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高考试题中直线和圆5分小题问题的类型与解法
直线和圆的问题是近几年高考的热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，只要是高考（或高三诊断考试）试卷，就必然会涉及到直线和圆的问题。从题型看，为选择题（或填空题），但有时也可能参透到圆锥曲线的大题之中，这里主要探导直线和圆的5分小题问题；难度系数为低（或中）档。纵观近几年高考（或高三诊断考试）试卷，归结起来直线和圆的5分小题问题主要包括：①直线的倾斜角（或斜率）；②求直线的方程；③两条直线位置关系及运用；④求圆的方程；⑤直线（或圆）的最值问题；⑥圆标准方程与一般方程之间的关系及运用；⑦直线与圆和圆与圆的位置关系及运用等几种类型。各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在具体解答直线和圆的5分小题问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地解答问题呢？下面通过近几年高考（或高三诊断考试）试题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、已知直线l经过抛物线=4x的焦点，且与抛物线相交于P，Q两点，若点（-1，1）在以PQ为直径的圆上，则直线l的方程为 （成都市高2021级高三零诊理）
2、（理）已知M+-2x-2y-2=0，直线l：2x+y+2=0，P为l上的动点，过P作M的切线PA，PB，且切点分别为A，B，当|PM|.|AB|最小时，直线AB的方程为（ ）
A 2x-y-1=0 B 2x+y-1=0 C 2x-y+1=0 D 2x+y+1=0
（文）已知圆+-6x=0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）（2020全国高考新课标I）
A 1 B 2 C 3 D 4
『思考问题1』
（1）【典例1】是与直线方程相关的问题，解答这类问题需要理解直线方程的定义，掌握直线方程常见的几种形式；
（2）求直线方程的常用方法有：①直接法；②间接法；
（3）直接法是根据题给条件，选择恰当的直线方程形式，依据相应直线方程形式求出直线的方程；
（4）间接法是根据直线在题给条件中所具有的某些性质，先设出方程（含参数或待定系数），再由题给条件求出参数或待定系数，然后求出直线的方程；
（5）常见的直线系方程有：①过定点P(，)的直线系方程：A（x-）+B(y-)=0
(+0)或y-=k(x-)和x=；②平行已知直线：Ax+By+C=0的直线系方程：Ax+By+=0（C）；③垂直已知直线：Ax+By+C=0的直线系方程：Bx-Ay+=0（C）；
④过已知直线：x+y+=0与x+y+=0的交点的直线系方程：x+y++（x+y+）=0（不包括直线x+y+=0）。
［练习1］解答下列问题：
1、若直线l与曲线y=和圆+=相切，则l的方程为（ ）（2020全国高考新课标III）
A y=2x+1 B y=2x+ C y=x+1 D y=x+
【典例2】解答下列问题：
1、已知直线：x+y+m=0，：x+y=0，则“//”是“m=1”的（ ）（成都市2019级高三零诊）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件， C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
『思考问题2』
（1）【典例2】是两条直线位置关系及运用的问题，解答这类问题需要理解并掌握判断两条直线位置关系的充分必要条件；
（2）【典例2】两条直线位置关系及运用问题主要包括：①已知两条直线方程，判断两条直线的位置关系；②已知两条直线的位置关系，求直线方程中参数的值（或取值范围）；
（3）判断两条直线位置关系的基本方法是：①直接判断法；②间接判断法；
（4）直接判断法是运用判断两条直线位置关系的充分必要条件：设直线：x+y+=0； ：x+y+=0。∥=且≠；与重合=且=；
.=-1；
（5）间接判断法分两步进行：①判断两直线的斜率是否存在；②运用判断两条直线位置关系的充分必要条件得出结果。若两条直线的斜率都存在，则把两条直线的方程都化为斜截式，再看它们的斜率是否相等，截距是否相等（或两条直线斜率的乘积是否为-1）；若两条直线的斜率都不存在，只需判断在X轴上的截距是否相等；若两条直线中的一条直线斜率不存在，则只需判断另一条直线的斜率是否为0就可以了；
（6）到的夹角计算公式中 ，的位置是固定的，这里 ，分别是两条直线和的斜率；
（7）与的夹角计算公式中 ，的位置是不固定的，这里 、分别是两条直线和的斜率；
（8）在上面的公式中，当1+=0，即：=-1时，显然公式已经没有意义了，这时与的夹角为。
（9）一般式的直线方程若系数中含有参数，在判定直线的位置关系时，需分两种情况来考虑：①直线的斜率存在；②直线的斜率不存在；
（10）若直线方程是：：y=x+，：y=x+，则应该注意①∥，②⊥，③与重合，④与斜交的充分必要条件。
【典例3】解答下列问题：
1、设点M在直线2x+y-1=0上，点（3，0）和（0，1）均在M上，则M的方程为
（2022全国高考甲卷文）
2、过四点（0，0），（4，0），（-1，1），（4，2）中的三个点的一个圆的方程为 （2022全国高考乙卷）
『思考问题3』
（1）【典例3】是求圆的方程的问题，解决这类问题的基本原则是：①如果从条件中容易求出圆心坐标和半径或需要用圆心坐标列方程，则选用圆的标准方程；②如果条件与圆心坐标和半径没有直接关系，则选用圆的一般方程；
（2）求圆的方程常用的方法是：①定义法；②待定系数法；
（3）当已知圆的圆心坐标求圆的标准方程一般采用定义法，这时只需根据问题条件求出圆的半径，就可得到圆的方程；
（4）当圆心坐标，圆的半径都没有给出，求圆的标准方程一般采用待定系数法，这时需要根据问题条件求出圆心坐标和圆的半径，就可得到圆的方程；
（5）待定系数法求圆方程的基本方法是：①根据问题条件选择圆的标准方程或圆的一般方程；
②列出关于待定系数的方程（或方程组）；③ 求解方程（或方程组）求出待定的系数；
④ 把求出的系数代入假设式得到圆的方程；
（6）求圆的方程时常用的有关圆的几何性质：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在圆任一弦的垂直平分线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点在同一直线上；④圆心到弦的距离，圆的半径，弦长的一半构成一个直角三角形。
【典例4】解答下列问题：
1、 已知a，b，c成等差数列，直线ax+by+c=0与圆C：++4y+1=0相交于A，B两点，
则|AB|的最小值为（ ）（2024全国高考甲卷）
A 2 B 3 C 4 D 2
2、已知P是抛物线C：=4y+20上任意一点，若过点P作圆O：+=4的两条切线，切点分别为A，B，则劣弧AB长度的最小值为（ ）（成都市高2021级高三二诊）
A B C D
3、已知实数x，y满足-4x-2y-4=0，则x-y的最大值是（ ）（2023全国高考乙卷文）
A B 4 C 1+3 D 7
4、若直线：x+my-2=0，与：mx- y+2=0（mR）相交于点P，过点P作圆C：+
=1的切线，切点为M，则|PM|的最大值为 （成都市高2020级高三二诊）
5、 （理）在平面直角坐标系xOy中，射线OT与直线l：x=9，圆O：+=9分别相交于
A，B两点，若线段OB上存在点M（m，n）（不含端点），使得对于圆O上任意一点P都满
足=，则mn的最大值为 。
（文）已知A（9,3），M（m，n）,是圆O：+=9内一点，对圆O上任意一点P都有为定值，则mn的值为 （成都市高2020级高三三珍）
6、已知点P在圆+=16上，点A（4，0），B（0，2），则（ ）（2021全国高考新高考I）
A 点P到直线AB的距离小于10 B 点P到直线AB的距离大于2
C 当PBA最小时，|PB|=3 D 当PBA最大时，|PB|=3
『思考问题4』
（1）【典例4】是求与圆相关的最值问题，解答这类问题需要掌握函数（或三角函数）求最值的基本方法；
（2）求与圆相关的最值问题一般是借助图形的性质，运用数学结合的数学方法求解；
（3）常见与圆相关的最值问题有：①求u=形式的最值，这类问题可转化为求动直线斜率的最值；②求t=ax+by形式的最值，这类问题可转化为动直线截距的最值；③求+形式的最值，这类问题可转化为动点到定点的距离的的最值。
［练习4］解答下列问题：
1、（理）已知等边ABC的三个顶点均在圆+=4上，点P（，），则.
+.的最小值为（ ）
A 14 B 10 C 8 D 2
（文）已知A，B是圆+=4上的两个动点，且满足|AB|=2，点P（，），则.
的最小值为（ ）（成都市2021高三三诊）
A B C 1 D 7-2
2、点（0，1）到直线y=k(x+1)距离的最大值为（ ）（2020全国高考新课标III）
A 1 B C D 2
【典例5】解答下列问题：
1、 已知曲线C：+=16（y＞0），从C上任意一点P向x轴作垂线段P，为垂足，
则线段P的中点M的轨迹方程为（ ）（2024全国高考新高考II）
A +=1（y＞0）B + =1（y＞0）C+ =1（y＞0）D +=1（y＞0）
2、 抛物线C：=4x的准线为l，P为C上的动点，过P作圆A：+=1的一条切
线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）（2024全国高考新高考II）
A l与圆A相切 B 当P，A，B三点共线时，|PQ|=
C 当|PB|=2时，PA⊥AB D 满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个
3、已知圆C：+-4y-4=0经过椭圆：+=1（a＞b＞0）的两个焦点，，圆C和椭圆在第二象限的交点为N，.=16-24，则椭圆的离心率为（ ）（成都市高2021级高三一诊）
A B C D
4、已知直线l：x-ay+1=0与C：+=1相交于A，B两点，若ABC是直角三角形，则实数a的值为（ ）（成都市高2021级公式三诊）
A 1或- 1 B 或- C -或- 1 D -或-
5、（理）已知直线l：mx+y+1-2m=0(（mR ）和圆C：+-2x+4y+1=0，则“m=0”是“圆C上恰有三个不同点到直线l的距离为1”的（ ）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
（文）已知直线l：mx+y-m=0(（mR ）和圆C：+-2x+4y+1=0，则“m=0”是“直线
l与圆C相切”的（ ）（成都市高2021级高三零诊）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
6、已知O的半径为1，直线PA于O相切于点A，直线PB与O相交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|=，则.的最大值为（ ）（2023全国高考乙卷理）
A B C 1+ D 2+
8、若双曲线-=1（m>0）的渐近线与圆+-4y+3=0相切，则m= （2022全国高考甲卷理）
8、已知点A（-2，3），B（0，a），若直线AB关于y=a的对称直线与圆+=1存在公共点，则实数a的取值范围为 （2022全国高考新高考II卷）
『思考问题5』
（1）【典例5】是点与圆，直线与圆和圆与圆的位置关系相关的问题，解决这类问题需要理解点与圆，直线与圆和圆与圆的位置关系的定义，掌握判断点与圆，直线与圆和圆与圆的位置关系的基本方法；根据直线与圆的三种位置关系的特征判断其属于哪一种位置关系；
（2）判断点与圆，直线与圆和圆与圆的位置关系主要有两种方法：①代数法；②几何法；
（3）在实际解决问题时，到底选用哪种方法，应该根据题给条件来确定：①如果圆心坐标容易求出，则首先考虑几何判断法；②如果圆心坐标不容易求出，则首先考虑代数判断法。
［练习5］解答下列问题：
1、写出与圆+=1和+=16都相切的一条直线方程 （2022
全国高考新高考I卷）
2、已知M为圆+=2上的动点，则点M到直线x-y+3=0的距离的最大值是（ ）（成都市2019级高三零诊）
A B 2 C 3 D 4
3、如图，经过坐标原点O且互相垂直的两条直线AC和BD与圆：+-4x+2y-20=0相交于A，B，C，D四点，M为弦AB的中点，有下列结论：①弦AC长度的最小值为4；②线段BD长度的最大值为10-；③点M的轨迹是一个圆；④四边形ABCD面积的取值范围为[20，45]。其中所有正确结论的序号为 （成都市2019级高三三珍）
4、已知直线l：ax+by-=0与圆C：+=，点A（a，b），则下列说法正确的是（ ）（2021全国高考新高考II）
A 若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B 若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D 若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
5、“k= ”是“直线y=kx+2与圆+=1相切”的（ ）（成都市2021高三零诊）
A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件
6、若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x-y-3=0的距离为（ ）（2020全国高考新课标II）
A B C D
直线和圆5分小题问题的类型与解法
直线和圆的问题是近几年高考的热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，只要是高考（或高三诊断考试）试卷，就必然会涉及到直线和圆的问题。从题型看，为选择题（或填空题），但有时也可能参透到圆锥曲线的大题之中，这里主要探导直线和圆的5分小题问题；难度系数为低（或中）档。纵观近几年高考（或高三诊断考试）试卷，归结起来直线和圆的5分小题问题主要包括：①直线的倾斜角（或斜率）；②求直线的方程；③两条直线位置关系及运用；④求圆的方程；⑤直线（或圆）的最值问题；⑥圆标准方程与一般方程之间的关系及运用；⑦直线与圆和圆与圆的位置关系及运用等几种类型。各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在具体解答直线和圆的5分小题问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地解答问题呢？下面通过近几年高考（或高三诊断考试）试题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、已知直线l经过抛物线=4x的焦点，且与抛物线相交于P，Q两点，若点（-1，1）在以PQ为直径的圆上，则直线l的方程为 （成都市高2021级高三零诊理）
【解析】
【考点】①抛物线定义与性质；②圆定义与性质；③弦长公式及运用；④线段中点坐标定义与性质；⑤圆方程的基本方法。
【解题思路】根据抛物线，圆和线段中点坐标的性质，运用弦长公式和求圆方程的基本方法，结合问题条件得到以PQ为直径的圆的方程，由点（-1，1）在圆上得到关于m的等式，从而求出m的值就可求出直线l的方程。
【详细解答】设P（，），Q（，），抛物线=4x的焦点为F（1，0），直线l经过点F，直线l的方程为x=my+1，联立直线l和抛物线方程得：-4my-4=0，+=4m，.=-4，+=m（+）+2=-4+2。线段PQ的中点坐标为（-2+1，-2m），|PQ|=4=4（1+），以|PQ|为直径的圆的方程为+=4，点（-1，1）在圆上，4+
= 4，12-4m-1=0，m=或m=-，当m=-时，以|PQ|为直径的圆不过点（-1，1），m=，直线l的方程为2x-y-2=0。
2、（理）已知M+-2x-2y-2=0，直线l：2x+y+2=0，P为l上的动点，过P作M的切线PA，PB，且切点分别为A，B，当|PM|.|AB|最小时，直线AB的方程为（ ）
A 2x-y-1=0 B 2x+y-1=0 C 2x-y+1=0 D 2x+y+1=0
（文）已知圆+-6x=0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）（2020全国高考新课标I）
A 1 B 2 C 3 D 4
【解析】
【考点】①圆定义与性质；②直线与圆位置关系定义与性质；③判断直线与圆位置关系的基本方法；④点到直线距离公式及运用；⑤求函数最值的基本方法；⑥直线方程定义与性质；⑦求直线方程的基本方法。
【解题思路】（理）根据圆一般方程化标准方程的基本方法，把圆的方程化为标准方程，从而得到点M的坐标，运用直线与圆位置关系的性质和判断直线与圆位置关系的基本方法得到PMAB，从而得到|PM|.|AB|关于x的表示式，利用求函数最值的基本方法求出当|PM|.|AB|最小时，求出点P的坐标，从而得到以点P为圆心，|PA|为半径的圆的方程，由直线AB是圆P与圆M的公共弦求出直线AB的方程就可得出选项。（文）根据圆一般方程化标准方程的基本方法，把圆的方程化为标准方程，从而得到圆心坐标和圆的半径，由题意可知，当且仅当过点（1，2）的直线与过点（1，2）的直径垂直时，直线被该圆所截得的弦的长度的最小，求出此时的弦长就可得出选项。
【详细解答】（理）如图，设A（，），P（， y A
-2-2），+-2x-2y-2=0，+ P
=4，M（1，1），|AM|=|BM|=2，过P作M的切 0 B x
线PA，PB，且切点分别为A，B，PMAB，|PM|.|AB|=4=2|PA|.|AM|=4|PA|，|PM|.
|AB|最小时，只需|PA|最小时，当且仅当PM垂直于直线l时，即|PM|==，|PA|===1为最小，过点M垂直于直线l的直线方程为x-2y+1=0，联立直线l和直线PM得：x=-1，y=0，P（-1，0），以点P为圆心，|PA|为半径的圆的方程为：+=1，直线AB是圆P与圆M的公共弦，直线AB的方程为：+
-1-(+-2x-2y-2)=4x+2y+2=0，即2x+y+1=0，D正确，选D。（文）+-6x=0，
+=9，圆心为（3，0），半径为3，当且仅当过点（1，2）的直线与过点（1，2）的直径垂直时，直线被该圆所截得的弦的长度的最小，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为2=21=2，B正确，选B。
『思考问题1』
（1）【典例1】是与直线方程相关的问题，解答这类问题需要理解直线方程的定义，掌握直线方程常见的几种形式；
（2）求直线方程的常用方法有：①直接法；②间接法；
（3）直接法是根据题给条件，选择恰当的直线方程形式，依据相应直线方程形式求出直线的方程；
（4）间接法是根据直线在题给条件中所具有的某些性质，先设出方程（含参数或待定系数），再由题给条件求出参数或待定系数，然后求出直线的方程；
（5）常见的直线系方程有：①过定点P(，)的直线系方程：A（x-）+B(y-)=0
(+0)或y-=k(x-)和x=；②平行已知直线：Ax+By+C=0的直线系方程：Ax+By+=0（C）；③垂直已知直线：Ax+By+C=0的直线系方程：Bx-Ay+=0（C）；
④过已知直线：x+y+=0与x+y+=0的交点的直线系方程：x+y++（x+y+）=0（不包括直线x+y+=0）。
［练习1］解答下列问题：
1、若直线l与曲线y=和圆+=相切，则l的方程为（ ）（2020全国高考新课标III）（答案：D）
A y=2x+1 B y=2x+ C y=x+1 D y=x+
【典例2】解答下列问题：
1、已知直线：x+y+m=0，：x+y=0，则“//”是“m=1”的（ ）（成都市2019级高三零诊）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件， C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
【解析】
【考点】①充分条件，必要条件，充分必要条件定义与性质；②判断充分条件，必要条件，充分必要条件的基本方法；③两条直线平行的充分必要条件及运用。
【解题思路】根据充分条件，必要条件，充分必要条件的性质和两条直线平行的充分必要条件，运用跑道充分条件，必要条件，充分必要条件的基本方法，结合问题条件得到“//” 是“m=1”的结果就可得出选项。
【详细解答】当//时，有=1，且m0，m=1或m=-1，“//”不是“m=1”的充分条件，当m=1时，：x+y+1=0，：x+y=0，//，“//”是“m=1”的必要条件，“//”是“m=1”的必要不充分条件，B正确，选B。
『思考问题2』
（1）【典例2】是两条直线位置关系及运用的问题，解答这类问题需要理解并掌握判断两条直线位置关系的充分必要条件；
（2）【典例2】两条直线位置关系及运用问题主要包括：①已知两条直线方程，判断两条直线的位置关系；②已知两条直线的位置关系，求直线方程中参数的值（或取值范围）；
（3）判断两条直线位置关系的基本方法是：①直接判断法；②间接判断法；
（4）直接判断法是运用判断两条直线位置关系的充分必要条件：设直线：x+y+=0； ：x+y+=0。∥=且≠；与重合=且=；.=-1；
（5）间接判断法分两步进行：①判断两直线的斜率是否存在；②运用判断两条直线位置关系的充分必要条件得出结果。若两条直线的斜率都存在，则把两条直线的方程都化为斜截式，再看它们的斜率是否相等，截距是否相等（或两条直线斜率的乘积是否为-1）；若两条直线的斜率都不存在，只需判断在X轴上的截距是否相等；若两条直线中的一条直线斜率不存在，则只需判断另一条直线的斜率是否为0就可以了；
（6）到的夹角计算公式中 ，的位置是固定的，这里 ，分别是两条直线和的斜率；
（7）与的夹角计算公式中 ，的位置是不固定的，这里 、分别是两条直线和的斜率；
（8）在上面的公式中，当1+=0，即：=-1时，显然公式已经没有意义了，这时与的夹角为。
（9）一般式的直线方程若系数中含有参数，在判定直线的位置关系时，需分两种情况来考虑：①直线的斜率存在；②直线的斜率不存在；
（10）若直线方程是：：y=x+，：y=x+，则应该注意①∥，②⊥，③与重合，④与斜交的充分必要条件。
【典例3】解答下列问题：
1、设点M在直线2x+y-1=0上，点（3，0）和（0，1）均在M上，则M的方程为 （2022全国高考甲卷文）
【解析】
【考点】①圆定义与性质；②求圆标准方程的基本方法。
【解答思路】根据圆的性质，运用求圆标准方程的基本方法，结合问题条件求出点M的坐标和M的半径，就可求出M的标准方程。
【详细解答】由题意设点M（t，1-2t），点（3，0）和（0，1）均在M上， = + = + ， t=1，点M（1，-1），=5，即M的方程为：
+=5。
2、过四点（0，0），（4，0），（-1，1），（4，2）中的三个点的一个圆的方程为 （2022全国高考乙卷）
【解析】
【考点】①圆定义与性质；②求圆标准方程的基本方法。
【解答思路】根据圆的性质，运用求圆标准方程的基本方法，结合问题条件分别求出过四点（0，0），（4，0），（-1，1），（4，2）中的三个点的圆的方程。
【详细解答】设过点（0，0），（4，0），（-1，1）的圆的方程为+=，
点（0，0），（4，0），（-1，1）在圆上，+=①，16-8a++=②，1+2a++1-2b+=③，联立①②③解得：a=2，b=3，=13，过点（0，0），（4，0），（-1，1）的圆的方程为+=13；同理可得过点（0，0），（4，0），（4，2）的圆的方程为+ =5，过点（0，0），（-1，1），（4，2）的圆的方程为+ = ，过点（4，0），（-1，1），（4，2）的圆的方程为+ = ，过四点（0，0），（4，0），（-1，1），（4，2）中的三个点的一个圆的方程分别为：+=13，
+ =5，+ = ，+ = 。
『思考问题3』
（1）【典例3】是求圆的方程的问题，解决这类问题的基本原则是：①如果从条件中容易求出圆心坐标和半径或需要用圆心坐标列方程，则选用圆的标准方程；②如果条件与圆心坐标和半径没有直接关系，则选用圆的一般方程；
（2）求圆的方程常用的方法是：①定义法；②待定系数法；
（3）当已知圆的圆心坐标求圆的标准方程一般采用定义法，这时只需根据问题条件求出圆的半径，就可得到圆的方程；
（4）当圆心坐标，圆的半径都没有给出，求圆的标准方程一般采用待定系数法，这时需要根据问题条件求出圆心坐标和圆的半径，就可得到圆的方程；
（5）待定系数法求圆方程的基本方法是：①根据问题条件选择圆的标准方程或圆的一般方程；
②列出关于待定系数的方程（或方程组）；③ 求解方程（或方程组）求出待定的系数；
④ 把求出的系数代入假设式得到圆的方程；
（6）求圆的方程时常用的有关圆的几何性质：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在圆任一弦的垂直平分线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点在同一直线上；④圆心到弦的距离，圆的半径，弦长的一半构成一个直角三角形。
【典例4】解答下列问题：
1、 已知a，b，c成等差数列，直线ax+by+c=0与圆C：++4y-1=0相交于A，B两点，
则|AB|的最小值为（ ）（2024全国高考甲卷）
A 2 B 3 C 4 D 2
【解析】
【知识点】①圆定义与性质；②等差中项定义与性质； ③圆心到弦的距离，弦长和圆半径构成的直角三角形及运用。
【解题思路】根据圆和一元二次方程的性质，结合问题条件得到关于x的一元二次方程，运用一元二次方程根的判别式，得到关于x-y的不等式，求解不等式求出x-y的最大值就可得出选项。
【详细解答】 a，b，c成等差数列，a-2b+c=0，直线ax+by+c=0过定点P（1，-2），当x=1，y=-2时，++4y+1=1+4-8+1=-2＜0，定点P（1，-2）在圆C内，圆C：++4y-1=0，+=5，当且仅当直线垂直于过点（1，-2）的直径时，|PC|
==1，|AB|=2=4为最小值，|AB|的最小值为4， C正确，选C。
2、已知P是抛物线C：=4y+20上任意一点，若过点P作圆O：+=4的两条切线，切点分别为A，B，则劣弧AB长度的最小值为（ ）（成都市高2021级高三二诊）
A B C D
【解析】
【考点】①抛物线定义与性质；②圆定义与性质；③圆切线长定理及运用。
【解题思路】根据抛物线和圆的性质，运用圆的切线长定理，结合问题条件得到|AB|关于的表示式，求出|AB|最小值，从而求出劣弧AB的最小值就可得出选项。
【详细解答】设P（，-5），|PO|==，|AO|=2，|PA|
==，=，|AB|=
==4，当且仅当=12，即=2时，|AB|=2为最小值，cosAOB==，AOB=，劣弧AB长度的最小值为，D正确，选D。
3、已知实数x，y满足-4x-2y-4=0，则x-y的最大值是（ ）（2023全国高考乙卷文）
A B 4 C 1+3 D 7
【解析】
【知识点】①圆定义与性质；②一元二次方程定义与性质； ③一元二次方程根判别式及运用。
【解题思路】根据圆和一元二次方程的性质，结合问题条件得到关于x的一元二次方程，运用一元二次方程根的判别式，得到关于x-y的不等式，求解不等式求出x-y的最大值就可得出选项。
【详细解答】设x-y=k，则x=k+y，实数x，y满足-4x-2y-4=0，+(k-3)y+/2-2k
-2=0，y是实数，=-6k+9-2+8k+8=-+2k+170，-2k-17≤0，1-3≤k≤1+3，及x-y的最大值为1+3， C正确，选C。
4、若直线：x+my-2=0，与：mx- y+2=0（mR）相交于点P，过点P作圆C：+
=1的切线，切点为M，则|PM|的最大值为 （成都市高2020级高三二诊）
【解析】
【考点】①直线方程定义与性质；②求两条直线交点坐标的基本方法；③圆定义与性质；④圆切线定义与性质；⑤两点之间距离公式及运用。
【解题思路】根据直线方程的性质和求两条直线交点的基本方法，结合问题条件得到点P关于m的坐标，运用圆与圆切线的性质和两点之间的距离公式，得到|PM|关于m的表示式，就可求出|PM|的最大值。
【详细解答】直线：x+my-2=0，与：mx- y+2=0（mR）相交于点P， 点P（，
），过点P作圆C：+=1的切线，切点为M，|CM|=1，|PM|==，|PM|=-1
==7+，当且仅当=0，即m=0时，|PM|取得最大值为7+24=31，此时|PM|的最大值为。
5、（理）在平面直角坐标系xOy中，射线OT与直线l：x=9，圆O：+=9分别相交于A，B两点，若线段OB上存在点M（m，n）（不含端点），使得对于圆O上任意一点P都满足=，则mn的最大值为 。
（文）已知A（9,3），M（m，n）,是圆O：+=9内一点，对圆O上任意一点P都有为定值，则mn的值为 （成都市高2020级高三三珍）
【解析】
【考点】①圆定义与性质；②平行线段成比例定理及运用；③函数求导公式，法则和基本方法；④运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】（理）根据圆的性质，运用平行线段成比例定理，结合问题条件得到关于m,射线OT斜率k的等式，从而得到mn关于k的表示式，利用函数求导公式，法则与基本方法和运用函数导函数求函数最值的基本方法，就可求出mn的最大值。（文）根据圆的性质，运用平行线段成比例定理，结合问题条件得到关于m的方程，求解方程求出m的值，从而求出n的值，就可求出mn的值。
【详细解答】（理）如图，设m>0，n>0，A（9，9k），点M（m，km），B（x，kx），（-x，
-kx），=，=， y A
= ，=，=， p B
-+（9-m）x+9m=+（9-m）x-9m，
x=3，B（3，3k），点B在
圆O：+=9上，9m+9m=9m(1+)=9，m(1+)=1，m=，mn
=k=，设函数f(x)=（x>0），（x）=
=，令（x）=0解得：x=，x（0，）时，（x）>0，x（，+）时，（x）<0，=f()==，即mn的最大值为。
（文）如图，设m>0，n>0， P（3，0），连接OA，交圆O于点B，点M在线段OB上（不含端点， 点A（9，3），射线OA的方程为y=x，B（，） ， M（m，
m），（-，-） ，=， y A
=，=， P x C
为定值，=，
=，-27+（18-2m）3+36m=27+（18-2m）3-36m，m=，n=m=，mn=。
6、已知点P在圆+=16上，点A（4，0），B（0，2），则（ ）（2021全国高考新高考I）
A 点P到直线AB的距离小于10 B 点P到直线AB的距离大于2
C 当PBA最小时，|PB|=3 D 当PBA最大时，|PB|=3
【解析】
【考点】①圆定义与性质；②圆参数方程定义与性质；③已知直线上两点的坐标，求直线方程的基本方法；④点到直线距离公式及运用；⑤求三角函数最值的基本方法；⑥余弦定理及运用；⑦基本不等式及运用。
【解题思路】根据圆和圆参数方程的性质，得到点P含参数的坐标，运用已知直线上两点的坐标，求直线方程的基本方法，求出直线AB的方程，由点到直线的距离公式，得到点P到直线AB的距离关于参数的三角函数表示式，利用求三角函数最值的基本方法求出点P到直线AB距离的最值可以判断A，B选项的正确与错误；过点B作圆的切线BC，BD，切点分别为C，D，显然当点P与点C重合时，PBA最大，当点P与点D重合时，PBA最小，此时，|PB|=|BC|=|BD|，运用勾股定理求出|PB|的值，可以判断C，D的正确与错误，就可得出正确的选项。 C P
【详细解答】如图，点P在圆+=16上， y
P（5+4cos，5+4sin），点A（4，0），B（0，2），直线 B D
AB的方程为x+2y-4=0，= 0 A x
=，当且仅当=1时，取得最大值为=
+4<10，当且仅当=-1时，取得最小值为=-4<2，A正确，B
错误；过点B作圆的切线PC，PD，切点分别为C，D，显然当点P与点C重合时，PBA最大，当点P与点D重合时，PBA最小，由勾股定理可知，此时|PB|=|BC|=|BD|=
==3，C，D正确，综上所述A，C，D正确，选A，C，D。
『思考问题4』
（1）【典例4】是求与圆相关的最值问题，解答这类问题需要掌握函数（或三角函数）求最值的基本方法；
（2）求与圆相关的最值问题一般是借助图形的性质，运用数学结合的数学方法求解；
（3）常见与圆相关的最值问题有：①求u=形式的最值，这类问题可转化为求动直线斜率的最值；②求t=ax+by形式的最值，这类问题可转化为动直线截距的最值；③求+形式的最值，这类问题可转化为动点到定点的距离的的最值。
［练习4］解答下列问题：
1、（理）已知等边ABC的三个顶点均在圆+=4上，点P（，），则.
+.的最小值为（ ）（答案：C）
A 14 B 10 C 8 D 2
（文）已知A，B是圆+=4上的两个动点，且满足|AB|=2，点P（，），则.
的最小值为（ ）（成都市2021高三三诊）（答案：C）
A B C 1 D 7-2
2、点（0，1）到直线y=k(x+1)距离的最大值为（ ）（2020全国高考新课标III）（答案：B）
A 1 B C D 2
【典例5】解答下列问题：
1、 已知曲线C：+=16（y＞0），从C上任意一点P向x轴作垂线段P，为垂足，
则线段P的中点M的轨迹方程为（ ）（2024全国高考新高考II）
A +=1（y＞0）B + =1（y＞0）C+ =1（y＞0）D +=1（y＞0）
【解析】
【知识点】①圆定义与性质；②点的轨迹方程定义与性质； ③线段中点定义与性质；④求点轨迹方程的基本方法。
【解题思路】根据圆，点的轨迹方程和线段中点的性质，运用求点轨迹方程的基本方法，结合问题条件求出线段P的中点M的轨迹方程就可得出选项。
【详细解答】设M（x，y），M是线段P的中点，线段P垂直于x轴，为垂足，（x，0），P（x，2y），点P在曲线C：+=16（y＞0）上，+4=16（y＞0），线段P的中点M的轨迹方程为+=1（y＞0），A正确，选A。
2、抛物线C：=4x的准线为l，P为C上的动点，过P作圆A：+=1的一条切
线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）（2024全国高考新高考II）
A l与圆A相切 B 当P，A，B三点共线时，|PQ|=
C 当|PB|=2时，PA⊥AB D 满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个
【解析】
【考点】①圆定义与性质；②抛物线定义与性质；③圆的切线定义与性质；④两点之间距离公式级运用；求椭圆离心率的基本方法。
【解答思路】根据抛物线，圆和圆的切线的性质，运用两点之间的距离公式，结合问题条件对各选项结论正确于错误进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，抛物线C：=4x的准线为l，l的方程为x=-1，圆A的圆心（0，4）到直线l的距离为1， l与圆A相切，A正确；对B，当P，A，B三点共线时，点P的坐标为（4，4），|PA|=4，|AQ|=1，，|PQ|===，B正确；对C，当|PB|=2时，点P的坐标为（1，2）或（1，-2），对应点B的坐标为（-1，2），（-1，-2），=（-1，2），或=（-1，6），=（-1，2），或=（-1，-6），。=1+4=5，或。=1-36=-35， PA⊥AB不成立，C错误；对D， PA|=|PB|=|PF}（F为抛物线C的焦点），点P在线段AF的垂直平分线上，线段AF的垂直平分线的方程为：y=-4x+4，联立直线y=-4x+4于抛物线C的方程得：4-9x+4=0，=81-64=17＞0，满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个，D正确，综上所述，A，B，D正确，选A，B，D。
3、已知圆C：+-4y-4=0经过椭圆：+=1（a＞b＞0）的两个焦点，，圆C和椭圆在第二象限的交点为N，.=16-24，则椭圆的离心率为（ ）（成都市高2021级高三一诊）
A B C D
【解析】
【考点】①椭圆定义与性质；②圆定义与性质；③平面向量数量积定义与性质；④求椭圆离心率的基本方法。
【解答思路】设N（，）（<0，>0），根据椭圆和圆的性质，结合问题条件得到焦点（-2，0），（2，0），从而得到，关于b的表示式，运用平面向量数量积的性质得到关于b的方程，求解方程求出b，a的值，利用椭圆离心率公式求出椭圆的离心率就可得出选项。 y
【详细解答】设N（，）（<0，>0），如图，
圆C：+-4y-4=0经过椭圆：+=1 N
（a＞b＞0）的两个焦点，，+0-0-4=0，
（-2，0），（2，0），圆C和椭圆在第二象限的交点为N，+-44
=0①，+=1②，=（-2-，）,=（2-，）,.=16-24，+=16-20③，联立①②③解得：=-4，=4-2，=8，a=2，
椭圆的离心率为 e===，C正确，选C。
4、已知直线l：x-ay+1=0与C：+=1相交于A，B两点，若ABC是直角三角形，则实数a的值为（ ）（成都市高2021级公式三诊）
A 1或- 1 B 或- C -或- 1 D -或-
【解析】
【考点】①圆定义与性质；②直角三角形定义与性质；③判断直线与圆位置关系的基本方法；④设而不求，整体代入数学思想及运用。
【解题思路】根据圆和直角三角形的性质，运用设而不求，整体代入数学思想和判断直线与圆位置关系的基本方法，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程求出a的值就可得出选项。
【详细解答】如图，设A（，），B（，）， y B
联立直线l与C的方程得：（1+）- 2（+ A
a+1）y+=0，+=， 0 x
=，+=a（+）-2=，=-a（+）+1=，直线l：x-ay+1=0与C：+=1相交于A，B两点，
ABC是直角三角形，=（-a，-1），=（-a，-1），=（-a）（-a）+（-1）（-1）=-a（+）++-（+）+1=-a（+）+1-（+）+2a++-（+）+1=（1+）-（+a+1）（+）++2a+2==0，（1-a）(+2a+1)=0，a=1，或a=-1，A正确，选
A。
5、（理）已知直线l：mx+y+1-2m=0(（mR ）和圆C：+-2x+4y+1=0，则“m=0”是“圆C上恰有三个不同点到直线l的距离为1”的（ ）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
（文）已知直线l：mx+y-m=0(（mR ）和圆C：+-2x+4y+1=0，则“m=0”是“直线
l与圆C相切”的（ ）（成都市高2021级高三零诊）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
【解析】
【考点】①圆定义与性质；②判断直线与圆位置关系的基本方法；③充分条件，必要条件各充分必要条件定义与性质；④判断充分条件，必要条件和充分必要条件的基本方法。
【解题思路】（理）根据圆，充分条件，必要条件和充分必要条件的性质，运用判断直线与圆位置关系，充分条件，必要条件和充分必要条件的基本方法，结合问题条件对“m=0”是“圆C上恰有三个不同点到直线l的距离为1”的充分性，必要性进行判断，就可得出选项。
（文）根据圆，充分条件，必要条件和充分必要条件的性质，运用判断直线与圆位置关系，充分条件，必要条件和充分必要条件的基本方法，结合问题条件对“m=0”是“圆C上恰有三个不同点到直线l的距离为1”的充分性，必要性进行判断，就可得出选项。
【详细解答】（理）当m=0时，如图，直线l：y+1=0， y
圆C：+=4，由图知，此时，圆C上 0 1 x
有三个点到直线l的距离为1，则“m=0”是“圆 -1
C上恰有三个不同点到直线l的距离为1”的充分条件， -2
当圆C上恰有三个不同点到直线l的距离为1时，此时
直线l的方程只能是y+1=0,m =0，“m=0”是“圆C
上恰有三个不同点到直线l的距离为1”的必要条件， 综上所述，“m=0”是“圆C上恰有三个不同点到直线l的距离为1”的充分必要条件，C正确，选C。
（文）【详细解答】当m=0时，如图，直线l：y=0， y
圆C：+=4，由图知，此时，直线 0 1 x
l圆C相切，则“m=0”是“直线l与C圆 相切
”的充分条件， 当直线l与圆C相切时，由图知直线
与x轴重合，此时直线l的方程只能是y=0,m =0，
“m=0”是“直线l与圆C相切”的必要条件，
综上所述，“m=0”是“直线l与圆C相切”的充分必要条件，C正确，选C。
6、已知O的半径为1，直线PA于O相切于点A，直线PB与O相交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|=，则.的最大值为（ ）（2023全国高考乙卷理）
A B C 1+ D 2+
【解析】
【知识点】①圆定义与性质；②直角三角形定义与性质； ③平面向量数量积等腰与性质；④求三角函数最值的基本方法。
【解题思路】根据圆，直角三角形和平面向量数量积的性质，结合问题条件得到.的三角函数表示式，运用求三角函数最值的基本方法，求出.的最大值就可得出选项。
【详细解答】如图，连接PO，OA，设BPO=（0≤≤），|OA|=1，|PO|=，直线PA于O相切于点A，|PA|= =1，|PD|=cos，APO=AOP=，①当点A，D位于PO的异侧时，.=|PA||PD|cos(+)=cos（cos- sin）= cos- cossin=- sin2+ cos+=- sin(2-)+，当且仅当2-=-，即=0时，.=-（-）+=+=1为最大值；
②当点A，D位于PO的同侧时，.=|PA||PD|cos(-)=cos（cos
+sin）= cos+cossin= sin2+ cos+=sin(2+)+，当且仅当2+=，即=/8时，.=-1+=+为最大值，+
＞1，.的最大值为+， A正确，选A。
7、若双曲线-=1（m>0）的渐近线与圆+-4y+3=0相切，则m= （2022全国高考甲卷理）
【解析】
【考点】①双曲线定义与性质；②圆定义与性质；③判断直线与圆相切的基本方法。
【解答思路】根据双曲线和圆的性质，运用判断直线与圆相切的基本方法，结合问题条件得到关于m的方程，求解方程就可求出m的值。
【详细解答】圆+-4y+3=0，+=1，双曲线-=1的渐近线方程为：
y=x，双曲线-=1（m>0）的渐近线与圆+-4y+3=0相切，d= =1，
+1=4，m=，m>0， m=。
8、写出与圆+=1和+=16都相切的一条直线方程 （2022全国高考新高考I卷）
【解析】
【考点】①圆定义与性质；②两圆相切定义与性质；③圆的切线定理及运用。
【解答思路】根据圆和两圆相切的性质，得到圆+=1和+=16外切，运用圆的切线定理，结合问题条件就可求出与圆+=1和+=16都相切的一条直线方程。
【详细解答】如图，|O|==5=1+4，圆+=1和+=16外切，
直线x=-1与圆+=1和+ y
=16都相切，O（0，0），（3，4），直线O
的方程为y= x，联立直线x=-1和直线y= x
的方程解得：x=-1，y= -，直线x=-1和直线 0 x
y= x的交点为M（-1，-），过点M且与圆+=1和+=16都相切
的直线方程为x=my+m-1，===1，7-24m=7m(m-)
=0，m=0或m=，m0， m=，过点M且与圆+=1和
+=16都相切的直线方程为y=x-，联立圆+=1和+=16的方程解得：x=，y=，圆+=1和+=16外切于点N（，），
过点N与圆+=1和+=16都相切的直线方程为x=my+ ，
===1，9+24m+16==0，m=-，过点N
与圆+=1和+=16都相切的直线方程为y=-x+，综上所述，与圆+=1和+=16都相切的一条直线方程分别是x=-1，y=x-，y=-
x+。
『思考问题5』
（1）【典例5】是点与圆，直线与圆和圆与圆的位置关系相关的问题，解决这类问题需要理解点与圆，直线与圆和圆与圆的位置关系的定义，掌握判断点与圆，直线与圆和圆与圆的位置关系的基本方法；根据直线与圆的三种位置关系的特征判断其属于哪一种位置关系；
（2）判断点与圆，直线与圆和圆与圆的位置关系主要有两种方法：①代数法；②几何法；
（3）在实际解决问题时，到底选用哪种方法，应该根据题给条件来确定：①如果圆心坐标容易求出，则首先考虑几何判断法；②如果圆心坐标不容易求出，则首先考虑代数判断法。
［练习5］解答下列问题：
1、写出与圆+=1和+=16都相切的一条直线方程 （2022
全国高考新高考I卷）（答案：实数a的取值范围为[，]。）
2、已知M为圆+=2上的动点，则点M到直线x-y+3=0的距离的最大值是（ ）（成都市2019级高三零诊）（答案：C）
A B 2 C 3 D 4
3、如图，经过坐标原点O且互相垂直的两条直线AC和BD与圆：+-4x+2y-20=0相交于A，B，C，D四点，M为弦AB的中点，有下列结论：①弦AC长度的最小值为4；②线段BD长度的最大值为10-；③点M的轨迹是一个圆；④四边形ABCD面积的取值范围为[20，45]。其中所有正确结论的序号为 （成都市2019级高三三珍）（答案：其中所有正确结论的序号为①③④。）
4、已知直线l：ax+by-=0与圆C：+=，点A（a，b），则下列说法正确的是（ ）（2021全国高考新高考II）（答案：A，B，D）
A 若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B 若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D 若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
5、“k= ”是“直线y=kx+2与圆+=1相切”的（ ）（成都市2021高三零诊）（答案：A）
A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件
6、若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x-y-3=0的距离为（ ）（2020全国高考新课标II）（答案：B）
A B C D
M
M
O
M
O
M
O
b
0 x
C
O

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