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第十一讲：圆的周长和面积进阶
本讲聚焦
1. 方圆关系
2. 平移、旋转、割补、对称
3. 整体代入
方圆关系
PART.01
例题5：根据下面三个图形，写出圆与正方形的面积比的推到过程。（结果保留π）
①正方形内最大的圆（外切关系）
思考：圆与正方形的联系在哪里？
分析：圆的直径为正方形的边长，所以设圆的直径为2r
r
2 r
【外方内圆与外圆内方】
思考：圆与正方形的联系在哪里？
分析：圆的直径为正方形的对角线，所以设圆的直径为2r
提示：对角线互相垂直的四边形，面积都可以用对角线乘积的一半来求
2r
S正方形 = 对角线×对角线÷2
②圆内最大的正方形（内接关系）
③以正方形的边长为半径的圆
思考：圆与正方形的联系在哪里？
分析：圆的半径为正方形的边长，所以设圆的半径为r
r
圆面积 ：正方形面积
： 4
： 1
： 2
练习5： ①在一个圆内画一个最大的正方形，已知正方形的面积为40平方厘米，那么这个圆的面积是（ ）平方厘米。
62.8
： 2
S圆 ：S正
练习5：②如右图，求小正方形、圆、大正方形的面积比。
小正方形：圆=2：π
大正方形：圆=4：π
化连比得
小正方形：圆：大正方方形=2：π：4
外方内圆：4：π 外圆内方：π：2
平移、旋转、割补、对称
PART.02
例题6：计算图中阴影部分的面积（单位：厘米）
S阴 ：（6+10）×6÷2=48（cm2）
S梯 = (上底+下底）×高÷2
求面积
间接法
直接法
规则图形
不规则图形 规则图形
平移、旋转、分割组合
练习6：如图，阴影部分的面积是多少？
分析：通过平移将阴影部分组合成长方形
例题7：求右图中阴影部分的面积。（π取3）
r：20÷2 = 10（cm)
S半圆：3×10×10÷2 = 150（cm2）
r：10cm
S正：10×10÷2 = 50（cm2）
S阴：150 - 50 = 100（cm2）
分析：可通过旋转平移，将两个三角形拼成一个对角线为10cm的正方形，采用整体减空白即可求出阴影部分面积。
练习7：用一张斜边为30厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边为50厘米的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形；问：红、蓝两张三角形纸片的面积之和是多少？
A
B
C
D
E
E'
C'
S△：50×30÷2 = 750（cm ）
50厘米
30厘米
30厘米
例题8：如图，长方形的长是8cm，则阴影部分的面积是多少平方厘米？
S阴 = （S长 - S圆×2）
÷2
8cm
r
r：8÷2÷2 = 2（cm）
4cm
宽：2×2 = 4（cm）
8×4 -
3.14×2×2×2 = 6.88 （cm2）
6.88÷2 = 3.44（cm2）
8cm
a：8÷2 = 4（cm）
a
r：4÷2 = 2（cm）
S阴 = S正 - S圆
= 4×4 - 3.14×2×2 =3.44（cm2）
法①
法②
练习8：右图中大正方形的边长是6厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？
6cm
S大正： 6×6 = 36（cm2）
S小正：6×6 ÷2 = 18（cm2）
（S正 = 对角线×对角线÷2）
S阴：（36 -18）÷2 = 9（cm2）
6cm
6cm
例题9：①如图所示，已知正方形的面积是10平方厘米，求圆的面积。
分析：正方形的边长等于圆的半径
S正方形=r2=10（平方厘米）
S圆=πr2=3.14×10=31.4（平方厘米）
练习9：①如图，直角三角形（直角顶点正好在圆心位置）的面积是20平方厘米，求圆的面积。
分析：直角三角形的底和高等于圆的半径
S三角形=r2÷2=20（平方厘米）
r2=20×2=40（平方厘米）
S圆=πr2=3.14×40=125.6（平方厘米）
练习9：②如图所示，阴影部分的面积是40平方米，求圆环的面积。
分析：小三角形的底和高等于小圆的半径
大三角形的底和高等于大圆的半径
令小圆半径为r，大圆半径为R，则有
R×R÷2-r×r÷2=40
（R2-r2)=80
S圆环=π（R2-r2)=3.14×80=251.2（平方米）
曲线有关的图形
1. 外方内圆：4：π 外圆内方：π：2

圆的面积；扇形的面积。(n为圆心角的度数)
圆的周长；扇形的弧长。
扇形的周长所在圆的周长直径。


3.“月牙”： 一般来说，月牙面积扇形面积-三角形面积．(除了半圆)


4.“弯角”： 弯角的面积正方形-扇形



5.“谷子”： 谷子的面积月牙面积


6.常用的思想方法：转化思想、变形、借来还去。


04
综合巩固
综合巩固
①如图，已知空白部分面积是 43dm2 。图中圆的面积是（ ）cm2 。
②如图，已知等腰直角三角形的直角边 AB=12cm，求阴影部分面积。（π取 3.14）
答:阴影部分的面积是20.52平方厘米。
S半圆：3.14×（12÷2）2÷2 = 56.52（cm2）
S三角形：12×（12÷2）÷2 = 36（cm2）
56.52 - 36 = 20.52（cm2）
S阴 = S半圆 - S三角形
③如图所示，在直角△ABC 中，∠C=90°，四边形 ECFD 为正方形，若 AD=36cm，DB=4cm，阴影部分的面积是（ ） 。
36cm
4cm
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