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（9）一元一次方程—七年级上册数学北师大版(2024)单元质检卷（A卷）
【满分：120】
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若方程和方程的解相同,则( )
A.1 B.2 C. D.
2.下列各式中,是一元一次方程的是( )
A. B. C. D.
3.运用等式的性质,下列变形不正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
4.“五一”期间,利民商场开展特价优惠活动,某品牌护眼灯的原价为320元/台,现价为240元/台,按现价出售后仍可获利20%,则该品牌护眼灯的进价为多少？设该品牌护眼灯的进价为x元/台,根据题意,可列方程为( )
A. B.
C. D.
5.小明解方程的步骤如下.
解析：方程两边都乘6，得，①
去括号，得，②
移项，得，③
合并同类项，得.④
以上解题步骤中，开始出错的一步是( )
A.① B.② C.③ D.④
6.下列方程，与的解相同的为( )
A. B. C. D.
7.某轮船在静水中的速度为,水流速度为,该船从甲码头顺流航行到乙码头,再返回甲码头,共用时(不计停留时间),设甲、乙两码头之间的距离为,则可列方程为( )
A. B.
C. D.
8.若代数式比的值多1，则( )
A.-5 B. C.5 D.
9.某书城开展学生优惠购书活动，凡一次性购书不超200元的一律按9折优惠，超过200元的，其中200元按9折优惠，超过200元的部分按8折优惠.某学生第一次去购书付款72元，第二次又去购书享受到了8折优惠，他查看了所买书的定价，发现两次购书共节省了34元，则该学生第二次购书实际付款为( )
A.204元 B.230元 C.256元 D.264元
10.若关于x的一元一次方程有非正整数解，则符合条件的所有整数k的和为( )
A.-5 B.-4 C.-2 D.0
二、填空题（每小题4分，共20分）
11.由得，在此变形中，方程两边同时__________.
12.已知某公路一侧原有路灯106盏,相邻两盏路灯之间的距离为36米,为节约用电,现计划全部更换为新型节能灯,且相邻两盏路灯之间的距离变为54米,则需要更换节能灯______盏.
13.幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图.如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为_________.
14.服装厂要生产一批某型号的学生服，已知每3米长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用600米长的这种布料生产学生服，共能生产________套.
15.若关于x的方程，无论k为任何数时，它的解总是，那么_________.
三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
16.（8分）解方程：
(1)；
(2).
17.（8分）某中学举行校运会,初一(1)班同学准备用卡纸制成乒乓球拍和小旗作道具.若一张卡纸可以做3个球拍或6面小旗,用21张卡纸,刚好能够让每位同学拿一个球拍和一面小旗.
(1)应用多少张卡纸做球拍,多少张卡纸做小旗？
(2)若每个人的工作效率都相同,一个人完成道具制作要6个小时,先安排2个人做半小时,再增加几个人做1小时可以刚好完成？
18.（10分）七（3）班数学老师在批改小红的作业时发现，小红在解方程时，把“”抄成了“”，解得，而且“a”处的数字也模糊不清了.
（1）请你帮小红求出“a”处的数字；
（2）请你求出原方程的正确解.
19.（10分）观察下列两个等式：，.给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数a，b为“同心有理数对”，记为.如：数对，都是“同心有理数对”.根据上述材料，解答下列问题：
（1）数对，中，是“同心有理数对”的是__________；
（2）若是“同心有理数对”，求a的值；
（3）若是“同心有理数对”，则是否为“同心有理数对”？请说明理由.
20.（12分）如图1,A、B为数轴上不重合的两个点,P为数轴上任意一点,我们比较线段和的长度,将较短线段的长度定义为点P到线段的“亲近距离”.特别地,若线段和的长度相等,则将线段或的长度定义为点P到线段的“亲近距离”.
(1)如图①,点A表示的数是,点B表示的数是2.
(ⅰ)若点P表示的数是,则点P到线段的“亲近距离”为______；(直接写出结果)
(ⅱ)若点P表示的数是m,点P到线段的“亲近距离”为3,求m的值；
(2)如图②,在数轴上,点P表示的数是,点A表示的数是,点B表示的数是2,点P以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动,同时点B以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动,设运动的时间为t秒,当点P到线段的“亲近距离”为2时,求t的值.
21.（12分）已知关于x的方程为一元一次方程，且该方程的解与关于x的方程的解相同.
（1）求a，b的值；
（2）若关于y的方程有无数个解，求m，n的值.
答案以及解析
1.答案：D
解析：解得,
将代入,
得,
解得.
故选D.
2.答案：A
解析：A选项方程符合一元一次方程的定义,符合题意；
B选项方程中未知数的最高次为2次,不是一元一次方程,不符合题意；
C选项方程中含有2个未知数,不是一元一次方程,不符合题意；
D选项方程不是整式方程,不是一元一次方程,不符合题意；
故选：A.
3.答案：D
解析：A、两边都-7,等式仍成立,故本选项不符合题意;
B、两边都乘以c,等式仍成立,故本选项不符合题意;
C、两边都乘以m,等式仍成立,故本选项不符合题意.
D、两边都除以c,且,等式才成立,故本选项符合题意.
故选:D.
4.答案：C
解析：现价出售后利润为元,
根据题意可得：,即；
故选:C.
5.答案：A
解析：方程两边都乘6应为，故开始出错的步骤为①.
6.答案：D
解析：
解得：；
A.，解得：，故该选项不符合题意；
B.，解得：，故该选项不符合题意；
C.，解得：，故该选项不符合题意；
D.，解得：，故该选项符合题意；
故选：D.
7.答案：D
解析：由题意得,顺流航行的速度为,逆流航行的速度为,
∴,
故选：D.
8.答案：C
解析：根据题意得.去分母，得.去括号，得.移项，得.合并同类项，得.系数化为1，得.故选C.
9.答案：A
解析：因为第一次购书付款72元，享受了9折优惠，所以实际定价为（元），节省了（元）.由题意得第二次节省了26元.设第二次所购书的定价为x元.由题意得，解得.故该学生第二次购书实际付款为（元）.故选A.
10.答案：B
解析：去分母得，去括号得，移项、合并同类项得.当，即时，解得.因为方程的解为非正整数，且k为整数，所以，，，，解得，0，，，则符合条件的所有整数k的和为.故选B.
11.答案：减去
解析：由得，在此变形中，方程两边同时减去.故答案为减去.
12.答案：71
解析：设需要更换新型节能灯x盏,该公路总长为,根据题意列方程可得：,化简可得：,解得：,故答案为71.
13.答案：-2
解析：依题意得，解得.故答案为-2.
14.答案：240
解析：设用x米长的布料生产上衣，那么用米长的布料生产裤子，使之恰好配套.根据题意，得，解得（套），故共能生产240套.
15.答案：
解析：将代入，得，整理得.由题意可知，无论k为任何数时，恒成立，所以，，所以，，所以.
16.答案：(1)
(2)
解析：(1),
去括号得：,
移项得：,
合并同类项得：,
系数化为1得：；
(2),
去分母得：,
去括号得：,
移项得：,
合并同类项得：,
系数化为1得：.
17.答案：(1)用14张卡纸做球拍,7张卡纸做小旗
(2)再增加3个人做1小时可以刚好完成
解析：(1)设用x张卡纸做球拍,张卡纸做小旗,
依题意得,,
解得,,
∴,
∴用14张卡纸做球拍,7张卡纸做小旗；
(2)设再增加y个人做1小时可以刚好完成,
依题意得,,
解得,,
∴再增加3个人做1小时可以刚好完成.
18.答案：（1）2
（2）
解析：（1）将代入，
得，即，
解得，
所以“a”处的数字为2.
（2）将代入原方程，得，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
方程的两边都除以3，得.
19.答案：（1）
（2）
（3）是“同心有理数对”.理由见解析
解析：（1）因为，，，所以数对不是“同心有理数对”.因为，，所以，所以是“同心有理数对”.故答案为.
（2）因为是“同心有理数对”，所以.
等式两边同时减去a，得.
整理得.
等式两边同时加上1，得.
整理得.
等式两边同时除以5，得.
（3）是“同心有理数对”.理由如下：
因为是“同心有理数对”，所以，而，所以是“同心有理数对”.
20.答案：(1)(i)1
(ii)或或5
(2)或或3或5
解析：(1)(i)∵点A表示的数是,点B表示的数是2,若点P表示的数是,
,,
则点P到线段的“亲近距离”为1,
故答案为：1；
(ii)点A表示的数为,点B表示的数为2,
点P到线段的“亲近距离”为3时,有三种情况：
①当点P在点A左侧时,,
点A到线段的“亲近距离”为3,
,
；
②当点P在点A和点B之间时,
,,
如果,那么,此时,符合题意；
；
③当点P在点B右侧时,,
点P到线段的“亲近距离”为3,
,
,符合题意；
综上,所求m的值为或或5,
故答案为或或5；
(2)分四种情况进行讨论：①当点P在点A左侧,,
,
；
②当点P在点A右侧,且,
,
；
③当点P在点B左侧,且,
,
；
④当点P在点B右侧,,
,
；
综上,所求t的值为或或3或5.
21.答案：（1）
（2）或，
解析：（1）因为关于x的方程为一元一次方程，所以，，解得.
当时，方程为，解得.又因为两个方程同解，所以，解得.
（2）把，代入，可得，变形得.因为关于y的方程有无数个解，所以，，所以或，.

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