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第一章 集合
知识梳理
知识点一：集合及其运算
1．集合的有关概念
(1) 集合的概念：一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合．
(2)集合元素的特征：
①确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．
② 互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素．
③无序性：集合中的元素的次序无先后之分．如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合．
(3)元素与集合的关系：
① 如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA
②如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作
(4)常见数集和数学符号
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 或
2．集合的表示方法
(1) 列举法：把集合中的元素一一列举出来．
(2)描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
3．集合之间的关系
(1) 子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集．记作：，读作：A包含于B（或B包含A）．
图示：
（2）相等集合：如果两个集合所含的元素完全相同（），那么我们称这两个集合相等．记作：，读作：A等于B．
图示：
(3) 真子集：若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集，记作：AB（或BA），
读作：A真包含于B（或B真包含A）
(4) 空集：不含有任何元素的集合称为空集，记作：，规定：空集是任何集合的子集．
重要结论：一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，非空真子集数有2n-2个.
4．集合的运算
(1) 并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}，Venn图表示：
(2) 交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示：
(3) 补集
全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．
补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作：，即补集的Venn图表示：
知识点二：充要条件
1．充要条件
(1) 充分条件、必要条件
若，称是的充分条件，是的必要条件．
(2) 充要条件
如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件．
(3)命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系共有：
①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件；
②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件；
③若，且，即，则、互为充要条件；
④若，且，则是的既不充分也不必要条件．
2．子集与推出的关系
若p：x∈A，q：x∈B，
(1)若AB，则是的充分条件，是的必要条件；
(2)若A是B的真子集，则是的充分不必要条件；
(3)若A=B，则、互为充要条件；
(4)若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件．
考点讲解
考点一 集合的概念及表示方法
1．已知M是由1，2，3三个元素构成的集合，则集合M可表示为（ ）
A．{x|x=1} B．{x|x=2} C．{1，2} D．{1，2，3}
【答案】D
【解析】由于集合是由三个元素构成，所以，故选：D.
2．下列说法中，正确的个数是（ ）
①的近似值的全体构成一个集合
②自然数集N中最小的元素是0
③在整数集Z中，若，则
④一个集合中不可以有两个相同的元素
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】①的近似值的全体没有确定性，不能构成集合，错误；
②自然数集N中最小的元素是0，正确；
③在整数集Z中，若，则，整数的相反数还是整数，正确，
④一个集合中不可以有两个相同的元素，根据集合的定义知正确，
故选：C．
3．方程组的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由方程组，解得：，集合应是点集，正确的形式是，故选：D.
4． 已知集合，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】集合．对于不对．对于对；对于不对；
对于不对．故选：．
5．给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．5
【答案】A
【解析】为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确；是无理数，所以，所以②错误；不是正整数，所以，所以③正确；，所以④正确；是无理数，所以，所以⑤正确；，所以⑥错误，故选:A.
6．设集合，若，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】B
【解析】因为，，所以，解得，所以1，故选：B.
7．集合，用列举法可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，可得，所以，故选：C.
考点二 集合的关系及运算
8．已知集合，，则的子集的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．8个
【答案】C
【解析】集合，因为，所以，集合中共两个元素，
故子集有，，，共个，故选：C.
9．已知集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
【答案】A
【解析】由题意得：，其真子集有：，，，，，，，共7个，故选：A．
10．集合的子集个数为 ．
【答案】32
【解析】由题意得，则A的子集个数为，故答案为：32.
11．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以．故选：A
12．设全集U是实数集R，，都是U的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】题图中阴影部分表示集合，故选：B.
13．已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，又，所以当时，，要使，则，即，故选：A．
14．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
，故选：C.
15．设全集，若，，则集合（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为全集，由，得，又，所以．故选：D．
16．已知集合，，或．
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)若，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】解：（1）∵，∴．在数轴上标出集合A，B，如图1所示，则由图1可知，解得．∴实数m的取值范围为．
（2）∵，∴．
当，即，即时，满足．
当，即时，在数轴上标出集合B，C，
若，则有两种情况，如图2、图3所示．
由图2可知，解得，又，
∴无解；由图3可知，解得．
综上，实数m的取值范围是．
考点三 充要条件
17．已知集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为,所以“” “”，但“”推不出“”，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A.
18．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，成立，而当时，如时，，所以当时，不一定成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A.
19．已知，，则是的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分不必要条件
【答案】A
【解析】由，可得出，由，得不出，所以是的充分而不必要条件，故选：A.
20．若，则“”是“且”的 条件．
【答案】必要不充分
【解析】时，成立，是必要的，时，有，即时不一定有且．不充分，因此应是必要不充分条件，故答案为：必要不充分．
21．若“”是“”的充分不必要条件，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，“”是“”的充分不必要条件，故，故，故选：B.
22．已知，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【解析】∵，是的必要不充分条件，所以由能推出，而由推不出，，，故选B.
23．已知都是的必要条件，是的充分条件，是的充分条件，则是的 条件，是的 条件.
【答案】充要；必要
【解析】由题意得，，所以，所以，又因为，所以是的充要条件；，不能得到，所以p是的必要条件，故答案为：充要；必要．
24．已知，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为，，且是的必要不充分条件，所以是的真子集，且不是空集，所以或，解得，
所以实数的取值范围是，故答案为:．
25．已知，.
（1）是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由；
（2）是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）不存在实数，使是的充要条件（2）当实数时，是的必要条件
【解析】解：（1），要使是的充要条件，则，即 此方程组无解，则不存在实数，使是的充要条件；
要使是的必要条件，则，当时，，解得； 当时，，解得，要使，则有，解得，所以，综上可得，当实数时，是的必要条件．
巩固练习
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3 分，共 30分）
1．以下五个写法中：①；② ；③；④ ；⑤；正确的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【解析】对于①：是集合与集合的关系，应该是，①不对；
对于②：空集是任何集合的子集，，②对；
对于③：是一个集合，是集合与集合的关系，，③不对；
对于④：根据集合的无序性可知，④对；
对于⑤：是空集，表示没有任何元素，应该是，⑤不对；
正确的是：②④．
故选：B．
2．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，所以，，所以，所以，，，所以B选项正确，其它选项错误，故选：B.
3．已知集合，若，则的取值可以是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】解因为，所以，所以或，故选：B.
4．“0A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】“0“”成立时，“0所以“05．若以集合的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（ ）
A．矩形 B．平行四边形
C．梯形 D．菱形
【解析】由题意，集合的四个元素为边长构成一个四边形，根据集合中元素的互异性，可得四个元素互不相等，以四个元素为边长构成一个四边形，结合选项，只能为梯形，故选：C.
6．已知，若集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，集合，，可得，满足充分性，若，则或，不满足必要性，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A.
7．已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，又全集，所以，故选：B.
8．已知集合A={1，2，3，4，5}，集合B={1，2}，若集合C满足：，则集合C的个数为（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【答案】B
【解析】根据，集合可写成如下形式：
所以满足条件的集合C的个数为7个，选项B正确，故选：B.
9．设集合.，那么“且”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当且成立时，根据集合的交集定义可知：，当成立时，根据集合的交集定义可知：且，故“且”是“”的充分必要条件，故选：C.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3 分，共 24分）
10．设集合，，那么_ .
【答案】
【解析】因为，，所以，故答案为：．
11．用列举法表示 ．
【答案】
【解析】解：因为且，所以或或或，解得或或或，所以对应的分别为、、、，即；故答案为：.
12．已知集合，，则集合B中元素的个数为 ．
【答案】6
【解析】因为，，，所以时，；时，或，时，或3或4.，所以集合B中元素的个数为6，故答案为：6.
13．已知x为实数，则“x2=1“是“x=1”的 条件.
【答案】必要不充分
【解析】或，则可以推出，但不能推出，故“x2=1“是“x=1”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分．
14．“”是“且”的 条件.
【答案】必要不充分
【解析】因为当、时，满足，不满足且，所以“”不能证明“且”，即“”不是“且”的充分条件，即，即，则，，“且”可以证明“”，即“”是“且”的必要条件，综上所述，“”是“且”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分.
15．设p：一元二次方程有实数根，，则p是q的___________条件．
【答案】充要
【解析】由题可知：一元二次方程有实数根，则，若，则一元二次方程有实数根，所以p是q的充要条件，故答案为：充要.
16．国庆期间，高一某班31名学生去电影院观看了《长津湖》《我和我的父辈》《峰爆》这三部电影.其中有15人观看了《长津湖》，有14人观看了《我和我的父辈》，有11人观看了《峰爆》，没有人同时观看这三部电影，则仅观看了其中一部电影的共有 人.
【答案】22
【解析】由题意得，观看两部电影的人数是15+14+11-31=9，故仅观看了其中一部电影的人数是31-9=22.
故答案为：22．
17．已知，且q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】∵“q是p的必要不充分条件”的等价命题是：是的充分不必要条件，设．是的充分不必要条件，所以．
（两个等号不能同时取到），．故答案为：.
三、解答题（本题共6小题，共46分，解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.）
18．（6分）已知集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）；
【解析】解：（1）当时，，则；
（2）由知，解得.
19．（6分）已知命题或，命题或，若是的充分非必要条件，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】解：因为是的充分非必要条件，所以是的真子集．
当，即时，，解得，又因为，所以；
当时，，显然是的真子集．
综上，实数的取值范围是．故答案为：.
20．（8分）已知集合，，若，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】解：因为，所以或．又且，
所以，解得,所以实数的取值范围是．
21．（8分）已知集合，．
（1）求；
【答案】（1）；（2）；或
【解析】解：（1）∵ ， ，∴．
22．（8分）已知集合.
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】解：（1）由，得，所以.
当时，，所以.
（2）由，得.当时，，得.
当时， ，得.
综上，的取值范围为.

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