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2024年广东省深圳中学自主招生数学试卷（回忆版）
一、填空题：本题共15小题，每小题3分，共45分。
1.______.
2.方程在的正解为______.
3.等腰的底边AC长为30，腰上的高为24，则的腰长为______.
4.已知实数m，n满足，且，则______.
5.若x为全体实数，则函数与的交点有______个.
6.若，，则______.
7.K为内一点，过点K作三边的垂线KM，KN，KP，若，，，，，则______.
8.已知a，b，c，令a，b，c的最小值为，已知，若的最大值为M，则______.
9.已知正方形OBAC，以OB为半径作圆，过A的直线交于M，Q，交BC与P，R为PQ中点，若，，则______.
10.若a，b，c，d，e为两两不同的整数，则的最小值为______.
11.PA，PB分别为和的切线，连接AB交于C交于D，且，已知和的半径分别为20和24，则______.
12.已知a，b，c正整数，且只要则，设m的最小值为为最简分数，则______.
13.对于任意实数x，y，定义运算符号*，且有唯一解，满足，，则______.
14.已知正整数A，B，C且，满足，则______.
15.等腰三角形边长均为整数，其的面积在数值上是周长的12倍，则所有可能的等腰三角形的腰长之和为______.
答案和解析
1.【答案】54
【解析】解：
，
故答案为：
利用同底数幂的乘法法则，有理数的混合运算法则进行计算，即可解答．
本题考查了有理数的混合运算，同底数幂的乘法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：首先，考虑方程的两边统一分母．
给定的方程是：，
通过通分，我们可以将左边的两个分数合并为一个分数：，
展开并化简分母和分子：
分母：，
分子：，
于是原方程简化为：，
进一步简化得到：，
移项并除以假设，
得：，
解这个二次方程得到x的值：，
，
方程的正解为
故答案为：
根据解无理方程的步骤求解即可．
本题考查无理方程，解题的关键是掌握无理方程的解题方法．
3.【答案】
【解析】解：等腰的底边AC长为30，腰上的高为24，
的腰长为，
故答案为：
根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
4.【答案】50
【解析】解：由题意可知，m，是方程的两个根，
，即，
，
故答案为：
由两个方程的形式可知，m，是方程的两个根，根据根与系数的关系得到与n的数量关系并代入计算即可．
本题考查考查根与系数的关系、绝对值，确定m，是方程的两个根、掌握根与系数的关系是解题的关键．
5.【答案】2
【解析】解：方法①：，
当时，，
联立方程组，
，
整理，得，
解得：，；
当时，，
联立方程组，
，
整理，得，
解得：，，
交点有2个．
故答案为：
方法②：图象法，在同一坐标系中画两个函数的图象．
如图，两函数的交点有2个．
根据二次函数的性质，分和两种情况把两函数解析式整理成一般形式，求x的值，确定交点个数即可．
本题考查了二次函数的性质，利用分类讨论的思想，解题关键是根据x的取值范围去掉绝对值符号，整理成一般形式求解．
6.【答案】0
【解析】解：，，
，
所以
故答案为：
利用“代1”法将进行变形处理即可求得答案．
本题主要考查了分式的化简求值，解题的技巧性在于“1”的巧妙应用．
7.【答案】12
【解析】解：连接AK、BK、CK，
于点M，于点N，于点P，
，
，，，
，，，，，
，，，
，
，
，
，
故答案为：
连接AK、BK、CK，由，得，，，求得，，，可推导出，则，于是得到问题的答案．
此题重点考查勾股定理的应用，正确地作出辅助线并且求得，，是解题的关键．
8.【答案】14
【解析】解：由题意，令，，，
由，
解得：，
由，
解得：，
由，
解得：，
直线与直线的交点为，
直线与的交点为，
直线与的交点为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
即，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，
综上所述，，即的最小值为，
，
故答案为：
根据题意，令，，，联立方程组可求得直线与直线的交点为，直线与的交点为，直线与的交点为，
再分情况进行分析：当时，；
当时，；
当时，；
当时，进而求出M的值，即可得出答案．
本题考查了一次函数与二元一次方程组，解二元一次方程组，熟练掌握一次函数与二元一次方程组，解二元一次方程组的方法是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：过P作直径FN，延长CO交于E，连MC、ME、MN、
正方形ABOC，
，
为直径，
，
，
又，
，
，，
，
正方形ABOC，
，，
又，
≌，
由得
由得，
即，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
过P作直径FN，延长CO交于E，先证明，故再证明，故最后证明≌，故再换算即可．
本题考查了正方形综合题，运用正方形性质，结合相似是解题关键．
10.【答案】5
【解析】解：，b，c，d为两两不同的整数，
，，，，，
的最小值为：
故答案为：
根据题意，a，b，c，d为两两不同的整数，可得，，，，，即可得的最小值为：
本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握整式混合运算法则，完全平方公式是解题的关键．
11.【答案】125
【解析】解：作，，，
，，
，，，
，
，
，PB分别为和的切线，
，，
，
，
，，
∽，∽，
，
，
，
故答案为：
作，，，证，证，，证∽，∽，得出，即可解答．
本题考查切线的性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，作辅助线，构造相似三角形是解题的关键．
12.【答案】3
【解析】解：，，，
，，，
，
又，
，即的最大值为2，
，
，
为最简分数，
故答案为：
根据题意，，，，可得，，，进而得出，结合已知可得出，即的最大值为2，即可得出m的值，即的值，根据最简分数定义，即可得出答案．
本题考查了分式的加减，最简分数定义，代数式求值，掌握分式的加减运算法则，最简分数定义是解题的关键．
13.【答案】0
【解析】解：令，则，即，
令，
，
故答案为：
根据新定义把变成据此解答即可．
本题考查了实数的运算、数与式中的新定义问题，理解“*”的规定是关键．
14.【答案】832
【解析】解：，，，，，，，，，
若尾数为7，则在1、4、9、6、5、6、9、4、1中，
，此时A、B、C三个数为9、5、1，
，此时A、B、C三个数为6、5、4，
，此时A、B、C三个数为8、3、2，或8、7、2，
下面开始验证，
，不符合题意，
，不符合题意，
，符合题意，
，不符合题意，
综上，
故答案为：
根据平方的尾数和特征，从而得出ABC三个数的可能，再代入验证即可．
本题主要考查尾数平方的特征，利用尾数和得出A、B、C三个数的可能性是解题的关键．
15.【答案】560
【解析】解：如图，作于点D，
设腰长，底边，则，
在中，，
，，
，
故，
，
，
，b为整数，
，或，或，或，或，，
可能的腰长之和为：
故答案为：
根据题意将腰长和底边设出来，通过面积和周长的关系建立关于a和b的等式，再利用分式取整的计算方法求解即可．
本题主要考查了等腰三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．

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