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5.2 课时2 小船过河与绳——杆关联速度问题
1.能理解和分析小船渡河问题。
2.学会解决渡河时间最短问题和渡河位移最小问题。
3. 学会分析常见“关联”速度问题。
在流动的河水中，若船夫将船头垂直对准正对岸向前滑行，能到达正对岸吗？ 还是会偏向上游或下游？
一、小船渡河问题
1.合运动和分运动
①船的合运动：船实际相对地面（河岸）的运动。
②船的分运动：
船相对水的运动
船随流水的运动
船的实际运动是水流的运动和船相对水的运动的合运动。
2. 船的合速度和分速度
①合速度：v合，船的实际速度（即船相对地面的速度）
②分速度：
v船，船相对水的航行速度（即船在静水中的速度）
v水，水的流速(即水冲船的速度)
思考2：假设河中各处水流速度均匀，那么水流的速度会影响到船的渡河时间吗？
思考3：调整船头的指向会影响船渡河的时间吗？影响船渡河时间的因素有哪些？
思考1： 船在渡河过程中，船头始终指向正对岸，船最终到达的是正对岸吗？
3. v船 的速度的分解
v船
v水
v∥
v⊥
v船
v∥
v⊥
v船
v⊥：渡河分速度（使船向对岸运动）
v∥：沿河分速度（使船沿河运动）
正交分解
真正能使船渡河到对岸的是v⊥分速度，影响渡河时间的是v⊥分速度。
3. v船 的速度的分解
v船
v水
v∥
v⊥
v船
v∥
v⊥
v船
v⊥=v船sinθ
v∥=v船cosθ
v⊥随着θ的变化而变化
当船头指向垂直于河岸时，渡河分速度v⊥最大，渡河时间最短。
d
当v船 垂直于河岸时（即船头垂直河岸），渡河时间最短：
v船
v水
tmin=
v船
d
v
θ
v沿河岸的分速度
v沿河岸的分速度
1. 情形一：最短时间渡河问题
二、小船渡河模型
d
当合速度v 方向垂直于河岸时，渡河位移最短，且为河宽d 。
v船
θ
v水
cosθ =
v船
v水
v
2. 情形二：最短位移（v船>v水）
小船到达河的正对岸，其最短路程为河宽d，即：xmin=d
v船cosθ
此时：v∥=v船cosθ = v水
d
当v船方向与合速度v 方向垂直时，有最短渡河位移xmin 。
v水
xmin
B
C
D
E
A
v船
θ
θ
θ
v
v船
3. 情形三：渡河的最短位移（v船d
当v船方向与合速度v 方向垂直时，有最短渡河位移xmin 。
最短位移：
t =
v
xmin
v水
xmin
xmin=
cosθ
d
B
C
A
v船
θ
θ
渡河时间：
v合
3. 情形三：渡河的最短位移（v船即v船⊥v合时，此时渡河位移最短
cosθ =
v水
v船
当船头斜向上游，与河岸成θ，且满足
例题：河宽200m，小船在静水中的速度4m/s,水流速度3m/s,
（1）为了尽快过河，小船要怎样行驶？过时间多长？小船会到达对岸什么位置？
（2）若想到达正对岸，船要怎么行驶？过河时间多长？
要尽快到达对岸，垂直河对岸的速度要达到最大，船头要始终垂直对岸行驶。如果要垂直过河，合速度则要垂直对岸，
解：
（1）要尽快过河船头要始终垂直对岸行驶。
过河时间:
已知:河宽d=200m,船速v1=4m/s,水流速度v2=3m/s
船往下游方向移动的距离:
v1
v2
v
（2）要垂直过河，合速度则要垂直对岸
过河速度:
过河时间:
v1
v2
v
三、关联速度问题
如图所示，纤绳以恒定速率v 沿水平方向通过定滑轮牵引小船靠岸，当纤绳与水面夹角为θ时，船的速度为多大？
v
θ
A
B
C
v∥
若要使船匀速靠岸，则纤绳的速度v有何特点？（匀速？加速？减速？）
沿绳方向的伸长或收缩运动
垂直于绳方向的旋转运动
注意：沿绳的方向上各点的速度大小相等
v⊥
v船
1.关联速度问题之绳子
放在墙角的均匀直杆AB，A端靠在竖直墙上，B 端放在水平地面上。当AB杆与水平面的夹角为θ时，B端的速度为vB，则A点的速度为多大？
A
B
θ
vA
vB
vA∥
vA⊥
vB⊥
vB∥
沿杆方向的运动
垂直于杆方向的旋转运动
注意：沿杆的方向上各点的速度相等
2.关联速度问题之杆
3.常见关联速度模型
（甲）
（乙）
（丙）
（丁）
1.如图所示，汽车通过滑轮拉重物A，汽车沿水平方向向右匀速运动，滑轮与绳的摩擦不计，则物体的运动情况是(　　)
A．匀速上升　　　　 B．加速上升
C．先加速后减速 D．减速上升
B
2.如图所示，AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面的速度大小为v2，则v1、v2的关系是(　　)
A．v1＝v2　　　　　　B．v1＝v2cos θ
C．v1＝v2tan θ D．v1＝v2sin θ
C
3.如图所示，小船沿直线AB过河，船头始终垂直于河岸。若水流速度增大，为保持航线不变，下列说法中正确的是( )
A. 增大船速，过河时间不变
B. 增大船速，过河时间缩短
C. 减小船速，过河时间变长
D. 减小船速，过河时间不变
B
4.一只船在静水中的速度为3 m/s，它要渡过河宽为300 m的一条河，已知水流速度为44 m/s，下列说法正确的是( )
A. 这只船不可能渡过河
B. 这只船的实际航线不可能垂直河岸
C. 这只船相对于岸的速度一定是5 m/s
D. 这只船渡河所用的最短时间为60 s
B
5.图中套在竖直细杆上的环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连．由于B的质量较大，故在释放B后，A将沿杆上升，当A环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时，其上升速度v1≠0，若这时B的速度为v2，则 (　　)
A．v2＝v1 B．v2>v1
C．v2≠0 D．v2＝0
D

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