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概率5分小题问题的类型与解法
概率与排列组合问题是近几年高考的热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，只要是高考（或高三诊断考试）试卷，就必然会涉及到概念与组合的问题。从题型上看可能是选择题（或判断题），但也可能参透到统计与概率的大题之中，这里主要探导概念与排列组合5分小题的问题；难度系数一般为低（或中）档。纵观近几年高考（或高三诊断考试）试题，归结起来，概率与组合5分小题问题主要包括：①事件与事件的关系问题；②随机事件的概率；③古典概率；④几何概率；⑤概率综合问题等几种类型。各种类型问题的结构具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答概率与排列组合5分小题问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地予以解答呢？下面通过近几年高考（或高三诊断考试）试题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取一个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，
丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”
则（ ）（2021全国高考新高考I）
A 甲与丙相互独立 B 甲与丁相互独立 C 乙与丙相互独立 D 丙与丁相互独立
2、从1，2，3，------，7这7个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数。上述事件中，是对立事件的是（ ）
『思考问题1
（1）【典例1】是事件与事件之间的关系问题，解答这类问题需要理解事件，互斥事件和对立事件的定义，了解事件与事件之间的包含关系，相等关系，并事件（或和事件），交事件（或积事件），互斥事件，对立事件的意义，尤其要注意互斥事件与对立事件的区别和联系；
（2）互斥事件与对立事件的关系是：①联系：都是不能同时发生的两个事件，对立事件是互斥事件的一种特殊情况；②区别：两个互斥事件可以都不发生，但两个对立事件必须有一个发生。
【典例2】解答下列问题：
1、（理）编号为1，2，3，4，5，6的六个小球，不放回地抽取3次，记m表示前两个球号码的平均数，记n表示前三个球号码的平均数，则m于n差的绝对值不超过0。5的概率是
。
（文）甲，乙，丙，丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ）（2024全国高考甲卷）
A B C D
2、甲，乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有1，3，5，7，乙的卡片上分别标有2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人从各自持有的卡片中随机选取一张，丙比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0发，然后各自弃置此轮所选的卡片，（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）。则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 （2024全国高考新高考I）
3、（理）现有四种不同的颜色要对如图形中的五个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为（ ）
A B C D
（文）现有两种不同的颜色要对如图形中的三个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为（ ）（成都市高2021级高三二诊）
A B C D
4、（理）有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球俱乐部或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（ ）
A 0.8 B 0.4 C 0.2 D 0.1
（文）某校文艺部有4名学生，其中高一，高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）（2023全国高考甲卷）
A B C D
5、在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概率为（0<<1），收到0的概率为1-；发送1时，收到0的概率为（0<<1），收到1的概率为1-。考虑两种方案：单次传输和三次传输，单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次。收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）（2023全国高考新高考II）
A 采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1，的概率为（1-）（1-）B 采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1，的概率为（1-）C 采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为（1-）+（1-） D 当0<<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
6、（理）甲和乙两位同学准备在体育课上进行一场乒乓球比赛，假设甲对乙每局获胜的概率为，比赛采取三局两胜制（当一方获得两局胜利时，该方获胜，比赛结束），则甲获胜的概率为（ ）（成都市高2020级高三二诊）
A B C D
（文）某同学计划2023年高考结束后，在A，B，C，D，E五所大学中随机选两所去参观，则A大学恰好被选中的概率为（ ）
A B C D
7、（理）世界大学生运动会（简称大运会）由国际大学生体育联合会主办，每两年举办一届，是规模仅次于奥运会的世界综合性运动会，第31届大运会将于2023年7月28日在成都召开，为办好本届大运会，组委会精心招募了一批志愿者，现准备将甲，乙等6名志愿者安排进“东安湖体育公园”，“凤凰山体育公园”，“四川省体育馆”工作，每个地方安排两人且每人只能在一个场馆工作，若每位志愿者被分配到各个场馆的可能性相同，则甲，乙两人被安排在同一个场馆的概率为（ ）
A B C D
（文）世界大学生运动会（简称大运会）由国际大学生体育联合会主办，每两年举办一届，是规模仅次于奥运会的世界综合性运动会，第31届大运会将于2023年7月28日在成都召开，为办好本届大运会，组委会精心招募了一批志愿者，现准备将甲，乙两名志愿者安排进“东安湖体育公园”，“凤凰山体育公园”，“四川省体育馆”工作，每人只能在一个场馆工作，若每位志愿者被分配到各个场馆的可能性相同，则甲，乙两人被安排在同一个场馆的概率为（ ）
A B C D
8、某棋手与甲，乙，丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立，已知该棋手与甲，乙，丙比赛获胜的概率分别为，，，且>>>0，记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ） （2022全国高考乙卷）
A p与该棋手和甲，乙，丙的比赛次序无关 B 该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C 该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D 该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
『思考问题2
（1）【典例2】是随机事件概率的计算问题，解答这类问题需要理解随机事件概率的定义，掌握随机事件概率的计算公式与基本方法；
（2）随机事件概率计算的基本方法是：①求出试验发生的总数（或一次试验中可能出现结果的总数）n；②确定某个事件在试验中出现的次数（或在一次试验中某事件包含的结果数11m；③运用公式：P（A）=求出该事件发生的概率。
［练习2］解答下列问题：
1、一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达路口时，看见不是红灯的概率是 （成都市2019级高三零诊）
2、（理）已知某篮球运动员每次罚球命中的概率为0.4，该运动员进行罚球练习（每次罚球互不影响），则在罚球命中两次时，罚球次数恰为4次的概率是（ ）
A B C D
（文）从1，2，3，4，5中随机抽取三个数，则这三个数能成为一个三角形三边长的概率为（ ）（成都市2019级一诊）
A B C D
3、袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球和2个白球，从中不放回地依次随机摸出两个球，则摸出的两个球颜色相同的概率为（ ）（成都市2021高三二诊）
A B C D
【典例3】解答下列问题：
1、 某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则
1， 乙两位参赛同学抽取到不同主题的概率为（ ）（2023全国高考乙卷文）
A B C D
2、（理）从正方体的8个顶点中任选4个，则这四个点在同一平面上的概率为 。
（文）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片的数字之积是4的倍数的概率为（ ）（2022全国高考甲卷）
A B C D
3、从甲，乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲，乙都入选的概率为 （2022
全国高考乙卷）
『思考问题3』
（1）【典例3】是古典概率的计算问题，解答这类问题需要理解基本事件，古典概率的定义，掌握确定一个事件所含基本事件个数和判断一个概率模型是不是古典概率的基本方法；
（2）基本事件具有的特征是：①任何两个基本事件是互斥的，②任何事件（不可能事件除外）都可以表示成几个基本事件的和；
（3）古典概率具有的特征是：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，②每个基本事件出现的可能性相等；
（4）求古典概率的基本方法是：①求出试验发生的总数（或一次试验中可能出现结果的总数）n；②确定某个事件在试验中出现的次数（或在一次试验中某事件包含的结果数） m；③运用公式：P（A）=求出该事件发生的概率。
［练习3］解答下列问题：
1、从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）（2022全国高考新高考I卷）
A B C D
2、（理）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A B C D
（文）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）（2021全国高考甲卷）
A 0.3 B 0.5 C 0.6 D 0.8
【典例4】解答下列问题：
1、七巧板又称七巧图，智慧版，是一种古老的中国传统智力玩具，据清代陆以潜《冷芦杂识》说“宋黄伯思宴几图，以方几七，长段相参，衍为二十五体，变为六十八名，明严甄蝶几图，则又变通其制，以勾股之形，作三角相错形，如蝶翅，其式三，其制六，其数十有三，其变化之式，凡一百有余，近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变换，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之。”如图是一个用七巧板拼成的三角形（其中①②两块全等的小型等腰直角三角形，③为一块中型等腰直角三角形，④⑤为两块全等的大型等腰直角三角形，⑥为一块正方形，⑦为一块平行四边形），现从该三角形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）（成都市高2021级高三零诊）
A B C D
2、设O为平面直角坐标系的原点，在区域{（x，y）|1+4}随机取一点，记该点
为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（ ）（2023全国高考乙卷）
A B C D
3、在区间（-2，4）内随机取一个数x，使得-5.+4<0成立的概率为（ ）（成都市2019级二诊）
A B C D
4、在区间（0，）随机取1个数，则取到的数小于的概率为（ ）（2021全国高考乙卷文）
A B C D
5、如图所示的矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数
得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积
为（ ）
A B C 10 D 不能估计
6、由不等式组 x0，确定的平面区域为，由不等式组 x+y1确定的平面区域为， y0， x+y-2，若在中随机取
y-x-20，一点，则该点恰好在内的概率为 。
7、在正方形中随机撒一把豆子，求豆子落在正方形内切圆上的概率；
8、假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6.30—7.30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7.00—8.00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？
『思考问题4』
（1）【典例4】是求几何概率的问题，解答这类问题需要理解几何概率的定义，注意几何概率的特点，掌握几何概率计算的基本方法；
（2）求几何概率的基本方法是：①求出整体几何的度量（长度，面积或体积）；②求出某事件包含几何的度量（长度，面积或体积）； ③运用公式：P（A）= 求出该事件的几何概率。
［练习4］解答下列问题：
1、已知正三棱锥S—ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得＜的概率是（ ）
A B C D
2、一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（ ）
A B C D
概率与排列组合5分小题问题的类型与解法
概率与排列组合问题是近几年高考的热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，只要是高考（或高三诊断考试）试卷，就必然会涉及到概念与组合的问题。从题型上看可能是选择题（或判断题），但也可能参透到统计与概率的大题之中，这里主要探导概念与排列组合5分小题的问题；难度系数一般为低（或中）档。纵观近几年高考（或高三诊断考试）试题，归结起来，概率与组合5分小题问题主要包括：①事件与事件的关系问题；②随机事件的概率；③古典概率；④几何概率；⑤概率综合问题等几种类型。各种类型问题的结构具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答概率与排列组合5分小题问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地予以解答呢？下面通过近几年高考（或高三诊断考试）试题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取一个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，
丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”
则（ ）（2021全国高考新高考I）
A 甲与丙相互独立 B 甲与丁相互独立 C 乙与丙相互独立 D 丙与丁相互独立
【解析】
【考点】①相互独立事件定义与性质；②判断两个事件是否是相互独立事件的基本方法。
【解答思路】根据相互独立事件的性质，运用判断两个事件是否是相互独立事件的基本方法分别对各选项的两个事件是否是相互独立事件进行判断就可得出选项。
【详细解答】丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，第一次取出的球的数字至少是2，也就是说丙事件中第一次取出的球的数字不能是1，甲事件与丙事件两个事件不可能同时发生，且至少有一个发生，即甲与丙相互独立，A正确，选A。
2、从1，2，3，------，7这7个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数。上述事件中，是对立事件的是（ ）
A ① B ②④ C ③ D ①③
【解析】
【知识点】①事件的定义与性质；②对立事件的定义与性质；③判断对立事件的基本方法。
【解题思路】运用对立事件的性质对各问题中涉及的两个事件分别进行判断就可得出选项。
【详细解答】对①，任取的两个数中恰有一个是偶数，那么另一个就是奇数，同时任取的两个数中恰有一个是奇数，那么另一个就是偶数，两个事件有可能同时发生，不是对立事件；对②，任取的两个数中至少有一个奇数，也有可能两个都是奇数，两个事件有可能同时发生，不是对立事件；对③，任取的两个数中至少有一个奇数，也有可能两个都是奇数，但不可能两个都是偶数，两个事件不可能同时发生，且有一个必定发生，是对立事件；对④，任取的两个数中至少有一个奇数，包含恰有一个奇数和一个偶数的事件，任取的两个数中至少有一个偶数，包含恰有一个偶数和一个奇数的事件，不是对立事件，
C正确，选C。
『思考问题1
（1）【典例1】是事件与事件之间的关系问题，解答这类问题需要理解事件，互斥事件和对立事件的定义，了解事件与事件之间的包含关系，相等关系，并事件（或和事件），交事件（或积事件），互斥事件，对立事件的意义，尤其要注意互斥事件与对立事件的区别和联系；
（2）互斥事件与对立事件的关系是：①联系：都是不能同时发生的两个事件，对立事件是互斥事件的一种特殊情况；②区别：两个互斥事件可以都不发生，但两个对立事件必须有一个发生。
【典例2】解答下列问题：
1、（理）编号为1，2，3，4，5，6的六个小球，不放回地抽取3次，记m表示前两个球号码的平均数，记n表示前三个球号码的平均数，则m与n差的绝对值不超过0。5的概率是
。
（文）甲，乙，丙，丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ）（2024全国高考甲卷）
A B C D
【解析】
【考点】①组合定义与性质；②排列定义与性质；③随机事件定义与性质；④求随机事件概率的基本方法。
【解题思路】（理）根据组合和随机事件的性质，运用求随机事件概率的基本方法，结合问题条件就可求出m与n差的绝对值不超过0。5的概率。（文）根据排列和随机事件的性质，运用求随机事件概率的基本方法，结合问题条件求出丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率就可得出选项。
【详细解答】（理）设抽出的3张卡片分别为a，b，c，m与n差的绝对值不超过0。5的事件为A， 从6张卡片中随机抽取3张的基本事件有=6 5 4=120，m= ，n= ，|m-n|=|-|=||0.5，|a+b-2c|3，-3a+b-2c3，
当c=1或c=6时，a，b的取值均匀2种可能，当c=2或c=5时，a，b的取值均有10种可能，
当c=3或c=4时，a，b的取值均有16可能，m与n差的绝对值不超过0。5的基本事件有4+20+32
=56，p（A）==，即m与n差的绝对值不超过0。5的概率是。
（文）设丙不在排头，且甲或乙在排尾的事件为B，甲，乙，丙，丁四人排成一列的基本事件有4 3 21=24，丙不在排头，且甲或乙在排尾的基本事件有2 2 2=8，p（B）==，B正确，选B。
2、甲，乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有1，3，5，7，乙的卡片上分别标有2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人从各自持有的卡片中随机选取一张，丙比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0发，然后各自弃置此轮所选的卡片，（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）。则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 （2024全国高考新高考I）
【解析】
【考点】①互斥事件定义与性质；②相互独立事件定义与性质；③互斥事件概率定义与性质；④求互斥事件概率的基本方法；⑤相互独立事件概率定义与性质；⑥求相互独立事件(或互斥事件)概率的基本方法。
【解题思路】根据互斥事件，相互独立事件，互斥事件概率和相互独立事件概率的性质，运
用求互斥事件概率和相互独立事件概率的基本方法，结合问题条件就可求出四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率。
【详细解答】设四轮比赛后，甲的总得分不小于2的事件为A，当甲选取标有数字1的卡片时，甲只能得0分；当甲选取标有数字3的卡片时，甲得0分的概率为，甲得1分的概率为，当甲选取标有数字5的卡片时，甲得0分的概率为，甲得1分的概率为，当甲选取标有数字7的卡片时，甲得0分的概率为，甲得1分的概率为，p（A）=
+++=，即四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为。
3、（理）现有四种不同的颜色要对如图形中的五个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为（ ）
A B C D
（文）现有两种不同的颜色要对如图形中的三个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为（ ）（成都市高2021级高三二诊）
A B C D
【解析】
【考点】①随机事件定义与性质；②组合定义与性质；③排列定义与性质；④求随机事件概率的基本方法。
【解题思路】（理）根据事件事件，组合和排列的性质，运用求随机事件概率的基本方法，结合问题条件求出其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率就可得出选项。（文）根据随机事件的性质，运用求随机事件概率的基本方法，结合问题条件求出其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率就可得出选项。
【详细解答】（理）设其中任意有公共边的两块着不同颜色的事件为A， 用四种不同的颜色对如图形中的五个部分进行着色的方法共有44444=1024种，其中任意有公共边的两块着不同颜色的着色的方法有43232=144种，p（A）==，C正确，选C。（文）设其中任意有公共边的两块着不同颜色的事件为A， 用两种不同的颜色对如图形中的三个部分进行着色的方法共有222=8种，其中任意有公共边的两块着不同颜色的着色的方法有211=2种，p（A）==，A正确，选A。
4、（理）有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球俱乐部或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（ ）
A 0.8 B 0.4 C 0.2 D 0.1
（文）某校文艺部有4名学生，其中高一，高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）（2023全国高考甲卷）
A B C D
【解析】
【考点】①并集定义与性质；②交集定义与性质；③条件概率定义与性质；④求条件概率的
基本方法；⑤随机事件定义与性质；⑥随机事件概率定义与性质；⑦求随机事件概率基本方法。
【解题思路】（理）根据并集和交集的性质，结合问题条件求出既报足球俱乐部又报乒乓球俱乐部的人数，运用条件概率的性质和求条件概率的基本方法，求出某人既报足球俱乐部，又报乒乓球俱乐部的概率就可得出选项。（文）根据随机事件和随机事件概率的性质，运用求随机事件概率的基本方法，结合问题条件求出从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，这2名学生来自不同年级的概率就可得出选项。
【详细解答】（理）设某人报足球俱乐部的事件A，报乒乓球俱乐部的事件为B，既报足球俱乐部，又报乒乓球俱乐部的事件为A|BA+B-AB=AB,AB=A+B-AB=50+60-70=40，p（AB）==，p(A)==，p(A|B)===0.8，A正确，选A。（文）
设高一年级的两名学生分别为，，高二年级的两名学生分别为，，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，这2名学生来自不同年级的事件为C，从这4名学生中随机选2名的基本事件有，，，，，共6个，这2名学生来自不同年级的基本事件有，，，共4个，p(C)==，D
正确，选D。
5、在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概率为（0<<1），收到0的概率为1-；发送1时，收到0的概率为（0<<1），收到1的概率为1-。考虑两种方案：单次传输和三次传输，单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次。收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）（2023全国高考新高考II）
A 采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1，的概率为（1-）（1-）B 采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1，的概率为（1-）C 采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为（1-）+（1-） D 当0<<0.5时，
若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
【解析】
【考点】①互斥事件定义与性质；②相互独立事件定义与性质；③互斥事件概率定义与性质；④求互斥事件概率的基本方法；⑤相互独立事件概率定义与性质；⑥求相互独立事件概率的基本方法。
【解题思路】根据互斥，相互独立事件，互斥事件概率和相互独立事件概率的性质，运用求互斥事件概率和相互独立事件概率的基本方法，结合问题条件求出相应事件的概率，从而对各选项的正确与错误进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1，的概率为（1-）（1-）（1-）=（1-）（1-），A正确；对B，采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1，的概率为（1-）（1-）=（1-），B正确；对C，采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为（1-）（1-）+（1-）（1-）+（1-）（1-）+（1-）（1-）（1-）=3（1-）+（1-），
C错误；对D，当0<<0.5时，若发送0，采用三次传输方案译码为0的概率为3（1-）+（1-），若发送0，采用单次传输方案译码为0的概率为（1-），3（1-）+（1-）-（1-）=（1-）[3（1-）+（1-）-1]=（1-）（3-3+1-2+-1）
=（1-）（1-2）>0，当0<<0.5时，若发送0，采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率，D正确，综上所述，A，B，D正确，选ABD。
6、（理）甲和乙两位同学准备在体育课上进行一场乒乓球比赛，假设甲对乙每局获胜的概率为，比赛采取三局两胜制（当一方获得两局胜利时，该方获胜，比赛结束），则甲获胜的概率为（ ）（成都市高2020级高三二诊）
A B C D
（文）某同学计划2023年高考结束后，在A，B，C，D，E五所大学中随机选两所去参观，则A大学恰好被选中的概率为（ ）
A B C D
【解析】
【考点】①互斥事件定义与性质；②相互独立事件定义与性质；③求互斥事件概率的基本方法；④求相互独立事件概率的基本方法；⑤随机事件定义与性质；⑥求随机事件概率的基本方法。
【解题思路】（理）根据互斥事件和相互独立事件的性质，运用求互斥事件概率和相互独立事件概率的基本方法，求出甲获胜的概率就可得出选项。（文）根据随机事件的性质，运用求随机事件概率的基本方法，求出A大学恰好被选中的概率就可得出选项。
【详细解答】（理）设在一局比赛中甲获胜的事件为A，甲失败的事件为，这场比赛中甲获胜的事件为B， 这场比赛中甲获胜的可能是甲第一，第二局获胜，或甲第一，第三局获胜，或甲第二，第三局获胜，p（B）=++=++=，B正确，选B。
（文）设A大学恰好被选中的事件为F，在A，B，C，D，E五所大学中随机选两所的基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10个，A大学恰好被选中的基本事件有AB，AC，AD，AE共4个，p（F）==，B正确，选B。
7、（理）世界大学生运动会（简称大运会）由国际大学生体育联合会主办，每两年举办一届，是规模仅次于奥运会的世界综合性运动会，第31届大运会将于2023年7月28日在成都召开，为办好本届大运会，组委会精心招募了一批志愿者，现准备将甲，乙等6名志愿者安排进“东安湖体育公园”，“凤凰山体育公园”，“四川省体育馆”工作，每个地方安排两人且每人只能在一个场馆工作，若每位志愿者被分配到各个场馆的可能性相同，则甲，乙两人被安排在同一个场馆的概率为（ ）
A B C D
（文）世界大学生运动会（简称大运会）由国际大学生体育联合会主办，每两年举办一届，是规模仅次于奥运会的世界综合性运动会，第31届大运会将于2023年7月28日在成都召开，为办好本届大运会，组委会精心招募了一批志愿者，现准备将甲，乙两名志愿者安排进“东安湖体育公园”，“凤凰山体育公园”，“四川省体育馆”工作，每人只能在一个场馆工作，若每位志愿者被分配到各个场馆的可能性相同，则甲，乙两人被安排在同一个场馆的概率为（ ）
A B C D
【解析】
【考点】①组合数计算公式及运用；②排列数计算公式及运用；③随机事件概率定义与性质；④求随机事件概率的基本方法。
【解题思路】（理）根据随机事件概率性质，运用组合数，排列数计算公式和求随机事件概率的基本方法，求出甲，乙两人被安排在同一个场馆的概率就可得出选项。（文）根据随机事件概率性质，运用求随机事件概率的基本方法，求出甲，乙两人被安排在同一个场馆的概率就可得出选项。
【详细解答】（理）设甲，乙两人被安排在同一个场馆的事件为A，将6人平均分成三组，再安排到三个场馆的基本事件为n===90，甲，乙两人被安排在同一个场馆的基本事件为m===18，p（A）==，C正确，选C。
（文）设甲，乙两人被安排在同一个场馆的事件为A，甲安排到三个场馆分别为，，，乙安排到三个场馆分别为，，，将甲，乙两人安排到三个场馆的基本事件为，，，，，，，，共9个，甲，乙两人被安排在同一个场馆的基本事件为，，共3个，p（A）==，C正确，选C。
8、某棋手与甲，乙，丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立，已知该棋手与甲，乙，丙比赛获胜的概率分别为，，，且>>>0，记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ） （2022全国高考乙卷）
A p与该棋手和甲，乙，丙的比赛次序无关 B 该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C 该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D 该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
【解析】
【考点】①相互独立事件定义与性质；②求相互独立事件同时发生概率的基本方法。
【解答思路】根据相互独立事件的性质，运用求相互独立事件同时发生概率的基本方法，结合问题条件分别求出该棋手在第二盘与甲比赛，第二盘与乙比赛，第二盘与丙比赛的概率，就可得出选项。
【详细解答】设该棋手第二盘与甲比赛的事件为A，该棋手第二盘与乙比赛的事件为B，该棋手第二盘与丙比赛的事件为C，各盘比赛结果相互独立，该棋手与甲，乙，丙比赛获胜的概率分别为，，，且>>>0，p（A）=+，p（B）=+，p（C）=+， p（C）- p（A）=+--=（-）>0，
p（C）- p（B）=+--=（-）>0，p（B）- p（A）=+
--=(-)>0， p（C）> p（B）> p（A），D正确，选D。
『思考问题2
（1）【典例2】是随机事件概率的计算问题，解答这类问题需要理解随机事件概率的定义，掌握随机事件概率的计算公式与基本方法；
（2）随机事件概率计算的基本方法是：①求出试验发生的总数（或一次试验中可能出现结果的总数）n；②确定某个事件在试验中出现的次数（或在一次试验中某事件包含的结果数11m；③运用公式：P（A）=求出该事件发生的概率。
［练习2］解答下列问题：
1、一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达路口时，看见不是红灯的概率是 （成都市2019级高三零诊）（答案：到达路口时，看见不是红灯的概率是。）
2、（理）已知某篮球运动员每次罚球命中的概率为0.4，该运动员进行罚球练习（每次罚球互不影响），则在罚球命中两次时，罚球次数恰为4次的概率是（ ）（答案：C）
A B C D
（文）从1，2，3，4，5中随机抽取三个数，则这三个数能成为一个三角形三边长的概率为（ ）（成都市2019级一诊）（答案：C）
A B C D
3、袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球和2个白球，从中不放回地依次随机摸出两个球，则摸出的两个球颜色相同的概率为（ ）（成都市2021高三二诊）（答案：B）
A B C D
【典例3】解答下列问题：
1、 某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则
甲，乙两位参赛同学抽取到不同主题的概率为（ ）（2023全国高考乙卷）
A B C D
【解析】
【考点】①古典概型定义与性质；②求古典概率的基本方法。
【解题思路】根据古典概型的性质，运用求古典概率的基本方法，结合问题条件求出甲，乙两位参赛同学抽取到不同主题的概率就可得出选项。
【详细解答】设甲，乙两位参赛同学抽取到不同主题的事件为A，甲，乙两位参赛同学各自从6个主题选取一个主题的不同选法有66=36种，甲，乙两位参赛同学抽取到不同主题
的不同选法有65=30种，p（A）==， A正确，选A。
2、（理）从正方体的8个顶点中任选4个，则这四个点在同一平面上的概率为 。
（文）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片的数字之积是4的倍数的概率为（ ）（2022全国高考甲卷）
A B C D
【解析】
【考点】①正方体定义与性质；②组合数计算公式及运用；③古典概率定义与性质；④求古典概率的基本方法。
【解答思路】（理）根据正方体和古典概率的性质，运用组合数计算公式和求古典概率的基本方法，结合问题条件就可求出从正方体的8个顶点中任选4个，这四个点在同一平面上的概率。（文）根据古典概率的性质，运用求古典概率的基本方法，结合问题条件求出从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，抽到的2张卡片的数字之积是4的倍数的概率就可得出选项。
【详细解答】（理）设从正方体的8个顶点中任选4个，这四个点在同一平面上的事件为A，从正方体的8个顶点中任选4个的基本事件为==70（个），这四个点在同一平面上的基本事件为12个，P（A）==，即从正方体的8个顶点中任选4个，这四个点在同一平面上的概率为。（文）设从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，抽到的2张卡片的数字之积是4的倍数的事件为A，从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张的基本事件有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15个，抽到的2张卡片的数字之积是4的倍数的基本事件有：（1，4），（2，4），（2，6），（3，4），（4，5），（4，6）共6个，p（A）==，C正确，选C。
3、从甲，乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲，乙都入选的概率为 （2022全国高考乙卷）
【解析】
【考点】①组合定义与性质；②组合数计算公式及运用；③古典概率定义与性质；④求古典概率的基本方法。
【解答思路】（理）根据组合的性质和组合数计算公式，结合问题条件分别求出从甲，乙等5名同学中随机选3名和选出的3名同学中包含甲，乙两同学的组合数，运用古典概率的性质和求古典概率基本方法求出从甲，乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，甲，乙都入选的概率，就可得出选项。（文）设5名同学分别为，，，，，根据古典概率的性质，运用求古典概率的基本方法，结合问题条件求出从甲，乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，甲，乙都入选的概率，就可得出选项。
【详细解答】（理）设从甲，乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，甲，乙都入选的事件为A， 从甲，乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作的基本事件为=
=10，从甲，乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，甲，乙都入选的基本事件为
=3，p（A）=。（文）设从甲，乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，甲，乙都入选的事件为B，5名同学分别为，，，，，从甲，乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作的基本事件有：，，，，
，，，，，共10个，从甲，乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，甲，乙都入选的基本事件有：，，共3个，p（B）=。
『思考问题3』
（1）【典例3】是古典概率的计算问题，解答这类问题需要理解基本事件，古典概率的定义，掌握确定一个事件所含基本事件个数和判断一个概率模型是不是古典概率的基本方法；
（2）基本事件具有的特征是：①任何两个基本事件是互斥的，②任何事件（不可能事件除外）都可以表示成几个基本事件的和；
（3）古典概率具有的特征是：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，②每个基本事件出现的可能性相等；
（4）求古典概率的基本方法是：①求出试验发生的总数（或一次试验中可能出现结果的总数）n；②确定某个事件在试验中出现的次数（或在一次试验中某事件包含的结果数） m；③运用公式：P（A）=求出该事件发生的概率。
［练习3］解答下列问题：
1、从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）（2022全国高考新高考I卷）（答案：D）
A B C D
2、（理）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）（答案：C）
A B C D
（文）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）（2021全国高考甲卷）
A 0.3 B 0.5 C 0.6 D 0.8 （答案：C）
【典例4】解答下列问题：
1、七巧板又称七巧图，智慧版，是一种古老的中国传统智力玩具，据清代陆以潜《冷芦杂识》说“宋黄伯思宴几图，以方几七，长段相参，衍为二十五体，变为六十八名，明严甄蝶几图，则又变通其制，以勾股之形，作三角相错形，如蝶翅，其式三，其制六，其数十有三，其变化之式，凡一百有余，近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变换，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之。”如图是一个用七巧板拼成的三角形（其中①②两块全等的小型等腰直角三角形，③为一块中型等腰直角三角形，④⑤为两块全等的大型等腰直角三角形，⑥为一块正方形，⑦为一块平行四边形），现从该三角形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）（成都市高2021级高三零诊）
A B C D
【解析】
【考点】①正方形定义与性质；②等腰直角三角形定义与性质；③平行四边形定义与性质；④几何概率定义与性质；⑤求几何概率的基本方法。
【解题思路】如图，根据正方形，等腰直角三角形和平行四边形的性质，结合问题条件分别求出边阴影部分和三角形的面积，运用几何概率的性质和求几何概率的基本方法求出从该三角形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率，就可得出选项。
【详细解答】设从该三角形中任取一点，则此点取自阴影部分的事件为A，如图，小型等腰直角三角形的直角边长为1，=11+21=+1=，
=222=8，p（A）===，B正确，选B。
2、设O为平面直角坐标系的原点，在区域{（x，y）|1+4}随机取一点，记该点
为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（ ）（2023全国高考乙卷）
A B C D
【解析】
【考点】①几何概型定义与性质；②求几何概率的基本方法。
【解题思路】根据几何概型的性质，运用求几何概率的基本方法，结合问题条件求出直线OA的倾斜角不大于的概率就可得出选项。
【详细解答】设直线OA倾斜角不大于的事件为B，区域{（x，y）|1+4}表示以原点为圆心，半径为2和1之间的圆环，直线OA的倾斜角不大于包括第一，第三象限的两个部分，p（B）=2/2=， C正确，选C。
3、在区间（-2，4）内随机取一个数x，使得-5.+4<0成立的概率为（ ）（成都市2019级二诊）
A B C D
【解析】
【考点】①指数定义与性质；②数学换元法及运用；③求解一元二次不等式的基本方法；④几何概率定义与性质；④求几何概率的基本方法。
【解题思路】根据指数的性质和数学换元法，得到关于t的一元二次不等式，运用求解一元二次不等式的基本方法求出t的取值范围，从而得到x的取值范围，利用几何概率的性质和求几何概率的基本方法求出在区间（-2，4）内随机取一个数x，使得-5.+4<0成立的概率就可得出选项。
【详细解答】设在区间（-2，4）内随机取一个数x，使得-5.+4<0成立的事件为A，t=，t（0,+ ）, -5.+4<0, -5t+4<0, 14、在区间（0，）随机取1个数，则取到的数小于的概率为（）（2021全国高考乙卷文）
A B C D
【解析】
【考点】①几何概率定义与性质；②求几何概率的基本方法。
【解答思路】根据几何概率的性质，运用求几何概率的基本方法，结合问题条件求出在区间（0，）随机取1个数，取到的数小于的概率就可得出选项。
【详细解答】设在区间（0，）随机取1个数，取到的数小于的事件为A，区间（0，）的长度为个单位长度，取到的数小于的长度为个单位长度，p（A）==，B正确，选B。
5、如图所示的矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数
得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积
为（ ）
A B C 10 D 不能估计
【解析】
【知识点】①几何概率的定义与性质；②求几何概率的基本方法。
【解题思路】运用几何概率的性质和基本求法，结合问题条件求出黄豆落在阴影部分的概率，从而得出阴影部分的面积就可得出选项。
【详细解答】设黄豆落在阴影部分的事件为A，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，p（A）==，=52=10， p（A）=，
=10=，A正确，选A。
6、由不等式组 x0，确定的平面区域为，由不等式组 x+y1确定的平面区域为， y0， x+y-2，若在中随机取
y-x-20，一点，则该点恰好在内的概率为 。
【解析】
【知识点】①几何概率的定义与性质；②求几何概率的基本方法。
【解题思路】运用几何概率性质和基本求法，结合问题条件就可求出该点恰好在内的概率。
【详细解答】设该点恰好在内的事件为A，作出平面 y
区域为，平面区域为如图所示， = 2 2
=2，= - =2-=， 0 x
p（A）===。
7、在正方形中随机撒一把豆子，求豆子落在正方形内切圆上的概率；
【解析】
【知识点】①几何概率的定义与性质；②求几何概率的基本方法。
【解题思路】运用几何概率的性质和基本求法，结合问题条件就可求出豆子落在正方形内切圆上的概率。
【详细解答】设豆子落正方形内切圆上的事件为A，正方形的边长为1，=11=1，
==，p（A）==。
8、假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6.30—7.30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7.00—8.00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？
【解析】
【知识点】①几何概率的定义与性质；②求几何概率的基本方法。
【解题思路】运用几何概率的性质和基本求法，结合问题条件就可求出父亲在离开家前能得到报纸的概率。
【详细解答】根据题意作出图像如图所示，图中 y
阴影部分的区域父亲在离开家前能得到报纸，空白 7.30
部分区域父亲在离开家前不能得到报纸，p（A） 7.00
=，即父亲在离开家前能得到报纸的概率是。 7.00 7.30 8.00 x
『思考问题4』
（1）【典例4】是求几何概率的问题，解答这类问题需要理解几何概率的定义，注意几何概率的特点，掌握几何概率计算的基本方法；
（2）求几何概率的基本方法是：①求出整体几何的度量（长度，面积或体积）；②求出某事件包含几何的度量（长度，面积或体积）； ③运用公式：P（A）= 求出该事件的几何概率。
［练习4］解答下列问题：
1、已知正三棱锥S—ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得＜的概率是（ ）（答案：D）
A B C D
2、一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（ ）
A B C D （答案：C）

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