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专练22　三角恒等变换
授课提示：对应学生用书45页
　　　　　　　　　　　
[基础强化]
一、选择题
1．若sin ＝，则cos α＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
答案：C
解析：cos α＝1－2sin2＝1－2×＝.
2．若α为第四象限角，则(　　)
A．cos2α>0 B．cos 2α<0
C．sin 2α>0 D．sin 2α<0
答案：D
解析：方法一　∵α是第四象限角，
∴－＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，
∴－π＋4kπ<2α<4kπ，k∈Z，
∴角2α的终边在第三、四象限或y轴非正半轴上，
∴sin 2α<0，cos 2α可正、可负、可零，故选D.
方法二　∵α是第四象限角，
∴sin α<0，cos α>0，
∴sin 2α＝2sin α cos α<0，故选D.
3．函数f(x)＝sin2x＋sinx·cos x在上的最小值为(　　)
A．1 B．
C．1＋ D．
答案：A
解析：f(x)＝＋sin 2x＝sin ＋，
∵≤x≤，∴≤2x－≤π，
∴当2x－＝π即x＝时f(x)min＝＋＝1.
4．[2024·九省联考]已知θ∈(，π)，tan 2θ＝－4tan (θ＋)，则＝(　　)
A． B．
C．1 D．
答案：A
解析：由题θ∈(，π)，tan 2θ＝－4tan (θ＋)，
得＝ －4(tan θ＋1)2＝2tan θ，
则(2tan θ＋1)(tan θ＋2)＝0 tan θ＝－2或tan θ＝－，
因为θ∈(，π)，tan θ∈(－1，0)，所以tan θ＝－，
＝＝＝＝.故选A.
5．若sin ＝，则cos ＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
答案：A
解析：∵－α＋＝，∴cos ＝sin ＝，∴cos ＝2cos2－1＝2×－1＝－.
6．[2024·新课标Ⅰ卷]已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝(　　)
A．－3m B．－
C． D．3m
答案：A
解析：由tan αtan β＝2，可得＝2，即sin αsin β＝2cos αcos β.由cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝m，可得cos αcos β＝－m，sin αsin β＝－2m，所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－3m，故选A.
7．[2023·新课标Ⅱ卷]已知α为锐角，cos α＝，则sin ＝(　　)
A． B．
C． D．
答案：D
解析：方法一　由题意，cos α＝＝1－2sin2，得sin2＝＝＝()2，又α为锐角，所以sin>0，所以sin ＝，故选D.
方法二　由题意，cos α＝＝1－2sin2，得sin2＝，将选项逐个代入验证可知D选项满足，故选D.
8．已知向量a＝(sinθ，－2)，b＝(1，cos θ)，且a⊥b，则sin 2θ＋cos2θ的值为(　　)
A．1 B．2
C． D．3
答案：A
解析：∵a⊥b，∴sinθ－2cos θ＝0，∴tan θ＝2，
∴sin 2θ＋cos2θ＝2sinθcos θ＋cos2θ＝＝1.
9．(多选)下列各式中值为的是(　　)
A．1－2cos275°
B．sin135°cos 15°－cos 45° cos 75°
C．tan 20°＋tan 25°＋tan 20° tan 25°
D．
答案：BD
解析：对于A，1－2cos275°＝－cos150°＝cos 30°＝，A错误；
对于B，sin 135°cos 15°－cos 45°cos 75°＝sin 45°sin 75°－cos 45°cos 75°＝－cos 120°＝，B正确；
对于C，∵tan 45°＝1＝，
∴1－tan 20°tan 25°＝tan 20°＋tan 25°，
∴tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1－tan 20°tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1，C错误；
对于D，
＝
＝
＝
＝＝，D正确．故选BD.
二、填空题
10．已知sin α＋cos α＝2，则tan α＝________．
答案：
解析：由，解得4cos2α－4cosα＋3＝(2cos α－)2＝0，得cos α＝，则sin α＝，所以tan α＝＝.
11．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 4α＝________．
答案：
解析：由sin α＋cos α＝，得1＋sin 2α＝，
∴sin 2α＝－，∴cos 4α＝1－2sin22α＝1－2×＝.
12．已知2cos2x＋sin2x＝A sin (ωx＋φ)＋b(A>0)，则A＝________，b＝________．
答案：　1
解析：∵2cos2x＋sin2x＝1＋cos 2x＋sin 2x＝sin ＋1，又2cos2x＋sin2x＝A sin (ωx＋φ)＋b.∴A＝，b＝1.
[能力提升]
13．已知tan θ＝，则tan ＝(　　)
A．7 B．－7
C． D．－
答案：D
解析：tan 2θ＝＝＝，
∴tan＝＝＝－.
14．[2023·新课标Ⅰ卷]已知sin (α－β)＝，cos αsin β＝，则cos (2α＋2β)＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
答案：B
解析：依题意，得，
所以sin αcos β＝，所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝＋＝，所以cos (2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×＝，故选B.
15．若sin＝，α∈，则＝________.
答案：
解析：因为＋＝，
所以＋α＝－.
又2＋2α＝，得2α＝－2.
故＝
＝＝2cos .
由于α∈，－α∈，所以cos (－α)>0，
故cos ＝，＝2×＝.
16．化简：.
解析：方法一　原式
＝
＝
＝
＝1.
方法二　原式＝
＝
＝
＝
＝1.专练28　复数
授课提示：对应学生用书59页
　　　
[基础强化]
一、选择题
1．[2024·新课标Ⅰ卷]若＝1＋i，则z＝(　　)
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
答案：C
解析：由＝1＋i，可得＝1＋i，即1＋＝1＋i，所以＝i，所以z－1＝＝－i，所以z＝1－i，故选C.
2．[2024·新课标Ⅱ卷]已知z＝－1－i，则|z|＝(　　)
A．0 B．1
C． D．2
答案：C
解析：由z＝－1－i，得|z|＝＝.故选C.
3．[2023·新课标Ⅱ卷]在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：A
解析：因为(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以该复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象限，故选A.
4．[2023·新课标Ⅰ卷]已知z＝，则z－＝(　　)
A．－i B．i
C．0 D．1
答案：A
解析：因为z＝＝＝－i，所以＝i，所以z－＝－i－i＝－i.故选A.
5．|2＋i2＋2i3|＝(　　)
A．1 B．2
C． D．5
答案：C
解析：|2＋i2＋2i3|＝|2－1－2i|＝|1－2i|＝.故选C.
6．设z＝，则＝(　　)
A．1－2i B．1＋2i
C．2－i D．2＋i
答案：B
解析：z＝＝＝＝1－2i，所以＝1＋2i.故选B.
7．[2022·全国甲卷(理)，1]若z＝－1＋i，则＝(　　)
A．－1＋i B．－1－i
C．－＋i D．－－i
答案：C
解析：因为z＝－1＋i，所以＝＝＝－＋i.故选C.
8．[2023·全国甲卷(文)]＝(　　)
A．－1 B．1
C．1－i D．1＋i
答案：C
解析：由题意知，＝＝＝1－i，故选C.
9．(多选)[2024·山东菏泽期中]已知复数z＝cos θ＋isin θ(其中i为虚数单位)，下列说法正确的是(　　)
A．复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限
B．|z|＝cos θ
C．z·＝1
D．z＋为实数
答案：CD
解析：复数z＝cos θ＋isin θ(其中i为虚数单位)，
复数z在复平面上对应的点(cos θ，sin θ)不可能落在第二象限，所以A不正确；
|z|＝＝1，所以B不正确；
z·＝(cosθ＋isin θ)(cos θ－isin θ)＝cos2θ＋sin2θ＝1，所以C正确；
z＋＝cosθ＋isin θ＋＝cos θ＋isin θ＋cos θ－isin θ＝2cos θ为实数，所以D正确.
二、填空题
10．若(a，b∈R)与(2－i)2互为共轭复数，则a－b＝________．
答案：－7
解析：＝＝b－ai，(2－i)2＝3－4i，因为这两个复数互为共轭复数，所以b＝3，a＝－4，所以a－b＝－4－3＝－7.
11．i是虚数单位，复数＝________．
答案：4－i
解析：＝
＝＝＝4－i.
12．设复数z1，z2 满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝________．
答案：2
解析：设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则a2＋b2＝4，c2＋d2＝4，又z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i＝＋i，∴a＋c＝，b＋d＝1，则(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝4，∴8＋2ac＋2bd＝4，即2ac＋2bd＝－4，∴|z1－z2|＝＝＝＝2.
[能力提升]
13．(多选)[2024·九省联考]已知复数z，w均不为0，则(　　)
A．z2＝|z|2 B．＝
C．＝－ D．＝
答案：BCD
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，w＝c＋di(c，d∈R)；
对A：z2＝(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2＝a2－b2＋2abi，|z|2＝()2＝a2＋b2，故A错误；
对B: ＝，又·z＝2，即有＝，故B正确；
对C：z－w＝a＋bi－c－di＝a－c＋(b－d)i，则＝a－c－(b－d)i，＝a－bi，＝c－di，则－＝a－bi－c＋di＝a－c－(b－d)i，
即有＝－，故C正确；
对D：＝＝
＝
＝
＝
＝
＝，
＝＝
＝
＝，
故＝，故D正确．故选BCD.
14．[2022·全国乙卷(理)，2]已知z＝1－2i，且z＋a＋b＝0，其中a，b为实数，则(　　)
A．a＝1，b＝－2 B．a＝－1，b＝2
C．a＝1，b＝2 D．a＝－1，b＝－2
答案：A
解析：由z＝1－2i可知＝1＋2i.由z＋a＋b＝0，得1－2i＋a(1＋2i)＋b＝1＋a＋b＋(2a－2)i＝0.根据复数相等，得解得故选A.
15．[2023·全国甲卷(理)]设a∈R，(a＋i)(1－ai)＝2，则a＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
答案：C
解析：∵(a＋i)(1－ai)＝a＋i－a2i－ai2＝2a＋(1－a2)i＝2，∴2a＝2且1－a2＝0，解得a＝1，故选C.
16．已知z(1＋i)＝1＋ai，i为虚数单位，若z为纯虚数，则实数a＝________．
答案：－1
解析：方法一　因为z(1＋i)＝1＋ai，所以z＝＝＝，因为z为纯虚数，
所以＝0且≠0，解得a＝－1.
方法二　因为z为纯虚数，
所以可设z＝bi(b∈R，且b≠0)，则z(1＋i)＝1＋ai，即bi(1＋i)＝1＋ai，所以－b＋bi＝1＋ai，所以，解得a＝b＝－1.专练55　随机抽样与用样本估计总体
授课提示：对应学生用书115页
[基础强化]
一、选择题
1．某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了9位代表，得到的数据分别为36，36，37，37，40，43，43，44，44，若用样本估计总体，年龄在(－s，＋s)内的人数占公司人数的百分比是(其中是平均数，s为标准差，结果精确到1%)(　　)
A．14%　 　B．25%　 　C．56%　 　D．67%
答案：C
解析：因为＝
＝40，
s2＝(16＋16＋9＋9＋0＋9＋9＋16＋16)＝，即s＝，年龄在(－s，＋s)即内的人数为5，所以所求百分比为≈0.56＝56%，故选C.
2．某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30].根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是(　　)
A.56 B．60 C．120 D．140
答案：D
解析：由频率分布直方图知，200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为1－(0.02＋0.10)×2.5＝0.7，则这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7＝140.
3．[2024·九省联考]样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为(　　)
A．14 B．16 C．18 D．20
答案：B
解析：将这些数据从小到大排列可得：10，12，14，14，16，20，24，30，40，则其中位数为16.故选B.
4．[2024·新课标Ⅱ卷]某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理得下表：
亩产量 [900， 950) [950， 1 000) [1 000， 1 050) [1 050， 1 100) [1 100， 1 150) [1 150， 1 200)
频数 6 12 18 30 24 10
根据表中数据，下列结论中正确的是(　　)
A．100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg
B．100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80%
C．100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间
D．100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间
答案：C
解析：A选项，因为6＋12＋18＝36<50，36＋30＝66>50，所以100块稻田亩产量的中位数不小于1 050 kg, A错误；B选项，因为100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田有66块，所占比例为66%<80%，所以B错误；C选项，100块稻田亩产量的极差的最大值小于1 200－900＝300，最小值大于1 150－950＝200，所以极差介于200 kg至300 kg之间，C正确；D选项，同一组中的数据都用左端点值来估计，则这100块稻田亩产量的平均值的最小值为×(6×900＋12×950＋18×1 000＋30×1 050＋24×1 100＋10×1 150)＝1 042>1 000，所以平均值不介于900 kg至1 000 kg之间，D错误．故选C.
5．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是(　　)
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
答案：A
解析：设建设前经济收入为a，则建设后经济收入为2a，由题图可得下表：
种植收入 第三产业收入 其他收入 养殖收入
建设前 经济收入 0.6a 0.06a 0.04a 0.3a
建设后 经济收入 0.74a 0.56a 0.1a 0.6a
根据上表可知B、C、D均正确，A不正确，故选A.
6．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：
则(　　)
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
答案：B
解析：由统计图可知，讲座前这10位社区居民问卷答题的正确率分别为65%，60%，70%，60%，65%，75%，90%，85%，80%，95%.对于A项，将这10个数据从小到大排列为60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，因此这10个数据的中位数是第5个与第6个数的平均数，为＝72.5%＞70%，A错误．对于B项，由统计图可知，讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率分别为90%，85%，80%，90%，85%，85%，95%，100%，85%，100%，所以讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率的平均数为×(90%＋85%＋80%＋90%＋85%＋85%＋95%＋100%＋85%＋100%)＝89.5%＞85%，B正确．对于C项，讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率的方差s＝×[(90%－89.5%)2＋(85%－89.5%)2＋…＋(85%－89.5%)2＋(100%－89.5%)2]＝，所以标准差s后＝6.5%.讲座前这10位社区居民问卷答题的正确率的平均数为×(60%＋60%＋65%＋65%＋70%＋75%＋80%＋85%＋90%＋95%)＝74.5%，所以讲座前这10位社区居民问卷答题的正确率的方差为s＝×[(60%－74.5%)2＋(60%－74.5%)2＋…＋(90%－74.5%)2＋(95%－74.5%)2]＝，所以标准差s前≈11.93%.所以s前＞s后，C错误．对于D项，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%－60%＝35%，讲座后问卷答题的正确率的极差为100%－80%＝20%，D错误．故选B.
7．(多选)有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1，2，…，n)，c为非零常数，则(　　)
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
答案：CD
解析：A：E(y)＝E(x＋c)＝E(x)＋c且c≠0，故平均数不相同，错误；
B：若第一组中位数为xi，则第二组的中位数为yi＝xi＋c，显然不相同，错误；
C：D(y)＝D(x)＋D(c)＝D(x)，故方差相同，正确．
D：由极差的定义知：若第一组的极差为xmax－xmin，则第二组的极差为ymax－ymin＝(xmax＋c)－(xmin＋c)＝xmax－xmin，故极差相同，正确．
故选CD.
8．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则(　　)
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
答案：C
解析：甲的平均数是＝6，中位数是6，极差是4，
方差是＝2；
乙的平均数是＝6，中位数是5，极差是4，
方差是＝，比较可得选项C正确．
9．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表所示：
广告费用x(万元) 2 3 4 5 6
销售额y(万元) 19 25 34 38 44
根据上表可得经验回归方程为＝6.3x＋，下列说法正确的是(　　)
A．回归直线＝6.3x＋必经过样本点(2，19)，(6，44)
B．这组数据的样本点中心(，)未必在回归直线＝6.3x＋上
C．回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，销售额实际增加6.3万元
D．据此模型预报广告费用为7万元时销售额约为50.9万元
答案：D
解析：由表格中的数据可得＝＝4，
＝＝32，
将点(，)的坐标代入经验回归方程得6.3×4＋＝32，
解得＝6.8，
所以回归方程为＝6.3x＋6.8.
对于A选项，当x＝2时，＝6.3×2＋6.8＝19.4，A选项错误；
对于B选项，这组数据的样本点中心(，)必在回归直线＝6.3x＋上，B选项错误；
对于C选项，回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，销售额约增加6.3万元，C选项错误；
对于D选项，当x＝7时，＝6.3×7＋6.8＝50.9，
所以据此模型预报广告费用为7万元时销售额约为50.9万元，D选项正确．故选D.
二、填空题
10．已知一组数据4，2a，3－a，5，6的平均数为4，则a的值是________．
答案：2
解析：由平均数公式可得＝4，解得a＝2.
11．某电子商务公司对10 000名网络购物者2021年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．
(1)直方图中的a＝________；
(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为________．
答案：(1)3　(2)6 000
解析：(1)0.1×(0.2＋0.8＋1.5＋2.0＋2.5＋a)＝1，解得a＝3.
(2)消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的频率为0.1×(3.0＋2.0＋0.8＋0.2)＝0.6，所以所求购物者的人数为0.6×10 000＝6 000.
12．在一容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未被污损，即9，10，11，1■，■，那么这组数据的方差s2可能的最大值是________．
答案：32.8
解析：设这组数据的最后两个数据为10＋x，y(x∈N，x≤9)
∵9＋10＋11＋10＋x＋y＝10×5＝50，
∴x＋y＝10，∴y＝10－x.
∴s2＝[1＋0＋1＋x2＋(y－10)2]＝(2＋2x2).
∵x≤9，∴当x＝9时，s2取得最大值32.8.
[能力提升]
13．[2024·重庆南开中学月考]今年入夏以来，我市天气反复，降雨频繁．如图统计了上个月前15天的气温，以及相对去年同期的气温差(今年气温－去年气温，单位：摄氏度)，以下判断错误的是(　　)
A．今年每天气温都比去年同期的气温高
B．今年的气温的平均值比去年同期的气温的平均值低
C．去年8～11号气温持续上升
D．今年8号气温最低
答案：A
解析：由图可知，1号温差为负值，所以今年1号气温低于去年同期的气温，故选项A不正确；除6，7号，今年气温略高于去年同期的气温外，其他日子，今年气温都低于去年同期的气温，所以今年的气温的平均值比去年同期的气温的平均值低，选项B正确；今年8～11号气温上升，但是气温差逐渐下降，说明去年8～11号气温持续上升，选项C正确；由图可知，今年8号气温最低，选项D正确．故选A.
14．(多选)[2023·新课标Ⅰ卷]有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则(　　)
A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数
B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数
C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差
D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差
答案：BD
解析：取x1＝1，x2＝x3＝x4＝x5＝2，x6＝9，则x2，x3，x4，x5的平均数等于2，标准差为0，x1，x2，…，x6的平均数等于3，标准差为＝，故A，C均不正确；根据中位数的定义，将x1，x2，…，x6按从小到大的顺序进行排列，中位数是中间两个数的算术平均数，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位数是将x2，x3，x4，x5按从小到大的顺序排列后中间两个数的算术平均数，与x1，x2，…，x6的中位数相等，故B正确；根据极差的定义，知x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差，故D正确．综上，选BD.
15．已知一组正数x1，x2，x3的方差s2＝(x＋x＋x－12)，则数据x1＋1，x2＋1，x3＋1的平均数为________．
答案：3
解析：∵s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋(x3－)2]
＝
＝，
又s2＝(x＋x＋x－12)，
∴32＝12，∴＝2.
∴x1＋1，x2＋1，x3＋1的平均数为＝3.
16．已知样本容量为200，在样本的频率分布直方图中，共有n个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其余(n－1)个小矩形面积和的，则该组的频数为________．
答案：50
解析：设除中间一个小矩形外的(n－1)个小矩形面积的和为P，则中间一个小矩形面积为P，P＋P＝1，P＝，则中间一个小矩形的面积等于P＝，200×＝50，即该组的频数为50.专练43　圆的方程
授课提示：对应学生用书91页
[基础强化]
一、选择题
1．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是(　　)
A．x＋y－2＝0　　　　　B．x－y＋2＝0
C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0
答案：D
解析：设所求的直线l的方程为x－y＋C＝0，∵直线l过圆心(0，3)，∴－3＋C＝0，C＝3，故所求的直线方程为x－y＋3＝0.
2．圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是(　　)
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
答案：D
解析：半径r＝＝，
∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
3．已知点A是直角△ABC的直角顶点，且A(2a，2)，B(－4，a)，C(2a＋2，2)，则△ABC外接圆的方程是(　　)
A．x2＋(y－3)2＝5 B．x2＋(y＋3)2＝5
C．(x－3)2＋y2＝5 D．(x＋3)2＋y2＝5
答案：D
解析：∵A为直角，∴AB⊥AC，∴2a＝－4，a＝－2，
∴△ABC外接圆的圆心(－3，0)，半径r＝＝＝，
∴所求的圆的方程为(x＋3)2＋y2＝5.
4．已知方程x2＋y2－2x＋2y＋a＝0表示圆，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．(－2，＋∞)
C．(－∞，2) D．(－∞，1)
答案：C
解析：由题意得D2＋E2－4F>0，∴4＋4－4a>0，
∴a<2.
5．点P(5a＋1，12a)在(x－1)2＋y2＝1的内部，则a的取值范围是(　　)
A．|a|<1 B．a<
C．|a|< D．|a|<
答案：D
解析：由题意得25a2＋144a2<1，∴a2<，得|a|<.
6．直线y＝kx－2k＋1恒过定点C，则以C为圆心，以5为半径的圆的方程为(　　)
A．(x－2)2＋(y－1)2＝5
B．(x－2)2＋(y－1)2＝25
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝25
D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5
答案：B
解析：∵y＝kx－2k＋1可化为y＝k(x－2)＋1，恒过定点(2，1)，
则所求的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝25.
7．已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4，则圆M的方程为(　　)
A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1
B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1
D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
答案：C
解析：3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0的距离为d＝＝2，显然圆的半径r＝＝1，与3x－4y＝0和3x－4y＋10＝0的距离相等的直线为3x－4y＋5＝0，
由得
∴圆心(－3，－1)，
∴所求的圆的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.
8．圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，则k的值是(　　)
A．2 B．－2
C．1 D．－1
答案：B
解析：由题意得圆心(1，1)在直线y＝kx＋3上，∴k＝－2.
9．(多选)已知点A(－1，0)，B(1，0)，若圆(x－2a＋1)2＋(y－2a－2)2＝1上存在点M满足·＝3，则实数a的值为(　　)
A．－2 B．－1
C．2 D．0
答案：BD
解析：设点M(x，y)，则＝(－x－1，－y)，＝(－x＋1，－y)，
所以·＝(－x－1)(－x＋1)＋y2＝3，
所以点M的轨迹方程为圆x2＋y2＝4，圆心为(0，0)，半径为2.
由此可知圆(x－2a＋1)2＋(y－2a－2)2＝1与圆x2＋y2＝4有公共点．
又圆(x－2a＋1)2＋(y－2a－2)2＝1的圆心为(2a－1，2a＋2)，半径为1，
所以1≤≤3，解得－1≤a≤.故选BD.
二、填空题
10．若a∈，则方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圆的个数为________．
答案：1
解析：方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆的条件是a2＋4a2－4(2a2＋a－1)>0，即3a2＋4a－4<0，解得－211．[2022·全国甲卷(文)，14]设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________________．
答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝5
解析：因为点M在直线2x＋y－1＝0上，所以设M(a，1－2a).由点(3，0)，(0，1)均在⊙M上，可得点(3，0)，(0，1)到圆心M的距离相等且为⊙M的半径，所以r＝＝，解得a＝1.所以M(1，－1)，r＝，所以⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
12．直线l：＋＝1与x轴、y轴分别相交于点A、B，O为坐标原点，则△AOB内切圆的方程为________．
答案：(x－1)2＋(y－1)2＝1
解析：设△AOB内切圆的圆心为M(m，m)(m>0)，半径为m，直线＋＝1可化为3x＋4y－12＝0，由题意得＝m，得m＝1或m＝6(舍去).∴△AOB内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.
[能力提升]
13．已知一个圆的圆心在曲线y＝(x>0)上，且与直线2x＋y＋1＝0相切，则当圆的面积最小时，该圆的方程为(　　)
A．(x－1)2＋(y－2)2＝5
B．(x－2)2＋(y－1)2＝5
C．(x－1)2＋(y－2)2＝25
D．(x－2)2＋(y－1)2＝25
答案：A
解析：设圆心为(x>0)，r＝≥＝，当且仅当x＝1时等号成立，所以当圆的面积最小时，即圆的半径最小时，此时圆心(1，2)，半径为，所以圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.
14．(多选)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列说法正确的是(　　)
A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B．所有圆Ck均不经过点(3，0)
C．经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个
D．所有圆的面积均为4
答案：ABD
解析：对于A选项，圆心(k，k)一定在直线y＝x上，故A正确；对于B选项，将(3，0)代入圆Ck的方程整理得2k2－6k＋5＝0，其中Δ＝－4<0，方程无解，故所有圆Ck均不经过点(3，0)，故B正确；对于C选项，将(2，2)代入圆Ck的方程整理得k2－4k＋2＝0，其中Δ＝16－8＝8>0，故经过点(2，2)的圆Ck有两个，故C错误；对于D选项，所有圆的半径均为2，面积均为4，故D正确．故选ABD.
15．已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________．
答案：4
解析：如图：
∵y＝x＋2，∴kAC＝－，
∴∠ACD＝60°，过D作DE⊥AC于E，则|DE|＝|AB|.
∵圆心到直线l的距离d＝＝3，
∴＝r2－d2＝12－9＝3.
∴|AB|2＝12，则|AB|＝2.
在Rt△DEC中，|CD|＝＝＝4.
16．已知点P(x，y)在(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，则x＋y的取值范围是________．
答案：[－－1，－1]
解析：设x＝2＋cos α，y＝－3＋sin α
∴x＋y＝sin α＋cos α－1＝sin －1∈[－－1，－1].专练38　空间向量及其运算
授课提示：对应学生用书81页
[基础强化]
一、选择题
1．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量，，是(　　)
A．有相同起点的向量　B．等长向量
C．共面向量 D．不共面向量
答案：C
解析：∵＝，
又AC，D1A，D1C共面，
∴， ，共面，即：，，共面．
2．已知向量a＝(2m＋1，3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且a∥b，则实数m的值为(　　)
A． B．－2
C．0 D．或－2
答案：B
解析：∵a∥b，∴b＝λa，得m＝－2.
3．已知空间两点P(－1，2，－3)，Q(3，－2，－1)，则P，Q两点间的距离是(　　)
A．6　　　B．2 C．36　　D．2
答案：A
解析：|PQ|＝
＝＝＝6.
4．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)
A.－a＋b＋c
B．a＋b＋c
C．－a－b＋c
D．a－b＋c
答案：A
解析：　由题意知＝＋＋＝－a＋c＋(a＋b)＝－a＋b＋c.
5．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
答案：D
解析：∵a，b，c共面，∴c＝xa＋yb.
∴(7，5，λ)＝(2x，－x，3x)＋(－y，4y，－2y)，
∴得
6．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若＝a，＝b，＝c，则＝(　　)
A.a－b＋c
B．a－b－c
C．a－b＋c
D．a－b＋c
答案：C
解析：∵E为PD的中点，∴＝
＝(－＋)
＝(－＋－＋－)
＝－＋＋
＝a－b＋c
7．已知向量a＝(1，0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是(　　)
A．(－1，1，0) B．(1，－1，0)
C．(0，－1，1) D．(－1，0，1)
答案：B
解析：∵|a|＝＝，设b＝(－1，1，0)，|b|＝，a·b＝－1<0，故A不正确；对于B，设c＝(1，－1，0)，a·c＝1，|c|＝.∴cos 〈a，c〉＝＝，
∴〈a，c〉＝60°，同理可得C、D不正确．
8．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－4，y，2)，且a⊥(a＋b)，则y的值为(　　)
A．6 B．10 C．12 D．14
答案：C
解析：a＋b＝(－2，y－1，5)，∵a⊥(a＋b)，
∴－2×2－(y－1)＋3×5＝0，得y＝12.
9．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·＝(　　)
A．a2 B．a2 C．a2 D．a2
答案：C
解析：依题意，
点E，F为BC，AD的中点，如图所示，·＝(＋)·＝(·＋·)＝(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝a2.
二、填空题
10．已知a＝(0，－1，1)，b＝(4，1，0)，|λa＋b|＝，且λ>0，则λ＝________．
答案：3
解析：∵λa＋b＝(4，1－λ，λ)，
∴|λa＋b|＝＝，∴17＋2λ2－2λ＝29，
∴λ＝3或λ＝－2(舍).
11．在空间直角坐标系中，以点A(4，1，9)，B(10，－1，6)，C(x，4，3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为________．
答案：2
解析：由题意得·＝0，||＝||，
又＝(6，－2，－3)，＝(x－4，3，－6)
∴得x＝2.
12．在三棱锥O－ABC中，M，N分别为OA，BC的中点，设＝a，＝b，＝c，则＝________．
答案：(b＋c－a)
解析：＝－
＝(＋)－
＝(b＋c－a)
[能力提升]
13．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列向量的数量积一定不为0的是(　　)
A.·
B．·
C．·
D．·
答案：D
14．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为2，O是底面ABCD的中心，E，F分别为CC1，AD的中点，则异面直线OE与FD1所成角的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．
答案：B
解析：∵＝＝(＋＋)，
＝＋，
∴·＝(＋＋)·＝(·＋·＋＋2＋·＋＋·＋＝3.
而||＝ ＝，|FD1|＝，
∴cos 〈，〉＝＝.
15．如图所示，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　)
A． B．
C．1 D．
答案：D
解析：∵＝＋＋，
∴||2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝1＋1＋1＋2(0＋0－)＝3－.
∴||＝.
16.
已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，＝，＝，＝，则VA与平面PMN的位置关系是________．
答案：平行
解析：设＝a，＝b，
＝c，
则＝a＋c－b，
＝b－c，
＝－＝a－b＋c，
∴＝＋，∴，，共面，
又VA 平面PMN，∴VA∥平面PMN.专练10　指数与指数函数
授课提示：对应学生用书19页
[基础强化]
一、选择题
1．函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有(　　)
A．a＝1或a＝2 B．a＝1
C．a＝2 D．a>0且a≠1
答案：C
解析：由题意得得a＝2.
2．已知函数g(x)＝3x＋t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为(　　)
A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)
C．(－∞，－3] D．[－3，＋∞)
答案：A
解析：若函数g(x)＝3x＋t的图象不经过第二象限，则当x＝0时，g(x)≤0，即30＋t≤0，解得t≤－1.故选A.
3．若a2x＝－1，则等于(　　)
A．2－1 B．2－2
C．2＋1 D．＋1
答案：A
解析：＝a2x＋a－2x－1＝－1＋－1＝－1＋＋1－1＝2－1.
4．函数y＝ax(a>0且a≠1)在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a＝(　　)
A． B．2　　　
C．4　　　 D．
答案：B
解析：∵y＝ax在[0，1]上单调，∴a0＋a1＝3，得a＝2.
5．函数f(x)＝ax－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0
C．00 D．0答案：D
解析：由f(x)＝ax－b的图象知0又f(0)＝a－b∈(0，1)，∴－b>0，∴b<0.
6．，则(　　)
A．aC．c答案：D
解析：∵y＝为减函数，∴bc，∴b7．函数y＝4x＋2x＋1＋1的值域为(　　)
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
答案：B
解析：设2x＝t(t>0)，∴y＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2，
又y＝(t＋1)2在(0，＋∞)上单调递增，
∴y>1，
∴所求函数的值域为(1，＋∞).
8．函数f(x)＝的单调减区间为(　　)
A．(1，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－1，1)
答案：C
解析：由复合函数的单调性可知，函数f(x)的单调减区间为(－∞，0).
9．(多选)已知函数f(x)＝22x－2x＋1＋2的定义域为M，值域为[1，2]，则下列结论中一定正确的是(　　)
A．M＝[0，2] B．M (－∞，1]
C．0∈M D．1∈M
答案：BCD
解析：由f(x)＝22x－2x＋1＋2＝(2x－1)2＋1∈[1，2]，得(2x－1)2∈[0，1]，则2x－1∈[－1，1]，所以2x∈[0，2]，所以x∈(－∞，1].当函数f(x)取得最小值1时，可得x＝0，所以0∈M，故C正确；当函数f(x)取得最大值2时，可得x＝1，所以1∈M，故D正确；由上分析知，M (－∞，1]，故B正确；因为f(2)＝10 [1，2]，所以M＝[0，2]不成立，故A错误．故选BCD.
二、填空题
10.＋(0.002)－－10(－2)－1＋(－)0的值为________.
答案：－
解析：原式＝＋－＋1＝＋－10(＋2)＋1＝＋10－10－20＋1＝－.
11．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝________.
答案：－
解析：①当0即解得
此时a＋b＝－.
②当a>1时，函数f(x)在[－1，0]上单调递增，由题意可得
即显然无解，所以a＋b＝－.
12．若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于________.
答案：1
解析：因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以a＝1，所以函数f(x)＝2|x－1|的图象如图所示，因为函数f(x)在[m，＋∞)上单调递增，所以m≥1，所以实数m的最小值为1.
[能力提升]
13．(多选)[2024·黑龙江省六校阶段联考]若2a＋1＝3，2b＝，则下列结论正确的是(　　)
A．a＋b＝3 B．b－a＜1
C．＋＞2 D．ab＞
答案：BCD
解析：由2a＋1＝3，2b＝，得2a＋1·2b＝8，所以a＋1＋b＝3，则a＋b＝2，故A不正确．
又2a＋1＝2·2a＝3，所以＜2a＝＜2，所以b＞1＞a＞.因为＝2b－a＝＜2，所以b－a＜1，故B正确；
＋＝＝，因为0＜ab＜＝1，
所以＋＝＞2，故C正确；
ab＝a(2－a)＝－(a－1)2＋1，因为＜a＜1，所以－(a－1)2＋1∈，
所以ab＞，故D正确．
综上所述，选BCD.
14．若2x－2y<3－x－3－y，则(　　)
A．ln (y－x＋1)>0 B．ln (y－x＋1)<0
C．ln |x－y|>0 D．ln |x－y|<0
答案：A
解析：因为2x－2y<3－x－3－y，所以2x－3－x<2y－3－y.设f(x)＝2x－3－x，则f′(x)＝2x ln 2－3－x×ln 3×(－1)＝2x ln 2＋3－xln 3，易知f′(x)>0，所以f(x)在R上为增函数．由2x－3－x<2y－3－y得x1，所以ln (y－x＋1)>0，故选A.
15．已知常数a>0，函数f(x)＝的图象经过点P、Q.若2p＋q＝36pq，则a＝________.
答案：6
解析：由题意得f(p)＝，f(q)＝－，
所以
①＋②，
得＝1，
整理得2p＋q＝a2pq，又2p＋q＝36pq，
∴36pq＝a2pq，又pq≠0，
∴a2＝36，∴a＝6或a＝－6，又a>0，得a＝6.
16．已知函数y＝4x＋m·2x－2在区间[－2，2]上单调递增，则m的取值范围是________．
答案：
解析：设t＝2x，则y＝4x＋m·2x－2＝t2＋mt－2.
因为x∈[－2，2]，所以t∈.
又函数y＝4x＋m·2x－2在区间[－2，2]上单调递增，
即y＝t2＋mt－2在区间上单调递增，
故有－≤，解得m≥－.
所以m的取值范围为.专练26　正弦定理、余弦定理及解三角形
授课提示：对应学生用书53页
　　　　　　　　　　　　
[基础强化]
一、选择题
1．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a＝，b＝，B＝，则A＝(　　)
A．　 　B．π　 　C．　 　D．或π
答案：C
解析：由正弦定理得＝，∴sin A＝＝＝，又a2．在△ABC中，b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形解的情况是(　　)
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．有解但解的个数不确定
答案：C
解析：由正弦定理＝，∴sin B＝＝＝>1，∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝3，c＝，则角C＝(　　)
A． B． C． D．
答案：C
解析：由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C，
得cos C＝＝＝，又C为△ABC内角，∴C＝.
4．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，则△ABC的面积为(　　)
A． B．1 C． D．2
答案：C
解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，又a2＝b2＋c2－bc，∴2cos A＝1，cos A＝，∴sin A＝＝，∴S△ABC＝bc sinA＝×4×＝.
5．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边．若b sin A＝3c sin B，a＝3，cos B＝，则b＝(　　)
A.14 B．6 C． D．
答案：D
解析：∵b sin A＝3c sin B，由正弦定理得ab＝3bc，∴a＝3c，又a＝3，∴c＝1，
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝9＋1－2×3×＝6，∴b＝.
6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
答案：B
解析：∵b cos C＋c cos B＝a sin A，∴sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，∴sinA＝1，又A为△ABC的内角，∴A＝90°，∴△ABC为直角三角形．
7．钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝(　　)
A．5 B． C．2 D．1
答案：B
解析：∵S△ABC＝AB×BC×sin B＝sin B＝，∴sin B＝，若B＝45°，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos 45°＝1＋2－2××＝1，则AC＝1，则AB2＋AC2＝BC2，△ABC为直角三角形，不合题意；当B＝135°时，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos 135°＝1＋2＋2××＝5，∴AC＝.
8．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为(　　)
A．50 m B．50 m
C．25 m D． m
答案：A
解析：由正弦定理得＝，
∴AB＝＝＝50.
9．[2024·全国甲卷(理)]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝60°，b2＝ac，则sin A＋sin C＝(　　)
A． B．
C． D．
答案：C
解析：∵b2＝ac，∴由正弦定理可得sin2B＝sinA sin C．
∵B＝60°，∴sin B＝，∴＝sin A sin C，∴sin A sin C＝.由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac，将b2＝ac代入整理得，a2＋c2＝ac，∴由正弦定理得sin2A＋sin2C＝sinA sin C，则(sin A＋sin C)2＝sin2A＋sin2C＋2sinA sin C＝sin A sin C＋2sin A sin C＝sin A sin C＝×＝，∴sin A＋sin C＝或－(舍).故选C.
二、填空题
10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，则B＝________．
答案：π
解析：由(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac得a2＋c2－b2＋ac＝0.
由余弦定理得cos B＝＝－，又B为△ABC的内角，∴B＝π.
11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝a cos B，①则A＝________；②若sin C＝，则cos (π＋B)＝________．
答案：①90°　②－
解析：①∵c＝a·cos B，∴c＝a·，得a2＝b2＋c2，∴∠A＝90°；②∵cos B＝cos (π－A－C)＝sin C＝.∴cos (π＋B)＝－cos B＝－sin C＝－.
12．[2023·全国甲卷(理)]在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝________．
答案：2
解析：方法一　由余弦定理得cos 60°＝，整理得AC2－2AC－2＝0，得AC＝1＋.又S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，所以×2AC sin 60°＝×2AD sin 30°＋AC×AD sin 30°，所以AD＝＝＝2.
方法二　由角平分线定理得＝，又BD＋CD＝，所以BD＝，CD＝.由角平分线长公式得AD2＝AB×AC－BD×CD＝2AC－，又由方法一知AC＝1＋，所以AD2＝2＋2－＝2＋2－(2－2)＝4，所以AD＝2.
[能力提升]
13．(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝8，b<4，c＝7，且满足(2a－b)cos C＝c·cos B，则下列结论正确的是(　　)
A．C＝60°
B．△ABC的面积为6
C．b＝2
D．△ABC为锐角三角形
答案：AB
解析：∵(2a－b)cos C＝c cos B，∴(2sin A－sin B)cos C＝sin C cos B，∴2sin A cos C＝sin B cos C＋cos B sin C，即2sin A cos C＝sin (B＋C)，∴2sin A cos C＝sin A．∵在△ABC中，sin A≠0，∴cos C＝，∴C＝60°，A正确．由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C，得49＝64＋b2－2×8b cos 60°，即b2－8b＋15＝0，解得b＝3或b＝5，又b<4，∴b＝3，C错误．∴△ABC的面积S＝ab sin C＝×8×3×＝6，B正确．又cos A＝＝<0，∴A为钝角，△ABC为钝角三角形，D错误．
14．[2023·全国甲卷(理)]已知四棱锥P ABCD的底面是边长为4的正方形，PC＝PD＝3，∠PCA＝45°，则△PBC面积为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
答案：C
解析：如图，过点P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，取DC的中点M，AB的中点N，连接PM，MN，AO，BO.由PC＝PD，得PM⊥DC，又PO⊥DC，PO∩PM＝P，所以DC⊥平面POM，又OM 平面POM，所以DC⊥OM.在正方形ABCD中，DC⊥NM，所以M，N，O三点共线，所以OA＝OB，所以Rt△PAO≌Rt△PBO，所以PB＝PA.在△PAC中，由余弦定理，得PA＝＝，所以PB＝.在△PBC中，由余弦定理，得cos ∠PCB＝＝，所以sin ∠PCB＝，所以S△PBC＝PC·BC sin ∠PCB＝4，故选C.
15．[2022·全国甲卷(理)，16]已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当取得最小值时，BD＝________．
答案：－1
解析：以D为坐标原点，DC所在的直线为x轴，的方向为x轴的正方向，过点D且垂直于DC的直线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，易知点A位于第一象限．由AD＝2，∠ADB＝120°，得A(1，).因为CD＝2BD，所以设B(－x，0)，x＞0，则C(2x，0).所以AC＝＝，AB＝＝，所以＝.令f(x)＝，x＞0，
则f′(x)＝
＝
＝．令x2＋2x－2＝0，解得x＝－1－(舍去)或x＝－1.当0＜x＜－1时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0，－1)上单调递减；当x＞－1时，f′(x)＞0，所以f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．所以当x＝－1时，f(x)取得最小值，即取得最小值，此时BD＝－1.
16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且6S＝(a＋b)2－c2，则tan C＝________．
答案：
解析：由余弦定理得2ab cos C＝a2＋b2－c2，又6S＝(a＋b)2－c2，所以6×ab sin C＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab＝2ab cos C＋2ab，化简得3sin C＝2cos C＋2，结合sin2C＋cos2C＝1，解得sinC＝，cos C＝，所以tan C＝.专练31　等比数列及其前n项和
授课提示：对应学生用书65页
[基础强化]
一、选择题
1．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若S6＝9S3，S5＝62，则a1＝(　　)
A． B．2
C． D．3
答案：B
解析：由题意可得
即得选B.
2．已知等比数列{an}满足a1＝，4a2a4＝4a3－1，则a2＝(　　)
A．± B．
C．± D．
答案：A
解析：因为4a2a4＝4a3－1，所以4aq4＝4a1q2－1，又a1＝，解得q＝±2，所以a2＝a1·q＝×(±2)＝±.故选A.
3．等比数列{an}中，若an>0，a2a4＝1，a1＋a2＋a3＝7，则公比q＝(　　)
A． B．
C．2 D．4
答案：B
解析：由等比数列的性质得a＝a2a4＝1，结合an>0，得a3＝1.由a1＋a2＋a3＝7，得＋＋a3＝7，则＋＝6，结合q>0，得q＝，故选B.
4．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4＝(　　)
A．7 B．8
C．15 D．16
答案：C
解析：∵4a1，2a2，a3成等差数列，∴4a2＝4a1＋a3.又{an}为等比数列，∴4q＝4＋q2，∴q＝2.又a1＝1，
∴S4＝＝＝15.
5．设{an}是公比为q＞1的等比数列，若a2 010和a2 011是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a2 012＋a2 013＝(　　)
A．18 B．10
C．25 D．9
答案：A
解析：由题意可得：a2 010＝，a2 011＝，又{an}为等比数列，∴q＝3.
∴a2 012＋a2 013＝＋＝18.
6．已知等比数列{an}的前n项积为Tn，若a1＝－24，a4＝－，则当Tn取得最大值时，n的值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
答案：C
解析：设等比数列{an}的公比为q，则a4＝－24q3＝－，q3＝，q＝，此等比数列各项均为负数，当n为奇数时，Tn为负数，当n为偶数时，Tn为正数，所以Tn取得最大值时，n为偶数，排除B，而T2＝(－24)2×＝24×8＝192，
T4＝(－24)4×＝84×＝＞192，
T6＝(－24)6×＝86×＝＝×＜，T4最大，故选C.
7．[2022·全国乙卷(理)，8]已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　　)
A．14 B．12
C．6 D. 3
答案：D
解析：设等比数列{an}的公比为q.由题意知，两式相除，得＝4，解得q＝.代入a2－a2q3＝42，得a2＝48，所以a6＝a2q4＝3.故选D.
8．[2023·新课标Ⅱ卷]记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(　　)
A．120 B．85
C．－85 D．－120
答案：C
解析：方法一　设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由题意易知q≠1，
则，化简整理得.所以S8＝＝×(1－44)＝－85.故选C.
方法二　易知S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，……为等比数列，所以(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，解得S2＝－1或S2＝.当S2＝－1时，由(S6－S4)2＝(S4－S2)·(S8－S6)，解得S8＝－85；当S2＝时，结合S4＝－5得，化简可得q2＝－5，不成立，舍去．所以S8＝－85，故选C.
9．(多选)已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则下列说法正确的是(　　)
A．{an}为单调递增数列
B.＝9
C．S3，S6，S9成等比数列
D．Sn＝2an－a1
答案：BD
解析：由a6＝8a3，可得q3a3＝8a3，则q＝2，
当首项a1＜0时，可得{an}为单调递减数列，故A错误；
由＝＝9，故B正确；
假设S3，S6，S9成等比数列，可得S＝S3S9，
即(1－26)2＝(1－23)(1－29)，显然不成立，
所以S3，S6，S9不成等比数列，故C错误；
由{an}是公比q的等比数列，可得Sn＝＝＝2an－a1，故D正确．
二、填空题
10．等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝，则a8＝________．
答案：32
解析：设{an}的首项为a1，公比为q，
则解得
所以a8＝×27＝25＝32.
11．[2023·全国乙卷(理)]已知为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝________.
答案：－2
解析：方法一　设数列{an}的公比为q，则由a2a4a5＝a3a6，得a1q·a1q3·a1q4＝a1q2·a1q5.又a1≠0，且q≠0，所以可得a1q＝1　①.又a9a10＝a1q8·a1q9＝aq17＝－8　②，所以由①②可得q15＝－8，q5＝－2，所以a7＝a1q6＝a1q·q5＝－2.
方法二　设数列{an}的公比为q.因为a4a5＝a3a6≠0，所以a2＝1.又a9a10＝a2q7·a2q8＝q15＝－8，于是q5＝－2，所以a7＝a2q5＝－2.
12．设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝________．
答案：－8
解析：由{an}为等比数列，设公比为q.
即
显然q≠1，a1≠0，
得1－q＝3，即q＝－2，代入①式可得a1＝1，
所以a4＝a1q3＝1×(－2)3＝－8.
[能力提升]
13．[2023·全国甲卷(理)]设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝(　　)
A． B．
C．15 D．40
答案：C
解析：方法一　若该数列的公比q＝1，代入S5＝5S3－4中，有5＝5×3－4，不成立，所以q≠1.由＝5×－4，化简得q4－5q2＋4＝0，所以q2＝1(舍)或q2＝4，由于此数列各项均为正数，所以q＝2，所以S4＝＝15.故选C.
方法二　由已知得1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，整理得(1＋q)(q3－4q)＝0，由于此数列各项均为正数，所以q＝2，所以S4＝1＋q＋q2＋q3＝1＋2＋4＋8＝15.故选C.
14．设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则(　　)
A．Sn＝2an－1 B．Sn＝3an－2
C．Sn＝4－3an D．Sn＝3－2an
答案：D
解析：∵a1＝1，q＝，
∴Sn＝＝3＝3－2·＝3－2an.
15．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝，a＝a6，则S5＝________．
答案：
解析：通解：设等比数列{an}的公比为q，因为a＝a6，所以(a1q3)2＝a1q5，所以a1q＝1，又a1＝，所以q＝3，所以S5＝＝＝.
优解：设等比数列{an}的公比为q，因为a＝a6，所以a2a6＝a6，所以a2＝1，又a1＝，所以q＝3，所以S5＝＝＝.
16．设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．
答案：64
解析：设等比数列{an}的公比为q，
∴
即解得
∴a1a2…an＝
＝
＝，
当n＝3或4时，取到最小值－6，此时取到最大值26，所以a1a2…an的最大值为64.专练30　等差数列及其前n项和
授课提示：对应学生用书63页
[基础强化]
一、选择题
1．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若S5＝2S4，a2＋a4＝8，则a5＝(　　)
A．6 B．7
C．8 D．10
答案：D
解析：设等差数列{an}的公差为d.∵S5＝2S4，a2＋a4＝8，
∴
整理得解得
∴a5＝a1＋4d＝－2＋12＝10.故选D.
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝，S10＝15，则a7＝(　　)
A． B．1
C． D．2
答案：A
解析：设等差数列{an}的首项为a1，则由等差数列{an}的前n项和为Sn及S10＝15，得＝15，所以a1＋a10＝3.由等差数列的性质，得a1＋a10＝a4＋a7，所以a4＋a7＝3.又因为a4＝，所以a7＝.故选A.
3．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　)
A．－12 B．－10
C．10 D．12
答案：B
解析：设等差数列{an}的公差为d，
则3＝2a1＋d＋4a1＋d，
得d＝－a1，又a1＝2，
∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝－10.
4．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
答案：C
解析：∵S6＝＝48，
∴a1＋a6＝16，
又a4＋a5＝24，
∴(a4＋a5)－(a1＋a6)＝8，
∴3d－d＝8，d＝4.
5．等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a7＝22，S11＝143.若Sn>195，则n的最小值为(　　)
A．13 B．14
C．15 D．16
答案：B
解析：设等差数列{an}的公差为d.因为a3＋a7＝22，所以2a5＝22，即a5＝11.
又因为S11＝＝＝143，解得11a6＝143，即a6＝13.
所以公差d＝a6－a5＝2，所以an＝a5＋(n－5)d＝11＋(n－5)×2＝2n＋1，
所以Sn＝＝(n＋2)n.
令(n＋2)n>195，则n2＋2n－195>0，解得n>13或n<－15(舍).故选B.
6．已知等差数列{an}中，a2＝1，前5项和S5＝－15，则数列{an}的公差为(　　)
A．－3 B．－
C．－2 D．－4
答案：D
解析：∵{an}为等差数列，∴S5＝5a3＝－15，
∴a3＝－3，
∴d＝a3－a2＝－3－1＝－4.
7．[2024·九省联考]记等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a7＝6，a12＝17，则S16＝(　　)
A．120 B．140
C．160 D．180
答案：C
解析：方法一　，
解得，
∴S16＝16×(－5)＋×2＝160.
方法二　因为a3＋a7＝2a5＝6，所以a5＝3，所以a5＋a12＝3＋17＝20，
所以S16＝＝8(a5＋a12)＝160.故选C.
8．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　)
A．3 699块 B．3 474块
C．3 402块 D．3 339块
答案：C
解析：由题意可设每层有n个环，则三层共有3n个环，∴每一环扇面形石板的块数构成以a1＝9为首项、9为公差的等差数列{an}，且项数为3n.不妨设上层扇面形石板总数为S1，中层总数为S2，下层总数为S3，∴S3－S2＝[9(2n＋1)·n＋×9]－[9(n＋1)·n＋×9]＝9n2＝729，解得n＝9(负值舍去).则三层共有扇面形石板(不含天心石)27×9＋×9＝27×9＋27×13×9＝27×14×9＝3 402(块).故选C.
9．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则(　　)
A．an＝2n－5 B．an＝3n－10
C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n
答案：A
解析：方法一：设等差数列{an}的公差为d，∵
∴解得
∴an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋d＝n2－4n.故选A.
方法二：设等差数列{an}的公差为d，∵
∴解得选项A，a1＝2×1－5＝－3；选项B，a1＝3×1－10＝－7，排除B；选项C，S1＝2－8＝－6，排除C；选项D，S1＝－2＝－，排除D.故选A.
二、填空题
10．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1≠0，a2＝3a1，则＝________．
答案：4
解析：设等差数列{an}的公差为d，由a2＝3a1，即a1＋d＝3a1，得d＝2a1，
所以＝＝＝＝4.
11．已知数列{an}是等差数列，公差d＝4，前n项和为Sn，则－的值为________．
答案：2
解析：由等差数列的前n项和Sn＝na1＋d得＝a1＋d＝a1＋(n－1)，所以{}仍是等差数列，其公差是原等差数列公差的一半，所以－的值为2.
12．[2024·新课标Ⅱ卷]记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝________．
答案：95
解析：方法一　设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，
∴解得
∴an＝3n－7，
∴S10＝＝＝95.
方法二　∵{an}为等差数列，且a3＋a4＝7，
∴∴
∴公差d＝＝3，
∴an＝a2＋(n－2)d＝－1＋3(n－2)＝3n－7，
∴S10＝＝＝95.
[能力提升]
13．[2024·北京师大二附中期中]《九章算术》是中国古代数学经典著作之一．全书分为九章，第六章“均输”有一问题“今有竹九节，下三节容四升，上四节容三升．问中间二节欲均容，各多少？”其意思为：今有竹9节，下3节容量共4升，上4节容量共3升，使中间两节也均匀变化，每节容量是多少？在这一问题中，从下部算起第5节容量是________升．
答案：
解析：记从下部算起第n节的容量为an升，由题意可知，数列{an}为等差数列，设其公差为d，则解得所以a5＝a1＋4d＝，即从下部算起第5节容量是升．
14．(多选)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，a2＝18，a5＝12，则下列选项正确的是(　　)
A.d＝－2
B．a1＝22
C．a3＋a4＝30
D．当且仅当n＝11时，Sn取得最大值
答案：AC
解析：对于A，易知3d＝a5－a2＝12－18＝－6，即d＝－2，选项A正确；对于B，a1＝a2－d＝18－(－2)＝20，所以选项B错误；对于C，a3＋a4＝a2＋a5＝18＋12＝30，所以选项C正确；对于D，因为an＝a1＋(n－1)d＝20＋(n－1)(－2)＝－2n＋22，a10＝2＞0，a11＝0，a12＝－2＜0，所以当n＝10或n＝11时，Sn最大，所以选项D错误．故选AC.
15．[2024·全国甲卷(理)]记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S5＝S10，a5＝1，则a1＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
答案：B
解析：方法一　设等差数列{an}的公差为d，∵S5＝5a1＋10d，S10＝10a1＋45d，S5＝S10，∴5a1＋10d＝10a1＋45d，即a1＝－7d.∵a5＝a1＋4d＝1，∴d＝－，∴a1＝－7d＝.故选B.
方法二　∵S5＝S10，∴a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝0，∴5a8＝0，∴a8＝0.
∵a5＝1，a8＝0，∴公差d＝－，则a1＝a5－4d＝，故选B.
16．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取最大值，则d的取值范围是________．
答案：
解析：方法一　由于Sn＝7n＋d＝n2＋n，
设f(x)＝x2＋x，则其图象的对称轴为直线x＝－.当且仅当n＝8时，Sn取得最大值，故7.5＜－＜8.5，解得－1＜d＜－.
方法二　由题意，得a8＞0，a9＜0，所以7＋7d＞0，且7＋8d＜0，即－1＜d＜－.专练44　直线与圆、圆与圆的位置关系
授课提示：对应学生用书93页
[基础强化]
一、选择题
1．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是(　　)
A．相切　　　　　B．相交但不过圆心
C．相交过圆心 D．相离
答案：B
解析：圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝＝<，
∴两圆相交但不过圆心．
2．已知圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：x2＋y2＋6x－8y＋16＝0，则圆C1与圆C2的位置关系是(　　)
A.相离　　B．外切　　C．相交　　D．内切
答案：B
解析：∵x2＋y2＝4的圆心C1(0，0)，半径r1＝2，
又x2＋y2＋6x－8y＋16＝0可化为(x＋3)2＋(y－4)2＝9，其圆心C2(－3，4)，半径r2＝3，又圆心距|C1C2|＝＝5＝r1＋r2，∴两圆相外切．
3．圆：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是(　　)
A．1＋ B．2
C．1＋ D．2＋2
答案：A
解析：x2＋y2－2x－2y＋1＝0可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，其圆心C(1，1)，半径为1，圆心C到直线x－y－2＝0的距离d＝＝，∴圆上的点到直线距离的最大值为d＋r＝＋1.
4．两圆C1：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与C2：x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有(　　)
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
答案：B
解析：圆C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝4，圆C2：(x＋2)2＋(y－2)2＝9，∴圆心C1(2，－1)，C2(－2，2)，半径r1＝2，r2＝3，圆心距|C1C2|＝＝5，
r1＋r2＝5，
∴|C1C2|＝r1＋r2，∴两圆C1与C2外切，
∴它们有3条公切线．
5．已知直线l：y＝k(x＋)和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝(　　)
A．0 B．
C．或0 D．或0
答案：D
解析：由题意得圆心(0，1)到直线kx－y＋k＝0的距离为1，即：＝1得k＝0或k＝.
6．已知直线l经过点(0，1)且与圆(x－1)2＋y2＝4相交于A、B两点，若|AB|＝2，则直线l的斜率k的值为(　　)
A．1 B．－1或1
C．0或1 D．1
答案：D
解析：由题意得圆心(1，0)到直线l：y＝kx＋1的距离d为d＝＝，得(k＋1)2＝2(k2＋1)，得k＝1.
7．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是(　　)
A.－2 B．－4 C．－6 D．－8
答案：B
解析：x2＋y2＋2x－2y＋a＝0可化为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，
则圆心(－1，1)到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝，
由题意得2＋22＝2－a，∴a＝－4.
8．已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为(　　)
A.2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0
答案：D
解析：如图，由题可知，AB⊥PM，
|PM|·|AB|＝2S四边形APBM＝2(S△PAM＋S△PBM)＝2(|PA|＋|PB|)，
∵|PA|＝|PB|，
∴|PM|·|AB|＝4|PA|＝4＝4，
当|PM|最小时，|PM|·|AB|最小，易知|PM|min＝＝，此时|PA|＝1，AB∥l，设直线AB的方程为y＝－2x＋b(b≠－2)，
圆心M到直线AB的距离为d＝，
|AB|＝＝，∴d2＋＝|MA|2，
即＋＝4，解得b＝－1或b＝7(舍).
综上，直线AB的方程为y＝－2x－1，即2x＋y＋1＝0.故选D.
9．若直线l与曲线y＝和圆x2＋y2＝都相切，则l的方程为(　　)
A．y＝2x＋1 B．y＝2x＋
C．y＝x＋1 D．y＝x＋
答案：D
解析：方法一(直接计算法)　由题可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l为y＝kx＋m，直线l与曲线y＝的切点为A(x0，y0).由导数的几何意义可知＝k，即＝，点A既在直线l上，又在曲线y＝上，∴∴kx0＋m＝，即k·＋m＝，化简可得m＝，又∵直线l与圆x2＋y2＝相切，∴＝，将m＝代入化简得16k4＋16k2－5＝0，解得k2＝或k2＝－(舍去).∵y＝的图象在第一象限，∴k>0，∴k＝，∴m＝，∴l的方程为y＝x＋.故选D.
方法二(选项分析法)　由选项知直线l的斜率为2或，不妨假设为2，设直线l与曲线y＝的切点为P(x0，y0)，则x0－＝2.解得x0＝，则y0＝，即P，显然点P在圆x2＋y2＝内，不符合题意，所以直线l的斜率为，又直线l与圆x2＋y2＝相切，所以只有D项符合题意，故选D.
二、填空题
10．若圆x2＋y2－4x－4y＝0上至少有3个不同的点到直线l：y＝kx的距离为，则直线l的斜率k的取值范围是________．
答案：[2－，2＋]
解析：x2＋y2－4x－4y＝0可化为(x－2)2＋(y－2)2＝8，∴圆心为(2，2)，半径为2.当圆心到直线l的距离为时，圆上恰好存在3个点到直线l的距离为，∴圆心到直线l的距离应小于或等于，∴≤，
∴2－≤k≤2＋.
11．[2023·新课标Ⅱ卷]已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值________．
答案：2(答案不唯一，可以是±，±2中任意一个)
解析：设直线x－my＋1＝0为直线l，由条件知⊙C的圆心C(1，0)，半径R＝2，C到直线l的距离d＝，|AB|＝2＝2＝.由S△ABC＝，得××＝，整理得2m2－5|m|＋2＝0，解得m＝±2或m＝±，故答案可以为2.
12．过点P(1，－3)作圆C：(x－4)2＋(y－2)2＝9的两条切线，切点分别为A，B，则切线方程为______________．
答案：x＝1或8x－15y－53＝0
解析：当切线的斜率不存在时，切线方程为x＝1，
当切线的斜率存在时，设切线方程为y＋3＝k(x－1)，
即：kx－y－k－3＝0，由题意得
＝3，得k＝，
∴切线方程为8x－15y－53＝0.
[能力提升]
13．[2024·全国甲卷(理)]已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　)
A．1 B．2 C．4 D．2
答案：C
解析：因为a，b，c成等差数列，所以a－2b＋c＝0，所以直线ax＋by＋c＝0恒过点P(1，－2).x2＋y2＋4y－1＝0化为标准方程得x2＋(y＋2)2＝5，则圆心C为(0，－2)，半径r＝，则|PC|＝1，当PC⊥AB时，|AB|取得最小值，此时|AB|＝2＝4.故选C.
14．[2023·新课标Ⅰ卷]过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝(　　)
A．1 B． C． D．
答案：B
解析：
如图，x2＋y2－4x－1＝0得(x－2)2＋y2＝5，所以圆心坐标为(2，0)，半径r＝，所以圆心到点(0，－2)的距离为＝2，由于圆心与点(0，－2)的连线平分角α，所以sin ＝＝＝，所以cos ＝，所以sin α＝2sin cos ＝2××＝.故选B.
15．[2022·新高考Ⅰ卷，14]写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________________．
答案：3x＋4y－5＝0或7x－24y－25＝0或x＋1＝0(答对其中之一即可)
解析：
由题意知两圆的圆心和半径分别为O1(0，0)，O2(3，4)，r1＝1，r2＝4.因为|O1O2|＝r1＋r2，所以两圆外切．由两圆外切，画出示意图，如图．设切点为A(x，y).由O1A＝O1O2，得A(，).因为kO1O2＝，所以切线l1的斜率k1＝－，所以l1：y－＝－(x－)，即3x＋4y－5＝0.由图象易得两圆均与直线l2：x＝－1相切，过两圆圆心的直线方程为l：y＝x.联立解得故直线l与l2的交点为P(－1，－).由切线定理，得两圆的另一公切线l3过点P.设l3：y＋＝k(x＋1).由点到直线的距离公式，得＝1，解得k＝，所以l3：y＋＝(x＋1)，即7x－24y－25＝0.
16．已知圆C1：x2＋y2＝4和圆C2：(x－2)2＋(y－2)2＝4，若点P(a，b)(a>0，b>0)在两圆的公共弦上，则＋的最小值为________．
答案：8
解析：由题意将两圆的方程相减，可得公共弦方程为x＋y＝2.
点P(a，b)(a>0，b>0)在两圆的公共弦上，∴a＋b＝2，∴＋＝(a＋b)＝≥×(10＋6)＝8，当且仅当＝，即b＝3a时取等号，所以＋的最小值为8.专练5　二次函数与一元二次不等式
授课提示：对应学生用书9页
[基础强化]
一、选择题
1．如果函数f(x)＝(2－m)x2＋(n－8)x＋1(m>2)在区间[－2，－1]上单调递减，那么mn的最大值为(　　)
A．16 B．18
C．25 D．30
答案：B
解析：因为m>2，所以函数f(x)的图象开口向下，所以≤－2，即8－n≥－2(2－m)，所以n≤12－2m，故nm≤(12－2m)m＝－2m2＋12m＝－2(m－3)2＋18≤18，当且仅当m＝3，n＝6时等号成立，故选B.
2．不等式x2＋3x－4>0的解集是(　　)
A．{x|x>1或x<－4}
B．{x|x>－1或x<－4}
C．{x|－4D．{x|x<－1或x>4}
答案：A
解析：由x2＋3x－4>0得(x－1)(x＋4)>0，解得x>1或x<－4.故选A.
3．关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0的解集是(　　)
A．(－∞，1)∪(2，＋∞)
B．(－1，2)
C．(1，2)
D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
答案：C
解析：由题意知－＝1，即b＝－a且a>0.
则不等式(ax＋b)(x－2)<0.
化为a(x－1)(x－2)<0.
故解集为(1，2).
4．已知不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则实数a的取值范围是(　　)
A．{a|－4≤a≤4}
B．{a|－4C．{a|a≤－4或a≥4}
D．{a|a<－4或a>4}
答案：A
解析：因为函数y＝x2＋ax＋4的图象开口向上，要使不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，所以Δ＝a2－16≤0.
∴－4≤a≤4.
5．已知函数f(x)＝x2－4x＋5在区间[0，m]上的最大值是5，最小值是1，则实数m的取值范围是(　　)
A．[2，＋∞) B．[2，4]
C．(－∞，2] D．[0，2]
答案：B
解析：f(x)＝x2－4x＋5可转化为f(x)＝(x－2)2＋1.
因为函数f(x)图象的对称轴为直线x＝2，f(2)＝1，f(0)＝f(4)＝5，
且函数f(x)＝x2－4x＋5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，
所以实数m的取值范围为[2，4]，故选B.
6．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0A．100台　B．120台 C．150台　D．180台
答案：C
解析：y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0，
即x2＋50x－30 000≥0，
解得x≥150或x≤－200(舍去).
7．(多选)若不等式x2＋ax－2>0在区间[1，5]上有解，则a的值可以为(　　)
A．－6　　B．－5 C．－4　　D．0
答案：CD
解析：方法一　∵x∈[1，5]，
∴不等式x2＋ax－2>0化为a>－x，
令f(x)＝－x，则f′(x)＝－－1<0，
∴f(x)在[1，5]上单调递减，
∴f(x)min＝f(5)＝－5＝－，
∴a>－.
方法二　由Δ＝a2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根，于是不等式在[1，5]上有解的充要条件是f(5)>0，解得：a>－.
8．当x∈[0，1]时，下列关于函数y＝(mx－1)2的图象与y＝的图象交点个数说法正确的是(　　)
A．当m∈[0，1]时，有两个交点
B．当m∈(1，2]时，没有交点
C．当m∈(2，3]时，有且只有一个交点
D．当m∈(3，＋∞)时，有两个交点
答案：B
解析：设f(x)＝(mx－1)2，g(x)＝，其中x∈[0，1]．
A．若m＝0，则f(x)＝1与g(x)＝在[0，1]上只有一个交点(1，1)，故A错误．
B．当m∈(1，2]时，∵≤＜1，∴f(x)≤f(0)＝1，g(x)≥g(0)＝＞1，∴f(x)＜g(x)，即当m∈(1，2]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝的图象在x∈[0，1]时无交点，故B正确．
C．当m∈(2，3]时，∵≤＜，∴f(x)≤f(1)＝(m－1)2，g(x)≥g(0)＝，不妨令m＝2.1，则f(x)≤1.21，g(x)≥≈1.45，∴f(x)＜g(x)，此时无交点，即C不一定正确．
D．当m∈(3，＋∞)时，g(0)＝＞1＝f(0)，此时f(1)＞g(1)，此时两个函数图象只有一个交点，∴D错误．
9．(多选)下列四个解不等式，正确的有(　　)
A．不等式2x2－x－1>0的解集是{x|x>2或x<1}
B．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是{x或x≥}
C．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7D．关于x的不等式x2＋px－2<0的解集是(q，1)，则p＋q的值为－1
答案：BCD
解析：A中，不等式2x2－x－1>0的解集为，A不正确；B正确；C中，a>0，且＝7，所以a＝3，C正确；D中，－2＝q，－p＝q＋1＝－2＋1＝－1，∴p＝1，∴p＋q＝1－2＝－1，D正确．故选BCD.
二、填空题
10．若00的解集是________．
答案：
解析：∵00的解集是.
11．已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥x2的解集为________．
答案：[－1，1]
解析：当x≤0时，由x＋2≥x2，解得－1≤x≤2.
∴－1≤x≤0，
当x>0时，由－x＋2≥x2解得－2≤x≤1，
∴0综上，不等式f(x)≥x2的解集为[－1，1].
12．已知一元二次不等式(m－2)x2＋2(m－2)x＋4>0的解集为R，则实数m的取值范围是________．
答案：(2，6)
解析：由题意知m－2≠0
∴m≠2
∵不等式(m－2)x2＋2(m－2)x＋4>0的解集为R，
∴
即解得2[能力提升]
13．(多选)对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式a(x－a)(x＋1)>0的解集可能为(　　)
A．
B．(－1，a)
C．(a，－1)
D．(－∞，－1)∪(a，＋∞)
答案：ABCD
解析：对于a(x－a)(x＋1)>0，
当a>0时，y＝a(x－a)(x＋1)开口向上，与x轴的交点为a，－1，
故不等式的解集为x∈(－∞，－1)∪(a，＋∞)；
当a<0时，y＝a(x－a)(x＋1)开口向下，
若a＝－1，不等式解集为 ；
若－1若a<－1，不等式的解集为(a，－1)，
综上，ABCD都成立．
14．(多选)已知关于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)，则下列说法正确的是(　　)
A．若不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，则k＝－
B．若不等式的解集为，则k＝
C．若不等式的解集为R，则k<－
D．若不等式的解集为 ，则k≥
答案：ACD
解析：A中，∵不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，
∴k<0，且－3与－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根，
∴(－3)＋(－2)＝，解得k＝－，A正确；
B中，∵不等式的解集为
∴解得k＝－，B错；
C中，由题意得解得k<－，C正确；
D中，由题意得解得k≥，D正确．
15．已知a，b∈R且ab≠0，对于任意x≥0均有(x－a)(x－b)(x－2a－b)≥0，则(　　)
A．a<0 B．a>0
C．b<0 D．b>0
答案：C
解析：方法一　若a，b，2a＋b互不相等，则当时，原不等式在x≥0时恒成立，又因为ab≠0，所以b<0；
若a＝b，则当时，原不等式在x≥0时恒成立，又因为ab≠0，所以b<0；
若a＝2a＋b，则当时，原不等式在x≥0时恒成立，又因为ab≠0，所以b<0；
若b＝2a＋b，则a＝0，与已知矛盾；
若a＝b＝2a＋b，则a＝b＝0，与已知矛盾．
综上，b<0，故选C.
方法二　特殊值法：当b＝－1，a＝1时，(x－1)(x＋1)(x－1)≥0在x≥0时恒成立；当b＝－1，a＝－1时，(x＋1)(x＋1)(x＋3)≥0在x≥0时恒成立；当b＝1，a＝－1时，(x＋1)(x－1)(x＋1)≥0在x≥0时不一定成立．故选C.
16．[2024·山东省实验中学模拟]某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为L，其中k为常数．若汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L，则k＝________，欲使每小时的油耗不超过9 L，则速度x的取值范围为________．
答案：100　[60，100]
解析：由题意，当x＝120时，
＝11.5，
解得k＝100.
由≤9，
得x2－145x＋4 500≤0，
解得45≤x≤100，
又∵60≤x≤120.
∴60≤x≤100.专练8　函数的奇偶性与周期性
授课提示：对应学生用书15页
[基础强化]
一、选择题
1．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递减，并且是偶函数的是(　　)
A．y＝x2 B．y＝－x3
C．y＝－lg |x| D．y＝2x
答案：C
2．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)g(x)是偶函数
B．f(x)|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|g(x)是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
答案：B
3．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f(－8)＝(　　)
A．3 B．
C．－ D．－3
答案：D
解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－8)＝－f(8)＝－log28＝－3.
4．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
答案：A
解析：∵f(x)为奇函数且周期为2，
∴f＝－f＝－f＝－2××＝－.
5．[2024·广西桂林测试]定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝3x，则(　　)
A．f(－1)＝f(2) B．f(－1)＝f(4)
C．f>f D．f＝f(4)
答案：C
解析：∵f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为2，又f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)＝31＝3，∴f(2)＝f(0)＝1，∴f(4)＝f(0)＝1，f＝f＝，f＝f＝f＝，
∴f>f.
6．函数f(x)为奇函数，定义域为R，若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(2 016)＋f(2 017)＝(　　)
A．－2 B．－1
C．0 D．1
答案：D
解析：∵f(x＋2)为偶函数，∴f(2＋x)＝f(2－x)，
又f(x)为奇函数，∴f(－x＋2)＝－f(x－2)，
∴f(x＋2)＝－f(x－2)，∴f(x＋4)＝－f(x)，
∴f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，
∴f(x)是以8为周期的周期函数，
∵f(0)＝0，∴f(2 016)＝f(0)＝0，f(2 017)＝f(1)＝1，
∴f(2 016)＋f(2 017)＝0＋1＝1.
7．[2023·全国乙卷(理)]已知f(x)＝是偶函数，则a＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
答案：D
解析：方法一　f(x)的定义域为{x|x≠0}，因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即＝，即e(1－a)x－ex＝－e(a－1)x＋e－x，即e(1－a)x＋e(a－1)x＝ex＋e－x，所以a－1＝±1，解得a＝0(舍去)或a＝2，故选D.
方法二　f(x)＝＝，f(x)是偶函数，又y＝x是奇函数，所以y＝e(a－1)x－e－x是奇函数，故a－1＝1，即a＝2，故选D.
8．(多选)[2023·新课标Ⅰ卷]已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，则(　　)
A．f(0)＝0
B．f(1)＝0
C．f(x)是偶函数
D．x＝0为f(x)的极小值点
答案：ABC
解析：取x＝y＝0，则f(0)＝0，故A正确；取x＝y＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0，故B正确；取x＝y＝－1，则f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝0，取y＝－1，则f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)，所以f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故C正确；由于f(0)＝0，且函数f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称，所以x＝0可能为函数f(x)的极小值点，也可能为函数f(x)的极大值点，也可能不是函数f(x)的极值点，故D不正确．综上，选ABC.
9．已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－1，4) B．(－2，0)
C．(－1，0) D．(－1，2)
答案：A
解析：∵f(x)是周期为3的偶函数，
∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)＝，
又f(1)<1，∴<1，得－1二、填空题
10．[2021·新高考Ⅰ卷]已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________．
答案：1
解析：因为f＝x3，
故f＝－x3，
因为f为偶函数，故f＝f，
即x3＝－x3，整理得到＝0，故a＝1.
11．[2023·全国甲卷(理)]若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin (x＋)为偶函数，则a＝________．
答案：2
解析：方法一　因为f(x)为偶函数，
所以f(－x)＝f(x)，即(－x－1)2－ax＋sin ＝(x－1)2＋ax＋sin ，
得a＝2.
方法二　因为f(x)为偶函数，所以f＝f，即－a＝＋a，得a＝2.
12．若f＝ln ＋b是奇函数，则a＝________，b＝________．
答案：－　ln 2
解析：本题先采用特殊值法求出f(x)，再检验正确性．
因为f(x)为奇函数，所以
即
由①可得－b＝ln |a＋1|　③.将③代入②可得，＝|a＋1|2.当(a－1)(a＋)＝(a＋1)2时，解得a＝－.把a＝－代入①，可得b＝ln 2，此时f(x)＝ln ＋ln 2＝ln ，所以f(－x)＋f(x)＝ln ＋ln ＝ln 1＝0，所以f(x)为奇函数，且f(0)，f(2)，f(－2)均有意义．当(a－1)(a＋)＝－(a＋1)2时，整理可得a2＋a＋＝0，此时Δ＝－4×<0，所以a无解．综上可得，a＝－，b＝ln 2.
[能力提升]
13．[2023·新课标Ⅱ卷]若f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则a＝(　　)
A．－1 B．0
C． D．1
答案：B
解析：方法一　设g(x)＝ln ，易知g(x)的定义域为∪，且g(－x)＝ln ＝ln ＝－ln ＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．若f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0，故选B.
方法二　因为f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，f(－1)＝(a－1)ln 3，f(1)＝(a＋1)ln ＝－(a＋1)ln 3，所以(a－1)ln 3＝－(a＋1)ln 3，解得a＝0，故选B.
14．已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则f(k)＝(　　)
A．－21 B．－22
C．－23 D．－24
答案：D
解析：若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，则g(2－x)＝g(2＋x).因为f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(－x)＋g(2＋x)＝5，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．由g(2)＝4，f(0)＋g(2)＝5，得f(0)＝1.由g(x)－f(x－4)＝7，得g(2－x)＝f(－x－2)＋7，代入f(x)＋g(2－x)＝5，得f(x)＋f(－x－2)＝－2，所以f(x)的图象关于点(－1，－1)中心对称，所以f(1)＝f(－1)＝－1.由f(x)＋f(－x－2)＝－2，f(－x)＝f(x)，得f(x)＋f(x＋2)＝－2，所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝－2，所以f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)为周期函数，且周期为4.由f(0)＋f(2)＝－2，得f(2)＝－3.又因为f(3)＝f(－1)＝f(1)＝－1，所以f(4)＝－2－f(2)＝1，所以f(k)＝6f(1)＋6f(2)＋5f(3)＋5f(4)＝6×(－1)＋6×(－3)＋5×(－1)＋5×1＝－24.故选D.
15．[2024·惠州一中测试]已知函数y＝f(x)的定义域为R，且满足下列三个条件：
①对任意的x1，x2∈[4，8]，当x10恒成立；
②f(x＋4)＝－f(x)；
③y＝f(x＋4)是偶函数．
若a＝f(6)，b＝f(11)，c＝f(2 017)，则a，b，c的大小关系正确的是(　　)
A．aC．a答案：B
解析：由①知函数f(x)在区间[4，8]上为单调递增函数；由②知f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为8，所以c＝f(2 017)＝f(252×8＋1)＝f(1)，b＝f(11)＝f(3)；由③可知函数f(x)的图象关于直线x＝4对称，所以b＝f(3)＝f(5)，c＝f(1)＝f(7).因为函数f(x)在区间[4，8]上为单调递增函数，所以f(5)16．(多选)[2022·新高考Ⅰ卷]已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x).若f，g(2＋x)均为偶函数，则(　　)
A．f(0)＝0 B．g＝0
C．f(－1)＝f(4) D．g(－1)＝g(2)
答案：BC
解析：因为f(－2x)，g(2＋x)均为偶函数，所以f(－2x)＝f(＋2x)，g(2＋x)＝g(2－x).令t＝－2x，则x＝－，所以f(t)＝f(3－t)，即f(x)＝f(3－x).对两边求导，得f′(x)＝－f′(3－x)，即g(x)＋g(3－x)＝0，所以g(x)的图象关于点(，0)对称，即g()＝0.又因为g(2＋x)＝g(2－x)，所以g(x)的图象关于直线x＝2对称，所以g(x)的周期为4×(2－)＝2，所以g()＝g(－)＝0，所以B正确．因为f′(2＋x)＝f′(2－x)，所以f(2＋x)＝－f(2－x)＋C，其中C为常数，所以f(2＋x)＋f(2－x)＝C，所以f(x)的图象关于点(2，)对称．又因为f(x)＝f(3－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝对称，所以f(x)的周期为4×(2－)＝2，所以f(－1)＝f(1)，f(4)＝f(2).又因为f(x)＝f(3－x)，所以f(1)＝f(2)，所以f(－1)＝f(4)，所以C正确．g(x)的图象不关于直线x＝对称，所以D错误．因为f(0)＝f(2)＝，所以当C＝0时，f(0)＝0，当C≠0时，f(0)≠0，所以A错误．故选BC.专练34　空间几何体的结构特征、表面积和体积
授课提示：对应学生用书73页
[基础强化]
一、选择题
1．[2024·新课标Ⅰ卷]已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为(　　)
A．2π B．3π
C．6π D．9π
答案：B
解析：设圆柱、圆锥的底面半径为r，则圆锥的母线长为 ＝.又圆柱与圆锥的侧面积相等，所以2πr·＝πr，解得r＝3，所以圆锥的体积V＝π×32×＝3π，故选B.
2．用一平面截正方体，所得截面的面积最大时，截面的几何形状为(　　)
A．正六边形 B．五边形
C．长方形 D．三角形
答案：C
解析：由题意用一平面截正方体，所得截面可以为正六边形、五边形、正方形、长方形、梯形、三角形．而当截面是以面对角线为长、正方体棱长为宽的长方形时，可知该截面的面积最大，故选C.
3．棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为(　　)
A．1　　　B．2 C．3　　　D．4
答案：A
解析：如图，
易知V三棱锥A1－D1MN＝V三棱锥D1－A1MN，由正方体的结构特征，知D1A1⊥平面A1MN，所以D1A1为三棱锥D1－A1MN的高．因为M，N分别为棱BB1，AB的中点，所以S△A1MN＝2×2－×1×1－×1×2－×1×2＝，所以V三棱锥A1－D1MN＝V三棱锥D1－A1MN＝×S△A1MN×D1A1＝××2＝1.
4．已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝，若△PAB的面积等于，则该圆锥的体积为(　　)
A．π B．π
C．3π D．3π
答案：B
解析：在△AOB中，AO＝BO＝，∠AOB＝，由余弦定理得AB＝＝3，设等腰三角形PAB底边AB上的高为h，则S△PAB＝×3h＝，解得h＝，由勾股定理得母线PA＝＝3，则该圆锥的高PO＝＝，所以该圆锥的体积为×3π×＝π，故选B.
5．(多选)[2023·新课标Ⅰ卷]下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有(　　)
A．直径为0.99 m的球体
B．所有棱长均为1.4 m的四面体
C．底面直径为0.01 m，高为1.8 m的圆柱体
D．底面直径为1.2 m，高为0.01 m的圆柱体
答案：ABD
解析：由于棱长为1 m的正方体的内切球的直径为1 m，所以选项A正确；由于棱长为1 m的正方体中可放入棱长为 m的正四面体，且>1.4，所以选项B正确；因为正方体的棱长为1 m，体对角线长为 m，<1.8，所以高为1.8 m的圆柱体不可能整体放入正方体容器中，所以选项C不正确；由于正方体的体对角线长为 m，而底面直径为1.2 m的圆柱体，其高0.01 m可忽略不计，故只需把圆柱的底面与正方体的体对角线平行放置，即可以整体放入正方体容器中，所以选项D正确．综上，选ABD．
6．[2022·全国甲卷(文)，10]甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙，若＝2，则＝(　　)
A． B．2
C． D．
答案：C
解析：设甲、乙两个圆锥的母线长都为l，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2.因为两圆锥的侧面展开图的圆心角之和为2π，所以＋＝2π，则r1＋r2＝l.又＝2，所以πr1l＝2πr2l，所以r1＝2r2，所以r1＝l，r2＝l，所以h1＝＝l，h2＝＝l，所以＝＝＝.故选C.
7．已知A，B是球O的表面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(　　)
A．124π B．144π
C．156π D．196π
答案：B
解析：
如图所示，当点C位于垂直平面AOB的直径端点时，三棱锥O－ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VO－ABC＝VC－AOB＝××R2×R＝R3＝36，故R＝6，则球O的表面积为4πR2＝144π.
8.
如图所示的某粮仓(粮仓的底部位于地面上)是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高的2倍，且圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则制作这样一个粮仓的用料面积为(　　)
A．(＋4)π B．(2＋4)π
C．(3＋4)π D．(4＋4)π
答案：D
解析：设圆锥的底面半径为r，高为h，则4πr＝4π，解得r＝1，所以h＝＝，圆柱的侧面积为2πr·2h＝4π，故制作这样一个粮仓的用料面积为(4＋4)π.
9．[2022·新高考Ⅰ卷，4]南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(≈2.65)(　　)
A．1.0×109 m3 B．1.2×109 m3
C．1.4×109 m3 D．1.6×109 m3
答案：C
解析：由棱台的体积公式，得增加的水量约为×(157.5－148.5)×(140×106＋180×106＋)＝3×106×(140＋180＋60)≈3×106×(140＋180＋60×2.65)≈1.4×109(m3).故选C.
二、填空题
10．[2024·全国甲卷(理)]已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1，下底面半径均为r2，圆台的母线长分别为2(r2－r1)，3(r2－r1)，则圆台甲与乙的体积之比为________．
答案：
解析：∵圆台甲、乙的上、下底面半径均相等，
∴＝＝＝＝.
11．[2023·新课标Ⅱ卷]底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为________．
答案：28
解析：如图所示，正四棱锥P ABCD的底面边长为4，用平行于底面的平面截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥P A′B′C′D′后，得到正四棱台A′B′C′D′ ABCD，且A′B′＝2，AB＝4.记O′，O分别为正四棱台A′B′C′D′ ABCD上、下底面的中心，H′，H分别为A′B′，AB的中点，连接PO，PH，O′H′，OH，则PO′＝3，O′H′＝1，OH＝2.易知△PO′H′∽△POH，所以＝，即＝，解得PO＝6，所以OO′＝PO－PO′＝3，所以该正四棱台的体积V＝×3×(22＋2×4＋42)＝28.
12．[2023·全国甲卷(理)]在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点．以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有________个公共点．
答案：12
解析：
如图，线段EF过正方体的中心，所以以EF为直径的球的球心即正方体的中心，球的半径为，而正方体的中心到每一条棱的距离均为，所以以EF为直径的球与每一条棱均相切，所以共有12个公共点．
[能力提升]
13．(多选)[2023·新课标Ⅱ卷]已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P AC O为45°，则(　　)
A．该圆锥的体积为π
B．该圆锥的侧面积为4π
C．AC＝2
D．△PAC的面积为
答案：AC
解析：在△PAB中，由余弦定理得AB＝2，如图，连接PO，易知圆锥的高h＝PO＝1，底面圆的半径r＝AO＝BO＝.对于A，该圆锥的体积V＝πr2h＝π，故A选项正确；对于B，该圆锥的侧面积S侧＝πr·PA＝2π，故B选项错误；对于C，取AC的中点H，连接PH，OH，因为OA＝OC，所以OH⊥AC，同理可得PH⊥AC，则二面角P－AC－O的平面角为∠PHO＝45°，所以OH＝PO＝1，AH＝CH＝＝，所以AC＝2，故C选项正确；对于D，PH＝OH＝，S△PAC＝×AC×PH＝2，故D选项错误．综上，选AC.
14．[2024·新课标Ⅱ卷]已知正三棱台ABC A1B1C1的体积为，AB＝6，A1B1＝2，则A1A与平面ABC所成角的正切值为(　　)
A． B．1
C．2 D．3
答案：B
解析：设正三棱台ABC A1B1C1的高为h.
∵AB＝6，A1B1＝2，∴S△ABC＝×6×6×sin ＝9，S△A1B1C1＝×2×2×sin ＝.∵正三棱台ABC A1B1C1的体积V＝(S△ABC＋S△A1B1C1＋)h＝×(9＋＋)h＝h＝，∴h＝.
如图，
设△ABC和△A1B1C1的中心分别为O，O1，连接A1O1，O1O，AO，作A1D⊥平面ABC交平面ABC于点D，由几何体ABC A1B1C1为正三棱台可知，点D在AO上，且四边形A1O1OD为矩形，其中∠A1AD即为直线A1A与平面ABC所成的角．由AB＝6，A1B1＝2，可得OA＝2，O1A1＝，∴AD＝OA－OD＝OA－O1A1＝，∴tan ∠A1AD＝＝＝1.故选B.
15．[2023·新课标Ⅰ卷]在正四棱台ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为________．
答案：
解析：方法一　如图所示，
设点O1，O分别为正四棱台ABCD A1B1C1D1上、下底面的中心，连接B1D1，BD，则点O1，O分别为B1D1，BD的中点，连接O1O，则O1O即正四棱台ABCD A1B1C1D1的高，过点B1作B1E⊥BD，垂足为E，则B1E＝O1O.因为AB＝2，A1B1＝1，所以OB＝，O1B1＝，所以BE＝OB－OE＝OB－O1B1＝，又AA1＝，所以BB1＝，B1E＝＝＝，所以O1O＝，所以V正四棱台ABCD A1B1C1D1＝×(22＋12＋)×＝.
方法二　如图，
将正四棱台ABCD A1B1C1D1补形成正四棱锥P ABCD，因为AB＝2，A1B1＝1，AB∥A1B1，所以A1，B1，C1，D1分别为PA，PB，PC，PD的中点，又A1A＝，所以PA＝2，即PB＝2.连接BD，取BD的中点为O，连接PO，则PO⊥平面ABCD，易知BO＝，所以PO＝＝，所以正四棱台ABCD A1B1C1D1的高为，所以V＝×(22＋12＋)×＝.
16．[2024·九省联考]已知轴截面为正三角形的圆锥MM′的高与球O的直径相等，则圆锥MM′的体积与球O的体积的比值是______，圆锥MM′的表面积与球O的表面积的比值是________．
答案：　1
解析：设圆锥的底面半径为r，球的半径为R.
因为圆锥的轴截面为正三角形，所以圆锥的高h＝r，母线l＝2r，
由题可知：h＝2R，所以球的半径R＝r，
所以圆锥的体积为V1＝×(π×r2)×r＝πr3，
球的体积V2＝πR3＝π×(r)3＝πr3，
所以＝＝；
圆锥的表面积S1＝πrl＋πr2＝3πr2，
球的表面积S2＝4πR2＝4π×(r)2＝3πr2，
所以＝＝1.专练42　两条直线的位置关系及距离公式
授课提示：对应学生用书90页
[基础强化]
一、选择题
1．过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　　)
A．x－2y－1＝0　　　　B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
答案：A
解析：设所求的直线方程为x－2y＋c＝0，又(1，0)在直线l上，∴1＋c＝0，∴c＝－1，故所求的直线方程为x－2y－1＝0.
2．若直线l1：(a－1)x＋y－1＝0和直线l2：3x＋ay＋2＝0垂直，则实数a的值为(　　)
A．　　　B． C．　　　D．
答案：D
解析：∵l1与l2垂直，∴3(a－1)＋a＝0，得a＝.
3．“a＝3”是“直线ax＋2y＋2a＝0和直线3x＋(a－1)y－a＋7＝0平行”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：由两条直线平行，∴＝≠，
得a＝－2或a＝3.
∴a＝3是两条直线平行的充分不必要条件．
4．当0A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：B
解析：由得
又∵0∴x＝<0，y＝>0，
故直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在第二象限．
5．“C＝2”是“点(1，)到直线x＋y＋C＝0的距离为3”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：由点(1，)到直线x＋y＋C＝0的距离为3，
得＝＝3，得C＝2或C＝－10.
∴C＝2是点(1，)到直线x＋y＋C＝0的距离为3的充分不必要条件．
6．过点P(2，1)且与原点O距离最远的直线方程为(　　)
A．2x＋y－5＝0 B．2x－y－3＝0
C．x＋2y－4＝0 D．x－2y＝0
答案：A
解析：过点P(2，1)且与原点O距离最远的直线就是过点P且与OP垂直的直线，因为直线OP的斜率为＝，所以所求直线的斜率为－2，即所求直线方程为y－1＝－2(x－2)，得2x＋y－5＝0.
7．若两平行直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是，则m＋n＝(　　)
A．0 B．1
C．－2 D．－1
答案：C
解析：∵l1∥l2，∴＝，∴n＝－4，
∴l2：2x－4y－6＝0可化为x－2y－3＝0
∴＝＝，又m>0，∴m＝2，
∴m＋n＝2－4＝－2.
8．三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0构成一个三角形，则k的取值范围是(　　)
A．k∈R
B．k∈R且k≠±1，k≠0
C．k∈R且k≠±5，k≠－10
D．k∈R且k≠±5，k≠1
答案：C
解析：由l1∥l3，得k＝5；由l2∥l3，得k＝－5；由x－y＝0与x＋y－2＝0，得x＝1，y＝1，若(1，1)在l3上，则k＝－10.若l1，l2，l3能构成一个三角形，则k≠±5且k≠－10，故选C.
9．(多选)已知直线l：x－y＋1＝0，则下列结论正确的是(　　)
A．直线l的倾斜角是
B．若直线m：x－y＋1＝0，则l⊥m
C．点(，0)到直线l的距离是2
D．过点(2，2)与直线l平行的直线方程是x－y－4＝0
答案：CD
解析：对于A，直线l：x－y＋1＝0的斜率k＝，故直线l的倾斜角是，故A错误；对于B，因为直线m：x－y＋1＝0的斜率k′＝，kk′＝1≠－1，故直线l与直线m不垂直，故B错误；对于C，点(，0)到直线l的距离d＝＝2，故C正确；对于D，过点(2，2)与直线l平行的直线方程是y－2＝(x－2)，整理得x－y－4＝0，故D正确．
二、填空题
10．若曲线y＝ax(a>0且a≠1)恒过定点A(m，n)，则A到直线x＋y－3＝0的距离为________．
答案：
解析：由题意得A(0，1)，由点A(0，1)到直线x＋y－3＝0的距离为＝.
11．[2022·全国甲卷(理)，14]若双曲线y2－＝1(m>0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________．
答案：
解析：由题意，得双曲线的一条渐近线方程为y＝，即x－my＝0.圆的方程可化为x2＋(y－2)2＝1，故圆心坐标为(0，2)，半径r＝1.由渐近线与圆相切，结合点到直线的距离公式，得＝1，解得m＝±.又因为m＞0，所以m＝.
12．过点A(4，a)和B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，则两点间的距离|AB|＝________．
答案：
解析：由题意可知，kAB＝＝b－a＝1，
故|AB|＝＝.专练39　空间向量的应用
授课提示：对应学生用书83页
[基础强化]
一、选择题
1．若两不重合直线l1和l2的方向向量分别为V1＝(1，0，－1)，V2＝(－3，0，3)，则l1和l2的位置关系是(　　)
A．平行　　　　　　　　B．相交
C．垂直 D．不确定
答案：A
解析：∵V1＝－V2，∴l1∥l2.
2．若a＝(2，－2，－2)，b＝(2，0，4)，则a与b的夹角的余弦值为(　　)
A． B．
C．－ D．0
答案：C
解析：∵|a|＝＝2，|b|＝＝2，
a·b＝2×2＋(－2)×0＋(－2)×4＝－4，
∴cos 〈a，b〉＝＝＝－.
3．若直线l的一个方向向量a＝(2，2，－2)，平面α的一个法向量b＝(1，1，－1)，则(　　)
A．l⊥α B．l∥α
C．l α D．A，C都有可能
答案：A
解析：∵a＝2b，∴a与b共线，∴l⊥α.
4．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．不确定
答案：B
解析：
如图，令＝a，＝b，＝c，
则·＋·＋·
＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)
＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.
故选B.
5．若平面α，β的法向量分别为m＝(2，－3，5)，n＝(－3，1，－4)，则(　　)
A．α∥β B．α⊥β
C．α，β相交，但不垂直 D．以上均不正确
答案：C
解析：∵m与n不共线，且m·n＝－6－3－20≠0，
∴α与β相交但不垂直．
6.
如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC＝(　　)
A．6 B．6
C．12 D．144
答案：C
解析：∵AB＝BC＝6，∠ABC＝120°，∴AC＝6，
建立如图所示的空间直角坐标系，其中O为AC的中点，
则P(0，－3，6)，C(0，3，0)
∴|PC|＝
＝12.
7.
如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与AB1夹角的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．
答案：A
解析：设BC＝1，则B(0，0，1)，C1(0，2，0)，A(2，0，0)，B1(0，2，1)，
＝(0，2，－1)，＝(－2，2，1)，
·＝0×(－2)＋2×2＋(－1)×1＝3.
＝，＝3，
∴cos 〈，〉＝＝＝.
8．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案：A
解析：
∵AB＝1，AC＝2，BC＝，∴AB2＋BC2＝AC2，
∴AB⊥BC，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，C1(0，，h)，B1(0，0，h)，B(0，0，0)
∴D(，，)，E.
∴＝(－，－，0)，显然面BB1C1C的法向量为m＝(1，0，0)，
∴与平面BB1C1C所成角α满足
sin α＝＝＝，
又α∈，
∴α＝30°.
9．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥面ABCD，若AB＝PA，则平面ADP与平面CDP所成的二面角为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案：D
解析：
建立如图所示的空间直角坐标系，
设AB＝1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，C(1，1，0)，P(0，0，1)，
显然面ADP的法向量m＝(1，0，0)，
设平面CDP的法向量n＝(x，y，z)，
＝(－1，0，0)，＝(－1，－1，1)，
∴令y＝1，则z＝1，
∴n＝(0，1，1)，
m·n＝1×0＋0×1＋0×1＝0，∴m⊥n，
∴平面ADP与平面CDP所成的角为90°.
二、填空题
10．已知四边形ABCD为平行四边形，且A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C(3，7，－5)，则顶点D的坐标为________．
答案：(5，13，－3)
解析：设D(x，y，z)，由题意得＝，
∴(x－4，y－1，z－3)＝(1，12，－6)
∴∴D(5，13，－3).
11．已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)，则以，为邻边的平行四边形的面积为________．
答案：7
解析：＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2)，
∴·＝－2＋3＋6＝7，||＝，||＝.
又cos 〈，〉＝＝＝，
∴sin 〈，〉＝，
∴平行四边形的面积S＝||×||×sin 〈，〉＝7.
12．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则D1点到平面A1BD的距离为________．
答案：
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
则D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，B(2，2，0)，
∴＝(2，0，0)，＝(2，0，2)，＝(2，2，0).
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则
令x＝1，则n＝(1，－1，－1)，
∴点D1到平面A1BD的距离是
[能力提升]
13.
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)
A.斜交
B．平行
C．垂直
D．MN在平面BB1C1C内
答案：B
解析：建立如图所示
的空间直角坐标系，由于A1M＝AN＝，
则M，N，
＝.又C1D1⊥平面BB1C1C，所以C1D1＝(0，a，0)为平面BB1C1C的一个法向量．因为·＝0，所以⊥，所以MN∥平面BB1C1C.
14．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案：C
解析：
如图所示，以A1为坐标原点，A1B1所在直线为x轴，A1B1为单位长度，A1C1所在直线为y轴，A1A所在直线为z轴，建立空间直角坐标系A1－xyz.则可得A1(0，0，0)，B1(1，0，0，)，C1(0，1，0)，A(0，0，1)，B(1，0，1).所以A1B＝(1，0，1)，AC1＝(0，1，－1).
15．若平面α的一个法向量n＝(2，1，1)，直线l的一个方向向量为a＝(1，2，3)，则α与l所成角的正弦值为________．
答案：
解析：设直线l与平面α所成的角为θ，
则sin θ＝＝
＝.
16.
如图所示，四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC＝45°，BC＝2，AB＝2，SA＝SB＝.求直线SD与平面SAB所成角的正弦值为________.
答案：
解析：如图所示，
作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD.
由SA＝SB，可得OA＝OB.又由∠ABC＝45°，得△ABO为等腰直角三角形，OA⊥OB.建立如图所示空间直角坐标系O－xyz，则A(，0，0)，B(0，，0)，C(0，－，0)，S(0，0，1)，D(，－2，0)，＝(－，2，1)，＝(，0，－1)，＝(0，，－1).
设平面SAB的法向量为n＝(x1，y1，z1)，
由得
令z1＝，得n＝(1，1，).
设直线SD与平面SAB所成角为θ，
则sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝＝.
所以直线SD与平面SAB所成角的正弦值为.专练16　导数在研究函数中的应用
授课提示：对应学生用书31页
[基础强化]
一、选择题
1．函数f(x)＝3＋x ln x的单调递减区间是(　　)
A． B．
C． D．
答案：B
解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1，由f′(x)<0，得02．[2024·陕西模拟]若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)
答案：D
解析：因为f(x)＝kx－ln x，所以f′(x)＝k－.因为f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x>1时f′(x)＝k－≥0恒成立，即k≥在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x>1，所以0<<1，所以k≥1.故选D.
3．若函数f(x)的导函数f′(x)＝x2－4x＋3，则使得函数f(x－1)单调递减的一个充分不必要条件是x∈(　　)
A．[0，1] B．[3，5]
C．[2，3] D．[2，4]
答案：C
解析：因为f′(x)＝x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)，所以f(x)在区间[1，3]上单调递减，f(x)的图象向右平移一个单位长度得到f(x－1)的图象，所以f(x－1)在区间[2，4]上单调递减．用集合的观点考虑“充分不必要条件”，在选项中，包含在区间[2，4]内的选项为C.故选C.
4．已知函数f(x)＝x3＋2x＋sin x，若f(a)＋f(1－2a)>0，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．(－∞，1)
C． D．
答案：B
解析：∵函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．又f′(x)＝3x2＋2＋cos x>0，∴f(x)在R上单调递增，∴f(a)>f(2a－1)，a>2a－1，解得a<1.故选B.
5．[2024·昆明摸底诊断测试]已知函数f(x)＝ex＋e－x，则(　　)
A．f(－)B．f(e)C．f()D．f(－)答案：D
解析：因为f(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数．又当x>0时，f′(x)＝ex－>0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．因为<6．若函数y＝f(x)在R上可导且满足不等式xf′(x)＋f(x)>0恒成立，常数a，b满足a>b，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．af(a)>bf(b) B．af(b)>bf(a)
C．af(a)答案：A
解析：令g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)>0，所以函数g(x)在R上单调递增．因为a>b，所以g(a)>g(b)，即af(a)>bf(b)，故选A.
7．若f(x)＝，0A．f(a)>f(b) B．f(a)＝f(b)
C．f(a)1
答案：C
解析：∵f(x)＝，∴f′(x)＝， 当00，故f(x)在(0，e)上单调递增．又∵08．(多选)[2024·新课标Ⅱ卷]设函数f(x)＝2x3－3ax2＋1，则(　　)
A．当a>1时，f(x)有三个零点
B．当a<0时，x＝0是f(x)的极大值点
C．存在a，b，使得x＝b为曲线y＝f(x)的对称轴
D．存在a，使得点(1，f(1))为曲线y＝f(x)的对称中心
答案：AD
解析：f(x)＝2x3－3ax2＋1，则f′(x)＝6x2－6ax＝6x(x－a).A选项，当a>1时，f′(x)的零点为x1＝0，x2＝a，则x2>x1.当x<0时，f′(x)>0，当0a时，f′(x)>0，则f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，则x＝0是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点，又f(0)＝1>0，f(a)＝2a3－3a3＋1＝1－a3<0，且f(－a)<0，f(2a)>0，所以f(x)有三个零点，A正确；B选项，当a<0时，易知f(x)在(－∞，a)上单调递增，在(a，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以x＝0是f(x)的极小值点，B错误；C选项，若x＝b是曲线y＝f(x)的对称轴，则f(x＋b)＝f(b－x)，即2(x＋b)3－3a(x＋b)2＋1＝2(b－x)3－3a·(b－x)2＋1，即x3＋3b2x＝3abx，不存在a，b使等式恒成立，故不存在a，b，使得直线x＝b为曲线y＝f(x)的对称轴，C错误；D选项，若点(1，f(1))为曲线y＝f(x)的对称中心，则f(1＋x) ＋f(1－x)＝2f(1)，即2(1＋x)3－3a(1＋x)2＋1＋2(1－x)3－3a(1－x)2＋1＝6－6a，整理得(12－6a)x2－6a＋6＝6－6a，解得a＝2，所以存在a，使得点(1，f(1))为曲线y＝f(x)的对称中心，D正确．故选AD.
9．(多选)已知函数y＝f(x)在R上可导且f(0)＝1，其导函数f′(x)满足>0，对于函数g(x)＝，下列结论正确的是(　　)
A．函数g(x)在(1，＋∞)上为单调递增函数
B．x＝1是函数g(x)的极小值点
C．函数g(x)至多有两个零点
D．x≤0时，不等式f(x)≤ex恒成立
答案：ABC
解析：因为>0，所以当x>1时，f′(x)－f(x)>0；当x<1时，f′(x)－f(x)<0.因为g(x)＝，所以g′(x)＝，则当x>1时，g′(x)>0；当x<1时，g′(x)<0.所以函数g(x)在(1，＋∞)上为单调递增函数，在(－∞，1)上为单调递减函数，则x＝1是函数g(x)的极小值点，则选项A，B均正确．当g(1)<0时，因为函数g(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减，所以函数g(x)在区间(1，＋∞)和区间(－∞，1)上分别至多有一个零点，当g(1)>0时，函数g(x)无零点，所以函数g(x)至多有两个零点，所以选项C正确．因为f(0)＝1，所以g(0)＝＝1，又g(x)在区间(－∞，1)上单调递减，所以当x≤0时，g(x)＝≥g(0)＝1，又ex>0，所以f(x)≥ex，故选项D错误．故选ABC.
二、填空题
10．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为(－1，3)，则b＋c＝________．
答案：－12
解析：f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题意得3x2＋2bx＋c<0的解集为(－1，3).
∴得
∴b＋c＝－12.
11．[2024·新课标Ⅰ卷]若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝__________．
答案：ln 2
解析：令f(x)＝ex＋x，则f′(x)＝ex＋1，所以曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线斜率为f′(0)＝2，所以切线方程为y＝2x＋1.令g(x)＝ln (x＋1)＋a，则g′(x)＝.因为直线y＝2x＋1也是曲线y＝g(x)的切线，所以令＝2，解得x＝－，则曲线y＝g(x)与直线y＝2x＋1的切点坐标为(－，0)，所以0＝a－ln 2，解得a＝ln 2.
12．已知函数f(x)＝(x2－mx－m)ex＋2m(m∈R)在x＝0处取得极小值，则m＝________，f(x)的极大值是________．
答案：0　4e－2
解析：由题意知，f′(x)＝[x2＋(2－m)x－2m]ex，f′(0)＝－2m＝0，解得m＝0，∴f(x)＝x2ex，f′(x)＝(x2＋2x)ex.令f′(x)>0，解得x<－2或x>0，令f′(x)<0，解得－2[能力提升]
13．[2023·新课标Ⅱ卷]已知函数f(x)＝aex－ln x在区间单调递增，则a的最小值为(　　)
A．e2 B．e
C．e－1 D．e－2
答案：C
解析：因为函数f(x)＝aex－ln x，所以f′(x)＝aex－.因为函数f(x)＝aex－ln x在(1，2)单调递增，所以f′(x)≥0在(1，2)恒成立，即aex－≥0在(1，2)恒成立，易知a>0，则0<≤xex在(1，2)恒成立．设g(x)＝xex，则g′(x)＝(x＋1)ex.当x∈(1，2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以在(1，2)上，g(x)>g(1)＝e，所以≤e，即a≥＝e－1，故选C.
14．(多选)[2022·新高考Ⅰ卷，10]已知函数f(x)＝x3－x＋1，则(　　)
A．f(x)有两个极值点
B．f(x)有三个零点
C．点(0，1)是曲线y＝f(x)的对称中心
D．直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线
答案：AC
解析：由题意知f′(x)＝3x2－1.令f′(x)＝0，得x＝或x＝－.令f′(x)＞0，得x＜－或x＞；令f′(x)＜0，得－＜x＜.所以f(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增，在(－，)上单调递减，所以f(x)有两个极值点，所以A正确．f(x)极大值＝f(－)＝－＋＋1＞0，f(x)极小值＝f()＝－＋1＞0.当x→＋∞时，f(x)→＋∞；当x→－∞时，f(x)→－∞，所以f(x)有一个零点，所以B错误．因为f(x)＋f(－x)＝x3－x＋1＋(－x)3＋x＋1＝2，所以曲线y＝f(x)关于点(0，1)对称，所以C正确．令f′(x)＝3x2－1＝2，得x＝1或x＝－1，所以当切线的斜率为2时，切点为(1，1)或(－1，1)，则切线方程为y＝2x－1或y＝2x＋3，所以D错误．故选AC.
15．设a∈(0，1)，若函数f(x)＝ax＋(1＋a)x在(0，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________．
答案：[，1)
解析：由题意得当x>0时，f′(x)＝ax ln a＋(1＋a)x ln (1＋a)＝ax≥0，设g(x)＝ln a＋ ln (1＋a)，因为ax>0，所以g(x)≥0.
因为a∈(0，1)，所以ln (1＋a)>0，＋1>1，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，故只需满足g(0)≥0，即ln a＋ln (1＋a)＝ln (a＋a2)≥0，所以a＋a2≥1，解得a≤－或a≥，又016．(多选)[2023·新课标Ⅱ卷]若函数f(x)＝a ln x＋＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则(　　)
A．bc>0 B．ab>0
C．b2＋8ac>0 D．ac<0
答案：BCD
解析：因为函数f(x)＝a ln x＋＋(a≠0)，所以函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，因为函数f(x)既有极大值也有极小值，所以关于x的方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正实根x1，x2，则即，
所以.故选BCD.专练12　函数的图象
授课提示：对应学生用书23页
[基础强化]
一、选择题
1．函数y＝2|x|sin 2x的图象可能是(　　)
A　　　B
C　　D
答案：D
解析：由y＝2|x|sin 2x知函数的定义域为R，
令f(x)＝2|x|sin 2x，则f(－x)＝2|－x|sin (－2x)＝－2|x|sin 2x.
∵ f(x)＝－f(－x)，∴ f(x)为奇函数．
∴ f(x)的图象关于原点对称，故排除A，B.
令f(x)＝2|x|sin 2x＝0，解得x＝(k∈Z)，
∴ 当k＝1时，x＝，故排除C.
故选D.
2．为了得到函数y＝log2的图象，可将函数y＝log2x图象上所有点的(　　)
A．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变，再向右平移1个单位
B．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变，再向左平移1个单位
C．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位
D．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位
答案：A
解析：把函数y＝log2x的图象上所有点的纵坐标缩短为原来的，横坐标不变，得到函数y＝log2x的图象，再向右平移1个单位，得到函数y＝log2(x－1)的图象，即函数y＝log2(x－1)＝log2的图象．
3．函数f(x)＝的图象大致为(　　)
答案：B
解析：∵ y＝ex－e－x是奇函数，y＝x2是偶函数，
∴ f(x)＝是奇函数，图象关于原点对称，排除A选项．
当x＝1时，f(1)＝＝e－>0，排除D选项．
又e>2，∴ <，∴ e－>1，排除C选项．
故选B.
4．函数f(x)＝在[－π，π]的图象大致为(　　)
答案：D
解析：∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，排除A；
∵f(π)＝＝>0，∴排除C；∵f(1)＝，且sin 1>cos 1，∴f(1)>1，∴排除B.故选D.
5．[2024·全国甲卷(理)]函数y＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8，2.8]的图象大致为(　　)
答案：B
解析：令函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x，x∈[－2.8，2.8]，因为f(－x)＝－x2＋(e－x－ex)sin (－x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x＝f(x)，所以函数y＝f(x)是偶函数，排除选项A，C.
令x＝1，则f(1)＝－1＋(e－)sin 1.
因为1∈(，)，所以sin 1∈(，).
又因为e≈2.7，所以e－>2，所以(e－)sin 1>，所以f(1)＝－1＋(e－)sin 1>0，排除选项D.故选B.
6．对于函数f(x)＝的图象及性质的下列表述，正确的是(　　)
A．图象上点的纵坐标不可能为1
B．图象关于点(1，1)成中心对称
C．图象与x轴无交点
D．图象与垂直于x轴的直线可能有两个交点
答案：A
解析：函数f(x)＝＝1＋，∵≠0，∴f(x)≠1.故A正确；显然f(x)的图象关于(－1，1)成中心对称，故B不正确；∵当x＝－2时，f(x)＝0，故图象与x轴有交点，C不正确；由函数的概念知D不正确．
7．已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②中的图象对应的函数为(　　)
A．y＝f(|x|) B．y＝f(－|x|)
C．y＝|f(x)| D．y＝－f(|x|)
答案：B
解析：图②是由图①y轴左侧图象保留，左右关于y轴对称得，故图②对应的解析式为y＝f(－|x|).
8．[2022·全国甲卷(理)，5]函数y＝(3x－3－x)·cos x在区间的图象大致为(　　)
答案：A
解析：设函数f(x)＝(3x－3－x)cos x，则对任意x∈[－，]，都有f(－x)＝(3－x－3x)cos (－x)＝－(3x－3－x)cos x＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，因此排除B，D选项．又f(1)＝(3－3－1)cos 1＝cos 1＞0，所以排除C选项．故选A.
9．函数y＝的图象与函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象的所有交点的横坐标之和等于(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
答案：D
解析：由题意知y＝＝的图象是双曲线，且关于点(1，0)成中心对称，又y＝2sin πx的周期为T＝＝2，且也关于点(1，0)成中心对称，
因此两图象的交点也一定关于点(1，0)成中心对称，
再结合图象(如图所示)可知两图象在[－2，4]上有8个交点，
因此8个交点的横坐标之和x1＋x2＋…＋x8＝4×2＝8.故选D.
二、填空题
10．若函数y＝f(x)的图象经过点(2，3)，则函数y＝f(－x)＋1的图象必定经过的点的坐标为________．
答案：(－2，4)
解析：由题意得f(2)＝3，又y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，∴y＝f(－x)过点(－2，3)，∴y＝f(－x)＋1的图象过点(－2，4).
11．函数f(x)是定义在[－4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图象如图所示，那么不等式<0的解集为________.
答案：∪
解析：当x∈时，y＝cos x>0.
当x∈时，y＝cos x<0.
结合y＝f(x)，x∈[0，4]上的图象知，
当1又函数y＝为偶函数，
∴在[－4，0]上，<0的解集为，
所以<0的解集为∪.
12．已知函数y＝的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．
答案：(0，1)∪(1，4)
解析：根据绝对值的意义，
y＝＝
在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示，根据图象可知，当0[能力提升]
13．如图，点P在边长为1的正方形边上运动，M是CD的中点，当点P沿A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y＝f(x)的图象的形状大致是(　　)
答案：A
解析：y＝f(x)＝画出分段函数的大致图象，如图所示．故选A.
14．(多选)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(n∈N*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．则下列函数是一阶整点函数的是(　　)
A．f(x)＝sin 2x B．g(x)＝x3
C．h(x)＝()x D．φ(x)＝ln x
答案：AD
解析：对于函数f(x)＝sin 2x，它的图象只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数，A正确；对于函数g(x)＝x3，它的图象经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一阶整点函数，B错误；对于函数h(x)＝，它的图象经过整点(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一阶整点函数，C错误．对于函数φ(x)＝ln x，它的图象只经过一个整点(1，0)，所以它是一阶整点函数，D正确．故选AD.
15．已知函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，当x∈[－1，＋∞)时，f(x＋1)是增函数，则不等式f(x－3)－f(x)>0的解集为________.
答案：
解析：由题意得f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，由f(x－3)－f(x)>0得f(x－3)>f(x)，∴|x－3|>|x|，得x<.
16．已知函数f(x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________.
答案：(3，＋∞)
解析：f(x)的大致图象如图所示，若存在b∈R，使得方程f(x)＝b有三个不同的根，只需4m－m20，所以m>3.专练11　对数与对数函数
授课提示：对应学生用书21页
[基础强化]
一、选择题
1．lg ＋2lg 2－＝(　　)
A．1 B．－1
C．3 D．－3
答案：B
解析：原式＝lg ＋lg 4－2＝lg (×4)－2＝1－2＝－1．
2．函数y＝的定义域是(　　)
A．[1，＋∞) B．
C． D．
答案：D
解析：由题意得log(3x－2)≥0，即0<3x－2≤1.
∴3．函数f(x)＝log(x2－2x)的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，0) B．(1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，1)
答案：A
解析：函数f(x)＝log(x2－2x)的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)，由复合函数的单调性可知，函数f(x)＝log(x2－2x)的单调增区间为(－∞，0).
4．若函数f(x)＝(m－2)xa是幂函数，则函数g(x)＝loga(x＋m)(a>0且a≠1)的图象过点(　　)
A．(－2，0) B．(2，0)
C．(－3，0) D．(3，0)
答案：A
解析：∵f(x)＝(m－2)xa为幂函数，∴m－2＝1，m＝3，
∴g(x)＝loga(x＋3)，又g(－2)＝0，
∴g(x)的图象过(－2，0).
5．已知55<84，134<85，设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则(　　)
A．aC．b答案：A
解析：a＝log53∈(0，1)，b＝log85∈(0，1)，则＝＝log53·log58<＝<1，∴a又∵134<85，∴135<13×85，两边同取以13为底的对数得log13135，∴c>.
又∵55<84，∴8×55<85，两边同取以8为底的对数得log8(8×55)综上所述，c>b>a，故选A.
6．若a>b，则(　　)
A．ln (a－b)>0 B．3a<3b
C．a3－b3>0 D．|a|>|b|
答案：C
解析：通解：由函数y＝ln x的图象(图略)知，当0b时，3a>3b，故B不正确；因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a>b时，a3>b3，即a3－b3>0，故C正确；当b优解：当a＝0.3，b＝－0.4时，ln (a－b)<0，3a＞3b，|a|<|b|，故排除A，B，D.故选C.
7．已知函数f(x)＝ln x＋ln (2－x)，则(　　)
A．f(x)在(0，2)单调递增
B．f(x)在(0，2)单调递减
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
D．y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称
答案：C
解析：f(x)的定义域为(0，2)，
f(x)＝ln x＋ln (2－x)＝ln [x(2－x)]＝ln (－x2＋2x).
设u＝－x2＋2x，x∈(0，2)，
则u＝－x2＋2x在(0，1)上单调递增，
在(1，2)上单调递减．
又y＝ln u在其定义域上单调递增，
∴f(x)＝ln (－x2＋2x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减．
∴选项A、B错误；
∵f(x)＝ln x＋ln (2－x)＝f(2－x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴选项C正确；
∵f(2－x)＋f(x)＝[ln (2－x)＋ln x]＋[ln x＋ln (2－x)]＝2[ln x＋ln (2－x)]，不恒为0，
∴f(x)的图象不关于点(1，0)对称，
∴选项D错误．
8．若函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是(　　)
答案：B
解析：由y＝logax的图象可知loga3＝1，
所以a＝3.对于选项A：y＝3－x＝为减函数，A错误；
对于选项B：y＝x3，显然满足条件；
对于选项C：y＝(－x)3＝－x3在R上为减函数，C错误；
对于选项D：y＝log3(－x)，当x＝－3时，y＝1，D错误．
故选B.
9．若函数f(x)＝存在最小值，则实数a的取值范围为(　　)
A．(1，＋∞) B．[，＋∞)
C．(1，] D．(0，]
答案：C
解析：当x≤3时，f(x)＝－2x＋8单调递减，则f(x)≥f(3)＝2；当x>3时，f(x)＝logax，必须满足a>1，且loga3≥2，得1二、填空题
10．[2024·全国甲卷(理)]已知a>1，且－＝－，则a＝________．
答案：64
解析：因为－＝－log2a＝－，所以(log2a＋1)(log2a－6)＝0.又a>1，故log2a＝6，解得a＝64.
11．函数f(x)＝－log2(x＋4)在区间[－2，2]上的最大值为________．
答案：8
解析：因为函数y＝，y＝－log2(x＋4)在区间[－2，2]上都单调递减，所以函数f(x)＝－log2(x＋4)在区间[－2，2]上单调递减，所以函数f(x)的最大值为f(－2)＝－log2(－2＋4)＝9－1＝8．
12．函数f(x)＝log2(－x2＋2)的值域为________．
答案：
解析：∵0<－x2＋2≤2，∴log2(－x2＋2)≤log22＝.
[能力提升]
13．若2a＋log2a＝4b＋2log4b则(　　)
A．a>2b B．a<2b
C．a>b2 D．a答案：B
解析：2a＋log2a＝22b＋log2b<22b＋log2(2b)，
令f(x)＝2x＋log2x，则f(a)又易知f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以a<2b，故选B.
14．(多选)对于函数f(x)＝lg ，下列说法正确的有(　　)
A．f(x＋2)是偶函数
B．f(x＋2)是奇函数
C．f(x)在区间(－∞，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增
D．f(x)没有最小值
答案：AD
解析：对于A，B，因为f(x)＝lg ，故f(x＋2)＝lg ，
又f(－x＋2)＝lg ＝lg ，故f(x＋2)为偶函数，故A正确，B错误．
对于C，因为f(x)＝lg ＝
当x∈(2，＋∞)时，因为y＝在x∈(2，＋∞)时单调递减，故y＝＋1单调递减，所以y＝lg在区间(2，＋∞)上单调递减，故C错误．
对于D，因为当x∈(2，＋∞)时，y＝lg 单调递减，同理当x∈(－∞，2)时，y＝lg 单调递增，当x→＋∞时，y→0，当x→－∞时，y→0，
故f(x)没有最小值．故D正确．
15．(多选)[2023·新课标Ⅰ卷]噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg ，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60～90
混合动力汽车 10 50～60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m 处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　)
A．p1≥p2 B．p2>10p3
C．p3＝100p0 D．p1≤100p2
答案：ACD
解析：
16．已知函数f(x)＝loga(－x＋1)(a>0且a≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0]，若函数g(x)＝ax＋m－3的图象不经过第一象限，则m的取值范围为________．
答案：[－1，＋∞)
解析：∵函数f(x)＝loga(－x＋1)(a>0且a≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0]，而f(0)＝0，∴f(－2)＝loga3＝－1，∴a＝，∴g(x)＝－3，令g(x)＝0，得x＝－m－1，则－m－1≤0，求得m≥－1，故m的取值范围为[－1，＋∞).专练13　函数与方程
授课提示：对应学生用书25页
[基础强化]
一、选择题
1．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则g(x)＝bx2－ax－1的零点是(　　)
A．－1和 B．1和－
C．和 D．－和－
答案：B
解析：由题意得x2－ax＋b＝0有两根2，3.
∴得
由bx2－ax－1＝0，得6x2－5x－1＝0，
得x＝－或x＝1.
2．方程log4x＋x＝7的根所在区间是(　　)
A．(1，2) B．(3，4)
C．(5，6) D．(6，7)
答案：C
解析：令f(x)＝log4x＋x－7，则函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且函数在(0，＋∞)上连续．因为f(5)<0，f(6)>0，所以f(5)f(6)<0，所以函数f(x)＝log4x＋x－7的零点所在的区间为(5，6)，即方程log4x＋x＝7的根所在区间是(5，6).故选C.
3．函数f(x)＝的所有零点之和为(　　)
A．7　　　B．5 C．4　　　D．3
答案：A
解析：由得x1＝－3，由得x2＝10，∴函数f(x)的所有零点之和为10－3＝7.
4．设函数f(x)＝x－ln x，则函数y＝f(x)(　　)
A.在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
答案：D
解析：∵f＝＋1>0，
f(1)＝>0，f(e)＝－1<0，
∴f(x)在内无零点，在(1，e)内有零点．
5.若幂函数f(x)＝xα的图象过点(2，)，则函数g(x)＝f(x)－3的零点是(　　)
A． B．9
C．(，0) D．(9，0)
答案：B
解析：∵幂函数f(x)＝xα的图象过点(2，)，∴f(2)＝2α＝，解得α＝，∴f(x)＝x，∴函数g(x)＝f(x)－3＝x－3.令g(x)＝x－3＝0，得x＝9，∴g(x)＝f(x)－3的零点是9.故选B.
6．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x＋log2x，h(x)＝x3＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．b＞c＞a B．b＞a＞c
C．a＞b＞c D．c＞b＞a
答案：A
解析：在同一坐标系中画出y＝2x和y＝－x的图象，可得a＜0，用同样的方法可得b＞0，c＝0，所以b＞c＞a，故选A.
7．函数f(x)＝x－的零点的个数为(　　)
A.0 B．1
C．2 D．3
答案：B
解析：∵函数f(x)＝x－为单调增函数，且f(0)＝－1<0，f(1)＝>0, ∴f(x)在(0，1)内有一个零点．
8．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为(　　)
A．{1，3}
B．{－3, －1，1，3}
C．{2－，1，3}
D．{－2－，1，3}
答案：D
解析：当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－x2－3x，
∴g(x)＝
由
得x＝1或x＝3；
由得x＝－2－，故选D.
9．已知函数f(x)＝(k∈R)，若函数y＝|f(x)|＋k有三个零点，则实数k满足(　　)
A.k≤2 B．－1C．－2≤k<－1 D．k≤－2
答案：D
解析：
由于|f(x)|≥0，故必须－k≥0，即k≤0，显然k＝0时两个函数图象只有一个公共点，所以k<0，f(x)＝kx＋2恒过点(0，2)，要使y＝|f(x)|与y＝－k的图象有三个公共点(如图所示)，只要－k≥2，即k≤－2即可．故选D.
二、填空题
10．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________.
答案：
解析：当a＝0时，函数f(x)＝1在(－1，1)上没有零点，所以a≠0.所以函数f(x)是单调函数，要满足题意，只需f(－1)f(1)<0，即(－3a＋1)·(1－a)<0，所以(a－1)(3a－1)<0，解得11．设函数f(x)＝若f(x0)＝1，则x0＝________.
答案：±1
解析：由题意得或
得x0＝±1.
12.已知偶函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，且当x∈[－1，0]时，f(x)＝x2，若在区间[－1，3]内，函数g(x)＝f(x)－loga(x＋2)有3个零点，则实数a的取值范围是________．
答案：(3，5)
解析：∵偶函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)且当x∈[－1，0]时，f(x)＝x2，
∴函数f(x)的周期为2.在区间[－1，3]内函数g(x)＝f(x)－loga(x＋2)有3个零点等价于f(x)的图象与y＝loga(x＋2)的图象在区间[－1，3]内有3个交点．当01且loga(1＋2)<1，loga(3＋2)>1，解得a∈(3，5).
[能力提升]
13．对于函数f(x)和g(x)，设α∈{x|f(x)＝0}，β∈{x|g(x)＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f(x)与g(x)互为“零点相邻函数”．若函数f(x)＝ex－1＋x－2与g(x)＝x2－ax－a＋3互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是(　　)
A．[2，4] B．
C． D．[2，3]
答案：D
解析：易知函数f(x)＝ex－1＋x－2的零点为x＝1，则α＝1，设函数g(x)＝x2－ax－a＋3的一个零点为β，若函数f(x)和g(x)互为“零点相邻函数”，根据定义，得|1－β|≤1，解得0≤β≤2.作出函数g(x)＝x2－ax－a＋3的图象(图略)，因为g(－1)＝4，要使函数g(x)在区间[0，2]内存在零点，则即解得2≤a≤3.故选D.
14．(多选)[2024·广东适应性测试]设三个函数y＝2x＋x－2，y＝log2x＋x－2和y＝x3－3x2＋3x－1的零点分别为x1，x2，x3，则有(　　)
A．x1x2＜x3 B．x1x2＞x3
C．x1＋x2＝2x3 D．x1＋x2≥2x3
答案：AC
解析：因为y＝x3－3x2＋3x－1，所以y′＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，所以y＝x3－3x2＋3x－1在R上是增函数，又当x＝1时y＝13－3×12＋3×1－1＝0，所以x3＝1.作出y＝2x，y＝log2x，y＝2－x三个函数的图象如图所示，
其中A(x1，y1)，B(x2，y2)分别是函数y＝2x，y＝log2x的图象与直线y＝2－x的交点．因为指数函数y＝ax与y＝logax的图象关于直线y＝x对称，且y＝2－x也关于y＝x对称，所以交点A，B关于直线y＝x对称，所以＝，即2－x1＋2－x2＝x1＋x2，所以x1＋x2＝2＝2x3，再由基本不等式及x1≠x2得x1x2＜＝1＝x3(0＜x1＜x2).故选AC.
15．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
答案：(0，1)
解析：函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，等价于y＝f(x)与y＝m有三个交点，画出y＝f(x)的图象，其中抛物线的顶点为(－1，1)，由图可知，当016．已知λ∈R，函数f(x)＝当λ＝2时，不等式f(x)<0的解集是________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．
答案：(1，4)　(1，3]∪(4，＋∞)
解析：当λ＝2时，不等式f(x)<0等价于
或
即2≤x<4或1故不等式f(x)<0的解集为(1，4).
易知函数y＝x－4(x∈R)有一个零点x1＝4，
函数y＝x2－4x＋3(x∈R)有两个零点x2＝1，x3＝3.
在同一坐标系中作出这两个函数的图象(图略)，要使函数f(x)恰有2个零点，则只能有以下两种情形：①两个零点为1，3，由图可知，此时λ>4.②两个零点为1，4，由图可知，此时1<λ≤3.
综上，λ的取值范围为(1，3]∪(4，＋∞).专练37　直线、平面垂直的判定与性质
授课提示：对应学生用书79页
[基础强化]
一、选择题
1．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可能有(　　)
A．1个　　　　　　　　B．2个
C．3个 D．4个
答案：D
解析：如图ABCD为矩形，
PA⊥平面ABCD时，△PAB，△PAD为直角三角形，
又AD⊥DC，PA⊥DC，PA∩AD＝A，
∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥PD，
∴△PCD为直角三角形，同理△PBC为直角三角形，共4个直角三角形．
2．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题不正确的是(　　)
A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
B．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
C．若m⊥α，m β，则α⊥β
D．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n
答案：D
解析：易知A、B、C均正确，D错误，m与n也可能异面．
3．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是(　　)
A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β
C．a α，b⊥β，α∥β D．a α，b∥β，α⊥β
答案：C
解析：当α∥β，b⊥β时，b⊥α，又a α，∴b⊥a，故C正确.
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CD的中点，则(　　)
A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD
C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC
答案：C
解析：∵A1B1⊥平面BCC1B1，
BC1 平面BCC1B1，∴A1B1⊥BC1，
又BC1⊥B1C且B1C∩A1B1＝B1，
∴BC1⊥平面A1B1CD，又A1E 平面A1B1CD，
∴BC1⊥A1E.
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，则直线CE垂直于(　　)
A．A1C1 B．BD
C．A1D1 D．AA1
答案：B
解析：连接B1D1，∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，∴E∈B1D1且B1D1⊥A1C1，B1D1⊥CC1，又A1C1∩CC1＝C1，∴B1D1⊥平面A1C1C，又CE 平面A1C1C，∴B1D1⊥CE，又BD∥B1D1，∴BD⊥CE.
6．若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：由“m⊥α且l⊥m”推出“l α或l∥α”，但由“m⊥α且l∥α”可推出“l⊥m”，所以“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件，故选B.
7．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　　)
A．m∥l B．m∥n
C．n⊥l D．m⊥n
答案：C
解析：∵α∩β＝l，∴l β，又∵n⊥β，
∴n⊥l.
8．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，AA1＝5，则A1C与平面ABCD所成角的正切值为(　　)
A． B．
C． D．1
D
答案：解析：如图所示，连接AC，∵AA1⊥平面ABCD，∴A1C与平面ABCD所成的角为∠ACA1，∵AB＝4，BC＝3，
∴AC＝5，∵AA1＝5，
∴tan ∠ACA1＝1，故选D.
9．如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E为AC的中点，则下列命题中正确的是(　　)
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BCD
C．平面ABC⊥平面BDE且平面ACD⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ACD且平面ACD⊥平面BDE
答案：C
解析：∵AB＝BC，E为AC的中点，
∴EB⊥AC，同理DE⊥AC，又DE∩EB＝E，∴AC⊥平面BDE，又AC 平面ACD，
∴平面ACD⊥平面BDE，同理平面ABC⊥平面BDE.
二、填空题
10．在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC，则P在平面ABC中的射影O为△ABC的________心．
答案：外
解析：连结OA，OB，OC，OP，∴△POA，△POB，△POC为直角三角形，
又PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，
∴O为△ABC的外心．
11．已知平面α、β、γ是空间中三个不同的平面，直线l、m是空间中两条不同的直线，若α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m则
①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.
由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上).
答案：②④
解析：∵γ∩β＝l，∴l γ，又α⊥γ，γ∩α＝m，l⊥m，∴l⊥α，∵γ∩β＝l，∴l β，又l⊥α，∴α⊥β，∴②④正确．
12．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥面ABCD，则这个四棱锥的五个面中两两互相垂直的共有________对．
答案：5
解析：
∵PA⊥平面ABCD，又PA 平面PAD，
∴平面PAD⊥平面ABCD；同理平面PAB⊥平面ABCD，
又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，
又CD⊥AD，AD∩PA＝A，
∴CD⊥平面PAD，又CD 平面PCD，
∴平面PCD⊥平面PAD，同理平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，共有5对．
[能力提升]
13．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则(　　)
A．平面B1EF⊥平面BDD1
B．平面B1EF⊥平面A1BD
C．平面B1EF∥平面A1AC
D．平面B1EF∥平面A1C1D
答案：A
解析：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，易知BD⊥AC.又E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，所以BD⊥EF.由正方体的性质，知DD1⊥平面ABCD.又EF 平面ABCD，所以DD1⊥EF.因为BD∩DD1＝D，所以EF⊥平面BDD1.因为EF 平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，A正确．假设平面B1EF⊥平面A1BD.因为平面B1EF⊥平面BDD1，且平面A1BD∩平面BDD1＝BD，所以BD⊥平面B1EF.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，显然BD与平面B1EF不垂直，B错误．设A1A与B1E的延长线相交于点P，所以平面B1EF与平面A1AC不平行，C错误．连接AB1，B1C，易证平面ACB1∥平面A1C1D.因为平面ACB1与平面B1EF相交，所以平面B1EF与平面A1C1D不可能平行，D错误．故选A.
14.
如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是(　　)
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC
D．平面PAE⊥平面ABC
答案：C
解析：如图，
因为D、F分别是AB、AC中点，所以BC∥DF，因为DF 平面PDF，BC 平面PDF，所以BC∥平面PDF.因为该几何体是正四面体，E是BC中点，所以BC⊥PE，BC⊥AE，因为PE∩AE＝E，所以BC⊥平面PAE，因为BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，又因为DF 平面ABC，所以平面PAE⊥平面ABC，故A、B、D都成立．故选C.
15．在四棱锥P－ABCD中，PA⊥面ABCD，底面各边都相等，M为PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.
答案：BM⊥PC(DM⊥PC)
解析：
当BM⊥PC时，平面MBD⊥平面PCD，证明如下：
如图所示，∵PA⊥平面ABCD，AB＝AD，
∴PB＝PD，又BC＝CD，
∴△PBC≌△PCD，∴当BM⊥PC时，
DM⊥PC，∴PC⊥平面MBD，又PC 平面PCD，
∴平面MBD⊥平面PCD.
16.
如图，VA⊥平面ABC，△ABC的外接圆是以边AB的中点O为圆心的圆，点M、N、P分别为VA、VC、VB的中点，则下列结论正确的是________．(把正确结论的序号都填上)
①MN∥平面ABC；
②OC⊥平面VAC；
③MN与BC所成的角为60°；
④MN⊥OP；
⑤平面VAC⊥平面VBC.
答案：①④⑤
解析：对于①，因为点M，N分别为VA，
VC的中点，所以MN∥AC，又MN 平面ABC，所以MN∥平面ABC，故①正确；对于②，若OC⊥平面VAC，则OC⊥AC，而由题意知AB是圆O的直径，则BC⊥AC，故OC与AC不可能垂直，故②不正确；对于③，因为MN∥AC，且BC⊥AC，所以MN⊥BC，即MN与BC所成的角为90°，故③不正确；对于④，易得OP∥VA，VA⊥MN，所以MN⊥OP，故④正确；对于⑤，因为VA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以VA⊥BC，又BC⊥AC，且AC∩VA＝A，所以BC⊥平面VAC，又BC 平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC，故⑤正确．综上，应填①④⑤.专练17　函数、导数及其应用综合检测
授课提示：对应学生用书33页
　　　　　　　　　　　　　
[基础强化]
一、选择题
1．函数f(x)＝x－是(　　)
A．奇函数，且值域为(0，＋∞)
B．奇函数，且值域为R
C．偶函数，且值域为(0，＋∞)
D．偶函数，且值域为R
答案：B
解析：因为f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除C，D，又f(1)＝0，所以排除A，故选B.
2．若直线x＝a(a>0)分别与曲线y＝2x＋1，y＝x＋ln x相交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　)
A．1　　　 B．2 C．　　　D．
答案：B
解析：由题可得A(a，2a＋1)，B(a，a＋ln a)，
∴|AB|＝|2a＋1－(a＋ln a)|＝|a＋1－ln a|.
令f(x)＝x＋1－ln x(x>0)，则f′(x)＝1－，当01时，f′(x)>0，∴函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴当x＝1时，函数f(x)取得最小值，最小值为2>0，
∴|AB|＝|a＋1－ln a|＝a＋1－ln a，其最小值为2.
3．已知a＝π0.2，b＝logπ2，c＝cos 2，则(　　)
A．cC．c答案：A
解析：由指数函数y＝πx在R上单调递增，
可得a＝π0.2>π0＝1，由对数函数y＝logπx在(0，＋∞)上单调递增，知0＝logπ1所以－1＝cos π4．函数f(x)＝ln 2x－的图象在点处的切线方程为(　　)
A．y＝6x－5 B．y＝8x－6
C．y＝4x－4 D．y＝10x－7
答案：A
解析：f＝ln 1－2＝－2，因为f′(x)＝＋，所以f′＝6，所以切线方程为y－(－2)＝6，即y＝6x－5，故选A.
5．函数f(x)＝cos x＋sin x＋1在区间的最小值、最大值分别为(　　)
A．－， B．－，
C．－，＋2 D．－，＋2
答案：D
解析：因为f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1，所以f′(x)＝－sin x＋sin x＋(x＋1)cos x＝(x＋1)·cos x．因为x∈[0，2π]，所以x＋1>0.当f′(x)>0时，解得x∈[0，)∪(，2π]；当f′(x)<0时，解得x∈(，).所以f(x)在[0，)上单调递增，在[，]上单调递减，在(，2π]上单调递增．又f(0)＝2，f()＝＋2，f()＝－，f(2π)＝2，所以f(x)的最大值为＋2，最小值为－.故选D.
6．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其导函数为f′(x)，若对任意的正实数x，都有xf′(x)＋2f(x)>0恒成立，且f()＝1，则使x2f(x)<2成立的实数x的集合为(　　)
A．(－∞，－)∪(，＋∞)
B．(－，)
C．(－∞，)
D．(，＋∞)
答案：C
解析：设h(x)＝x2f(x)，则h′(x)＝x2f′(x)＋2xf(x)＝x[xf′(x)＋2f(x)]，因为x>0时，都有xf′(x)＋2f(x)>0恒成立，所以h′(x)>0，所以h(x)＝x2f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以h(x)＝x2f(x)也是定义在R上的奇函数，所以h(x)＝x2f(x)在(－∞，0)上单调递增．又函数f(x)的定义域为R，其导函数为f′(x)，所以h(x)＝x2f(x)在R上单调递增．因为f()＝1，所以h()＝2f()＝2，所以x2f(x)<2即h(x)7．[2024·新课标Ⅱ卷]设函数f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cos x＋2ax.当x∈(－1，1)时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点，则a＝(　　)
A．－1　　　B．　　　C．1　　　D．2
答案：D
解析：方法一　∵f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cos x＋2ax，曲线y＝f(x)与y＝g(x)在(－1，1)上恰有一个交点，令h(x)＝f(x)－g(x)＝ax2－cos x＋a－1，∴h(x)在(－1，1)上恰有一个零点．又易知h(x)为(－1，1)上的偶函数，∴h(0)＝0，即a－2＝0，∴a＝2.故选D．
方法二　当a＝－1时，f(x)－g(x)＝－x2－cos x－2，当x∈(－1，1)时，f(x)－g(x)<0，∴曲线y＝f(x)与y＝g(x)在(－1，1)上没有交点，故A错误．
当a＝时，f(x)－g(x)＝x2－cos x－，当x∈(－1，1)时，x2－<0，－cos x<0，
∴f(x)－g(x)<0，∴曲线y＝f(x)与y＝g(x)在(－1，1)上没有交点，故B错误．
当a＝1时，f(x)－g(x)＝x2－cos x，令m(x)＝f(x)－g(x)，则m(x)为偶函数，且在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增．又m(0)＝－1<0，m(1)＝1－cos 1>0，m(－1)＝1－cos 1>0，由函数零点存在定理可知m(x)在(－1，0)和(0，1)上各有1个零点，即曲线y＝f(x)与y＝g(x)在(－1，1)上有2个交点，故C错误．
当a＝2时，f(x)－g(x)＝2x2－cos x＋1.令n(x)＝f(x)－g(x)，则n(x)为偶函数，且在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，又n(0)＝0，∴曲线y＝f(x)与y＝g(x)在(－1，1)上只有1个交点，故D正确．故选D.
方法三　∵f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cos x＋2ax，曲线y＝f(x)与y＝g(x)在(－1，1)上恰有一个交点，令h(x)＝f(x)－g(x)＝ax2－cos x＋a－1，∴h(x)在(－1，1)上恰有一个零点．h′(x)＝2ax＋sin x，令m(x)＝2ax＋sin x，则m′(x)＝2a＋cos x，当a≥－时，m′(x)>0在(－1，1)上恒成立，则h′(x)在(－1，1)上单调递增．又h′(0)＝0，∴当x∈(－1，0)时，h(x)单调递减；当x∈(0，1)时，h(x)单调递增，∴h(x)在x＝0处取得极小值也是最小值，∴h(0)＝0，即a－2＝0，∴a＝2.－1<－，下面分析a＝－1时曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的交点情况．当a＝－1时，f(x)－g(x)＝－x2－cos x－2，当x∈(－1，1)时，f(x)－g(x)<0，∴曲线y＝f(x)与y＝g(x)在(－1，1)上没有交点．结合选项可知，D正确．故选D.
8．(多选)[2024·新课标Ⅰ卷]设函数f(x)＝(x－1)2(x－4)，则(　　)
A．x＝3是f(x)的极小值点
B．当0C．当1D．当－1f(x)
答案：ACD
解析：由题可得f′(x)＝2(x－1)(x－4)＋(x－1)2＝3x2－12x＋9，令f′(x)>0，即3x2－12x＋9>0，得x<1或x>3；令f′(x)<0，得1f(x2)，B错误．当10，得x<1，所以当－1f(x)成立，D正确，故选ACD.
9．(多选)[2024·山东菏泽期中]已知函数y＝f(x)在R上可导且f(0)＝2，其导函数f′(x)满足＞0.若函数g(x)满足exg(x)＝f(x)，则下列结论正确的是(　　)
A．函数g(x)在(2，＋∞)上单调递增
B．x＝2是函数g(x)的极小值点
C．x≤0时，不等式f(x)≤2ex恒成立
D．函数g(x)至多有两个零点
答案：ABD
解析：∵exg(x)＝f(x)，∴g(x)＝，
则g′(x)＝.
由已知可得，当x>2时，f′(x)－f(x)>0，
∴g′(x)>0，
故y＝g(x)在(2，＋∞)上单调递增，选项A正确；
当x<2时，f′(x)－f(x)<0，∴g′(x)<0，
故y＝g(x)在(－∞，2)上单调递减，
故x＝2是函数y＝g(x)的极小值点，故选项B正确；
由y＝g(x)在(－∞，2)上单调递减，则y＝g(x)在(－∞，0]上单调递减，
由g(0)＝＝2，得x≤0时，g(x)≥g(0)，
故≥2，故f(x)≥2ex，故选项C错误；
若g(2)<0，则y＝g(x)至多有2个零点，
若g(2)＝0，则函数y＝g(x)有1个零点，
若g(2)>0，则函数y＝g(x)没有零点，故选项D正确．
二、填空题
10．已知曲线f(x)＝ex＋x2，则曲线在点(0，f(0))处的切线与坐标轴围成的图形的面积为________．
答案：
解析：由题意，得f′(x)＝ex＋2x，所以f′(0)＝1.又f(0)＝1，所以曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－1＝1×(x－0)，即x－y＋1＝0，所以该切线与x，y轴的交点分别为(－1，0)，(0，1)，所以该切线与坐标轴围成的图形的面积为×1×1＝.
11．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1，1]，则f(m)的最小值为________．
答案：－4
解析：∵f′(x)＝－3x2＋2ax，由题意得f′(2)＝0，得a＝3.
∴f′(x)＝－3x2＋6x，∴f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，
∴当m∈[－1，1]时f(m)min＝f(0)＝－4.
12．设函数f(x)＝.
(1)当a＝时，f(x)的最小值是________；
(2)若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围是________.
答案：(1)　(2)[0，]
解析：(1)当a＝时，若x≤0，则f(x)＝(x－)2≥＝，若x>0，则f(x)＝x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号，则函数的最小值为.
(2)由(1)知，当x>0时，函数f(x)≥2，此时的最小值为2，若a<0，则当x＝a时，函数f(x)的最小值为f(a)＝0，此时f(0)不是最小值，不满足条件．若a≥0时，则当x≤0时，函数f(x)＝(x－a)2为减函数，则当x≤0时，函数f(x)的最小值为f(0)＝a2，要使f(0)是f(x)的最小值，则f(0)＝a2≤2，即0≤a≤，即实数a的取值范围是[0，].
[能力提升]
13．若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的极小值为(　　)
A．－1 B．－2e－3
C．5e－3 D．1
答案：A
解析：f′(x)＝ex－1[x2＋(a＋2)x＋a－1]，
∵x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，
∴f′(－2)＝0，∴a＝－1，∴f(x)＝(x2－x－1)ex－1，
∴f′(x)＝ex－1(x2＋x－2)＝ex－1(x－1)(x＋2)，
∴当x∈(－∞，－2)，(1，＋∞)时f(x)单调递增，
f(x)在(－2，1)上单调递减，
∴f(x)极小值＝f(1)＝－1.
14．若过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则(　　)
A．ebC．0答案：D
解析：方法一　在曲线y＝ex上任取一点P，对函数y＝ex求导得y′＝ex，
所以，曲线y＝ex在点P处的切线方程为y－et＝et，即y＝etx＋et，
由题意可知，点在直线y＝etx＋et上，可得b＝aet＋et＝et，
令f＝et，则f′＝et.
当t0，此时函数f单调递增，
当t>a时，f′<0，此时函数f单调递减，
所以，fmax＝f＝ea，
由题意可知，直线y＝b与曲线y＝f的图象有两个交点，则b当t0，当t>a＋1时，f<0，作出函数f的图象如下图所示：
由图可知，当0方法二　画出函数曲线y＝ex的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线．由此可知015．[2024·全国甲卷(理)]设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　)
A．　　　B． C．　　　D．
答案：A
解析：因为f(x)＝，所以f′(x)＝，所以f′(0)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线方程为y＝3x＋1，当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝－.则所求三角形的面积S＝×1×＝.故选A.
16．已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是________．
答案：
解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1－2ax.
已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，其等价于ln x＋1－2ax＝0有两个不相等的实数根，亦等价于函数h(x)＝ln x的图象与函数g(x)＝2ax－1的图象有两个交点．
以下研究临界状态：①如图所示．当函数h(x)＝ln x与函数g(x)＝2ax－1的图象相切时，设切点为A(m，ln m)，其中m>0，则函数h(x)的图象在点A处的切线的斜率k＝，∴2a＝.
又∵直线g(x)＝2ax－1过点(0，－1)，
∴k＝，∴＝.解得m＝1，
∴当两线相切时，a＝.
②当a＝0时，h(x)与g(x)的图象只有一个交点．
∴所求a的取值范围是.专练49　排列与组合
授课提示：对应学生用书105页
[基础强化]
一、选择题　　　　　　　　　　　　　
1．某数学问题可用综合法和分析法两种方法证明；有5位同学只会用综合法证明，有3位同学只会用分析法证明，现从这8人中任选1人证明这个问题，不同的选法种数为(　　)
A．8 B．15 C．18 D．30
答案：
答案：A
解析：由分类加法计数原理可知共有5＋3＝8种不同的选法．
2．[2023·全国甲卷(理)]现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有(　　)
A．120种 B．60种 C．30种 D．20种
答案：B
解析：先从5人中选择1人两天均参加公益活动，有C种方式；再从余下的4人中选2人分别安排到星期六、星期日，有A种安排方式．所以不同的安排方式共有C·A＝60(种).故选B.
3．从包括甲、乙、丙在内的10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙中至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法种数为(　　)
A．85 B．56 C．49 D．28
答案：C
4．[2024·九省联考]甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有(　　)
A．20种 B．16种 C．12种 D．8种
答案：B
解析：先排甲，再排乙和丙，则有：
共有16种．故选B.
5．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(　　)
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
答案：D
解析：将4项工作分成3组，共有C种分法，再安排给3人共有A种方法，故共有CA＝36种不同的安排方式．
6．甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(　　)
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
答案：C
解析：甲、乙二人先选1种相同的课外读物，有C＝6(种)情况，再从剩下的5种课外读物中各自选1本不同的读物，有CC＝20(种)情况，由分步乘法计数原理可得共有6×20＝120(种)选法，故选C.
7．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法有(　　)
A．34种 B．48种 C．96种 D．144种
答案：C
解析：将B，C看作一个元素，除A外，共有AA＝48种，再安排A，共有A种不同的排法，∴实验顺序共有48×2＝96种不同的编排方法．
8．7个人排成一排，若甲、乙、丙互不相邻，共有不同的排法种数是(　　)
A．24 B．60 C．84 D．1 440
答案：D
解析：完成这件事分两步进行，第一步排除甲、乙、丙以外的4个人，共有A＝24种不同的排法，第二步排除甲、乙、丙，共有A＝60种不同的排法，由分步乘法原理，共有24×60＝1 440种不同的排法．
9．由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数，且是奇数，其中恰有两个数字是偶数，则这样的五位数的个数为(　　)
A．7 200 B．6 480 C．4 320 D．5 040
答案：B
解析：当两个偶数数字中不含0时，共有CCCA＝4 320(个)；当两个偶数数字中有一个为0时，共有CCCCA＝2 160(个).因此共有4 320＋2 160＝6 480(个)，故选B.
二、填空题
10．从6个人中选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有________种安排方法．
答案：180
解析：从6个人中选取1个人安排在第一天有C＝6(种)方法，然后从余下的5个人中选取1个人安排在第二天有C＝5(种)方法，再从剩余的4个人中选取2个人安排在第三天有C＝6(种)方法，根据分步乘法计数原理知不同的安排方法有6×5×6＝180(种).
11．[2023·新课标Ⅰ卷]某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答).
答案：64
解析：方法一　由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有CC种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有CC种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有CC种方案．综上，不同的选课方案共有CC＋CC＋CC＝64(种).
方法二　若学生从这8门课中选修2门课，则有C－C－C＝16(种)选课方案；若学生从这8门课中选修3门课，则有C－C－C＝48(种)选课方案．综上，不同的选课方案共有16＋48＝64(种).
12．[2024·新课标Ⅱ卷]在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法．在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________．
11 21 31 40
12 22 33 42
13 22 33 43
15 24 34 44
答案：24　112
解析：共选4个方格：选第1个方格，在16个方格中任选1个，有16种选法；
选第2个方格，需在除去所选第1个方格所在行、列的方格(共9个)中任选1个，有9种选法；
选第3个方格，需在除去所选的第1和第2个方格所在行、列的方格(共4个)中任选1个，有4种选法；
选第4个方格，需在除去所选的第1、第2和第3个方格所在行、列的方格(共1个)中任选1个，有1种选法．
对于选好的4个方格无顺序限制，所以不同的选法有＝24(种).
由题图可知，各行的数从左往右均依次增大，各列的数从上往下依次增大或不变，所以要使选中方格的4个数之和最大，可从右往左从各列中选数字较大的方格，所选方格中的数为44，33，22, 11和44，33，21，13，其和分别为110和111.
又因为从左往右各列数字的极差分别为4，3，3，4，所以按极差从大到小各列选15，43，33，21，其和为112.比较以上各数，最大的是112.专练21　三角函数的图象与性质
授课提示：对应学生用书43页
　　　　　　　　　　　　
[基础强化]
一、选择题
1．如图，函数y＝tan 的部分图象与坐标轴分别交于点D，E，F，则△DEF的面积为(　　)
A． B．
C．π D．2π
答案：A
解析：在y＝tan 中，令x＝0，可得D(0，1)；令y＝0，解得x＝－(k∈Z)，故E，F.所以△DEF的面积为××1＝.故选A.
2．函数y＝2sin (0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　　)
A．0 B．1
C．2－ D．－2
答案：C
解析：∵0≤x≤9，∴－≤x－≤π，
∴－≤2sin ≤2，∴函数的最大值与最小值之和为2－.
3．已知函数f(x)＝2a cos (a≠0)的定义域为，最小值为－2，则a的值为(　　)
A．1 B．－1
C．－1或2 D．1或2
答案：C
解析：∵0≤x≤，∴－≤2x－≤π.
∴－≤cos ≤1，又f(x)的最小值为－2，
当a＞0时，f(x)min＝－a＝－2，∴a＝2.
当a＜0时，f(x)min＝2a，∴a＝－1.
4．[2024·新课标Ⅰ卷]当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin (3x－)的交点个数为(　　)
A．3 B．4
C．6 D．8
答案：C
解析：令3x－＝＋k1π，k1∈Z，则x＝＋，k1∈Z，
又x∈[0，2π]，所以x＝，，，，，.
令3x－＝k2π，k2∈Z，则x＝＋，k2∈Z，
又x∈ [0，2π]，所以x＝，，，，，，
如图，作出函数y＝sin x与y＝2sin (3x－)在[0，2π]上的大致图象，由图可知，两函数图象共有6个交点．故选C.
5．设函数f(x)＝cos 在[－π，π]的图象大致如图，则f(x)的最小正周期为(　　)
A． B．
C． D．
答案：C
解析：方法一　设函数f(x)的最小正周期为T，由题图可得T<π－且>－(－π)，所以方法二(五点法)　由函数f(x)的图象知，ω×＋＝－，解得ω＝，所以函数f(x)的最小正周期为，故选C.
6．[2022·新高考Ⅰ卷，6]记函数f(x)＝sin ＋b(ω>0)的最小正周期为T.若A．1 B．
C． D．3
答案：A
解析：因为＜T＜π，所以＜＜π.又因为ω＞0，所以2＜ω＜3.因为y＝f(x)的图象关于点(，2)中心对称，所以b＝2，ω＋＝kπ，k∈Z，所以ω＝－＋k，k∈Z.令2＜－＋k＜3，解得＜k＜.又因为k∈Z，所以k＝4，所以ω＝.所以f(x)＝sin (x＋)＋2，所以f()＝sin (＋)＋2＝1.故选A.
7．已知函数f(x)＝sin x＋a cos x(a∈R)满足f(0)＝f，则函数g(x)＝(－1)sin x＋f(x)的图象的一条对称轴方程是(　　)
A．x＝ B．x＝
C．x＝－ D．x＝－
答案：D
解析：由f(0)＝f，得sin 0＋a cos 0＝0＋a＝1，解得a＝1，所以f(x)＝sin x＋cos x，所以g(x)＝(－1)sin x＋f(x)＝(－1)sin x＋sin x＋cos x＝sin x＋cos x＝2sin .令x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，令k＝－1，得函数g(x)的图象的一条对称轴是x＝－.故选D.
8．已知函数f(x)＝a sin x＋cos x(a为常数，x∈R)的图象关于直线x＝对称，则函数g(x)＝sin x＋a cos x的图象(　　)
A．关于直线x＝对称
B．关于点对称
C．关于点对称
D．关于直线x＝对称
答案：A
解析：∵f(x)的图象关于直线x＝对称，∴f(0)＝f，∴1＝a＋，解得a＝，
∴g(x)＝sin x＋cos x＝sin ，
又g＝sin ＝取得最大值，故A正确，通过逐个检验，可知B、C、D均不正确．
9．(多选)[2024·新课标Ⅱ卷]对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin (2x－)，下列说法中正确的有(　　)
A．f(x)与g(x)有相同的零点
B．f(x)与g(x)有相同的最大值
C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
答案：BC
解析：对于A，令f(x)＝0，则2x＝k1π(k1∈Z)，解得x＝(k1∈Z)，令g(x)＝0，则2x－＝k2π(k2∈Z)，解得x＝＋(k2∈Z)，因此f(x)与g(x)无相同零点，故A错误；对于B，f(x)与g(x)的最大值都为1，故B正确；对于C，f(x)与g(x)的最小正周期都是＝π，故C正确；对于D，令2x＝＋k3π(k3∈Z)，得x＝＋(k3∈Z)，令2x－＝＋k4π(k4∈Z)，得x＝＋(k4∈Z)，故f(x)与g(x)的图象无相同的对称轴，故D错误．故选BC.
二、填空题
10．函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为________．
答案：
解析：∵f(x)＝sin (x＋φ)＝sin (x＋φ)，
∴f(x)max＝.
11．设函数f(x)＝cos (ω>0)，若f(x)≤f对于任意的实数x都成立，则ω的最小值为________.
答案：
解析：∵f(x)≤f对任意的实数x都成立，
∴f＝1，∴ω－＝2kπ，k∈Z，∴ω＝8k＋(k∈Z)，又ω>0，∴当k＝0时，ω取得最小值.
12．[2023·新课标Ⅰ卷]已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________．
答案：[2，3)
解析：方法一　函数f(x)＝cos ωx－1在区间[0，2π]有且仅有3个零点，即cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，因为ω>0，x∈[0，2π]，所以ωx∈[0，2ωπ]，则由余弦函数的图象可知，4π≤2ωπ<6π，解得2≤ω<3，即ω的取值范围是[2，3).
方法二　函数f(x)＝cos ωx－1在区间[0，2π]有且仅有3个零点，即cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，根据函数y＝cos x在[0，2π]上的图象可知，cos x＝1在区间[0，2π]有2个根，所以若cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，则函数y＝cos ωx在[0，2π]内至少包含2个周期，但小于3个周期，即，又ω>0，所以2≤ω<3，即ω的取值范围是[2，3).
[能力提升]
13．(多选)[2024·九省联考]已知函数f(x)＝sin (2x＋)＋cos (2x＋)，则(　　)
A．函数f(x－)为偶函数
B．曲线y＝f(x)的对称轴为x＝kπ，k∈Z
C．f(x)在区间(，)单调递增
D．f(x)的最小值为－2
答案：AC
解析：f(x)＝sin (2x＋)＋cos (2x＋)
＝sin 2x cos ＋sin cos 2x＋cos 2x cos －sin 2x sin
＝－sin 2x＋cos 2x－cos 2x－sin 2x
＝－sin 2x，
即f(x)＝－sin 2x，
对于A，f(x－)＝－sin (2x－)＝cos 2x，易知为偶函数，所以A正确；
对于B，f(x)＝－sin 2x对称轴为2x＝＋kπ，k∈Z x＝＋，k∈Z，故B错误；
对于C，x∈(，)，2x∈(，π)，y＝sin 2x单调递减，则f(x)＝－sin 2x单调递增，故C正确；
对于D，f(x)＝－sin 2x，则sin 2x∈[－1，1]，所以f(x)∈[－，]，故D错误．故选AC.
14．[2023·全国甲卷(理)]函数y＝f(x)的图象由函数y＝cos (2x＋)的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：C
解析：把函数y＝cos 的图象向左平移个单位长度后得到函数f(x)＝cos ＝cos ＝－sin 2x的图象．作出函数f(x)的部分图象和直线y＝x－如图所示．观察图象知，共有3个交点．故选C.
15．记函数f(x)＝cos (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为T，若f(T)＝，x＝为f(x) 的零点，则ω的最小值为________．
答案：3
解析：因为T＝，ω>0，所以ω＝.由f(T)＝，得cos (2π＋φ)＝，即cos φ＝.又因为0<φ<π，所以φ＝.因为x＝为f(x)的零点，所以＋＝kπ＋，k∈Z，解得ω＝9k＋3，k∈Z.又因为ω>0，所以当k＝0时ω取得最小值，ω的最小值为3.
16．[2023·新课标Ⅱ卷]已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝________．
答案：－
解析：对比正弦函数y＝sin x的图象易知，点为“五点(画图)法”中的第五点，所以ω＋φ＝2π①.
由题知|AB|＝xB－xA＝，，两式相减，得ω(xB－xA)＝，即ω＝，解得ω＝4.
代入①，得φ＝－，
所以f(π)＝sin ＝－sin ＝－.专练7　函数的单调性与最值
授课提示：对应学生用书13页
[基础强化]
一、选择题
1．下列函数中是增函数的为(　　)
A．f(x)＝－x B．f(x)＝
C．f(x)＝x2 D．f(x)＝
答案：D
解析：方法一(排除法)　取x1＝－1，x2＝0，对于A项有f(x1)＝1，f(x2)＝0，所以A项不符合题意；对于B项有f(x1)＝，f(x2)＝1，所以B项不符合题意；对于C项有f(x1)＝1，f(x2)＝0，所以C项不符合题意．故选D．
方法二(图象法)　如图，在坐标系中分别画出A，B，C，D四个选项中函数的大致图象，即可快速直观判断D项符合题意．故选D.
2．下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是(　　)
A．y＝ B．y＝cos x
C．y＝ln (x＋1) D．y＝2－x
答案：D
解析：A项，x1＝0时，y1＝1，x2＝时，y2＝2>y1，所以y＝在区间(－1，1)上不是减函数，故A项不符合题意．B项，由余弦函数的图象与性质可得，y＝cos x在(－1，0)上递增，在(0，1)上递减，故B项不符合题意．C项，y＝ln x为增函数，且y＝x＋1为增函数，所以y＝ln (x＋1)在(－1，1)上为增函数，故C项不符合题意．D项，由指数函数可得y＝2x为增函数，且y＝－x为减函数，所以y＝2－x为减函数，故D项符合题意．
3．函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间为(　　)
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)
答案：D
解析：由x2－4>0得x>2或x<－2，∴f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，由复合函数的单调性可知，函数的单调增区间为(－∞，－2).
4．[2024·新课标Ⅱ卷]设函数f(x)＝(x＋a)ln (x＋b).若f(x)≥0，则a2＋b2的最小值为(　　)
A． B．
C． D．1
答案：C
解析：
方法一　f(x)＝(x＋a)ln (x＋b)≥0可看作f1(x)＝x＋a与f2(x)＝ln (x＋b)在定义域(－b，＋∞)上同正同负，因此两函数图象与x轴的交点重合，如图所示．令f1(x)＝x＋a＝0，f2(x)＝ln (x＋b)＝0，得－a＝1－b，即a－b＋1＝0，此时可以将a－b＋1＝0看成一条直线，a2＋b2可看成直线a－b＋1＝0上的点(a，b)到原点的距离的平方，因而可知其最小值为原点到直线的距离的平方，所以所求最小值为()2＝，故选C.
方法二　若f(x)＝(x＋a)ln (x＋b)≥0，则f(x)的最小值大于或等于0.
f′(x)＝ln (x＋b)＋＝ln (x＋b)＋1＋(x>－b)，
假设a≥b，则x＋a≥x＋b>0，
当－b此时f(x)＝(x＋a)ln (x＋b)<0，不满足题意，
所以a－b)在定义域上为增函数．
又当x→－b时，f′(x)→－∞，当x→＋∞时，f′(x)→＋∞，
所以存在x＝x0使得f′(x0)＝0，即ln (x0＋b)＝－.
则f(x)在(－b，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)在x＝x0处取得极小值，也是最小值，所以f(x)min＝f(x0)＝(x0＋a)ln (x0＋b)＝(x0＋a)＝－≤0，又f(x0)≥0，则x0＝－a，又ln (x0＋b)＝－，所以ln (b－a)＝0，所以b－a＝1，所以b＝a＋1.所以a2＋b2＝a2＋a2＋2a＋1＝2＋，则a2＋b2的最小值为.
5．[2024·四川内江测试]若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是(　　)
A．(－1，0)∪(0，1) B．(－1，0)∪(0，1]
C．(0，1) D．(0，1]
答案：D
解析：由于g(x)＝在区间[1，2]上是减函数，所以a>0；由于f(x)＝－x2＋2ax在区间[1，2]上是减函数，且f(x)的对称轴为x＝a，则a≤1.综上有06．[2024·山东青岛一中测试]已知y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)A． B．(0，＋∞)
C． D．(－∞，0)∪
答案：C
解析：∵f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)7．(多选)函数f(x)＝loga|x－1|在(0，1)上单调递减，那么(　　)
A．f(x)在(1，＋∞)上单调递增且无最大值
B．f(x)在(1，＋∞)上单调递减且无最小值
C．f(x)的图象关于直线x＝1对称
D．若a＝2 022，则f(x)在(0，1)上单调递减
答案：ACD
解析：∵函数f(x)＝loga|x－1|在(0，1)单调递减，∴f(x)＝loga(1－x)在(0，1)上单调递减，∵y＝1－x在其定义域内是减函数，∴a>1.当x∈(1，＋∞)时，f(x)＝loga|x－1|＝loga(x－1)，∵y＝x－1在其定义域内是增函数，且a>1，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增，且无最大值，故A正确，B错误．∵f(2－x)＝loga|2－x－1|＝loga|x－1|＝f(x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，故C正确；由a>1可知，当a＝2 022时，f(x)在(0，1)上单调递减，故D正确．故选ACD.
8．已知函数f(x)＝若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－1，2)
C．(－2，1)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
答案：C
解析：f(x)＝
由f(x)的图象可知f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
由f(2－a2)>f(a)得2－a2>a，
即a2＋a－2<0，解得－29．[2023·新课标Ⅰ卷]设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2] B．[－2，0)
C．(0，2] D．[2，＋∞)
答案：D
解析：方法一　由题意得y＝x(x－a)在区间(0，1)单调递减，所以x＝≥1，解得a≥2.故选D.
方法二　取a＝3，则y＝x(x－3)＝(x－)2－在(0，1)单调递减，所以f(x)＝2x(x－3)在(0，1)单调递减，所以a＝3符合题意，排除A，B，C，故选D.
二、填空题
10．已知函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)>f(a＋3)，则实数a的取值范围为________．
答案：(－3，－1)∪(3，＋∞)
解析：由已知可得
解得－33，所以实数a的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞).
11．已知函数f(x)＝loga(－x2－2x＋3)(a>0且a≠1)，若f(0)<0，则此函数f(x)的单调递增区间是________.
答案：[－1，1)
解析：∵f(0)＝loga3<0，∴012．已知函数f(x)＝，x∈[2，5]，则f(x)的最大值是________．
答案：3
解析：f(x)＝＝＝1＋，显然f(x)在[2，5]上单调递减，∴f(x)max＝f(2)＝1＋＝3.
[能力提升]
13．[2024·新课标Ⅰ卷]已知函数为f(x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0] B．[－1，0]
C．[－1，1] D．[0，＋∞)
答案：B
解析：方法一　当x<0时，函数f(x)＝－x2－2ax－a＝－(x＋a)2＋a2－a，若函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，则有－a≥0，即a≤0；当x≥0时，函数f(x)＝ex＋ln (x＋1)，函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增．因为函数f(x)在R上单调递增，所以－a≤e0＋ln (0＋1)＝1，解得a≥－1.综上可得－1≤a≤0.故选B.
方法二　当a＝1时，f(x)＝显然函数f(x)＝－(x＋1)2在(－∞，0)上不单调，可排除C选项和D选项；
当a＝－2时，f(x)＝当x从0的左侧趋近于0时，f(x)→2，而f(0)＝1，所以函数f(x)在R上不单调，可排除A.故选B.
14．设函数f(x)＝ln |2x＋1|－ln |2x－1|，则f(x)(　　)
A．是偶函数，且在单调递增
B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增
D．是奇函数，且在单调递减
答案：D
解析：，
∴函数f(x)的定义域关于原点对称，
又∵f(－x)＝ln |－2x＋1|－ln |－2x－1|＝ln |2x－1|－ln |2x＋1|＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，排除A、C；当x∈时，f(x)＝ln (2x＋1)－ln (1－2x)，则f′(x)＝－＝>0，∴f(x)在单调递增，排除B；当x∈时，f(x)＝ln (－2x－1)－ln (1－2x)，则f′(x)＝－
＝<0，∴f(x)在单调递减，∴D正确．
15．函数f(x)＝－log2(x＋2)在[－1，1]上的最大值为________．
答案：3
解析：∵y＝在R上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上单调递增，
∴f(x)在[－1，1]上单调递减，
∴f(x)max＝f(－1)＝3.
16．f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有<0成立，则a的取值范围是________．
答案：
解析：∵对任意x1≠x2，都有<0成立，
∴f(x)在定义域R上为单调递减函数，
∴
解得0∴a的取值范围是.专练45　椭圆
授课提示：对应学生用书95页
[基础强化]
一、选择题
1．椭圆＋＝1上一点M到其中一个焦点的距离为3，则点M到另一个焦点的距离为(　　)
A．2　 B．3
C．4 D．5
答案：D
解析：∵a＝4，由椭圆的定义知，M到另一个焦点的距离为2a－3＝2×4－3＝5.
2．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC边上，则△ABC的周长为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．12
答案：B
解析：由椭圆的方程得a＝.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4.
3．[2024·九省联考]椭圆＋y2＝1(a>1)的离心率为，则a＝(　　)
A． B．
C． D．2
答案：A
解析：由题意得e＝＝＝，解得a＝.故选A.
4．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　)
A．13 B．12
C．9 D．6
答案：C
解析：由题，a2＝9，b2＝4，则＋＝2a＝6，
所以·≤2＝9(当且仅当＝＝3时，等号成立).故选C.
5．已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
答案：C
解析：由题可知椭圆的焦点落在x轴上，c＝2，
∴a2＝4＋c2＝8，∴a＝2，∴e＝＝＝.
6．[2023·新课标Ⅰ卷]设椭圆C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2.若e2＝e1，则a＝(　　)
A． B．
C． D．
答案：A
解析：方法一　由已知得e1＝，e2＝＝，因为e2＝e1，所以＝×，得a＝.故选A.
方法二　若a＝，则e1＝＝＝，又e2＝，所以e2＝e1，所以a＝符合题意．故选A.
7．[2023·全国甲卷(理)]设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，点P在C上，cos ∠F1PF2＝，则|OP|＝(　　)
A． B．
C． D．
答案：B
解析：
方法一　依题意a＝3，b＝，c＝＝.如图，不妨令F1(－，0)，F2(，0).设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，cos ∠F1PF2＝＝　①，
由椭圆的定义可得m＋n＝2a＝6　②.
由①②，解得mn＝.
设|OP|＝x.
在△F1OP和△F2OP中，∠F1OP＋∠F2OP＝π，
由余弦定理得＝－，
得x2＝＝＝，所以|OP|＝.
方法二　依题意a＝3，b＝，c＝＝.
如图(图同方法一)，设点P的坐标为(x0，y0)，α＝∠F1PF2，
则cos ∠F1PF2＝cos α＝，
故sin ∠F1PF2＝sin α＝＝＝，则tan＝或tan ＝2(舍去).
故△F1PF2的面积S△F1PF2＝b2tan ＝6×＝3.
又S△F1PF2＝×2c|y0|＝|y0|，
故y＝3，又＋＝1，
所以x＝，|OP|2＝x＋y＝，|OP|＝.
方法三　依题意a＝3，b＝，c＝＝.
如图(图同方法一)，设点P的坐标为(x0，y0)，利用焦点三角形面积公式知S△F1PF2＝.
因为cos ∠F1PF2＝，所以sin ∠F1PF2＝，故S△F1PF2＝＝3.又S△F1PF2＝×2c|y0|＝|y0|，故y＝3，
又＋＝1，所以x＝，|OP|2＝x＋y＝，|OP|＝.
方法四　依题意a＝3，b＝，c＝＝.
如图(图同方法一)，不妨令F1(－，0)，F2(，0).
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，cos ∠F1PF2＝＝　①，
由椭圆的定义可得m＋n＝2a＝6　②.
由①②，解得mn＝.
因为＝(PF1＋PF2)，
所以||2＝(m2＋n2＋2mn cos ∠F1PF2)＝＝，所以|PO|＝.
8．设椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若△PF1F2为直角三角形，则△PF1F2的面积为(　　)
A．3 B．3或
C． D．6或3
答案：C
解析：由已知a＝2，b＝，c＝1，
若P为短轴的顶点(0，)时，∠F1PF2＝60，△PF1F2为等边三角形，
∴∠P不可能为直角，
若∠F1＝90°，则|PF1|＝＝，
S△PF1F2＝··2c＝.
9．[2022·全国甲卷(理)，10]椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
答案：A
解析：设P(x1，y1)，则点Q的坐标为(－x1，y1).由题意，得点A(－a，0).又直线AP，AQ的斜率之积为，所以·＝，即＝①.又点P在椭圆C上，所以＋＝1②.由①②，得＝，所以a2＝4b2，所以a2＝4(a2－c2)，所以椭圆C的离心率e＝＝.故选A.
二、填空题
10．若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．
答案：(3，4)∪(4，5)
解析：由题意可知
解得3故k的取值范围为(3，4)∪(4，5).
11．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为________．
答案：
解析：由题意知，2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b，又c2＝a2－b2，消去b，整理得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，解得e＝或e＝－1(舍去).
12．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥，若△PF1F2的面积为9，则b＝________．
答案：3
解析：如图，
∵⊥，
∴△PF1F2为直角三角形，
又△PF1F2的面积为9，
∴|PF1||PF2|＝9，
得|PF1||PF2|＝18，
在Rt△PF1F2中，由勾股定理得：|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2，即2(a2－c2)＝|PF1||PF2|＝18，
得b2＝a2－c2＝9，∴b＝3.
[能力提升]
13．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若·＝－1，则C的方程为(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋y2＝1
答案：B
解析：由椭圆C的离心率为，可得e＝＝＝.化简，得8a2＝9b2.易知A1(－a，0)，A2(a，0)，B(0，b)，所以·＝(－a，－b)·(a，－b)＝－a2＋b2＝－1.联立得方程组解得所以C的方程为＋＝1.故选B.
14．[2023·新课标Ⅱ卷]已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB 面积是△F2AB 面积的2倍，则m＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
答案：C
解析：由题意，F1(－，0)，F2(，0)，△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，所以点F1到直线AB的距离是点F2到直线AB的距离的2倍，即＝2×，解得m＝－或m＝－3(舍去)，故选C.
15．F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．
答案：[，1)
解析：设P0为椭圆＋＝1的上顶点，由题意得∠F1P0F2≥90°，
∴∠OP0F2≥45°，∴≥sin 45°，∴e≥，
又016．[2022·新高考Ⅰ卷，16]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是________．
答案：13
解析：由题意知e＝＝，所以a＝2c，b＝c，所以△AF1F2是等边三角形，所以DE垂直平分AF2，所以|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，所以△ADE的周长为|DE|＋|AD|＋|AE|＝|DE|＋|DF2|＋|EF2|.由椭圆的定义，可知|DE|＋|DF2|＋|EF2|＝4a＝8c.因为直线DE的斜率k＝tan 30°＝，所以直线DE的方程为y＝(x＋c)，即x＝y－c.由椭圆方程＋＝1，得3x2＋4y2＝12c2.将x＝y－c代入并整理，得13y2－6cy－9c2＝0.设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝－，所以|DE|＝＝·＝ ＝c＝6，解得c＝.所以△ADE的周长是8c＝13.专练54　二项分布、超几何分布与正态分布
授课提示：对应学生用书113页
[基础强化]
一、选择题
　
1．随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝0.2，P(2<ξ<6)＝0.6，则μ＝(　　)
A．6 B．5
C．4 D．3
答案：C
解析：由正态分布的特点可知，P(ξ>6)＝1－P(ξ<2)－P(2<ξ<6)＝0.2，∴μ＝＝4.
2．已知X＋Y＝8，若X～B(10，0.6)，则E(Y)和D(Y)分别是(　　)
A．6和2.4 B．2和2.4
C．2和5.6 D．6和5.6
答案：B
解析：∵X～B(10，0.6)，∴E(X)＝10×0.6＝6，D(X)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4，
又X＋Y＝8，∴Y＝8－X，
∴E(Y)＝8－E(X)＝8－6＝2，
D(Y)＝(－1)2D(X)＝2.4.
3．设随机变量X～N(2，4)，若P(X>a＋2)＝P(X<2a－3)，则实数a的值为(　　)
A．1 B．
C．5 D．9
答案：B
解析：∵P(X>a＋2)＝P(X<2a－3)，
∴＝2，得a＝.
4．[2024·山东威海模拟]设随机变量ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝1.6，D(ξ)＝1.28，则p＝(　　)
A． B．
C． D．
答案：A
解析：∵随机变量ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝1.6，D(ξ)＝1.28，
∴，解得.故选A.
5．[2024·浙江温州适应性考试(一)]一个袋子中装有大小相同的5个小球，其中有3个白球，2个红球，小明从中无放回地摸出3个小球，摸到一个白球记1分，摸到一个红球记2分，则小明总得分ξ的数学期望等于(　　)
A．3.8分 B．4分
C．4.2分 D．4.4分
答案：C
解析：由题意可得，小明总得分ξ的所有可能取值为3，4，5，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝＝，P(ξ＝5)＝＝.所以总得分ξ的数学期望E(ξ)＝3×＋4×＋5×＝4.2(分).故选C.
6．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝(　　)
A.0.7 B．0.6
C．0.4 D．0.3
答案：B
解析：由题意得X～B(10，p)，则D(X)＝10×p×(1－p)＝2.4，
得p＝0.4或p＝0.6，又P(X＝4)∴Cp4(1－p)6∴(1－p)20.5，
∴p＝0.6.
7．设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是(　　)
A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)
D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)
答案：C
解析：由图可知，μ1<0<μ2，σ1<σ2，
∴P(Y≥μ2)P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故B不正确；
当t为任意正数时，由图可知P(X≤t)≥P(Y≤t)，
而P(X≤t)＝1－P(X≥t)，P(Y≤t)＝1－P(Y≥t)，
∴P(X≥t)≤P(Y≥t)，故C正确，D不正确．
8．(多选)某市有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A的概率为，游览B，C和D的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立，用随机变量X表示该游客游览的景点的个数，下列正确的是(　　)
A．游客至多游览一个景点的概率
B．P(X＝2)＝
C．P(X＝4)＝
D．E(X)＝
答案：ABD
解析：记该游客游览i个景点为事件Ai，i＝0，1，
则P(A0)＝(1－)＝，
P(A1)＝＋C··＝，
所以游客至多游览一个景点的概率为
P(A0)＋P(A1)＝＋＝，故A正确；
随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4；
P(X＝0)＝P(A0)＝，
P(X＝1)＝P(A1)＝，
P(X＝2)＝×C××＋×C××＝，故B正确；
P(X＝3)＝×C××＋×C×＝，
P(X＝4)＝×＝，故C错误；
数学期望为：E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝，故D正确，故选ABD.
9．(多选)[2024·新课标Ⅰ卷]随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则(若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(Z<μ＋σ)≈0.841 3)(　　)
A．P(X>2)>0.2 B．P(X>2)<0.5
C．P(Y>2)>0.5 D．P(Y>2)<0.8
答案：BC
解析：由题可得X～N(1.8，0.12)，Y～N(2.1，0.12)，所以P(X>2)＝P(X>μ＋2σ)μ＋σ)≈1－0.841 3＝0.158 7<0.2，故A错误，B正确；P(Y>2)＝P(Y>μ1－σ1)≈0.841 3>0.5，故C正确，D错误．
二、填空题
10．已知随机变量X～B(n，p)，若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝________．
答案：
解析：∵∴1－p＝，
∴p＝.
11．随机变量X～N(3，σ2)，且P(06)＝________．
答案：0.15
解析：∵X～N(3，σ2)，
∴P(X<3)＝0.5.
又P(0∴P(X<0)＝0.5－0.35＝0.15，
∴P(X>6)＝P(X<0)＝0.15.
12．在我校高三高考调研中，数学成绩X～N(90，σ2)(σ>0)，统计结果显示P(60≤X≤120)＝0.8，假设我校参加此次考试的有780人，那么估计此次考试中，我校成绩高于120分的有________人．
答案：78
解析：∵X～N(90，σ2)，∴正态曲线关于直线x＝90对称，又P(60≤X≤120)＝0.8，∴P(X>120)＝＝0.1，
∴估计高于120分的有780×0.1＝78人．
[能力提升]
13．(多选)“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献．某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高X(单位：cm)服从正态分布，其密度函数为f(x)＝·e－，x∈(－∞，＋∞)，则下列说法正确的是(　　)
A．该地水稻的平均株高为100 cm
B．该地水稻株高的方差为10
C．随机测量一株水稻，其株高在120 cm以上的概率比株高在70 cm以下的概率大
D．随机测量一株水稻，其株高在(80，90)和在(100，110)之间的概率一样大
答案：AC
解析：正态分布密度函数为f(x)＝·e－，x∈(－∞，＋∞)，由题意知μ＝100，σ2＝100，所以该地水稻的平均株高为100 cm，方差为100，故A正确；B错误；因为正态分布密度曲线关于直线x＝100对称，所以P(X>120)＝P(X<80)>P(X<70)，故C正确；P(100P(8014．(多选)某学校共有6个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐(选择每个餐厅的概率相同)，则下列结论正确的是(　　)
A．四人去了四个不同餐厅就餐的概率为
B．四人去了同一餐厅就餐的概率为
C．四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为
D．四人中去第一餐厅就餐的人数的均值为
答案：ACD
解析：四人去餐厅就餐的情况共有64种，其中四人去了四个不同餐厅就餐的情况有A种，则四人去了四个不同餐厅就餐的概率为＝，故A正确；
同理，四人去了同一餐厅就餐的概率为＝，故B错误；
四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为＝，故C正确；
设四人中去第一餐厅就餐的人数为ξ，
因为四人去第一餐厅就餐的概率都为，则ξ～B
所以E(ξ)＝4×＝，故D正确．
故选ACD.
15．2012年国家开始实行法定节假日高速公路免费通行政策，某收费站在统计了2024年清明节前后车辆通行数量，发现该站近几天每天通行车辆的数量ξ服从正态分布ξ～N(1 000，σ2)，若P(ξ>1 200)＝a，P(800<ξ<1 000)＝b，则＋的最小值为________．
答案：32
解析：由ξ～N(1 000，σ2)，P(ξ>1 200)＝a，P(800<ξ<1 000)＝b得a＝0.5－b，所以a＋b＝，则＋＝2(a＋b)＝2(10＋＋)≥2(10＋2)＝32，当且仅当即时取等号，所以＋的最小值为32.
16．一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色有2个，其余3个颜色各不相同．现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球颜色相同的概率是________；若变量X为取出的三个小球中红球的个数，则X的数学期望E(X)＝________．
答案：　
解析：现从5个小球中任意取出3个小球，基本事件总数n＝C＝10，其中恰有2个小球颜色相同包含的基本事件个数m＝CC＝3，恰有2个小球颜色相同的概率是p＝＝.X的所有可能取值为0，1，2.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝.专练14　函数模型及其应用
授课提示：对应学生用书27页
[基础强化]
一、选择题
1．[2024·河北唐山一中期中]某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p(单位：毫克/升)不断减少，已知p与时间t(单位：时)满足p(t)＝p0×2－，其中p0为t＝0时的污染物数量．又测得当t∈[0，30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，则p(60)＝(　　)
A．150毫克/升 B．300毫克/升
C．150ln 2毫克/升 D．300ln 2毫克/升
答案：C
解析：因为当t∈[0，30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，所以－10ln 2＝，所以p0＝600ln 2.因为p(t)＝p0×2－，所以p(60)＝600ln 2×2－2＝150ln 2(毫克/升)．
2．[2024·广东惠州调研]为了给地球减负，提高资源利用率，2020年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为2 000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1亿元的年份是(参考数据：lg 1.2≈0.08，lg 5≈0.70)(　　)
A．2030年 B．2029年
C．2028年 D．2027年
答案：B
解析：设经过n年后，投入资金为y万元，则y＝2 000·(1＋20%)n.
由题意得2 000(1＋20%)n＞10 000，即1.2n＞5，则n lg 1.2＞lg 5，所以n＞≈＝8.75，所以n＝9，即2029年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1亿元．
3．2024年4月30日17时46分许，神舟十七号载人飞船返回舱在预定区域安全着陆，神舟十七号载人飞船是使用长征二号F遥十七运载火箭发射成功的．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)的函数关系式为v＝2 000ln .如果火箭的最大速度达到12 km/s，则燃料的质量与火箭的质量的关系是(　　)
A.M＝e6m B．Mm＝e6－1
C．ln M＋ln m＝6 D．＝e6－1
答案：D
解析：12 km/s＝12 000 m/s，所以12 000＝2 000ln ，所以ln ＝6，则1＋＝e6，所以＝e6－1，故选D．
4．[2024·江苏南京调研]新风机的工作原理是，从室外吸入空气，净化后输入室内，同时将等体积的室内空气排向室外．假设某房间的体积为v0，初始时刻室内空气中含有颗粒物的质量为m.已知某款新风机工作时，单位时间内从室外吸入的空气体积为v(v>1)，室内空气中颗粒物的浓度与时刻t的函数关系为p(t)＝(1－λ)＋λe－vt，其中常数λ为过滤效率．若该款新风机的过滤效率为，且t＝1时室内空气中颗粒物的浓度是t＝2时的倍，则v的值约为(参考数据：ln 2≈0.693 1，ln 3≈1.098 6)(　　)
A．1.386 2 B．1.791 7
C．2.197 2 D．3.583 4
答案：B
解析：∵t＝1时室内空气中颗粒物的浓度是t＝2时的倍，且λ＝，∴·＋·e－v＝(·＋·e－2v)，即1＋4e－v＝(1＋4e－2v)，12e－2v－8e－v＋1＝0，(2e－v－1)(6e－v－1)＝0，解得ev＝2或ev＝6，∵v>1，∴ev＝2舍去，故ev＝6，即v＝ln 6＝ln 2＋ln 3≈1.791 7.故选B.
5．[2024·重庆巴蜀中学月考]2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减小”这一规律．已知样本中碳14的质量N随时间t(年)的衰变规律满足：N＝N0·2(N0表示碳14原来的质量)，经过测定，良渚古城某文物样本中碳14的质量是原来的0.6倍，据此推测良渚古城遗址存在的时期距今大约是(参考数据：log23≈1.6，log25≈2.3)(　　)
A．3 440年 B．4 010年
C．4 580年 D．5 160年
答案：B
解析：由题得0.6·N0＝N0·2，即2＝，
两边同时取以2为底的对数，则有＝log2＝log23－log25≈－0.7，
故t≈0.7×5 730＝4 011年，最符合题意的选项为B.
二、填空题
6．某品牌手机销售商今年1，2，3月份的销售量分别是1万部，1.2万部，1.3万部，为估计以后每个月的销售量，以这三个月的销售量为依据，用一个函数模拟该品牌手机的销售量y(单位：万部)与月份x之间的关系，现从二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)或函数y＝abx＋c(b＞0，b≠1)中选用一个效果好的函数进行模拟，如果4月份的销售量为1.37万部，则5月份的销售量为________万部．
答案：1.375
解析：由题意可知，当选用函数f(x)＝ax2＋bx＋c时，由解得∴f(x)＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，∴f(4)＝1.3；
当选用函数g(x)＝abx＋c时，由解得
∴g(x)＝－0.8×0.5x＋1.4，∴g(4)＝1.35.
∵g(4)比f(4)更接近于1.37，∴选用函数g(x)＝abx＋c模拟效果较好，∴g(5)＝－0.8×0.55＋1.4＝1.375，即5月份的销售量为1.375万部．
7．已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品x千件(0＜x≤25)并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)(单位：万元)，且R(x)＝
当年产量为________千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大．(注：年利润＝年销售收入－年总成本)
答案：9
解析：设该公司在这一产品的生产中所获年利润为f(x)，当0＜x≤10时，f(x)＝xR(x)－(100＋27x)＝81x－－100；
当10＜x≤25时，f(x)＝xR(x)－(100＋27x)＝－x2＋30x＋75.
故f(x)＝
当0＜x≤10时，由f′(x)＝81－x2＝－(x＋9)·(x－9)，
得当x∈(0，9)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当x∈(9，10)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．
故f(x)max＝f(9)＝81×9－×93－100＝386.
当10＜x≤25时，f(x)＝－x2＋30x＋75＝－(x－15)2＋300≤300.
综上，当x＝9时，年利润取最大值，为386.
所以当年产量为9千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大．
8．网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x(万件)与投入实体店体验安装的费用t(万元)之间满足x＝3－的函数关系．已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元．若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润为________万元．
答案：37.5
解析：由题意，产品的月销量x(万件)与投入实体店体验安装的费用t(万元)之间满足x＝3－，
即t＝－1(1＜x＜3)，
所以月利润y＝x－32x－3－t＝16x－－3＝16x－－＝45.5－≤45.5－2＝37.5，
当且仅当16(3－x)＝，即x＝时取等号，
即该公司最大月利润为37.5万元．专练29　数列的概念
授课提示：对应学生用书61页
[基础强化]
一、选择题
1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是(　　)
A．－1，－2，－3，－4，…
B．－1，－，－，－，…
C．－1，－2，－4，－8，…
D．1，，，，…，
答案：B
解析：A，B，C中的数列都是无穷数列，但是A，C中的数列是递减数列，故选B.
2．已知an＝，那么数列{an}是(　　)
A．递减数列 B．递增数列
C．常数列 D．摆动数列
答案：B
解析：∵an＋1－an＝－
＝＝，又n∈N*，
∴＞0，
即：an＋1－an＞0，∴an＋1＞an，∴{an}为递增数列．
3．在数列1，2，，，，…中，2是这个数列的第(　　)
A．16项 B．24项
C．26项 D．28项
答案：C
解析：数列可化为，，，，，…，
∴an＝＝，
由＝2＝，得n＝26.
4．已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝则a6＝(　　)
A．16 B．25
C．28 D．33
答案：C
解析：当n＝1时，a2＝1＋3＝4；当n＝2时，a3＝2×4＋1＝9；当n＝3时，a4＝9＋3＝12；当n＝4时，a5＝2×12＋1＝25；当n＝5时，a6＝25＋3＝28.故选C.
5．已知数列{an}，an＝－2n2＋λn.若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是(　　)
A．(－∞，6) B．(－∞，4]
C．(－∞，5) D．(－∞，3]
答案：A
解析：由题意得an＋1－an＝－2(n＋1)2＋λ(n＋1)＋2n2－λn＝－4n－2＋λ＜0恒成立，∴－4－2＋λ＜0，∴λ＜6.
6．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则a2 021＝(　　)
A．2 B．－3
C．－ D．
答案：A
解析：∵a1＝2，∴a2＝＝－3，a3＝＝－，a4＝＝，a5＝＝2＝a1，…
∴{an}为周期数列，且周期T＝4，∴a2 021＝a1＝2.
7．设数列{an}满足a1＝a，an＋1＝(n∈N*)，若数列{an}是常数列，则a＝(　　)
A．－2 B．－1
C．0 D．(－1)n
答案：A
解析：因为数列{an}是常数列，所以a＝a2＝＝，即a(a＋1)＝a2－2，解得a＝－2，故选A.
8．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln ，则an＝(　　)
A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n
C．2＋n ln n D．1＋n＋ln n
答案：A
解析：由an＋1＝an＋ln 得
an＋1－an＝ln ＝ln (n＋1)－ln n，
∴当n≥2时，a2－a1＝ln 2－ln 1，a3－a2＝ln 3－ln 2，…，an－an－1＝ln n－ln (n－1)，
∴an－a1＝ln n，
∴an＝ln n＋a1＝2＋ln n，
又当n＝1时，a1＝2＝2＋ln 1符合上式．
∴an＝2＋ln n．
9．(多选)下面四个说法中错误的是(　　)
A．数列{}的第k项为1＋
B．数列的项数是无限的
C．数列的通项公式的表达式是唯一的
D．数列1，3，5，7可以表示为{1，3，5，7}
答案：BCD
解析：根据数列的表示方法可知，求数列的第k项就是将k代入通项公式，经验证知A正确；数列的项数可能是有限的，也可能是无限的，并且数列的通项公式的表达式不是唯一的，故B，C不正确；集合中的元素具有无序性，而数列中每一个数的位置都是确定的，故D不正确．故选BCD.
二、填空题
10．数列{an}满足a1＝17，an＝an－1＋2n－1(n≥2，n∈N*)，则的最小值是________．
答案：8
解析：∵a1＝17，an＝an－1＋2n－1(n≥2，n∈N*)，
∴an－an－1＝2n－1，
∴a2－a1＝3，a3－a2＝5，a4－a3＝7，…，
an－an－1＝2n－1(n≥2，n∈N*)
以上各式相加得，an－a1＝3＋5＋7＋…＋2n－1，
整理得，an＝17＋＝n2＋16(n≥2，n∈N*).
又当n＝1时，a1＝17也适合上式，∴an＝n2＋16，
∴＝n＋≥2＝8(当且仅当n＝4时取“＝”).
11．设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________．
答案：
解析：由an＋1－an＝n＋1，∴当n≥2时，a2－a1＝1＋1＝2，
a3－a2＝2＋1＝3，a4－a3＝3＋1＝4，…，an－an－1＝n－1＋1＝n，
∵an－a1＝，∴an＝(n≥2)，
又当n＝1时a1＝1也适合上式，∴an＝.
[能力提升]
12．数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，则其通项公式为________．
答案：an＝2n－1
解析：由an＋1＝2an＋1得an＋1＋1＝2(an＋1)，
∴＝2，∴{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴an＋1＝(a1＋1)·2n－1＝2n，
∴an＝2n－1.专练33　高考大题专练(三)　数列的综合运用
授课提示：对应学生用书69页
1．[2024·全国甲卷(理)]记Sn为数列{an}的前n项和，且4Sn＝3an＋4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝(－1)n－1nan，求数列{bn}的前n项和Tn.
解析：(1)因为4Sn＝3an＋4，所以4Sn＋1＝3an＋1＋4，两式相减得4an＋1＝3an＋1－3an，即an＋1＝－3an.
又因为4S1＝3a1＋4，所以a1＝4，故数列{an}是首项为4，公比为－3的等比数列．
所以an＝4·(－3)n－1.
(2)方法一　由(1)及题意得，bn＝(－1)n－1nan＝4n·3n－1，所以Tn＝4(1·30＋2·31＋3·32＋…＋n·3n－1)，
3Tn＝4(1·31＋2·32＋3·33＋…＋n·3n)，两式相减可得－2Tn＝4(1＋31＋32＋…＋3n－1－n·3n)＝4(－n·3n)＝(2－4n)3n－2，
所以Tn＝(2n－1)3n＋1.
方法二　由(1)及题意得bn＝(－1)n－1nan＝4n·3n－1，所以当n≥2时，Tn＝Tn－1＋4n·3n－1，两边同时减去(2n－1)3n，得Tn－(2n－1)3n＝Tn－1－(2n－3)3n－1，故{Tn－(2n－1)3n}为常数列．
所以Tn－(2n－1)3n＝T1－(2×1－1)·3＝1，所以Tn＝(2n－1)3n＋1，n≥2.当n＝1时，T1＝b1＝4，满足上式，所以Tn＝(2n－1)3n＋1．
2．设等差数列{an}的公差为d，且d>1.令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和．
(1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式；
(2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d.
解析：(1)因为3a2＝3a1＋a3，所以3(a2－a1)＝a1＋2d，
所以3d＝a1＋2d，所以a1＝d，所以an＝nd.
因为bn＝，所以bn＝＝，
所以S3＝＝＝6d，T3＝b1＋b2＋b3＝＋＋＝.
因为S3＋T3＝21，
所以6d＋＝21，解得d＝3或d＝，
因为d>1，所以d＝3.
所以{an}的通项公式为an＝3n.
(2)因为bn＝，且{bn}为等差数列，
所以2b2＝b1＋b3，即2×＝＋，
所以－＝，所以a－3a1d＋2d2＝0，
解得a1＝d或a1＝2d.
①当a1＝d时，an＝nd，所以bn＝＝＝，
S99＝＝＝99×50d，
T99＝＝＝.
因为S99－T99＝99，
所以99×50d－＝99，
即50d2－d－51＝0，
解得d＝或d＝－1(舍去).
②当a1＝2d时，an＝(n＋1)d，所以bn＝＝＝，
S99＝＝＝99×51d，
T99＝＝＝.
因为S99－T99＝99，
所以99×51d－＝99，
即51d2－d－50＝0，
解得d＝－(舍去)或d＝1(舍去).
综上，d＝.
3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝
(1)记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式；
(2)求{an}的前20项和．
解析：(1)由题设可得b1＝a2＝a1＋1＝2，b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5
又a2k＋2＝a2k＋1＋1，a2k＋1＝a2k＋2，(k∈N*)
故a2k＋2＝a2k＋3，即bn＋1＝bn＋3，即bn＋1－bn＝3
所以为等差数列，故bn＝2＋×3＝3n－1.
(2)设的前20项和为S20，则S20＝a1＋a2＋a3＋…＋a20，
因为a1＝a2－1，a3＝a4－1，…，a19＝a20－1，
所以S20＝2－10
＝2－10
＝2×－10＝300.
4．[2022·新高考Ⅰ卷]记Sn为数列的前n项和，已知a1＝1，是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：＋＋…＋<2.
解析：(1)∵a1＝1，∴＝1.
又∵是公差为的等差数列，
∴＝＋(n－1)，
即Sn＝(n＋)an＝(n＋2)an，
∴当n≥2时，Sn－1＝(n＋1)an－1，
∴an＝Sn－Sn－1＝(n＋2)an－(n＋1)an－1，n≥2，即(n－1)an＝(n＋1)an－1，n≥2，
∴＝，n≥2，
∴当n≥2时，··…··＝··…··＝，∴an＝.
当n＝1时，a1＝1满足上式，∴an＝.
(2)证明：由(1)知an＝，
∴＝＝2(－)，
∴＋＋…＋＝2(1－＋－＋…＋－)＝2(1－).
∵n∈N*，∴0＜≤，∴1－＜1，
∴2(1－)＜2，∴＋＋…＋＜2.
5．[2023·全国甲卷(理)]记Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝1，2Sn＝nan.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{}的前n项和Tn.
解析：(1)当n＝1时，2S1＝a1，即2a1＝a1，所以a1＝0.
当n≥2时，由2Sn＝nan，得2Sn－1＝(n－1)an－1，
两式相减得2an＝nan－(n－1)an－1，
即(n－1)an－1＝(n－2)an，
当n＝2时，可得a1＝0，
故当n≥3时，＝，则··…·＝··…·，
整理得＝n－1，因为a2＝1，所以an＝n－1(n≥3).
当n＝1，n＝2时，均满足上式，所以an＝n－1.
(2)方法一　令bn＝＝，
则Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn＝＋＋…＋＋①，
Tn＝＋＋…＋＋②
由①－②得Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝1－，
即Tn＝2－.
方法二　设bn＝，
所以bn＝＝＝(n＋0)×，
故a＝，b＝0，q＝.
故A＝＝＝－1，B＝＝＝－2，C＝－B＝2.
故Tn＝(An＋B)·qn＋C＝(－n－2)＋2，整理得Tn＝2－.
6．记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＋＝2.
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求{an}的通项公式．
解析：(1)因为bn是数列{Sn}的前n项积，
所以n≥2时，Sn＝，
代入＋＝2可得，＋＝2，
整理可得2bn－1＋1＝2bn，即bn－bn－1＝(n≥2).
又＋＝＝2，所以b1＝，
故{bn}是以为首项，为公差的等差数列．
(2)由(1)可知，bn＝，则＋＝2，所以Sn＝，
当n＝1时，a1＝S1＝，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－.
故an＝.
7．[2023·新课标Ⅱ卷]已知{an}为等差数列，bn＝.记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16.
(1)求{an}的通项公式；
(2)证明：当n>5时，Tn>Sn.
解析：(1)设等差数列{an}的公差为d.
因为bn＝，
所以b1＝a1－6，b2＝2a2＝2a1＋2d，b3＝a3－6＝a1＋2d－6.
因为S4＝32，T3＝16，
所以，
整理，得，解得，
所以{an}的通项公式为an＝2n＋3.
(2)由(1)知an＝2n＋3，
所以Sn＝＝n2＋4n.
当n为奇数时，
Tn＝(－1＋14)＋(3＋22)＋(7＋30)＋…＋[(2n－7)＋(4n＋2)]＋2n－3＝[－1＋3＋7＋…＋(2n－7)＋(2n－3)]＋[14＋22＋30＋…＋(4n＋2)]＝＋＝.
当n>5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝＝>0，
所以Tn>Sn.
当n为偶数时，Tn＝(－1＋14)＋(3＋22)＋(7＋30)＋…＋[(2n－5)＋(4n＋6)]＝[－1＋3＋7＋…＋(2n－5)]＋[14＋22＋30＋…＋(4n＋6)]＝＋＝.
当n>5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝＝>0，所以Tn>Sn.
综上可知，当n>5时，Tn>Sn.
8．设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝.已知a1，3a2，9a3成等差数列．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和．证明：Tn<.
解析：(1)设{an}的公比为q，则an＝qn－1.
因为a1，3a2，9a3成等差数列，所以1＋9q2＝2×3q，解得q＝，故an＝，bn＝.
(2)由(1)知Sn＝＝(1－)，Tn＝＋＋＋…＋，①
Tn＝＋＋＋…＋＋，②
①－②得Tn＝＋＋＋…＋－，
即Tn＝－＝(1－)－，
整理得Tn＝－，
则2Tn－Sn＝2(－)－(1－)＝－<0，故Tn<.专练48　高考大题专练(五)　圆锥曲线的综合运用
授课提示：对应学生用书101页
1．[2023·新课标Ⅰ卷]在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点的距离，记动点P的轨迹为W.
(1)求W的方程；
(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3.
解析：(1)设点P的坐标为(x，y)，依题意得|y|＝，
化简得x2＝y－，
所以W的方程为x2＝y－.
(2)设矩形ABCD的三个顶点A，B，C在W上，
则AB⊥BC，矩形ABCD的周长为2(|AB|＋|BC|).
设B(t，t2＋)，依题意知直线AB不与两坐标轴平行，
故可设直线AB的方程为y－(t2＋)＝k(x－t)，不妨设k>0，
与x2＝y－联立，得x2－kx＋kt－t2＝0，
则Δ＝k2－4(kt－t2)＝(k－2t)2>0，所以k≠2t.
设A(x1，y1)，所以t＋x1＝k，所以x1＝k－t，
所以|AB|＝|x1－t|＝|k－2t|＝|2t－k|，
|BC|＝|－－2t|＝|＋2t|＝|2kt＋1|，且2kt＋1≠0，
所以2(|AB|＋|BC|)＝(|2k2t－k3|＋|2kt＋1|).
因为|2k2t－k3|＋|2kt＋1|
＝，
当2k－2k2≤0，即k≥1时，函数y＝(－2k2－2k)t＋k3－1在(－∞，－]上单调递减，函数y＝(2k－2k2)t＋k3＋1在(－，]上单调递减或是常函数(当k＝1时是常函数)，函数y＝(2k2＋2k)t－k3＋1在(，＋∞)上单调递增，
所以当t＝时，|2k2t－k3|＋|2kt＋1|取得最小值，且最小值为k2＋1，又k≠2t，所以2(|AB|＋|BC|)＞(k2＋1)＝.
令f(k)＝，k≥1，
则f′(k)＝
当1≤k＜时，f′(k)＜0，当k＞时，f′(k)＞0，
所以函数f(k)在[1，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，
所以f(k)≥f()＝3，
所以2(|AB|＋|BC|)＞≥3.
当2k－2k2＞0，即0＜k＜1时，函数y＝(－2k2－2k)t＋k3－1在(－∞，－]上单调递减，函数y＝(2k－2k2)t＋k3＋1在(－，]上单调递增，函数y＝(2k2＋2k)t－k3＋1在(，＋∞)上单调递增，
所以当t＝－时，|2k2t－k3|＋|2kt＋1|取得最小值，且最小值为k3＋k＝k(1＋k2)，
又2kt＋1≠0，所以2(|AB|＋|BC|)＞k(k2＋1)＝.
令g(k)＝，0则g′(k)＝，
当00，
所以函数g(k)在(0，)上单调递减，在(，1)上单调递增，
所以g(k)≥g()＝3，
所以2(|AB|＋|BC|)>≥3.
综上，矩形ABCD的周长大于3.
2．[2023·新课标Ⅱ卷]已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2，0)，离心率为.
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上．
解析：(1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，c为双曲线C的半焦距，
由题意可得，解得.
所以双曲线C的方程为－＝1.
(2)方法一　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝my－4，
则x1＝my1－4，x2＝my2－4.
联立得，得(4m2－1)y2－32my＋48＝0.
因为直线MN与双曲线C的左支交于M，N两点，所以4m2－1≠0，且Δ>0.
由根与系数的关系得，所以y1＋y2＝y1y2.
因为A1，A2分别为双曲线C的左、右顶点，
所以A1(－2，0)，A2(2，0).
直线MA1的方程为＝，直线NA2的方程为＝，
所以＝，得＝，＝＝.
因为＝
＝
＝
＝－3，
所以＝－3，解得x＝－1，
所以点P在定直线x＝－1上．
方法二　由题意得A1(－2，0)，A2(2，0).
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝my－4，
则－＝1，即4x－y＝16.
如图，连接MA2，
kMA1·kMA2＝·＝＝＝4　①.
由－＝1，得4x2－y2＝16，4[(x－2)＋2]2－y2＝16，
4(x－2)2＋16(x－2)＋16－y2＝16，4(x－2)2＋16(x－2)－y2＝0.
由x＝my－4，得x－2＝my－6，my－(x－2)＝6，[my－(x－2)]＝1.
4(x－2)2＋16(x－2)·[my－(x－2)]－y2＝0，4(x－2)2＋(x－2)my－(x－2)2－y2＝0，
两边同时除以(x－2)2，得＋·－＝0，
即－·－＝0.
kMA2＝，kNA2＝，
由根与系数的关系得kMA2·kNA2＝－　②.
由①②可得kMA1＝－3kNA2.
lMA1：y＝kMA1(x＋2)＝－3kNA2(x＋2)，lNA2：y＝kNA2(x－2).
由，解得x＝－1.
所以点P在定直线x＝－1上．
3．[2024·新课标Ⅱ卷]已知双曲线C：x2－y2＝m(m>0)，点P1(5，4)在C上，k为常数，0(1)若k＝，求x2，y2；
(2)证明：数列{xn－yn}是公比为的等比数列；
(3)设Sn为△PnPn＋1Pn＋2的面积．证明：对任意正整数n，Sn＝Sn＋1.
解析：(1)因为点P1(5，4)在双曲线C：x2－y2＝m(m>0)上，
所以m＝52－42＝9.
过点P1(5，4)且斜率k＝的直线方程为x－2y＋3＝0.
由解得或
所以Q1(－3，0)，P2(3，0)，
所以x2＝3，y2＝0.
(2)证明：因为点Pn(xn，yn)关于y轴的对称点是Qn－1(－xn，yn)，点Pn－1(xn－1，yn－1)，Qn－1在同一条斜率为k的直线上，
所以xn－1≠－xn并且＝k.①
因为点Pn－1，Qn－1都在双曲线C上，
所以
两式相减，得(xn－xn－1)(xn＋xn－1)＝(yn－yn－1)(yn＋yn－1).②
由①②得
④－③得(xn－yn)－(xn－1－yn－1)＝k(xn－yn)＋k(xn－1－yn－1)，
整理得＝.
又x1－y1＝1，所以{xn－yn}是公比为的等比数列．
(3)证明：因为△PnPn＋1Pn＋2和△Pn＋1Pn＋2Pn＋3，n∈N*有公共边Pn＋1Pn＋2，所以若点Pn和Pn＋3到直线Pn＋1Pn＋2的距离相等，则Sn＝Sn＋1.
此时，直线Pn＋1Pn＋2与PnPn＋3平行，四边形PnPn＋1Pn＋2Pn＋3是梯形，大致图形如图所示，
以下证明：直线Pn＋1Pn＋2与PnPn＋3平行．
记a＝，则由01.
由(2)及x1＝5，y1＝4，得xn－yn＝·(x1－y1)＝an－1.
又因为(xn＋yn)(xn－yn)＝x－y＝9，
所以xn＋yn＝9a1－n，
所以yn＝(－an－1＋9a1－n).
由(2)知yn≠yn＋1，
则＝
＝1－
＝1－，
＝
＝1－
＝1－，
因此＝.
从而直线Pn＋1Pn＋2与PnPn＋3平行，
所以Sn＝S＝S＝Sn＋1，证明完毕．
4．[2024·九省联考]已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，过F与l垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为AB，DE的中点．
(1)证明：直线MN过定点；
(2)设G为直线AE与直线BD的交点，求△GMN面积的最小值．
解析：(1)证明：由C：y2＝4x，故F(1，0)，由直线AB与直线CD垂直，
故两条直线斜率都存在且不为0，
设直线AB，CD分别为x＝m1y＋1，x＝m2y＋1，有m1m2＝－1，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，E(x3，y3)，D(x4，y4)，
联立C：y2＝4x与直线AB，即有，
消去x可得y2－4m1y－4＝0，Δ＝16m＋16>0，
故y1＋y2＝4m1，y1y2＝－4，
则x1＋x2＝m1y1＋1＋m1y2＋1＝m1(y1＋y2)＋2＝4m＋2，
故＝2m＋1，＝2m1，
即M(2m＋1，2m1)，同理可得N(2m＋1，2m2)，
当2m＋1≠2m＋1时，
则lMN：y＝(x－2m－1)＋2m1，
即y＝(x－2m－1)＋2m1
＝－＋
＝－
＝－，
由m1m2＝－1，即y＝－＝(x－3)，
故x＝3时，有y＝(3－3)＝0，
此时MN过定点，且该定点为(3，0)，
当2m＋1＝2m＋1时，即m＝m时，由m1m2＝－1，即m1＝±1时，
有lMN：x＝2＋1＝3，亦过定点(3，0)，
故直线MN过定点，且该定点为(3，0).
(2)由A(x1，y1)，B(x2，y2)，E(x3，y3)，D(x4，y4)，
则lAE：y＝(x－x1)＋y1，由y＝4x1，y＝4x2，
故y＝(x－)＋y1＝－＋＝＋，
同理可得lBD：y＝＋，联立两直线，即，
有＋＝＋，
即4x(y4＋y2)＋y1y3(y4＋y2)＝4x(y3＋y1)＋y2y4(y3＋y1)，
有x＝，由y1y2＝－4，同理y3y4＝－4，
故x＝
＝
＝＝－1，
故xG＝－1，
过点G作GQ∥x轴，交直线MN于点Q，则S△GMN＝×，
由M(2m＋1，2m1)，N(2m＋1，2m2)，
由抛物线的对称性，不妨设m1>0，则m2<0，
故＝2m1－2m2＝2m1＋≥2＝4，
当且仅当m1＝1时，等号成立，
下证≥4：
当m1>1时，有m2＝－∈(－1，0)，则点G在x轴上方，点Q亦在x轴上方，
有kMN＝＝>0，由直线MN过定点(3，0)，
此时>3－(－1)＝4，
同理，当m1<1时，有点G在x轴下方，点Q亦在x轴下方，
有kMN＝<0，此时>4，
当且仅当m1＝1时，xQ＝3，此时|xQ－xG|＝4，
故≥4恒成立，且m1＝1时，等号成立，
故S△GMN＝×≥×4×4＝8.
5．[2023·全国甲卷(理)]已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，|AB|＝4.
(1)求p；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，且·＝0，求△MFN面积的最小值．
解析：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
把 x＝2y－1代入y2＝2px，得y2－4py＋2p＝0，
由Δ1＝16p2－8p>0，得p>.
由根与系数的关系，可得y1＋y2＝4p，y1y2＝2p，
所以|AB|＝·＝·＝4，解得p＝2或p＝－(舍去)，故p＝2.
(2)设M(x3，y3)，N(x4，y4)，由(1)知抛物线C：y2＝4x，则点F(1，0).
因为·＝0，所以∠MFN＝90°，则S△MFN＝|MF||NF|＝(x3＋1)(x4＋1)＝(x3x4＋x3＋x4＋1)　(*).
当直线MN的斜率不存在时，点M与点N关于x轴对称，
因为∠MFN＝90°，
所以直线MF与直线NF的斜率一个是1，另一个是－1.
不妨设直线MF的斜率为1，则MF：y＝x－1，
由得x2－6x＋1＝0，
得或
代入(*)式计算易得，当x3＝x4＝3－2时，△MFN的面积取得最小值，为4(3－2).
当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx＋m.
由得k2x2－(4－2km)x＋m2＝0，Δ2＝(4－2km)2－4m2k2>0，
则
y3y4＝(kx3＋m)(kx4＋m)＝k2x3x4＋mk(x3＋x4)＋m2＝.
又· ＝(x3－1，y3)·(x4－1，y4)＝x3x4－(x3＋x4)＋1＋y3y4＝0，
所以－＋1＋＝0，化简得m2＋k2＋6km＝4.
所以S△MFN＝(x3x4＋x3＋x4＋1)＝＝＝＋2＋1.
令t＝，则S△MFN＝t2＋2t＋1，
因为m2＋k2＋6km＝4，
所以＋6＋1＝>0，
即t2＋6t＋1>0，得t>－3＋2或t<－3－2，
从而得S△MFN＝t2＋2t＋1>12－8＝4(3－2.
故△MFN面积的最小值为4(3－2).
6．[2024·新课标Ⅰ卷]已知A(0，3)和P(3，)为椭圆C：＋＝1(a>b>0)上两点．
(1)求C的离心率；
(2)若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程．
解析：(1)将A(0，3)，P(3，)的坐标代入椭圆C的方程，
可得解得则c2＝a2－b2＝3，即c＝，
则C的离心率e＝＝＝.
(2)由(1)可得椭圆C的方程为＋＝1.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3，此时S△ABP＝×3×3＝≠9，不符合题意，故直线l的斜率存在．
方法一　设直线l的方程为y＝kx＋b(b≠3)，B(x1，y1)，
联立消去y整理得(4k2＋3)x2＋8kbx＋4b2－36＝0，Δ＝64k2b2－4(4k2＋3)(4b2－36)＝48(12k2＋9－b2)>0①，则x1＋3＝.
由点P在l上，得＝3k＋b，即b＝－3k②.
由①②知k≠－，此时b≠6.
所以x1＝－3＝，代入直线l的方程可得y1＝.
由A(0，3)，P(3，)可得|AP|＝，直线AP的方程为x＋2y－6＝0，设点B到直线AP的距离为d，则S△ABP＝·|AP|·d＝×d＝9，解得d＝.
由点到直线的距离公式可得d＝＝，
将x1＝，y1＝代入上式，
解得k＝或k＝，当k＝时，b＝－3；当k＝时，b＝0，
所以直线l的方程为y＝x－3或y＝x.
方法二　设直线l的方程为y－＝k(x－3)，令P(x1，y1)，
B(x2，y2)，联立消去y可得
(4k2＋3)x2－(24k2－12k)x＋36k2－36k－27＝0，
Δ＝(24k2－12k)2－4(4k2＋3)(36k2－36k－27)＝36(4k2＋12k＋9)＝36(2k＋3)2>0，k≠－，
所以
所以|PB|＝ ·＝
.
又点A到直线PB的距离d＝，
S＝··＝9，
解得k＝或，
所以直线l的方程为y＝x或y＝x－3.
7．[2024·全国甲卷(理)]设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，点M(1，)在C上，且MF⊥x轴．
(1)求C的方程；
(2)过点P(4，0)的直线交C于A，B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQ⊥y轴．
解析：设椭圆C的左焦点为F1，因为点M的横坐标为1，且MF⊥x轴，所以c＝1，则|F1F|＝2，|MF|＝，因为MF⊥x轴，所以|MF1|＝＝，所以2a＝|MF1|＋|MF|＝4，解得a＝2，所以b2＝a2－c2＝3，
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)证明：方法一　由题可得，F(1，0)，P(4，0)，
所以点N(，0).
当直线AB与x轴不重合时，设直线AB的方程为x＝ty＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2).
由整理得(3t2＋4)y2＋24ty＋36＝0，由Δ>0得t2>4，
根据根与系数的关系可得
直线NB的方程为y＝(x－)，设点Q的坐标为(1，yQ)，将x＝1代入直线NB的方程得yQ＝＝，
所以Q点的坐标为(1，).
因为yQ－y1＝－y1
＝
＝
＝＝0，
所以yQ＝y1.
又y1≠0，所以直线AQ与x轴平行，所以AQ⊥y轴．
当直线AB与x轴重合时，直线AQ与x轴重合，所以AQ⊥y轴．
综上，AQ⊥y轴．
方法二　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
＝λ(λ≠－1)，
则即
又由①－②可得3··＋4··＝12，结合上式可得5λ－2λx2＋3＝0.
由N(，0)，B(x2，y2)，得直线BN的方程为y＝·(x－)，
因为点Q是直线BN与直线MF的交点，所以将点Q的横坐标1代入直线BN的方程得yQ＝＝＝－λy2＝y1，故AQ⊥y轴．
方法三　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由P，A，B三点共线得x1y2－x2y1＝4(y2－y1)①，所以(x1y2－x2y1)(x1y2＋x2y1)＝xy－xy＝(4－y)y－(4－y)y＝4(y2－y1)(y2＋y1)＝4(y2－y1)·(x1y2＋x2y1)，即x1y2＋x2y1＝y2＋y1②，①②联立得2x2y1＝5y1－3y2.
由N(，0)，B(x2，y2)，得直线BN的方程为y＝·(x－)，因为点Q是直线BN与直线MF的交点，所以将点Q的横坐标1代入直线BN的方程得yQ＝＝＝y1，故AQ⊥y轴．
8．[2022·新高考Ⅰ卷，21]已知点A(2，1)在双曲线C：－＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.
(1)求l的斜率；
(2)若tan ∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．
解析：(1)∵点A(2，1)在双曲线C：－＝1(a>1)上，∴－＝1，解得a2＝2.
∴双曲线C的方程为－y2＝1.
显然直线l的斜率存在，可设其方程为y＝kx＋m.
联立得方程组
消去y并整理，得(1－2k2)x2－4kmx－2m2－2＝0.
Δ＝16k2m2＋4(1－2k2)(2m2＋2)＝8m2＋8－16k2>0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
由kAP＋kAQ＝0，得＋＝0，
即(x2－2)(kx1＋m－1)＋(x1－2)(kx2＋m－1)＝0.
整理，得2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4(m－1)＝0，
即2k·＋(m－1－2k)·－4(m－1)＝0，
即(k＋1)(m＋2k－1)＝0.
∵直线l不过点A，∴k＝－1.
(2)设∠PAQ＝2α，0<α<，则tan 2α＝2，
∴＝2，解得tan α＝(负值已舍去)．
由(1)得k＝－1，则x1x2＝2m2＋2>0，
∴P，Q只能同在双曲线左支或同在右支．
当P，Q同在左支时，tan α即为直线AP或AQ的斜率．
设kAP＝.
∵为双曲线一条渐近线的斜率，
∴直线AP与双曲线只有一个交点，不成立．
当P，Q同在右支时，tan (－α)＝即为直线AP或AQ的斜率．
设kAP＝＝，则kAQ＝－，
∴直线AP的方程为y－1＝(x－2)，
即y＝x－2＋1.
联立得方程组
消去y并整理，
得3x2－(16－4)x＋20－8＝0，
则xP·2＝，解得xP＝.
∴|xA－xP|＝|2－|＝.
同理可得|xA－xQ|＝.
∵tan 2α＝2，0<2α<π，∴sin 2α＝，
∴S△PAQ＝|AP|·|AQ|·sin 2α＝××|xA－xP|××|xA－xQ|×sin 2α＝×3××＝.专练56　高考大题专练(六)　概率与统计的综合运用
授课提示：对应学生用书117页
1．[2023·新课标Ⅰ卷]甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第i次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1，2，…，n，则E(i)＝i.
记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y).
解析：(1)记“第2次投篮的人是乙”为事件A，“第1次投篮的人是甲”为事件B，则A＝BA＋A，
所以P(A)＝P(BA＋A)＝P(BA)＋P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6.
(2)设第i次投篮的人是甲的概率为pi，由题意可知，p1＝，pi＋1＝pi×0.6＋(1－pi)×(1－0.8)，即pi＋1＝0.4pi＋0.2＝pi＋，
所以pi＋1－＝(pi－)，
又p1－＝－＝，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以pi－＝×()i－1，
所以pi＝＋×()i－1.
(3)设第i次投篮时甲投篮的次数为Xi，则Xi的可能取值为0或1，当Xi＝0时，表示第i次投篮的人是乙，当Xi＝1时，表示第i次投篮的人是甲，所以P(Xi＝1)＝pi，P(Xi＝0)＝1－pi，所以E(Xi)＝pi.
Y＝X1＋X2＋X3＋…＋Xn，
则E(Y)＝E(X1＋X2＋X3＋…＋Xn)＝p1＋p2＋p3＋…＋pn，
由(2)知，pi＝＋×()i－1，
所以p1＋p2＋p3＋…＋pn＝＋×[1＋＋()2＋…＋()n－1]＝＋×＝＋×.
2．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为.
(1)求甲连胜四场的概率；
(2)求需要进行第五场比赛的概率；
(3)求丙最终获胜的概率．
解析：(1)甲连胜四场的概率为.
(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛．
比赛四场结束，共有三种情况：
甲连胜四场的概率为；
乙连胜四场的概率为；
丙上场后连胜三场的概率为.
所以需要进行第五场比赛的概率为1－－－＝．
(3)丙最终获胜，有两种情况：
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为；
比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，，.
因此丙最终获胜的概率为＋＋＋＝．
3．[2024·新课标Ⅱ卷]某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成．比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段．第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分．该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若p＝0.4，q＝0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率；
(2)假设0(ⅰ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
(ⅱ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
解析：(1)甲参加第一阶段比赛，则该队进入第二阶段的概率为P1＝1－(1－0.4)3＝0.784.
第二阶段乙进行投篮，则乙至少投中一次的概率为P2＝1－(1－0.5)3＝0.875，
故甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率为P＝0.784×0.875＝0.686.
(2)(ⅰ)若甲、乙所在队的比赛成绩为15分，则第二阶段的3次投篮全中．
当甲参加第一阶段比赛时，甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P3＝[1－(1－p)3]q3，
当乙参加第一阶段比赛时，甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P4＝[1－(1－q)3]p3，
则P3－P4＝[1－(1－p)3]q3－[1－(1－q)3]p3＝3pq(q－p)[p＋q(1－p)]．
因为1≥q>p>0，所以q－p>0，所以P3－P4>0，即P3>P4，
故应该由甲参加第一阶段比赛．
(ⅱ)若甲参加第一阶段比赛，则设该队比赛成绩为X分，X的所有可能取值为0，5，10，15，进入第二阶段的概率为1－(1－p)3，未进入第二阶段的概率为(1－p)3，
则P(X＝0)＝(1－p)3＋[1－(1－p)3](1－q)3，
P(X＝5)＝[1－(1－p)3]Cq(1－q)2，
P(X＝10)＝ [1－(1－p)3]Cq2(1－q)，
P(X＝15)＝[1－(1－p)3]q3，
则E(X)＝5×[1－(1－p)3]Cq(1－q)2＋10×[1－(1－p)3]Cq2(1－q)＋15×[1－(1－p)3]q3＝15pq(p2－3p＋3).
若乙参加第一阶段比赛，则设该队的比赛成绩为Y分，
同理可得E(Y)＝15pq(q2－3q＋3)，
则E(X)－E( Y)＝15pq(p2－3p－q2＋3q)
＝15pq(p－q)(p＋q－3)，
因为1≥q>p>0，所以pq>0，p－q<0，p＋q－3<0，
所以E(X)－E(Y)>0，即E(X)>E(Y).
故应该由甲参加第一阶段的比赛．
4．[2024·九省联考]盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．
(1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；
(2)记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望E(X).
解析：(1)记“取出的3个小球上的数字两两不同”为事件M，
先确定3个不同数字的小球，有C种方法，
然后每种小球各取1个，有C×C×C种取法，
所以P(M)＝＝.
(2)由题意可知，X的可能取值为1，2，3，
当X＝1时，分为两种情况：只有一个数字为1的小球、有两个数字为1的小球，
所以P(X＝1)＝＝；
当X＝2时，分为两种情况：只有一个数字为2的小球、有两个数字为2的小球，
所以P(X＝2)＝＝；
当X＝3时，分为两种情况：只有一个数字为3的小球、有两个数字为3的小球，
所以P(X＝3)＝＝，
所以X的分布列为：
X 1 2 3
P
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
5．[2022·全国甲卷(理)，19]甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
解析：(1)设三个项目比赛中甲学校获胜分别为事件A，B，C，易知事件A，B，C相互独立．甲学校获得冠军，对应事件A，B，C同时发生，或事件A，B，C中有两个发生，故甲学校获得冠军的概率为
P＝P(ABC＋BC＋AC＋AB)
＝P(ABC)＋P(BC)＋P(AC)＋P(AB)
＝0.5×0.4×0.8＋(1－0.5)×0.4×0.8＋0.5×(1－0.4)×0.8＋0.5×0.4×(1－0.8)
＝0.16＋0.16＋0.24＋0.04
＝0.6.
(2)由题意得，X的所有可能取值为0，10，20，30.
易知乙学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.6，0.2，则
P(X＝0)＝(1－0.5)×(1－0.6)×(1－0.2)＝0.16，
P(X＝10)＝0.5×(1－0.6)×(1－0.2)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.2)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.2＝0.44，
P(X＝20)＝0.5×0.6×(1－0.2)＋0.5×(1－0.6)×0.2＋(1－0.5)×0.6×0.2＝0.34，
P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06，
所以X的分布列为
X 0 10 20 30
P 0.16 0.44 0.34 0.06
则E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.
6．[2023·新课标Ⅱ卷]某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c).假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)当漏诊率p(c)＝0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)；
(2)设函数f(c)＝p(c)＋q(c)，当c∈[95，105]时，求f(c)的解析式，并求f(c)在区间[95，105]的最小值．
解析：(1)由题图知(100－95)×0.002＝1%>0.5%，所以95设X为患病者的该指标，
则p(c)＝P(X≤c)＝(c－95)×0.002＝0.5%，解得c＝97.5.
设Y为未患病者的该指标，
则q(c)＝P(Y>c)＝(100－97.5)×0.01＋5×0.002＝0.035＝3.5%.
(2)当95≤c≤100时，
p(c)＝(c－95)×0.002＝0.002c－0.19，
q(c)＝(100－c)×0.01＋5×0.002＝－0.01c＋1.01，
所以f(c)＝p(c)＋q(c)＝－0.008c＋0.82；
当100p(c)＝5×0.002＋(c－100)×0.012＝0.012c－1.19，
q(c)＝(105－c)×0.002＝－0.002c＋0.21，
所以f(c)＝p(c)＋q(c)＝0.01c－0.98.
综上所述，
f(c)＝.
由一次函数的单调性知，函数f(c)在[95，100]上单调递减，在(100，105]上单调递增，
作出f(c)在区间[95，105]上的大致图象(略)，可得f(c)在区间[95，105]的最小值f(c)min＝f(100)＝－0.008×100＋0.82＝0.02.
7．某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得i＝60，
i＝1 200，(xi－)2＝80，(yi－)2＝9 000，(xi－)(yi－)＝800.
(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；
(2)求样本(xi，yi)(i＝1，2，…，20)的相关系数(精确到0.01)；
(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．
附：相关系数r＝，≈1.414.
解析：(1)由已知得样本平均数＝i＝60，从而该地区这种野生动物数量的估计值为60×200＝12 000.
(2)样本(xi，yi)，(i＝1，2，…，20)的相关系数
r＝＝＝≈0.94.
(3)分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样．
理由如下：由(2)知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性．从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计．
8．[2024·北京卷]某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1 000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
索赔次数 0 1 2 3 4
保单份数 800 100 60 30 10
假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．
假设不同保单的索赔次数相互独立，用频率估计概率．
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差．
(ⅰ)记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望EX；
(ⅱ)如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与(ⅰ)中EX估计值的大小．(结论不要求证明)
解析：(1)设一份保单索赔次数为Y，则
P(Y≥2)＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＋P(Y＝4)＝＋＋＝，
∴一份保单索赔次数不少于2的概率为.
(2)(ⅰ)X的可能取值为0.4，－0.4，－1.2，－2，－2.6，则P(X＝0.4)＝＝，
P(X＝－0.4)＝＝，
P(X＝－1.2)＝＝，
P(X＝－2)＝＝，
P(X＝－2.6)＝＝，
∴EX＝0.4×－0.4×－1.2×－2×－2.6×
＝0.32－0.04－0.072－0.06－0.026
＝0.122.
(ⅱ)保单的保费调整后，无索赔保单的保费为0.384万元，
毛利润X的可能取值为0.48，－0.32，－1.12，－1.92，－2.52，
∴此时EX＝0.48×－0.32×－1.12×－1.92×－2.52×＝0.384－0.032－0.067 2－0.057 6－0.025 2＝0.202，
∴调整后的保单毛利润的数学期望的估计值大于调整前的保单毛利润数学期望的估计值．专练1　集合及其运算
授课提示：对应学生用书1页
[基础强化]
一、选择题
1．[2024·新课标Ⅰ卷]已知集合A＝{x|－5A．{－1，0} B．{2，3}
C．{－3，－1，0} D．{－1，0，2}
答案：A
解析：方法一　由题意可知－1∈B，(－1)3＝－1∈A，0∈B，03＝0∈A，所以A∩B＝{－1，0}．故选A.
方法二　由题意知A＝{x|－2．[2024·北京卷]已知集合M＝{x|－3A．{x|－1≤x<1} B．{x|x>－3}
C．{x|－3答案：C
解析：因为集合M＝{x|－33．[2023·新课标Ⅰ卷]已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝(　　)
A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2}
C．{－2} D．2
答案：C
解析：方法一　因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝{x|x≥3或x≤－2}，所以M∩N＝{－2}，故选C.
方法二　由于1∈/N，所以1∈/M∩N，排除A，B；由于2∈/N，所以2∈/M∩N，排除D.故选C.
4．[2023·新课标Ⅱ卷]设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A B，则a＝(　　)
A．2 B．1
C． D．－1
答案：B
解析：依题意，有a－2＝0或2a－2＝0.当a－2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A B；当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，满足A B.所以a＝1，故选B.
5．[2023·全国甲卷(文)]设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，则N∪ UM＝(　　)
A．{2，3，5} B．{1，3，4}
C．{1，2，4，5} D．{2，3，4，5}
答案：A
解析：由题意知， UM＝{2，3，5}，又N＝{2，5}，所以N∪ UM＝{2，3，5}，故选A.
6．[2024·全国统一考试模拟演练]已知M，N均为R的子集，且( RM) N，则M∪( RN)＝(　　)
A． B．M
C．N D．R
答案：B
解析：方法一　由( RM) N，得( RN) M，
所以M∪( RN)＝M，故选B.
方法二　根据题意作出集合M，N，如图所示，
集合M为图中阴影部分，集合N为图中除内部小圆之外的部分，
显然满足( RM) N，由图易得( RN) M，所以M∪( RN)＝M，故选B.
7．设全集为R，集合A＝{x|0A．{x|0C．{x|1≤x<2} D．{x|0答案：B
解析：∵ RB＝{x|x<1}，∴A∩ RB＝{x|08．[2023·全国乙卷(文)]设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪ UN＝(　　)
A．{0，2，4，6，8} B．{0，1，4，6，8}
C．{1，2，4，6，8} D．U
答案：A
解析：由题意知， UN＝{2，4，8}，所以M∪ UN＝{0，2，4，6，8}．故选A.
9．[2023·全国甲卷(理)]设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则 U(M∪N)＝(　　)
A．{x|x＝3k，k∈Z}
B．{x|x＝3k－1，k∈Z}
C．{x|x＝3k－2，k∈Z}
D．
答案：A
解析：方法一　M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以 U(M∪N)＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，即 U(M∪N)＝{x|x＝3k，k∈Z}，故选A.
方法二　集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集，故选A.
二、填空题
10．已知U＝{1，2，a2－2a－3}，A＝{|a－2|，2}， UA＝{0}，则a的值为________．
答案：3
解析：由U＝{1，2，a2－2a－3}， UA＝{0}可得a2－2a－3＝0.又A＝{|a－2|，2}，故|a－2|＝1，所以得解得a＝3.
11．[2024·衡水一中测试]已知集合M＝{x|1－a答案：
解析：因为M∩N＝M，所以M N.当M＝ 时，1－a≥2a，解得a≤；当M≠ 时，a>且无解．综上，实数a的取值范围为.
12．[2024·九省联考]已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x||x－3|≤m}，若A∩B＝A，则m的最小值为________．
答案：5
解析：由A∩B＝A，故A B，
由≤m，得－m＋3≤x≤m＋3，
故有，解得，即m≥5，
即m的最小值为5.
[能力提升]
13．[2024·全国甲卷(理)]已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，则 A(A∩B)＝(　　)
A．{1，4，9} B．{3，4，9}
C．{1，2，3} D．{2，3，5}
答案：D
解析：∵A＝{1，2，3，4，5，9}，∴B＝{x|∈A}＝{1，4，9，16，25，81}，∴A∩B＝{1，4，9}，∴ A(A∩B)＝{2，3，5}．故选D.
14．(多选)[2024·武汉部分重点中学联考]已知集合A＝{1，3，m2}，B＝{1，m}，若A∪B＝A，则实数m的值可能为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：AD
解析：因为A∪B＝A，所以B A.因为A＝{1，3，m2}，B＝{1，m}，所以m2＝m或m＝3，解得m＝0或m＝1或m＝3.当m＝0时，A＝{1，3，0}，B＝{1，0}，符合题意；当m＝1时，集合A中元素不满足互异性，不符合题意；当m＝3时，A＝{1，3，9}，B＝{1，3}，符合题意．综上，m＝0或3.故选AD.
15．若集合A＝{x|ax2＋ax＋1＝0，x∈R}不含任何元素，则实数a的取值范围是________．
答案：[0，4)
解析：当a＝0时，原方程无解．
当a≠0时，方程ax2＋ax＋1＝0无解，
则需Δ＝a2－4a<0，
解得0综上，0≤a<4.
16．已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，若B A，则实数m的取值范围是_________________________________________________________．
答案：(－∞，－2)∪
解析：显然A＝{x|－1≤x≤6}，当B＝ 时，m－1>2m＋1，即m<－2符合题意；当B≠ 时，
得0≤m≤.
综上得m<－2或0≤m≤.专练4　基本不等式
授课提示：对应学生用书7页
[基础强化]
一、选择题
1．函数y＝2x＋的最小值为(　　)
A．1 B．2
C．2 D．4
答案：C
解析：因为2x>0，所以y＝2x＋≥2＝2，当且仅当2x＝，即x＝时取“＝”．故选C.
2．若a>0，b>0且2a＋b＝4，则的最小值为(　　)
A．2 B．
C．4 D．
答案：B
解析：∵a>0，b>0，∴4＝2a＋b≥2(当且仅当2a＝b，即：a＝1，b＝2时等号成立)，∴03．下列结论正确的是(　　)
A．当x>0且x≠1时，lg x＋≥2
B．当x∈时，sin x＋的最小值为4
C．当x>0时，＋≥2
D．当0答案：C
解析：当x∈(0，1)时，lg x<0，故A不成立，对于B中sin x＋≥4，当且仅当sin x＝2时等号成立，等号成立的条件不具备，故B不正确；D中y＝x－在(0，2]上单调递增，故当x＝2时，y有最大值，故D不正确；又＋≥2＝2(当且仅当＝即x＝1时等号成立).故C正确．
4．下列不等式恒成立的是(　　)
A．a2＋b2≤2ab B．a2＋b2≥－2ab
C．a＋b≥2 D．a＋b≥－2
答案：B
解析：对于A，C，D，当a＝0，b＝－1时，a2＋b2＞2ab，a＋b＜2，a＋b＜－2，故A，C，D错误；对于B，因为a2＋b2＝|a|2＋|b|2≥2|a|·|b|＝2|ab|≥－2ab，所以B正确．故选B.
5．若x>0，y>0，x＋2y＝1，则的最大值为(　　)
A． B．
C． D．
答案：C
解析：x＋2y＝1 y＝，则＝.
∵x>0，y>0，x＋2y＝1，
∴0设3x＋1＝t(1原式＝＝－≤－2＝，
当且仅当＝，即t＝2，x＝，y＝时，取等号，则的最大值为，故选C.
6．已知a>0，b>0，c>0，且a2＋b2＋c2＝4，则ab＋bc＋ac的最大值为(　　)
A．8 B．4
C．2 D．1
答案：B
解析：∵a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，
∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，∴ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2＝4.
7．若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
答案：C
解析：因为直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，1)，所以＋＝1.所以a＋b＝(a＋b)·＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝即a＝b＝2时取“＝”，故选C.
8．若向量a＝(x－1，2)，b＝(4，y)，a与b相互垂直，则9x＋3y的最小值为(　　)
A．12 B．2
C．3 D．6
答案：D
解析：∵a⊥b，∴a·b＝(x－1，2)·(4，y)＝4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2，
∴9x＋3y＝32x＋3y≥2＝2＝6，当且仅当2x＝y＝1时取等号，∴9x＋3y的最小值为6.
9．用一段长8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为(　　)
A．9 cm2 B．16 cm2
C．4 cm2 D．5 cm2
答案：C
解析：设矩形模型的长和宽分别为x cm，y cm，则x＞0，y＞0，由题意可得2(x＋y)＝8，所以x＋y＝4，所以矩形模型的面积S＝xy≤＝＝4(cm2)，当且仅当x＝y＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm时，面积最大，为4 cm2.故选C.
二、填空题
10．已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________.
答案：
解析：∵a－3b＋6＝0，∴ a－3b＝－6，∴ 2a＋＝2a＋2－3b≥2＝2＝2＝.当且仅当2a＝2－3b，即a＝－3，b＝1时，2a＋取得最小值为.
11．已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________．
答案：36
解析：∵x>0，a>0，∴4x＋≥2＝4，
当且仅当4x＝，即：x＝时等号成立，由＝3，a＝36.
12．[2024·山东聊城一中高三测试]已知a>0，b>0，3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为________．
答案：2＋
解析：由3a＋b＝2ab，
得＋＝1，
∴a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝2＋(当且仅当＝即b＝a时等号成立).
[能力提升]
13．[2024·合肥一中高三测试]若a，b都是正数，则的最小值为(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
答案：C
解析：＝5＋＋≥5＋2＝9(当且仅当＝即b＝2a时等号成立).
14.(多选)已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则(　　)
A．a2＋b2≥ B．2a－b＞
C．log2a＋log2b≥－2 D．＋≤
答案：ABD
解析：对于选项A，∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，∴a2＋b2≥，正确；对于选项B，易知0＜a＜1，0＜b＜1，∴－1＜a－b＜1，∴2a－b＞2－1＝，正确；对于选项C，令a＝，b＝，则log2＋log2＝－2＋log2＜－2，错误；对于选项D，∵＝，∴[]2－(＋)2＝a＋b－2＝(－)2≥0，∴＋≤，正确．故选ABD.
15．(多选)已知a，b，c为正实数，则(　　)
A．若a＞b，则＜
B．若a＋b＝1，则＋的最小值为1
C．若a＞b＞c，则＋≥
D．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2的最小值为3
答案：BCD
解析：因为a>b，所以－＝＞0，所以＞，选项A不正确；因为a＋b＝1，所以＋＝＋－(a＋b)≥2b＋2a－(a＋b)＝a＋b＝1，当且仅当a＝b＝时取等号，所以＋的最小值为1，故选项B正确；
因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0，所以(a－c)＝
＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当b－c＝a－b时取等号，所以＋≥，故选项C正确；
因为a2＋b2＋c2＝[(a2＋b2＋c2)＋(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(c2＋a2)]≥(a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca)＝[(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2]＝(a＋b＋c)2＝3，当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立，所以a2＋b2＋c2的最小值为3，故选项D正确．
16．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．
答案：30
解析：一年的总运费为6×＝(万元).
一年的总存储费用为4x万元．
总运费与总存储费用的和为万元．
因为＋4x≥2＝240，当且仅当＝4x，即x＝30时取得等号，
所以当x＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．专练3　不等式的概念及基本性质
授课提示：对应学生用书5页
[基础强化]
一、选择题
1．如果a＜b＜0，那么下列各式一定成立的是(　　)
A．a－b＞0 B．ac＜bc
C．a2＞b2 D．＜
答案：C
解析：∵a＜b＜0，∴a2＞b2.
2．下列不等式中，正确的是(　　)
A．若ac2>bc2，则a>b
B．若a>b，则a＋cC．若a>b，c>d，则ac>bd
D．若a>b，c>d，则>
答案：A
解析：∵ac2>bc2，c2>0，∴a>b.A正确．
3．使得a＞b＞0成立的一个充分不必要条件是(　　)
A．＞ B．ea＞eb
C．ab＞ba D．ln a＞ln b＞0
答案：D
解析：当a＞b＞0时，＞，ea＞eb成立，即＞，ea＞eb是a>b>0的必要条件，不符合题意，排除A，B.当ab＞ba时，可取a＝1，b＝－1，
但a>b>0不成立，故ab＞ba不是a＞b＞0的充分条件，排除C.函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，当ln a＞ln b＞0时，a＞b＞1＞0；当a＞b＞0时，取a＝，b＝，则ln b＜ln a＜0.综上，ln a＞ln b＞0是a＞b＞0的充分不必要条件．
4．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则(　　)
A．－＞0 B．sin x－sin y＞0
C．－＜0 D．ln x＋ln y＞0
答案：C
解析：方法一　(取特殊值进行验证)因为x＞y＞0，选项A，取x＝1，y＝，则－＝1－2＝－1＜0，排除A；选项B，取x＝π，y＝，则sin x－sin y＝sin π－sin ＝－1＜0，排除B；选项D，取x＝2，y＝，则ln x＋ln y＝ln (xy)＝ln 1＝0，排除D.
方法二　(利用函数的单调性)因为函数y＝在R上单调递减，且x＞y＞0，所以＜，即－＜0.故选C.
5．若a，b∈R，且a>|b|，则(　　)
A．a<－b B．a>b
C．a2
答案：B
解析：可取a＝2，b＝±1逐一验证，B正确．
6．若a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．ac>bc B．ab>bc
C．ab答案：D
解析：∵a>b>c且a＋b＋c＝0
∴a>0，c<0，b不确定
∴ac7．若α，β满足－<α<β<，则2α－β的取值范围是(　　)
A．－π<2α－β<0 B．－π<2α－β<π
C．－<2α－β< D．0<2α－β<π
答案：C
解析：∵－<α<β<，
∴－<α<，－π<α－β<0，
∴－<2α－β<.
8．已知实数a，b，c，满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．c≥b>a B．a>c≥b
C．c>b>a D．a>c>b
答案：A
解析：因为c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，
所以c≥b.
又b＋c＝6－4a＋3a2，
所以2b＝2＋2a2，b＝a2＋1，
所以b－a＝a2－a＋1＝(a－)2＋>0，
所以b>a，
所以c≥b>a.
9．(多选)[2024·山东淄博实验中学检测]若a>b>0，则下列不等式中一定不成立的是(　　)
A．> B．a＋>b＋
C．a＋>b＋ D．>
答案：AD
解析：∵a>b>0，则－＝＝<0，∴>一定不成立；a＋－b－＝(a－b)，当ab>1时，a＋－b－>0，故a＋>b＋可能成立；a＋－b－＝(a－b)>0，故a＋>b＋恒成立；－＝<0，故>一定不成立．故选AD.
二、填空题
10．若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为________．
答案：p≤q
解析：p－q＝(＋)－(a＋b)＝(－a)＋(－b)＝(－)(b2－a2)＝，
又a<0，b<0，所以b＋a<0，ab>0，(b－a)2≥0，
所以(＋)－(a＋b)≤0，所以p≤q.
11．若实数a，b满足0答案：(－1，2)
解析：∵0又∵0∴－112．[2024·山东济南外国语学校检测]已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：①若ab>0，bc－ad>0，则－>0；②若ab>0，－>0，则bc－ad>0；③若bc－ad>0，－>0，则ab>0.其中正确的命题是________．
答案：①②③
解析：对于①，若ab>0，bc－ad>0，不等式两边同时除以ab得－>0，所以①正确；对于②，若ab>0，－>0，不等式两边同时乘以ab得bc－ad>0，所以②正确；对于③，若－>0，当两边同时乘以ab时可得bc－ad>0，所以ab>0，所以③正确．
[能力提升]
13．已知下列四个条件：①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0，能推出＜成立的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案：C
解析：①中，因为b＞0＞a，所以＞0＞，因此①能推出＜成立，所以①正确；②中，因为0＞a＞b，所以ab＞0，所以＞，所以＞，所以②正确；③中，因为a＞0＞b，所以＞0＞，所以＞，所以③不正确；④中，因为a＞b＞0，所以＞，所以＞，所以④正确．故选C.
14．(多选)若a＜b＜－1，c＞0，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．a－＞b－ B．a－＜b－
C．ln (b－a)＞0 D．()c＞()c
答案：BD
解析：利用取特殊值法，令a＝－3，b＝－2，代入各选项，验证可得正确的选项为BD.
15．已知有三个条件：①ac2>bc2；②>；③a2>b2，其中能成为a>b的充分条件是________．(填序号)
答案：①
解析：①由ac2>bc2可知c2>0，即a>b，故“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件；②当c<0时，ab的充分条件．
16．已知2b答案：(－1，2)
解析：∵2b∴<0，
∴－<<，即－1<<2.专练32　数列求和
授课提示：对应学生用书67页
[基础强化]
一、选择题
1．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为(　　)
A．2n＋n2－1　　　　　B．2n＋1＋n2－1
C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2
答案：C
解析：Sn＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋3＋5＋…＋2n－1)＝＋＝2n＋1－2＋n2.
2．等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝(　　)
A．n(n＋1) B．n(n－1)
C． D．
答案：A
解析：∵a2，a4，a8成等比数列，∴a＝a2a8，
∴(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，得a1＝d＝2，
∴Sn＝na1＋d＝n(n＋1).
3．数列1，，，…，，…的前n项和为(　　)
A． B．
C． D．
答案：B
解析：∵＝＝2，
∴Sn＝2
＝2＝.
4．数列的前2 018项的和为(　　)
A．＋1 B．－1
C．＋1 D．－1
答案：D
解析：∵＝－，
∴S2 018＝－1＋－＋…＋－＝－1．
5．已知数列{an}满足an＋1＋(－1)n＋1an＝2，则其前100项和为(　　)
A．250 B．200
C．150 D．100
答案：D
解析：当n＝2k－1时，a2k＋a2k－1＝2，∴{an}的前100项和S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)＝50×2＝100，故选D.
6．已知数列{an}满足：an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，a1＝1，a2＝2，Sn为数列{an}的前n项和，则S2 018＝(　　)
A．3 B．2
C．1 D．0
答案：A
解析：∵an＋1＝an－an－1，a1＝1，a2＝2，
∴a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1，a8＝2，…，故数列{an}是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0，故S2 018＝336×0＋a2 017＋a2 018＝a1＋a2＝3.故选A.
7．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，令bn＝，则数列{bn}的前n项和Tn为(　　)
A．
B．－
C．
D．－
答案：B
解析：因为a1＋a2＋…＋an＝＝n(n＋2)，所以bn＝＝，故Tn＝＝－，故选B.
8．已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝则数列{an}的前20项和为(　　)
A．1 121 B．1 122
C．1 123 D．1 124
答案：C
解析：由题意可知，数列{a2n}是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a2n－1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{an}的前20项和为＋10×1＋×2＝1 123.选C.
9．(多选)[2024·河北省六校联考]等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1＞0，S10＝S20，则(　　)
A．公差d＜0
B．a16＜0
C．Sn≤S15
D．当且仅当Sn＜0时n≥32
答案：ABC
解析：因为 S10＝S20，所以a11＋a12＋…＋a19＋a20＝5(a15＋a16)＝0，又a1＞0，所以a15＞0，a16＜0，所以d＜0，Sn≤S15，故ABC正确；因为S31＝＝31a16＜0，故D错误．故选ABC.
二、填空题
10．设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＋a3＋a11＝6，则S9＝________．
答案：18
解析：设等差数列{an}的公差为d.∵a1＋a3＋a11＝6，
∴3a1＋12d＝6，即a1＋4d＝2，∴a5＝2，∴S9＝＝＝18.
11．设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列的前10项的和为________．
答案：
解析：∵an＋1－an＝n＋1，∴当n≥2时，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n，
∴an－a1＝，∴an＝1＋＝(n≥2)
又当n＝1时a1＝1符合上式，
∴an＝
∴＝＝2，
∴S10＝2＝2＝.
12．[2024·黑龙江省牡丹江市第二高级中学段考]若i是虚数单位，则i＋2i2＋3i3＋…＋2 023i2 023＝________．
答案：－1 012－1 012i
解析：设S＝i＋2i2＋3i3＋…＋2 023i2 023，则iS＝i2＋2i3＋3i4＋…＋2 023i2 024，两式相减得(1－i)S＝i＋i2＋i3＋…＋i2 023－2 023i2 024＝－2 023i2 024＝－2 023＝－1－2 023＝－2 024，故S＝＝＝－1 012－1 012i.
[能力提升]
13．已知数列{an}满足2an＝an＋1＋an－1(n≥2，n∈N)，且a1＝1，a5＝9，bn＝C·an，则数列{bn}的前100项的和为(　　)
A．100×299 B．100×2100
C．50×299 D．50×2101
答案：A
解析：由2an＝an＋1＋an－1知{an}为等差数列，又a1＝1，a5＝a1＋4d，∴d＝2，｀∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，
∴{bn}的前100项的和S100满足：
S100＝Ca1＋Ca2＋…＋Ca100，
∴S100＝Ca100＋Ca99＋…＋Ca1＝Ca100＋Ca99＋…＋Ca1，
∴2S100＝(a1＋a100)(C＋C＋C＋…＋C)＝200×299，
∴S100＝100×299.
14．已知数列{an}满足2a1＋22a2＋…＋2nan＝n(n∈N*)，数列的前n项和为Sn，则S1·S2·S3·…·S10＝(　　)
A． B．
C． D．
答案：C
解析：∵2a1＋22a2＋…＋2nan＝n(n∈N*)，
∴2a1＋22a2＋…＋2n－1an－1＝n－1(n≥2)，
∴2nan＝1(n≥2)，当n＝1时也满足，故an＝，故＝＝＝－，Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，
∴S1·S2·S3·…·S10＝×××…××＝，选C.
15．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________．
答案：－
解析：∵an＋1＝SnSn＋1＝Sn＋1－Sn，
∴－＝－1，
∴数列为等差数列，
∴＝＋(n－1)×(－1)＝－n.
∴Sn＝－.
16．把一个等腰直角三角形对折一次后再展开得到的图形如图所示，则图中等腰直角三角形(折痕所在的线段也可作为三角形的边)有3个，分别为△ABC，△ABD，△ACD，若连续对折n次后再全部展开，得到的图形中等腰直角三角形(折痕所在的线段也可作为三角形的边)的个数记为an，则a4＝________，数列{an}的前n项和为________．
答案：31　2n＋2－4－n
解析：由题意得a1＝22－1，a2＝23－1，a3＝24－1，a4＝25－1＝31，所以an＝2n＋1－1，则数列{an}的前n项和为22－1＋23－1＋24－1＋…＋2n＋1－1＝22＋23＋24＋…＋2n＋1－n＝－n＝2n＋2－4－n.专练6　函数及其表示
授课提示：对应学生用书11页
[基础强化]
一、选择题
1．下列各组函数中，表示同一函数的是(　　)
A．f(x)＝|x|，g(x)＝
B．f(x)＝，g(x)＝()2
C．f(x)＝，g(x)＝x＋1
D．f(x)＝·，g(x)＝
答案：A
2．已知函数f(＋1)＝x＋1，则函数f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝x2
B．f(x)＝x2＋1(x≥1)
C．f(x)＝x2－2x＋2(x≥1)
D．f(x)＝x2－2x(x≥1)
答案：C
解析：设＋1＝t，则x＝(t－1)2(t≥1)，
∴f(t)＝(t－1)2＋1＝t2－2t＋2，
∴f(x)＝x2－2x＋2(x≥1).
3．学生宿舍与办公室相距a m，某同学有重要材料要送给老师，从学生宿舍出发先匀速跑步3 min来到办公室，停留2 min，然后匀速步行10 min返回宿舍．在这个过程中，这位同学行走的路程s是关于时间t的函数，则这个函数的图象是(　　)
答案：A
4．若函数y＝f(x)的定义域为[1，2 019]，则函数g(x)＝的定义域为(　　)
A．[0，2 018] B．[0，1)∪(1，2 018]
C．(1，2 018] D．[－1，1)∪(1，2 018]
答案：B
解析：由题意得
得0≤x≤2 018且x≠1.
5．已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝x＋2，则函数f(x)＝(　　)
A．x＋1 B．2x－1
C．－x＋1 D．x＋1或－x－1
答案：A
解析：设f(x)＝ax＋b，由f(f(x))＝x＋2知，a(ax＋b)＋b＝x＋2，得
得∴f(x)＝x＋1.
6．如图所表示的函数解析式为(　　)
A.y＝|x－1|，0≤x≤2
B．y＝－|x－1|，0≤x≤2
C．y＝－|x－1|，0≤x≤2
D．y＝1－|x－1|，0≤x≤2
答案：B
解析：当x∈[0，1]时，f(x)＝x；
当1≤x≤2时，设f(x)＝kx＋b，
由题意得：得
∴当x∈[1，2]时，f(x)＝－x＋3.
结合选项知选B.
7．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于(　　)
A．－4　　B．－1 C．1　　D．4
答案：A
解析：f(1)＝2×1＝2，据此结合题意分类讨论：
当a>0时，2a＋2＝0，解得a＝－1，舍去；
当a≤0时，a＋2＋2＝0，解得a＝－4，满足题意．故选A.
8．已知函数f(x)＝－x2＋4x，x∈[m，5]的值域是[－5，4]，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1) B．(－1，2]
C．[－1，2] D．[2，5]
答案：C
解析：∵f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，
∴当x＝2时，f(2)＝4，由f(x)＝－x2＋4x＝－5，得x＝5或x＝－1，∴要使函数在[m，5]的值域是[－5，4]，则－1≤m≤2.
9．(多选)下列函数中，满足f(2x)＝2f(x)的是(　　)
A.f(x)＝|x| B．f(x)＝x＋1
C．f(x)＝－x D．f(x)＝x－|x|
答案：ACD
解析：A项中，f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)，满足条件；B项中，f(2x)＝2x＋1，2f(x)＝2x＋2，f(2x)≠2f(x)，不满足条件；C项中，f(2x)＝－2x＝2f(x)，满足条件；
D项中，f(2x)＝2x－|2x|＝2x－2|x|＝2f(x)，满足条件．故选ACD.
二、填空题
10．函数f(x)＝的定义域为________.
答案：[2，＋∞)
解析：由log2x－1≥0得log2x≥1，x≥2.
11．已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝________.
答案：－
解析：当a≤1时，f(a)＝2a－2＝－3无解；
当a>1时，由f(a)＝－log2(a＋1)＝－3，
得a＋1＝8，a＝7，
∴f(6－a)＝f(－1)＝2－1－2＝－.
12．若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是________．
答案：[0，3)
解析：由题意得ax2＋2ax＋3＝0无实数解，即y＝ax2＋2ax＋3与x轴无交点，当a＝0时y＝3符合题意；当a≠0时，Δ＝4a2－12a<0，得0[能力提升]
13．(多选)[2024·山东潍坊期中]已知函数f(x)＝其中a∈R，下列关于函数f(x)的判断正确的为(　　)
A．当a＝2时，f＝4
B．当|a|＜1时，函数f(x)的值域为[－2，2]
C．当a＝2且x∈[n－1，n](n∈N*)时，f(x)＝2n－1
D．当a＞0时，不等式f(x)≤2ax－在[0，＋∞)上恒成立
答案：AC
解析：对于A选项，当a＝2时，f＝2f＝2＝4，故A选项正确；
对于B选项，由于当0≤x≤1时，函数的值域为[0，2]，所以当x∈(m，m＋1]，m∈N*时，f(x)＝amf(x－m)，由于x－m∈(0，1]，所以f(x－m)∈[0，2]，因为|a|＜1，所以am∈(－1，1)，所以当x∈(m，m＋1]，m∈N*时，f(x)∈(－2，2)，综上，当|a|＜1时，函数f(x)的值域为(－2，2]，故B选项错误；
对于C选项，由B选项得当x∈(m，m＋1]，m∈N*时，f(x)＝amf(x－m)，故当a＝2且x∈[n－1，n](n∈N*)时，f(x)＝2n－1f(x－n＋1)＝2n－1·＝2n－1＝2n－1·，故C选项正确；
对于D选项，取a＝，x＝，则f＝2－4×＝1，2ax－＝2×＝2×＝2×(2－8)＝2×2－2＝，不满足f(x)≤2ax－，故D选项错误．
14．已知函数f(x)的定义域为(0，1)，g(x)＝f(x＋c)＋f(x－c)，当0答案：(c，1－c)
解析：要使函数式有意义，需即因为015．设函数f(x)＝若f(f(a))＝－，则实数a＝________．
答案：4或－
解析：若f(a)≥0，则f(a)＝1，此时只能是a>0，于是a＝4；若f(a)<0，则f(a)＝－2，此时只能是a<0，于是a＝－(若a>0，由－1＝－2，解得a＝－2不满足题意).
16．函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝ 则f(f(15))的值为________．
答案：
解析：由函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，可知函数f(x)的周期是4，所以f(15)＝f(－1)＝＝，所以f(f(15))＝f＝cos ＝．专练52　离散型随机变量及其分布列、均值与方差
授课提示：对应学生用书109页
[基础强化]
一、选择题
1．设随机变量X的分布列如下：
X 1 2 3 4
P p
则p为(　　)
A． B．
C． D．
答案：B
解析：由分布列的性质可知＋＋＋p＝1.
∴p＝.
2．随机变量ξ的分布列如下：
ξ －1 0 1
P a b c
其中a，b，c成等差数列，则P(|ξ|＝1)等于(　　)
A． B．
C． D．
答案：D
解析：∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b，由分布列的性质可知a＋b＋c＝1，∴b＝，
∴P(|ξ|＝1)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)＝1－＝.
3．已知X是离散型随机变量，P(X＝1)＝，P(X＝a)＝，E(X)＝，则D(2X－1)＝(　　)
A． B．
C． D．
答案：B
解析：由题意知：1×＋a×＝，∴a＝2.
∴D(2X－1)＝4D(X)＝4[(1－)2×＋(2－)2×]＝.故选B.
4．设随机变量ξ的分布列为P＝ak(k＝1，2，3，4，5)，则P等于(　　)
A． B．
C． D．
答案：C
解析：由题意知，分布列为
ξ 1
P a 2a 3a 4a 5a
由分布列的性质可得，a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得a＝.
所以P＝P＋P＋P＝＋＋＝，故选C.
5．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝m，k＝1，2，3，则m的值是(　　)
A. B．
C. D．
答案：B
解析：由题意得，m＝1，∴m＝.
6．一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球，从中任意摸出两个球，用0表示两个球都是白球，用1表示两个球不全是白球，则满足条件X的分布列为(　　)
答案：A
解析：由题可知P(X＝0)＝＝＝，
P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝1－＝.
7．已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1，2，3)，则P(X＝2)＝(　　)
A． B．
C． D．
答案：C
解析：由分布列的性质可知，＋＋＝＝1，得a＝3，P(X＝2)＝＝.
8．节日期间，某种鲜花进货价是每束25元，销售价为每束50元；节日卖不出去的鲜花以每束16元的价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X服从如表所示的分布：
X 200 300 400 500
P 0.20 0.35 0.30 0.15
若购进这种鲜花500束，则利润的均值为(　　)
A.7 060元 B．6 900元
C.7 540元 D．7 200元
答案：A
解析：E(X)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340，∴利润为(340×50＋160×16)－500×25＝7 060.故选A.
9．[2024·山东潍坊模拟]已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到三次结束为止．某考生一次发球成功的概率为p(01.75，则p的取值范围为(　　)
A. B．
C. D．
答案：A
解析：由题可知P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，则E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2>1.75，解得p>或p<.由p∈(0，1)，得p∈.故选A.
二、填空题
10．已知离散型随机变量X的分布列如下：
X 0 1
P 9C2－C 3－8C
则常数C＝________．
答案：
解析：由9C2－C＋3－8C＝1，得C＝或C＝，
又当C＝时，9C2－C＝9×－>1，不合题意，当C＝时符合题意．∴C＝.
11．设随机变量X的概率分布列为
X 1 2 3 4
P m
则P(|X－3|＝1)＝________．
答案：
解析：由分布列的性质知＋m＋＋＝1，得m＝.
P(|X－3|＝1)＝P(X＝4)＋P(X＝2)＝＋＝.
12．[2024·山东德州模拟]随机变量X的取值为0，1，2，P(X＝0)＝0.2，D(X)＝0.4，则E(X)＝________．
答案：1
解析：∵随机变量X的取值为0，1，2，P(X＝0)＝0.2，D(X)＝0.4，
∴设P(X＝1)＝a，则P(X＝2)＝0.8－a，0≤a≤0.8.
则E(X)＝0×0.2＋a＋2(0.8－a)＝1.6－a.
又D(X)＝(a－1.6)2×0.2＋(a－0.6)2a＋(a＋0.4)2(0.8－a)＝0.4，
整理得a2－0.2a－0.24＝0，解得a＝0.6或a＝－0.4(舍)，
∴E(X)＝1.6－0.6＝1.
[能力提升]
13．设0X 0 a 1
P
则当a在(0，1)内增大时(　　)
A.D(X)增大
B.D(X)减小
C.D(X)先增大后减小
D.D(X)先减小后增大
答案：D
解析：由题意可得，E(X)＝(a＋1)，所以D(X)＝＋＋＝＝，所以当a在(0，1)内增大时，D(X)先减小后增大．故选D.
14．(多选)[2024·山东聊城模拟]随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P a
其中ab≠0，则下列说法正确的是(　　)
A.a＋b＝1
B.E(ξ)＝
C.D(ξ)随b的增大而减小
D.D(ξ)有最大值
答案：ABD
解析：根据分布列的性质得a＋＋＝1，即a＋b＝1，故A正确；根据数学期望公式得E(ξ)＝0×a＋1×＋2×＝，故B正确；根据方差公式得D(ξ)＝×a＋×＋×＝－b2＋b＝－＋，因为015．甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为：
X 0 1 2 3
P 0.4 0.3 0.2 0.1
Y 0 1 2
P 0.3 0.5 0.2
若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________．
答案：乙
解析：E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，
E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9.
因为E(Y)16．设随机变量ξ的分布列如表所示，
ξ 1 2 3 4 5 6
P a1 a2 a3 a4 a5 a6
其中a1，a2，…，a6构成等差数列，则a1·a6的最大值为________．
答案：
解析：方法一　因为a1，a2，…，a6构成等差数列，且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝1，所以a1＋a6＝a2＋a5＝a3＋a4＝，即a6＝－a1，
a1∈[0，]，所以a1·a6＝a1(－a1)＝－a＋a1＝－(a1－)2＋，a1∈[0，]，所以当a1＝时，a1·a6取得最大值.
方法二　因为a1，a2，a3，a4，a5，a6成等差数列，且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝1，所以a1＋a6＝a2＋a5＝a3＋a4＝，且a1，a6≥0，所以a1a6≤()2＝，当且仅当a1＝a6＝时取等号，所以a1a6的最大值为.专练25　平面向量的数量积及其应用
授课提示：对应学生用书51页
[基础强化]
一、选择题
1．[2024·新课标Ⅰ卷]已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(　　)
A．－2　　　B．－1　　　C．1　　　D．2
答案：D
解析：由题意知b－4a＝(2，x)－4(0，1)＝(2，x－4)，又b⊥(b－4a)，所以2×2＋x(x－4)＝0，即x2－4x＋4＝0，解得x＝2，故选D.
2．已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则＝(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案：D
解析：由题意可得a－b＝－＝，所以＝ ＝5.故选D.
3．已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝(　　)
A．－3 B．－2
C．2 D．3
答案：C
解析：因为＝－＝(1，t－3)，所以||＝＝1，解得t＝3，所以＝(1，0)，所以·＝2×1＋3×0＝2，故选C.
4．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　)
A．4 B．3 C．2 D．0
答案：B
解析：a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3.
5．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝(　　)
A．－2　　　 B．－1 C．1　　　　D．2
答案：C
解析：将|a－2b|＝3两边平行，得a2－4a·b＋4b2＝9.因为|a|＝1，|b|＝，所以1－4a·b＋12＝9，解得a·b＝1.故选C.
6．[2023·新课标Ⅰ卷]已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1).若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(　　)
A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1
C．λμ＝1 D．λμ＝－1
答案：D
解析：因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，因为(a＋λb)⊥(a＋μb)，所以(a＋λb)·(a＋μb)＝0，所以(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.故选D.
7．已知x>0，y>0，a＝(x，1)，b＝(1，y－1)，若a⊥b，则＋的最小值为(　　)
A．4 B．9 D．8 D．10
答案：B
解析：依题意，得a·b＝x＋y－1＝0 x＋y＝1.＋＝＋＝5＋＋≥9，当且仅当x＝，y＝时取等号．故选B.
8．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　)
A． B． C． D．
答案：B
解析：设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cos α＝|b|2，又|a|＝2|b|，∴cos α＝，∵α∈(0，π)，∴α＝.故选B.
9．已知向量||＝2，||＝4，·＝4，则以，为一组邻边的平行四边形的面积为(　　)
A．4 B．2 C．4 D．2
答案：A
解析：因为cos ∠AOB＝＝＝，所以∠AOB＝60°，sin ∠AOB＝，则所求平行四边形的面积为||·||·sin ∠AOB＝4，故选A.
二、填空题
10．已知|a|＝，|b|＝1，a与b的夹角为45°，若tb－a与a垂直，则实数t＝________．
答案：2
解析：由已知可得a·b＝1××＝1.因为tb－a与a垂直，所以(tb－a)·a＝0，得ta·b－a2＝0，即t－2＝0，故t＝2.
11．[2023·新课标Ⅱ卷]已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________．
答案：
解析：由|a－b|＝，得a2－2a·b＋b2＝3，即2a·b＝a2＋b2－3　①.由|a＋b|＝|2a－b|，得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得，3a2－6a·b＝0，结合①，得3a2－3(a2＋b2－3)＝0，整理得，b2＝3，所以|b|＝.
12．[2022·全国甲卷(理)，13]设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________．
答案：11
解析：因为cos 〈a，b〉＝，|a|＝1，|b|＝3，所以a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝1×3×＝1，所以(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2×1＋32＝11.
[能力提升]
13．[2024·新课标Ⅱ卷]已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　　)
A． B．
C． D．1
答案：B
解析：因为(b－2a)⊥b，所以b·b－2a·b＝0，即b2＝2a·b.又|a＋2b|＝2，所以(|a＋2b|)2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝a2＋2b2＋4b2＝1＋6|b|2＝4，解得|b|2＝，|b|＝，故选B.
14．(多选)[2024·山东省临沂质量检测]在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况(如图).假设行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为F1，F2，若|F1|＝|F2|且F1与F2的夹角为θ，则以下结论正确的是(　　)
A.|F1|的最小值为|G|
B．θ的范围为[0，π]
C．当θ＝时，|F1|＝|G|
D．当θ＝时，|F1|＝|G|
答案：ACD
解析：由题意知，F1＋F2＋G＝0，可得F1＋F2＝－G，两边同时平方得|G|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cos θ＝2|F1|2＋2|F1|2cos θ，所以|F1|2＝.当θ＝0时，|F1|min＝|G|；当θ＝时，|F1|＝|G|；当θ＝时，|F1|＝|G|，故ACD正确．当θ＝π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B错．
15．已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若＝，则·的最大值为(　　)
A． B．
C．1＋ D．2＋
答案：A
解析：方法一　连接OA，由题可知|OA|＝1，OA⊥PA，因为|OP|＝，所以由勾股定理可得|PA|＝1，则∠POA＝.设直线OP绕点P按逆时针旋转θ后与直线PD重合，则－<θ<，∠APD＝＋θ，且|PD|＝cos θ.
所以·＝||||cos (＋θ)＝cos θcos (＋θ)＝cos θ(cos θ－sin θ)＝cos2θ－sinθcos θ＝＋cos 2θ－sin 2θ＝＋cos (2θ＋)≤＋，故选A.
方法二　以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系，设圆O：x2＋y2＝1，点P(，0)，因为|OA|＝1，且OA⊥PA，所以∠POA＝，不妨设A(，).
设直线PD的方程为y＝k(x－)，B(x1，y1)，C(x2，y2)，由，得(k2＋1)x2－2k2x＋2k2－1＝0，由Δ＝8k4－4(k2＋1)(2k2－1)＝4－4k2>0，解得－1于是＝(－，)，＝(－，－)，所以·＝.设t＝1－k，则016．已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cos β＝________．
答案：
解析：a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9e－9e1·e2＋2e＝11－9×＝8，
又|a|＝＝＝3，
|b|＝＝＝＝2，
∴cos β＝＝＝.专练40　高考大题专练(四)　立体几何的综合运用
授课提示：对应学生用书85页
1．[2023·新课标Ⅰ卷]如图，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3.
(1)证明：B2C2∥A2D2；
(2)点P在棱BB1上，当二面角P A2C2 D2为150°时，求B2P.
方法二　以点C为坐标原点，CD，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B2(0，2，2)，C2(0，0，3)，A2(2，2，1)，D2(2，0，2)，
所以＝(0，－2，1)，＝(0，－2，1)，
所以＝，所以B2C2∥A2D2.
(2)建立空间直角坐标系，建系方法同(1)中方法二，设BP＝n(0≤n≤4)，则P(0，2，n)，
所以＝(2，0，1－n)，＝(0，－2，3－n)，
设平面PA2C2的法向量为a＝(x1，y1，z1)，
，
令x1＝n－1，得a＝(n－1，3－n，2).
设平面A2C2D2的法向量为b＝(x2，y2，z2)，
由(1)方法二知，＝(－2，－2，2)，＝(0，－2，1)，
则，
令y2＝1，得b＝(1，1，2).
所以|cos 150°|＝|cos 〈a，b〉|＝
＝，
整理得n2－4n＋3＝0，解得n＝1或n＝3，
所以BP＝1或BP＝3，
所以B2P＝1.
2．[2023·新课标Ⅱ卷]如图，三棱锥A BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点．
(1)证明：BC⊥DA；
(2)点F满足＝，求二面角D AB F的正弦值．
解析：(1)如图，连接DE，AE，
因为DC＝DB，且E为BC的中点，
所以DE⊥BC.
因为∠ADB＝∠ADC＝60°，DA＝DA，DC＝DB，
所以△ADB≌△ADC(SAS).
可得AC＝AB，故AE⊥BC.
因为DE∩AE＝E，DE，AE 平面ADE，所以BC⊥平面ADE.
又DA 平面ADE，所以BC⊥DA.
(2)由(1)知，DE⊥BC，AE⊥BC.
不妨设DA＝DB＝DC＝2，因为∠ADB＝∠ADC＝60°，所以AB＝AC＝2.
由题可知△DBC为等腰直角三角形，故DE＝EB＝EC＝.
因为AE⊥BC，所以AE＝＝.
在△ADE中，AE2＋ED2＝AD2，所以AE⊥ED.
以E为坐标原点，ED所在直线为x轴，EB所在直线为y轴，EA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图，则D(，0，0)，B(0，，0)，A(0，0，)，＝(－，0，)，＝(0，－，).
设F(xF，yF，zF)，因为＝，所以(xF，yF，zF)＝(－，0，)，可得F(－，0，).
所以＝(，0，0).
设平面DAB的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则，即，取x＝1，则y＝z＝1，m＝(1，1，1).
设平面ABF的法向量为n＝(x2，y2，z2)，
则，即，得x＝0，取y＝1，则z＝1，n＝(0，1，1).
所以cos 〈m，n〉＝＝＝.
记二面角D AB F的大小为θ，则sin θ＝＝＝，
故二面角D AB F的正弦值为.
3．[2024·九省联考]如图，平行六面体ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，AA1＝2，∠C1CB＝∠C1CD，∠C1CO＝45°.
(1)证明：C1O⊥平面ABCD；
(2)求二面角B AA1 D的正弦值．
解析：(1)证明：连接BC1，DC1，
因为底面ABCD是边长为2的正方形，所以BC＝DC，
又因为∠C1CB＝∠C1CD，CC1＝CC1，
所以△C1CB≌△C1CD，所以BC1＝DC1，
点O为线段BD中点，所以C1O⊥BD，
在△C1CO中，CC1＝2，CO＝AC＝，∠C1CO＝45°，
所以cos∠C1CO＝＝ C1O＝，
则C1C2＝OC2＋C1O2 C1O⊥OC，
又OC∩BD＝O，OC 平面ABCD，BD 平面ABCD，
所以C1O⊥平面ABCD.
(2)由题知正方形ABCD中AC⊥BD，C1O⊥平面ABCD，所以建系如图所示，
则B(0，，0)，D(0，－，0)，A(，0，0)，C(－，0，0)，C1(0，0，)，
则AA1＝CC1＝(，0，)，
＝(－，，0)，＝(－，－，0)，
设平面BAA1的法向量为m＝(x1，y1，z1)，平面DAA1的法向量为n＝(x2，y2，z2)，
则 m＝(1，1，－1)，
n＝(1，－1，－1)，
设二面角B AA1 D大小为θ，
则cos θ＝＝＝ sin θ＝＝，
所以二面角B AA1 D的正弦值为.
4．[2023·全国甲卷(理)]如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距离为1.
(1)证明：A1C＝AC；
(2)已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值．
解析：(1)如图，过A1作A1D⊥CC1，垂足为D，
∵A1C⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴A1C⊥BC，
又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，
∵A1C，AC 平面ACC1A1，
且A1C∩AC＝C，
∴BC⊥平面ACC1A1，
∴A1D 平面ACC1A1，∴BC⊥A1D，
又CC1，BC 平面BCC1B1，且CC1∩BC＝C，∴A1D⊥平面BCC1B1，
∴A1D＝1.
由已知条件易证△CA1C1是直角三角形，又CC1＝AA1＝2，A1D＝1，
∴D为CC1的中点，又A1D⊥CC1，
∴A1C＝A1C1，
又在三棱柱ABC A1B1C1中，AC＝A1C1，
∴A1C＝AC.
(2)如图，连接A1B，由(1)易证A1B＝A1B1，故取BB1的中点F，连接A1F，
∵AA1与BB1的距离为2，∴A1F＝2，
又A1D＝1且A1C＝AC，
∴A1C＝A1C1＝AC＝，AB＝A1B1＝，BC＝.
建立空间直角坐标系C xyz如图所示，
则C(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，，0)，B1(－，，)，C1(－，0，)，
∴＝(0，，0)，＝(－，0，)，＝(－2，，)，
设平面BCC1B1的法向量为n＝(x，y，z)，
∴平面BCC1B1的一个法向量为n＝(1，0，1).
设AB1与平面BCC1B1所成角为θ，
∴AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为．
5.[2024·新课标Ⅱ卷]
如图，平面四边形ABCD中，AB＝8，CD＝3，AD＝5，∠ADC＝90°，∠BAD＝30°，点E，F满足＝，＝，将△AEF沿EF翻折至△PEF，使得PC＝4.
(1)证明：EF⊥PD；
(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．
解析：(1)证明：∵AD＝5，AB＝8，＝，＝，
∴AE＝2，AF＝4.
在△AEF中，由余弦定理得
EF2＝AF2＋AE2－2AF·AE·cos A＝16＋12－2×4×2×＝4，
则EF＝2，
∴在△AEF中，EF2＋AE2＝AF2，
∴EF⊥AE.
又∵△AEF沿EF翻折至△PEF，
∴EF⊥PE.
又∵AE∩PE＝E，AE，PE 平面PED，
∴EF⊥平面PED.
又∵PD 平面PED，
∴EF⊥PD.
(2)由(1)知EF⊥AE，
又∵CD⊥AD，∴CD∥EF.
∵EF⊥平面PED，∴CD⊥平面PED.
又∵PD 平面PED，∴CD⊥PD.
在Rt△PCD中，PD＝＝.
又∵ED＝AD－AE＝3，∴PE2＋ED2＝PD2，
∴PE⊥ED.
∴以E为原点，EF，ED，EP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则P(0，0，2)，F(2，0，0)，D(0，3，0)，B(4，2，0)，C(3，3，0)，
∴＝(－2，0，2)，＝(－4，－2，2)，＝(－3，0，0)，＝(0，－3，2).
设平面PBF的法向量为n＝(x1，y1，z1)，
则即
令z1＝1，则n＝(，－1，1).
设平面PCD的法向量为m＝(x2，y2，z2)，
则即
令z2＝3，则m＝(0，2，3).
设平面PCD与平面PBF所成的二面角的平面角为θ，
则|cos θ|＝|cos 〈n，m〉|＝＝，
∴sin θ＝＝.
6.
[2024·新课标Ⅰ卷]如图，四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AC＝2，BC＝1，AB＝.
(1)若AD⊥PB，证明：AD∥平面PBC；
(2)若AD⊥DC，且二面角A CP D的正弦值为，求AD.
解析：(1)证明：由BC＝1，AB＝，AC＝2可得，
AC2＝AB2＋BC2，∴AB⊥BC.
又PA⊥底面ABCD，BC 底面ABCD，
∴BC⊥PA.
又AB∩PA＝A，AB，PA 平面PAB，
∴BC⊥平面PAB.
∵PA⊥底面ABCD，AD 底面ABCD，
∴AD⊥PA.
又AD⊥PB，且PB∩PA＝P，PB，PA 平面PAB，
∴AD⊥平面PAB，∴AD∥BC，
又BC 平面PBC，AD 平面PBC，∴AD∥平面PBC.
(2)
以D为坐标原点，DA，DC所在直线分别为x，y轴，过点D且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，
设A(x，0，0)(0则＝(－x，，0)，＝(0，0，2)，＝(0，，0)，＝(x，0，2).
设平面ACP的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则
即令y1＝x，
则x1＝，∴n1＝(，x，0).
设平面CPD的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则即令z2＝x，则x2＝－2，
∴n2＝(－2，0，x).
设二面角A CP D的平面角为θ，
则|cos θ|＝＝＝，则sin2θ＝1－cos2θ＝1－＝()2，
解得x＝(负值舍去).
即AD的长为.
7．[2024·全国甲卷(理)]
如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，EF∥AD，BC∥AD，AD＝4，AB＝BC＝EF＝2，ED＝，FB＝2，M为AD的中点．
(1)证明：BM∥平面CDE；
(2)求二面角F BM E的正弦值．
解析：(1)证明：由BC＝2，AD＝4，点M为AD的中点得BC＝DM.
又BC∥MD，所以四边形BCDM为平行四边形，则BM∥CD.
又CD 平面CDE，BM 平面CDE，所以BM∥平面CDE．
(2)由(1)知BM＝CD，又CD＝AB，所以BM＝AB＝2，
同理易知AF＝FM＝ED＝.
取AM的中点O，连接OB，OF，则OF⊥AM，OB⊥AM，OF＝3，OB＝，又BF＝2，所以BF2＝OF2＋OB2，则OB⊥OF，
以O为坐标原点，OB，OD，OF所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则F(0，0，3)，B(，0，0)，M(0，1，0，)，E(0，2，3)，所以＝(，0，－3)，＝(－，1，0)，＝(0，1，3).
设平面FBM的法向量为m＝(x1，y1，z1)，由
取z1＝1，可得x1＝，y1＝3，则m＝(，3，1).
同理可取平面BME的一个法向量为n＝(，3，－1)，
所以cos 〈m，n〉＝＝，所以sin 〈m，n〉＝＝，即二面角F BM E的正弦值为.
8.
[2022·新高考Ⅰ卷，19]如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为2.
(1)求A到平面A1BC的距离；
(2)设D到A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A－BD－C的正弦值．
解析：(1)设点A到平面A1BC的距离为h.
∵V三棱锥A1－ABC＝V三棱锥A－A1BC
＝V三棱柱ABC－A1B1C1＝，
∴·S△A1BC·h＝×4.
又∵S△A1BC＝2，∴h＝.
∴点A到平面A1BC的距离为.
(2)方法一　如图①，取A1B的中点E，连接AE.
由AA1＝AB，AA1⊥AB，得AE⊥A1B且AE＝A1B.
∵平面A1BC⊥平面ABB1A1，
平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，AE 平面ABB1A1，
∴AE⊥平面A1BC，∴AE＝h＝，AE⊥BC，
∴A1B＝2，∴AA1＝AB＝2.
由V三棱柱ABC－A1B1C1＝4，AA1＝2，得2S△ABC＝4，
∴S△ABC＝2.
易知AA1⊥BC，AE⊥BC，A1E∩AA1＝A，
∴BC⊥平面A1AB，∴BC⊥AB，∴BC＝2.
过点A作AF⊥BD于点F，连接EF，
易得∠EFA即为二面角A－BD－C的平面角的补角．
易得AC＝＝2，
则A1C＝＝2.
∵A1B⊥CB，D为A1C的中点，∴BD＝A1C＝.
易知AD＝BD＝A1C＝，∴△ABD为等腰三角形，
∴AF·BD＝AB·＝2，
则AF＝，
∴sin ∠AFE＝＝＝，
∴二面角A－BD－C的正弦值为.
方法二　如图②，取A1B的中点E，连接AE.
∵AA1＝AB，∴AE⊥A1B.
∵平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，AE 平面ABB1A1，
∴AE⊥平面A1BC，
∴AE＝h＝，则AA1＝AB＝2.
∵AE⊥平面A1BC，BC 平面A1BC，∴AE⊥BC.
∵A1A⊥BC，AE∩A1A＝A，∴BC⊥平面ABB1A1.
∵AB 平面ABB1A1，∴BC⊥AB.
由V三棱柱ABC－A1B1C1＝S△ABC·A1A＝AB·BC·A1A＝×2×BC×2＝4，解得BC＝2.
以B为坐标原点，分别以BC，BA，BB1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图②的空间直角坐标系．
易得B(0，0，0)，A(0，2，0)，E(0，1，1)，D(1，1，1).
∴＝(0，－1，1)，＝(1，1，1)，＝(0，2，0).
由题意，得平面BDC的法向量为n1＝＝(0，－1，1).
设平面BDA的法向量为n2＝(x，y，z)，
则∴
令x＝1，则y＝0，z＝－1，∴n2＝(1，0，－1)，
∴cos 〈n1，n2〉＝＝＝－.
设二面角A－BD－C的平面角为α(0≤α≤π)，则sin α＝＝，
∴二面角A－BD－C的正弦值为.?专练35　空间点、直线、平面之间的位置关系
授课提示：对应学生用书75页
[基础强化]
一、选择题
1．“点P在直线m上，m在平面α内”可表示为(　　)
A.P∈m，m∈α　　　 B．P∈m，m α
C．P m，m∈α D．P m，m α
答案：B
2．在空间中，可以确定一个平面的条件是(　　)
A．两两相交的三条直线
B．三条直线，其中一条与另两条分别相交
C．三个点
D.三条直线，它们两两相交，但不交于同一点
答案：D
解析：当三条直线相交于同一点时，可以确定一个或三个平面，故A，B错；当三点共线时，不能确定一个平面，故C错，故选D.
3．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面的个数为(　　)
A．4个　　B．3个 C．2个　　D．1个
答案：A
解析：首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，故最多可确定4个平面．
4．若直线l1与l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(　　)
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
答案：D
解析：由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．
5．若P是平面α外一点，则下列命题正确的是(　　)
A．过P只能作一条直线与平面α相交
B．过P可作无数条直线与平面α垂直
C．过P只能作一条直线与平面α平行
D．过P可作无数条直线与平面α平行
答案：D
解析：过平面α外一点P，可以作无数条直线与α相交，但垂直α的只有一条，故A、B、C均错，D正确．
6．如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C l, 直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过(　　)
A．点A B．点B
C．点C但不过点M D．点C和点M
答案：D
解析：∵A、B∈γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，
∴M∈β.根据公理3可知，M在γ与β的交线上．同理可知，点C也在γ与β的交线上．
7．使直线a，b为异面直线的充分不必要条件是(　　)
A．a 平面α，b α，a与b不平行
B．a 平面α，b α，a与b不相交
C．a∥直线c，b∩c＝A，b与a不相交
D．a 平面α，b 平面β，α∩β＝l，a与b无公共点
答案：C
解析：对A，a与b可能有交点，对于B、D，a与b可能平行，C显然正确．
8．如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则(　　)
A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
答案：B
解析：
如图，取CD的中点O，连接ON，EO，因为△ECD为正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD.设正方形ABCD的边长为2，则EO＝，ON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.过M作CD的垂线，垂足为P，连接BP，则MP＝，CP＝，所以BM2＝MP2＋BP2＝()2＋()2＋22＝7，得BM＝，所以BM≠EN.连接BD，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线，选B.
9．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(　　)
A.α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
答案：B
解析：对于A，α内有无数条直线与β平行，当这无数条直线互相平行时，α与β可能相交，所以A不正确；对于B，根据两平面平行的判定定理与性质知，B正确；对于C，平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C不正确；对于D，垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的，所以D不正确．综上可知选B.
10.
(多选)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别是DE，BE，EF，EC的中点，则下列结论正确的是(　　)
A．DE与MN平行
B．BD与MN为异面直线
C．GH与MN成60°角
D．DE与MN垂直
答案：BCD
解析：
将正四面体的平面展开图复原为正四面体A(B，C)DEF，如图．由正四面体的结构特征知A错误，B正确．对于C，依题意，GH∥AD，MN∥AF，∠DAF＝60°，故GH与MN成60°角，故C正确．对于D，连接GF，AG，点A在平面DEF上的射影A1在GF上，∴DE⊥平面AGF，∴DE⊥AF，而AF∥MN，∴DE与MN垂直，故D正确．
二、填空题
11．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有________条．
答案：5
解析：与AB和CC1都相交的棱为BC，与AB相交且与CC1平行的棱为AA1，BB1，与AB平行且与CC1相交的有CD，C1D1，故符合条件的棱有5条．
12．在所有棱长都相等的三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下列四个命题：
(1)BC∥平面PDF；
(2)DF∥平面PAE；
(3)平面PDF⊥平面ABC；
(4)平面PDF⊥平面PAE.其中正确命题的序号为________．
答案：(1)(4)
解析：
如图所示，记DF交AE于点M，连接PM.
(1)∵D，F分别为AB，AC的中点，
∴DF∥BC.
∵DF 平面PDF，BC 平面PDF，
∴BC∥平面PDF，(1)正确．
(2)∵DF∩AE ＝M，AE 平面PAE，
∴DF∩平面PAE＝M，(2)错误．
(3)假设平面PDF⊥平面ABC，
∵AC＝AB，E为BC中点，∴AE⊥BC，又DF∥BC，
∴AE⊥DF.
∵平面PDF∩平面ABC＝DF，AE 平面PDF，∴AE⊥平面PDF.又∵PF 平面PDF，∴PF⊥AE.
∵PA＝PC，F为AC中点，∴PF⊥AC.
∵AC∩AE＝A，∴PF⊥平面ABC.∴PF⊥DF.
∵三棱锥P－ABC的棱长都相等，D，F分别是AB，AC的中点，∴PD＝PF，∴PF与DF不垂直．
故假设不成立，(3)错误．
(4)∵三棱锥P－ABC的所有棱长都相等，∴PF＝PD.
又DM∥BC，M为DF中点，∴DM⊥PM，DM⊥AM.
∵AM，PM 平面PAE，AM∩PM＝M，∴DM⊥平面PAE.
又DM 平面PDF，∴平面PDF⊥平面PAE，(4)正确．专练15　导数的概念及运算
授课提示：对应学生用书29页
[基础强化]
一、选择题
1．若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)＝(　　)
A．2 B．0
C．－2 D．－4
答案：D
解析：∵f(x)＝2xf′(1)＋x2，
∴f′(x)＝2f′(1)＋2x，
∴f′(1)＝2f′(1)＋2，
∴f′(1)＝－2，
∴f(x)＝－4x＋x2，
∴f′(x)＝－4＋2x，
∴f′(0)＝－4.
2．已知函数f(x)＝g(x)＋2x且曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
答案：B
解析：∵曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，∴g′(1)＝2.∵函数f(x)＝g(x)＋2x，∴f′(x)＝g′(x)＋2＝g′(1)＋2，∴f′(1)＝2＋2＝4，即曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为4.故选B.
3．已知曲线y＝aex＋x ln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
答案：D
解析：因为y′＝aex＋ln x＋1，所以当x＝1时，y′＝ae＋1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，所以解得
4．在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)＝(　　)
A．26　　　B．29 C．212　　　D．215
答案：C
解析：∵函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)，
∴f′(x)＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋x[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′，∴f′(0)＝a1a2…a8＝(a1a8)4＝84＝212.
5．设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为(　　)
A．y＝－2x B．y＝－x
C．y＝2x D．y＝x
答案：D
解析：∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，∴a－1＝0，得a＝1，∴f(x)＝x3＋x，∴f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x，故选D.
6．已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为(　　)
A．3　　　B．2 C．1　　　D．
答案：B
解析：令y′＝－＝－，解得x＝－3(舍去)或x＝2.故切点的横坐标为2，故选B.
7．f′(x)是f(x)＝sin x＋a cos x的导函数，且f′＝，则实数a的值为(　　)
A．　　　B． C．　　　D．1
答案：B
解析：∵f′(x)＝cos x－a sin x，∴f′＝－a＝，得a＝.
8．已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与二次曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a等于(　　)
A．－2 B．0
C．1 D．8
答案：D
解析：由y＝x＋ln x，得y′＝1＋，
∴当x＝1时，y′＝2，∴切线方程为y－1＝2(x－1)，
即y＝2x－1，
由
得ax2＋ax＋2＝0，
由题意得得a＝8.
9．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对于任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为(　　)
A．(－1，1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
答案：B
解析：设g(x)＝f(x)－2x－4，
g′(x)＝f′(x)－2，
由题意得g′(x)>0恒成立，
∴g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，
又g(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，
又f(x)>2x＋4等价于g(x)>0，
∴原不等式的解为x>－1.
二、填空题
10．已知物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s＝t3－t，则当t＝2时，该物体的瞬时速度为________．
答案：5
解析：由题知s′＝t2－1，故当t＝2时，该物体的瞬时速度为×22－1＝5.
11．已知函数f(x)＝ex ln x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________．
答案：e
解析：f′(x)＝ex·ln x＋，∴f′(1)＝e.
12．若曲线y＝e－x在点P处的切线与直线2x＋y＋1＝0平行，则点P的坐标是________．
答案：(－ln 2，2)
解析：∵y＝e－x，∴y′＝－e－x，
设P(x0，y0)，由题意得－e－x0＝－2，
∴e－x0＝2，∴－x0＝ln 2，x0＝－ln 2，
∴P(－ln 2，2).
[能力提升]
13．函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(　　)
A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1
C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1
答案：B
解析：f′(x)＝4x3－6x2，则f′(1)＝－2，易知f(1)＝－1，由点斜式可得函数f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故选B.
14．(多选)已知函数f(x)＝－x3＋2x2－x，若过点P(1，t)可作曲线y＝f(x)的三条切线，则t的取值可以是(　　)
A．0　　　B． C．　　　D．
答案：CD
解析：∵f(x)＝－x3＋2x2－x，∴f′(x)＝－3x2＋4x－1.
由已知得，过点P(1，t)作曲线y＝f(x)的三条切线，情况如下：
①点P(1，t)在曲线上，此时切点为P(1，t)，把P点坐标代入函数解析式可得P(1，0)，利用切线公式得y＝f′(1)(x－1)，所以切线为x轴，但此时切线只有一条，不符合题意．
②点P(1，t)不在曲线上，设切点为(x0，y0)，又切线经过点P(1，t)，所以切线方程为y－t＝f′(x0)(x－1).
因为切线经过切点，所以y0－t＝(－3x＋4x0－1)(x0－1).
又因为切点在曲线上，所以y0＝－x＋2x－x0.
化简得t＝2x－5x＋4x0－1.
令g(x)＝2x3－5x2＋4x－1，即t＝g(x)有三个解，即直线y＝t与y＝g(x)的图象有三个交点．
令g′(x)＝6x2－10x＋4＝2(x－1)(3x－2)＝0，可得两极值点为x1＝1，x2＝.
所以x∈和(1，＋∞)时，g(x)单调递增，x∈时，g(x)单调递减，
所以当g(1)＝0＜t＜＝g时，满足直线y＝t与y＝g(x)的图象有三个交点，而0＜＜＜，故选CD.
15．已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝(x－1)ex＋3e的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则直线l的横截距为________．
答案：－2
解析：因为f′(x)＝ex＋(x－1)ex＝xex，所以切线l的斜率为f′(1)＝e，由f(1)＝3e知切点坐标为(1，3e)，所以切线l的方程为y－3e＝e(x－1).令y＝0，解得x＝－2，故直线l的横截距为－2.
16．[2022·新高考Ⅰ卷]若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________．
答案：(－∞，－4)∪(0，＋∞)
解析：设切线的切点坐标为(x0，y0).令f(x)＝(x＋a)ex，则f′(x)＝(x＋1＋a)ex，f′(x0)＝(x0＋1＋a)ex0.因为y0＝(x0＋a)ex0，切线过原点，所以f′(x0)＝，即(x0＋1＋a)·ex0＝.整理，得x＋ax0－a＝0.由题意知该方程有两个不同的实数根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0.专练53　条件概率、全概率公式、相互独立事件的概率
授课提示：对应学生用书111页
　
[基础强化]
一、选择题
1．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现反面”为事件B，则P(B|A)＝(　　)
A． B．
C． D．
答案：A
解析：P(A)＝，P(AB)＝，
∴P(B|A)＝＝.
2．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”；则P(B|A)＝(　　)
A． B．
C． D．
答案：B
解析：P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
∴P(B|A)＝＝＝.
3．打靶时甲每打10次，可中靶8次；乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则他们都中靶的概率是(　　)
A． B．
C． D．
答案：D
解析：由题意可知甲中靶的概率P1＝＝，
乙中靶的概率P2＝，
又两人中靶相互独立，
∴他们都中靶的概率P＝P1P2＝×＝.
4．[2024·山东栖霞模拟]一道竞赛题，A，B，C三人单独解出的概率依次为，，，则三人独立解答仅有1人解出的概率为(　　)
A． B．
C． D．1
答案：B
解析：由题意知，仅有1人解出的概率为P＝×·＋××(1－)＋×＝＋＋＝.故选B.
5．[2024·山东济南模拟]已知某种生物由出生算起活到20岁的概率是0.8，活到25岁的概率是0.4，则现为20岁的这种动物活到25岁的概率是(　　)
A．0.6 B．0.5
C．0.4 D．0.32
答案：B
解析：设“这种动物从出生起活到20岁”为事件A，“这种动物从出生起活到25岁”为事件B.
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4
由于AB＝B，则P(AB)＝P(B)
则P(B|A)＝＝＝＝0.5.故选B.
6．5G指的是第五代移动通信技术，是最新一代蜂窝移动通信技术．某公司研发5G项目时遇到一项技术难题，由甲、乙两个部门分别独立攻关，已知甲部门攻克该技术难题的概率为0.8，乙部门攻克该技术难题的概率为0.7，则该公司攻克这项技术难题的概率为(　　)
A．0.56 B．0.86
C．0.94 D．0.96
答案：C
解析：设事件A表示“甲部门攻克该技术难题”，事件B表示“乙部门攻克该技术难题”，
P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，
则该公司攻克这项技术难题的概率为：
P＝1－(1－P(A))(1－P(B))＝1－0.2×0.3＝0.94，故选C.
7．[2023·全国甲卷(理)]某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为(　　)
A．0.8 B．0.6
C．0.5 D．0.4
答案：A
解析：方法一　如图，左圆表示爱好滑冰的学生所占比例，右圆表示爱好滑雪的学生所占比例，A表示爱好滑冰且不爱好滑雪的学生所占比例，B表示既爱好滑冰又爱好滑雪的学生所占比例，C表示爱好滑雪且不爱好滑冰的学生所占比例，则0.6＋0.5－B＝0.7，所以B＝0.4，C＝0.5－0.4＝0.1.所以若该学生爱好滑雪，则他也爱好滑冰的概率为＝＝0.8，故选A.
方法二　令事件A，B分别表示该学生爱好滑冰、该学生爱好滑雪，事件C表示该学生爱好滑雪的条件下也爱好滑冰，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，P(AB)＝P(A)＋P(B)－0.7＝0.4，所以P(C)＝P(A|B)＝＝＝0.8，故选A.
8．某大街在甲、乙、丙三处设有红、绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为，，，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为(　　)
A． B．
C． D．
答案：D
解析：设汽车分别在甲、乙、丙三处因遇绿灯而通行为事件A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，停车一次即为事件BC＋AC＋AB的发生，故概率P＝××＋××＋××＝.故选D.
9．(多选)[2023·新课标Ⅱ卷]在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1－β. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1).
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为(1－α)(1－β)2
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β(1－β)2
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1－β)3
D．当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
答案：ABD
解析：由题意，发0收1的概率为α，发0收0的概率为1－α；发1收0的概率为β，发1收1的概率为1－β.对于A，发1收1的概率为1－β，发0收0的概率为1－α，发1收1的概率为1－β，所以所求概率为(1－α)(1－β)2，故A选项正确．对于B，相当于发了1，1，1，收到1，0，1，则概率为(1－β)β(1－β)＝β(1－β)2，故B选项正确．对于C，相当于发了1，1，1，收到1，1，0或1，0，1或0，1，1或1，1，1，则概率为Cβ(1－β)2＋C(1－β)3＝3β(1－β)2＋(1－β)3，故C不正确．对于D，发送0，采用三次传输方案译码为0，相当于发0，0，0，收到0，0，1或0，1，0或1，0，0或0，0，0，则此方案的概率P1＝Cα(1－α)2＋C(1－α)3＝3α(1－α)2＋(1－α)3；发送0，采用单次传输方案译码为0的概率P2＝1－α，当0<α<0.5时，P1－P2＝3α(1－α)2＋(1－α)3－(1－α)＝α(1－α)(1－2α)>0，故D选项正确．综上，选ABD.
二、填空题
10．某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8，则王同学第2天去A餐厅用餐的概率为________．
答案：0.7
解析：设A1＝“第1天去A餐厅用餐”，
B1＝“第1天去B餐厅用餐”，
A2＝“第2天去A餐厅用餐”，
Ω＝A1∪B1，且A1与B1互斥．
根据题意得
P(A1)＝P(B1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.6，P(A2|B1)＝0.8.
由全概率公式得
P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)
＝0.5×0.6＋0.5×0.8
＝0.7
故王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7.
11．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________．
答案：　
解析：依题意得，甲、乙两球都落入盒子的概率为×＝，甲、乙两球都不落入盒子的概率为×＝，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1－＝.
12．一盒中放有大小相同的10个小球，其中8个黑球、2个红球，现甲、乙二人先后各自从盒子中无放回地任意取2个小球，已知甲取到了2个黑球，则乙也取到2个黑球的概率是________．
答案：
解析：记事件“甲取到2个黑球”为A，“乙取到2个黑球”为B，则有P(B|A)＝＝＝.即所求事件的概率是.
[能力提升]
13．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　)
A．甲与丙相互独立
B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立
D．丙与丁相互独立
答案：B
解析：P(甲)＝，P(乙)＝，P(丙)＝，P(丁)＝＝，
P(甲丙)＝0≠P(甲)P(丙)，P(甲丁)＝＝P(甲)P(丁)，
P(乙丙)＝≠P(乙)P(丙)，P(丙丁)＝0≠P(丁)P(丙)，
故选B.
14．(多选)从甲口袋内摸出1个白球的概率是，从乙口袋内摸出1个白球的概率是，如果从两个口袋内各摸出一个球，那么下列说法正确的是(　　)
A.2个球都是白球的概率为
B．2个球都不是白球的概率为
C．2个球不都是白球的概率为
D．2个球恰好有一个球是白球的概率为
答案：ACD
解析：∵2个球不都是白球的对立事件是2个球都是白球，从甲口袋摸出白球和从乙口袋摸出白球两者是相互独立的，∴2个球都是白球的概率为×＝，∴2个球不都是白球的概率是1－＝，故A，C正确；甲口袋摸出的球不是白球的概率为，乙口袋摸出的球不是白球的概率为，故2个球都不是白球的概率为×＝，B错误；2个球恰有一个球是白球的概率为×＋×＝，D正确．故选ACD.
15．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p，则(　　)
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大
D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
答案：D
解析：设第二盘与甲比赛，则p甲＝2[p2p1(1－p3)＋(1－p2)p1p3]＝2p1(p2＋p3－2p2p3).设第二盘与乙比赛，则p乙＝2[p2p1(1－p3)＋(1－p1)p2p3]＝2p2(p1＋p3－2p1p3).设第二盘与丙比赛，则p丙＝2[p3p1(1－p2)＋(1－p1)p2p3]＝2p3(p1＋p2－2p1p2).p甲－p乙＝2p3(p1－p2)<0，p甲－p丙＝2p2(p1－p3)<0，p乙－p丙＝2p1(p2－p3)<0，故p丙>p乙>p甲．选D.
16．(多选)设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次，记事件A＝{第一个四面体向下的一面为偶数}，事件B＝{第二个四面体向下的一面为奇数}，C＝{两个四面体向下的一面同时为奇数或者同时为偶数}，则下列说法正确的是(　　)
A．P(A)＝P(B)＝P(C)
B．P(AB)＝P(AC)＝P(BC)
C．P(ABC)＝
D．P(A)P(B)P(C)＝
答案：ABD
解析：依题意P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，故AD正确；
P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝，P(AC)＝，P(BC)＝，故B正确；事件A，B，C不可能同时发生，所以P(ABC)＝0，故C错误．故选ABD.专练41　直线的倾斜角与斜率、直线的方程
授课提示：对应学生用书89页
[基础强化]
一、选择题
1．直线经过点(0，2)和点(3，0)，则它的斜率k为(　　)
A．　　　　　　　　　B．
C．－ D．－
答案：C
解析：k＝＝－.
2．直线x＋y＋1＝0的倾斜角是(　　)
A． B．
C．π D．π
答案：D
解析：由x＋y＋1＝0，得y＝－x－，
∴直线的斜率k＝－，其倾斜角为π.
3．已知直线l过点P(－2，5)，且斜率为－，则直线l的方程为(　　)
A．3x＋4y－14＝0
B．3x－4y＋14＝0
C．4x＋3y－14＝0
D．4x－3y＋14＝0
答案：A
解析：由点斜式得y－5＝－(x＋2)，即：3x＋4y－14＝0．
4．已知直线l的倾斜角为α、斜率为k，那么“α>”是“k>”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：∵当<α<π时，k<0，∴α>D /k>；
当k>时，<α<，∴k> <α<，
∴α>是k>的必要不充分条件．
5．倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是(　　)
A．x－y＋1＝0
B．x－y－＝0
C．x＋y－＝0
D．x＋y＋＝0
答案：D
解析：由于倾斜角为120°，故斜率k＝－.又直线过点(－1，0)，由点斜式可知y＝－(x＋1)，即：x＋y＋＝0.
6．经过点P(1，2)且在x轴、y轴上的截距相等的直线方程为(　　)
A．2x－y＝0
B．x＋y－3＝0
C．x－y－3＝0或2x－y＝0
D．x＋y－3＝0或2x－y＝0
答案：D
解析：若直线过原点，则直线方程为y＝2x，
若直线不过原点，设所求的直线方程为x＋y＝m，又P(1，2)在直线上，∴1＋2＝m，∴m＝3，即：x＋y＝3.
7．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足(　　)
A．ab>0，bc<0 B．ab>0，bc>0
C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<0
答案：A
解析：ax＋by＋c＝0可化为y＝－x－，又直线过一、二、四象限，∴－<0且－>0，即ab>0，bc<0.
8．直线x sin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(　　)
A．[0，π) B．∪
C． D．∪
答案：B
解析：设直线的倾斜角为θ，0≤θ<π，
由题意得tan θ＝－sin α∈[－1，1]，
∴θ∈∪.
9．已知点A(2，3)，B(－3，－2)，若直线kx－y＋1－k＝0与线段AB相交，则k的取值范围是(　　)
A．
B．∪[2，＋∞)
C．(－∞，1]∪[2，＋∞)
D．[1，2]
答案：B
解析：直线kx－y＋1－k＝0恒过P(1，1)，kPA＝2，kPB＝，∴k的取值范围是∪[2，＋∞).
二、填空题
10．若A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则a的值为________．
答案：4
解析：由题意得kAC＝kBC，∴＝，得a＝4.
11．曲线y＝x3－2x＋4在点(1，3)处的切线的倾斜角为________．
答案：45°
解析：y′＝3x2－2，当x＝1时，该曲线的导函数值为1，∴k＝1，其倾斜角为45°.
12．过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率为1，则m＝________.
答案：1
解析：由题意得，＝1，得m＝1.专练46　双曲线
授课提示：对应学生用书97页
[基础强化]
一、选择题
1．平面内到两定点F1(－5，0)，F2(5，0)距离差的绝对值等于8的动点P的轨迹方程为(　　)
A．－＝1　　　　　B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
答案：D
解析：由题意得a＝4，c＝5，∴b2＝c2－a2＝25－16＝9，又焦点落在x轴上，∴其双曲线方程为－＝1.
2．设过双曲线x2－y2＝9左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P，Q，F2为双曲线的右焦点．若|PQ|＝7，则△F2PQ的周长为(　　)
A．19　　　B．26 C．43　　　D．50
答案：B
解析：x2－y2＝9可化为－＝1，
∴a＝3，由双曲线的定义知
|PF2|＝2a＋|PF1|，|QF2|＝2a＋|QF1|，
∴△F2PQ的周长L＝|PQ|＋|PF2|＋|QF2|＝|PQ|＋2a＋|PF1|＋2a＋|QF1|＝2|PQ|＋4a＝2×7＋4×3＝26.
3．渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是(　　)
A． B．1
C． D．2
答案：C
解析：因为双曲线的渐近线方程为x±y＝0，所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，都满足a＝b，所以c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝.故选C.
4．若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是(　　)
A．(，＋∞) B．(，2)
C．(1，) D．(1，2)
答案：C
解析：∵c2＝a2＋1，∴e2＝＝＝1＋，
又a2>1，∴0<<1，∴1<1＋<2，∴15．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为(　　)
A．　　　B．　　　C．2　　　D．
答案：D
解析：由题意，可得F(1，0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±x.将x＝－1代入y＝±x，得y＝±，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|＝4|OF|可得＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝＝＝.
6．[2023·全国甲卷(理)]已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，C的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝(　　)
A． B． C． D．
答案：D
解析：根据双曲线的离心率e＝＝，得c＝a，即c2＝5a2，即a2＋b2＝5a2，所以b2＝4a2，＝4，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x，易知渐近线y＝2x与圆相交．
方法一　由，得5x2－16x＋12＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.所以|AB|＝|x1－x2|＝ ＝，故选D.
方法二　则圆心(2，3)到渐近线y＝2x的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝2 ＝，故选D.
7．设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为(　　)
A． B．11 C．12 D．16
答案：B
解析：由题意得所以|BF2|＋|AF2|＝8＋|AF1|＋|BF1|＝8＋|AB|，显然，当AB为通径时，其长度最短，|AB|min＝2·＝3，故(|BF2|＋|AF2|)min＝11.
8．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，其渐近线与圆(x－a)2＋y2＝相切，则该双曲线的方程为(　　)
A．x2－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
答案：A
解析：由题意得到e＝＝2，∴b＝a，则双曲线的渐近线方程为y＝±x.渐近线与圆(x－a)2＋y2＝相切，∴＝，又a>0，∴a＝1，b＝.
则双曲线方程为：x2－＝1.
故答案为A.
9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)和双曲线E：x2－y2＝1有相同的焦点F1，F2，且离心率之积为1，P为两曲线的一个交点，则△F1PF2的形状为(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
答案：B
解析：∵x2－y2＝1的焦点(±，0)，e1＝＝，
∴由题意得＋＝1的焦点坐标为(±，0)，e＝，
∴∴
∴椭圆方程为＋＝1.
设P为两曲线右边的交点，由椭圆、双曲线的定义知，
∴|PF1|＝3，|PF2|＝1，
又|F1F2|＝2，且|PF2|2＋|F1F2|2＝1＋(2)2＝1＋8＝9＝|PF1|2，
∴△F1PF2为直角三角形．
二、填空题
10．双曲线－＝1上一点M到其中一个焦点的距离为7，则点M到另一个焦点的距离为________．
答案：13
解析：由题意，a2＝9，所以a＝3.设点M到另一个焦点的距离为d，由双曲线的定义知，|7－d|＝2a＝2×3＝6，所以d＝1(舍)或d＝13.即点M到另一个焦点的距离为13.
11．已知双曲线－y2＝1(a>0)的一条渐近线为x＋y＝0，则a＝________．
答案：
解析：∵双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±，
∴＝，a＝.
12．[2023·新课标Ⅰ卷]已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，F1A⊥F1B，F2A＝－F2B，则C的离心率为________．
答案：
解析：方法一　由题意可知，F1(－c，0)，F2(c，0)，设A(x1，y1)，B(0，y0)，所以F2A＝(x1－c，y1)，F2B＝(－c，y0)，因为F2A＝－F2B，所以，即，所以A(c，－y0).
＝(c，－y0)，＝(c，y0)，因为⊥，所以·＝0，即c2－y＝0，解得y＝4c2.
因为点A(c，－y0)在双曲线C上，所以－＝1，又y＝4c2，所以－＝1，即－＝1，化简得＝，所以e2＝1＋＝，所以e＝.
方法二　由前面方法一得A(c，－y0)，y＝4c2，所以|AF1|＝＝＝＝，|AF2|＝＝＝＝，由双曲线的定义可得|AF1|－|AF2|＝2a，即－＝2a，即c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝＝.
方法三　由＝－可得A，B，F2三点共线，且F2在线段AB上，不妨令点A在第一象限，则点B在y轴负半轴上，易得|F2A|＝|F2B|.设|F2B|＝3m(m>0)，则|F2A|＝2m，所以|F1B|＝|F2B|＝3m，|AB|＝5m，由⊥可得∠AF1B＝90°，所以|AF1|＝＝4m，所以2a＝|AF1|－|AF2|＝2m，即a＝m.过F1作F1D⊥AB，垂足为D，则|AB|·|F1D|＝|F1A|·|F1B|，即×5m×|F1D|＝×4m×3m，所以|F1D|＝m，所以|BD|＝＝m，所以|F2D|＝m，则|F1F2|＝＝m＝2c，即c＝m，所以e＝＝.
[能力提升]
13．[2024·全国甲卷(理)]已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，且经过点(－6，4)，则该双曲线的离心率为(　　)
A．4 B．3 C．2 D．
答案：C
解析：方法一　由题可设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0).根据已知条件可得解得则该双曲线的离心率e＝＝＝2.故选C.
方法二　设该双曲线的焦距为2c，实轴长为2a，由题知c＝4，2a＝－＝4，则a＝2，则该双曲线的离心离e＝＝2.故选C.
方法三　记A(0，4)，B(0，－4)，C(－6 ，4)，则AB⊥AC，|AB|＝8，|AC|＝6，则|BC|＝10，又因为该双曲线的半焦距c＝4，实轴长2a＝|BC|－|AC|＝4，则a＝2，则该双曲线的离心率e＝＝2.故选C.
14．设A，B为双曲线x2－＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是(　　)
A．(1，1) B．
C． D．
答案：D
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，由点A，B在双曲线上，得，两式作差，得x－x＝，即(x1－x2)(x1＋x2)＝，化简得＝9，即·＝kAB·＝9，因此kAB＝9·.
由双曲线方程可得渐近线方程为y＝±3x，如图．对于A选项，因为kAB＝9×＝9>3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于B选项，因为kAB＝9×＝－＜－3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于C选项，kAB＝9×＝3，此时直线AB与渐近线y＝3x平行，与双曲线不可能有两个交点，不符合题意；对于D选项，因为kAB＝9×＝<3，所以直线AB与双曲线有两个交点，满足题意．故选D.
15．[2024·九省联考]设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，|F1B|＝2|F1A|，·＝4a2，则C的离心率为(　　)
A． B．2 C． D．
答案：D
解析：由双曲线的对称性可知＝，＝，有四边形AF1BF2为平行四边形，
令＝＝m，
则＝＝2m，
由双曲线定义可知－＝2a，故有2m－m＝2a，即m＝2a，
即＝＝m＝2a，＝＝4a，
·＝·cos ∠AF2B＝2a×4a cos ∠AF2B＝4a2，
则cos ∠AF2B＝，即∠AF2B＝，故∠F2BF1＝，
则有cos ∠F2BF1
＝
＝＝－，
即＝－，即－＝－，则e2＝7，由e>1，故e＝.故选D.
16．[2024·新课标Ⅰ卷]设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点．若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为____________．
答案：
解析：因为AB与y轴平行，所以AB与x轴垂直，结合双曲线的对称性知|AF2|＝|BF2|＝5.又|F1A|＝13，所以|F1F2|＝＝＝12，则c＝6，而2a＝|AF1|－|AF2|＝13－5＝8，所以a＝4，所以离心率e＝＝.专练50　二项式定理
授课提示：对应学生用书106页
[基础强化]
一、选择题
1．(x＋1)6的展开式中的第二项为(　　)
A．6x　　　B．15x2
C．6x5 D．15x4
答案：C
2.的展开式中的常数项为(　　)
A．80 B．－80
C．40 D．－40
答案：C
解析：由二项展开式通项知Tk＋1＝(－2)kC·(x2)5－k＝(－2)kCx10－5k，令10－5k＝0，得k＝2.
∴常数项为T3＝(－2)2C＝40.
3．(多选)已知(a＋2b)n的展开式中第6项的二项式系数最大，则n的值可能为(　　)
A．8 B．9
C．10 D．11
答案：BCD
4．若(x＋2)展开式中的常数项为80，则a＝(　　)
A．－2 B．2
C．±2 D．4
答案：B
解析：的展开式的通项公式为Tk＋1＝C·(－1)k·a5－k·x2k－5，显然，2k－5为奇数，故(x＋2)展开式中的常数项为C·a3＝80，所以a＝2.
5．若(x－2y)6的展开式中的二项式系数和为S，x2y4的系数为P，则为(　　)
A． B．
C．120 D．240
答案：B
解析：由题意得S＝26＝64，P＝C(－2)4＝15×16＝240，∴＝＝.
6．在二项式的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则展开式中常数项的值为(　　)
A．6 B．9
C．12 D．18
答案：B
解析：在的展开式中令x＝1，得A＝4n，各项二项式系数之和为B＝2n，由 4n＋2n＝72，得n＝3，∴＝，其通项为Tk＋1＝C()3－k＝3kCx，令＝0，得k＝1，故展开式的常数项为T2＝3C＝9.
7.(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)
A．5 B．10
C．15 D．20
答案：C
解析：要求(x＋y)5的展开式中x3y3的系数，只要分别求出(x＋y)5的展开式中x2y3和x4y的系数再相加即可，由二项式定理可得(x＋y)5的展开式中x2y3的系数为C＝10，x4y的系数为C＝5，故(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为10＋5＝15.故选C.
8．设S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1，则S＝(　　)
A．(x－2)4 B．(x－1)4
C．x4 D．(x＋1)4
答案：C
解析：S＝C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)1＋C(x－1)0＝(x－1＋1)4＝x4.
9．(多选)已知(2＋x)(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则(　　)
A．a0的值为2
B．a5的值为16
C．a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6的值为－5
D．a1＋a3＋a5的值为120
答案：ABC
解析：对于A，令x＝0，得a0＝2×1＝2，故A正确；对于B，(1－2x)5的展开式的通项Tk＋1＝C(－2x)k＝(－2)kCxk，所以a5＝2×(－2)5C＋1×(－2)4C＝－64＋80＝16，故B正确；对于C，令x＝1，得(2＋1)(1－2×1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6　①，即a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝－3－a0＝－3－2＝－5，故C正确；对于D，令x＝－1，得(2－1)[1－2×(－1)]5＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6　②，由①②解得a1＋a3＋a5＝－123，故D不正确．综上所述，选ABC.
二、填空题
10．[2024·全国甲卷(理)](＋x)10的展开式中，各项系数中的最大值为______．
答案：5
解析：方法一　二项式(＋x)10的展开式的通项为Tk＋1＝C()10－kxk.
由
解得又k∈N*，所以k＝8.
所以所求系数的最大值为C()2＝5.
方法二　展开式中系数最大的项一定在下面的5项中：C()5x5，C()4x6，C()3x7，C()2x8，C()1x9，计算可得，所求系数的最大值为C()2＝5.
11．在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是______________.
答案：16　5
解析：该二项展开式的第k＋1项为Tk＋1＝C()9－kxk，当k＝0时，第1项为常数项，所以常数项为()9＝16；当k＝1，3，5，7，9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.
12．在(x－)7的展开式中，系数最大的是第________项．
答案：5
解析：二项式的展开式的通项为Tk＋1＝C·x7－k·(－1)kx－k＝(－1)kCx7－2k，故第k＋1项的系数为(－1)kC，当k＝0，2，4，6时，系数为正，因为C授课提示：对应学生用书39页
[基础强化]
一、选择题
1．若一个扇形的面积是2π，半径是2，则这个扇形的圆心角为(　　)
A． B．
C． D．
答案：D
解析：设扇形的圆心角为θ，因为扇形的面积S＝θr2，所以θ＝＝＝，故选D.
2．三角函数值sin 1，sin 2，sin 3的大小关系是(　　)
参考值：1弧度≈57°，2弧度≈115°，3弧度≈172°
A．sin 1>sin 2>sin 3
B．sin 2>sin 1>sin 3
C．sin 1>sin 3>sin 2
D．sin 3>sin 2>sin 1
答案：B
解析：因为1弧度≈57°，2弧度≈115°，3弧度≈172°，所以sin 1≈sin 57°，sin 2≈sin 115°＝sin 65°，sin 3≈sin 172°＝sin 8°，因为y＝sin x在0°sin 1>sin 3，故选B.
3．若角θ满足sin θ>0，tan θ<0，则是(　　)
A．第二象限角
B．第一象限角
C．第一或第三象限角
D．第一或第二象限角
答案：C
解析：由sin θ>0，tan θ<0，知θ为第二象限角，∴2kπ＋<θ<2kπ＋π(k∈Z)，∴kπ＋<4．若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合是(　　)
A．
B．
C．
D．
答案：D
解析：∵y＝－x的倾斜角为π，∴终边在直线y＝－x上的角的集合为.
5．一个扇形的弧长与面积都是6，则这个扇形的圆心角的弧度数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：C
解析：设扇形的圆心角为θ，半径为R，由题意得得θ＝3．
6．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若角α的终边过点P，则cos α·tan α的值是(　　)
A.－ B．
C．－ D．
答案：A
解析：由三角函数的定义知cos α＝，tan α＝＝－，∴cos αtan α＝×＝－.
7．给出下列各函数值：①sin (－1 000°)；②cos (－2 200°)；③tan (－10)；④；其中符号为负的有(　　)
A．① B．②
C．③ D．④
答案：C
解析：∵－1 000°＝－3×360°＋80°，为第一象限角，
∴sin (－1 000°)>0；
又－2 200°＝－7×360°＋320°，为第四象限角，
∴cos (－2 200°)>0；
∵－10＝－4π＋(4π－10)，为第二象限角，
∴tan (－10)<0；
∵sin π>0，cos π＝－1，
π＝2π－，为第四象限角，
∴tan π<0，∴>0.
8．已知角θ的终边经过点P(x，3)(x<0)且cos θ＝x，则x＝(　　)
A．－1 B．－
C．－3 D．－
答案：A
解析：∵r＝，cos θ＝＝x，又x<0，
∴x＝－1.
9．(多选)下列结论中正确的是(　　)
A．若0<α<，则sin αB．若α是第二象限角，则为第一象限角或第三象限角
C．若角α的终边过点P(3k，4k)(k≠0)，则sin α＝
D．若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为1弧度
答案：ABD
解析：若0<α<，则sin α二、填空题
10．已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于________．
答案：
解析：设扇形所在圆的半径为r，则弧长l＝r，又S扇＝rl＝r2＝，得r＝2，∴弧长l＝×2＝.
11．已知角α的终边过点P(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈，则sin α＝________．
答案：－
解析：∵θ∈，∴－1∴r＝＝－5cosθ，故sin α＝－.
12．已知角α的终边经过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m＝________.
答案：
解析：由题可知P(－8m，－3)，
∴cos α＝＝－，得m＝±，
又cos α＝－<0，∴－8m<0，∴m＝.专练23　平面向量的概念及其线性运算
授课提示：对应学生用书47页
　　　　　　　　　　　　　
[基础强化]
一、选择题
1．给出下列四个命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|，且a∥b.其中正确命题的序号是(　　)
A．②③　　B．①②　　C．③④　　D．②④
答案：A
解析：当|a|＝|b|时，a与b的方向不确定，故①不正确；对于②，∵A，B，C，D是不共线的点为大前提，＝ ABCD为平行四边形，故②正确；③显然正确；对于④由于当|a|＝|b|且a∥b时a与b的方向可能相反，此时a≠b，故|a|＝|b|且a∥b是a＝b的必要不充分条件，故④不正确．
2．设非零向量a、b满足|a＋b|＝|a－b|，则(　　)
A．|a|＝|b| B．a∥b
C．|a|>|b| D．a⊥b
答案：D
解析：由|a＋b|＝|a－b|的几何意义可知，以a、b为邻边的平行四边形为矩形，故a⊥b.
3．[2022·新高考Ⅰ卷，3]在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝(　　)
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
答案：B
解析：因为BD＝2DA，所以＝＋＝＋3＝＋3(－)＝－2＋3＝－2m＋3n.故选B.
4．在等腰梯形ABCD中，＝－2，M为BC的中点，则＝(　　)
A．＋ B．＋
C．＋ D．＋
答案：B
解析：∵M为BC的中点，
∴＝(＋)
＝(＋)＋，
又＝－2，∴＝，
∴＝＋＝＋.
5．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＝λ(＋)，则实数λ＝(　　)
A．－ B．
C．2 D．－2
答案：A
解析：由平行四边形法则可知，
＝＋，
又O为AC与BD的交点，
∴＝－2，
∴＝－(＋)，∴λ＝－.
6．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则＝(　　)
A．2－
B．－＋2
C．＋
D．－＋
答案：A
解析：∵2＋＝0，∴2(－)＋(－)＝0，得＝2－，故选A.
7．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是(　　)
A．矩形 B．平行四边形
C．梯形 D．以上都不对
答案：C
解析：∵＝＋＋＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，∴∥且||＝2||，∴四边形ABCD为梯形．
8．已知平面内一点P及△ABC，若＋＋＝，则点P与△ABC的位置关系是(　　)
A．点P在线段AB上
B．点P在线段BC上
C．点P在线段AC上
D．点P在△ABC内部
答案：C
解析：∵＋＋＝＝－，
∴＝－2，∴点P在线段AC上．
9．[2024·河北省六校联考]已知点O是△ABC内一点，且满足＋2＋m＝0，＝，则实数m的值为(　　)
A．－4 B．－2
C．2 D．4
答案：D
解析：由＋2＝－m得，＋＝－，如图，设－＝，则＋＝，∴A，B，D三点共线，∴与反向共线，m>0，∴＝，∴＝＝，∴＝＝＝，解得m＝4.故选D.
二、填空题
10．已知不共线向量a，b，＝ta－b(t∈R)，＝2a＋3b，若A，B，C三点共线，则实数t＝________．
答案：－
解析：因为A，B，C三点共线，所以存在实数k，使得＝k，所以ta－b＝k(2a＋3b)＝2ka＋3kb，即(t－2k)a＝(3k＋1)b，因为a，b不共线，所以t－2k＝0，3k＋1＝0，解得k＝－，t＝－.
11．在△OAB中，点C满足＝－4，＝x＋y，则y－x＝________．
答案：
解析：根据向量加法的三角形法则得到＝＋＝＋＝＋(－)，化简得到＝－＋，所以x＝－，y＝，则y－x＝＋＝.
12.
如图所示，已知＝2，＝a，＝b，＝c，则c＝________(用a，b表示).
答案：b－a
解析：∵＝2，∴－＝2(－).
∴＝－，
即c＝b－a.
[能力提升]
13．已知点P是△ABC所在平面内一点，且满足3＋5＋2＝0，已知△ABC的面积为6，则△PAC的面积为(　　)
A．　　　B．4　　　C．3　　　D．
答案：C
解析：∵3＋5＋2＝0，
∴3(＋)＋2(＋)＝0，
取AB的中点D，BC的中点E，连接PD，PE，则＋＝2，＋＝2，
∴3＋2＝0，
∴D、P、E三点共线，∴P到AC的距离为B到AC的距离h的一半，
∵S△ABC＝AC·h＝6，
∴S△PAC＝AC×＝×6＝3.
14．(多选)[2024·湖南省四校摸底调研联考]在△ABC中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，AD，BE，CF交于点G，则(　　)
A．＝－
B．＝－＋
C．＋＝
D．＋＋＝0
答案：BCD
解析：如图，因为点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，所以＝＝－，故A不正确；＝＋＝＋＝＋(＋)＝－－＝－＋，故B正确；＝－＝＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＋＋＝＋，故C正确；由题意知，点G为△ABC的重心，所以＋＋＝＋＋＝×(＋)＋×(＋)＋×(＋)＝0，即＋＋＝0，故D正确．故选BCD.
15．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0.其中正确命题的序号为________．
答案：②③④
解析：∵＝a，＝b，＝＋＝－a－b，故①不正确；对于②，＝＋＝a＋b，故②正确；对于③，＝(＋)＝(－a＋b)＝－a＋b，故③正确；对于④，＋＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0，故④正确，故正确的有②③④.
16．在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．
答案：
解析：∵N，P，B三点共线，
∴＝m＋＝m＋，
∴m＋＝1，∴m＝.专练20　同角三角函数的基本关系及诱导公式
授课提示：对应学生用书41页
[基础强化]
一、选择题
1．sin π＝(　　)
A．－ B．－
C．　 　 D．
答案：C
解析：sin π＝sin ＝sin ＝.
2．cos ＋cos π＋cos π＋cos π的值为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
答案：B
解析：cos ＋cos π＋cos π＋cos π
＝cos ＋cos π＋cos ＋cos
＝cos ＋cos π－cos π－cos
＝0.
3．若α∈，tan (α－7π)＝，则sin α＋cos α＝(　　)
A．±　 B．－ C．　 D．－
答案：D
解析：tan (α－7π)＝tan α＝>0，又α∈，∴α∈，∴sin α＝－，cos α＝－，∴sin α＋cos α＝－.
4．已知2sin α－cos α＝0，则sin2α－2sinαcos α的值为(　　)
A．－ B．－
C． D．
答案：A
解析：2sin α－cos α＝0，∴tan α＝，
∴sin2α－2sinαcos α＝＝＝＝－.
5．已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cosα＝x，则tan α＝(　　)
A． B．－
C． D．－
答案：B
解析：由三角函数的定义得cos α＝＝，解得x＝±或x＝0.因为点P(x，)在第二象限内，所以x＝－，故tan α＝＝＝－.故选B.
6．已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
答案：A
解析：由sin α－cos α＝，得1－2sin αcos α＝，
∴2sin αcos α＝1－＝－，即：sin 2α＝－.
7．[2024·全国甲卷(理)]已知＝，则tan (α＋)＝(　　)
A．2＋1 B．2－1
C． D．1－
答案：B
解析：∵＝＝，∴tan α＝1－，
∴tan (α＋)＝＝＝2－1，故选B.
8．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，则＝(　　)
A．－ B．
C．0 D．
答案：B
解析：由三角函数的定义可知tan θ＝3，
∴＝
＝＝.
9．已知α为第二象限角，则cos α＋sin α·＝(　　)
A．sin α－cos α
B．sin α＋cos α
C．cos α－sin α
D．－(sin α＋cos α)
答案：A
解析：＝＝＝，＝＝，
根据三角函数性质知1－sin α>0，1－cos α>0，再根据α为第二象限角知cos α<0，sin α>0，所以原式＝cos α×＋sin α×＝sin α－cos α.
二、填空题
10．已知α∈，sin α＝－，则cos α＝________，tan (π＋α)＝________．
答案：　－
解析：由α∈，sin α＝－，得cos α＝＝，tan(π＋α)＝tan α＝＝－.
11．若cos ＝，则sin ＝________．
答案：
解析：∵－θ＋π＋θ＝，
∴sin ＝cos ＝.
12．[2024·新课标Ⅱ卷]已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin (α＋β)＝__________．
答案：－
解析：∵tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，
∴tan (α＋β)＝＝＝－2.
∵2k1π<α<2k1π＋，k1∈Z，
2k2π＋π<β<2k2π＋，k2∈Z，
∴2(k1＋k2)π＋π<α＋β<2(k1＋k2)π＋2π，k1，k2∈Z，
∴sin (α＋β)<0
∵.
∴sin (α＋β)＝－.
[能力提升]
13．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|＝(　　)
A． B．
C． D．1
答案：B
解析：由题意得tan α＝＝b－a，
又cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝，得|b－a|＝.
14．(多选)若θ是△ABC的一个内角，且cosθ<－，则下列结论正确的是(　　)
A．sin θ< B．tan θ>－2
C．cos 2θ>－ D．sin 2θ<－
答案：ABC
解析：因为θ是△ABC的一个内角，且cos θ<－，所以<θ<π.设cos φ＝－，则sin φ＝，tan φ＝＝－2.因为函数y＝cos x在上单调递减，所以由cos θ<－＝cos φ，得<φ<θ<π.对于A，因为函数y＝sin x在上单调递减，所以sin θtan φ，即tan θ>－2，故B正确；对于C，因为cos θ<－，所以cos2θ>，所以cos2θ＝2cos2θ－1>2×－1＝－，故C正确；对于D，sin2θ＝2sin θcos θ，当cos θ＝－时，sin θ＝，sin 2θ＝2××(－)＝－，故D不正确．综上，选ABC.
15．已知α为锐角，且2tan (π－α)－3cos (＋β)＋5＝0，tan (π＋α)＋6sin (π＋β)＝1，则sin β的值为________．
答案：
解析：2tan (π－α)－3cos ＋5＝0化为－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan (π＋α)＋6sin (π＋β)＝1化为tan α－6sin β＝1，因而sin β＝.
16．设A，B，C为△ABC的三个内角，则下列关系式中恒成立的是________(填写序号).
①cos (A＋B)＝cos C；
②cos ＝sin ；
③sin (2A＋B＋C)＝－sin A.
答案：②③
解析：由题意得A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，
∴cos (A＋B)＝cos (π－C)＝－cos C，故①不正确；
由于＝－，∴cos ＝cos ＝sin ，故②正确；由于A＋B＋C＝π，
∴2A＋B＋C＝π＋A，
∴sin (2A＋B＋C)＝sin (π＋A)＝－sin A，故③正确．专练47　抛物线
授课提示：对应学生用书99页
[基础强化]
一、选择题
1．抛物线y＝x2的焦点到其准线的距离为(　　)
A．1 B．2
C． D．
答案：B
解析：y＝x2可化为x2＝4y，则焦点到准线的距离为×4＝2.
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线的焦点坐标为(　　)
A．(－1，0) B．(1，0)
C．(0，－1) D．(0，1)
答案：B
解析：∵y2＝2px的准线为x＝－，又准线过点(－1，1)，∴－＝－1，∴p＝2，故其焦点坐标为(1，0).
3．动点M到点F(2，1)的距离和到直线l：3x＋4y－10＝0的距离相等，则动点M的轨迹为(　　)
A．抛物线 　B．直线 C．线段　　D．射线
答案：B
解析：∵F(2，1)在直线l：3x＋4y－10＝0上，∴动点M的轨迹为过点F且与直线l垂直的直线．
4．若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线－y2＝1的右焦点重合，则p的值为(　　)
A．－4　　　B．4 C．－2　 　D．2
答案：B
解析：∵－y2＝1的右焦点为(2，0)，∴＝2，p＝4.
5．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝(　　)
A.2 B．2
C．3 D．3
答案：B
解析：由已知条件，易知抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.又B(3，0)，则|AF|＝|BF|＝2.不妨设点A在第一象限，则A(x0，2).根据抛物线的定义可知x0－(－1)＝2，所以x0＝1，所以A(1，2)，所以|AB|＝＝2.故选B.
6．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝(　　)
A．2　　　B．3 C．4　　　D．8
答案：D
解析：由题意，知抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(±，0)，所以＝，解得p＝8，故选D.
7.
如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则抛物线的方程为(　　)
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝2x D．y2＝x
答案：B
解析：
如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，设准线与x轴交于点G，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中，
∵|AF|＝4，|AC|＝4＋3a，
∴2|AE|＝|AC|，∴4＋3a＝8，从而得a＝，∵AE∥FG，∴＝，即＝，得p＝2.∴抛物线方程为y2＝4x.故选B.
8．设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A，B两点，则·等于(　　)
A．　　　B．－ C．3　　　D．－3
答案：B
解析：当AB与x轴垂直时，A，
B，·＝×＋1×(－1)＝－；
当AB与x轴不垂直时，
设l：y＝k，
由得k2x2－(k2＋2)x＋＝0
设A(x1，y1)，B(x2，y2)
由韦达定理得x1＋x2＝，x1x2＝，
∴·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2
＝(1＋k2)x1x2－k2(x1＋x2)＋＝－.
9．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A，B两点，过点A作准线l的垂线，垂足为E，当A点坐标为(3，y0)时，△AEF为正三角形，则此时△OAB的面积为(　　)
A．　　B． C．　　D．
答案：A
解析：不妨设点A在第一象限，
如图所示，过点F作AE的垂线，垂足为H，由题知当A的坐标为(3，y0)时△AEF为正三角形，此时H为AE的中点，|AE|＝3＋，|EH|＝p，∴2p＝3＋，解得p＝2，∴y2＝4x，A(3，2)，F(1，0)，∴kAF＝，直线AF的方程为y＝(x－1)，代入抛物线方程得3(x－1)2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，解得x1＝3，x2＝，此时y1＝2，y2＝－，∴S△AOB＝S△OFB＋S△OFA＝×1×(＋2)＝，故选A.
二、填空题
10．已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP，若|FQ|＝6，则C的准线方程为________．
答案：x＝－
解析：抛物线C：y2＝2px (p>0)的焦点F，
∵P为C上一点，PF与x轴垂直，
所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为±p，
不妨设P(，p)，
因为Q为x轴上一点，且PQ⊥OP，所以Q在F的右侧，
又∵|FQ|＝6，
∴Q(6＋，0)，∴＝(6，－p)
因为PQ⊥OP，所以·＝×6－p2＝0，
∵p>0，∴p＝3，
所以C的准线方程为x＝－.
11．已知点A在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为________．
答案：
解析：将点A的坐标代入抛物线方程，得5＝2p，于是y2＝5x，则抛物线的准线方程为x＝－，所以A到准线的距离为1－＝.
12．已知直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为________．
答案：0或1
解析：由得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0，
若k＝0，满足题意；若k≠0，则Δ＝(4k－8)2－4×4k2＝0，得k＝1.综上得k＝0或k＝1.
[能力提升]
13．(多选)[2023·新课标Ⅱ卷]设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则(　　)
A．p＝2
B．|MN|＝
C．以MN为直径的圆与l相切
D．△OMN为等腰三角形
答案：AC
解析：由题意，易知直线y＝－(x－1)过点(1，0).
对于A，因为直线经过抛物线C的焦点，所以易知焦点坐标为(1，0)，所以＝1，即p＝2，所以A选项正确．
对于B，不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1所以由两点间距离公式可得|MN|＝＝，故B选项错误．
对于C，由以上分析易知，l的方程为x＝－1，以MN为直径的圆的圆心坐标为(，－)，半径r＝|MN|＝＝＋1，所以以MN为直径的圆与l相切，故C选项正确．
对于D，由两点间距离公式可得|MN|＝，|OM|＝，|ON|＝，故D选项错误．综上，选AC.
14．(多选)[2024·新课标Ⅱ卷]抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上动点，过P作⊙A：x2＋(y－4)2＝1的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B.则(　　)
A．l与⊙A相切
B．当P，A，B三点共线时，|PQ|＝
C．当|PB|＝2时，PA⊥AB
D．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个
答案：ABD
解析：
∵y2＝4x，∴准线l为直线x＝－1，∵⊙A圆心为A(0，4)，半径为1，作出抛物线C与⊙A如图所示．∴l与⊙A相切，故A正确．当P，A，B三点共线时，∵A(0，4)，∴P点坐标为(4，4), ∵|PA|＝4，|AQ|＝1，∴|PQ|＝＝，故B正确．当|PB|＝2时，P点坐标为(1，2)或(1，－2).当P点坐标为(1，2)时，点B坐标为(－1，2)，|PA|＝＝＝|AB|，而|PB|＝2，|PA|2＋|AB|2≠|PB|2，此时PA与AB不垂直；当P点坐标为(1，－2)时，B点坐标为(－1，－2)，|PA|＝＝＝|AB|，而|PB|＝2，则|PA|2＋|AB|2≠|PB|2，此时PA与AB不垂直，故C错误．对于D，设点P的横坐标为m(m>0)，则点P坐标为(m，2)或(m，－2)，|PB|＝m＋1.当P点坐标为(m，2)时，|PA|＝，∵|PA|＝|PB|，∴|PA|2＝|PB|2，即m2＋4m＋16－16＝m2＋1＋2m，化简得2m＋15－16＝0，解得m1＝＋4，m2＝－4，当P点坐标为(m，－2)时，|PA|＝，同理，由|PA|＝|PB|，得2m＋16＋15＝0，解得＝<0或＝<0，不符合题意，因此满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个，故D正确．故选ABD.
15．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，抛物线C有一点P，过点P作PM⊥l，垂足为M，若等边△PMF的面积为4，则p＝________．
答案：2
解析：设准线l和x轴交于N点，PM平行于x轴，∠PMF＝∠MFN＝60°，由抛物线的定义得到|NF|＝p，故|MF|＝2p，故(2p)2＝4，∴p＝2.
16．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线，与抛物线分别交于A，B两点(点A在x轴上方)，则＝________.
答案：3
解析：
如图所示，由题意得准线l：x＝－.作AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，BH⊥AC于点H，则|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|，|AH|＝|AC|－|BD|＝|AF|－|BF|，因为在Rt△AHB中，∠HAB＝60°，所以cos 60°＝＝，
即(|AF|＋|BF|)＝|AF|－|BF|，得＝3.专练24　平面向量基本定理及坐标表示
授课提示：对应学生用书49页
[基础强化]
一、选择题
1．如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是(　　)
A．e1与e1＋e2
B．e1－2e2与e1＋2e2
C．e1＋e2与e1－e2
D．e1＋3e2与6e2＋2e1
答案：D
解析：选项A中，设e1＋e2＝λe1，则无解；选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则无解；
选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则无解；
选项D中，e1＋3e2＝(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量，不能作为平面内所有向量的一组基底．
2．已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝(　　)
A．(－2，－1) B．(－2，1)
C．(－1，0) D．(－1，2)
答案：D
解析：a－b＝－＝(－1，2).
3．已知a＝(2，1)，b＝(1，x)，c(－1，1).若(a＋b)∥(b－c)，且c＝ma＋nb，则m＋n等于(　　)
A． B．1
C．－ D．－
答案：C
解析：∵a＋b＝(3，1＋x)，b－c＝(2，x－1)，
∵(a＋b)∥(b－c)，∴3(x－1)＝2(x＋1)，
得x＝5，∴b＝(1，5)，又c＝ma＋nb，
∴(－1，1)＝m(2，1)＋n(1，5)
∴得
∴m＋n＝－＋＝－.
4．设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b，0)，a＞0，b＞0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是(　　)
A．2　　　　B．4　　　　C．6　　　　D．8
答案：D
解析：∵＝－＝(a－1，1)，＝(a＋b，－1)，
∵A，B，C三点共线，
∴(a－1)×(－1)＝1×(a＋b)，∴2a＋b＝1，
又a＞0，b＞0，
∴＋＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝8(当且仅当＝即a＝，b＝时等号成立)
5．已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－3a，则点N的坐标为(　　)
A．(2，0) B．(－3，6)
C．(6，2) D．(－2，0)
答案：A
解析：设点N的坐标为(x，y)，则＝(x－5，y＋6)
又＝－3a＝(－3，6)，
∴得
6．已知向量m＝与向量n＝(3，sin A＋cos A)共线，其中A是△ABC的内角，则角A的大小为(　　)
A． B． C． D．
答案：C
解析：∵m∥n，∴sin A(sin A＋cos A)－＝0，
∴2sin2A＋2sinA cos A＝3.
可化为1－cos 2A＋sin 2A＝3，
∴sin ＝1.
∵A∈(0，π)，∴∈.
因此2A－＝，解得A＝.故选C.
7．已知向量a＝(1，－2)，b＝(x，3y－5)，且a∥b，若x，y均为正数，则xy的最大值是(　　)
A．2 B． C． D．
答案：C
解析：∵a∥b，∴3y－5＝－2x，∴2x＋3y＝5，
又x，y均为正数，∴5＝2x＋3y≥2＝2，(当且仅当2x＝3y，即：x＝，y＝时等号成立)，
∴xy≤，故选C.
8．设向量a＝(－3，4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为(　　)
A． B．(－6，8)
C． D．(6，－8)
答案：D
解析：由题意不妨设b＝(－3m，4m)(m<0)，则|b|＝＝10，解得m＝－2或m＝2(舍去)，所以b＝(6，－8)，故选D.
9．[2024·全国甲卷(理)]设向量a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，则(　　)
A．x＝－3是a⊥b的必要条件
B．x＝－3是a∥b的必要条件
C．x＝0是a⊥b的充分条件
D．x＝－1＋是a∥b的充分条件
答案：C
解析：因为a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，所以a⊥b的充要条件为a·b＝0，即(x＋1)·x＋2x＝0，解得x＝0或x＝－3，故A错误，C正确．a∥b的充要条件为2(x＋1)＝x2，即x2－2x－2＝0，解得x＝1±，故B，D错误．故选C.
二、填空题
10．[2022·全国甲卷(文)，13]已知向量a＝(m，3)，b＝(1，m＋1)，若a⊥b，则m＝________．
答案：－
解析：由a⊥b，可得a·b＝(m，3)·(1，m＋1)＝m＋3m＋3＝0，所以m＝－.
11．已知＝(2，0)，＝(0，2)，＝t，t∈R，当||最小时，t＝________．
答案：
解析：依题意得－＝t(－2，2)，＝t(－2，2)＋＝(2－2t，2t)，||2＝12(1－t)2＋4t2＝16＋3≥3，当且仅当t＝时取等号．因此，当||最小时，t＝.
12．已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m，使得＋＝m成立，则m＝________．
答案：3
解析：∵＋＋＝0，∴M为△ABC的重心，设D为BC边的中点，
则＝(＋)×＝(＋)，
∴＋＝3，
∴m＝3.
[能力提升]
13．已知在Rt△ABC中，A＝，AB＝3，AC＝4，P为BC上任意一点(含B，C)，以P为圆心，1为半径作圆，Q为圆上任意一点，设＝a＋b，则a＋b的最大值为(　　)
A． B．
C． D．
答案：C
解析：
根据题设条件建立如图所示的平面直角坐标系，则C(0，4)，B(3，0)，易知点Q运动的区域为图中的两条线段DE，GF与两个半圆围成的区域(含边界)，由＝a＋b＝(3a，4b)，设z＝a＋b，则b＝z－a，所以＝(3a，4z－4a).设Q(x，y)，所以消去a，得y＝－x＋4z，则当点P运动时，直线y＝－x＋4z与圆相切时，直线的纵截距最大，即z取得最大值，不妨作AQ⊥BC于Q，并延长交每个圆的公切线于点R，则|AQ|＝，|AR|＝，所以点A到直线y＝－x＋4z，即4x＋3y－12z＝0的距离为，所以＝，解得z＝，即a＋b的最大值为，故选C.
14．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为(　　)
A． B． C．2 D．
答案：B
解析：
建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0).
不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，∴＝(－2，2)，＝(－2，1)，＝(1，2)，
∵＝λ＋μ，
∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，
∴解得λ＝，μ＝，则λ＋μ＝.故选B.
15．(多选)已知向量m＝(1，0)，n＝(，)，则(　　)
A．|m|＝|n|
B．(m－n)∥n
C．(m－n)⊥n
D．m与－n的夹角为
答案：ACD
解析：因为m＝(1，0)，n＝(，)，所以|m|＝1，|n|＝＝，所以|m|＝|n|，故A正确；因为m－n＝(，－)，所以m－n与n不平行，故B错误；又(m－n)·n＝0，故C正确；因为cos 〈m，－n〉＝＝－，所以m与－n的夹角为，故D正确．
16．如图，已知平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．
答案：6
解析：方法一　如图，作平行四边形OB1CA1，则＝OB1＋OA1，因为与的夹角为120°，与的夹角为30°，所以∠B1OC＝90°.
在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，|OC|＝2，
所以|OB1|＝2，|B1C|＝4，
所以|OA1|＝|B1C|＝4，所以＝4＋2，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.
方法二　以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1，0)，
B(－，)，C(3，).
由＝λ＋μ＝λ(1，0)＋μ(－，)，得(λ－μ，μ)＝(3，)，得解得所以λ＋μ＝6.专练2　常用逻辑用语
授课提示：对应学生用书3页
[基础强化]
一、选择题
1．[2024·新课标Ⅱ卷]已知命题p： x∈R，|x＋1|>1；命题q： x>0，x3＝x.则(　　)
A．p和q都是真命题
B． p和q都是真命题
C．p和 q都是真命题
D． p和 q都是真命题
答案：B
解析：对于命题p，当x＝－1时，|x＋1|＝0<1，所以p是假命题， p是真命题．对于命题q，若x3＝x，则x＝－1，0，1，所以满足“ x>0，x3＝x”，故q是真命题， q是假命题．故选B.
2．[2023·全国甲卷(理)]设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋cos β＝0，则(　　)
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案：B
解析：甲等价于sin2α＝1－sin2β＝cos2β，等价于sinα＝±cos β，所以由甲不能推导出sin α＋cos β＝0，所以甲不是乙的充分条件；由sin α＋cos β＝0，得sin α＝－cos β，平方可得sin2α＝cos2β＝1－sin2β，即sin2α＋sin2β＝1，所以由乙可以推导出甲，则甲是乙的必要条件．综上，选B.
3．[2024·福建泉州模拟]在等比数列{an}中，公比为q.已知a1＝1，则0A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：C
解析：an＝qn－1，
当0所以数列{an}单调递减，故充分性成立，
若数列{an}单调递减，则0<<1，即0所以0故选C.
4．设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：由x2－5x<0可得05．设命题p：ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R；q：0A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：当a＝0时，不等式ax2＋2ax＋1>0的解集为R；
当a≠0时，由不等式ax2＋2ax＋1>0的解集为R知，
得0∴当0≤a<1时不等式ax2＋2ax＋1>0的解集为R，
即p：0≤a<1，又(0，1)?[0，1).
∴p是q的必要不充分条件．
6．已知m∈R，“函数y＝2x＋m－1有零点”是“函数y＝logmx在(0，＋∞)上为减函数”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：由y＝2x＋m－1＝0，得m＝1－2x，由函数y＝2x＋m－1有零点，则m<1，由函数y＝logmx在(0，＋∞)上是减函数，得07．设p：|x－a|>3，q：(x＋1)(2x－1)≥0，若 p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　　)
A．
B．(－∞，－4]∪
C．
D．(－∞，－4)∪
答案：B
解析：p：xa＋3，q：x≤－1或x≥，
p：a－3≤x≤a＋3.
因为 p是q的充分不必要条件，
所以a＋3≤－1或a－3≥，
得a∈(－∞，－4]∪.
8．已知A，B，C为不共线的三点，则“|＋|＝|－|”是“△ABC为直角三角形”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：|＋|＝|－|两边平方得到2＋2＋2·＝2＋2－2·，得·＝0，即⊥，故△ABC为直角三角形，充分性成立；若△ABC为直角三角形，当∠B或∠C为直角时，|＋|≠|－|，必要性不成立．故选A.
9．(多选)下列命题说法错误的是(　　)
A． x∈R，ex≤0
B． x∈R，2x>x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．若x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1
答案：ABC
解析：根据指数函数的性质可得ex>0，故A错误；x＝2时，2x>x2不成立，故B错误；当a＝b＝0时，没有意义，故C错误；因为“x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1”的逆否命题为“x，y都小于等于1，则x＋y≤2”，是真命题，所以原命题为真命题，故D正确．故选ABC.
二、填空题
10．关于函数f(x)＝sin x＋有如下四个命题：
①f(x)的图象关于y轴对称．
②f(x)的图象关于原点对称．
③f(x)的图象关于直线x＝对称．
④f(x)的最小值为2.
其中所有真命题的序号是________．
答案：②③
解析：要使函数f(x)＝sin x＋有意义，则有sin x≠0，∴x≠kπ，k∈Z，∴定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称．
又∵f(－x)＝sin (－x)＋＝－sin x－＝－＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．∴f(x)的图象关于原点对称，
∴①是假命题，②是真命题．
对于③，要证f(x)的图象关于直线x＝对称，只需证f＝f.
∵f＝sin ＋
＝cos x＋，
f＝sin ＋
＝cos x＋，
∴f＝f，
∴③是真命题．
令sin x＝t，－1≤t≤1且t≠0，∴g(t)＝t＋，－1≤t≤1且t≠0，此函数图象如图所示(对勾函数图象的一部分)，∴函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，
∴函数的最小值不为2，即f(x)的最小值不为2.∴④是假命题．
综上所述，所有真命题的序号是②③.
11．记不等式x2＋x－6<0的解集为集合A，函数y＝lg (x－a)的定义域为集合B.“若x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为________．
答案：(－∞，－3]
解析：由x2＋x－6<0得－3即：A＝(－3，2)，
由x－a>0，得x>a，即：B＝(a，＋∞)，
由题意得(－3，2)?(a，＋∞)，∴a≤－3.
12．已知p：≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若p是q的充分而不必要条件，则m的取值范围为________.
答案：[9，＋∞)
解析：由≤2，得－2≤x≤10，
由x2－2x＋1－m2≤0得1－m≤x≤1＋m，
设p，q表示的范围为集合P，Q，则
P＝{x|－2≤x≤10}，
Q＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}．
因为p是q的充分而不必要条件，所以P?Q.
所以解得m≥9.
[能力提升]
13．(多选)若“存在x∈，使得2x2－λx＋1<0成立”是假命题，则实数λ可能是(　　)
A．　　B．2 C．3　　D．
答案：AB
解析：因为“存在x∈，使得2x2－λx＋1<0成立”是假命题，所以对任意x∈，2x2－λx＋1≥0恒成立，即2x＋≥λ对任意x∈恒成立．因为2x＋≥2(当且仅当x＝时，等号成立)，所以λ≤2.故选AB.
14．[2024·天津卷]设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：C
解析：a3＝b3 a＝b，若a＝b，则3a＝3b，若3a＝3b，则a＝b，所以“a3＝b3”是“3a＝3b”的充分必要条件，故选C.
15．[2023·新课标Ⅰ卷]设Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列，则(　　)
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案：C
解析：若{an}为等差数列，设其公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，所以Sn＝na1＋d，所以＝a1＋(n－1)·，所以－＝a1＋(n＋1－1)·－[a1＋(n－1)·]＝，为常数，所以{}为等差数列，即甲 乙；若{}为等差数列，设其公差为t，则＝＋(n－1)t＝a1＋(n－1)t，所以Sn＝na1＋n(n－1)t，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝na1＋n(n－1)t－[(n－1)a1＋(n－1)(n－2)t]＝a1＋2(n－1)t，当n＝1时，S1＝a1也满足上式，所以an＝a1＋2(n－1)t(n∈N*)，所以an＋1－an＝a1＋2(n＋1－1)t－[a1＋2(n－1)t]＝2t，为常数，所以{an}为等差数列，即甲 乙．所以甲是乙的充要条件，故选C.
16．已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．
答案：[0，3]
解析：由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10.
∴P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要条件，知S P.
又∵S≠ ，如图所示．
则，∴0≤m≤3.
所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0，3].专练27　高考大题专练(二)　解三角形的综合运用
授课提示：对应学生用书55页
1．[2023·新课标Ⅰ卷]已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B.
(1)求sin A；
(2)设AB＝5，求AB边上的高．
解析：方法一　(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，
因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝.
因为2sin (A－C)＝sin B，
所以2sin (A－)＝sin (－A)，
展开并整理得(sin A－cos A)＝(cos A＋sin A)，
得sin A＝3cos A，
又sin2A＋cos2A＝1，且sinA>0，所以sin A＝.
(2)由正弦定理＝，
得BC＝×sin A＝×＝3，
由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos C，
得52＝AC2＋(3)2－2AC·3cos ，
整理得AC2－3AC＋20＝0，
解得AC＝或AC＝2，
由(1)得，tan A＝3>，所以又A＋B＝，所以B>，
即C设AB边上的高为h，则×AB×h＝×AC×BC sin C，
即5h＝2×3×，
解得h＝6，所以AB边上的高为6.
方法二　(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，
因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝.
因为2sin (A－C)＝sin B，
所以2sin (A－C)＝sin [π－(A＋C)]＝sin (A＋C)，
所以2sin A cos C－2cos A sin C＝sin A cos C＋cos A sin C，
所以sin A cos C＝3cos A sin C，
易得cos A cos C≠0，
所以tan A＝3tan C＝3tan ＝3，
又sin A>0，所以sin A＝＝.
(2)由(1)知sin A＝，tan A＝3>0，所以A为锐角，所以cos A＝，
所以sin B＝sin (－A)＝(cos A＋sin A)＝×(＋)＝，
由正弦定理＝，
得AC＝＝＝2，
故AB边上的高为AC×sin A＝2×＝6.
2．[2024·新课标Ⅰ卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab.
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为3＋，求c.
解析：(1)已知a2＋b2－c2＝ab，则有cos C＝＝.
又C∈(0，π)，所以C＝.
又sin C＝cos B，所以cos B＝＝.
又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)由(1)可得C＝，B＝，由正弦定理，不妨令＝＝k(k>0)，则有c＝k，b＝k.
又S△ABC＝3＋，所以S△ABC＝bc sin A＝bc sin (B＋C)＝·k·k(sin B cos C＋cos B sin C)＝k2(×＋×)＝k2·＝3＋，解得k＝4(负值舍去)，故c＝k＝2.
3．[2023·新课标Ⅱ卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为，D为BC的中点，且AD＝1.
(1)若∠ADC＝，求tan B；
(2)若b2＋c2＝8，求b，c.
解析：(1)因为D为BC的中点，
所以S△ABC＝2S△ADC＝2××AD×DC sin ∠ADC＝2××1×DC×＝，
解得DC＝2，所以BD＝DC＝2，a＝4.
因为∠ADC＝，所以∠ADB＝.
在△ABD中，由余弦定理，得c2＝AD2＋BD2－2AD·BD cos ∠ADB＝1＋4＋2＝7，所以c＝.
在△ADC中，由余弦定理，得b2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos ∠ADC＝1＋4－2＝3，所以b＝.
在△ABC中，由余弦定理，得cos B＝＝＝，
所以sin B＝＝.
所以tanB＝＝.
(2)因为D为BC的中点，所以BD＝DC.
因为∠ADB＋∠ADC＝π，所以cos ∠ADB＝－cos ∠ADC，
则在△ABD与△ADC中，由余弦定理，得＝－，
得1＋BD2－c2＝－(1＋BD2－b2)，
所以2BD2＝b2＋c2－2＝6，所以BD＝，所以a＝2.
在△ABC中，由余弦定理，得cos ∠BAC＝＝＝－，
所以S△ABC＝bc sin ∠BAC
＝bc
＝bc
＝
＝，
解得bc＝4.
则由，解得b＝c＝2.
4．[2024·新课标Ⅱ卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2.
(1)求A；
(2)若a＝2，b sin C＝c sin 2B，求△ABC的周长.
解析：(1)由sin A＋cos A＝2，得2(sin A＋cos A)＝2，所以sin ＝1.
由A∈(0，π)，得A＋∈，所以A＋＝，所以A＝.
(2)由A，B，C为三角形内角，得sin B≠0，sin C≠0.
因为b sin C＝c sin 2B，
所以由正弦定理得sin B sin C＝sin C sin 2B，
所以sin B＝sin 2B，即sin B＝2sin B cos B，所以cos B＝，所以B＝.
因为a＝2，A＝，所以由正弦定理，得b＝sin B＝2.
由A＝，B＝，得C＝，所以sin C＝sin ＝sin ＝×＋×＝，
所以由正弦定理，得c＝＝＝＋，
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋2＋＋＝2＋＋3．
5．在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1.
(1)求sin ∠ABC；
(2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积．
解析：(1)
如图，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC＝22＋12＋2×2×1×＝7，得BC＝.
方法一　由正弦定理＝，
得sin ∠ABC＝＝.
方法二　由余弦定理得cos ∠ABC＝＝＝，
所以sin ∠ABC＝＝.
(2)方法一　由sin∠ABC＝，得tan ∠ABC＝，
又tan ∠ABC＝＝，所以DA＝，
故△ADC的面积为DA·AC·sin (120°－90°)＝××1×＝.
方法二　△ABC的面积为AC·AB·sin ∠BAC＝×1×2×＝，
＝＝＝，
故△ADC的面积为S△ABC＝×＝.
6．[2024·北京卷]在△ABC中，∠A为钝角，a＝7，sin 2B＝b cos B.
(1)求∠A；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积．
条件①：b＝7；
条件②：cos B＝；
条件③：c sin A＝.
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
解析：(1)由题意知，2sin B cos B＝b cos B，
又A为钝角，∴B≠，∴2sin B＝b.
∵＝，∴b＝·sin B，
∴2sin B＝··sin B，
又a＝7，B∈(0，)，则sin B≠0，
∴2＝，∴sin A＝，
∵A为钝角，∴A＝.
(2)若选①，∵b＝7，又a＝7，A＝，此时构不成三角形，不符合题意．
若选②，∵cos B＝，∴sin B＝＝.
由正弦定理可得b＝＝3，
又sin C＝sin [π－(A＋B)]＝sin (A＋B)
＝sin A cos B＋cos A sin B
＝×－×＝.
∴S△ABC＝ab sin C＝×7×3×＝.
若选③，∵c sin A＝c·＝，∴c＝5.
由余弦定理得cos A＝cos ＝－＝，
即－bc＝b2＋c2－a2，∴－5b＝b2＋25－49，
∴b2＋5b－24＝0，解得b＝3(负值舍去)，
∴S△ABC＝bc sin A＝×3×5×＝.
7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B－sin C)2＝sin2A－sinB sin C.
(1)求A；
(2)若a＋b＝2c，求sin C.
解析：(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinB sin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理得cos A＝＝.
因为0°(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得sin A＋sin (120°－C)＝2sin C，即＋cos C＋sin C＝2sin C，可得cos (C＋60°)＝－.
由于0°sin C＝sin (C＋60°－60°)＝sin (C＋60°)cos 60°－cos (C＋60°)sin 60°＝.
8．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C sin (A－B)＝sin B sin (C－A).
(1)证明：2a2＝b2＋c2；
(2)若a＝5，cos A＝，求△ABC的周长．
解析：(1)证明：∵sin C sin (A－B)＝sin B sin (C－A)，
∴sin C sin A cos B－sin C cos A sin B＝sin Bsin C cos A－sin B cos C sin A，
∴sin C sin A cos B＝2sin B sin C cos A－sin Bcos C sin A.
由正弦定理，得ac cos B＝2bc cos A－ab cos C.
由余弦定理，得＝b2＋c2－a2－.
整理，得2a2＝b2＋c2.
(2)由(1)知2a2＝b2＋c2.
又∵a＝5，∴b2＋c2＝2a2＝50.
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A，
即25＝50－bc，∴bc＝.
∴b＋c＝＝＝9，
∴a＋b＋c＝14.故△ABC的周长为14.专练9　幂函数
授课提示：对应学生用书17页
[基础强化]
一、选择题
1．下列函数既是偶函数又是幂函数的是(　　)
A．y＝x　　　　　　　　B．y＝x
C．y＝x D．y＝|x|
答案：B
2．若f(x)是幂函数，且满足＝4，则f等于(　　)
A．4 B．－4
C． D．－
答案：C
解析：设f(x)＝xα，则＝＝4，
∴2α＝4，∴α＝2，∴f(x)＝x2，∴f＝＝.
3．已知点(m，8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝f()，b＝f(π)，c＝f()，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．aC．b答案：A
解析：由题意知，点(m，8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，所以m－1＝1，
8＝(m－1)·mn，则m＝2，n＝3.
即f(x)＝x3，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又<<1<π，
所以f()4．若幂函数y＝f(x)的图象过点，则f(21－log23)为(　　)
A． B．
C． D．－1
答案：C
解析：∵幂函数y＝f(x)的图象过点，
∴可设f(x)＝xα，
∴5α＝，解得α＝－1，
∴f(x)＝x－1.
∴f(21－log23)＝f(2log2)＝f＝＝，故选C.
5．幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，)，则f(x)是(　　)
A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
答案：D
解析：设幂函数的解析式为f(x)＝xα，将(3，)代入解析式得3α＝，解得α＝，∴f(x)＝x.∴f(x)为非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故选D.
6．当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2－m－1)x－5m－3为减函数，则实数m的值为(　　)
A．m＝2 B．m＝－1
C．m＝－1或m＝2 D．m≠
答案：A
解析：因为函数y＝(m2－m－1)x－5m－3既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，所以解得m＝2.
7．设函数f(x)＝x(ex＋e－x)，则f(x)(　　)
A．是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
答案：A
解析：∵f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，且f(－x)＝－x(e－x＋ex)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，又当x>0时，f′(x)＝ex＋e－x＋(ex－e－x)x>0，
∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数，故选A.
8．(多选)已知实数a，b满足a＝b，则下列关系式中可能成立的是(　　)
A．0C．1答案：AC
解析：由题可知a，b∈[0，＋∞)，设a＝b＝m，则m≥0，画出y＝x与y＝x在[0，＋∞)上的图象如图．由图可知，当m＝0或m＝1时，a＝b；当01时，19．(多选)已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足>0.若a，b∈R，且f(a)＋f(b)的值为负值，则下列结论可能成立的有(　　)
A.a＋b>0，ab<0 B．a＋b<0，ab>0
C．a＋b<0，ab<0 D．以上都可能
答案：BC
解析：由函数f(x)为幂函数可知m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.当m＝－1时，f(x)＝；当m＝2时，f(x)＝x3.由题意知函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，因此f(x)＝x3，在R上单调递增，且满足f(－x)＝－f(x).结合f(－x)＝－f(x)以及f(a)＋f(b)<0可知f(a)<－f(b)＝f(－b)，所以a<－b，即b<－a，所以a＋b<0.
当a＝0时，b<0，ab＝0；当a>0时，b<0，ab<0；当a<0时，ab>0(b<0)或ab<0(0二、填空题
10．已知a∈{－2，－1，－，，1，2，3}，若幂函数f(x)＝xa为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则a＝________.
答案：－1
11．已知幂函数f(x)＝ (k∈N*)满足f(2)答案：f(x)＝x2
解析：幂函数f(x)＝ (k∈N*)满足f(2)0，∴－112．若幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)·在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为________．
答案：1
解析：由已知得m2－4m＋4＝1，
即m2－4m＋3＝0，
解得m＝1或3.
当m＝1时，f(x)＝x3，符合题意；
当m＝3时，f(x)＝x－1，不符合题意．
故m＝1.
[能力提升]
13．幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝xb的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，则a－＝(　　)
A．0　　　B．1　　　C．　　　D．2
答案：A
解析：因为BM＝MN＝NA，点A(1，0)，B(0，1)，所以M(，)，N(，)，分别代入y＝xa，y＝xb，得a＝log，b＝log，
∴a－＝log－＝0.
14．(多选)[2024·重庆开州区质量检测]已知函数f(x)＝xα的图象经过点(4，2)，则下列说法正确的有(　　)
A．函数f(x)为增函数
B．函数f(x)为偶函数
C．若x＞1，则f(x)＞1
D．若0＜x1＜x2，则＜f
答案：ACD
解析：将点(4，2)的坐标代入函数f(x)＝xα中得2＝4α，则α＝，所以f(x)＝x.
显然f(x)在定义域[0，＋∞)上为增函数，所以A正确．
f(x)的定义域为[0，＋∞)，所以f(x)不具有奇偶性，所以B不正确．
当x＞1时，＞1，即f(x)＞1，所以C正确．
f(x)＝x≥0，若0＜x1＜x2，
则－
＝()2－( )2
＝－
＝＝－＜0，
即＜f成立，所以D正确．故选ACD.
15．右图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限内的图象，已知n取±2，±四个值，则相应曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为(　　)
A．－2，－，，2 B．2，，－，－2
C．－，－2，2， D．2，，－2，－
答案：B
解析：当x＝2，n取2，－2，，－四个值时，依次对应的函数值为4，，，，因此有C1，C2，C3，C4对应的n值分别为2，，－，－2.
16．若(a＋1)－<(3－2a)－，则实数a的取值范围是________．
答案：(－∞，－1)∪
解析：不等式<等价于
a＋1>3－2a>0或3－2a解得：授课提示：对应学生用书77页
[基础强化]
一、选择题
1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(　　)
A．一条直线不相交
B．两条直线不相交
C．无数条直线不相交
D．任意一条直线都不相交
答案：D
解析：由线面平行的定义可知，当a∥α时，a与平面α内的任意一条直线都不相交．
2．[2024·全国甲卷(理)]设α，β为两个平面，m，n为两条直线，且α∩β＝m.下述四个命题：
①若m∥n，则n∥α或n∥β；
②若m⊥n，则n⊥α或n⊥β；
③若n∥α且n∥β，则m∥n；
④若n与α，β所成的角相等，则m⊥n.
其中所有真命题的编号是(　　)
A．①③ B．②④
C．①②③ D．①③④
答案：A
解析：对于①，因为α∩β＝m，m∥n，所以当n α时，n∥β；
当n β时，n∥α；当n α，且n β时，n∥α且n∥β，故①正确．
对于②，因为α∩β＝m，m⊥n，所以n与α，β的位置关系为在平面内、与平面平行或相交，故②错误．
对于③，因为n∥α且n∥β，α∩β＝m，所以m∥n，故③正确．
对于④，如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，记平面ADD1A1为α，平面ABCD为β，则直线AD为m，记直线BD1为n，由正方体的性质可知BD1与平面ADD1A1，所成角为∠AD1B，则sin ∠AD1B＝，BD1与平面ABCD所成角为∠DBD1，则sin ∠DBD1＝＝sin ∠AD1B，此时BD1与AD不垂直，即m与n不垂直，故④错误．故选A.
3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m α，则“m∥β”是“α∥β”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：∵当α∥β，m α时，m∥β即：α∥β m∥β，
当m α，m∥β时，α与β可能相交，也可能平行，
即：m∥β D /α∥β，∴m∥β是α∥β的必要不充分条件．
4．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列判断正确的是(　　)
A．平面BEM∥平面ACN
B．AF∥CN
C．BM∥平面EFD
D．BE与AN相交
答案：A
解析：还原正方体易知AN∥BM，AC∥EM且AN∩AC＝A，
所以平面ACN∥平面BEM，故选A.
5．在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则(　　)
A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形
B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形
D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形
答案：B
解析：
如图，由题意EF∥BD，且EF＝BD，HG∥BD，且HG＝BD，所以EF∥HG，且EF≠HG，又HG 平面BCD，EF 平面BCD，所以EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形，故选B.
6.
如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，下列直线与平面AD′C平行的是(　　)
A．B′C′　　　　　 　B．A′B
C．A′B′ D．BB′
答案：B
解析：连接A′B，∵A′B∥CD′，A′B 平面AD′C，CD′ 平面AD′C，∴A′B∥平面AD′C.
7．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有(　　)
A．4条 B．6条
C．8条 D．12条
答案：B
解析：如图E，F，G，H是相应线段的中点，故符合条件的直线只能出现在平面EFGH中，故有EF，FG，GH，HE，FH，EG共6条直线．
8．已知平面α∥平面β，P是α、β外一点，过点P的直线m与α、β分别交于点A、C，过点P的直线n与α、β分别交于点B、D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为(　　)
A．16 B．24或
C．14 D．20
答案：B
解析：设BD＝x，由α∥β AB∥CD △PAB∽△PCD ＝.
①当点P在两平面之间时，
如图1，＝，
∴x＝24；
②当点P在两平面外侧时，
如图2，＝，
∴x＝.
9．[2024·广东广州模拟]在三棱柱ABC－A1B1C1中，E是棱AB的中点，动点F是侧面ACC1A1(包括边界)上一点．若EF∥平面BCC1B1，则动点F的轨迹是(　　)
A．线段 B．圆弧
C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分
答案：A
解析：
如图所示，分别取AC，A1C1，A1B1的中点N，F，M，连接ME，MF，NE，FN.
因为E为AB的中点，所以NE∥BC且NE＝BC，
同理FM∥B1C1，且MF＝B1C1，所以N，E，M，F四点共面．
因为ME∥BB1，NE∥BC，
所以ME∥平面BCC1B1，NE∥平面BCC1B1，而NE∩ME＝E，所以平面NEMF∥平面BCC1B1，而EF 平面NEMF，所以EF∥平面BCC1B1，所以要使EF∥平面BCC1B1，则动点F的轨迹为线段FN.故选A.
二、填空题
10.
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________．
答案：平行
解析：连接BD，交AC于O点，
∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，
∴O为BD的中点，又E为DD1的中点，∴EO∥BD1，
又EO 平面AEC，BD1 平面AEC，
∴BD1∥平面AEC.
11.
如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
答案：
解析：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，∴AC＝2.又E为AD中点，EF∥平面AB1C，EF 平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，∴F为DC中点，∴EF＝AC＝.
12.
如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)
答案：点M在线段FH上(或点M与点H重合)
解析：连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，
∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN 平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.
[能力提升]
13．若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有(　　)
A．0条 B．1条
C．2条 D．1条或2条
答案：C
解析：
如图所示，EFGH为平行四边形，
则EF∥GH，又EF 面BCD，HG 面BCD，
∴EF∥面BCD，
又面BCD∩面ACD＝CD，∴EF∥CD，
∴CD∥面EFGH，同理可得AB∥面EFGH.
14．[2024·九省联考]设α，β是两个平面，m，l是两条直线，则下列命题为真命题的是(　　)
A．若α⊥β，m∥α，l∥β，则m⊥l
B．若m α，l β，m∥l，则α∥β
C．若α∩β＝m，l∥α，l∥β，则m∥l
D．若m⊥α，l⊥β，m∥l，则α⊥β
答案：C
解析：如图，正方体ABCD A1B1C1D1中，
对于A，设平面α为平面ABCD，平面β为平面ADD1A1，m＝B1C1，l＝BC，m∥α，l∥β，α⊥β，但m∥l，A错．
对于B，m＝BC，平面α为平面ABCD，l＝AD，平面β为平面ADD1A1，此时m α，l β，m∥l，但α与β不平行，B错．
对于D，平面α为平面ABCD，平面β为平面A1B1C1D1，m＝AA1，l＝BB1，此时m⊥α，l⊥β，m∥l，但平面α与平面β平行不垂直，D错．选C.
15．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，下列结论中，正确的是________．
①AD1∥BC1；
②平面AB1D1∥平面BDC1；
③AD1∥DC1；
④AD1∥平面BDC1.
答案：①②④
解析：
∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，
∴AB綊D1C1，∴ABC1D1为平行四边形，∴AD1∥BC1，故①正确；∵AD1∥BC1，BC1 平面BDC1，AD1 平面BDC1，∴AD1∥平面BDC1，
又BD∥B1D1，B1D1 平面BDC1，BD 平面BDC1，
∴B1D1∥平面BDC1，又AD1∩B1D1＝D1，
∴平面AB1D1∥平面BDC1，故②正确；故④正确；对于③，AD1与DC1为异面直线，故③不正确.
16．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m β，给出下列四个命题：
①若α∥β，则l⊥m；
②若l⊥m，则α∥β；
③若α⊥β，则l∥m；
④若l∥m，则α⊥β.
其中为真命题的序号是________．
答案：①④
解析：①正确，因为l⊥α，α∥β l⊥β，又m β，故l⊥m；②错，当两平面相交且交线为直线m时也满足题意；③错，各种位置关系均有可能；④正确，l⊥α，l∥m m⊥α，又m β，所以α⊥β，综上可知命题①④为真命题．专练51　随机事件的概率与古典概型
授课提示：对应学生用书107页
[基础强化]
一、选择题
1．[2022·全国甲卷(文)，6]从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为(　　)
A． B．
C． D．
答案：C
解析：从6张卡片中任取2张的取法有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15种不同取法，其中2张卡片上的数字之积是4的倍数的取法有(1，4)，(2，4)，(2，6)，(3，4)，(4，5)，(4，6)，共6种，所以所求概率p＝＝.故选C.
2．一道竞赛题，A，B，C三人可解出的概率依次为，，.若三人独立解答，则仅有1人解出的概率为(　　)
A． B．
C． D．1
答案：B
解析：记A，B，C三人分别解出题为事件A，B，C，则仅有1人解出题的概率P＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝××＋××＋××＝.故选B.
3．在一个不透明的容器中有6个小球，其中有4个黄球，2个红球，它们除颜色外完全相同．如果一次随机取出2个球，那么至少有1个红球的概率为(　　)
A． B．
C． D．
答案：B
解析：方法一　从6个小球中一次随机取出2个球包含的基本事件总数n＝C＝15，其中至少有1个红球包含的基本事件个数m＝CC＋C＝9，因此至少有1个红球的概率P＝＝＝.故选B.
方法二　从6个小球中一次随机取出2个球包含的基本事件总数n＝C＝15，其中全部是黄球包含的基本事件个数是C＝6，因此至少有1个红球包含的基本事件个数是15－6＝9，因此至少有1个红球的概率P＝＝.故选B.
方法三　设“一次随机取出2个球，至少有1个红球”为事件A，则P(A)＝1－P()＝1－＝1－＝，故选B.
4．(多选)甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，则下列说法正确的是(　　)
A．甲获胜的概率为
B．甲不输的概率为
C．乙输的概率为
D．乙不输的概率为
答案：
答案：AD
解析：∵甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，∴甲获胜的概率为1－－＝，故A正确；甲不输的概率为1－＝，故B不正确；乙输的概率为1－－＝，故C不正确；乙不输的概率为＋＝，故D正确．故选AD.
5．设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为(　　)
A． B．
C． D．
答案：A
解析：从O，A，B，C，D中任取3点的情况有(O，A，B)，(O，A，C)，(O，A，D)，(O，B，C)，(O，B，D)，(O，C，D)，(A，B，C)，(A，B，D)，(B，C，D)，(A，C，D)，共有10种不同的情况，由图可知取到的3点共线的有(O，A，C)和(O，B，D)两种情况，所以所求概率为＝.故选A.
6．某超市开通网上销售业务，每天能完成1 200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，招聘临时工参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1 600份的概率为0.05.临时工每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要临时工(　　)
A．10名 B．18名
C．24名 D．32名
答案：B
解析：由题意得第二天订单不超过1 600份的概率为1－0.05＝0.95，故第一天积压订单加上第二天的新订单不超过1 600＋500＝2 100份的概率为0.95，因为超市本身能完成1 200份订单配货，所以需要临时工完成的订单不超过2 100－1 200＝900份的概率为0.95，因为900÷50＝18，所以至少需要18名临时工，故选B.
7．从编号为1，2，3，4，5，6的6张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除的概率为(　　)
A． B．
C． D．
答案：C
解析：依题意，基本事件的总数为6×6＝36，第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除的有(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，6)，(5，1)，(5，5)，(4，1)，(4，2)，(4，4)，(3，1)，(3，3)，(2，1)，(2，2)，(1，1)，共14种情况，所以所求的概率P＝＝，故选C.
8．[2022·新高考Ⅰ卷，5]从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(　　)
A． B．
C． D．
答案：D
解析：方法一　从2，3，4，5，6，7，8中随机取2个不同的数有C＝21(种)结果，其中这2个数互质的结果有(2，3)，(2，5)，(2，7)，(3，4)，(3，5)，(3，7)，(3，8)，(4，5)，(4，7)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(6，7)，(7，8)，共14种，所以所求概率为＝.故选D.
方法二　从2，3，4，5，6，7，8中随机取2个不同的数有C＝21(种)结果，其中这2个数不互质的结果有(2，4)，(2，6)，(2，8)，(3，6)，(4，6)，(4，8)，(6，8)，共7种，所以所求概率为＝.故选D.
9．(多选)甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门．若甲同学必选物理，则下列说法正确的是(　　)
A．甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件
B．甲同学不同的选法共有15种
C．已知乙同学选了物理，则乙同学选技术的概率是
D．乙、丙两名同学都选物理的概率是
答案：BD
解析：甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件，故A错误；由于甲同学必选物理，故只需从剩下的6门学科中任选2门即可，则甲同学不同的选法共有C＝15种，故B正确；由于乙同学选了物理，则乙同学选技术的概率是＝，故C错误；乙、丙两名同学各自选物理的概率均为＝，故乙、丙两名同学都选物理的概率是×＝，故D正确．故选BD.
二、填空题
10．[2022·全国甲卷(理)，15]从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．
答案：
解析：从正方体的8个顶点中任选4个，所有的取法有C＝70(种)，4个点共面的取法共有12种(表面有6个四边形，对角线可构成6个长方形，所以共有12种)，所以4个点在同一个平面的概率为＝.
11．某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类．某同学从中任选2门课程学习，则该同学选到文科类选修课程的概率是________．
答案：　
解析：从5门不同的选修课程中任选2门课程学习所包含的基本事件总数n＝C＝10，该同学选到文科类选修课程包含的基本事件个数m＝C＋CC＝7，因此该同学选到文科类选修课程的概率P＝＝.
12．[2024·全国甲卷(理)]有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球．设m为前两次取出的球上数字的平均值，n为取出的三个球上数字的平均值，则m与n之差的绝对值不大于的概率为________．
答案：
解析：记取出的三个球上的数字按先后顺序分别为a，b，c，则共有A＝120(种)可能．由题知，|m－n|＝＝≤0.5，即|a＋b－2c|≤3.根据对称性知c＝1或6时，均有2种可能；c＝2或5时，均有10种可能；c＝3或4时，均有16种可能，故满足条件的共有2×2＋2×10＋2×16＝56(种)可能，故所求概率P＝＝.
[能力提升]
13．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽的概率为(　　)
A． B．
C． D．
答案：D
解析：若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则P左＝P右＝，小球最终落入③号球槽经过5次选择，其中向左3次、向右2次，则所求概率P＝C×()3×()2＝，故选D.
14．“仁义礼智信”为儒家“五常”，由孔子提出“仁、义、礼”，孟子延伸为“仁、义、礼、智”，董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”．将“仁义礼智信”排成一排，“仁”排在第一位，且“智、信”相邻的概率为(　　)
A． B．
C． D．
答案：A
解析：“仁义礼智信”排成一排，任意排有A种排法，其中“仁”排在第一位，且“智、信”相邻的排法有AA种，故所求概率P＝＝.故选A.
15．[2024·福建漳州质检]厦门山海健康步道云海线全长约23公里，起于邮轮码头，终于观音山梦幻沙滩，沿线串联筼筜湖、狐尾山、仙岳山、园山、薛岭山、虎头山、金山、湖边水库、五缘湾、虎仔山、观音山等岛内的“八山三水”．市民甲计划从“八山三水”这11个景点中随机选取相邻的3个浏览，则选取的景点中有“水”的概率为(　　)
A． B．
C． D．
答案：C
解析：从这11个景点中随机选取相邻的3个游览，共有9种情况，选取的景点中有“水”的对立事件是在狐尾山、仙岳山、园山、薛岭山、虎头山、金山中选取3个相邻的景点，共有4种情况，故从这11个景点中随机选取相邻的3个游览，选取的景点中有“水”的概率P＝1－＝.故选C.
16．某机构有项业务是测试手机电池的续航时间，现有美国产的iPhone和中国产的小米、华为、OPPO四种品牌的手机需要测试，其中华为有Mate 60和P60两种型号，其他品牌的手机都只有一种型号．已知每款手机的测试时间都为1个月，测试顺序随机，每款手机测试后不再测试，同一品牌的两个型号不会连续测试．在未来4个月内，测试的手机都是国产手机的概率为________．
答案：
解析：在未来4个月内，测试的手机有如下两种情况：
①当华为手机出现两次时，有CCAA＝36种情况；
②当华为手机出现一次时，有CA＝48种情况．
故共有36＋48＝84种情况．
而其中未来这4个月中测试的手机都是国产手机的情况有AA＝12(种)，故所求概率P＝＝.专练18　高考大题专练(一)　导数的应用
授课提示：对应学生用书35页
　　　　　　　　　　　　　　
1．[2024·新课标Ⅰ卷]已知函数f(x)＝ln ＋ax＋b(x－1)3.
(1)若b＝0，且f′(x)≥0，求a的最小值；
(2)证明：曲线y＝f(x)是中心对称图形；
(3)若f(x)>－2当且仅当1解析：(1)当b＝0时，f(x)＝ln ＋ax，x∈(0，2)，
则f′(x)＝·()′＋a＝·＋a＝＋a.
∵f′(x)≥0，∴a≥在(0，2)上恒成立．
当x∈(0，2)时，x(x－2)∈[－1，0)，
∴∈(－∞，－2]，
∴a∈[－2，＋∞)，即a的最小值为－2.
(2)证明：方法一　∵f(x)＝ln ＋ax＋b(x－1)3，x∈(0，2)，
∴f(x＋1)＝ln ＋ax＋a＋bx3，x∈(－1，1).
令g(x)＝f(x＋1)－a＝ln ＋ax＋bx3，x∈(－1，1)，则g(－x)＝ln －ax－bx3＝－ln －ax－bx3＝－g(x)，∴g(x)是定义域为(－1，1)的奇函数，其图象关于坐标原点O对称．
又∵f(x)的图象可由g(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移a个单位长度得到，∴曲线y＝f(x)是中心对称图形．
方法二　f(x)的定义域为(0，2)，f(1)＝a.
当x∈(－1，1)时，f(1＋x)＝ln ＋a(1＋x)＋bx3，f(1－x)＝ln ＋a(1－x)－bx3，
∴f(1＋x)＋f(1－x)＝ln ＋ln ＋2a＝2a，∴曲线y＝f(x)关于点(1，a)中心对称，即曲线y＝f(x)是中心对称图形．
(3)∵f(x)>－2当且仅当1∴f(1)＝－2 a＝－2，
∴f(x)＝ln －2x＋b(x－1)3>－2对任意x∈(1，2)恒成立，f′(x)＝＋－2＋3b(x－1)2＝＋3b(x－1)2＝(x－1)2·[＋3b].
令m(x)＝＋3b，∴必有m(1)＝2＋3b≥0 b≥－.
否则若b<－，则存在δ(1<δ<2)使得当x∈(1，δ)时，
f′(x)<0，f(x)在(1，δ)上单调递减，∴f(δ)当b≥－时，对任意x∈(1，2)，f(x)≥ln －2x－(x－1)3，
令h(x)＝ln －2x－(x－1)3，则h′(x)＝－2(x－1)2＝2(x－1)2[－1]>0，对任意x∈(1，2)恒成立，
∴h(x)>h(1)＝－2，符合条件．
综上可得b的取值范围是[－，＋∞).
2．[2023·新课标Ⅰ卷]已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明：当a>0时，f(x)>2ln a＋.
解析：(1)f′(x)＝aex－1，
当a≤0时，f′(x)≤0，
所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；
当a>0时，令f′(x)>0，得x>－ln a，令f′(x)<0，得x<－ln a，
所以函数f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增．
综上可得：当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；
当a>0时，函数f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增．
(2)方法一　由(1)得当a>0时，函数f(x)＝a(ex＋a)－x的最小值为f(－ln a)＝a(e－ln a＋a)＋ln a＝1＋a2＋ln a，
令g(a)＝1＋a2＋ln a－2ln a－＝a2－ln a－，a∈(0，＋∞)，
所以g′(a)＝2a－，令g′(a)>0，得a>；令g′(a)<0，得0所以函数g(a)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，
所以函数g(a)的最小值为g()＝()2－ln －＝ln >0，
所以当a>0时，f(x)>2ln a＋成立．
方法二　当a>0时，由(1)得，f(x)min＝f(－ln a)＝1＋a2＋ln a，
故欲证f(x)>2ln a＋成立，
只需证1＋a2＋ln a>2ln a＋，
即证a2－>ln a.
构造函数u(a)＝ln a－(a－1)(a>0)，
则u′(a)＝－1＝，所以当a>1时，u′(a)<0；当00.
所以函数u(a)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
所以u(a)≤u(1)＝0，即ln a≤a－1，
故只需证a2－>a－1，即证a2－a＋>0，
因为a2－a＋＝(a－)2＋>0恒成立，
所以当a>0时，f(x)>2ln a＋成立．
3．[2024·新课标Ⅱ卷]已知函数f(x)＝ex－ax－a3.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
解析：(1)当a＝1时，f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1，所以f′(1)＝e－1.
又因为f(1)＝e－2，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－(e－2)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x－1.
(2)f(x)＝ex－ax－a3，则f′(x)＝ex－a，当a≤0时，f′(x)＝ex－a>0，则f(x)在R上单调递增，无极值点，所以a>0.
令f′(x)<0，得x0，得x>ln a，
所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，
所以x＝ln a是f(x)的极小值点，极小值为f(ln a)＝eln a－a ln a－a3＝a－a ln a－a3，则问题转化为解不等式a－a ln a－a3<0.
又因为a>0，所以不等式可化为a2＋ln a－1>0.
令g(a)＝a2＋ln a－1，则g′(a)＝2a＋>0恒成立，
所以g(a)在(0，＋∞)上单调递增．又g(1)＝0，所以不等式a－a ln a－a3<0的解集为(1，＋∞)，所以a的取值范围是(1，＋∞).
4．[2024·全国甲卷(理)]已知函数f(x)＝(1－ax)ln (1＋x)－x.
(1)当a＝－2，求f(x)的极值；
(2)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．
解析：(1)当a＝－2时，f(x)＝(1＋2x)ln (1＋x)－x，x>－1，
f′(x)＝2ln (1＋x)＋.
当x>0时，f′(x)>0，当－1所以f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
故f(x)的极小值为f(0)＝0，无极大值．
(2)f(x)＝(1－ax)ln (1＋x)－x，f′(x)＝－a ln (1＋x)－.
令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝－－.
因为当x≥0时，f(x)≥0，且f(0)＝0，f′(0)＝0，
所以g′(0)＝－1－2a≥0，得a≤－.
当a≤－时，g′(x)≥－＝≥0，且等号不恒成立，所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增，
所以f′(x)＝g(x)≥g(0)＝0，且等号不恒成立，
故f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)≥f(0)＝0恒成立，
故a的取值范围为(－∞，－].
5．[2022·新高考Ⅰ卷]已知函数f(x)＝ex－ax和g(x)＝ax－ln x有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f(x)和y＝g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
解析：(1)由f(x)＝ex－ax，得f′(x)＝ex－a.
由于f(x)存在最小值，则方程f′(x)＝0有解，故a>0，解得x＝ln a.
所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，
所以f(x) min＝f(ln a)＝a－a ln a.
同理，得g(x)min＝g()＝1＋ln a.
因为函数f(x)，g(x)的最小值相等，
所以a－a ln a＝1＋ln a，即(a＋1)ln a＋1－a＝0.
令h(x)＝(x＋1)ln x＋1－x，x>0，则h′(x)＝ln x＋.
令m(x)＝ln x＋，x>0，则m′(x)＝－＝.
令>0，则x>1；令<0，则0所以m(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，即h′(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以h′(x)min＝h′(1)＝1>0，
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又h(1)＝0，所以1是h(x)唯一零点，所以a＝1.
(2)证明：由(1)知f(x)＝ex－x，g(x)＝x－ln x，且f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，且f(x)min＝g(x)min＝1.
①当b<1时，f(x)min＝g(x)min＝1>b，显然直线y＝b与两条曲线y＝f(x)和y＝g(x)无交点，不符合题意．
②当b＝1时，f(x)min＝g(x)min＝1＝b，则直线y＝b与两条曲线y＝f(x)和y＝g(x)共有2个交点，不符合题意．
③当b>1时，首先证明直线y＝b与曲线y＝f(x)有2个交点，即证F(x)＝f(x)－b有2个零点．
因为F′(x)＝f′(x)＝ex－1，
所以F(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增.
F(－b)＝e－b>0，F(0)＝1－b<0，F(b)＝eb－2b.
令t(b)＝eb－2b，b>1，则t′(b)＝eb－2>0，
所以t(b)>t(1)＝e－2>0，所以F(b)>0.
所以由零点存在定理，知F(x)＝f(x)－b在(－∞，0)上存在且只存在1个零点，设为x1，在(0，＋∞)上存在且只存在1个零点，设为x2.
其次证明直线y＝b与曲线g(x)有2个交点，
即证G(x)＝g(x)－b有2个零点．
因为G′(x)＝g′(x)＝1－，所以G(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
G(e－b)＝e－b>0，G(1)＝1－b<0，G(2b)＝b－ln 2b.
令μ(x)＝－ln x，x>2，则μ′(x)＝－>0，
所以μ(x)>μ(2)＝1－ln 2>0，即G(2b)>0.
所以由零点存在定理，得G(x)＝g(x)－b在(0，1)上存在且只存在1个零点，设为x3，在(1，＋∞)上存在且只存在1个零点，设为x4.
再次证明存在b使得x2＝x3.
因为F(x2)＝G(x3)＝0，所以b＝ex2－x2＝x3－ln x3.
若x2＝x3，则ex2－x2＝x2－ln x2，即ex2－2x2＋ln x2＝0，所以只需证明方程ex－2x＋ln x＝0在(0，1)上有解即可，
即证明φ(x)＝ex－2x＋ln x在(0，1)上有零点．
因为φ()＝e－－3<0，φ(1)＝e－2>0，
所以φ(x)＝ex－2x＋ln x在(0，1)上存在零点，取一零点为x0，令x2＝x3＝x0即可，此时b＝ex0－x0，则此时存在直线y＝b与两条曲线y＝f(x)和y＝g(x)共有三个不同的交点．
最后证明x1＋x4＝2x0，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
因为F(x1)＝F(x2)＝F(x0)＝G(x3)＝G(x0)＝G(x4)＝0，所以F(x1)＝G(x0)＝F(ln x0).
又因为F(x)在(－∞，0)上单调递减，x1<0，0因为F(x0)＝G(ex0)＝G(x4)，又因为G(x)在(1，＋∞)上单调递增，x0>0，即ex0>1，x4>1，所以x4＝ex0.
又因为ex0－2x0＋ln x0＝0，所以x1＋x4＝ln x0＋ex0＝2x0，
即存在直线y＝b与两条曲线y＝f(x)和y＝g(x)从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
6．[2024·九省联考]已知函数f(x)＝ln x＋x2＋ax＋2在点(2，f(2))处的切线与直线2x＋3y＝0垂直．
(1)求a；
(2)求f(x)的单调区间和极值．
解析：(1)f′(x)＝＋2x＋a，则f′(2)＝＋2×2＋a＝＋a，
由题意可得(＋a)×(－)＝－1，解得a＝－3.
(2)由a＝－3，故f(x)＝ln x＋x2－3x＋2，
则f′(x)＝＋2x－3＝＝，x>0，
故当00，当1时，f′(x)>0，
故f(x)的单调递增区间为(0，)，(1，＋∞)，f(x)的单调递减区间为(，1)，
故f(x)有极大值f()＝ln ＋()2－3×＋2＝－ln 2，
有极小值f(1)＝ln 1＋12－3×1＋2＝0.
7．[2023·新课标Ⅱ卷](1)证明：当0(2)已知函数f(x)＝cos ax－ln (1－x2)，若x＝0是f(x)的极大值点，求a的取值范围．
解析：(1)令h(x)＝x－x2－sin x，
则h′(x)＝1－2x－cos x，
令p(x)＝1－2x－cos x，则p′(x)＝－2＋sin x<0，
所以p(x)即h′(x)单调递减，又h′(0)＝0，
所以当0所以当0令g(x)＝sin x－x，
则g′(x)＝cos x－1≤0，
所以g(x)单调递减，又g(0)＝0，
所以当0即sin x综上，当0(2)方法一　因为f(x)＝cos ax－ln (1－x2)(－1所以f(x)＝f(－x)，所以f(x)为偶函数．
f′(x)＝－a sin ax＋(－1令t(x)＝－a sin ax＋(－1则t′(x)＝－a2cos ax＋(－1令n(x)＝－a2cos ax＋，则n′(x)＝a3sin ax＋.
当a＝0时，
当00，f(x)单调递增，当－1所以x＝0是f(x)的极小值点，不符合题意．
当a>0时，取与1中的较小者，为m，
则当00，
所以n(x)即t′(x)在(0，m)上单调递增，所以t′(x)>t′(0)＝2－a2.
①当2－a2≥0，即00(0所以t(x)在(0，m)上单调递增，所以t(x)>t(0)＝0，即f′(x)>0.
那么f(x)在(0，m)上单调递增，
由偶函数性质知f(x)在(－m，0)上单调递减．
故x＝0是f(x)的极小值点，不符合题意．
②当2－a2<0，即a>时，
当<1，即a>时，
因为t′(0)<0，t′>0，
所以t′(x)在(0，m)上存在唯一零点x1，
且当0因为t(0)＝0，所以当0即f′(x)<0，
所以f(x)在(0，x1)上单调递减，
因为f(x)为偶函数，所以f(x)在(－x1，0)上单调递增，
故可得x＝0是f(x)的极大值点，符合题意．
当>1，即因为t′(0)<0，t′＝－a2cos ＋>0，
所以t′(x)在(0，m)上存在唯一零点x2，
且当0因为t(0)＝0，所以当0即f′(x)<0，
所以f(x)在(0，x2)上单调递减．
因为f(x)为偶函数，所以f(x)在(－x2，0)上单调递增，
故可得x＝0是f(x)的极大值点，符号题意．
当a<0时，由偶函数图象的对称性可得a<－.
综上所述，a的取值范围是(－∞，－)∪(，＋∞).
方法二　由f(x)＝cos ax－ln (1－x2)，
得f′(x)＝－a sin ax＋(－1令t(x)＝－a sin ax＋(－1则t′(x)＝－a2cos ax＋(－1由x＝0是f(x)的极大值点，易得f′(0)＝0，
t′(0)<0，
所以2－a2<0，
解得a<－或a>.
所以a的取值范围是(－∞，－)∪(，＋∞).
8．[2023·全国甲卷(理)]已知函数f(x)＝ax－，x∈(0，).
(1)当a＝8时，讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)解析： (1)当a＝8时，f(x)＝8x－，
f′(x)＝8－＝8＋－.
令＝t，则t∈(1，＋∞)，
令h(t)＝－3t2＋2t＋8＝－(3t＋4)(t－2)，
当t∈(1，2)时，h(t)>0；当t∈(2，＋∞)时，h(t)<0.
故当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
∴f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．
(2)令g(x)＝f(x)－sin2x＝ax－－sin2x，
则g′(x)＝a－－2cos2x＝a－－4cos2x＋2＝a－(＋4cos2x－2)，
令u＝cos2x，则u∈(0，1)，令k(u)＝＋4u－2，
则k′(u)＝＋4＝.
当u∈(0，1)时，k′(u)<0，∴k(u)在(0，1)上单调递减，
∵k(1)＝3，
∴当u∈(0，1)时，k(u)>3，∴k(u)的值域为(3，＋∞).
①当a≤3时，g′(x)<0，
∴g(x)在上单调递减，
又g(0)＝0，∴当x∈时，g(x)<0，即f(x)②当a>3时， x0∈使得g′(x0)＝0，
∴g(x)在(0，x0)上单调递增，在上单调递减，
∴g(x0)>g(0)＝0，∴f(x)综上所述，a的取值范围为(－∞，3].

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