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2024-2025学年云南省昆明三中九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.图中是圆心角的是( )
A. B. C. D.
2.下列关于的函数中，是反比例函数的为( )
A. B. C. D.
3.三角形的三边为，，，由下列条件不能判断它是直角三角形的是( )
A. ：：：： B.
C. D. ：：：：
4.如图， 的对角线，相交于点，，，若，，则四边形的周长为( )
A. B.
C. D.
5.在菱形中，若对角线，，则菱形的面积是( )
A. B. C. D.
6.下列说法不正确的是( )
A. 对角线相等的平行四边形是矩形
B. 邻边相等的平行四边形是菱形
C. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
D. 三个角为直角且邻边相等的四边形是正方形
7.关于直线描述不正确的是( )
A. 图象交轴于点 B. 随的增大而减小
C. 图象经过点 D. 图象不经过第一象限
8.一艘轮船先从甲地航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地航行返回到甲地，横坐标表示航行的
时间，纵坐标表示轮船与甲地的距离，则下列说法错误的是( )
A. 轮船从甲地到乙地的平均速度为
B. 轮船在乙地停留了
C. 轮船从乙地返回甲地的平均速度大于去时的速度
D. 甲、乙两地相距
9.甲、乙、丙三个人进行篮球投球测试，他们的平均成绩相同，方差分别是：，，，则成绩最稳定的是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 三个都一样
10.某企业今年月份的利润为万元，月份和月份的利润合计为万元，设月份和月份利润的平均增长率为，根据题意可列方程为( )
A. B.
C. D.
11.若，是方程的两个根，则( )
A. B. C. D.
12.抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得抛物线的表达式是( )
A. B.
C. D.
13.将一根长的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露出在杯子外面长为，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
14.如图，两个一次函数与的图象交于点，则下列结论错误的是( )
A. 方程的解是
B. 不等式和不等式的解集相同
C. 方程组的解是
D. 不等式组的解集是
15.如图，正方形和正方形的顶点，，在同一直线上，且，，给出下列结论：，，，的面积，其中正确的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。
16.若点在反比例函数的图象上，则的值为______．
17.在平面直角坐标系中，点到原点的距离为______．
18.如图所示，要建一个长方形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙，如果用长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，设养鸡场的长为，当 ______时，养鸡场的面积最大．
19.若关于的方程的两根互为倒数，则______．
三、解答题：本题共8小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.本小题分
解方程：
；
．
21.本小题分
某校为了解七年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析测试满分为分，学生测试成绩均为不小于的整数，分为四个等级：：，：，：，：，部分信息如下：
信息一：
信息二：学生成绩在等级的数据单位：分如下：
，，，，，，，，，，，．
请根据以上信息，解答下列问题；
求所抽取的学生成绩为等级的人数；
求所抽取的学生成绩的中位数；
该校七年级共有名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为等级的人数．
22.本小题分
已知：如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点，求证：．
23.本小题分
已知二次函数为常数，且．
求证：该函数的图象与轴总有两个公共点；
若点，在函数图象上，比较与的大小．
24.本小题分
如图，已知二次函数经过点和点，
求该二次函数的解析式；
如图，若一次函数经过、两点，直接写出不等式的解；
点为该二次函数与轴的另一个交点，求的面积．
25.本小题分
暑假临近，某读书俱乐部推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲卡按照次数收费，乙卡收取办卡费用后每次打折收费设消费的次数为次，所需费用为元，且与的函数关系如图所示根据图中信息，解答下列问题．
分别求出选择这两种卡时，与的函数表达式；
求消费多少次时，两者费用相差元？
26.本小题分
如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作交延长线于点，连接．
求证：四边形是菱形；
若，，求四边形的面积．
27.本小题分
如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点是抛物线上的一动点．
求该抛物线所对应的函数解析式；
如图，当点在直线上方的抛物线时，过点作轴的平行线交直线于点求面积的最大值；
如图，当点在直线上方的抛物线时，过点作轴的平行线交直线于点点是平面直角坐标系内一点，是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形，若存在，请求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
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18.
19.
20.解：，
，
，
则或，
，；
，
原方程可变为，
这里，，．
，
，
即，．
21.解：样本容量为：，
人，
即所抽取的学生成绩为等级的人数为人；
所抽取的学生成绩为等级的人数为；
人，
答：该校七年级估计成绩为等级的人数大约为人．
22.解：四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
，
≌，
．
23.证明：令，即，
或，
，，
，
，
方程有两个不相等的实数根，
该函数的图象与轴总有两个公共点；
解：点，在函数图象上，
当时，，
当时，，
，
当或时，；
当时，；
当时，．
24.解：由题意得：，
解得：，
该二次函数的解析式为：；
由题意得：不等式的解集为：；
抛物线的对称轴为，
根据抛物线的对称性得：，
的面积为：．
25.解：设，
把代入解析式得，
解得，
；
设，
把代入解析式得，
解得，
；
根据题意得：，
解得或，
答：当消费次或次时，两者费用相差元．
26.证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
解：四边形是菱形，，
，，，，，
，，
，
，
，
负值舍去，
，
菱形的面积．
27.解：抛物线经过，，
，解得，
该抛物线所对应的函数解析式为 ，
设直线的解析式为，
把，代入得：，解得：，
直线的解析式为，
设，，则，
，
，
当时，；
存在；
抛物线 与轴交于、两点，
当时，解得：或，
，
，
，
，
，
，
，
当四边形为菱形时，此时，如图，
，
垂直平分，
点与点关于轴对称，
由得：，，
，即，
解得：，舍，
点与点关于对称，
；
当四边形为菱形时，此时，如图，
，
点与点重合，
，，
；
当四边形为菱形时，此时，如图，
，，
，
由得：，
，
解得：舍去，
，
，
综上，点的坐标为或或．
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