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湖南省醴陵市渌江中学2024-2025学年九年级开学考试数学试卷
考试时间：120分钟； 班级：___________ 姓名：___________
一．选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分）
1．下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A．5，12，13 B．7，9，11 C．6，9，12 D．0.3，0.4，0.5
2．在平面直角坐标系中，点P（3，2）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．函数中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D．x＜2
4．有40个数据，其中最大值为34，最小值为12，若取组距为4，则应分为（　　）
A．4组 B．5组 C．6组 D．7组
5．随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
6．若一次函数y＝2x+1的图象经过点（﹣1，y1），（2，y2），则y1与y2的大小关系是（　　）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1≤y2 D．y1≥y2
7．下列命题是真命题的是（　　）
A．有两边相等的平行四边形是菱形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．四个角都相等的平行四边形是正方形 D．有一个角是直角的四边形是矩形
8．如图，在△ABC中，∠A＝100°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点E，过点E作EF∥AB交BC于点F．若∠C＝30°，则∠BEF的度数是（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
9．做一做：用一张长方形纸片折出一个最大正方形．如图，步骤①将长方形纸片ABCD沿痕AE折叠，使点B落在边AD上与点B'重合；步骤②用剪刀沿B'E剪掉长方形B'ECD；步骤③将△ABE沿折痕AE展开得到正方形ABEB'．其依据是（　　）
A．有一个角是直角的菱形是正方形 B．有一组邻边相等的矩形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形
10．如图，在平行四边形ABCD中，AB≠AD，∠A＝α（0°＜α＜180°），点E，F，G，H分别是AB、BC、CD、DA的中点，连接EF，FG，GH，HE，当α从锐角逐渐增大到钝角的过程中，四边形EFGH的形状的变化依次为（　　）
A．平行四边形→菱形→平行四边形 B．平行四边形→菱形→矩形→平行四边形
C．平行四边形→矩形→平行四边形 D．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形
二．填空题（共8个小题，每小题3分，满分24分）
11．2024边形的外角和等于 　 　．
12．若点A（3，﹣2）与点B关于y轴对称，则点B的坐标为　 　．
13．已知数据：，，π，，0，其中无理数出现的频率为　 　．
14．从1，2，﹣3，0四个数中随机取两个数求和记为a，则使得一次函数y＝ax的图象经过一、三象限的概率为 　 　．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，若∠B＝30°，AD＝1，则BD＝　 　．
16．将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边AB与正方形的边CD在同一条直线上，则∠BOC的度数是 　 　．
第15题 第16题
17．若将如图所示的矩形ABCD放入平面直角坐标系中，点A、B、D的坐标分别为（﹣a，b）、（﹣4，3）、（a，b），则点C的坐标为 　 　．
18．如图，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（﹣2，0），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交y轴正半轴于点C，则点C的坐标为 　 　．
第17题 第18题
三．解答题（本大题共8个小题，第19，20题每小题6分，第21，22，23、24题每小题8分，第25题10分，第26题12分，共66分.解答应写出必要的证明过程或演算步骤）
19．计算：．（6分）
20．（6分）如图，公园有一块三角形空地ABC，过点A修垂直于BC的小路AD，过点D修垂直于AC的小路DE（小路宽度忽略不计）．经测量，AB＝13米，BD＝5米，CD＝9米．
（1）求小路AD的长；（3分）
（2）求小路DE的长．（3分）
21．（8分）围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．如图是某围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，棋盘上A、B两颗棋子的坐标分别为A（﹣2，4），B（1，2）．
（1）根据题意，画出相应的平面直角坐标系；（2分）
（2）分别写出C、D两颗棋子的坐标； （4分）
（3）有一颗黑色棋子E的坐标为（3，﹣1），请在图中画出黑色棋子E．（2分）
22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE∥AB交AC于点E，∠B＝34°．
（1）求∠BAD的度数；（4分）
（2）求证：AE＝DE． （4分）
23．（8分） 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OB，OD的中点，连接AE，AF，CE，CF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（4分）
（2）若AB⊥AC，AB＝3，BC＝5．求BD的长．（4分）
24．（8分）某校七年级学生参加60秒跳绳测试，从七年级学生中随机抽取了部分同学的成绩，并绘制了如图不完整的统计表和统计图，请解答下列问题：
（1）m＝　 　，n＝　 　；（4分）
（2）请补全频数分布直方图；（2分）
（3）若该校七年级有300名学生，请估计60秒能跳绳120次及以上的学生有多少人？（2分）
次数分组 频数 百分比
60≤x＜80 3 6%
80≤x＜100 4 8%
100≤x＜120 19 38%
120≤x＜140 m 20%
140≤x＜160 8 16%
160≤x＜180 　 　 n
180≤x＜200 2 4%
合计 　 　 100%
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象相交于第一，三象限内的A（3，5），B（a，﹣3）两点，与x轴交于点C．
（1）求该反比例函数和一次函数的表达式；（4分）
（2）在y轴上找一点P使PB﹣PC最大，求PB﹣PC的最大值．（6分）
（12分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AB＝18cm，CD＝28cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向点B运动，同时动点Q从点C出发，以3cm/s的速度向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）当四边形PBCQ是平行四边形时，求t的值；（3分）
（2）当t＝　 　时，四边形APQD是矩形；若AD＝16cm且点Q的移动速度不变，要使四边形APQD能够成为正方形，则P点移动速度是 　 　cm/s； （6分）
（3）在点P、Q运动过程中，若四边形PBQD能够成为菱形，求AD的长度．（3分）

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