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(共34张PPT)
12.3第一课时
角平分线的性质
情景导入
问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？
用量角器度量，也可用折纸的方法．
问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？
不能
以旧换新
【活动一】探究角平分仪原理
问题3：如图，是一个平分角的仪器(角平分仪），其中AB=AD,BC=DC .将点A放在角的顶点 , AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗
A
B
C
(E)
D
依据是SSS
全等三角形的对应角相等.
视频演示
新知学习一
【活动二】尺规作图
根据角平分仪的制作原理，你能用尺规作一个已知角的角平分线吗？
已知:∠AOB
求作:∠AOB的平分线
A
B
O
① 以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M， OB于点N
② 分别以点M、N为圆心，大于 MN为半径画弧，两弧交于点C
③ 作射线OC
射线OC即为所求。
A
B
O
C
M
N
作法
已知：平角∠AOB.
求作：平角∠AOB的角平分线.
结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法.
A
B
O
C
实验探究：
1.先将三角形纸片的其中一个角对折；
2.再将重合的两条边进行对折；
3.然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕， 并用笔把你折的三条折痕画出来，标上直角符号和字母。
新知学习二
【活动三】探究角平分线的性质
思考：通过观察，你能得出什么结论？
猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等
已知：OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，
PD⊥OA,PE⊥OB.
求证：PD=PE
P
A
O
B
C
D
E
证明：∵ OC是∠AOB的角平分线
∴ ∠AOC=∠BOC
∵PD⊥OA,PE⊥OB
∴∠ODP=∠OEP=90°
在△DOP和△EOP中
∠AOC=∠BOC
∠ODP=∠OEP
OP=OP
∴ △DOP≌△EOP（AAS)
∴ PD=PE
验证猜想
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
方法归纳
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
1.明确命题中的已知和求证；
2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
应用格式：
∴PD = PE
∵OP 是∠AOB的平分线，
PD⊥OA,PE⊥OB，
B
A
D
O
P
E
C
知识要点
判一判：（1）∵ 如下左图，AD平分∠BAC（已知）
∴ = ，( )
BD CD
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
B
A
D
C
B
A
D
C
(2)∵ 如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）.
∴ = ,
(在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
BD CD
×
×
新知应用
1. 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说 明∠AOC=∠BOC的依据是（ ）
M
N
A.SSS
B.ASA
C.AAS
D.角平分线上的点到角两边的距离相等
A
2.如图，OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E，PE=5cm,则PD=_____cm.
温馨提示：存在两条垂线段——直接应用
5
3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8 m，AD=2DC，BD平分∠ABC，求D到AB的距离是____.
E
温馨提示：存在一条垂线段——构造应用
m
4.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
D
方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．
解析：过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，
DE⊥AB，
∴DF＝DE＝2，
解得AC＝3
A
B
C
D
E
F
5.如图所示，D是∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.求证：CE＝CF.
证明：∵CD是∠ACG的平分线， DE⊥AC，DF⊥CG，
∴DE＝DF.
在Rt△CDE和Rt△CDF中，
CD=CD
DE=DF
∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，
∴CE＝CF.
B
6. 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等。
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于 AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
∵ BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，PD⊥AB，PE⊥BC
∴ PD=PE
同理 PE=PF
∴ PD=PE=PF
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
D
E
F
生活实际应用
抽奖游戏
开 箱
抽 奖
一瓶阿萨姆奶茶
旺旺碎冰冰一根
笔记本一本
中性笔一根
试题一道
试题一道
试题一道
试题一道
角平分线
尺规作图
属于基本作图，必须熟练掌握
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
课堂小结
布置作业
课本51页：第1、2题

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