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1.1.1　集　合
第1课时　集合与元素
[学习目标]　1.通过实例了解集合与元素的含义,利用集合的基本属性解决一些简单的问题,能判断元素与集合的关系.2.识记常见数集的表示符号.
导语
问一下同学们,大家最喜欢上什么课 (嗯,有同学说体育课)在体育课上,体育老师常说的一句话就是“集合”,这个时候,同学们从四面八方集合到一起,而这个集合是一个动词,在我们数学课上,也有一个名词“集合”,比如在小学和初中,我们学习过自然数的集合,同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合等,为了进一步了解集合的有关知识,请同学们观察下面的几个例子.
一、元素与集合的概念
问题1　看下面的几个例子,观察并讨论它们有什么共同特点
(1)1~10之间的所有偶数;
(2)某中学今年入学的全体高一学生;
(3)所有正方形;
(4)到直线l的距离等于定长d的所有点;
(5)方程x2-3x＋2＝0的所有实数根;
(6)地球上的四大洋.
提示　以上例子中指的都是“所有的”,即把某种研究对象放在一起,研究对象可以是数、点、代数式,也可以是现实生活中各种各样的事物或人等.
知识梳理
在数学语言中,把一些对象放在一起考虑时,就说这些对象组成了一个集合或集,这些对象中的每一个,都叫作这个集合的一个元素.
二、元素与集合之间的关系
问题2　如果体育老师说“男同学打篮球,女同学跳绳”,你去打篮球吗
提示　打篮球的人可以组成一个集合,男生是该集合的元素,女生不是该集合的元素,所以是男生就去打篮球,是女生就不去打篮球.
知识梳理
1.元素与集合之间的关系
关系 概念 记法 读法
属于 若S是一个集合,a是S的一个元素 a∈S a属于S
不属于 若a不是集合S的元素 a S(或a S,aS) a不属于S
2.常用数集及记法
名称 自然数集 整数集 有理数集 实数集
记法 N Z Q R
注意点:
(1)元素与集合之间是属于或不属于关系,注意符号的书写.
(2)通常用R＋表示全体正实数组成的集合;类似的有R-,Z＋,N＋,Q-,….
(3)0属于自然数集.
例1　(1)(多选)已知不超过5的实数组成的集合为M,a＝,则 (　　)
A.a∈M B.a＋1 M
C.∈M D.a2 M
答案　ACD
解析　∵a＝<2＋2＝4<5,
∴a∈M,a＋1<4＋1＝5,
∴a＋1∈M,
∵-<5,
∴∈M,
∵a2＝()2＝5＋2>5,
∴a2 M.
(2)下列结论中,不正确的是 (　　)
A.若a∈N,则-a N
B.若a∈Z,则a2∈Z
C.若a∈Q,则|a|∈Q
D.若a∈R,则a3∈R
答案　A
解析　对于A,当a＝0时,显然不成立.
反思感悟　判断元素和集合关系的方法
(1)直接法:判断该元素在已知集合中是否出现即可.
(2)推理法:判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.
跟踪训练1　(1)用符号“∈”或“ ”填空:
0　　N;-3　　N;0.5　　Z;　　Z;　　Q;π　　R.
答案　∈　 　 　 　∈　∈
(2)已知集合A中元素x满足2x＋a>0,a∈R,若1 A,2∈A,则实数a的取值范围为　　　.
答案　-4解析　因为1 A,2∈A,
所以即-4三、集合的基本属性
问题3　问题1中的几个例子都能构成集合吗 它们的元素分别是什么
提示　(1)都能构成集合.(2)①2,4,6,8,10;②该中学今年入学的每一位高一学生;③正方形;④到直线l的距离等于定长d的点;⑤1,2;⑥太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋.
知识梳理
1.互异性:同一集合中的元素是互不相同的.
2.确定性:集合中的元素是确定的.亦即给定一个集合,任何一个元素属于或不属于这个集合是确定的.
3.无序性:集合中的元素没有顺序.
注意点:集合中的元素必须确定,不能是模棱两可的,任何两个元素都不能相同,且与顺序无关.
例2　(1)下列对象中不能构成一个集合的是 (　　)
A.某校比较出名的教师
B.方程x-2＝0的根
C.不小于3的自然数
D.所有锐角三角形
答案　A
解析　对于A,比较出名的标准不清,故不能构成集合;
对于B,x-2＝0 x＝2,方程的根确定,可以构成集合;
对于C,不小于3的自然数可以构成集合;
对于D,所有锐角三角形内角和确定且各角范围确定,可以构成集合.
(2)设集合S中含有三个元素1,a-1,a2,若4∈S,则a＝　　　　.
答案　-2或5
解析　∵4∈S,则有
①a-1＝4,∴a＝5,此时a2＝25,符合题意;
②a2＝4,∴a＝±2.
当a＝2时,a-1＝1,
∴a-1与1相同,不符合题意,
当a＝-2时,a-1＝-3,符合题意.
综上有a＝-2或5.
反思感悟　(1)判断一组对象能组成集合的条件
①能找到一个明确的标准,使得对于任何一个对象,都能确定它是不是给定集合的元素;
②任何两个对象都是不同的;
③对元素出现的顺序没有要求.
(2)已知集合求参数时,需检验集合中元素的互异性.
跟踪训练2　(1)下列说法中正确的是 (　　)
A.与定点A,B等距离的点不能组成集合
B.由“title”中的字母组成的集合中元素的个数为5
C.一个集合中有三个元素a,b,c,其中a,b,c是△ABC的三边长,则△ABC不可能是等腰三角形
D.高中学生中的游泳能手能组成集合
答案　C
解析　A不正确,与定点A,B等距离的点在AB的垂直平分线上,能组成集合;B不正确,由“title”中的字母组成的集合元素有t,i,l,e,共4个;C正确,一个集合中有三个元素a,b,c,故a,b,c互异,故不可能构成等腰三角形;D不正确,游泳能手没有确定的标准,故不能组成集合.
(2)设a,b是两个实数,集合A中含有0,b,三个元素,集合B中含有1,a,a＋b三个元素,若集合A与集合B的元素完全相同,则a＋2b＝　　　　.
答案　1
解析　由题意知a＋b＝0,所以＝-1,所以b＝1,a＝-1,所以a＋2b＝1.
四、集合的分类
问题4　20以内的素数组成集合S,S有多少个元素
提示　20以内有2,3,5,7,11,13,17,19,共8个素数,所以集合S有8个元素.
问题5　锐角三角形组成集合M,M有多少个元素
提示　锐角三角形有无数个,所以集合M有无数个元素.
知识梳理
1.有限集:元素个数有限的集合叫有限集(或有穷集).
2.无限集:元素无限多的集合叫无限集(或无穷集).
3.空集:没有元素的集合叫空集,记作 .空集也是有限集.
例3　下列集合哪些是空集 哪些是有限集 哪些是无限集
(1)一元二次方程x2-2x-3＝0的全体实数根组成的集合;
(2)满足条件x＋y＝1的所有实数组(x,y)组成的集合;
(3)满足条件x-1>0和2x＋3<0的实数x组成的集合;
(4)我国的少数民族组成的集合.
解　(3)是空集.(1)(4)是有限集.(2)是无限集.
反思感悟　判断集合是有限集、无限集或空集,关键是理解集合的含义,并求出元素,由元素的个数即可判断.
跟踪训练3　若由一元二次方程x2-ax＋a＋3＝0的实数根组成的集合是空集,求实数a的取值范围.
解　依题意,一元二次方程x2-ax＋a＋3＝0无实根,则Δ＝a2-4(a＋3)<0,
即a2-4a-12<0,解得-21.知识清单:
(1)元素与集合的概念.
(2)元素与集合的关系.
(3)集合的基本属性.
(4)常用数集的记法.
(5)集合的分类.
2.方法归纳:直接法、推理法.
3.常见误区:自然数集中容易遗忘0这个元素.集合中忽略互异性的判断.
1.(多选)下列对象能构成集合的有 (　　)
A.接近于1的所有正整数
B.小于0的实数
C.(2 024,1)与(1,2 024)
D.未来世界的高科技产品
答案　BC
解析　A中接近于1的所有正整数标准不明确,故不能组成集合;B中小于0的实数是一个明确的标准,能组成集合;C中(2 024,1)与(1,2 024)是两个不同的点,是确定的,能组成集合;D中未来世界的高科技产品标准不明确,不能组成一个集合.
2.集合M是由大于-2且小于1的实数构成的,则下列关系正确的是 (　　)
A.∈M B.0 M
C.1∈M D.-∈M
答案　D
解析　>1,故A错;
-2<0<1,故B错;
1 M,故C错;
-2<-<1,故D正确.
3.设A为所有亚洲国家组成的集合,则中国　　A,美国　　A,印度　　A,英国　　A.(用符号“∈”或“ ”填空)
答案　∈　 　∈　
4.已知集合A中含有两个元素1,a,则实数a的取值范围是　　　　;若a2∈A,则a＝　　　　.
答案　a≠1　0或-1
解析　∵A中元素不能相同,∴a≠1,
若a2∈A,∴a2＝1或a2＝a,
解得a＝-1或1或0,又a≠1,故a＝0或-1.

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