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7.3 万有引力理论的成就
1.了解万有引力定律在天文学上的应用。
2.会用万有引力定律计算天体的质量和密度。
3.掌握综合运用万有引力定律和圆周运动学知识分析具体问题的方法。
在初中，我们已经知道物体的质量可以用天平来测量，生活中物体的质量常用电子秤或台秤来称量。对于地球，我们怎样“称量”它的质量呢？
天平 or 杆秤
如果有人说他能称出地球的质量，你信吗？
我可以
一、“称量”地球的质量
如图以地球表面物体为研究对象，物体m在纬度为θ的位置，万有引力指向地心,它可分解为两个分力：m随地球自转围绕地轴运动
的向心力Fn和重力G。
Fn
G
θ
m
F引
实际上随地球自转的物体向心力远小于重力，在忽略自转的影响下万有引力大小近似等于重力大小。
重力加速度法(g、R）
若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体所受的重力mg等于地球对物体的引力，即
地面的重力加速度 g 和地球半径 R 在卡文迪什之前就已知道，一旦测得引力常量 G，就可以算出地球的质量M 。因此，卡文迪什被称为“第一个称出地球质量的人”。
思考：我们能用“称量”地球质量的方法“称量”太阳吗？
问题：前面测量地球质量，但是如果要测太阳的质量，我们又无法在太阳表面做落体运动，还有没有其他办法呀？
八大行星围绕太阳运动，太阳为中心天体。
思考：行星做圆周运动的向心力是什么？
二、“称量”太阳的质量
（2）万有引力充当向心力 F引=Fn
基本思路
（1）简化模型：将行星绕太阳的运动看成是匀速圆周运动。
（3）依据万有引力定律和牛顿第二定律列出方程，从中解出太阳的质量。
r
M
m
F
r
m太
m
F
设 m太是太阳的质量，m 是某个行星的质量，r 是行星与太阳之间的距离。
解：万有引力充当向心力：
行星运动的角速度 ω 不能直接测出，但可测出它的周期 T。
把 ω 和 T 的关系
代入上式得到:
得：
思考讨论： 该表达式与环行天体质量m有没有关系？
测出行星的公转周期 T 和它与太阳的距离 r，就可以算出太阳的质量，与环行天体质量m无关。
r
M
m
F
r
中心天体m太
环行天体m
F
v、r法:若知道地球绕太阳的公转线速度v和轨道半径r，能否估算太阳的质量？
ω、r法:若知道地球绕太阳的公转角速度ω和轨道半径r，能否估算太阳的质量？
T、r法:若知道地球绕太阳的公转线速度v和公转周期T，能否估算太阳的质量？
开拓思路
地球质量m
太阳质量M
思考与讨论1：已知太阳与地球间的平均距离约为 1.5×1011m，你能估算太阳的质量吗？换用其他行星的相关数据进行估算，结果会相近吗？为什么？
解：
换用其他行星的相关数据进行估算，结果会相近
虽然不同行星与太阳间的距离 r 和绕太阳公转的周期 T各不相同，但是根据开普勒第三定律，所有行星的均相同，所以无论选择哪颗行星的轨道半径和公转周期进行计算，所得的太阳质量均相同。
思考与讨论2：怎样计算木星的质量和月球的质量？
要计算木星的质量，对木星的卫星进行测量，只要测得一颗卫星的轨道半径和周期，就可计算木星的质量。
木星和它的卫星
要计算月球的质量，由于人类发射的航天器会环绕月球运行，只要测得航天器绕月运行的轨道半径和周期，就可计算月球的质量。
三、计算天体的密度
问题：如何计算天体密度？
基本思路：
g、R法
T、r法
同理:可用v-r、ω-r、v-T等求质量的方法求天体的密度。
r=R
球体体积V=R3
四、发现未知天体
预见并发现未知行星,是万有引力理论威力和价值的最生动例证。
在1781年发现的第七个行星——天王星的运动轨道，总是同根据万有引力定律计算出来的有一定偏离。当时有人预测，肯定在其轨道外还有一颗未发现的新星,这就是后来发现的第八大行星—海王星。
海王星的实际轨道由英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文爱好者勒维耶根据天王星的观测资料各自独立地利用万有引力定律计算出来的。
海王星
海王星发现之后，人们发现它的轨道也与理论计算的不一致。于是几位学者用亚当斯和勒维耶的方法预言另一颗行星的存在。
在预言提出之后，1930年3月14日，汤博发现了这颗行星——冥王星。
英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶相信未知行星的存在。他们根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道。1846 年 9 月 23 日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星，人们称其为“笔尖下发现的行星”——海王星。
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五、预言哈雷彗星回归
哈雷彗星
哈雷依据万有引力定律，用一年时间计算了它们的轨道。发现 1531 年、1607 年和 1682 年出现的这三颗彗星轨道看起来如出一辙，他大胆预言，这三次出现的彗星是同一颗星（如图 ），周期约为 76 年，并预言它将于 1758 年底或 1759 年初再次回归。1759 年 3 月这颗彗星如期通过了近日点，它最近一次回归是 1986 年，它的下次回归将在2061 年左右。
1．随着太空技术的飞速发展，人类登陆其它星球成为可能。假设未来的某一天，宇航员登上某一星球后，测得该星球质量是地球质量的8倍，而该星球的平均密度与地球的相等，则该星球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的（　　）
A．0.5倍 B．2倍 C．4倍 D．8倍
B
2.下列说法正确的是(　　)
A.海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的
B.天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的
C.海王星是人们经过长期的太空观测而发现的
D.天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差,其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用,由此人们发现了海王星
D
3.土星最大的卫星叫“泰坦”(如图)，每16天绕土星一周，其公转轨道半径为1.2×106km.已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，则土星的质量约为(　　)
A． 5×1017kg
B． 5×1026kg
C． 7×1033kg
D． 4×1036kg
B
4.(多选) 已知下列哪组数据，可以算出地球的质量M(引力常量G已知)(　 　)
A． 月球绕地球运动的周期T1及月球到地球中心的距离R1
B． 地球绕太阳运行的周期T2及地球到太阳中心的距离R2
C． 人造地球卫星在地面附近的运行速度v3和运行周期T3
D． 地球绕太阳运行的速度v4及地球到太阳中心的距离R4
AC
5.已知地球的一颗近地卫星做匀速圆周运动的周期为 T1，已知引力常数为 G，则该天体的密度为多少？若这颗卫星距轨道半径r，测得在该处做匀速圆周运动的周期为 T2，则地球的密度怎样表示呢？
解（1）
则：
地球的体积：
（2）由 得：
一、“称量”地球的质量
二、计算天体的质量
得：
只能求出中心天体的质量。
三、计算天体的密度
得：
四、发现未知天体
五、预言哈雷彗星回归

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