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2025职教高考 一轮复习 基础知识 第二章 不等式 复习讲义

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2025职教高考 一轮复习 基础知识 第二章 不等式 复习讲义

2024-08-31 16:59 中职升学考试 1.04M [数学学案]

资源简介

第二章 不等式
知识梳理
知识点一：不等式的基本性质
1．实数的大小 两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a依据 a>b a－b>0. a＝b a－b＝0. a结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小
2．不等式的基本性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b2 传递性 a>b，b>c a>c 不可逆
3 可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
4 可乘性 a>b，c>0 ac>bc a>b，c<0 ac5 同向可加性 a>b，c>d a＋c>b＋d 同向
6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0 ac>bd 同向
7 可乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2) 同正
知识点二：不等式的解法
1．区间的概念
(1)设a，b是两个实数，且a＜b，则有下表：
定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a＜x＜b} 开区间 (a，b)
{x|a≤x＜b} 半开半闭区间 [a，b)
{x|a＜x≤b} 半开半闭区间 (a，b]
(2)实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”．如：
符号 [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a)
集合 {x|x≥a} x＞a {x|x≤a} {x|x＜a}
2．一元一次不等式（组）的解法
任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为．若关于x的不等式ax>b的解集是R，则实数a，b满足的条件是：a＝0，b＜0．
3．一元二次不等式的解法
(1) 一元二次不等式的概念
设a，b，c为实数，且a≠0，形如ax2＋bx＋c>0（<0，≥0或≤0）的不等式统称为一元二次不等式.
(2)一元二次不等式的解集情况（下面以a>0为例，如果a<0时，两边乘以-1，可以转化为a>0的情形）
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0) 解集为 解集为 解集R
ax2＋bx＋c<0(a>0) 解集为 解集为 解集为
ax2＋bx＋c≥0(a>0) 解集为 解集为R 解集为R
ax2＋bx＋c≤0(a>0) 解集为 解集为{x1} 解集为
4．含有绝对值的不等式
(1) 绝对值的代数意义
正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即
(2) 绝对值的几何意义
一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．
(3)两个数的差的绝对值的几何意义
表示在数轴上，数和数之间的距离．
(4)绝对值不等式：
的解集是，如图1；
的解集是，如图2；
；
或；
考点讲解
考点一 不等式的性质
1．如果，那么下列不等式中，一定成立的是　　
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于，则：对于和：当，则，故，，故、错误；
对于：当时，，对于：由于等价于，故正确．
2．如果，，则下列不等式中正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，则，故正确，例如，，则，故错误，
例如，，则，故错误，例如，，则，故错误，故选：．
3．与的大小关系是　　
A． B． C． D．不确定
【答案】B
【解析】，，
，，故选：．
4． 已知，，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】取特殊值：，，则，，故，故选：．
5．比较和两个表达式的大小，并说明理由.
【答案】答案见解析
【解析】解：因为，所以.
6．已知均为实数，则下列命题中错误的是（　　）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，则
【答案】A
【解析】对于A，因为，，所以，故A错误；
对于B，因为，，所以，故B正确；
对于C，因为，，所以，故C正确；
对于D，由可得，所以，故D正确，
故选：A
7．若，，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】解：，若，则，若，则，，所以，
综上，故答案为：．
8．已知，比较与的大小．
【答案】
【解析】解：，，即．
9．设，，求，，，，的取值范围．
【答案】，，，，
【解析】解：，，，，，，
，，即，，，，，
，综上：，，，，．
10．已知，下列命题中正确的是 （将正确命题的序号填在横线上）
①若，则 ②若，则;
③若，则; ④若，则.
【答案】②③
【解析】①若，当时，则，故①错误；
②若，不等式两边同时乘以，则，故②正确；
③若，不等式两边同时乘以，则，故③正确；
④若，当时，则，故④错误；
故答案为：②③
11．（1）已知，比较和的大小；
（2）已知，比较与的大小.
【答案】（1）（2）
【解析】解：（1）－，所以；
（2）∵，∴，，∴，所以．
12．若，，求证：.
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为，，所以
，所以.
考点二 不等式的解法
13．关于x 的不等式的解集是 .
【答案】｛x|x≥7｝
【解析】去分母得，3(x+7)+2(5-2x)≤24，去括号得，3x+21+10-4x≤24，则-x≤-7所以不等式的解集为｛x|x≥7｝.
14．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来.
【答案】，数轴略.
【解析】由原不等式组 ，得 ，即 ，
所以，原不等式的解集是.
15．解不等式组.
【答案】
【解析】解：由原不等式组可得，解得，，所以不等式组的解集为.
16．已知，为常数，且不等式的解集为，则不等式的解集为 .
【答案】
【解析】因为不等式的解集为，所以，即，因此不等式可化为，则，解得，即不等式的解集为，故答案为：.
17．不等式的解集为 .
【答案】
【解析】由，得，解得：，所以解集为.
18．不等式的解集为________.
【答案】
【解析】由解得，则不等式的解集为，故答案为：.
19．不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以或，选C.
20．求下列不等式组的解集：
(1); (2).
【答案】(1);(2)．
【解析】解：(1)原不等式组等价于，即，其解集为x>3，因此，原不等式组的解集为.
(2)原不等式组等价于，即，其解集为5≤x<6，因此，原不等式组的解集为.
21．解不等式组.
【答案】
【解析】解：原不等式组等价于，则，故原不等式的解集为.
22．解下列不等式：
（1） （2）（3）
【答案】（1）（2）（3）
【解析】解：(1)原不等式等价于1-2x>3或1-2x<-3，解这两个不等式得x<-1或x>2,所以原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为，解得即-4≤x<-3或1(3)两边平方得，(x+1)2>(2x+3)2,整理得，3x2+10x+8<0,即(x+2)(3x+4)<0,解得-223．已知不等式的解集为.求 a b的值
【答案】的值分别为
【解析】解：由题意不等式的解集为，故，是方程的两个根，，，，，故答案为：；．
24．当常数k取何值时，关于x的不等式x2+(k-1)x+4>0的解集为全体实数集R.
【答案】
【解析】 解：因为不等式x2+(k-1)x+4>0的解集为全体实数集R，可知，方程x2+(k-1)x+4=0的判别式⊿=(k-1)2-16<0，即(k+3)(k-5)<0，其解为-30的解集为R.
25．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2【答案】
【解析】解：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2由根与系数的关系可知＝－5，＝6，由a<0知c<0，，故不等式cx2＋bx＋a<0，
即，即，解得，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为
巩固练习.
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3 分，共 30分）
1．若，则下列不等式正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，当，时，则，错误，
，当，时，则，错误，
，当，时，则，错误，
，，，，正确，故选：D．
2．设，，则有　　
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，故选：A．
3．不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，解得，即不等式的解集为，故选：C.
4．若，，则下列不等式中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，由不等式的可加性可得，，故正确，
，，，，故错误，
，，，故正确，
，，，，故正确．
故选：B．
5．不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，解得：，故选：C.
6．记集合 ，， 则（ ）
A． B．或
C． D．
【答案】A
【解析】∵或，，所以，故选：A.
7．以下不等式中，与不等式同解的不等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵，∴，故选：C.
8．关于x的一元二次不等式的解集为，则的取值范围（ ）
A．a >0 B．01
【答案】B
【解析】要使一元二次不等式的解集为，则需满足，故选：B.
9．已知，.若，，则有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】由，得，得或，即，
又，，得，即是方程的两根，得，，故选：B.
10．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【解析】对于，若，当时，，故错误，
对于，若，，故，故正确，
对于，若，则，故错误，
对于，若，则，则，故错误，
故选：．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3 分，共 24分）
11．不等式的解集是 ．
【答案】
【解析】不等式化为，解得，故不等式的解集为，故答案为：.
12．不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】原不等式等价于x-5≥6或x-5≤-6，解这两个不等式得x≥11或x≤-1,所以原不等式的解集为.
13．不等式组的解集为 ．
【答案】
【解析】由，可得，解得或，故答案为：.
14．不等式组有解，则实数的满足的取值范围集合是 ．
【答案】
【解析】由不等式组可得，，要有解，则，解得，故答案为：.
15．若关于的不等式的解集是，则 ．
【答案】
【解析】由题设可知：关于的一元二次方程的两根为与，由韦达定理可得：，解得：，，故答案为：．
16．不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】不等式等价于-217．已知，，则的取值范围为 ．
【答案】，
【解析】，，，，故的取值范围是，．
18．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】当，即时，不等式化为，其解集为，符合题意；当，即时，由不等式的解集为得，解得，综上所述：的取值范围是，故答案为：.
三、解答题（本题共6小题，共46分，解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.）
19．（6分）比较与的大小关系．
【答案】
【解析】解：，
．
20．（6分）解不等式组.
【答案】
【解析】解：原不等式组等价于，即，其解集为x>4，因此，原不等式组的解集为.
21．（8分）解不等式：
【答案】
【解析】解：原不等式等价于，即，解得
所以，原不等式的解集为.
22．（8分）已知，，分别求，，的取值范围．
【答案】；；
【解析】解：，，又，；
，，．
，，，．
23．（8分）若关于的不等式的解集是，求的解集.
【答案】或
【解析】解：关于的不等式的解集是，和是方程的两个根，且，，解得，则等价于，即，解得或，故不等式的解集为或，故答案为：或.
24．（10分）已知集合，．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2)或
【解析】解：（1）由得解得，所以，因为，所以，即，解得，所以，所以.
（2）由(1)得，由得，解得，所以，因为，所以或，解得或

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