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（人教版）数学（2024）
七年级
上
4.2.1 同类项与合并同类项
1.知道同类项的概念，能识别同类项.
2.掌握合并同类项的法则，能合并同类项.
3.能通过合并同类项化简整式，并求值.
4.能通过合并同类项解决简单实际问题.
学习目标
新课引入
小红准备购买一些钢笔和铅笔，到商店发现钢笔标价20 元/支，铅笔标价3元/支.
问题1 若小红打算购买a支钢笔和b支铅笔，一共需多钱？
（20a+3b）元
问题2 若小红打算分别购买m支钢笔和铅笔，共需多钱？
（20m+3m）元
思考 你知道如何计算（20m+3m）？
这就是我们本节要学习的内容!
新知学习
汽车从香港口岸到西人工岛包含两段路程，一段为香港口岸到东人工岛，另一段为海底隧道，如果汽车通过海底隧道需要a h，那么从香港口岸到东人工岛所需时间为1.25a h，香港口岸到西人工岛的全长（单位：km）是多少？
72a +96×1.25a
即 72a +120a
我们类比数的运算，讨论整式72a ，120a 的加法运算.
探究
(1)运用运算律计算：
72×2+120×2=______
72×(-2)+120×(-2)=______
根据分配律可得：
72×2+120×2=(72+120)×2=192×2=384
72×(-2)+120×(-2)=(72+120)×(-2)=192×(-2)=-384
384
-384
(2)根据分配律完成下面的运算，并说明其中的道理：
72a+120a=______
点拨：是多项式72a与120a两项的和，并且字母a代表的是一个乘数，因此根据分配律也有：72a+120a=(72+120)a=192a.
192a
填空 ：
(1) 72a - 120a = ( )a;
(2) 3m2 + 2m2 = ( )m2;
(3) 3xy2 - 4xy2 = ( )xy2.
探究
-48
5
-
上述运算有什么共同特点，你能得出什么规律？
观察以上多项式发现：
(1)中的多项式：都含有相同的字母a，并且a的指数都是1；
(2)中的多项式：都含有相同的字母m，并且m的指数都是2；
(3)中的多项式：都含有字母x，y，并且x的指数都是1，y的指数都是2.
利用分配律可得：72a - 120a =(72-120) a=-48 a; (1)
3m2 + 2m2 =(3+2)m2= 5m2; (2)
3xy2 - 4xy2 = (3-4)xy2=- xy2. (3)
像72a与-120a，3m2与2m2，3xy 2与-4xy 2这样，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项.几个常数项也是同类项.
例1 下列各组单项式：①y与y2 ；②-a2b3与2b3a2 ；③2xy2与-5yx2；
④-2019与0，是同类项的有( )
A.4组 B.3组 C.2组 D.1组
C
判断同类项时，有“两个无关”：
①与系数无关；
②与字母的排列顺序无关，如3mn与-nm是同类项.
观察下列式子，你发现了什么规律？
72a - 120a =(72-120) a=-48 a;
3m2 + 2m2 =(3+2)m2= 5m2;
3xy2 - 4xy2 = (3-4)xy2=- xy2.
同类项的系数在加减运算中可以单独进行加减，
而同类项本身保持不变.
合并同类项的法则：
合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变.
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.
2 ab -6 ab = -4 ab
系数相加 2+（-6）
字母连同指数不变
因为多项式中的字母表示的是数，所以我们也可以运用交换律、结合律、分配律把多项式中的同类项进行合并.
例如，
4x2＋2x＋7＋3x-8x2-2
=4x2-8x2＋2x＋3x+7-2 (交换律)
=(4x2-8x2)+(2x＋3x)+(7-2) (结合律)
=(4-8)x2＋(2+3)x+(7-2) (分配律)
=-4x2+5x＋5.
点拨：通常我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小（降幂）或者从小到大（升幂）的顺序排列，如
-4x2+5x＋5也可以写成5+5x-4x2.
例2 合并下列各式的同类项：
(1)xy2- xy2；
解： -3x2y+2x2y+3xy2 - 2xy2
=(-3+2) x2y+(3-2) xy2
= -x2y+xy2.
(2)-3x2y+2x2y+3xy2 - 2xy2；
解： xy2- xy2
= (1- )xy2
= xy2.
解：4a2 + 3b2 +2ab-4a2 -4b2
= (4a2-4a2) + ( 3b2 -4b2) + 2ab
= (4-4)a2 + (3-4)b2 + 2ab
=-b2 + 2ab.
(3)4a2 + 3b2 +2ab-4a2 -4b2.
不能合并的项在每一步运算中都要写出，以防漏掉.
若两个同类项的系数互为相反数，
则合并这两个同类项的结果为0.
合并同类项的一般步骤：
一找：找出同类项，当项数较多时，通常在同类项的下面做相同的标记；
二移：运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项结合；
三合：利用合并同类项法则，合并同类项；
四排：合并后的结果按某一个字母的降幂(或升幂)排列.
例3 (1)求多项式 2x2-5x+x2+4x-3x2 -2 的值，其中x=；
点拨：在求多项式的值时，先将多项式中的同类项合并，化到最简，再求值，这样做更简便！
解：(1) 方法一 直接代值计算：
2x2-5x+x2+4x-3x2 -2
=2× - 5× + +4× - 3× - 2
= .
当 x = 时，原式= - 2= .
方法二 先化简，再求值：
2x2-5x+x2+4x-3x2 -2
= (2+1-3) x2 + (-5+4) x-2
= -x-2.
(2)求多项式 3a+abc- c2-3a+ c2 的值，其中 a= ，b=2，c=-3.
解： 3a+abc - c2 - 3a + c2
当a= ，b=2，c= -3时，原式= ×2×(-3)=1.
= (3-3) a +abc+ c2
= abc
尝试用直接代入数值的方法计算，你觉得哪种方法更简单？
例3 （1）水库水位第一天连续下降了a h，平均每小时下降2 cm；第二天连续上升了a h，平均每小时上升0.5 cm，这两天水位总的变化情况如何？
解：把下降的水位变化量记为负，上升的水位变化量记为正.
第一天水位的变化量是-2a cm，第二天水位的变化量是0.5a cm.
两天水位的总变化量是
-2a+0.5a=(-2+0.5)a=-1.5a.
这两天水位总的变化情况为下降了1.5a cm.
(2)某商店原有5袋大米，每袋大米为x kg. 上午卖出3袋，下午又购进同样包装的大米4袋. 进货后这个商店有大米多少千克？
解：把进货的数量记为正，售出的数量记为负.
进货后这个商店共有大米（单位：kg）
5x-3x+4x=(5-3+4)x=6x.
进货后这个商店有大米6x千克.
1.合并下列各式的同类项：
（1）-a-a-2a=________；
（2）-xy-5xy+6yx=______；
（3）0.8ab2-a2b+0.2ab2=_________；
（4）3a2b-4ab2-4+5a2b+4ab2+7=_____________．
-4a
0
ab2-a2b
8a2b+3
随堂练习
(2)如果2a2bn+1与-4amb3是同类项，则m= ，n= .
2.(1)在6xy-3x2-4x2y-5yx2+x2中没有同类项的项是 .
2
2
6xy
(3)若单项式 am-1b2 与 a2bn 的和仍是单项式，则 nm 的值是____
8
(2)2x2-5x+x2+4x-3x2-2，其中x=2.
解：2x2-5x+x2+4x-3x2-2
=(2x +x -3x2)+(-5x+4x)-2
= -x-2，
当x=2时，原式=-2-2= -4.
3.先化简，再求值：
(1)8m2+5m2+3n-4m2-10n，其中m=2，n=-1.
解：8m2+5m2+3n-4m2-10n
=8m +5m -4m2+(3n-10n)
=9m2-7n,
当m=2，n=-1时，原式=9×4-7×(-1)=36+7=43.
4.如图，大圆的半径是R，小圆的面积是大圆面积的 ，求阴影部分的面积.
·
R
解：设小圆面积为S1，
大圆面积S=πR2 ，则：小圆面积S1= S= πR2
∴阴影部分面积为：S-S1=πR2 - πR2=
∴阴影部分面积为
同类项
合并同类项
两相同
法则
步骤
一找、二移、三并、四计算
（1）字母相同；
（2）相同字母的指数相同.
（1）系数相加；
（2）字母连同它的指数不变.
课堂小结
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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