即可得.
【详解】由，则直线的斜率为.
故选：C.
4．若经过两点的直线斜率为1，则实数（ ）
A． B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】利用斜率公式即可求解.
【详解】过两点的直线斜率为，所以，解得，.
故选：A.
5．己知直线l的倾斜角为，且过点，则它在y轴上的截距为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】由倾斜角求出斜率，再用点斜式写出直线方程，最后求出截距即可.
【详解】由题意可知直线的斜率，
所以直线方程为，即，
所以它在y轴上的截距为，
故选：A.
6．已知直线的斜率为,在轴上的截距为,则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据点斜式方程求解即可.
【详解】直线在轴上的截距为，点在直线上，
又直线的斜率为,根据点斜式方程得即.
故选：B.
7．若直线与平行，则实数（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【分析】根据两直线平行，斜率相等，截距不等即可求出答案.
【详解】由题意知，的斜率分别是，，由与平行，得，
此时两直线在y轴上的截距分别为3和，符合题意.
故选：C.
8．已知直线和互相平行，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．4
【答案】D
【分析】根据题意得到平行时的方程，解出即可.
【详解】由题意得，解得，
此时后者直线方程为，满足题意.
故选：D.
9．两平行直线，的距离等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】借助两平行线的距离公式即可得.
【详解】即为，
则.
故选：B.
10．点到直线的距离是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】应用点线距离公式求距离即可.
【详解】由点线距离公式有.
故选：A
11．圆：与圆：的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
【答案】A
【分析】根据圆心距大于半径之和，得到位置关系.
【详解】圆：的圆心为，半径为1，
圆：的圆心为，半径为3，
圆心距，故两圆外离.
故选：A
12．圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用圆的标准方程即可求得圆心坐标和半径.
【详解】根据圆的标准方程，
即可得圆心坐标为，半径为.
故选：D
13．圆与的位置关系为（ ）
A．外切 B．内切 C．相交 D．外离
【答案】B
【分析】根据圆心距与半径和或半径差的大小关系即可判断.
【详解】圆的圆心为，半径为，
，
，
圆的圆心为，半径为，
，
圆与圆内切.
故选：B.
14．圆的圆心和半径分别（ ）
A．， B．，5
C．， D．，5
【答案】A
【分析】由题意将圆的一般方程化为标准方程，再求出圆心坐标和半径长.
【详解】将方程化为标准方程：，
则圆心坐标为，半径长等于.
故选：A
15．直线被圆截得的弦长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】先求出弦心距，然后根据圆的弦长公式直接求解即可.
【详解】圆，所以圆心，半径，
所以弦心距为，
所以弦长为，
故选：C
16．若直线与圆交于点A，B，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用直线被圆截得的弦长公式求解.
【详解】圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离为，
所以，
故选：B.
17．若直线与圆 相切，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直线与圆相切，则有圆心到直线距离等于半径，列方程求实数的值.
【详解】圆 圆心坐标为，半径为1，
直线与圆 相切，则有圆心到直线距离等于半径，
即，解得.
故选：C
18．圆与圆的公共弦所在直线的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】两圆方程相减即可得解.
【详解】两圆相减可得，
经检验，该方程满足题意，
故公共弦所在直线的方程为.
故选：A.
19．已知圆，则过圆上一点的切线方程为（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】A
【分析】利用切线与半径垂直求出切线的斜率，再根据点斜式可求出切线方程.
【详解】因为圆的圆心为，所以，
所以切线的斜率，
所以所求切线的方程为，即，
故选：A
20．过点作圆的切线，则切线方程为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【分析】根据切线斜率是否存在分类讨论，再利用圆心到切线的距离为半径可求切线方程.
【详解】若切线的斜率不存在，则过的直线为，
此时圆心到此直线的距离为2即为圆的半径，故直线为圆的切线.
若切线的斜率存在，设切线方程为：即，
故，解得，
故此时切线方程为：.
故选：B.
21．过点作圆的一条切线，切点为B，则（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【分析】先求得圆的圆心坐标和半径，再利用切线长定理即可求得的值.
【详解】因为圆，
所以圆的圆心为，半径为，
因为与圆相切，切点为B，
所以，则，
因为，
所以.
故选：B.
（北京）股份有限公司

展开更多......

收起↑