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第01讲 函数的概念与表示
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考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 求函数值 (2) 求函数的定义域和值域 (3) 求函数的解析式 2024年I卷，5分 2024年上海卷，5分 2023年北京卷，5分 2022年北京卷，5 分 2021年甲卷，5 分 2021年浙江卷，5分 （1）本讲为高考命题热点，题型以选择题、填空题为主； （2）重点是理解函数的三要素和函数的表示方法，主要考查求抽象函数和分段函数的函数值，求函数的定义域和值域和求函数的解析式，熟练掌握赋值法、换元法，配凑法等方法，理解递推的思想.
(
考试要求
小
)
1、了解函数的含义；
2、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数（如图像法、列表法、解析法）
3、了解分段函数.
(
考点突破考纲解读
)
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考点梳理
小
)
知识点1:函数的概念
1、设是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为集合到集合的一个函数，记作.
知识点2:函数的三要素
函数的三要素：定义域、对应关系、值域；
同一个函数：两个函数定义域相同且对应关系也相同，则为同一函数.
知识点3:函数的表示
函数的常用表示方法有：解析法、图象法和列表法.
知识点4:分段函数
分段函数：在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示的函数.
分段函数求值问题解题思路：
求形式的函数值：从内向外依次求值，先求，再求的值；
求自变量的值：1）先假设所求值在分段函数定义的各区间段上；
2）求出相应的自变量的值，并代入检验.
(
题型展示
小
)
题型一:求分段函数的函数值
【例1】已知函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
，将代入得，答案为C.
【变式1】已知，函数若，则 .
【答案】1
【解析】
从内向外依次求值：，答案为1.
题型二:求函数的定义域与值域
【例2】函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
真数大于0，根号里的式子大于等于0，分母不为0，
，答案为C.
【变式2】函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
根据根号下非负及真数大于零可得：
，
即函数的定义域为，答案为C．
题型三:求函数的解析式
【例3】已知，则的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】换元法
（1）换元，令，解出代入：
（2）再把所有写成：
答案为A.
【变式3】已知函数满足，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解方程组法
（1）赋值，得到方程，构造方程组：
（2）联立方程组求解：
答案为D.
(
考场演练
)
题型1 求函数值
【真题1】（2024·全国新Ⅰ卷）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
求出初始值：
当时，，
递推：
又，
则，
，
，
，
，则依次下去可知，则B正确；且无条件表明ACD一定正确.答案为B.
【思路点拨】
根据初始函数值，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，递推可得.
【真题2】（2024·上海）已知则 ．
【答案】
【解析】
故，故答案为：.
【真题3】（2023·北京）已知函数，则 ．
【答案】1
【解析】
，.故答案为：1
【真题4】（2021·全国甲卷）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题意可得：，
而，故.故答案为C.
【真题5】（2021·浙江）已知，函数若，则 .
【答案】2
【解析】
，故，故答案为：2.
题型2 求函数的定义域与值域
【真题6】（2022·北京）函数的定义域是 ．
【答案】
【解析】
根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组
，，解得且，即函数的定义域为；故答案为：
【真题7】（2020·山东）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由题知：，解得且.则函数定义域为.答案为B.
【真题8】（2019·江苏）函数的定义域是 .
【答案】.
【解析】
根据偶次根式下被开方数非负得,即解得，故函数的定义域为.
【真题9】（2018·江苏）函数的定义域为 ．
【答案】[2，+∞）
【解析】
根据偶次根式下被开方数非负得，解得，即函数的定义域为.
【真题10】（2016·江苏）函数y=的定义域是 .
【答案】
【解析】
根据偶次根式下被开方数非负得，函数定义域为
【真题11】（2016·全国）下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（ ）
A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝
【答案】D
【解析】
函数的定义域和值域分别为,答案为D．
【真题12】（2015·福建）若函数（且）的值域是，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
的值域是，
故当时，满足，
当时，有，
，实数的取值范围.
【真题13】（2015·湖北）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
根据根号下非负及真数大于零可得：
，解之得，即函数的定义域为，答案为C．
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第01讲 函数的概念与表示
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考点要求 考题统计 考情分析
(1) 求函数值 (2) 求函数的定义域和值域 (3) 求函数的解析式 2024年I卷，5分 2024年上海卷，5分 2023年北京卷，5分 2022年北京卷，5 分 2021年甲卷，5 分 2021年浙江卷，5分 （1）本讲为高考命题热点，题型以选择题、填空题为主； （2）重点是理解函数的三要素和函数的表示方法，主要考查求抽象函数和分段函数的函数值，求函数的定义域和值域和求函数的解析式，熟练掌握赋值法、换元法，配凑法等方法，理解递推的思想.
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考试要求
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1、了解函数的含义；
2、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数（如图像法、列表法、解析法）
3、了解分段函数.
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知识点1:函数的概念
1、设是 ，若对于集合中的 数，按照某种 ，在集合中都有 的数与之对应，则称为集合到集合的一个函数，记作.
知识点2:函数的三要素
函数的三要素： 、 、 ；
同一个函数：两个函数定义域相同且 也相同，则为同一函数.
知识点3:函数的表示
函数的常用表示方法有： 、 和 .
知识点4:分段函数
分段函数：在其定义域的 上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示的函数.
分段函数求值问题解题思路：
求形式的函数值： 依次求值，先求，再求的值；
求自变量的值：1）先假设所求值在分段函数定义的各区间段上；
2）求出相应的自变量的值，并代入检验.
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题型一:求分段函数的函数值
【例1】已知函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】已知，函数若，则 .
题型二:求函数的定义域与值域
【例2】函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
题型三:求函数的解析式
【例3】已知，则的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】已知函数满足，则等于（ ）
A． B． C． D．
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题型1 求函数值
【真题1】（2024·全国新Ⅰ卷）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【真题2】（2024·上海）已知则 ．
【真题3】（2023·北京）已知函数，则 ．
【真题4】（2021·全国甲卷）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A． B． C． D．
【真题5】（2021·浙江）已知，函数若，则 .
题型2 求函数的定义域与值域
【真题6】（2022·北京）函数的定义域是 ．
【真题7】（2020·山东）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【真题8】（2019·江苏）函数的定义域是 .
【真题9】（2018·江苏）函数的定义域为 ．
【真题10】（2016·江苏）函数y=的定义域是 .
【真题11】（2016·全国）下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（ ）
A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝
【真题12】（2015·福建）若函数（且）的值域是，则实数的取值范围是 ．
【真题13】（2015·湖北）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
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