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专题六 无刻度直尺作图
1．横坐标和纵坐标的都是整数的点称为格点．如图，的顶点都是格点，为上一点，仅用无刻度直尺完成下列画图．（保留作图痕迹）
(1)在图中，先画关于轴对称的，再在上画一点，使；
(2)在图中，先画的高，再在上画一点，使．
2．尺规作图：有一块土地形状是三角形，其中，．
(1)在图1中，要把这块三角形的土地均匀分给甲、乙两家农户，要使这两家农户所得土地是面积相等的等腰三角形，请用无刻度直尺和圆规画出分法；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在图2中，要把这块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户，要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请用无刻度直尺和圆规画出分法．（保留作图痕迹，不写作法）
3．如图，的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知，，．

(1)画出及关于y轴对称的；
(2)分别写出点A，点B，点C的对应点，，的坐标是__________；
(3)请用无刻度直尺在网格内作出以为腰的等腰直角．（保留作图痕迹）
4．如图，是由边长为1的小正方形组成的网格，的三个顶点都是格点，且．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图1中，点M是边与网格线的交点，先作点M关于直线的对称点，再在上画点P，使；
(2)在图2中，先找格点D，使，再作，且点F在上，．
5．如图，在下列带有坐标系的网格中，的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，，，．仅用无刻度的直尺，完成作图．

(1)直接写出的面积为______；
(2)已知点M为的中点，请作出点M关于y轴的对称点N，并写出点N的坐标______；
(3)作的高；
(4)在线段上作点P，使得．
6．如图，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)将先向右平移三个长度单位，再向下平移四个长度单位，则平移后的点A、B、C的对应点的坐标分别是（____，____），（____，____），（____，____）；
(2)画出关于直线（直线y上各点的纵坐标都为）对称的，并写出的坐标（____，____）；
(3)将向右平移五个长度单位，则扫过的面积是________（直接写出结果）．
7．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点． 的三个顶点都是格点． 仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图1中，先画，且，再在上画点，使；
(2)在图2中，先画格点，使得，画出射线，再在射线上画点，使得．
8．如图，在边长为1cm的小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形的顶点，已知点A的坐标为．

(1)①在网格图1中标出x轴、y轴，并直接写出的面积是________．
②直接写出点B关于直线l（直线l上点的纵坐标都是1）的对称点的坐标是________．
③并用三角板量出线段的长是________．
(2)用无刻度的直尺及所学的知识在给定网格图2中作图（保留作图痕迹）．
①作出的高线，并直接写出的长是________．
②在上确定一点P，使．
9．如图是的小正方形构成的网格，每个小正方形的边长为1，的三个顶点A，B，C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不写作法，保留作图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．

(1)在图1中，作出关于直线对称的；
(2)在图2中，作出的高CH；
(3)在图3中，在边AC上找到点D，使得；
(4)在图4中，在内部找一点P，使得．
10．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A、B、C、D都是格点，点P是线段上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．

(1)在图1中，画出的中线和高线；
(2)在图2中，在边上取一点E，使得；
(3)在图3中，在线段上取一点Q，使得．
11．如图，A、B、C是正方形网格图中的格点，直线m上各点的横坐标都为1，请用无刻度尺在给定的网格图中按要求作图，保留作图痕迹．

(1)画出的中点D；
(2)画出三角形关于直线m对称的三角形；
(3)点M在线段上，画出点M关于直线m的对称点；
(4)若直线m上有两个动点P、Q（P在Q的上方）满足，当最小时，求Q点的坐标为______．
12．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点，仅用无刻度直尺在给定的网格中完成画图，画图的过程用虚线表示．
(1)在图1中完成下列画图：
①画的中线；
②画的高；
③在上画点F，并连接，使．
(2)如图2，已知M在上，先画的角平分线；再在上画点N，使．
13．如图，在平面直角坐标系中，，，．

(1)在图中作出关于直线（直线上各点的横坐标都为1）对称的图形；
(2)线段上有一点，直接写出点关于直线对称的点的坐标；
(3)线段上有一点，直接写出点关于直线对称时与满足的数量关系；
(4)若直线交轴于点，直接写出点坐标．
14．如图，是由小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点A、B、C、D都是格点，直线与交于点E，仅用无刻度直尺，在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示．

(1)在图1中，画出的中线和角平分线；
(2)如图2，连接．
①是______三角形；
②在图2中的线段上画点P，使．
15．如图，在的正方形网格中，请仅用无刻度直尺完成下列画图问题（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．

(1)在图1中，画出线段的中点M．
(2)在图2中，线段与水平网格线相交于D、E两点，在直线l上画一点P，连接和，使得最小．
(3)在图3中的直线l上画一点F，使．
(4)在图4中，线段与水平网格线相交于D点，过D点画于H点．
16．如图在由正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点，，都是格点，用无刻度直尺，在给定的网格中完成画图．

(1)在图（1）中，另画出三角形，使（为的对应点）；
(2)在图（1）中，画出的中线；
(3)在图（2）中，画出的高，再在高上画点，使得．
17．横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点．如图，的顶点都是格点，M为AB上一点，仅用无刻度直尺画图（保留作图痕迹），并回答问题．
(1)画关于y轴对称的；
(2)画的高；
(3)画M点关于y轴的对称点；
(4)探究与有一条公共边且与成轴对称的格点三角形，直接写出满足条件的三角形的个数．
参考答案
1．(1)作图见解析；
(2)作图见解析．
【分析】（）根据轴对称的性质可作出，取格点，连接，与相交于点，由图可知点关于对称，所以，因为，故，即点为所求；
（）取格点，连接交于，则线段即为所求；再取格点，连接与相交于点，连接交于，点即为所求；
本题考查了作轴对称图形，轴对称的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，余角性质，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，和点即为所求；
（2）解：如图，线段和点即为所求．
理由如下：
由图可得，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴为的高；
连接，由网格可得，，
∵，
∴，
∴，
即，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点即为所求．
2．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了尺规作图—线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质、三角形全等的判定与性质、三角形中线的性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）以、为圆心，大于的长度为半径画弧，相交于两点，连接两点交于，连接，、即为所求；
（2）以、为圆心，大于的长度为半径画弧，相交于两点，连接两点交于，交于，连接，、、即为所求．
【详解】（1）解：如图，、即为所求，
，
由作图可得：为的中点，
，
，
为的中线，
，，
、均为等腰三角形且面积相等；
（2）解：如图，、、即为所求，
，
由作图可得：垂直平分，
，，，
，
，
在中，，，
，
，，
，
，
，
、、即为所求．
3．(1)作图见解析
(2)，，
(3)作图见解析
【分析】本题考查了作图-轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．
（1）描出点依次连线即可，分别作出点A，点B，点C关于y轴的对应点，，，连线即可；
（2）根据图象即可得到点，，的坐标，；
（3）根据题意，是以为腰的等腰直角三角形，作交于点A或交于点C即可；
【详解】（1）解：和如图所示：

（2）解：,
故答案为：，，
（3）解： 是等腰直角三角形，
以为腰时，
,
,
,
则如图所示：

4．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查格点作图，轴对称的性质，三角形全等的判定与性质：
（1）先利用格点作点B关于的对称点，利用格点可找到，由轴对称的性质可得，由对顶角相等可得，因此与的交点即为点P；
（2）先利用格点作，可得，再将向下平移一格，向左平移两格，点D的对应点为点E，与的交点为点F．
【详解】（1）解：点M和点P如下图所示：
（2）解：点D和如下图所示：
5．(1)7
(2)图见解析，
(3)见解析
(4)见解析
【分析】本题考查了坐标与图形，涉及了无刻度直尺作图、轴对称等知识点，熟记相关结论是解题关键．
（1）利用“割补法”即可求解；
（2）根据点M为的中点可求出点M的坐标，即可作出点N；
（3）确定以点为顶点的“１×３”矩形的对角线的另一个端点，即可完成作图；
（4）构造等腰直角三角形即可完成作图．
【详解】（1）解：，
故答案为：7；
（2）解：如图所示，点N即为所求，，

故答案为：；
（3）解：如图所示，高即为所求；

（4）解：如图所示，点P即为所求．

6．(1)；画图见详解
(2)，画图见详解
(3)21
【分析】此题主要考查了作图-平移变换，作图-轴对称变换，解答本题的关键要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
（1）向右平移三个长度单位，再向下平移四个长度单位，则平移后点、、的对应的坐标分别是横坐标加上3，纵坐标减4可得答案；
（2）先作出直线，再作出、、关于直线的对称点，连线并写出其坐标即可；
（3）向右平移五个长度单位可得 扫过的面积即为梯形的面积．
【详解】（1）如图1所示：向右平移三个长度单位，再向下平移四个长度单位后到达位置，
∴，
故答案为：；
（2）关于直线(直线上各点的纵坐标都为)对称的，如图2，的坐标；
故答案为：；
（3）如图3，
∴扫过的面积：．
故答案为：21．
7．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了格点作图，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，熟练掌握相关知识点，并熟练运用，是解题的关键．
（1）易得，，进而可得，即为所求，连接交于点E，点E即为所求；
（2）根据平行四边形的性质和判定可得射线即为所求，连接交于点Q，连接并延长，交射线于点P，点P即为所求．
【详解】（1）解：如图：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴即为所求，
连接交于点E，
∵，．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴点E即为所求；
（2）解：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴射线即为所求，
连接交于点Q，连接并延长，交射线于点P，
∵，
∴点G在垂直平分线上，
∵点O为中点，
∴为垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴即，
∴点P即为所求．
8．(1)①；②；③5
(2)①画图见解析，；②画图见解析
【分析】（1）①根据点A的坐标标出x轴、y轴，然后利用割补法求解即可；
②根据轴对称的性质求解即可；
③根据题意求解即可；
（2）①连接交于点H，即为所求，然后利用等面积法求解即可；
②连接，，和的交点P即为所求．
【详解】（1）①如图所示，

的面积；
②∵
∴点B关于直线的坐标为；
③；
（2）①如图所示，即为所求；
∵是网格中的长方形的对角线，网格中的长方形的对角线，
∴交于点H，
∵的面积为，
∴，即
解得；
②如图所示，点P即为所求；
∵是网格中的长方形的对角线，网格中的长方形的对角线，
∴
又由网格可得，
∴是等腰直角三角形，
∴．

【点睛】本题考查割补法求三角形面积，轴对称，网格作图，等腰直角三角形性质，掌握割补法求三角形面积，轴对称以及等腰直角三角形性质是解题关键．网格中求三角形面积常用割补法．
9．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】（1）根据轴对称的定义作图，即为所求；
（2）根据三角形高的定义，网格线的特点作图即可；
（3）根据等腰直角三角形的性质作图，网格线的特点作图即可；
（4）根据三角形的重心的性质，利用网格线的特点找到，的中点、，连接、相交于点，点即为所求．
【详解】（1）如图所示，

（2）的高如图所示，

（3）点D如图所示，为等腰直角三角形，，故；

（4）点P如图所示，理由如下：
、为，的中点，即、是的中线，
为的重心，
，
，
即，
同理可证，，，
．

【点睛】本题考查了网格作图的应用和设计，掌握轴对称的定义、三角形的面积公式、网格线的特点、等腰直角三角形的性质及重心的性质是解题的关键．
10．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特征、等腰直角三角形的性质及轴对称图形的性质是解题的关键，
（1）根据及，证出即可得出结果；
（2）取格点Q，连接交于点E，证明，得即可；
（3）连接交格线于点，连接并延长交于点Q，证明和即可得出结论．
【详解】（1）解：，
，
为中点，即为中线；
由题意得：，，，
，
，
，
，
，
，
，即为高线；

中线和高线即为所求；
（2）如图，取格点Q，连接交于点E，
由题意得：，，，
，
，
，
，
，
，
，

点E即为所求点；
（3）连接交格线于点，连接并延长交于点Q，
由题意得：垂直平分，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，

点即为所求点．
11．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)
【分析】本题考查了作图——轴对称变换，无刻度尺作垂直平分线，线段和最小．
（1）画出的垂直平分线，即可确定点；
（2）根据对称性找出各点的对称点依次连接即可；
（3）连接，与的交点再连接，延长交于即可得到；
（4）连接，，交点即为的中点，即可找到．
【详解】（1）解：如图，点即为所求；

（2）如图，即为所求；

（3）如图，点即为所求；

（4）
如图可知．
12．(1)①见解析②见解析③见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图-应用与设计作图、三角形的中线、高、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质，
（1）①取的中点D，连接即可，②过点A作的垂线即可，③取格点P，连接，使且，取的中点Q，连接并延长，交于点F，则，
（2）在上取H，使，连接，取的中点G，作射线即可，连接，交于点K，连接并延长，交于点N，则点N即为所求．
【详解】（1）解：①，
，
，
点D是的中点，
如图1，即为所求；
② ，
，
，
，
，
，
，
，
，
如图1，即为所求；
③如图1，取格点P，连接，，使且，
∴为等腰直角三角形，
再取的中点Q，连接并延长，交于点F，
则为的平分线，
，
即，
则点F即为所求；
（2）如图2，在上取H，使，连接，取的中点G，作射线即可，连接，交于点K，连接并延长，交于点N，则点N即为所求．
，G是的中点，
平分，垂直平分，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
13．(1)见解析
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了作图—轴对称变换、轴对称的性质、坐标与图形，熟练掌握轴对称的性质，采用数形结合的思想，是解此题的关键．
（1）首先确定、、关于直线的对称点、、，再顺次连接即可得到答案；
（2）根据轴对称的性质即可得到结论；
（3）根据，，，，可得，进行计算即可得到答案；
（4）设点的坐标为，由题意得：，进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，即为所作，
（2）解：线段上有一点，直线为，
点关于直线对称的点的横坐标为，纵坐标为4，
点关于直线对称的点的坐标为；
（3）解：线段上有一点，线段上有一点，，，
，
；
（4）解：设点的坐标为，
由题意得：，
解得：，
．
14．(1)画图见解析
(2)①等腰直角；②画图见解析
【分析】（1）如图，取格点，，连接，交于，连接，则为的中线，连接，取格点，连接，交于，由全等三角形的性质可得，利用等腰三角形的性质可得为的角平分线；
（2）①利用勾股定理分别求解，，，再结合勾股定理的逆定理可得结论；②如图，取格点，，，连接，交于点，由可得，可得，结合三角形的内角和定理可得，结合，，可得，可得．
【详解】（1）解：如图，，即为所求；

（2）①连接，由勾股定理可得：
，，
∴，，
∴为等腰直角三角形，；
②如图，点P即为所求；

【点睛】本题考查的是利用网格特点作图，三角形的中线，角平分线的含义，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，属于复杂作图，掌握基本图形的性质与判定是解本题的关键．
15．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】（1）取格点，，连接交于点，点即为所求；
（2）作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，点即为所求；
（3）取格点，，，，连接，交于点，连接交直线于点，点即为所求；
（4）作线段交网格线于点，连接交直线于点，连接交于点，直线即为所求．
【详解】（1）解：如图1中，点即为所求；

（2）如图2中，点即为所求；

（3）如图3中，点即为所求；

（4）如图4中，直线即为所求．

【点睛】本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是学会利用数形结合的射线解决问题，属于中考常考题型．
16．(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析．
【分析】（1）利用轴对称作出即可；
（2）作的中点D，连接，即为所作；
（3）取格点M，连接，交于点E，则即为高，取格点N，然后连接和，则是等腰直角三角形，即．
【详解】（1）如图，即为所作；

（2）如上图，即为所作；
（3）如图，和点即为所作．

【点睛】本题考查限制工具作图——轴对称，三角形的中线，高线，等腰三角形，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解．
17．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)
【分析】（1）确定关于y轴的对称点，连线即可得到；
（2）如图，延长至点，作轴，且，连接交于点，即为所求；
（3）连接交轴于一点，连接点和该点并延长，与的交点，即为；
（4）根据题意，画出图形，即可得解．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）如图：即为所求；
如图，延长至点，作轴，且，连接交于点，
由图可知：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即：，
∴，
∴即为所求；
（3）如图：连接交y轴于一点，连接点A和该点并延长，与的交点，即为点；
如图，与交于点，
∵与关于轴对称，
∴，，
∴，，即：，
∵，
∴，
∴与为对应点，即：即为所求；
（4）解：如图：与有一条公共边且与成轴对称的格点三角形，共有4个．
【点睛】本题考查无刻度直尺画图．熟练掌握成轴对称的特征，以及全等三角形的判定和性质，是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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