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高考试题中排列组合与二项式定理问题的类型与解法
大家知道，排列组合及二项式定理问题是近几年高考的热点问题之一，每年高考试卷中必有一个五分小题，有时在大题中也会涉及到排列组合的问题。从题型上，以选择题或填空题为主，难度系数为低档（或中档）。纵观近几年高考试题，归结起来排列组合与项式定理问题主要包括：①排列组合的综合问题；②二项定理及运用；③排列组合与概率的综合问题等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答排列组合及二项式定理问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过典型例题的详细解析，来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、 在如图的44方格表中选4个方格，要求每 11 21 31 40
行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选 12 22 33 42
法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的 13 22 33 43
四个数之和的最大值是 。 15 24 34 44
2、有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六，星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ）(2023全国高考甲卷理）
A 120 B 60 C 40 D 30
3、甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读两种，则这两人选读的课外读物中恰有一种相
同的选法共有（ ）（2023全国高考乙卷理）
A 30种 B 60种 C 120种 D 240钟
4、某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课程中选修2门或3门课，且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）（2023全国高考新高考I）
5、某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层抽样方法作抽样调查，拟从
初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）（2013全国高考新高考II）
A B C D
6、甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有（ ）（2022全国高考新高考II卷）
A 12种 B 24种 C 36种 D 48种
7、将5名北京东奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑，冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）（2021全国高考乙卷）
A 60种 B 120种 C 240种 D 480种
『思考问题1』
（1）【典例1】是排列组合的综合问题，解决这类问题的基本方法是：① “分析”，就是找出问题中的条件和结论，弄清楚哪些是元素，哪些是位置；②“分辨”，是辨别问题中哪些是排列，哪些是组合，对哪些元素的位置有特别的限制；③“分类”，是对复杂问题中的元素分成互相排斥的几类，再逐类解答；④“分步”，是把问题化成几个互相联系的步骤，每一步都是简单的排列或组合问题，再逐步加以解答；
（2）排列的主要特征是元素与元素之间同顺序有关；组合的主要特征是元素与元素之间同顺序无关；
（3）在实际解答问题时，分辨它是排列还是组合的简便方法就是看元素与元素之间同顺序是否有关；
（4）在实际解答问题时，排列与组合往往会同时出现，面对解答既有排列又有组合的问题时，处理的基本方法是先组合后排列。
［练习1］解答下列问题：
1、6名同学到甲，乙，丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）（2020全国高考新高考I理）
A 120种 B 90种 C 60种 D 30种
2、安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有（ ）（2020全国高考新高考II理）
A 12种 B 18种 C 24种 D 36种
【典例2】解答下列问题：
1、 二项式的展开式中系数的最大值是 （2024全国高考甲卷）
2、二项式的展开式中x的系数为（ ）（成都市高2021级高三一诊）
A 1 B 3 C 5 D 15
3、展开式中常数项是 （成都市高2020级高三一诊）
4、（1- ）的展开式中的系数为 （用数字作答）（2022全国高考新高考I卷）
5、展开式中项的系数为 （用数字作答）（2022成都市高三一诊）
6、的展开式中的系数为（ ）（2022成都市高三二诊）
A -160 B 160 C -80 D 80
『思考问题2』
（1）【问题2】是求二项展开式中某项的系数的问题，解决这类问题的基本方法是：①运用二项展开式的通项公式求出该二项展开式的通项公式；②根据所求项的系数确定所在的项；③由确定的项，代入二项展开式的通项公式求出相应的系数；
（2）解答求二项展开式中某项的系数的问题时，应该注意二项系数与二项展开式中某项的系数具有不同的含义：在二项式的展开式中是第k+1项，求k+1项的系数数，是项除字母以外的系数，其中是该项的二项系数，它与a，b无关。
［练习2］解答下列问题：
1、（x+ ）的展开式中的系数为（ ）（2020全国高考新课标I）
A 5 B 10 C 15 D 20
2、的展开式中常数项是 （用数字作答）（2020全国高考新课标III）
3、的展开式中的系数是 （用数字作答）
【典例3】解答下列问题：
1、（理）编号为1，2，3，4，5，6的六个小球，不放回地抽取3次，记m表示前两个球号码的平均数，记n表示前三个球号码的平均数，则m于n差的绝对值不超过0。5的概率是
。
（文）甲，乙，丙，丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ）（2024全国高考甲卷）
A B C D
2、甲，乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有1，3，5，7，乙的卡片上分别标有2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人从各自持有的卡片中随机选取一张，丙比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0发，然后各自弃置此轮所选的卡片，（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）。则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 （2024全国高考新高考I）
3、（理）现有四种不同的颜色要对如图形中的五个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为（ ）
A B C D
（文）现有两种不同的颜色要对如图形中的三个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为（ ）（成都市高2021级高三二诊）
A B C D
4、 （理）有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球俱乐部或乒乓球
俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（ ）
A 0.8 B 0.4 C 0.2 D 0.1
（文）某校文艺部有4名学生，其中高一，高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）（2023全国高考甲卷）
A B C D
5、在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概率为（0<<1），收到0的概率为1-；发送1时，收到0的概率为（0<<1），收到1的概率为1-。考虑两种方案：单次传输和三次传输，单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次。收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）（2023全国高考新高考II）
A 采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1，的概率为（1-）（1-）B 采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1，的概率为（1-）C 采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为（1-）+（1-） D 当0<<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
6、（理）甲和乙两位同学准备在体育课上进行一场乒乓球比赛，假设甲对乙每局获胜的概率为，比赛采取三局两胜制（当一方获得两局胜利时，该方获胜，比赛结束），则甲获胜的概率为（ ）（成都市高2020级高三二诊）
A B C D
（文）某同学计划2023年高考结束后，在A，B，C，D，E五所大学中随机选两所去参观，则A大学恰好被选中的概率为（ ）
A B C D
7、（理）世界大学生运动会（简称大运会）由国际大学生体育联合会主办，每两年举办一届，是规模仅次于奥运会的世界综合性运动会，第31届大运会将于2023年7月28日在成都召开，为办好本届大运会，组委会精心招募了一批志愿者，现准备将甲，乙等6名志愿者安排进“东安湖体育公园”，“凤凰山体育公园”，“四川省体育馆”工作，每个地方安排两人且每人只能在一个场馆工作，若每位志愿者被分配到各个场馆的可能性相同，则甲，乙两人被安排在同一个场馆的概率为（ ）
A B C D
（文）世界大学生运动会（简称大运会）由国际大学生体育联合会主办，每两年举办一届，是规模仅次于奥运会的世界综合性运动会，第31届大运会将于2023年7月28日在成都召开，为办好本届大运会，组委会精心招募了一批志愿者，现准备将甲，乙两名志愿者安排进“东安湖体育公园”，“凤凰山体育公园”，“四川省体育馆”工作，每人只能在一个场馆工作，若每位志愿者被分配到各个场馆的可能性相同，则甲，乙两人被安排在同一个场馆的概率为（ ）
A B C D
8、某棋手与甲，乙，丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立，已知该棋手与甲，乙，丙比赛获胜的概率分别为，，，且>>>0，记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ） （2022全国高考乙卷）
A p与该棋手和甲，乙，丙的比赛次序无关 B 该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C 该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D 该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
9、一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达路口时，看见不是红灯的概率是 （成都市2019级高三零诊）
10、（理）已知某篮球运动员每次罚球命中的概率为0.4，该运动员进行罚球练习（每次罚球互不影响），则在罚球命中两次时，罚球次数恰为4次的概率是（ ）
A B C D
（文）从1，2，3，4，5中随机抽取三个数，则这三个数能成为一个三角形三边长的概率为（ ）（成都市2019级一诊）
A B C D
11、（理）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A B C D
（文）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）（2021全国高考甲卷）
A 0.3 B 0.5 C 0.6 D 0.8
12、有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取一个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”则（ ）（2021全国高考新高考I）
A 甲与丙相互独立 B 甲与丁相互独立 C 乙与丙相互独立 D 丙与丁相互独立
『思考问题3』
（1）【典例3】是排列组合与概率的综合问题，解答这类问题需要理解排列，组合和概率的定义，掌握计算排列数，组合数和概率的基本方法；
（2）解答排列组合与概率的综合问题的基本方法是：①分辨问题涉及概率的类型；②运用排列数（或组合数）的计算公式求出问题事件发生的总数和包含某事件的发生数；③利用求相关概率的计算公式求出相应的概率。
［练习3］解答下列问题：
1、以网络公司为某贫困山区培养了100名“乡土直播员”，以帮助宣传该山区文化和销售该山区的农副产品，从而带领山区人民早日脱贫致富，该公司将这100名“乡土直播员”中每
天直播时间不少于5小时的评为“网红乡土直播员”，其余的评为“乡土直播达人”，根据
实际评选结果得到了下面22列联表： 网红乡土直播员 乡土直播达人 合计
（1）根据列联表判断是否有95%的把握认 男 10 40 50
为“网红乡土直播员”与性别有关？ 女 20 30 50
（2）（理）在“网红乡土直播员”按分层 合计 30 70 100
抽样方法抽取6人，在这6人中选2人作为“乡土直播推广大使”，设被选中的2名“乡土直播推广大使”中男性人数为，求的分布列和期望。
（文）在“网红乡土直播员”按分层抽样方法抽取6人，在这6人中选2人作为“乡土直播推广大使”，设被选中的2名“乡土直播推广大使”，求这俩人中恰有一男一女的概率（2021成都市高三一诊）
附：
（其中n=a+b+c+d）
2、袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球和2个白球，从中不放回地依次随机摸出两个球，则摸出的两个球颜色相同的概率为（ ）（成都市2021高三二诊）
A B C D
高考试题中排列组合及二项式定理问题的类型与解法
大家知道，排列组合及二项式定理问题是近几年高考的热点问题之一，每年高考试卷中必有一个五分小题，有时在大题中也会涉及到排列组合的问题。从题型上，以选择题或填空题为主，难度系数为低档（或中档）。纵观近几年高考试题，归结起来排列组合及二项式定理问题主要包括：①二项定理应用的问题；②排列组合的综合问题；③排列组合与概率的综合问题等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答排列组合及二项式定理问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过典型例题的详细解析，来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、 在如图的44方格表中选4个方格，要求每 11 21 31 40
行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选 12 22 33 42
法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的 13 22 33 43
四个数之和的最大值是 。 15 24 34 44
【解析】
【考点】①分步计算原理及运用；②排列定义与性质；③排列数计算公式及运用。
【解题思路】根据排列的性质，运用分步计算原理和排列数计算公式，结合问题条件就可求出共有的选法种数，从而求出选中方格中的四个数之和的最大值。
【详细解答】选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，共有的选法种数为4321=24（种），选中方格中的四个数分别为15，43，33，21时，15+43+33+21=112为最大值，选中方格中的四个数之和的最大值是112。
2、有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六，星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ）(2023全国高考甲卷）
A 120 B 60 C 40 D 30
【解析】
【考点】①分步计算原理及运用；②组合定义与性质；③组合数计算公式及运用。
【解题思路】根据组合的性质，运用分步计算原理和组合数计算公式，求出则恰有1人连续参加两天服务的选择种数就可得出选项。
【详细解答】第一天从五人任选两人参加星期六服务的选择种数为==10（种），
第二天参加星期天服务的选择种数为=6（种），恰有1人连续参加两天服务的选择种数为106=60（种）， B正确，选B。
3、甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读两种，则这两人选读的课外读物中恰有一种相
同的选法共有（ ）（2023全国高考乙卷）
A 30种 B 60种 C 120种 D 240钟
【解析】
【考点】①组合定义与性质；②乘法原理及运用；③组合数计算公式记运用。
【解题思路】根据组合的性质，运用乘法原理和组合数计算公式，结合问题条件求出这
两人选读的课外读物中恰有一种相同的选法总数就可得出选项。
【详细解答】两人选读同一种课外读物的选法为种，甲从剩余的五种读物选一种
的选法为种，乙从剩余的四种读物选一种的选法为种，这两人选读的课外读物中恰有一种相同的选法共有=654=120（种）， C正确，选C。
4、某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课程中选修2门或3门课，且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）（2023全国高考新高考I）
【解析】
【考点】①组合定义与性质；②乘法原理及运用；③加法原理及运用；④组合数计算公式记运用。
【解题思路】根据组合的性质，运用加法原理，乘法原理和组合数计算公式，结合问题条件就可求出不同的选课方案总数。
【详细解答】若选修2门，从4门不同体育选修1门的选法为种，从4门不同的艺术选修1门的选法为种，从8门不同的课程中选修2门，且每类选修课至少选修1门的不同选法为=44=16（种）；若选修3门，有两种可能，其一选修2门体育课，1门艺术课，其二选修1门体育课，2门艺术课，从4门不同的体育选修2门的选法为种，从4门不同的艺术选修1门的选法为种，从4门不同的体育选修1门的选法为种，从4门不同的艺术课选修2门的选法为种，从8门不同的课程中选修3门，且每类选修课至少选修1门的不同选法为+=64+46=48（种），从8门不同的课程中选修2门或3门课，且每类选修课至少选修1门的不同的选课方案共有16+48=64（种），
5、某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层抽样方法作抽样调查，拟从
初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）（2013全国高考新高考II）
A B C D
【解析】
【考点】①分层抽样定义与性质；②分层抽样的基本方法；③组合定义与性质； ④乘法原理及运用；⑤组合数计算公式记运用。
【解题思路】根据分层抽样和组合的性质，运用分层抽样的基本方法，乘法原理和组合数计算公式，结合问题条件求出不同的抽样结果的总数就可得出选项。
【详细解答】抽取60名学生中，初中部人数为60400/400+200=40（人），高中部人数为60200/400+200=20（人），不同的抽样结果总数为 ， D正确，选D。
6、甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有（ ）（2022全国高考新高考II卷）
A 12种 B 24种 C 36种 D 48种
【解析】
【考点】①排列定义与性质；②排列数计算公式及运用。
【解答思路】根据排列的性质，运用排列数计算公式，结合问题条件求出甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式的种数，就可得出选项。
【详细解答】甲乙丙丁戊5名同学站成一排，且甲不站在两端，丙和丁相邻，不同排列方式有=226=24（种），B正确，选B。
7、将5名北京东奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑，冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）（2021全国高考乙卷）
A 60种 B 120种 C 240种 D 480种
【解析】
【考点】①排列定义与性质；②排列数计算公式及运用；③组合定义与性质；④组合数计算公式及运用。
【解答思路】根据排列和组合的性质，运用排列数和组合数的计算计算公式，结合问题条件求出共有不同的分配方案数就可得出选项。
【详细解答】5名北京东奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑，冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，共有不同的分配方案数为=4321=1024=240（种），C正确，选C。
『思考问题1』
（1）【典例1】是排列组合的综合问题，解决这类问题的基本方法是：① “分析”，就是找出问题中的条件和结论，弄清楚哪些是元素，哪些是位置；②“分辨”，是辨别问题中哪些是排列，哪些是组合，对哪些元素的位置有特别的限制；③“分类”，是对复杂问题中的元素分成互相排斥的几类，再逐类解答；④“分步”，是把问题化成几个互相联系的步骤，每一步都是简单的排列或组合问题，再逐步加以解答；
（2）排列的主要特征是元素与元素之间同顺序有关；组合的主要特征是元素与元素之间同顺序无关；
（3）在实际解答问题时，分辨它是排列还是组合的简便方法就是看元素与元素之间同顺序是否有关；
（4）在实际解答问题时，排列与组合往往会同时出现，面对解答既有排列又有组合的问题时，处理的基本方法是先组合后排列。
［练习1］解答下列问题：
1、6名同学到甲，乙，丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）（2020全国高考新高考I理）
A 120种 B 90种 C 60种 D 30种（答案：C）
2、安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有（ ）（2020全国高考新高考II理）（答案：D）
A 12种 B 18种 C 24种 D 36种
【典例2】解答下列问题：
1、二项式的展开式中系数的最大值是 （2024全国高考甲卷）
解析】
【考点】①二项式定理及运用；②二项式展开式通项公式及运用。
【解题思路】根据二项式定理，运用二项式展开式通项公式，结合问题条件就可求出二项式
的展开式中系数的最大值。
【详细解答】设二项式的展开式中系数的最大值为第r+1项，=，
①，②，联立①②解得：r,
r=8，二项式的展开式中系数的最大值为第9项，=45=5。
2、二项式的展开式中x的系数为（ ）（成都市高2021级高三一诊）
A 1 B 3 C 5 D 15
【解析】
【考点】①二项式定理及运用；②二项式展开式通项公式及运用。
【解题思路】根据二项式定理，运用二项式展开式通项公式，结合问题条件求出展开式中x的系数就可得出选项。
【详细解答】==，由5-r=1解得r=4，二项式设集合的展开式中x的系数为=35=15，D正确，选D。
3、展开式中常数项是 （成都市高2020级高三一诊）
【解析】
【考点】①二项式定理及运用；②二项式展开式通项公式及运用。
【解题思路】根据二项式定理，运用二项式展开式通项公式，结合问题条件就可求出展开式中的常数项。
【详细解答】==，由6-=0解得：r=4，展开式中常数项是.=1615=240。
4、（1- ）的展开式中的系数为 （用数字作答）（2022全国高考新高考I卷）
【解析】
【考点】①二项式定理及运用；②二项式展开式通项公式及运用。
【解题思路】根据二项式定理，运用二项式展开式通项公式，结合问题条件就可求出展开式
中项的系数。
【详细解答】=，（1- ）的展开式中的系数应该是的与两项系数的和，==28，==56，（1- ）的展开式中的系数=28-56=-28。
5、展开式中项的系数为 （用数字作答）（2022成都市高三一诊）
【解析】
【考点】①二项式定理及运用；②二项式展开式通项公式及运用。
【解题思路】根据二项式定理，运用二项式展开式通项公式，结合问题条件就可求出展开式中项的系数。
【详细解答】==，由5-2r=3解得：r=1，展开式中项的系数为-.=-516=-80。
6、的展开式中的系数为（ ）（2022成都市高三二诊）
A -160 B 160 C -80 D 80
【解析】
【考点】①二项式定理及运用；②二项式展开式通项公式及运用。
【解题思路】根据二项式定理，运用二项式展开式的通项公式求出的展开式中的系数就可得出选项。
【详细解答】==，由6-r=3解得r=3，的展开式中的系数为=-820=-160, A正确，选A。
『思考问题2』
（1）【问题2】是求二项展开式中某项的系数的问题，解决这类问题的基本方法是：①运用二项展开式的通项公式求出该二项展开式的通项公式；②根据所求项的系数确定所在的项；③由确定的项，代入二项展开式的通项公式求出相应的系数；
（2）解答求二项展开式中某项的系数的问题时，应该注意二项系数与二项展开式中某项的系数具有不同的含义：在二项式的展开式中是第k+1项，求k+1项的系数数，是项除字母以外的系数，其中是该项的二项系数，它与a，b无关。
［练习2］解答下列问题：
1、（x+ ）的展开式中的系数为（ ）（2020全国高考新课标I）（答案：C）
A 5 B 10 C 15 D 20
2、的展开式中常数项是 （用数字作答）（2020全国高考新课标III）（答案：的展开式中常数项是240.）
3、的展开式中的系数是 （用数字作答）（答案：的展开式中的系数是-35.）
【典例3】解答下列问题：
1、（理）编号为1，2，3，4，5，6的六个小球，不放回地抽取3次，记m表示前两个球号码的平均数，记n表示前三个球号码的平均数，则m与n差的绝对值不超过0。5的概率是
。
（文）甲，乙，丙，丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ）（2024全国高考甲卷）
A B C D
【解析】
【考点】①组合定义与性质；②排列定义与性质；③随机事件定义与性质；④求随机事件概率的基本方法。
【解题思路】（理）根据组合和随机事件的性质，运用求随机事件概率的基本方法，结合问题条件就可求出m与n差的绝对值不超过0。5的概率。（文）根据排列和随机事件的性质，运用求随机事件概率的基本方法，结合问题条件求出丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率就可得出选项。
【详细解答】（理）设抽出的3张卡片分别为a，b，c，m与n差的绝对值不超过0。5的事件为A， 从6张卡片中随机抽取3张的基本事件有=6 5 4=120，m= ，n= ，|m-n|=|-|=||0.5，|a+b-2c|3，-3a+b-2c3，
当c=1或c=6时，a，b的取值均匀2种可能，当c=2或c=5时，a，b的取值均有10种可能，
当c=3或c=4时，a，b的取值均有16可能，m与n差的绝对值不超过0。5的基本事件有4+20+32
=56，p（A）==，即m与n差的绝对值不超过0。5的概率是。
（文）设丙不在排头，且甲或乙在排尾的事件为B，甲，乙，丙，丁四人排成一列的基本事件有4 3 21=24，丙不在排头，且甲或乙在排尾的基本事件有2 2 2=8，p（B）==，B正确，选B。
2、甲，乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有1，3，5，7，乙的卡片上分别标有2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人从各自持有的卡片中随机选取一张，丙比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0发，然后各自弃置此轮所选的卡片，（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）。则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 （2024全国高考新高考I）
【解析】
【考点】①互斥事件定义与性质；②相互独立事件定义与性质；③互斥事件概率定义与性质；④求互斥事件概率的基本方法；⑤相互独立事件概率定义与性质；⑥求相互独立事件(或互斥事件)概率的基本方法。
【解题思路】根据互斥事件，相互独立事件，互斥事件概率和相互独立事件概率的性质，运用求互斥事件概率和相互独立事件概率的基本方法，结合问题条件就可求出四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率。
【详细解答】设四轮比赛后，甲的总得分不小于2的事件为A，当甲选取标有数字1的卡片时，甲只能得0分；当甲选取标有数字3的卡片时，甲得0分的概率为，甲得1分的概率为，当甲选取标有数字5的卡片时，甲得0分的概率为，甲得1分的概率为，当甲选取标有数字7的卡片时，甲得0分的概率为，甲得1分的概率为，p（A）=
+++=，即四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为。
3、（理）现有四种不同的颜色要对如图形中的五个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为（ ）
A B C D
（文）现有两种不同的颜色要对如图形中的三个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为（ ）（成都市高2021级高三二诊）
A B C D
【解析】
【考点】①随机事件定义与性质；②组合定义与性质；③排列定义与性质；④求随机事件概率的基本方法。
【解题思路】（理）根据事件事件，组合和排列的性质，运用求随机事件概率的基本方法，结合问题条件求出其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率就可得出选项。（文）根据随机事件的性质，运用求随机事件概率的基本方法，结合问题条件求出其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率就可得出选项。
【详细解答】（理）设其中任意有公共边的两块着不同颜色的事件为A， 用四种不同的颜色对如图形中的五个部分进行着色的方法共有44444=1024种，其中任意有公共边的两块着不同颜色的着色的方法有43232=144种，p（A）==，C正确，选C。（文）设其中任意有公共边的两块着不同颜色的事件为A， 用两种不同的颜色对如图形中的三个部分进行着色的方法共有222=8种，其中任意有公共边的两块着不同颜色的着色的方法有211=2种，p（A）==，A正确，选A。
4、（理）有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球俱乐部或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（ ）
A 0.8 B 0.4 C 0.2 D 0.1
（文）某校文艺部有4名学生，其中高一，高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）（2023全国高考甲卷）
A B C D
【解析】
【考点】①并集定义与性质；②交集定义与性质；③条件概率定义与性质；④求条件概率的基本方法；⑤随机事件定义与性质；⑥随机事件概率定义与性质；⑦求随机事件概率基本方法。
【解题思路】（理）根据并集和交集的性质，结合问题条件求出既报足球俱乐部又报乒乓球俱乐部的人数，运用条件概率的性质和求条件概率的基本方法，求出某人既报足球俱乐部，又报乒乓球俱乐部的概率就可得出选项。（文）根据随机事件和随机事件概率的性质，运用求随机事件概率的基本方法，结合问题条件求出从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，这2名学生来自不同年级的概率就可得出选项。
【详细解答】（理）设某人报足球俱乐部的事件A，报乒乓球俱乐部的事件为B，既报足球俱乐部，又报乒乓球俱乐部的事件为A|BA+B-AB=AB,AB=A+B-AB=50+60-70=40，p（AB）==，p(A)==，p(A|B)===0.8，A正确，选A。（文）
设高一年级的两名学生分别为，，高二年级的两名学生分别为，，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，这2名学生来自不同年级的事件为C，从这4名学生中随机选2名的基本事件有，，，，，共6个，这2名学生来自不同年级的基本事件有，，，共4个，p(C)==，D
正确，选D。
5、在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概率为（0<<1），收到0的概率为1-；发送1时，收到0的概率为（0<<1），收到1的概率为1-。考虑两种方案：单次传输和三次传输，单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次。收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）（2023全国高考新高考II）
A 采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1，的概率为（1-）（1-）B 采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1，的概率为（1-）C 采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为（1-）+（1-） D 当0<<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
【解析】
【考点】①互斥事件定义与性质；②相互独立事件定义与性质；③互斥事件概率定义与性质；④求互斥事件概率的基本方法；⑤相互独立事件概率定义与性质；⑥求相互独立事件概率的基本方法。
【解题思路】根据互斥，相互独立事件，互斥事件概率和相互独立事件概率的性质，运用求互斥事件概率和相互独立事件概率的基本方法，结合问题条件求出相应事件的概率，从而对各选项的正确与错误进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1，的概率为（1-）（1-）（1-）=（1-）（1-），A正确；对B，采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1，的概率为（1-）（1-）=（1-），B正确；对C，采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为（1-）（1-）+（1-）（1-）+（1-）（1-）+（1-）（1-）（1-）=3（1-）+（1-），
C错误；对D，当0<<0.5时，若发送0，采用三次传输方案译码为0的概率为3（1-）+（1-），若发送0，采用单次传输方案译码为0的概率为（1-），3（1-）+（1-）-（1-）=（1-）[3（1-）+（1-）-1]=（1-）（3-3+1-2+-1）
=（1-）（1-2）>0，当0<<0.5时，若发送0，采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率，D正确，综上所述，A，B，D正确，选ABD。
6、（理）甲和乙两位同学准备在体育课上进行一场乒乓球比赛，假设甲对乙每局获胜的概率为，比赛采取三局两胜制（当一方获得两局胜利时，该方获胜，比赛结束），则甲获胜的概率为（ ）（成都市高2020级高三二诊）
A B C D
（文）某同学计划2023年高考结束后，在A，B，C，D，E五所大学中随机选两所去参观，则A大学恰好被选中的概率为（ ）
A B C D
【解析】
【考点】①互斥事件定义与性质；②相互独立事件定义与性质；③求互斥事件概率的基本方法；④求相互独立事件概率的基本方法；⑤随机事件定义与性质；⑥求随机事件概率的基本方法。
【解题思路】（理）根据互斥事件和相互独立事件的性质，运用求互斥事件概率和相互独立事件概率的基本方法，求出甲获胜的概率就可得出选项。（文）根据随机事件的性质，运用求随机事件概率的基本方法，求出A大学恰好被选中的概率就可得出选项。
【详细解答】（理）设在一局比赛中甲获胜的事件为A，甲失败的事件为，这场比赛中甲获胜的事件为B， 这场比赛中甲获胜的可能是甲第一，第二局获胜，或甲第一，第三局获胜，或甲第二，第三局获胜，p（B）=++=++=，B正确，选B。
（文）设A大学恰好被选中的事件为F，在A，B，C，D，E五所大学中随机选两所的基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10个，A大学恰好被选中的基本事件有AB，AC，AD，AE共4个，p（F）==，B正确，选B。
7、（理）世界大学生运动会（简称大运会）由国际大学生体育联合会主办，每两年举办一届，是规模仅次于奥运会的世界综合性运动会，第31届大运会将于2023年7月28日在成都召开，为办好本届大运会，组委会精心招募了一批志愿者，现准备将甲，乙等6名志愿者安排进“东安湖体育公园”，“凤凰山体育公园”，“四川省体育馆”工作，每个地方安排两人且每人只能在一个场馆工作，若每位志愿者被分配到各个场馆的可能性相同，则甲，乙两人被安排在同一个场馆的概率为（ ）
A B C D
（文）世界大学生运动会（简称大运会）由国际大学生体育联合会主办，每两年举办一届，是规模仅次于奥运会的世界综合性运动会，第31届大运会将于2023年7月28日在成都召开，为办好本届大运会，组委会精心招募了一批志愿者，现准备将甲，乙两名志愿者安排进“东安湖体育公园”，“凤凰山体育公园”，“四川省体育馆”工作，每人只能在一个场馆工作，若每位志愿者被分配到各个场馆的可能性相同，则甲，乙两人被安排在同一个场馆的概率为（ ）（成都市高2020级高三三诊）
A B C D
【解析】
【考点】①组合数计算公式及运用；②排列数计算公式及运用；③随机事件概率定义与性质；④求随机事件概率的基本方法。
【解题思路】（理）根据随机事件概率性质，运用组合数，排列数计算公式和求随机事件概率的基本方法，求出甲，乙两人被安排在同一个场馆的概率就可得出选项。（文）根据随机事件概率性质，运用求随机事件概率的基本方法，求出甲，乙两人被安排在同一个场馆的概率就可得出选项。
【详细解答】（理）设甲，乙两人被安排在同一个场馆的事件为A，将6人平均分成三组，再安排到三个场馆的基本事件为n===90，甲，乙两人被安排在同一个场馆的基本事件为m===18，p（A）==，C正确，选C。
（文）设甲，乙两人被安排在同一个场馆的事件为A，甲安排到三个场馆分别为，，，乙安排到三个场馆分别为，，，将甲，乙两人安排到三个场馆的基本事件为，，，，，，，，共9个，甲，乙两人被安排在同一个场馆的基本事件为，，共3个，p（A）==，C正确，选C。
8、某棋手与甲，乙，丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立，已知该棋手与甲，乙，
丙比赛获胜的概率分别为，，，且>>>0，记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ） （2022全国高考乙卷）
A p与该棋手和甲，乙，丙的比赛次序无关 B 该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C 该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D 该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
【解析】
【考点】①相互独立事件定义与性质；②求相互独立事件同时发生概率的基本方法。
【解答思路】根据相互独立事件的性质，运用求相互独立事件同时发生概率的基本方法，结合问题条件分别求出该棋手在第二盘与甲比赛，第二盘与乙比赛，第二盘与丙比赛的概率，就可得出选项。
【详细解答】设该棋手第二盘与甲比赛的事件为A，该棋手第二盘与乙比赛的事件为B，该棋手第二盘与丙比赛的事件为C，各盘比赛结果相互独立，该棋手与甲，乙，丙比赛获胜的概率分别为，，，且>>>0，p（A）=+，p（B）=+，p（C）=+， p（C）- p（A）=+--=（-）>0，
p（C）- p（B）=+--=（-）>0，p（B）- p（A）=+
--=(-)>0， p（C）> p（B）> p（A），D正确，选D。
9、一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达路口时，看见不是红灯的概率是 （成都市2019级高三零诊）
【解析】
【考点】①随机事件概率大于与性质；②求随机事件概率的基本方法。
【解题思路】根据随机事件概率的性质，运用求随机事件概率的基本方法，结合问题条件就可求出看见不是红灯的概率。
【详细解答】设到达路口时，看见不是红灯的事件为A，事件发生总数为30+5+40=75（秒），包含事件A的发生数为5+40=45（秒），p（A）==，即到达路口时，看见不是红灯的概率是。
10、（理）已知某篮球运动员每次罚球命中的概率为0.4，该运动员进行罚球练习（每次罚球互不影响），则在罚球命中两次时，罚球次数恰为4次的概率是（ ）
A B C D
（文）从1，2，3，4，5中随机抽取三个数，则这三个数能成为一个三角形三边长的概率为（ ）（成都市2019级一诊）
A B C D
【解析】
【考点】①相互独立事件定义与性质；②相互独立事件概率定义与性质；③求相互独立事件概率的基本方法。
【解题思路】（理）根据相互独立事件和相互独立事件概率的性质，运用求相互独立事件概率的基本方法求出罚球命中两次时，罚球次数恰为4次的概率就可得出选项。（文）根据随机事件和随机事件概率的性质，运用求随机事件概率的基本方法和三角形三边关系定理，求出从1，2，3，4，5中随机抽取三个数，这三个数能成为一个三角形三边长的概率就可得出选项。
【详细解答】（理）设罚球命中两次时，罚球次数恰为4次的事件为A，该运动员每次罚球命中的概率为0.4，罚球命中两次时，罚球次数恰为4次，表明该运动员在前3次罚球命中了一次且第四次罚球命中，p（A）==3=，C正确，选C。（文）设从1，2，3，4，5中随机抽取三个数，这三个数能成为一个三角形三边长的的事件为A，从1，2，3，4，5中随机抽取三个数的基本事件有：123，124，125，134，135，145，234，235，245，345共10个，这三个数能成为一个三角形三边长的基本事件有：234，245，345共3个， p（A）=，C正确，选C。
11、（理）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A B C D
（文）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）（2021全国高考甲卷）
A 0.3 B 0.5 C 0.6 D 0.8
【解析】
【考点】①排列的定义与性质；②排列数计算公式及运用；③古典概率的定义与性质；④求古典概率的基本方法。
【解答思路】（理）根据排列的性质和排列数计算公式，结合问题条件分别求出4个1和2个0随机排成一行和4个1和2个0随机排成一行，2个0不相邻的排列数，运用古典概率的性质和求古典概率基本方法求出将4个1和2个0随机排成一行，2个0不相邻的概率就可得出选项。（文）根据排列的性质和排列的基本方法，结合问题条件排出将3个1和2个0排成一行的所有可能的排列，分别求出排列总数与3个1和2个0排成一行的排列中2个0不相邻的排列数，运用古典概率的性质和求古典概率基本方法求出将3个1和2个0随机排成一行，2个0不相邻的概率就可得出选项。
【详细解答】（理）设将4个1和2个0随机排成一行，2个0不相邻的事件为A，将4个1和2个0随机排成一行的排列数为=654321=720，将4个1和2个0随机排成一行，且2个0不相邻的排列数为=43211021=480，p（A）=
=，C正确，选C。（文）设将3个1和2个0随机排成一行，2个0不相邻的事件为
A，将3个1和2个0随机排成一行有：11100，00111，10011，11001，01011，01101，01110，10101，10110，11010共10个，将3个1和2个0随机排成一行，2个0不相邻的排列有：01011，01101，01110，10101，10110，11010共6个， p（A）==0.6，C正确，选C。
12、有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取一个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”则（ ）（2021全国高考新高考I）
A 甲与丙相互独立 B 甲与丁相互独立 C 乙与丙相互独立 D 丙与丁相互独立
【解析】
【考点】①相互独立事件定义与性质；②判断两个事件是否是相互独立事件的基本方法。
【解答思路】根据相互独立事件的性质，运用判断两个事件是否是相互独立事件的基本方法分别对各选项的两个事件是否是相互独立事件进行判断就可得出选项。
【详细解答】丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，第一次取出的球的数字至少是2，也就是说丙事件中第一次取出的球的数字不能是1，甲事件与丙事件两个事件不可能同时发生，且至少有一个发生，即甲与丙相互独立，A正确，选A。
『思考问题3』
（1）【典例3】是排列组合与概率的综合问题，解答这类问题需要理解排列，组合和概率的定义，掌握计算排列数，组合数和概率的基本方法；
（2）解答排列组合与概率的综合问题的基本方法是：①分辨问题涉及概率的类型；②运用排列数（或组合数）的计算公式求出问题事件发生的总数和包含某事件的发生数；③利用求相关概率的计算公式求出相应的概率。
［练习3］解答下列问题：
1、以网络公司为某贫困山区培养了100名“乡土直播员”，以帮助宣传该山区文化和销售该山区的农副产品，从而带领山区人民早日脱贫致富，该公司将这100名“乡土直播员”中每
天直播时间不少于5小时的评为“网红乡土直播员”，其余的评为“乡土直播达人”，根据
实际评选结果得到了下面22列联表： 网红乡土直播员 乡土直播达人 合计
（1）根据列联表判断是否有95%的把握认 男 10 40 50
为“网红乡土直播员”与性别有关？ 女 20 30 50
（2）（理）在“网红乡土直播员”按分层 合计 30 70 100
抽样方法抽取6人，在这6人中选2人作为“乡土直播推广大使”，设被选中的2名“乡土直播推广大使”中男性人数为，求的分布列和期望。
（文）在“网红乡土直播员”按分层抽样方法抽取6人，在这6人中选2人作为“乡土直播推广大使”，设被选中的2名“乡土直播推广大使”，求这俩人中恰有一男一女的概率（2021成都市高三一诊）
附：
（其中n=a+b+c+d）
（答案：（1）有95%的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关；
（2）（理）随机变量的分布列如表所示， 0 1 2
随机变量的数学期望为。 p
（文）被选中的2名“乡土直播推广大使”中恰有一男一女的概率为。）
2、袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球和2个白球，从中不放回地依次随机摸出两个球，则摸出的两个球颜色相同的概率为（ ）（成都市2021高三二诊）（答案：B）
A B C D

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