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小学奥数 四年级
第12讲 数数图形
同学们对于图形肯定不陌生，但数学中经常会出现这样的题目：
（1）下图中共有几条线段？
（2）下图中共有几个长方形？
要正确解答这类问题，就要做到数图形时不重复、不遗漏。这就需要我们按照一定的顺序去数，并找出它的规律，巧妙地数出图形的个数。数图形的方法一般有两种：按顺序数和分类数。今天就让我们用数学的方法巧妙地数图形吧！
一、知识要点
二、精讲精练
【例1】下图中各有多少条线段？
【分析与解答】如右图，数线段要有顺序，从左往右，以一个点为端点，数出以这个点为端点的线段有几条。例如第（1)题中，以A为左端点的线段有AB，AC两条；以B为左端点的线段有BC一条。共有2+1=3条线段。
【我来解答】：(1)有3条线段；（2）有6条线段；（3）有10条线段。
【小结与提示】
如果线段上有3个点，就构成了2条基本线段，线段总数为2+1；
如果线段上有4个点，就构成了3条基本线段，线段总数为3+2+1；
如果线段上有5个点，就构成了4条基本线段，线段总数为4+3+2+1。
找到这一规律，我们就可以运用数列求和的方法计算线段的总数。
【练习1】 P89
下图中共有多少条线段？
实践与应用
【例2】下图中共有多少个三角形？
【分析与解答】
这个图形中，所有三角形都是由顶点0和0的对边端点构成的，所以这个图形可以分解成以下两个三角形。
右上图中，与顶点0相对的线段有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6条，组成的三角形也有6个；右上图也能组成6个三角形。所以一共有6+6=12个三角形。
我来解答：一共有12个三角形。
小结与提示
图形虽然复杂，但有时我们可以将图形拆分开来，变复杂为简单。
【练习2】 P90
下图中共有多少个三角形？
实践与应用
【例3】下面图形中共有多少个正方形？
【分析与解答】
观察可知，每个小正方形的边长都相等，我们称每个小正方形的边长为1个长度单位。而正方形的特点是边长相等，所以最大的正方形的边长最多只有3个长度单位。如右图 ，这道题我们可以分成三类考虑：边长为1个长度单位的正方形；边长为2个长度单位的正方形；边长为3个长度单位的正方形。
我来解答：图中共有32个正方形。
小结与提示
在数正方形时，首先要明确正方形最大的边长是多少，再根据由短到长或由长到短的顺序，有序地数。
【练习3】 P91
下图中共有多少个正方形？
实践与应用
【例4】下图中共有多少个长方形？
【分析与解答】
确定了长和宽，一个长方形也就确定了。所以要求有多少个长方形，首先要看长和宽各有多少条。长方形的长和宽都是由横着或竖着的线段构成的。
用例1的方法数线段：如右图
(1)水平方向有A，B，C，D，E五个点，那么线段一共有4+3+2+1=10条；
(2)竖直方向有A，F，G，H四个点，那么线段一共有3+2+1=6条。
水平方向的每条线段都可以和竖直方向的每条线段分别作为长方形的长和宽，所以一共有10×6=60个长方形。
我来解答：(4+3+2+1)×(3+2+1)=10×6=60(个)
小结与提示
数长方形时，关键是数清水平方向和竖直方向的线段数。
水平方向的线段数×竖直方向的线段数=长方形总个数
【练习4】 P92
下图中共有多少个长方形？
实践与应用
【例5】 数一数，下图中共有多少个长方形？
【分析与解答】 如右图
这道题中长方形的长和宽不再局限于最外面的线段，我们可以分三步进行考虑。
（1）将图中的小长方形去掉，就可得到左下图。一共有6×6=36个长方形。
(2)将图中的大长方形去掉，就可得到中下图。一共有6×6=36个长方形。
（3）4个阴影长方形，每个可与其他长方形组成2个新的长方形。(例如上方的阴影长方形可和其他部分组成长方形ABCD 和长方形 ABEF)
不过图中正中间的那个小长方形在左上图和中上图中都算了1次，所以记得要去掉1。
我来解答：36+36+2×4-1=36+36+8-1=79（个)
小结与提示
数图形要做到不重复、不遗漏。在数的过程中，要注意有没有重复的地方，同时考虑问题也要全面。
【练习5】 P94
数一数，下图中共有多少个长方形？
实践与应用
课堂小结
同学们，图形世界是不是非赏精彩呢？数学的魅力就在于千变万化的图形和数字。通过这一进，我们对图形有了更深的认识，遇到数图形的问题也能有序、严密地思索，关于数图形，我们来总结一些最基本的方法吧。
（1）数线段。假设端点有n个（n是整数），那么线段的总条数就是从比n小1的数开始，一直加到1。
线段的总条数=(n-1)+(n-2)+(n-3)+…+2+1
=[(n-1)+1]×(n-1)÷2=
（2）数正方形。先思考正方形最大的边长是多少，再按顺序依次计算。如果横、竖小格数量一样，那么：正方形的总个数=1×1+ 2×2 +…+ n×n(n为小格数)
(3)数长方形。长方形的总个数=水平方向的线段数×竖直方向的线段数
【例题1】数一数下图中有多少个锐角。
【思路导航】
数角的方法和数线段的方法类似，图中的五条射线相当于线段上的五个点，因此，要求图中有多少个锐角，可根据公式1+2+3……（总射线数－1）求得：1+2+3+4=10（个）.
三、拔高提升
【例题2】 数一数下图中有多少个长方形？
【思路导航】
图中的AB边上有线段1+2+3=6条，把AB边上的每一条线段作为长，AD边上的每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以，图中共有6×3=18个长方形。
数长方形可以用下面的公式：长边上的线段×短边上的线段=长方形的个数
【例题3】数一数下图中有多少个正方形？（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）
【思路导航】
边长是1个长度单位的正方形有3×2=6个，边长是2个长度单位的正方形有2×1=2个。所以，图中正方形的总数为：6+2=8个。
经进一步分析可以发现，一般情况下，如果一个长方形的长被分成m等份，
宽被分成n等份（长和宽的每一份都是相等的）那么正方形的总数为：
mn+(m－1)(n－1)＋(m－2)(n－2)＋…＋(m－n＋1)n.
【例题4】数一数，下图中有多少个正方形？（每个小方格是边长为1的正方形）
【思路导航】
图中边长为1个长度单位的正方形有3×3=9个，边长为2个长度单位的正方形有2×2=4个，边长为3个长度单位的正方形有1×1=1个。所以图中的正方形总数为：1+4+9=14个。
经进一步分析可以发现，由相同的n×n个小方格组成的几行几列的正方形其中所含的正方形总数为：1×1＋2×2＋…＋n×n。
【例题5】从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大站，铁路局要为这次快车准备多少种不同车的车票？这些车票中有多少种不同的票价？
【思路导航】
这道题是数线段的方法在实际生活中的应用，连同广州、北京在内，这条铁路上共有10个站，共有1+2+3+…+9=45条线段，因此要准备45种不同的车票。由于这些车站之间的距离各不相等，因此，有多少种不同的车票，就有多少种不同的票价，所以共有45种不同的票价。
【例题6】求下列图中线段长度的总和。（单位：厘米）
【思路导航】
要求图中的线段长度总和，可以这样计算：
AB+AC+AD+AE+BC+BD+BE+CD+CE+DE
=1+（1+4）+（1+4+2）+（1+4+2+3）+4+（4+2）+（4+2+3）+2+（2+3）=352厘米
从上面的计算中可以发现这样一个规律，算式中长1厘米的基本线段（我们把不能再划分的线段称为基本线段）出现了4次，长4厘米的线段出现了（3×2）次，长2厘米的线段出现了（2×3）次，长3厘米的线段出现了（1×4）次，所以，各线段长度的总和还可以这样算：
1×4+4×（3×2）+2×（2×3）+3×（1×4）
=1×（5－1）+4×（5－2）×2+2×（5－3）×3+3×（5－4）×4=52厘米
上式中的5是线段上的5个点，如果设线段上的点数为n，基本线段分别为a1、a2、…a(n－1)。以上各线段长度的总和为L，
那么L= a1×(n－1)×1+ a2×(n－2)×2+ a3×(n－3)×3+…+ a(n－1)×1×(n－1)。
宝剑锋从磨砺出，
梅花香自苦寒来！
感 谢 观 看！

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